初一有理数复杂运算1
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【考点】有理数加减运算 【难度】3 星 【题型】解答 【关键词】2007~2008 年，北京四中，阶段测试 【解析】毛收入： (3 + 8 + 7 + 8 + 10 + 2) × 2 = 76 (元)，
汽油成本： (2.3 + −7.2 + −6.1 + 8 + 9.3 + −1.8 ) × 0.1× 4 = 13.88 （元），收入 76 −13.88 = 62.12 （元）. 他最后距离出发点的距离： 2.3 + (−7.2) + (−6.1) + 8 + 9.3 + (−1.8) = 4.5 （公里）. 【答案】净收入为 76 元，最后距离出发点 4.5 公里
【考点】有理数加减运算 【难度】5 星 【题型】解答 【关键词】第 5 届，希望杯 2 试 【解析】假设电子跳蚤的起点 K0 为 x0 ，规定向左为负，向右为正，根据题意可得：
x0 −1 + 2 − 3 + 4 − 5 + 6 −"" − 99 + 100 = 19.94 ， x0 = −30.06 ． 【答案】 x0 = −30.06
【巩固】在 1，3，5，…，101 这 51 个奇数中的每个数的前面任意添加一个正号或一个负号，则其代数式的 绝对值最小为多少？
【考点】有理数加减运算 【难度】6 星 【题型】解答 【关键词】2007 年，希望杯培训试题 【解析】由于1 + 3 + 5 + 7 + " + 101 = 512 为奇数，对于连续的 4 个奇数我们添加符号如下，使其结果为 0，即：
②分两种情况，第一种情况：点 C 在数轴的正半轴，观察规律可知：除去第一次，依次每两次 结合相当于向正方向前进 1 米，所以再经过 (50 −1) × 2 = 98 （次）运动即可前进 50 米，到达 B 地；
用时为： (1 + 2 + 3 + "98 + 99) ÷ 2 = 2475 （分钟）．
第二种情况：点 C 在数轴的负半轴，观察规律可知，每两次结合相当于向负半轴前进1米，故经过100 次运动即可前进 50 米，到达 B 地，用时为： (1 + 2 + " + 100) ÷ 2 = 2525 （分钟）．
A. 28ºC
【考点】有理数加减运算 【难度】2 星 【题型】选择
B. 29ºC
C. 30ºC
D. 31ºC
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任莎莎老师题库
【关键词】2007 年，北京中考 【解析】当一组大小比较集中的数字求和时，我们可以先找一个“基准数”，（基准数尽量选用这组数的中间数，
同时兼顾它是整十、整百的数，方便计算）.本题中我们可以选用 30 为“基准数”，那么平均值=30+ （-5-2+0-1+1+2-2）÷7=29（ºC）；其总和=30×7+（-5-2+0-1+1+2-2）=203（ºC）. 【答案】B
(2n + 1) − (2n + 3) − (2n + 5) + (2n + 7) = 0 ，这样我们可以使后 48 个奇数和为 0，对于 1、3、5 我们可 以如下添加符号使其绝对值最小： −1 − 3 + 5 = 1 ，于是可得和的绝对值最小为 1． 【答案】1
【巩固】在数 1，2，3，……，1998 前添符号“+”或“-”，并依次运算，所得结果中最小的非负数是多少？ 【考点】有理数加减运算 【难度】6 星 【题型】解答 【关键词】2000 年，辽宁中考 【解析】由于1 + 2 + 3 + " + 1999 = 1999 × 999 是一个奇数，而在 1，2，3，…，1998 之间任意添上“+”号或“－”
【巩固】 电子跳蚤在数轴上的某一点 K0 ，第一步 K0 向左跳1个单位到点 K1 ，第二步由点 K1 向右跳 2 个单位 到点 K2 ，第三步有点 K2 向左跳 3 个单位到点 K3 ，第四步由点 K3 向右跳 4 个单位到点 K4 ，．．．．．． ， 按以上规律跳了100 步时，电子跳蚤落在数轴上的点 K100 所表示的数恰好是19.94 ． 求电子跳蚤的 初始位置点 K0 所表示的数．
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有理数复杂运算
【例1】 (第 14 届希望杯)有一串数： −2003 ， −1999 ， −1995 ， −1991 ，…，按一定的规律排列，那
么这串数中前
个数的和最小．
【考点】有理数加减运算
【难度】4 星
【题型】填空
【关键词】第 14 届，希望杯试题，等差数列
【解析】这个数列构成了公差为 4 的等差数列，故其第 n 项为 an = −2003 + 4(n −1) = 4n − 2007 ，
65 × 0.5 = 32.5 (升). 【答案】⑴ 39 ；⑵ 32.5
【巩固】 A 市的出租车无起步价，每公里收费 2 元，不足 1 公里的按 1 公里计价，9 月 4 号上午 A 市 某出租 司机在南北大道上载人，其承载乘客的里程记录为： 2.3 、 −7.2 、 −6.1 、8 、9.3 、 −1.8 （单位：公 里，向北行驶记为正，向南行驶记为负），车每公里耗油 0.1 升，每升油 4 元，那么他这一上午的净 收入是多少元？他最后距离出发点多远？
才能到达？ ③ 若蜗牛的速度为每分钟 2 个单位长度，经过1小时蜗牛离 O 点多远？ 【考点】有理数加减运算 【难度】4 星 【题型】解答 【关键词】无锡中考，人大附中练习题，分类讨论 【解析】①1 + (−2) + 3 + (−4) + " + 99 + (−100) = −50 ，故 O 、 B 两点之间的距离为 50 个单位长度．
【解析】略
【答案】C
【巩固】 若 a < b < 0 < c < d ，则以下四个结论中，正确的是( )
A． a + b + c + d 一定是正数．
B． d + c − a − b 可能是负数．
C． d − c − b − a 一定是正数．
D． c − d − b − a 一定是正数．
【考点】有理数加减运算
【例7】 数轴的原点 O 上有一个蜗牛，第1次向正方向爬1 个单位长度，紧接着第 2 次反向爬 2 个单位长度， 第 3 次向正方向爬 3 个单位长度，第 4 次反向爬 4 个单位长度……，依次规律爬下去，当它爬完第100 次处在 B 点．
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① 求 O 、 B 两点之间的距离（用单位长度表示）． ② 若点 C 与原点相距 50 个单位长度，蜗牛的速度为每分钟 2 个单位长度，需要多少时间
=（0.5+0.3+0.1-0.9）+(0.8+0.1-0.2-0.7)+(0.4+0.3)=0+0+0.7=0.7(kg) 50×10+0.7=500.7（kg），即：橙子共有 500.7 千克. 【答案】 500.7
【例6】 出租车司机小李某天下午的营运全都是在东西方向的人民大街上进行的，如果规定向东为正， 向西为负，他这天下午行车里程表示如下: +15 ， −2 ， +5 ， −1 ， +10 ， −3 ， −2 ， +12 ， +4 ， −5 ， +6 ， ⑴将最后一名乘客送到目的地时，小李距离下午出车时的出发点多远? ⑵如果汽车耗油量为 0.5 升/千米，这天下午小李共耗油多少升?
【例5】 超市新进了 10 箱橙子，每箱标准重量为 50kg，到货后超市复秤结果如下（超市标准重量的千 克数记为正数，不足的千克数记为负数）：+0.5，+0.3，-0.9，+0.1，+0.4，-0.2，-0.7，+0.8， +0.3，+0.1.那么超市购进的橙子共多少千克？
【考点】有理数加减运算 【难度】2 星 【题型】解答 【关键词】 【解析】（+0.5）+（+0.3）+（-0.9）+（+0.1）+（+0.4）+（-0.2）+（-0.7）+（+0.8）+（+0.3）+（+0.1）
1 = (1 + 3 + 5 + 7 + 9 −11 −13) + " + (1999 − 2001 − 2003 + 2005)
【答案】1 = (1 + 3 + 5 + 7 + 9 −11 −13) + " + (1999 − 2001 − 2003 + 2005)
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(1 − 2 − 3 + 4) + (5 − 6 − 7 + 8) +" + (1993 −1994 −1995 +1996) −1997 + 1998 = 1
号不会改变其代数式和的奇偶性，故所得额非负数不小于 1.现考虑在四个连续自然数 n ，n +1 ，n + 2 ， n + 3 之间添加符号，显然 n − (n + 1) − (n + 2) + (n + 3) = 0 ，这提示我们将 1，2，3，" ，1998 每连续
四个数分成一组，再按上述规则添加符号，即：
【难度】4 星
【题型】选择
【关键词】第 17 届，希望杯 2 试
【解析】 a + b + c + d 不能确定正负； d + c − a − b 一定为正； d − c − b − a 一定是正数； c − d 为负， −b − a 为
正， c − d − b − a 不能确定正负．
【答案】C
【例4】 北京市 2007 年 5 月份某一周的日最高气温（单位：ºC）分别为：25，28，30，29，31，32，28，这 周的日最高气温的平均值为（ ）
2 【答案】 2208 ；1988304
个；它们的和是
【例3】 1997 个不全相等的有理数之和为 0 ，则这1997 个有理数中( )
A．至少有一个是零
B．至少有 998 个正数
C．至少有一个是负数
D．至多有 995 个是负数
【考点】有理数加减运算
【难度】4 星
【题型】选择
【关键词】第 8 届，希望杯
③设第 n 次运动时，正好 60 分钟，那么有 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + " + n = 60 ，所以 n = 15 ，此时它离
222222
2
A 点：1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 + " + 13 −14 + 15 = 8 （米）．
【答案】⑴ 50 个单位长度；⑵ 2475 分钟或者 2525 分钟；⑶ 8 米
【考点】有理数加减运算 【难度】3 星 【题型】解答 【关键词】2007 年，济南中考 【解析】⑴ (+15) + (−2) + (+5) + (−1) + (+10) + (−3) + (−2) + (+12) + (+4)+( − 5)+(+6)=39 ，距离出发点为 39 千米；
⑵共走了 +15 + −2 + +5 + −1 + +10 + −3 + −2 + +12 + +4 + −5 + +6 =65 (千米)的里程，所以耗油为
可以利用：1 + 3 + 5 + " + 2005 = 10032 ，得知所有可能的代数和均为奇数，再考虑到非负数这一条件， 我们期望这一最小值为 1．接下来我们的目标无非是填入符号“＋”和“－”凑出 1 来，考虑到共有 1003 个数，我们需要利用周期性.
注意到， 7 − 9 −11 + 13 = 0 ，15 −17 −19 + 21 = 0 ，" ， (2k − 3) − (2k −1) − (2k + 1) + (2k + 3) = 0
【巩固】 在整数 1，3，5，7，…， 2k −1 ，…，2005 之间填入符号“＋”和“－”号，依此运算，所有可能的代 数和中最小的非负数是多少？
【考点】有理数加减运算 【难度】6 星 【题型】解答 【关键词】希望杯竞赛 【解析】这道题也是一个老题，由于整数的符号不影响其奇偶性，因此也不影响代数和的奇偶性，我们首先
4n
−
2007 ≤ 0 ， n ≤ 501 3 4
，即
a501
<
0，
a502
>
0
，故前 501个和最小．
【答案】 501
【例2】 给出一连串连续整数： −203，− 202，...，2003，2004 ，这串连续整数共有
【考点】有理数加减运算 【难度】2 星 【题型】填空 【关键词】
【解析】由题意可知：共有 2208 个，和为 (−203 + 2004) × 2208 = 1988304
" ，1999 − 2001 − 2003 + 2005 = 0 ，因此容易凑出所要的结果来
1 = (−1 − 3 + 5) + (7 − 9 −11 + 13) +" + (1999 − 2001 − 2003 + 2005) ．
但是题目中要求在数与数之间填入符号“＋”和“－”号，所以可以对算式的前 7 项做处理，修改为：
汽油成本： (2.3 + −7.2 + −6.1 + 8 + 9.3 + −1.8 ) × 0.1× 4 = 13.88 （元），收入 76 −13.88 = 62.12 （元）. 他最后距离出发点的距离： 2.3 + (−7.2) + (−6.1) + 8 + 9.3 + (−1.8) = 4.5 （公里）. 【答案】净收入为 76 元，最后距离出发点 4.5 公里
【考点】有理数加减运算 【难度】5 星 【题型】解答 【关键词】第 5 届，希望杯 2 试 【解析】假设电子跳蚤的起点 K0 为 x0 ，规定向左为负，向右为正，根据题意可得：
x0 −1 + 2 − 3 + 4 − 5 + 6 −"" − 99 + 100 = 19.94 ， x0 = −30.06 ． 【答案】 x0 = −30.06
【巩固】在 1，3，5，…，101 这 51 个奇数中的每个数的前面任意添加一个正号或一个负号，则其代数式的 绝对值最小为多少？
【考点】有理数加减运算 【难度】6 星 【题型】解答 【关键词】2007 年，希望杯培训试题 【解析】由于1 + 3 + 5 + 7 + " + 101 = 512 为奇数，对于连续的 4 个奇数我们添加符号如下，使其结果为 0，即：
②分两种情况，第一种情况：点 C 在数轴的正半轴，观察规律可知：除去第一次，依次每两次 结合相当于向正方向前进 1 米，所以再经过 (50 −1) × 2 = 98 （次）运动即可前进 50 米，到达 B 地；
用时为： (1 + 2 + 3 + "98 + 99) ÷ 2 = 2475 （分钟）．
第二种情况：点 C 在数轴的负半轴，观察规律可知，每两次结合相当于向负半轴前进1米，故经过100 次运动即可前进 50 米，到达 B 地，用时为： (1 + 2 + " + 100) ÷ 2 = 2525 （分钟）．
A. 28ºC
【考点】有理数加减运算 【难度】2 星 【题型】选择
B. 29ºC
C. 30ºC
D. 31ºC
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【关键词】2007 年，北京中考 【解析】当一组大小比较集中的数字求和时，我们可以先找一个“基准数”，（基准数尽量选用这组数的中间数，
同时兼顾它是整十、整百的数，方便计算）.本题中我们可以选用 30 为“基准数”，那么平均值=30+ （-5-2+0-1+1+2-2）÷7=29（ºC）；其总和=30×7+（-5-2+0-1+1+2-2）=203（ºC）. 【答案】B
(2n + 1) − (2n + 3) − (2n + 5) + (2n + 7) = 0 ，这样我们可以使后 48 个奇数和为 0，对于 1、3、5 我们可 以如下添加符号使其绝对值最小： −1 − 3 + 5 = 1 ，于是可得和的绝对值最小为 1． 【答案】1
【巩固】在数 1，2，3，……，1998 前添符号“+”或“-”，并依次运算，所得结果中最小的非负数是多少？ 【考点】有理数加减运算 【难度】6 星 【题型】解答 【关键词】2000 年，辽宁中考 【解析】由于1 + 2 + 3 + " + 1999 = 1999 × 999 是一个奇数，而在 1，2，3，…，1998 之间任意添上“+”号或“－”
【巩固】 电子跳蚤在数轴上的某一点 K0 ，第一步 K0 向左跳1个单位到点 K1 ，第二步由点 K1 向右跳 2 个单位 到点 K2 ，第三步有点 K2 向左跳 3 个单位到点 K3 ，第四步由点 K3 向右跳 4 个单位到点 K4 ，．．．．．． ， 按以上规律跳了100 步时，电子跳蚤落在数轴上的点 K100 所表示的数恰好是19.94 ． 求电子跳蚤的 初始位置点 K0 所表示的数．
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有理数复杂运算
【例1】 (第 14 届希望杯)有一串数： −2003 ， −1999 ， −1995 ， −1991 ，…，按一定的规律排列，那
么这串数中前
个数的和最小．
【考点】有理数加减运算
【难度】4 星
【题型】填空
【关键词】第 14 届，希望杯试题，等差数列
【解析】这个数列构成了公差为 4 的等差数列，故其第 n 项为 an = −2003 + 4(n −1) = 4n − 2007 ，
65 × 0.5 = 32.5 (升). 【答案】⑴ 39 ；⑵ 32.5
【巩固】 A 市的出租车无起步价，每公里收费 2 元，不足 1 公里的按 1 公里计价，9 月 4 号上午 A 市 某出租 司机在南北大道上载人，其承载乘客的里程记录为： 2.3 、 −7.2 、 −6.1 、8 、9.3 、 −1.8 （单位：公 里，向北行驶记为正，向南行驶记为负），车每公里耗油 0.1 升，每升油 4 元，那么他这一上午的净 收入是多少元？他最后距离出发点多远？
才能到达？ ③ 若蜗牛的速度为每分钟 2 个单位长度，经过1小时蜗牛离 O 点多远？ 【考点】有理数加减运算 【难度】4 星 【题型】解答 【关键词】无锡中考，人大附中练习题，分类讨论 【解析】①1 + (−2) + 3 + (−4) + " + 99 + (−100) = −50 ，故 O 、 B 两点之间的距离为 50 个单位长度．
【解析】略
【答案】C
【巩固】 若 a < b < 0 < c < d ，则以下四个结论中，正确的是( )
A． a + b + c + d 一定是正数．
B． d + c − a − b 可能是负数．
C． d − c − b − a 一定是正数．
D． c − d − b − a 一定是正数．
【考点】有理数加减运算
【例7】 数轴的原点 O 上有一个蜗牛，第1次向正方向爬1 个单位长度，紧接着第 2 次反向爬 2 个单位长度， 第 3 次向正方向爬 3 个单位长度，第 4 次反向爬 4 个单位长度……，依次规律爬下去，当它爬完第100 次处在 B 点．
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① 求 O 、 B 两点之间的距离（用单位长度表示）． ② 若点 C 与原点相距 50 个单位长度，蜗牛的速度为每分钟 2 个单位长度，需要多少时间
=（0.5+0.3+0.1-0.9）+(0.8+0.1-0.2-0.7)+(0.4+0.3)=0+0+0.7=0.7(kg) 50×10+0.7=500.7（kg），即：橙子共有 500.7 千克. 【答案】 500.7
【例6】 出租车司机小李某天下午的营运全都是在东西方向的人民大街上进行的，如果规定向东为正， 向西为负，他这天下午行车里程表示如下: +15 ， −2 ， +5 ， −1 ， +10 ， −3 ， −2 ， +12 ， +4 ， −5 ， +6 ， ⑴将最后一名乘客送到目的地时，小李距离下午出车时的出发点多远? ⑵如果汽车耗油量为 0.5 升/千米，这天下午小李共耗油多少升?
【例5】 超市新进了 10 箱橙子，每箱标准重量为 50kg，到货后超市复秤结果如下（超市标准重量的千 克数记为正数，不足的千克数记为负数）：+0.5，+0.3，-0.9，+0.1，+0.4，-0.2，-0.7，+0.8， +0.3，+0.1.那么超市购进的橙子共多少千克？
【考点】有理数加减运算 【难度】2 星 【题型】解答 【关键词】 【解析】（+0.5）+（+0.3）+（-0.9）+（+0.1）+（+0.4）+（-0.2）+（-0.7）+（+0.8）+（+0.3）+（+0.1）
1 = (1 + 3 + 5 + 7 + 9 −11 −13) + " + (1999 − 2001 − 2003 + 2005)
【答案】1 = (1 + 3 + 5 + 7 + 9 −11 −13) + " + (1999 − 2001 − 2003 + 2005)
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(1 − 2 − 3 + 4) + (5 − 6 − 7 + 8) +" + (1993 −1994 −1995 +1996) −1997 + 1998 = 1
号不会改变其代数式和的奇偶性，故所得额非负数不小于 1.现考虑在四个连续自然数 n ，n +1 ，n + 2 ， n + 3 之间添加符号，显然 n − (n + 1) − (n + 2) + (n + 3) = 0 ，这提示我们将 1，2，3，" ，1998 每连续
四个数分成一组，再按上述规则添加符号，即：
【难度】4 星
【题型】选择
【关键词】第 17 届，希望杯 2 试
【解析】 a + b + c + d 不能确定正负； d + c − a − b 一定为正； d − c − b − a 一定是正数； c − d 为负， −b − a 为
正， c − d − b − a 不能确定正负．
【答案】C
【例4】 北京市 2007 年 5 月份某一周的日最高气温（单位：ºC）分别为：25，28，30，29，31，32，28，这 周的日最高气温的平均值为（ ）
2 【答案】 2208 ；1988304
个；它们的和是
【例3】 1997 个不全相等的有理数之和为 0 ，则这1997 个有理数中( )
A．至少有一个是零
B．至少有 998 个正数
C．至少有一个是负数
D．至多有 995 个是负数
【考点】有理数加减运算
【难度】4 星
【题型】选择
【关键词】第 8 届，希望杯
③设第 n 次运动时，正好 60 分钟，那么有 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + " + n = 60 ，所以 n = 15 ，此时它离
222222
2
A 点：1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 + " + 13 −14 + 15 = 8 （米）．
【答案】⑴ 50 个单位长度；⑵ 2475 分钟或者 2525 分钟；⑶ 8 米
【考点】有理数加减运算 【难度】3 星 【题型】解答 【关键词】2007 年，济南中考 【解析】⑴ (+15) + (−2) + (+5) + (−1) + (+10) + (−3) + (−2) + (+12) + (+4)+( − 5)+(+6)=39 ，距离出发点为 39 千米；
⑵共走了 +15 + −2 + +5 + −1 + +10 + −3 + −2 + +12 + +4 + −5 + +6 =65 (千米)的里程，所以耗油为
可以利用：1 + 3 + 5 + " + 2005 = 10032 ，得知所有可能的代数和均为奇数，再考虑到非负数这一条件， 我们期望这一最小值为 1．接下来我们的目标无非是填入符号“＋”和“－”凑出 1 来，考虑到共有 1003 个数，我们需要利用周期性.
注意到， 7 − 9 −11 + 13 = 0 ，15 −17 −19 + 21 = 0 ，" ， (2k − 3) − (2k −1) − (2k + 1) + (2k + 3) = 0
【巩固】 在整数 1，3，5，7，…， 2k −1 ，…，2005 之间填入符号“＋”和“－”号，依此运算，所有可能的代 数和中最小的非负数是多少？
【考点】有理数加减运算 【难度】6 星 【题型】解答 【关键词】希望杯竞赛 【解析】这道题也是一个老题，由于整数的符号不影响其奇偶性，因此也不影响代数和的奇偶性，我们首先
4n
−
2007 ≤ 0 ， n ≤ 501 3 4
，即
a501
<
0，
a502
>
0
，故前 501个和最小．
【答案】 501
【例2】 给出一连串连续整数： −203，− 202，...，2003，2004 ，这串连续整数共有
【考点】有理数加减运算 【难度】2 星 【题型】填空 【关键词】
【解析】由题意可知：共有 2208 个，和为 (−203 + 2004) × 2208 = 1988304
" ，1999 − 2001 − 2003 + 2005 = 0 ，因此容易凑出所要的结果来
1 = (−1 − 3 + 5) + (7 − 9 −11 + 13) +" + (1999 − 2001 − 2003 + 2005) ．
但是题目中要求在数与数之间填入符号“＋”和“－”号，所以可以对算式的前 7 项做处理，修改为：