【课件】运筹学与最优化方法(华南理工)第3章(07-4)
合集下载
最优化理论-第3章线性规划PPT课件
下，求使目标函数z达到最大的x1 ,x2
的取值。
2021/7/23
6
3.1 线性规划模型
•一般形式
•目标函数：
Max(Min)z = c1x1 + c2x2 + … + cnxn
•约束条件：
a11x1+a12x2+…+a1nxn≤( =, ≥ )b1 a21x1+a22x2+…+a2n...xn≤( =, ≥ )b2 am1x1+am2x2 +…+amnxn≤( =, ≥ )bm
这时新的约束条件成为
ai1 x1+ai2 x2+ … +ain xn-s = bi
2021/7/23
12
3.1 线性规划模型
为了使约束由不等式成为等式
而引进的变量s称为“松弛变量”。
如果原问题中有若干个非等式约束， 则将其转化为标准形式时，必须对 各个约束引进不同的松弛变量。
2021/7/23
13
即 ， 为
相应的生产计划可以获得的总利润：
z=1500x1+2500x2 。综合上述讨论，在加工
时间以及利润与产品产量成线性关系的假设
下，把目标函数和约束条件放在一起，可以
建立如下的线性规划模型：
2021/7/23
4
3.1 线性规划模型
目标函数 约束条件
Max z =1500x1+2500x2 s.t. 3x1+2x2≤ 65
1) (LP)存在有限最优解 cTd(j) ≤0, j .
2) 若(LP)存在有限最优解, 则最优解可以 在某个极点达到 .
2021/7/23
23
的取值。
2021/7/23
6
3.1 线性规划模型
•一般形式
•目标函数：
Max(Min)z = c1x1 + c2x2 + … + cnxn
•约束条件：
a11x1+a12x2+…+a1nxn≤( =, ≥ )b1 a21x1+a22x2+…+a2n...xn≤( =, ≥ )b2 am1x1+am2x2 +…+amnxn≤( =, ≥ )bm
这时新的约束条件成为
ai1 x1+ai2 x2+ … +ain xn-s = bi
2021/7/23
12
3.1 线性规划模型
为了使约束由不等式成为等式
而引进的变量s称为“松弛变量”。
如果原问题中有若干个非等式约束， 则将其转化为标准形式时，必须对 各个约束引进不同的松弛变量。
2021/7/23
13
即 ， 为
相应的生产计划可以获得的总利润：
z=1500x1+2500x2 。综合上述讨论，在加工
时间以及利润与产品产量成线性关系的假设
下，把目标函数和约束条件放在一起，可以
建立如下的线性规划模型：
2021/7/23
4
3.1 线性规划模型
目标函数 约束条件
Max z =1500x1+2500x2 s.t. 3x1+2x2≤ 65
1) (LP)存在有限最优解 cTd(j) ≤0, j .
2) 若(LP)存在有限最优解, 则最优解可以 在某个极点达到 .
2021/7/23
23
《最优化方法》课件
7பைடு நூலகம்
5
2. 学习本课程所需的数学知识
向量、向量的模（范数）、向量的运算、 线性相关与无关、基. 矩阵的运算及性质、矩阵的秩、特征值、正定性。 向量函数、连续性、可微性、 梯度、海森矩阵、向量函数（多元函数）的Taylor定 理
6
3. 学习要求
掌握主要的优化模型的数学计算方法. 了解优化方法的数学原理. 了解现代优化方法. 熟练掌握应用数学软件计算优化问题.
3
二次大战以后，在军事运筹小组中工作过的一部分科 学家开始转入民用部门，他们把对军事系统最优化的研究 成果拓展到各种民用系统的研究上。
1947年美国数学家G.B.Dantzig在研究美国空军资源 配置时,提出了求解线性规划的有效方法—单纯形法。二 十世纪五十年代初，应用计算机求解线性规划获得成功。
2
运筹学这一名词最早出现于1938年。当时英，美等国盟军 在与德国的战争中遇到了许多错综复杂的战略和战术问题难以 解决，比如
(１)防空雷达的布置问题：
(２)护航舰队的编队问题：
为了应付上述各种复杂问题，英美等国逐批召集不同专业 背景的科学家，在三军组织了各种研究小组，研究的问题都是 军事性质的，在英国称为“Operational Research”，其他英语 国家称为“Operations Research”，意思是军事行动研究。这些 研究小组运用系统优化的思想，应用数学技术分析军事问题， 取得了非常理想的效果。
至五十年代末，一些工业先进国家的大型企业已经较 普遍地使用运筹学方法解决在生产经营管理中遇到的实际 问题，并取得了良好的效果，至六十年代中期，运筹学开 始应用于一些服务性行业和公用事业。
4
我国运筹学的研究始于五十年代中期，当时由钱学森教 授将运筹学从西方国家引入我国，以华罗庚教授为首的一大 批科学家在有关企事业单位积极推广和普及运筹学方法，在 建筑，纺织，交通运输，水利建设和邮电等行业都有不少应 用。关于邮递员投递的最佳路线问题就是由我国年轻的数学 家管梅谷于1962年首先提出的，在国际上统称为中国邮递员 问题。我国运筹学的理论和应用研究在较短时间内赶上了世 界水平。
5
2. 学习本课程所需的数学知识
向量、向量的模（范数）、向量的运算、 线性相关与无关、基. 矩阵的运算及性质、矩阵的秩、特征值、正定性。 向量函数、连续性、可微性、 梯度、海森矩阵、向量函数（多元函数）的Taylor定 理
6
3. 学习要求
掌握主要的优化模型的数学计算方法. 了解优化方法的数学原理. 了解现代优化方法. 熟练掌握应用数学软件计算优化问题.
3
二次大战以后，在军事运筹小组中工作过的一部分科 学家开始转入民用部门，他们把对军事系统最优化的研究 成果拓展到各种民用系统的研究上。
1947年美国数学家G.B.Dantzig在研究美国空军资源 配置时,提出了求解线性规划的有效方法—单纯形法。二 十世纪五十年代初，应用计算机求解线性规划获得成功。
2
运筹学这一名词最早出现于1938年。当时英，美等国盟军 在与德国的战争中遇到了许多错综复杂的战略和战术问题难以 解决，比如
(１)防空雷达的布置问题：
(２)护航舰队的编队问题：
为了应付上述各种复杂问题，英美等国逐批召集不同专业 背景的科学家，在三军组织了各种研究小组，研究的问题都是 军事性质的，在英国称为“Operational Research”，其他英语 国家称为“Operations Research”，意思是军事行动研究。这些 研究小组运用系统优化的思想，应用数学技术分析军事问题， 取得了非常理想的效果。
至五十年代末，一些工业先进国家的大型企业已经较 普遍地使用运筹学方法解决在生产经营管理中遇到的实际 问题，并取得了良好的效果，至六十年代中期，运筹学开 始应用于一些服务性行业和公用事业。
4
我国运筹学的研究始于五十年代中期，当时由钱学森教 授将运筹学从西方国家引入我国，以华罗庚教授为首的一大 批科学家在有关企事业单位积极推广和普及运筹学方法，在 建筑，纺织，交通运输，水利建设和邮电等行业都有不少应 用。关于邮递员投递的最佳路线问题就是由我国年轻的数学 家管梅谷于1962年首先提出的，在国际上统称为中国邮递员 问题。我国运筹学的理论和应用研究在较短时间内赶上了世 界水平。
最优化方法PPT
共117页第8页
同时太阳系这个"整体"又是它所属的"更大整 体"--银河系的一个组成部分。世界上的具体系统是 纷繁复杂的，必须按照一定的标准，将千差万别的 系统分门别类，以便分析、研究和管理，如：教育 系统、医疗卫生系统、宇航系统、通讯系统等等。 如果系统与外界或它所处的外部环境有物质、能量 和信息的交流，那么这个系统就是一个开放系统， 否则就是一个封闭系统。开放系统具有很强的生命 力，它可能促进经济实力的迅速增长，使落后地区 尽早走上现代化。如改革开放以来已大大增强了我 们的综合国力。而我国的许多边远山区农村，由于 交通不便，相对封闭，还处于比较落后的状态。
会科学和思维科学的相互渗透与交融汇流，产生了 具有高度抽象性和广泛综合性的系统论、控制论和 信息论。
系统论是研究系统的模式、性能、行为和规律 的一门科学。它为人们认识各种系统的组成、结构、 性能、行为和发展规律提供了一般方法论的指导。 系统论的创始人是美籍奥地利理论生物学家和哲学 家路德维格·贝塔朗菲。系统是由若干相互联系的 基本要素构成的，它是具有确定的特性和功能的有 机整体。如太阳系是由太阳及其围绕它运转的行星 （金星、地球、火星、木星等等）和卫星构成的。
从数学上比较一般的观点来看，所谓最优化问题可 以概括为这样一种数学模型：给定一个“函数”，F(X)， 以及“自变量”X应满足的一定条件，求X为怎样的值时， F(X)取得其最大值或最小值。这里在函数和自变量两个 词上之所以打上引号，是想强调它们的含意比中学数学 和大学微积分中函数的定义要广泛得多。通常，称F(X) 为“目标函数”，X应满足的条件为“约束条件”。约 束条件一般用一个集合D表示为：X∈D。求目标函数 F(X)在约束条件X∈D下的最小值或最大值问题，就是一 般最优问题的数学模型，它还可以利用数学符号更简洁 地表示成：Min F(X)或Max F(X)。
最优化及最优化方法讲稿.pptx
1939年前苏联数学家Л.B.Канторович提出 了解决下料问题和运输问题这两种线性规划问题的求解 方法。
最优化的发展简史
以苏联 Л.В.康托罗维奇和美国G.B.丹齐克为 代表的线性规划；
以美国库恩和塔克尔为代表的非线性规划；以 美国R.贝尔曼为代表的动态规划；
以苏联Л.С.庞特里亚金为代表的极大值原理 等。这些方法后来都形成体系，成为近代很活跃 的学科，对促进运筹学、管理科学、控制论和系 统工程等学科的发展起了重要作用。
最优化方法的具体应用举例
④最优控制：主要用于对各种控制系统的优化。 例如，导弹系统的最优控制，能保证用最少燃料 完成飞行任务,用最短时间达到目标;再如飞机、 船舶、电力系统等的最优控制，化工、冶金等工 厂的最佳工况的控制。计算机接口装置不断完善 和优化方法的进一步发展，还为计算机在线生产 控制创造了有利条件。最优控制的对象也将从对 机械、电气、化工等硬系统的控制转向对生态、 环境以至社会经济系统的控制。
最优化方法的研究对象及应用
最优化方法的主要研究对象是各种有组织系统 的管理问题及其生产经营活动。最优化方法的目 的在于针对所研究的系统，求得一个合理运用人 力、物 力和财力的最佳方案，发挥和提高系统的 效能及效益，最终达到系统的最优目标。
实践表明，随着科学技术的日益进步和生产经 营的日益发展，最优化方法已成为现代管理科学 的重要理论基础和不可缺少的方法，被人们广泛 地应用到空间技术、军事科学、电子工程、通讯 工程、自动控制、系统识别、资源分配、计算数 学、公共管理、经济管理等各个领域，发挥着越 来越重要的作用。
最优化方法的内容
最优化方法包括的内容很广泛，如线 性规划、非线性规划、整数规划、几何规 划、动态规划、随机规划、多目标规划、 组合优化(在给定有限集的所有具备某些条件的
最优化的发展简史
以苏联 Л.В.康托罗维奇和美国G.B.丹齐克为 代表的线性规划；
以美国库恩和塔克尔为代表的非线性规划；以 美国R.贝尔曼为代表的动态规划；
以苏联Л.С.庞特里亚金为代表的极大值原理 等。这些方法后来都形成体系，成为近代很活跃 的学科，对促进运筹学、管理科学、控制论和系 统工程等学科的发展起了重要作用。
最优化方法的具体应用举例
④最优控制：主要用于对各种控制系统的优化。 例如，导弹系统的最优控制，能保证用最少燃料 完成飞行任务,用最短时间达到目标;再如飞机、 船舶、电力系统等的最优控制，化工、冶金等工 厂的最佳工况的控制。计算机接口装置不断完善 和优化方法的进一步发展，还为计算机在线生产 控制创造了有利条件。最优控制的对象也将从对 机械、电气、化工等硬系统的控制转向对生态、 环境以至社会经济系统的控制。
最优化方法的研究对象及应用
最优化方法的主要研究对象是各种有组织系统 的管理问题及其生产经营活动。最优化方法的目 的在于针对所研究的系统，求得一个合理运用人 力、物 力和财力的最佳方案，发挥和提高系统的 效能及效益，最终达到系统的最优目标。
实践表明，随着科学技术的日益进步和生产经 营的日益发展，最优化方法已成为现代管理科学 的重要理论基础和不可缺少的方法，被人们广泛 地应用到空间技术、军事科学、电子工程、通讯 工程、自动控制、系统识别、资源分配、计算数 学、公共管理、经济管理等各个领域，发挥着越 来越重要的作用。
最优化方法的内容
最优化方法包括的内容很广泛，如线 性规划、非线性规划、整数规划、几何规 划、动态规划、随机规划、多目标规划、 组合优化(在给定有限集的所有具备某些条件的
最优化方法课程PPT
课程简介
三、无约束非线速下降法 最速下降法 3.牛顿法 牛顿法 4.共轭梯度法 共轭梯度法 四、现代最优化方法简介 1. 随机试验法 2. 禁忌搜索算法 3. 模拟退火算法 4. 遗传算法 5. 神经网络算法
课程简介
五、最优化方法的程序实现 1.线性优化问题 线性优化问题 2.非线性优化问题 非线性优化问题 3.最小二乘法优化问题 最小二乘法优化问题 4.非线性方程的优化解 非线性方程的优化解 5.遗传算法的程序实现 遗传算法的程序实现
能源与动力工程学院
College of Energy and Power Engineering
研究生课程《工程数学》 研究生课程《工程数学》之“最优化方法” 最优化方法”
课 程 简 介
王海民 hmwang@
课程简介
一、线性规划 二、非线性规划 1.线性规划问题的基本概念 1.非线性规划的数学模型 线性规划问题的基本概念 非线性规划的数学模型 2.单纯形法 单纯形法 3.对偶理论 对偶理论 2.解非线性规划问题的基本思路 解非线性规划问题的基本思路 3.一维搜索方法 一维搜索方法
5
参考文献
1. 何坚勇 最优化方法，清华大学出版社，2007 何坚勇. 最优化方法，清华大学出版社， 2. 陈宝林 最优化理论与算法，清华大学出版社，2005 陈宝林. 最优化理论与算法，清华大学出版社， 3. 张光澄 非线性最优化计算方法，高等教育出版社，2005 张光澄. 非线性最优化计算方法，高等教育出版社， 4. 邢文训，谢金星 现代优化计算方法，清华大学出版社， 邢文训，谢金星. 现代优化计算方法，清华大学出版社， 1999
【课件】最优化(华南理工)第2章(07-3)
f `(x*;d) = lim [ f(x*+ d )-f(x*) ] /
• 若 f(x) 在 x* 可导，则 f `(x*;d) = [f (x*) ]Td .
方向导数,等高线,梯度的关系
二元函数的等高线 (复习水平集) 方向导数与梯度的公式 图形说明 推广到n元函数.
2.2 凸集、凸函数和凸规划(续)
二、凸函数 2、凸函数的性质：
1) 方向导数：设 S Rn 为非空凸集，函数 f :SR ， 再设 x* S, d 为单位方向向量，使当 > 0 充分小 时有 x*+d S, 如果 lim [ f(x*+ d )-f(x*) ] / 存在（包括 ）
则称 f(x) 为在点沿方向的方向导数存在，记
数？ 2) f(x)= max{ f1(x) , f2 (x) } , g(x)= min{ f1(x) ,
f2 (x) }是否凸函数？
2.2 凸集、凸函数和凸规划(续)
二、凸函数 1、凸函数及水平集：
定义：设集合 S Rn ，函数 f :SR， R ，
称 S = { x S∣f(x) ≤ } 为 f(x) 在 S 上 的 水平集。
严格凸函数
凸函数
严格凹函数
2.2 凸集、凸函数和凸规划(续)
二、凸函数 1、凸函数及水平集：
定理： f(x) 为凸集 S 上的凸函数 S 上任 意有限点的凸组合的函数值不大于各点函 数值的凸组合。
思考：设f1, f2是凸函数，
1) 设1, 2 > 0, 1f1+2f2 , 1f1 - 2f2是否凸函
2.2 凸集、凸函数和凸规划(续)
二、凸函数 1、凸函数及水平集 定义: 设集合 S Rn 为凸集，函数 f :SR
• 若 f(x) 在 x* 可导，则 f `(x*;d) = [f (x*) ]Td .
方向导数,等高线,梯度的关系
二元函数的等高线 (复习水平集) 方向导数与梯度的公式 图形说明 推广到n元函数.
2.2 凸集、凸函数和凸规划(续)
二、凸函数 2、凸函数的性质：
1) 方向导数：设 S Rn 为非空凸集，函数 f :SR ， 再设 x* S, d 为单位方向向量，使当 > 0 充分小 时有 x*+d S, 如果 lim [ f(x*+ d )-f(x*) ] / 存在（包括 ）
则称 f(x) 为在点沿方向的方向导数存在，记
数？ 2) f(x)= max{ f1(x) , f2 (x) } , g(x)= min{ f1(x) ,
f2 (x) }是否凸函数？
2.2 凸集、凸函数和凸规划(续)
二、凸函数 1、凸函数及水平集：
定义：设集合 S Rn ，函数 f :SR， R ，
称 S = { x S∣f(x) ≤ } 为 f(x) 在 S 上 的 水平集。
严格凸函数
凸函数
严格凹函数
2.2 凸集、凸函数和凸规划(续)
二、凸函数 1、凸函数及水平集：
定理： f(x) 为凸集 S 上的凸函数 S 上任 意有限点的凸组合的函数值不大于各点函 数值的凸组合。
思考：设f1, f2是凸函数，
1) 设1, 2 > 0, 1f1+2f2 , 1f1 - 2f2是否凸函
2.2 凸集、凸函数和凸规划(续)
二、凸函数 1、凸函数及水平集 定义: 设集合 S Rn 为凸集，函数 f :SR
【课件】运筹学与最优化方法(华南理工)第4章(07-1)—约束非线性规划
第六章
6.1 Kuhn-Tucker 条件
条件: 二,不等式约束问题的Khun-Tucker条件: (续) 不等式约束问题的 条件 ●
目 函 f (x)与 1(x) = 0相 的 况 标 数 切 情 : g I = { }, 则 2 = u3 = u4 = 0 1 u 2(x1 3) + 2x1u1 = 0 解2(x2 2) + 2x2u1 = 0 得 ± ( x2 + x2 5 = 0 1 2 故 不 K T点 g2 (x1, x2 ) = 均 是
45 13
,±
20 13
) S
20 13
45 13
+2
4 = 7
5 13
4 = 0.34 > 0
$4.1最优性条件
三.一般约束的最优化条件 1.数学模型: min f ( X ) x ∈R
n
. st. gi ( X ) ≥ 0 i =1.2...., m h ( X ) = 0 j =1,2,..., l j
第六章
6.1 Kuhn-Tucker 条件
条件: 二,不等式约束问题的Khun-Tucker条件: (续) 不等式约束问题的 条件 可能的K-T点出现在下列情况: 点出现在下列情况: 可能的 点出现在下列情况 ①两约束曲线的交点:g1与g2,g1与g3,g1与g4,g2与g3,g2与 两约束曲线的交点: g4,g3与g4. 目标函数与一条曲线相交的情况: ②目标函数与一条曲线相交的情况: g1,g2, g3, g4 对每一个情况求得满足(1)~(6)的点 1,x2)T及乘子 1,u2,u3,u4, 的点(x 及乘子u 对每一个情况求得满足 的点 验证当满足可得, 验证当满足可得,且ui≥ 0时,即为一个 时 即为一个K-T点. 点 下面举几个情况: 下面举几个情况: 交点: ● g1与g2交点:x=(2,1)T∈S ,I={1,2} 则u3=u4=0 解
最优化方法全部ppt课件
解法：Lagrange乘子法
1.2 实例
数据拟合问题 原料切割问题 运输问题 营养配餐问题 分配问题
1.3 基本概念
1. 最优化问题的向量表示法
设 xvx1,x2,L,xnT 则
m i n fx 1 ,x 2 ,L ,x n m i n fx v （1）
以向量为变量的实值函数 定义向量间的序关系(定义1.1)：
②取 c0,1,4,9,L并画出相应的曲线（称之为等值线）.
③确定极值点位置，并用以往所学方法求之。
易知本题的极小值点 xv* 2,1T。
再复杂点的情形见P13上的例1.7。 虽然三维及以上的问题不便于在平面上画图，图解 法失效，但仍有相应的等值面的概念，且等值面具有以 下性质：
①有不同函数值的等值面互不相交（因目标函数是单值 函数的缘故）；
其中
g1 xv0
x1
g2 xv0
x1
L
gv
xv0
g1 xv0
x2
g2 xv0
x2
L
M
g1 xv0
xn
M
g2 xv0
xn
称为向量值函数 gv xv 在点
L
xv 0
g
m xv0
x1
g
m
xv0
x2
g
M
m xv0
xn
处的导数，
而gv xv0 T 称为向量值函数 gv xv 在点 xv 0 处的Jacobi矩阵。
称为最优化方法。最优化方法是在第二次世界大战前后，
在军事领域中对导弹、雷达控制的研究中逐渐发展起来 的。
最优化方法解决问题一般步骤： （1）提出需要进行最优化的问题，开始收集有关资 料和数据； （2）建立求解最优化问题的有关数学模型，确定变 量，列出目标函数和有关约束条件； （3）分析模型，选择合适的最优化方法； （4）求解方程。一般通过编制程序在电子计算机上 求得最优解； （5）最优解的验证和实施。 随着系统科学的发展和各个领域的需求，最优化方 法不断地应用于经济、自然、军事和社会研究的各个领 域。
1.2 实例
数据拟合问题 原料切割问题 运输问题 营养配餐问题 分配问题
1.3 基本概念
1. 最优化问题的向量表示法
设 xvx1,x2,L,xnT 则
m i n fx 1 ,x 2 ,L ,x n m i n fx v （1）
以向量为变量的实值函数 定义向量间的序关系(定义1.1)：
②取 c0,1,4,9,L并画出相应的曲线（称之为等值线）.
③确定极值点位置，并用以往所学方法求之。
易知本题的极小值点 xv* 2,1T。
再复杂点的情形见P13上的例1.7。 虽然三维及以上的问题不便于在平面上画图，图解 法失效，但仍有相应的等值面的概念，且等值面具有以 下性质：
①有不同函数值的等值面互不相交（因目标函数是单值 函数的缘故）；
其中
g1 xv0
x1
g2 xv0
x1
L
gv
xv0
g1 xv0
x2
g2 xv0
x2
L
M
g1 xv0
xn
M
g2 xv0
xn
称为向量值函数 gv xv 在点
L
xv 0
g
m xv0
x1
g
m
xv0
x2
g
M
m xv0
xn
处的导数，
而gv xv0 T 称为向量值函数 gv xv 在点 xv 0 处的Jacobi矩阵。
称为最优化方法。最优化方法是在第二次世界大战前后，
在军事领域中对导弹、雷达控制的研究中逐渐发展起来 的。
最优化方法解决问题一般步骤： （1）提出需要进行最优化的问题，开始收集有关资 料和数据； （2）建立求解最优化问题的有关数学模型，确定变 量，列出目标函数和有关约束条件； （3）分析模型，选择合适的最优化方法； （4）求解方程。一般通过编制程序在电子计算机上 求得最优解； （5）最优解的验证和实施。 随着系统科学的发展和各个领域的需求，最优化方 法不断地应用于经济、自然、军事和社会研究的各个领 域。
最优化方法_理工大学内部课件
组合最优化问题是通过对数学方法的研究去 寻找离散事件的最优编排、分组、次序或筛选等。
例：旅行商问题（TSP,traveling saleman problem） 一个商人欲到 n 个城市推销商品，每两个城 市 i 和 j 之间的距离为 d ij ,如何选择一条道 路使得商人每个城市走一遍后回到起点且所走路 径最短。
综上所述可得如下优化模型：
Max z 72x1 64x2
x1 x2 50 12 x 8 x 480 1 2 st 3 x1 100 x1 , x2 0
线性 规划 模型 (LP)
目标函数和约束条件都是线性的，这种优化 模型称为是线性规划（linear programming,LP） 模型。
题
优 化 问
（2）组合投资问题
题
（3）背包问题(贪婪问题)
一个小偷打劫一个保险箱，发现柜子里有3类不 同大小与价值的物品，但小偷只有一个容积为20的 背包来装东西，背包问题就是要找出一个小偷选择 所偷物品的组合，以使偷走的物品总价值最大。
（4）旅行售货问题 有一个推销员，要到各个城市去推销产品，他希 望能找到一个最短的旅遊途径，访问每一个城市，而 且每个城市只拜訪一次，然后回到最初出发的城市。
随机规划：
报童的诀窍
报童售报： a (零售价) > b(购进价) > c(退回价)
问 售出一份赚 a-b；退回一份赔 b-c 题
每天购进多少份可使收入最大？
每天需求量是随机的
每天收入是随机的
优化问题的目标函数应是长期的日平均收入
准 备 建 模
调查需求量的随机规律——每天 需求量为 r 的概率 f(r), r=0,1,2… • 设每天购进 n 份，日平均收入为 G(n) • 已知售出一份赚 a-b；退回一份赔 b-c
例：旅行商问题（TSP,traveling saleman problem） 一个商人欲到 n 个城市推销商品，每两个城 市 i 和 j 之间的距离为 d ij ,如何选择一条道 路使得商人每个城市走一遍后回到起点且所走路 径最短。
综上所述可得如下优化模型：
Max z 72x1 64x2
x1 x2 50 12 x 8 x 480 1 2 st 3 x1 100 x1 , x2 0
线性 规划 模型 (LP)
目标函数和约束条件都是线性的，这种优化 模型称为是线性规划（linear programming,LP） 模型。
题
优 化 问
（2）组合投资问题
题
（3）背包问题(贪婪问题)
一个小偷打劫一个保险箱，发现柜子里有3类不 同大小与价值的物品，但小偷只有一个容积为20的 背包来装东西，背包问题就是要找出一个小偷选择 所偷物品的组合，以使偷走的物品总价值最大。
（4）旅行售货问题 有一个推销员，要到各个城市去推销产品，他希 望能找到一个最短的旅遊途径，访问每一个城市，而 且每个城市只拜訪一次，然后回到最初出发的城市。
随机规划：
报童的诀窍
报童售报： a (零售价) > b(购进价) > c(退回价)
问 售出一份赚 a-b；退回一份赔 b-c 题
每天购进多少份可使收入最大？
每天需求量是随机的
每天收入是随机的
优化问题的目标函数应是长期的日平均收入
准 备 建 模
调查需求量的随机规律——每天 需求量为 r 的概率 f(r), r=0,1,2… • 设每天购进 n 份，日平均收入为 G(n) • 已知售出一份赚 a-b；退回一份赔 b-c
运筹学与最优化方法第3章
* * f ( x * ) ( 2( x1 3), 2( x 2 2)) T ( 2,2) T * 代入K T条件计算可得u1 1 3 ，u * 2 * * 2 , u u 3 4 0使 3
1
T
2 f ( x * ) 1 g ( x ) g ( x )0 1 2 3 3 g ( x )0 1 g ( x ) 0 2
min f ( x1 , x2 ) 5 ( x1 x2 )
例3.1.2
2 x12 x2 20 s.t. x1 0 x 0 2
显然它是一个凸规划，它的K-T条件为：
* * * * ( 1, 1) 2 1* ( x1 , x2 ) 2 ( 1,0) 3 (0, 1) 0 * *2 *2 * * * ( x x 1 1 若x1 0, 则显然x2 0, 2 0, 代入 2 2) 0 * * * K T 条件的第一式得2 1 2 x1 0 * x* 0 * * 与2 0矛盾,所以x1 0 3 2 * 同理有x2 0
推广到多元情况，令
L( x, ) f ( x ) i hi ( x ) f ( x ) h( x )
i 1 m
其中 （1，2， ，m ), h( x ) （h1 ( x )，h2 ( x )， ，hm ( x ))T
若x*是(3-2)的l.opt. ,则存在λ*∈ Rm使 * h ( x ) 矩阵形式： * * f ( x ) 0 x 1 1 因为 f ( x ) 2 2( x 2 ) , g1 ( x ) 2x , g 2 ( 2) 2 2
* * 2( x1 2 1 3) 1 2 x1 2 0 * * 2( x 2) 3 2 x 3 2 2 * T 解之得 x ( 2 ， 1 ) 是其最优解 *2 *2 x1 x2 5 0 x* 2 x* 4 0 1 2
1
T
2 f ( x * ) 1 g ( x ) g ( x )0 1 2 3 3 g ( x )0 1 g ( x ) 0 2
min f ( x1 , x2 ) 5 ( x1 x2 )
例3.1.2
2 x12 x2 20 s.t. x1 0 x 0 2
显然它是一个凸规划，它的K-T条件为：
* * * * ( 1, 1) 2 1* ( x1 , x2 ) 2 ( 1,0) 3 (0, 1) 0 * *2 *2 * * * ( x x 1 1 若x1 0, 则显然x2 0, 2 0, 代入 2 2) 0 * * * K T 条件的第一式得2 1 2 x1 0 * x* 0 * * 与2 0矛盾,所以x1 0 3 2 * 同理有x2 0
推广到多元情况，令
L( x, ) f ( x ) i hi ( x ) f ( x ) h( x )
i 1 m
其中 （1，2， ，m ), h( x ) （h1 ( x )，h2 ( x )， ，hm ( x ))T
若x*是(3-2)的l.opt. ,则存在λ*∈ Rm使 * h ( x ) 矩阵形式： * * f ( x ) 0 x 1 1 因为 f ( x ) 2 2( x 2 ) , g1 ( x ) 2x , g 2 ( 2) 2 2
* * 2( x1 2 1 3) 1 2 x1 2 0 * * 2( x 2) 3 2 x 3 2 2 * T 解之得 x ( 2 ， 1 ) 是其最优解 *2 *2 x1 x2 5 0 x* 2 x* 4 0 1 2
华南理工大学 工商管理学院 运筹学 课时课件 (7)
结合实际背景： 原问题是分配两种有限资源 生产三种产品，求最大利润 的问题；
对偶模型 对偶性质 对偶单纯形法 作业
引例 对偶模型
引例 原问题： max Z = 5x1 + 4x2 + 2x3 s.t. 8x1 + 4x2 + 5x3 320 2x1 + 2x2 + x3 x1 , x2 , x3 0 对偶问题： min W = 320y1 + 100y2 s.t. 8y1 + 2y2 5 4y1 + 2y2 4 5y1 + y2 2 y1 0, y2 0 100
语言学领域 –中国的对联
对偶模型 对偶性质 对偶单纯形法 作业
对偶现象 对偶现象 对偶现象是一种广泛存在的现象。 自然界
禽之双翅、人之双手、车之双轮、河之双岸等； 生死、昼夜、明暗、冷热、日月、上下、雄雌、离合。
思想领域
周易：“乾道成男，坤道成女；乾知大始，坤作成物”； 老子：“有无相生，难易相成；长短相形，高下相倾”； 诗式：“夫对者，...... 盖天地自然之数”； 哲学：对立统一 等。
对偶模型 对偶性质 对偶单纯形法 作业
引例 对偶模型
引例 . 第一章例 1-1 的数学模型为： . max Z = 5x1 + 4x2 + 2x3 s.t. 8x1 + 4x2 + 5x3 2x1 + 2x2 + x3 . x1 , x2 , x3 0 320 100 (3-1)
如果把这个 3 变量 2 约束的问题叫做 原问题，则其 对偶问题 是 min W = 320y1 + 100y2 s.t. 8y1 + 2y2 5 4y1 + 2y2 5y1 + y2 y1 0, y2 4 2 0 (3-2)
运筹学的优化算法共201页PPT
运筹学的优化算法
11、获得的成功越大，就越令人高兴 。野心 是使人 勤奋的 原因， 节制使 人枯萎 。 12、不问收获，只问耕耘。如同种树 ，先有 根茎， 再有枝 叶，尔 后花实 ，好好 劳动， 不要想 太多， 那样只 会使人 胆孝懒 惰，因 为不实 践，甚 至不接 触社会 ，难道 你是野 人。(名 言网) 13、不怕，不悔(虽然只有四个字，但 常看常 新。 14、我在心里默默地为每一个人祝福 。我爱 自己， 我用清 洁与节 制来珍 惜我的 身体， 我用智 慧和知 识充实 我的头 脑。 15、这世上的一切都借希望而完成。 农夫不 会播下 一粒玉 米，如 果他不 曾希望 它长成 种籽； 单身汉 不会娶 妻，如 果他不 曾希望 有小孩 ；商人 或手艺 人不会 工作， 如果他 不曾希 望因此 而有收
❖ 知识就是财富 ❖ 丰富你的人生
71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
11、获得的成功越大，就越令人高兴 。野心 是使人 勤奋的 原因， 节制使 人枯萎 。 12、不问收获，只问耕耘。如同种树 ，先有 根茎， 再有枝 叶，尔 后花实 ，好好 劳动， 不要想 太多， 那样只 会使人 胆孝懒 惰，因 为不实 践，甚 至不接 触社会 ，难道 你是野 人。(名 言网) 13、不怕，不悔(虽然只有四个字，但 常看常 新。 14、我在心里默默地为每一个人祝福 。我爱 自己， 我用清 洁与节 制来珍 惜我的 身体， 我用智 慧和知 识充实 我的头 脑。 15、这世上的一切都借希望而完成。 农夫不 会播下 一粒玉 米，如 果他不 曾希望 它长成 种籽； 单身汉 不会娶 妻，如 果他不 曾希望 有小孩 ；商人 或手艺 人不会 工作， 如果他 不曾希 望因此 而有收
❖ 知识就是财富 ❖ 丰富你的人生
71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
2019运筹学与最优化方法.ppt
x2y2+
…+
xnyn
x , y 的距离： ‖x-y ‖= [(x-y)T(x-y)](1/2)
x 的长度： ‖x‖= [ xTx ](1/2)
三角不等式： ‖x + y ‖≤‖x‖＋‖y‖
x
x+y
y
点列的收敛：设点列｛x(k)｝
Rn ,
x Rn
点列｛x(k)｝收敛到 x ，记
lim
k
x(k)
一阶中值公式：对x, , 使
f (x) = f (x*)+ ［f (x*+(x-x*))]T(x-x*)
Lagrange余项：对x, , 记xx*+ (x-x*)
f (x) = f (x*)+ f T(x)(x-x*) + (1/2)(x-x*)T 2f (x )(x-x*)
1 ）提出问题：目标、约束、决策变量、参数 2 ）建立模型：变量、参数、目标之间的关系
表示 3 ）模型求解：数学方法及其他方法 4 ）解的检验：制定检验准则、讨论与现实的
一致性 5 ）灵敏性分析：参数扰动对解的影响情况 6 ）解的实施：回到实践中 7 ）后评估：考察问题是否得到完满解决
四、运筹学模型的构造思路及评价
第一章 其它基础知识
复习下列知识：
线性代数的有关概念：向量与矩 阵的运算、向量的线性相关和线 性无关，矩阵的秩，正定、半正 定矩阵，线性空间等；
集合的有关概念：开集、闭集， 集合运算，内点、边界点等。
2f (x)=
2f /x1 2
2f /x1 x2
…
2f /x1 xn
2f /x2 x1 … 2f /xn x1
华南理工大学最优化理论实验及案例
优化设计案例
单级直齿圆柱齿轮减速器的优化设计
圆柱螺旋压缩弹簧的优化设计
➢ 由于优化函数要求目标函数和约束条件满足一定的格式， 所以用户在使用优化工具箱进行模型输入时需要注意以下 问题：
➢ （1）优化函数fminbnd、fminsearch、fminunc、fmincon、 fgoalattain、fminmax和lsqnonlin都要求目标函数最小化， 如果优化问题要求目标函数最大化，可以通过使该目标函 数的负值最小化即-f(x)最小化来实现。
➢ 利用MATLAB的优化工具箱（Optimization Toolbox），可 以求解线性规划、非线性规划和多目标规划问题，具体包 括线性、非线性最小化，最大最小化，二次规划，半无限 问题，线性、非线性方程（组）的求解，线性、非线性的 最小二乘问题。另外，该工具箱还提供了线性、非线性最 小化，方程求解，曲线拟合，二次规划等问题中大型课题 的求解方法，为优化方法在工程中的实际应用提供了方便 快捷的途径。
➢ （2）优化工具箱要求非线性不等式约束的形式为Ci(x)≤0， 通过对不等式取负可使大于零的约束形式变为小于零的不 等式约束形式，如Ci(x)≥0形式的约束等价于-Ci(x)≤0； Ci(x)≥b形式的约束等价于-Ci(x)+b≤0。
பைடு நூலகம்
➢一维优化方法实验
➢ 无约束多维优化实验
➢ 有约束多维优化实验
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
的最优解S(k)和最优值
(k +1) (k ) (k )
q(S(k) )
(k + 1) (k )
) f (X = X + S 若 f (X (3)令 X 取 X * = X (k+1) ,停止,否则转(4) (4)计算 f = f (X (k) ) f (X (k+1) ), q = f (X (k) ) q(S(k) ) 1/ 2k ..若 f < 0.1q 令
第三章
无约束非线性规划
3.4 信赖域法, Matlab解无约束非线性规划
一.信赖域法: 1.思想: 1) 前两节方法的结构原理为用二次模型产生下降方 向,在下降方向上确定可接受的步长,得到新迭代点. 若二次模型不近似原目标函数,则在搜索方向上无 法找到满意的下降迭代点. 能否先指定步长的界,再用二次模型确定方向和步 长? *注:保证在下近似,可使f(x)与 二次模
y(1) = x +α(x xmax )
2 扩展:给定扩展系数 >1,计算.(加速) 扩展:给定扩展系数γ 计算.(加速) 计算.(加速
y(2) = x +γ ( y(1) x)
3.5 直接算法
一, 2,改进单纯形法: (续) ,改进单纯形法: (1)若f(y(1))<f(x min), 则 若 那么y 取代x 否则, 取代x 若f(y(1))> f(y(2)), 那么 (2)取代 max; 否则, y(1)取代 max (2)若max{f(x(i))| x(i) ≠x max } ≥ f(y(1)) ≥ f(x min), y(1)取代 max . 取代x 若 3° 收缩:若f(x max )> f(y(1)) > f(x(i)), x(i) ≠x max ,计算 ° 收缩: 计算
y(ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ) = x + β ( y(1) x)
β ∈(0,1) 以y(3)取代 max . ,以 取代x
4 ° 减半:若f(y(1)) > f(x max ), 重新取各点,使 减半: 重新取各点, x(i)= x min +1 2(x(i) - x min ) 得到新单纯形. 得到新单纯形. 经验上: 经验上:α=1,0.4≤β≤0.6, 2.3≤γ≤3.0 . 有人建议:α=1, β=0.5, γ=2 . 有人建议 , 算法停机准则取: 算法停机准则取:
1 n (i) x = (∑x xmax ) n i=0 取 (n+1)为 max关 x的 射 : (n+1) = x + (x xmax ) x x 于 反 点 x
去掉x 加入x 得到新的单纯形. 去掉 max,加入 (n+1)得到新的单纯形. 重复上述过程. 重复上述过程.
3.5 直接算法
0 k +1 = k .若 .1 q ≤ f ≤ 0.75q 2 若 f > 0.75q k
) ≤ε
4.5信赖域法,Matlab解无约束非线性规划
(5)取
γ kγ kT BkδkδkT Bk Bk+1 = Bk + T T γ k δk δk Bkδk
(6)k=k+1 ,转(2).
3.4 信赖域法,Matlab解无约束非线性规划
1 3 q ≤ f ≤ q 10 4
则令
k +1 = k
再确定Bk+1 ,开始下一步的迭代.
4.5信赖域法,Matlab解无约束非线性规划
2.算法(P62) (1) (1)取初值 X 和初始矩阵 B = I ,取定 k , k =1 1 1 T (2)求解 (k ) T (k )
min q(S) = S Bk S +f ( X ) S + f ( X ) S ≤k 2
y
3.5 直接算法
二,1,基本思想与主要过程: (续) ,基本思想与主要过程:
即每一个坐标方向的移动都失败), ),减小 ②若y(n)= y(0) (即每一个坐标方向的移动都失败),减小 αk ,重复上述过程. 重复上述过程. 当进行到α 充分小( 终止计算. ③当进行到 k充分小( αk <ε )时,终止计算.最新的 迭 代点x 为解. 代点 (k)为解. 例: y(0) y(2)=x(2) y(1) y(1) y(0) y(2)=x(3) y(2)=x(5) y(0) y(1) y(1)
例2 求解
min f (x) = exp[4x1 + 2x22 + 4x1x2 + 2x2 +1]
x∈R
x0 = [1,1]; options[]
得最优解:x=0.5000-1.000 :x=0.5000-1.000 键入y=options(8) 得最优值y=1.3030e-010 键入options(10) 得迭代次数ans=36.
型更接近.
3.4 信赖域法,Matlab解无约束非线性规划
2) 设第k 次迭代时已有 X
(k )
2 (k ) 为 f ( X )的近似矩阵, 令 1 T q(s) = S Bk S +f ( X (k ) )T S + f ( X (k ) ) 2 则 (k )
与步长界 k ,以及对称正定矩阵 Bk
i<n?
yes
i=i+1
1
2
3.5 直接算法
二,2,算法: (续) ,算法: 续
1
yes f1<f ? No y(n)=x? Yes Yes α<ε ? No α=0.1 α 停;x为解 No 2
ㄡ =y(n), y(0)=2ㄡ -x x=ㄡ ,f=f(x)
y(0)=x
�
3.5 直接算法
二,1,基本思想与主要过程: (续) ,基本思想与主要过程:
=y(i)+ e(i+1) y )<f(y(i)), 则 y(i+1) = y 否则 y(i+1) = y(i) 最后得到y 最后得到 (n) . 若f(y(n) )<f(x(k)), 令x(k+1)=y(n). 2°模式性移动: °模式性移动: x(k+1) - x(k)为一个有前途的方向,取 为一个有前途的方向, y(0)= x(k+1) +(x(k+1) - x(k))=2 x(k+1) - x(k) [f(y(0))<f(x(k+1) )?] 3 °几点措施: 几点措施: 若探测性移动得到y ①若探测性移动得到 (n)使f(y(n) ) ≥f(x(k)), 则跳过模式性移动 而令y 重新进行探测性移动,初始y 而令 (0)=x(k) 重新进行探测性移动,初始 (0)=x(1) ; 否则取 若f(
1 n [ f (x(i) ) f (xmin )]2 < ε ∑ n +1 i=0
3.5 直接算法
二,模式搜索法: Hooke & Jeeves 1961 模式搜索法: 1,基本思想与主要过程: ,基本思想与主要过程: △利用两类移动(探测性移动和模式性移动)进行一步迭代: 利用两类移动(探测性移动和模式性移动)进行一步迭代: 探测性移动的目的: 探测性移动的目的:探求一个沿各坐标方向的新点并得到 有前途"的方向; 一 个"有前途"的方向; 模式性移动的目的:沿上述"有前途"方向加速移动. 模式性移动的目的:沿上述"有前途"方向加速移动. 主要过程: 步迭代, △主要过程:第k步迭代,设已得到 (k) 步迭代 设已得到x 1°探测性移动: °探测性移动: 给定步长α 设通过模式性移动得到y 给定步长 k ,设通过模式性移动得到 (0), 依次沿各坐标方向e 依次沿各坐标方向 (i)=(0, …,1,0, …,0)T i 移动α 步长: 移动 k步长:i=0,1, …,n-1 , y=y(i)+ e(i+1) y(i+1) = y 若f( y )<f(y(i)), 则
[x, options] = f m u(' fun' , x0 , options) in
第三章 无约束最优化
3.5 直接算法 min f(x) 一,单纯形法及可变多面体算法 1,单纯形法基本思路: ,单纯形法基本思路: 个点构成的一个当前的单纯形. 设 x(0),x(1),…, x(n)是R n中n+1个点构成的一个当前的单纯形. 个点构成的一个当前的单纯形 比较各点的函数值得到: 比较各点的函数值得到:x max,x min使 f( x max)=max{f(x(0)),f(x(1)), …,f(x(n))} f( x min)=min{f(x(0)),f(x(1)), …,f(x(n))} 取单纯形中除去x 点外,其他各点的形心: 取单纯形中除去 max点外,其他各点的形心:
二.Matlab解无约束非线性规划问题 m ex + x2} 例1.求解 in{ (1)编写M文件: funtionf = fun(x)
f = ex x) + x^2 p(
(2)调用优化程序,输入x=1 x=fmin('fun',x) y=fun(x) enter 输出: 最优解x=0.3517 最优值y=0.8272
一,1,单纯形法基本思路: (续) ,单纯形法基本思路:
几点注意: 几点注意: 又是新单纯形的最大值点时,取次大值点进行反射; ⑴当x(n+1)又是新单纯形的最大值点时,取次大值点进行反射; ⑵若某一个点x′出现在连续m个单纯形中的时候,取各点与x′ 个单纯形中的时候, 连线的中点(n个)与x′点构成新的单纯形,继续进行. 连线的中点( 点构成新的单纯形,继续进行. 经验上取 m≥ 1.65n+0.05n2 例如:n=2时,可取m≥ 1.65× 2+0.05× 4 =3.5 例如: 可取 m=4.