数理方程课后习题(带答案)
数理方程 习题答案
数理方程习题答案
数理方程习题答案
数理方程是数学中一门重要的学科，它研究的是各种各样的方程。在学习数理方程的过程中，习题是不可或缺的一部分。通过解习题，我们可以加深对数理方程的理解，掌握解题的方法和技巧。在这篇文章中，我将为大家提供一些数理方程习题的答案，希望能对大家的学习有所帮助。
1. 求解方程：2x + 5 = 17。
解：将方程化简，得到2x = 17 - 5，即2x = 12。再将等式两边同时除以2，得到x = 6。所以方程的解为x = 6。
2. 求解方程组：
2x + y = 7
3x - 2y = 4
解：可以使用消元法来求解这个方程组。首先，将第一个方程乘以2，得到4x + 2y = 14。然后将第二个方程与这个结果相加，得到7x = 18。再将等式两边同时除以7，得到x = 18/7。将x的值代入第一个方程，可以求得y的值为y = 7 - 2x = 7 - 2(18/7) = 7 - 36/7 = 7/7 - 36/7 = -29/7。所以方程组的解为x = 18/7，y = -29/7。
3. 求解二次方程：x^2 - 5x + 6 = 0。
解：可以使用因式分解法来求解这个二次方程。首先，将方程化简，得到(x - 2)(x - 3) = 0。根据乘积为零的性质，可以得到x - 2 = 0或者x - 3 = 0。解这两个方程，可以得到x = 2或者x = 3。所以方程的解为x = 2或者x = 3。
4. 求解三次方程：x^3 - 3x^2 + 2x - 4 = 0。
解：可以使用综合除法来求解这个三次方程。首先，将方程按照降幂排列，得
数理方程习题解答
习题一 习题二 习题三 习题四 习题五
1 3 5 错误！未定义书签。 错误！未定义书签。
习题 1.1.4
1．导出弦受阻力的波动方程
其中阻力与速度成正比， 为常数．
解 我们考虑弦的一个微元。令 为端点处的张力，如教材图 1.1 所示，沿锤直方向作
用在这个微元上的力是
,阻力为
,由牛顿(Newton)第二定律1，
β,
α4
=
1 cosθ ，则 2
α
=
⎛ ⎜⎝
±
1, 2
1 sinθ sin β , 2
1 sinθ cos β , 2
1 2
cosθ
⎞ ⎟⎠
。
8
（3）设α
=
(α1,α2,α3 )
，则0
=
α
2 2
−
α
2 3
，取单位特征方向，α12
+
α
2 2
+
α
2 3
=1。
所以，α12
+
2α
2 2
= 1。记α1
=
cosθ , α2
( ) ( ) a vxe−(bx+ay) − bve−(bx+ay) + b vye−(bx+ay) − ave−(bx+ay) + cve−(bx+ay)
数理方程第二版 课后习题答案教学教材
数理方程第二版课后
习题答案
第一章曲线论
§1 向量函数
1. 证明本节命题3、命题5中未加证明的结论。
略
2. 求证常向量的微商等于零向量。
证：设，为常向量，因为
所以。证毕
3. 证明
证：
证毕4. 利用向量函数的泰勒公式证明：如果向量在某一区间内所有的点其微商为零，则此向量在该区间上是常向量。
证：设，为定义在区间上的向量函数，因为
在区间上可导当且仅当数量函数，和在区间上可导。所以，，根据数量函数的Lagrange中值定理，有
其中，，介于与之间。从而
上式为向量函数的0阶Taylor公式，其中。如果在区间上处处有，则在区间上处处有
，从而，于是。证毕
5. 证明具有固定方向的充要条件是。
证：必要性：设具有固定方向，则可表示为，其中为某个数量函数，为单位常向量，于是。充分性：如果，可设，令，其中为某个数量函数，为单位向量，因为，于是
因为，故，从而
为常向量，于是，，即具有固定方向。证毕
6. 证明平行于固定平面的充要条件是。
证：必要性：设平行于固定平面，则存在一个常向量，使得，对此式连续求导，依次可得和，从而，，和共面，因此。
充分性：设，即，其中，如果，根据第5题的结论知，具有固定方向，则可表示为，其中为某个数量函数，为单位常向量，任取一个与垂直的单位常向量，于是作以为法向量过原点的平面，则平行于。如果，则与
不共线，又由可知，，，和共面，于是，其中，为数量函数，令，那么，这说明与共线，从而，根据第5题的结论知，具有固定方向，则可表示为，其中为某个数量函数，为单位常向量，作以为法向量，过原点的平面，则平行于。证毕
数理方程习题答案
习题2.1
2.解：
振动方程：
2,0,0
tt xx u a u x L t =<<>
边界条件：0
0,0
x x x L
u u ====
初始条件：
,0
t t t b u
x u L
===
=
习题2.2
3.解：
根据牛顿冷却定律有：
44()u
k
dsdt u dsdt n σϕ∂-=-∂
∴初始条件为： 4
4()s
u u n k σϕ∂=--∂
习题2.3
3.解：
000
0,0,0,0000,(,)
x x a y y b
z z c
u x a y b z c u u u u
u
u
x y ϕ======∆=<<<<<<======
习题2.4
2.<4）解：
该方程为一般二阶线性偏微分方程，首先对其进行化简：
特征方程：2
3410
dy dy dx dx ⎛⎫
-+= ⎪⎝⎭
解得：12
1
,3x y x y ϕϕ-=-=
作代换：13x y
x y ξη=-⎧⎪
⎨=-⎪⎩
111
13x
y x
y Q ξξηη-⎡⎤
⎡⎤⎢⎥==⎢
⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎣⎦
所以：
1112111212221222T
a a a a Q Q
a a a a ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
21110321331212
111033⎡
⎤--⎡⎤⎡
⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦
12000
b L
c b L c c f ξξηη=-==-===
于是有:
u ξη=
11212()
()()()()
u g u g d f f f ξξξξηξη==+=+⎰
121
()()
3u f x y f x y ∴=-+-是原方程的解。
数学物理方程第二版习题解答 第一章
第一章． 波动方程
§1 方程的导出。定解条件
1．细杆（或弹簧）受某种外界原因而产生纵向振动，以u(x,t)表示静止时在x 点处的点在时刻t 离开原来位置的偏移，假设振动过程发生的张力服从虎克定律，试证明),(t x u 满足方程
()
∂∂∂∂= ∂∂∂∂x u E x t u x t ρ
其中ρ为杆的密度，E 为杨氏模量。
证：在杆上任取一段，其中两端于静止时的坐标分别为 x 与+x x ∆。现在计算这段杆在时
刻t 的相对伸长。在时刻t 这段杆两端的坐标分别为：
),();,(t x x u x x t x u x ∆++∆++
其相对伸长等于 ),()],([)],([t x x u x
x
t x u x t x x u x x x ∆+=∆∆−+−∆++∆+θ
令
0→∆x ，取极限得在点x 的相对伸长为x u ),(t x 。由虎克定律，张力),(t x T 等于
),()(),(t x u x E t x T x =
其中)(x E 是在点x 的杨氏模量。
设杆的横截面面积为),(x S 则作用在杆段),(x x x ∆+两端的力分别为
x u x S x E )()(x u x x S x x E t x )()();,(∆+∆+).,(t x x ∆+
于是得运动方程
tt u x x s x ⋅∆⋅)()(ρx ESu t x =),(x x x x x ESu x x |)(|)(−∆+∆+
利用微分中值定理，消去x ∆，再令0→∆x 得
tt u x s x )()(ρx
∂∂
=
x ESu () 若=)(x s 常量，则得
数学物理方程课后参考答案第二章
第 二 章 热 传 导 方 程
§1 热传导方程及其定解问题的提
1. 一均匀细杆直径为l ，假设它在同一截面上的温度是相同的，杆的表面和周围介质发生热交换，服从于规律
dsdt u u k dQ )(11-= 又假设杆的密度为ρ，比热为c ，热传导系数为k ，试导出此时温度u 满足的方程。
解：引坐标系：以杆的对称轴为x 轴，此时杆为温度),(t x u u =。记杆的截面面积4
2
l π为S 。
由假设，在任意时刻t 到t t ∆+内流入截面坐标为x 到x x ∆+一小段细杆的热量为
t x s x
u
k t s x u k t s x u k dQ x x x x ∆∆∂∂=∆∂∂-∆∂∂=∆+221 杆表面和周围介质发生热交换，可看作一个“被动”的热源。由假设，在时刻t 到t t ∆+在截面为x 到x x ∆+一小段中产生的热量为
()()t x s u u l
k
t x l u u k dQ ∆∆--=∆∆--=111124π
又在时刻t 到t t ∆+在截面为x 到x x ∆+这一小段内由于温度变化所需的热量为
()()[]t x s t
u
c x s t x u t t x u c dQ t ∆∆∂∂=∆-∆+=ρρ,,3
由热量守恒原理得：
()t x s u u l
k t x s x u
k t x s t u c x t ∆∆--
∆∆∂∂=∆∆∂∂11
2
2
4ρ
消去t x s ∆∆，再令0→∆x ，0→∆t 得精确的关系：
()1122
4u u l k
x
u k t u c --∂∂=∂∂ρ
或 ()()11
数学物理方程全套课后部分习题答案__李明奇主编__电子科技大学出版社
由Newton定律： SYux(x?dx,t)?YSux(x,t)??Sdxutt，其中，Y为杨氏模量，S为均匀细杆的横截面积，ux为相对伸长率。
?
?utt?(Y/?)uxx?a2uxx?
化简之后，可以得到定解问题为：?。 u|x?0?0,ux|x?L?0
?Iu|?0,u|??(x?L)tt?0?t?0
??
习题2.2
3.设物体表面的绝对温度为u，它向外辐射出去的热量，按斯特凡-波尔兹曼定律正比于u4，即d?ku4dSdt，设物体与周围介质之间，只有热辐射而无热传导，周围介质的绝对温度为已知函数
?(x,y,z,t)，。试写出边界条件。 解：由Fourier热传导实验定律d??k1系数。可得?k1
?u
dSdt，其中k1称
数理方程第二版 课后习题答案讲解学习
数理方程第二版课后
习题答案
第一章曲线论
§1 向量函数
1. 证明本节命题3、命题5中未加证明的结论。
略
2. 求证常向量的微商等于零向量。
证：设，为常向量，因为
所以。证毕
3. 证明
证：
证毕4. 利用向量函数的泰勒公式证明：如果向量在某一区间内所有的点其微商为零，则此向量在该区间上是常向量。
证：设，为定义在区间上的向量函数，因为
在区间上可导当且仅当数量函数，和在区间上可导。所以，，根据数量函数的Lagrange中值定理，有
其中，，介于与之间。从而
上式为向量函数的0阶Taylor公式，其中。如果在区间上处处有，则在区间上处处有
，从而，于是。证毕
5. 证明具有固定方向的充要条件是。
证：必要性：设具有固定方向，则可表示为，其中为某个数量函数，为单位常向量，于是。充分性：如果，可设，令，其中为某个数量函数，为单位向量，因为，于是
因为，故，从而
为常向量，于是，，即具有固定方向。证毕
6. 证明平行于固定平面的充要条件是。
证：必要性：设平行于固定平面，则存在一个常向量，使得，对此式连续求导，依次可得和，从而，，和共面，因此。
充分性：设，即，其中，如果，根据第5题的结论知，具有固定方向，则可表示为，其中为某个数量函数，为单位常向量，任取一个与垂直的单位常向量，于是作以为法向量过原点的平面，则平行于。如果，则与
不共线，又由可知，，，和共面，于是，其中，为数量函数，令，那么，这说明与共线，从而，根据第5题的结论知，具有固定方向，则可表示为，其中为某个数量函数，为单位常向量，作以为法向量，过原点的平面，则平行于。证毕
数理方程参考答案
第一章． 波动方程
§1 方程的导出。定解条件
1．细杆（或弹簧）受某种外界原因而产生纵向振动，以u(x,t)表示静止时在x 点处的点在时刻t 离开原来位置的偏移，假设振动过程发生的张力服从虎克定律，试证明),(t x u 满足方程
()⎪⎭
⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂x u E x t u x t ρ 其中ρ为杆的密度，E 为杨氏模量。
证：在杆上任取一段，其中两端于静止时的坐标分别为 x 与+x x ∆。现在计算这段杆在时刻t 的相对伸长。在时刻t 这段杆两端的
坐标分别为：
),();,(t x x u x x t x u x ∆++∆++
其相对伸长等于 ),()],([)],([t x x u x
x
t x u x t x x u x x x ∆+=∆∆-+-∆++∆+θ
令
0→∆x ，取极限得在点x 的相对伸长为x u ),(t x 。由虎克定律，张力),(t x T 等于
),()(),(t x u x E t x T x =
其中)(x E 是在点x 的杨氏模量。
设杆的横截面面积为),(x S 则作用在杆段),(x x x ∆+两端的力分别为
x u x S x E )()(x u x x S x x E t x )()();,(∆+∆+).,(t x x ∆+
于是得运动方程
tt u x x s x ⋅∆⋅)()(ρx ESu t x =),(x x x x x ESu x x |)(|)(-∆+∆+
利用微分中值定理，消去x ∆，再令0→∆x 得
tt u x s x )()(ρx
数学物理方程习题解答案
数学物理方程习题解
习题一
1， 验证下面两个函数：
(,)(,)sin x u x y u x y e y ==
都是方程
0xx yy u u +=
的解。
证明：（1
）(,)u x y =
因为322
2
22
2222
2222
22
322
222
2222
2222
222222
222222
1
1()22
()
2()()11()22()2()()0()()
x xx y yy xx yy x u x x y x y x y x x x y u x y x y y
u y x y x y x y y y y x u x y x y x y y x u u x y x y =-⋅
⋅=-
+++-⋅-=-=++=-⋅⋅=-+++-⋅-=-=++--+=+=++
所以(,)ln
u x y =是方程0xx yy u u +=的解。
（2）(,)sin x u x y e y = 因为
sin ,sin cos ,sin x x x xx x
x
y yy u y e u y e u e y u e y
=⋅=⋅=⋅=-⋅
所以 s i n
s i n 0
x x
xx yy u u e y e y +=-= (,)sin x u x y e y =是方程0xx yy u u +=的解。
2，证明：()()u f x g y =满足方程： 0xy x y uu u u -= ，其中f 和g 都是任意的二次可微函数。
证明：因为
()()u f x g y =
所以
()(),()()()()
()()()()()()()()0
x y xy xy x y u g y f x u f x g y u f x g y uu u u f x g y f x g y g y f x f x g y ''=⋅=⋅''=⋅''''-=⋅-⋅⋅=
数理方程第二版_课后习题答案
其中，
根据(5)(6)(8)式可得
，根据(6)(9)(10)式，可得
，又根据(6)式，得
另一方面，根据(4)(7)(8)(10)式，可得
从而，
。
9. 证明：如果曲线的所有切线都经过一个定点，则此曲线是直线。
证 1：设曲线(C)的向量参数方程为：
，其中 为自然参数。(C)上任意一
点 P（P 点的向径为 ）处的基本向量为 ， ， 。因为(C)在 P 点处的切线都经
证：设曲线 的方程为
， ，其中 为 的自然参数，曲线 的方程
为
， ，其中 为曲线 的自然参数。因为所讨论的曲线都是正则曲
线，于是曲线 上的点 和区间 的参数 一一对应，曲线 上的点 和区间 的
参数 一一对应，如果两条曲线的点 与 之间建立了一一对应关系，则对应的参
数 与 之间也建立了一一对应关系，从而
为球心在原点，半径为 的球面上的曲线,其中 为自然
参数。曲线(C)上任意一点 P（P 点的向径为 ）处的基本向量为 ， ， 。则有
上式两边关于 求导，得
设 为法平面上的点的向径，则曲线(C)上任意一点 P 处的法平面的向量方程为
根据(2)式
满足方程(3)，故法平面过原点。
证毕
6. 证明过原点平行于圆柱螺线
12. 证明曲率为常数的空间曲线的曲率中心的轨迹仍是曲率等于常数的曲线。
数理方程第一章、第二章习题全解
另一端( x = l) 放手后就为自由端 , 也就是在振动过程中不受外力作
用 , 故有
ux ( l, t) = 0
边值条件已经确定 , 下面考虑初始条件。由于弦初始时刻处于静 止状态 , 即初速度为 0 , 故 ut ( x, 0) = 0。而在 t = 0 时 , 整个杆被纵向
拉长 e, 则单位杆长的伸长为 e , 故 x 点处的伸长为 e x , 即
u( 0 , t) = u( l, t) = 0 现考虑初始条件,当冲量 k 作用于 x = c处时, 就相当于在这点 给出了一个初速度 , 我们考虑以 c点为中心 , 长为 2δ的一小段弦 ( c δ, c + δ) , 设弦是均匀的 , 其线密度为 ρ, 则这 一小段 弦的质量 为 2δρ, 受冲击时速度为 ut ( x, 0) , 由动量定理得
出,为
u( x , 0 )
=
x( l 2
x)
(0 ≤ x ≤ l)
第一章 一些典型方程和定解条件的推导
17
现考虑边值条件,设在 x = 0 这 个端点处温度为 0,则有
u( 0 , t) = 0 ( t > 0 ) 另一端( x = l) 处再恒定的热流 q 进入杆内, 由傅里叶实验定律, 在
边界曲面∑ 上有
= 0 ( i = 1 , 2 , … ) 。由于其中 A, B, C, D, E, F 都只是 x , y 的函数 , 故 L
(整理)数理方程第二版课后习题答案
第一章曲线论
§ 1向量函数
1 .证明本节命题3、命题5中未加证明的结论
略
2 .求证常向量的微商等于零向量。
证：设31,回为常向量，因为
r(t
4- At) -r(t) c-c 11m = lim = 0
it —At
At —At
所以E3
3 .证明
⑹ p 2
(t)
则此向量在该区间上是常向量 证：设［=«r)=)⑴ 返 ［回 回1为定义在区间口上的向量函数，因为 回在区间口上可导当且仅当数量函数 晅］,EH3和EH3在区间 口上可导。所 以，
।
° I ,根据数量函数的Lagrange 中值定理，有
证毕
4.利用向量函数的泰勒公式证明：如果向量在某一区间内所有的点其微商为零,
x(t) - X(t o ) 4- %)
y(t) =y(S)+ y r (日”(t -力
式 t) = z(M)+ /(%)《一
其中 51,囹，因介于口与口之间。从而
* =3(口 =比⑷ y(t) 4 t)} =
+ £(%)(「-1) y(j) + 4(%)«-咐 《%) +
={刀(珀 “幻)+ X(sp 4电)/(%)}("明
=『口 +年一%)
上式为向量函数的 0阶 Taylor 公式，其中 :—卜("'_‘(")_一 ⑻):。如果在 区间口上处处有F ⑴=口⑷ *)
曰!,则在区间口上处处有
适三从而F = (，©) y'(%) ，(1)] = o]于是E3。 证毕
5 .证明左逗1具有固定方向的充要条件是F 黑亍二°1
证：必要性：设F=1a)l 具有固定方向,则F =直力1可表示为F =, 其中四为某个数量函数，目为单位常向量，于是f"=。⑴P 住"X" Q] 充分性：如果区三可，可设[_叫,令巨运三叵画,其中四为某个 数量函数，回为单位向量，因为F=p 岸前⑴+。("'⑴]于是
数理方程课后习题答案
数理方程课后习题答案
数理方程课后习题答案
数理方程是数学中的一个重要分支，它研究的是各种数学模型中的方程。在学
习数理方程的过程中，课后习题是巩固知识、提高能力的重要途径之一。本文
将为大家提供一些数理方程课后习题的答案，希望能对大家的学习有所帮助。1. 解方程：2x + 5 = 13
解答：将方程中的常数项5移到等号右边，得到2x = 13 - 5，即2x = 8。然后
将2移到等号右边，得到x = 8/2，即x = 4。所以方程的解为x = 4。
2. 解方程组：{2x + y = 7，x - y = 1}
解答：可以使用消元法来解决这个方程组。首先将第二个方程的系数取负，得
到{-x + y = -1}。然后将第二个方程乘以2，得到{-2x + 2y = -2}。将这两个方
程相加，得到{0x + 3y = -3}，即3y = -3。解得y = -1。将y的值代入第一个方程，得到2x - 1 = 7，即2x = 8。解得x = 4。所以方程组的解为x = 4，y = -1。
3. 解二次方程：x^2 - 5x + 6 = 0
解答：可以使用因式分解法来解决这个二次方程。将方程因式分解为(x - 2)(x - 3) = 0。根据乘积为零的性质，得到x - 2 = 0或x - 3 = 0。解得x = 2或x = 3。所以方程的解为x = 2或x = 3。
4. 解三次方程：x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0
解答：可以使用因式分解法来解决这个三次方程。观察方程，可以发现x = 1
是一个解。通过除以x - 1，得到(x - 1)(x^2 - 5x + 6) = 0。将x^2 - 5x + 6进行因式分解，得到(x - 1)(x - 2)(x - 3) = 0。根据乘积为零的性质，得到x - 1 = 0
数理方程课后习题
随机事件及其概率
随机变量及其分布
理解随机变量的概念，掌握离散型和 连续型随机变量的分布及其性质，包 括期望、方差等。
能够判断随机事件是否独立，计算多 个随机事件的联合概率和边缘概率。
随机变量及其分布习题
离散型随机变量
掌握离散型随机变量的分布及其 性质，如二项分布、泊松分布等，
能够计算离散型随机变量的期望 和方差。
连续型随机变量
掌握连续型随机变量的分布及其性 质，如正态分布、指数分布等，能 够计算连续型随机变量的期望和方 差。
随机变量的变换
理解随机变量的变换及其性质，如 线性变换、随机变量的函数等。
数理统计基础习题
参数估计
掌握参数估计的基本方法，如最 大似然估计、最小二乘法等，能
够计算估计量的期望和方差。
假设检验
概率论与数理统计部分答案与解析
概率论基础
包括概率的定义、性质、计算方法等 基本概念，以及条件概率、独立事件 等进阶概念。
随机变量及其分布
包括随机变量的定义、性质、分类等 基本概念，以及离散型随机变量、连 续型随机变量及其分布函数等。
概率论与数理统计部分答案与解析
• 数理统计方法：包括参数估计、假设检验、回归分析等基本方法，以及样本均值、方差、协方差等统计量及其性质。
概率论与数理统计部分答案与解析
题目
设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，求 E(X)和D(X)。
数理方程答案
1．细杆（或弹簧）受某种外界原因而产生纵向振动，以u(x,t)表示静止时在x 点处的点在时刻t 离开原来位置的偏移，假设振动过程发生的张力服从虎克定律，试证明),(t x u 满足方程
()⎪⎭
⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂x u E x t u x t ρ 其中ρ为杆的密度，E 为杨氏模量。
证：在杆上任取一段，其中两端于静止时的坐标分别为 x 与+x x ∆。现在计算这段杆
在时刻t 的相对伸长。在时刻t 这段杆两端的坐标分别为：
),();,(t x x u x x t x u x ∆++∆++
其相对伸长等于 ),()],([)],([t x x u x
x
t x u x t x x u x x x ∆+=∆∆-+-∆++∆+θ
令
0→∆x ，取极限得在点x 的相对伸长为x u ),(t x 。由虎克定律，张力),(t x T 等于
),()(),(t x u x E t x T x =
其中)(x E 是在点x 的杨氏模量。
设杆的横截面面积为),(x S 则作用在杆段),(x x x ∆+两端的力分别为
x u x S x E )()(x u x x S x x E t x )()();,(∆+∆+).,(t x x ∆+
于是得运动方程 tt u x x s x ⋅∆⋅)()(ρx ESu t x =),(x x x x x ESu x x |)(|)(-∆+∆+ 利用微分中值定理，消去x ∆，再令0→∆x 得
tt u x s x )()(ρx
∂∂
=
x ESu () 若=)(x s 常量，则得
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第2章习题选讲
习题2 第1题
设弦的两端固定于x=0及x=l，弦的初始位移如图所示，初速度为 零，又没有外力作用，求弦作横向振动时的位移函数u(x,t)。
u(x,t)X(x)T(t)
XTa2XT
X X
1 a2
T T
2u u(t02,
t)
a
2 2u , x2
0,u(l,t)
0,
n22l2
c
ons
l
x|l0
2l
n22
(1)n
1
0, 4l
n2 2
,
n为偶数 n为奇数
u2 ln 12 n 4 1 l2
T nC n co n ls atD n sin n lat
un XnTn B nsin ln x (C n cn o la ts D n sin ln a t) (C nco n la s t D nsin ln at)sin lnx
u
un
n 1
na
na n
n 1(C ncolstD nsin l t)silnx
n1
n1
sin n l
x
u(x,0)n1Cnsinnlx
2l
n 2 l
n
Cnl
u(x,0)sin
0
l
xdx l
x(lx)sin
0
l
xdx
4l21(1)n
3 n3
数学物理方程与特殊函数
第2章习题选讲
习题2第6题：解一维热传导方程，其初始条件及边界条件为
u(x,0)x,u(0,t)0,u(l,t)0
u0 X0T0 B0A0 C0
0
Tn
a2n22
l2
Tn
0
a2n22 t
Tn Ane l2
un XnTn
ABea2nl222t nn
cons l
xCea2nl222t n
cosn
l
x
un 0unC 0n 1Cnea2n l2 22tconlsx
数学物理方程与特殊函数
第2章习题选讲
u(uutx(,0x0,)at)2xx,20u2,,u(lx,t) 0,
n
n
l
nn2nl2,n1,2,3,
Xn
Bn
c
ons
l
x
数学物理方程与特殊函数
第2章习题选讲
u(uutx(,0x0,)at)2xx,20u2,,u(lx,t) 0,
0xl,t 0 0 X B0
t 0
n
n2,n1,2,3,
l
0 x l
Xn
Bn
cons
l
x
Ta2T0
0
T0 0 T0 B0tA0 A0
t 0 0 x l
解：令 u(xபைடு நூலகம்t)X(x)T(t)
带入方程：
TXa2TX
令
T a2T
X
X
XX 0 Ta2T 0
u(0,t)X(0)T(t)0 u(l,t)X(l)T(t)0
X(0)0,X(l)0
XX0 0xl
X(0)0,
X(l)0
数学物理方程与特殊函数
XX0 0xl
X(0)0,
X(l)0
2 lu(x,0) n
2l
n
Dnna0
t
sin l
xdxna0x(lx)sinl
xdx
n4 4l34a[1(1)n]
数学物理方程与特殊函数
第2章习题选讲
习题二第5题求下列定解问题（热传导方程）
u(ut0,t
a2 )
2u x2
,
0, u(l,
t)
0,
u(x,0) x(l x),
0 x l,t 0
2 0
X2X0 X (x )A co x sB six n
X(0)A0 X(l)Bsinl0
nn/l,n1 ,2,3, nn 2n/l2
n
Xn(x)Bnsinl x
数学物理方程与特殊函数
第2章习题选讲
n n /l2,n 1 ,2 ,3 ,
n
Xn(x)Bnsinl x
Ta2T0
Tnn2l22a2 Tn 0
XX0 0xl
X(0)0,
X(l)0
数学物理方程与特殊函数
第2章习题选讲
u(uutx(,0x0,)at)2xx,20u2,,u(lx,t) 0,
0xl,t 0
t 0 0 x l
XX0 0xl
X(0)0,
X(l)0
0 X0 XA xB X B0
2 0 X2X0 XA sin xB co xs
X(0)A0 X (l) B siln 0
0xl,t 0
t 0
uC0Cnea2nl222t n1
cons l
x
0 x l
u(x,0)xC0n 1Cnconlsx
1 l
C0 l
xdx
0
l 2
n0
Cn2l 0lxconslxdx2l nl 0lxdsinnlxn 2 xsin l nx|l0n 2 0 lsin l nxd x
u(x,0) 0,
t
u(x,0)
l
h
h x, c
l
c
x,
0 x l,t 0 t 0 0 xl
0xc c xl
Ta2T0 XX0
u(0,t)X(0)T(t)0 u(l,t)X(l)T(t)0
数学物理方程与特殊函数
第2章习题选讲
XX0, 0xl
X(0)0,
X(l)0
0 X0 X(x)AxB AB0 X(x)0
第2章习题选讲
nn2
n2,n1,2,3,
l
n
Xn
Bn
sin l
x
Ta2T0
Tn
a2n22
l2
Tn
0
a2n22 t
Tn Ane l2
un XnTn
A nB nea2n l2 22tsinn l xC nea2n l2 22tsinn l x
数学物理方程与特殊函数
第2章习题选讲
a2n22
t
u un Cne l2
数学物理方程与特殊函数
第2章习题选讲
习题2第2题： 求下列定解问题
2u t2
a2
2u x2
,
0 xl,t 0
u(0,t) 0,u(l,t) 0, t 0
u(x,0) t
x(l
x),
0 x l
u(x,0) 0
n a
n a n
un 1(C ncolst D nsilnt)silnx
C n2 l 0 lu(x,0)sinnl xdx0 u( x t,0 )n 1D nnlasin n l x0
u(uutx(,0x0,)at)2xx,20u2,,u(lx,t) 0,
x
x
0xl,t 0
t 0 0 x l
u(x,t)X(x)T(t)
TXa2TX
T a2T
X X
u(0,t) X (0)T(t) 0 x
u(l,t) X (l)T(t) 0 x
X (0)0,X (l)0
XX 0 Ta2T 0
数学物理方程与特殊函数
第2章习题选讲
un 1(C nco n la st D nsin ln at)sin lnx u(xt,0)n 1D nnlasin nlx0 Dn 0
u(x,0)n 1Cnsinnlx
Cn2 l 0lu(x,0)sin nlxdx
2hl2 2c(l c)n2