高一数学必修2圆方程与直线与圆、圆与圆关系
高中数学必修二-直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系知识集结知识元不含有参数的直线与圆位置关系知识讲解1．直线与圆的位置关系1．直线与圆的位置关系2．判断直线与圆的位置关系的方法直线Ax+By+C＝0与圆（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0）的位置关系的判断方法：（1）几何方法：利用圆心到直线的d和半径r的关系判断．圆心到直线的距离d＝①相交：d＜r②相切：d＝r③相离：d＞r（2）代数方法：联立直线与圆的方程，转化为一元二次方程，用判别式△判断．由消元，得到一元二次方程的判别式△①相交：△＞0②相切：△＝0③相离：△＜0．例题精讲不含有参数的直线与圆位置关系例1.已知点P在单位圆x2+y2=1上运动，P到直线3x﹣4y﹣10=0与x=3的距离分为d1、d 2，则d1+d2的最小值是．例2.点P是直线x+y﹣2=0上的动点，点Q是圆x2+y2=1上的动点，则线段PQ长的最小值为．例3.经过圆x2+y2﹣2x+2y=0的圆心且与直线2x﹣y=0平行的直线方程是（）A．2x﹣y﹣3=0B．2x﹣y﹣1=0C．2x﹣y+3=0D．x+2y+1=0含有参数类型直线与圆的位置关系知识讲解1．直线与圆的位置关系1．直线与圆的位置关系2．判断直线与圆的位置关系的方法直线Ax+By+C＝0与圆（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0）的位置关系的判断方法：（1）几何方法：利用圆心到直线的d和半径r的关系判断．圆心到直线的距离d＝①相交：d＜r②相切：d＝r③相离：d＞r（2）代数方法：联立直线与圆的方程，转化为一元二次方程，用判别式△判断．由消元，得到一元二次方程的判别式△①相交：△＞0②相切：△＝0③相离：△＜0．例题精讲含有参数类型直线与圆的位置关系例1.已知△ABC的三边长为a，b，c，满足直线ax+by+2c=0与圆x2+y2=4相离，则△ABC是（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．以上情况都有可能例2.直线ax﹣y+a=0（a≥0）与圆x2+y2=9的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．相切或相离例3.圆x2+y2+4x﹣2y﹣1=0上存在两点关于直线ax﹣2by+2=0（a＞0，b＞0）对称，则的最小值为（）A．8B．9C．16D．18简单切线类型知识讲解1．圆的切线方程圆的切线方程一般是指与圆相切的直线方程，特点是与圆只有一个交点，且过圆心与切点的直线垂直切线．圆的切线方程的类型：（1）过圆上一点的切线方程：对于这种情况我们可以通过圆心与切点的连线垂直切线求出切线的斜率，继而求出直线方程（2）过圆外一点的切线方程．这种情况可以先设直线的方程，然后联立方程求出他们只有一个解（交点）时斜率的值，进而求出直线方程．例题精讲简单切线类型例1.设点A为圆（x﹣1）2+y2=1上的动点，PA是圆的切线，且|PA|=1，则P点的轨迹方程为（）A．y2=2x B．（x﹣1）2+y2=4C．y2=﹣2x D．（x﹣1）2+y2=2例2.已知圆的方程是x2+y2=1，则经过圆上一点M（1，0）的切线方程是（）A．x=1B．y=1C．x+y=1D．x﹣y=1例3.'已知圆C的方程为x2+y2﹣2x+4y﹣3=0，直线l：x﹣y+t=0．若直线l与圆C相切，求实数t的值.'简单弦长问题知识讲解弦长问题一、求直线与圆相交时的弦长有三种方法(1)交点法：将直线方程与圆的方程联立，求出交点A，B的坐标，根据两点间的距离公式|AB|＝求解．(2)弦长公式：如图所示，将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交点分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝＝|x1－x2|＝|y1－y2|(直线l的斜率k存在)．(3)几何法：如图，直线与圆C交于A，B两点，设弦心距为d，圆的半径为r，弦长为|AB|，则有()2＋d2＝r2，即|AB|＝2.通常采用几何法较为简便。
高一数学直线与圆的位置关系1
讨论：能否根据两个圆的公共点的个数 判断两圆的位置关系？ 方法：联立两圆的方程构成方程组；再 根据方程组的解的个数判断两圆的位置 关系。
典例讲解
例1、 已知：
圆C1：x2＋y2＋2x＋8y－8＝0，
圆C2：x2＋y2－4x－4y－2＝0， 判断圆C1与圆C2的位置关系.
知识探究（三）
若两圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0
和圆C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0相
交，则其公共弦所在直线的方程 (D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0 是 ：
知识探究（四）
若圆O：x2+y2+Dx+Ey+F=0和直线
Ax+By+C=0有公共点，则经过它
们的交点的圆系方程是：
x y Dx Ey F ( Ax By c ) 0
与圆
x y 6 y 28 0
2 2
的交点的圆的方程。
作业： 教材：P130 练习
P133习题9、10、11
《学海》第四章第4课时
；
/macd/ macd指标详解 ； 2019.1
就照我说的办.娜塔莎,听从你政委姐姐的话,注意,要好好瞄准敌人的观察口！" 李小克还记得自己给妻子的承诺,作为副师长要给全师负责,不会愚蠢的像个下级连长帅兵猛攻.但是杀红了眼睛谁在乎,再者时间非常宝贵！它些承诺暂且放在一边战机稍纵即逝. 因为胳膊的伤刚好,还不能 疯狂的抱着冲锋枪一通扫射,卖力气的活儿由属下负责,此刻的他就是监军的存在. 此刻,一部分德军被叶甫根尼的营狠狠拖住,一部分依靠着装甲列车战斗.李小克率领二百多人从街道迂回,他们遭遇了轻微的抵
人教版高中数学必修2《直线与圆的位置关系》教案
四、教学过程设计
解析几何就是用代数方法研究几何图形，当然也要研究几何图形的位置关系，直线与直线的位置关系已经研究清楚，这节课我们研究直线与圆的位置关系。
1．问题情境
问题1．直线与圆的位置关系有几种？在平面几何中，我们怎样判断直线与圆的位置关系呢？
师生活动：学生解答，解释出错原因。
6．课堂小结
问题9判断直线与圆的位置关系有哪些方法?
问题10当直线与圆相交时,如何求弦长?
设计意图：巩固所学知识，培养学生归纳概括能力．
师生活动：学生思考，教师引导时应涉及到“如何求弦长”以及判断直线与圆的位置关系有几种方法？它们的步骤是什么？
人教版高中数学必修2《直线与圆的位置关系》教案这篇文章共11261字。
（2）通过消元，得到一个一元二次方程；
（3）求出其判别式△的值；
（4）判断△的符号：
若△＞0，则直线与圆相交；
若△＝0，则直线与圆相切；
若△＜0，则直线与圆相离．
4．例题示范
例1如图，已知直线：和圆心为的圆，
（1）判断直线与圆的位置关系；
（2）如果相交，求它们交点的坐标．
设计意图：通过例题巩固判断直线与圆的位置关系方法，关注量与量之间的关系．使学生体验用坐标法研究直线与圆的位置关系的想法与结论．
4．当直线与圆有公共点时，能通过联解方程组得出直线与圆的公共点的坐标．
5．当直线与圆相交时，会求圆的弦长，以及能解决与弦长相关的简单问题．
6．通过直线与圆的位置关系的代数化处理，使学生进一步认识到坐标系是联系“数”与“形”的桥梁，从而更深刻地体会坐标法思想．
教学应对
三、教学问题诊断
最新人教版高中数学必修2第四章《直线与圆的位置关系》
4．2.1 直线与圆的位置关系1．知道直线与圆的位置关系的分类．2．能根据方程，判断直线和圆的位置关系． 3．能够解决有关直线和圆的位置关系的问题．直线A x ＋B y ＋C ＝0与圆(x －a)2＋(y －b)2＝r 2的位置关系及判断【做一做】 直线3x ＋4y ＋12＝0与圆(x －1)＋(y ＋1)＝9的位置关系是( ) A ．过圆心 B ．相切 C ．相离 D ．相交答案：两 一 零 ＜ ＝ ＞ ＞ ＝ ＜ 【做一做】 D代数法与几何法的比较剖析：代数法的运算量较大，几何法的运算量较小，并且也简单、直观．受思维定式的影响，看到方程就想解方程组，自然就想到代数法．【例】 若直线4x －3y ＋a ＝0与圆x 2＋y 2＝100：①相交；②相切；③相离，试分别求实数a 的取值范围．解法一：(代数法)由方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x －3y ＋a ＝0，x 2＋y 2＝100，消去y ，得25x 2＋8a x ＋a 2－900＝0.则Δ＝(8a)2－4×25(a 2－900)＝－36a 2＋90 000.①当直线和圆相交时，Δ＞0，即－36a 2＋90 000＞0，解得－50＜a ＜50； ②当直线和圆相切时，Δ＝0，解得a ＝50或a ＝－50； ③当直线和圆相离时，Δ＜0，解得a ＜－50或a ＞50. 解法二：(几何法)圆x 2＋y 2＝100的圆心为(0,0)，半径r ＝10，则圆心到直线4x －3y ＋a ＝0的距离d ＝|a|32＋42＝|a|5.①当直线和圆相交时，d<r ，即|a|5<10，所以－50＜a ＜50；②当直线和圆相切时，d ＝r ，即|a|5＝10，所以a ＝50或a ＝－50；③当直线和圆相离时，d>r ，即|a|5>10，所以a ＜－50或a ＞50.处理直线与圆的位置关系的代数法和几何法，都具有普遍性，都要熟练掌握．由这两种解法可看到，几何法比代数法运算量要小，也比较简单、直观．题型一：直线与圆的相交问题【例1】 过点(－4,0)作直线l 与圆x 2＋y 2＋2x －4y －20＝0交于A ，B 两点，如果|AB|＝8，求直线l 的方程．反思：(1)讨论直线与圆的相交问题时，通常情况下不求出交点坐标．利用半径、半弦和弦心距组成的直角三角形，由勾股定理能解决弦长问题．(2)解答本题时易出现漏掉x ＋4＝0的错误结果，导致这种错误的原因是对直线点斜式方程存在的条件理解不透，从而思维不严密，分类不完整．题型二：直线与圆的相切问题【例2】 求经过点(1，－7)且与圆x 2＋y 2＝25相切的直线方程．反思：解决直线与圆的相切问题时，通常利用圆心到切线的距离等于半径来解决．答案：【例1】 解：将圆的方程配方得(x ＋1)2＋(y －2)2＝25，由圆的性质可得，圆心到直线l 的距离d ＝(25)2－⎝⎛⎭⎫822＝3.当l 的斜率不存在时，x ＝－4满足题意．当l 的斜率存在时，设方程为y ＝k (x ＋4)，即kx －y ＋4k ＝0.由点到直线的距离公式，得3＝|－k －2＋4k |1＋k 2，解得k ＝－512.所以直线l 的方程为5x ＋12y ＋20＝0.综上所述，直线l 的方程为x ＋4＝0或5x ＋12y ＋20＝0.【例2】 解：(1)当直线斜率不存在时，其方程为x ＝1，不与圆相切；(2)当直线斜率存在时，设斜率为k ，则切线方程为y ＋7＝k (x －1)，即kx －y －k －7＝0.∴|－k －7|k 2＋(－1)2＝5，解得k ＝43或k ＝－34.∴所求切线方程为y ＋7＝43(x －1)或y ＋7＝－34(x －1)，即4x －3y －25＝0或3x ＋4y ＋25＝0.1．(2011·山东济南一模)若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x －3y ＝0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是( )A ．(x －2)2＋(y －1)2＝1B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1C ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1D ．(x －3)2＋(y －1)2＝1 2．圆x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0截直线5x －12y ＋c ＝0所得的弦长为8，则c 的值是( ) A ．10 B ．10或－68 C ．5或－34 D ．－683．直线l：3x－4y－5＝0被圆x2＋y2＝5所截得的弦长为__________．4．(2011·北京丰台高三期末)过点(－3,4)且与圆(x－1)2＋(y－1)2＝25相切的直线方程为__________．5．已知一个圆C与y轴相切，圆心C在直线l1：x－3y＝0上，且在直线l2：x－y＝0上截得的弦长为C的方程．答案：1．A 2.B 3.4 4.4x－3y＋24＝05．解：∵圆心C在直线l1：x－3y＝0上，∴可设圆心为C(3t，t)．又∵圆C与y轴相切，∴圆的半径为r＝|3t|.再由弦心距、半径、弦长的一半组成的直角三角形，可得2＋2＝|3t|2，解得t＝±1.∴圆心为(3,1)或(－3，－1)，半径为3.故所求圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.。
高中数学必修2圆与方程(教师用)
圆的方程知识点与题型1. 确定圆方程需要有三个互相独立的条件.圆的方程有两种形式，要注意各种形式的圆方程的适用范围.(1) 圆的标准方程：(x －a)2＋(y －b)2＝r 2，其中(a ，b)是圆心坐标，r 是圆的半径； (2) 圆的一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0 (D 2＋E 2－4F ＞0)，圆心坐标为(2,2ED --)，半径为r ＝2422FE D -+2. 直线与圆的位置关系的判定方法.(1) 法一：直线：Ax ＋By ＋C ＝0；圆：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.消元⎩⎨⎧=++++=++0022F Ey Dx y x C By Ax 一元二次方程⎪⎩⎪⎨⎧⇔<∆⇔=∆⇔>∆−−→−相离相切相交判别式000 (2) 法二：直线：Ax ＋By ＋C ＝0；圆：(x －a)2＋(y －b)2＝r 2，圆心(a ，b)到直线的距离为d ＝⎪⎩⎪⎨⎧⇔>⇔=⇔<→+++相离相切相交r d r d r d B A C Bb Aa 22. 3. 两圆的位置关系的判定方法.设两圆圆心分别为O 1、 O 2，半径分别为r 1、 r 2， ｜O 1O 2｜为圆心距，则两圆位置关系如下： ｜O 1O 2｜＞r 1＋r 2⇔两圆外离；｜O 1O 2｜＝r 1＋r 2⇔两圆外切； ｜r 1－r 2｜＜｜O 1O 2｜＜r 1＋r 2⇔两圆相交；｜O 1O 2｜＝｜r 1－r 2｜⇔两圆内切； ０＜｜O 1O 2｜＜｜r 1－r 2｜⇔两圆内含. 一、圆的方程1 、以点)1,2(-为圆心且与直线0543=+-y x 相切的圆的方程为( ) (A)3)1()2(22=++-y x (B)3)1()2(22=-++y x (C)9)1()2(22=++-y x(D)9)1()2(22=-++y x解：已知圆心为)1,2(-，且由题意知线心距等于圆半径，即2243546+++=d r ==3，∴所求的圆方程为9)1()2(22=++-y x ，故选(C).2、方程x 2+y 2－2（t +3）x +2（1－4t 2）y +16t 4+9=0（t ∈R ）表示圆方程，则t 的取值范围是（ ）A.－1<t <71 B.－1<t <21 C.－71<t <1D .1<t <2 ：由D 2+E 2－4F >0，得7t 2－6t －1<0，即－71<t <1.答案：C3、已知两点P 1（4，9）、P 2（6，3），求以P 1P 2为直径的圆的方程.【思考与分析】 根据已知条件，我们需要求出圆的圆心位置，又由点P 1P 2的坐标已知，且P 1P 2为所求圆的直径，所以圆的半径很容易求出，这是常规的解法，如下面解法1所示，另外还有一些其它的解法，我们大家一起来欣赏：解法1：设圆心为C （a ，b ）、半径为r. 由中点坐标公式，得 a ＝＝5，b ＝＝6.∴ C （5，6），再由两点间距离公式，得∴ 所求的圆的方程为（x －5）2＋（y －6）2＝10.解法2：设P （x ，y ）是圆上任意一点，且圆的直径的两端点为P 1（4，9）、P 2（6，3）， ∴ 圆的方程为（x －4）（x －6）＋（y －9）（y －3）＝0， 化简得 （x －5）2＋（y －6）2＝10，即为所求.4、求过两点A （1，4）、B （3，2），且圆心在直线y =0上的圆的标准方程，并判断点M 1（2，3），M 2（2，4）与圆的位置关系.A 、B 两点，所以圆心在线段ABk AB =3124--=－1，AB 的中点为（2，3），故AB 的垂直平分线的方程为y －3=x －2，即x －yy =0上，因此圆心坐标是方程组x －y +1=0，y =0半径r =22)40()11(-+--=20，所以得所求圆的标准方程为（x +1）2+y 2=20.因为M 1到圆心C （－1，0）的距离为22)03()12(-++=18，|M 1C |<r ，所以M 1在圆C 内；而点M 2到圆心C 的距离|M 2C |=22)04()12(-++=25>20，所以M 2在圆C 外.5、已知圆2260x y x y m ++-+=和直线230x y +-=交于P 、Q 两点，且OP ⊥OQ （O 为坐标原点），求该圆的圆心坐标及半径长．解：将32x y =-代入方程2260x y x y m ++-+=，得2520120y y m -++=．的解，即圆心坐标为（－1，0）.设P ()11,x y ，Q ()22,x y ，则12,y y 满足条件：1212124,5m y y y y ++==． ∵ OP ⊥OQ , ∴12120,x x y y +=而1132x y =-，2232x y =-，∴()121212964x x y y y y =-++．∴3m =，此时Δ0>，圆心坐标为（－12，3），半径52r =．二、位置关系问题（点、直线、圆与圆的位置关系）1、点P （5a +1，12a ）在圆（x －1）2+y 2=1的内部，则a 的取值范围是（ D ）A.｜a ｜＜1B.a ＜131C.｜a ｜＜51 D .｜a ｜＜131解析：点P 在圆（x －1）2+y 2=1内部⇔（5a +1－1）2+（12a ）2＜1⇔｜a ｜＜131.答案：D 2、直线1=+y x 与圆0222=-+ay y x )0(>a 没有公共点，则a 的取值范围是( A )(A))12,0(- (B))12,12(+- (C))12,12(+-- (D))12,0(+解 化为标准方程222)(a a y x =-+，即得圆心),0(a C 和半径a r =.∵直线1=+y x 与已知圆没有公共点，∴线心距a r a d =>-=21，平方去分母得22212a a a >+-，解得1212-<<--a ，注意到0>a ，∴120-<<a ，故选(A).点评：一般通过比较线心距d 与圆半径r 的大小来处理直线与圆的位置关系：⇔>r d 线圆相离；⇔=r d 线圆相切；⇔<r d 线圆相交.3、 直线2x －y ＋1＝0与圆O ∶x 2+y 2+2x-6y-26=0的位置关系是（ ）.A ． 相切B ． 相交且过圆心C ． 相离D ． 相交不过圆心 【解析】 要想确定一条直线与圆的位置关系，我们需要得出圆心到直线的距离与圆半径的大小关系.所以将圆的方程化为标准形式为：圆O ∶（x+1）2+（y-3）2=36.圆心为（－1，3），半径为r ＝6，圆心到直线的距离为d ＝从而知0＜d ＜r ，所以直线与圆相交但不过圆心. 故正确答案为D4、已知圆C 与圆0222=-+x y x 相外切，并且与直线03=+y x 相切于点)3,3(-Q ，求圆C 的方程设圆C 的圆心为),(b a ，则6234004231)1(33322==⇒⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧==⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=+-=-+r r b a b a b a b a a b 或或 所以圆C 的方程为36)34(4)4(2222=++=+-y x y x 或三、切线问题1、过坐标原点且与圆0252422=++-+y x y x 相切的直线方程为( ) (A)x y 3-=或x y 31= (B)x y 3=或x y 31-= (C)x y 3-=或x y 31-=(D)x y 3=或x y 31=解 化为标准方程25)1()2(22=++-y x ,即得圆心)1,2(-C 和半径25=r . 设过坐标原点的切线方程为kx y =，即0=-y kx ，∴线心距251122==++=r k k d ，平方去分母得0)3)(13(=+-k k ，解得3-=k 或31，∴所求的切线方程为x y 3-=或x y 31=，故选(A). 点评：一般通过线心距d 与圆半径r 相等和待定系数法，或切线垂直于经过切点的半径来处理切线问题.2、求由下列条件所决定圆422=+y x 的圆的切线方程：(1)经过点)1,3(P ，(2)经过点)0,3(Q ，(3)斜率为1-解：(1) 41)3(22=+ ∴点)1,3(P 在圆上，故所求切线方程为43=+y x 。
高一数学人教版A版必修二课件：4.2.2 圆与圆的位置关系
思考2 已知两圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和C2：x2＋y2＋D2x＋ E2y＋F2＝0，如何通过代数的方法判断两圆的位置关系？ 答案 联立两圆的方程，消去y后得到一个关于x的一元二次方程， 当判别式Δ>0时，两圆相交，当Δ＝0时，两圆外切或内切， 当Δ<0时，两圆外离或内含.
答案
解析答案
1 23 4
2.圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋(y－3)2＝1的内公切线有且仅有( B )
A.1条
B.2条
C.3条
D.4条
解析 圆心距为3，半径之和为2，故两圆外离，内公切线条数为2.
解析答案
1 23 4
3.若圆C1：x2＋y2＝16与圆C2：(x－a)2＋y2＝1相切，则a的值为( D )
解析 由题意知：直线AB与直线x－y＋c＝0垂直， ∴kAB×1＝－1， 3－－1
1－m ＝－1，得 m＝5， AB的中点坐标为(3,1)， AB的中点在直线x－y＋c＝0上. ∴3－1＋c＝0，∴c＝－2， ∴m＋c＝5－2＝3.
解析答案
(2)求圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的公共弦所在直线
为啥总是听懂了， 但不会做，做不好？
高效学习模型-内外脑模型
2
内脑-思考内化
思 维 导 图 &超 级 记 忆 法 &费 曼 学 习 法
1
外脑-体系优化
知 识 体 系 &笔 记 体 系
内外脑高效学习模型
超级记忆法
超级记忆法-记忆规律
记忆前
选择记忆的黄金时段 前摄抑制：可以理解为先进入大脑的信息抑制了后进 入大脑的信息
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题型探究
重点难点 个个击破
圆与圆的位置关系(必修2)
(2)C1 : x2 y2 9 C2 : (x 2)2 y2 1
解：C1(0, 0) r1 3
C2 (2, 01 r2 内切
(3) C1：x2 y2 2x 8y 8 0 C2：x2 y2 4x 4 y 1 0
相交
几何方法
两圆心坐标及半径 （配方法）
思考
C1 : x2 y2 2x 8y 8 0 C2 : x2 y2 4x 4 y 2 0
把C1与C2两式相减，得到的方程表示什么图形？ 这条直线与两圆的公共弦所在直线又有什么关系？
我们是否可以用这种方法求任意两个圆的公共弦 所在的直线呢？ 结论：只能在已知两圆位置关系是相交、相切 时才可以用来求公共弦所在直线，和过公共点 的切线方程。
直线与圆的三种位置关系
d
d
d
公共点个数 判别式
d与r的关系
相交
相切
相离
2个
1个
方程有两个 方程只有一 解 △>0 个解 △=0
dr d r
0个
方程无解 △<0
dr
小结：判断直线和圆的位置关系
方法一
方法二
求圆心坐标及半径r （配方法）
圆心到直线的距离d （点到直线距离公式）
(x a)2 ( y b)2 r 2
❖ 解：联立两个方程组得
x2 y2 2x 8 y 8 0 ①
x2
y2
4x
4y
2
0
②
①-②得
x 2y 1 0 ③
把上式代入①
x2 2x 3 0 ④
(2)2 41 (3) 16
得 x1=-1，x2=3 把x1，x2代入方程③得到 y1=1，y2=-1
所以圆C1与圆C2有两个不同的交点A(-1,1),B(3,-1) 最后得到公共弦所在直线：x+2y-1=0,
最新人教版高中数学必修2第四章《直线与圆的位置关系》
数学人教B必修2第二章2.3.3 直线与圆的位置关系1．能熟练地掌握二元方程组的解法，并通过解方程或方程组，解决直线与圆的位置关系问题．2．根据给定的直线、圆的方程，会用代数法和几何法判断直线与圆的位置关系．直线与圆的位置关系直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，设圆心(a，代数法和几何法来研究直线与圆的位置关系各有特点．“几何法”更多地侧重于“形”，更多地结合了图形的几何性质；“代数法”则侧重于“数”，它倾向于“坐标”与“方程”．【做一做1－1】直线4x＋3y－40＝0与圆x2＋y2＝64的位置关系是()．A．外离B．相切C．相交D．相切或外离【做一做1－2】若直线x－y＝2被圆(x－a)2＋y2＝4所截得的弦长为22，则实数a的值为()．A．－1或 3 B．1或3C．－2或6 D．0或4【做一做1－3】(2010·课标全国卷)过点A(4,1)的圆C与直线x－y－1＝0相切于点B(2,1)，则圆C的方程为__________．1．过点(x0，y0)的圆的切线方程的求法剖析：(1)当点(x0，y0)在圆x2＋y2＝r2上时，切线方程为x0x＋y0y＝r2；(2)当点(x0，y0)在圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上时，切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2；(3)点(x0，y0)在圆外，则可设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，变成一般式kx－y＋y0－kx0＝0，因为与圆相切，所以可利用圆心到直线距离等于半径，解出k.注意若此方程只有一个实根，则还有一条斜率不存在的直线，不能忽略．2．弦长的求法剖析：已知圆C：(x－x1)2＋(y－y1)2＝r2，直线AB：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)，如图，△ABC是等腰三角形，取弦AB的中点D，则CD⊥AB，且CD平分弦AB，因此弦长|AB |＝2r 2－d 2，其中d 表示弦心距，d ＝|Ax 1＋By 1＋C |A 2＋B 2.另外，还可以从方程的角度用两点间距离公式去计算，这时结合根与系数的关系，进行整体代换求得，即将直线AB ：y ＝kx ＋m 代入(x －x 1)2＋(y －y 1)2＝r 2，消去y 得关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0，设直线与圆的交点A (x 2，y 2)，B (x 3，y 3)，则x 2，x 3是上述方程的两个根，由根与系数的关系，得x 2＋x 3＝－b a ，x 2·x 3＝ca，则|AB |＝(x 2－x 3)2＋(y 2－y 3)2＝(x 2－x 3)2＋(kx 2－kx 3)2＝1＋k 2|x 2－x 3| ＝(1＋k 2)[(x 2＋x 3)2－4x 2x 3] ＝1＋k2b 2－4ac|a |.题型一 直线与圆的位置关系 【例1】求当λ为何值时，直线λx －y －λ－1＝0与圆x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0相交？相切？相离？分析：可利用直线与圆的方程构成的方程组的解的情况，或圆心到直线的距离与圆半径之间的关系，列条件求解λ的值或λ的取值范围．反思：判断直线与圆的位置关系可以从代数法和几何法两种角度入手，但用几何法解决更简便．题型二 关于弦长问题【例2】求直线y ＝x 被圆(x －2)2＋(y －4)2＝10所截得的弦长． 分析：求直线被圆所截弦长的方法，一是利用弦心距、半径和半弦所构成的直角三角形，二是用弦长公式．反思：求直线被圆所截得的弦长问题多利用半弦、半径、圆心到直线的距离构成的直角三角形来处理．题型三 直线与圆的综合问题【例3】已知O 为坐标原点，⊙O 1：x 2＋y 2＋x －6y ＋c ＝0与直线x ＋2y －3＝0的两个交点分别为P ，Q ，那么当c 取何值时，OP ⊥OQ?分析：利用代数方法，即联立直线与圆的方程，利用根与系数的关系对OP ⊥OQ 进行转化．反思：当圆中的几何特征不明显时，往往采用代数方程的思想，体现了解析几何的本质特征．这也是解决解析几何的重要方法．【例4】求圆(x －3)2＋(y －3)2＝9上到直线l ：3x ＋4y －11＝0的距离为1的点有几个？ 分析：此题应从圆心到直线l 的距离与圆的半径3之间的关系入手分析求解． 反思：解决有关直线与圆的问题要有作图意识，准确作图能帮助我们更快更准地分析题意．另外，要善于挖掘题目的切入点，找出临界是关键．题型四 易错辨析【例5】若直线l 过点P (2,3)，且与圆(x －1)2＋(y ＋2)2＝1相切，求直线l 的方程． 错解：设直线l ：y －3＝k (x －2)，即kx －y ＋3－2k ＝0. 因为直线l 与圆(x －1)2＋(y ＋2)2＝1相切，所以|5－k |k 2＋1＝1，所以k ＝125.所以直线l 的方程为12x －5y －9＝0.错因分析：忘记讨论斜率不存在时的情况．1直线l ：4x －3y ＋5＝0与圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋m ＝0无公共点的条件是m ∈( )． A ．(－∞，0) B ．(0,5)C ．(1,5)D ．(1，＋∞)2已知直线l ：ax －y －b ＝0，圆C ：x 2＋y 2－2ax －2by ＝0，则l 与C 在同一坐标系中的图形只可能是( )．3(2011·山东德州一中高一检测)若圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0被直线x －y ＋a ＝0截得的弦长为32，则a 的值为( )．A ．－2或2B ．12或32C ．2或0D ．－2或04过点A (3，－4)，且与圆x 2＋y 2＝25相切的直线方程是________________．5已知圆C 和y 轴相切，圆心C 在直线x －3y ＝0上，且被直线y ＝x 截得的弦长为27，求圆C 的方程．答案： 基础知识·梳理1．一组实数解(Δ＝0) d ＜r 两组实数解(Δ＞0) 【做一做1－1】B【做一做1－2】D 圆心到直线的距离d ＝|a －2|2＝2，所以|a －2|＝2，解得a ＝4或a ＝0.【做一做1－3】(x －3)2＋y 2＝2 设圆C 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，圆心(a ，b )到直线x －y －1＝0的距离 d ＝|a －b －1|2＝r ，①又圆C 过A (4,1)，B (2,1)，∴(4－a )2＋(1－b )2＝r 2，② (2－a )2＋(1－b )2＝r 2.③由①②③，得a ＝3，b ＝0，r ＝2， ∴圆的方程为(x －3)2＋y 2＝2. 典型例题·领悟【例1】解法一：由⎩⎪⎨⎪⎧λx －y －λ－1＝0，x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0，消去y ，得(1＋λ2)x 2－2(λ2＋2λ＋2)x ＋λ2＋4λ＋4＝0.因为1＋λ2≠0，且Δ＝4(λ2＋2λ＋2)2－4(1＋λ2)(λ2＋4λ＋4)＝4λ·(3λ＋4)，所以当Δ＝0，即λ＝0或λ＝－43时，直线与圆相切； 当Δ＞0，即λ＞0或λ＜－43时，直线与圆相交；当Δ＜0，即－43＜λ＜0时，直线与圆相离．解法二：将圆x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0配方，得(x －2)2＋(y －1)2＝4.圆心到直线的距离为d ＝|2λ－1－λ－1|1＋λ2＝|λ－2|1＋λ2.所以当d ＝2，即λ＝0或λ＝－43时，直线与圆相切；当d ＜2，即λ＞0或λ＜－43时，直线与圆相交；当d ＞2，即－43＜λ＜0时，直线与圆相离．【例2】解法一：由点到直线的距离公式得圆心到直线的距离d ＝|2－4|12＋12＝ 2.于是，弦长为2r 2－d 2＝210－(2)2＝4 2.解法二：联立方程y ＝x 与(x －2)2＋(y －4)2＝10， 得2x 2－12x ＋10＝0.①设两个交点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1，x 2是方程①的两根，于是由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝6，x 1·x 2＝5， 则|AB |＝2[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝4 2. 【例3】解：如图所示，联立得方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋x －6y ＋c ＝0， ①x ＋2y －3＝0. ② 此方程组的解即为P ，Q 两点的坐标P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)． 方程组消去x ，得5y 2－20y ＋12＋c ＝0，则y 1y 2＝12＋c 5，y 1＋y 2＝4.而x 1x 2＝(3－2y 1)·(3－2y 2)＝9－6(y 1＋y 2)＋4y 1y 2＝9－6×4＋4·12＋c 5＝－15＋48＋4c5.由OP ⊥OQ ，有y 1y 2x 1x 2＝－1，即x 1x 2＋y 1y 2＝0.∴－15＋48＋4c 5＋12＋c5＝0.∴c ＝3.【例4】解法一：圆(x －3)2＋(y －3)2＝9的圆心O 1(3,3)，半径r ＝3.设圆心O 1到直线3x ＋4y －11＝0的距离为d ，则d ＝|3×3＋4×3－11|32＋42＝2＜3.如图所示，在圆心O 1同侧，与直线3x ＋4y －11＝0平行且距离为1的直线l 1与圆有两个交点，这两个交点符合题意．又r －d ＝3－2＝1，∴与直线3x ＋4y －11＝0平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意．∴符合题意的点共有3个．解法二：符合题意的点是平行于直线3x ＋4y －11＝0，且与之距离为1的直线和圆的交点．设所求直线方程为3x ＋4y ＋m ＝0，则d ＝|m ＋11|32＋42＝1，∴m ＋11＝±5，即m ＝－6或m ＝－16， 故l 1：3x ＋4y －6＝0或l 2：3x ＋4y －16＝0.设圆O 1：(x －3)2＋(y －3)2＝9的圆心到直线l 1，l 2的距离分别为d 1，d 2，则d 1＝|3×3＋4×3－6|32＋42＝3，d 2＝|3×3＋4×3－16|32＋42＝1.∴l 1与圆O 1相切，与圆O 1有一个公共点；l 2与圆O 1相交，与圆O 1有两个公共点．故符合题意的点共有3个．【例5】正解：(1)若直线l 的斜率存在，设直线l ：y －3＝k (x －2)，即kx －y ＋3－2k ＝0.因为直线l 与圆(x －1)2＋(y ＋2)2＝1相切，所以|5－k |k 2＋1＝1，所以k ＝125.所以直线l 的方程为12x －5y －9＝0.(2)若直线l 的斜率不存在，则直线l ：x ＝2也符合要求．所以直线l 的方程为12x －5y －9＝0或x ＝2.随堂练习·巩固1．C 由圆心(2,1)到直线l ：4x －3y ＋5＝0的距离大于圆的半径及方程满足圆的条件可得．2．B 注意圆的方程的特点，易知圆C 过原点，所以A ，C 项均不正确；再由B ，D两选项和圆心、直线的斜率知B 项正确．3．C4．3x －4y ＝255．解：设圆心坐标为(3m ，m )，∵圆C 和y 轴相切，得圆的半径为3|m |，∴圆心到直线y ＝x 的距离为|2m |2＝2|m |.由半径、弦心距的关系得9m 2＝7＋2m 2， ∴m ＝±1.∴所求圆C 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9，或(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝9.。
说课稿 人教版 数学 高中 必修二 《直线与圆的位置关系》
《直线与圆的位置关系》（第一课时）说课稿尊敬的各位评委老师，大家下午好！我是应聘高中数学的3号考生，今天我抽到的说课题目是《直线与圆的位置关系》。
下面我将从说教材、说学情、说教法、说学法、说教学程序、说板书设计六个方面来开始我的说课。
一、说教材《直线与圆的位置关系》是人教版高中数学必修2第二章第三节的内容。
本节课的内容是直线与圆的位置关系，在此之前，学生已经学习直线与圆的位置关系，直线的方程与圆的方程，为本节课的学习打下了基础，同时，本节课的内容也为今后学习空间直角坐标系做好铺垫，所以，本节课的内容起到承上启下的过度作用。
基于以上对教材地位和作用的分析，确定了本节课的三维教学目标：知识与技能目标：在教师引导下，能将直线、圆的位置关系的实际问题坐标化，进一步培养学生“用数学”的意识；能根据给定直线、圆的方程判断直线、圆的位置关系，通过观察、验证、推理与交流等数学活动，找到判断直线、圆的位置关系的一般方法；能利用直线、圆的位置关系解决有关的简单问题，提升学生的逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力。
过程与方法目标：经历理论与实际的联系，提升数学建模能力，培养运用数形结合与方程的思想解决问题的意识；经历探索判断直线、圆的位置关系的过程，学生参与数学实践；通过多媒体动画演示，培养用运动变化的观点来分析问题、解决问题的能力。
情感态度与价值观目标：学生主动参与用坐标法探求直线、圆的位置关系的过程，学生感受成功的喜悦；通过自主探究、小组合作、讨论，培养团队精神和主动学习的良好习惯。
基于以上对于教材地位和作用的分析，以及设定的三维教学目标，确定了本节课的教学重难点：教学重点是运用坐标法探究直线、圆的位置关系，结合几何图形，将直线与圆的位置关系转化为圆心到直线的距离d与半径r的关系，将圆与圆的位置关系转化为连心线与两圆半径的关系，进一步体会数形结合这一重要数学思想；教学难点是把实际问题转化为数学问题，建立相应的数学模型；对用方程组的解来判断直线、圆的位置关系的方法的理解。
【数学】2.2.3 直线与圆、圆与圆的位置关系 课件(北师大必修2)
几何法
直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系判断方法：
一、几何方法。主要步骤： 把直线方程化为一般式,利用圆的方程求出圆 心和半径 利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离
作判断: 当d>r时，直线与圆相离；当d=r时， 直线与圆相切;当d<r时，直线与圆相交
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直线与圆的位置关系
二、代数方法。主要步骤：
归纳小结：直线与圆的位置关系的判断方法有两种：
① ：通过直线 方程与圆的方程所组成的 方程组成的方程组，根据 解的个数来研究，若有两 组不同的实数解，即⊿＞ ０，则相交；若有两组相 同的实数解，即⊿＝０， 则相切；若无实数解，即 ⊿＜０，则相离．
代数法
② ：由圆心 到直线的距离d与半径r 的大小来判断：当d<r时， 直线与圆相交；当d=r时， 直线与圆相切；当d>r时， 直线与圆相离．
C.x-y-3=0
例.己知圆C: x2+y2－2x－4y－20=0, 直线l: (2m+1)x+(m+1)y－7m－4=0(m∈R)
(1)证明: 无论m取何值 直线l与圆C恒相交.
(2)求直线l被圆C截得的最短弦长,及此时 直线l的方程.
分析: 若直线经过圆内 的一定点，那么该直线 必与圆交于两点，因此 可以从直线过定点的角 度去考虑问题.
小结： 圆与圆的 五 种 位置关系
两圆无公共点
R O1 r O2 O1 O
R r
2
外离 |O1O2|>R+r 内含 |O1O2|<R-r
两圆一有公共点
R
R O1
r O2
O1 O r 2
内切 |O1O2|=R-r 外切 |O1O2|=R+r
高中数学必修二直线与圆的位置关系
课题：直线与圆的位置关系一、教学内容分析学生在初中的学习中已了解直线与圆的位置关系,并知道可以利用直线与圆的公共点的个数，圆心与直线的距离d与半径r的关系来判断直线与圆的位置关系,但是,在初中学习时,利用圆心与直线的距离d与半径r的关系判断直线与圆的位置关系的方法都是以结论性的形式呈现,虽然是定量的展现，但实质还是定性研究（d与r都是直接给数据或者利用几何证明来得出d与r的数量关系）.在高一学习了解析几何以后,要考虑的问题是如何掌握由直线和圆的方程判断直线与圆的位置关系的方法，也就是定量研究.解决问题的方法主要是几何法(d-r法)和代数法（Δ法）.其中几何法是在初中学习的基础上,结合高中所学的点到直线的距离公式求出圆心与直线的距离d后,比较与半径r的关系从而作出判断.而代数法是结合直线方程与圆的方程，通过联立方程形成方程组，转化为二次方程根的判别问题从而做出判断。
两种方法学生都可以自己讨论得到,通过具体问题学生掌握“代数法”与“几何法”,明确代数法更具有一般性,几何法则紧扣圆的几何特性，充分利用圆的性质。
所以在研究直线与圆的位置关系时“几何法”更实用一些.通过教学想让学生体会：解析几何的核心就是坐标法，计算是必不可少的，提高计算能力也是必要的。
但解析几何终究研究的是几何问题，深入研究几何图形的特性，再用代数方法去解决可以减少计算量从而提高解题效率。
含参数的问题、简单的弦的问题、切线问题等综合问题作为进一步的拓展提高或综合应用,也可适度地引入课堂教学中,但以深化“判定直线与圆的位置关系”为目的,想要控制难度.虽然学生学习解析几何了,但把几何问题代数化无论是思维习惯还是具体转化方法,学生仍是似懂非懂,因此应不断强化,逐渐内化为学生的习惯和基本素质.二、学生情况分析学生在初中平面几何中已经接触过直线与圆的位置关系，前面已经学习了直线方程、圆的方程、两直线的位置关系以及点到直线的距离等知识，具备了利用方程及图形研究直线与圆的位置关系的基本能力。
必修2：直线与圆的方程
42
2
又令 y 0 ，得 x 10 3
故直线的截距式方程 x y 1 10 5
32
点评：直线方程的四种特殊形式之间存在着内在的联系，它是直线在不同条件下的不同
表现形式，要掌握好它们之间的互化。在解具体问题时，要根据问题的条件、结论，灵活恰
当地选用公式，使问题解得简捷、明了。
例 5．直线 l 经过点 P（-5，-4），且与两坐标轴围成的三角形面积为 5，求直线 l 的方
直线、圆的方程
一．【课标要求】
1．直线与方程 （1）在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素； （2）理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过 两点的直线斜率的计算公式； （3）根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点 式及一般式），体会斜截式与一次函数的关系； 2．圆与方程 回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程。
0 2 1，选 B。 2
【答案】B
【点评】：此题重点考察圆的标准方程和点到直线的距离；
【突破】：数形结合，使用点 C 到直线 l 的距离距离公式
例 6． （天津文，14）若圆 x2 y 2 4 与圆 x2 y2 2ay 6 0(a 0) 的公共弦长为 2 3 ，
则 a=________.
图
3
【解】：∵直线 y 3x 绕原点逆时针旋转 900 的直线为 y 1 x ，从而淘汰（Ｃ），（D） 3
又∵将 y 1 x 向右平移１个单位得 y 1 x 1 ，即 y 1 x 1
3
3
33
【点评】：此题重点考察互相垂直的直线关系，以及直线平移问题；
故选 A；
2019年最新-人教版高中数学必修二直线与圆的位置关系(公式及技巧)
2．已知：如图，PT切⊙O于点T，PA交⊙O于A、B两点且 与直径CT交于点D，CD＝2，AD＝3，BD＝6，则PB＝ ________.
解析：由AD·BD＝CD·TD，得TD＝9，又由
得PB(PB＋9)＝(PB＋6)2－92，则PB＝15. 答案：15
3.如图，已知EB是半圆O的直径，A是BE延长线上一点，AC
解析：∵∠CAE＝∠EAB，∠EAB＝∠ACB， ∴∠ACB＝∠CAE＝∠EAB. 又∵CB⊥AD，∴∠ACB＝∠CAE＝∠EAB＝30°. 又∵AE＝2，∴AB＝ 3,AC2 3,BC＝3. 答案：
6．如图，EB、EC是⊙O的两条切线，B、C是切点，A、D 是⊙O上两点，如果∠E＝46°，∠DCF＝32°，则∠A 的度数是________．
３，能创编动作表现歌（乐）曲，准 确地唱 歌。
教学重点：用柔和的声音演唱歌曲。
教学难点：能创编动作表现歌曲。
教学准备：录音机，电子琴
教学内容及过程：
一 开始部分：
１ 听音乐问好！
２ 复习歌曲。
３ 复习柯尔文手势。
二 基本部分：
１、表演《布谷》
a 完整地感受歌曲的旋律，课题是学 生跟着 音乐拍 手、拍 腿，感 受歌曲 的节拍 。然后 听歌曲 录音， 用手指 点歌词 ，想一 想哪些 音长？
(1)可利用圆内接四边形对角互补来证明A，P，O，M四 点共圆； (2)利用(1)所得结论即可求得∠OAM＋∠APM的大小．
证明：连结OP，OM，如图(1)所示．因为AP与⊙O相切 于点P，所以OP⊥AP.因为M是⊙O的弦BC的中点，所以 OM⊥BC.于是∠OPA+∠OMA=180°.由圆心O在∠PAC的 内部，可知四边形APOM的对角互补，所以A，P，O， M四点共圆．
高中数学必修2直线与圆的位置关系1
高中数学必修2 直线与圆的位置关系【一】、圆的定义及其方程．（1）圆的定义：平面内与定点距离等于定长的点的集合(轨迹)叫做圆，定点叫做圆心，定长就是半径；（圆心是定位条件，半径是定型条件） （2）圆的标准方程：)0()()(222>=-+-r r b y a x ；圆心),(b a ，半径为r ；圆的一般方程：)04(02222>-+=++++F E D F Ey Dx y x ；圆心)2,2(ED --，半径为F E D 42122-+； 【二】、点与圆的位置关系（仅以标准方程为例，其他形式，则可化为标准式后按同样方法处理）设),(00y x P 与圆222)()(r b y a x =-+-；若P 到圆心之距为d ；①P 在在圆C 外222)()(r b y a x r d >-+-⇔>⇔； ②P 在在圆C 内222)()(r b y a x r d <-+-⇔<⇔； ③P 在在圆C 上222)()(r b y a x r d =-+-⇔=⇔；【三】、直线与圆的位置关系：设直线0:=++C By Ax l 和圆222)()(:r b y a x C =-+-，圆心C 到直线l 之距为d ，由直线l 和圆C 联立方程组消去x （或y ）后，所得一元二次方程的判别式为∆，则它们的位置关系如下：注意：这里用d 与r 的关系来判定，称为几何法，只有对圆才实用，也是最简便的方法；利用∆判定称为代数法，对讨论直线和二次曲线的位置关系都适应。
【四】、两圆的位置关系：（1）代数法：解两个圆的方程所组成的二元二次方程组；若方程组有两组不同的实数解，则两圆相交；若方程组有两组相同的实数解，则两圆相切；若无实数解，两圆相离。
（2）几何法：设圆1O 的半径为1r ，圆2O 的半径为2r①两圆外离2121||r r O O +>⇔； ②两圆外切2121||r r O O +=⇔；③两圆相交212112||||r r O O r r +<<-⇔； ④两圆内切||||1221r r O O -=⇔； ⑤两圆内含||||1221r r O O -<⇔；（五）已知圆C ：(x-a)2+(y-b)2=r 2(r>0)，直线L ：Ax+By+C=01．位置关系的判定：判定方法1：联立方程组 得到关于x(或y)的方程(1)△>0相交； (2)△=0相切； (3)△<0相离。
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--圆方程与直线与圆、圆与圆关系一、圆的标准方程 1.圆的定义(1）条件:平面内到定点的距离等于定长的点的__集合__＿． (2)结论：定点是_圆心__＿＿,定长是___半径__. 2.圆的标准方程(1）圆心为A （a,b ）,半径长为r 的圆的标准方程为 .(2）圆心在原点,半径长为ｒ的圆的标准方程为 2．点与圆的位置关系圆C :(x -a )２＋(ｙ-ｂ）2=ｒ2(r ＞0），其圆心为(a ,b )，半径为r ，点P (x 0，y 0）,设d =｜PC ｜=错误!. 位置关系 d 与ｒ 的大小图示点P 的坐标的特点 点在圆外ｄ__>__r(x ０-a )2＋(y 0－b )2>r ２点在圆上d ＿_=__r(x 0-ａ)2＋(ｙ0-b ）2=r 2点在圆内d __<__ｒ(x ０－a )2+(y ０-b )２<ｒ2题型一：圆的标准方程 例1.写出下列各圆的方程：(1)圆心在原点,半径是３；(2)圆心在点C （3,4)处，半径是5；(3）经过点P （5,1)，圆心在点C （８，－３)处题型二：点与圆的位置关系的判断例2．已知两点Ｐ1(3,8)和P 2(５，4)，求以线段P １P 2为直径的圆的方程,并判断点Ｍ(5,3）,N (3,４）,Ｐ（３,5)是在此圆上，在圆内,还是在圆外？变式：若原点在圆(x -1)2+(y ＋2)2=m 的内部，则实数m 的取值范围是( )A ．m >5 Ｂ．m ＜5 C ．－2＜ｍ＜２ Ｄ.０＜m ＜2题型三：圆标准方程的求解例3.求下列条件所决定的圆的方程:（1)已知圆 C 过两点 A (5,１)，B (1,3),圆心在 x 轴上；(x －a )2＋(y －b )2＝r 2x 2+y 2=r 2--（2）求圆心在直线ｘ-２y -3＝0上,且过点A （2,－3)，Ｂ（－2,－5)的圆心的标准方程.（3)经过三点 A (1，-1)，B (1,4),C (４,－2).变式１:变式2:如图,矩形ABCD 的两条对角线相交于点Ｍ（２,０），A Ｂ边所在直线的方程为x －3y -6＝0，点Ｔ(－1,1）在AD 边所在的直线上.(１)求AD 边所在直线的方程； （２)求矩形ABCD 外接圆的方程.一、 圆的一般方程 １．圆的一般方程（1)方程：当Ｄ2＋Ｅ2-４F ＞0时,方程x 2＋y ２＋Dx +Ey ＋F =0叫做圆的一般方程，其中圆心为＿____＿__＿_＿＿＿_,半径为r =_＿_________＿____. (2)说明:方程ｘ２＋y 2＋Dx +Ey +Ｆ=0不一定表示圆.当且仅当_＿_＿_＿_＿____＿_时,表示圆:当D 2+E ２－４F ＝０时,表示一个点____(-Ｄ2，-错误!）＿_;当Ｄ2+Ｅ２-4Ｆ<0时，不表示任何图形.(3）用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤:①根据题意,选择＿标准方程＿＿_____或＿__一般方程_______; ②根据条件列出关于a ,b ，ｒ或D ，E ,F 的_方程组__＿_＿_＿__； ③解出ａ,b ,r 或D ,E ,F ,代入标准方程或一般方程. ２．由圆的一般方程判断点与圆的位置关系 剖析:已知点M (x 2＋y 222－4F ＞０)，则其位置关系如下表：位置关系 代数关系点Ｍ在圆外 x 错误!+y 错误!+Dx 0＋Ｅy 0＋Ｆ＞0 点M 在圆上 x ＼o ＼ａl(2,0）＋y ２0＋Dx ０＋Ｅy 0+Ｆ=0点Ｍ在圆内ｘ错误!＋ｙ错误!+Ｄx 0+Ey ０＋F <0题型一:圆的一般方程例1．圆ｘ2＋y 2－4x －１=0的圆心坐标及半径分别为( )A ．（２,0),5 B.(2,0),错误! C ．(0,2),错误!D.(2,2）,５变式2:下列方程各表示什么图形：圆心为(1,1)且与直线x ＋y ＝4相切的圆的方程是( ) A ．(x －1)2＋(y －1)2＝2 B ．(x －1)2＋(y －1)2＝4 C ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2 D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4 C (－D 2，－E 2) 12D 2＋E 2－4F D 2＋E 2－4F >0 变式1：若方程x 2＋y 2－4x ＋2y ＋5k ＝0表示圆，则实数k 的取值范围是( ) A ．R B ．(－∞，1) C ．(－∞，1] D ．[1，＋∞)(１)x 2＋y ２-4x -2y +5=0； (２)x 2＋ｙ2-2x +4ｙ－４＝0； (3)x ２＋ｙ2＋ax -3a ｙ=０.题型二:圆的方程求解例2.(1)过三点A (-１,５),B （5,5)，C （6，－2)的圆的方程是( )Ａ.x 2+y ２＋4x －2ｙ-２0=0 B.ｘ2+ｙ2－４x ＋2y －20=０ C.x ２+y 2－4x -2y -20＝０ Ｄ.x ２+y 2＋4x +4y -20＝0(２）已知圆Ｃ：x 2+y 2＋Ｄx +Ey ＋3=0,圆心在直线x ＋y -1＝０上,且圆心在第二象限,半径为2,求圆的一般方程．变式：(１）已知圆经过A (2，－3)和B (－2,－5),若圆心在直线x -２y -3＝0上，求圆的方程.(2）求过点Ａ（－1，0)、B （3,０)和Ｃ(0，1)的圆的方程．题型三：轨迹问题例3.变式：已知点Ａ在直线２x -3y +5=０上移动，点P 为连接Ｍ(4,-3)和点A 的线段的中点,求Ｐ的轨迹方程.题型四：点与圆的位置关系例4． 点（2a,2)在圆x 2＋y ２-2y －4＝0的内部,则a 的取值范围是( ）Ａ.-1<a <1 Ｂ.0＜a <１ C ．－1<ａ＜错误! D ．－错误!<ａ<1 变式:已知点Ｏ(０，0)在圆ｘ2＋ｙ2＋kx +2ky +2ｋ2+k －1=0外,求k 的取值范围.例5.圆C :ｘ2+y 2＋x －6y +3=０上有两个点Ｐ和Q 关于直线ｋx -y +4＝０对称,则k ＝( ）Ａ.2 B ．－＼r(3)２Ｃ．±错误!D.不存在变式：若圆x 2＋y 2－2ax ＋3ｂy =0的圆心位于第三象限，那么直线x ＋ay +b =0一定不经过( ）A ．第一象限 B.第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限三、直线与圆的位置关系1．直线与圆的位置关系有三种:(1）直线与圆相交⇔直线与圆有_两＿_个公共点;自圆x 2＋y 2＝4上的点A (2,0)引此圆的弦AB ，求弦AB 的中点轨迹方程．(2)直线与圆相切⇔直线与圆有__一_个公共点; (3)直线与圆相离⇔直线与圆___无＿_公共点． 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数__2__个 _＿１__个 ＿0___个 判 定方 法 几何法:设圆心到直线的距离d =错误! d __<__r d __=_＿r d __>__r 代数法:由错误!消元得到一元二次方程的判别式ΔΔ__＞__0Δ＿_=__0Δ_<___03.弦长公式：①几何法:由圆的性质知,过圆心O 作ｌ的垂线,垂足C 为线段ＡB 的中点.如图所示，在Rt △OCB 中，｜BC |2=r 2－d 2,则弦长|AB ｜=2|BC |，即｜AB ｜＝2＼r （r 2-d 2）.②代数法：解方程组错误!消元后可得关于x 1＋x 2，x 1·x 或y 1＋y ２,ｙ1·y 2的关系式，则｜A Ｂ｜＝错误!=错误!.注:上述公式通常称为弦长公式.题型一：直线与圆的位置关系例１.已知直线方程ｍｘ-y -m -１=0,圆的方程x 2+y ２－4ｘ－2ｙ＋1=0．当ｍ为何值时，圆与直线(１)有两个公共点；(2）只有一个公共点； (3)没有公共点？变式:题型二：弦长问题例2.求直线l :3x ＋y -6＝0被圆C ：x 2＋ｙ２-2y -4＝０截得的弦长.变式1:设直线l 截圆x 2＋ｙ２－2ｙ=0所得弦A Ｂ的中点为(－错误!，错误!),则直线l 的方程为___＿____;|ＡＢ｜＝_____＿__．变式2． 过点(2,1）的直线中,被圆ｘ2＋y 2-2x +4y ＝0截得的弦最长的直线的方程是( ）Ａ.3x －ｙ-5=０ Ｂ．3x +y -7=0 Ｃ．3x -y －１=0D ．3x ＋y -５=0变式3. 变式４ 已知直线x +7y ＝1０把圆ｘ2+y ２＝4分成两段弧,这两段弧长之差的绝对值等于（ )222若直线x －y ＋1＝0与圆(x －a )2＋y 2＝2有公共点，则实数a 取值范围是( )A ．[－3，－1]B ．[－1,3]C ．[－3,1]D ．(－∞，－3]∪[1，＋∞) 过点(3,1)作圆(x －2)2＋(y －2)2＝4的弦，其中最短的弦长为________.A．＼ｆ(π，2) B.错误!C．π D.2π变式5.直线l经过点P(5,5)并且与圆C:x２+y2＝25相交截得的弦长为４＼r(5），求l的方程．题型三:圆的切线问题例3．过点A（4，－３)作圆C：(x－3）２+(y-1)2＝1的切线,求此切线的方程．变式1:求满足下列条件的圆ｘ2＋y2=４的切线方程:（１)经过点P(错误!，1）; (２)斜率为－１,（3）过点Ｑ(3,0）变式2:已知圆x2+ｙ2+2x＋2y+k=０和定点Ｐ(1，-1），若过点P的圆的切线有两条,则k的取值范围是(）A.(-2,＋∞)B．（-∞,2) C.(－2，2) D．(－∞,－２）∪（2，＋∞)变式3:若直线y=x+b与曲线y＝＼ｒ(4－ｘ2)有公共点,试求ｂ的取值范围．变式４:设圆(x－3)2＋(ｙ＋5)2＝ｒ2(r＞0)上有且仅有两个点到直线4x-3y－2=０的距离等于1，则圆半径r的取值范围是（)Ａ.3<r<5 B.4<ｒ＜6 C.r＞4 ﻩD．r>5变式5：过直线x+y－2＼r（２)=０上点P作圆x2＋y2＝1的两条切线,若两条切线的夹角是６0°，则点Ｐ的坐标是__＿___＿_．变式6:已知圆x2+y2＋ｘ－6y＋m＝0与直线x+2y－3=0相交于Ｐ、Q两点,O为原点,且ＯP⊥ＯＱ,求实数m的值．二、圆与圆的位置关系1.判断圆与圆的位置关系(１)几何法:圆Ｏ1:（x-ｘ1)２+（ｙ－y1）２=ｒ21(r1>0)，圆Ｏ2：(x-x２)2＋(y-y２)2＝r错误!（r2>0)，两圆的圆心距d=|Ｏ1O2｜＝错误!,图示ｄ与r 1，ｒ２的关系ｄ＞r 1+r ２d =r 1＋ｒ２|r 1－２|<d < ｒ１＋r 2d =|ｒ1-2|d <|r 1-r 2|方程组解的个数 2组 1组 0组 两圆的公共点个数 ＿_＿＿２＿个 ___＿1_个_＿＿_0_个两圆的位置关系___相交＿__＿_外切＿＿或__内切__＿__内含_＿_或__外离_＿_题型一：两圆的位置关系例1.已知两圆C １：x 2+ｙ2＋４x +4y -2=0，C 2：x 2+y ２-2ｘ－8y －8=0，判断圆C １与圆C ２的位置关系,题型二:两圆的公共弦问题例２.已知两圆ｘ２＋y ２－２x +10y －24＝０和x ２＋ｙ2+2ｘ＋2y -8=0.（１）试判断两圆的位置关系; (2）求公共弦所在的直线方程; （３)求公共弦的长度．变式１:求过两圆x 2+y 2＋2x +8ｙ-８=0,x ２+ｙ２-4x －４y -２=0的交点且面积最小的圆的方程.变式2：求圆心在直线x ＋y ＝０上,且过两圆x ２＋y 2－２x +1０y －２4＝0,x 2＋y 2＋2x ＋2y －8=0的交点的圆的方程．题型三:两圆相切有关问题例3.半径为6的圆与x 轴相切,且与圆ｘ2+（y －3)2＝1内切，则此圆的方程是( )A ．(x －4)2+(y -６）2＝6 B.(x ＋４)２＋(y －6)2＝6或（x －4)２＋(y -6)２=6 C.(x －4)2+(y －6)2＝36 D ．(x ＋4)2+(y -6)2＝３6或(ｘ－4)2+(y -6)2＝36(２)求与圆x 2+y 2－x =0外切且与直线ｘ+错误!ｙ=0相切于点M (3,－错误!)的圆的方程．变式:求和圆(ｘ－２)２＋(y ＋1)２=4相切于点(４,-1)且半径为1的圆的方程.(2)代数法：圆O 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0，圆O 2：x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0，两圆的方程联立得方程组，则有：。