2019-2020学年数学人教A版选修2-3检测：1.3.1二项式定理

1．3.1二项式定理

填一填

1.二项式定理

(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋C2n a n－2b2＋…＋C k n a n－k b k＋…＋C n n b n(n∈N*)．

(1)这个公式所表示的规律叫做二项式定理．

(2)展开式：等号右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，展开式中一共有n＋1项．从左到右按照a降幂，b的升幂的顺序排列，a、b的次数和为n.

(3)二项式系数：各项的系数C k n(k∈{0,1,2，…，n})叫做二项式系数．

2．二项展开式的通项公式

(a＋b)n展开式的第k＋1项叫做二项展开式的通项，记作T k＋1＝C k n a n－k b k.

判断(1．(a ＋b )n 展开式中共有n 项．(×)

2．在公式中，交换a ，b 的顺序对各项没有影响．(×)

3．C k n a

n －k b k

是(a ＋b )n 展开式中的第k 项．(×) 4．(a －b )n 与(a ＋b )n 的二项式展开式的二项式系数相同．(√) 5．(x ＋1)n 的展开式共有11项，则n 等于12.(×)

6．(y －2x )8展开式中的第6项的系数为C 58

.(×) 7.⎝⎛⎭

⎫x －1

x 5的展开式中含x 3项的二项式系数为5.(√) 8.⎝

⎛⎭⎫x 2－2

x 35展开式中的常数项为－40.(×)

1.你能写出(b ＋a )n

提示：(1)(b ＋a )n ＝C 0n b n ＋C 1n b n －1a ＋C 2n b n －2a 2＋…＋C n n

a n . (2)二项展开式中的字母a ，

b 是不能交换的，即虽然(a ＋b )n 与(b ＋a )n 结果相同，但(a ＋b )n

与(b ＋a )n 的展开式是有区别的，二者的展开式中的项的排列顺序是不同的，不能混淆，如(a ＋b )3的展开式中第2项是3a 2b ，而(b ＋a )3的展开式中第2项是3ab 2，两者是不同的．

2．(1＋2x )n 的二项展开式是什么？其第5项的二项式系数和第5项的系数各是什么？

提示：(1＋2x )n ＝C 0n ＋C 1n 2x ＋C 2n (2x )2＋C 3n (2x )3＋…＋C n n (2x )n .其第5项的二项式系数为C 4n ，

第5项的系数为C 4n ·24＝16C 4n .

3．二项式定理中，项的系数与二项式系数有什么区别？

提示：二项式系数C r n 与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数仅与二项式的指数及项数有关，与二项式无关，项的系数与二项式、二项式的指数及项数均有关． 思考感悟：

1.(x －2)10展开式中x 项的二项式系数为( )

A ．－C 410

B ．

C 410

C ．－4C 410

D ．4C 410

解析：含x 6项为展开式中第五项，所以二项式系数为C 410.

答案：B

2．(1＋2x )5的展开式中，x 2的系数等于( ) A ．80 B ．40 C ．20 D ．10

解析：(1＋2x )5的展开式的通项为T r ＋1＝C r 5(2x )r ＝2r C r 5·

x r

， 令r ＝2，得22×C 25＝4×10＝40，故选B 项． 答案：B

3．在⎝⎛⎭⎫2x 2－1

x 6的展开式中，中间项是________． 解析：由n ＝6知中间一项是第4项，

因为T 4＝C 36(2x 2)3·⎝⎛⎭

⎫－1x 3

＝C 36·(－1)3·23·x 3， 所以T 4＝－160x 3.

答案：－160x 3

4．在⎝

⎛⎭⎫x 2－1

2x 9的展开式中，第4项的二项式系数是________，第4项的系数是________． 解析：T k ＋1＝C k 9·(x 2)9－k ·⎝⎛⎭⎫－12x k ＝⎝⎛⎭⎫－12k ·C k 9·x 18－3k ，当k ＝3时，T 4＝⎝⎛⎭⎫－123·C 39·x 9＝－212

x 9，所以第4项的二项式系数为C 39＝84，项的系数为－21

2

.

答案：84 －21

2

5．求⎝

⎛⎭⎫x 3＋2

3x 25的展开式的第三项的系数和常数项． 解析：T 3＝C 25(x 3)3⎝⎛⎭⎫23x 22＝C 25·49x 5，所以第三项的系数为C 2

5·49＝409

. 通项T k ＋1＝C k 5(x 3)5－k ⎝⎛⎭⎫23x 2k ＝⎝⎛⎭⎫23k ·

C k 5x 15－5k

，令15－5k ＝0，得k ＝3， 所以常数项为T 4＝C 35(x 3)2·⎝⎛⎭⎫23x 23＝8027.

1.按二项式定理展开⎝⎛⎭⎫1＋1x 4. 解析：法一：⎝⎛⎭⎫1＋1x 4＝1＋C 14⎝⎛⎭⎫1x ＋C 24⎝⎛⎭⎫1x 2＋C 34⎝⎛⎭⎫1x 3＋⎝⎛⎭⎫1x 4＝1＋4x ＋6x 2＋4x 3＋1x 4. 法二：⎝⎛⎭⎫1＋1x 4＝⎝⎛⎭⎫1x 4(x ＋1)4＝⎝⎛⎭⎫1x 4·(x 4＋C 14x 3＋C 24x 2＋C 34x ＋1)＝1＋4x ＋6x 2＋4x 3＋1x 4

. 2．化简：(x －1)5＋5(x －1)4＋10(x －1)3＋10(x －1)2＋5(x －1)．

解析：原式＝C 05(x －1)5＋C 15(x －1)4＋C 25(x －1)3＋C 35(x －1)2＋C 45(x －1)＋C 55

(x －1)0－1＝[(x －55

3.已知在⎝ ⎛⎭

⎪⎪⎫3x －33x n 的展开式中，第6项为常数项． (1)求n 的值；

(2)求含x 2的项的系数；

(3)求第4项的二项式系数及第4项的系数； (4)求展开式中所有的有理项． 解析：(1)通项为

T r ＋1＝C r

n x -3

n r v (－3)r

x

-

3

r ＝C r n (－3)r

x

-23

n r

.

因为第6项为常数项，