高一数学必修2圆方程与直线与圆、圆与圆关系
高一数学必修二第四单元直线与圆的位置关系的知识点
高一数学必修二第四单元直线与圆的位置关系的知识点
高一数学必修二第四单元直线与圆的位置关系的知识点
一、教学目标
1、知识与技能
(1)理解直线与圆的位置的种类;
(2)利用平面直角坐标系中点到直线的距离公式求圆心到直线的距离;
(3)会用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系.
2、过程与方法
设直线：，圆：，圆的半径为，圆心到直线的距离为，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点：
(1)当时，直线与圆相离;
(2)当时，直线与圆相切;
(3)当时，直线与圆相交;
3、情态与价值观
让学生通过观察图形，理解并掌握直线与圆的位置关系，培养学生数形结合的思想.
二、教学重点、难点：
重点：直线与圆的位置关系的几何图形及其判断方法.
难点：用坐标法判直线与圆的位置关系.
三、教学设想问题设计意图
师生活动
1.初中学过的平面几何中，直线与圆的位置关系有几类?
启发学生由图形获取判断直线与圆的位置关系的直观认知，引入新课.
师：让学生之间进行讨论、交流，引导学生观察图形，导入新课.
生：看图，并说出自己的看法.
2.直线与圆的位置关系有哪几种呢?得出直线与圆的位置关系的几何特征与种类.
师：引导学生利用类比、归纳的.思想，总结直线与圆的位置关系的种类，进一步深化数形结合的数学思想.问题设计意图
师生活动
生：观察图形，利用类比的方法，归纳直线与圆的位置关系.
3.在初中，我们怎样判断直线与圆的位置关系呢?如何用直线与圆的方程判断它们之间的位置关系呢?
使学生回忆初中的数学知识，培养抽象概括能力.
师：引导学生回忆初中判断直线与圆的位置关系的思想过程.
高中数学必修二：直线与圆、圆与圆的位置关系
高中数学必修二
第四节:直线与圆、圆与圆的位置关系1．直线与圆的位置关系(半径为r，圆心到直线的距离为d)
方程
2．圆与圆的位置关系(两圆半径为r1，r2，d＝|O1O2|)
|r－r|
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的必要不充分条件．()
(2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．()
(3)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．()
(4)圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0与圆C2：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的公切线有且仅有2条．()
答案：(1)×(2)×(3)×(4)√
2．直线l：x－y＋1＝0与圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的位置关系是()
A．相离B．相切
C．相交且过圆心D．相交但不过圆心
解析：选D 将圆C 的方程化为标准方程得C ：(x －2)2＋(y －1)2＝4，圆心为(2,1)，半径为2，圆心到直线l 的距离为|2－1＋1|
2
＝2＜2，所以直线l 与圆相交．又圆心不在直线l 上，所以直线不过圆心．
3．圆(x ＋2)2＋y 2＝4与圆(x －2)2＋(y －1)2＝9的位置关系为( ) A ．内切 B ．相交 C ．外切 D ．相离
解析：选B ∵两圆心距离d ＝(2＋2)2＋12＝17，r 1＋r 2＝2＋3＝5，|r 1－r 2|＝1，∴|r 1－r 2|<d ＜r 1＋r 2，∴两圆相交．
4．已知直线l ：y ＝k (x ＋3)和圆C ：x 2＋(y －1)2＝1，若直线l 与圆C 相切，则k ＝( ) A ．0 B. 3 C.3
最新人教版高中数学必修2第四章《圆与圆的位置关系》教材梳理
最新⼈教版⾼中数学必修2第四章《圆与圆的位置关系》教材梳理
疱丁巧解⽜
知识·巧学
⼀、判断圆与圆的位置关系
设两圆分别为圆O 1、圆O 2，试利⽤两圆的⽅程研究两圆的位置关系.
1.代数法：代数⽅法的实质仍是通过⽅程组解的个数得到交点个数，从⽽决定位置关系.可以建⽴适当坐标系，设两圆的⽅程，联⽴⽅程组研究其公共解的组数来解决.但过程烦琐，位置关系还得借助图形(例如⽅程组只有唯⼀⼀组解，这时两圆是内切还是外切呢)，因此说利⽤代数⽅法研究圆的位置并不⽅便，不是理想的⽅法.
2.⼏何法：设两圆圆⼼距为d ，两圆半径分别为r 1、r 2，则d>r 1+r 2，两圆外离；d=r 1+r 2，两圆外切；｜r 1-r 2｜
具体如下：设两圆圆⼼距为d ，两圆半径分别为r 1、r 2，
圆与圆的位置关系可分为相离、相切、相交、内含，其判断⽅法是⼏何法.设圆O 1的圆⼼为O 1，半径为r 1，圆O 2的圆⼼为O 2，半径为r 2.
两圆相交?|r 1-r 2|＜|O 1O 2|＜r 1+r 2;
两圆相切?
+=?-
两圆内含?|O 1O 2|＜|r 1-r 2|.
⼆、圆系⽅程
我们知道两圆相交(相切)有两个(或⼀个)交点，经过这些交点可作⽆穷多个圆，这⽆穷多个圆可组成⼀个圆系.常见圆系⽅程有如下⼏种：
(1)与圆x 2+y 2+Dx+Ey+F=0同⼼的圆系⽅程为
x 2+y 2+Dx+Ey+λ=0；
(2)过直线Ax+By+C=0与圆x 2+y 2+Dx+Ey+F=0交点的圆系⽅程为
x 2+y 2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0；
高中数学必修二-直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系
知识集结
知识元
不含有参数的直线与圆位置关系
知识讲解
1．直线与圆的位置关系
1．直线与圆的位置关系
2．判断直线与圆的位置关系的方法
直线Ax+By+C＝0与圆（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0）的位置关系的判断方法：（1）几何方法：利用圆心到直线的d和半径r的关系判断．
圆心到直线的距离d＝
①相交：d＜r
②相切：d＝r
③相离：d＞r
（2）代数方法：联立直线与圆的方程，转化为一元二次方程，用判别式△判断．
由消元，得到一元二次方程的判别式△
①相交：△＞0
②相切：△＝0
③相离：△＜0．
例题精讲
不含有参数的直线与圆位置关系
例1.
已知点P在单位圆x2+y2=1上运动，P到直线3x﹣4y﹣10=0与x=3的距离分为d
1
、
d 2，则d
1
+d
2
的最小值是．
例2.
点P是直线x+y﹣2=0上的动点，点Q是圆x2+y2=1上的动点，则线段PQ长的最小值为．
例3.
经过圆x2+y2﹣2x+2y=0的圆心且与直线2x﹣y=0平行的直线方程是（）A．2x﹣y﹣3=0B．2x﹣y﹣1=0
C．2x﹣y+3=0D．x+2y+1=0
含有参数类型直线与圆的位置关系
知识讲解
1．直线与圆的位置关系
1．直线与圆的位置关系
2．判断直线与圆的位置关系的方法
直线Ax+By+C＝0与圆（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0）的位置关系的判断方法：
（1）几何方法：利用圆心到直线的d和半径r的关系判断．
圆心到直线的距离d＝
①相交：d＜r
②相切：d＝r
③相离：d＞r
（2）代数方法：联立直线与圆的方程，转化为一元二次方程，用判别式△判断．
人教版高中数学必修2《直线与圆的位置关系》教案
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基于新课标的教学内容取舍
11261字。
高中数学必修2-直线与圆的位置关系
想一想，平面几何中，直线与圆有哪几种位置关系？ 在初中，我们怎样判断直线与圆的位置关系？
平面几何中，直线与圆有三种位置关系： （1）直线和圆有两个公共点，直线与圆相交； （2）直线和圆只有一个公共点，直线与圆相切； （3）直线和圆没有公共点，直线与圆相离．
（1）
（2）
（3）
例1、如图，已知直线l：3x y 6 0 和圆心为C的 圆 x 2 y 2 2 y 4 0 ，判断直线 l 与圆的位置关系；
分析：依据圆心到直线的距离与半径长的关系， 判断直线与圆的位置关系（几何法）；
2 2 解法一：圆 x2 y 2 2 y 4 0 可化为 x ( y 1) 5.
解：（1）如图设圆心到l的距离为d 圆心C (2, 4), 半径r 3 d 2a 4 4 a a 1
2
a a2 1
又 a2 1 a2 a 0 a a 1
2
y
D
B
d
C(2,4)
1 3 r l与C 恒相交
(2)作直线l与圆C相交与A、B两点，CD AB, 垂足为D，连结BC,令弦长为 AB , 则 1 AB 2 r d 2 9 2 2 8 2 a 1 a 1 当a=0时， AB max 6
②
由①可得 消去y, 得
高一数学必修2圆方程与直线与圆、圆与圆关系
圆方程与直线与圆、圆与圆关系
一、圆的标准方程 1.圆的定义
(1)条件：平面内到定点的距离等于定长的点的__集合___. (2)结论：定点是_圆心____,定长是___半径__. 2.圆的标准方程
(1)圆心为A(a,b),半径长为r 的圆的标准方程为 .
(2)圆心在原点,半径长为r 的圆的标准方程为 2.点与圆的位置关系
圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)，其圆心为(a ，b )，半径为r ，点P (x 0，y 0)，设d ＝|PC |＝
x 0－a
2
＋y 0－b
2
.
位置关系 d 与r
的大小
图示
点P 的坐标的特点 点在圆外
d __>__r
(x 0－a )2＋(y 0－b )2>r 2
点在圆上 d __=__r
(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2
点在圆内 d __<__r
(x 0－a )2＋(y 0－b )2<r 2
例1.写出下列各圆的方程：
(1)圆心在原点，半径是3； (2)圆心在点C (3,4)处，半径是5； (3)经过点P (5,1)，圆心在点C (8，－3)处
题型二：点与圆的位置关系的判断 例2.
已知两点P 1(3,8)和P 2(5,4)，求以线段P 1P 2为直径的圆的方程，并判断点M (5,3)，N (3,4)，P (3,5)
是在此圆上，在圆内，还是在圆外？
变式：若原点在圆(x －1)2＋(y ＋2)2＝m 的内部，则实数m 的取值范围是( )
A ．m >5
B ．m <5
C ．－2<m <2
高中数学必修2直线与圆常考题型：圆的标准方程
圆的标准方程
【知识梳理】
1．圆的标准方程
(1)圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径．
(2)确定圆的要素是圆心和半径，如图所示．
(3)圆的标准方程：圆心为A (a ，b )，半径长为r 的圆的标准方程是(x －a )2＋(y －b )2＝r 2. 当a ＝b ＝0时，方程为x 2＋y 2＝r 2，表示以原点为圆心、半径为r 的圆．
2．点与圆的位置关系
圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，圆心A (a ，b )，半径为r .设所给点为M (x 0，y 0)，则
题型一、求圆的标准方程
【例1】 过点A (1，－1)，B (－1,1)且圆心在直线x ＋y －2＝0上的圆的方程是( )
A ．(x －3)2＋(y ＋1)2＝4
B ．(x ＋3)2＋(y －1)2＝4
C ．(x －1)2＋(y －1)2＝4
D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4
[解析] 法一：设所求圆的标准方程为
(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，
由已知条件知
⎩⎪⎨⎪⎧ (1－a )2＋(－1－b )2＝r 2，(－1－a )2＋(1－b )2＝r 2，
a ＋
b －2＝0，解此方程组，得
⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝1，
r 2＝4.故所求圆的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4.
法二：设点C 为圆心，∵点C 在直线x ＋y －2＝0上，
∴可设点C 的坐标为(a,2－a )．
又∵该圆经过A ，B 两点，
∴|CA |＝|CB |. ∴(a －1)2＋(2－a ＋1)2 ＝(a ＋1)2＋(2－a －1)2，
高中数学必修2直线与圆的位置关系知识题型总结
直线与圆的位置关系
一、点与圆的位置关系
设),(00y x P 与圆2
22)()(r b y a x =-+-；若P 到圆心之距为d ；
①P 在在圆C 外2
2020)()(r b y a x r d >-+-⇔>⇔； ②P 在在圆C 内2
2020)()(r b y a x r d <-+-⇔<⇔； ③P 在在圆C 上2
2020)()(r b y a x r d =-+-⇔=⇔；
二、直线与圆的位置关系：
设直线0:=++C By Ax l 和圆2
2
2
)()(:r b y a x C =-+-，
位置关系的判定：
判定方法1：联立方程组 得到关于x(或y)的方程
(1)△>0相交； (2)△=0相切； (3)△<0相离。
判定方法2：若圆心(a ，b)到直线L 的距离为d (1)d
(3)d>r 相离。
利用∆判定称为代数法，对讨论直线和二次曲线的位置关系都适应。
三、两圆的位置关系：
（1）代数法：解两个圆的方程所组成的二元二次方程组；若方程组有两组不同的实数解，
则两圆相交；若方程组有两组相同的实数解，则两圆相切；若无实数解，两圆相离。 （2）几何法：设圆1O 的半径为1r ，圆2O 的半径为2r
①两圆外离2121||r r O O +>⇔；4条公切线
②两圆外切2121||r r O O +=⇔；3条公切线
③两圆相交212112||||r r O O r r +<<-⇔；2条公切线
④两圆内切||||1221r r O O -=⇔；1条公切线
⑤两圆内含||||1221r r O O -<⇔；没有公切线
四、两圆公共弦所在直线方程
高一数学必修二《圆与方程 》知识点整理
六、最值问题
方法主要有三种：（1）数形结合；（2）代换；（3）参数方程
1.已知实数，满足方程，求：
（1）的最大值和最小值；——看作斜率
（2）的最小值；——截距（线性规划）
（3）的最大值和最小值.——两点间的距离的平方
2.已知中，，，，点是内切圆上一点，求以，，为直径的三个圆面积之
和的最大值和最小值.
2.圆关于直线对称的曲线方程是________________.
变式：已知圆：与圆：关于直线对称，则直线的方程为
_______________.
3.圆关于点对称的曲线方程是__________________.
4.已知直线：与圆：，问：是否存在实数使自发出的光线被直线反射后
与圆相切于点？若存在，求出的值；若不存在，试说明理由.
数形结合和参数方程两种方法均可！
3.设为圆上的任一点，欲使不等式恒成立，则的取值范围
是____________. 答案：（数形结合和参数方程两种方法均可！）
七、圆的参数方程
，为参数
，为参数
八、相关应用
1.若直线（，），始终平分圆的周长，则的取值范围是______________.
2.已知圆：，问：是否存在斜率为1的直线，使被圆截得的弦为，以为
1.判断方法：点到圆心的距离与半径的大小关系 点在圆内；点在圆上；点在圆外
2.涉及最值： （1）圆外一点，圆上一动点，讨论的最值
【数学】2.2.3 直线与圆、圆与圆的位置关系 课件(北师大必修2)
小结： 圆与圆的 五 种 位置关系
两圆无公共点
R O1 r O2 O1 O
R r
2
外离 |O1O2|>R+r 内含 |O1O2|<R-r
两圆一有公共点
R
R O1
r O2
O1 O r 2
内切 |O1O2|=R-r 外切 |O1O2|=R+r
两圆有两公共点
R O1 r O2
相交 R-r<|O1O2|<R+r
| 3 0 1 6 | 3 1
2 2
5
d＝
＝ 10 = = 10
25
2.5 ＜
5
所以，直线L与圆相交，有两个公共点． 由 x 2 3x 2 0 ，解得
x1 =2
x ， 2 ＝１．
把 x1 =2代入方程①，得 y1 ＝０； 把 x2＝１代入方程①，得 y 2 ＝３． 所以，直线L圆相交，它们的坐标分别是Ａ（２，０），Ｂ （１，３）．
内含
R O1 r O2 O1 O r 2
内切
两圆有两公共点
R O1 r O2
外切 相交
圆与圆的位置关系：
rR r O1 O2 O2 r
r O2 O2
r O2
r O2
r O2
(1)外离 O1O2 R r (2)外切 O1O2 R r (3)相交 | R r | O1O2 R r (4)内切 O1O2 | R r | (5)内含 0 O1O2 | R r |
北师大高一数学必修2第二章解析几何知识点
北师大高一数学必修2第二章解析几何知识点
解析几何是北师大版本的高一数学必修2第二章的内容，需呀掌握哪些相关内容?下面是店铺给大家带来的高一数学必修2第二章解析几何知识点，希望对你有帮助。
北师大高一数学必修2第二章解析几何知识点
两点距离公式：根号[(x1-x2)^2+(y1-y2)^2]
中点公式：X=(X1+X2)/2 Y=(Y1+Y2)/2
直线的斜率
倾斜角不是90°的直线`，它的倾斜角的正切，叫做这条直线的斜率.通常用k来表示，记作：k=tga(0°≤a<180°且a≠90°)倾斜角是90°的直线斜率不存在，倾斜角不是90°的直线都有斜率并且是确定的.
点斜式:y-y1=k(x-x1);
斜截式：y=kx+b;
截距式：x/a+y/b=1
直线的标准方程：Ax+Bx+C=0
圆的一般方程：
x2+y2+Dx+Ey+F=0
圆的标准方程
(x-a)2+(y-b)2=r2 《2表示平方》
圆与圆的位置关系：
1 点在圆上(点到半径的距离等于半径)
点在圆外(点到半径的距离大于半径)
点在圆内(点到半径的距离小于半径)
2 (1)相切:圆心到直线的距离等于半径
(2)相交:圆心到直线的距离小于半径
(3)相离:圆心到直线的距离大于半径
3 圆的切线是指垂直于半径,直线到圆心距离等于半径的直线,垂足叫切点
4 圆心距为Q 大圆半径为R 小圆半径为r
两圆外切 Q=R+r
两圆内切 Q=R-r (用大减小)
两圆相交 Q
两圆外离 Q>R+r
两圆内含 Q
直线与圆的位置关系有三种:相离,相交,相切.
有如下关系
相离则d>r,反之d>r则相离,
高中数学-人教A版-必修第一册-第二章(直线和圆的方程)2.5直线与圆、圆与圆的关系
[思路探究] (1)利用交点坐标直接求解．
(2)直线 l 要分斜率存在和不存在两种情况，建立方程，通过解方程得
解．
32
[解]
3x＋y－6＝0，
(1)联立直线 l 与圆 C 的方程，得 2 2
x ＋y －2y－4＝0，
x1＝1，
解得
y1＝3，
所以点 A 在圆外，故切线有两条．
①若所求直线的斜率存在，设切线斜率为 k，
则切线方程为 y＋3＝k(x－4)，即 kx－y－4k－3＝0.
设圆心为 C，
因为圆心 C(3,1)到切线的距离等于半径 1，
25
|3k－1－3－4k|
2
所以
＝1，即|k＋4|＝
k
＋1，
2
k ＋1
15
所以 k ＋8k＋16＝k ＋1，解得 k＝－ .
中心位于轮船正西 70 km 处，受影响的范围是半径为 30 km 的圆形区
域，已知港口位于台风中心正北 40 km 处，如果这艘轮船不改变航线，
那么它是否会受到台风的影响？
[思路探究] 先以台风中心为原点建立适当的直角坐标系，把有关的
几何元素用坐标和方程表示出来，然后把此实际问题转化为代数问题
来解决．
39
位置关系
交点个数
相交
有两个
北师大版高中数学必修二第二章2.2.3直线与圆、圆与圆的位置关系第1课时
2.3 直线与圆、圆与圆的位置关系第1课时直线与圆的位置关系
22222
判断直线与圆的位置关系时，代数法与几何法哪个更方便？
提示：已知直线及圆的方程，判断两者的位置关系时，几何法较简单，一般情况下，在判断直线与圆的位置关系时，优先考虑使用几何法．
预习交流2
直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系是( )．
A．相切B．相交但直线不过圆心
C．直线过圆心D．相离
提示：B
2．怎样解决圆的切线方程与弦长问题？
提示：(1)涉及圆的切线方程，其解题思路是圆心到直线的距离等于半径，需注意考虑直线斜率不存在的特殊情形(一般用数形结合的思想求解或验证)．
(2)对于圆的弦长问题求解常常利用半弦长、半径及弦心距组成的直角三角形求解．
预习交流3
(1)若直线y＝x＋b与圆x2＋y2＝2相切，则b的值为( )．
A．±4 B．±2 C．± 2 D．±2 2
(2)直线x＋3y－2＝0被圆(x－1)2＋y2＝1所截得的线段的长为( )．
A．1 B. 2 C. 3 D．2
提示：(1)B (2)C
1．直线与圆的位置关系的判断
已知直线方程mx －y －m －1＝0，圆的方程为x 2
＋y 2
－4x －2y ＋1＝0，当m 为何值时，圆与直线
(1)有两个公共点； (2)只有一个公共点； (3)没有公共点？ 思路分析：直线与圆有两个公共点⇔直线与圆相交；直线与圆只有一个公共点⇔直线与圆相切；直线与圆没有公共点⇔直线与圆相离．
解：方法一：将直线mx －y －m －1＝0代入圆的方程并化简整理得：(1＋m 2)x 2－2(m 2
＋
2m ＋2)x ＋m 2
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圆方程与直线与圆、圆与圆关系
一、圆的标准方程 1.圆的定义
(1）条件:平面内到定点的距离等于定长的点的__集合__＿． (2)结论：定点是_圆心__＿＿,定长是___半径__. 2.圆的标准方程
(1）圆心为A （a,b ）,半径长为r 的圆的标准方程为 .
(2）圆心在原点,半径长为ｒ的圆的标准方程为 2．点与圆的位置关系
圆C :(x -a )２
＋(ｙ-ｂ）2=ｒ2(r ＞0），其圆心为(a ,b )，半径为r ，点P (x 0，y 0）,设d =｜PC ｜=错误!. 位置关系 d 与ｒ 的大小
图示
点P 的坐标的特点 点在圆外
ｄ__>__r
(x ０-a )2＋(y 0－b )2>r ２
点在圆上
d ＿_=__r
(x 0-ａ)2＋(ｙ0-b ）2=r 2
点在圆内
d __<__ｒ
(x ０－a )2+(y ０-b )２
<ｒ2
题型一：圆的标准方程 例1.写出下列各圆的方程：
(1)圆心在原点,半径是３；
(2)圆心在点C （3,4)处，半径是5；
(3）经过点P （5,1)，圆心在点C （８，－３)处
题型二：点与圆的位置关系的判断
例2．
已知两点Ｐ1(3,8)和P 2(５，4)，求以线段P １P 2为直径的圆的方程,并判断点Ｍ(5,3）,N (3,
４）,Ｐ（３,5)是在此圆上，在圆内,还是在圆外？
变式：若原点在圆(x -1)2+(y ＋2)2=m 的内部，则实数m 的取值范围是( )
A ．m >5 Ｂ．m ＜5 C ．－2＜ｍ＜２ Ｄ.０＜m ＜2
题型三：圆标准方程的求解
例3.求下列条件所决定的圆的方程:
（1)已知圆 C 过两点 A (5,１)，B (1,3),圆心在 x 轴上；
(x －a )2＋(y －b )2＝r 2
x 2+y 2=r 2
--
（2）求圆心在直线ｘ-２y -3＝0上,且过点A （2,－3)，Ｂ（－2,－5)的圆心的标准方程.
（3)经过三点 A (1，-1)，B (1,4),C (４,－2).
变式１:
变式2:如图,矩形ABCD 的两条对角线相交于点Ｍ（２,０），A Ｂ边所在直线的方程为x －3y -6＝0，点Ｔ(－1,1）在AD 边所在的直线上.
(１)求AD 边所在直线的方程； （２)求矩形ABCD 外接圆的方程.
一、 圆的一般方程 １．圆的一般方程
（1)方程：当Ｄ2＋Ｅ2-４F ＞0时,方程x 2＋y ２
＋Dx +Ey ＋F =0叫做圆的一般方程，其中圆心为＿____＿__＿_＿＿＿_,半径为r =_＿_________＿____. (2)说明:方程ｘ２
＋y 2＋Dx +Ey +Ｆ=0不一定表示圆.当且仅当_＿_＿_＿_＿____＿_时,表示圆:当D 2+E ２
－４F ＝０时,表示一个点____(-Ｄ
2，-错误!）＿_;当Ｄ2+Ｅ２
-4Ｆ<0时，不表示任何图形.
(3）用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤:
①根据题意,选择＿标准方程＿＿_____或＿__一般方程_______; ②根据条件列出关于a ,b ，ｒ或D ，E ,F 的_方程组__＿_＿_＿__； ③解出ａ,b ,r 或D ,E ,F ,代入标准方程或一般方程. ２．由圆的一般方程判断点与圆的位置关系 剖析:已知点M (x 2＋y 222－4F ＞０)，则其位置关系如下表：
位置关系 代数关系
点Ｍ在圆外 x 错误!+y 错误!+Dx 0＋Ｅy 0＋Ｆ＞0 点M 在圆上 x ＼o ＼ａl(2,0）＋y ２
0＋Dx ０＋Ｅy 0+Ｆ=0
点Ｍ在圆内
ｘ错误!＋ｙ错误!+Ｄx 0+Ey ０＋F <0
题型一:圆的一般方程
例1．圆ｘ2＋y 2－4x －１=0的圆心坐标及半径分别为( )
A ．（２,0),5 B.(2,0),错误! C ．(0,2),错误!
D.(2,2）,５
变式2:下列方程各表示什么图形：
圆心为(1,1)且与直线x ＋y ＝4相切的圆的方程是( ) A ．(x －1)2＋(y －1)2＝2 B ．(x －1)2＋(y －1)2＝4 C ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2 D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4 C (－D 2，－E 2) 12
D 2＋
E 2－4
F D 2＋E 2－4F >0 变式1：若方程x 2＋y 2－4x ＋2y ＋5k ＝0表示圆，则实数k 的取值范围是( ) A ．R B ．(－∞，1) C ．(－∞，1] D ．[1，＋∞)
(１)x 2
＋y ２
-4x -2y +5=0； (２)x 2＋ｙ2-2x +4ｙ－４＝0； (3)x ２
＋ｙ2＋ax -3a ｙ=０.
题型二:圆的方程求解
例2.(1)过三点A (-１,５),B （5,5)，C （6，－2)的圆的方程是( )
Ａ.x 2+y ２＋4x －2ｙ-２0=0 B.ｘ2+ｙ2－４x ＋2y －20=０ C.x ２
+y 2－4x -2y -20＝０ Ｄ.x ２
+y 2＋4x +4y -20＝0
(２）已知圆Ｃ：x 2+y 2＋Ｄx +Ey ＋3=0,圆心在直线x ＋y -1＝０上,且圆心在第二象限,半径为2,求圆的一般方程．
变式：(１）已知圆经过A (2，－3)和B (－2,－5),若圆心在直线x -２y -3＝0上，求圆的方程.
(2）求过点Ａ（－1，0)、B （3,０)和Ｃ(0，1)的圆的方程．
题型三：轨迹问题
例3.
变式：已知点Ａ在直线２x -3y +5=０上移动，点P 为连接Ｍ(4,-3)和点A 的线段的中点,求Ｐ的轨迹方程.
题型四：点与圆的位置关系
例4． 点（2a,2)在圆x 2＋y ２
-2y －4＝0的内部,则a 的取值范围是( ）