§4 矩阵的逆

A
的逆矩阵． 的逆矩阵．
具有对称性， 注：(1)中A、B具有对称性，满足 的A、B都是可逆矩 中 、 具有对称性 满足(1)的 、 都是可逆矩 阵，且它们互为逆矩阵。 且它们互为逆矩阵。 性质1 性质 若矩阵可逆， 的逆矩阵是唯一的. 若矩阵可逆，则A的逆矩阵是唯一的 的逆矩阵是唯一的
证明 若B、C都是 的逆矩阵，则 、 都是A的逆矩阵， 都是 的逆矩阵
∗
性质5 性质
设
A
*
级方阵， 为n级方阵，则 级方阵
*
AA = A A = A E
0 定理4.1 n级矩阵 A 可逆 ⇔ A ≠ （即A非退化）； 非退化） 定理 级矩阵 非退化
且 A 可逆时， 可逆时，
1 * A = A A
−1
充分性.若 证明 充分性 若 A ≠ 0 由（2）可知 ）
1 * 1 * A( A ) = ( A ) A = E A A
§4 矩阵的逆
一、可逆矩阵的定义和简单性质 二、可逆矩阵的判定、求法 可逆矩阵的判定、 三、矩阵积的秩
一、可逆矩阵的定义和简单性质
定义4.1 设 A 为数域 上的 n 级方阵，若数域 上存在 为数域P上的 级方阵，若数域P上存在 定义 级方阵 B ，使 则称
n
AB = BA = E
源自文库(1)
A
为可逆矩阵， B 为 为可逆矩阵，
−1 −1
−1
−1
−1
−1
= A
−1
B
−1
.
性质4 性质4
可逆矩阵A的转置矩阵可逆， 可逆矩阵A的转置矩阵可逆，且
(A ) = (A )
' −1
−1 '
二、可逆矩阵的判定、求法 可逆矩阵的判定、
定义3. 定义 .2 设 A = ( aij ) n×n ， ij 是 A 式，矩阵
A
中元素 ij 的代数余子
可逆， 故A可逆，且（4）成立 可逆 ）成立.
必要性. 必要性
可逆， 若A可逆，那么有 A−1 使： AA−1 可逆
= E.
两边取行列式， 两边取行列式，
A A
−1
= E = 1.
故 A ≠ 0 ，即A非退化 非退化 例1中. 中
1 ∗ 1 4 −2 A = A =− A 2−3 1
∗ ∗
2 4
求
A , A , AA , A A
解
，
4 −2 A = , A = −2, −3 1
∗
4 −21 2 −2 0 A A= = = A E. −3 1 3 4 0 −2
∗
1 2 4 −2 −2 0 AA = = = AE 3 4−3 1 0 −2
AB = BA = E, AC = CA = E.
于是
B = BE = B(AC) = (BA)C = EC = C.
可逆， 若A可逆，则 可逆
性质2 性质
A
−1
可逆， 可逆，且
(A )
−1 −1
= A.
事实上， 可以直接推出. 事实上，这由等式 AA−1 = A−1 A = E ，可以直接推出 两个n级可逆矩阵 、 的乘积 的乘积AB可逆且 两个 级可逆矩阵A、B的乘积 可逆且 级可逆矩阵
−1
−1
−1
−1
−1
= EB
−1
⇒ A=B
三、矩阵积的秩
定理4.2 设 A是s × n 矩阵，若 P是s × s 可逆矩阵， 矩阵， 可逆矩阵， 定理
可逆矩阵， Q是n × n 可逆矩阵，则
R( A) = R( PA) = R( AQ) = R( PAQ)
证明 令 由定理3 B = PA ，由定理3.2， R( B) ≤ R( A). 又 P −1 B = A R( A) ≤ R(B). 故 ， 类似可得 定理得证. 定理得证.
性质3 性质
( AB )
−1
= A B .
−1
−1
证明 由于
( AB)(B A ) = A(BB ) A = ( AE) A = AA = E, (B A )( AB) = B ( A A)B = B (EB) = B B = E,
故AB可逆，且 ( A B ) AB可逆， 可逆
−1 −1 −1 −1 −1 −1 −1
−1
级方阵， 推论 A、B为n级方阵，若 、 为 级方阵 皆可逆， 皆可逆，且
AB = E ，则 A 、B
−1
A
−1
= B ，B
= A ．
推论） 证明 （推论）
，
AB = E ⇒ A B =1⇒ A ≠ 0 ， B ≠ 0
⇒ A , B 可逆． 可逆．
A ( AB) = A E ⇒ B = A
( AB ) B
a
A11 A * 12 A = L A1n
A21 L An1 A22 L An 2 = adjA L L L A2n L Ann
∗
称为 A 的伴随矩阵． 的伴随矩阵．
注 元素 aij 的代数余子式
Aij
是
A 的( j , i ) 元.
例1、设
∗
1 A= 3
R( A) = R( B) = R( PA). ，
R ( A ) = R ( A Q ).