10数列求和 - 副本

数列求和的基本方法和技巧
一、利用常用求和公式求和
利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.
1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2
)
1(2)(11-+=+=
2、等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)
1(11)1()1(111
q q q a a q
q a q na S n n
n
3、 )1(211
+==
∑=n n k S n k n 4、)12)(1(6112
++==∑=n n n k S n
k n
5、 21
3
)]1(21[+==
∑=n n k S n
k n 一、错位相减法求和
这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列. [例1] 求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S
[例2] 求和：4232322232322n n S n =++++⋅⋅⋅+
二、倒序相加法求和
[例3] 求证：123232n
n n n n n C C C nC n +++⋅⋅⋅+=⋅
变式：n n
n n n n n C n C C C 2)1()12(53210+=++⋅⋅⋅+++
[例4]设 (
)f x =
m 为正整数。

（1）求()()1f x f x +-（2）若,1,2,,n n a f n m m ⎛⎫
==⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭
，求前m 项的和m S
[例5]已知()1
42
x f x =
+，点()()111222,,,P x y P x y 时函数()f x 图像上的任意两点，且线段12PP 的中点P 的横坐标为12。

（1）证明点P 的纵坐标为定值。

(2)在数列{}n a 中，,1,2,,n n a f n m m ⎛⎫
==⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭
，
求前m 项的和m S 。

四、分组法求和
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可. [例6] 求数列的前n 项和：231
,,71,41,
1112-+⋅⋅⋅+++-n a
a a n ，…
[例7]求和：1111111111n S =++++⋅⋅⋅（共n 个）
[例8]数列{a n }：n n n a a a a a a -====++12321,2,3,1，求2015S
[例9]（2009年江西）2
2
2cos sin 33n n n a n ππ⎛⎫=- ⎪⎝
⎭
，前n 项和为n S ，求30,n S S
[例10]（2012年全国课标）数列{}n a 满足()1121n
n n a a n ++-=-，则数列{}n a 的前60项和为 。

五、裂项法求和
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 类型一：等差型 列如：（1）111)1(1+-=+=
n n n n a n （2）1111(2)22n a n n n n ⎛⎫
==- ⎪++⎝⎭
（3）)1
21
121(211)12)(12()2(2+--+=+-=n n n n n a n
[例1] 求数列()()22
1111n n ⎧⎫++⎪⎪
⎨⎬+-⎪⎪⎩⎭
前n 项的和n S
类型二：无理型
该种类型的特点是分母为两个根式之和，根式的平方差为定值，裂项的关键为分母有理化。

[例2]求数列⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,1
1,
,3
21,
2
11n n 的前n 项和.
[例3]
证明：211<++<
变式1：（03年复旦）已知
n a =
，数列{}n a 的前n 项和
为n S ，求2003S
类型三：对数型
[例4] 已知数列{}n a 的通项为1
lg n n a n
+=，若其n 项和为2n S =，求n 。

[例5]（12年华约） 已知数列{}n a 的通项为2
2lg 13n a n n ⎛⎫
=+ ⎪+⎝⎭
，若其n 项和为n S ，求n S 。

类型四：指数型
注意到()1
1n
n n
a a a
a +-=-，所以一般会有
()()()
()()
11
111
n
n
n n n a a a
b a b a b a b ++-=
-++++，可以据此对条件进行转化。

[例6]已知数列{}n a 中13a =，点()1,n n a a +在直线40x y -=上，（1）求{}n a 通项（2）数列{}n a 的前
n 项和为n S ，()1
11
3n n n n a b a S +++=
-，求数列{}n b 的前n 项和为n T
类型五：阶乘与组合数公式型
由阶乘的定义可以得到()!1!!n n n n ⋅=+-，由组合数公式也可等到1
1m
m
m n n n
C C C -+-=，都可以作为解
题的依据。

[例7]（1）求和122!!n n +⋅++⋅
（2）求和222
562015
C C C ++⋅⋅⋅+
类型六：三角函数型
[例8]（11年安徽）在1和100之间插入n 个实数，使得这2n +个数构成递增的等比数列，将这2n +个数的乘积记作n T ，再令lg ,1n n a T n =≥，（1）求{}n a 通项公式（2）设1tan tan n n n b a a +=⋅，求数列
{}n b 的前n 项和为n S
变式1： 求证：
1sin 1cos 89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 12=+⋅⋅⋅++
类型七：抽象函数型
[例9]定义在()1,1-上的函数()f x ，对任意的(),1,1x y ∈-都有：()()1x y f x f y f xy ⎛⎫
++= ⎪+⎝⎭
，且当
()1,0x ∈-时，()0f x >。

（1）判断()f x 在()1,1-上的奇偶性；（2）判断()f x 在()0,1上的单调性 （3）求2111()((5111
f f f n n ++⋅⋅⋅++-的值
类型八：迭代型
[例10] 已知12a =，点()1,n n a a +在函数()2
2f x x x =+的图像上，其中n N +
∈。

（1）证明：数列(){}
lg 1n a +是等比数列
（2）设()()()12111n n T a a a =++⋅⋅⋅+ ，求n T 及{}n a 通项公式。

（3）记11
2
n n n b a a =+
+，求{}n b 的前n 项和为n S 。