[精品]2019高中数学1.3三角函数的图象与性质1.3.1正弦函数的图象与性质2优化训练新人教B版必修

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1.3.1 正弦函数的图象与性质(1)

6
) 达到最大值1。
f ( x) sin( 2 x
即，当 x

) 在 2 x 2k 处达到最小值-1。 6 6 2

k (k z )时， f ( x) sin( 2 x ) 达到最小值-1。 6 3
例2
求函数f(x)=sin2x的最小正周期。
y B A O1 O -1 1 (B) (O1)
2
y=sin x, x∈[0,2π]

3 2
2
x
如何画出正弦函数 y=sin x(x∈R)的图象呢？
因为终边相同的角有相同的三角函数值，即 sinx 2k sin x 所以函数 y sin x 在 x 2k ,2k 1 的图象与函数 y sin x ， x 0,2 的图象的形状完全一样，只是位置不同，于是只要将它向左、右平行移动（每次平移 2 个单位长度），就可以得到正弦函数。正弦函数 y sin x, x R 的图象叫做正弦曲线
1. sinα、cosα、tanα的几何意义.
y
1
P
T
正弦线MP
o
M
1
A
x
余弦线OM 正切线AT
三角问题
几何问题
如何画出 y=sinx 的图象

描点法
我们可以对x任意一值，例如x= 6，在下图中画出它的正弦线MP，把角的正弦线向右平移，使M点与x轴上表示数的点 M1，重合，得到线段 M1P1，显然点P和点P1 的纵坐标相同,都等于sin 6 ，因此，点P1的坐标是（ 6，sin ），P1是图像上的一 4 6 个点。类似地，当x= 3 时，也可以得到点P2，点P2也是图像上的点。

第一章 1.3.1正弦函数的图象与性质(三)

研一研·问题探究、课堂更高效
1.3.1（三）
例 2 利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小． 2π π (1)sin 27° sin 155° 与；(2)sin 与 cos . 7 5
解
本课时栏目开关
(1)sin 155° ＝sin 25° ，而 0° <25° <27° <90° ，在 0° <x<90° 的
把不在同一单调区间内的角用诱导公式转化到同一单调区间，再利用单调性来比较大小．
本课时栏目开关
研一研·问题探究、课堂更高效跟踪训练 2 比较下列各组数的大小． 37 49 (1)sin－ 6 π与 sin 3 π；(2)cos 875° sin 980° 与 . 37 π π 解 (1)sin－ 6 π＝sin－6π－6＝sin－6， 49 π π sin 3 π＝sin16π＋3＝sin 3， π π ∵y＝sin x 在－2，2上是增函数， π 37 π 49 － <sin ，即 sin－ π<sin ∴sin 6 π. 6 3 3
－sin 65° ，sin 980° ＝sin(720° ＋260° )＝sin 260° ＝sin(180° ＋80° )＝－sin 80° ， ∵sin 65° <sin 80° ，∴－sin 65° >－sin 80° ， ∴cos 875° >sin 980° .
1.3.1（三）
(2)cos 875° ＝cos(720° ＋155° )＝cos 155° ＝cos(90° ＋65° )＝
通过换元转化为二次函数 g(t)＝at2＋bt＋c 在闭区间[－1,1]上的最值问题．要注意，正、余弦函数值域的有界性，即当 x∈R 时，－1≤sin x≤1，－1≤cos x≤1 对值域的影响．

高中数学第一章基本初等函数(II)1.3 三角函数的图象与性质 1.3.2 余弦函数、正切函数的

1.3.2 余弦函数、正切函数的图象与性质第一课时余弦函数的图象与性质1．余弦函数的图象(1)把正弦曲线向左平移π2个单位就可以得到余弦函数的图象．余弦函数y ＝cos x 的图象叫做余弦曲线．(2)余弦曲线．除了上述的平移法得到余弦曲线，还可以用：①描点法：按照列表，描点，连线顺序可作出余弦函数图象的方法．②五点法：观察余弦函数的图象可以看出，(0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，(π，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0，(2π，1)这五点描出后，余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象的形状就基本上确定了．【自主测试1】画出函数y ＝－cos x ，x ∈[0,2π]的简图．分析：运用五点作图法，首先要找出起关键作用的五个点，然后描点连线．解：列表：ω＞0)的周期为T ＝2πω.今后，可以使用这个公式直接求这类函数的周期．【自主测试2－1】函数y ＝2cos x ＋1的最大值和最小值分别是( ) A ．2，－2 B ．3，－1 C ．1，－1 D ．2，－1 答案：B【自主测试2－2】已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2(x ∈R )，下列结论错误的是( )A ．函数f (x )的最小正周期为2πB ．函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增函数C ．函数f (x )的图象关于直线x ＝0对称D ．函数f (x )是奇函数解析：∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2＝－cos x (x ∈R )，f (－x )＝f (x )，∴函数f (x )是偶函数．答案：D正弦函数与余弦函数的图象和性质的区别与联系(4)sin x ＋cos x ＝1题型一用“五点法”作函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的图象【例题1】用“五点法”画出函数y ＝2cos 2x 的简图．分析：先找出此函数图象上的五个关键点，画出其在一个周期上的函数图象，再进行扩展得到在整个定义域内的简图．解：因为y ＝2cos 2x 的周期T ＝2π2＝π，所以先在区间[0，π]上按五个关键点列表如下．然后把y ＝2cos 2x 在[0，π]上的图象向左、右平移，每次平移π个单位长度，则得到y ＝2cos 2x 在R 上的简图如下．反思在用“五点法”画出函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的图象时，所取的五点应由ωx ＋φ＝0，π2，π，3π2，2π来确定，而不是令x ＝0，π2，π，3π2，2π.题型二三角函数的图象变换【例题2】函数y ＝sin 2x 的图象可由y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4的图象平移得到，若使平移的距离最短，则应( )A ．向左平移π8个单位长度B ．向右平移7π8个单位长度C ．向左平移π4个单位长度D ．向右平移π8个单位长度解析：y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－2x ＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －3π4 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －3π4＋π＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4 ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π8，故函数y ＝sin 2x 的图象可由y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4的图象向右平移π8个单位长度得到．故选D ．答案：D反思一定要注意看清变换的顺序，即看清是以哪个函数图象作为基准．题型三函数的定义域问题【例题3】求函数y ＝36－x 2＋lg cos x 的定义域．分析：首先根据函数解析式列出使函数有意义的条件不等式组，然后分别求解，最后求交集即可．解：要使函数有意义，只需⎩⎪⎨⎪⎧36－x 2≥0，cos x >0，即⎩⎪⎨⎪⎧－6≤x ≤6，2k π－π2<x <2k π＋π2k ∈Z .利用数轴求解，如图所示：所以函数的定义域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－6，－3π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤3π2，6. 反思利用数轴或者单位圆取解集的交集或并集非常简捷、清晰，但要注意区间的开闭情况．题型四余弦函数的最值或值域【例题4】(1)求函数y ＝cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3的值域；(2)求函数y ＝2＋cos x2－cos x的最值；(3)求函数y ＝3cos 2x －4cos x ＋1，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3的值域．分析：(1)结合y ＝cos x 的图象在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3上先增后减即可求解；(2)利用|cos x |≤1这一性质；(3)利用配方法，结合二次函数的性质求解．解：(1)∵y ＝cos x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，0上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上单调递减，∴y ma x ＝cos 0＝1，y min ＝cos 2π3＝－12，∴y ＝cos x 的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1. (2)由y ＝2＋cos x 2－cos x ，求得cos x ＝2y －1y ＋1.∵|cos x |≤1，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪2y －1y ＋1≤1，∴[2(y －1)]2≤(y ＋1)2.解得13≤y ≤3，∴y ma x ＝3，y min ＝13.(3)y ＝3cos 2x －4cos x ＋1＝3⎝⎛⎭⎪⎫cos x －232－13，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3，∴cos x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12，从而当cos x ＝－12，即x ＝2π3时，y ma x ＝154.当cos x ＝12，即x ＝π3时，y min ＝－14.∴函数y ＝3cos 2x －4cos x ＋1的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，154.反思求函数的最值的方法有以下几种：(1)直接法．根据函数值域的定义，由自变量的取值范围求出函数值的取值范围． (2)利用函数的单调性．(3)利用函数的图象，转化为求函数图象上最高点和最低点的纵坐标的问题．(4)利用换元法，转化为一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等基本初等函数问题．题型五余弦函数图象的应用【例题5】求函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的对称中心、对称轴方程、单调递减区间和最小正周期．分析：利用整体换元，设t ＝2x ＋π4，则问题转化为考查函数y ＝cos t 的相关性质．解：设t ＝2x ＋π4，则函数y ＝cos t 的图象如图所示．令t ＝k π(k ∈Z )，则2x ＋π4＝k π(k ∈Z )．故x ＝k ·π2－π8(k ∈Z )即为所求的对称轴方程．令t ＝k π＋π2(k ∈Z )，则2x ＋π4＝k π＋π2(k ∈Z )，则x ＝k ·π2＋π8(k ∈Z )．故⎝ ⎛⎭⎪⎫k ·π2＋π8，0(k ∈Z )即为所求的对称中心．当t ∈[2k π，2k π＋π](k ∈Z )时，2x ＋π4∈[2k π，2k π＋π](k ∈Z )，则x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π8，k π＋3π8(k ∈Z )．故其单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π8，k π＋3π8(k ∈Z )． ∵cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋2π＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋π＋π4， ∴最小正周期T ＝π.反思整体换元思想是解决较复杂三角函数问题常用的一种方法，它能将问题化归为对基本三角函数的考查．〖互动探究〗若将本例中的函数改为“y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4”呢？解：设t ＝2x ＋π4，则问题转化为考查函数y ＝|cos t |，如图所示：解答过程同例题，可得无对称中心．令t ＝k ·π2(k ∈Z )，则2x ＋π4＝k ·π2(k ∈Z )，∴对称轴为x ＝k ·π4－π8(k ∈Z )；令t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π，k π＋π2(k ∈Z )， ∴2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π，k π＋π2(k ∈Z )，则x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤k ·π2－π8，k ·π2＋π8故其单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k ·π2－π8，k ·π2＋π8(k ∈Z )．最小正周期T ＝π2.反思(1)若三角函数式子中带绝对值号，则通常通过观察图象得到周期和单调区间． (2)正弦函数y ＝sin x 和余弦函数y ＝cos x 取绝对值后，周期缩为原来的一半，即 ①y ＝|sin x |的周期为π； ②y ＝|cos x |的周期为π.1．下列说法不正确的是( )A ．正弦函数、余弦函数的定义域是R ，值域是[－1,1]B ．余弦函数当且仅当x ＝2k π(k ∈Z )时取得最大值1，当且仅当x ＝(2k ＋1)π(k ∈Z )时取得最小值－1C ．正弦函数在每个区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋2k π，3π2＋2k π(k ∈Z )上都是减函数 D ．余弦函数在每个区间[2k π－π，2k π](k ∈Z )上都是减函数答案：D2．下列函数中，周期为π，且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上为减函数的是( ) A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 B ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2 D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2答案：A3．(2012·重庆期末)把函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3图象上所有点的横坐标缩短为原来的12倍(纵坐标不变)，得到图象的解析式为( )A ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6B ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3C ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋2π3D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π3 答案：D4．若函数y ＝a cos x ＋b 的最小值为－12，最大值为32，则a ＝__________，b ＝__________.解析：由于y ma x ＝32，y min ＝－12，且－1≤cos x ≤1，则当a ＞0时，有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝32，－a ＋b ＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝12.当a ＜0时，有⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋b ＝32，a ＋b ＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝12.综上，a ＝±1，b ＝12.答案：±1 125．函数y ＝|cos x |的单调增区间为________，单调减区间为________，最小正周期为________．解析：函数y ＝|cos x |的图象，如图所示．由图可知它的最小正周期为π.又因为在一个周期⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上，函数的增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0，减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.而函数的周期是k π(k ∈Z )，因此函数y ＝|cos x |的增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π2，k π(k ∈Z )，减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π，k π＋π2(k ∈Z )．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π2，k π(k ∈Z ) ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π，k π＋π2(k ∈Z ) π 6．函数f (x )的定义域为[0,1]，则f (cos x )的定义域是__________．解析：由已知0≤cos x ≤1，得2k π－π2≤x ≤2k π＋π2(k ∈Z )．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z ) 7．已知函数f (x )＝3cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4，x ∈R . (1)用“五点法”画出函数f (x )在长度为一个周期的闭区间上的简图； (2)求函数f (x )的最大值，并求出取得最大值时自变量x 的取值集合； (3)求函数f (x )的单调增区间．解：(1)列表：(2)当2x －π4＝2k π(k ∈Z )，即x ＝k π＋π8(k ∈Z )时，y ma x ＝3，此时x 取值的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k π＋π8，k ∈Z. (3)当2k π－π≤2x －π4≤2k π(k ∈Z )时，k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z ，故函数f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8(k ∈Z )．。

2019年高考数学一轮复习：三角函数的图象与性质

2019年高考数学一轮复习：三角函数的图象与性质三角函数的图象与性质1．“五点法”作图(1)在确定正弦函数y＝sin x在[0，2π]上的图象形状时，起关键作用的五个点是，，，，．(2)在确定余弦函数y＝cos x在[0，2π]上的图象形状时，起关键作用的五个点是，，，，．2．周期函数的定义对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有________________，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的________________．自查自纠1．(1)(0，0)⎝⎛⎭⎫π2，1(π，0)⎝⎛⎭⎫3π2，－1(2π，0)(2)(0，1)⎝⎛⎭⎫π2，0(π，－1)⎝⎛⎭⎫32π，0(2π，1) 2．f(x＋T)＝f(x)最小正周期3．①R②R③⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x≠kπ＋π2，k∈Z④[－1，1]⑤[－1，1]⑥x＝kπ＋π2(k∈Z)⑦(kπ，0)(k∈Z)⑧x＝kπ(k∈Z)⑨⎝⎛⎭⎫kπ＋π2，0(k∈Z)⑩⎝⎛⎭⎫kπ2，0(k∈Z)⑪2π⑫2π⑬π⑭⎣⎡⎦⎤2kπ－π2，2kπ＋π2(k∈Z)⑮⎣⎡⎦⎤2kπ＋π2，2kπ＋3π2(k∈Z)⑯[2kπ－π，2kπ](k∈Z)⑰[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)⑱⎝⎛⎭⎫kπ－π2，kπ＋π2(k∈Z)⑲奇函数⑳偶函数○21奇函数(2015·四川)下列函数中，最小正周期为π的奇函数是()A．y＝sin⎝⎛⎭⎫2x＋π2B．y＝cos⎝⎛⎭⎫2x＋π2 C．y＝sin2x＋cos2x D．y＝sin x＋cos x解：对A项，y＝sin⎝⎛⎭⎫2x＋π2＝cos2x，最小正周期为π，且为偶函数，不符合题意；对B项，y＝cos⎝⎛⎭⎫2x＋π2＝－sin2x，最小正周期为π，且为奇函数，符合题意；对C项，y＝sin2x＋cos2x＝2sin⎝⎛⎭⎫2x＋π4，最小正周期为π，为非奇非偶函数，不符合题意；对D 项，y ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，最小正周期为2π，为非奇非偶函数，不符合题意．故选B .(2015·长沙模拟)下列函数中，周期为π且在⎣⎡⎦⎤0，π2上是减函数的是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4B ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4 C ．y ＝sin2x D ．y ＝cos2x解：对于函数y ＝cos2x ，T ＝π，当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，2x ∈[0，π]，y ＝cos2x 是减函数．故选D .(2016·长沙模拟)若函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(ω∈N *)的图象的一个对称中心是⎝⎛⎭⎫π6，0，则ω的最小值为( )A ．1B ．2C ．4D ．8解：由题意知πω6＋π6＝π2＋k π(k ∈Z )，所以ω＝6k＋2(k ∈Z )，又ω∈N *，则ωmin ＝2.故选B .(2016·浙江)已知2cos 2x ＋sin2x ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A >0)，则A ＋b ＝________.解：由于2cos 2x ＋sin2x ＝1＋cos2x ＋sin2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1，所以A ＝2，b ＝1，即A ＋b ＝2＋1.故填2＋1.(2015·浙江)函数f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＋1的最小正周期是________，单调递减区间是________．解：f (x )＝1－cos2x 2＋12sin2x ＋1＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋32，最小正周期是T ＝2π2＝π. 由π2＋2k π≤2x －π4≤3π2＋2k π，k ∈Z ，解得3π8＋k π≤x ≤7π8＋k π，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递减区间是⎣⎡⎦⎤3π8＋k π，7π8＋k π，k ∈Z .故填π；⎣⎡⎦⎤3π8＋k π，7π8＋k π，k∈Z .类型一三角函数的定义域、值域(1)函数y ＝lg(sin x －cos x )的定义域是_______________________．解：要使函数有意义，必须使sin x －cos x ＞0. 解法一：利用图象．在同一坐标系中画出[0，2π]上y ＝sin x 和y ＝cos x 的图象，如图所示：在[0，2π]内，满足sin x ＝cos x 的x 为π4，5π4，在⎝⎛⎭⎫π4，5π4内sin x ＞cos x ，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |π4＋2k π＜x ＜5π4＋2k π，k ∈Z .解法二：利用三角函数线．如图，MN 为正弦线，OM 为余弦线，要使sin x ＞cos x ，只须π4＜x ＜5π4(在[0，2π]内)．所以定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |π4＋2k π＜x ＜5π4＋2k π，k ∈Z .解法三：sin x －cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＞0，由正弦函数y ＝sin x 的图象和性质可知2k π＜x －π4＜π＋2k π，解得2k π＋π4＜x ＜5π4＋2k π，k ∈Z .所以定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |π4＋2k π＜x ＜5π4＋2k π，k ∈Z .故填⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|π4＋2k π＜x ＜5π4＋2k π，k ∈Z .【点拨】①求三角函数的定义域常常归结为解三角不等式(或等式)；②求三角函数的定义域经常借助两个工具，即单位圆中的三角函数线和三角函数的图象，有时也利用数轴；③对于较为复杂的求三角函数的定义域问题，应先列出不等式(组)分别求解，然后利用数轴或三角函数线求交集．(2)(2017·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的最大值是________．解：f (x )＝1－cos 2x ＋3cos x －34＝－cos 2x ＋3cos x＋14＝－⎝⎛⎭⎫cos x －322＋1，由自变量的范围x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2可得，cos x ∈[0，1]，当cos x ＝32时，函数f (x )取得最大值1.故填1.【点拨】本题经三角函数式的化简将三角函数的问题转化为二次函数的问题．求最值时，要注意三角函数的取值范围．(3)已知函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，求函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π2，0上的最大值和最小值．解：因为－π2≤x ≤0，所以－34π≤2x ＋π4≤π4，所以当2x ＋π4＝－34π，即x ＝－π2时，f (x )有最小值，f (x )min ＝－1；当2x ＋π4＝0，即x ＝－π8时，f (x )有最大值，f (x )max＝2，即f (x )在⎣⎡⎦⎤－π2，0上的最小值为－1，最大值为2.【点拨】求三角函数的值域(最值)时，代数中求值域(最值)的方法均适用，如配方法(参看例1(2)，注意三角函数的取值范围)、换元法(注意换元后的范围变化)、判别式法、不等式法等．对于形如y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (或y ＝A cos(ωx ＋φ)＋b)，可直接求出ωx ＋φ在区间的范围，然后根据单调性求解．(1)求函数y ＝lgsin x 2sin x －3的定义域；(2)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，x ∈R ，求f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2 上的最大值和最小值； (3)(北京海淀2017届期中)已知函数f (x )＝cos 4x ＋sin 2x ，下列结论中错误．．的是( ) A ．f (x )是偶函数B ．函数f (x )的最小值为34C.π2是函数f (x )的一个周期 D ．函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2内是减函数 (4)求函数y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x 的值域．解：(1)因为y ＝lgsin x2sin x －3，所以⎩⎨⎧sin x ＞0，2sin x －3≠0.所以原函数的定义域为{}x |2k π＜x ＜2k π＋π，且x ≠2k π＋π3，x ≠2k π＋23π，k ∈Z.(2)因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以2x －π6∈⎣⎡⎤－π6，5π6. 当2x －π6＝－π6，即x ＝0时，函数f (x )有最小值－12；当2x －π6＝π2，即x ＝π3时，函数f (x )有最大值1.(3)由f (－x )＝cos 4(－x )＋sin 2(－x )＝f (x )，知函数f (x )是偶函数，则A 正确；f (x )＝(1－sin 2x )2＋sin 2x ＝sin 4x －sin 2x ＋1＝⎝⎛⎭⎫sin 2x －122＋34，又sin 2x ∈[]0，1，则当sin 2x ＝12时，f (x )min ＝34，则B 正确；f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝sin 4⎝⎛⎭⎫x ＋π2－sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π2＋1＝cos 4x ＋1－cos 2x ＝cos 4x ＋sin 2x ，则f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝f (x )，则C 也正确．故选D .(4)设t ＝sin x －cos x ，则t 2＝1－2sin x cos x ，sin x cos x＝1－t 22，且－2≤t ≤ 2.所以y ＝－t 22＋t ＋12＝－12(t －1)2＋1.当t ＝1时，y max ＝1；当t ＝－2时，y min ＝－12－ 2.所以函数y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x 的值域为⎣⎡⎦⎤－12－2，1. 类型二三角函数的周期性在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，④y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为( )A ．②④B ．①③④C ．①②③D ．①③ 解：可分别求出各个函数的最小正周期．①y ＝cos|2x |＝cos2x ，T ＝2π2＝π；②由图象知，函数的最小正周期T ＝π；③T ＝2π2＝π；④T ＝π2.综上知，最小正周期为π的所有函数为①②③.故选C .【点拨】①求三角函数的周期，通常应将函数式化为只有一个函数名，且角度唯一，最高次数为一次的形式，然后借助于常见三角函数的周期来求解．②注意带绝对值的三角函数的周期是否减半，可用图象法判定，y ＝|cos x |的图象即是将y ＝cos x 的图象在x 轴下方部分翻折到x 轴的上方去．求下列函数的最小正周期．(1)y ＝(a sin x ＋cos x )2(a ∈R )；(2)y ＝2cos x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3－3sin 2x ＋sin x cos x ； (3)y ＝2⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3. 解：(1)y ＝[a 2＋1sin(x ＋φ)]2＝(a 2＋1)sin 2(x ＋φ)＝(a 2＋1)·1－cos （2x ＋2φ）2(φ为辅助角)，所以此函数的最小正周期为T ＝2π2＝π.(2)y ＝2cos x ⎝⎛⎭⎫12sin x ＋32cos x －3sin 2x ＋sin x cos x＝sin x cos x ＋3cos 2x －3sin 2x ＋sin x cos x ＝sin2x ＋3cos2x＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，该函数的最小正周期为T ＝2π2＝π. (3)y ＝2⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3的最小正周期是y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3的最小正周期的一半，即T ＝12×2π4＝π4.类型三三角函数的奇偶性(1)判断下列函数的奇偶性．(Ⅰ)f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2x cos (π＋x )； (Ⅱ)f (x )＝1＋sin x －cos x1＋sin x ＋cos x.解：(Ⅰ)f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2x cos (π＋x ) ＝(－sin2x )(－cos x ) ＝cos x sin2x .因为f (－x )＝cos(－x )sin2(－x )＝－cos x sin2x ＝－f (x )，x ∈R ，所以f (x )是奇函数．(Ⅱ)因为1＋sin x ＋cos x ＝2cos x2⎝⎛⎭⎫sin x 2＋cos x 2≠0，所以x ≠π＋2k π且x ≠－π2＋2k π，k ∈Z .所以f (x )的定义域不关于原点对称．故f (x )是非奇非偶函数．(2)已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋θ＋π3 ⎝⎛⎭⎫θ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2 是偶函数，则θ的值为( ) A ．0 B.π6 C.π4 D.π3解：因为函数f (x )为偶函数，所以θ＋π3＝k π＋π2(k ∈Z )．又因为θ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2，所以θ＋π3＝π2，解得θ＝π6，经检验符合题意．故选B . 【点拨】判断三角函数奇偶性时，必须先检查定义域是否是关于原点的对称区间，如果是，再验证f (－x )是否等于－f (x )或f (x )，进而判断函数的奇偶性；如果不是，则该函数必为非奇非偶函数．另外，对较复杂的解析式，可选择先化简再判断，也可直接用－x 取代x ，再化简判断，还可利用f (－x )±f (x )＝0是否成立来判断其奇偶性．(1)判断下列函数的奇偶性．(Ⅰ)f (x )＝2sin x －1； (Ⅱ)f (x )＝lg(sin x ＋1＋sin 2x )．解：(Ⅰ)因为2sin x －1≥0，所以sin x ≥12，即x ∈⎣⎡⎦⎤2k π＋π6，2k π＋5π6(k ∈Z )，此区间不关于原点对称．所以f (x )是非奇非偶函数． (Ⅱ)由题意知函数f (x )的定义域为R . f (－x )＝lg[sin(－x )＋1＋sin 2（－x ）]＝lg ()－sin x ＋1＋sin 2x ＝lg 11＋sin 2x ＋sin x＝－lg(1＋sin 2x ＋sin x )＝－f (x )．所以函数f (x )是奇函数．(2)(2015·哈尔滨模拟)若函数y ＝3cos(2x －π3＋φ)为奇函数，则|φ|的最小值为________．解：依题意得，－π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，φ＝k π＋5π6(k ∈Z )，因此|φ|的最小值是π6.故填π6.类型四三角函数的单调性(1)(2017·长沙模拟)函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π3，x∈[－2π，2π]的单调递增区间是( )A.⎣⎡⎦⎤－2π，－5π3B.⎣⎡⎦⎤－2π，－5π3和⎣⎡⎦⎤π3，2π C.⎣⎡⎦⎤－5π3，π3 D.⎣⎡⎦⎤π3，2π 解：令z ＝12x ＋π3，函数y ＝sin z 的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )，由2k π－π2≤12x ＋π3≤2k π＋π2得4k π－5π3≤x ≤4k π＋π3，而x ∈[－2π，2π]，故其单调递增区间是⎣⎡⎦⎤－5π3，π3.故选C .(2)(2017·洛阳模拟)已知ω＞0，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4 在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤12，54B.⎣⎡⎦⎤12，34 C.⎝⎛⎦⎤0，12 D ．(0，2] 解：由π2＜x ＜π得π2ω＋π4＜ωx ＋π4＜πω＋π4，由题意知⎝⎛⎭⎫π2ω＋π4，πω＋π4⊆⎣⎡⎦⎤π2，3π2，所以⎩⎨⎧π2ω＋π4≥π2，πω＋π4≤3π2，解得12≤ω≤54.故选A .【点拨】(1)求三角函数单调区间的两种方法：①求函数的单调区间应遵循简化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”；②求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω＞0)的单调区间时，要视“ωx ＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．若ω＜0，应先用诱导公式化x 的系数为正数，以防止把单调性弄错．(2)已知三角函数的单调区间求参数，先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解．(2016·衡阳模拟)设函数f (x )＝3sin ωx＋cos ωx ，ω∈(－3，0)，若f (x )的最小正周期为π，则f (x )的一个单调递减区间是( )A.⎝⎛⎭⎫－π2，0B.⎝⎛⎭⎫－π6，π3 C.⎝⎛⎭⎫π3，5π6 D.⎝⎛⎭⎫π2，π 解：f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6，f (x )的最小正周期T ＝2π|ω|＝π，又ω∈(－3，0)，所以ω＝－2，所以f (x )＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，令2k π－π2<2x －π6<2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π6<x <k π＋π3，k ∈Z ，当k ＝0时，可得f (x )的一个单调递减区间是⎝⎛⎭⎫－π6，π3.故选B . 类型五三角函数图象的对称性(1)(2017·全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝cos(x ＋π3)，则下列结论错误的是( ) A ．f (x )的一个周期为－2πB ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8π3对称C ．f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6D ．f (x )在⎝⎛⎭⎫π2，π单调递减解法一：(数形结合法)函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象可由y ＝cos x 向左平移π3个单位得到，如图可知，f (x )在⎝⎛⎭⎫π2，π上先递减后递增，D 选项错误．解法二：(排除法) 函数的最小正周期为T ＝2π1＝2π，则函数的周期为T ＝2k π(k ∈Z 且k ≠0)，取k ＝－1，可得函数f (x )的一个周期为－2π，选项A 正确；令x ＋π3＝k π(k ∈Z )，可得对称轴x ＝k π－π3(k ∈Z )，取k ＝3，可得函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8π3对称，则选项B 正确；f (x ＋π)＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋π＝－cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，代入x ＝π6得y ＝0，则选项C 正确；当x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π时，x ＋π3∈⎝⎛⎭⎫5π6，4π3，函数在该区间不单调，选项D 错误．故选D .(2)(2017·重庆适应性测试)若函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6－cos ωx (ω＞0)的图象相邻两个对称中心之间的距离为π2，则f (x )的一个单调递增区间为( )A.⎝⎛⎭⎫－π6，π3B.⎝⎛⎭⎫－π3，π6C.⎝⎛⎭⎫π6，2π3D.⎝⎛⎭⎫π3，5π6 解：依题意得f (x )＝32sin ωx －12cos ωx ＝sin(ωx －π6)的图象相邻两个对称中心之间的距离为π2，于是有T ＝2πω＝2×π2＝π，ω＝2，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. 当2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，即k π－π6≤x ≤k π＋π3，k ∈Z 时，f (x )单调递增．因此结合各选项知f (x )的一个单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－π6，π3.故选A . 【点拨】①解此类选择题最快捷的方式往往是代入验证法；②对于函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B ，如果求f (x )图象的对称轴，只需解方程sin(ωx ＋φ)＝±1，也就是令ωx ＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )求x ；如果求f (x )图象的对称中心，只需解方程sin(ωx ＋φ)＝0，也就是令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )求x ；③对于较复杂的三角函数表达式，有时可以通过恒等变换为②的情形，这一部分将在“4.6三角恒等变换”中涉及．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图象( )A ．关于点⎝⎛⎭⎫π3，0对称B ．关于直线x ＝π4对称 C ．关于点⎝⎛⎭⎫π4，0对称 D ．关于直线x ＝π3对称解：由T ＝π知ω＝2πT ＝2ππ＝2，所以函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 函数f (x )的对称轴满足2x ＋π3＝π2＋k π(k ∈Z )，解得x ＝π12＋k π2(k ∈Z )；函数f (x )的对称中心的横坐标满足2x ＋π3＝k π(k ∈Z )，解得x ＝－π6＋k π2(k ∈Z )．故选A.1．三角函数的定义域的求法三角函数的定义域是研究其他一切性质的前提，求三角函数的定义域事实上就是解最简单的三角不等式(组)．一般可用三角函数的图象或三角函数线来确定三角不等式的解．列三角不等式时，要考虑全面，避免遗漏，既要考虑分式的分母不能为零；偶次方根的被开方数不小于零；对数的真数大于零及底数大于零且不等于1，又要考虑三角函数本身的定义域(如正切函数)等．2．三角函数值域的求法求三角函数的值域常见的有以下几种类型： (1)形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋c 的三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，再求值域；(2)形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数，可先设sin x ＝t ，化为关于t 的二次函数求值域；(3)形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ±cos x ，化为关于t 的二次函数求值域．3．判断三角函数的奇偶性判断函数的奇偶性，应先判定函数定义域的对称性，注意偶函数的和、差、积、商仍为偶函数；复合函数在复合过程中，对每个函数而言，“同奇才奇、一偶则偶”．一般情况下，需先对函数式进行化简，再判断其奇偶性．4．求三角函数的周期(1)求三角函数的周期，通常应将函数式化为只有一个函数名，且角度唯一，最高次数为一次的形式，然后借助于常见三角函数的周期来求．(2)三角函数的最小正周期的求法有：①由定义出发去探求；②公式法：化成y ＝A sin(ωx ＋φ)，或y ＝A tan(ωx ＋φ)等类型后，用基本结论T ＝2π|ω|或T ＝π|ω|来确定；③根据图象来判断．5．三角函数的单调性(1)三角函数单调区间的确定，一般先将函数式化为基本三角函数标准式，然后通过同解变形或利用数形结合方法求解．关于复合函数的单调性的求法，参见“2.2函数的单调性与最大(小)值”．(2)利用三角函数的单调性比较两个同名三角函数值的大小，必须先看两角是否同属于这一函数的同一单调区间内，不属于的，可先化至同一单调区间内．若不是同名三角函数，则应考虑化为同名三角函数或用差值法(例如与0比较，与1比较等)求解．1．(2017·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的最小正周期为( )A ．4πB ．2πC ．π D.π2解：函数f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.故选C .2．(2016·山东)函数f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x )的最小正周期是( ) A.π2 B ．π C.3π2D ．2π 解：f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6×2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，故最小正周期T ＝2π2＝π.故选B .3．(2016·河北正定中学模拟)已知函数f (x )＝(1＋cos2x )sin 2x ，x ∈R ，则f (x )是( )A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为π2的奇函数D ．最小正周期为π2的偶函数解：f (x )＝(1＋cos2x )·1－cos2x 2＝1－cos 22x 2＝12sin 22x ＝1－cos4x4，因为f (－x )＝f (x )，所以f (x )是偶函数，周期为T ＝2π4＝π2.故选D .4．(湖北孝感七校教学联盟2017届高三期末)下列命题中正确的是( )A ．函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π]是奇函数B ．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π6－2x 在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π3上单调递减 C ．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x －cos ⎝⎛⎭⎫π6＋2x (x ∈R )的一条对称轴方程是x ＝π6D ．函数y ＝sin πx cos πx 的最小正周期为2，且它的最大值为1解：对于A 选项，由于定义域不关于原点对称，所以函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π]不是奇函数；对于B 选项，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π6－2x ＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的递减区间，即y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的递增区间，令－π2＋2k π≤2x －π6≤π2＋2k π，－π6＋k π≤x ≤π3＋k π，当k ＝0时，－π6≤x ≤π3，所以B 正确；对于C 项中函数， y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x －cos ⎝⎛⎭⎫π6＋2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π2－⎝⎛⎭⎫π6＋2x －cos ⎝⎛⎭⎫π6＋2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫π6＋2x ，x ＝π6时y ＝0≠±1，选项C 错误；对于选项D ，函数y ＝12sin2πx 的最小正周期为1，且它的最大值为12，选项D 错误．故选B .5．(2015·武汉模拟)同时具有性质“周期为π，图象关于直线x ＝π3对称，在⎣⎡⎦⎤－π6，π3上是增函数”的函数是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6B ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 C ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6 D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6 解：因为周期为π，所以ω＝2πT＝2，排除选项D ；图象关于直线x ＝π3对称，即函数在x ＝π3处取得最值，排除选项C ；又x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，π3，所以2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2，2x ＋π3∈[0，π]，易知函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6 在⎣⎡⎦⎤－π6，π3上为增函数，函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3在⎣⎡⎦⎤－π6，π3上为减函数．故选A .6．(广东韶关2017届调研)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0)的图象与直线y ＝b (0<b <2)的三个相邻交点的横坐标分别是π6，5π6，7π6，且函数f (x )在x ＝3π2处取得最小值，那么|φ|的最小值为( )A.3π2 B ．π C.π2 D.π3 解：已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0)的图象与直线y ＝b (0<b <2)的三个相邻交点的横坐标分别是π6，5π6，7π6，则函数的周期为π，ω＝2，又函数f (x )在x ＝3π2处取得最小值，则2×3π2＋φ＝2k π＋3π2，k ∈Z ，所以φ＝2k π－3π2，k ∈Z ，故|φ|的最小值为π2.故选C .7．(武汉市武昌区2017届高三调研)函数f (x )＝sin(π2＋2x )－5sin x 的最大值为________．解：f (x )＝cos2x －5sin x ＝－2sin 2x －5sin x ＋1，则f (x )＝－2⎝⎛⎭⎫sin x ＋542＋338，当sin x ＝－1时，f (x )的最大值是－2＋5＋1＝4.故填4.8．(2015·天津)已知函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx (ω＞0)，x ∈R .若函数f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝ω对称，则ω的值为________．解：由条件得f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4，因为函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝ω对称，所以f (ω)＝2sin ⎝⎛⎭⎫ω2＋π4＝±2，所以ω2＋π4＝π2＋k π，k ∈Z ，即ω2＝π4＋k π，k ∈Z ，又函数f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，所以ω2＋π4≤π2，即ω2≤π4，取k＝0，得ω2＝π4，所以ω＝π2.故填π2.9．(北京朝阳2017届期末)已知函数f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1.(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π4上的最大值和最小值．解：(1)因为f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1＝3sin2x ＋cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 所以f (x )的最小正周期为π.(2)因为－π6≤x ≤π4，所以－π6≤2x ＋π6≤2π3.当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )取得最大值2；当2x ＋π6＝－π6，即x ＝－π6时，f (x )取得最小值－1.10．(2016·天津)已知函数f (x )＝4tan x sin ⎝⎛⎭⎫π2－x cos ⎝⎛⎭⎫x －π3－ 3. (1)求f (x )的定义域与最小正周期；(2)讨论f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上的单调性．解：(1)f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠π2＋k π，k ∈Z ，f (x )＝4tan x cos x cos ⎝⎛⎭⎫x －π3－3 ＝4sin x cos ⎝⎛⎭⎫x －π3－3＝4sin x ⎝⎛⎭⎫12cos x ＋32sin x －3＝2sin x cos x ＋23sin 2x －3＝sin2x ＋3(1－cos2x )－3＝sin2x －3cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 所以，f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z .所以，当x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4时，f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π12，π4上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤－π4，－π12上单调递减． 11．函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6 的部分图象如图所示．(1)写出f (x )的最小正周期及图中x 0，y 0的值；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π2，－π12上的最大值和最小值．解：(1)f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π，x 0＝7π6，y 0＝3.(2)因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，－π12，所以2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－5π6，0，于是当2x ＋π6＝0，即x ＝－π12时，f (x )取得最大值0；当2x ＋π6＝－π2，即x ＝－π3时，f (x )取得最小值－3.(2016·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|≤π2)，x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )的图象的对称轴，且f (x )在⎝⎛⎭⎫π18，5π36上单调，则ω的最大值为( )A ．11B ．9C ．7D ．5解：由题意得 ⎩⎨⎧－π4ω＋φ＝k π，π4ω＋φ＝m π＋π2(k ，m ∈Z )，所以φ＝m ＋k 2π＋π4，ω＝1＋2(m －k )，又|φ|≤π2，所以φ＝π4或φ＝－π4.当φ＝π4时，ω＝1－4k ，若ω＝9，当x ∈⎝⎛⎭⎫π18，5π36时，9x ＋π4的范围为⎝⎛⎭⎫3π4，3π2，满足f (x )在⎝⎛⎭⎫π18，5π36上单调，当φ＝－π4时，ω＝－1－4k ，若ω＝11，当x ∈⎝⎛⎭⎫π18，5π36 时，11x －π4的范围为⎝⎛⎭⎫13π36，23π18，不满足π18，5π36上单调，所以ω的最大值为9.故选B.f(x)在⎝⎛⎭⎫2019年高考数学一轮复习第10 页共10 页。

第一章 1.3.1正弦函数的图象与性质(五)

(k∈Z) 得到
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1.3.1（五）
探究点一
本课时栏目开关
“五点法”作函数 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象
利用“五点法”作出函数 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)在一个周期上的图象，要经过“取值、列表、描点、连线”这四个步骤．请完成下面的填空. ωx＋φ x y 0 π 2 π 3 π 2 2π
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描点、连线，如图所示．
1.3.1（五）
本课时栏目开关
小结 “五点法”作图时，五点的确定，应先令 ωx＋φ 分别为 π 3π 0、2、π、 2 、2π，解出 x，从而确定这五点．
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π 跟踪训练 1 作出 y＝2.5sin2x＋4 的图象． π π 1 解令X＝2x＋，则x＝ X－4.列表： 4 2
φ － ω
0
φ π φ 3π φ 2π φ π －ω＋2ω －＋－＋ ω 2ω －ω＋ ω ω ω
A 0 －A 0
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1.3.1（五）
φ －，0 ω
本课时栏目开关
所以，描点时的五个关键点的坐标依次是， φ φ φ π π 3π －＋－＋，0 －＋，A ，－A ω 2ω ， ω ω ， ω 2ω ， φ 2π －＋，0 ω ω . φ T φ 2π －＋－若设 T＝ ω ，则这五个关键点的横坐标依次为 ω ， ω 4 ， φ 3 φ φ T －＋ T －ω＋T －ω＋2 ， ω 4 ， .
T 7π π π 解析由图象知4＝12－3＝4，∴T＝π，ω＝2. 7π π 且 2×12＋φ＝kπ＋π(k∈Z)，φ＝kπ－6(k∈Z)． π π 又|φ|< ，∴φ＝－ . 2 6

高中数学第一章三角函数1.3三角函数的图象和性质1.3.3函数y=Asin(ωx+φ)的图象课件苏教

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中的第三点和第五点)，有
π3ω＋φ＝π，
ω＝2.
56πω＋φ＝2π，解得φ＝π3.
∴y＝3sin(2x＋π3)．
法三：(图象变换法)
由 T＝π，点(－π6，0)，A＝3 可知图象由 y＝3sin 2x 向左
平移π6个单位长度而得，所以有 y＝3sin 2(x＋π6)，
即 y＝3sin(2x＋π3)，且 ω＝2，φ＝π3.
2
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2．(2014·高考江苏卷)已知函数 y＝cos x 与 y＝sin(2x＋ φ)(0≤φ<π)，它们的图象有一个横坐标为π3的交点，则 φ 的
π 值是____6____．解析：利用函数 y＝cos x 与 y＝sin(2x＋φ)(0≤φ<π)的交点横坐标，列方程求解．
由题意，得 sin2×π3＋φ＝cos π3,因为 0≤φ<π，所以 φ＝π6.
2.已知函数 y＝Asin(ωx＋φ)，ω>0，且|φ|<π2的图象的一段如图所示，求此函数的解析式．
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解：由图易知 A＝ 2，T2＝|10－2|＝8，所以 T＝16. 又因为 T＝|2ωπ|，ω>0，所以 ω＝π8. 因为点(2， 2)在图象上，所以 y＝ 2sin(π8×2＋φ)＝ 2，所以 sin(π4＋φ)＝1，所以π4＋φ＝2kπ＋π2(k∈Z)，又|φ|<π2，所以 φ＝π4，所以 y＝ 2sin(π8x＋π4)．
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法二：①把 y＝sin x 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)，得到 y＝sin12x 的图象； ②把 y＝sin12x 图象上所有的点向右平移π2个单位长度，得到 y＝sin12(x－π2)＝sin(12x－π4)的图象； ③把 y＝sin(12x－π4)的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的 3 倍(横坐标不变)，就得到 y＝3sin(12x－π4)的图象．

原创1：1.3.1 正弦函数的图象与性质

y
1
y
O

2
π

2
2π
1
2
x
-1
[0,
3
]
5
[
,2 ]
3
拓展提升：题型二：
1
根据余弦函数图象写出使不等式cosx＞
x∈[0，2π]
2
成立的x的取值集合
1
分析：先观察y cos x ( x 0,2 )的图象与直线y ,
2
再找出交点的坐标,由图象写得不等式的解集.
2 1
(
, )
课堂练习
与y cos x图象相同的是(
D)
A. y cos x，x R B. y sin( x)
3
3
C. y sin( x) D. y sin( x)
2
2

归纳小结
1. 正弦曲线、余弦曲线特点
2.注意与诱导公式、三角函数线等知识的联系
思考2：用描点法作正弦函数y=sinx在[0，2π]内的图象，
可取哪些点？
思考3：如何在直角坐标系中比较精确地描出这些点，并
画出y=sinx在[0，2π]内的图象？
探究点1
正弦函数图像
y
y sin x, x[0, 2
1
π
2π
x
O
2
-1
3
2
探究点2
观察函数y=sinx在[0，2π]内的图象，其形状、位置、
sin(
sin(
2
2
y=sinx

2

2
O
-1
π
2π x
x)
x )在[0，2π]内

高中数学 1.3 三角函数的图象和性质教材梳理素材苏教版必修4

高中数学 1.3 三角函数的图象和性质教材梳理素材苏教版必修4知识·巧学1.三角函数的周期性 (1)周期函数定义对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期. 由诱导公式可知，正弦函数和余弦函数都是周期函数，每一个非零常数2kπ(k∈Z ,k≠0)都是它们的周期.深化升化周期函数x∈定义域M ，则必有x+T∈M,且若T ＞0则定义域无上界；T ＜0则定义域无下界，且如果一个函数是周期函数，它的周期T 往往是多值的(如y=sinx,2π,4π,…,-2π,-4π,…都是周期).对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做f(x)的最小正周期.例如，2π是正、余弦函数所有周期中的最小正数，则2π是正弦函数和余弦函数的最小正周期.但应注意并不是所有的周期函数都存在最小正周期.如函数f(x)=1，对于任意实数T 都有f(x+T)=f(x)=1，所以只要T 是非零常数，则T 就是函数f(x)=1的周期，而在实数中并不存在最小的正数，则函数f(x)=1不存在最小正周期.联想发散由正切线可知，正切函数也是周期函数，它的每一个周期为非零常数kπ(k∈Z ,k≠0)，它的最小正周期为π.(2)函数y=Asin(ωx+φ)及函数y=Acos(ωx+φ)(其中A 、ω、φ是常数，且A≠0,ω＞0)的最小正周期. 一般地，函数y=Asin(ωx+φ)及函数y=Acos(ωx+φ)(其中A 、ω、φ是常数，且A≠0,ω＞0)的最小正周期T=ωπ2.误区警示公式T=ωπ2求周期只适用于函数y=Asin(ωx+φ)及函数y=Acos(ωx+φ)的周期且应具有条件“ω＞0”，比如要求y=3sin(-2x+1)的最小正周期,若利用公式T=ωπ2，所求的最小正周期为T=22-π=-π，结论是错误的.其正确结果应为T=||2ωπ=|2|2-π=π.因此，在求y=Asin(ωx+φ)及函数y=Acos(ωx+φ)的周期时还应注意具体问题具体分析，即应注意题目中所给的条件是否有条件“ω＞0”，若有，则它们的最小正周期为T=ωπ2，否则它们的最小正周期为T=||2ωπ. 联想发散函数y=Atan(ωx+φ)及函数y=Acot(ωx+φ)(其中A 、ω、φ是常数，且A≠0,ω＞0)的最小正周期为T=ωπ. 2.三角函数的图象和性质 (1)正弦函数的图象对于一类函数，我们主要研究它们的性质，而在三角函数中，正、余弦函数的性质是重点.为了更加直观地研究三角函数的性质，可以先作出它们的图象.由于余弦函数y=cosx=sin(x+2π)，则余弦函数的图象与正弦函数的图象的形状相同，它可由正弦函数的图象经过平移得到，则只要画出正弦函数的图象，就可以得到余弦函数的图象.由上述内容可知，正弦函数y=sinx 是以2π为最小正周期的周期函数，则只要画出y=sinx 在区间［0,2π］上的图象，就可以得到整个图象，而y=sinx 在区间［0,2π］上的图象可由单位圆中的有向线段得到.画y=sinx 在区间［0,2π］上的图象的思路如下：①先作单位圆，把⊙O 1十二等分(当然分得越细，图象越精确)； ②十二等分后得对应于0,6π,3π,2π,…,2π等角，并作出相应的正弦线； ③将x 轴上从0到2π一段分成12等份(2π≈6.28)，若变动比例，今后图象将相应“变形”； ④取点，平移正弦线，使起点与轴上的点重合； ⑤描图(连结)得y=sinx,x∈［0,2π］. 其具体步骤如下：在直角坐标系的x 轴上任意取一点O 1，以O 1为圆心作单位圆，从⊙O 1与x 轴的交点起把⊙O 1分成12等份(份数宜取6的倍数，份数越多，图象越精确).过⊙O 1上各分点作x 轴的垂线，可以得到对应于0,6π,3π,2π,…,2π等角的正弦线(如图1-3-2，有向线段O 1B 对应于2π角的正弦线)，相应地，再将x 轴从0到2π分为12等份(如图1-3-2，从原点起向右的第四个点就是对应于2π角的点).把角x 的正弦线向右平移，使它的起点与x 轴上的点x 重合(如图1-3-2，把正弦线O 1B 向右平移，使点O 1与x 轴上的点2π重合).再用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来，就得到了y=sinx ，x∈［0,2π］的图象(如图1-3-2).图1-3-2由终边相同的三角函数性质知y=sinx,x∈［2kπ,2(k+1)π］,k∈Z ,k≠0的图象，与函数y=sinx ，x∈［0,2π］图象形状相同，只是位置不同——每次向左(右)平移2π单位长就得到正弦函数y=sinx,x∈R 的图象，正弦函数的图象叫做正弦曲线(如图1-3-3).图1-3-3上面是借助正弦线描点来作出正弦曲线，此外，也可以通过列表描点来作出正弦曲线.由上面的图1不难发现，函数y=sinx ，x∈［0,2π］的图象上起关键作用的点有五个：(0,0),(2π,1),(π,0),(23π,-1),(2π,0).事实上，描出五点后，函数y=sinx ，x∈［0,2π］的图象形状就基本确定了.此种画法称为“五点(画图)法”.这种画法的优点是方便，缺点是精确度不高，熟练后且在精确度要求不高的情况下才可以用此种方法画正弦函数的图象.作三角函数的图象时，自变量要用弧度制，这样自变量与函数值均为实数，x 、y 轴的单位就可以统一了，作图时不要以比较习惯的角度制作为自变量的单位，这一点应引起注意. 联想发散利用五点法作正弦函数的图象时，这五个点的选择与函数自变量的取值范围有关，一般地，当自变的取值范围是［0,2π］时，这五个点取(0,0),(2π,1),(π,0),(23π,-1),(2π,0)；当自变量的取值范围为［-2π,23π］时，这五个点取(-2π,0),(0,0),(2π,1),(π,0),(23π,-1).总之，这五个点的横坐标都使正弦函数值取得最大值、最小值和零值.(2)余弦函数的图象由上面内容可知余弦函数与正弦有如下关系： y=cosx=2sin(x+2π), 所以，只要将正弦函数的图象向左平移2π个单位就可得到余弦函数的图象.余弦函数的图象叫做余弦曲线(如图1-3-4).图1-3-4辨析比较正弦曲线和余弦曲线的共同点：都是波浪状曲线，且都夹在直线y=1和y=-1之间，既是中心对称图形又是轴对称图形.它们的不同点：正弦曲线的对称中心为(kπ,0),k∈Z ，对称轴方程为x=kπ+2π,k∈Z ，而余弦曲线的对称中心为(kπ+2π,0)，k∈Z ,对称轴方程为x=kπ,k∈Z .(3)正弦函数、余弦函数的性质由正弦函数和余弦函数的图象，可得正弦函数、余弦函数的性质如下： ①定义域正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R . ②值域由正弦曲线、余弦曲线可以发现： -1≤sinx≤1，-1≤cosx≤1,即｜sinx ｜≤1,｜cosx ｜≤1〔我们把满足条件｜f(x)｜≤M 的函数f(x)称为有界函数〕.而且sinx,cosx 都可以取［-1，1］中的一切值，所以正弦函数和余弦函数的值域都是［-1，1］.由正弦函数图象的画法过程可知，角2π的正弦线最长，它等于单位圆的半径为1，所以，当x=2π正弦函数取最大值为1，又角2kπ+2π(k∈Z )与角2π的终边相同，则角2kπ+2π(k∈Z )的正弦值也是1，所以正弦函数当且仅当x=2kπ+2π(k∈Z )时取得最大值1.同理，当且仅当x=2kπ-2π(k∈Z )时取得最小值-1.而由单位圆中的有向线段可知当x=0时，余弦函数取最大值为1，又角x=2kπ(k∈Z )与角0的终边相同，所以余弦函数当且仅当x=2kπ(k∈Z )时取最大值 1.同理,当且仅当x=2kπ+π(k∈Z )时取最小值-1. ③周期性由诱导公式一可知，正弦函数和余弦函数都是周期函数，2kπ(k∈Z ,k≠0)都是它们的周期，它们的最小正周期为2π.正、余弦函数的周期性也可以通过它们的图象体现出来，它们的图象都是由在［0,2π］上的图象向左或向右平移2π的整数倍个单位得到的. ④奇偶性对于正弦函数y=sinx,x∈R ，其图象任意一点(x ，y)即(x,sinx)关于原点的对称点是(-x,-y)即(-x,-sinx)，又由诱导公式sin(-x)=-sinx 可知，这个对称点就是(-x,sin(-x))，它也在正弦函数的图象上.这就是说将正弦曲线绕原点旋转180°后，曲线与原来的曲线重合，所以正弦函数是奇函数，正弦曲线关于原点对称.对于余弦函数y=cosx,x∈R ，其图象任意一点(x ，y)即(x,cosx)关于y 轴的对称点是(-x,y)即(-x,cosx)，又由诱导公式cos(-x)=cosx 可知，这个对称点就是(-x,cos(-x))，它也在余弦函数的图象上.这说明，将余弦函数沿y 轴折叠，y 轴两旁的部分能够互相重合，所以，余弦函数是偶函数，余弦曲线关于y 轴对称. ⑤单调性由正弦曲线可以看出，当x 由-2π增大到2π时，曲线逐渐上升，sinx 的值由-1增大到1；当x 由2π增大到23π时，曲线逐渐下降，sinx 的值由1减小到-1，由正弦函数的周期性可知：正弦函数在每一个闭区间［-2π+2kπ,2π+2kπ］(k∈Z )上都是增函数，其值从-1增大到1；在每一个闭区间［2π+2kπ,23π+2kπ］(k∈Z )上都是减函数，其值从1减小到-1.所以，每一个闭区间［-2π+2kπ,2π+2kπ］(k∈R )是正弦函数的增区间，每一个闭区间［2π+2kπ,23π+2kπ］(k∈Z )是正弦函数的减区间.误区警示正弦函数在第一象限是增函数这种说法是错误的，这是因为第一象限中终边相同的角的正弦值是相等的，而终边相同的角具有大小关系，所以这并不满足单调性的定义.正确的说法是：正弦函数在每一个区间(2kπ,2π+2kπ)(k∈Z )上是增函数. 类似地，由余弦曲线可以看出，当x 由0增大到π时，曲线逐渐下降，cosx 的值由1减小到-1；当x 由π增大到2π时，曲线逐渐上升，cosx 的值由-1增大到1，由余弦函数的周期性可知：余弦函数在每一个闭区间［2kπ,π+2kπ］(k∈Z )上都是减函数，其值从1减小到-1；在每一个闭区间［π+2kπ,2π+2kπ］(k∈Z )上都是增函数，其值从-1增大到1.所以，每一个闭区间［2kπ,π+2kπ］(k∈Z )是余弦函数的减区间，每一个闭区间［π+2kπ,2π+2kπ］(k∈Z )是余弦函数的增区间.利用正、余弦函数的单调性，可以比较三角函数的大小，可以求三角函数的单调区间，还可以借助三角函数的图象解简单的三角不等式.辨析比较函数的奇偶性是相对于函数的定义域来说的，而函数的单调性是相对于函数定义域内某个区间来说，从这个意义上说，函数的单调性是函数的“局部”性质，而奇偶性是函数的“整体”性质.深化升华奇函数在关于原点对称的两个区间上具有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的两个区间上单调性相反.记忆要诀对于正、余弦函数的性质，要结合它们的图象进行记忆. (4)正切函数的图象同正弦函数的图象的画法相同，画正切函数的图象也利用单位圆的有向线段.画它的图象可分以下几步进行： ①首先考虑定义域：不论是研究函数的性质还是画函数的图象都应首先考虑它的定义域，由正切函数的定义可知，正切函数的定义域为{x|x≠kπ+2π(k∈Z )}. ②为了研究方便，再考虑一下它的周期： ∵tan(x+π)=)cos()sin(ππ++x x =x x cos sin --=tanx(x∈R ,且x≠kπ+2π,k∈Z )，∴y=tanx(x∈R ,且x≠kπ+2π,k∈Z )的周期为T=π(最小正周期). ③选择(-2π,2π)的区间作出它的图象(如图1-3-5).图1-3-5根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，得到正切函数y=tanx,x∈R ，且x≠2π+kπ(k∈Z )的图象，并把它称为正切曲线(如图1-3-6).图1-3-6正切曲线是被互相平行的直线x=kπ+2π,k∈Z 所隔开的无穷多支曲线组成的，且正切曲线是中心对称图形，它的对称中心为(2πk ,0)，其中k∈Z .深化升化正切函数的定义域是{x|x≠kπ+2π(k∈Z )}，所以正切曲线被x=±2π，±23π23π，…等与y 轴平行的直线隔开，且这些直线成为正切曲线的渐近线，在每两条这样的相邻直线之间，曲线是连续变化的，并且从左向右看是上升的.辨析比较作正弦函数的图象可以利用“五点法”作图.而作正切函数的图象可用“三点两线法”，“三点”即为(kπ,0)，(kπ+4π,1)，(kπ-4π,-1)，其中k∈Z ，“两线”指的是直线x=kπ±2π,k∈Z . (5)正切函数的性质由正切函数的图象可以得到正切函数的主要性质如下： ①定义域由正切函数的定义不难得出正切函数的定义域为{x ｜x∈R 且x≠2π+kπ,k∈Z }. ②值域由图象可观察到：当x 从小于kπ+2π(k∈Z )趋向于kπ+2π时，tanx 趋于+∞. 当x 从大于kπ+2π(k∈Z )趋向于kπ+2π时，tanx 趋于-∞.所以，正切函数的值域为实数集R .③周期性由正切函数的图象可知，正切函数是以π为周期的周期函数.此外，正切函数的周期性也可由诱导公式得出. ④奇偶性由诱导公式可得tan(-x)=-tanx ，所以正切函数是奇函数，它的图象关于原点对称. ⑤单调性由正函数的图象可知在每一个开区间(-2π+kπ,2π+kπ),k∈Z 内都是增函数,即每一个开区间(-2π+kπ,2π+kπ),k∈Z 都是正切函数的单调增区间. 利用正切函数的单调性可以解决以下问题:①比较不同角的三角函数值的大小；②求三角函数的单调区间；③解三角不等式. 记忆要诀充分利用正切函数的图象来掌握正切函数的性质.误区警示虽然正切函数在每一个开区间(-2π+kπ,2π+kπ),k∈Z 内都是增函数.但正切函数在它的定义域内是增函数是错误的，比如3π和45π都在正切函数的定义域内，且3π＜45π，但tan 3π＞tan 45π，与单调增函数的定义不符.所以，不能说正切函数在其定义域内是增函数.辨析比较正切函数y=tanx,x≠kπ+2π,k∈Z 的定义域不是R ，又正切函数与正、余弦函数的对应法则不同，因此一些性质与正、余弦函数的性质有较大的差别.如正、余弦函数是有界函数，而正切函数则是无界函数；正、余弦函数是连续曲线，反映在图象是连续无间断点的，而正切函数在R 上不连续，它有无数条渐近线，它的图象被这些渐近线分割开来；正、余弦函数既有单调增区间又有单调减区间，而正切函数只有单调增区间.它们也有大量的共同性质.比如它们都是周期函数，它们的图象都是中心对称图形等. 3.函数y=Asin(ωx+φ)的图象 (1)A 、ω、φ的物理意义当函数y=Asin(ωx+φ)，x∈［0,+∞)(其中A ＞0，ω＞0)表示一个振动量时，A 就表示这个量振动时离开平衡位置的最大距离，通常称为这个振动的振幅；往复一次所需要的时间T=ωπ2，称为这个振动的周期；单位时间内往复振动的次数f=T1，称为振动的频率；ωx+φ称为相位；当x=0时，相位φ称为初相. (2)函数y=sin(x+φ)和y=sinx 的图象的关系在前面内容的学习过程中我们研究过函数y=2x 和函数y=2x+a图象之间的关系，我们知道函数y=2x+a 的图象是由函数y=2x左右平移得到的.那么函数y=sin(x+φ)和y=sinx 的图象的关系又是怎样的呢？下面就以实例来说明. 画出函数y=sin(x+3π)(x∈R )；y=sin(x-4π)(x∈R )的简图. 画上面两个函数的简图同画正弦函数的简图相同，可以利用五点作图.其步骤如下：作图：由图1-3-7不难发现，函数y=sin(x+3π)的图象是由函数y=sinx 的图象向左平移了3π个单位得到的；函数y=sin(x-4π)的图象是由函数y=sinx 的图象向右平移了4π个单位得到的.图1-3-7由此我们可以得到一般结论如下：一般地，函数y=sin(x+φ)的图象可以看作将函数y=sinx 的图象上所有的点向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平移|φ|个单位长度而得到的.深化升华在利用五点法作函数y=sin(x+φ)的图象时，需要将x+φ看成一个整体，使x+φ分别取0、2π、π、23π、2π，解出相应的x ，然后描点，连线即可.联想发散函数y=f(x+a)的图象，可以看作是把y=f(x)图象向左(a ＞0)或向右(a ＜0)平移｜a ｜个单位得到的.记忆要诀对于左右的平移，可简记为“加左减右”,即当自变量x 加上一个正数向左平移，减去一个正数向右平移.(3)函数y=Asinx 和y=sinx 的图象间的关系画出函数y=2sinx,x∈R ；y=21sinx,x∈R 的图象(简图). 由于这两个函数的周期T=2π，所以不妨在［0,2π］上作它们的简图，方法还是利用五点法.步骤如下：列表：x 0 2π π 23π 2π sinx 0 1 0 -1 0 2sinx0 20 -2 0 21sinx 021 0-21 0由图1-3-8可以看出，函数y=2sinx 的图象上横坐标为t 的点的纵坐标等于函数y=sinx的图象上横坐标为t 的点的纵坐标的2倍；而函数y=21sinx 的图象上横坐标为t 的点的纵坐标等于函数y=sinx 的图象上横坐标为t 的点的纵坐标的21倍.所以，函数y=2sinx 的图象可以看作函数y=sinx 的图象上所有点的纵坐标变为原来的2倍(横坐标不变)而得到的；而函数y=21sinx 的图象可以看作函数y=sinx 的图象上所有点的纵坐标变为原来的21倍(横坐标不变)而得到的.图1-3-8由此可得一般结论如下：一般地，函数y=Asinx(A ＞0且A≠1)的图象，可以看作将函数y=sinx 的图象上所有点的纵坐标变为原来的A 倍(横坐标不变)而得到的.此外，由上面的图象还不难发现，函数y=Asinx(A ＞0且A≠1)的值域［-A,A ］，最大值是A ，最小值是-A.它是一个周期函数，周期T=2π.它也是一个奇函数，图象关于原点对称.在每一个闭区间［-2π+2kπ,2π+2kπ］(k∈Z )上都是增函数，其值从-A 增大到A ；在每一个闭区间［2π+2kπ,23π+2kπ］(k∈Z )上都是减函数，其值从A 减小到-A.所以，每一个闭区间［-2π+2kπ,2π+2kπ］(k∈Z )是它的增区间，每一个闭区间［2π+2kπ,23π+2kπ］(k∈Z )是它的减区间.若A ＜0,可先作y=-Asinx 的图象，再以x 轴为对称轴翻折即可. 联想发散函数y=Af(x)(A ＞0,A≠1)的图象，可以看作是把y=f(x)图象上点的纵坐标伸长(A ＞1)或缩短(0＜A ＜1)到原来的A 倍(横坐标不变)而得到的. (4)函数y=sinωx 和函数y=sinx 的图象的关系画出函数y=sin2x,x∈R ；y=sin21x,x∈R 的图象(简图). 函数y=sin2x 的周期T=π，∴在［0,π］上利用五点法作其简图. 令X=2x,则x=2X,从而sinX=sin2x. X=2x 0 2π π23π 2π x 0 4π 2π 43π π sin2x 01-1函数y=sin 2的周期T=4π，∴在［0,4π］上利用五点法作其简图. 列表：X=2x 0 2π π 23π 2π x0 π 2π 3π 4π sin2x 01-1由图1-3-9可以看出，函数y=sin2x 的图象上横坐标为2t的点的纵坐标等于函数y=sinx 的图象上横坐标为t 的点的纵坐标；而函数y=21sinx 的图象上横坐标为2t 的点的纵坐标等于函数y=sinx 的图象上横坐标为t 的点的纵坐标.所以，函数y=2sinx 的图象可以看作函数y=sinx 的图象上所有点的横坐标变为原来的21倍(纵坐标不变)而得到的；而函数y=21sinx 的图象可以看作函数y=sinx 的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)而得到的.图1-3-9由此我们可以得到一般结论如下：函数y=sinωx,x∈R (ω＞0且ω≠1)的图象，可看作将函数y=sinx 的图象上所有点的横坐标变为原来的ω1倍(纵坐标不变)而得到的. 此外，由上图我们还不难发现，函数y=sinωx,x∈R (ω＞0且ω≠1)具有以下性质： ①值域为［-1，1］； ②它是一个周期函数，周期T=ωπ2；③它是一个奇函数,图象关于原点对称；④在每一个闭区间［-ωπ2+ωπk 2,ωπ2+ωπk 2］(k∈Z )上都是增函数，其值从-1增大到1；在每一个闭区间［ωπ2+ωπk 2,ωπ23+ωπk 2］(k∈Z )上都是减函数，其值从1减小到-1.所以，每一个闭区间［-ωπ2+ωπk 2,ωπ2+ωπk 2］(k∈Z )是它的增区间，每一个闭区间［ωπ2+ωπk 2,ωπ23+ωπk 2］(k∈Z )是它的减区间. 若ω＜0,则可用诱导公式将符号“提出”再作图.联想发散函数y=f(ωx)(ω＞0,ω≠1)的图象，可以看作是把y=f(x)图象上点的横坐标缩短(ω＞1)或伸长(0＜ω＜1)到原来的ω1倍(纵坐标不变)而得到的.(5)函数y=sinωx 和y=sin(ωx+φ)(ω＞0,φ≠0)的图象的关系. 画出函数y=sin(2x+3π)(x∈R )的简图. 列表：2x+3π 0 2π π23π 2πx -6π 12π 3π 127π 65π sin(2x+3π) 01-1作图：由图1-3-10可知，函数y=sin(2x+3π)的图象是由函数y=sin2x 的图象上所有的点向左平移6π个单位而得到的.类似地，将函数y=sin2x 的图象上所有的点向右平移6π个单位就可以得到函数y=sin(2x-3π)的图象.图1-3-10一般地，函数y=sin(ωx+φ)(ω＞0,φ≠0)的图象，可以看作将函数y=sinωx 的图象上所有的点向左(φ＞0时)或向右(φ＜0时)平移｜ωϕ｜个单位而得到的. 联想发散函数y=f(ax+b)(a ＞0,a≠1)的图象是由函数y=f(ax)的图象向左(b ＞0)或向右(b ＜0)平移｜ab｜个单位得到的. (6)函数y=sinx 和y=Asin(ωx+φ)(A＞0,ω＞0)的图象的关系一般地，函数y=Asin(ωx+φ)(其中A ＞0，ω＞0)，x∈R 的图象，可以看作是用下面的方法而得到的：先把正弦曲线上所有的点向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平行移动|φ|个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短(ω＞1)或伸长(0＜ω＜1)到原来的ω1倍(纵坐标不变)，再把所得各点的纵坐标伸长(A ＞1)或缩短(0＜A ＜1)到原来的A 倍(横坐标不变).此外，y=Asin(ωx+φ)(其中A ＞0，ω＞0),x∈R 的图象也可通过下面的方法而得到：先把正弦曲线上所有点的横坐标缩短(ω＞1)或伸长(0＜ω＜1)到原来的ω1倍(纵坐标不变)，再把所得各点向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平移ωϕ||个单位长度，再把所得各点的纵坐标伸长(A ＞1)或缩短(0＜A ＜1)到原来的A 倍(横坐标不变). 其示意图如下：误区警示横坐标的伸缩变换，实际是变换自变量x 的系数，与自变量x 后的常数无关，如将函数y=sin(x+1)图象上所有点的横坐标缩短为原来的一半(纵坐标不变)所得图象对应的解析式应为y=sin(2x+1)而不是y=sin2(x+1). 4.三角函数的应用三角函数能够模拟许多周期现象，如果某种变化着的现象具有周期性，那么它就可以借助三角函数来描述.三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，可以用来研究许多问题，在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用.具体的，我们可以利用搜集到的数据，作出相应的“散点图”.通过观察散点图并进行函数拟合而获得具体的函数模型，最后利用这个函数模型来解决实际问题.实际问题通常涉及复杂的数据，因此往往需要使用计算机或计算器.解答应用题的关键在于审题上，而要准确理解题意必须过好三关：事理关，通过阅读、理解，明白问题讲的是什么，熟悉实际背景，为解题打开突破口；文理关，将实际问题的文字语言转化为数学的符号语言，用数学式子表达数学关系.数理关，在构建数学模型的过程中，对已有数学知识进行检索，从而认定或构建相应的数学模型完成由实际问题向数学问题的转化. 典题·热题知识点1 三角函数的周期例1 求下列三角函数的周期： (1)y=sin(x+3π)；(2)y=3sin(2x +5π).思路分析：利用函数的定义及函数周期性. 解：(1)令z=x+3π,而sin(2π+z)=sinz. 即f(2π+z)=f(z). 所以有f ［(2π+x+3π］=f(x+3π). ∴周期T=2π. (2)令z=2x +5π，则有 f(x)=3sinz=3sin(z+2π)=3sin(2x +5π+2π)=3sin(24π+x +5π)=f(x+4π). ∴T=4π.方法归纳求函数的最小正周期或证明一个函数是周期函数通常利用周期函数的定义，即利用式子f(x+T)=f(x)，此式子的意思是：将函数解析式中的自变量x 用x+T 替代后，函数的解析式不变.例2 (1)设f(x)是定义在R 上的函数，其最小正周期为23π,若f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧<≤<≤-,0,sin ,02,cos ππx x x x 求f(-415π)的值. (2)已知函数f(x)的最小正周期为2的奇函数，当x∈(0,1)时，f(x)=2x，求f(23log 21)的值.思路分析：对于(1)由于T=23π，则有f(x+23π)=f(x)，多次利用周期函数定义进行化简，即获得结果.对于(2)可利用f(x+2)=f(x)及f(-x)=-f(x)，将23log 21转化到开区间(0，1)上，再利用f(x)=2x求值. 解：(1)由于T=23π，则k·T=k·23π(k∈Z ,k≠0)都是函数的周期. 所以f(-415π)=f ［(-3)×23π+43π］=f(43π)=sin 43π=sin 4π=22.(2)∵24＜23＜25,∴4＜log 223＜5,则0＜log 223-4＜1. 又∵2为f(x)的周期, ∴2k(k∈Z )也是f(x)的周期.∴f(23log 21)=f(-log 223)=-f(log 223)=-f(log 223-4)=423log 22--=23log 22-·2-4=-1623. 方法归纳若T 为一个函数的最小正周期，则kT(k 为非零整数)也是函数的周期.深化升华周期性不是三角函数的专有性质，只要一个函数的性质满足周期函数的定义，则它就是一个周期函数.如：y=(x-2k)2,x∈［2k-1,2k+1］.(k∈Z )就是一个以2为最小正周期的周期函数.知识点2 三角函数的图象与性质例3 画出下列函数的简图:(1)y=1+sinx,x∈［0,2π］;(2)y=-cosx,x∈［0,2π］. 思路分析：利用五点法作出它们的图象. 解：(1)按五个关键点列表：利用正弦函数的性质描点画图(如图1-3-11):图1-3-11(2)按五个关键点列表：x 0 2π π 23π 2π cosx 1 0 -1 0 1 -cosx-11-1利用余弦函数的性质描点画图(如图1-3-12):图1-3-12方法归纳利用五点法作正、余弦函数图角的关键是找出五个关键的点，一般地，对于正弦函数应取一个最大值点和一个最小值点及三个与x 轴的交点；对于余弦函数应取两个最大值点、一个最小值点及两个与x 轴的交点. 例4 求使下列函数取最大值的x 的集合: (1)y=1-cos2x,x∈R ；(2)y=2sin(2x+3π),x∈R . 思路分析：应用正、余弦函数的性质.解题时(1)中将2x 看成一个整体；(2)中将2x+3π看成一个整体.解：(1)若函数y=1-cos2x ，x∈R 取最大值,则函数y=cos2x,x∈R 取最小值，令z=2x ，由于x∈R ，则z∈R ，且使函数y=cosz,z∈R 取得最小值的z 的集合是{z ｜z=π+2kπ,k∈Z }. 由2x=π+2kπ,k∈Z ,得x=2π+kπ,k∈Z . 这就是说使函数y=1-cos2x,x∈R 取最大值的x 的集合是{x ｜x=2π+kπ,k∈Z }. (2)令z=2x+3π,由于x∈R ,则z∈R ,且使函数y=sinz ,z∈R 取得最大值的z 的集合是{z ｜z=2π+2kπ,k∈Z }. 由2x+3π=2π+2kπ,k∈Z ,得x=12π+kπ,k∈Z .这就是说使函数y=2sin(2x+3π),x∈R 取最大值的x 的集合是{x ｜x=12π+kπ,k∈Z }.深化升华函数y=Asin(ωx+φ)+b(A＞0)的最大值为A+b ，最小值为-A+b ，取最大值时ωx+φ=2kπ+2π(k∈Z )，取最小值时ωx+φ=2kπ-2π(k∈Z )；函数y=Acos(ωx+φ)+b(A ＞0)的最大值为A+b ，最小值为-A+b ，取最大值时ωx+φ=2kπ(k∈Z )，取最小值时ωx+φ=2kπ+π(k∈Z ).例5 不求值，该如何判断下列各式的符号？(1)sin500°-sin134°；(2)cos(447π-)-cos(944π-)； (3)tan138°-tan143°；(4)tan(413π-)-tan(517π-).思路分析：应用三角函数的单调性，解题时首先利用诱导公式将角化到各三角函数的同一个单调区间内，再利用单调性比较大小，从而得出差与0的大小关系.解：(1)由于sin500°=sin140°，又90°＜134°＜140°＜180°，由正弦函数的性质,可知在90°—180°范围内，正弦值随自变量的增大而减小，所以sin500°＜sin134°，从而sin500°-sin134°＜0.(2)由于cos(447π-)=cos 4π,cos(944π-)=cos 98π. 又0＜4π＜98π＜π，由于［0,π］是余弦函数的单调减区间，则有cos(447π-)＞cos(944π-).从而cos(447π-)-cos(944π-)＞0.(3)由于tan138°-tan143°=tan(180°-42°)-tan(180°-37°)=tan37°-tan42°.又37°角的终边和42°角的终边都在第二象限，根据正切函数的单调性,可知tan37°＜tan42°.所以，tan37°-tan42°＜0，即tan138°-tan143°＜0. (2)由于tan(413π-)-tan(517π-)=tan 517π-tan 413π=tan(3π+52π)-tan(3π+4π)=tan 52π-tan 4π, 由于0＜4π＜52π＜2π，根据正切函数的单调性,可知tan 52π＞tan 4π.所以tan 52π-tan 4π＞0，即tan(413π-)-tan(517π-)＞0.方法归纳在比较几个角同名三角函值的大小时，一定要注意将这些角利用诱导公式转化到同一个单调区间内，再进行比较.在比较的过程中也要注意不等式基本性质的应用. 例6 写出下列函数的单调增区间: (1)y=3sin(2x-6π)；(2)y=2cos(2x+6π)；(3)y=log i ［sin(2x+3π)］.思路分析：应用正、余弦函数的单调性.(1)设z=2x-6π，则y=sinz 在［-2π+2kπ,2π+2kπ］(k∈Z )上是增函数，即2x-6π∈［-2π+2kπ,2π+2kπ］(k∈Z ).由此可写出x 的范围；(2)与(1)类似；(3)根据复合函数同增异减的原则进行求解.解：(1)设z=2x-6π，则y=sinz 在［-2π+2kπ,2π+2kπ］(k∈Z )上是增函数，即2x-6π∈［-2π+2kπ,2π+2kπ］(k∈Z ).由-2π+2kπ≤2x -6π≤2π+2kπ(k∈Z )，得-3π+2kπ≤2x≤32π+2kπ(k∈Z )，即-6π+kπ≤x≤3π+kπ(k∈Z ).所以，函数y=3sin(2x-6π)的单调增区间为［-6π+kπ, 3π+kπ］(k∈Z ).(2)由-π+2kπ≤2x+6π≤2kπ(k∈Z ),得-67π+2kπ≤2x≤-6π+2kπ(k∈Z ), 即-127π+kπ≤x≤-12π+kπ(k∈Z ).所以，函数y=2cos(2x+6π)的单调增区间为［-127π+kπ,-12π+kπ］(k∈Z ). (3)设u=sin(2x+3π)，由y=log 2u 是增函数,可知y=log 2［sin(2x+3π)］的增区间就是u=sin(2x+3π)(u ＞0)的增区间.由y=sinx(y ＞0)的图象,可知y=sinx(y ＞0)的增区间为(2kπ,2kπ+2π］(k∈Z )，因此，对于u=sin(2x+3π)(u ＞0)有2kπ＜2x+3π≤2kπ+2π(k∈Z )，即-3π+2kπ＜2x≤2kπ+6π(k∈Z ).所以-6π+kπ＜x≤kπ+12π(k∈Z ).所以，函数y=log 2［sin(2x+3π)］的单调增区间为(-6π+kπ,kπ+12π］(k∈Z ).方法归纳本题的关键在于转化思想的应用，使用了整体换元法.函数的单调性是函数在定义域内的某个区间上的性质，因此，要求函数的单调区间，应首先求函数的定义域.此外，函数的单调区间应写成区间的形式. 例7 讨论函数y=tan(x+4π)的性质. 思路分析：本题主要应用正切函数的性质，只需设z=x+4π即可.。

高二数学教案1.3.1正弦函数的图像与性质1新必修4

1.3.1正弦函数的图象和性质 (1)
一、教学目标：
1．知识目标：
正弦函数的图象
2．能力目标：
(1)会用单位圆中的正弦线准确地画出正弦函数的图象
(2)会用五点法画出正弦函数的简图
3．情感目标：
发展学生的数形结合思想，使学生感受动与静的辩证关系
二、教学重点、难点：
重点：用五点法画正弦曲线
难点：利用单位圆中的正弦线画正弦曲线
三、教学方法：
借助较先进的教学手段引导学生理解利用单位圆中的有向线段表示三角函数值的办法，画出正弦曲线。

以讲授法为主。

四、教学过程：。

1.3.1正弦函数的图象与性质

3、作三角函数的图像可以用五点法作简图，也可以通过函数图形的基本变换来实现.
正、余弦函数的图象的几何作法：
y
1P 1
/ p1
(1) 作法：等分 (2) 作余弦线 (3) 竖立、平移 (4) 连线

3
y
-
-
-
o1
M1
-1A
o
-1 -
6

2
2 3
5 6

7 6
4 3
3 2
5 3
11 6
余弦曲线
y=cosx, x ∈ R
-
y
1
-
y=sinx, x ∈ R
-
6
4
2
-1
o
2
4
6
余弦函数
4、正弦函数、余弦函数的图象
y
6
4
y=sinx, x ∈ R
2
1
0 -1
2
4
6
x
正弦曲线 y
1
y=cosx, x ∈ R
6
4
2
0 -1
y=cosx, x ∈ R 3、作余弦函数曲线：
由于 y cos x cos( x) sin[ ( x)] sin( x ) 2 2
所以余弦函数
是同一个函数；余弦函数的图像可以通过正弦曲线向左平移 2
个单位长度而得到．
y cos x, x R与函数 y sin( x ), x R 2
例3 ：(1) 作函数 y=1+3cosx，x∈[0,2π]的简图； (2) 作函数 y=2sinx-1，x∈[0,2π]的简图. 解：(1)

1.3.1正弦函数的图像与性质

0 x 0
π 2
π 4
π
π 2
3 π 2 3 π 4
2π
1 x 2
0
π 2
π
3 π 2
2π
π
x 0 π 2π 3π 4π
1 sin x 2
sin 2 x
0
y
1 0 1 0
1
π 2
0 1 0 1 0
o -1
π
y=sinx
2π
y sin 1 x 2
4π
x
y=sin2x
概念4：正弦型函数 y A sin x 的图像及性质的图像的特征
-
,(2 ,0)
图象最低点
( 3 , 1) 2
四、应用举例
例1：用“五点法”作函数 y=1+sinx，在x∈[0， 2π ]上的简图：
解: 列表描点作图
0 0
x
sin x 1 sin x

1
2
2

0
3 2
0
2
1
0
1
1
1
y
21 -
1 -
o
2

3 2
2
x
六、归纳小结
1.正弦函数y=sinx的几何画法: 等分作正弦线平移连线
2 k , 2 k ,k Z 2 2
3 2 k , 2 k ,k Z 2 2
上都从-1增大到1，是增函数。上都从1减小到-1，是减函数。
三、概念形成
概念4：正弦函数的性质
由诱导公式sin(x+2kπ )=sinx,k∈Z （6）周期性：可知，当自变量x每增加或减少2π 的整数倍时，正

高中数学人教B版必修四讲义：第一章 1.3 1.3.1 第二课时正弦型函数y=Asin(ωx+φ) Word版含答案

1．3.1正弦函数的图象与性质第二课时正弦型函数y＝A sin(ωx＋φ)(1)函数y＝A sin(ωx＋φ)的初相、振幅、周期、频率分别为多少？(2)将y＝sin(x＋φ)(其中φ≠0)的图象怎样变换，能得到y＝sin x的图象？(3)函数y ＝A sin x ，x ∈R(A ＞0且A ≠1)的图象，可由正弦曲线y ＝sin x ，x ∈R 怎样变换得到？(4)函数y ＝sin ωx ，x ∈R(ω＞0且ω≠1)的图象，可由正弦曲线y ＝sin x ，x ∈R 怎样变换得到？[新知初探]1．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，A ＞0，ω＞0中参数的物理意义[点睛] 当A ＜0或φ＜0时，应先用诱导公式将x 的系数或三角函数符号前的数化为正数，再确定初相φ.如函数y ＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的初相不是φ＝－π4. 2．φ，ω，A 对函数y ＝sin(x ＋φ)图象的影响 (1)φ对函数y ＝sin(x ＋φ)，x ∈R 的图象的影响(2)ω(ω＞0)对y ＝sin(ωx ＋φ)的图象的影响(3)A (A ＞0)对y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的影响[点睛] (1)A 越大，函数图象的最大值越大，最大值与A 是正比例关系．(2)ω越大，函数图象的周期越小，ω越小，周期越大，周期与ω为反比例关系． (3)φ大于0时，函数图象向左平移，φ小于0时，函数图象向右平移，即“加左减右”．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R 的最大值为A .( ) (2)函数y ＝3sin(2x －5)的初相为5.( )(3)由函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象得到y ＝sin x 的图象，必须向左平移．( ) (4)把函数y ＝sin x 的图象上点的横坐标伸长到原来的3倍就得到函数y ＝sin 3x 的图象．( )答案：(1)× (2)× (3)× (4)×2．函数y ＝13sin ⎝⎛⎭⎫13x ＋π6的周期、振幅、初相分别是( ) A ．3π，13，π6B ．6π，13，π6C ．3π，3，－π6D ．6π，3，π6答案：B3．为了得到函数y ＝sin(x ＋1)的图象，只需把函数y ＝sin x 的图象上所有的点( ) A ．向左平行移动1个单位长度 B ．向右平行移动1个单位长度 C ．向左平行移动π个单位长度 D ．向右平行移动π个单位长度答案：A4．将函数y ＝sin x 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的14倍(纵坐标不变)得________的图象．答案：y ＝sin 4x[典例] 说明y ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋1的图象是由y ＝sin x 的图象经过怎样变换得到的． [解] [法一先伸缩后平移]y ＝sin x 的图象――――――――――――――――――→各点的纵坐标伸长到原来的2倍且关于x 轴作对称变换y ＝－2sin x 的图象――――――――――→各点的横坐标缩短到原来的12y＝－2sin 2x 的图象π−−−−−−−→12向右平移个单位长度y ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的图象―――――――――→向上平移1个单位长度y ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋1的图象． [法二先平移后伸缩]y ＝sin x 的图象――――――――――――――――→各点的纵坐标伸长到原来的2倍且关于x 轴作对称变换y ＝－2sin x 的图象π−−−−−−−→6向右平移个单位长度y ＝－2sin x －π6的图象―――――――――――→各点的横坐标缩短到原来的12y ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的图象―――――――――――→向上平移1个单位长度 y ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋1的图象．由函数y ＝sin x 的图象通过变换得到函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的步骤[活学活用]1．将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6向左平移π6个单位，可得到函数图象是( ) A ．y ＝sin 2x B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6 D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3 解析：选C y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的图象π−−−−−−→6向左平移个单位y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6－π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象．2．把函数y ＝f (x )的图象向左平移π4个单位长度，向下平移1个单位长度，然后再把所得图象上每个点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标保持不变)，得到函数y ＝sin x 的图象，则y ＝f (x )的解析式为( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋1 B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2＋1 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π4－1 D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π2－1解析：选B 将函数y ＝sin x 的图象上每个点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标保持不变)，得到函数y ＝sin 2x 的图象，将所得图象向上平移1个单位长度，得到函数y ＝sin 2x ＋1的图象，再将所得图象向右平移π4个单位长度，得到函数y ＝sin 2⎝⎛⎭⎫x －π4＋1＝sin2x －π2＋1的图象．故选B.[典例] 如图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的图象的一部分，求此函数的解析式．[解] [法一逐一定参法] 由图象知A ＝3， T ＝5π6－⎝⎛⎭⎫－π6＝π， ∴ω＝2πT＝2， ∴y ＝3sin(2x ＋φ)．∵点⎝⎛⎭⎫－π6，0在函数图象上， ∴0＝3sin ⎝⎛⎭⎫－π6×2＋φ. ∴－π6×2＋φ＝k π，得φ＝π3＋k π(k ∈Z)．∵|φ|<π2，∴φ＝π3.∴y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. [法二待定系数法]由图象知A ＝3.∵图象过点⎝⎛⎭⎫π3，0和⎝⎛⎭⎫5π6，0，∴⎩⎨⎧πω3＋φ＝π，5πω6＋φ＝2π，解得⎩⎪⎨⎪⎧ω＝2，φ＝π3.∴y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. [法三图象变换法]由A ＝3，T ＝π，点⎝⎛⎭⎫－π6，0在图象上，可知函数图象由y ＝3sin 2x 向左平移π6个单位长度而得，所以y ＝3sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π6，即y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3.给出y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的一部分，确定A ，ω，φ的方法(1)第一零点法：如果从图象可直接确定A 和ω，则选取“第一零点”(即“五点法”作图中的第一个点)的数据代入“ωx ＋φ＝0”(要注意正确判断哪一点是“第一零点”)求得φ.(2)特殊值法：通过若干特殊点代入函数式，可以求得相关待定系数A ，ω，φ.这里需要注意的是，要认清所选择的点属于五个点中的哪一点，并能正确代入列式．(3)图象变换法：运用逆向思维的方法，先确定函数的基本解析式y ＝A sin ωx ，再根据图象平移规律确定相关的参数．[活学活用]如图为函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0) 的图象的一部分，试求该函数的解析式．解：由图可得：A ＝3，T ＝ 2|MN |＝π.从而ω＝2πT ＝2，故y ＝3sin(2x ＋φ)，又∵2×π3＋φ＝2 k π，k ∈Z ，∴φ＝－2π3＋2 k π，k ∈Z.∴y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －2π3. [典例] 在函数y ＝2sin ⎝⎭⎫4x ＋2π3的图象的对称中心中，离原点最近的一个中心的坐标是________．[解析] 设4x ＋2π3＝k π(k ∈Z)，得x ＝k π4－π6(k ∈Z)∴函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋2π3图象的对称中心坐标为⎝⎛⎭⎫k π4－π6，0(k ∈Z)．取k ＝1得⎝⎛⎭⎫π12，0满足条件． [答案] ⎝⎛⎭⎫π12，0正弦型函数对称轴、对称中心的求法[活学活用]将本例中对称中心改为对称轴，其他条件不变，则离y 轴最近的一条对称轴方程为________．解析：由4x ＋2π3＝k π＋π2，得x ＝k π4－π24，取k ＝0时，x ＝－π24满足题意．答案：x ＝－π24[典例] 已知弹簧上挂着的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移s (cm)随时间t (s)的变化规律为s ＝4sin ⎝⎛⎭⎫2t ＋π3，t ∈[0，＋∞)．用“五点法”作出这个函数的简图，并回答下列问题：(1)小球在开始振动(t ＝0)时的位移是多少？(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少？ (3)经过多长时间小球往复振动一次？ [解] 列表如下，描点、连线，图象如图所示．(1)将t ＝0代入s ＝4sin ⎝⎛⎭⎫2t ＋π3，得s ＝4sin π3＝23，所以小球开始振动时的位移是2 3 cm.(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是4 cm 和－4 cm. (3)因为振动的周期是π，所以小球往复振动一次所用的时间是π s.解三角函数应用问题的基本步骤[活学活用]通常情况下，同一地区一天的温度随时间变化的曲线接近函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的图象.2018年2月下旬某地区连续几天最高温度都出现在14时，最高温度为14 ℃；最低温度出现在凌晨2时，最低温度为零下2 ℃.(1)求出该地区该时段的温度函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A >0，ω>0，|φ|<π，x ∈[)0，24)的表达式；(2)29日上午9时某高中将举行期末考试，如果温度低于10 ℃，教室就要开空调，请问届时学校后勤应该开空调吗？解：(1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ A ＋b ＝14，－A ＋b ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝8，b ＝6，易知T 2＝14－2，所以T ＝24，所以ω＝π12，易知8sin ⎝⎛⎭⎫π12×2＋φ＋6＝－2，即sin ⎝⎛⎭⎫π12×2＋φ＝－1，故π12×2＋φ＝－π2＋2k π，k ∈Z ，又|φ|<π，得φ＝－2π3，所以y ＝8sin ⎝⎛⎭⎫π12x －2π3＋6(x ∈[0,24))． (2)当x ＝9时，y ＝8sin ⎝⎛⎭⎫π12×9－2π3＋6＝8sin π12＋6<8sin π6＋6＝10.所以届时学校后勤应该开空调．层级一学业水平达标1．最大值为12，最小正周期为2π3，初相为π6的函数表达式是( )A ．y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫x 3＋π6 B ．y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫x 3－π6 C ．y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫3x －π6 D ．y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6 解析：选D 由最小正周期为2π3，排除A 、B ；由初相为π6，排除C.2．为了得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3的图象，只需把函数y ＝sin x 的图象( )A ．向左平移π3个单位长度B ．向右平移π3个单位长度C ．向上平移π3个单位长度D ．向下平移π3个单位长度解析：选B 将函数y ＝sin x 的图象向右平移π3个单位长度，所得图象对应的函数解析式为y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3. 3．已知简谐运动f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3x ＋φ⎝⎛⎭⎫|φ|＜π2的图象经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T 和初相φ分别为( )A ．T ＝6，φ＝π6B ．T ＝6，φ＝π3C ．T ＝6π，φ＝π6D ．T ＝6π，φ＝π3解析：选A T ＝2πω＝2ππ3＝6，∵图象过(0,1)点，∴sin φ＝12.∵－π2＜φ＜π2，∴φ＝π6.4．将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的图象向左平移π个单位长度，则平移后的函数图象( ) A ．关于直线x ＝π3对称B ．关于直线x ＝π6对称C ．关于点⎝⎛⎭⎫π3，0对称D ．关于点⎝⎛⎭⎫π6，0对称解析：选A 函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的图象向左平移π个单位长度，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋π＝－sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的图象，其对称轴方程为x ＋π6＝k π＋π2，k ∈Z ，即x ＝k π＋π3，k ∈Z ，令k ＝0，得x ＝π3，故选A.5．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3在区间⎣⎡⎦⎤－π2，π上的简图是( )解析：选A 当x ＝0时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π3＝－32<0，故可排除B 、D ；当x ＝π6时，sin ⎝⎛⎭⎫2×π6－π3＝sin 0＝0，排除C. 6．将函数y ＝sin x 的图象向左平移φ(0≤φ＜2π)个单位长度后，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6的图象，则φ＝________.解析：因为φ∈[0,2π)，所以把y ＝sin x 的图象向左平移φ个单位长度得到y ＝sin (x ＋φ)的图象，而sin ⎝⎛⎭⎫x ＋11π6＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋11π6－2π＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6，即φ＝11π6. 答案：11π67.已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)的图象如图所示，则ω＝________. 解析：由题意设函数周期为T ，则T 4＝2π3－π3＝π3，∴T ＝4π3. ∴ω＝2πT ＝32.答案：328．将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的5倍，可得到函数__________________的图象．解析：y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3的图象――――――――――――→图象上各点的纵坐标不变横坐标伸长为原来的5倍y ＝sin ⎝⎛⎭⎫15x －π3的图象．答案：y ＝sin ⎝⎛⎭⎫15x －π39．已知函数f (x )的图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标扩大到原来的2倍，然后把所得的图象沿x 轴向左平移π2个单位长度，这样得到的图象与y ＝12sin x 的图象相同，求f (x )的解析式．解：反过来想，y ＝12sin x π−−−−−−−→2向右平移个单位长度y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫x －π2−−−−−−−→1横坐标变为原来的倍2 y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2，即f (x )＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2. 10．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π)的图象的一段如图所示，求它的解析式．(1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数f (x )的最小正周期、频率、振幅、初相．解：(1)由图象可知A ＝2，T 2＝5π6－π6＝2π3，∴T ＝4π3，ω＝2πT ＝32.将N ⎝⎛⎭⎫π6，－2代入y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫32x ＋φ得， 2sin ⎝⎛⎭⎫32×π6＋φ＝－2，∴π4＋φ＝2k π－π2，φ＝2k π－3π4(k ∈Z)． ∵|φ|＜π，∴φ＝－3π4.∴函数的解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫32x －3π4. (2)由(1)，知f (x )的最小正周期为4π3＝8，频率为34π，振幅为2，初相为－3π4. 层级二应试能力达标1.如图所示的是一个半径为3米的水轮，水轮的圆心O 距离水面2米，已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点P 到水面的距离y (米)与时间t (秒)满足关系式y ＝A sin(ωt ＋φ)＋2，则( )A ．ω＝152π，A ＝3 B ．ω＝2π15，A ＝3 C ．ω＝2π15，A ＝5 D ．ω＝152π，A ＝5 解析：选B 由题意知A ＝3，ω＝2π×460＝2π15.2．要得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象( ) A ．向左平移π12个单位B ．向右平移π12个单位C ．向左平移π3个单位D ．向右平移π3个单位解析：选B 由y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3＝sin 4⎝⎛⎭⎫x －π12得，只需将y ＝sin 4x 的图象向右平移π12个单位即可，故选B.3．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω＞0)的最小正周期为π，则该函数的图象( ) A ．关于直线x ＝π8对称B ．关于点⎝⎛⎭⎫π4，0对称 C ．关于直线x ＝π4对称D ．关于点⎝⎛⎭⎫π8，0对称解析：选A 依题意得T ＝2πω＝π，ω＝2，故f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，所以f ⎝⎛⎭⎫π8＝sin ⎝⎛⎭⎫2×π8＋π4＝sin π2＝1，f ⎝⎛⎭⎫π4＝sin ⎝⎛⎭⎫2×π4＋π4＝sin 3π4＝22，因此该函数的图象关于直线x ＝π8对称，不关于点⎝⎛⎭⎫π4，0和点⎝⎛⎭⎫π8，0对称，也不关于直线x ＝π4对称．故选A. 4．把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫5x －π2的图象向右平移π4个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍，所得函数图象的解析式为( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫10x －3π4B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫10x －7π2 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫10x －3π2 D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫10x －7π4 解析：选D 将原函数图象向右平移π4个单位长度，得y ＝sin ⎣⎡⎦⎤5⎝⎛⎭⎫x －π4－π2＝sin ⎝⎛⎭⎫5x －7π4的图象，再把y ＝sin ⎝⎛⎭⎫5x －7π4的图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫10x －7π4的图象．5．将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4图象上所有点的横坐标保持不变，纵坐标________(填“伸长”或“缩短”)为原来的________倍，将会得到函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图象．解析：A ＝3＞0，故将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4图象上所有点的横坐标保持不变，纵坐标伸长为原来的3倍即可得到函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图象．答案：伸长 36．将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，－π2≤φ≤π2图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度得到y ＝sin x 的图象，则f ⎝⎛⎭⎫π6＝________. 解析：将y ＝sin x 的图象向左平移π6个单位长度可得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的图象，保持纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍可得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π6的图象，故f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π6，所以f ⎝⎛⎭⎫π6＝sin ⎝⎛⎭⎫12×π6＋π6＝sin π4＝22. 答案：227．求函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3图象的对称轴、对称中心．解：令2x ＋π3＝k π＋π2(k ∈Z)，得x ＝k π2＋π12(k ∈Z)．令2x ＋π3＝k π，得x ＝k π2－π6(k ∈Z)．即对称轴为直线x ＝k π2＋π12(k ∈Z)，对称中心为⎝⎛⎭⎫k π2－π6，0(k ∈Z)．8.如图为函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|<π2的一个周期内的图象． (1)写出f (x )的解析式；(2)若y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，写出g (x )的解析式；(3)指出g (x )的周期、频率、振幅、初相．解：(1)由图知A ＝2，T ＝7－(－1)＝8， ∴ω＝2πT ＝2π8＝π4，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋φ. 将点(－1,0)代入，得0＝2sin ⎝⎛⎭⎫－π4＋φ. ∵|φ|<π2，∴φ＝π4，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋π4. (2)作出与f (x )的图象关于直线x ＝2对称的图象(图略)，可以看出g (x )的图象相当于将f (x )的图象向右平移2个单位长度得到的，∴g (x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤π4(x －2)＋π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x －π4. (3)由(2)知，g (x )的周期T ＝2ππ4＝8，频率f ＝1T ＝18，振幅A ＝2，初相φ0＝－π4.。

课件3：1.3.1 正弦函数的图像与性质

(2) 当3x+ =2k+ 即 x= 2k (kZ)时, y的最
4
2
3 12
大值为0.
例题
例3、求下列三角函数的周期：
(1)y=sin(x+ )； (2) y=3sin( + x )
3
52
(3) y=|sinx|
解： (1) 令z= x+ 而 sin(2+z)=sinz
3
即：f (2+z)=f (z) ,
例题
例2、利用正弦函数的图象，求满足下列条件的x 的集合：sin x 1
2
解：在y轴上取点(0, 0.5)，过该点作x轴的平行线,与正弦
函数图象相交于点 ( , 1) (5 , 1) 等，所以不等式的解集
是 {x | 2k
6
x 2k
2
5
62
,k Z}
6
6
2、正弦函数的性质
由正弦函数y=sinx的作图过程以及正弦函数的定义，容易得出正弦函数y=sinx还有以下重要性质.
1、正弦函数的图象
1、正弦函数的图象
第三步：连线，用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来，就得到正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象．
1、正弦函数的图象
1、正弦函数的图象
以上我们作出了y=sinx，x∈[0，2π]的图象，因为sin(2kπ+x)=sinx (k∈Z)，所以正弦函数y=sinx在 x∈[－2π，0]，x∈[2π，4π]，x∈[4π，6π]时的图象与x∈[0，2π]时的形状完全一样，只是位置不同。
2、正弦函数的性质
(5)单调性
从y＝sinx的图象上可看出：
当x∈
[ , ]

第一章 1.3.1正弦函数的图象与性质(二)

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1.3.1（二）
1．正弦曲线
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从函数图象看，正弦函数 y＝sin x 的图象关于原点对称；从诱导公式看，sin (－x)＝－sin x 对一切 x∈R 恒成立．所以说，正弦函数是 R 上的奇函数．
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3．判断下列函数的奇偶性： 1－sin x (1)f(x)＝xsin(π＋x)；(2)f(x)＝ . 1＋sin x
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跟踪训练 2 求下列函数的周期． 3 2 (1)y＝cos 2π－3x； 1 π (2)y＝sin－2x＋3.
2 2π 解 (1)y＝－sin 3x，T＝ 2 ＝3π. 3
1 π 2π 1 sin x－，T＝ × ＝2π. (2)y＝ 3 1 2 2
∵f(x)的最小正周期是 π， 5π 5π π ∴f 3 ＝f 3 －2π＝f－3. 解 ∵f(x)是 R 上的偶函数， π π 5π π 3 3 －＝f ＝sin ＝＝ ∴f 3 3 3 2 .∴f 3 2 .
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例 2 求下列函数的周期． π (1)y＝sin2x＋3 (x∈R)； (2)y＝|sin 2x| (x∈R)．
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1.3.1（二）
解
(1)方法一
π 令 z＝2x＋3，
∵x∈R，∴z∈R，函数 f(x)＝sin z 的最小正周期是 2π，就是说变量 z 只要且至少要增加到 z＋2π，函数 f(x)＝sin z(z∈R)的值才能重复取得， π π 而 z＋2π＝2x＋3＋2π＝2(x＋π)＋3，所以自变量 x 只要且至少 π 要增加到 x＋π，函数值才能重复取得，从而函数 f(x)＝sin2x＋3 (x∈R)的周期是 π.

【成才之路】高中数学-1

2．描点法：在要求不太高的情况下可用五点法作图，函数 y ＝ sinx ， x ∈ [0,2π] 的图象上有五点起决定作用，它们是 _(_0_,0_)____、__π2_，__1_____、_(_π_, _0_)___、__32_π_，__－__1__、_(2_π_,_0_)___，
[点评] 讨论函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调性的一般步骤: (1)若ω<0，利用诱导公式二把y＝Asin(ωx＋φ)中x的系数化为大于0的数； (2)引入变量u＝ωx＋φ(ω>0)； (3)讨论函数y＝sin u的单调性； (4)解关于x的不等式得出y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间．
下列关系式中正确的是( ) A. sin11°<cos10°<sin168° B. sin168°<sin11°<cos10° C. sin11°<sin168°<cos10° D. sin168°<cos10°<sin11° [答案] C
(2)cos115°＝cos(90°＋25°)＝－sin25°, cos260°＝cos(180°＋80°)＝－cos80°＝－sin10°, ∵sin10°<sin25°, ∴－sin10°>－sin25°, 即cos260°>cos115°. (3)sin194°＝－sin14°, cos160°＝－cos20°＝－sin70°, ∵sin14°<sin70°, ∴－sin14°>－sin70°, ∴sin194°>cos160°.
3．下列函数不是奇函数的是( )
A．y＝sinx
B．y＝sin2x
C．y＝sinx＋2
D．y＝12sinx

高中数学知识点精讲精析三角函数的图像与性质

1.3.2 三角函数的图像与性质一、三角函数的性质1. 几何法作图第一步：列表.首先在单位圆中画出正弦线和余弦线.在直角坐标系的x 轴上任取一点，以为圆心作单位圆，从这个圆与x 轴的交点A 起把圆分成几等份，过圆上的各分点作x 轴的垂线，可以得到对应于角，，,…，2π的正弦线及余弦线（这等价于描点法中的列表）.第二步：描点.我们把x 轴上从0到2π这一段分成几等份，把角x 的正弦线向右平行移动，使得正弦线的起点与x 轴上相应的点x 重合，则正弦线的终点就是正弦函数图象上的点.第三步：连线.用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来，就得到正弦函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象.将y=sinx 的图象向左平移即得y=cosx 的图象2．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）（1）正弦函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0,0) (,1) (π,0) (,-1) (2π,0) 1O 1O 6,0π3π2π2π2π23π（2）余弦函数y=cosx x ∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1) (,0) (π,-1) (,0) (2π,1)3. 正弦函数的性质（1）定义域：正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R分别记作： y ＝sin x ，x ∈R y ＝cos x ，x ∈R（2）值域正弦函数、余弦函数的值域都是［－1，1］.其中正弦函数y =sin x ,x ∈R①当且仅当x ＝＋2k π，k ∈Z 时，取得最大值1.②当且仅当x ＝－＋2k π，k ∈Z 时，取得最小值－1.而余弦函数y ＝cos x ，x ∈R①当且仅当x ＝2k π，k ∈Z 时，取得最大值1.②当且仅当x ＝(2k ＋1)π，k ∈Z 时，取得最小值－1.（3）周期性正弦函数、余弦函数都是周期函数，2k π(k ∈Z 且k ≠0)都是它的周期，最小正周期是2π.函数及函数（其中A ，为常数，且）的周期（4）奇偶性y ＝sin x 为奇函数，y ＝cos x 为偶函数正弦曲线关于原点O 对称,余弦曲线关于y 轴对称（5）单调性正弦函数在每一个闭区间［－＋2k π，＋2k π］(k ∈Z )上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间［＋2k π，＋2k π］(k ∈Z )上都是减函数，其值从1减小到－1.余弦函数在每一个闭区间［(2k －1)π，2k π］(k ∈Z )上都是增函数，其值从－1增加到1；在每一个闭区间［2k π，(2k ＋1)π］(k ∈Z )上都是减函数，其值从1减小到－1.二、正切函数的图象和性质1. 正切函数图象的作法在的区间作出它的图象2π23π2π2πR x ),x sin(A y ∈+=ϕωR x ),x cos(A y ∈+=ϕωωφ0,0A >≠ωωπ2T =2π2π2π23π⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,2ππ，且的图象，称“正切曲线”正切函数的性质： 1. 定义域： 2. 值域：R3. 当时，当时4. 周期性：5. 奇偶性：奇函数6. 单调性：在开区间内，函数单调递增h(mm)与时间t(s)之间的函数关系如图所示(1)求该函数的周期；（2）求t ＝10s 时钟摆的高度.【解析】R x x y ∈=tan ()z k k x ∈+≠ππ2⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠z k k x x ,2|ππz k k k x ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+∈2,πππ0>y z k k k x ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈πππ,20<y π=T ()x x tan tan -=-z k k k ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++-ππππ2,2解：（1）由图象知，周期为1.5s(2)故高度为20mm.2. 利用正弦函数和余弦函数的图象，求满足下列条件的x 的集合：；【解析】（1）解：作出正弦函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象：由图形可以得到，满足条件的x 的集合为：（2）解：作出余弦函数y=cosx ，x ∈[0，2π]的图象：3. 求使下列函数取得最大值的自变量x 的集合，并说出最大值是什么.(1)y ＝cos x ＋1，x ∈R ；(2)y ＝sin2x ，x ∈R .【解析】解：(1)使函数y ＝cos x ＋1，x ∈R 取得最大值的x 的集合，就是使函数y ＝cos x ，x ∈R 取得最大值的x 的集合｛x ｜x ＝2k π，k ∈Z ｝.函数y ＝cos x ＋1，x ∈R 的最大值是1＋1＝2.(2)令Z ＝2x ，那么x ∈R 必须并且只需Z ∈R ，且使函数y ＝sin Z ，Z ∈R 取得最大值的Z 的集合是｛Z ｜Z ＝＋2k π，k ∈Z ｝由2x ＝Z ＝＋2k π，得x ＝＋k π即使函数y ＝sin2x ，x ∈R 取得最大值的x 的集合是｛x ｜x ＝＋k π，k ∈Z ｝.函数y ＝sin2x ，x ∈R 的最大值是1.4. 求下列函数的定义域：(1)y ＝ (2)y＝【解析】(10)(16 1.5)(1)20f f f =+⨯==21sin )1(≥x 21cos )2(≤x Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++,265,26ππππ2π2π4π4π11sin x +x cos解：(1)由1＋sin x ≠0，得sin x ≠－1即x ≠＋2k π(k ∈Z )∴原函数的定义域为｛x ｜x ≠＋2k π，k ∈Z ｝(2)由cos x ≥0得－＋2k π≤x ≤＋2k π(k ∈Z )∴原函数的定义域为［－＋2k π，＋2k π］(k ∈Z )5. (1)函数y ＝sin(x ＋)在什么区间上是增函数?(2)函数y ＝3sin(－2x )在什么区间上是减函数?【解析】解：(1)函数y ＝sin x 在下列区间上是增函数：2k π－＜x ＜2k π＋(k ∈Z )∴函数y ＝sin(x ＋)为增函数，当且仅当2k π－＜x ＋＜2k π＋即2k π－＜x ＜2k π＋(k ∈Z )为所求.(2)∵y ＝3sin(－2x )＝－3sin(2x －)由2k π－≤2x －≤2k π＋得k π－≤x ≤k π＋(k ∈Z )为所求.或：令u ＝－2x ，则u 是x 的减函数又∵y ＝sin ｕ在［2k π－，2k π＋］(k ∈Z )上为增函数，∴原函数y ＝3sin(－2x )在区间［2k π－，2k π＋］上递减.设2k π－≤－2x ≤2k π＋解得k π－≤x ≤k π＋(k ∈Z )∴原函数y ＝3sin(－2x )在［k π－，k π＋］(k ∈Z )上单调递减.23π23π2π2π2π2π4π3π2π2π4π2π4π2π3π4π3π3π2π3π2π12π125π3π2π2π3π2π2π2π3π2π12π125π3π12π125π6. 求函数的定义域、值域，并指出它的周期性、奇偶性、单调性. 【解析】由得，所求定义域为值域为R ，周期，是非奇非偶函数在区间上是增函数.7. 观察正切曲线写出满足下列条件的x 的值的范围：tanx ＞0.【解析】画出y ＝tanx 在（－，）上的图象，不难看出在此区间上满足tanx ＞0的x 的范围为：0＜x ＜结合周期性，可知在x ∈R ，且x ≠k π＋上满足的x 的取值范围为（k π，k π＋）（k ∈Z ） ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=33tan πx y 233πππ+≠-k x 1853ππ+≠k x ∴⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠∈z k k x R x x ,1853,|ππ且3π=T ()z k k k ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+-1853,183ππππ2π2π2π2π2π。

学案5：1.3.1正弦函数的图象与性质（二）

1.3.1正弦函数的图象与性质（二）学习目标1.了解正弦型函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的实际意义及其参数A 、ω、φ对函数图象变化的影响． 2．理解正弦型函数的周期与频率．3.掌握图象变换及正弦型函数有关性质的应用．新知提炼1．正弦型函数及“五点法”作图(1)形如y ＝A sin(ωx ＋φ)(其中A ，ω，φ都是常数)的函数，通常叫做正弦型函数．(2)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(其中A ≠0，ω>0，x ∈R )的周期T ＝，频率f ＝ω2π，初相为φ，值域为，也称为振幅，|A |的大小反映了y ＝A sin(ωx ＋φ)的波动幅度的大小． (3)利用“五点法”作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R (其中A >0，ω>0)的简图，先令＝0，π2，π，32π，2π，列表求出长度为一个周期的闭区间上的五个关键点的坐标，再描点，并用平滑的曲线连接作出一个周期上的图象，最后向左、右分别扩展，即可得到函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R 的简图．2．正弦型函数的图象变换(1)振幅变换：函数y ＝sin x ，x ∈R 的图象――――――――――――――――――――――――――→所有点的纵坐标伸长（A >1）或缩短（0<A <1）到原来的A 倍函数y ＝A sin x ，x ∈R 的图象．(2)周期变换：函数y ＝sin x ，x ∈R 的图象――――――――――――――――――――――――――――――→所有点的横坐标缩短（ω>1）或伸长（0<ω<1）到原来的1ω倍函数y ＝sin ωx ，x ∈R 的图象．(3)相位变换：函数y ＝sin x ，x ∈R 的图象――――――――――――――――――――――――→所有点向左（φ>0）或向右（φ<0）平移|φ|个单位长度函数y ＝sin(x ＋φ)，x ∈R 的图象． (4)复合变换：函数y ＝sin x ，x ∈R 的图象――――――――――――――――――――――――→所有点向左（φ>0）或向右（φ<0）平移|φ|个单位长度①相位变换函数y ＝sin(x ＋φ)，x ∈R 的图象――――――――――――――――――――――――――――→所有点的横坐标伸长（0<ω<1）或缩短（ω>1）到原来的1ω倍②周期变换函数y ＝sin(ωx ＋φ)，x ∈R (其中ω>0)的图象――――――――――――――――――――――――――→所有点的纵坐标伸长（A >1）或缩短（0<A <1）到原来的A 倍③振幅变换函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R (其中ω>0，A >0)的图象． 3．正弦型函数的性质根据函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象，我们可以得到函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的性质： (1)定义域：R ． (2)值域：当ωx ＋φ＝，即x ＝π2ω－φω＋2k πω(k ∈Z )时，y 取得最大值A ；当ωx ＋φ＝，即x ＝3π2ω－φω＋2k πω(k ∈Z )时，y 取得最小值－A .(3)单调性：当 ≤ωx ＋φ≤ ，即x ∈⎣⎡⎦⎤－π2ω－φω＋2k πω，π2ω－φω＋2k πω(k ∈Z )时，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)为增函数；当 ≤ωx ＋φ≤ ，即x ∈⎣⎡⎦⎤π2ω－φω＋2k πω，3π2ω－φω＋2k πω(k ∈Z )时，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)为减函数．(4)奇偶性：当φ＝k π(k ∈Z )时，为奇函数；当φ＝k π＋π2(k ∈Z )时，为偶函数．(5)周期性：T ＝2πω.(6)对称性：直线都是其对称轴；点 (k ∈Z )为其对称中心．自我尝试1．要得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象，只要将y ＝sin 2x 的图象( ) A ．向左平移π3个单位 B ．向右平移π3个单位C ．向左平移π6个单位D ．向右平移π6个单位2．函数y ＝2 018sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的振幅为________，周期为________，初相为________．3．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的图象与x 轴相邻两交点的距离为________．题型探究题型一图象变换及简单应用[学生用书P20]例1 说明y ＝－2sin(2x －π6)＋1的图象是由y ＝sin x 的图象怎样变换而来的？(1)图象变换的前提条件：①分清哪是变换前的图象，哪是变换后的图象，即由谁变换后得谁．②必须是同名三角函数．(2)要分清是先平移，后伸缩，还是先伸缩，后平移，弄清平移单位长度是|φ|还是|φω|.跟踪训练试说明由函数y ＝sin x 的图象变换成函数y ＝5sin(12x －π6)的图象的全过程．题型二由函数图象求三角函数解析式[学生用书P21] 例2 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则( )A ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3 方法归纳根据函数的部分图象求解析式的方法(1)直接从图象确定振幅和周期，则可确定函数式y ＝A sin(ωx ＋φ)中的参数A 和ω，再选取最大值点的数据代入ωx ＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，结合φ的范围求出φ；(2)通过若干特殊点代入函数式，通过解方程组求相关待定系数A ，ω，φ.(3)运用逆向思维的方法，先确定函数的基本函数式y ＝A sin ωx ，再根据图象平移规律确定相关的参数．跟踪训练 1.已知函数f (x )＝M sin(ωx ＋φ )( M >0，ω >0，|φ|<π2)在半个周期内的图象如图所示，则函数f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6B ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6C ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π6D ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6 2．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，0<φ <π2的最小值是－5，图象上相邻两个最高点与最低点的横坐标相差π4，且图象经过点⎝⎛⎭⎫0，52，求这个函数的解析式．题型三函数y ＝A sin(ωx ＋φ)性质的综合应用[学生用书P21]例3 设函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π<φ<0)，y ＝f (x )图象的一条对称轴是直线x ＝π8.(1)求φ的值；(2)求函数y ＝f (x )的单调增区间．方法归纳对于函数单调性、对称性的研究，运用整体代换思想，只要熟练掌握y ＝sin x 的性质，就可以“以不变应万变”．跟踪训练已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，0≤φ≤π)在R 上是偶函数，其图象关于点M (3π4，0)对称，且在区间[0，π2]上是单调函数，求φ和ω的值．素养提升由y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的一段图象，求函数解析式，其关键是求参数A 、φ、ω的值． (1)求A 、ω两参数相对容易，由图象易知该函数的最值及周期T ，结合T ＝2πω可求出参数ω的值．(2)求参数φ时，往往借助于函数的零点，若零点右侧的图象是上升(下降)的，则令ωx 0＋φ＝0(ωx 0＋φ＝π)解出相应φ的值．若对φ有范围界定，可利用终边相同的角φ＋2k π(k ∈Z )来调整相应区间．失误防范1．y ＝A sin(ωx ＋φ)应注意五点法作图(尤其是指定区间不是通常意义上一个周期长度时)和图象变换过程(尤其注意y ＝A sin ωx →y ＝A sin(ωx ＋φ)平移单位为|φω|个单位，而不是|φ|个单位，关键是看x 变化量)．2．y ＝A sin(ωx ＋φ)的其他性质可化归到y ＝sin x 的性质上来，注意换元时ω的正负，若ω为负应先化为正．当堂检侧1．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π5的周期、振幅依次是( ) A ．4π，－2 B ．4π，2 C ．π，2D ．π，－22．为了得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象，只需把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象( ) A ．向左平移π4个长度单位 B ．向右平移π4个长度单位C ．向左平移π2个长度单位D ．向右平移π2个长度单位3．已知函数y ＝2 012sin ωx (ω>0)的图象与直线y ＋2 012＝0的相邻的两个公共点间的距离为2π3，则ω＝________． 4. 函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫其中A ＞0，|φ|＜π2的图象如图所示，则f (x )＝________．【参考答案】新知提炼1． (2)2πω， φ， [－|A |，|A |]，|A |(3)ωx ＋φ 描点， 3．正弦型函数的性质 (1) R ．(2) [－A ，A ] 2k π＋π2(k ∈Z )， 2k π＋3π2(k ∈Z )，(3)单调性：2k π－π2 2k π＋π2(k ∈Z )，2k π＋π2 ≤2k π＋3π2(k ∈Z )，(6) x ＝π2ω－φω＋k πω(k ∈Z ) ⎝⎛⎭⎫－φω＋k πω，0 自我尝试1． C【解析】因为y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6，所以把y ＝sin 2x 的图象向左平移π6个单位就能得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象． 2．2 018 π π6【解析】振幅A ＝2 018，周期T ＝2π2＝π，初相φ＝π6.3．πω【解析】y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象与x 轴相邻两交点间的距离为半个周期，即T 2＝πω.题型探究题型一图象变换及简单应用例1 【解】法一：y ＝sin x ――――――――――――――――――――→各点的纵坐标伸长到原来的2倍且关于x 轴作对称变换 y ＝－2sin x ――――――――――→向右平移π6个单位长度y ＝－2sin(x －π6)――――――――――――→各点的横坐标缩小到原来的12纵坐标不变y ＝－2sin(2x －π6)――――――――――→向上平移1个单位长度y ＝－2sin(2x －π6)＋1.法二：y ＝sin x ――――――――――――→各点的纵坐标伸长到原来的2倍且关于x 轴作对称变换y ＝－2sin x ――――――――――――――――→各点的横坐标缩小到原来的12纵坐标不变y ＝－2sin 2x ――――――――――――――――→向右平移π12个单位长度y ＝－2sin(2x －π6)――――――――――→向上平移1个单位长度y ＝－2sin(2x －π6)＋1.跟踪训练解：法一：①先把正弦曲线上所有的点向右平移π6个单位，得到函数y ＝sin(x －π6)的图象；②再把函数y ＝sin(x －π6)的图象上所有的点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π6的图象；③再把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π6的图象上所有的点的纵坐标伸长到原来的5倍(横坐标不变)，得到函数y ＝5sin ⎝⎛⎭⎫12x －π6的图象．法二：①先把正弦曲线上所有的点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y ＝sin 12x 的图象； ②再把函数y ＝sin 12x 的图象上所有的点向右平移π3个单位，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π6的图象； ③再把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π6的图象上所有的点的纵坐标伸长到原来的5倍(横坐标不变)，得到函数y ＝5sin ⎝⎛⎭⎫12x －π6的图象．题型二由函数图象求三角函数解析式例2 【答案】 A【解析】由图象知A ＝2，因为周期T 满足T 2＝π3－⎝⎛⎭⎫－π6，所以T ＝π，ω＝2πT ＝2.由x ＝π3时，y ＝2可知2×π3＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，所以φ＝－π6＋2k π(k ∈Z )，结合选项可知函数解析式为y＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. 跟踪训练 1.A【解析】由图象知M ＝2.设函数f (x )的最小正周期为T ，则14T ＝π3－⎝⎛⎭⎫－π6＝π2，可知T ＝2π，ω＝2πT ＝1，将点⎝⎛⎭⎫π3，2代入f (x )的解析式得sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝1，又|φ|<π2，可得φ＝π6，故函数f (x )的解析式为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，故选A. 2．解：由题意知A ＝5，T 2＝π4，所以T ＝π2＝2πω，所以ω＝4，所以y ＝5sin(4x ＋φ)．又因为图象经过点⎝⎛⎭⎫0，52，所以52＝5sin φ，即sin φ＝12，所以φ＝π6＋2k π(k ∈Z )或φ＝5π6＋2k π(k ∈Z )，又因为0<φ<π2，所以φ＝π6，所以这个函数的解析式为y ＝5sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6. 题型三函数y ＝A sin(ωx ＋φ)性质的综合应用例3 【解】 (1)因为x ＝π8是函数y ＝f (x )的图象的对称轴，所以sin(2×π8＋φ)＝±1.所以π4＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )．因为－π<φ<0，所以φ＝－3π4.(2)由(1)知φ＝－3π4，因此y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －3π4. 由题意得2k π－π2≤2x －3π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，即k π＋π8≤x ≤k π＋58π(k ∈Z )．所以函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －3π4的单调增区间为[k π＋π8，k π＋5π8](k ∈Z )．跟踪训练解：由f (x )是偶函数，得f (－x )＝f (x )，即函数f (x )的图象关于y 轴对称，所以f (x )在x ＝0时取得最值．即sin φ＝1或－1.依题设0≤φ≤π，所以解得φ＝π2.由f (x )的图象关于点M 对称，可知sin(3π4ω＋π2)＝0，解得ω＝4k 3－23，k ∈Z .又f (x )在[0，π2]上是单调函数，所以T ≥π，即2πω≥π，所以ω≤2.又ω>0，所以当k ＝1时，ω＝23；当k ＝2时，ω＝2.所以φ＝π2，ω＝2或23.当堂检侧1．B 【解析】振幅为2，周期为2π12＝4π.2．B【解析】因为y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π12， y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π6.则令φ＋π12＝－π6，所以φ＝－π6－π12＝－π4，故向右平移π4个长度单位．3．3【解析】函数y ＝2 012sin ωx 的最小值是－2 012，它与直线y ＋2 012＝0的相邻两个公共点之间的距离为一个周期，由2πω＝2π3，得ω＝3. 4. sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3【解析】由题意知，A ＝1.且图象过点⎝⎛⎭⎫π3，0和⎝⎛⎭⎫7π12，－1，有⎩⎨⎧π3ω＋φ＝π，7π12ω＋φ＝3π2，所以⎩⎪⎨⎪⎧ω＝2φ＝π3.所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3.。

高中数学 1.3 三角函数的图象与性质 1.3.1 正弦函数的

1.3.1 正弦函数的图象与性质自我小测1．函数y ＝1sin x的定义域为( ) A ．R B ．{x |x ≠k π，k ∈Z} C ．[－1,0)∪(0,1] D ．{x |x ≠0} 2．函数f (x )＝x 3＋sin x ＋1(x ∈R )，若f (－a )＝2，则f (a )的值为( )A ．3B ．0C ．－1D ．－23．已知a 是实数，则函数f (x )＝1＋a sin ax 的图象不可能是()4．已知函数f (x )＝2sin x ，对任意的x ∈R 都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)，则|x 1－x 2|的最小值为( )A ．4πB ．2π C ．π D ．2π 5．y ＝sin x －|sin x |的值域是( )A ．[－1,0]B ．[0,1]C ．[－1,1]D ．[－2,0]6．比较大小： (1)7sin 4__________5cos 3； (2)cos 18π⎛⎫- ⎪⎝⎭__________cos 10π⎛⎫- ⎪⎝⎭． 7．设f (x )是定义域为R ，最小正周期为32π的周期函数，若f (x )＝cos ,0,2sin ,0,x x x x ππ⎧-≤≤⎪⎨⎪<≤⎩则154f π⎛⎫ ⎪⎝⎭＝__________． 8．若f (x )是奇函数，当x >0时，f (x )＝x 2－sin x ，则当x <0时，f (x )＝__________． 9．已知方程cos 2x ＋4sin x －a ＝0有解，则a 的取值范围是__________．10．用“五点法”作出函数y ＝2－sin x ，x ∈[0,2π]的图象．11．若函数y ＝a －b sin x 的最大值为32，最小值为－12，求函数f (x )＝－4ab sin x 的最值．参考答案1．答案：B2．答案：B3．解析：当a ＝0时，f (x )＝1，选项C 符合；当0＜|a |＜1时，T ＞2π，f (x )的最大值小于2，选项A 符合；当|a |＞1时，T ＜2π，选项B 符合．排除选项A ，B ，C ，故选D ．答案：D4．解析：由不等式f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)对任意x ∈R 恒成立，不难发现f (x 1)，f (x 2)分别为f (x )的最小值和最大值，故|x 1－x 2|的最小值为函数f (x )＝2sin x 的半个周期．因为f (x )＝2sin x 的周期为2π，所以|x 1－x 2|的最小值为π．答案：C5．答案：D6．解析：(1)因为5cos 3＝5sin 23π⎛⎫+⎪⎝⎭，又2π＜74＜2π＋53＜3π2，但y ＝sin x 在3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数，所以7sin4＞5sin 23π⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝5cos 3，即7sin 4＞5cos 3． (2)因为－2π<－10π<－18π＜0，且y ＝cos x 在,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，所以cos 18π⎛⎫- ⎪⎝⎭ ＞cos 10π⎛⎫- ⎪⎝⎭．答案：(1)＞ (2)＞7．解析：由题意，得154f π⎛⎫ ⎪⎝⎭＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π＋3π4＝34f π⎛⎫⎪⎝⎭＝sin 34π＝sin 3,21,2a b a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩＝sin 4π＝2．答案：28．解析：当x <0时，－x >0，所以f (－x )＝(－x )2－sin(－x )＝x 2＋sin x ．又f (x )是奇函数，所以f (－x )＝－f (x )．所以f (x )＝－x 2－sin x ．答案：－x 2－sin x9．答案：[－4,4]10．解：列表如下：11．解：①当b >0时，由题意，得3,21,2a b a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩解得1,21.a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩所以y ＝－2sin x ，此时f (x )的最大值为2，最小值为－2．②当b <0时，由题意，得\3,21,2a b a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=-⎪⎩解得1,21. ab⎧=⎪⎨⎪=-⎩所以y＝2sin x，此时f(x)的最大值为2，最小值为－2．。

1.3.1高一数学正弦函数、余弦函数的图象课件

五点画图法
典型范例：
例1 （1）画出函数y=1+sinx，x[0, 2]的简图：
x
sinx
0 0 1
y
2 1

2

3 2
2 0 1
1+sinx
1 2
0 1
-1 0
y=1+sinx，x[0, 2]
2
o -1
2

3 2
2
步骤： 1.列表 2.描点 3. x连线
பைடு நூலகம்
合作探究例1：
1.4.1 正弦函数的图象
知识回顾:三角函数线
三角函数正弦函数
sin=MP
cos=OM tan=AT
y P
-1
T
三角函数线正弦线MP
余弦函数
正切函数
余弦线OM
正切线AT
O
M
A(1,0)
x
注意：三角函数线是有向线段！
sin ）？在直角坐标系中如何作点（， 3 3
y P
1

如何得到y＝1＋sinx ,ｘ∈〔0，２π〕的图象？
y
2
1
y=1+sinx，x[0, 2]
2
o -1
2

3 2
2
x
y=sinx，x[0, 2] 总结：函数值加减，图像上下移动
1 -4 -3 -2 -
o
-1

2
3
4
5
6
x
观察与思考：
观察我们用单位圆中的正弦线作出的函数ｙ＝sinｘ，ｘ∈〔0，２π〕的图象，你发现有哪几个点在确定图象的形状起着关键作用？