10.3三重积分(1)

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三重积分讲解

三重积分是微积分学中的一个重要部分，也是解决许多实际问题的基础。

以下是对三重积分的详细讲解：1.三重积分的概念：三重积分是将一个函数的积分运算转化为三个不同的积分，即分别对三个变量进行积分。

其一般形式为：∫∫∫f(x,y,z)dxdydz其中f(x,y,z)是待求积分的函数，而∫∫∫是三重积分的符号。

2.三重积分的物理背景：三重积分有着深刻的物理背景。

在物理学中，一个物体的质量分布、能量分布或者电荷分布等可以用三重积分来表示。

例如，一个物体的质量分布可以表示为空间中的密度函数f(x,y,z)，那么该物体的总质量就可以通过三重积分来计算。

3.三重积分的计算方法：三重积分的计算通常采用“分割、近似、求和、取极限”的方法。

具体步骤如下：（1）分割：将积分区域分割成许多小的立方体，每个立方体称为一个“小块”。

（2）近似：用每个小块的中心点(x',y',z')来近似该小块上的积分，即用该点的函数值f(x',y',z')来近似该小块上的积分。

（3）求和：将所有小块的积分值相加，得到粗略的积分值。

（4）取极限：将小块的尺寸逐渐缩小，使得粗略的积分值逐渐接近精确的积分值。

4.三重积分的几何意义：三重积分可以理解为空间物体的质量，即空间物体占据空间区域，在点(x,y,z)处的体密度为f(x,y,z)，整个空间物体的总质量就是将f(x,y,z)累积遍整个空间区域。

5.三重积分的性质：三重积分具有与一元定积分相同的性质，例如可加性、可移性、可换序性等。

同时，三重积分也具有与二重积分不同的性质，例如三重积分可以通过“分割、近似、求和、取极限”的过程得到精确的积分值，而二重积分则不能。

6.三重积分的实际应用：三重积分在许多实际应用领域有着广泛的应用，例如物理学中的质量分布、电荷分布、能量分布等问题，工程学中的体积计算、质量平衡等问题，以及统计学中的数据分布等问题。

通过三重积分，我们可以更好地理解和解决这些问题。

三重积分的先二后一积分法(课堂PPT)

椭圆
x2 a2
y2 b2
1
的面积:
A ab
b
a
四川大学数学学院徐小湛
May 2012
10.3 三重积分 7
Dz
{(x,
y) |
x2 a2 (1
z2 c2
)
y2 b2 (1
z2 c2
)
1}
dxdy
Dz
a2
(1
z2 c2
)
b2
(1
z2 c2
)
ab(1
z2 c2
)
椭圆的面积
z
2
dxdydz
Dz
d
z
DzLeabharlann c截面的质量 “切片法”
四川大学数学学院徐小湛
May 2012
10.3 三重积分 4
适合“先二后一”积分法的一种特殊情形
d
f (x, y, z)dV c dz f (x, y, z)dxdy
Dz
d
D(z)
如果被积函数仅为 z 的函数，则
z
d
c
f (z)dV c dz f (z)dxdy
Dz
{(x,
y) |
x2 a2
y2 b2
1
z2 c2 }
椭圆域
四川大学数学学院徐小湛
May 2012
例2 计算三重积分
z 2 dxdydz
10.3 三重积分 6
z
Dz
解用“先二后一”的方法
o
y
x
{(x,
y, z) | c
z
c,
x2 a2
y2 b2
1
z c
2 2
}

三重积分及其计算

三重积分及其计算三重积分是对三维空间内的函数进行积分运算。

它在物理、工程、计算机图形学等领域中有广泛的应用。

本文将介绍三重积分的概念、计算方法以及一些常见的应用。

一、三重积分的定义在直角坐标系中，设函数f(x,y,z)在体积为V的闭区域D上连续，将V分割成许多小体积ΔV，取P_i(x_i,y_i,z_i)为小体积ΔV中的任一点，使ΔV_i=f(P_i)ΔV，其中f(P_i)是P_i点上的函数值。

三重积分的定义为：\[\iiint\limits_{V} f(x, y, z) dV = \lim_{\，\Delta V_i\，\to 0}\sum\limits_{i=1}^{n} f(P_i) \Delta V_i \]其中，$\Delta V_i$表示小体积的体积，n为分割的小体积数量。

二、三重积分的计算方法根据三重积分的定义，可以推导出以下三种计算方法：直接计算、分离变量法和坐标变换法。

1.直接计算法直接计算法较为繁琐，适用于函数f(x,y,z)的表达式较简单的情况。

将积分区域V分成若干个小区域，然后对每个小区域使用定积分的计算方法进行计算，最后将所有小区域的积分值相加即可。

2.分离变量法当函数f(x,y,z)具有可分离变量性质时，可以使用分离变量法来简化积分计算。

即假设有f(x,y,z)=g(x)h(y)k(z)，则有：\[\int\int\int f(x, y, z) dV = \int g(x)dx \int h(y)dy \int k(z)dz\]3.坐标变换法当函数f(x,y,z)在直角坐标系中表达较为复杂时，可以通过坐标变换将其转换为其他坐标系，从而简化积分计算。

常用的坐标变换方法包括球坐标、柱坐标和三角代换等。

具体的变换公式可参考相关数学教材。

三、常见的应用三重积分在物理、工程和计算机图形学等领域中有广泛的应用。

以下列举几个常见的应用。

1.物理学在物理学中，三重积分常用于计算物体的质量、质心和转动惯量等。

10.3三重积分

M =lim∑µ(ξi ,ηi ,ζi )∆vi
λ→0 i=1 =
n
∆vi
o x
(ξi ,ηi ,ζ i ) y
定义设 f ( x, y, z)(( x, y, z)∈Ω) 若对 Ω 作任意分割: 任意分割: 任意取点积和式” 极限积和式”
lim∑ f (ξi ,ηi ,ζ i )∆vi
λ→0
n
i
)∆v i .
∫∫∫ f ( x, y, z )dv = lim ∑ f (ξ ,η , ζ λ
Ω →0 i =1 i i
n
i
)∆v i .
说明 (1) 在直角坐标系下常写作 dv = dxdydz. (2) 三重积分的性质与二重积分相似. 三重积分的性质与二重积分相似. 例如线性性质、对积分区域的可加性、比较性质、线性性质、对积分区域的可加性、比较性质、估值性质、中值定理，还有估值性质、中值定理，
1
D xy o
y
= ∫ dx ∫
−1
1− x
2 2
− 1− x
dy ∫
2− x − y
2
2
x
x +y
2
2
f ( x , y , z )dz
方法2 方法2 截面法 (“先二后一”) (“先二后一先二后一”
(1) 将Ω向 z 轴投影，得投影区间[c1 , c2 ].
z
(2) 任取z ∈ [c1 , c2 ]，过 z作平行于xoy坐标 z 面的平面去截Ω，得截面Dz c1 ( x , y ) ∈ Dz o 则 Ω c1 ≤ z ≤ c2 x
例2 化 ∫∫∫ f ( x , y , z )dxdydz为三次积分，其中Ω为由

三重积分的概念与计算

三重积分的概念与计算在数学分析学科中，积分是一个重要的概念，它用于计算曲线、曲面或空间体所围成的面积、体积以及其他相关量。

而三重积分则是积分的一种特殊形式，用于计算三维空间中的体积、质量、质心等物理量。

本文将介绍三重积分的概念，并探讨其计算方法。

一、三重积分的概念三重积分是对三维空间上的函数进行积分运算。

在直角坐标系下，三重积分可以表示为∭f(x,y,z)dxdydz。

其中，f(x,y,z)是被积函数，而dxdydz则表示积分元素。

三重积分的结果是一个标量。

三重积分可以理解为对一个三维区域进行分割，并将每个小区域的体积乘以被积函数的值后相加。

当区域较为规则时，可以采用基本几何体（如长方体、球体等）的体积公式进行计算。

但对于复杂的区域，通常需要采用变量代换或切割方法进行计算。

二、三重积分的计算方法1. 直角坐标系下的三重积分计算在直角坐标系下，三重积分的计算可以按照先x后y再z的顺序进行。

具体计算方法如下：首先，确定积分区域。

三重积分的区域可以是一个立体体积，可以被一个或多个不等式所限定。

通过对区域的划分，可以将其分解为若干个可计算的部分。

制条件是根据区域的形状和约束条件确定的。

最后，进行计算。

根据上述确定的区域和限制，将被积函数f(x,y,z)代入积分式中，进行积分运算。

2. 极坐标系下的三重积分计算在某些情况下，采用极坐标系可以简化三重积分的计算。

极坐标系下，积分元素可以表示为rdrdθdz。

基于极坐标系的计算方法如下：首先，确定极坐标下的积分区域。

通常需要借助于图形的对称性来确定合适的极坐标范围。

其次，确定积分限。

根据极坐标下的区域范围，确定积分的上下限。

最后，进行计算。

将被积函数f(r,θ,z)代入积分式中，并按照r,θ,z的顺序进行积分运算。

三、举例说明下面通过一个具体例子来说明三重积分的应用。

例：计算函数f(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2在半径为2的球体内的体积。

解：在直角坐标系下，球体的方程为x^2 + y^2 + z^2 = 4。

(完整版)10.3三重积分(新)

0
8
dz
2
2
d
0
4 r 2 rdr
2
8
r2 dz
2
336
另解2
8
I dz
( x2 y2 )dxdy
2
Dz
8
2
dz d
2z r 3dr
2
0
0
336 24
4、利用球面坐标计算三重积分
设 M (x, y, z) 为空间内一点，则点M 可用三个有次序的数
r，，来确定，其中r 为原点O 与点 M 间的距离，为有向线段 OM与 z 轴正向所夹的角，为从正 z 轴来看自x 轴按逆时
d
y
f (r sin cos ,r sin sin ,r cos )r2 sindrdd .
27
例1. 计算三重积分 (x2 y2 z2) d xd yd z ,其中为
锥面 z x 2 y 2 与球面 x2 y 2 z 2 R2 所围立体.
0rR
解:
在球面坐标下
:
0
0
4
b
(
( y2 ( x)
z2( x, y) f ( x, y, z)dz)dy)dx
a y1( x) z1( x, y)
b
dx
y2 ( x) dy z2 ( x, y) f ( x, y, z)dz.
a
y1( x)
z1( x, y)
6
例1. 计算三重积分 xd xd yd z 其中为 z
针方向转到有向线段OP 的角，这里 P 为点 M 在 xoy 面上的投
影，这样的三个数r，，就叫做点 M 的球面坐标．
规定：
0 r , 0 , 0 2.

三重积分的概念与计算

例：设物体占有空间闭区域，在点( x , y , z ) 处的密度为 ( x , y , z ) ，假定 ( x , y , z ) 在上连续，则该物体的质量为
z
z z2 ( x , y )
z2 S 2

z1
S1
z z1 ( x , y )
M ( x , y, z )dv .
z e dv 2 e dv 2 [ dxdy ] e dz
z
z
1

上
2
0
D( z )
2 (1 z )e dz 2.
z 0
1
总结： f ( z )dxdydz c f ( z )dz dxdy

d
Dz
属于第二型， Dz的面积易求。
所围成的空间闭区域.
如图，
z
解
2
: 0 z x2 y2 ,
1 1 x2 y2
x y 1, 1 x 1.
I 1 dx x 2 dy 0
f ( x , y , z )dz .
x
y
为三个例 3 计算三重积分 zdxdydz ，其中
坐标面及平面 x y z 1所围成的闭区域.
D d c Dz
(1) : z x 2 y 2与z 2所围。
(2) : z x 2 y 2与z 2所围。
( 3) : x 2 y 2 z 2 R 2 ,0 z R (4) : x 2 y 2 z 2 R 2 ,0 z a
截面法的一般步骤： z 轴）投影，得 (1) 把积分区域向某轴（例如投影区间[c , d ] ； z 轴且平行xoy 平面的平面去 (2) 对 z [c , d ]用过截，得截面Dz ;

三重积分的积分性质和计算规则

三重积分的积分性质和计算规则三重积分是数学中的一个重要概念，它在物理、工程、计算机科学等领域被广泛应用。

三重积分的计算需要掌握一些性质和规则，本文将详细介绍三重积分的积分性质和计算规则，以帮助读者更好地掌握这一知识点。

一、三重积分的定义三重积分是指对三维空间内的一个体积区域进行积分运算，其数学表达式为：$$\iiint\limits_{V}f(x,y,z)\mathrm{d}V$$其中，$V$ 表示积分区域，$f(x,y,z)$ 表示被积函数，$\mathrm{d}V$ 表示体积元素。

二、三重积分的积分性质1. 可积性若$f(x,y,z)$在闭合的积分区域 $V$ 上连续，则其在 $V$ 上可积。

2. 线性性设$f(x,y,z)$和$g(x,y,z)$在闭合的积分区域 $V$ 上可积，$k$为常数，则有：$$\iiint\limits_{V}(kf(x,y,z)+g(x,y,z))\mathrm{d}V=k\iiint\limits_ {V}f(x,y,z)\mathrm{d}V+\iiint\limits_{V}g(x,y,z)\mathrm{d}V$$3. 保号性设$f(x,y,z)$在闭合的积分区域 $V$ 上可积，则有：$$\iiint\limits_{V}f(x,y,z)\mathrm{d}V\geq0$$当且仅当 $f(x,y,z)$在 $V$ 上恒为 $0$ 时，等号成立。

4. 区域可加性设积分区域 $V$ 可以分成若干个不相交的子区域$V_1,V_2,\cdots,V_n$，则有：$$\iiint\limits_{V}f(x,y,z)\mathrm{d}V=\sum_{i=1}^{n}\iiint\limi ts_{V_i}f(x,y,z)\mathrm{d}V$$三、三重积分的计算规则1. 直角坐标系下的计算在直角坐标系下，我们可以将积分区域先按照 $x,y,z$ 的顺序分解，将三重积分化为三重定积分，然后按照积分顺序先计算$z$ 再计算 $y$ 最后计算 $x$。

三重积分概念及其计算

三重积分概念及其计算三重积分是多重积分的一种，它用于计算三维空间中的体积、质量、质心等物理量。

在本文中，我们将详细介绍三重积分的概念和计算方法。

一、三重积分的概念三重积分是对三维空间中的函数进行求和的一种数学运算。

它可以用于计算空间中的体积、质量、质心等物理量。

三重积分通常表示为∭f(x,y,z)dV，其中f(x,y,z)是定义在三维空间中的函数，dV表示微小体积元素。

二、三重积分的计算方法1.直角坐标系中的三重积分在直角坐标系中，三重积分的计算可以采用分步积分的方法。

具体而言，首先需要确定积分区域的边界，然后分别对x、y、z进行积分。

设积分区域为V，边界为S。

根据积分的基本原理，三重积分可以表示为：∭f(x,y,z)dV=∫∫∫_Vf(x,y,z)dV其中V表示积分区域的体积，dV表示微小体积元素。

假设积分区域可以被表示为：V:a≤x≤b,g(x)≤y≤h(x),p(x,y)≤z≤q(x,y)那么，三重积分可以分步计算为：∭f(x,y,z)dV = ∫∫∫_V f(x,y,z)dxdydz= ∫_a^b∫_(g(x))^(h(x)) ∫_(p(x,y))^(q(x,y)) f(x,y,z) dzdydx依次对x、y、z进行积分即可得到结果。

2.柱坐标系中的三重积分在柱坐标系中，三重积分的计算可以采用柱坐标系下的坐标变换公式。

具体而言，用柱坐标r、θ、z替换直角坐标系中的x、y、z，然后对新的坐标进行积分。

设柱坐标系下的积分区域为V，边界为S。

根据柱坐标系下的坐标变换公式，三重积分可以表示为：∭f(x,y,z)dV = ∬∬∬_V f(rcosθ,rsinθ,z)rdzdrdθ其中 r 表示到原点的距离，θ 表示与正 x 轴的夹角，z 表示垂直于 xy 平面的坐标。

积分区域 V 在柱坐标系下的表示方式为：V:α≤θ≤β,g(θ)≤r≤h(θ),p(r,θ)≤z≤q(r,θ)根据这个表示，可以将三重积分计算为：∭f(x,y,z)dV = ∬∬∬_V f(rcosθ,rsinθ,z)rdzdrdθ= ∫_α^β ∫_(g(θ))^(h(θ)) ∫_(p(r,θ))^(q(r,θ))f(rcosθ,rsinθ,z) zdrdθ依次对θ、r、z进行积分即可得到结果。

三重积分的定义和基本概念

三重积分的定义和基本概念三重积分是数学中的一种重要计算方法，用于解决三维空间中的问题。

在工程、物理、计算机图形学等领域都有广泛的应用。

本篇文章将讨论三重积分的定义和基本概念。

一、三重积分的定义三重积分是对空间内的三维物体进行积分计算，相当于对空间进行分块，然后对每个小块进行求和。

计算三重积分需要确定三个方向上的积分限制，通常用x、y、z表示。

例如，计算一个某种物体在三维空间内的体积可以用以下式子表示：V = ∭f(x,y,z)dxdydz其中，f(x,y,z)是需要计算的函数，x、y、z是三个方向上的积分下限和上限。

dxdydz表示对三维空间进行积分。

计算过程中，要对x、y、z的取值范围进行分段积分，将整个空间分成无数个小块，然后对每个小块进行积分求和，从而得出三重积分的结果。

二、三重积分的基本概念1.积分区域计算三重积分时必须确定积分区域。

积分区域通常由内部限制条件和外部限制条件确定。

内部限制条件是由该物体自身属性决定的，例如球体的内部限制条件是x²+y²+z²≤r²，其中r是球体半径。

外部限制条件则是由外部环境或其他因素所影响，例如在放射源处进行辐射计算时，辐射区域的外部限制条件是与放射源的距离。

2.三重积分的求法计算三重积分时，可以采用以下几种方法。

（1）直接积分法：根据题目要求，将积分区域划分成若干子区域，然后对于每个子区域进行一次三重积分。

（2）三重积分与二重积分的转换：当三重积分难以处理时，可以先对其中两个变量进行积分，然后再对得到的二重积分进行积分。

（3）极坐标系下的三重积分：当积分区域以旋转体或圆锥体为主体时，使用极坐标系进行计算会更加简单。

3.三重积分的应用三重积分在物理学和工程学中有广泛的应用。

例如，在热传递学和流体力学中，可以通过三重积分计算热传递和流量。

在电磁场学中，可以通过三重积分计算电磁场强度和电势分布。

在计算机图形学中，可以用三重积分计算物体的体积和表面积等。

10.3 三重积分

x2 y2 z2 2 dv 2 dv 2 dv a b c V V V
20
三重积分
x2 y 2 z 2 解因为 M 2 2 2 dv a b c V
x2 y2 z2 2 dv 2 dv 2 dv a b c V V V
i 1 i i
n
i
)v i
体积元素
3
三重积分
2. 三重积分存在性
当f ( x , y , z ) 的三重积分存在性时, 称f ( x , y, z )
在Ω上是可积的.
连续函数一定可积 3. 三重积分的几何意义 (1)占有空间区域
, 体密度函数为 f ( x, y, z )
M f ( x, y, z )dv
x2 所以 2 dv a V
x2 a a 2 dx
a
d ydz
Dx
4 abc 15 由对等性知
2 bc a 2 x2 2 x (1 2 )dx a a a
x2 dydz bc(1 2 ) a Dx
则
f ( x, y, z)dv

b
a
dx
y2 ( x )
y1 ( x )
dy

z2 ( x , y )
z1 ( x , y )
f ( x, y, z)dz
9
先对z,次对y,最后对x的三次积分
三重积分
注
这是平行于 z 轴且穿过闭区域内部的直线与闭区域的边界曲面 S 相交不多于两点情形.则考虑化为先对 z,后对xy的累次积分.过程如下:
1 dxdy (1 z )(1 z ) 2 Dz 1 1 1 2 原式= 0 z (1 z ) dz . 2 24

三重积分的概念及其计算

三重积分的概念及其计算三重积分是对于具有三个独立变量的函数在三维空间内的积分。

它对于解决和分析各种物理、几何和工程问题起着重要的作用。

在本文中，我们将讨论三重积分的概念、计算方法以及一些应用。

首先，让我们来讨论三重积分的定义和概念。

三重积分是对于一个三维实值函数，在一个三维有界区域内的体积进行积分。

三重积分的符号表示为∭f(x,y,z)dV，其中f(x,y,z)是被积函数，表示在(x,y,z)处函数的值；dV表示积分元素，用于表示积分的区域体积。

为了计算三重积分，我们需要确定被积函数的积分区域。

这个区域可以是一个有界的立体，也可以是由不同的条件限定的多个区域的并集。

一旦确定了积分区域，我们可以通过将该区域划分成较小的体积元素，并对每个体积元素进行积分来逼近整个区域的积分值。

接下来，我们将讨论三种常用的计算三重积分的方法。

第一种方法是直角坐标系下的三重积分计算。

在直角坐标系下，我们可以将积分区域划分为一系列的长方体或平行六面体，每个体积元素的体积可以表示为ΔV=ΔxΔyΔz，其中Δx、Δy和Δz分别是划分的长方体或平行六面体边长的增量。

然后，我们可以对每个体积元素进行积分，并将所有体积元素的积分值相加，得到最终的三重积分值。

第二种方法是柱面坐标系下的三重积分计算。

在柱面坐标系下，我们可以通过引入新的变量，如极角θ和距离原点的距离ρ来简化积分计算。

积分区域可以通过极坐标变换转换为适合柱面坐标的形式。

然后，我们可以对每个体积元素进行积分，并将所有体积元素的积分值相加，得到最终的三重积分值。

第三种方法是球面坐标系下的三重积分计算。

在球面坐标系下，我们可以通过引入新的变量，如极角θ、方位角φ和距离原点的距离r来简化积分计算。

积分区域可以通过球坐标变换转换为适合球面坐标的形式。

然后，我们可以对每个体积元素进行积分，并将所有体积元素的积分值相加，得到最终的三重积分值。

除了上述的计算方法，我们也可以使用数值方法来计算三重积分。

三重积分ppt

0 2
在球面坐标下 x2 y2 z2 2, 因此
1. 若被积函数形如 f (x2 y2 z2);
2. 积分区域是由球面、锥面或平面所围成. 常用球面坐标计算
球面坐标下的三坐标面分别为
z
动点M(ρ, ,)
ρ=常数: 球面S
=常数:
M
S
ρ
0
x y
动点M(ρ, ,)
ρ=常数: 球面S
f
( x,
y, z)dxdy.
例4 计算三重积分 zdxdydz, 其中为三个坐
标面及平面x y z 1所围成的闭区域.
解截面法(先二后一法)
zdxdydz
1
0
zdz
dxdy
Dz
Dz {(x, y) | x y 1 z}
z
1 x yz1
1O
x
Dz
1y
1
dxdy 2(1 z)(1 z)
z
• M (x, y, z)
z
O
Ax x
y
•P
y
向xOy平面投影, 记投影向量与x轴正方向的
夹角为 , 称 ( , , ) 为点M 的球面坐标. 规定: 0 , 0 , 0 2 .
直角坐标与球面坐标的关系为
x sin cos
y
sin
sin
z cos
0 0
z
C
=常数: 锥面C
=常数: 半平面P
M
S
P
0
x
y
球面坐标下的体积元素
z
元素区域由六个坐标面围成：
圆锥面
球面ρ+dρ
半平面及+d ； ρsind
半径为ρ及ρ+dρ的球

高数讲义第三节三重积分(一)

z 0 所围空间立体.
解如图， Dxy : 1 x 1
x2 y 1 1
y
y x2
1 Dxy
0
1x
: 1 x 1, x2 y 1,
0 z x2 y2.
1
1
x2 y2
I
dx 1
x2
dy0
f ( x, y, z)dz.
例 2 计算三重积分 xdxdydz，其中为三个
（5）若是前后结构即若用平行于 x 轴的直线穿过，与其边界曲面的交点至多有两个，亦可将投影到 yoz 面上。
f ( x, y, z)dv
而后者又可进一步化为三次积分。
对于为左右结构情形同理。
例1 化 I f ( x, y, z)dxdydz 为三次积分，
其中，为由曲面z x2 y2, y x2, y 1,
（3）进一步，若是 X 型区域
z
f ( x, y, z)dv
（3）若是 X 型区域
o
a
Dxy {( x, y) |a x b, b y1( x) y y2( x)} x
z z2( x, y)
z2 S2
z1 S1
z z1( x, y)
D
(x, y) y y1( x)
y
y y2( x)
n
lim
0
i 1f(i,i源自,i)vi
存在，且与的分法及点
(i ,i , i ) 的取法无关，则称此极限为 f ( x , y, z )
在闭区域上的三重积分，记为 f ( x, y, z)dv
n
即
f ( x, y, z)dv
lim
0
i 1
f (i ,i , i )vi .

三重积分(1)

V
Ｖ为图示立体区域
I
=
D
dxdy
z ( x, y) z ( x, y)
f (x,
y, z)dz
这样化成了一个定积分
和一个二重积分的计算
最后. 再把二重积
O
分化成二次积分
D
x
z2(x,y)
z1(x,y)
y
5
I f ( x, y, z)dxdydz dxdy z(x,y) f ( x, y, z)dz

Ｏ
z cos.

１
y
dV 2 sinddd
x
29
例７求球面 x2 y2 (z a)2 a2 与锥面
其中Ｖ由抛物柱面 y x

2
及三个平面 y 0, z 0, x z
围成第一卦限部分．
2
y=
D
Ｏ
Ｖ
x
2
解区域Ｖ如图示，用不
0o
y
.
等式表示就是
0 x,
2
z=0

2
x
0 y x,
0 z x.
2
11
y cos( z x)dxdydz
V
I f ( x, y, z)dxdydz z
N
V
Ｖ为图示立体区域
I
=
D
dxdy
z ( x, y) z ( x, y)
f (x,
y, z)dz
M
z2(x,y)
Ｖ
z1(x,y)
Ｏ y
DP
4
x
二、直角坐标下三重积分的计算 —化为三次积分
I f ( x, y, z)dxdydz z

第三节三重积分(1)

v2 ,, vn，其中 vi 表示第i 个小闭区域，也表示它
即
f ( x, y, z )dv lim f ( i , i , i )vi . 0 i 1

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n
其中dv 叫做体积元素 .
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【说明】 (1) 对于三重积分 f ( x , y , z )dv lim f k ,k , k vk d 0
(3)计算二重积分 f ( x , y , z )dxdy
Dz
z
其结果为 z 的函数 F (z )； (4)最后计算单积分 F ( z )dz 即得三重积分值.
c1
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c2
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【补例 4】计算三重积分 zdxdydz，其中为三个坐标面及平面 x y z 1所围成的闭区域.
机动
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【实例】一空间非均匀物体，其上点( x , y , z )处的
体密度为 ( x , y , z )，设 ( x , y , z )是( x , y , z )的连续函数，欲求的质量m .
【解决方法】类似二重积分解决问题的思想, 采用 “分割, 取近似, 求和, 取极限” （1）分割将分为 v1 , v2 ,vn
【解】
如图将投影到xoy面得Dxy为闭域OAB
z
0 x 1 Dxy： 0 y 1 (1 x ) 2
X—型域
o
A(1,0,0)
C (0,0,1)
1 B( 0, ,0) 2
( x, y ) Dxy
作直线穿越Ω内部
y
Dxy
从z 0穿入，从z 1 x 2 y穿出

10-3三重积分的概念与性质

0, 如果f ( x, y, z )在D上关于y为奇函数, f ( x, y, z )dV 2 f ( x, y, z )dV , 如果f ( x, y, z )在D上关于y为偶函数. 1
8-7
⑶ 如果关于 zOx 平面对称， 1 为在 zOx 平面右侧的部分区域，则
i 1 n
1i n
的质量为
M lim (i ,i , i )Vi ．
0
i 1
n
8-2
10.3.2 三重积分的概念
定义 10.3.1 设 f ( x, y, z) 是空间有界闭区域上的有界函数，将任意分割为 n 个小空间区域 V1, V2 ,, Vn ．每个小空间区域 Vi 的体积也记为 Vi ，且 Vi 的直径记为 di ，在 Vi 上任取一点 (i ,i , i ) (i 1,2,, n) ，作和

⑶ 如果关于平面 z y 对称，则 f ( x, y, z )dV f ( x, z, y)dV ．

例如，设为椭球体 x2 y 2 4 z 2 1．由于在 x2 y 2 4 z 2 1中，将变量
x 与 y 互换后，的表示没有发生变化；而将变量 x 与 z 互换后，变为

定理 10.3.2（三重积分的轮换对称性）设为空间有界闭区域，
⑴ 如果关于平面 y x 对称，则 f ( x, y, z )dV f ( y, x, z )dV ．

⑵ 如果关于平面 x z 对称，则 f ( x, y, z )dV f ( z, y, x)dV ．
类似于平面薄片质量的求法，把空间区域任意分成 n 个小空间区域

三重积分定理

三重积分定理
“三重积分定理”是微积分中的一个重要定理，它描述了如何计算一个向量在三维空间中的投影面积。

这个定理对于许多应用领域都具有很大的意义，如计算机图形学、物理仿真等。

“三重积分定理”指出，如果有一个三维的向量v和另一个三维的向量w，以及一个在三维空间中距离v和w的距离为r的平面，那么这个向量在三维空间中的投影就是v·w·r。

其中，“·”表示向量的点积。

这个定理看起来很简单，但是它蕴含了很多有趣的应用。

例如，在计算机图形学中，如果我们想要计算一个物体在三维空间中的投影，我们可以通过计算这个物体与相机之间的距离，然后将这个距离与物体在三维空间中的距离的点积作为投影。

这个方法在计算机图形学中非常常见，因为它可以实现许多有趣的视觉效果。

另外一个有趣的应用是物理仿真。

在物理仿真中，我们经常需要计算一个物体在三维空间中的投影。

根据“三重积分定理”，我们可
以通过计算这个物体与观察点之间的距离的点积与观察点到物体距离的平方的乘积作为投影。

这个方法在物理仿真中也非常重要，因为它可以实现许多有趣的物理效果。

“三重积分定理”在实际应用中也非常实用。

例如，在机械工程中，如果我们想要计算一个机械臂在三维空间中的投影，我们可以通过计算这个机械臂与目标点的距离的点积作为投影。

这个方法在机械工程中非常常见，因为它可以帮助我们实现许多机械工程中的设计。

总之，“三重积分定理”是微积分中一个非常重要的定理。

它对于许多应用领域都具有很大的意义，可以帮助我们实现许多有趣的视觉效果和物理效果。

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