高中数学北师大版高二必修5_第一章4_数列在日常经济生活中的应用_作业2_word版含解析
高中数学第一章数列 数列在日常经济生活中的应用学案含解析北师大版必修5
§4数列在日常经济生活中的应用知识点一零存整取模型[填一填](1)单利：单利的计算是仅在原有本金上计算利息,对本金所产生的利息不再计算利息,其公式为利息＝本金×利率×存期．若以P代表本金,n代表存期,r代表利率,S代表本金和利息和(以下简称本利和),则有S＝P(1＋nr)．(2)复利：把上期末的本利和作为下一期的本金,在计算时每一期本金的数额是不同的．复利的计算公式是S＝P(1＋r)n.[答一答]1．简单总结一下本节课中几种模型的规律方法．提示：(1)银行存款中的单利是等差数列模型,本息和公式为S＝P(1＋nr)．(2)银行存款中的复利是等比数列模型,本利和公式为S＝P(1＋r)n.(3)产值模型：原来产值的基础数为N,平均增长率为P,对于时间x的总产值y＝N(1＋P)x.(4)分期付款模型：a为贷款总额,r为年利率,b为等额还款数,则b＝r(1＋r)n a (1＋r)n－1.知识点二数列知识的实际应用及解决问题的步骤[填一填](1)数列知识有着广泛的应用,特别是等差数列和等比数列．例如银行中的利息计算,计算单利时用等差数列,计算复利时用等比数列,分期付款要综合运用等差、等比数列的知识．(2)解决数列应用题的基本步骤为：①仔细阅读题目,认真审题,将实际问题转化为数列模型；②挖掘题目的条件,分析该数列是等差数列,还是等比数列,分清所求的是项的问题,还是求和问题；③检验结果,写出答案．[答一答]2．数列应用题中常见模型是哪些？ 提示：等差模型和等比模型．1．数列实际应用题的解题策略解等差、等比数列应用题时,首先要认真审题,深刻理解问题的实际背景,理清蕴含在语言中的数学关系,把应用问题抽象为数学中的等差、等比数列问题,然后求解．2．处理分期付款问题的注意事项(1)准确计算出在贷款全部付清时,各期所付款额及利息(注：最后一次付款没有利息)． (2)明确各期所付的款以及各期所付款到最后一次付款时所产生的利息之和等于商品售价及从购买到最后一次付款时的利息之和,只有掌握了这一点,才可以顺利建立等量关系．类型一 单利计算问题【例1】 有一种零存整取的储蓄项目,它是每月某日存入一笔相同的金额,这是零存；到约定日期,可以提出全部本金及利息,这是整取．它的本利和公式如下：本利和＝每期存入金额×⎣⎡⎦⎤存期＋12存期×(存期＋1)×利率. (1)试解释这个本利和公式；(2)若每月初存入100元,月利率5.1‰,到第12个月底的本利和是多少？(3)若每月初存入一笔金额,月利率是5.1‰,希望到第12个月底取得本利和2 000元,那么每月应存入多少金额？【思路探究】 存款储蓄是单利计息,若存入金额为A ,月利率为P ,则n 个月后的利息是nAP .【解】 (1)设每期存入金额A ,每期利率P ,存入期数为n ,则各期利息之和为 AP ＋2AP ＋3AP ＋…＋nAP ＝12n (n ＋1)AP .连同本金,就得：本利和＝nA ＋12n (n ＋1)AP ＝A ⎣⎡⎦⎤n ＋12n (n ＋1)P . (2)当A ＝100,P ＝5.1‰,n ＝12时,本利和＝100×⎝⎛⎭⎫12＋12×12×13×5.1‰＝1 239.78(元)． (3)将(1)中公式变形得 A ＝本利和n ＋12n (n ＋1)P＝ 2 00012＋12×12×13×5.1‰≈161.32(元)．即每月应存入161.32元．规律方法 单利的计算问题,是等差数列模型的应用．王先生为今年上高中的女儿办理了“教育储蓄”,已知当年“教育储蓄”存款的月利率是2.7‰.(1)欲在3年后一次支取本息合计2万元,王先生每月大约存入多少元？(2)若教育储蓄存款总额不超过2万元,零存整取3年期教育储蓄每月至多存入多少元？此时3年后本息合计约为多少元？(精确到1元)解：(1)设王先生每月存入A 元,则有A (1＋2.7‰)＋A (1＋2×2.7‰)＋…＋A (1＋36×2.7‰)＝20 000,利用等差数列前n 项和公式,得A ⎝⎛⎭⎫36＋36×2.7‰＋36×352×2.7‰＝20 000,解得A ≈529元．(2)由于教育储蓄的存款总额不超过2万元,所以3年期教育储蓄每月至多存入20 00036≈555(元),这样,3年后的本息和为：555(1＋2.7‰)＋555(1＋2×2.7‰)＋…＋555(1＋36×2.7‰)＝555⎝⎛⎭⎫36＋36×2.7‰＋36×352×2.7‰≈20 978(元)．类型二 关于复利模型问题【例2】 小张为实现“去上海,看世博”的梦想,于2005年起,每年2月1日到银行新存入a 元(一年定期),若年利率r 保持不变,且每年到期存款自动转为新的一年定期,到2010年2月1日,将所有存款及利息全部取回,试求他可以得到的总钱数．【思路探究】 由题意知,本题为定期自动转存问题,应为等比数列前n 项和的模型． 【解】 依题意每一年的本息和构成数列{a n },则2005年2月1日存入的a 元钱到2006年1月31日所得本息和为a 1＝a (1＋r )．同理,到2007年1月31日所得本息和为 a 2＝[a (1＋r )＋a ](1＋r )＝a (1＋r )2＋a (1＋r ), 到2008年1月31日所得本息和为[a (1＋r )2＋a (1＋r )＋a ](1＋r )＝a (1＋r )3＋a (1＋r )2＋a (1＋r ), 到2009年1月31日所得本息和为[a (1＋r )3＋a (1＋r )2＋a (1＋r )＋a ](1＋r )＝a (1＋r )4＋a (1＋r )3＋a (1＋r )2＋a (1＋r ), 到2010年1月31日所得本息和为[a (1＋r )4＋a (1＋r )3＋a (1＋r )2＋a (1＋r )＋a ](1＋r )＝a (1＋r )5＋a (1＋r )4＋a (1＋r )3＋a (1＋r )2＋a (1＋r ),所以2010年2月1日他可取回的钱数为a (1＋r )5＋a (1＋r )4＋a (1＋r )3＋a (1＋r )2＋a (1＋r )＝a ·(1＋r )[1－(1＋r )5]1－(1＋r )＝ar [(1＋r )6－(1＋r )](元)．规律方法 本例主要考查阅读理解能力,这里关键是每年2月1日又新存入a 元,因此每年到期时所得钱的本息和组成一个等比数列前n 项和模型．某牛奶厂2013年初有资金1 000万元,由于引进了先进生产设备,资金年平均增长率可达到50%.每年年底扣除下一年的消费基金后,余下的资金投入再生产．这家牛奶厂每年应扣除多少消费基金,才能实现经过5年资金达到2 000万元的目标？解：设这家牛奶厂每年应扣除x 万元消费基金． 2013年底剩余资金是1 000(1＋50%)－x ；2014年底剩余资金是[1 000(1＋50%)－x ]·(1＋50%)－x ＝1 000(1＋50%)2－(1＋50%)x －x ；……5年后达到资金1 000(1＋50%)5－(1＋50%)4x －(1＋50%)3x －(1＋50%)2x －(1＋50%)x ＝2 000, 解得x ＝459(万元)． 类型三 分期付款模型【例3】 用分期付款的方式购买一件家用电器,其价格为1 150元．购买当天先付150元,以后每月这一天都交付50元,并加付欠款的利息,月利率为1%,分20次付完．若交付150元以后的第1个月开始算分期付款的第1个月,问：分期付款的第10个月需交付多少钱？全部贷款付清后,买这件家电实际花了多少钱？【思路探究】 构建等差数列模型,利用等差数列的前n 项和公式求解．【解】 购买时付款150元,欠1 000元,以后每月付款50元,分20次付清．设每月付款数顺次构成数列{a n },则a 1＝50＋1 000×1%＝60,a 2＝50＋(1 000－50)×1%＝59.5＝60－0.5×1, a 3＝50＋(1 000－50×2)×1%＝59＝60－0.5×2, ……a 10＝50＋(1 000－50×9)×1%＝55.5＝60－0.5×9, 则a n ＝60－0.5(n －1)＝－0.5n ＋60.5(1≤n ≤20)． 所以数列{a n }是以60为首项,－0.5为公差的等差数列,所以付款总数为S 20＋150＝20×60＋20×192×(－0.5)＋150＝1 255(元)．所以第10个月需交55.5元,全部付清实际花了1 255元．规律方法 解题时务必要注意第一次付款的利息是1 000元欠款的利息,而不是950元的利息,而最后一次付款的利息是50元欠款的利息．某人在2015年年初向银行申请个人住房公积金贷款20万元购买住房,月利率为3.375‰,按复利计算,每月等额还贷一次,并从贷款后的次月初开始还贷．如果10年还清,那么每月应还贷多少元？(参考数据：1.003 375120≈1.498 28)解：方法一：由题意知借款总额a ＝200 000(元),还款次数n ＝12×10＝120, 还款期限m ＝10(年)＝120(个月), 月利率r ＝3.375‰ .代入公式得,每月还款数额为： 200 000×0.003 375×(1＋0.003 375)120(1＋0.003 375)120－1≈2 029.66.故如果10年还清,每月应还贷约2 029.66元．方法二：设每月应还贷x 元,共付款12×10＝120(次),则有x [1＋(1＋0.003 375)＋(1＋0.003 375)2＋…＋(1＋0.003 375)119]＝200 000×(1＋0.003 375)120,解方程得x ≈2 029.66.故每月应还贷约2 029.66元． 类型四 增长率问题【例4】 从社会效益和经济效益出发,某地投入资金进行生态环境建设,并以此发展旅游业．根据规划,本年度投入800万元,以后每年投入将比上年减少15,本年度当地旅游业收入估计为400万元,由于该项建设对旅游业的促进作用,预计今后的旅游业收入每年会比上年增加14.(1)设n 年内(本年度为第一年)总投入为a n 万元,旅游业总收入为b n 万元,写出a n ,b n 的表达式；(2)至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？【思路探究】 (1)由题设知各年的投入费用及旅游业收入分别构成等比数列,利用等比数列的前n 项和公式易得a n 与b n ；(2)建立a n 与b n 的不等关系,解不等式即得．【解】 (1)第一年投入为800万元,第二年投入为800⎝⎛⎭⎫1－15万元,…,第n 年投入为800⎝⎛⎭⎫1－15n －1万元,各年投入依次构成以800为首项,1－15＝45为公比的等比数列,所以n 年内的总投入为a n ＝800⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫45n 1－45＝4 000－4 000·⎝⎛⎭⎫45n . 第一年旅游业收入为400万元,第二年旅游业收入为400⎝⎛⎭⎫1＋14万元,…,第n 年旅游业收入为400⎝⎛⎭⎫1＋14n －1万元,各年旅游业收入依次构成以400为首项,1＋14＝54为公比的等比数列,所以n 年内的旅游业总收入为b n ＝400⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫54n 1－54＝1 600⎝⎛⎭⎫54n －1 600. (2)设经过n 年旅游业的总收入才能超过总投入,则b n －a n >0,即1 600⎝⎛⎭⎫54n－1 600－4 000＋4 000⎝⎛⎭⎫45n>0,化简得2⎝⎛⎭⎫54n ＋5⎝⎛⎭⎫45n－7>0.设⎝⎛⎭⎫45n＝x ,代入上式得5x 2－7x ＋2>0,根据二次函数y ＝5x 2－7x ＋2的图像解此不等式, 得x <25或x >1(舍去),即⎝⎛⎭⎫45n <25,由此得n ≥5.故至少经过5年旅游业的总收入才能超过总投入．规律方法 当问题中涉及的各量依次以相同的倍数变化时,则考虑构建等比数列模型．其解题步骤为：(1)由题意构建等比数列模型(有时需要从特殊情况入手,归纳总结出一般规律,进而构建等比数列模型)；(2)确定其首项a 1与公比q ,分清是求第n 项a n ,还是求前n 项和S n ； (3)利用等比数列的通项公式及前n 项和公式求解； (4)经过检验得出实际问题的答案．某商场出售甲、乙两种不同价格的笔记本电脑,其中甲商品因供不应求,连续两次提价10%,而乙商品由于外观过时而滞销,只得连续两次降价10%,最后甲、乙两种电脑均以9 801元售出．若商场同时售出甲、乙电脑各一台,与价格不升不降比较,商场赢利情况是少赚598元．解析：设甲原价是m 元,则m (1＋10%)2＝9 801⇒m ＝9 8011.21,设乙原价是n 元,则n (1－10%)2＝9 801⇒n ＝9 8010.81.(m ＋n )－2×9 801＝9 801×⎝⎛⎭⎫11.21＋10.81－19 602＝9 801× 2.021.21×0.81－19 602＝20 200－19 602＝598.——多维探究系列——数列中的探索性问题探索性问题是一种具有开放性和发散性的问题,此类题目的条件或结论不完备,要求考生自己去探索,结合已知条件,进行观察、分析、比较和概括．它对考生的数学思想、数学意识及综合运用数学方法解决问题的能力提出了较高的要求．这类问题不仅考查考生的探索能力,而且给考生提供了创新思维的空间,所以备受高考的青睐,是高考重点考查的内容．探索性问题一般可以分为：条件探索性问题、规律探索性问题、结论探索性问题、存在探索性问题等．【例5】 已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和,S 4,S 2,S 3成等差数列,且a 2＋a 3＋a 4＝－18. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)是否存在正整数n ,使得S n ≥2 013？若存在,求出符合条件的所有n 的集合；若不存在,说明理由．【思路分析】 (1)根据已知条件得出关于a 1,q 的方程组,求解即可；(2)只需表示出前n 项和,解指数不等式．【规范解答】 (1)设等比数列{a n }的公比为q ,则a 1≠0,q ≠0.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ S 2－S 4＝S 3－S 2，a 2＋a 3＋a 4＝－18，即⎩⎪⎨⎪⎧－a 1q 2－a 1q 3＝a 1q 2，a 1q (1＋q ＋q 2)＝－18，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，q ＝－2.故数列{a n }的通项公式为a n ＝3×(－2)n －1. (2)由(1)有S n ＝3[1－(－2)n ]1－(－2)＝1－(－2)n .若存在n ,使得S n ≥2 013,则1－(－2)n ≥2 013, 即(－2)n ≤－2 012.当n 为偶数时,(－2)n >0,上式不成立；当n 为奇数时,(－2)n ＝－2n ≤－2 012,即2n ≥2 012,则n ≥11.综上,存在符合条件的正整数n ,且n 的集合为{n |n ＝2k ＋1,k ∈N ,k ≥5}．【名师点评】 求解此类题需要同学们熟练运用公式和相关概念来构建方程(组),进而求得数列的通项．本例题的难点在于对不等式2n ≥2 012的求解及对n 的奇偶性的讨论．建议熟记2的1～10次幂的值．已知数列{a n }中,a 1＝1,且点P (a n ,a n ＋1)(n ∈N ＋)在直线x －y ＋1＝0上． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1a n,S n 表示数列{b n }的前n 项和,试问：是否存在关于n 的关系式g (n ),使得S 1＋S 2＋S 3＋…＋S n －1＝(S n －1)·g (n )对于一切不小于2的自然数n 恒成立？若存在,写出g (n )的解析式,并加以证明；若不存在,试说明理由．解：(1)由点P (a n ,a n ＋1)在直线x －y ＋1＝0上, 即a n ＋1－a n ＝1,且a 1＝1,即数列{a n }是以1为首项,1为公差的等差数列． 则a n ＝1＋(n －1)×1＝n (n ∈N ＋)．(2)假设存在满足条件的g (n ), 由b n ＝1n ,可得S n ＝1＋12＋13＋…＋1n ,S n －S n －1＝1n (n ≥2),nS n －(n －1)S n －1＝S n －1＋1, (n －1)S n －1－(n －2)S n －2＝S n －2＋1, …2S 2－S 1＝S 1＋1.以上(n －1)个等式等号两端分别相加得 nS n －S 1＝S 1＋S 2＋S 3＋…＋S n －1＋n －1,即S 1＋S 2＋S 3＋…＋S n －1＝nS n －n ＝n (S n －1),n ≥2.令g (n )＝n ,故存在关于n 的关系式g (n )＝n ,使得S 1＋S 2＋S 3＋…＋S n －1＝(S n －1)·g (n )对于一切不小于2的自然数n 恒成立．一、选择题1．有一种细菌和一种病毒,每个细菌在每秒钟末能在杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个,现在有一个这样的细菌和100个这样的病毒,问细菌将病毒全部杀死至少需要( B )A ．6秒钟B ．7秒钟C ．8秒钟D ．9秒钟解析：依题意,得1＋21＋22＋…＋2n －1≥100, ∴1－2n 1－2≥100,∴2n ≥101,∴n ≥7, 则所求为7秒钟．2．某林厂年初有森林木材存量S 立方米,木材以每年25%的增长率生长,而每年末都砍伐固定的木材量x 立方米,为实现经过两次砍伐后的木材的存量增加50%,则x 的值是( C )A.S 32B.S 34C.S 36D.S 38解析：一次砍伐后木材的存量为S (1＋25%)－x ； 二次砍伐后木材存量为[S (1＋25%)－x ](1＋25%)－x ＝2516S －54x －x ＝S (1＋50%),解得x ＝S 36. 3．某工厂2013年年底制订生产计划,要使工厂的年总产值到2023年年底在原有基础上翻两番,则年总产值的平均增长率为( A )A ．4110－1B ．5110－1C ．3110－1D ．4111－1二、填空题4．一个工厂的生产总值月平均增长率是p ,那么年平均增长率为(1＋p )12－1.解析：一年12个月,故1月至12月产值构成公比为1＋p 的等比数列,设去年年底产值为a ,∴a 12＝a (1＋p )12,∴年平均增长率为a (1＋p )12－aa＝(1＋p )12－1.5．今年,某公司投入资金500万元,由于坚持改革、大胆创新,以后每年投入资金比上一年增加30%,那么7年后该公司共投入资金5 0003(1.37－1)万元．解析：设第n 年投入的资金为a n 万元, 则a n ＋1＝a n ＋a n ×30%＝1.3a n ,则a n ＋1a n＝1.3,所以数列{a n }是首项为500,公比为1.3的等比数列,所以7年后该公司共投入资金S 7＝a 1(1－q 7)1－q ＝500×(1－1.37)1－1.3＝5 0003(1.37－1)(万元)．。
高二数学北师大版必修5教学教案1-4数列在日常经济生活中的应用(1)Word版含解析(1)
数列在日常经济生活中的作用——分期付款教学设计◆教材分析《数列在日常经济生活中的作用》选自《普通高中课程标准实验教科书·数学（必修5）》（北师大版）第一章第四节。
等差数列和等比数列是日常经济生活中重要的数学模型，有着广泛的应用。
例如存款、贷款和购物分期付款等问题都与之相关。
教材以实例出发，调动学生学习，体会到数学在解决实际问题中的作用，体验数学与日常生活的联系。
在日常生活中学会运用数学知识和方法建立数学模型、解决实际问题。
购物是每个人经济生活中最基本的活动，分期付款也是越来越多人的选择。
因此，理解和掌握分期付款中的相关计算十分重要。
◆学情分析在此堂课前学生已经学习了等差数列和等比数列，会求其前n项和。
大部分学生在日常生活中已经接触过分期付款，但没有将其与数列知识简历联系。
高一学生有一定的建立数学模型能力，但应用的意识淡薄，不能根据实际问题的特征，正确地建立数学模型并解决问题。
◆教学目标➢知识与技能（1）掌握每期等额分期付款与到期一次性付款间的关系；（2）会应用等比数列的知识体系解决分期付款中的有关计算。
➢过程与方法（1）通过探究“分期付款”这一日常经济生活中的实际问题，体会数列知识在现实生活中的应用；（2）感知应用数学知识建立数学模型解决实际问题的方法。
➢情感、态度与价值观（1）体会数列与日常经济生活紧密相关；（2）体会生活中处处有数学，从而激发学生学习的积极性，提高数学学习兴趣和信心。
◆教学重点（1）建立分期付款数学模型，并用于解决实际问题；（2）理解分期付款的优、缺点。
◆教学难点在实际情境中发现并建立“分期付款”数学模型◆主要教学方法启发式教学法◆授课类型新授课◆教具多媒体◆教学过程✧创设情景、引入新课淘宝“花呗”分期付款问题从购买手机入手，给学生展示淘宝购物页面“分期付款（可选）”一栏。
【师生互动】:教师引出购买手机和其他价格较高物品的问题，学生讨论如何购买，展示淘宝购物页面截图。
高中数学北师大版必修五1.4【教学设计】《数列在日常经济生活中的应用 》
《数列在日常经济生活中的应用》等差数列、等比数列是日常经济生活中的重要数学模型，在科学技术和日常生活中有着广泛的应用。
例如存款、贷款、购物(房、车)分期付款、保险 、资产折旧等问题都与其相关。
著名的马尔萨斯人口论，把粮食增长喻为等差数列，而把人口增长喻为等比数列。
这些科学事实和生活实例都有助于我们认识和理解数列知识。
【知识与能力目标】通过探究“零存整取”“定期自动转存”及“分期付款”等日常生活中的实际问题，体会等差数列、等比数列知识在现实生活中的应用。
【过程与方法目标】通过具体问题情境，主动思考，互相交流，共同讨论，总结概括，发现并建立等差数列、等比数列数学模型，会利用它解决一些存款问题，感受等差数列、等比数列的广泛应用。
【情感态度价值观目标】通过本节学习，让学生感受生活中处处有数学，从而激发学习的积极性，提高数学学习的兴趣和信心。
【教学重点】建立“零存整取”“定期自动转存”“分期付款”三个数学模型，并用于解决实际问题。
【教学难点】在实际问题情境中，发现并建立以上三个模型。
电子课件调整、相应的教具带好、熟悉学生名单、电子白板要调试好。
一、导入部分一位中国老太太与一位美国老太太相遇。
美国老太太说，她住了一辈子的宽敞房子，也辛苦了一辈子，昨天刚还清了银行的住房贷款；而中国老太太却叹息地说，她三代同堂一辈子，昨天刚把买房的钱攒足。
教师进一步指出：我国现代都市人的消费观念正在变迁，花明天的钱圆今天的梦对我们已不再陌生，许多年轻人过起了名副其实的“负翁”生活，贷款购物，分期付款已深入我们的生活。
但是面对商家和银行提供的各种分期付款服务，我们究竟选择什么样的方式好呢？二、研探新知，建构概念教材整理数列在日常经济生活中的应用阅读教材P32～P34例3以上部分，完成下列问题。
1．三种常见的应用模型(1)零存整取：每月定时存入一笔相同数目的现金，这是零存；到约定日期，可以取出全部本利和，这是整取，规定每次存入的钱不计复利(暂不考虑利息税)。
2021-2022学年高中数学北师大版必修5作业：1.4 数列在日常经济生活中的应用
课时分层作业(十) 数列在日常经济生活中的应用(建议用时：60分钟)一、选择题1．某工厂总产值月平均增长率为p ，则年平均增长率为( )A ．pB ．12pC ．(1＋p )12D ．(1＋p )12－1D [设原有总产值为a ，年平均增长率为r ，则a (1＋p )12＝a (1＋r )，解得r ＝(1＋p )12－1，故选D ．]2．我国古代数学名著《增删算法统宗》中有如下问题：“一个公公九个儿，若问生年总不知，知长排来争三岁，其年二百七岁期，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推”大致意思是：一个公公九个儿子，若问他们的生年是不知道的，但从老大的开始排列，后面儿子比前面儿子小3岁，九个儿子共207岁，问老大是多少岁？( )A ．38B ．35C ．32D ．29B [由题意可知，九个儿子的年龄可以看成以老大的年龄a 1为首项，公差为－3的等差数列，所以9a 1＋9×82×(－3)＝207，解得a 1＝35.]3．我国古代著作《庄子·天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”其含义是：一尺长的木棍，每天截去它的一半，永远也截不完．在这个问题中，记第n 天后剩余木棍的长度为a n ，数列{}a n 的前n 项和为S n ，则使得不等式S n >2 0202 021成立的正整数n 的最小值为( )A ．9B ．10C ．11D ．12C [记第n 天后剩余木棍的长度为a n ，则{}a n 是首项为12，公比为12的等比数列，所以a n ＝12n ，S n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 1－12＝1－12n ，S n 是关于n 的增函数，而S 10＝1－1210＝1 0231 024<2 0202 021，S 11＝1－1211＝2 0472 048>2 0202 021，所以使得不等式S n >2 0202 021成立的正整数n 的最小值为11.]4．如图所示将若干个点摆成三角形图案，每条边(包括两个端点)有n (n >1，n ∈N *)个点，相应的图案中总的点数记为a n ，则a 2＋a 3＋a 4＋…＋a n 等于( )A ．3n 22B ．n (n ＋1)2C ．3n (n －1)2D ．n (n －1)2C [由图案的点数可知a 2＝3，a 3＝6，a 4＝9，a 5＝12，所以a n ＝3n －3，n ≥2， 所以a 2＋a 3＋a 4＋…＋a n＝(n －1)(3＋3n －3)2＝3n (n －1)2．] 5．一套共7册的书计划每两年出一册，若出完全部，各册书公元年代之和为13 958，则出版这套书的年份是( )A ．1994B ．1996C ．1998D ．2000D [设出齐这套书的年份是x ，则(x －12)＋(x －10)＋(x －8)＋…＋x ＝13 958， ∴7x －7(12＋0)2＝13 958，解得x ＝2 000．] 二、填空题6．某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次(一个分裂为两个)，经过3小时，这种细菌由1个可繁殖成________．512 [由题意知a 1＝1，公比q ＝2，经过3小时分裂9次，∴末项为a 10，则a 10＝a 1·29＝512．]7．根据市场调查预测，某商场在未来10年，计算机销售量从a 台开始，每年以10%的速度增长，则该商场在未来10年大约可以销售计算机总量为________．10a (1．110－1) [由题意知，该商场在未来10年内每年计算机的销售量成等比数列，在未来10年大约可以销售计算机总量为S 10＝a (1－1.110)1－1.1＝10a (1．110－1)台．]8．在“全面脱贫”行动中，贫困户小王2020年1月初向银行借了扶贫免息贷款10 000元，用于自己开设的农产品加工厂的原材料进货，因产品质优价廉，上市后供不应求，据测算每月获得的利润是该月月初投入资金的20%，每月月底需缴纳房租600元和水电费400元，余款作为资金全部用于再进货，如此继续．预计2020年小王的农产品加工厂的年利润为________元．(取1.211＝7.5，1.212＝9)40 000 [设一月月底小王手中有现款为a 1＝(1＋20%)×10 000－1 000＝11 000元，n 月月底小王手中有现款为a n ，n ＋1月月底小王手中有现款为a n ＋1，则a n ＋1＝1.2a n －1 000，即a n ＋1－5 000＝1.2()a n －5 000，所以数列{}a n －5 000是以6 000为首项，1.2为公比的等比数列，a 12－5 000＝6 000×1.211，即a 12＝6 000×1.211＋5 000＝50 000元．年利润为50 000－10 000＝40 000元．]三、解答题9．为保护我国的稀土资源，国家限定某矿区的出口总量不能超过80吨，该矿区计划从2018年开始出口，当年出口a 吨，以后每年出口量均比上一年减少10%．(1)以2018年为第一年，设第n 年出口量为a n 吨，试求a n 的表达式；(2)因稀土资源不能再生，国家计划10年后终止该矿区的出口，问2018年最多出口多少吨？(保留一位小数)参考数据：0．910≈0．35．[解] (1)由题意知每年的出口量构成等比数列，且首项a 1＝a ，公比q ＝1－10%＝0．9，∴a n ＝a ·0．9n －1(n ≥1)．(2)10年的出口总量S10＝a(1－0.910) 1－0.9＝10a(1－0．910)．∵S10≤80，∴10a(1－0．910)≤80，即a≤81－0.910，∴a≤12．3，故2018年最多出口12．3吨．10．学校餐厅每天供应500名学生用餐，每星期一有A，B两种菜可供选择，凡是在星期一选A种菜的，下星期一会有20%的学生改选B种菜；而选B种菜的，下星期一会有30%的学生改选A种菜．用a n，b n分别表示在第n个星期选A的人数和选B的人数，如果a1＝300，求a10和b10．[解]依题意，a n＝0．8a n－1＋0．3b n－1，a n＋b n＝500，∴a n＝0．8a n－1＋0．3(500－a n－1)＝0．5a n－1＋150，∴a n－300＝0．5(a n－1－300)，∴a n－300＝(a1－300)×0．5n－1，又a1－300＝0，则a n－300＝0，即a n＝300，∴a10＝300，b10＝200．1．根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始n个月内累计的需求量S n(万件)近似地满足S n＝n90(21n－n2－5)(n＝1,2，…，12)，按此预测，在本年度内，需求量超过1．5万件的月份是()A．5月、6月B．6月、7月C．7月、8月D．8月、9月C[S n＝n90(21n－n 2－5)＝190(21n2－n3－5n)，∴由a n＝S n－S n－1，得a n＝S n－S n－1＝190(21n 2－n3－5n)－190[21(n－1)2－(n－1)3－5(n－1)]＝190[21(2n －1)－(3n 2－3n ＋1)－5]＝190(－3n 2＋45n －27)，令a n >1．5，解得6<n <9，所以n ＝7,8．]2．夏季高山上气温从山脚起每升高100 m 就会降低0．7 ℃，已知山顶气温为14．1 ℃，山脚气温是26 ℃，那么此山相对于山脚的高度是( )A ．1 500 mB ．1 600 mC ．1 700 mD ．1 800 mC [由题意知气温值的变化构成了以26 ℃为首项，公差为－0．7 ℃的等差数列，记此数列为{a n }，a 1＝26 ℃，d ＝－0．7 ℃，∴14．1＝26＋(n －1)×(－0．7)，解得n ＝18，∴此山相对于山脚的高度为100×(18－1)＝1 700(m)．]3．某单位拿出一定的经费奖励科研人员，第一名得全部资金的一半多一万元，第二名得剩下的一半多一万元，以名次类推都得剩下的一半多一万元，到第6名恰好将资金分完，则需要拿出资金________万元．126 [设全部资金和每次发放后资金的剩余额组成一个数列{a n }，则a 1为全部资金，第一名领走资金后剩a 2，a 2＝12a 1－1，…，依次类推，a n ＋1＝12a n －1，∴a n ＋1＋2＝12(a n ＋2)．∴{a n ＋2}是一个等比数列，公比为12，首项为a 1＋2．∴a n ＋2＝(a 1＋2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n -1， ∴a n ＝(a 1＋2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n -1－2． ∴第6名领走资金后剩余为a 7＝(a 1＋2)×⎝ ⎛⎭⎪⎫126－2＝0．∴a 1＝126，即全部资金为126万元．]4．某企业在今年年初贷款a 万元，年利率为γ，从今年年末开始每年偿还一定金额，预计五年内还清，以复利计算，则每年应偿还________万元．aγ(1＋γ)5(1＋r)5－1[设每年偿还x万元，第一年的年末偿还x万元后剩余的贷款为a(1＋γ)－x，第二年的年末偿还x万元后剩余的贷款为[a(1＋γ)－x](1＋r)－x＝a(1＋γ)2－x(1＋γ)－x，…，第五年的年末偿还x万元后剩余的贷款为a(1＋γ)5－x(1＋γ)4－x(1＋γ)3－…－x，由于第5年还清，所以x＋x(1＋γ)＋x(1＋γ)2＋x(1＋γ)3＋x(1＋γ)4＝a(1＋γ)5，∴x＝aγ(1＋γ)5(1＋r)5－1．]5．在一次人才招聘会上，A、B两家公司分别开出了工资标准：经过一番思考，他选择了A公司，你知道为什么吗？[解]。
高中数学北师大版必修5课件：第1章§4《数列在日常经济生活中的应用》
等比数列模型(复利问题)
复利问题的数列模型为等比数列，可利用
等比数列的有关知识灵活求解．
例2
陈老师购买工程集资房 92 m2 ，单价为
1000 元 /m2 ，一次性国家财政补贴 28800 元，学校 补贴 14400 元，余款由个人负担．房地产开发公
司对教师实行分期付款 ( 注① ) ，经过一年付款一
利息，对本金所产生的利息不再计算利息，其公 式为利息＝本金×利率×存期．以符号P代表本 金，n代表存期， r代表利率， S代表本金和利息 和(以下简称本利和)，则有S＝P(1＋nr)．
自挑战1
李先生为今年上高中的儿子办理了
“教育储蓄”．从8月1号开始，每个月的1号都 存入100元，存期三年． (1)已知当年“教育储蓄”存款的月利率是2.7‰.
an＝a1＋(n－1)d 等差数列的通项公式为：___________________ ；
na1＋an nn－1 ＝na1＋ d 前 n 项和公式为 Sn＝_________________________. 2 2
an＋1 ＝q(q≠0，n∈N＋) a n 2．数列{an}为等比数列⇔______________________ ；
n－ 1 a ＝ a q n 1 等比数列的通项公式为：______________ ；
前 n 项和公式为
na1 q＝1 n Sn＝a11－q q≠1 1－q ________________________.
知新益能 1．有关增长率、利率等的计算 增长量 增长前的量 ； (1)增长率＝____________ 购买商品获得的优惠额 商品标价 (2)优惠率＝______________________ ； 利息 存款额 (3)存款利率＝_________.
高中数学 第一部分 第一章 §4 数列在日常经济生活中的应用 北师大版必修5
一、选择题1．计算机的成本不断降低，若每隔3年计算机的成本降低13，现在价格为8 100元的计算机9年后的价格可降为( )A ．2 400B ．900C ．300D ．3 600解析：依题意得8 100×(1－13)3＝8 100×(23)3＝2 400(元)． 答案：A2．现有200根相同的钢管，把它们堆放成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能的少，那么剩余钢管的根数为( )A ．9B ．10C ．19D ．29解析：1＋2＋3＋…＋n ＜200，即n n ＋12＜200.显然n ＝19时，剩余钢管最少，此时最多用去19×202＝190根，剩余10根． 答案：B3．一个工厂的生产总值月平均增长率是p ，那么年平均增长率为( )A ．(1－p )12B ．(1＋p )12C ．(1－p )12－1D ．(1＋p )12－1 解析：设第一年各月份的产值依次为a 1，a 2，…，a 12，则第二年各月份产值依次为a 1(1＋p )12，a 2(1＋p )12，…，a 12(1＋p )12，第一年的年产值S ＝a 1＋a 2＋…＋a 12， 第二年的年产值 S ′＝a 1(1＋p )12＋a 2(1＋p )12＋…＋a 12(1＋p )12.年平均增长率＝S ′－S S ＝(1＋p )12－1. 答案：D4．某种细胞开始时有2个，一小时后分裂成4个并死去1个，两小时后分裂成6个并死去1个，三小时后分裂成10个并死去1个，…，按照这种规律进行下去，100小时后细胞的存活数是________个．( )A ．2100－1B ．2100＋1C ．299－1D ．299＋1 解析：根据题意可得1个，2个，3个，4个，5个…小时后分别有3,5,9,17,33，…观察可知，3＝2＋1,5＝22＋1，9＝23＋1,17＝24＋1,33＝25＋1.所以100小时后细胞存活数为299＋1个．答案：D二、填空题5．我国2005年人口约为13亿，如果每年递增0.2%，则2019年人口为________亿．(不必写出具体值)解析：自2005年起，每年的人口数成等比数列，则2019年人口为13(1＋0.2%)14亿． 答案：13(1＋0.2%)146．某工厂生产一种产品，原计划今年第一季度的产量逐月增加相同的件数，但实际生产中，2月份比原计划多生产了10件，3月份比原计划多生产了25件，这样三个月的产量恰成等比数列，并且3月份的产量只比原计划第一季度总产量的一半少10件，则这个厂第一季度共生产了________件这种产品． 解析：依题意知，原计划每月的产量成等差数列，设为a －d ，a ，a ＋d (d >0)． 由已知得a －d ，a ＋10，a ＋d ＋25成等比数列． ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋102＝a －d a ＋d ＋25，a ＋d ＋25＝12[a －d ＋a ＋a ＋d ]－10， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝90，d ＝10.∴第一季度共生产了(90－10)＋(90＋10)＋(90＋10＋25)＝305件这种产品． 答案：305三、解答题7．陈老师购买安居工程集资房一套需82 000元，一次性国家财政补贴28 800元，学校补贴14 400元，陈老师已有现金28 800元，尚缺10 000元，以月利率为1%，每月以复利计息借贷．陈老师从借贷后第二个月开始以一定金额分6个月付清，试问每月应支付多少元？(参考数据：1.016≈1.062,1.015≈1.051)解：法一：设每个月还贷a 元，第1个月后欠款为a 0元，以后第n 个月还贷a 元后，还剩下欠款a n 元(1≤n ≤6)，则 a 0＝10 000，a 1＝1.01a 0－a ，a 2＝1.01a 1－a ＝1.012a 0－(1＋1.01)a ，……a 6＝1.01a 5－a ＝…＝1.016a 0－[1＋1.01＋…＋1.015]a .由题意可知a 6＝0，即1.016a 0－[1＋1.01＋…＋1.015]a ＝0，a ＝ 1.016×1021.016－1≈1 713. 答：每月应支付1 713元．法二：一方面，借款10 000元，将此借款以相同的条件存储6个月，则它的本利和为S 1＝104(1＋0.01)6＝104×(1.01)6(元)．另一方面，设每个月还贷a 元，分6个月还清，到贷款还清时，其本利和为 S 2＝a (1＋0.01)5＋a (1＋0.01)4＋…＋a＝a [1＋0.016－1]1.01－1＝a [1.016－1]×102.由S 1＝S 2，得a ＝ 1.016×1021.016－1≈1 713. 答：每月应支付1 713元．8．(2011·湖南高考)某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M ，M 的价值在使用过程中逐年减少．从第2年到第6年，每年初M 的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初M 的价值为上年初的75%.(1)求第n 年初M 的价值a n 的表达式；(2)设A n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n，若A n 大于80万元，则M 继续使用，否则须在第n 年初对M 更新．证明：须在第9年初对M 更新．解：(1)当n ≤6时，数列{a n }是首项为120，公差为－10的等差数列，a n ＝120－10(n －1)＝130－10n ；当n ≥7时，数列{a n }是以a 6为首项，公比为34的等比数列，又a 6＝70，所以a n ＝70×(34)n －6.因此，第n 年初，M 的价值a n 的表达式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 130－10n ，n ≤6，70×34n －6，n ≥7.(2)设S n 表示数列{a n }的前n 项和，由等差及等比数列的求和公式得当1≤n ≤6时，S n ＝120n －5n (n －1)，A n ＝120－5(n －1)＝125－5n ；当n ≥7时，由于S 6＝570， 故S n ＝S 6＋(a 7＋a 8＋…＋a n ) ＝570＋70×34×4×[1－(34)n －6]＝780－210×(34)n－6，A n ＝780－210×34n －6n . 因为{a n }是递减数列，所以{A n }是递减数列，又A 8＝780－210×3428＝824764＞80，A 9＝780－210×3439＝767996＜80，所以须在第9年初对M 更新．。
北师大版数学高二1-4 数列在日常经济生活中的应用同步导学案 北师大版必修5
高中数学 1-4 数列在日常经济生活中的应用同步导学案北师大版必修5知能目标解读1.理解常见储蓄如零存整取、定期自动转存、分期付款及利息的计算方法，能够抽象出所对应的数列模型，并能用数列知识求解相关问题.2.能够将现实生活中涉及到银行利率、企业股金、产品利润、人口增长、工作效率等实际问题，抽象出数列模型，将实际问题解决.重点难点点拨重点：用数列知识解决日常经济生活中的实际问题.难点：将现实生活中的问题抽象出数列模型，使问题得以解决.学习方法指导1.零存整取模型银行有一种叫做零存整取的业务，即每月定时存入一笔数目相同的资金，这叫做零存；到约定日期，可以取出全部的本利和，这叫做整取.规定每次存入的钱按单利计算，单利的计算是指仅在原有本金上计算利息，对本金所产生的利息不再计算利息.其计算公式为：利息=本金×利率×存期.如果用符号P代表本金，n代表存期，r代表利率，S代表本金和利息和(以下简称本利和)，则有S=P(1+nr).2.定期自动转存模型（1）银行有一种储蓄业务为定期存款自动转存.例如，储户某月存入一笔1年期定期存款，1年后，如果储户不取出本利和，则银行自动办理转存业务，第2年的本金就是第1年的本利和，即定期自动转存按复利计算.（2）何谓复利？所谓复利，就是把上期的本利和作为下一期的本金，在计算时，每一期的本金的数额是不同的，复利的计算公式为S=P(1+r) n.一般地，一年期满后，借贷者(银行)收到的款额v1=v0(1+a)，其中v0为初始贷款额，a为每年的利率；假若一年期满后，银行又把v1贷出，利率不变，银行在下一年期满后可收取的款额为v2=v1(1+a)=v0(1+a) 2;…依次类推，若v0贷出t年，利率每年为a，这批款额到期后就会增到v t=v0(1+a) t.我们指出这里的利息是按每年一次重复计算的，称为年复利.3.分期付款模型分期付款是数列知识的一个重要的实际应用，在现实生活中是几乎涉及到每个人的问题，要在平时的学习中及时发现问题，学会用数学的方法去分析，解决问题，关于分期付款应注意以下问题：(1)分期付款分若干次付款，每次付款的款额相同，各次付款的时间间隔相同；(2)分期付款中双方的每月(年)利息均按复利计算，即上月(年)的利息要计入下月（年）的本金；(3)分期付款中规定：各期所付的款额连同到最后一次付款时所产生的利息和等于商品售价及从购买到最后一次付款的利息和，这在市场经济中是相对公平的.(4)分期付款总额要大于一次性付款总额，二者的差额与多少次付款有关，分期付款的次数（大于或等于2）越多，差额越大，即付款总额越多.注意：目前银行规定有两种付款方式：(1)等额本息还款法；(2)等额本金还款法.等额本金还款法的特点是：每期还款额递减，利息总支出比等额款法少，等额本金还款法还可以按月还款和按季还款，由于银行结息贯例的要求，一般采用按季还款方式.4.本节的规律方法(1)银行存款中的单利是等差数列模型，本息和公式为S=P (1+nr ).(2)银行存款中的复利是等比数列模型，本利和公式为S=P (1+r ) n .(3)产值模型：原来产值的基础数为N ，平均增长率为P ，对于时间x 的总产值为y=N (1+P ) x .(4)分期付款模型：a 为贷款总额，r 为年利率，b 为等额还款数，则b =1)1()1(-++n n r a r r . 5.数列模型在实际问题中的应用数列应用题一般是等比、等差数列问题，其中，等比数列涉及的范围比较广，如经济上涉及利润、成本、效益的增减，在人口数量的研究中也要研究增长率问题，金融问题更要涉及利率问题等. 6.建立数学模型的过程解决该类题的关键是建立一个数列模型{a n }，利用该数列的通项公式或递推公式或前n 项和公式求解问题. 基本步骤如下表所示：知能自主梳理1.(1)单利：单利的计算是仅在原有本金上计算利息，对本金所产生的利息，其公式为利息= .若以P 代表本金，n 代表存期，r 代表利率，S 代表本金和利息和（以下简称本利和），则有 .（2）复利：把上期末的本利和作为下一期的 ，在计算时每一期本金的数额是不同的.复利的计算公式是 .2.（1）数列知识有着广泛的应用，特别是等差数列和等比数列.例如银行中的利息计算，计算单利时用 数列，计算复利时用 数列，分期付款要综合运用 、 数列的知识.（2）解决数列应用题的基本步骤为：①仔细阅读题目，认真审题，将实际问题转化为 ；②挖掘题目的条件，分析该数列是 数列，还是 数列，分清所求的是 的问题，还是 问题.③检验结果，写出答案.［答案］ 1.（1）不再计算利息 本金×利率×存期 S=P (1+nr ) (2)本金 S=P (1+r ) n2.(1)等差 等比 等差 等比 （2）①数列模型 ②等差 等比 项 求和思路方法技巧命题方向 单利计算问题［例1］ 有一种零存整取的储蓄项目，它是每月某日存入一笔相同的金额，这是零存；到一定时期到期，可以提出全部本金及利息，这是整取.它的本利和公式如下：本利和=每期存入金额×［存期+21存期×(存期+1)×利率］. (1)试解释这个本利公式.(2)若每月初存入100元，月利率5.1‰，到第12月底的本利和是多少？(3)若每月初存入一笔金额，月利率是5.1‰，希望到第12个月底取得本利和2000元，那么每月应存入多少金额？［分析］ 存款储蓄是单利计息，若存入金额为A ，月利率为P ，则n 个月后的利息是nAP . ［解析］ (1)设每期存入金额A ，每期利率P ，存入期数为n ，则各期利息之和为AP +2AP +3AP +…+nAP =21n (n +1)AP . 连同本金，就得：本利和=nA +21n (n +1)AP =A ［n +21n (n +1)P ］. (2)当A =100,P =5.1‰,n =12时，本利和=100×（12+21×12×13×5.1‰）=1239.78(元). (3)将(1)中公式变形得A =p n n n )1(21++本利和=‰1.5131221122000⨯⨯⨯+≈161.32(元). 即每月应存入161.32元.［说明］ 单利的计算问题，是等差数列模型的应用.变式应用1 王先生为今年上高中的女儿办理了“教育储蓄”，已知当年“教育储蓄”存款的月利率是2.7‰.(1)欲在3年后一次支取本息合计2万元，王先生每月大约存入多少元？(2)若“教育储蓄”存款总额不超过2万元，零存整取3年期教育储蓄每月至多存入多少元？此时3年后本息合计约为多少元？（精确到1元）［解析］ （1）设王先生每月存入A 元，则有A (1+2.7‰)+A (1+2×2.7‰)+…+A (1+36×2.7‰)=20000,利用等差数列前n 项和公式， 得A （36+36×2.7‰+23536⨯×2.7‰）=20000, 解得A ≈529元.（2）由于教育储蓄的存款总额不超过2万元，所以3年期教育储蓄每月至多存入3620000≈555（元），这样，3年后的本息和为：555(1+2.7‰)+555(1+2×2.7‰)+…+555(1+36×2.7‰)=555（36+36×2.7‰+23536⨯×2.7‰）≈20978（元）.命题方向 复利计算问题［例2］ 某人参加工作后，计划参加养老保险.若第一年年末存入p 元，第二年年末存入2p 元，…，第n 年年末存入np 元，年利率为k .问第n +1年年初他可一次性获得养老金（按复利计算本利和）多少元？［分析］ 分期存款，应利用“本利和本金×(1+利率)”分段计算.第1年年末存入的p 元，到第n +1年年初，逐年获得的本利和构成公比为1+k 的等比数列，即第一年的本利和为p (1+k )n-1；同理，第2年年末存入2p 元，…第n 年年末存入np 元的本利和依次为2p (1+k ) n-2,…,np .［解析］ 设此人第n +1年年初一次性获得养老金为S n 元，则S n =p (1+k ) n-1+2p (1+k ) n-2+…+(n -1)p (1+k ) 1+np, ①把等式两边同时乘以1+k ,得(1+k )S n =p (1+k ) n +2p (1+k ) n-1+…+(n -1)p (1+k ) 2+np (1+k ).②②-①，得kS n =p (1+k ) n +p (1+k ) n-1+…+p (1+k )-np =k k k p n ］［1)1()1(-++-np . 所以S n =211)1()1(k k n k p n ］［-+-++. 故第n +1年年初他可一次性获得养老金为211)1()1(kk n k p n -+-++［元. ［说明］ “复利计算”就是“利息生利息”，也就是在存款过程中，到约定期时，将上次存款的本利和全部转为下一次的本金.求所有n 次的本利和，就转化为求等比数列的前n 项和.复利计算是银行常用于定期自动转存业务的方法，在这里也是等比数列在实际问题中的具体应用，体现了数学的应用价值，更是学生对知识的应用能力的体现.复利计算问题不但应用于银行储蓄业务中，在其他经济领域也有应用.变式应用2 某家庭打算在2017年的年底花40万元购一套商品房，为此，计划从2011年年初开始，每年年初存入一笔购房专用款，使这笔款到2017年年底连本带利共有40万元.如果每年的存款数额相同，依年利率 2.50％并按复利计算，问每年年初应该存入多少钱？（不考虑利息税）［解析］ 设每年年初应存入x 万元，那么2011～2017年年底本利和依次为：a 1=1.025x ,a 2=(1.025+1.0252)x ,a 3=(1.025+1.0252+1.0253)x ,…a 7=(1.025+1.0252+…+1.0257)x .若这笔款到2017年年底连本带利共有40万元，则有a 7=(1.025+1.0252+…+1.0257)x =40,运用等比数列的前n 项和公式，化简得x =)025.11(025.1)025.11(407-⨯-⨯≈5.171(万元)， 所以每年年初大约应存入5.171万元.命题方向 数列在分期付款中的应用［例3］ 小陆计划年初向银行贷款10万元用于买房，他选择10年期贷款，偿还贷款的方式为：分10次等额归还，每年一次，并从贷后次年年初开始归还，若10年期贷款的年利率为4%，且年利息均按复利计算，问每年应还多少元？（计算结果精确到1元）［分析］ 本题属于分期付款模型，如果注意到按照贷款的规定，在贷款全部还清时，10万元贷款的价值与还款的价值总额应该相等，则可以考虑把所有的款项都转化为同一时间来计算.10万元在10年后（即贷款全部付清时）的价值为105(1+4%)10元.［解析］ 设每年还款x 元，则第1次偿还x 元，在贷款全部付清时的价值为x (1+4%)9;第2次偿还的x 元，在贷款全部付清时的价值为x (1+4%)8;第10次偿还的x 元，在贷款全部付清时的价值为x 元，于是有105(1+4%)10=x (1+4%)9+x (1+4%)8+x (1+4%)7+…+x .由等比数列求和公式，得105×1.0410=104.1104.110--·x , 1.0410=(1+0.04) 10≈1.4802. ∴x ≈4802.004.04802.1105⨯⨯≈12330. 答：每年约应还12330元.［说明］ 解决分期付款问题的数学方法是等比数列求和，用到的等量关系即分期所付的款连同到最后一次所付款时的利息之和，等于商品售价与从购物到最后一次付款时的利息之和.变式应用3 某工厂为提高产品质量，扩大生产需要大量资金，其中征地需40万元，建新厂房需100万元，购置新机器需60万元，旧设备改造及干部工作培训需15万元，流动资金需40万元，该厂现有资金125万元，厂内干部30人，工人180人，干部每人投资4000元，工人每人投资1000元（不记利息仅在每年年底利润中分红），尚缺少资金，准备今年年底向银行贷款，按年利率9%的复利计算，若从明年年底开始分5年等额分期付款，还清贷款及全部利息，问该厂每年还款多少万元？（精确到0.1万元）［解析］ 因扩大生产急需的资金共有40+100+60+15+40=255（万元）.已知筹集到资金为125+0.4×30+0.1×180=155(万元)，资金缺口为255-155=100（万元）.设每次向银行还款x万元，则贷款100万元，五年一共还清本金和利息共计100（1+9%）5万元.第一次还款到第五年年底的本利和为x (1+9%)4万元；第二次还款到第五年年底的本利和为x (1+9%)3万元；第三次还款到第五年年底的本利和为x (1+9%)2万元；第四次还款到第五年年底的本利和为x (1+9%)万元；第五次还款（无利息）为x 万元.由题意得x+x (1+9%)+x (1+9%)2+x (1+9%)3+x (1+9%)4=100×(1+9%)5.即109.1)19.10(5--x =100×1.095,所以x ≈25.7.故该厂每年还款25.7万元.探索延拓创新命题方向 数列在日常生活中其他方面的应用［例4］ 甲、乙两人连续6年对某农村养鸡业的规模进行调查，提供了两条不同信息，如图所示.甲调查表明：由第1年每个养鸡场出产1万只鸡上升到第6年平均每个养鸡场出产2万只鸡. 乙调查表明：由第1年30个养鸡场减少到第6年10个养鸡场.请您根据提供的信息回答：（1）第2年养鸡场的个数及全村出产鸡的总只数；（2）到第6年这个村养鸡业的规模比第1年扩大了还是缩小了？请说明理由.（3）哪一年的规模最大？请说明理由.［分析］ 审清题意，弄清图甲表示每个养鸡场平均出产鸡的只数（单位：万只），图乙表示该村所拥有的养鸡场的个数（单位：个）.［解析］ （1）由图可知：第2年养鸡场的个数是26个，每个养鸡场平均出产1.2万只鸡，那么全村出产鸡的总只数是S 2=26×1.2=31.2(万只).(2)第1年总共出产鸡的只数是S 1=30×1=30(万只)；第6年总共出产鸡的只数是S 6=2×10=20(万只)，由此得出S 6<S 1,这说明规模缩小了.(3)由图可知：每年平均每个养鸡场出产的鸡的只数所满足的数列为a n =1+(n -1)×0.2=0.2n +0.8(1≤n ≤6).每年的养鸡场的个数所满足的数列为b n =30-4(n -1)=-4n +34(1≤n ≤6).第n 年出产的鸡的只数满足的数列为S n =a n b n =52 (-2n 2+9n +68)=- 54（n -49）+4125 (1≤n ≤6). 因为n ∈N +,故当n =2时，S n 最大，即第2年规模最大.［说明］ 依此图像建立等差数列模型，问题就能得到解决.每年的总出产量则要与二次函数联系，n 为正整数不能忽略，利用数列与函数的关系解决，是本类问题的特色.名师辨误做答［例5］ 某工厂去年的产值为138万元，预计今后五年的每年比上一年产值增长10%，从今年起计算，第5年这个工厂的产值是多少元？（精确到万元）［误解］ 依题意，该工厂每年的产值组成一个等比数列{a n }.其中a 1=138,q =1+10%=1.1,n =5.∴a 5=a 1q 4=138×1.14≈202(万元).［辨析］ 138万元是去年的产值，从今年算起，则a 1=138×1.1，由于首项弄错而造成错误.［正解］ 依题意，该工厂每年的产值组成一个等比数列{a n }.其中a 1=138×1.1,∴a 5=a 1q 4=138×1.1×1.14=138×1.15≈222(万元).课堂巩固训练一、选择题1.预测人口的变化趋势有多种方法.“直接推算法”使用的公式是p n =p 0(1+k ) n (k >-1)，其中p n 为预测期人口数，p 0为初期人口数，k 为预测期内年增长率，n 为预测期间隔年数.如果在某一时期有-1<k <0，那么在这期间人口数（ ）A.呈上升趋势B.呈下降趋势C.摆动变化D.不变［答案］ B［解析］ ∵-1<k <0，∴0<k +1<1，p n >0, 又∵n n p p 1+=100)1()1(-++n nk p k p =1+k <1， ∴p n+1<p n .即数列{p n }为递减数列.2.某同学在电脑上设置一个游戏，他让一弹性球从100m 高处自由落下，每次着地后又跳回到原来高度的一半再落下，则第10次着地时所经过的路程和为（ ）A.199.8mB.299.6mC.166.9mD.266.9m ［答案］ B［解析］ 由题意知，弹球第1次着地时经过的路程是100m ，从这时到弹球第2次着地时共经过了2×2100m ，从这时到弹球第3次着地时共经过2×22100m,……,到第10次时应为2×92100m. ∴S 10=100+2×2100+2×22100+…+2×92100＝100+100（1+21+…+821）＝100+2112111009--⨯）（ ≈100+199.6＝299.6（m ）.3.某工厂生产总值连续两年的年平均增长率依次为p %，q %，则这两年的平均增长率是（ ）A. 2％％q p +B.p %·q %C.%)%)(1(1q p ++D.1%)%)(1(1 -++q p［答案］ D［解析］ 设该工厂最初的产值为1，经过两年的平均增长率为r ，则(1+p %)(1+q %)=(1+r ) 2.于是r =%)1%)(1(q p ++-1.二、填空题4.某工厂2011年的月产值按等差数列增长，第一季度总产值为20万元，上半年总产值为60万元，则2011年全年总产值为 元.［答案］ 2003a 1+2)13(3-⨯d =20 ［解析］ 由题意，得 ，6a 1+2)16(6-⨯d =60a 1=940 解得 . d =920 所以S 12=12×940+2)112(12-⨯×920=200. 5.(2011·湖北理，13)《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为 升.［答案］ 6667 ［解析］ 本题考查等差数列通项公式、前n 项和公式的基本运算.设此等差数列为{a n }，公差为d ,a 1+a 2+a 3+a 4=3, 4a 1+6d =3, a 1=2213, 则 ∴ 解得 a 7+a 8+a 9=4, 3a 1+21d =4, d =667， ∴a 5=a 1+4d =2213+4×667=6667. 课后强化作业一、选择题1.某沿海渔村，近几年不断挖掘经济收入来源，除了渔业收入外，还增加了海滨休闲度假服务业的开发，使本村经济有了较快发展，2008年全村财政收入95 933万元，比上年增长7.3%，如果在今后的几年内全村财政收入都按此年增长率增长，那么到2012年末全村财政收入大约为（ ）A.115 000万元B.120 000万元C.127 000万元D.135 000万元 ［答案］ C［解析］ 2012年末全村的财政收入为95 933×(1+0.073) 4≈127 000(万元).故选C.2.某人从2011年1月份开始，每月初存入银行100元，月利率是2.8‰（每月按复利计算），到12月底取出本利和应是（ ）A.1223.4元B.1224.4元C.1222.1元D.1225.0元［答案］ C［解析］ 一月份开始存入银行，到12月底本利和是a 1=100(1+2.8‰) 12;二月份开始存入银行，到12月底本利和是a 2=100(1+2.8‰) 11;…；12月份开始存入银行，到12月底本利和是a 12=100(1+2.8‰).则数列{a n }构成等比数列，S 12=1)8.21(1)8.21()8.21(10011212-+-++--‰］‰［‰ =‰‰］‰［8.2)8.21(1)8.21(10012+-+≈1222.1(元). 3.农民收入由工资性收入和其他收入两部分构成.2003年某地区农民人均收入为3150元（其中工资性收入为1800元，其他收入为1350元），预计该地区自2004年起的5年内，农民的工资性收入将以每年6％的年增长率增长，其他收入每年增加160元.根据以上数据，2008年该地区农民人均收入介于（ ）A.4200元~4400元B.4400元～4600元C.4600元～4800元D.4800元～5000元［答案］ B［解析］ 将2003年记作第1年，该地区农民人均收入第n 年为a n ，则a 1=3150,a 2==1800×（1+6％）+1350+160，…，a n =1800×（1+6％）n-1+1350+（n -1）×160.2008年该地区农民人均收入为a 6=1800×（1+6％）6-1+1350+（6-1）×160≈4558.81.故选B.4.根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的n 个月内累积的需求量S n （万件）近似地满足S n =90n ·(21n-n 2-5)(n =1,2,…，12）.按此预测，在本年度内，需求量超过1.5万件的月份是（ ）A.5月、6月B.6月、7月C.7月、8月D.8月、9月［答案］ C［解析］ 设第n 个月份的需求量超过1.5万件.则S n -S n-1=90n (21n-n 2-5)- 901-n ［21(n -1)-(n -1) 2-5］＞1.5, 化简整理，得n 2-15n +54＜0,即6＜n ＜9.∴应选C.5.通过测量知道，温度每降低6℃，某电子元件的电子数目就减少一半.已知在零下34℃时，该电子元件的电子数目为3个，则在室温27℃时，该元件的电子数目接近（ ）A.860个B.1730个C.3072个D.3900个［答案］ C［解析］ 由题设知，该元件的电子数目变化为等比数列，且a 1=3,q =2,由27-(-34)=61, 661=1061,可得，a 11=3·210=3072，故选C. 6.一个卷筒纸，其内圆直径为4cm ，外圆直径为12cm ，一共卷60层，若把各层都视为一个同心圆，π=3.14，则这个卷筒纸的长度为（精确到个位）（ ）A.14mB.15mC.16mD.17m［答案］ B［解析］ 纸的厚度相同，且各层同心圆直径成等差数列，则l =πd 1+πd 2+…+πd 60=60π· 2124+=480×3.14=1507.2(cm)≈15m ，故选B. 7.现存入银行8万元，年利率为2.50％，若采用1年期自动转存业务，则5年末的本利和是 万元.A.8×1.0253B.8×1.0254C.8×1.0255D.8×1.0256 ［答案］ C［解析］ 定期自动转存属于复利计算问题，5年末的本利和为8×（1＋2.50％）5＝8×1.0255.8.某房屋开发商出售一套50万元的住宅，可以首付5万元，以后每过一年付5万元，9年后共10次付清，也可以一次付清（此后一年定期存款税后利率设为2%，按复利计算）并优惠x %，为鼓励购房者一次付款，问优惠率应不低于多少？（x 取整数，计算过程中参考以下数据：1.029=1.19,1.0210=1.2, 1.0211=1.24）（ ）A.15%B.16%C.17%D.18%［答案］ B［解析］ 由题意，知50(1-x %)(1+2%)9≤5(1.029+1.028+…+1.02+1).整理，得1-x %≤02.002.110102.1910⨯⨯-=19.11=0.8403,∴x %≥15.97%, ∴一次付款的优惠率应不低于16%.二、填空题9.据某校环保小组调查，某区垃圾量的年增长率为b ,2007年产生的垃圾量为a 吨，由此预测，该区下一年的垃圾量为 吨，2012年的垃圾量为 吨. ［答案］ a (1+b ) a (1+b ) 5［解析］ 2007年产生的垃圾量为a 吨，下一年的垃圾量在2007年的垃圾量的基础之上增长了ab 吨，所以下一年的垃圾量为a (1+b )吨；2012年是从2007年起再过5年，所以2012年的垃圾量是a (1+b ) 5吨.10.某彩电价格在去年6月份降价10%之后经10,11,12三个月连续三次回升到6月份降价前的水平,则这三次价格平均回升率是 .［答案］ 3910-1 ［解析］ 设6月份降价前的价格为a ,三次价格平均回升率为x ,则a ×90%×(1+x ) 3=a ,∴1+x =3910,x =3910-1. 11.某大楼共有20层，有19人在第1层上了电梯，他们分别要去第2层至第20层，每层1人，而电梯只允许停1次，可只使1人满意，其余18人都要步行上楼或下楼，假设乘客每向下走1层的不满意度为1，每向上走一层的不满意度为2，所有人的不满意度之和为S,为使S 最小，电梯应当停在 层.［答案］ 14［解析］ 设停在第x 层，则S =［1+2+…+(20-x )］×2+［1+2+…+(x -2)］=28532x x -+421,∴x =685时取最小值，而x ∈{2,3,…,20}, ∴x =14时取最小值.12.某工厂生产总值的月平均增比率为p ,则年平均增长率为 .［答案］ (1+p ) 12-1［解析］ 设年平均增长率为x ,原来总产值为a ,由题意得a (1+x )=a (1+p ) 12,∴x =(1+p ) 12-1.三、解答题13.某城市2002年底人口为500万，人均居住面积为6平方米，如果该城市每年人口平均增长率为1%,每年平均新增住房面积为30万平方米，到2012年底该城市人均住房面积是多少平方米？增加了还是减少了？说明了什么问题？（精确到0.01平方米）［解析］ 设2002年，2003年，…，2012年住房面积总数成等差数列{a n }，人口数组成等比数列｛b n ｝，则2002年：a 1=500×6=3000(万平方米)，b 1=500(万). 2003年：a 2=a 1+d =3000+30=3030(万平方米)，b 2=b 1×q =500×(1+1%)=505（万）.…2012年:a 11=a 1+10d =3000+10×30=3300(万平方米)，b 11=b 1×q 10=500×(1+1%)10=500×1.0110≈552(万).所以人均住房面积是5523300≈5.98(平方米). 答：该城市人均住房面积约5.98平方米，人均住房面积反而减少了，说明计划生育的重要性.14.某林场2008年底森林木材储存量为330万立方米，若树林以每年25%的增长率生长，计划从2009年起，每年冬天要砍伐的木材量为x 万立方米，为了实现经过20年木材储存量翻两番的目标，每年砍伐的木材量x 的最大值是多少？（lg 2≈0.3)［解析］ 设从2008年起的每年年底木材储存量组成的数列为{a n }，则a 1=330a n+1=a n (1+25%)-x =45 a n -x 则a n+1-4x =45 (a n -4x ), 即x a x a n n 441--+=45. ∴{a n -4x }是以330-4x 为首项，公比为45的等比数列，即a n =(330-4x )(45)n-1+4x . ∴a 21=(330-4x )(45)20+4x .令a 21≥4a 1，即(330-4x )(45)20+4x ≥4×330. 由lg 2≈0.3，可求得(45)20=100，代入上式整理得396x ≤31 680, 解得x ≤80(万立方米）.答：每年砍伐量最大为80万立方米.15.某企业2003年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降.若不进行技术改造，预测从今年起每年比上一年纯利润减少20万元.今年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第n 年（今年为第一年）的利润为500（1+n 21）万元（n 为正整数）. （1）设从今年起的前n 年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为A n 万元，进行技术改造后的累计纯利润为B n 万元（需扣除技术改造资金），求A n 、B n 的表达式；（2）依上述预测，从今年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？［解析］ （1）依题设，A n =（500-20）+（500-40）+…+（500-20n )=490n -10n 2;B n =500［(1+21)+(1+221)+…+(1+n 21)］-600=500n -n2500-100. (2)B n -A n =(500n -n 2500-100)-(490n -10n 2) =10n 2+10n -n 2500-100=10［n (n +1)- n 250-10］. 因为函数y=x (x +1)- x250-10在（0，+∞）上为增函数, 当1≤n ≤3时，n (n +1)-n 250-10≤12-850-10<0; 当n ≥4时，n (n +1)- n 250-10≥20-1650-10>0. ∴仅当n ≥4时，B n >A n .答：至少经过4年，该企业进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润.16.银行按规定每经过一定时间结算存（贷）款的利息一次，结息后即将利息并入本金，这种计算利息的方法叫复利.现在某企业进行技术改造，有两种方案.甲方案：一次性贷款10万元，第一年便可获利1万元，以后每年比前一年增加30%的利润；乙方案：每年贷款1万元，第一年便可获利1万元，以后每年比前年多获利5千元，两种方案，使用期限都是十年，到期一次性归还本息，若银行贷款利息按年息10%的复利计算，比较两种方案，哪个获利更多？（计算数据精确到千元，1.110=2.594,1.310=13.786）［解析］ 方案甲：十年获利中，每年获利数构成等比数列，首项为1，公比为1+30%，前10项和为S 10=1+（1+30%）+（1+30%）2+…+（1+30%）9. 所以S 10=13.113.110--≈42.62（万元）. 甲方案净获利42.62-25.94≈16.7（万元）.乙方案获利构成等差数列，首项为1，公差为21，前10项和为 T 10=1+(1+21)+(1+2×21)+…+(1+9×21) =2121110）（+=32.50（万元）, 而贷款本息总数为1.1+［1+(1+10%)+…+(1+10%)9］=1.1+11.111.110--≈17.04（万元）, 乙方案净获利32.50-17.04≈15.5万元.比较两方案可得甲方案获利较多.。
第一章1.4数列在日常经济生活中的应用(2)-北师大版高一数学必修5课件(共19张PPT)
课堂探究
例 小华准备购买一台售价为5000元的电脑,采用分期付款的方式,并在一年 内将款全部付清.商场提出的付款方式为:购买后2个月第1次付款,再过2个月 第2次付款……购买后12个月第6次付款,每次付款金额相同,约定月利率为 0.8%,每月利息按复利计算.求小华每期付的金额是多少?
引导分析：
商品售价增值到多少？ 各期所付款额的增值状况如何？ 当贷款全部付清时，商品售价与各期付款额有什么关系？
江西省2020年寒假及春季学期延期开学期间线上教育课程
北师大版 高中数学 必修5 第一章 数 列
§4数列在日常经济生活中的应用（第2课时）
情景故事
两位老太太在路上相遇,一位老太太幸福地说,她昨天刚还清了银行的住 房贷款，虽然辛苦了一辈子，却住了一辈子的宽敞房子,而另一位老太太却 叹息地说,她三代同堂一辈子,昨天刚把买房的钱攒足.
付清，月利率为p，分n(n是m的约数)次付款，那么每次付款数 x
的计算公式为：
x a1 p m 1 p mn 1
1 p m 1
练习：
课堂训练
刚刚参加工作的小李 ,想在 某房产公司购买一套商品房 ，价值32万 ,首付为 7 万 ,其余按 20年分 期付款 ,月利率 0．483％ ，问 :小李 每月应付 款多少元 ? （精确到1元，参考数据：1.00483240≈3.1785）
≈1775.8(元)
所以，方案A每期所付款额为1775.8元，付款总额约为5327元，与一次性付款差额 为327元.
（方案B）略解：由例题可知方案B 每期所付款额为880.8元
所以方案B 每期所付款额为880.8元，付款总额约为5285元， 与一次性付款差额为285元
（方案C）略解：设每期付款为 x 元，由题意得
2022-2021学年高二数学北师大版必修5练习：1.4 数列在日常经济生活中的应用
§4 数列在日常经济生活中的应用课时目标 1.能够利用等差数列、等比数列解决一些实际问题.2.了解“零存整取”，“定期自动转存”及“分期付款”等日常经济行为的含义．1．有关储蓄的计算储蓄与人们的日常生活亲热相关，计算储蓄所得利息的基本公式是：利息＝本金×存期×利率． 依据国家规定，个人所得储蓄存款利息，应依法纳税，计算公式为：应纳税额＝利息全额×税率． (1)整存整取定期储蓄一次存入本金金额为A ，存期为n ，每期利率为p ，税率为q ，则到期时，所得利息为：________，应纳税为________，实际取出金额为：________________. (2)定期存入零存整取储蓄 每期初存入金额A ，连存n 次，每期利率为p ，税率为q ，则到第n 期末时，应得到全部利息为： _________.应纳税为：______________，实际受益金额为__________________． 2．分期付款问题贷款a 元，分m 个月将款全部付清，月利率为r ，各月所付款额到贷款全部付清时也会产生利息，同样按月以复利计算，那么每月付款款额为： _______________________.一、选择题 1．《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使最大的三份之和的17是较少的两份之和，则最小的一份的量为( )A.53B.103C.56D.116 2．某厂去年产值为a ，方案在5年内每年比上一年产值增长10%，从今年起5年内，该厂的总产值为( ) A ．1.14a B ．1.15aC ．10a (1.15－1)D ．11a (1.15－1)3．某企业在今年年初贷款a 万元，年利率为γ，从今年年末开头每年偿还确定金额，估量五年内还清，则每年应偿还( )A.a (1＋γ)(1＋γ)5－1万元B.aγ(1＋γ)5(1＋γ)5－1万元C.aγ(1＋γ)5(1＋γ)4－1万元D.aγ(1＋γ)5万元 4．某工厂总产值月平均增长率为p ，则年平均增长率为( ) A ．p B ．12pC ．(1＋p )12D ．(1＋p )12－15．某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批同意方可投入生产．已知该生产线连续生产n 年的累计产量为f (n )＝12n (n ＋1)(2n ＋1)吨，但假如年产量超过150吨，将会给环境造成危害．为疼惜环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最大的生产期限是( )A ．5年B ．6年C ．7年D ．8年二、填空题 6．据某校环保小组调查，某区垃圾量的年增长率为b,2010年产生的垃圾量为a 吨．由此猜想，该区2021年的垃圾量为________吨．7．一个堆放铅笔的V 形架的最下面一层放1支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放1支，最上面一层放了120支，这个V 形架上共放了______支铅笔．8．银行一年定期储蓄存款年息为r ，三年定期储蓄存款年息为q ，银行为吸取长期资金，鼓舞储户存三年定期的存款，那么q 的值应略大于________．三、解答题9．家用电器一件，现价2 000元，实行分期付款，每期付款数相同，每期为一月，购买后一个月付款一次，每月付款一次，共付12次，购买后一年还清，月利率为0.8%，按复利计算，那么每期应付款多少？(1.00812＝1.1)． 10．假设某市2009年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中低价房．估量在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米．那么，到哪一年年底(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2009年为累计的第一年)将首次不少于4 750万平方米？ (2)当年建筑的中低价房的面积占该年建筑住房面积的比例首次大于85%？(1.085≈1.47)力气提升11．依据市场调查结果，猜想某种家用商品从年初开头的n 个月内累积的需求量S n (万件)近似地满足S n＝n90(21n －n 2－5)(n ＝1,2，…，12)．按此猜想，在本年度内，需求量超过1.5万件的月份是( ) A ．5月、6月 B ．6月、7月 C ．7月、8月 D ．8月、9月12．某企业投资1 000万元用于一个高科技项目，每年可获利25%，由于企业间竞争激烈，每年年底需要从利润中取出资金200万元进行科研、技术改造与广告投入方能保持原有的利润增长率，问经过多少年后，该项目的资金可以达到或超过翻两番(4倍)的目标？(取lg 2＝0.3)从实际问题转化为数列问题，极易毁灭弄错数列的项数，因此确定要认真审题，弄清楚数列中的项与实际问题中的时间(例如年份)之间的对应关应．尤其是首项a 1代表的实际含义确定要弄清楚．§4 数列在日常经济生活中的应用 答案学问梳理1．(1)nAp nApq nAp (1－q )＋A (2)12n (n ＋1)Ap 12n (n ＋1)Apq 12n (n ＋1)Ap (1－q )2.ar (1＋r )m (1＋r )m －1 作业设计1．A [设公差为d (d >0)，则5份分别为20－2d,20－d,20,20＋d,20＋2d ， 则7(20－2d ＋20－d )＝20＋(20＋d )＋(20＋2d )，解得d ＝556，最小的一份为20－553＝53.]2．D [留意去年产值为a ，今年起5年内各年的产值分别为1.1a ，1．12a,1.13a,1.14a,1.15a .∴1.1a ＋1.12a ＋1.13a ＋1.14a ＋1.15a ＝11a (1.15－1)．]3．B [设每年偿还x 万元，则：x ＋x (1＋γ)＋x (1＋γ)2＋x (1＋γ)3＋x (1＋γ)4＝a (1＋γ)5，∴x ＝aγ(1＋γ)5(1＋γ)5－1.]4．D [设1月份产值为1，年平均增长率为x ，依题意得(1＋p )12[1－(1＋p )12]1－(1＋p )＝1－(1＋p )121－(1＋p )(1＋x )，∴x＝(1＋p )12－1.]5．C [由题意知第一年年产量为a 1＝12×1×2×3＝3；以后各年年产量为a n ＝f (n )－f (n －1)＝3n 2， ∴a n ＝3n 2 (n ∈N ＋)，令3n 2≤150，得1≤n ≤52， ∴1≤n ≤7，故生产期限最长为7年．] 6．a (1＋b )5 7．7 260解析 从下向上依次放了1,2,3，…，120支铅笔， ∴共放了铅笔1＋2＋3＋…＋120＝7 260(支)． 8.13[(1＋r )3－1] 解析 设本金为1，按一年定期存款，到期自动转存收益最大，三年总收益为(1＋r )3－1；若按三年定期存款，三年的总收益为3q ，为鼓舞储户三年定期存款，应使3q >(1＋r )3－1. 即q >13[(1＋r )3－1]．9．解 方法一 设每期应付款x 元．第1期付款与到最终一次付款所生利息之和为x (1＋0.008)11(元)． 第2期付款与到最终一次付款所生利息之和为x (1＋0.008)10(元)，… 第12期付款没有利息．所以各期付款连同利息之和为x (1＋1.008＋…＋1.00811)＝1.00812－11.008－1x ，又所购电器的现价及其利息之和为2 000×1.00812， 于是有1.00812－11.008－1x ＝2 000×1.00812.解得x ＝16×1.008121.00812－1＝176(元)．即每期应付款176元． 方法二 设每期应付款x 元，则 第1期还款后欠款2 000×(1＋0.008)－x第2期还款后欠款(2 000×1.008－x )×1.008－x ＝2 000×1.0082－1.008x －x ， …第12期还款后欠款2 000×1.00812－(1.00811＋1.00810＋…＋1)x ，第12期还款后欠款应为0，所以有2 000×1.00812－(1.00811＋1.00810＋…＋1)x ＝0.∴x ＝2 000×1.008121.00812－11.008－1＝176(元)．即每期应还款176元．10．解 (1)设中低价房面积构成数列{a n }，由题意可知{a n }是等差数列．其中a 1＝250，d ＝50，则S n ＝250n ＋n (n －1)2×50＝25n 2＋225n .令25n 2＋225n ≥4 750，即n 2＋9n －190≥0，而n 是正整数，∴n ≥10.∴到2022年年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4 750万平方米． (2)设新建住房面积构成数列{b n }，由题意可知{b n }是等比数列． 其中b 1＝400，q ＝1.08，则b n ＝400×1.08n －1. 由题意可知a n >0.85b n ，有250＋(n －1)·50>400×1.08n －1×0.85.由1.085≈1.47解得满足上述不等式的最小正整数n ＝6，∴到2022年年底，当年建筑的中低价房的面积占该年建筑住房面积的比例首次大于85%. 11．C解析 n 个月累积的需求量为S n ，∴第n 个月的需求量为a n ＝S n －S n －1＝n 90(21n －n 2－5)－n －190[21(n －1)－(n －1)2－5]＝130(－n 2＋15n －9)．a n >1.5，即满足条件，∴130(－n 2＋15n －9)>1.5，6<n <9(n ＝1,2,3，…，12)，∴n ＝7或n ＝8.(可直接代入各个选项进行验证得出答案) 12．解 设该项目逐年的项目资金数依次为a 1，a 2，a 3，…，a n . 则由已知a n ＋1＝a n (1＋25%)－200(n ∈N ＋)．即a n ＋1＝54a n －200.令a n ＋1－x ＝54(a n －x )，即a n ＋1＝54a n －x4，由x4＝200，∴x ＝800. ∴a n ＋1－800＝54(a n －800)(n ∈N ＋)故数列{a n －800}是以a 1－800为首项，54为公比的等比数列．∵a 1＝1 000(1＋25%)－200＝1 050.∴a 1－800＝250，∴a n －800＝250⎝⎛⎭⎫54n －1.∴a n ＝800＋250⎝⎛⎭⎫54n －1(n ∈N ＋)．由题意a n ≥4 000.∴800＋250⎝⎛⎭⎫54n －1≥4 000，即⎝⎛⎭⎫54n ≥16. 两边取常用对数得n lg 54≥lg 16，即n (1－3lg 2)≥4lg 2.∵lg 2＝0.3，∴0.1n ≥1.2，∴n ≥12.即经过12年后，该项目资金可以达到或超过翻两番的目标．。
高中数学北师大版必修5 第一章4 数列在日常经济生活中的应用 作业2 Word版含解析
,[学生用书单独成册])[.基础达标]．某工厂总产值月平均增长率为，则年平均增长率为( )．．．(＋)－．(＋) 解析：选.设原有总产值为，年平均增长率为，则(＋)＝(＋)，解得＝(＋)－，故选.．某种产品计划每年降低成本，若三年后的成本是元，则现在的成本是( )．·()．．(－)解析：选.设现在的成本为元，则(－)＝，所以＝，故选.．某工厂年年底制订生产计划，要使工厂的总产值到年年底在原有基础上翻两番，则总产值年平均增长率为( )．－．－．－．－解析：选.设年年底总产值为，年平均增长率为，则(＋)＝，得＝－，故选.．某企业年月份产值是这年月份产值的倍，则该企业年度的产值月平均的增长率为()－－解析：选.设年月份产值为，则月份的产值为，假设月平均增长率为，则(＋)＝，所以＝－.故选.．某人为了观看世界杯，从年起，每年月日到银行存入元定期储蓄，若年利率为且保持不变，并约定每年到期存款均自动转为新的一年定期，到年将所有的存款及利息全部取回，则可取回的钱的总数(元)为( )．(＋)．(＋)[(＋)－(＋)] [(＋)－(＋)]解析：选年存入的元到年所得的本息和为(＋)，年存入的元到年所得的本息和为(＋)，依次类推，则年存入的元到年的本息和为(＋)，每年所得的本息和构成一个以(＋)为首项，＋为公比的等比数列，则到年取回的总额为(＋)＋(＋)＋…＋(＋)＝＝[(＋)－(＋)]．．小王每月除去所有日常开支，大约结余元．小王决定采用零存整取的方式把余钱积蓄起来，每月初存入银行元，存期年(存次)，到期取出本金和利息．假设一年期零存整取的月利率为，每期存款按单利计息．那么，小王存款到期利息为元．解析：由题意知，小王存款到期利息为＋＋＋…＋＋＝＝.答案：．某人买了一辆价值万元的新车，专家预测这种车每年按的速度折旧，年后这辆车的价值为元，则＝，若他打算用满年时卖掉这辆车，他大约能得到元．解析：年后这辆车的价值构成等比数列{}，其中，＝×(－)，＝－，所以＝×(－)，所以＝×(－)＝(元)．答案：×(－)．有这样一首诗：“有个学生资性好，一部《孟子》三日了，每日添增一倍多，问君每日读多少？”(注：《孟子》全书约字，“一倍多”指一倍)，由此诗知该君第二日读了字．解析：设第一日读的字数为，由“每日添增一倍多”得此数列是以为首项，公比为的等比数列，可求得三日共读的字数为＝＝，解得＝，则＝，即该君第二日读的字数为.答案：．某银行设立了教育助学贷款，其中规定一年期以上贷款月均等额还本付息(利息按月以复利计算)．如果贷款元，两年还清，月利率为，那么每月应还多少钱呢？解：贷款元两年到期时本金与利息之和为：×(＋)＝×(元)．设每月还元，则到期时总共还＋＋…＋＝·.于是·＝×.所以≈(元)．即每月应还元．．用分期付款购买价格为万元的住房一套，如果购买时先付万元，以后每年付万元加上欠款利息．签订购房合同后年付款一次，再过年又付款一次，直到还完后为止，商定年利率为，则第年该付多少元？购房款全部付清后实际共付多少元？解：购买时先付万元，余款万元按题意分次分期还清，每次付款数组成数列{}，则＝＋(－)·＝(万元)；＝＋(－－)·＝(万元)；＝＋(－－×)·＝(万元)，…，＝＋[－－(－)·]·＝(－)(万元)(＝，，…，)．因而数列{}是首项为，公差为－的等差数列．＝－＝(万元)．＝×＋＝(万元)．因此第年该付万元，购房款全部付清后实际共付万元．[.能力提升]．某商场今年销售计算机台，如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加，那么从今年起，大约多少年可以使总销售量达到台？(结果保留到个位)(参考数据：≈，≈)( )．年．年．年．年解析：选.设大约年可使总销售量达到台，由题意知：每年销售量构成一个等比数列，首项为＝台，公比＝，＝，所以由＝⇒＝⇒＝≈，故选.．某个集团公司下属的甲、乙两个企业在年月的产值相等．若甲企业每个月的产值比前一个月的产值增加的数值相等，乙企业每个月的产值比前一个月的产值增加的百分数相等，到年月两个企业的产值又相等，那么年月，甲、乙两个企业的产值的大小关系是()．乙大．甲大．无法确定．相等解析：选.设从年月到年月，甲企业每个月的产值分别是，，…，，乙企业每个月的产值分别是，，…，.依题意{}成等差数列，{}成等比数列，所以＝，＝.又因为＝，＝，>，所以＝>＝＝，即年月甲企业的产值大，故选.．某纯净水厂在净化过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质，要使水中杂质减少到原来的以下，则至少需过滤的次数为．(参考数据：≈)解析：设原杂质数为，各次过滤后水中的杂质数构成等比数列{}，则＝－，公比＝－，所以＝(－)，由题意可知(－)＜，即＜.两边取对数得＜，因为＜，所以＞，即＞＝＝≈≈，又∈＋，故＝，即至少需要过滤次．答案：．商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价，最高销售价(>)以及实数(<<)确定实际销售价格＝＋(－)．这里，被称为乐观系数．经验表明，最佳乐观系数恰好使得(－)是(－)和(－)的等比中项．据此可得，最佳乐观系数的值等于．解析：由已知(－)是(－)和(－)的等比中项，即(－)＝(－)(－)，把＝＋(－)代入上式，得(－)＝[－－(－)](－)，即(－)＝(－)(－)，因为>，－≠，所以＝－，即＋－＝，解得＝，因为<<，所以最佳乐观系数的值等于.答案：．祖国大陆允许台湾农民到大陆创业以来，在个省区设立了海峡两岸农业合作试验区和台湾农民创业园，台湾农民在那里申办个体工商户可以享受“绿色通道”的申请、受理、审批一站式服务，某台商到大陆一创业园投资万美元建起一座蔬菜加工厂，第一年各种经费万美元，以后每年增加万美元，每年销售蔬菜收入万美元，设()表示前年的纯收入．求从第几年开始获取纯利润？(()＝前年的总收入－前年的总支出－投资额)解：由题意，知每年的经费是以为首项，为公差的等差数列．设纯利润与年数的关系为()，则()＝－[＋×]－＝－＋－.。
北师大版高中数学必修五§4 数列在日常经济生活中的应用
高中数学学习材料金戈铁骑整理制作§4 数列在日常经济生活中的应用（北京师大版必修5）建议用时 实际用时满分 实际得分45分钟100分一、选择题（每小题5分，共20分）1.一群羊中，每只羊的重量数均为整千克数，其总重量为65千克，已知最轻的一只羊重7千克，除去一只10千克的羊外，其余各只羊的千克数恰能构成一等差数列，则这群羊共有( )A ．6只B ．5只C ．8只D ．7只 2. 在直角坐标系中，O 是坐标原点，P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)是第一象限的两个点，若1，x 1，x 2,4依次成等差数列，而1，y 1，y 2,8依次成等比数列，则△OP 1P 2的面积是( )A ．1B ．2C ．3D ．43. 一套共7册的书计划每两年出一册，若出完全部，各册书公元年代之和为13958，则出齐这套书的年份是( )A ．1994B ．1996C ．1998D ．20004.根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的n 个月内累积的需求量S n （万件）近似地满足关系式S n =90n（21n －n 2－5）（n =1，2，…，12），按此预测，在本年度内，需求量超过1.5万件的月份是（ ）A.5月、6月B.6月、7月C .7月、8月D.8月、9月二、填空题（每小题5分，共30分）5.一条信息，若一人得知后，一小时内将信息传给两人，这两人又在一小时内各传给未知信息的另外两人．如此下去，要传遍55人的班级所需时间大约为_______小时． 6. 某市20082012国内生产总值平均每年增长率为p ,那么该市2012年国内生产总值比2007年国内生产总值增长的倍数为 .7.某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次（一个分裂为两个），经过3小时，这种细菌由1个可繁殖成__________.8. 凸多边形的各内角度数成等差数列，最小角为120°，公差为5°，则边数n 等于________． 9.某纺织厂的一个车间有n (n >7，n ∈N *)台织布机，编号分别为1,2,3，…，n ，该车间有技术工人n 名，编号分别为1,2,3，…，n .定义记号a ij ，如果第i 名工人操作了第j 号织布机，此时规定a ij ＝1，否则a ij ＝0.若第7号织布机有且仅有一人操作，则a 17＋a 27＋a 37＋a 47＋…＋a n 7＝________；若a 31＋a 32＋a 33＋a 34＋…时间该林区原有林地减少后的面积该年开荒 造林面积 2003年年底 99.8000万公顷 0.3000万公顷 2004年年底 99.6000万公顷 0.3000万公顷 2005年年底 99.4001万公顷 0.2999万公顷 2006年年底 99.1999万公顷 0.3001万公顷 2007年年底 99.0002万公顷0.2998万公顷＋a3n＝2，则说明__________.10.函数f(x)＝a·b x的图象过点A(2，12)，B(3,1)，若记a n＝log2f(n)(n∈N*)，S n是数列{a n}的前n项和，则S n 的最小值是________．三、解答题（本大题共4小题，共50分）11.（12分）某林区由于各种原因林地面积不断减少，已知2002年年底的林地面积为100万公顷，从2003年起该林区进行开荒造林，每年年底的统计结果如下：试根据此表所给数据进行预测.（表中数据可以按精确到0.1万公顷考虑）（1）如果不进行从2003年开始的开荒造林，那么到2016年年底，该林区原有林地减少后的面积大约变为多少万公顷？（2）如果从2003年开始一直坚持开荒造林，那么到哪一年年底该林区的林地总面积达102万公顷？12.（12分）为保护我国的稀土资源，国家限定某矿区的出口总量不能超过80吨，该矿区计划从2010年开始出口，当年出口a吨，以后每年出口量均比上一年减少10%.(1)以2010年为第一年，设第n年出口量为a n吨，试求a n的表达式；(2)因稀土资源不能再生，国家计划10年后终止该矿区的出口，问2010年最多出口多少吨？(保留一位小数，参考数据：0.910≈0.35)13.（13分）某城市决定对城区住房进行改造，在新建住房的同时拆除部分旧住房．第一年建新住房a m2，第二年到第四年，每年建设的新住房比前一年增长100%，从第五年起，每年建设的新住房都比前一年减少a m2；已知旧住房总面积为32a m2，每年拆除的数量相同．(1)若10年后该城市住房总面积正好比改造前的住房总面积翻一番，则每年拆除的旧住房面积是多少m2?(2)求前n(1≤n≤10且n∈N)年新建住房总面积S n. 14.（13分）某国采用养老储备金制度，公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为a1，以后每年交纳的数目均比上一年增加d (d＞0)，因此，历年所交纳的储备金数目a1，a2，…是一个公差为d的等差数列.与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利.这就是说，如果固定利率为r (r＞0)，那么，在第n年末，第一年所交纳的储备金就变为a1(1 + r)n – 1，第二年所交纳的储备金就变为a2(1 + r) n – 2，…，以T n表示到第n年末所累计的储备金总额.（1）写出T n与T n – 1(n≥2)的递推关系式；（2）求证：T n = A n + B n，其中{A n}是一个等比数列，{B n}是一个等差数列.§4 数列在日常经济生活中的应用（北京师大版必修5）答题纸得分：一、选择题题号 1 2 3 4答案二、填空题5. ；6. ；7. ； 8. ；9. ；10. .三、解答题11.12.13.14.§4 数列在日常经济生活中的应用（北京师大版必修5） 答案一、选择题1.A 解析： 依题意除去一只羊外，其余n －1只羊的重量从小到大依次排列构成等差数列.设a 1＝7，d >0，S n 1＝65－10＝55. ∴ 有(n －1)a 1＋(n －1)(n －2)2d ＝55，即7(n －1)＋(n －1)(n －2)d 2＝55， ∴ (n －1)[7＋(n －2)d2]＝55.∵ 55＝11×5且(n －1)为正整数，[7＋(n －2)d2]为正整数. ∴ ⎩⎪⎨⎪⎧n －1＝5，7＋n －22d ＝11.解得 n ＝6.2.A 解析：根据等差、等比数列的性质，可知x 1＝2，x 2＝3，y 1＝2，y 2＝4，∴ P 1(2,2)，P 2(3,4)．∴=1.3.D 解析：设出齐这套书的年份是x ，则(x －12)＋(x －10)＋(x －8)＋…＋x ＝13 958，∴ 7x －7(12＋0)2＝13 958，解得x ＝2 000.4. C 解析1：由S n 可求出a n =301（－n 2+15n －9），解不等式301（－n 2+15n －9）＞1.5，得6＜n ＜9. 解析2：将选项中的月份代入计算验证. 二、填空题5.5 解析：由题意，n 小时后有2n 人得知，此时得知信息的总人数为1+2+22+…+2n =2n +1－1≥55，即2n +1≥56，∴ n +1≥6，∴ n ≥5．6.(1+)5-1 解析：设2007年国内生产总值为，则(1)5为2012年国内生产总值，增长倍数为(1)5-1.7.512 解析：由题意知a 1=1，公比q =2，经过3小时分裂9次，∴ 末项为a 10，则a 10=a 1·29=512．8. 9 解析：由条件得 (n －2)×180°＝120°×n ＋n (n －1)2×5°， 解得 n ＝9或n ＝16，∵ a 16＝120°＋(16－1)×5°＝195°>180°， ∴ n ＝16(舍去)，而a 9＝160°<180°， ∴ n ＝9.9. 1 a 31，a 32，a 33，…，a 3n 中有且仅有2个值为1，其余值为0，即第3号工人操作了2台织布机解析：依题意，第7台织布机有且仅有一人操作，说明a 17，a 27，a 37，…，a n7中有且仅有一个值为1，其余值为0，∴ a 17＋a 27＋a 37＋…＋a n7＝1. 同理，由a 31＋a 32＋a 33＋…＋a 3n ＝2.说明a 31，a 32，a 33，…，a 3n 中有且仅有2个值为1，其余值为0， 即第3号工人操作了2台织布机．10. －3 解析：将A 、B 两点坐标代入,得解得∴＝18·2x， ∴ f(n)＝18·2n ＝2n －3， ∴ a n ＝log 2＝n －3.令a n ≤0，即≤0，∴ ≤3.∴ 数列前3项小于或等于零，故3或2最小．3＝1＋2＋3＝－2＋(－1)＋0＝－3.三、解答题 11. 解 ：（1）记2003年该林区原有林地面积为1，到2016年年底该林区原有林地减少后的面积大约变为14，从表中看出｛a n ｝是等差数列，公差约为0.2，故141＋（,所以到2016年年底，该林区原有林地减少后的面积大约变为97.2万公顷．（2）根据表中所给数据，该林区每年开荒造林面积基本是常数0.3万公顷，设2003年起，年后林地总面积达102万公顷，结合（1）可知：解得， 即2022年年底，该林区的林地总面积达102万公顷．12. 解：(1)由题意知每年的出口量构成等比数列，且首项a 1＝a ，公比q ＝1－10%＝0.9，∴ a n ＝a ·0.9n －1.(2)10年出口总量 S 10＝a (1－0.910)1－0.9＝10a (1－0.910)．∵ S 10≤80，∴ 10a (1－0.910)≤80，即a ≤81－0.910，∴ a ≤12.3.故2010年最多出口12.3吨．13.解：(1)10年后新建住房总面积为a ＋2a ＋4a ＋8a ＋7a ＋6a ＋5a ＋4a ＋3a ＋2a ＝42a . 设每年拆除的旧住房为x m 2，则42a ＋(32a －10x )＝2×32a ， 解得x ＝a ，即每年拆除的旧住房面积是a m 2. (2)设第n 年新建住房面积为，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n －1a ，1≤n ≤4，(12－n )a ，5≤n ≤10.所以当1≤n ≤4时，S n ＝(2n －1)a ；当5≤n ≤10时，S n ＝a ＋2a ＋4a ＋8a ＋7a ＋6a ＋…＋(12－n )a ＝15a ＋(n －4)(19－n )a 2＝(23n －n 2－46)a2.故S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧(2n－1)a ，1≤n ≤4且n ∈N ，(23n －n 2－46)2a ，5≤n ≤10且n ∈N .14.解：（1）依题设有T n = T n – 1(1 + r) + a n (n ≥2).（2）T 1 = a 1，对n ≥2反复使用上述关系式，得T n = T n – 1(1 + r) + a n = T n – 2(1 + r)2+ a n – 1(1 + r) +a n = a 1(1 + r)n – 1 + a 2(1 + r) n – 2+ … + a n – 1(1 + r) + a n . ① 在①式两端同乘 (1 + r)，得(1 + r)T n = a 1(1 + r)n + a 2 (1 + r)n – 1 + … +a n – 1(1 + r)2+ a n (1 + r) . ② ② – ①，得rT n = a 1(1 + r )n + d [(1 + r )n – 1 + (1 + r) n– 2 + … + (1 + r )] – a n =d r[(1 + r )n– 1 – r ] + a 1(1 + r ) n– a n ，又a n = a 1 +（n – 1）d ，则1122(1)n n a r d a r d dT r n r r r++=+--. 如果记1122(1),nn na r d a r d d A r B n r r r ++=+=--， 则T n = A n + B n ，其中{A n }是以12(1)a r d r r ++为首项，以1 + r (r ＞0)为公比的等比数列，{B n}是以12a r d d r r +--为首项，dr-为公差的等差数列.。
2021-2022学年数学北师大版必修五学案 第一章 4 数列在日常经济生活中的应用
所以 a6=130.0-9.6×5=82.0. 所以《易经》中所记录的惊蛰的晷影长是 82.0 寸.
答案:82.0
4.(教材二次开发:习题改编)2020 年 5 月小刘在中国银行存入 10 万元
定 期 存 款 , 存 期 1 年 , 年 利 率 为 2.25%, 那 么 10 年 后 共 得 本 息 为
寸 1 分(1 寸=10 分).
节气
冬至
小寒 大寒 立春 雨水 惊蛰 春分 (大雪) (小雪) (立冬) (霜降) (寒露) (秋分)
晷影 135
长(寸)
125. 115.1 105.2 95.3 85.4 75.5
节气
清明 谷雨 立夏 小满 芒种 夏至
(白露) (处暑) (立秋) (大暑) (小暑)
日影长度最小,为 160 分,即可求出 d=- ,进而求出立春”时日影长
度为 1 052 分.
【解析】选 B.一年有二十四个节气,每相邻两个节气之间的日影长度差
为 99 分,且“冬至”时日影长度最大,为 1350 分;“夏至”时日影长度
最小,为 160 分.所以 1 350+12d=160,解得 d=- ,所以“立春”时日
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§4 数列在日常经济生活中的应用
学 1.理解单利、复利的含义(数学抽象)
习 2.能在具体的问题情境中发现数列的等差、等比关系,并解决相
目 应的问题(数学建模)
标 必备知识·自主学习 1.数学中常见的定期存
导 款利率计算方法有哪些? 思 2.建立数学模型的关键
构成等差数列. ( )
(3)企业对某一项目投资,每年比上一年递增 10%,则各年的投资额也构
北师版高中数学高二-必修5课件 1.4 数列在日常经济生活中的应用
10%的复利计算，试比较两种方案谁获利更多？(精确到千
元，数据1.110≈2.594,1.310≈13.79)
§4 数列在日常经济生活中的应用
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解 甲方案10年中每年获利数组成首项为1，公比为1＋30%
的 等 比 数 列 ， 其 和 为 1 ＋ (1 ＋ 30%) ＋ (1 ＋ 30%)2 ＋ … ＋ (1 ＋ 30%)9＝ 1.310－1≈42.63(万元).
_a_(_1_＋__b_)_5 吨.
解析 由于2010年产生的垃圾量为a吨，由题意，得2011年
的垃圾量为a＋a·b＝a(1＋b)，2012年产生的垃圾量为a(1＋
而贷款本息和为 1.1×[1＋(1＋10%)＋…＋(1＋10%)9]
1.110－1
＝1.1×
≈17.53(万元).
1.1－1
∴ 乙 方 案 扣 除 贷 款 本 息 后 ， 净 获 利 约 为 32.50 －
17.53≈15.0(万元).
比较得，甲方案净获利多于乙方案净获利.
§4 数列在日常经济生活中的应用
§4 数列在日常经济生活中的应用
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a1＋p
a1＋p
将之变形为 bn＋1＋ p ＝(1＋p)[bn＋ p ]，
a1＋p a1＋p2 其中 b1＋ p ＝ p .
∴bn＋a1p＋p是以a1＋p p2为首项，
(1＋p)为公比的等比数列，于是bn＝ap [(1＋p)n＋1－(1＋p)]. 即这个家庭到 2022 年年初本利可达pa[(1＋p)11－(1＋p)]元.
§4 数列在日常经济生活中的应用
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因而数列{an}是首项为 4.公差为－15的等差数列. 5－1
a5＝4－ 5 ＝3.2(万元). S10＝10×4＋10×10－21×－15＝31(万元).
高中数学第一章数列4数列在日常经济生活中的应用课件北师大版必修5
＋100×1－112－219≈100＋199.6＝299.6(m)．
5．某工厂2014年的月产值按等差数列增长，第一季度总产值为20万元，上 半年总产值为60万元，则2014年全年总产值为____2_0_0______元．
[解析]
由题意，得36aa11＋＋36××3622－－11dd＝＝6200
，
Bn＝500[(1＋12)＋(1＋212)＋…＋(1＋21n)]－600＝500n－520n0－100.
(2)Bn－An＝(500n－520n0－100)－(490n－10n2)＝10n2＋10n－520n0－100 ＝10[n(n＋1)－520n －10]． 因为函数 y＝x(x＋1)－520x －10 在(0，＋∞)上为增函数， 当 1≤n≤3 时，n(n＋1)－520n－10≤12－580－10<0； 当 n≥4 时，n(n＋1)－520n－10≥20－5106－10>0. ∴仅当 n≥4 时，Bn>An. 则至少经过 4 年，该企业进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的 累计纯利润．
∴0<k＋1<1，pn>0， 又∵pnp＋n 1＝pp0011＋＋kkn－n1＝1＋k<1，∴pn＋1<pn.
即数列{pn}为递减数列．
4．某同学在电脑上设置一个游戏，他让一弹性球从100 m高处自由落下，
每次着地后又跳回到原来高度的一半再落下，则第10次着地时所经过的路程和
为( B )
A．199.8 m
1．用分期付款的方式购买一件电器，价格为1 150元，购买当天先付150
元，以后每月这一天都交付50元及欠款的利息，月利率为1%，则买这件电器实
际花( B )
A．1 105元
2021_2022学年高中数学第1章数列4数列在日常经济生活中的应用教案北师大版必修5
4 数列在日常经济生活中的应用学习目标核心素养1.掌握单利、复利的概念．(重点)2．掌握零存整取、定期自动转存、分期付款三种模型及应用．(重点)3．掌握数列在日常经济生活中的应用．(难点)1.通过数列在日常生活中的应用提升数学建模素养．2．通过数列在经济生活中的应用提升数学运算素养.数列在日常经济生活中的应用阅读教材P32～P34例3以上局部，完成以下问题：(1)三种常见的应用模型①零存整取：每月定时收入一笔一样数目的现金，这是零存；到约定日期，可以取出全部本利和，这是整取，规定每次存入的钱不计复利(暂不考虑利息税)．②定期自动转存：银行有另一种储蓄业务为定期存款自动转存．例如，储户某日存入一笔存期为1年的存款，1年后，如果储户不取出本利和，那么银行自动办理转存业务，第2年的本金就是第1年的本利和．③分期付款：分期付款是购物的一种付款方式．即将所购物的款数在规定的期限内按照一定的要求，分期付清．(2)常用公式①复利公式：按复利计算的一种储蓄，本金为P元，每期利率为r，存期为n，那么本利和S＝P(1＋r)n.②产值模型：原来产值的根底数为N，平均增长率为r，对于时间x的总产值y＝N(1＋r)x.③单利公式：利息按单利计算，本金为P元，每期利率为r，存期为n，那么本利和为S ＝P(1＋nr)．思考：(1)数学中常见的定期存款利率计算方法有哪些？[提示] 单利和复利两种方法．(2)建立数学模型的关键是什么？[提示] 正确选取变量，并准确建立变量之间的数量关系．1．现存入银行10 000元钱，年利率是3.60%，那么按照复利，第5年末的本利和是( ) 3B．10 000×1.036456C [由复利公式得S ＝10 000×(1＋3.60%)55.]2．某产品方案每年本钱降低q %，假设三年后本钱为a 元，那么现在的本钱是( )A ．a (1＋q %)3B ．a (1－q %)3C ．a (1－q %)3 D ．a(1＋q %)3 C [设现在的本钱为x 元，那么有x (1－q %)3＝a ． ∴x ＝a(1－q %)3.应选C ．]3．过圆x 2＋y 2＝10x 内一点(5,3)有k 条弦的长度组成等差数列，且最短弦长为首项a 1 ，最长弦长为末项a k ，假设公差d ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，12，那么k 的取值不可能是( ) A ．4 B ．5 C ．6D ．7A [x 2＋y 2＝10x 化简得(x －5)2＋y 2＝25 过点(5,3)的最短弦长为8，最长弦长为10， 那么由题意d ＝10－8k －1＝2k －1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，12，5≤k ≤7.] 4．阿明存入5万元定期存款，存期1年，年利率为2.25%，那么10年后共得本息和为________万元．(准确到0.001)6．246 [10年后的本息：a 10＝5×(1＋0.022 5)10≈6.246(万元)．]等差数列模型先付150万元，以后每月这一天都交付50万元，并加付欠款利息，月利率为1%，假设交付150万元后的第一个月开场算分期付款的第一个月，问分期付款的第10个月应付多少钱？全部按期付清后，买这40套住房实际花了多少钱？[解] 因购房时付150万元，那么欠款1 000万元，依题意分20次付款， 那么每次付款的数额顺次构成数列{a n }． 那么a 1＝50＋1 000×1%＝60，a 2＝50＋(1 000－50)×1%＝59.5， a 3＝50＋(1 000－50×2)×1%＝59，a 4＝50＋(1 000－50×3)×1%＝58.5，…所以a n ＝50＋[1 000－50(n －1)]×1%＝60－12(n －1)(1≤n ≤20，n ∈N ＋)．所以{a n }是以60为首项，－12为公差的等差数列．所以a 10＝60－9×12＝55.5.所以第10个月应付55.5(万元)．a 20＝60－19×12＝50.5.所以S 20＝12×(a 1＋a 20)×20＝10×(60＋50.5)＝1 105.所以实际共付1 105＋150＝1 255(万元)．1．按单利计算公式单利的计算仅在原有本金上计算利息，对本金所产生的利息不再计算利息，其公式为利息＝本金×利率×存期．2．按单利分期付款问题的三个关键问题 (1)规定多少时间内付清全部款额．(2)在规定的时间内分几期付款，并且规定每期所付款额一样． (3)规定多长时间段结算一次利息，及在规定时间段内利息的计算公式．1．某人在一年12个月中，每月10日向银行存入1 000元，假设银行的月利率为5‰(按单利计算)，那么到第二年的元月10日，此项存款一年的利息之和是( )A ．5(1＋2＋3＋…＋12)元B ．5(1＋2＋3＋…＋11)元C ．1 000[1＋5‰＋(5‰)2＋…＋(5‰)11]元 D ．1 000[1＋5‰＋(5‰)2＋…＋(5‰)12]元A [存款利息是以5为首项，5为公差的等差数列，12个月的存款利息之和为5(1＋2＋3＋…＋12)元，应选A ．]等比数列模型【例2】 某家庭打算以一年定期的方式存款，方案从2021年起，每年年初到银行新存入a 元，年利率p 保持不变，并按复利计算，到2028年年初将所有存款和利息全部取出，一共可以取回多少钱？[解] 设从2021年年初到2028年年初每年存入a 元的本利和组成数列{a n }(1≤n ≤10)． 那么a 1＝a (1＋p )10，a 2＝a (1＋p )9，…，a 10＝a (1＋p )， 故数列{a n }(1≤n ≤10)是以a 1＝a (1＋p )10为首项，q ＝11＋p为公比的等比数列． 所以2028年初这个家庭应取出的钱数为S 10＝a (1＋p )10⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1(1＋p )101－11＋p＝a p[(1＋p )11－(1＋p )](元)．1．复利问题的计算方法复利问题可以转化为等比数列问题，第n 年的本息＝本金×(1＋利率)n. 2．解决等比数列应用题的关键 (1)认真审题抓特点，仔细观察找规律． (2)等比数列的特点是增加或减少的百分数一样．(3)分析数列的规律，一般需先写出数列的一些项加以考察．2．某住宅小区方案植树不少于100棵，假设第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，那么需要的最少天数n (n ∈N ＋)等于________．6 [每天植树的棵数构成以2为首项，2为公比的等比数列，其前n 项和S n ＝2(1－2n)1－2＝2n ＋1n ＋1－2≥100，得2n ＋1≥102.由于26＝64,27＝128，那么n ＋1≥7，即n ≥6.]分期付款问题[1．复利与单利的区别是什么？[提示] (1)复利在第二次以后计算时，将上一次得到的利息也作为了本金，而单利每一次的计算都是将开场的本金作为本金计息．(2)单利和复利分别以等差数列和等比数列作为模型，即单利的实质是等差数列，复利的实质是等比数列．2．小明存入1万元定期存款，存期5年，年利率为2%，假设按单利计算，5年后共获得本息和为多少元？假设按复利计算，5年后共获得本息和多少元？[提示] 按单利计算：5年后共获(1＋5×2%)＝1.1万元； 按复利计算：5年后共获(1＋2%)5＝1.104万元．3．在实际问题中，涉及一组与顺序有关的数的问题时，应考虑用什么方法解决？解决此问题的关键是什么？[提示] 在实际问题中，假设涉及一组与顺序有关的数的问题，可考虑用数列方法解决，在利用数列方法解决实际问题时的关键是分清首项、项数等问题．【例1010≈13.786)思路探究：分清两种方案分别属于什么数列模型，然后分别建立不同数列模型解决． [解] 方案甲：十年获利中，每年获利数构成等比数列，首项为1，公比为1＋30%，前10项和为S 10＝1＋(1＋30%)＋(1＋30%)2＋…＋(1＋30%)9，所以S 10＝错误!≈42.62(万元)．又贷款本息总数为10(1＋10%)1010≈25.94(万元)，甲方案净获利42．62－25.94≈16.7(万元)．乙方案获利构成等差数列，首项为1，公差为12，前10项和为T 10＝1＋⎝⎛⎭⎪⎫1＋12＋⎝⎛⎭⎪⎫1＋2×12＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫1＋9×12＝10⎝ ⎛⎭⎪⎫112＋12＝32.50(万元)，而贷款本息总数为1．1×[1＋(1＋10%)＋…＋(1＋10%)9] ＝1.1×错误!≈17.53(万元)， 乙方案净获利≈15.0(万元)．比拟两方案可得甲方案获利较多．1．(变条件)在例3中，假设该企业还有两种技术改造的方案，丙方案：一次性贷款40万元，第一年获利是贷款额的10%，以后每年比上一年增加25%的利润，丁方案：一次性贷款20万元，第一年获利是贷款额的15%，以后每年都比上一年增加利润1.5万元，两种方案使用期限都是10年，到910910≈1.22)，试比拟两种方案，哪种方案净获利更多？[解]方案丙：由题意知，每年的利润a n 成等比数列， 且a 1＝4，公比q ＝1＋25%＝1.25，n ＝10， 收入S 丙＝4(10)1－1.25＝4(9.3－1)0.25＝132.8(万元)．净获利W 丙＝132.8－40(1＋2%)10＝132.8－48.8＝84(万元)，方案丁：由题意，每年的利润记为数列{b n }，它是等差数列，且b 1＝3，公差为1.5，n ＝10，收入S 丁＝10×3＋12×10×9×1.5＝30＋67.5＝97.5(万元)．净获利：W 丁＝97.5－20(1＋2%)10＝97.5－24.4＝73.1(万元) 所以方案丙净获利更多．2．(变结论)在例3中，设甲方案可贷款n 年，按此方案技术改造第n 年的累计净获利能够超过100万元，求n14151415≈4.178)[解] 设按照甲方案进展技术改造，n 年的累计净获利超过100万元， 由题意知，每年获利数构成等比数列，首项为1，公比为1＋30%， 前n 项和为S n ＝1＋(1＋30%)＋(1＋30%)2＋…＋(1＋30%)n －1＝错误!＝错误!n－1)，又贷款本息总数为10(1＋10%)nn， 那么甲方案的净获利为103nn，由题意知103(nn＞100，经历证，当n ＝14时，1031414＝103＝127.913－37.98＝89.933＜100， 当n ＝15时，1031515＝103＝167.287－41.78＝125.507＞100，所以n的最小值为15.1．等差、等比数列的应用题常见问题产量增减、价格的升降、细胞繁殖、贷款利率、增长率等方面的问题，解决方法是建立数列模型，应用数列知识解决问题．2．将实际问题转化为数列问题时应注意(1)分清是等差数列还是等比数列．(2)分清是求a n，还是求S n，特别要准确确定项数n.(3)递推关系的发现是数列建模的重要方式．1．等差、等比数列的应用题常见于产量增减、价格升降、细胞繁殖、贷款利率、增长率等方面的问题，解决方案是建立数列模型，应用数列知识解决问题．2．银行存款中的单利是等差数列模型，本利和公式为S＝P(1＋nr)；复利是等比数列模型，本利和公式为S＝P(1＋r)n.(其中P为本金，r为利率，n为期数)3．等额本息分期付款是等比数列求和问题；等额本金分期付款是等差数列求和问题．1．判断正误(正确的打“√〞，错误的打“×〞)(1)在银行取款时，取到的本息是指存款得到的利息．( )(2)定期自动转存模型是等差数列．( )(3)在分期付款中，各期所付款及各期所付款所生成的利息之和等于商品的售价．( )[答案] (1)×(2)×(3)×[提示] (1)不正确，本息指本金与利息的和；(2)不正确，定期自动转存的模型不是等差数列；(3)不正确，分期付款的本质是贷款按复利整存整取，还款按复利零存整取到贷款全部还清时，贷款本利合计＝还款本利合计．2．某钢厂的年产值由1999年的40万吨，增加到2021年的50万吨，经历了10年的时间，如果按此年增长率计算，该钢厂2021年的年产值将接近( )A．60万吨B．61万吨C．63万吨D．64万吨C [设年增长率为x ，那么2021年为：40(1＋x )10＝50，那么(1＋x )10＝54.2021年为：40(1＋x )20＝40×[(1＋x )10]2＝40×54×54≈63(万吨)．]3．某工厂购置一台机器价格为a 万元，实行分期付款，每期付款b 万元，每期为一个月，共付12次，如果月利率为5‰，每月复利一次，那么a ，b 满足( )A ．b ＝a12B ．b ＝a (1＋5‰)1212 C ．b ＝a (1＋5‰)12D ．a 12<b <a (1＋5‰)1212D [因为b 211)＝a (1＋0.005)12，所以12b <a 05)12， 所以b <a (1＋5‰)1212，显然12b >a ， 即a 12<b <a (1＋5‰)1212.]4．1个水池有假设干出水量一样的水龙头，如果所有水龙头同时放水，那么24 min 可注满水池．如果开场时全部开放，以后每隔相等的时间关闭1个水龙头，到最后1个水龙头关闭时，恰好注满水池，而且最后1个水龙头放水的时间恰好是第1个水龙头放水时间的5倍，问最后关闭的这个水龙头放水的时间是多少？[解] 设共有n 个水龙头，每个水龙头开放时间依次为x 1，x 2，…，x n ，由x 2－x 1＝x 3－x 2＝x 4－x 3＝…＝x n －x n －1，数列{x n }是等差数列，每个水龙头1 min 放水124n，所以x 1＋x 2＋…＋x n 24n ＝1，即S n ＝24n ，即(x 1＋x n )·n 2＝24n ，所以12(x 1＋x n )＝24，x 1＋x n ＝48.又因为x n ＝5x 1，所以6x 1＝48，x 1＝8，x n ＝5x 1＝40. 故最后关闭的水龙头放水40 min.。
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,[学生用书单独成册])[A.基础达标]1．某工厂总产值月平均增长率为p ，则年平均增长率为( )A ．pB ．12pC ．(1＋p )12D ．(1＋p )12－1解析：选D.设原有总产值为a ，年平均增长率为r ，则a (1＋p )12＝a (1＋r )，解得r ＝(1＋p )12－1，故选D.2．某种产品计划每年降低成本q %，若三年后的成本是a 元，则现在的成本是( )A ．a 3q %B ．a ·(q %)3C ．a (1－q %)3 D.a （1－q %）3解析：选D.设现在的成本为x 元，则x (1－q %)3＝a ，所以x ＝a （1－q %）3，故选D. 3．某工厂2012年年底制订生产计划，要使工厂的总产值到2020年年底在原有基础上翻两番，则总产值年平均增长率为( )A ．214－1B ．215－1C ．314－1D ．315－1解析：选A.设2012年年底总产值为a ，年平均增长率为x ，则a (1＋x )8＝4a ，得x ＝214－1，故选A.4．某企业2014年12月份产值是这年1月份产值的p 倍，则该企业2014年度的产值月平均的增长率为( ) A.12p B.12p －1 C.11p －1 D.11p解析：选C.设2014年1月份产值为a ，则12月份的产值为pa ，假设月平均增长率为r ，则a (1＋r )11＝pa ，所以r ＝11p －1.故选C.5．某人为了观看2014世界杯，从2007年起，每年5月10日到银行存入a 元定期储蓄，若年利率为p 且保持不变，并约定每年到期存款均自动转为新的一年定期，到2014年将所有的存款及利息全部取回，则可取回的钱的总数(元)为( )A ．a (1＋p )7B ．a (1＋p )8C.a p [(1＋p )7－(1＋p )]D.a p[(1＋p )8－(1＋p )] 解析：选D.2007年存入的a 元到2014年所得的本息和为a (1＋p )7，2008年存入的a 元到2014年所得的本息和为a (1＋p )6，依次类推，则2013年存入的a 元到2014年的本息和为a (1＋p )，每年所得的本息和构成一个以a (1＋p )为首项，1＋p 为公比的等比数列，则到2014年取回的总额为a (1＋p )＋a (1＋p )2＋…＋a (1＋p )7＝a （1＋p ）[1－（1＋p ）7]1－（1＋p ）＝a p [(1＋p )8－(1＋p )]． 6．小王每月除去所有日常开支，大约结余a 元．小王决定采用零存整取的方式把余钱积蓄起来，每月初存入银行a 元，存期1年(存12次)，到期取出本金和利息．假设一年期零存整取的月利率为r ，每期存款按单利计息．那么，小王存款到期利息为________元．解析：由题意知，小王存款到期利息为12ar ＋11ar ＋10ar ＋…＋2ar ＋ar ＝12（12＋1）2ar ＝78ar . 答案：78ar7．某人买了一辆价值10万元的新车，专家预测这种车每年按10%的速度折旧，n 年后这辆车的价值为a n 元，则a n ＝________，若他打算用满4年时卖掉这辆车，他大约能得到________元．解析：n 年后这辆车的价值构成等比数列{a n }，其中，a 1＝100 000×(1－10%)，q ＝1－10%，所以a n ＝100 000×(1－10%)n ，所以a 4＝100 000×(1－10%)4＝65 610(元)．答案：100 000×(1－10%)n 65 6108．有这样一首诗：“有个学生资性好，一部《孟子》三日了，每日添增一倍多，问君每日读多少？”(注：《孟子》全书约34 685字，“一倍多”指一倍)，由此诗知该君第二日读了________字．解析：设第一日读的字数为a ，由“每日添增一倍多”得此数列是以a 为首项，公比为2的等比数列，可求得三日共读的字数为a （1－23）1－2＝7a ＝34 685，解得a ＝4 955，则2a ＝9 910，即该君第二日读的字数为9 910.答案：9 9109．某银行设立了教育助学贷款，其中规定一年期以上贷款月均等额还本付息(利息按月以复利计算)．如果贷款10 000元，两年还清，月利率为0.457 5%，那么每月应还多少钱呢？解：贷款10 000元两年到期时本金与利息之和为：10 000×(1＋0.457 5%)24＝10 000×1.004 57524(元)．设每月还x 元，则到期时总共还x ＋1.004 575x ＋…＋1.004 57523x ＝x ·1－1.004 575241－1.004 575. 于是x ·1－1.004 575241－1.004 575＝10 000×1.004 57524. 所以x ≈440.91(元)．即每月应还440.91元．10．用分期付款购买价格为25万元的住房一套，如果购买时先付5万元，以后每年付2万元加上欠款利息．签订购房合同后1年付款一次，再过1年又付款一次，直到还完后为止，商定年利率为10%，则第5年该付多少元？购房款全部付清后实际共付多少元？解：购买时先付5万元，余款20万元按题意分10次分期还清，每次付款数组成数列{a n }，则a 1＝2＋(25－5)·10%＝4(万元)；a 2＝2＋(25－5－2)·10%＝3.8(万元)；a 3＝2＋(25－5－2×2)·10%＝3.6(万元)，…，a n ＝2＋[25－5－(n －1)·2]·10%＝(4－n －15)(万元)(n ＝1，2，…，10)．因而数列{a n }是首项为4，公差为－15的等差数列． a 5＝4－5－15＝3.2(万元)． S 10＝10×4＋10×（10－1）×（－15）2＝31(万元)． 因此第5年该付3.2万元，购房款全部付清后实际共付36万元．[B.能力提升]1．某商场今年销售计算机5 000台，如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%，那么从今年起，大约多少年可以使总销售量达到30 000台？(结果保留到个位)(参考数据：lg 1.1≈0.041，lg 1.6≈0.204)( )A ．3年B ．4年C ．5年D ．6年解析：选C.设大约n 年可使总销售量达到30 000台，由题意知：每年销售量构成一个等比数列，首项为a 1＝5 000台，公比q ＝1.1，S n ＝30 000，所以由30 000＝5 000（1－1.1n ）1－1.1⇒1.1n ＝1.6⇒n ＝lg 1.6lg 1.1≈5，故选C.2．某个集团公司下属的甲、乙两个企业在2015年1月的产值相等．若甲企业每个月的产值比前一个月的产值增加的数值相等，乙企业每个月的产值比前一个月的产值增加的百分数相等，到2016年1月两个企业的产值又相等，那么2015年7月，甲、乙两个企业的产值的大小关系是( )A ．甲大B ．乙大C ．相等D ．无法确定解析：选A.设从2015年1月到2016年1月，甲企业每个月的产值分别是a 1，a 2，…，a 13，乙企业每个月的产值分别是b 1，b 2，…，b 13.依题意{a n }成等差数列，{b n }成等比数列，所以a 7＝a 1＋a 132，b 7＝b 1b 13.又因为a 1＝b 1，a 13＝b 13，a 13>a 1，所以a 7＝a 1＋a 132>a 1a 13＝b 1b 13＝b 7，即2015年7月甲企业的产值大，故选A.3．某纯净水厂在净化过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质20%，要使水中杂质减少到原来的5%以下，则至少需过滤的次数为________．(参考数据：lg 2≈0.301 0)解析：设原杂质数为1，各次过滤后水中的杂质数构成等比数列{a n }，则a 1＝1－20%，公比q ＝1－20%，所以a n ＝(1－20%)n ，由题意可知(1－20%)n ＜5%，即0.8n ＜0.05.两边取对数得n lg 0.8＜lg 0.05，因为lg 0.8＜0，所以n ＞lg 0.05lg 0.8，即n ＞lg 5－2lg 8－1＝1－lg 2－23lg 2－1＝－lg 2－13lg 2－1≈－0.301 0－13×0.301 0－1≈13.41，又n ∈N ＋，故n ＝14，即至少需要过滤14次．答案：144．商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a ，最高销售价b (b >a )以及实数x (0<x <1)确定实际销售价格c ＝a ＋x (b －a )．这里，x 被称为乐观系数．经验表明，最佳乐观系数x 恰好使得(c －a )是(b －c )和(b －a )的等比中项．据此可得，最佳乐观系数x 的值等于________．解析：由已知(c －a )是(b －c )和(b －a )的等比中项，即(c －a )2＝(b －c )(b －a )，把c ＝a ＋x (b －a )代入上式，得x 2(b －a )2＝[b －a －x (b －a )](b －a )，即x 2(b －a )2＝(1－x )(b －a )2，因为b >a ，b －a ≠0，所以x 2＝1－x ，即x 2＋x －1＝0，解得x ＝－1±52，因为0<x <1，所以最佳乐观系数x 的值等于 －1＋52. 答案： －1＋525．祖国大陆允许台湾农民到大陆创业以来，在11个省区设立了海峡两岸农业合作试验区和台湾农民创业园，台湾农民在那里申办个体工商户可以享受“绿色通道”的申请、受理、审批一站式服务，某台商到大陆一创业园投资72万美元建起一座蔬菜加工厂，第一年各种经费12万美元，以后每年增加4万美元，每年销售蔬菜收入50万美元，设f (n )表示前n 年的纯收入．求从第几年开始获取纯利润？(f (n )＝前n 年的总收入－前n 年的总支出－投资额)解：由题意，知每年的经费是以12为首项，4为公差的等差数列．设纯利润与年数的关系为f (n )，则f (n )＝50n －[12n ＋n （n －1）2×4]－72＝－2n 2＋40n －72. 获取纯利润就是要求f (n )>0，故有－2n 2＋40n －72>0，解得2<n <18.又n ∈N ＋，知从第三年开始获利．6．某林场为了保护生态环境，制定了植树造林的两个五年计划，第一年植树16a 亩，以后每年植树面积都比上一年增加50%，但从第六年开始，每年植树面积都比上一年减少a 亩．(1)求该林场第六年植树的面积；(2)设前n (1≤n ≤10且n ∈N ＋)年林场植树的总面积为S n 亩，求S n 的表达式．解：(1)该林场前五年的植树面积分别为16a ，24a ，36a ，54a ，81a .所以该林场第六年植树面积为80a 亩．(2)设第n 年林场植树的面积为a n 亩，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧（32）n －1×16a ，1≤n ≤5，n ∈N ＋，（86－n ）a ，6≤n ≤10，n ∈N ＋.所以当1≤n ≤5时，S n ＝16a ＋24a ＋…＋(32)n －1×16a ＝16a [1－（32）n ]1－32＝32a [(32)n －1]． 当6≤n ≤10时，S n ＝16a ＋24a ＋36a ＋54a ＋81a ＋80a ＋…＋(86－n )a＝211a ＋80a ＋…＋(86－n )a＝211a ＋[80a ＋（86－n ）a ]（n －5）2＝211a ＋（166a －na ）（n －5）2.所以所求S n 的表达式为S n ＝⎩⎨⎧⎣⎡⎦⎤（32）n －1×32a ，1≤n ≤5，n ∈N ＋，211a ＋（166a －na ）（n －5）2，6≤n ≤10，n ∈N ＋.。