九年级数学几何变换

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图形的几何变换

图形的几何变换图形的几何变换是指对于一个图形，在平面上或空间中进行比例、旋转、平移、对称等操作后，得到的新图形。

这种操作可以改变图形的大小、方向、位置等特征，广泛运用于数学、物理、美术、计算机图形等领域。

以下从不同变换类型的角度分析图形的几何变换。

一、比例变换比例变换是指将一个图形沿着某个中心点或轴线进行等比例伸缩的变换。

其结果通常是一个形状相似但大小不同的新图形。

比例变换可以分为放大和缩小两种情况，当比例因子大于1时，为放大；比例因子小于1时，为缩小。

比例变换常见的应用包括模型制作、图形的等比例缩放等。

二、旋转变换旋转变换是指将一个图形沿着某个轴心或轴线进行旋转的变换。

旋转变换可分为顺时针旋转和逆时针旋转两种情况，其结果是一个相似但方向不同的新图形。

旋转变换的角度通常用弧度制表示，旋转角度为正时为逆时针旋转，为负时为顺时针旋转，常见的应用包括风车的运动、建筑设计的转角变换等。

三、平移变换平移变换又叫做移动变换，是指将一个图形沿着某个方向进行平移的变换。

平移变换可以将图形整体沿着平移向量的方向进行移动，其结果是一个与原图形相同但位置不同的新图形。

平移变换常见的应用包括机器人的运动、物体的位移等。

平移变换也可以看作是比例变换的特殊情况，比例因子为1，即不改变图形的大小。

四、对称变换对称变换是指将一个图形沿着某个轴线进行翻折的操作。

对称变换可以分为对称、反对称和正交对称三种类型。

对称变换的结果通常是一个与原图形相等但位置镜像对称的新图形。

对称变换在分形几何、美术设计等领域都有着广泛的应用。

五、仿射变换仿射变换是指图形在平面上或空间中进行非等比例伸缩、旋转、平移和投影等操作时的变换。

仿射变换的结果通常是一个与原图形相似但有略微变形的新图形。

仿射变换包括平移变换、旋转变换、比例变换和剪切变换等。

其应用领域包括医学图像处理、计算机图形学等。

总结图形的几何变换在现代科技和艺术中有着广泛的应用。

比例变换常用于造型、模型制作和图形的等比例缩放；旋转变换常用于旋转花纹、风车运动、建筑转角的变化等；平移变换常用于运动控制、物体的位移等；对称变换常用于几何分形、美术设计等领域；仿射变换则是结合了以上变换操作的高级变换，其应用范围更加广泛。

几何形的旋转反射与平移

几何形的旋转反射与平移几何形的旋转、反射与平移是数学中常见的几何变换方式。

通过这些变换，可以改变图形的位置、角度和方向，从而创造出各种不同的几何形。

本文将从旋转、反射和平移三个方面探讨几何形的变换特性，展示它们的应用及相关的数学原理。

一、旋转变换旋转变换是指围绕某个中心点旋转图形的操作。

旋转变换通过改变角度，使得图形绕中心点旋转一周或某一角度。

旋转变换可以按照顺时针或逆时针方向进行，旋转的角度可以是任意值。

旋转变换的数学原理基于坐标系的旋转公式。

对于平面上的点P(x, y)，以原点O为中心点，逆时针旋转θ角度后的新坐标为P'(x', y')，则旋转公式如下：x' = x * cosθ - y * sinθy' = x * sinθ + y * cosθ通过旋转变换，可以产生各种规则的几何形状，如正多边形、圆等。

旋转变换也常用于设计和计算机图形学等领域，用于创建绚丽的图形效果。

二、反射变换反射变换是指将图形围绕某个轴线进行对称操作，即将图形镜像翻转。

反射变换可以分为水平反射和垂直反射两种情况，分别以水平轴和垂直轴为对称轴进行反射。

反射变换的数学原理与对称性相关。

对于平面上的点P(x, y)，以水平轴为对称轴进行水平反射后的新坐标为P'(x, -y)，以垂直轴为对称轴进行垂直反射后的新坐标为P'(-x, y)。

反射变换常用于镜像对称的设计和构造问题，如设计平面图案、制作对称的艺术品等。

反射变换也可以用于解决实际问题，如建筑设计中的对称性考虑等。

三、平移变换平移变换是指将图形沿着横轴和纵轴进行平行移动的操作。

平移变换通过改变图形的位置，将图形移动到另一个位置上，而不改变其形状和大小。

平移变换的数学原理是将图形的每个点都沿着横坐标和纵坐标方向移动同一个距离。

对于平面上的点P(x, y)，平移变换后的新坐标为P'(x+a, y+b)，其中(a, b)为平移的距离。

初三数学二次函数图像性质及几何变换

初三数学二次函数图像性质及几何变换一．选择题（共50小题）1．抛物线y＝﹣3（x﹣2）2+4的开口方向和顶点坐标分别是（）A．向上，（2，4）B．向上，（﹣2，4）C．向下，（2，4）D．向下，（﹣2，4）2．关于y＝2（x﹣3）2+2的图象，下列叙述正确的是（）A．顶点坐标为（﹣3，2）B．对称轴为直线y＝3C．当x≥3时，y随x增大而增大D．当x≥3时，y随x增大而减小3．关于抛物线y＝﹣x2﹣2x的叙述，正确的是（）A．开口向下，对称轴是直线x＝﹣1B．开口向下，对称轴是直线x＝1C．开口向上，对称轴是直线x＝﹣1D．开口向上，对称轴是直线x＝14．关于二次函数y＝x2+2x﹣8，下列说法正确的是（）A．图象的对称轴在y轴的右侧B．图象与y轴的交点坐标为（0，8）C．当x＞﹣1时，y随x的增大而减小D．y的最小值为﹣95．关于二次函数y＝（x+1）2﹣3，下列说法错误的是（）A．图象的开口方向向上B．函数的最小值为﹣3C．图象的顶点坐标为（1，﹣3）D．当x＜﹣1时，y随x的增大而减小6．关于抛物线y＝﹣x2+2x﹣3的判断，下列说法正确的是（）A．抛物线的开口方向向上B．抛物线的对称轴是直线x＝﹣1C．当x＜1时，y随x的增大而减小D．抛物线与y轴的交点坐标为（0，﹣3）7．对二次函数y＝x2+2x+3的性质描述正确的是（）A．函数图象开口朝下B．当x＜0时，y随x的增大而减小C．该函数图象的对称轴在y轴左侧D．该函数图象与y轴的交点位于y轴负半轴8．关于二次函数y＝（x+2）2﹣4，下列说法正确的是（）A．函数图象的开口向下B．函数图象的顶点坐标是（2，﹣4）C．该函数的最大值是﹣4D．当x≥﹣2时，y随x的增大而增大9．已知点（﹣4，y1）、（﹣1，y2）、（2，y3）都在函数y＝﹣x2+5的图象上，则y1、y2、y3的大小关系为（）A．y1＞y2＞y3B．y3＞y2＞y1C．y2＞y3＞y1D．y3＞y1＞y210．已知点A（4，y1），B（1，y2），C（﹣2，y3）都在二次函数y＝（x﹣2）2﹣1的图象上，则y1，y2，y3从小到大排列（）A．y1＜y3＜y2B．y2＜y1＜y3C．y1＜y2＜y3D．y3＜y1＜y211．若二次函数y＝x2﹣4x+k的图象经过点（﹣1，y1），（3，y2），则y1与y2的大小关系为（）A．y1＝y2B．y1＞y2C．y1＜y2D．不能确定12．已知二次函数y＝a（x﹣1）2+4的图象开口向上，若点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（5，y3）都在该函数图象上，则y1，y2，y3三者之间的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3B．y1＜y3＜y2C．y2＜y1＜y3D．y3＜y1＜y213．已知（﹣1，y1），（﹣2，y2），（﹣4，y3）是抛物线y＝﹣2x2﹣8x+m上的点，则（）A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1C．y2＞y1＞y3D．y2＞y3＞y114．已知抛物线y＝﹣x2+2x+c，若点（0，y1）（1，y2）（3，y3）都在该抛物线上，则y1、y2、y3的大小关系是（）A．y3＞y1＞y2B．y3＜y2＜y1C．y3＞y2＞y1D．y3＜y1＜y215．已知抛物线y＝ax2﹣2ax+3（a＞0），A（﹣1，y1），B（2，y2），C（4，y3）是抛物线上三点，则y1，y2，y3由小到大的排列是（）A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y3＜y1＜y2D．y2＜y3＜y116．若A（﹣4，y1），B（﹣3，y2），C（1，y3）为二次函数y＝ax2+4ax﹣5（a＞0）的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y3＜y1＜y2D．y1＜y3＜y217．点（﹣1，y1），（2，y2），（4，y3）都在抛物线y＝﹣x2+2x+c上，则y1，y2，y3的大小关系为（）A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1C．y2＜y1＜y3D．y3＜y1＜y218．点（3，y1），（﹣2，y2），（0，y3）在抛物线y＝mx2﹣4mx+n（m＜0）上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y2＜y3＜y1B．y1＜y3＜y2C．y1＜y2＜y3D．y3＜y1＜y219．把抛物线y＝x2+1向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线（）A．y＝（x+3）2﹣1B．y＝（x+3）2+3C．y＝（x﹣3）2﹣1D．y＝（x﹣3）2+320．在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2+3先沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向下平移4个单位长度，则平移后得到的抛物线是（）A．y＝（x﹣3）2﹣4B．y＝（x﹣3）2﹣1C．y＝（x+3）2﹣4D．y＝（x+3）2﹣121．在平面直角坐标系中，将二次函数y＝（x﹣2）2+1的图象向左平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得图象对应的函数表达式为（）A．y＝（x+2）2﹣1B．y＝（x+2）2+3C．y＝x2﹣1D．y＝x2+322．要将抛物线y＝x2平移后得到抛物线y＝x2+4x+5，下列平移方法正确的是（）A．向左平移2个单位，再向上平移1个单位B．向左平移2个单位，再向下平移1个单位C．向右平移2个单位，再向上平移1个单位D．向右平移2个单位，再向下平移1个单位23．把抛物线y＝ax2+bx+c的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式为y＝x2﹣2x+3，则b+c 的值为（）A．12B．9C．﹣14D．1024．抛物线y＝3x2﹣6x﹣3的图象向左平移2个单位，再向上平移2个单位，所得图象的解析式为y＝3x2+bx+c，则b，c的值为（）A．b＝6，c＝﹣1B．b＝﹣18，c＝23C．b＝6，c＝﹣5D．b＝﹣18，c＝2925．二次函数y＝x2+2x+3图象上的两点A（x1，y1）与B（x2，y2）关于对称轴对称，则（）A．x1+x2＝﹣2；y1＝y2B．x1+x2＝﹣1；y1＝﹣y2C．x1＝x2；y1＝y2D．x1＝﹣x2；y1＝﹣y226．将抛物线y＝x2﹣2x+1向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度，得到抛物线y＝x2+bx+c，则b，c的值为（）A．b＝﹣8，c＝18B．b＝8，c＝14C．b＝﹣4，c＝6D．b＝4，c＝627．如果将抛物线y＝ax2+bx+c向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到新的抛物线y＝x2﹣2x+1，那么（）A．b＝6，c＝12B．b＝﹣6，c＝6C．b＝2，c＝﹣2D．b＝2，c＝428．先将抛物线y＝（x﹣1）2+2关于x轴作轴对称变换，所得的新抛物线的解析式为（）A．y＝﹣（x﹣1）2+2B．y＝﹣（x+1）2+2C．y＝﹣（x﹣1）2﹣2D．y＝﹣（x+1）2﹣229．在平面直角坐标系中，先将抛物线y＝x2+2x﹣8关于y轴作轴对称变换，再将所得的抛物线关于x轴作轴对称变换，那么经过两次变换后所得的新抛物线的解析式为（）A．y＝﹣x2﹣2x﹣8B．y＝﹣x2﹣2x+8C．y＝﹣x2+2x﹣8D．y＝﹣x2+2x+830．在平面直角坐标系中，先将抛物线y＝x2+x﹣2关于x轴作轴对称变换，再将所得的抛物线关于y轴作轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为（）A．y＝﹣x2﹣x+2B．y＝﹣x2+x﹣2C．y＝﹣x2+x+2D．y＝x2+x+231．将抛物线y＝（x﹣1）2+2沿y轴折叠后得到的新抛物线的解析式为（）A．y＝（x+1）2﹣2B．y＝（x﹣1）2﹣2C．y＝﹣（x﹣1）2﹣2D．y＝（x+1）2+232．二次函数y＝﹣x2+6x+a的最大值是10，那么a的值等于（）A．﹣1B．1C．3D．433．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象如图，当﹣5≤x≤0时，下列说法正确的是（）A．有最小值﹣5、最大值0B．有最小值﹣3、最大值6C．有最小值0、最大值6D．有最小值2、最大值634．当0≤x≤3，函数y＝﹣x2+4x+5的最大值与最小值分别是（）A．9，5B．8，5C．9，8D．8，435．已知0≤x≤1，那么函数y＝﹣2x2+8x﹣6的最大值是（）A．﹣6B．0C．2D．436．已知二次函数的图象（0≤x≤4）如图，关于该函数在所给自变量的取值范围内，下列说法正确的是（）A．有最大值2，有最小值﹣2.5B．有最大值2，有最小值1.5C．有最大值1.5，有最小值﹣2.5D．有最大值2，无最小值37．当a﹣1≤x≤a时，二次函数y＝x2﹣4x+3的最小值为8，则a的值为（）A．﹣1 或5B．0或6C．﹣1或6D．0或538．当a≤x≤a+2时，二次函数y＝x2﹣4x+4的最小值为1，则a的值为（）A．﹣1B．3C．﹣1或3D．0或339．已知二次函数y＝x2+2x+3，当0≤x≤3时，下列说法正确的是（）A．有最小值2，最大值18B．有最小值3，最大值18C．有最小值0，最大值3D．有最小值2，最大值1240．二次函数y＝﹣x2﹣2x+c在﹣3≤x≤2的范围内有最大值为﹣5，则c的值是（）A．﹣2B．3C．﹣3D．﹣641．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，其对称轴是直线x＝﹣1．下列结论中：①ac＜0；②b2＞4ac；③2a+b＝0；④a+b+c＞0．正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个42．如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为x＝﹣1，且过点（﹣3，0）．则下列说法：①abc＜0；②2a﹣b＝0；③a+b+c＝0；④若（﹣6，y1），是抛物线上的两点，则y1＞y2．其中正确的有（）个．A．1B．2C．3D．443．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝1，则以下五个结论①abc＞0，②2a+b＝0，③b2＞4ac，④4a+2b+c ＞0，⑤3a+c＜0中，正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个44．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象如图，下列结论：①abc＞0；②2a+b＝0；③4a+2b+c＞0；④a﹣b+c＞0；⑤b2﹣4ac＞0．其中正确的是（）A．②③④⑤B．①②④C．②③⑤D．①②③④⑤45．二次函数y＝ax2+bx+c图象的对称轴为直线x＝1，其图象如图所示，现有下列结论：①abc＞0；②b﹣2a＜0；③4a+2b+c＜0；④a+b≥m（am+b）．其中正确的结论有（）个．A．1个B．2个C．3个D．4个46．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，以下结论正确的个数为（）①abc＜0；②c+2a＜0；③9a﹣3b+c＝0；④am2﹣a+bm+b＞0（m为任意实数）A．1个B．2个C．3个D．4个47．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x＝1．下列结论：①abc＞0；②3a+c＞0；③（a+c）2﹣b2＜0；④a+b≤m（am+b）（m为实数）．其中结论正确的为（）A．①④B．②③④C．①②④D．①②③④48．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x＝1，下列结论：①abc＜0；②方程ax2+bx+c＝0（a≠0）必有一个根大于2且小于3；③11a+2c＞0；④对于任意实数m，都有m（am+b）≥a+b，其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个49．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象如图．下列结论：①abc＞0；②a﹣b+c＜0；③若m为任意实数，则有a+b≥am2+bm；④若，且x1≠x2，则x1+x2＝2；其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个50．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列4个结论：①abc＞0；②2a﹣b＝0；③若A（﹣1，y1），B（2，y2），C（4，y3）是抛物线上三点，则y3＜y2＜y1；④3a+c＞0；⑤am2+bm＜a+b（m≠1）；⑥关于x的方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，且这四个根的和为4，其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个( 50题) ( 59题)二．填空题（共10小题）51．若抛物线y＝x2+6x﹣m与x轴有公共点，则m的取值范围为．52．若二次函数y＝x2﹣6x+k与x轴有两个交点，则k的取值范围是．53．若关于x的函数y＝x2﹣2x+k+1的图象与x轴只有1个交点，则k的值是．54．二次函数y＝（k﹣1）x2﹣2x+1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是．55．二次函数y＝x2﹣6x+5的图象与x轴交点坐标是．56．已知二次函数y＝x2+4x+c的图象与x轴的一个交点坐标是（2，0），则它与x轴的另一个交点坐标是．57．已知抛物线y＝ax2﹣2ax+c与x轴的一个交点坐标为（3，0），与x轴的另一个交点坐标为．58．抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的两个交点坐标分别为（﹣3，0）和（1，0），则抛物线的对称轴为直线．59．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝1，关于x的方程ax2+bx+c＝0的一个根为x＝4，则另一个根为．60．抛物线y＝﹣4（x+3）2与x轴的交点坐标是，与y轴的交点坐标是．。

数学中的平移与旋转变换

数学中的平移与旋转变换平移变换和旋转变换是数学中常见的两种几何变换方式。

它们在几何学、计算机图形学等领域有着广泛的应用。

本文将介绍平移变换和旋转变换的基本概念、数学表示和实际应用。

一、平移变换平移变换是指将一个图形在平面上移动一段距离，保持图形的形状和大小不变。

平移变换是一种刚体变换，即变换之后的图形与原始图形相似但不重合。

平移变换的数学表示是一个二维向量，表示平移的横向和纵向的距离。

如果一个平面上的点P(x, y)进行平移变换，假设平移向量为v，则变换后的点P'的坐标为P'(x + v1, y + v2)。

其中，v1和v2分别表示平移向量在x轴和y轴上的分量。

平移变换可以用来描述物体的位移、运动和位置变化。

在计算机图形学中，平移变换被广泛应用于图像处理、动画制作等领域。

二、旋转变换旋转变换是指将一个图形绕一个固定点旋转一定角度，保持图形的形状和大小不变。

旋转变换同样是一种刚体变换，变换后的图形与原始图形相似但不重合。

旋转变换的数学表示是一个旋转矩阵，通过矩阵相乘的方式实现旋转。

设点P(x, y)绕一个点O旋转θ角度，变换后的点P'的坐标可表示为：```P' = |cosθ -sinθ | * P|sinθ cosθ |```其中，cosθ和sinθ分别表示角度θ的余弦和正弦值。

旋转变换在几何学、物理学和计算机图形学中有着广泛的应用。

它可以用来描述物体的旋转、变形和方向的变化。

三、平移与旋转的组合变换平移变换和旋转变换可以通过组合运算，实现更加复杂的图形变换。

在组合变换中，先进行平移变换，然后再进行旋转变换。

设点P(x, y)先进行平移变换，假设平移向量为v，则平移后的点为P'(x + v1, y + v2)。

再将平移后的点P'绕一个点O旋转θ角度，变换后的点为P''。

组合变换的数学表示为：```P'' = R * P'= R * (P + v)```其中，R表示旋转矩阵，P表示原始点的坐标，v表示平移向量。

专题10 几何变换中的三角形全等模型--2024年中考数学核心几何模型重点突破(解析版)

专题10几何变换中的三角形全等模型【模型1】全等三角形中的平移变换【说明】平移前后的三角形全等。

平移的基本性质：由平移的概念知，经过平移，图形上的每一个点都沿同一个方向移动相同的距离，平移不改变图形的形状和大小，因此平移具有下列性质：经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应角相等．【模型2】全等三角形中的折叠变换模型【说明】折叠问题实质上是利用了轴对称的性质。

轴对称变换的性质：①关于直线对称的两个图形是全等图形.②如果两个图形关于某直线对称，对称轴是对应点连线的垂直平分线.③两个图形关于某直线对称，如果它们对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上.④如果两个图形的对应点连线被同一直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称.【模型3】全等三角形中的旋转变换模型旋转变换的性质：图形通过旋转，图形中每一点都绕着旋转中心沿相同的方向旋转了同样大小的角度，任意一对对应点与旋转中心的连线都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等，旋转过程中，图形的形状、大小都没有发生变化.【例1】如图，DEF 是由ABC 经过平移得到的，AC 分别交DE 、EF 于点G 、H ，若120B ∠=︒，30C ∠=︒，则DGH ∠的度数为（）A ．150°B ．140°C ．120°D ．30°【答案】A 【分析】根据平移可知：ABC DEF ≅ ，AC DF ∥，根据全等三角形对应角相等，得出120E B ∠=∠=︒，30F C ∠=∠=︒，即可得出∠D 的度数，再根据平行线的性质得出∠DGH 的度数即可．【解析】根据平移可知，ABC DEF ≅ ，AC DF ∥，∴120E B ∠=∠=︒，30F C ∠=∠=︒，∴180D E F∠=︒-∠-∠18012030=︒-︒-︒30=︒，∵AC DF ∥，∴180DGH D ∠+∠=︒，∴180********DGH D ∠=︒-∠=︒-︒=︒，故A 正确．故选：A ．【例2】如图，纸片ABCD 的对边AD BC ∥，将纸片沿EF 折叠，CF 的对应边C F '交AD 于点G ．若AG GF =，且144∠=︒，则2∠的大小是（）A ．44︒B ．45︒C ．46︒D ．56︒【答案】C 【分析】利用等腰三角形和平行线的性质求得44AFG AFB ∠=∠=︒，再求得18092CFE C FE AFB AFG ∠+∠=︒-∠-∠=︒′，利用折叠的性质和平行线的性质即可求解．【解析】解：∵AG GF =，144∠=︒，∴144AFG ∠=∠=︒，∵AD BC ∥，144∠=︒，∴144AFB ∠=∠=︒，∴18092CFE C FE AFB AFG ∠+∠=︒-∠-∠=︒′，由折叠的性质可得CFE C FE '∠=∠，∴192=462CFE ∠=⨯︒︒，∵AD BC ∥，∴2==46CFE ∠∠︒，故选C【例3】如图，在等腰Rt ABC 和等腰Rt CDE 中，90ACB DCE ∠=∠=︒．(1)观察猜想：如图1，点E 在BC 上，线段AE 与BD 的关系是_________；(2)探究证明：把CDE △绕直角顶点C 旋转到图2的位置，（1）中的结论还成立吗？说明理由；(3)拓展延伸：把CDE △绕点C 在平面内转动一周，若10AC BC ==，5CE CD ==，AE 、BD 交于点P 时，连接CP ，直接写出BCP 最大面积_________．【答案】(1)AE BD =，AE BD ⊥；(2)结论仍成立，理由见解析；(3)252+．【分析】（1）先根据等腰三角形的定义可得AC BC =，CE CD =，再根据三角形全等的判定定理与性质可得AE BD =，EAC DBC ∠=∠，然后根据直角三角形两锐角互余、等量代换即可得90AHD ∠=︒即可；（2）先根据三角形全等的判定定理与性质可得AE BD =，EAC DBC ∠=∠，再根据直角三角形两锐角互余可得90EAC AOC ∠+∠=︒，然后根据对顶角相等、等量代换可得90BOH DBC ∠∠+=︒，从而可得90OHB ∠=︒即可；（3）如图：由题意可知点P 在以AB 为直径的O 上运动，点D 在C 上运动，观察图形，可知当BP 与C 相切时，BCP 面积最大；此时，四边形CDPE 为正方形，5PD CD ==；然后在Rt BDC 运用勾股定理求出BD ，进而求出BP 的最大值，最后运用三角形的面积公式求解即可．【解析】（1）解：AE BD =，AE BD ⊥，理由如下：如图1，延长AE 交BD 于H ，由题意得：AC BC =，90ACE BCD ∠=∠=︒，CE CD =，∴()ACE BCD SAS ≅ ，∴AE BD =，EAC DBC ∠=∠，∵90DBC BDC ∠+∠=︒，∴90EAC BDC ∠+∠=︒，∴0)9018(EAC BD A D C H ∠+∠∠︒==-︒，即AE BD ⊥，故答案为：AE BD =，AE BD ⊥．（2）解：结论仍成立，仍有：AE BD =，AE BD ⊥；理由如下：如图2，延长AE 交BD 于H ，交BC 于O ，∵90ACB ECD ∠=∠=︒，∴ACB BCE ECD BCE ∠-∠=∠-∠，即ACE BCD ∠=∠，在ACE 和BCD △中，AC BC ACE BCD CE CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()ACE BCD SAS ≅ ，∴AE BD =，EAC DBC ∠=∠，∵90ACB ∠=︒，∴90EAC AOC ∠+∠=︒，∵AOC BOH ∠=∠，∴90BOH DBC ∠∠+=︒，即90OBH BOH ∠+∠=︒，∴180()90OHB OBH BOH ∠=︒-∠+∠=︒，即AE BD ⊥．（3）解：如图：∵90APB ∠=︒，∴点P 在以AB 为直径的O 上运动.∵5CD CE ==，∴点D 在C 上运动，观察图形，可知当BP 与C 相切时，BCP 面积最大.此时，四边形CDPE 为正方形，5PD CD ==.在Rt BDC中，BD ==当BCP的面积最大时，5BP BD DP =+=+，12S BP CD =⋅=一、单选题1．如图，三角形ABC ，三角形EFG 均为边长为4的等边三角形，点D 是BC 、EF 的中点，直线AG 、FC 相交于点M ，三角形EFG 绕点D 旋转时，线段BM 长的最小值为（）A ．43B ．23C ．232-D ．434【答案】C 【分析】首先证明90AMF ∠=︒，判定出点M 在以AC 为直径的圆上运动，当M 运动到BM AC ⊥时，BM 最短来解决问题．【解析】解：如图，连接AE 、EC 、CG ，AD ，DE CD DF，==∠=∠，DEC DCE∴∠=∠，DFC DCF，∠+∠+∠+∠=︒180DEC DCE DFC DCFECF∴∠=︒，90∆是等边三角形，D是BC、EF的中点，、EFG∆ABC∴∠=∠=︒，90ADC GDE∴∠=∠，ADE GDC∴∆≅∆，()ADE GDC SAS∴=，DAE DGCAE CG∠=∠，DA DG，=∴∠=∠，DAG DGAGAE AGC∴∠=∠，∴∆≅∆，AGE GAC SAS()∴∠=∠，GAK AGK∴=，KA KG，=AC EG∴=，EK KCKEC KCE∴∠=∠，，∠=∠AKG EKC∴∠=∠，KAG KCE\∥，EC AG∴∠=∠=︒，90AMF ECF∴点M在以AC为直径的圆上运动，∴当BM AC⊥时，且B、M在AC的同侧时，BM最短，Q，AB=4∴=2OB==，AO OM∴的最小值为2-．BM故选：C ．2．如图，在正方形ABCD 中，AB ＝4，点M 在CD 的边上，且DM ＝1，△AEM 与△ADM 关于AM 所在的直线对称，将△ADM 按顺时针方向绕点A 旋转90°得到△ABF ，连接EF ，则线段EF 的长为（）A ．3B ．C ．5D 【答案】C 【分析】连接BM ．先判定FAE MAB ∆∆≌，即可得到EF BM =．再根据4BC CD AB ===，3CM =，利用勾股定理即可得到，Rt BCM ∆中，5BM =，进而得出EF 的长．【解析】解：如图，连接BM ．AEM ∆ 与ADM ∆关于AM 所在的直线对称，AE AD ∴=，MAD MAE ∠=∠．ADM ∆ 按照顺时针方向绕点A 旋转90︒得到ABF ∆，AF AM ∴=，FAB MAD ∠=∠．FAB MAE ∴∠=∠，FAB BAE BAE MAE ∴∠+∠=∠+∠．FAE MAB ∴∠=∠．FAE MAB ∴∆∆≌（SAS ）．EF BM ∴=．四边形ABCD 是正方形，4BC CD AB ∴===．1DM = ，3CM ∴=．∴在Rt BCM ∆中，5BM ，5EF ∴=，故选：C ．3．如图，ABCD 是一张矩形纸片，AB ＝20，BC ＝4，将纸片沿MN 折叠，点B '，C '分别是B ，C 的对应点，MB′与DC 交于K ，若△MNK 的面积为10，则DN 的最大值是（）A ．7.5B ．12.5C ．15D ．17【答案】D 【分析】作NE ⊥B M '于E ，NF ⊥BM 于F ，由折叠得∠1＝∠2，根据角平分线的性质得NE ＝NF ，可得四边形BCNF 是矩形，则NF ＝BC ＝4，根据△MNK 的面积为10得NK ＝MK ＝5，根据勾股定理得KE ＝3，则MF ＝ME ＝MK ﹣KE ＝5﹣3＝2，设DN ＝x ，则CN ＝20﹣x ，BM ＝BF +MF ＝20﹣x +2＝22﹣x ，由折叠可得BM ≥KM ，即22﹣x ≥5．可得x ≤17，即可得DN ≤17，则DN 的最大值是17．【解析】解：如图所示，过点N 作NE ⊥B M '于E ，NF ⊥BM 于F ，由折叠得∠1＝∠2，∴NE ＝NF ，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B ＝∠C ＝∠BFN ＝90°，AB CD ∥，∴四边形BCNF 是矩形，∠DNM =∠2，∴NE ＝NF ＝BC ＝4，∠1=∠DNM ，∴NK =MK ，∵△MNK 的面积为10，∴12KM •NE ＝12KN •NF ＝10，∴NK ＝MK ＝5，∴KE 22KN NE -3，在△MEN 和△MFN 中，12MEN MFN ME NF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△MEN ≌△MFN （AAS ），∴MF ＝ME ＝MK ﹣KE ＝5﹣3＝2，设DN ＝x ，则CN ＝BF ＝20﹣x ，∴BM ＝BF +MF ＝20﹣x +2＝22﹣x ，由折叠得BM ≥KM ，即22﹣x ≥5．∴x ≤17，即DN ≤17，∴DN 的最大值是17．故选：D ．4．如图，现有一张矩形纸片ABCD ，AB ＝4，BC ＝8，点M ，N 分别在矩形的边AD ，BC 上，将矩形纸片沿直线MN 折叠，使点C 落在矩形的边AD 上，记为点P ，点D 落在G 处，连接PC ，交MN 于点Q ，连接CM ．下列结论：①CQ ＝CD ；②四边形CMPN 是菱形；③P ，A 重合时，MN ＝PQM 的面积S 的取值范围是3≤S ≤5．其中正确的是（）A ．①②③④B ．②③C ．①②④D ．①③④【答案】B 【分析】先判断出四边形CNPM 是平行四边形，再根据翻折的性质可得CN ＝NP ，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明，判断出②正确；假设CQ ＝CD ，得Rt △CMQ ≌△CMD ，进而得∠DCM ＝∠QCM ＝∠BCP ＝30°，这个不一定成立，判断①错误；点P 与点A 重合时，设BN ＝x ，表示出AN ＝NC ＝8−x ，利用勾股定理列出方程求解得x 的值，进而用勾股定理求得MN ，判断出③正确；当MN 过D 点时，求得四边形CMPN 的最小面积，进而得S 的最小值，当P 与A 重合时，S 的值最大，求得最大值即可．【解析】解：如图1，∵四边形ABCD是矩形，∴PM∥CN，∴∠PMN＝∠MNC，∵∠MNC＝∠PNM（折叠的性质），∴∠PMN＝∠PNM，∴PM＝PN，∵NC＝NP（折叠的性质），∴PM＝CN，∴四边形CNPM是平行四边形，∵CN＝NP，∴四边形CNPM是菱形，故②正确；∴CP⊥MN，∠BCP＝∠MCP，∴∠MQC＝∠D＝90°，∵CM＝CM，若CQ＝CD，则Rt△CMQ≌Rt△CMD（HL），∴∠DCM＝∠QCM＝∠BCP＝30°，这个不一定成立，故①错误；点P与点A重合时，如图2所示：设BN＝x，则AN＝NC＝8−x，在Rt△ABN中，AB2＋BN2＝AN2，即42＋x2＝（8−x）2，解得x ＝3，∴CN ＝8−3＝5，AC∴CQ ＝12AC ＝∴QN∴MN ＝2QN ＝当MN 过点D 时，如图3所示：此时，CN 最短，四边形CMPN 的面积最小（四边形CNPM 的边CN 上的高固定为AB 的长），此时四边形CNPM 是正方形，则S 最小＝14S 菱形CMPN ＝14×4×4＝4，当P 点与A 点重合时，CN 最长，四边形CMPN 的面积最大，则S 最大＝14×5×4＝5，∴4≤S ≤5，故④错误．故选：B ．5．如图，在Rt ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D 为BC 的中点，直角MDN ∠绕点D 旋转，DM ，DN 分别与边AB ，AC 交于E ，F 两点，下列结论：①DEF 是等腰直角三角形；②AE CF =；③12ABC AEDF S S =△四边形；④BE CF EF +=，其中正确结论的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【分析】根据等腰直角三角形的性质可得∠CAD =∠B =45°，根据同角的余角相等求出∠ADF =∠BDE ，然后利用“角边角”证明△BDE 和△ADF 全等，判断出③正确；根据全等三角形对应边相等可得DE =DF 、BE =AF ，从而得到△DEF 是等腰直角三角形，判断出①正确；再求出AE =CF ，判断出②正确；根据BE +CF =AF +AE ，利用三角形的任意两边之和大于第三边可得BE +CF ＞EF ，判断出④错误．【解析】∵∠BAC =90°，AB =AC ，∴△ABC 是等腰直角三角形，∠B =45°，∵点D 为BC 中点，∴AD =CD =BD ，AD ⊥BC ，∠CAD =45°，∴∠CAD =∠B ，∠BDE +∠ADE =∠ADB =90°∵∠MDN 是直角，∴∠ADF +∠ADE =90°，∴∠ADF =∠BDE ，在△BDE 和△ADF 中，CAD B AD BD ADF BDE ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝，∴△BDE ≌△ADF （ASA ），∴DE =DF ，BE =AF ，∴△DEF 是等腰直角三角形，故①正确；∵AE =AB -BE ，CF =AC -AF ，∴AE =CF ，故②正确；∵△BDE ≌△ADF∴BDE ADFS S = ∴12ADE ADF ADE BDE BDA ABC AEDF S S S S S S S =+=+==△△△△△△四边形故③正确；∵BE +CF =AF +AE ＞EF ，∴BE +CF ＞EF ，故④错误；综上所述，正确的是①②③，故选：C.6．如图，在ABC 中，AB BC =，将ABC 绕点B 顺时针旋转，得到11A BC V ，1A B 交AC 于点E ，11A C 分别交AC ，BC 于点D ，F ，则下列结论一定正确的是（）A ．CDF A∠=∠B ．1AE CF =C ．11A DE C ∠=∠D ．DF FC=【答案】B 【分析】根据将△ABC 绕点B 顺时针旋转，得到△A 1BC 1，可证明△A 1BF ≌△CBE ，从而可得A 1E =CF ，即可得到答案．【解析】解：∵AB =BC ，∴∠A =∠C ，∵将△ABC 绕点B 顺时针旋转，得到△A 1BC 1，∴A 1B =AB =BC ，∠A 1=∠A =∠C ，在△A 1BF 和△CBE 中111A C AB CB A BF CBE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△A 1BF ≌△CBE （ASA ），∴BF =BE ，∴A 1B -BE =BC -BF ，即A 1E =CF ，故B 正确，其它选项的结论都不能证明，故选：B ．7．如图，在矩形ABCD 中，点M 在AB 边上，把BCM 沿直线CM 折叠，使点B 落在AD 边上的点E 处，连接EC ，过点B 作BF EC ⊥，垂足为F ，若1,2CD CF ==，则线段AE 的长为（）A2B1C ．13D ．12【答案】A 【分析】先证明△BFC ≌△CDE ，可得DE =CF =2，再用勾股定理求得CEAD =BCAE 的长．【解析】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴BC =AD ，∠ABC =∠D =90°，AD ∥BC ，∴∠DEC =∠FCB ，∵BF EC ⊥，∴∠BFC =∠CDE ，∵把BCM 沿直线CM 折叠，使点B 落在AD 边上的点E 处，∴BC =EC ，在△BFC 与△CDE 中，DEC FCB BFC CDE BC EC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BFC ≌△CDE （AAS ），∴DE =CF =2，∴CE ===∴AD =BC =CE∴AE =AD -DE2，故选：A ．8．如图，正方形ABCD 中，AB ＝12，点E 在边BC 上，BE ＝EC ，将△DCE 沿DE 对折至△DFE ，延长EF 交边AB 于点G ，连接DG 、BF ，给出以下结论：①△DAG ≌△DFG ；②BG ＝2AG ；③S △DGF ＝48；④S △BEF ＝725．其中所有正确结论的个数是（）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】B 【分析】①根据正方形的性质和折叠的性质可得AD ＝DF ，∠A ＝∠GFD ＝90°，于是根据“HL ”判定Rt △ADG ≌Rt △FDG ；②再由GF +GB ＝GA +GB ＝12，EB ＝EF ，△BGE 为直角三角形，可通过勾股定理列方程求出AG ＝4，BG ＝8，即可判断；③根据①即可求出三角形DGF 的面积；④结合①可得AG ＝GF ，根据等高的两个三角形的面积的比等于底与底的比即可求出三角形BEF 的面积．【解析】解：①∵四边形ABCD 是正方形，∴AD ＝DC ，∠C ＝∠A ＝90°，由折叠可知，DF ＝DC ＝DA ，∠DFE ＝∠C ＝90°，∴∠DFG ＝180°－∠DFE ＝90°，∴∠DFG ＝∠A ＝90°，在Rt △ADG 和Rt △FDG 中，AD DF DG DG=⎧⎨=⎩，∴Rt △ADG ≌Rt △FDG （HL ），故①正确；②∵正方形边长是12，∴BE ＝EC ＝EF ＝6，设AG ＝FG ＝x ，则EG ＝x +6，BG ＝12﹣x ，由勾股定理得：EG 2＝BE 2+BG 2，即：（x +6）2＝62+（12﹣x ）2，解得：x ＝4，∴AG ＝GF ＝4，BG ＝8，BG ＝2AG ，故②正确；③∵Rt △ADG ≌Rt △FDG ，∴S △DGF ＝S △ADG ＝12×AG •AD ＝12×4×12＝24，故③错误；④∵S △GBE ＝12BE •BG ＝12×6×8＝24，∵GF ＝AG ＝4，EF ＝BE ＝6，∴23BFG BEF S GF S EF ==△△，∴337224555BEF GBE S S ==⨯=△△，故④正确．综上可知正确的结论的是3个，故选：B ．二、填空题9．如图，矩形纸片ABCD 中，AB =8cm ，把矩形纸片沿直线AC 折叠，点B 落在点E 处，AE 交DC 于点F ，若AD =6cm ，则∠EAD 的正弦值为_____．【答案】724【分析】首先根据勾股定理计算出AC 的长，再根据折叠的方法可得△ABC ≌△AEC ，△ADF ≌△CEF ，进而可得到可知AE =AB =8cm,CE =BC =AD =6cm,再设AF =x ,则EF =DF =（8-x ）cm,在Rt △ADF 中利用勾股定理可得22268x x +-=（），求得AF 的长，再通过勾股定理求得DF 的长，最后可得结果．【解析】解：∵四边形ABCD 是矩形，AD =6cm,∴BC =AD =6cm,∵AB =8cm,∴10cm AC =,矩形纸片沿直线AC 折叠，则△ABC ≌△AEC ，∠E =∠B =90°，∵四边形ABCD 为矩形，∴AD =BC=CE ，∠D =∠B =90°，∴∠E =∠D =90°，又∵∠AFD =∠EFC ，∴△ADF ≌△CEF （AAS ），可知AE =AB =8cm,CE =BC =AD =6cm,设AF =x ,则EF =DF =（8-x ）cm,在Rt △ADF 中，222AD DF AF +=，即：22268x x +-=（），解得x =254．∴AF =254，∴74DF ===，∴774tan 624DF EAD AD ∠===故答案为：724．10．如图，已知正方形ABCD 的边长为3，E 、F 分别是AB 、BC 边上的点，且∠EDF =45°，将 DAE 绕点D 逆时针旋转90°，得到 DCM ．若AE =1，则FM 的长为__．【答案】2.5【分析】由旋转可得DE =DM ，∠EDM 为直角，可得出∠EDF +∠MDF =90°，由∠EDF =45°，得到∠MDF 为45°，可得出∠EDF =∠MDF ，再由DF =DF ，利用SAS 可得出三角形DEF 与三角形MDF 全等，由全等三角形的对应边相等可得出EF =MF ；则可得到AE =CM =1，正方形的边长为3，用AB -AE 求出EB 的长，再由BC +CM 求出BM 的长，设EF =MF =x ，可得出BF =BM -FM =BM -EF =4-x ，在直角三角形BEF 中，利用勾股定理列出关于x 的方程，求出方程的解得到x 的值，即为FM 的长．【解析】解：∵△DAE 逆时针旋转90°得到△DCM ，∴∠FCM =∠FCD +∠DCM =180°，∴F 、C 、M 三点共线，∴DE =DM ，∠EDM =90°，∴∠EDF +∠FDM =90°，∵∠EDF =45°，∴∠FDM =∠EDF =45°，在△DEF 和△DMF 中，DE DM EDF FDM DF DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DEF ≌△DMF （SAS ），∴EF =MF ，设EF =MF =x ，∵AE =CM =1，且BC =3，∴BM =BC +CM =3+1=4，∴BF =BM -MF =BM -EF =4-x ，∵EB =AB -AE =3-1=2，在Rt △EBF 中，由勾股定理得222EB BF EF +=，2222(4)x x +-=，解得： 2.5x =．故答案为：2.5．11．如图，点E 在正方形ABCD 的CD 边上，连结BE ，将正方形折叠，使点B 与E 重合，折痕MN 交BC 边于点M ，交AD 边于点N ，若tan ∠EMC ＝34，ME ＋CE ＝8，则折痕MN 的长为___________．【答案】【分析】过N 作NH ⊥BC 于H ，得到四边形ABHN 是矩形，根据矩形的性质得到NH ＝AB ，∠NHM ＝90°，证明△BCE ≌△NHM ，根据全等三角形的性质得到HM ＝CE ，设CE ＝3x ，则CM ＝4x ，根据勾股定理得到EM ＝5x ，求出x ，可得NH ＝9，再利用勾股定理计算即可．【解析】解：过N 作NH ⊥BC 于H ，则四边形ABHN是矩形，∴NH ＝AB ，∠NHM ＝90°，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠C ＝90°，AB ＝BC ，∴NH ＝BC ，∵将正方形折叠，使点B 与E 重合，∴MN ⊥BE ，BM ＝ME ，∴∠HNM ＋∠NMH ＝∠EBC ＋∠BMN ＝90°，∴∠EBC ＝∠HNM ，在△BCE 与△NHM 中，NHM C NH BC HNM CBE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△BCE ≌△NHM （ASA ），∴HM＝CE，在Rt△EMC中，∵tan∠EMC＝34 CECM=，∴设CE＝3x，则CM＝4x，由勾股定理得：EM＝5x，∵ME＋CE＝8，∴5x＋3x＝8，∴x＝1，∴EM＝5，HM＝CE＝3，CM＝4，∴BC＝BM＋CM＝EM＋CM＝9，∴NH＝9，∴MN=故答案为：12．如图，△ABC，△DEP是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC＝∠PDE＝90°．使△DEP 的顶点P与△ABC的顶点A重合，PD，PE分别与BC相交于点F、G，若BF＝6，CG＝4，则FG＝_____．【答案】【分析】将△ABF绕A点逆时针旋转，使AB与AC重合，即可构建出直角三角形CGH，由勾股定理可求出GH的长度，再证明△FAG≌△GAH即可．【解析】解：将△ABF绕A点逆时针旋转，使AB与AC重合，∵△ACH由△ABF旋转得到，∴∠BAF=∠CAH，CH=BF=6，AF=AH，∠B=∠ACH∵△ABC，△DEP是两个全等的等腰直角三角形∴∠B=45°，∠ACB=45°∴∠HCG=90°在Rt△HCG中，由勾股定理得：GH=∵∠FAG=45°∴∠BAF+∠GAC=45°∴∠CAH+∠GAC=45°，即∠GAH=45°在△FAG和△GAH中，AF=AH，∠FAG=∠GAH，AG=AG∴△FAG≌△GAH∴FG=GH=故答案为：13．如图，四边形ABCD为正方形，点E是BC的中点，将正方形ABCD沿AE折叠，得到AB=，则DP的长度为___________．点B的对应点为点F，延长EF交线段DC于点P，若6【答案】2【分析】连接AP，根据正方形的性质和翻折的性质证明Rt△AFP≌Rt△ADP（HL），可得PF＝PD，设PF＝PD＝x，则CP＝CD−PD＝6−x，EP＝EF＋FP＝3＋x，然后根据勾股定理即可解决问题．【解析】解：连接AP，如图所示，∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝BC＝AD＝6，∠B＝∠C＝∠D＝90°，∵点E 是BC 的中点，∴BE ＝CE ＝12AB ＝3，由翻折可知：AF ＝AB ，EF ＝BE ＝3，∠AFE ＝∠B ＝90°，∴AD ＝AF ，∠AFP ＝∠D ＝90°，在Rt △AFP 和Rt △ADP 中，AP AP AF AD =⎧⎨=⎩，∴Rt △AFP ≌Rt △ADP （HL ），∴PF ＝PD ，设PF ＝PD ＝x ，则CP ＝CD −PD ＝6−x ，EP ＝EF ＋FP ＝3＋x ，在Rt △PEC 中，根据勾股定理得：EP 2＝EC 2＋CP 2，∴（3＋x ）2＝32＋（6−x ）2，解得x ＝2，则DP 的长度为2，故答案为：2．14．如图，在边长为6的正方形ABCD 内作45EAF ∠=︒，AE 交BC 于点E ，AF 交CD 于点F ，连接EF ，将ADF 绕点A 顺时针旋转90°得到ABG ，若3DF =，则BE 的长为__________．【答案】2【分析】根据旋转的性质可知，△ADF ≌△ABG ，然后即可得到DF =BG ，∠DAF =∠BAG ，然后根据已知条件证明△EAG ≌△EAF ，设BE x =，在Rt CEF 中，由勾股定理可以求出BE 的长．【解析】解：由旋转可知，△ADF ≌△ABG ，∴3DF BG ==，∠DAF =∠BAG ，∵∠DAB =90°，∠EAF =45°，∴∠DAF +∠EAB =45°，∴∠BAG +∠EAB =45°，∴∠EAF =∠EAG ，在△EAG 和△EAF 中，AG AF EAG EAF AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴GE =FE ，设BE x =，则3GE GB BE x =+=+，6CE x =-，∴3EF GE x ==+，∵CD =6，DF =3，∴633CF CD DF =-=-=，∵∠C =90°，∴在Rt CEF 中，222CE CF EF +=，即222(6)3(3)x x -+=+，解得，2x =，即BE =2．故答案为：2．三、解答题15．如图，在ΔABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，D 是AB 边上一点（点D 与A ，B 不重合），连接CD ，将线CD 绕点C 按逆时针方向旋转90°得到线段CE ，连接DE 交BC 于点F ，连接BE.(1)求证：ΔACD ≌ΔBCE ；(2)当AD ＝BF 时，求∠BEF 的度数.【答案】(1)证明见解析；(2)67.5BEF ∠= 【分析】（1）利用边角边证明三角形全等即可；（2）先推理得到△BEF 是等腰三角形，再由全等得到∠CBE =45 ，即可得到∠BEF 的度数．【解析】（1）证明：∵90ACB ∠=90ACD DCB ∴∠+∠=又∵CD 绕点C 按逆时针方向旋转90°得到线段CE∴90DCE ∠= ,CD =CE∴90BCE DCB ∠+∠=∴ACD BCE∠=∠在ACD △和BCE 中：AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩（2）解：由第一问知，ACD BCE≅△△∴AD =BE ,∠CAD =∠CBE又∵AD =BF∴BE =BF在ACB △中，AC =BC ,90ACB ∠=∴45CAD CBA ∠=∠=在BEF 中，BE =BF ,∠CBE =45 ∴1(18045)67.52BEF BFE ∠=∠=-= 16．如图，ABC 中，AB AC =，42BAC ∠=︒，D 为ABC 内一点，连接AD ，将AD 绕点A 逆时针旋转42︒，得到AE ，连接DE ，BD ，CE ．(1)求证：BD CE =；(2)若DE AC ⊥，求BAD ∠的度数．【答案】(1)证明见解析；(2)21︒【分析】（1）根据旋转的性质得到AD AE =，42DAE ∠=︒，可得CAE BAD ∠=∠，然后证明ABD ACE △≌△，最后利用全等三角形的性质即可证明结论；（2）根据等腰三角形的性质得到1212CAE DAE ∠=∠=︒，根据全等三角形的性质可得到结论．【解析】（1）证明：∵将AD 绕点A 逆时针旋转42︒，得到AE ，∴AD AE =，42DAE ∠=︒，∵42BAC ∠=︒，∴BAC DAE ∠=∠，∴BAD CAE ∠=∠，在ABD △与ACE 中，AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()ABD ACE SAS ≌，∴BD CE =．（2）解：由（1）知：AD AE =，42DAE ∠=︒，∵DE AC ⊥，∴1212CAE DAE ∠=∠=︒，∵BAD CAE ∠=∠，∴21BAD ∠=︒．17．如图（1），已知△ABC 的面积为3，且AB =AC ，现将△ABC 沿CA 方向平移CA 长度得到△EF A．（1）求△ABC 所扫过的图形面积；（2）试判断，AF 与BE 的位置关系，并说明理由；（3）若∠BEC =15°，求AC 的长．【答案】（1）9；（2）BE ⊥AF ，理由见解析；（3）【分析】（1）根据平移的性质及平行四边形的性质可得到S △EFA =S △BAF =S △ABC ，从而便可得到四边形CEFB 的面积；（2）由已知可证得平行四边形EFBA 为菱形，根据菱形的对角线互相垂直平分可得到AF 与BE 的位置关系为垂直；（3）作BD ⊥AC 于D ，结合三角形的面积求解．【解析】解：（1）由平移的性质得AF ∥BC ，且AF =BC ，△EFA ≌△ABC∴四边形AFBC 为平行四边形S △EFA =S △BAF =S △ABC =3∴四边形EFBC 的面积为9；（2）BE⊥AF证明：由（1）知四边形AFBC为平行四边形∴BF∥AC，且BF=AC又∵AE=CA∴BF∥AE且BF=AE∴四边形EFBA为平行四边形又已知AB=AC ∴AB=AE∴平行四边形EFBA为菱形∴BE⊥AF；（3）如上图，作BD⊥AC于D∵∠BEC=15°，AE=AB∴∠EBA=∠BEC=15°∴∠BAC=2∠BEC=30°∴在Rt△BAD中，AB=2BD设BD=x，则AC=AB=2x∵S△ABC =3，且S△ABC=12AC•BD=12•2x•x=x2∴x2=3∵x为正数∴x3∴AC318．已知：点D是等腰直角三角形ABC斜边BC所在直线上一点（不与点B重合），连接AD．(1)如图1，当点D在线段BC上时，将线段AD绕点A逆时针方向旋转90°得到线段AE，连接CE．直接写出BD和CE数量关系和位置关系．(2)如图2，当点D在线段BC延长线上时，将线段AD绕点A逆时针方向旋转90°得到线段AE，连接CE，画出图形．（1）的结论还成立吗?若成立，请证明；若不成立，说明理由．【答案】(1)BD和CE的数量关系是相等，位置关系是互相垂直，理由见详解；(2)成立，理由见详解．【分析】（1）由题意易得AB=AC，∠BAC=∠DAE=90°，AD=AE，则有∠BAD=∠CAE，然后可证△ABD≌△ACE，进而问题可求解；（2）如图，然后根据（1）中的证明过程可进行求解．【解析】(1)解：BD⊥CE且BD=CE，理由如下：∵△ABC是等腰直角三角形，∴AB=AC，∠BAC=90°，∠ABC=∠ACB=45°，由旋转的性质可得：∠DAE=90°，AD=AE，∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC=90°，∴∠BAD=∠CAE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD=∠ACE=45°，BD=CE，∴∠ACE+∠ACB=90°，即∠BCE=90°，∴BD⊥CE；(2)解：（1）中结论仍成立，理由如下：由题意可得如图所示：∵△ABC 是等腰直角三角形，∴AB =AC ，∠BAC =90°，∠ABC =∠ACB =45°，由旋转的性质可得：∠DAE =90°，AD =AE ，∴∠BAC +∠DAC =∠EAD +∠DAC ，∴∠BAD =∠CAE ，∴△ABD ≌△ACE （SAS ），∴∠ABD =∠ACE =45°，BD =CE ，∴∠ACE +∠ACB =90°，即∠BCE =90°，∴BD ⊥CE ．19．如图，在ABC 中，45B ︒∠=，60C ︒∠=，点E 为线段AB 的中点，点F 在边AC 上，连结EF ，沿EF 将AEF 折叠得到PEF ．（1）如图1，当点P 落在BC 上时，求AEP ∠的度数．（2）如图2，当PF AC ⊥时，求BEP ∠的度数．【答案】（1）90°；（2）60°【分析】（1）证明BE=EP ，可得∠EPB=∠B=45°解决问题．（2）根据折叠的性质求出∠AFE=45°，根据三角形内角和求出∠BAC ，从而得到∠AEF 和∠PEF ，再根据平角的定义求出∠BEP ．【解析】解：（1）如图1中，∵折叠，∴△AEF ≌△PEF ，∴AE=EP ，∵点E 是AB 中点，即AE=EB ，∴BE=EP ，∴∠EPB=∠B=45°，∴∠PEB=90°，∴∠AEP=180°-90°=90°．（2）∵PF ⊥AC ，∴∠PFA=90°，∵沿EF 将△AEF 折叠得到△PEF ．∴△AEF ≌△PEF ，∴∠AFE=∠PFE=45°，∵∠B=45°，∠C=60°，∴∠BAC=180°-45°-60°=75°，∴∠AEF=∠PEF=180°-75°-45°=60°，∴∠BEP=180°-60°-60°=60°．20．如图1，AB AC =，EF EG =，ABC ≌EFG ，AD BC ⊥于点D ，EH FG ⊥于点H ．(1)直接写出AD 、EH 的数量关系：______；(2)将EFG 沿EH 剪开，让点E 和点C 重合．①按图2放置EHG ，将线段CD 沿EH 平移至HN ，连接AN 、GN ，求证：AN GN ⊥；②按图3放置EHG ，B 、()C E 、H 三点共线，连接AG 交EH 于点M ，若1BD =，3AD =，求CM 的长度．【答案】(1)AD EH =；(2)①见解析；②2【分析】（1）利用全等三角形的性质即可解决问题；（2）①设∠CDN =a ，证明∠AND =∠HNG =45°-2a ，即可解决问题；②易证明AD =DM ，可得CM =DM -DC =3-1=2．【解析】(1)∵△ABC ≌△EFG ，AD ⊥BC 于点D ，EH ⊥FG 于点H ，∴AD =EH ；(2)①如图2中，由题意可知：△ABD ≌△ACD ≌△EFH ≌△EGH ，CD =HG ，AD =CH ，∠ADC =∠CHG =90°，∵DC 沿CH 平移至HN ，∴DN =CH ，DN //CH ，DC=NH ，∴AD=DN ，NH=GH ，∴∠DAN =∠DNA ，∠HNG =∠HGN ，设∠CDN =α，∵DC //NH ，DN //CH ，∴∠CDN +∠DNH =∠DNH +∠CHN =180°，∴∠DNH =180°−α，∠CDN =∠CHN =α，∴∠NHG =90°+α，∴∠AND =∠HNG =45°−2a ，∴∠ANG =∠DNH −∠AND −∠HNG =90°，∴AN ⊥GN ．②解：如图3中，∵AC =GC ，∴∠CAG =∠CGA ，又∵∠CAD =∠GCH ，∴∠CAG +∠CAD =∠CGA +∠GCH ，即∠DAM =∠DMA ，又∵∠ADM =90°，∴∠DAM =∠DMA =45°，∴AD=DM =3，∵DC=BD =1，∴CM =DM −DC =3−1=2．21．如图1，已知在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A =30°，将Rt △ABC 绕C 点顺时针旋转α（0°＜α＜90°）得到Rt △DCE（1）当α＝15°，则∠ACE ＝°；（2）如图2，过点C 作CM ⊥BF 于M ，作CN ⊥EF 于N ，求证：CF 平分∠BFE ．（3）求Rt △ABC 绕C 点顺时针旋转，当旋转角α（0°＜α＜90°）为多少度时，△CFG 为等腰三角形．【答案】（1）15；（2）见解析；（3）40゜或20゜【分析】（1）由旋转性质知：∠ACE DCB α=∠=，求出∠ACE 即可；（2）由等面积法证明出CM =CN ，再结合角平分线的判定，即可证CF 平分∠BFE ；（3）根据旋转性质得BFD BCD α∠=∠=，由CF 平分∠BFE 得1190,22CFG CFB BFE α︒∠=∠=∠=-由∠A 为30°得1602ACF α∠=︒-，由AFG BFD α∠=∠=得∠CGF =30°+α，再分CF =CG 或CF =FG 或CG =FG 三种情况讨论，求出α即可．【解析】解：（1）由旋转性质，得：15ACE DCB α∠=∠==︒，故答案为：15；（2）证明：由旋转性质，得：≌ACB ECD △△；∴ABC EDC AB DE S S == ，，∵CM BF CN EF ⊥⊥，，∴1122AB CM DE CN ⋅⋅＝，∴CM CN =，∴CF 平分∠BFE ；（3）∵9030ACB A ∠=︒∠=︒，，∴9060B A ∠=︒-∠=︒，由旋转性质，得：60B D BCD α∠=∠=︒∠=，，∵B BCD D BFD ∠+∠=∠+∠，∴BFD BCD α∠=∠=，∴AFG BFD α∠=∠=，∴30180180CGF BFE BFD αα∠=︒+∠=︒-∠=︒-，，由（2）知CF 平分∠BFE ，∴119022CFG CFB BFE α∠=∠=∠=︒-，∴1602ACF CFB A α∠=∠-∠=︒-，①当CF =CG 时，∠CFG =∠CGF ，∴190302αα︒-=︒+，解得：α=40°，②当CF =FG 时，∠FCG =∠CGF ，∴160302αα︒-=︒+，解得：α=20°，③当CG =FG 时，∠FCG =∠CFG ，∴11906022αα︒-=︒-，此方程无解，综上所述，α=20°或40°时，△CFG 为等腰三角形．22．如图1，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB =AC 1，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，且1AD AE ==，连接DE ．现将△ADE 绕点A 顺时针方向旋转，旋转角为α，如图2，连接CE ，BD ，CD ．(1)当0180α︒<<︒时，求证：CE BD =；(2)如图3，当90α=︒时，延长CE 交BD 于点F ，求证：CF 垂直平分BD ．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析【分析】（1）利用“SAS ”证得ACE ABD ≌即可得到结论；（2）利用“SAS ”证得ACE ABD ≌，由性质推出ACE ABD ∠=∠，计算得出22CD BC =，再利用等腰三角形“三线合一”的性质即可得到结论；【解析】（1）证明：根据题意：AB =AC ，AD =AE ，∠CAB =∠EAD =90︒，∵∠CAE +∠BAE =∠BAD +∠BAE =90︒，∴∠CAE =∠BAD ，在△ACE 和△ABD 中，AC AB CAE BAD AE AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACE ≅△ABD (SAS)，∴CE =BD ；（2）根据题意：AB =AC ，AD =AE ，∠CAB =∠EAD =90︒，在△ACE 和△ABD 中，AC AB CAE BAD AE AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACE ≌△ABD (SAS)，∴∠ACE =∠ABD ，∵∠ACE +∠AEC =90︒，且∠AEC =∠FEB ，∴∠ABD +∠FEB =90︒，∴∠EFB =90︒，∴CF ⊥BD ，∵AB =AC 21，AD =AE =1，∠CAB =∠EAD =90︒，∴BC2+，CD =AC +AD2+，∴BC =CD ，∵CF ⊥BD ，∴CF 是线段BD 的垂直平分线．23．【问题提出】如图①，在ABC 中，若8,4AB AC ==，求BC 边上的中线AD 的取值范围．【问题解决】解决此问题可以用如下方法：延长AD 到点E ，使DE AD =，再连结BE （或将ACD △绕着点D 逆时针旋转180︒得到EBD △），把AB 、AC 、2AD 集中在ABE △中，利用三角形三边的关系即可判断．由此得出中线AD 的取值范围是____________．【应用】如图②，在ABC 中，D 为边BC 的中点、已知5,3,2AB AC AD ===．求BC 的长．【拓展】如图③，在ABC 中，90A ∠=︒，点D 是边BC 的中点，点E 在边AB 上，过点D 作DE DE ⊥交边AC 于点F ，连结EF ．已知10,12BE CF ==，则EF 的长为____________．【答案】[问题解决]26AD <<；[应用][拓展]【分析】[问题解决]证明DAC DEB ∆≅∆得AC EB =，再根据三角形三边关系求得AE 的取值范围，进而得结论；[应用]延长AD 到E ，使得AD DE =，连接BE ，证明DAC DEB ∆≅∆得AC EB =，再证明90AEB =︒∠，由勾股定理求得BD ，进而得BC ；[拓展]延长FD 到G ，使得DG FD =，连接BG ，EG ，证明CDF BDG ∆≅∆，得BG CF =，DCF DBG ∠=∠，再证明90EBG ∠=︒，由勾股定理求得EG ，由线段垂直平分线性质得EF ．【解析】解：[问题解决]在DAC ∆和DEB ∆中，AD ED ADC EDB CD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()DAC DEB SAS ∴∆≅∆，4AC EB ∴==，AB BE AE AB BE -<<+ ，8AB =，412AE ∴<<，26AD ∴<<，故答案为：26AD <<；[应用]延长AD 到E ，使得AD DE =，连接BE，如图②，在DAC ∆和DEB ∆中，AD ED ADC EDB CD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()DAC DEB SAS ∴∆≅∆，6AC EB ∴==，28AE AD == ，10AB =，2226810+= ，222BE AE AB ∴+=，90AEB ∴∠=︒，BD ∴===2BC BD ∴==[拓展]延长FD 到G ，使得DG FD =，连接BG ，EG，如图③，在BDG ∆和CDF ∆中，BD CD BDG CDF DG DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BDG CDF SAS ∴∆≅∆，6BG CF ∴==，DG DF =，DBG DCF ∠=∠，DE DF ⊥ ，EG EF ∴=，90A ∠=︒ ，90ABC ACB ∴∠+∠=︒，90ABC DBG ∴∠+∠=︒，EG ∴==EF ∴=故答案为：24．已知，四边形ABCD 是正方形，DEF 绕点D 旋转（DE AB <），90EDF ∠=︒，DE DF =，连接AE ，CF ．(1)如图1，求证：ADE ≌CDF ；(2)直线AE 与CF 相交于点G ．①如图2，BM AG ⊥于点M ，⊥BN CF 于点N ，求证：四边形BMGN 是正方形；②如图3，连接BG ，若4AB =，2DE =，直接写出在DEF 旋转的过程中，线段BG 长度的最小值．【答案】(1)见解析；(2)①见解析②【分析】()1根据SAS 证明三角形全等即可；()2①根据邻边相等的矩形是正方形证明即可；②作DH AG ⊥交AG 于点H ，作BM AG ⊥于点M ，证明BMG △是等腰直角三角形，求出BM 的最小值，可得结论．【解析】（1）证明：四边形ABCD 是正方形，AD DC ∴=，90ADC ∠=︒．DE DF = ，90EDF ∠=︒．ADC EDF ∴∠=∠，ADE CDF \Ð=Ð，在ADE 和CDF 中，DA DC ADE CDF DE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ADE ∴V ≌()SAS CDF △；（2）①证明：如图2中，设AG 与CD 相交于点P．90ADP ∠=︒ ，90DAP DPA ∴∠+∠=︒．ADE ≌CDF ，DAE DCF ∴∠=∠．DPA GPC ∠∠= ，90DAE DPA GPC GCP ∠∠∠∠∴+=+=︒．90PGN ∠∴=︒，BM AG ⊥ ，BN GN ⊥，∴四边形BMGN 是矩形，90MBN ∴∠=︒．四边形ABCD 是正方形，AB BC ∴=，90ABC MBN ∠∠==︒．ABM CBN ∴∠=∠．又90AMB BNC ∠∠==︒ ，AMB ∴ ≌CNB △．MB NB ∴=．∴矩形BMGN 是正方形；②解：作DH AG ⊥交AG 于点H ，作BM AG ⊥于点M ，∵90,90,DHA AMB ADH DAH BAM AD AB∠=∠=︒∠=︒-∠=∠=∴AMB ≌DHA ．BM AH ∴=．222AH AD DH =- ，4=AD ，DH ∴最大时，AH 最小，2DH DE ==最大值．23BM AH ∴==最小值最小值由()2①可知，BGM 是等腰直角三角形，226BG BM ∴==最小值25．折纸是一项有趣的活动，同学们小时候都玩过折纸，如折小花、飞机、小船等，在折纸过程中，我们通过研究图形的性质发展空间观念，在思考问题的过程中建立几何直观．【操作发现】（1）如图1将一个正方形先沿EF 折叠得到图2，再将图2进行第二次折叠，使点E 和点F 重合，折痕与正方形的边交于点M 、N ，如图3，打开这张正方形的纸得到两条折痕EF 和MN ，如图4这两条折痕的位置关系为，EF MN ＝．【探究证明】（2）如图5，将AB ＝1，AD ＝3的长方形按（1）的方式进行折叠，同样得到两条折痕EF 和MN ，（1）中的结论是否还成立，如果成立请证明，如果不成立请说明理由．【拓展延伸】（3）Rt △ABC 中，BC ＝1，AC ＝3，将△ABC 沿着斜边AB 翻折后得的三角形与原来三角形组合成一个四边形ACBD ，将四边形ACBD 分别沿着顶点A 和顶点D 折叠得到两条互相垂直的折痕，交四边形的另两条边于点M 和点N ，AN DM ＝．【答案】（1）垂直，1；（2）位置关系成立，EF MN＝1不成立，理由见解析（3）53【分析】(1）过点没M 作MG ⊥BC 于G ，过点E 作EH ⊥CD 于H ，利用ASA 证明△EHF ≌△MGN ，得MN =EF ，即可得出答案；(2）过点M 作MG ⊥BC 于G ，过点E 作EH ⊥CD 于H ，根据两个角相等证明△EHF ∽△MGN ，得3EF EH AD M N M G AB===；(3）连接CD ，交AB 于G ，则AB 垂直平分CD ，证明△DCM ∽△ABN ，得AN AB DM CD =，利用勾股定理求出AB ，利用等积法求出CG ，从而得出CD ，即可解决问题．【解析】解：（1）如图，过点M 作MG ⊥BC 于G ，过点E 作EH ⊥CD 于H ，则MG ＝EH=AB=BC ，∠EHF ＝∠MGN ，MG ⊥EH ，由折叠知，∠MOE ＝90°，∴∠GMN ＝∠HEF ，∴△EHF ≌△MGN （ASA ），∴MN ＝EF ，∴EF MN＝1，故答案为：垂直，1；（2）位置关系成立，EF MN ＝1不成立，过点M 作MG ⊥BC 于G ，过点E 作EH ⊥CD 于H ，则∠EHF ＝∠MGN ＝90°，MG ⊥EH ，由折叠知，∠MOE ＝90°，∴∠GMN ＝∠HEF ，∴△EHF ∽△MGN ，∴3EF EH AD M N M G AB===；（3）连接CD ，交AB 于G ，∵AC ＝AD ，BC ＝BD ，∴AB 垂直平分CD ，∵AN ⊥DM ，∴∠BAN ＝∠CDM ，∵∠ACB ＝∠CGB ＝90°，∴∠MCD ＝∠ABN ，∴△DCM ∽△ABN ，∴AN AB DM CD=，∵Rt △ABC 中，BC ＝1，AC ＝3，∴AB ，∴CG＝⋅=AC BC AB10，∴CD ＝2CG＝10，∴=AB CD 53，∴53AN DM =，故答案为：53．26．如图1所示，将一个长为6宽为4的长方形ABEF ，裁成一个边长为4的正方形ABCD 和一个长为4、宽为2的长方形CEFD 如图2．现将小长方形CEFD 绕点C 顺时针旋转至CE F D '''，旋转角为a．(1)当点D ¢恰好落在EF 边上时，求旋转角a 的值；(2)如图3，G 为BC 中点，且0°＜a ＜90°，求证：GD E D ''=；(3)小军是一个爱动手研究数学问题的孩子，他发现在小长方形CEFD 绕点C 顺时针旋转一周的过程中，DCD ' 与CBD '△存在两次全等，请你帮助小军直接写出当DCD ' 与CBD '△全等时，旋转角a 的值．【答案】(1)30°；(2)见解析；(3)135°，315°【分析】（1）由含30°角的直角三角形的性质可知∠CD ′E =30°，再根据平行线的性质即得出∠α=30°；（2）由题意可得出CE =CE ′=CG =2，由矩形的性质和旋转的性质可得出∠GCD ′=∠DCE ′=90°+α，进而可利用“SAS”证明△GCD ′≌△E ′CD ，即得出GD ′=E ′D ；（3）根据正方形的性质可得CB =CD ，而CD CD '=，则BCD ' 和DCD ' 为腰相等的两个等腰三角形，所以当两个三角形顶角相等时它们全等．再分类讨论①当BCD ' 和DCD ' 为钝角三角形时，则旋转角135α=︒；②当BCD ' 和DCD ' 为锐角三角形时，则315α=︒．【解析】（1）∵长为4，宽为2的长方形CEFD 绕点C 顺时针旋转至CE ′F ′D ′，∴CD ′=CD =4，在Rt △CED ′中，CD ′=4，CE =2，。

初中数学知识归纳空间几何体的几何变换

初中数学知识归纳空间几何体的几何变换初中数学知识归纳：空间几何体的几何变换在初中数学中，空间几何体是我们学习的一个重要内容。

它们在现实生活中随处可见，通过对空间几何体的几何变换的学习，我们可以更好地理解它们的性质和特点。

本文将对空间几何体的几何变换进行归纳总结，并分别介绍各个几何变换的定义和特点。

一、平移平移是指将一个物体沿着一定方向移动一定距离的操作。

在平面几何中，我们常常使用箭头表示平移的方向和距离。

而在空间几何中，我们需要指定一个平面作为平移面，并给出一个箭头表示平移的方向和距离。

通过平移，一个空间几何体在平移面上保持形状不变，只是位置发生了改变。

二、旋转旋转是指将一个物体绕某个点或某条轴线进行转动的操作。

我们可以通过指定旋转的中心和旋转的角度来描述一个旋转变换。

旋转可以使得一个空间几何体在旋转中心周围发生旋转，并保持其形状不变。

在旋转中，我们可以根据旋转的方向和角度来判断旋转是顺时针还是逆时针进行。

三、对称对称是指将一个物体关于某个点、线或面进行镜像的操作。

通过对称，一个空间几何体被映射到它的镜像位置，同时保持它的形状不变。

我们可以通过指定对称的中心和对称的轴线来描述一个对称变换。

在对称中，我们可以将对称视为特殊的旋转，旋转角度为180度。

四、放缩放缩是指将一个物体按照一定比例进行拉伸或压缩的操作。

放缩可以通过指定一个比例因子来描述，比例因子大于1时表示拉伸，比例因子小于1时表示压缩。

通过放缩，一个空间几何体的各个维度会按照相同的比例进行变化，保持其形状不变。

五、切变切变是指将一个物体沿某个方向进行倾斜的操作。

切变可以通过指定一个切变系数来描述，切变系数表示一个方向上的长度与另一个方向上的长度之间的比值。

通过切变，一个空间几何体在某个方向上会发生倾斜，但保持其形状不变。

在学习空间几何体的几何变换的过程中，我们需要掌握每种变换的定义和特点，了解它们的实际运用和意义。

同时，我们还需要通过大量的练习来提升对几何变换的理解和应用能力。

初中数学几何变换之平移

平移的性质：1．经过平移，对应点的连线平行且相等，对应边平行或在一条边上且相等，对应角度相等．2．平移前后，所对应的图形全等．1．平行四边形与平移变换由于在平移变换下，与平移方向不平行的线段变为与原线段平行且相等的线段，因此，对于已知条件中有平行四边形的平面几何问题，我们就可以考虑用平移变换处理．平移沿平行四边形的某条边进行．2．平行六边形和平移变换因为在平移变换下，平面上任意一点与其像点的连线总是平行于平移方向的，所以对于条件中有平行线（或平行线段）的平面几何问题当然也可以考虑用平移变换处理，平移方向平行于平行线（或平行线段），平移距离则要视具体情况（特别是所要证明的结论）而定．这种平移方式经常用来对分散图形进行集中．如图所示，P 为平行四边形ABCD 内一点，求证：以AP 、BP 、CP 、DP 为边可以构成一个四边形，并且所构成的四边形的对角线的长度恰好分别等于AB 和BC ．A CD BPA CD BPQ如图所示，将PAB △平移至QDC △的位置，易证DQ AP =，CQ BP =，则四边形DPCQ 恰好是一个以AP 、BP 、CP 、DP 为边的四边形，并且它的对角线恰好等于平行四边形ABCD 的两条邻边．模块一平行多边形和平移的构造如图2-1，四边形EFGH 中，若12∠=∠，则3∠必然等于4∠．请运用结论证明下述问题：如图2-2，在平行四边形ABCD 中取一点P ，使得56∠=∠，求证：78∠=∠．F GHE1423 B A D C 5867P图2-1 图2-2【分析】此题为信息题，难点在于如何理解已知条件，经观察我们发现，若1∠和2∠，位置为时，可得出3∠和4∠相等（本质为四点共圆），图（2）中，5∠与6∠关系并不像条件所示，因此，需要改变角位置，而这点可以通过构造平行四边形来解决．而构造平行四边形，恰可以达到改变角位置作用，为使5∠与6∠成形，我们可有如下四种方法．分别过点B 、P 作BK AP ∥，PK AB ∥，交于点K ，连接CK ．∵BK AP ∥，PK AB ∥，∴BK AP =，PK AB =，5BKP ∠=∠，7BPK ∠=∠ ∵AB CD =，AB CD ∥，∴PK CD ∥，PK CD =∴四边形PKCD 为平行四边形，∴PD CK =，∵AD BC = ∴ADP BCK △≌△，∴8BCK ∠=∠在四边形BKCP 中，56BKP ∠=∠=∠，∴BPK BCK ∠=∠，∴78∠=∠8765B DCA KPK8765PDCBA （6∠不动移5∠）（5∠不动移6∠）KA BCDP 5678K8765P D C BA （5∠，6∠均移动）（5∠，6∠均移动）【教师备课提示】老师们可以让学生自由发挥，体味构造平行四边形带来的快乐．如图，以ABC △的边AB 、AC 、BC 为一边，分别向三角形的外侧作正方形ABDE 、正方形ACGF 、正方形BCMN ．以EF 、DN 、GM 为边能否构成三角形？为什么？DE FGNMBCADE FGNMBCPA过点E 作PE DN ∥，过点N 作PN DE ∥，PE 与PN 交于点P ，连结PM 、PF ．∵PE DN ∥，DE PN ∥，∴DE PN =，PE DN =∵AB DE ∥，PN DE ∥，∴AB PN ∥，∵BC MN ∥，∴ABC PNM ∠=∠，∵AB DE PN ==，BC NM =，∴ABC PNM △≌△ ∴AC PM FG ==，ACB PMN ∠=∠，∴AC FG PM ∥∥， ∴四边形FGMP 是平行四边形， ∴MG PF =∴PEF △就是以EF 、DN 、GM 的长为边的三角形．【教师备课提示】这道题还可以给学生拓展PEF △的面积为ABC △的3倍.如图所示，一个六边形的六个内角都是120︒，连续四边的长依次是1、3、3、2，则该六边形的周长是多少？2133D F EC B AC 1E 12133A 1DF EC B A（方法1）：如图所示，由于六边形的内角都是120︒，易知CD AF ∥，AB ED ∥，BC FE ∥．把BC 、DE 、F A 分别平移至1AC 、1CE 、1EA ，可得等边111AC E △，其边长11111C E CE CC DE BA =-=-=．在此基础上可求得EF 、AF 的长，进而求得六边形的周长：11111312EF AA AC C A BC ==-=-=-=， 11111134AF A E A E E E CD ==+=+=+=，故六边形的周长是13322415+++++=．（方法2）：如图所示，将六边形补全为等边PQR △．易得PQR △的边长为1337++=，则7322EF =--=，7124FA =--=，故六边形的周长是13322415+++++=．在六边形ABCDEF 中，AB DE ∥，BC EF ∥，CD AF ∥，对边之差BC EF -= 0ED AB AF CD -=->．求证：六边形ABCDEF 的各内角均相等．FE DCBAPFE RQD CBA平移线段DE 到CR ，平移线段BC 到AQ ，平移线段F A 到EP ，如图所示，得到PQR △．易知PQ AQ AP BC EF =-=-， RQ RC QC ED AB =-=-，PR PE RE AF CD =-=-．由于BC EF ED AB AF CD -=-=-，∴PQ RQ PR ==，即PQR △是等边三角形， 60PQR QRP RPQ ∠=∠=∠=︒．故6060120DEF DER REF QRP RPQ ∠=∠+∠=∠+∠=︒+︒=︒． 180********CDE CRE QRP ∠=∠=︒-∠=︒-︒=︒．同理，120DCB CBA BAF AFE ∠=∠=∠=∠=︒， ∴六边形ABCDEF 的各内角均相等．如图所示，在六边形ABCDEF 中，AB ED ∥，AF CD ∥，BC FE ∥，AB ED =，AF CD =，BC FE =．又知对角线FD BD ⊥，24FD =厘米，18BD =厘米．请你回答：六边形ABCDEF 的面积是多少平方厘米？2133RQPD F EC B AACDBFEACDBFEG将DEF △平移到BAG △的位置；将BCD △平移到GAF △的位置，则长方形BDFG 的面积等于六边形ABCDEF 的面积．易知长方形BDFG 的面积等于2418432⨯=（平方厘米）， ∴六边形ABCDEF 的面积是432平方厘米．设凸六边形ABCDEF 的三组对边分别平行．求证：ACE △的面积与BDF △的面积相等．如图，将B 、D 、F 分别沿CD 、EF 、AB 平移至B '、D '、F '，则F '在BB '上，B '在DD '上，D '在FF '上，且D F AB DE ''=-，F B CD FA ''=-，B D EF BC ''=-．记六边形ABCDEF 的面积为S ，B D F '''△的面积为T ．因四边形FABF '、BCDB '、DEFD '均为平行四边形，于是，11()()22BDF S S T T S T =-+=+△．AB CDEFB'D'F'AB C DEFA'C'E'同样，如果我们作另外三个平移变换将六边形用类似的方式剖分为三个平行四边形与一个三角形A C E '''，则有||A C AB DE ''=-，||C E CD FA ''=-，||E A EF BC ''=-．因而A C E '''△的面积也为T ，于是也有1()2ACE S S T =+△，故BDF ACE S S =△△．AB CDEF如果两条相等线段既不平行也不共线，则其中一条线段不可能是另一条线段在某个平移变换下的像．但我们可以通过平移变换移动其中的一条线段，使两条线段有一个公共端点，然后通过等腰三角形的性质再加上其他相关条件使问题得到解决．如图所示，两条长度为1的线段AB 和CD 相交于O 点，且60AOC ∠=︒，求证：1AC BD +≥．CAOBDCAO'B DB考虑将AC 、BD 和AB 集中到同一个三角形中，以便运用三角形的不等关系．作CB AB '∥且CB AB '=，则四边形ABB C '是平行四边形，从而AC BB '=．在BB D '△中可得BB BD B D ''+≥，（当AC BD ∥时，BB BD B D ''+=），即AC BD B D '+≥．由于1CD AB CB '===，60B CD AOC '∠=∠=︒，所以B CD '△是等边三角形，故1B D '=，所以1AC BD +≥．如图，ABC △中，AB AC =，D 、E 是AB 、AC 上的点且AD CE =．求证：2DE BC ≥．EDCB AGHFEDC B AABC D EFHG H G HFEDC B A方法一：通过构造平行四边形把DE 和12BC 平移成共顶点的线段（如下图，作中位线利用斜边大于直角边）．模块二共端点的平移构造方法二：通过构造平行四边形平移DE ，使得DE 和BC 共顶点．下面写出方法二的解析：（如下图2）过点B 作BF DE ∥，且BF DE =，连接EF 、FC ． ∴DAE CEF =∠∠，AE BD EF ==又∵AD EC = ∴ADE ECF △≌△，∴DE CF = ∴BF CF BC +≥ 即2DE BC ≥，当且仅当DE 为ABC △的中位线时，取到等号．另外，此题还可以如图1，3，4那样平移，每次均产生一个平行四边形、一对全等三角形，和一个新的等腰三角形．图1图2图3图4ABCDE FABCDE F ABC DEFFE DC BA已知：ABC △．（1）如果AB AC =，D 、E 是AB 、AC 上的点，若AD AE =，请你写出此图中的另一组相等的线段；（2）如果AB AC >，D 、E 是AB 、AC 上的点，若BD CE =，请你确定DE 与BC 的数量关系，并证明你的结论．C AEBD NFEDC BA（1）DB EC =；（2）结论：BC DE >．过E 点作EF AB ∥，截取EF DB =，连结BF ，作CEF ∠的平分线EN 交BC 于N ，连结NF ．∵DB EF =，又∵DB EC =，∴EF EC =． ∵EN 平分CEF ∠，∴FEN CEN ∠=∠．在ENF △和ENC △中，EF EC =，FEN CEN ∠=∠，EN 为公共边，∴ENF ENC △≌△． ∴NF NC =．∵DB EF ∥，DB EF =，∴四边形BDEF 是平行四边形．∴DE BF =．在BFN △中，BN FN BF +>，即BN CN DE +>，所以BC DE >．已知：矩形ABCD内有定点M，试证：2222AM CM BM DM+=+．CABDM CABDMFE过点B、点M分别作AM、AB的平行线，交于点E，连接CE，ME，BC交ME于点F．∵AB EM∥，AM BE∥∴AM BE=，AB EM=∵AB CD=，AB CD∥∴EM CD∥，EM CD=∴ECDM为平行四边形，∴CE DM=∵EM BC⊥∴222BM BF FM=+，222CE EF CF=+，222CM CF FM=+，222BE BF EF=+∴2222AM CM BM DM+=+．如图所示，设ABCD是矩形，K为矩形所在平面上的一点，连接KA与KD均与BC相交．由点B向直线DK引垂线，由点C向直线AK引垂线，两垂线相交于M，求证MK AD⊥．AB CDEFMKKMFEDCBA AB CDEFMPK模块一平行多边形和平移的构造如图，过点K 作KP AB ∥，且KP AB =．连接PB ，PC ，KM ． ∵PK BA ∥，PK BA =∴四边形PKAB 为平行四边形 ∴BP KA ∥又CF AK ⊥，∴CF PB ⊥又在矩形ABCD 中，AB CD ∥，AB CD = ∴PK CD ∥，PK CD =∴四边形PKDC 为平行四边形 ∴PC KD ∥又BE KD ⊥，∴BE PC ⊥ ∴M 为PBC △的重心 ∴PM BC ⊥又AB BC ⊥，AB PK ∥，∴PK AB ⊥ ∴P ，K ，M 三点共线且KM BC ⊥又∵AD BC ∥，∴KM AD ⊥．如图A 、B 两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN 。

初中数学的归纳与解析常见的几何变换及其性质解析

初中数学的归纳与解析常见的几何变换及其性质解析几何变换是数学中一个重要的概念，它可以改变图形的形状，位置或者大小。

在初中数学中，我们常见的几何变换有平移、旋转、翻转和对称。

本文将对这些几何变换进行详细的解析，并探讨它们的性质。

一、平移变换平移变换是指将图形沿着某个方向上移动一定的距离。

在平移变换中，图形的形状、大小和方向保持不变。

我们可以通过向量来表示平移变换。

设向量v表示平移的距离和方向，则对于平面上的点P(x,y)，经过平移变换后的新坐标为P'(x+v1,y+v2)。

平移变换的性质如下：1. 平移变换不改变图形的面积和角度。

2. 平移变换保持图形的对称性。

如果图形是对称的，经过平移后仍然保持对称。

3. 平移变换是可逆的。

对于给定的平移向量，可以通过相反的向量将图形还原回原来的位置。

二、旋转变换旋转变换是指围绕某个点或者直线将图形旋转一定的角度。

在旋转变换中，图形的形状和大小保持不变，但方向发生改变。

我们可以通过旋转矩阵来表示旋转变换。

设原图形上一点的坐标为P(x,y)，经过旋转变换后的新坐标为P'(x',y')，则有如下公式：```x' = cosθ(x-a) - sinθ(y-b) + ay' = sinθ(x-a) + cosθ(y-b) + b```其中，(a,b)为旋转的中心点坐标，θ为旋转的角度。

旋转变换的性质如下：1. 旋转变换不改变图形的面积。

2. 旋转变换保持图形的对称性。

如果图形是对称的，经过旋转后仍然保持对称。

3. 旋转变换是可逆的。

对于给定的旋转角度，可以通过相反的角度将图形还原回原来的位置。

三、翻转变换翻转变换是指围绕某个直线将图形对称翻转。

在翻转变换中，图形的形状和大小保持不变，但方向发生改变。

我们可以通过翻转矩阵来表示翻转变换。

设原图形上一点的坐标为P(x,y)，经过翻转变换后的新坐标为P'(x',y')，则有如下公式：```x' = 2a - xy' = y```其中，a为翻转的直线的坐标。

运用几何变换，巧解初中几何综合题

运用几何变换，巧解初中几何综合题作者：陈丽平来源：《家长·下》2023年第11期几何变换作为数学中的一个重要分支，其在初中几何教学中具有不可替代的地位。

通过对图形的平移、旋转、反射和缩放等操作，学生不仅能够更深入地理解几何图形的性质和关系，还能够培养空间想象能力和创新思维。

在解决几何综合题时，运用几何变换的方法往往能够使问题简化，找到问题的突破口，进而巧妙解题。

本论探讨了如何在初中几何综合题的解答中运用几何变换的方法，以及这些方法如何帮助学生更有效地理解和解决问题，期望能够为初中数学教师提供有效的教学参考，为学生的几何学习提供新的视角和思考路径。

一、几何变换思想的意义几何变换思想在数学学习和教学中的意义是多方面的，并非仅为一种解决几何问题的强有力工具。

首先，几何变换要求学生对图形进行平移、旋转、反射或缩放等操作，需要学生在心中预先构建图形变换后的样子。

这种对图形变化的预测和构建有效地培养了学生的空间想象力。

其次，在运用几何变换解决问题时，学生需要识别图形的基本性质，选择合适的变换方式，并逻辑性地推理变换后图形的新属性和新位置。

这个过程促进了学生逻辑思维能力的发展。

并且，几何变换还能够将复杂的几何问题转化为更简单、更直观的问题，有时甚至可以将非标准图形转化为标准图形，从而优化解题步骤，避免复杂的计算，提高解题效率和准确性。

再次，通过几何变换，学生可以从不同的角度观察和理解图形，深化对几何概念和定理的理解。

例如，通过旋转变换，学生可以更好地理解旋转对称性。

最后，几何变换还提供了解决问题的多种可能性，鼓励学生探索和尝试不同的变换方法来解题。

这种开放性的思维方式有助于培养学生的创新思维。

二、几何变换在初中数学几何解题中的应用（一）运用平移变换，深化学生对平面几何概念的理解平移变换是几何中的一种基础变换，指的是把一个图形沿着一个确定的方向移动一定的距离，从而得到一个新的图形。

并且，平移变换是一种等距变换，既不改变图形的大小和形状，也不改变图形内部各部分的相对位置关系。

数学初中几何变换

数学初中几何变换教案：数学初中几何变换引言：几何变换是数学中一种常见的概念和方法。

通过几何变换可以改变图形的位置、形状和大小，是初中数学中的一个重要内容。

本节课将以几何变换为主题，通过理论讲解和实例演练，帮助学生掌握几何变换的基本概念、性质和运用方法。

1. 平移（Translation）平移是几何变换中的一种基本变换，它保持图形的大小和形状不变，只改变图形的位置。

平移的性质包括平移的向量法表示、平移的性质和平移后的图形特点等。

通过实例和练习，引导学生理解平移的定义和性质，并能运用平移进行有关题目的解答。

2. 旋转（Rotation）旋转是几何变换中的另一种基本变换，它通过围绕一个中心点将图形进行旋转，使得图形保持大小和形状不变。

旋转的性质包括旋转的角度、旋转的规律和旋转后的图形特点等。

通过实例和练习，帮助学生理解旋转的概念和性质，并能运用旋转进行相关问题的求解。

3. 对称（Reflection）对称是几何变换中的一种重要变换，它以一个轴线为对称轴，将图形上的点与对称轴上的点一一对应，并保持图形的大小和形状不变。

对称的性质包括对称的轴线、对称的规律和对称后的图形特点等。

通过实例和练习，引导学生理解对称的定义和性质，并能灵活运用对称进行题目的解答。

4. 缩放（Dilation）缩放是几何变换中的一种常见变换，它通过改变图形中各点到一个中心点的距离比例来改变图形的大小和形状。

缩放的性质包括缩放中心、缩放比例和缩放后的图形特点等。

通过实例和练习，帮助学生掌握缩放的概念和性质，并能运用缩放进行有关问题的求解。

5. 混合变换（Combination）混合变换是指将平移、旋转、对称和缩放等多种几何变换进行组合运用的一种变换方法。

混合变换的性质包括变换顺序、连续变换和复合变换等。

通过实例和练习，引导学生掌握混合变换的概念和性质，并能灵活运用混合变换解决相关问题。

结语：几何变换作为数学中的一个重要内容，对学生的空间想象能力和推理能力有较高要求。

中考数学专题22 几何三大变换问题之旋转(中心对称)问题(含解析)

专题22 几何三大变换问题之旋转（中心对称）问题轴对称、平移、旋转是平面几何的三大变换。

旋转变换是指在同一平面内，将一个图形（含点、线、面）整体绕一固定点旋转一个定角，这样的图形变换叫做图形的旋转变换，简称旋转。

旋转由旋转中心、旋转的方向和角度决定。

经过旋转，旋转前后图形的形状、大小不变，只是位置发生改变；旋转前、后图形的对应点到旋转中心的距离相等，即旋转中心在对应点所连线段的垂直平分线上；旋转前、后的图形对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。

把一个图形绕着某一定点旋转一个角度360°/n(n 为大于1的正整数)后，与初始的图形重合，这种图形就叫做旋转对称图形，这个定点就叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角。

特别地，中心对称也是旋转对称的一种的特别形式。

把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形的对应点叫做关于中心的对称点。

如果把一个图形绕某一点旋转180度后能与自身重合，这个图形是中心对称图形。

在初中数学以及日常生活中有着大量的旋转变换的知识，是中考数学的必考内容。

中考压轴题中旋转问题，包括直线（线段）的旋转问题；三角形的旋转问题；四边形旋转问题；其它图形的问题。

一. 直线（线段）的旋转问题1. 如图，直线l ：y 3x 3=-+与y 轴交于点A ，将直线l 绕点A 顺时针旋转75º后，所得直线的解析式为【】A ．y 33=B ．y x 3=+．y x 3=-+ D ．y x 3=【答案】B 。

【考点】旋转的性质，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。

【分析】如图，由已知，可求直线y3x3=-+与x、y轴的交点分别为B（1，0），A（0，3），2.根据要求，解答下列问题：（1）已知直线l1的函数表达式为y x1=+，直接写出：①过原点且与l1垂直的直线l2的函数表达式；②过点（1，0）且与l1垂直的直线l2的函数表达式；（2）如图，过点（1，0）的直线l4向上的方向与x轴的正方向所成的角为600，①求直线l4的函数表达式；②把直线l4绕点（1，0）按逆时针方向旋转900得到的直线l5，求直线l5的函数表达式；（3）分别观察（1）（2）中的两个函数表达式，请猜想：当两直线垂直时，它们的函数表达式中自变量的系数之间有何关系？请根据猜想结论直接写出过点（1，1）且与直线11y x55=-垂直的直线l6的函数表达式。

初中数学几何变换之轴对称(一)

模块一对轴对称的初步认识轴对称图形两个图形成轴对称直观认识：直观认识：定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这时我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称．定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形完全重合，那么就说这两个图形关于这条直线（成轴）对称。

注意：轴对称图形指的是一个图形是轴对称图形，而两个图形成轴对称指的是两个图形。

因此，轴对称图形的对称轴可能只有一条，也可能有多条，但是两个图形成轴对称只有一条对称轴。

模块二“将军饮马”问题“将军饮马”问题比较经典，在考试中出现的频率特别的高，但是在考试中往往不是单一出现，而是“将军饮马”问题和一次函数、勾股定理、特殊的四边形结合在一起考试或者是考查比较难得“将军饮马”问题，考试的方法通常都是“将军饮马”的做法，综合考察。

模型I：最小问题ABlP'P•••ABP••••ABP••••ADPB2P•••OC1POA'C CEDF D BOABCPD'P模型II ：最大问题PB AlPB'B Al模块三常见轴对称的模型角平分线模型：角平分线的中心思想应该是对称，关于角平分线对称，因此常见做辅助线的方法有以下三种。

但是在这三种中，同学们在运用的过程中，往往第二种辅助线方式同学们最容易出错，因为在出现第二种情况时，同学们往往看不出来；第三种做法最能体现轴对称的本质。

翻折模型：其实可以这样说，翻折就是轴对称，轴对称就是翻折，而涉及到翻折往往不是单一考察，会和特殊四边形、一次函数中的图形结合考察，考察比较全面。

通常情况下，和四边形结合，会考察求边倒角，而和一次函数结合，让你求点坐标，考察比较综合。

【教师备课提示】模块三是为了让孩子们复习回忆以前学过的知识，所以老师可以略讲，重点是让孩子们练习。

（1）如图1-1，直线l是四边形ABCD的对称轴，若AB CD=，有下面的结论：①AB CD∥；②AC BD⊥；③AO OC=；④AB BC⊥，其中正确的结论有_______．（2）（成外）如图1-2，ABE△和ACD△是ABC△分别沿着AB，AC边翻折180︒形成的，若130BAC∠=︒，则EFC∠的度数是________．ODCBAlFEDCBA图1-1 图1-2（1）①②③；（2）100︒．【教师备课笔记】这道题主要考察轴对称的性质，对应边和对应的角度相等．在正ABC△内取一点D，使DA DB=，在ABC△外取一点E，使BDE DBC∠=∠，且BE BA=，求BED∠．AB CEDAB CED如图所示，连接DC．因为AD BD=，AC BC=，CD CD=，则ADC BDC△≌△，故30BCD∠=︒．而DBE DBC∠=∠，BE AB BC==，BD BD=，因此BDE BDC△≌△，故30BED BCD∠=∠=︒．【教师备课提示】这道题主要是让大家找到对称的感觉，实际上给我们的很多图实际是就是很多是轴对称，但是需要自己去添加辅助线去找到．模块一对轴对称的初步认识如图，已知60ABD ACD∠=∠=︒，且1902ADB BDC∠=︒-∠．求证：ABC△是等腰三角形．ABCDABCED延长BD到E，使得DE CD=，连接AE．∵1902ADB BDC∠=︒-∠，∴2180ADB BDC∠+∠=︒，即180ADC ADB∠+∠=︒．∵180ADE ADB∠+∠=︒，∴ADC ADE∠=∠，∵CD DE=，AD AD=，∴(SAS)ADC ADE△≌△，∴60ACD E∠=∠=︒，AC AE=，∵60ABD ACD∠=∠=︒，∴ABD E∠=∠，∴AB AE=，∴AB AC=∴ABC△是等腰三角形．（1）如图4-1，在ABC△中，90ACB∠=︒，以AC为一边在ABC△外侧作等边ACD△，过点D作DE AC⊥，垂足为F，DE与AB相交于点E，连接CE，15cmAB=，9cmBC=，P是射线DE上的一点．连接PC、PB，若PBC△的周长最小，则最小值为（）．A．21cm B．22cm C．24cm D．27cm（2）已知如图4-2，正方形ABCD的边长为3，E在BC边上，且1EC=，P是BD上一动点，则PE PC+的最小值（）．A．5B．11C．13D．15 PFEDC PEDCBA模块二“将军饮马”问题E'PECBA（1）C ；（2）C ．【教师备课提示】这道题主要考察将军饮马模型只有一个动点的情况，常考．（1）（四川竞赛改编）如图5-1所示，在等腰Rt ABC △中，3CA CB ==，E 是BC 上一点，满足2BE =，点P 是斜边AB 上任意一点，PC PE +的最大值和最小值分别记作s 和t ，求22s t -的值．（2）（全国初中联赛）如图5-2，设正ABC △的边长为2，M 是AB 边上的中点，P 是BC 边上的任意一点，PA PM +的最大值和最小值分别记为s 和t ．求22s t -的值．AB CE PABC MP图5-1 图5-2（1）226610s t -=+找点E 关于AB 的对称点'E ，连接'BE 、'PE ，所以''PC PE PC PE CE +=+≥， ABC △为等腰直角三角形， 45ABC ∴∠=︒，'90CBE ∴∠=︒当且仅当C 、P 、'E 三点共线时，PC PE +的值最小，该最小值为222313+=．当点P 在AB 上移动时，极限情况在A 和B 位置. 当点P 位于点A 时，310PC PE AC CE +=+=+，当点P 位于点C 时，5PC PE BC BE +=+=．故PC PE +的最大值为310+．故226610s t -=+．（2）作点M 关于BC 的对称点'M ，连接'AM 、'PM ．由点M 、'M 关于BC 对称可知，'PM PM =．故''PA PM PA PM AM +=+≥ 当且仅当A 、P 、'M 共线时，等号成立，故22(')7t AM ==．MPCBA另外两个临界位置在点B 和点C 处．当点P 位于点C 处时，23PA PM AC CM +=+=+；当点P 位于点B 处时，3PA PM AB BM +=+=．故22(23)743s =+=+，2243s t -=．【教师备课提示】这道题主要考察将军饮马模型中只有一个动点的情况，而且是考察一个动点的最大和最小情况，关键是轴对称．（1）（2013-2014武侯区统考）在锐角三角形ABC 中，32BC =，45ABC ∠=︒，BD 平分ABC ∠，M 、N 分别是BD 、BC 上的动点，则CM MN +最小值是______________．（2）如图，30AOB ∠=︒，2OC =，在OA 上找一点M ，在OB 上找一点N ，使得CM MN +最小，求出此最小值．CB AMN OC'ON MAB C（1）3；（2）如图所示，易得3CM MN +≥．（1）如图7-1，30AOB =︒∠，点P 位于AOB ∠内，3OP =，点M 、N 分别是射线OA 、OB 上的动点，求PMN △的最小周长．A BOPNMABO''P P'P NM（2）若60AOB =︒∠，其它条件不变，则PMN △的最小周长是多少．（1）分别作点P 关于OA 、OB 的对称点P '、P ''，连接OP '、OP ''、P P '''、'P M 、"P N ，显然PMN △的周长，PM MN PN P M MN P N '''++=++，由两点间线段最短，P M MN P N P P ''''''++≥，故PMN △的最小周长为P P '''，∵30AOB =︒∠，3OP OP OP '''===， ∴P OP '''△是等边三角形，∴3P P '''=，PMN △的最小周长为3．（2）33．【教师备课提示】这道题主要考察将军饮马模型中有两个动点的情况，关键是轴对称，注意这个题我们从（1）中还可以得到不论P 在角内部的什么地方，以O ，P '、P ''为顶点的三角形始终是等边三角形．在ABC △中，45A =︒∠，7AB =，42AC =，点D 、E 、F 分别为BC 、AB 、AC 上的动点，求DEF △的最小周长．BA E FDCD''D'FE DCBA285442543NMA BC当点D 固定时，分别作点D 关于AB 、AC 的对称点D '、D ''，应用上面结论可得DE EF DF D E EF FD D D ''''''++=++≥， ∵45A =︒∠，∴AD D '''△是等腰直角三角形，2D D AD '''=，故2DE EF DF AD ++≥，当AD 最小时，即AD 为ABC △的高，且D '、E 、F 、D ''四点共线，DEF △的周长最小为2AD ．求高AD 如图所示．最小周长为2825．（此三角形即为著名的垂足三角形）【教师备课提示】这道题主要考察将军饮马模型中三个动点的问题，属于难题．如图，I是ABC△的内心（三角形三条角平分线的交点），且CA AI BC+=．若80BAC∠=︒，求ABC∠和AIB∠的大小．B ACIB ACID40︒40︒20︒因为有内心，故可以用角平分线构造全等三角形，从而使问题变得容易解决．如图，在BC上取点D，使CD AC=，连接DI．因为CA AI BC+=，所以BD AI=．在ACI△和DCI△中，AC DC=，ACI DCI∠=∠，CI CI=．所以ACI DCI△≌△．于是AI DI=．所以DI BD=．因为80BAC∠=︒，所以40CAI∠=︒，40CDI∠=︒．又CDI∠是等腰BDI△的外角，所以1202DBI DIB CDI∠=∠=∠=︒，40ABC∠=︒．在AIB△中，40BAI∠=︒，20ABI∠=︒，所以180(2040)120AIB∠=︒-︒+︒=︒．如图，在矩形ABCD中，E是BC边上的点，连接DE、AE，将DEC△沿线段DE翻折，点C恰好落在线段AE上的点F处．（1）求证：BE AF=；（2）如果9AB=，:1:4EC BE=，求线段DE的长．（1）AB CD DF==，90ABE DFA==︒∠∠，AEB DAF=∠∠，∴ABE DFA△≌△，∴BE FA=（2）∵ABE DFA△≌△，∴AE DA=，设CE x=，则4BE x=，5BC BE CE x=+=，5AE AD BC x===，在ABE△中，222AB BE AE+=，2229(4)(5)x x∴+=，解得3x=，∴3CE=，又9CD AB==，∴22310DE CE CD=+=．模块三常见轴对称的模型FE CBDA已知：三点(3,1)A 、(4,1)B 、(6,0)C ，点P 为x 轴上一动点．（1）当OAP △与CBP △周长的和取得最小值时，求点P 的坐标；（2）求证：45AOC BCO ∠+∠=︒；（3）当35APB ∠=︒时，求OAP PBC∠+∠度数．P yxO 1234561232121A BC备用图y xO 1234561232121ABC备用图y xO 1234561232121A BC（1）如图1，作点A 关于x 轴的对称点A '，可得(3,1)A '-．连接'A B 交x 轴于点P ．设直线A B '的解析式为()0y kx b k =+≠，可得此直线的解析式为27y x =-．当0y =时， 3.5x =．当AP BP +取得最小值时，可得OAP △与CBP △周长的和取得最小值，此时，点P 的坐标为(3.5,0)．（2）如图2，设AA '交x 轴于点K ，连结A B '、A C '．则(3,0)K ，∴3OK CK ==，1AK A K '==，10OA CA '==， ∴OKA CKA '△≌．∴AOK A CK '∠=∠．∵(3,1)A '-，(4,1)B ，(6,0)C ，∴5A B BC '==，图1图2又∵A C '=222A C AB BC ''=+， ∴A BC '△为等腰直角三角形． ∴45BCA BCO A CO ''∠=∠+∠=︒， ∵AOC A CO '∠=∠， ∴45AOC BCO ∠+∠=︒．（3）当35APB ∠=︒时，()()360OAP PBC AOC BCO APO BPC ∠+∠=︒-∠+∠-∠+∠ 36045(18035)170=︒-︒-︒-︒=︒．【教师备课提示】这道题属于综合题，实际上相当于把将军饮马模型放到了坐标系中，和一次函数想结合，这种问题是学生们拉开差距的题型，因此希望通过这道题培养和锻炼孩子们的代几综合能力．（1）下列图案中，有且只有三条对称轴的是（）•A．B．C．D．（2）一个汽车车牌在水中的倒影如图，该车的车牌照号码是（）A．WJ0103922 B．2593010WJC．WJ0103625 D．WJ0103925（1）D；（2）C.如图2-1，矩形MNPQ中，点E，F，G，H分别在NP，PQ，QM，MN上，若1234∠=∠=∠=∠，则称四边形EFGH为矩形MNPQ的反射四边形．图2-2，图2-3，图2-4中，四边形ABCD为矩形，且4AB=，8BC=．（1）在图2-2、图2-3中，点E，F分别在BC，CD边上，试利用正方形网格在图上作出矩形ABCD的反射四边形EFGH．（2）求图2-2，图2-3中反射四边形EFGH的周长．（3）如图2-4，请你猜想矩形ABCD的反射四边形的周长是否为定值？并给出证明．图1ABGHHGFEDCBA4321FPENHQGM AB图2FEDCBA图2-1 图2-2模块一对轴对称的初步认识AB CDEF图3图42431HGFEDCBA图2-3 图2-4（1）如图所示（2）图2：853：85（3）连接BD，延长HG、CD交于点M，图2 图3AB CDEFGHHGFEDCBA4321MHGFEDCBA∵四边形ABCD是矩形，∴AB CD∥，∴3M∠=∠，又∵23∠=∠，∴2M∠=∠，∴EF GH∥，同理EH FG∥，∴四边形EFGH是平行四边形，∴GF HE=，又14∠=∠，GDF EHB∠=∠，∴GDF EHB△≌△，∴DF BH=，∵12∠=∠，∴1M∠=∠，∴GF GM=，又∵GD FM⊥，∴DF DM=，∴BH DM=，又∵BH DM=，∴四边形BDMH是平行四边形，∴BD MH MG HG FG HG==+=+，同理EH EF BD+=，∴2EFGHC BD=，为定值．【教师备课提示】这道题主要是考察关于轴对称的创新题，考察和锻炼学生们的思维和对新定义知识的理解接收能力．（1）如图3-1，已知A、B两村分别距公路l的距离'10kmAA=，'40kmBB=，且''50kmA B=．在公路l上建一中转站P使AP BP+的最小，则AP BP+的最小值为（）A．100km B．80km C．60km D．502km （2）如图3-2，正方形ABCD中，8AB=，M是DC上的一点，且2DM=，N是AC 上的一动点，求DN MN+的最小值与最大值．BlAP'B'AA DNMB C图3-1 图3-2（1）D；（2）找点D关于AC的对称点，由正方形的性质可知，B就是点D关于AC的对称点，连接BN、BM，由DN MN BN MN BM+=+≥可知，当且仅当B、N、M三点共线时，DN MN+的值最小，该最小值为226810+=．当点N在AC上移动时，有三个特殊的位置我们要考察：BM与AC的交点，即DN MN+取最小值时；当点N位于点A时，8217DN MN AD AM+=+=+；当点N位于点C 时，8614DN MN CD CM+=+=+=．故DN MN+的最大值为8217+．（1）如图，正方形ABCD的边长是4，DAC∠的平分线交DC于点E，若点P、Q分别是AD和AE上的动点，则DQ PQ+的最小值是________．（2）已知30AOB∠=°，点P在AOB∠内部，1P与P关于OB对称，2P与P关于OA对称，则1P、O、2P三点确定的三角形是（）．A．直角三角形B．等腰直角三角形C．腰底不等的等腰三角形D．等边三角形（1）22；（2）D．模块二“将军饮马”问题A DECQP如图所示，已知Rt ABC △中，90B ∠=︒，3AB =，4BC =，D ，E ，F 分别是三边AB ，BC ，CA 上的点，则DE EF FD ++的最小值为（）．A．125 B．245C ．5D ．6FEDCBAF"F'C'A'FEDCB A如图所示，DE EF FD ++的最小值为F F '''，且当F F AC ''''⊥时，F F '''去最小值，故选B ．如图，在ABC △中，90BAC ∠=°，AB AC =，BE 平分ABC ∠，CE BE ⊥．求证：12CE BD =．321EBADC321FE BADC如右图延长CE 、BA 相交于点F ，在BEC △和BEF △中12BE BE BEF BEC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴BEC BEF △≌△；∴12CE EF CF ==；∵BE CE ⊥，∴190F ∠=-∠°同理390F ∠=-∠°；∴13∠=∠；∴ABD ACF △≌△；∴BD CF =；∴12CE BD =．模块三常见轴对称的模型。

中考数学旋转知识点总结

中考数学旋转知识点总结一、旋转的基本概念1. 旋转的定义旋转是几何变换的一种，它将图形绕某一定点进行旋转，使得原图形经过旋转后仍符合原图形的性质。

在平面几何中，这一定点通常被称为旋转中心，而旋转的角度则是旋转的重要参数。

2. 旋转的表示在数学中，旋转可以通过不同的表示方法来描述。

最常见的是使用坐标系中的点和向量表示旋转，也可以使用矩阵来进行描述。

3. 旋转的性质旋转具有许多重要的性质，比如旋转是等距变换，旋转后的图形与原图形的关系等。

这些性质对于理解旋转的本质和应用都具有重要的意义。

二、旋转的基本公式1. 二维平面的旋转公式在平面几何中，二维平面上的点可以通过旋转变换而成。

对于坐标系中的点(x, y)，绕原点逆时针旋转θ度后的新坐标可以根据公式进行计算。

2. 三维空间的旋转公式在三维空间中，点的旋转也是常见的几何变换。

旋转的角度可以沿着不同轴进行，因此三维空间中的旋转公式相对复杂一些，但也是可以通过矩阵等方式进行描述的。

三、旋转的应用1. 图形的旋转在几何中，通过旋转可以使得图形的位置和方向发生变化。

通过学习旋转的原理和公式，可以对图形的旋转进行分析和计算，从而更好地理解和掌握图形的性质和特点。

2. 向量的旋转在向量几何中，旋转是常见的几何变换。

向量的旋转不仅可以通过公式进行计算，还可以通过向量的性质和几何特点进行分析，从而更深入地理解向量的旋转。

3. 坐标系的旋转在空间几何和三维几何中，经常需要对坐标系进行旋转变换。

通过学习旋转的原理和方法，可以更清晰地理解坐标系的旋转规律，从而更好地应用于实际问题的解决中。

四、旋转的相关定理1. 旋转对称性质在平面几何中，旋转对称是一种重要的对称方式。

通过学习旋转对称的定理和性质，可以更好地理解和应用旋转对称在几何图形中的作用。

2. 旋转角度的性质旋转角度的性质是旋转的重要定理和性质之一。

通过学习旋转角度的性质，可以更深入地理解和应用旋转的基本特点。

3. 旋转的复合变换旋转可以与其他几何变换进行复合，比如平移、翻转等。

初中数学教案：神奇的几何变换

初中数学教案：神奇的几何变换神奇的几何变换概述几何变换是数学中的重要概念之一，涉及到平移、旋转、翻转等几何变形操作。

在初中数学中，几何变换是一个重要的知识点，需要通过具体的实例来进行教学。

本教案将从几何变换的基本概念、几何变换的类型和应用以及通过实际问题来进行讲解，力求使学生能够更加深入地理解几何变换的含义和应用。

一、几何变换的基本概念1.平移：平移是指在平面上保持形状和大小不变的情况下，将图形沿某一方向移动一定的距离。

平移可以看作是由向量进行的变换，即平移向量。

2.旋转：旋转是指在平面上保持形状和大小不变的情况下，将图形绕某一点旋转一定的角度。

旋转可以看作是由旋转矩阵进行的变换。

3.翻转：翻转是指将图形绕某一直线翻转，可以是水平或垂直翻转。

翻转可以看作是由翻转矩阵进行的变换。

二、几何变换的类型和应用1.平移平移是最基本的几何变换之一，它在数学、物理、工程等领域中都有着广泛的应用。

例如，在地图制作中，需要对图像进行平移操作，以调整地图的布局和位置。

另外，在计算机图形学中，平移操作也是非常常见的操作，例如对3D模型进行平移，以调整物体的位置和布局。

在工程设计领域中，平移操作也常用于平面的布置和调整。

2.旋转旋转是几何变换中最常见的操作之一，它可以应用于很多领域。

例如，在机械模型的设计中，需要进行旋转操作，来让机械零件满足一定的位置和轨迹要求。

在天文学中，旋转也是非常常见的操作，用来描述天体的运动和旋转。

3.翻转翻转是指对图形进行翻转操作，可以是水平或垂直翻转。

它在图像处理中有着广泛的应用。

例如，在数字证据鉴定中，需要对证据图像进行镜像翻转，以便更好地证明犯罪事实。

三、通过实际问题来进行讲解以基本图形为例，如何通过几何变换来验证它们的关系？1.正方形和菱形正方形和菱形是一对特殊的图形，它们的形状和大小都是相同的，但是它们的位置和方向不同。

如果我们对正方形进行旋转几何变换，就可以得到菱形。

同样地，如果我们对菱形进行旋转几何变换，就可以得到正方形。

有趣的几何变换

有趣的几何变换几何变换是数学中一个有趣而又重要的概念，它可以用来描述图形在平面或空间中的形状、位置以及大小上的变化。

几何变换不仅被广泛应用于数学研究的领域，也在计算机图形学、图像处理、物理学等各个领域中发挥着关键的作用。

本文将介绍几个有趣的几何变换，并探讨它们的应用。

1. 平移变换平移变换是几何变换中最基本的一种类型，它通过将图形沿着指定的方向移动一定的距离，而不改变图形的形状和大小。

平移变换可以用一个向量来表示，向量的方向表示平移的方向，向量的大小表示平移的距离。

例如，对于平面上的一个图形，可以通过将图形上的每个点都按照给定的向量进行平移来实现整体平移。

平移变换在真实生活中有很多应用，比如地图中的标记物的移动、机器人的路径规划等。

在计算机图形学中，平移变换是实现图像平移和动画效果的基础。

通过对图像的每个像素点进行平移，可以实现图像的整体平移和动画效果的生成。

2. 旋转变换旋转变换是另一种常见的几何变换，它可以使图形绕着一个指定的中心点旋转一定角度。

旋转变换可以用一个旋转矩阵来表示，旋转矩阵的元素表示旋转的角度和旋转轴的方向。

对于平面上的一个图形，可以通过将图形上的每个点都绕着给定的中心点进行旋转来实现整体旋转。

旋转变换在现实生活中也有许多应用，比如地球绕太阳的公转、电子设备中的陀螺仪等。

在计算机图形学中，旋转变换是实现图像旋转和三维物体的变换的关键。

通过对图像的每个像素点进行旋转，可以实现图像的旋转和三维物体的变换效果。

3. 缩放变换缩放变换是一种几何变换，它可以通过改变图形的大小来实现对图形的变换。

缩放变换可以用一个缩放因子来表示，缩放因子大于1时表示放大图形，缩放因子小于1时表示缩小图形。

对于平面上的一个图形，可以通过将图形上的每个点都按照给定的缩放因子进行缩放来实现整体缩放。

缩放变换在现实生活中也有很多应用，比如地图中的放大和缩小功能、物体的尺寸变换等。

在计算机图形学中，缩放变换是实现图像的缩放和三维物体的放大缩小的重要手段。

九年级数学上册综合算式专项练习题几何变换的特点

九年级数学上册综合算式专项练习题几何变换的特点九年级数学上册综合算式专项练习题——几何变换的特点几何变换是数学中一个重要且有趣的概念，它涉及到图形在平面上或者空间中的位置、形状、大小等方面的改变。

在九年级数学上册中，我们学习了几何变换的基本概念和特点。

本文将围绕着九年级数学上册综合算式专项练习题来探讨几何变换的特点。

一、平移变换平移变换是指在平面内保持图形大小和形状不变的情况下，将图形沿着某个方向平行移动一段距离。

平移变换的特点如下：1. 平移变换前后的图形是全等图形；2. 图形中任意两点之间的距离在平移变换前后保持不变；3. 平移变换不改变图形的方向。

二、旋转变换旋转变换是指将图形按照一定的角度和中心旋转。

旋转变换的特点如下：1. 旋转变换前后的图形是全等图形；2. 旋转变换不改变图形的大小；3. 旋转变换改变了图形的方向。

三、对称变换对称变换是指通过某条直线、平面或者点将图形按照相应的规律进行翻转。

对称变换的特点如下：1. 对称变换前后的图形是全等图形；2. 对称变换不改变图形的大小；3. 对称变换改变了图形的方向。

四、放缩变换放缩变换是指按照一定比例改变图形的大小。

放缩变换的特点如下：1. 放缩变换前后的图形不全等；2. 图形中任意两点之间的距离在放缩变换后改变；3. 放缩变换不改变图形的方向。

综上所述，几何变换是通过对图形的位置、形状、大小等方面进行改变的数学概念。

不同的几何变换具有不同的特点，如平移变换保持全等性，旋转变换改变方向等。

在九年级数学上册综合算式专项练习题中，我们可以运用这些几何变换的特点来解决问题，提高解题的效率和准确性。

希望通过本文的介绍和讨论，能够帮助大家更好地理解和掌握几何变换的特点。

在实际的数学学习和解题过程中，我们可以灵活运用这些几何变换的特点，从而更好地理解并解决问题。

掌握几何变换的特点，不仅有助于培养我们的几何思维能力，还有助于提高数学解题的能力和水平。

对于九年级数学上册综合算式专项练习题中的几何变换题目，我们可以通过分析题意，找到相应的几何变换方式，并利用几何变换的特点来解答问题。

数学中的几何变换与刚体运动

在数学中，几何变换是指平面或空间中的点、线、面等几何元素在经过一定的规则变换后所得到的新的点、线、面等几何元素。

而刚体运动则是指物体在空间中的位置和姿态的改变。

几何变换包括平移、旋转、镜像和缩放等。

平移是指保持形状和大小不变，只改变位置的变换；旋转是指保持形状和大小不变，只改变方向和角度的变换；镜像是指保持形状和大小不变，只改变方向的变换；缩放是指保持位置和方向不变，只改变大小的变换。

刚体运动包括平动和转动两种方式。

平动是指物体在任意一点上的各个点都以相同的速度和方向移动；转动是指物体围绕某一轴线旋转。

在平动过程中，物体的形状、大小和方向都不发生改变；而在转动过程中，物体的形状和方向可能会发生改变，但是大小保持不变。

几何变换和刚体运动之间有着密切的联系。

几何变换可以通过刚体运动来实现。

例如，在平面上进行平移变换时，可以通过选取一个固定点，将平面上的每个点绕这一点按照一定的角度旋转来达到平移的效果。

同样地，在空间中进行旋转变换时，可以通过固定一个轴线和一个点，使得空间中的每个点按照一定的角度和方向旋转来实现旋转变换。

几何变换和刚体运动还可以相互转化。

几何变换可以通过将其分解成一系列刚体运动来表示。

例如，在平面上进行缩放变换时，可以将其分解为先进行以缩放中心为中心的平移，然后进行以缩放中心为中心的旋转，最后进行以缩放中心为中心的平移。

而刚体运动也可以通过几何变换来表示。

例如，在空间中进行平动时，可以将其表示为先进行平移变换，然后再进行一定的旋转变换。

几何变换和刚体运动在很多领域中都有着广泛的应用。

在计算机图形学中，几何变换和刚体运动被用于图像处理、图像合成和动画制作等方面。

在机器人学中，几何变换和刚体运动被用于机器人的运动规划和路径规划。

在物理学和工程学中，几何变换和刚体运动被用于建模和仿真。

综上所述，数学中的几何变换和刚体运动是密切相关的。

几何变换可以通过刚体运动来实现，而刚体运动也可以通过几何变换来表示。