2013高三一轮复习第一章第二节命题及其关系、充分条件与必要条件

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高考一轮数学复习课件：第一章第二节命题及其关系、充分条件与必要条件

师生互动
得大范围，即可解决充分必要性的问题．
考点二
[能力题组]
解析
1．设 U 为全集，A，B 是集
自主探究
合，则“存在集合 C，使得 A ⊆ C ， B ⊆∁ UC”是“A∩B ＝∅”的( C )
如图可知，存在集合 C，使 A⊆ C，B⊆∁UC，则有 A∩B＝∅.若 A∩B＝∅，显然存在集合 C，满足 A⊆C，B⊆∁UC.故选 C.
考点一
解析
2．原命题为“若 z1，z2 互为共轭复数，
则
则|z1|＝|z2|”，关于其逆命题，否命题， |z1|＝|z2|”为真命题，所以逆逆否命题真假性的判断依次如下，正否命题也为真命题，逆命题确的是( B ) A．真，假，真 C．真，真，假 B．假，假，真 D．假，假，假
x
∵2x＞1，∴2x＞20，x＞0， ∴q：x＞0.又∵p：1＜x＜2， ∴p⇒q 但 q⇒/p，(或 pq) ∴p 是 q 的充分不必要条件．
师生互动
B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
考点二
[必会方法]
自主探究
在判断充分、必要条件时需要注意：(1)确定条件是什么、结论是什么；(2)尝试从条件推导结论，从结论推导条件；(3)确定条件是结论的什么条件．抓住“以小推大”的技巧，即小范围推
师生互动
A．充分而不必要的条件 B．必要而不充分的条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要的条件
考点二
解析
2．(2016· 保定模拟)“不等
自主探究
式 x2－x＋m＞0 在 R 上恒
由题意知，对应方程的 Δ＝(－1)2
1 即 m＞ .结合选项可知，成立”的一个必要不充分－4m＜0， 4

高三一轮复习1-2命题及其关系、充分条件与必要条件

换，因此逆命题为“若一个数的平方是正数，则它是负数”．
答案：B
高考总复习 RJ · A版（理）数学
3．已知p：不等式x2＋2x＋m>0的解集为R；q：指数函数 1x f(x)＝(m＋ ) 为增函数，则p是q的( ) 4 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：由x2＋2x＋m>0的解集为R，得Δ＝4－4m<0，即 m>1. 1x 1 3 由指数函数f(x)＝(m＋ ) 为增函数，得m＋ >1，即m> ， 4 4 4 3 3 3 因此，p：m>1，q：m> ，由m>1> ，但m> 时不一定有 4 4 4 m>1，故选A. 答案：A
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4．(2011年皖南八校第二次联考)“a＝－1”是“函数f(x)
＝ax2＋2x－1只有一个零点”的( A．充分必要条件 C．必要不充分条件 ) B．充分不必要条件 D．非充分非必要条件
解析：a＝－1⇒a＝－1或a＝0⇔f(x)＝ax2＋2x－1只有一个零点．答案：B
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变式迁移3 已知a、b是实数，求证：a4－b4－2b2＝1成立的充分条件是a2 －b2 ＝1.该条件是否为必要条件？试证明你的结论．证明：∵a2 －b2 ＝1，∴a4 －b4 －2b2 ＝(a2 －b2)(a2 ＋b2)－ 2b2＝(a2＋b2)－2b2＝a2－b2＝1. 即a4－b4－2b2＝1成立的充分条件是a2－b2＝1. 另一方面又a4 －b4 －2b2 ＝1，即为a4 －(b4 ＋2b2 ＋1)＝0.a4 －(b2＋1)2＝0， (a2－b2－1)(a2＋b2＋1)＝0，又a2＋b2＋1≠0，∴a2－b2－1 ＝0，即a2－b2＝1. 因此a2－b2＝1既是a4－b4－2b2＝1的充分条件，也是a4－ b4－2b2＝1的必要条件．

2013高考数学总复习精品课件：命题及其关系、充分条件与必要条件

原命题：若一个式子为等式，则两边乘以同一个数，所得的结果仍是等式；逆命题：若一个式子两边都乘同一个数所得结果是等式，则这个式子是等式；否命题：若一个式子不是等式，则它的两边都乘以同一个数，所得结果仍不是等式；
逆否命题：若一个式子两边都乘以同一个数所得的结果不是等式，则这个式子不是等式。
方法二：选取“一个式子为等式”为前提。
围又与充分、必要条件有关的问题时，常常借助集合的观点来考虑。
举一反三
3. A x ＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是——. 1 解析：当a=0时，x=- ＜0,故a=0符合. 2 当a≠0时, （1）a＞0，则a x 2 +2x+1=0至少有一个负实根
2

2 4 4a 2a 4 4a 0
第二节命题及其关系、充分条件与必要条件
2010年考试说明最新课程标准内容要求
1.了解命题的逆命题、否命题与逆否命题的意义；会分析四种相互命题的相互关系。 2.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义；会判断必要条件、充分条件与充要条件。
命题的四种形式
充分条件、必要条件、充分必要条件
∴由函数f(x)=sin(ωx+φ)的图象特征可知x=0必是f(x)的极值点，∴f′(0)=0,即cos φ=0.∴φ=kπ+ 2 ,k∈Z.
（ii）若BA,则p是q的必要条件；若BA，则p是q的必要不充分条件.
（iii）若A=B，则p、q互为充要条件.
（iv）若AB且BA,则p、q间既不充分也不必要.
③从四种命题的关系上看：（i）原命题为真，逆命题为假时，原命题的条件是结论的充分而不必要条件. （ii）原命题为假，逆命题为真时，原命题的条件是结论的必要而不充分条件. （iii）原命题为真，逆命题也为真时，原命题的条件与结论互为充要条件. （iv）原命题为假，逆命题也为假时，原命题的条件与结论什么条件也不是.

【课堂新坐标】高三数学一轮复习第1章第2节命题及其关系、充分条件与必要条件课件文 (广东专用)

如y＝f(x)＝x2不是奇函数．
故“y＝|f(x)|的图象关于y轴对称”是“y＝f(x)是奇函数”的充分而不
必要条件，选A.
【答案】 A
错因分析：(1)错选A，主要在于分不清谁是条件，谁是结论，颠倒充分性与必要性．
(2)受思维定势影响，盲目认为y＝|f(x)|与函数f(x)的奇偶性无必然联系，错选D.
A．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2＜3 B．若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2＜3 C．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2≥3 D．若a2＋b2＋c2≥3，则a＋b＋c＝3 【解析】命题“若p，则q”的否命题是“若 p，则 q”，将条件与结论进行否定． ∴否命题是：若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2＜3. 【答案】 A
有a＞0，即抛物线的开口可以向上．因此否命题也是假命题．
【答案】 D
(1)(2012·温州模拟)如果对于任意实数 x，〈x〉表示不小于 x 的
最小整数，例如〈1.1〉＝2，〈－1.1〉＝－1，那么“|x－y|＜1”是“〈x〉
＝〈y〉”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要件
∴“y＝|f(x)|的图象关于y轴对称”是“y＝f(x)是奇函数”的必要不充分条件，选B.
【答案】 B
1．(2011·陕西高考)设a，b是向量，命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题是( )
A．若a≠－b，则|a|≠|b| B．若a＝－b，则|a|≠|b| C．若|a|≠|b|，则a≠－b D．若|a|＝|b|，则a＝－b 【解析】交换条件与结论，逆命题是：若|a|＝|b|，则a＝－b. 【答案】 D
2．(2011·浙江高考)设 a，b 为实数，则“0＜ab＜1”是“b＜1a”

数学复习：第一章第二节命题及其关系、充分条件与必要条件

第二节命题及其关系、充分条件与必要条件本节主要包括2个知识点:1。

命题及其关系;2。

充分条件与必要条件。

突破点（一）命题及其关系基础联通抓主干知识的“源”与“流”1．命题的概念用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．2．四种命题及相互关系3．四种命题的真假关系(1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；（2）两个命题互为逆命题或互为否命题,它们的真假性没有关系。

考点贯通抓高考命题的“形”与“神”命题的真假判断[例1] 下列命题中为真命题的是（ )A ．若1x＝错误!,则x ＝y B ．若x 2＝1，则x ＝1C ．若x ＝y ，则x ＝错误!D ．若x <y ，则x 2<y 2[解析] 取x ＝－1，排除B ；取x ＝y ＝－1，排除C;取x ＝－2，y ＝－1，排除D.［答案] A［方法技巧] 判断命题真假的思路方法（1)判断一个命题的真假时，首先要弄清命题的结构,即它的条件和结论分别是什么，把它写成“若p ，则q ”的形式，然后联系其他相关的知识,经过逻辑推理或列举反例来判定．（2）一个命题要么真，要么假，二者必居其一．当一个命题改写成“若p ，则q ”的形式之后，判断这个命题真假的方法：①若由“p ”经过逻辑推理，得出“q ”，则可判定“若p ,则q ”是真命题；②判定“若p，则q”是假命题，只需举一反例即可．四种命题的关系将条件与结论互换即得逆命题,将条件与结论同时否定即得否命题，将条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命题．[例2] (1)命题“若a>b，则a－1〉b－1"的否命题是（）A．若a〉b，则a－1≤b－1B．若a>b,则a－1〈b－1C．若a≤b，则a－1≤b－1D．若a<b，则a－1<b－1(2）给出命题：若函数y＝f(x）是幂函数,则函数y＝f（x）的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中，真命题的个数是( ）A．3 B．2 C．1 D．0［解析］(1)根据否命题的定义可知，命题“若a〉b，则a－1〉b－1”的否命题应为“若a≤b，则a－1≤b－1"．(2)原命题是真命题，故它的逆否命题是真命题；它的逆命题为“若函数y＝f（x)的图象不过第四象限，则函数y＝f(x）是幂函数”，显然逆命题为假命题，故原命题的否命题也为假命题．因此在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中真命题只有1个．［答案］（1)C (2)C[方法技巧］1．写一个命题的其他三种命题时的注意事项（1）对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写为“若p,则q”形式．（2)若命题有大前提，需保留大前提．2．判断四种命题真假的方法(1)利用简单命题判断真假的方法逐一判断．（2)利用四种命题间的等价关系：当一个命题不易直接判断真假时，可转化为判断其等价命题的真假．1．[考点一]下列命题中为真命题的是( )A．mx2＋2x－1＝0是一元二次方程B．抛物线y＝ax2＋2x－1与x轴至少有一个交点C．互相包含的两个集合相等D．空集是任何集合的真子集解析：选C A中，当m＝0时，是一元一次方程，故是假命题；B中，当Δ＝4＋4a<0，即a〈－1时，抛物线与x轴无交点，故是假命题;C是真命题；D中，空集不是本身的真子集，故是假命题．2．［考点二］命题“若x2＋y2＝0，x，y∈R，则x＝y＝0"的逆否命题是（）A．若x≠y≠0，x，y∈R，则x2＋y2＝0B．若x＝y≠0，x，y∈R，则x2＋y2≠0C．若x≠0且y≠0，x，y∈R，则x2＋y2≠0D．若x≠0或y≠0,x，y∈R，则x2＋y2≠0解析：选D 将原命题的条件和结论否定,并互换位置即可．由x＝y＝0知x＝0且y＝0,其否定是x≠0或y≠0.故原命题的逆否命题是“若x≠0或y≠0，x，y∈R，则x2＋y2≠0"．3．［考点二]命题“若△ABC有一个内角为错误!，则△ABC的三个内角成等差数列”的逆命题( ）A．与原命题同为假命题B．与原命题的否命题同为假命题C．与原命题的逆否命题同为假命题D．与原命题同为真命题解析:选D 原命题显然为真命题，原命题的逆命题为“若△ABC的三个内角成等差数列，则△ABC有一个内角为错误!”，它是真命题．故选D.4．[考点二］有下列四个命题：①“若xy＝1，则x,y互为倒数”的逆命题;②“面积相等的三角形全等”的否命题；③“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实数解"的逆否命题；④“若A∩B＝B，则A⊆B"的逆否命题．其中为真命题的是________(填写所有真命题的序号）．解析：①“若xy＝1,则x，y互为倒数”的逆命题是“若x，y 互为倒数,则xy＝1”，显然是真命题；②“面积相等的三角形全等"的否命题是“若两个三角形面积不相等，则这两个三角形不全等”，显然是真命题；③若x2－2x＋m＝0有实数解，则Δ＝4－4m≥0，解得m≤1，所以“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实数解"是真命题，故其逆否命题是真命题；④若A∩B＝B，则B⊆A，故原命题是假命题，所以其逆否命题是假命题．故真命题为①②③.答案：①②③突破点(二) 充分条件与必要条件1．充分条件与必要条件的概念2.Bp是q的必要条件B⊆Ap是q的充分不必要条件A Bp是q的必要不充分条件B Ap是q的充要条件A＝B考点贯通抓高考命题的“形"与“神”充分条件与必要条件的判断［例1] (1)p x y满足x＞1且y ＞1，q:实数x，y满足x＋y＞2，则p是q的（)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件（2）（2016·天津高考)设x＞0，y∈R，则“x＞y”是“x＞|y｜"的( ）A．充要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件［解析］(1)∵错误!∴x＋y＞2,即p⇒q.而当x＝0，y＝3时，有x＋y＝3＞2，但不满足x＞1且y＞1，即q⇒/ p．故p是q的充分不必要条件．(2）当x＝1，y＝－2时，x＞y,但x＞｜y|不成立；若x＞|y|，因为｜y|≥y，所以x＞y。

高考数学一轮总复习第一章 1.2命题及其关系、充分条件与必要条件

思维升华
(1)写一个命题的其他三种命题时，需注意： ①对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写； ②若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提. (2)判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题需举出反例即可. (3)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真
师生共研
题型二充分、必要条件的判定
(2)设n∈N*，则一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条解析由Δ＝16－4n≥0，得n≤4，又n∈N*，则n＝1,2,3,4. 当n＝1,2时，方程没有整数根；当n＝3时，方程有整数根1,3，当n＝4时，方程有整数根2.综上可知，n＝3或4.
核心素养之逻辑推理
HEXINSUYANGZHILUOJITUILI
(2)已知条件p：x>1或x<－3，条件q：5x－6>x2，则綈p是綈q的
√A.充分不必要条件
C.充要条件
B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
解析由5x－6>x2，得2<x<3，即q：2<x<3.
所以q⇒p，p⇏q，所以綈p⇒綈q，綈q⇏綈p，
所以綈p是綈q的充分不必要条件，故选A.
思维升华
解由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，∴P＝{x|－2≤x≤10} 由x∈P是x∈S的必要条件，知S⊆P.
1－m≤1＋m，则1－m≥－2， ∴0≤m≤3.

1＋m≤10，
引申探究
若本例条件不变，问是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条解若x∈P是x∈S的充要条件，则P＝S，
3.充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条
p是q的充分不必要条件

第二节-命题及其关系、充分条件与必要条件(有答案)

第二节命题及其关系、充足条件与必需条件【考纲下载】1．理解命题的观点．2．认识“若p，则 q”形式的命题及其抗命题、否命题与逆否命题，会剖析四种命题的相互关系．3．理解必需条件、充足条件与充要条件的含义．1．命题的观点用语言、符号或式子表达的，能够判断真假的陈说句叫做命题．此中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．2．四种命题及其关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有同样的真假性；②两个命题互为抗命题或互为否命题，它们的真假性没相关系．3．充足条件与必需条件(1)若 p? q，则 p 是 q 的充足条件，q 是 p 的必需条件．(2)若 p? q，则 p 与 q 互为充要条件．(3)若 p? / q，且 q? / p，则 p 是 q 的既不充足也不用要条件．1．一个命题的否命题与这个命题的否认是同一个命题吗？提示：不是，一个命题的否命题是既否认该命题的条件，又否认该命题的结论，而这个命题的否认仅能否认它的结论．2．“ p 是 q 的充足不用要条件”与“p 的一个充足不用要条件是q”二者的说法同样吗？提示：二者说法不同样．“ p的一个充足不用要条件是q”等价于“ q 是 p 的充足不用要条件”，明显这与“ p 是 q 的充足不用要条件”是截然相反的．1．(2013 ·建高考福 )已知会合 A＝{1 ，a} ，B＝ {1,2,3} ，则“ a＝ 3”是“ A? B”的 ()A ．充足而不用要条件B ．必需而不充足条件C．充足必需条件 D ．既不充足也不用要条件分析：选A当 a＝ 3 时， A＝ {1,3} ，A? B；反之，当 A? B 时， a＝ 2 或 3，所以“ a＝3”是“ A? B”的充足而不用要条件．2．命题“若 x2＞ y2，则 x＞ y”的逆否命题是 ()A ．“若 x＜ y，则 x2＜ y2”B ．“若 x＞ y，则 x2＞ y2”C．“若 x≤ y，则 x2≤ y2” D ．“若 x≥ y，则 x2≥ y2”分析：选 C依据原命题和逆否命题的条件和结论的关系得命题“若 x2＞ y2，则 x＞ y”的逆否命题是“若 x≤y，则 x2≤ y2”．3． (教材习题改编 )命题“假如b2－ 4ac＞ 0，则方程 ax2＋ bx＋ c＝0(a≠ 0)有两个不相等的实根”的否命题、抗命题和逆否命题中，真命题的个数为()A ． 0B ．1C． 2D． 3分析：选 D原命题为真，则它的逆否命题为真，抗命题为“若方程 ax2＋bx＋ c＝ 0(a≠0)有两个不相等的实根，则b2－ 4ac＞ 0”，为真命题，则它的否命题也为真．4．命题“若 f(x) 是奇函数，则 f(－ x)是奇函数”的否命题是()A ．若 f( x)是偶函数，则f(－ x)是偶函数B．若 f( x)不是奇函数，则f( －x) 不是奇函数C．若 f( －x)是奇函数，则 f( x)是奇函数D．若 f( －x) 不是奇函数，则 f(x) 不是奇函数分析：选 B原命题的否命题是既否认题设又否认结论，故“若 f(x)是奇函数，则 f(－x)是奇函数”的否命题是 B 选项．5．下边四个条件中，使a＞ b 建立的充足而不用要的条件是()A ． a＞ b＋ 1B． a＞ b－ 1 C． a2＞b2 D ．a3＞ b3分析：选A由 a＞ b＋1，且 b＋ 1＞ b，得 a＞ b；反之不建立 .考点一四种命题的关系[例 1] (1)命题“若x＞ 1，则 x＞ 0”的否命题是()A ．若 x＞ 1，则 x≤ 0B．若 x≤ 1，则 x＞ 0C．若 x≤ 1，则 x≤ 0D．若 x＜ 1，则 x＜ 0(2)命题“若x， y 都是偶数，则x＋y 也是偶数”的逆否命题是()A ．若 x＋ y 是偶数，则x 与 y 不都是偶数B．若 x＋ y 是偶数，则x 与 y 都不是偶数C．若 x＋ y 不是偶数，则x 与 y 不都是偶数D．若 x＋ y 不是偶数，则x 与 y 都不是偶数[自主解答 ](1) 因为“ x＞ 1”的否认为“ x≤ 1”，“ x＞0”的否认为“ x≤ 0”，所以命题“ 若 x＞ 1，则 x＞ 0”的否命题为：“ 若x≤ 1，则x≤ 0”．(2)因为“ x，y 都是偶数”的否认表达是“ x， y 不都是偶数”，“ x＋y 是偶数”的否认表达是“ x＋ y 不是偶数”，故原命题的逆否命题为“若x＋y不是偶数，则x 与 y 不都是偶数”．[答案 ] (1)C(2)C【互动研究】试写出本例 (2) 中命题的抗命题和否命题，并判断其真假性．解：抗命题：若x＋ y 是偶数，则x， y 都是偶数．是假命题．否命题：若x， y 不都是偶数，则x＋ y 不是偶数．是假命题．【方法例律】判断四种命题间关系的方法(1)由原命题写出其余三种命题，重点要分清原命题的条件和结论，将条件与结论交换即得抗命题，将条件与结论同时否认即得否命题，将条件与结论交换的同时进行否认即得逆否命题．(2)原命题和逆否命题、抗命题和否命题有同样的真假性，解题时注意灵巧应用．1．命题 p：“若 a≥ b，则 a＋ b＞ 2 012 且 a＞－ b”的逆否命题是()A ．若 a＋ b≤2 012 且 a≤－ b，则 a＜ bC．若 a＋ b≤2 012 或 a≤－ b，则 a＜ bD．若 a＋ b≤2 012 或 a≤－ b，则 a≤ b分析：选 C“且” 的否认是“ 或” ，依据逆否命题的定义知，逆否命题为“ 若a＋b≤ 2 012 或 a≤－ b，则 a＜ b”．2．以下命题中为真命题的是()A ．命题“若x＞ y，则 x＞ |y|”的抗命题B．命题“若x＞ 1，则 x2＞1”的否命题C．命题“若x＝ 1，则 x2＋x－ 2＝ 0”的否命题D．命题“若x2＞ 0，则 x＞1”的逆否命题分析：选 A A 中抗命题为“若 x＞ |y|，则 x＞ y”是真命题；B中否命题为“若 x≤ 1，则 x2≤ 1”是假命题；C中否命题为“若 x≠ 1，则 x2＋ x－ 2≠0”是假命题；D中原命题是假命题，进而其逆否命题也为假命题．考点二命题的真假判断[例 2] (1)以下命题是真命题的是()11A ．若＝，则x＝yB．若 x2＝ 1，则 x＝ 1C．若 x＝ y，则x＝yD．若 x＜ y，则 x2＜ y2(2)(2014 济·南模拟 )在空间中，给出以下四个命题：①过一点有且只有一个平面与已知直线垂直；②若平面外两点到平面的距离相等，则过这两点的直线必平行于该平面；③两条订交直线在同一平面内的射影必为订交直线；④两个相互垂直的平面，一个平面内的随意向来线必垂直于另一平面内的无数条直线．此中正确的选项是()A ．①②B ．②③C．③④D．①④[自主解答 ] (1) 取 x＝－ 1 清除 B ；取 x＝y＝－ 1 清除 C；取 x＝－ 2，y＝－ 1 清除 D，应选 A.(2)对于①，由线面垂直的判断可知①正确；对于②，若点在平面的双侧，则过这两点的直线可能与该平面订交，故②错误；对于③，两条订交直线在同一平面内的射影能够为一条直线，故③错误；对于④，两个相互垂直的平面，一个平面内的随意一条直线必垂直于另一个平面内的无数条与交线垂直的直线，故④正确．综上可知，选D.[答案 ] (1)A (2)D【方法例律】命题的真假判断方法(1)给出一个命题，要判断它是真命题，需经过严格的推理证明；而要说明它是假命题，只要举一反例即可．(2) 因为原命题与其逆否命题为等价命题，有时能够利用这类等价性间接地证明命题的真假．给出以下命题：①函数 y ＝ sin(x ＋k π)(k ∈ R)不行能是偶函数；②已知数列 { a n } 的前 n 项和 S n ＝ a n － 1(a ∈ R ， a ≠ 0)，则数列 { a n } 必定是等比数列； ③若函数 f(x)的定义域是 R ，且知足 f(x)＋ f(x ＋2) ＝ 3，则 f(x) 是以 4 为周期的周期函数； ④过两条异面直线外一点能作且只好作出一条直线和这两条异面直线同时订交．此中全部正确的命题有 ________(填正确命题的序号 )．分析： ①当 k ＝1nn 时， y ＝ sin(x ＋ k π)就是偶函数，故①错；②当a ＝ 1 时， S ＝0，则a2的各项都为零，不是等比数列，故②错；③由f(x)＋f(x ＋ 2)＝ 3，则 f(x ＋2)＋ f(x ＋4) ＝3，相减得 f(x)－ f(x ＋ 4)＝ 0，即 f(x)＝ f( x ＋4) ，所以 f(x) 是以 4 为周期的周期函数，③正确；④过两条异面直线外一点，有时没有一条直线能与两条异面直线都订交，故④错．综上所述，正确的命题只有③ .答案： ③高频考点考点三充要条件1．充足条件、必需条件是每年高考的必考内容，多以选择题的形式出现，难度不大，属于简单题．2．高考对充要条件的考察主要有以下三个命题角度：(1)判断指定条件与结论之间的关系；(2)研究某结论建立的充要条件、充足不用要条件或必需不充足条件；(3)与命题的真假性订交汇命题．[例 3] (1)(2013 北·京高考 )“ φ＝π”是“曲线y＝ sin(2x＋φ)过坐标原点”的()A ．充足而不用要条件B．必需而不充足条件C．充足必需条件D．既不充足也不用要条件a ＝b建立的充足条件(2)(2012 四·川高考 )设 a、 b 都是非零向量，以下四个条件中，使|a| |b|是()A ． a＝－ b B． a∥bC．a＝ 2b D． a∥b 且 |a|＝ |b|(3)给出以下命题：①“数列 { a n} 为等比数列”是“数列{ a n a n＋1} 为等比数列”的充足不用要条件；②“ a＝ 2”是“函数f(x) ＝|x－ a|在区间 [2，＋∞ )上为增函数”的充要条件；③“ m＝ 3”是“直线 (m＋ 3)x＋ my－ 2＝ 0 与直线 mx－ 6y＋ 5＝ 0 相互垂直”的充要条件；④设 a， b， c 分别是△ ABC 三个内角A， B，C 所对的边，若a＝ 1，b＝3，则“ A＝30°”是“ B＝60°”的必需不充足条件．此中真命题的序号是________．．[自主解答 ](1) 当φ＝π时， y＝ sin(2 x＋π)＝－ sin 2x，则曲线 y＝－ sin 2x 过坐标原点，所以“ φ＝π” ? “曲线 y＝ sin(2x＋φ)过坐标原点”；当φ＝ 2π时， y＝ sin(2x＋ 2π)＝ sin 2x，则曲线 y＝ sin 2x 过坐标原点，所以“ φ＝π”?/“ 曲线y＝sin(2x＋φ)过坐标原点” ，所以“ φ＝π” 是“曲线 y＝ sin(2x＋φ)过坐标原点”的充足而不用要条件．a b a b(2)|a|，|b|分别是与 a， b 同方向的单位向量，由|a|＝|b|，得 a 与 b 的方向同样．而 a∥b时， a 与 b 的方向还可能相反．应选 C.(3) 对于①，当数列 { a n} 为等比数列时，易知数列{ a n a n＋1} 是等比数列，但当数列 { a n a n＋1} 为等比数列时，数列 { a n} 未必是等比数列，如数列1,3,2,6,4,12,8 明显不是等比数列，而相应的数列 3,6,12,24,48,96 是等比数列，所以①正确；对于②，当a≤ 2 时，函数 f(x) ＝|x－ a|在区间[2 ，＋∞ )上是增函数，所以②不正确；对于③，当m＝ 3 时，相应的两条直线相互垂直，反之，这两条直线垂直时，不必定有m＝ 3，也可能m＝ 0.所以③不正确；对于④，由题意得b＝ sin B＝3，若 B＝ 60°，则 sin A＝1，注意到 b＞ a，故 A＝30°，反之，当A＝ 30°时，a sin A2有 sin B＝3，因为 b＞a，所以 B＝ 60°或 B＝ 120°，所以④正确．综上所述，真命题的序号2是①④ .[答案 ](1)A (2)C (3) ①④充要条件问题的常有种类及解题策略(1)判断指定条件与结论之间的关系．解决此类问题应分三步：①确立条件是什么，结论是什么；②试试从条件推结论，从结论推条件；③确立条件和结论是什么关系．(2)研究某结论建立的充要、充足、必需条件．解答此类题目，可先从结论出发，求出使结论建立的必需条件，而后再考证获得的必需条件能否知足充足性．(3)充要条件与命题真假性的交汇问题．依照命题所述的充足必需性，判断能否建立刻可．1．(2014 西·安模拟 )假如对于随意实数x，[x]表示不超出 x 的最大整数，那么“ [x] ＝ [y] ”是“ |x－ y|＜ 1 建立”的 ()A ．充足不用要条件B ．必需不充足条件C．充要条件 D ．既不充足也不用要条件分析：选 A若 [x]＝ [ y] ，则 |x－y|＜ 1；反之，若 |x－ y|＜ 1，如取 x＝ 1.1，y＝ 0.9，则[x]≠ [y] ，即“ [x] ＝ [y]”是“ |x－ y|＜ 1 建立”的充足不用要条件．2．已知 p：1a 的<1， q：x2＋(a－ 1)x－ a>0 ，若 p 是 q 的充足不用要条件，则实数x－1取值范围是 ()A．(－2，－ 1]B． [ －2，－ 1]C． [－ 3,1]D． [－ 2，＋∞ )分析：选 A不等式1<1 等价于1－1<0，即x－ 2>0，解得 x>2 或 x<1，所以 p 为 (－x－ 1x－ 1x－ 1∞， 1)∪(2，＋∞ )．不等式x2＋(a－ 1)x－ a>0 能够化为 (x－1)(x＋ a)>0 ，当－ a≤ 1 时，解得x>1 或 x<－ a，即 q 为 (－∞，－ a)∪(1，＋∞ )，此时a＝－ 1；当－ a>1 时，不等式 (x－1)(x ＋a)>0 的解集是 (－∞， 1)∪(－ a，＋∞ )，此时－ a<2，即－ 2<a<－ 1.综上可知 a 的取值范围为( －2，－ 1]．3．设 n∈ N *，一元二次方程 x2－ 4x＋ n＝ 0 有整数根的充要条件是n＝ ________.4± 16－ 4n4－ n，因为 x 是整数，分析：一元二次方程x2－ 4x＋n＝ 0 的根为 x＝＝ 2±2即 2±4－n为整数，所以4－ n为整数，且 n≤ 4，又因为 n∈N*，取 n＝ 1,2,3,4，考证可知n＝ 3,4切合题意，所以 n＝ 3,4 时能够推出一元二次方程x2－ 4x＋n＝ 0 有整数根．答案：3或4—————————— [ 讲堂概括——通法意会 ] ———————————1 个差别——“ A 是 B 的充足不用要条件”与“A 的充足不必需条件是 B”的差别“ A 是 B 的充足不用要条件”中，A是条件，B是结论；“ A的充足不用要条件是B”中， B 是条件， A 是结论．在进行充足、必需条件的判断中，要注意这两种说法的差别．2 条规律——四种命题间关系的两条规律(1)抗命题与否命题互为逆否命题；互为逆否命题的两个命题同真假．(2)当判断一个命题的真假比较困难时，可转变为判断它的逆否命题的真假．同时要关注“ 特例法” 的应用．3 种方法——判断充足条件和必需条件的方法(1)定义法； (2) 会合法； (3)等价转变法．方法博览 (一 )三法破解充要条件问题1．定义法定义法就是将充要条件的判断转变为两个命题——“若 p，则 q”与“若q，则 p”的判断，依据两个命题能否正确，来确立p 与 q 之间的充要关系．π[典例 1] 设 0＜ x＜，则“ xsin2x＜ 1”是“ xsin x＜ 1”的 ()2A ．充要条件B ．充足不用要条件C．必需不充足条件 D ．既不充足也不用要条件π[解题指导 ] 由 0＜ x＜2可知 0＜ sin x＜ 1，分别判断命题“若 xsin2x＜ 1，则 xsin x＜ 1”与“ 若 xsin x＜ 1，则 xsin 2x<1”的真假即可．π[分析 ]因为0< x<2，所以0<sin x<1，不等式xsin x<1两边同乘sin x，可得 xsin 2x<sin x，所以有 xsin2x<sin x<1.即 xsin x<1? xsin2 x<1；11不等式 xsin2x<1两边同除以sin x，可得 xsin x<sin x，而由 0<sin x<1，知sin x>1，故 xsin x<1 不必定建立，即xsin2x<1 ?/ xsin x<1.综上，可知“xsin2x<1”是“xsin x<1”的必需不充足条件．[答案] C[评论 ]判断p、q之间的关系，只要判断两个命题A：“ 若 p，则 q”和 B：“若 q，则 p”的真假．(1)若 p? q，则 p 是 q 的充足条件；(2)若 q? p，则 p 是 q 的必需条件；(3)若 p? q 且 q? p，则 p 是 q 的充要条件；(4)若 p? q 且 q? / p，则 p 是 q 的充足不用要条件；(5)若 p? / q 且 q? p，则 p 是 q 的必需不充足条件；(6)若 p? / q 且 q? / p，则 p 是 q 的既不充足也不用要条件．2．会合法会合法就是利用知足两个条件的参数取值所组成的会合之间的关系来判断充要关系的方法．主要解决两个相像的条件难以进行划分或判断的问题．[典例 2]若 A： log2a<1， B： x 的二次方程 x2＋ (a＋1)x＋ a－ 2＝ 0 的一个根大于零，另一根小于零，则A是B的()A ．充要条件B．充足不用要条件C．必需不充足条件D．既不充足也不用要条件[解题指导 ] 分别求出使 A、B 建立的参数 a 的取值所组成的会合M 和 N，而后经过集合 M 与 N 之间的关系来判断．[分析 ]由 log a<1，解得 0<a<2，所以知足条件 A 的参数 a 的取值会合为 M＝ { a|0<a<2} ；2而方程 x2＋ (a＋ 1)x＋ a－ 2＝ 0 的一根大于零，另一根小于零的充要条件是f(0)<0 ，即 a－2<0 ，解得 a<2 ，即知足条件 B 的参数 a 的取值会合为 N＝ { a|a<2} ，明显 M N，所以 A是 B的充分不用要条件．[答案 ]B[评论 ]利用会合间的关系判断充要条件的方法记法条件 p、 q 对应的会合分别为A、 BA? B B? A AB B A A B 且关系A＝ BB Ap 是 q 的充p 是 q 的必p 是 q 的既p 是 q 的充p 是 q 的必p 是 q 的充结论分不用要条要不充足条不充足也不分条件要条件要条件件件必需条件3.等价转变法等价转变法就是在判断含有逻辑联络词“否”的相关条件之间的充要关系时，依据原命题与其逆否命题的等价性转变为形式较为简单的两个条件之间的关系进行判断．4≤－ 1，条件 q： x2－ x<a2－ a，且q 的一个充足不用要条[典例 3] 已知条件 p：x－1件是p，则 a 的取值范围是 ________．[解题指导 ] “ q 的一个充足不用要条件是p”等价于“ p 是 q 的一个必需不充足条件”．[分析 ]由4≤ －1，得－3≤x<1.由x2－x<a2－a，得(x－a)[x＋(a－1)]<0，x－ 1当 a>1 － a，即 a>12时，不等式的解为1－a<x<a；当 a＝ 1－ a，即 a＝12时，不等式的解为?；1当 a<1 － a，即 a<2时，不等式的解为a<x<1－ a.由q 的一个充足不用要条件是p，可知p 是q 的充足不用要条件，即p 为 q 的一个必需不充足条件，即条件q 对应的 x 取值会合是条件p 对应的 x 取值会合的真子集．1－ 3≤ 1－ a，1当 a>2时，由 { x|1－ a<x<a}{ x|－ 3≤ x<1} ，得解得2<a≤ 1；1≥a，1当 a＝2时，因为空集是随意一个非空会合的真子集，所以知足条件；1－ 3≤ a，1当 a<2时，由 { x|a<x<1 － a}{ x|－ 3≤ x<1} ，得解得0≤ a<2.1≥1－ a，综上， a 的取值范围是[0,1] ．[答案 ][0,1][评论 ]条件和结论带有否认性词语的命题，常转变为其逆否命题来判断真假.p、 q 之间的关系p 和q 之间的关系p 是 q 的充足不用要条件p 是q 的必需不充足条件p 是 q 的必需不充足条件p 是q 的充足不用要条件p 是 q 的充要条件p 是q 的充要条件p 是 q 的既不充足也不用要条件p 是q 的既不充足也不用要条件[ 通盘稳固 ]1．“若 b2－ 4ac＜ 0，则 ax2＋ bx＋c＝ 0 没有实根”，其否命题是()A ．若 b2－ 4ac＞ 0，则 ax2＋ bx＋c＝ 0 没有实根B．若 b2－ 4ac＞0，则 ax2＋ bx＋c＝ 0 有实根C．若 b2－ 4ac≥0，则 ax2＋ bx＋c＝ 0 有实根D．若 b2－ 4ac≥ 0，则 ax2＋ bx＋c＝ 0 没有实根分析：选 C由原命题与否命题的关系可知，“ 若b2－4ac＜0，则ax2＋bx＋c＝0没有实根”的否命题是“若 b2－ 4ac≥ 0，则 ax2＋ bx＋ c＝ 0 有实根”．2．f(x)，g(x)是定义在R 上的函数， h(x)＝ f(x)＋g(x)，则“ f(x)，g(x)均为偶函数”是“h(x)为偶函数”的 ()A ．充要条件B ．充足不用要条件C．必需不充足条件 D ．既不充足也不用要条件分析：选 B因为f(x)，g( x)均为偶函数，可推出h(x)为偶函数，反之，则不建立．3． (2014 黄·冈模拟 )与命题“若a，b， c 成等比数列，则b2＝ ac”等价的命题是 ()A ．若 a， b，c 成等比数列，则b2≠ acB．若 a， b，c 不行等比数列，则b2≠ acC．若 b2＝ ac，则 a， b， c 成等比数列D．若 b2≠ ac，则 a， b，c 不行等比数列分析：选 D因为原命题与其逆否命题是等价的，所以与命题“ 若a，b，c成等比数列，则 b2＝ ac”等价的命题是“若 b2≠ ac，则 a， b， c 不行等比数列”．4．设 a＞0 且 a≠1，则“函数 f(x)＝ a x在 R 上是减函数”是“函数g(x)＝(2－a)x3在 R上是增函数”的 ()A ．充足不用要条件B．必需不充足条件C．充足必需条件D．既不充足也不用要条件分析：选 A“ 函数f(x)＝a x在R上是减函数” 的充要条件是p： 0＜ a＜ 1.因为 g′ (x)＝3(2－ a)x2，而 x2≥ 0，所以“函数 g(x)＝ (2－a)x3在 R 上是增函数”的充要条件是2－ a＞ 0，即 a＜ 2.又因为 a＞ 0 且 a≠ 1，所以“函数 g(x)＝ (2－ a)x3在 R 上是增函数”的充要条件是q：0＜ a＜ 2 且 a≠ 1.明显 p? q，但 q? / p，所以 p 是 q 的充足不用要条件，即“ 函数f(x)＝a x在 R 上是减函数”是“函数 g(x)＝ (2－ a)x3在 R 上是增函数”的充足不用要条件．5． (2014 ·昌模拟南 )以下选项中正确的选项是()1A ．若 x＞ 0 且 x≠ 1，则 ln x＋≥ 2B．在数列 { a n} 中，“ |a n＋1|＞ a n”是“数列 { a n} 为递加数列”的必需不充足条件C．命题“全部素数都是奇数”的否认为“全部素数都是偶数”D．若命题p 为真命题，则其否命题为假命题1分析：选 B当0＜x＜1时，ln x＜0，此时ln x＋ln x≤ －2，A错；当|a n＋1|＞a n时，{ a n}不必定是递加数列，但若 { a n n＜a n ＋1≤ |an＋ 1} 是递加数列，则必有a|，B 对；全称命题的否认为特称命题， C 错；若命题 p 为真命题，其否命题可能为真命题，也可能为假命题， D 错．6．已知 p：2x－ 1≤ 1，q：(x－ a)(x－ a－ 1)≤ 0.若 p 是 q 的充足不用要条件，则实数a的取值范围是 ()A. 0，1B. 0，1C． (－∞， 0)∪1，＋∞D． (－∞， 0)∪1，＋∞2222分析：选 A 令 A＝ { x| 2x－ 1≤ 1} ，得 A＝ x 1≤ x≤ 1，令 B＝ { x|(x－ a)(x－ a－ 1)≤ 0} ，21a≤2，1得 B＝ { x|a≤ x≤ a＋1} ，若 p 是 q 的充足不用要条件，则A B，需? 0≤ a≤2.a＋ 1≥ 1 7．在命题 p 的四种形式 (原命题、抗命题、否命题、逆否命题)中，真命题的个数记为f(p)，已知命题 p：“若两条直线 l1： a1x＋ b1y＋ c1＝ 0， l2： a2x＋ b2y＋ c2＝ 0平行，则 a1b2－a b ＝ 0”．那么 f(p)＝ ________.21分析：原命题 p 明显是真命题，故其逆否命题也是真命题，而其抗命题是：若 a1 b2－a2b1＝0，则两条直线l 1：a1 x＋ b1y＋ c1＝ 0 与 l 2：a2 x＋ b2y＋c2＝ 0 平行，这是假命题，因为当 a1b2－a2 1＝0时，还有可能12重合，抗命题是假命题，进而否命题也为假命题，故f(p)＝b l与 l2.答案： 28．以下四个命题：①“若 x＋ y＝ 0，则 x， y 互为相反数”的抗命题；②“若 x2＋x－ 6≥ 0，则 x＞ 2”的否命题；③在△ ABC 中，“ A＞ 30°”是“ sin A＞12”的充足不用要条件；④“函数 f(x)＝ tan(x＋φ)为奇函数”的充要条件是“φ＝kπ(k∈Z )”．此中真命题的序号是________(把真命题的序号都填上)．分析：①原命题的抗命题为：“若x，y互为相反数，则x＋ y＝ 0”，①是真命题；“若x2＋ x－6≥ 0，则 x＞ 2”的否命题是“若 x2＋ x－ 6＜0，则 x≤2”，②也是真命题；在△ ABC中，“ A＞ 30°”是“ sin A＞1”的必需不充足条件，③是假命题；“函数 f(x)＝ tan(x＋φ)为2kπ奇函数”的充要条件是“φ＝2 (k∈Z)”，④是假命题．答案：①②9．已知α：x≥a，β：|x－ 1|＜ 1.若α是β的必需不充足条件，则实数 a 的取值范围为________．分析：α： x≥ a，可看作会合 A＝ { x|x≥ a} ，由 |x－ 1|＜ 1，得 0＜x＜ 2，∴β可看作会合B＝{ x|0＜ x＜2} ．又∵α是β的必需不充足条件，∴B A，∴a≤ 0.答案： (－∞， 0]10．已知函数f( x)是 (－∞，＋∞ )上的增函数， a， b∈ R，对命题“若a＋ b≥0，则 f(a)＋f(b)≥ f(－ a)＋ f(－b)”．(1)写出否命题，判断其真假，并证明你的结论；(2)写出逆否命题，判断其真假，并证明你的结论．解： (1) 否命题：已知函数 f(x)在 (－ ∞，＋ ∞ )上是增函数， a ，b ∈R ，若 a ＋b ＜ 0，则 f(a)＋ f (b)＜ f(－ a)＋ f(－b)．该命题是真命题，证明以下：∵a ＋ b ＜0，∴a ＜－ b ，b ＜－ a.又∵f(x)在 (－∞ ，＋ ∞ )上是增函数．∴ f( a) ＜ f(－ b)， f( b)＜f(－ a)，∴f(a)＋ f(b)＜ f(－ a)＋ f(－b)，∴否命题为真命题．(2)逆否命题：已知函数f(x)在 (－ ∞，＋ ∞ )上是增函数， a ， b ∈R ，若 f(a)＋ f(b)＜ f( －a)＋ f (－ b)，则 a ＋ b ＜ 0.真命题，可证明原命题为真来证明它．∵a ＋ b ≥0，∴a ≥－ b ， b ≥－ a ，∵f(x)在 (－ ∞ ，＋ ∞ )上是增函数，∴f(a) ≥f(－ b)， f(b)≥ f(－ a)，∴f(a)＋ f(b)≥ f(－ a)＋ f(－ b)，故原命题为真命题，所以逆否命题为真命题．11．已知会合 A ＝ y y ＝x 2 33－2x ＋1， x ∈4， 2，B ＝ { x|x ＋ m 2≥ 1} ．若“ x ∈ A ”是“ x∈B ”的充足条件，务实数 m 的取值范围．解： y ＝ x 2－ 332＋7 ，∵x ∈3， 2 ，∴7≤ y ≤ 2，∴A ＝ 7 ≤ y ≤2 .2x ＋ 1＝ x －416416y16由 x ＋ m 2≥ 1，得 x ≥ 1－ m 2，∴B ＝{ x|x ≥ 1－ m 2} ．∵“ x ∈A ” 是 “x ∈B ”的充足条件， ∴A? B ，∴1－ m2≤167，解得 m ≥ 34或 m ≤－ 34，故实数 m 的取值范围是－∞，－33，＋ ∞.4 ∪ 412．已知两个对于 x 的一元二次方程 mx 2－4x ＋ 4＝ 0 和 x 2－ 4mx ＋ 4m 2－ 4m － 5＝0，求双方程的根都是整数的充要条件．解： ∵mx 2－ 4x ＋ 4＝ 0 是一元二次方程，∴ m ≠ 0.又另一方程为 x 2－ 4mx ＋ 4m 2－ 4m － 5＝0，且双方程都要有实根，1＝ 16 1－ m ≥ 0，解得 m ∈ －5， 1 .∴22－ 4 4m 2－ 4m － 5 ≥0， 4＝ 16m∵双方程的根都是整数，故其根的和与积也为整数，4m∈Z，5∴4m∈Z ，∴m 为 4 的约数．又∵ m∈ －4，1 ，∴m＝－ 1 或 1.4m2－4m－ 5∈Z .当 m＝－ 1 时，第一个方程 x2＋ 4x－ 4＝ 0 的根为非整数；而当 m＝ 1 时，双方程的根均为整数，∴双方程的根均为整数的充要条件是m＝ 1.[ 冲击名校 ]1．对于函数 y＝f(x)，x∈ R，“ y＝ |f( x)|的图象对于 y 轴对称”是“ y＝f(x)是奇函数”的 ()A ．充足不用要条件B．必需不充足条件C．充足必需条件D．既不充足也不用要条件分析：选 B y＝ |f(x)|的图象对于 y 轴对称，可是 y＝ f(x)不必定为奇函数，如取函数f( x)＝x2，则函数 y＝ |x2|的图象对于y 轴对称，但函数 f(x)＝x2是偶函数不是奇函数，即“ y＝|f(x)|的图象对于y 轴对称” ? / “ y＝ f(x)是奇函数”；若 y＝f(x)是奇函数，图象对于原点对称，所以 y＝ |f(x)|的图象对于y 轴对称，即“ y＝ f(x)是奇函数” ? “ y＝|f(x)|的图象对于y 轴对称”，故应选 B.2．已知以下各组命题，此中 p 是 q 的充足必需条件的是 ( ) A ． p：m≤－ 2 或 m≥ 6； q： y＝ x2＋mx＋m＋ 3 有两个不一样的零点f － xB．p：f x＝1；q：y＝f(x)是偶函数C．p： cos α＝ cos β；q： tan α＝tan βD． p： A∩B＝ A； q： A? U， B? U ， ?U B?? U A分析：选 D对于A，由y＝x2＋mx＋m＋3有两个不一样的零点，可得＝m2－4(m＋3)＞0，进而可得m＜－ 2 或 m＞6.所以 p 是 q 的必需不充足条件；f－ x对于 B ，由f x＝1? f(－x)＝f(x)? y＝f(x)是偶函数，但由y＝ f(x)是偶函数不可以推出f－ x＝ 1，比如函数f(x)＝ 0，所以 p 是 q 的充足不用要条件；f x对于 C，当 cos α＝cos β＝ 0 时，不存在tan α＝ tan β，反之也不建立，所以p 是 q 的既不充足也不用要条件；对于 D ，由 A∩ B＝ A，知 A? B，所以 ?U B?? U A；反之，由 ?U B?? U A，知 A? B，即 A∩ B＝ A.所以 p? q.综上所述， p 是 q 的充足必需条件的是 D.[ 高频转动 ]1．已知全集 U ＝R，会合 A＝ { x|x2－ 3x－4＞ 0} ，B＝ { x|2x＞ 8} ，那么会合 (?U A) ∩B＝ ()A ． { x|3＜ x＜4}B． { x|x＞ 4}C．{ x|3＜ x≤ 4}D． { x|3≤ x≤ 4}分析：选 C A＝ { x|x2－ 3x－4＞ 0} ＝ { x|x＜－ 1 或 x＞4} ，所以 ?U A＝ { x|－1≤ x≤ 4} ，又B＝ { x|2x＞ 8} ＝ { x|x＞ 3} ，所以 ( ?U A)∩ B＝ { x|3＜x≤ 4} ．2．对于随意的两个正数m， n，定义运算⊙：当m， n 都为偶数或都为奇数时，m⊙ n＝m＋n；当 m， n 为一奇一偶时， m⊙ n＝ mn.设会合 A＝ {( a， b)|a⊙b＝ 6， a，b∈ N* } ，则2会合 A 中的元素个数为 ________．分析： (1)当 a，b 都为偶数或都为奇数时，a＋ b＝ 6? a＋ b＝ 12，即 2＋10＝ 4＋ 8＝ 6＋ 6 2＝1＋ 11＝ 3＋ 9＝ 5＋ 7＝12，故切合题意的点(a， b)有 2×5＋ 1＝ 11 个．(2)当 a， b 为一奇一偶时，ab＝ 6? ab＝ 36，即 1×36＝ 3× 12＝ 4× 9＝ 36，故切合题意的点 (a， b)有 2× 3＝ 6 个．综上可知，会合 A 中的元素共有17 个．答案： 17。

高三一轮复习§1.2_命题及其关系、充分条件与必要条件

答案：C
[例1]
(2013· 武汉适应性训练)命题“所有不能被2整
(
除的整数都是奇数”的否定是 ) A．所有能被2整除的整数都是奇数 B．所有不能被2整除的整数都不是奇数
C．存在一个能被2整除的整数是奇数
D．存在一个不能被2整除的整数不是奇数
[自主解答]
命题“所有不能被2整除的整数都是
奇数”的否定是“存在一个不能被2整除的整数不是奇数”，选D. [答案] D
【1】下列命题中是真命题的是（
）
A、若向量a, b满足a b 0, 则a 0， b0 1 1 B、若a b, 则 a b C、若b 2 ac, 则a, b, c成等比数列 4 D、x R, 使得 sin x cos x 成立 3
【2】若命题“x R, 使得ax2 ax 1 0 ” 是真命题，则实数a的取值范围___________
学考复习
第二讲命题及其关系、充分条件与必要条件
知识网络
命题四种命题
原命题：若p则q
互否互逆
命题及其关系常
用逻
四种命题的相互关系
逆命题：若q则p互否互为逆否Fra bibliotek等价关系
否命题：若p则q
互逆
逆命题：若q则p
且∧ 简单的逻辑联结词或∨ 非全称量词存在量词
p∧q p∨q p 或 q 全称命题特称命题
)
c
c
D. ac2＞bc2
【2】若条件 p: |x＋1|≤4, 条件q : x2＜5x－6则 “ p”是
“q” 的 (
)
B. 必要不充分条件 D. 既不充分又不必要条件
A. 充分不必要条件 C. 充要条件

高考一轮复习第1章集合与常用逻辑用语第2讲命题及其关系充分条件与必要条件

第二讲命题及其关系、充分条件与必要条件知识梳理·双基自测知识点一命题及四种命题之间的关系1．命题用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．2．四种命题及其关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系①若两个命题互为逆否命题，则它们有相同的真假性；②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．知识点二充分条件与必要条件若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且qpp是q的必要不充分条件pq且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分又不必要条件pq且qp重要结论1．若A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则(1)若A⊆B，则p是q的充分条件；(2)若A⊇B，则p是q的必要条件；(3)若A＝B，则p是q的充要条件；(4)若A B，则p是q的充分不必要条件；(5)若A B，则p是q的必要不充分条件；(6)若A B且AB，则p是q的既不充分也不必要条件．2．充分条件与必要条件的两个特征：(1)对称性：若p是q的充分条件，则q是p的必要条件，即“p⇒q”⇔“q⇐p”．(2)传递性：若p 是q 的充分(必要)条件，q 是r 的充分(必要)条件，则p 是r 的充分(必要)条件，即“p ⇒q 且q ⇒r ”⇒“p ⇒r ”(“p ⇐q 且q ⇐r ”⇒“p ⇐r ”)．注意：不能将“若p ，则q”与“p ⇒q ”混为一谈，只有“若p ，则q”为真命题时，才有“p ⇒q ”，即“p ⇒q ”⇔“若p ，则q”为真命题．双基自测题组一走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)语句x 2－3x ＋2＝0是命题．( × )(2)命题“三角形的内角和是180°”的否命题是“三角形的内角和不是180°”．( × ) (3)已知集合A ，B ，则A∪B＝A∩B 的充要条件是A ＝B ．( √ ) (4)“α＝β”是“tan α＝tan β”的充分不必要条件．( × ) (5)“若p 不成立，则q 不成立”等价于“若q 成立，则p 成立”．( √ )[解析] (4)当α＝β＝π2时，tan α、tan β都无意义．因此不能推出tan α＝tan β，当tan α＝tan β时，α＝β＋k π，k∈Z，不一定α＝β，因此是既不充分也不必要条件．题组二走进教材2．(选修2－1P 8T3改编)下列命题是真命题的是( A ) A ．矩形的对角线相等 B ．若a>b ，c>d ，则ac>bd C ．若整数a 是素数，则a 是奇数 D ．命题“若x 2>0，则x>1”的逆否命题3．(选修2－1P 10T4改编)x 2－3x ＋2≠0是x≠1的充分不必要条件． [解析] x ＝1是x 2－3x ＋2＝0的充分不必要条件．题组三走向高考4．(2020·天津，2，5分)设a∈R，则“a>1”是“a 2>a ”的( A ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] 易知a>1⇒a 2>a ，而a 2>a ⇒a<0或a>1，所以“a>1”是“a 2>a ”的充分不必要条件． 5．(2015·山东，5分)设m∈R，命题“若m>0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题是( D ) A ．若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m>0 B ．若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m≤0 C ．若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m>0 D ．若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m≤0 [解析] 由原命题和逆否命题的关系可知D 正确．6．(2018·北京，5分)能说明“若f(x)>f(0)对任意的x∈(0，2]都成立，则f(x)在[0，2]上是增函数”为假命题的一个函数是f(x)＝sin_x(答案不唯一)．[解析]这是一道开放性试题，答案不唯一，只要满足f(x)>f(0)对任意的x∈(0，2]都成立，且函数f(x)在[0，2]上不是增函数即可．如f(x)＝sin x，答案不唯一．考点突破·互动探究KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU考点一命题及其关系——自主练透例1 (1)(2021·新高考八省联考)关于x的方程x2＋ax＋b＝0，有下列四个命题：甲：x＝1是该方程的根；乙：x＝3是该方程的根；丙：该方程两根之和为2；丁：该方程两根异号．如果只有一个假命题，则该命题是( A )A．甲B．乙C．丙D．丁(2)(2021·长春模拟)已知命题α：如果x<3，那么x<5，命题β：如果x≥3，那么x≥5，则命题α是命题β的( A )A．否命题B．逆命题C．逆否命题D．否定形式(3)(多选题)下列命题为真命题的是( CD )A．“若a2<b2，则a<b”的否命题B．“全等三角形面积相等”的逆命题C．“若a>1，则ax2－2ax＋a＋3>0的解集为R”的逆否命题D．“若3x(x≠0)为有理数，则x为无理数”的逆否命题(4)命题“若a＋b＝0，则a，b中最多有一个大于零”的否定形式为若a＋b＝0，则a，b都大于零，否命题为若a＋b≠0，则a，b都大于零．[解析](1)若乙、丙、丁正确，显然x1＝－1，x2＝3，两根异号，x1＋x2＝2，故甲错，因此选A．(2)命题α：如果x<3，那么x<5，命题β：如果x≥3，那么x≥5，则命题α是命题β的否命题．(3)对于A ，否命题为“若a 2≥b 2，则a≥b”，为假命题；对于B ，逆命题为“面积相等的三角形是全等三角形”，是假命题；对于C ，当a>1时，Δ＝－12a<0，原命题正确，从而其逆否命题正确，故C 正确；对于D ，原命题正确，因此该命题的逆否命题也正确，D 正确．故选C 、D ．(4)否定形式：若a ＋b ＝0，则a ，b 都大于零．否命题：若a ＋b ≠0，则a ，b 都大于零．名师点拨 MING SHI DIAN BO(1)由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，如果命题不是“若p ，则q”的形式，应先改写成“若p ，则q”的形式；如果命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提不变．(2)判断一个命题为真命题，要给出严格的推理证明；判断一个命题为假命题，只需举出反例． (3)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．考点二充分必要条件考向1 充分条件与必要条件的判断——师生共研方法1：定义法判断例2 ( 2020·北京，9，4分)已知α，β∈R，则“存在k∈Z 使得α＝k π＋(－1)kβ”是“sinα＝sin β”的( C )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] (1)充分性：已知存在k∈Z 使得α＝k π＋(－1)kβ，(ⅰ)若k 为奇数，则k ＝2n ＋1，n∈Z，此时α＝(2n ＋1)π－β，n∈Z，sin α＝sin(2n π＋π－β)＝sin(π－β)＝sin β；(ⅱ)若k 为偶数，则k ＝2n ，n∈Z，此时α＝2n π＋β，n∈Z，sin α＝sin(2n π＋β)＝sin β. 由(ⅰ)(ⅱ)知，充分性成立．(2)必要性：若sin α＝sin β成立，则角α与β的终边重合或角α与β的终边关于y 轴对称，即α＝β＋2m π或α＋β＝2m π＋π，m∈Z，即存在k∈Z 使得α＝k π＋(－1)kβ，必要性也成立，故选C ．方法2：集合法判断例3 (2020·天津一中高三月考)设x∈R，则“|x－1|<4”是“x －52－x >0”的( B )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] 解绝对值不等式可得－4<x －1<4，即－3<x<5，将分式不等式变形可得x －5x －2<0，解得2<x<5，因为(2，5)(－3，5)，所以“|x－1|<4”是“x －52－x >0”的必要而不充分条件．方法3 等价转化法判断例4 (1)给定两个条件p ，q ，若¬ p 是q 的必要不充分条件，则p 是¬q 的( A ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(2)“已知命题p ：cos α≠12，命题q ：α≠π3”，则命题p 是命题q 的( A )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] (1)因为¬ p 是q 的必要不充分条件，则q ⇒¬ p ，但¬pq ，其逆否命题为p ⇒¬q ，但¬qp ，所以p 是¬q 的充分不必要条件．(2) ¬p ：cos α＝12，¬q ：α＝π3，显然¬q ⇒¬p ，¬p ¬q ，∴¬q 是¬p 的充分不必要条件，从而p 是q 的充分不必要条件，故选A ．另解：若cos α≠12，则α≠2kπ±π3(k∈Z)，则α也必然不等于π3，故p ⇒q ；若α≠π3，但α＝－π3时，依然有cos α＝12，故q p.所以p 是q 的充分不必要条件．故选A ．名师点拨 MING SHI DIAN BO有关充要条件的判断常用的方法(1)根据定义判断：①弄清条件p 和结论q 分别是什么；②尝试p ⇒q ，q ⇒p.若p ⇒q ，则p 是q 的充分条件；若q ⇒p ，则p 是q 的必要条件；若p ⇒q ，qp ，则p 是q 的充分不必要条件；若pq ，q ⇒p ，则p 是q 的必要不充分条件；若p ⇒q ，q ⇒p ，则p 是q 的充要条件．(2)利用集合判断记法 A ＝{x|p(x)}，B ＝{x|q(x)} 关系 ABBAA ＝BAB 且BA结论p 是q 的充分不必要条件p 是q 的必要不充分条件p 是q 的充要条件p 是q 的既不充分也不必要条件断¬q 是¬p 的什么条件．〔变式训练1〕(1)指出下列各组中，p 是q 的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种作答)．①非空集合A ，B 中，p ：x∈(A∪B)，q ：x∈B；②已知x ，y∈R，p ：(x －1)2＋(y －2)2＝0，q ：(x －1)(y －2)＝0； ③在△ABC 中，p ：A ＝B ，q ：sin A ＝sin B ； ④对于实数x ，y ，p ：x ＋y≠8，q ：x≠2或y≠6.(2)(2020·天津部分区期末)设x∈R，则“x 2－2x<0”是“|x－1|<2”的( A ) A ．充分不必要条件 B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件[解析] (1)①显然x∈(A∪B)不一定有x∈B，但x∈B 一定有x∈(A∪B)，所以p 是q 的必要不充分条件．②条件p ：x ＝1且y ＝2，条件q ：x ＝1或y ＝2，所以p ⇒q 但qp ，故p 是q 的充分不必要条件． ③在△ABC 中，A ＝B ⇒sin A ＝sin B ；反之，若sin A ＝sin B ，因为A 与B 不可能互补(三角形三个内角之和为180°)，所以只有A ＝B ，故p 是q 的充要条件．④易知¬p ：x ＋y ＝8，¬q ：x ＝2且y ＝6，显然¬q ⇒¬p ，但¬p ¬q ，所以¬q 是¬p 的充分不必要条件，根据原命题和逆否命题的等价性知，p 是q 的充分不必要条件．(2)解不等式x 2－2x<0得0<x<2，解不等式|x －1|<2得－1<x<3，所以“x 2－2x<0”是“|x－1|<2”的充分不必要条件．故选A ．考向2 充要条件的应用——多维探究角度1 充要条件的探究例 5 (多选题)下列函数中，满足“x 1＋x 2＝0”是“f(x 1)＋f(x 2)＝0”的充要条件的是( BC )A ．f(x)＝tan xB ．f(x)＝3x －3－xC ．f(x)＝x 3D ．f(x)＝log 3|x|[解析] 因为f(x)＝tan x 是奇函数，所以x 1＋x 2＝0⇒f(x 1)＋f(x 2)＝0，但f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＝0时，π4＋3π4≠0，不符合要求，所以A 不符合题意；因为f(x)＝3x －3－x 和f(x)＝x 3均为单调递增的奇函数，所以满足“x 1＋x 2＝0”是“f(x 1)＋f(x 2)＝0”的充要条件，符合题意；对于选项D ，由f(x)＝log 3|x|的图象易知不符合题意，故选BC ．注：满足条件的函数是奇函数且单调．角度2 利用充要条件求参数的值或取值范围例6 已知P ＝{x|x 2－8x －20≤0}，非空集合S ＝{x|1－m ≤x ≤1＋m}．若x ∈P 是x∈S 的必要条件，则m 的取值范围是[0，3]．[解析] 由x 2－8x －20≤0，得－2≤x≤10，所以P ＝{x|－2≤x≤10}，由x∈P 是x∈S 的必要条件，知S ⊆P.则⎩⎪⎨⎪⎧1－m≤1＋m ，1－m≥－2，1＋m≤10，所以0≤m≤3. 所以当0≤m≤3时，x∈P 是x∈S 的必要条件，即所求m 的取值范围是[0，3]．[引申1]若本例将条件“若x∈P 是x∈S 的必要条件”改为“若x∈P 是x∈S 的必要不充分条件”，则m 的取值范围是[0，3]．[解析] 解法一：由(1)若x∈P 是x∈S 的必要条件，则0≤m ≤3，当m ＝0时，S ＝{1}，不充分；当m ＝3时，S ＝{x|－2≤x≤4}也不充分，故m 的取值范围为[0，3]．解法二：若x∈P 是x∈S 的必要且充分条件，则P ＝S ，即⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＝－2，1＋m ＝10⇒m 无解，∴m 的取值范围是[0，3]．[引申2]若本例将条件“若x∈P 是x∈S 的必要条件”变为“若非P 是非S 的必要不充分条件”，其他条件不变，则m 的取值范围是[9，＋∞)．[解析] 由(1)知P ＝{x|－2≤x≤10)， ∵非P 是非S 的必要不充分条件， ∴S 是P 的必要不充分条件，∴P ⇒S 且SP. ∴[－2，10] [1－m ，1＋m]．∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m≤－2，1＋m>10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m<－2，1＋m≥10. ∴m ≥9，即m 的取值范围是[9，＋∞)．名师点拨 MING SHI DIAN BO充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．(2)一定要注意端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．(3)注意区别以下两种不同说法：①p 是q 的充分不必要条件，是指p ⇒q 但qp ；②p 的充分不必要条件是q ，是指q ⇒p 但pq.(4)注意下列条件的等价转化：①p 是q 的什么条件等价于¬q 是¬p 的什么条件，②p 是¬q 的什么条件等价于q 是¬ p 的什么条件．〔变式训练2〕(1)(角度1)(多选题)(2020·江西赣州十四县市高三上期中改编)角A ，B 是△ABC 的两个内角．下列四个条件下，“A>B”的充要条件是( ABD )A ．sin A>sinB B ．cos A<cos BC ．tan A>tan BD ．cos 2A<cos 2B(2)(角度2)(2021·山东省实验中学高三诊断)已知p ：x≥k，q ：(x ＋1)(2－x)<0.如果p 是q 的充分不必要条件，那么实数k 的取值范围是( B )A ．[2，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．[1，＋∞)D ．(－∞，－1][解析] (1)当A>B 时，根据“大边对大角”可知，a>b ，由于a sin A ＝bsin B ，所以sin A>sin B ，则A 是“A>B”的充要条件；由于0<B<A<π，余弦函数y ＝cos x 在区间(0，π)内单调递减，所以cos A<cosB ，则B 是“A>B”的充要条件；当A>B 时，若A 为钝角，B 为锐角，则tan A<0<tan B ，则C 不是“A>B”的充要条件；当cos 2A<cos 2B ，即1－sin 2A<1－sin 2B ，所以sin 2A>sin 2B ，所以D 是“A>B”的充要条件；故选A 、B 、D ．(2)由q ：(x ＋1)(2－x)<0，可知q ：x<－1或x>2.因为p 是q 的充分不必要条件，所以x≥k ⇒x<－1或x>2，即[k ，＋∞)是(－∞，－1)∪(2，＋∞)的真子集，故k>2.故选B ．名师讲坛·素养提升MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG抽象命题间充要条件的判定例7 已知p 是r 的充分不必要条件，q 是r 的充分条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件，现有下列命题：①r 是q 的充要条件；②p 是q 的充分不必要条件；③r 是q 的必要不充分条件；④¬p 是¬s 的必要不充分条件；⑤r 是s 的充分不必要条件，则正确命题的序号是( B )A ．①④⑤B ．①②④C ．②③⑤D ．②④⑤[分析] 本题涉及命题较多，关系复杂，因此采用“图解法”．[解析] 由题意得p，显然q ⇒r 且r ⇒s ⇒q ，即q ⇔r ，①正确；p ⇒r ⇒s ⇒q 且qp ，②正确；r⇔q ，③错误；由p ⇒s 知¬ s ⇒¬ p ，但sp ，∴¬ p ¬ s ，④正确；r ⇔s ，⑤错误．故选B ．名师点拨 MING SHI DIAN BO命题较多、关系复杂时，画出各命题间关系图求解，简洁直观，一目了然．〔变式训练3〕若p 是r 的必要不充分条件，q 是r 的充分条件，则p 是q 的必要不充分条件． [解析] 由题意可知q ⇒rp ，∴p 是q 的必要不充分条件．。

2013高考数学一轮复习 1-2命题及其关系、充分条件与必要条件课件文

[审题视点] 分清命题的条件与结论，再结合相关知识判断．解析 ①“全等三角形的面积相等”的逆命题为“面积相等的三角形全等”，显然该命题为假命题；②“若ab＝0，则a＝0”的否命题为“若ab≠0，则a≠0”，而由ab≠0可得a，b都不为零，故a≠0，所以该命题是真命题；③由于原命题“正三角形的三个角均为60° ”是一个真命题，故其逆否命题也是真命题；④易判断原命题的逆命题假，则原命题的否命题假；⑤逆命题为“a，b ∈R，若a≠0或b≠0，则a2＋b2≠0”为真命题．答案 ②③⑤
3．(2011· 福建)若a∈R，则“a＝1”是“|a|＝1”的( A．充分而不必要条件 C．充要条件解析 B．必要而不充分条件
)．
D．既不充分又不必要条件
若a＝1，则|a|＝1，反之，若|a|＝1，则a＝± 1. a＝1，故“a＝1”是“|a|＝1”的充分而不必要条
∴|a|＝1
件，所以选A. 答案 A
结合充分条件、必要条件的定义判断所给条件和
判断p是q的什么条件，需要从两方面分析：一是由条件p能否推得条件q；二是由条件q能否推得条件p.
【训练2】下列选项中，p是q的必要不充分条件的是( A．p：a＋c＞b＋d，q：a＞b且c＞d
)．
B．p：a＞1，b＞1，q：f(x)＝ax－b(a＞0，且a≠1)的图象不过第二象限 C．p：x＝1，q：x2＝x D．p：a＞1，q：f(x)＝logax(a＞0，且a≠1)在(0，＋∞)上为增函数
A．充分而不必要条件 C．充分必要条件
二、充要条件与方程结合的解题策略【示例】► (2011· 陕西)设n∈N*，一元二次方程x2－4x＋n＝0
有整数根的充要条件是n＝________.
三、充要条件与数列结合的解题策略【示例】► (2010· 山东)设{an}是等比数列，则“a1＜a2＜a3”是 “数列{an}是递增数列”的( A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 )．

高考第一轮复习第二讲命题及其关系、充分条件与必要条件

第一章
集合与常用逻辑用语
判断下列语句中哪些是命题？是真命题还是假命题？ (1)空集是任何集合的子集； (2)若整数a是素数，则a是奇数；
(3)指数函数是增函数吗？
(4)若空间中两条直线不相交，则这两条直线平行； (5)x＞15.
第一章
集合与常用逻辑用语
【答案】 (1)是命题，真命题； (2)是命题，假命题；
【分析】 (1)用集合的观点考察问题，先写出綈p和綈q，然后，由綈q⇒綈p，但綈p 綈q来求m的取值范围；
(2)将綈p是綈q的必要不充分条件转化为p是q的充分不必要条件再求解．
第一章
集合与常用逻辑用语
【解析】法一由x2－2x＋1－m2≤0，得1－m≤x≤1＋m， ∴綈q：A＝{x|x＞1＋m或x＜1－m，m＞0}．由|1－ |≤2，得－2≤x≤10，
故p是q的充分不必要条件．
第一章
集合与常用逻辑用语
(2)若|x|＝x，则x2＋x＝x2＋|x|≥0成立．反之，若x2＋x≥0，即x(x＋1)≥0，则x≥0或x≤－1. 当x≤－1时，|x|＝－x≠x，因此，p是q的充分不必要条件．
第一章
集合与常用逻辑用语 l∥m，但l∥m⇒l∥α，， )时，
(3) 设 l ， m 均为直线， α 为平面，其中 l⊄α ， m⊂α ， p ： l∥α，q：l∥m；
(4)设α∈ ，
p：α＜β，q：tan α＜tan β.
第一章
集合与常用逻辑用语
【分析】 (1)先分清命题的条件与结论； (2)分析由前者能否推出后者，由后者能否推出前者，也可利用反例来推证．【解析】 (1)若a＋b＝2，圆心(a，b)到直线x＋y＝0的距离 d＝＝＝ r，所以直线与圆相切，反之，若直线与圆相切，则|a＋b|＝2，∴a＋b＝±2，

高三一轮复习_第一章_第二节_命题及其关系、充分条件与必要条件

d是实数，若a＋c＝b＋d，则a与b，c与d都相等”，假．
否命题“已知a，b，c，d是实数，若a与b，c与d不都相等，则a＋c≠b＋d”，假．
逆否命题“已知a，b，c，d是实数，若a＋c≠b＋d，则a与
b，c与d不都相等”，真．
解：(1)命题的否定：
若x2－5x－14＝0，则x≠7且x≠－2.假命题． (2)命题的否定：已知a，b，c，d是实数，若a＝b，c＝d，则a＋c≠b＋d，假命题．保持例题条件不变，试写出它们的否定，并
m>0 由 2 Δ ＝ 4 m ＋ 1 －4mm＋3<0 m>0 ⇒ m>1
⇒m>1.
故⑤正确．
答案： ②③⑤
5．已知P：x＋y≠2011；Q：x≠2000且y≠11，则P是Q的
________条件．
解析： P ¿ Q且Q ¿ P ∴P是Q的既不充分也不必要条件．答案：既不充分也不必要
(2)|x－1|<2的解集是A＝{x|－1<x<3}，x2－x－6<0的解
集是B＝{x|－2<x<3}，
∵A B，所以p是q的充分不必要条件． (3)因为命题“若xy≠0则x≠0或y≠0”的逆否命题是“若x ＝0且y＝0则xy＝0”显然是真命题，所以p⇒q；又因为命题“若x≠0或y≠0则xy≠0”的逆否命题是“若xy
否命题为假命题．答案：B
1 1 3．“x>2”是“x< ”的 2 A．充分不必要条件 C．充要条件 B．必要不充分条件
(
)
D．既不充分也不必要条件
1 1 1 1 解析：x>2⇒x< ，但x< ¿ x>2. 2 2 1 1 ∴“x>2”是“x< ”的充分不必要条件． 2

高三第一轮总复习课件：第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件

• No.2 角度关键词：方法突破 • 建立命题p，q相应的集合：p：A＝{x|p(x)成立}，q：B＝{x|q(x)成立}，那么从集合的观点看， • ①若A⊆B，则p是q的充分条件，若AB，则p 是q的充分不必要条件； • ②若B⊆A，则p是q的必要条件，若BA，则p 是q的必要不充分条件；
(两等号不同时成立)，得m≥6.
所以实数m的取值范围是m≥6. 解法二：设f(x)＝x2－4x＋4－m2(m>0)，若p是q成立的充分不必要条件， m>0 则有f(－2)≤0， f(8)≤0
(两等号不同时成立)，解得m≥6.
所以实数m的取值范围是m≥6.
• 【选题·热考秀】 • [2012·山东高考]设a>0且a≠1，则“函数f(x)＝ ax在R上是减函数”是“函数g(x)＝(2－a)x3在 R上是增函数”的( ) • A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 • C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
数m的取值范围．
• [审题视点] (1)先求出两命题的解集，即将命题化为最简． • (2)再利用命题间的关系列出关于m的不等式或不等式组，得出结论．
[解]
解法一：由q：x2－2x＋1－m2≤0，得1－
m≤x≤1＋m，所以綈q：A＝{x|x>1＋m或x<1－m，m>0}．
x－1 由|1－ 3 |≤2，解得－2≤x≤10，所以綈p：B＝{x|x>10或x<－2}．
• (1)定义法： • ①分清条件和结论：分清哪个是条件，哪个是结论； • ②找推式：判断“p⇒q”及“q⇒p”的真假； • ③下结论：根据推式及定义下结论. • (2)等价转化法：,条件和结论带有否定性词语的命题，常转化为其逆否命题来判断.

第一章第二节命题及其关系、充分条件与必要条件

三、充分条件与必要条件 1．如果p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件． 2．如果p⇒q，q⇒p，则p是q的充要”与“否命题”一样吗？
提示：不一样．“否命题”与“命题的否定”是两个不同的概念．如果原命题是“若 p，则 q”，那么这个原命题的否定是“若 p，则綈 q”，即只否定结论；而原命题
B．若 x2＝1，则 x＝1
C．若 x＝y，则 x＝ y
D．若 x<y，则 x2<y2
解析：由1x＝1y得 x＝y，A 正确，B、C、D 错误．答案：A
2．命题“若a>－3，则a>－6”以及它的逆命题、否命题、
逆否命题中，假命题的个数为
()
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：原命题为真命题，从而其逆否命题也为真命
[归纳领悟]
在有些含字母参数的数学命题中，可以借助p和q间
“条件”的关系，确定相应等式(或不等式)，从而建立关于参数的方程(或不等式)，进而求得参数的取值范围．
一、把脉考情从近两年的高考试题看，充要条件的判定、命题真假的
判断等是高考的热点，题型以选择题、填空题为主，分值为 5分，属中低档题目．本节知识常和函数、不等式、向量、三角函数及立体几何中直线、平面的位置关系等有关知识相结合，考查学生对函数的有关性质、不等式的解法及直线与平面位置关系判定的掌握程度．
答案：－1
2．已知p：－4<x－a<4，q：(x－2)(x－3)<0，且q是p的充分条件，则a的取值范围为____________．
解析：设 q、p 表示的范围为集合 A、B，则 A＝(2,3)，B＝(a－4，a＋4)．因 q 是 p 的充分条件，则有 A⊂B，即aa－＋44≤≥23，. 所以－1≤a≤6. 答案：－1≤a≤6

2013高三一轮复习第一章 第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件

高考一轮数学复习课件：第一章 第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件