9-1 简谐运动的特征和规律

d 2q dt 2
+q LC
=0
ω2 = 1 LC
d 2q dt 2
+ ω2q
=
0
T = 2π LC
例4. 已知：M, m, h, k.
（1）证明物从静止落下与板粘在一起后作简
谐振动，并求周期。
（2）当物与板相碰时作为记时起点，写出
振动方程。 m
解：（1）首先选一坐标系， 原点放在受力平衡处。
h L
k
M
F
l
p
Mg = kL
F
( m+ M )g =k( L+l )
p
x
o
任意 x处分析受力：
x p = (M + m)g
F合 =（M + m)g − k(L + l + x) = −kx F = −k(L + l + x)
m
h L
k
M
F
l
p
F xo
p
x
F合 =（M + m)g − k(L + l + x) = −kx
第一讲 简谐振动的特征和规律
1-1 振动概述 1-2 简谐振动的特征和规律
•动力学 •运动学 •能量 1-3 简谐振动问题和实例分析
1-1 什么是振动
LC
机械振动
振动
电磁振动
1-2.振动的分类
按振动规律分：简谐、非简谐、随机振动； 按产生振动原因分：自由、受迫、自激、参变振动； 按自由度分：单自由度系统、多自由度系统振动； 按振动位移分：角振动、线振动； 按系统参数特征分：线性、非线性振动。
ω ——角频率
2π秒内振动的次数
T
=
2π ω
ν=1= ω T 2π
ω = 2πν = 2π T
秒(s)，赫兹(Hz)，弧度·秒-1(rad ·s-1)
2. 运动学特征
重点：由初始条件决定
(ωt + ϕ) 位相 决定了振动状态
ϕ
—— 初位相 t ＝0 时刻的位相 −π ≤ ϕ ≤ π
•常数 A 和 ϕ 的确定 初始条件 x = A cos( ω t + ϕ ) t = 0, x = x0,v = v0 x0 = A cos ϕ
ϕ = tg −1 ( −v0 ωxo )= tg −1 2kh ( M + m )g 取第3象限值
振动方程为
x=
(
mg k
)2
+
(
2ghm2 M +m )k
cos(
k M+m
t
+
tg−1
(
2kh M+m
)g
)
讨论：若 x 轴向上为正，写方程有那些变化？
例5 劲度系数为k、原长为l、质量为m的均匀弹
θ T
Fτ o
θ
mg
（2）振动方程 θ = θm cos( ωt + ϕ )
t =0
⎧ ⎨ ⎩
θ0 Ω0
= =
θm cosφ −θω sinφ
⇔ ⇔
x0 = A cosφ v = − Aω sin φ
θ0
θ l t=0
θm =
θ
2 0
+
(Ω0 ω
)2
tgφ = − Ω0
ωθ0
Ω0 = 0
θm =θ0 tgφ = 0
•方法一：所受合力是否满足F=-kx的形式。 •方法二：位移t 2
+ ω2x
=
0
•方法三：根据物体的运动是否满足方程：
x = A cos(ωt + ϕ )
（2）写出振动方程（三要素）
根据动力学方程确定角频率ω 根据初始条件确定积分常数A和 ϕ
2. 举例
例1:单摆 :1)证明小角度摆动为简谐振动，并求周期。
1. 动力学特征
d 2x +ω 2x = 0 dt 2
运用高等数学 知识求解，得
A--振幅
x = Acos(ωt + ϕ)
动力学方程 运动方程
判据3 ——
ϕ --初相位
任意一个物理量如果是时间的余弦（或者正弦）函数，则 该物理量作简谐运动。
1
想一想:
•竖直悬挂弹簧振子作简谐振动吗?
平衡位置弹簧伸长x0
2
•总 能
E
=
Ek
+
Ep
=
1 2
m ( Aω )2
=
1 2
kA2
Ep Ek
E
1
0.8
0.6
A0.4
x
0.2
-0.2
2
4
6
8
10
t 12
•能量平均值
Ep Ek
1
0.8
0.6
E
∫ F = 1
T
F(t)dt
T0
0.4 0.2
2
-0.2
2
4
6
8
10
t 12
∫ EP
=
1 T
T 1 kA2 cos2(ωt +ϕ)dt 02
由
(
M
+
m
)
d2x dt 2
= −kx
d2x dt 2
+
M
k +
m
x
=
0
ω=
k M +m
T
=
2π ω
=
2π
M +m k
m
（2）t = 0
h L
k
A=
M
F
l
p
x02 +( v0 ω )2 =
F
x0 = −l = −mg k
xo p
v0
=
m M
2 +
gh m
x
( mg k )2 +2ghm2 ( M +m )k
v
Aω 2
a
O
2
4
6
8
t 10 12 14
？弹簧振子的周期是多少？
2. 运动学特征
位移 x = A cos( ω t + ϕ )
T
= 2π ω
= 2π
m k
A, ω , ϕ —— 三要素
A ——振幅 离开平衡位置最大位移的绝对值
T ——周期
完全重复一次振动所需的时间
ν ——频率 单位时间内完全振动的次数
+ ω 2θ
=
0
T =2π 单摆 J = ml2
J mgb b=l
T =2π l / g
o 转动正向
θb
*C
Pv （ C点为质心）
3
例3:无阻尼电磁振荡的振动方程
任一时刻自感电动势与 C 的两板间电势差相等。
− L dI = U = q
dt
C
L dI + q = 0 dt C
Q
I
= dq dt
L
C
d2x + k x = 0 dt2 m
动力学方程
2
x = Acos(ωt + ϕ),v = −ωAsin(ωt + ϕ)
•动 能
Ek
=
1 2
mv2
=
1 2
m A 2ω 2 sin 2 (ω t
+φ)
•势 能
Ep
=
1 2
kx2
=
1 2
kA2
cos 2 (ω t
+φ)
ω 2 = k / m = 1 m A 2ω 2 cos 2 (ω t + φ )
=
1 6
mv2
EK 2
=
1 2
Mv2
系统弹性势能为 EP = kx2 2
机械能守恒： 1 Mv2 + 1 mv2 + 1 kx2 = 常数
2
6
2
1 (M + m)v2 + 1 kx2 =常数
2
32
ω2
(M + m) d v + kx = 0 3 dt
d2 x dt2
+
M
k +m
3
x
=
0
T = 2π ω = 2π (M + m 3) k
x0
mg = kx 0
在任意位置 x 处，合力为：
F = mg −k(x0 + x) = −kx
d2x +ω2x = 0 dt 2
• 如右图所示，系统是否作谐振动？
o x
x
k m
振动图线
x = A cos(ω t + φ ) 位移x与时间t的关系
A
x
O
2
4
6
8
10
12
t 14
振动图线
x = A cos(ω t + φ )
2) 若将摆拉至最大角度 θ0 放手为计时起点，
写出振动方程。
转动
切向力： Fτ = −mg sinθ
正向
sinθ = θ − θ 3 + θ 5 +L ≈ θ
3! 5!
Fτ
≈
−mgθ d 2θ
= maτ + gθ
= ml =0
d 2θ dt 2
dt 2 l
ω2 = g l
T
=
2π ω
=
2π
l g
θ0
速度v: v = dx dt = − Aω sin(ωt + ϕ) = Aω cos(ωt + ϕ + π ) 2