一元二次方程实际问题1(增长率)
一元二次方程与实际问题
应用题常见的几种类型：1. 增长率问题 [增长率公式：b x a ＝2)1( ]例：某工厂在两年内将机床年产量由400台提高到900台。
求增长率。
1、某种产品的成本在两年内从16元降至9元，求平均每年降低的百分率。
2、某工厂一月份产值为50万元，采用先进技术后，第一季度共获产值182万元，二、三月份 平均每月增长的百分率是多少?3、某林场第一年造林100亩，以后造林面积逐年增长，第二年、第三年共造林375亩，后两年平均每年的增长率是多少?4、十月份营业额为5000元，十二月份上升到7200元，平均每月增长的百分率5、某商品连续两次降价10%后的价格为a 元，该商品的原价应为6、第一季度生产a 台，第二季度生产b 台，第二季度比第一季度增长的百分率？7、某工厂今年利润为a 万元，比去年增长10%，去年的利润为 万元。
2.面积问题 [提示：面积问题一定要画图分析]例：一张长方形铁皮，四个角各剪去一个边长为4cm的小正方形，再折起来做成一个无盖的小 盒子。
已知铁皮的长是宽的2倍，做成的小盒子的容积是1536cm 3，求长方形铁皮的长与宽 。
1、要建成一面积为130㎡的仓库，仓库的一边靠墙（墙宽16m ），并在与墙平行的一边开一个宽1m 的门，现有能围成32m 的木板。
求仓库的长与宽各是多少？2、两个正方形，小正方形的边长比大正方形的边长的一半多1cm ，大正方形的面积比小正方 形的面积的2倍还多4cm 2，求大、小两个正方形的边长。
3、要给一幅长30cm ，宽25cm 的照片配一个镜框，要求镜框的四条边宽度相等，且镜框所占面积为照片面积的四分之一，设镜框边的宽度为xcm ，•则依据题 意列出的方程是_________． X2X3.定价问题［提示：单位利润×销量＝总利润］例：某电视机专卖店出售一种新面市的电视机，平均每天售出50台，每台盈利400元。
为了扩大销售，增加利润，专卖店决定采取适当降价的措施。
一元二次方程应用专题--增长率(含答案)
一元二次方程应用专题--增长率学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________1. 某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元，要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植x株，则可以列出的方程是（）A.(3+x)(4−0.5x)=15B.(x+3)(4+0.5x)=15C.(x+4)(3−0.5x)=15D.(x+1)(4−0.5x)=152. 某商场以10元/件的进价新进一批商品，根据以往的销售经验知，当售价定为15元/件时，每天可售出商品200件，且售价每提高2元，每天将减少售出商品10件．商场销售该商品每天的利润为650元，求该商品的售价是多少？若设商品售价为x元/件，则可列出的一元二次方程是( )A.[200−10(x−15)](x−15)=650B.[200−10(x−15)](x−10)=650C.(200−x−152×10)(x−15)=650 D.(200−x−152×10)(x−10)=6503. 某商店出售一种商品，若每件10元，则每天可销售50件，售价每降低1元，可多买6件，要使该商品每天的销售额（总售价）为504元，设每件降低x元，则可列方程为( )A.(50+x)(10−x)=504B.50(10−x)=504C.(10−x)(50+6x)=504D.(10−6x)(50+x)=5044. 某商店如果将进货价为8元的商品按每件10元售出，每天可销售200件．现在采取提高售价，减少销量的方法增加利润，已知这种商品每涨价0.5元，其销量减少10件．(1)若售价为14元，则每天的销量为________件；(2)若售价为x元，则每天的销量为________件（用含x的代数式表示）；(3)要使每天获得700元的利润，则售价为________元．5. 平遥牛肉是我国美食文化的精华之一．已知某专卖店平遥牛肉的进价为每份10元，现在的售价是每份16元，每天可卖出120份．据市场调查，每涨价1元，每天要少卖出10份．如果专卖店每天要想获得770元的利润，且要尽可能的让利给顾客，那么售价应涨价________元．6. 某商店出传某种商品每件可获利m元，利润率为20%，若这种商品的进价提高25%，而商店将这种商品的售价提高到每件仍可获利m元，则提价后的利润率为________．7. 某商场今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，三月份销售128件，四、五月份该商品的销售量持续走高，在售价不变的前提下，五月份的销量达到200件．假设四、五两个月销售量的月平均增长率不变（1）求四、五两个月销售量的月平均增长率；（2）从六月起，商场采用降价促销方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降1元，销售量增加5件，当商品降价多少元时，商场可获利2250元？8. 某商场一专柜销售某种品牌的玩具，每件进价为20元．销售过程中发现，每月销售y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：y=−10x+500.(1)若每月销售260件，则每件利润是多少？(2)如果该专柜想要每月获得2000元的利润，那么销售单价应定为多少元？(3)设专柜每月获得的利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润多少元？9. 某校上个月进行了义卖活动，某班购进了一批单价为20元的某种商品在课余时间进行义卖，并将所得利润捐给希望工程，经试验发现，若每件按24元的价格销售时，每天能卖出36件；若每件按29元的价格销售时，每天能卖出21件，假定每天销售件数y（件）与销售价格x（元/件）满足一个以x为自变量的一次函数.(1)求y与x满足的函数解析式（不要求写出x的取值范围）；(2)在不考虑其他因素的情况下，求销售价格定为多少元时，才能使每天获得的利润W最大？10. 某种商品的进价为每件50元，售价为每件60元，每个月可卖出200件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件．若商场某个月要盈利1250元，求每件商品应上涨多少元？11. 某商贸公司以每千克元的价格购进一种干果，计划以每千克元的价格销售,为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量(千克)与每千克降价(元)之间满足一次函数关系，其图象如图所示: .（1）求与之间的函数关系式;（2）函数图象中点表示的实际意义是;（3）该商贸公司要想获利元，则这种干果每千克应降价多少元?参考答案与试题解析一元二次方程应用专题--增长率一、 选择题 （本题共计 3 小题 ，每题 3 分 ，共计9分 ）ADC二、 填空题 （本题共计 3 小题 ，每题 3 分 ，共计9分 ）120200−10⋅x −100.5 151三、 解答题 （本题共计 5 小题 ，每题 10 分 ，共计50分 ）7.【答案】（1）25%;（2）降价5元．8.【答案】解：(1)将y =260代入y =−10x +500，得−10x +500=260，解得x =24，24−20=4（元），答：每件利润是4元．(2)设单价定位x 元，则有(x −20)(−10x +500)=2000，即x 2−70x +1200=0，(x −30)(x −40)=0，解得x 1=30，x 2=40，答：销售单价应定为30元或40元．(3)w =(x −20)(−10x +500)=−10x 2+700x −10000，当x =−b 2a =−7002×(−10)=35时取最大值，此时w =(35−20)(−10×35+500)=2250（元）.答：销售单价定为35元时，每月可获得最大利润，为2250元．9.【答案】解：(1)设销售件数y 与销售价格x 满足的一次函数解析式为y =kx +b ，代入(24, 36)，(29, 21)，则{24k +b =36，29k +b =21，解得k =−3, b =108，∴ y =−3x +108.(2)W =(x −20)(−3x +108)=−3x 2+168x −2160=−3(x −28)2+192.∵ a =−3，∴当x=28时，W取得最大值，最大值为192.∴当销售价格定为28元时，才能使每天获得的利润最大，最大利润为192元.10.【答案】解：设每件商品的售价上涨x元，(200−10x)(60+x−50)=1250，即x2−10x−75=0，解得x1=15，x2=−5（舍去），答：每件商品应上涨15元.11.【答案】（1）y=10x+100；（2）当x为0，y=100，即这种干果没有降价，以每千克60元的价格销售时，销售量是100千克；（3）商贸公司要想获利2090元，则这种干果每千克应降价9元．。
一元二次方程增长率例题
一元二次方程增长率例题
假设某公司的销售额可以用一元二次方程来表示，该方程为 y
= 2x^2 + 3x + 5，其中 x 表示时间（单位，年），y 表示销售额（单位，万元）。
现在我们来探讨这个销售额的增长率。
首先，我们知道一元二次方程的导数可以表示增长率。
对于方
程 y = ax^2 + bx + c，其导数为 y' = 2ax + b。
在这个例子中，
销售额的增长率可以用 y' = 4x + 3 来表示。
现在我们来解释这个增长率的意义。
增长率的系数 4 表示销售
额增长的速度，而常数项 3 则表示初始销售额的基准值。
这意味着，公司的销售额在每年增加 4 万元，而在时间为 0 时，销售额为 3
万元。
通过这个增长率的方程，我们可以计算出不同时间点的销售额
增长速度，从而更好地了解公司销售额的变化趋势。
比如，我们可
以计算在第 5 年时销售额的增长率为多少，或者在第 10 年时销售
额相比于第 5 年时增长了多少。
通过一元二次方程的增长率例题，我们可以更好地理解销售额
的变化规律，为公司的经营决策提供更准确的数据支持。
因此，数学在商业中的应用是非常重要的，希望这个例题可以帮助大家更好地理解增长率的概念。
一元二次方程实际问题1(增长率)
在这个部分，我们来学习一元二次方程的实际应用。这个问题涉及到增长率， 让我们一起来探索吧！
什么是一元二次方程？
一元二次方程是指只有一个未知数的二次方程，可以写成 Ax²+ Bx + C = 0 的形式。
一元二次方程的一般形式是什 么？
一元二次方程的一般形式是 Ax²+ Bx + C = 0，其中 A、B、C 是已知的常数， x 是未知数。
例题3的解法演示
让我们一起来解答实际问题3的例题，并演示如何求解一元二次函数的最大值和最小值。
例题3答案的意义是什么？
例题3的答案可以告诉我们一元二次函数在什么自变量取值下达到最大值和最 小值，帮助我们理解函数的特性。
如何求解一元二次函数的极值？
可以通过求导数和解方程来求解一元二次函数的极值。
实际问题3的例题介绍
我们将通过一个真实的例题来演示如何求解一元二次函数的最大值和最小值。
实际问题3的解题思路
1. 确定已知信息和未知数。 2. 列出一元二次函数。 3. 求导数并解方程得到未知数的值。 4. 计算最大值和最小值。
什么是实际问题？
实际问题是指与现实生活相关的问题，需要用数学方法来解决。
为什么需要将实际问题转化成一元二次 方程？
将实际问题转化成一元二次方程可以使问题更加具体化，便于用数学工具来求解。
实际问题1：增长率是什么？
增长率是指某个变量随时间变化的速度，可以用百分比或小数表示。
如何计算增长率？
增长率可以通过计算某一时间段内变量的变化量与初始值的比值来得到。
例题1的答案可以告诉我们在给定条件下的增长率，帮助我们理解实际问题的变化趋势。
实际问题1的注意点
实际问题与一元二次方程增长率问题
小结与反思
1.平均增长（降低）率公式
a(1 x) b
2
2.我们学了几种类型题？
3.注意： （1）1与x的位置不要调换 （2）解这类问题列出的方程一般 用 直接开平方法
质点运动问题
有关“动点”的运动问题”
1)关键—— 以静代动 把动的点进行转换,变为线段的长度, 2)方法—— 时间变路程
Ｅ Ａ
Ｄ
Ｃ F
Ｂ
B
Q
C P A
2 在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=12cm,点P 从点A开始以1cm/s的速度沿AB边向点B移 动,点Q从点B开始以2cm/s的速度沿BC边 向点C移动,如果P、Q分别从A、B同时出发， 几秒后⊿ PBQ的面积等于8cm2？
解：设x秒后⊿ PBQ的面积等于8cm2
1 根据题意，得 2 x (6 x) 8 2 2
A R P
解这个方程得：x1 x2 4 答：当AP 4cm时，四边形面积为16cm 2=BC=12cm，点D从点A开 始以2cm/s的速度沿AB边向点B Ｆ 移动,过点D做DE平行于 BC,DF 平行于AC,点E.F分别在AC,BC 上,问：点D出发几秒后四边形 DFCE的面积为20cm2？
求“动点的运动时间”可以转化为求“动点 的运动路程”，也是求线段的长度; 3）常找的数量关系——面积，勾股定理等；
由此,学会把动点的问题转化为静点的问题, 是解这类问题的关键.
1： 在△ABC中, AC=50cm, CB=40cm, ∠C=90°,点P从点A开始沿AC边向点C 以2cm/s的速度移动, 同时另一点Q由C 点以3cm/s的速度沿着CB边移动,几秒钟 后, PCQ的面积等于450cm2?
实际问题与一元二 次方程
一元二次方程实际问题1(增长率)
如果答案不符合实际情况或题目 要求，需要重新审视已知条件和 求解过程，找出问题所在并进行
修正。
在检查答案时，可以使用代入法 或估算法等方法进行验证。
05 增长率问题拓展与应用
拓展到其他领域如物理、化学等
在物理学中，一元二次方程可以用来描述物体自由落体的运 动规律，通过解方程可以求得物体下落的时间、速度等关键 参数。
03
经济增长方式
指主要通过增加自然资源、劳动力和资本等生产要素的投入数量来实现
经济增长的模式，其表现形式是高投入、高消耗、低产出、低质量、低
效益。
科技发展增长问题
1 2
科技投入增长率
科技投入总额的增长速度，反映科技投入的增长 快慢程度。
科技产出增长率
科技产出总额的增长速度，反映科技产出的增长 快慢程度。
3
科技对经济增长的贡献率
科技进步对经济增长的贡献份额，反映科技对经 济增长的推动作用大小。
04 增长率问题求解技巧与策 略
合理利用已知条件进行求解
仔细阅读题目，明确已知条件和 未知量，理解增长率的概念和计
算方法。
根据已知条件建立一元二次方程， 注意方程的各项系数和常数项的
确定。
利用求根公式或配方法求解一元 二次方程，得到未知量的值。
经济增长问题
01 02
经济增长率
末期国民生产总值与基期国民生产总值的比较，以末期现行价格计算末 期GNP,得出的增长率是名义经济增长率，以不变价格（即基期价格） 计算末期GNP，得出的增长率是实际经济增长率。
人均经济增长率
人均经济增长率是人均国内生产总值增长率的简称，指一定时期内人均 国内生产总值的增长速度。
通过解一元二次方程，可以得到指标随时间变化的具体数值，从而预测未来的发展 趋势。
中考数学实际问题与一元二次方程的几种题型(传播问题,销售问题和增长率)
一元二次方程应用题（增长率）（1）一、知识回顾：1、列方程解应用题有哪几步？关键是什么？2、某工厂一月份生产零件1000个，二月份生产零件1200个，那么二月份比一月份增产个？ 增长率是。
二、例题精讲：例： 某钢铁厂去年1月某种钢的产量为5000吨,3月上升到7200吨,这两个月平均每月增长的百分率是多少?经检验： 答：[总结]：如果某个量原来的值是a,每次增长的百分率是x,则增长1次后的值是a(1+x),增长2次后的值是a(1+x)2,……增长n 次后的值是a(1+x)n ,这就是重要的增长率公式.同样,若原来的量的值是a,每次降低的百分率是x,则n 次降低后的值是a(1-x)n ,这就是降低率公式.三、 巩固练习：1、某农场的粮食产量在两年内从3000吨增加到3630吨,平均每年增产的百分率是多少?2、制造一种产品，原来每件的成本是300元，经过两次降低成本，现在的成本是147元.平均每次降低成本百分之几?检测题1、某商场销售商品的收入款，3月份为25万元，5月份为36万元，该商场这两个月销售商品收入款的平均每月增长率是多少？2、市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格。
某种药品经过连续两次降价后，由每盒200元下调至128元，求这种药品平均每次降价的百分率。
3、某地区开展“科技下乡”活动三年来，接受科技培训的人员累计达95万人次，其中第一年培训了20万人次。
求每年接受科技培训的人次的平均增长率。
实际问题与一元二次方程（探究案）（传播问题）（2）1、有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？（分析：1、设每轮传染中平均一个人传染了x个人，那么患流感的这一个人在第一轮中传染了_______人，第一轮后共有______人患了流感；第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了_______人，第二轮后共有_______人患了流感。
解：【合作探究】问题1、某种细菌，一个细菌经过两轮繁殖后，共有256个细菌，每轮繁殖中平均一个细菌繁殖了多少个细菌？【题型练习】2、某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，求每个支干长出多少小分支？问题2：要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场。
列一元二次方程解应用题增长率问题
配方法
将一元二次方程化为完全平方 形式，然后开方求解x的值。
迭代法
通过不断迭代逼近方程的解。
Part
03
一元二次方程在增长率问题中 的应用
简单增长率问题
STEP 01
定义
STEP 02
公式
简单增长率问题是指某一数量 在两个连续的时间段内，按照 相同的增长率增加或减少。
STEP 03
应用
在投资、人口增长、生产 等场景中经常出现。
平均增长率问题
01
02
03
定义
平均增长率问题是指某一 数量在一段时间内，按照 平均增长率增加或减少。
公式
假设初始数量为 P，平均 增长率为 r，经过 t 时间 后，数量变为 Q，则 Q = P(1 + r/2)^2t。
应用
在统计学、经济分析、市 场研究等场景中经常出现。
Part
04
实例解析
人口增长问题
假设初始数量为 P，增长率为 r， 经过 t 时间后，数量变为 Q， 则 Q = P(1 + r)^t。
复合增长率问题
ห้องสมุดไป่ตู้
定义
复合增长率问题是指某一数量在多个 时间段内，按照不同的增长率增加或 减少。
公式
应用
在金融、经济、市场等场景中经常出 现。
假设初始数量为 P，经过 n 个时间段，每个时 间段的增长率为 r1, r2, ..., rn，则最终数量为 Q = P(1 + r1)(1 + r2)...(1 + rn)。
人口增长问题通常涉及到一元二 次方程的求解，通过建立方程来
描述人口随时间的变化情况。
方程形式通常为 $y(t) = y_0(1 + r)^t$，其中 $y_0$ 是初始人 口，$r$ 是年增长率，$t$ 是时
九年级数学 实际问题与一元二次方程--增长率
720吨,平均每月增长率是x,列方程( B
)
A.500(1+2x)=720
B.500(1+x)2=720
C.500(1+x2)=720
D.720(1+x)2=500
2.某校去年对实验器材的投资为2万元,预计今明两年
的投资总额为8万元,若设该校今明两年在实验器材投
资上的平均增长率是x,则可列方程
为
.
练习：塔城地区开展“科技下乡”活动三年
___2_0_0_0______年；
两年19绿98地199面9 积20的00 年20平01
（2）为满足城市发展的需要，计划 均增长率为10%．
到2003年底使城区绿地面积达到72.6
公顷，试求2002年,2003年两年绿地
面积的年平均增长率。
课堂作业
一、P26 10 二、P22 7（只列式，不计算）
2、注意： （1）1与x的位置不要调换 （2）解这类问题列出的方程一般
用 直接开平方法
1、青山村种的水稻2001年平均每公顷产7200千克 ，2003年平均每公顷产8712千克，求水稻每公 顷产量的年平均增长率。
解：设水稻每公顷产量的平均增长率为x,
根据题意的， 7200 (1 x)2 8712
系数化为1得， (1 x)2 1.21
直接开平方得， 1 x 1.1;1 x 1.1 则答：x水1 稻 每0.公1顷产量x2 的 年2平.1(均不增合长题率意为舍1去 0%）。
2.某公司2009年的各项经营中，一月份的营业额为200万元
，一月、 二月、三月的营业额共950万元，如果平均每月营
业额的增长率相同，求这个增长率． 分析：设这个增长率为x;则 二月份营业额为：_____2_0_0_(1_+_x_)_______
九年级数学上册21.3 用一元二次方程解决实际问题
2．对于“增长率”问题，如人口的减少、利率的 降低、汽车的折旧等等，都是在原来基数上减少， 不能与一般性的增加和减少相混淆．
（二）几何中面积、长度问题
例2 如图所示，一架长为10 m的梯子斜
靠在墙上，梯子的顶端A处到地面的距离 A
为8 m，如果梯子的顶端沿墙面下滑2 m，A’ 那么梯子的底端在地面上滑动的距离是多 少？
答：梯子的底端在地面上滑动的距离是 2 m．
B
B’
例 3 在宽为 20 m、长为 32 m 的矩形地 面上，修筑同样宽的两条互相垂直的道 路，余下部分作为耕地，要使耕地面积 为 540 m 2，道路的宽应为多少？
分析：如图所示，此题的相等关系是 矩形面积减去道路面积等于 540元二次方程
用一元二次方程解决实际问题 人教版·九年级上册
【常见类型】
列一元二次方程解决实际问题的常见类型有以下几种 （1）增长率问题 （2）几何中面积、长度问题 （3）假设存在问题 （4）排列组合问题 （5）销售问题
（一）增长率问题
例1 某市为了解决市民看病难的问题，决定下调 药品的价格．某种药品经过连续两次降价后，由 每盒200元下调至128元，求这种药品平均每次 降价的百分率是多少？
解得，x1＝2，x2＝50（不合题意，舍去）． （以下步骤同解法一）
20米
32米
小结 1．解法二和解法一相比更简单，它利用“图形经过移动， 它的面积大小不会改变”的道理，把纵、横两条路移动一下， 可以使列方程容易些（目的是求出路面的宽，至于实际施工， 仍可按原图的位置修路）．
2．有些同学在列方程解应用题时，往往看到正解就保留， 看到负解就舍去．其实，即使是正解也要根据题设条件 进行检验，该舍就舍．此题一定要注意原矩形“宽为20 m、长为32 m”这个条件，从而进行正确取舍．
一元二次方程的应用题
一元二次方程的应用题一元二次方程的应用题一元二次方程的应用题（1）一、增长率问题例1 恒利商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6万元，求这两个月的平均增长率。
解设这两个月的平均增长率是x。
，则根据题意，得200(1－20%)(1+x)2＝193.6，即(1+x)2＝1.21，解这个方程，得x1＝0.1，x2＝－2.1（舍去）。
答这两个月的平均增长率是10%。
说明这是一道正增长率问题，对于正的增长率问题，在弄清楚增长的次数和问题中每一个数据的意义，即可利用公式m(1+x)2＝n求解，其中m＜n。
对于负的增长率问题，若经过两次相等下降后，则有公式m(1－x)2＝n即可求解，其中m＞n。
二、商品定价例2 益群精品店以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商品售价a元，则可卖出（350－10a）件，但物价局限定每件商品的利润不得超过20%，商店计划要盈利400元，需要进货多少件？每件商品应定价多少？解根据题意，得(a－21)(350－10a)＝400，整理，得a2－56a+775＝0，解这个方程，得a1＝25，a2＝31。
因为21×(1+20%)＝25.2，所以a2=31不合题意，舍去。
所以350－10a＝350－10×25＝100（件）。
答需要进货100件，每件商品应定价25元。
说明商品的定价问题是商品交易中的重要问题，也是各种考试的热点。
三、储蓄问题例3 王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”，到期后将本金和利息取出，并将其中的500元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%，这样到期后，可得本金和利息共530元，求第一次存款时的`年利率。
（假设不计利息税）解设第一次存款时的年利率为x。
一元二次方程关于增长率问题
分析：
(售价－进价) × 一月可卖出的件数 = 一月的利润
（x - 40）*[500 –(x-50)/1.5 * 15]=9000
练4：
1、某商品经过两次连续降价，每件售价由原来的55元降
到了35元．设平均每次降价的百分率为x，则下列方程中正确
的是（ ）
A．55 (1+x)2=35
B．35(1+x)2=55
200+200（1+x）+200(1+x)2 =1400 设1+x=y则 200+200y+200y2=1400
解之得 y1=2 y2=-3 即1+x=2或1+x=-3，故 X1=1 x2=-4（不合题意舍去） 所以这个百分数为100％
总结：通过分析以上几个例题，了解到列一元二次方 程解应用题的一般步骤及注意事项。
星期可卖出150件。市场调查反映：如果每件的售价每涨1元， 那么每星期少卖10件。要使每星期的利润是1560元，则每件应 涨价多少元？
如果每件的售 那么每星期少 现在的售价为 那么每星期可卖
价涨
元卖
件 每件 元 出 件
1
10
(40+1) (150-10）
2
2×10
(40+2) (150-2×10）
3
学习目标 1、会用列一元二次方程的方法解决有关增长率问题． 2、培养分析问题、解决问题的能力，能熟练地把实际问题
转化为数学问题。 重点：
1、学会用列方程的方法解决有关增长率问题． 常见公式： （1）实际产量=原产量+增产量． （2）单位时间增产量=原产量×增长率． （3）实际产量=原产量×（1 + 增长率）． （4）利润=收益—成本
一元二次方程增长率问题
（一）增长率问题
变化前数量×（1±x ）n ＝变化后数量 1.青山村种的水稻2001年平均每公顷产7200公斤，2003年平均每公顷产8450公斤，求水稻每公顷产量的年平均增长率。
2.某种商品经过两次连续降价，每件售价由原来的90元降到了40元，求平均每次降价率是多少？
3.某种商品，原价50元，受金融危机影响，1月份降价10％，从2月份开始涨价，3月份的售价为6
4.8元，求2、3月份价格的平均增长率。
4.某药品经两次降价，零售价降为原来的一半，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率？
5.为了绿化校园，某中学在2007年植树400棵，计划到2009年底使这三年的植树总数达到1324棵，求该校植树平均每年增长的百分数。
6、向阳村2001年的人均收入为1200元，2003年的人均收入为1452元，求人均收入的年平均增长率。
7．某商店4月份销售额为50万元，第二季度的总销售额为182万元，若5、6两个月的月增长率相同，求月增长率
b
x a n =±)1(。
一元二次方程应用题增长率
x，则二月份的利润是：_2_5_0_0_(_1_＋__x_)_元； 三月份的利润为：_2_5_0_0_(_1_＋___x_)2_元. 可列出方程：2500(1＋ x)2 =3000
总结
1若原来为a,平均增长率是x,增长后的量为A 则 第1次增长后的量是a(1+ x) =A 第2次增长后的量是a(1+x)2=A
D. 200 200 (1 x) 200 (1 x)2 1000
若平均增长(或降低)百分率为x,增 长(或降低)前的是a,增长(或降低)n次后 的量是A,则它们的数量关系可表示为
a(1 x)n A
其中增长取“+”,降低取“－”
这类问题通常用直接开平方法解决
思考（1）第一次降价的基础是多少？ （2）第一次降价后的药品价格是多少？ （3）第二次降价的基础是多少？ （4）第二次降价后的药品价格是多少？
例2：为减轻老百姓看病难问题，我国近两
年的医疗税费改革采取了一系列措施,2008年中
央财政用于支持这项改革试点的资金约为180亿
元,预计到2010年将到达304.2亿元,你知道从
2008年到2010年中央财政每年投入支持这项改
革资金的平均增长率吗?
分析:设这两年的平均增长率为x,
2008年 2009 年
2010年
180
180(1+x)
180(1+x)2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
解:这两年的平均增长率为x，由题意得：
180(1+x)2 = 304.2
例3 某商店一月份的利润是2500元，三月 份的利润达到3000元，这两个月的平均月 增长的百分率是多少？
C. 1200 (1 x%)2 1452 D. 1200(1 x%) 1452
增长率问题一元二次方程例题
增长率问题一元二次方程例题大家好！今天我们来聊聊增长率问题，这个话题可能听上去有点严肃，但别担心，我们会用简单的例子和直白的语言，把它讲得清清楚楚。
还记得数学课上那些让人头疼的方程吗？没错，今天我们就要用一元二次方程来解决实际问题，一起来看看怎么搞定这些数学难题吧！1. 增长率的概念1.1 增长率是什么？首先，我们得搞清楚“增长率”到底是什么。
简单来说，增长率就是一个量在一段时间内增加的速度。
比如说，你的口袋里有100块钱，你在一个月内又挣了20块钱，那么这20块钱就是你在这个月里的“增长”，增长率就是20块钱占原来100块钱的比例。
听起来是不是还蛮简单的？1.2 怎么计算增长率？增长率的计算公式是：[ text{增长率} = frac{text{新增量}}{text{原有量}} times 100% ]。
比如，你的存款从1000块钱增加到1200块钱，那么增长率就是：[ frac{1200 1000}{1000} times 100% = 20% ] 。
所以，你的存款增长了20%。
2. 一元二次方程介绍2.1 什么是一元二次方程？一元二次方程是指方程中含有一个未知数的二次方程。
比如说，方程 [ ax^2 + bx+ c = 0 ] 就是一个典型的一元二次方程，其中 ( x ) 是未知数，( a )、( b ) 和 ( c ) 是常数。
乍一看，可能觉得这个方程有点复杂，不过别担心，我们会用实际问题来拆解它。
2.2 一元二次方程怎么解？解一元二次方程有几种方法，比如因式分解法、配方法和求根公式法。
其中，求根公式法最为常见。
它的公式是这样的：[ x = frac{b pm sqrt{b^2 4ac}}{2a} ] 听上去有点拗口，但实际上，代入数值后，我们就可以找到方程的解了。
3. 实际应用举例3.1 增长率问题与方程的结合好啦，现在我们来看看一个实际应用的例子，看看增长率问题如何和一元二次方程结合起来解决。
一元二次方程的应用(增长率问题)
精品资料欢迎下载22.3一元二次方程的应用（1）学习目标：掌握增长率问题中的数量关系，会列出一元二次方程解决增长率问题学习重、难点：重点：利用增长率问题中的数量关系，列出方程解决问题难点：理清增长率问题中的数量关系一、课前预习：1．某厂今年1月份的总产量为100吨，平均每月增长20%，则：二月份总产量为吨；三月份总产量为吨。
（填具体数字）2．某厂今年1月份的总产量为500吨，设平均每月增长率是x ，则：二月份总产量为吨；三月份总产量为吨。
（填含有X的式子）3．某种商品原价是100元，平均每次降价10%，则：第一次降价后的价格是________元；第二次降价后的价格是_______元。
（填具体数字）4．某种商品原价是100元，平均每次降价的百分率为x，则：第一次降价后的价格是________元；第二次降价后的价格是_______元。
（填含有X的式子）归纳：平均增长率（或平均减少率）问题：起始量（1＋平均增长率）n=现在量。
（n为相距时间）起始量（1－平均减少率）n=现在量。
（n为相距时间）二、新课导学例1．某商店6月份的利润是2500元，要使8月份的利润达到3600元，这两个月利润的月平均增长的百分率是多少？例2．某种手表,原来每只售价96元,经过连续2次降价后,现在每只售价54元,平均每次降价的百分率是多少?精品资料欢迎下载三、随堂检测1.（2012山东青岛）某公司2010年的产值为500万元，2012年的产值为720万元，则该公司产值的年平均增长率为_________________. 2．(2010台州中考) 某种商品原价是100元，经过两次提价后的价格是120元，求平均每次降价的百分率。
设平均每次降价的百分率为x，下列所列方程中正确的是（）A、100（1+x）2=120B、100（1-x）2=120C、120（1+x）2=100D、120（1-x）2=100 3．（2010兰州中考）上海世博会的某种纪念品原价是168元，连续两次降价x%后售价为128元。
一元二次方程实际问题1(增长率)
解：设年平均增长率为x，根据题意， 得1.6 (1＋x)2＝2.5．
(1＋x)2= 25 ．∴1＋x=±1.25．
∴
x1
=
16
0.25=25%,x2
=－2.25(不合题意,舍去)
答：每年的年平均增长率为25%．
面积增加最多的是
∴ x1 = 0.1=10%,
___2_0__1_0_____年；
（2）为满足城市发展的需要，计 划到2013年底使城区绿地面积达
x2 =－2.1(不合题意,舍 去) 答： 2012年,2013年
2008 2009 2010 2011
到72.6公顷，试求2012年,2013年 两年绿地面积的年平均增长率。
则它们的数量关系可表示为
a(1 x)n b
其中增长取+,降低取－
探究两:年前生产1吨甲种药品的成本是5000元, 随着生产技术的进步,现在生产 1吨甲种药品 的成本是3000元,甲种药品成本的年平均下
降率是多少? 如果：设甲种药品成本的平均下降率为x ，
填表
两年前 甲 成本（吨/ 种 元） 药 （基数量） 品
.
（2）若预计1月、2月、3月的营业额共9.5
万元，
则可列方程为 2 2(1 x) 2(1 x)2 9.5 .
• 增长率问题：
• 3、(2003大连)某房屋开发公司 经过几年的不懈努力，开发建 设住宅面积由2000年4万平方米 ，到2002年的7万平方米。设这 两年该房屋开发公司开发建设 住宅面积的年平均增长率为x ， 则可列方程为 ________________；
3、某型号的手机连续两次降价,若两次
降价的百分率为x,手机原来售价1285，
则：
第一次降价后，手机的售价为
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答:乙种药品成本的年平均下降率约为22.5%.
比较:两种药品成本的年平均下降率？
相同
1.有两个连续整数，它们的平方和为25， 求这两个数。
2.有一个两位数，它的十位上的数字比个位上 的数字小2，十位上的数字与个位上的数字 之和的 3倍刚好等于这个两位数。求这个两 位数。 3.有一个两位数，它的个位上的数字与十位上 的数字之和是6，如果把它的个位数字与十 位数字调换位置，所得的两位数乘以原来的 两位数所得的积等于1008，求调换位置后得 到的两位数。 •
乙 种 药 品
基数量
第一次下 第二次下 列出方程 降的量 降的量
6000(1-y) 6000(1-y)
2
6000
6000(1-y) =3600
2
解: 设乙种药品成本的年平均下降率为y,
则依题意得
6000(1 y) 3600
2
解方程,得
y
1
0.225, y 1.775(不合题意, 舍去)
问题探究： 1、某厂今年1月份的总产量为100吨， 平均每月增长20%， 100 （ 1+20% ） 120 则:二月份总产量为 吨；
144 ） 吨。 三月份总产量为 100(1+20%
（填具体数字）
2
2、某厂今年1月份的总产量为 500吨，设平均每月增长率是x 则： 二月份总产量为 500(1+x) 吨； 2 500(1+x) 三月份总产量为 吨。 （填含x的式子）
解这个方程，得
2
2 但x 1 >1不合题意，舍去 2 2 x 1 29.3%. 答：每次降价的百分率为29.3%. 2
2 2 x1 1 , x2 1 2 2
练习 2: 某药品两次升价，零售价升为原来的 1.2 倍，已知两次升价的百分率一样，求每次升价的 百分率（精确到0.1%） 解，设原价为 a 元，每次升价的百分率为 ， 根据题意，得 2
练习:
3、某种产品的成本在 两年内从16元降至9元， 求平均每年降低的百 分率.Biblioteka 课后思考:年收入/万元
家庭户数/户
某同学进行社会调查，随机抽查了某个地区的20个家庭的收入情况， 并绘制了统计图.请你根据统计图给出的信息回答： (1)填写完成下表： 0.6 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 9.7
x
a(1 x) 1.2a
解这个方程，得
30 x 1 5 由于升价的百分率不可能是负数， 所以 x 1 30 不合题意，舍去
5
30 x 1 9.5% 5
答：每次升价的百分率为9.5%.
练一练：
1、某房屋开发公司经过几年的不 懈努力，开发建设住宅面积由 2000年4万平方米，到2002年 的7万平方米。设这两年该房屋 开发公司开发建设住宅面积的 年平均增长率为x ，则可列方程 为________________；
B
)
A.500(1+x)3=720 B.500(1+x)2=720
C.500(1+x2)=720
D.720(1+x)2=500
2.某电脑公司2008年的各项经营中，1月份
的营业额为2万元，如果平均每月营业额的 增长率相同设为x
练习:
（1）若预计3月份的营业额为4.5万元，则
可列方程为
2(1 x) 4.5
解：设年平均增长率为x，根据题意， 得1.6 (1＋x)2＝2.5． (1＋x)2=
∴ x1 = 0.25=25%,x2 =－2.25(不合题意,舍去)
答：每年的年平均增长率为25%．
25 ．∴1＋x=±1.25． 16
练习 3. 小红的妈妈前年存了 5000 元一年期的定期储蓄，到 期后自动转存.今年到期扣除利 息税（利息税为利息的 20% ）， 共取得5145元.求这种储蓄的年 利率.（精确到0.1%）
1
1
2
3
4
5
3
1
1.6 万元；(2)样本中的中位数是 这20个家庭的年平均收入为______ 1.3 万元； 1.2 ______ 万元，众数是______
所占户数比/% 25 20 15 10 5 0.6 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 9.7
年收入 / 万元
(3)要想这20个家庭的年平均收入在2 年后达到2.5万元,则每年的平均增长率 是多少?
课后作业
（2）降低率问题
a (1 x)
2
设基数为a，平均降低率为x， 则一次降低后的值为 a (1 x) 二次降低后的值为
a (1 x)
2
小结 类似地 这种变化率的问题在实际
生活中普遍存在,有一定的模式
若平均增长(或降低)百分率为x, 增长(或降低)前的是基数量a, 增长(或降低)n次后的量是b, 则它们的数量关系可表示为
练习4.市第四中学初三年级初一开 学时就参加课程改革试验，重视学 生能力培养 . 初一阶段就有 48 人在 市级以上各项活动中得奖，之后逐 年增加，到三年级结束共有 183 人 次在市级以上得奖 . 求这两年中得 奖人次的平均年增长率.
1.(P48-7)青山村种的水稻2001年 平均每公顷产7200kg,2003年平 均每公顷产8450kg,求水稻每公顷 产量的年平均增长率. 2.(P53-8)某银行经过最近的两次 降息,使一年期存款的年利率由 2.25%降至1.98%,平均每次降息 的百分率是多少(精确到0.01%)?
n
a (1 x) b
其中增长取+,降低取－
两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元, 探究: 随着生产技术的进步,现在生产 1吨甲种药品 的成本是3000元,甲种药品成本的年平均下 降率是多少? 如果：设甲种药品成本的平均下降率为x ， 填表
一年前 两年前 甲 成本（吨/ 成本（吨/元 ） 种 元） 药 （基数量） （第一次下 降） 品 现在 成本（吨/元 ） （第二次下 降）
2
.
（2）若预计1月、2月、3月的营业额共9.5
万元，
2 2 ( 1 x ) 2 ( 1 x ) 9 . 5 则可列方程为 .
2
4 ：某药品经两次降价，零售价降为原来的 一半.已知两次降价的百分率一样，求每次降 价的百分率.（精确到0.1%） 解：设原价为1个单位， 每次降价的百分率为 x. 根据题意，得 1 x 2 1
解：设2012年,2013年 2.某城区绿地面积不断增加（如图 两年绿地面积的年平 所示）。（1）根据图中所提供的 均增长率为x，根据题 信息回答下列问题：2011年底的 意，得 2 x) ＝72.6 ． 绿地面积为 60 公顷，比2010 60 (1＋ 2=1.21． (1 ＋ x ) 年底增加了 4 公顷；在2009年， 2010年，2011年这三年中，绿地 ∴1＋x=±1.1． ∴ x1 = 0.1=10%, 面积增加最多的是 x2 =－2.1(不合题意,舍 2010 ____________ 年； （2）为满足城市发展的需要，计 去) 2012年,2013年 2008 2009 2010 2011 划到2013年底使城区绿地面积达 答： 到72.6公顷，试求2012年,2013年 两年绿地面积的年平 两年绿地面积的年平均增长率。 均增长率为10%．
3、某型号的手机连续两次降价,若两次 降价的百分率都为x,手机原来售价1285， 则： 第一次降价后，手机的售价为 ( 1285(1-x) ) 元； 第二次降价后手机的售价为 ( 1285(1-x)2 ) 元（填含x的式子）
归纳： （1）增长率问题 设基数为a，平均增长率为x， 则一次增长后的值为 a (1 x) 二次增长后的值为
5000 (1 x) 3000
2
15 1 x 5
15 x 1 5
答:甲种药品成本的年平均下降率约
为22.5%.
探究2 两年前生产 1吨乙种药品的成本是 6000元,随着生产技术的进步,现在生产1吨乙 种药品的成本是3600元，乙种药品成本的年 平均下降率是多少?
分析：在该题中，若设乙种药品成本的平均下降率 为y ，请填下表
列出方程
5000
5000(1-x)
5000(1-x)2 5000 (1 x)2 3000
请把问题1完整过程解出来。
解:设甲种药品成本的年平均下降率
为x,依题意得
3 1 x 3 0 x ) 解方程,得 (1 1.775 5 （不合题意，舍去） x1 .225, x5 2
2
1、平均增长（降低）率公式 2
a(1 x) b
2、注意： （1）1与x的位置不要调换，增长取“+”， 下降取“-” （2）解这类问题列出的方程一般 用直接开平方法，注意验根，看是否 符合实际意义。
练习:
1.某厂今年一月的总产量为500吨,三 月的总产量为720吨,平均每月增长率
是x,列方程(