2016武威职业学院数学单招试题测试版(附答案解析)

考单招——上高职单招网限时：90分钟 满分：122分一、选择题(共8个小题，每小题5分，共40分) 1．i 是虚数单位，复数5＋3i4－i ＝( )A ．1－iB ．－1＋iC ．1＋iD ．－1－i解析：选C 5＋3i 4－i ＝(5＋3i )(4＋i )(4－i )(4＋i )＝20＋5i ＋12i ＋3i 216－i 2＝17＋17i17＝1＋i.2．在某次测量中得到的A 样本数据如下：82,84,84,86,86,86,88,88,88,88.若B 样本数据恰好是A 样本数据每个都加2后所得数据．则A ，B 两样本的下列数字特征对应相同的是( )A ．众数B ．平均数C ．中位数D ．标准差解析：选D 只有标准差不变，其中众数、平均数和中位数都加2.3．探索以下规律：则根据规律，从2 012到2 014，箭头的方向依次是( )A ．向上再向右B ．向右再向上C ．向下再向右D ．向右再向下考单招——上高职单招网解析：选C根据题意，分析可得箭头的变化情况以4为周期变化，(n为正整数) 具体为从4n到4n＋1：箭头向下；从4n＋1到4n＋2：箭头向右；从4n＋2到4n＋3：箭头向上；从4n＋3到4(n＋1)：箭头向右，则2 012＝4×503,2 014＝4×503＋2，则箭头方向为先向下再向右．4．小波一星期的总开支分布如图1所示，一星期的食品开支如图2所示，则小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为()A．30% B．10%C．3% D．不能确定解析：选C由图1得到小波一星期的总开支，由图2得到小波一星期的食品开支，从而再借助图2计算出鸡蛋开支占总开支的百分比．由图2知，小波一星期的食品开支为30＋40＋100＋80＋50＝300元，由图1知，小波一星期的总开支为30030%＝1000元，则小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为301 000×100%＝3%.5．如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆．在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部考单招——上高职单招网分的概率是( )A ．1－2πB.12－1πC.2πD.1π解析：选A 法一：设分别以OA ，OB 为直径的两个半圆交于点C ，OA 的中点为D ，如图，连接OC ，DC .不妨令OA ＝OB ＝2，则OD ＝DA ＝DC ＝1.在以OA 为直径的半圆中，空白部分面积S 1＝π4＋12×1×1－⎝⎛⎭⎫π4－12×1×1＝1，所以整体图形中空白部分面积S 2＝2.又因为S 扇形OAB ＝14×π×22＝π，所以阴影部分面积为S 3＝π－2.所以P ＝π－2π＝1－2π.法二：连接AB ，设分别以OA ，OB 为直径的两个半圆交于点C ，令OA ＝2.如图，连接AB ，由题意知C ∈AB 且S 弓形AC ＝S 弓形BC ＝S 弓形OC ，所以S 空白＝S △OAB ＝12×2×2＝2.又因为S 扇形OAB ＝14×π×22＝π，所以S 阴影＝π－2.所以P ＝S 阴影S 扇形OAB＝π－2π＝1－2π.6．某地区为了解中学生的日平均睡眠时间(单位：h)，随机选择了n 位中学生进行调查，根据所得数据画出样本的频率分布直方图如图所示，且从左到右的第1个、第4个、第2个、第3个小长方形的面积依次构成公差为0.1的等差数列，又第一小组的频数是10，则n 等于( )考单招——上高职单招网A ．80B ．90C ．100D ．110解析：选C 设第1个小长方形的面积为S ， 则4个小长方形的面积之和为4S ＋4×32×0.1，由题意知，4S ＋4×32×0.1＝1， 故S ＝0.1，又因为10n＝0.1，所以n ＝100. 7．下面茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为( )A.25B.710C.45D.910解析：选C 记其中被污损的数字为x ，依题意得甲的5次综合测评的平均成绩是15(80×2＋90×3＋8＋9＋2＋1＋0)＝90，乙的5次综合测评的平均成绩是15(80×3＋考单招——上高职单招网90×2＋3＋3＋7＋x ＋9)＝15(442＋x )，令90>15(442＋x )，由此解得x <8，即x 的可能取值为0～7，因此甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为810＝45. 8．设定义在R 上的函数f (x )是最小正周期为2π的偶函数，f ′(x )是f (x )的导函数．当x ∈[0，π]时，0<f (x )<1；当x ∈(0，π)且x ≠π2时，⎝⎛⎭⎫x －π2f ′(x )>0.则函数y ＝f (x )－sin x 在[－2π，2π]上的零点个数为( )A ．2B ．4C ．5D ．8解析：选B 依题意，当x ∈[0，π]时，0<f (x )<1，由f (x )是偶函数得，当x ∈[－π，0]时，0<f (x )<1，即x ∈[－π，π]时，0<f (x )<1，由f (x )的周期为2π知，0<f (x )<1恒成立．当x ∈[π，2π]时，－1≤sin x ≤0，由0<f (x )<1得，y ＝f (x )与y ＝sin x 不相交，即函数y ＝f (x )－sin x 无零点；当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，由⎝⎛⎭⎫x －π2·f ′(x )>0得，f ′(x )<0，f (x )是减函数，而y ＝sin x 是增函数，由图像知，y ＝f (x )与y ＝sin x 有1个交点，即函数y ＝f (x )－sin x 有1个零点；当x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π时，由⎝⎛⎭⎫x －π2f ′(x )>0得，f ′(x )>0，f (x )是增函数，而y ＝sin x 是减函数，由图像知，y ＝f (x )与y ＝sin x 有一个交点，即函数y ＝f (x )－sin x 有1个零点．故函数y ＝f (x )－sin x 在[0,2π]上有2个零点．由周期性得，函数y ＝f (x )－sin x 在[－2π，0)上有2个零点，即函数y ＝f (x )－sin x 在[－2π，2π]上有4个零点．二、填空题(共6个小题，每小题5分，共30分)9．设集合A ＝{x |－3≤2x －1≤3}，集合B 为函数y ＝lg(x －1)的定义域，则A ∩B ＝________.解析：由题可知A ＝{x |－1≤x ≤2}，B ＝{x |x >1}，故A ∩B ＝(1,2]．考单招——上高职单招网答案：(1,2]10．交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查．假设四个社区驾驶员的总人数为N ，其中甲社区有驾驶员96人．若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,43，则这四个社区驾驶员的总人数N 为________．解析：依题意得知，甲社区驾驶员的人数占总人数的1212＋21＋25＋43＝12101，因此有96N ＝12101，解得N ＝808.答案：80811．现有10个数，它们能构成一个以1为首项，－3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是________．解析：由题意得a n ＝(－3)n －1，易知前10项中奇数项为正，偶数项为负，所以小于8的项为第一项和偶数项，共6项，即6个数，所以P ＝610＝35. 答案：3512．已知某三棱锥的三视图(单位：cm)如图所示，则该三棱锥的体积等于____________cm 3.考单招——上高职单招网解析：由三视图可得三棱锥的直观图如图所示．三棱锥的底面是两直角边长分别为3,1的直角三角形，且高为2，故V ＝13×12×3×1×2＝1(cm 3)．答案：113．如图所示是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则该运动员在这五场比赛中得分的方差为________．(注：方差s 2＝1n [(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]，其中x 为x 1，x 2，…，x n的平均数)解析：该运动员五场比赛中的得分为8,9,10,13,15，平均得分x ＝8＋9＋10＋13＋155＝11，方差s 2＝15[(8－11)2＋(9－11)2＋(10－11)2＋(13－11)2＋(15－11)2]＝6.8.答案：6.814．设函数f (x )＝(x ＋1)2＋sin xx 2＋1的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝________.解析：f (x )＝x 2＋2x ＋1＋sin x x 2＋1＝1＋2x ＋sin x x 2＋1，考察函数g (x )＝2x ＋sin xx 2＋1，显然函数g (x )为奇函数，所以g (x )的最大值与最小值的和为0，所以函数f (x )的最大值与最小值的和为2.答案：2考单招——上高职单招网三、解答题(共4个小题，每小题13分，共52分)15．某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．(1)求图中x的值；(2)从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上(含90分)的人数记为ξ，求ξ的数学期望．解：(1)由题意得：10x＝1－(0.006×3＋0.01＋0.054)×10＝0.18，所以x＝0.018.(2)∵成绩不低于80分的学生共有(0.018＋0.006)×10×50＝12人，其中90分以上(含90分)的共有0．006×10×50＝3人，ξ的可能值为0,1,2，P(ξ＝0)＝C29C212＝611，p(ξ＝1)＝C19C13C212＝922，P(ξ＝2)＝C23C212＝122，∴ξ的分布列为考单招——上高职单招网∴E(ξ)＝0×611＋1×922＋2×122＝12.16．根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X(单位： mm)对工期的影响如下表：0.3,0.7,0.9.求：(1)工期延误天数Y的均值与方差；(2)在降水量X至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率．解：(1)由已知条件和概率的加法公式有：P(X＜300)＝0.3，P(300≤X＜700)＝P(X＜700)－P(X＜300)＝0.7－0.3＝0.4，P(700≤X＜900)＝P(X＜900)－P(X＜700)＝0.9－0.7＝0.2.P(X≥900)＝1－P(X＜900)＝1－0.9＝0.1.所以Y的分布列为考单招——上高职单招网于是，E(Y)＝0×0.3D(Y)＝(0－3)2×0.3＋(2－3)2×0.4＋(6－3)2×0.2＋(10－3)2×0.1＝9.8. 故工期延误天数Y的均值为3，方差为9.8.(2)由概率的加法公式，P(X≥300)＝1－P(X＜300)＝0.7，又因为P(300≤X＜900)＝P(X＜900)－P(X＜300)＝0.9－0.3＝0.6.由条件概率，得P(Y≤6|X≥300)＝P(X＜900|X≥300)＝P(300≤X＜900)P(X≥300)＝0.60.7＝67.故在降水量X至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率是6 7.17．为提升学校教学与管理水平，某校在业余时间利用网络对教师进行班级管理培训和学科教学培训，每位教师可以选择参加一项培训、两项培训或不参加培训．已知参加班级管理培训的教师占教师总人数的50%，参加学科教学培训的教师占教师总人数的80%，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响．(1)若任选1位教师，求该位教师参加培训的概率；(2)若任选3位教师，记ξ为3位教师中参加培训的人数，求ξ的分布列和数学期望．解：任选1位教师，记“该位教师参加班级管理培训”为事件A，“该位教师参加学科教学培训”为事件B，由题设知，事件A与B相互独立，且P(A)＝0.5，P(B)＝0.8.考单招——上高职单招网(1)任选1位教师，设该位教师没有参加培训的概率为P1，则P1＝P(A∩B)＝P(A)·P(B)＝0.5×0.2＝0.1，所以该位教师参加培训的概率为1－P1＝1－0.1＝0.9.(2)因为每个人选择培训的项目是相互独立的，所以3位教师中参加培训的人数ξ服从二项分布，则ξ～B(3,0.9)，P(ξ＝k)＝C k3×0.9k×0.13－k，k＝0,1,2,3，则ξ的分布列是ξ的数学期望E(ξ18．某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.(1)确定x，y的值，并求顾客一次购物的结算时间X的分布列与数学期望；(2)若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率．(注：将频率视为概率)考单招——上高职单招网解：(1)由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以x＝15，y＝20.该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，将频率视为概率得P(X＝1)＝15100＝320，P(X＝1.5)＝30100＝310，P(X＝2)＝25100＝14，P(X＝2.5)＝20100＝15，P(X＝3)＝10100＝110.X的分布列为X的数学期望为E(X)＝1×320＋1.5×310＋2×14＋2.5×15＋3×110＝1.9.(2)记A为事件“该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟”，X i(i＝1,2)为该顾客前面第i位顾客的结算时间，则P(A)＝P(X1＝1且X2＝1)＋P(X1＝1且X2＝1.5)＋P(X1＝1.5且X2＝1)．由于各顾客的结算相互独立，且X1，X2的分布列都与X的分布列相同，所以P(A)＝P(X1＝1)×P(X2＝1)＋P(X1＝1)×P(X2＝1.5)＋P(X1＝1.5)×P(X2＝1)＝3 20×320＋320×310＋310×320＝980.故该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率为9 80.。