高中数学选修4-4练习巩固第一讲简单曲线的极坐标方程

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2014-2015学年高中数学(人教版选修4-4)配套课件第一讲 1.3 简单曲线的极坐标方程

预习思考
1．几个特殊位置的圆的极坐标方程： (1)圆心位于极点，半径为 1 的圆的极坐标方程为：
ρ＝1 __________ ；
(2)圆心位于 M(1,0)，半径为 1 的圆的极坐标方程为：
ρ＝2cos θ ； ____________
π (3)圆心位于 M1，2，半径为 1 的圆的极坐标方程为：
第一讲
坐标系
1.3 简单曲线的极坐标方程
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1.理解极坐标方程的意义. 2.能在极坐标中给出简单图形的极坐标方程. 3.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，体会在用方程刻画平面图形时选择适当坐标系的意义.
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1．定义．如果曲线 C 上的点与方程 f(ρ， θ)＝0 有如下关系：
π π (2)如下图所示， A3，3 ，即 |OA|＝ 3， ∠AOB ＝ . 3
3π 由已知∠MBx＝， 4
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∴∠OAB＝
3π π 5π －＝ . 4 3 12 5π 7π ＝ . 12 12
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∴∠OAM＝π－
3π 又∠OMA＝∠MBx－θ＝－θ. 4 3 ρ 在△MOA 中，根据正弦定理，得＝ . 3π 7π sin 4 －θ sin 12
π 1 ．过 A 3，3 且平行于极轴的直线的极坐标方程为
____________．
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3 答案：ρsin θ＝ 2
题型2
直角坐标方程与极坐标的互化
例3 进行直角坐标方程与极坐标方程的互化．
(1)y2＝4x； (2)y2＋x2－2x－1＝0； π (3)θ＝； 3

数学人教A版选修4-4优化练习第一讲三简单曲线的极坐标方程 Word版含解析

[课时作业][组基础巩固]．极坐标方程θ＝(ρ≥)表示的曲线是( )．两条相交直线．余弦曲线．一条射线．两条射线解析：∵θ＝，∴θ＝±＋π(∈)．又∵ρ≥，∴θ＝表示两条射线．答案：．极坐标方程分别为ρ＝θ和ρ＝θ的两个圆的圆心距是( )．．解析：将极坐标方程化为直角坐标方程为：＋＝，＋＝，所以两圆的圆心坐标为，，故两圆的圆心距为.答案：．在极坐标系中，点()到直线θ＝(ρ∈)的距离是( )．解析：因为直线θ＝(ρ∈)的直角坐标方程为＝，即－＝，所以点()到直线－＝的距离为.答案：．直线θ＝(ρ∈)与圆ρ＝θ的一个公共点的极坐标为( )解析：由(\\(θ＝(π)，,ρ＝θ))得故选.答案：．在极坐标系中，过点(，π)作圆ρ＝－θ的切线，则切线长为( )．．．．解析：如图，切线长为＝.答案：．圆ρ＝( θ－θ)的圆心的极坐标是．解析：将极坐标方程化为直角坐标方程，得(－)＋(＋)＝，故圆心坐标为(，－)，其极坐标为.答案：．已知圆的极坐标方程为ρ＝θ，圆心为，点的极坐标为，则＝.解析：由圆的极坐标方程ρ＝θ，得直角坐标方程为：(－)＋＝，由极坐标得直角坐标()，又()，所以＝＝.答案：．直线ρθ＝与圆ρ＝θ相交的弦长为．解析：由公式＝ρθ，＝ρθ，得直线ρθ＝的直角坐标方程为＝，圆ρ＝θ⇒ρ＝ρθ的直角坐标方程为＋－＝⇒(－)＋＝，由于圆心()到直线的距离为－＝，所以弦长为＝.答案：．进行直角坐标方程与极坐标方程的互化：()＝；()＋－－＝.解析：()将＝ρθ，＝ρθ代入＝，得(ρθ)＝ρθ.化简，得ρθ＝θ.()将＝ρθ，＝ρθ代入＋－－＝，得(ρθ)＋(ρθ)－ρθ－＝，化简，得ρ－ρθ－＝.．在极坐标系中，直线的方程是ρ＝，求点到直线的距离．解析：点的直角坐标为(，－)．直线：ρ＝可化为ρθ·－ρθ·＝，即直线的直角坐标方程为－＋＝.∴点(，－)到直线－＋＝的距离为＝＝＋.故点到直线ρ＝的距离为＋.[组能力提升]．极坐标方程ρ＝表示的曲线是( )．椭圆．圆．双曲线．抛物线解析：∵＝(－θ)，。

2017-2018学年数学人教A版选修4-4优化练习：第一讲三简单曲线的极坐标方程Word版含解析

1．极坐标方程 cos θ＝ 2解析：∵cos θ＝ 2 又∵ρ≥0，∴cos θ＝ 2C ．1D. 2⎛x －1⎫2＋y 2＝1， x 2＋⎝y －2⎭2＝，所以两圆的圆心坐标为⎝2，0⎭，⎝0，2⎭，故两圆的圆心距为 2 3．在极坐标系中，点 F(1,0)到直线 θ＝ (ρ∈R)的距离是( )2 B. 2 A.1解析：因为直线 θ＝ (ρ∈R)的直角坐标方程为 y ＝ 3 所以点 F(1,0)到直线 x － 3y ＝0 的距离为 .4．直线 θ＝ (ρ∈R)与圆 ρ＝2cos θ 的一个公共点的极坐标为( )[课时作业][A 组基础巩固]2 (ρ≥0)表示的曲线是()A ．余弦曲线B ．两条相交直线C ．一条射线D ．两条射线π2 ，∴θ＝±4＋2k π(k ∈Z)．2 表示两条射线．答案：D2．极坐标方程分别为 ρ＝cos θ 和 ρ＝sin θ 的两个圆的圆心距是( )A ．2B. 22解析：将极坐标方程化为直角坐标方程为：⎝ 2⎭ 4⎛ 1⎫ 1 4⎛1 ⎫ ⎛ 1⎫2 .答案：Dπ62 C ．1D. 2π6 3 x ，即 x － 3y ＝0，12答案：Aπ4A.⎝1，4⎭B.⎝1，2⎭C.⎝2，4⎭D.⎝2，－4⎭⎧θ＝π，⎧θ＝π，解析：由⎨得⎨⎩⎩故圆心坐标为(2，－2)，其极坐标为⎝22，4⎭.答案：⎝22，4⎭7．已知圆的极坐标方程为ρ＝4cosθ，圆心为C，点P的极坐标为⎝4，3⎭，则|CP|＝由P极坐标⎝4，3⎭得直角坐标P(2,23)，由于圆心(1,0)到直线的距离为1－＝，所以弦长为21－⎝2⎭2＝ 3.⎛π⎫⎛π⎫44故选C.⎛π⎫⎛π⎫⎪ρ＝2cosθ⎪ρ＝2，答案：C5．在极坐标系中，过点A(6，π)作圆ρ＝－4cosθ的切线，则切线长为()A．2C．23解析：如图，切线长为42－22＝2 3.B．6D．215答案：C6．圆ρ＝4(cosθ－sinθ)的圆心的极坐标是________．解析：将极坐标方程化为直角坐标方程，得(x－2)2＋(y＋2)2＝8，⎛7π⎫⎛7π⎫⎛π⎫________.解析：由圆的极坐标方程ρ＝4cosθ，得直角坐标方程为：(x－2)2＋y2＝4，⎛π⎫又C(2,0)，所以|CP|＝(2－2)2＋(23－0)2＝2 3.答案：238．直线2ρcosθ＝1与圆ρ＝2cosθ相交的弦长为________．解析：由公式x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，得直线2ρcosθ＝1的直角坐标方程为2x＝1，圆ρ＝2cosθ⇒ρ2＝2ρcosθ的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0⇒(x－1)2＋y2＝1，11⎛1⎫10．在极坐标系中，直线 l 的方程是 ρsin ⎝θ－6⎭＝1，求点 P ⎝2，－6⎭到直线 l 的距离．解析：点 P ⎝2，－6⎭的直角坐标为( 3，－1)．直线 l ：ρsin ⎝θ－6⎭＝1 可化为 ρsin θ·cos －ρcos θ·sin ＝1，故点 P ⎝2，－6⎭到直线 ρsin ⎝θ－6⎭＝1 的距离为 3＋1. 1．极坐标方程 4ρsin 2 ＝5 表示的曲线是( )解析：∵sin 2 ＝ (1－cos θ)，答案： 39．进行直角坐标方程与极坐标方程的互化： (1)y 2＝4x ；(2)x 2＋y 2－2x －1＝0.解析：(1)将 x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ 代入 y 2＝4x ，得(ρsin θ)2＝4ρcos θ. 化简，得 ρsin 2θ＝4cos θ.(2)将 x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ 代入 y 2＋x 2－2x －1＝0，得(ρsin θ)2＋(ρcos θ)2－2ρcos θ－1＝0，化简，得 ρ2－2ρcos θ－1＝0.⎛ π⎫ ⎛ π⎫⎛ π⎫⎛ π⎫π π6 6即直线 l 的直角坐标方程为 x － 3y ＋2＝0.∴点 P( 3，－1)到直线 x － 3y ＋2＝0 的距离为d ＝ | 3＋ 3＋2|＝ 3＋1.1＋(－ 3)2⎛ π⎫ ⎛ π⎫[B 组能力提升]θ 2A ．圆C ．双曲线θ 12 2原方程化为 2ρ(1－cos θ)＝5，∴2ρ－2ρcos θ＝5，B ．椭圆D ．抛物线y 2＝5x ＋，它表示的曲线是抛物线，故选 D.3．在极坐标系中，已知点 P ⎝2， 3 ⎭，点 Q 是圆 ρ＝2cos ⎝θ＋3⎭上的动点，则|PQ|的最解析：已知圆的圆心为 C ⎝1，3π⎭，半径为 1，将点 P 、C 的极坐标化为直角坐标为 P(－1， 3)，C ⎝ ，－3⎫ 2 ⎭⎛－1－1⎫2＋⎛ 3＋ 3⎫2－1 2⎭ ⎝即 2 x 2＋y 2－2x ＝5，平方化简，得254答案：D2．曲线的极坐标方程 ρ＝4sin θ 化为直角坐标方程为( )A ．x 2＋(y ＋2)2＝4C ．(x －2)2＋y 2＝4B ．x 2＋(y －2)2＝4D ．(x ＋2)2＋y 2＝4解析：将 ρ＝4sin θ 两边乘以 ρ，得 ρ2＝ρ·4sin θ，再把 ρ2＝x 2＋y 2，ρ·sin θ＝y ，代入得x 2＋y 2－4y ＝0，即 x 2＋(y －2)2＝4.故选 B.答案：B⎛ 2π⎫ ⎛ π⎫小值是________．⎛ 5 ⎫⎛1 2.由圆的几何性质知，|PQ|的最小值应是|PC|减去圆的半径，即|PQ|min ＝|PC|－1＝⎝ 2 ⎭＝3－1＝2.答案：24．在极坐标系中，圆 ρ＝2cos θ 与直线 3ρcos θ＋4ρsin θ＋a ＝0 相切，则实数 a ＝________.解析：由 ρ＝2cos θ 得 ρ2＝2ρcos θ,∵x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，∴ρ2＝x 2＋y 2.∴圆 ρ＝2cos θ 与直线 3ρcos θ＋4ρsin θ＋a ＝0 的直角坐标方程分别为 x 2＋y 2＝2x,3x ＋4y＋a ＝0.将圆的方程配方得(x －1)2＋y 2＝1，依题意得，圆心 C(1,0)到直线的距离为 1，由⎨得点 P(－1,1)的极坐标为⎝ 2， 4 ⎭. ⎪即|3＋a|＝1，32＋42整理，得|3＋a|＝5，解得 a ＝2 或 a ＝－8.答案：2 或－85．从极点作圆 ρ＝2acos θ(a ≠0)的弦，求各弦中点的轨迹方程．解析：设所求轨迹上的动点 M 的极坐标为(ρ，θ)，圆 ρ＝2acos θ(a ≠0)上相应的弦为端点(非极点)的极坐标为(ρ1，θ1)，如图所示为 a ＞0 的情形，⎧⎪θ1＝θ，由题意，得⎨⎪⎩ρ1＝2ρ.∵ρ1＝2acos θ1，∴2ρ＝2acos θ，∴ρ＝acos θ 即为各弦中点的轨迹方程，当 a ＜0 时，所求结果相同．6．在极坐标系中，已知曲线 C 1：ρ＝2sin θ 与 C 2：ρcos θ＝－1(0≤θ<2π)，求： (1)两曲线(含直线)的公共点 P 的极坐标；(2)过点 P ，被曲线 C 1 截得的弦长为 2的直线的极坐标方程．⎧⎪x ＝ρcos θ，解析：(1)由⎨ 得曲线 C 1：ρ＝2sin θ 与 C 2：ρcos θ＝－1(0≤θ<2π)的直角坐⎪⎩y ＝ρsin θ标方程分别为 x 2＋y 2＝2y ，x ＝－1.⎧⎪x ＝－1，联立方程组，解得⎨⎪⎩y ＝1.⎧ρ2＝x 2＋y 2， y⎪⎩tan θ＝x (x ≠0)，⎛ 3π⎫(2)极坐标方程为 θ＝ (ρ∈R)；另一条过点 A(0,2)，倾斜角为，直线的直角坐标方程为 y ＝x ＋2，极坐标方程为 ρ(sin θ即 ρsin ⎝θ－4⎭＝ 2.方法二由上述可知，曲线 C 1：ρ＝2sin θ 即圆 x 2＋(y －1)2＝1，过点 P ⎝ 2， 4 ⎭，被曲线 C 1 截得的弦长为 2的直线有两条：一条过原点 O ，倾斜角为，极坐标方程为 θ＝ (ρ∈R)；另一条倾斜角为，极坐标方程为 ρsin ⎝θ－4⎭＝ 2sin ⎝ 4 －4⎭，即 ρsin ⎝θ－4⎭＝ 2.方法一由上述可知，曲线 C 1：ρ＝2sin θ 即圆 x 2＋(y －1)2＝1，如图所示，过 P(－1,1)，3π被曲线 C 1 截得的弦长为 2的直线有两条：一条过原点 O ，倾斜角为 4 ，直线的直角坐标方程为 y ＝－x ，3π4π4－cos θ)＝2，⎛ π⎫⎛ 3π⎫3π 3π44π ⎛ π⎫ ⎛3π π⎫ 4⎛ π⎫。

选修4-4第一章《简单曲线的极坐标方程》

学科教师辅导讲义
讲义编号_
学员编号：学员姓名：课题年级：辅导科目：数学简单曲线的极坐标方程 1、进一步理解极坐标系和极坐标方程。教学目的 2、能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）表示的极坐标方程。教学内容课时数： 3 学科教师：
授课日期及时段

, ) 的极坐标满足方程 . 4 4
5 , ) 可以表示为 ( , 2 )或( , 2 )或(- , ) 等多种形式 , 其 4 4 4 4 4 4 4 4
三、重难点突破
例 1 、在极坐标系中，如果 A(2,

4
), B (2,
cos 4, 设A(0 ,0 ),P( , ),∵点 A 在直线 cos 4 上，
∴ 0 cos 0 4 ∵⊿OPA 为等腰直角三角形，且∠OPA= ∴ 0 = 2 ，且 0 ①
4
，而|OP|= ，|OA|= 0 ，以及 POA ， 4 2
二、知识梳理
1、极坐标系的概念 (1)极坐标系
如图所示
,在平面内取一个定点 O ,叫做极点,自极点 O 引一条射线 Ox ,叫做极轴;再选定一
个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系. 注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标
sin sin( ) 3

(0

3
), 即为所求极坐标方程.
例 3、如图，点 A 在直线 x=4 上移动，⊿OPA 为等腰直角三角形，⊿OPA 的顶角为∠OPA（O，P，A 依次按顺时针方向排列），求点 P 的轨迹方程，并判断轨迹形状。

选修4-4 1.3 简单曲线的极坐标方程

ρ
O
θ
C
点O (0,

2
) ,A(2a,0)都满足等式.
探究圆的极坐标方程
思考4:由此可知,圆上任意一点的极坐标(ρ,θ ) 中至少有一个满足等式ρ＝2acosθ ；反之,极坐标适合该等式的点都在这个圆上吗？
ρ M A x
O
θ
C
都在这个圆上
探究圆的极坐标方程
思考5：等式ρ＝2acosθ 叫做圆C的极坐标方程.一般地,在极坐标系中,对于平面曲线 C和方程f(ρ,θ )＝0,在什么条件下,方程 f(ρ,θ )＝0是曲线C的极坐标方程？
2.以直角坐标系原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,则点M的直角坐标 (x,y)与极坐标(ρ,θ )的互化公式是什么？
x＝ρcosθ , y＝ρsinθ .
y x y , tan ( x 0) x
2 2
3.在平面直角坐标系中,方程f(x,y)＝0 是曲线C的方程应具备的条件是什么？（1）曲线C上任意一点的坐标都是方程 f(x,y)＝0的解；（2）以方程f(x,y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上.
ρ＝－2acosθ
ρ＝2asinθ
自主探索圆的极坐标方程
一般地,在极坐标系中,圆心坐标为C(a,α)(a＞0), 半径为r的圆的极坐标方程是什么？ C ρ O
2 2
M
θ
x
2
a 2 a cos( ) r
2.直线的极坐标方程
探究直线的极坐标方程
4 5 射线ON：； 4 N
探究圆的极坐标方程曲线的极坐标方程的基本步骤:
（1）建立极坐标系,设动点坐标；（2）找出曲线上的点满足的几何条件；

第1讲-简单曲线的极坐标方程

【解析】直角坐标方程 x2＋y2－2x＝0 可化为 x2＋y2＝
当堂双基达标
课堂互动探究
2x，将 ρ2＝x2＋y2，x＝ρcos θ 代入整理得 ρ＝2cos θ.
【答案】 ρ＝2cos θ
课时作业
菜
单
新课标 ·数学选修4-4
直线或射线的极坐标方程
课前自主导学
π 【解析】极坐标系中点(2，6)对应的直角坐标为( 3，
当堂双基达标
课堂互动探究
1)．极坐标系中直线 ρsin θ＝2 对应直角坐标系中直线 y＝2. 故所求距离为 1.
【答案】 1
课时作业
菜
单
新课标 ·数学选修4-4
极坐标方程的应用
课前自主导学
从极点 O 作直线与另一直线 l：ρcos θ＝4 相交于点 M，在 OM 上取一点 P，使|OM |· |OP|＝12. (1)求点 P 的轨迹方程； (2)设 R 为 l 上的任意一点，试求|RP|的最小值．
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新课标 ·数学选修4-4
极坐标方程与直角坐标方程的互化
若曲线 C 的极坐标方程为 ρ＝2sin θ＋4cos θ，以极点为原点，极轴为 x 轴的正半轴建立直角坐标系． (1)求曲线 C 的直角坐标方程； π (2)若直线 ρsin(θ－4 )＝0 与曲线 C 相交于 A、B，求|AB |. 【思路探究】利用极坐标化为直角坐标的公式将直线
且 O、C、M 三点不共线，不妨以如图所示情况加以说明，在 △ OCM 中，由余弦定理得 |OM |2 ＋ |OC|2 － 2|OM |· |OC|· cos ∠ COM＝ |CM |2，

高中数学选修4-4 简单曲线的极坐标方程(第一课时)

过点(3,0)且与x轴垂直的直线方程为 x=3 过点(2,3)且与y轴垂直的直线方程为 y=3 ;
例1：
⑴求过极点，倾斜角为的射线的极坐标方程。 4
M
4
o
﹚
x

4
( 0)
5 （2）求过极点，倾斜角为 4 的射线的极坐标方程。
5 ( 0) 4 （3）求过极点，倾斜角为的直线的极坐标方程。 4 5 ( 0) 和 ( 0) 4 4
M (,) A
O
C(a,0)
x
解：圆经过极点O。设圆与极轴的另一个交点是A，那么 OA ＝2a,
M (,)
O
C(a,0)
A
x
设M ( , )为圆上除点O，A 以外的任意一点，那么OM AM。在Rt AMO 中 OM OA cos MOA即＝2a cos ...........(1) 可以验证，点O(0, ), A(2a, 0)的坐标满足等式(1) 2 所以，等式(1)就是圆上任意一点的极坐标( , )
复习
1、极坐标系的四要素极点；极轴；长度单位；角度单位及它的正方向。 2、点与其极坐标一一对应的条件 0, [0,2 ) 3、极坐标与直角坐标的互化公式 y 2 2 2 x y , tan ( x 0) x
x cos , y sin
探索？
一定义：如果曲线Ｃ上的点与方程 f(,)=0有如下关系（１）曲线Ｃ上任一点的坐标（所有坐标中至少有一个）符合方程f(,)=0 ；（２）以方程f(,)=0的所有解为坐标的点都在曲线Ｃ上。则曲线Ｃ的方程是f(,)=0 。
二求曲线的极坐标方程的步骤：
与直角坐标系里的情况一样

人教版高中数学选修4-4练习第一讲三简单曲线的极坐标方程 Word版含解析

第一讲坐标系三、简单曲线的极坐标方程级基础巩固一、选择题．极坐标方程ρθ＝－表示( )．过点(，π)垂直于极轴的直线．过点(，)垂直于极轴的直线．圆心为(，π)，半径为的圆．圆心为(，)，半径为的圆解析：将ρθ＝－化为直角坐标方程是：＝－，它表示过点(，π)垂直于极轴的直线．答案：．圆ρ＝( θ＋θ)的圆心的极坐标是( )解析：将圆的极坐标方程化为直角坐标方程是＋－－＝，圆心的直角坐标是，化为极坐标是.答案：．在极坐标系中与圆ρ＝θ相切的一条直线的方程为( )．ρθ＝．ρθ＝．ρ＝．ρ＝解析：将圆ρ＝θ化为直角坐标方程为＋＝，即＋(－)＝，它与直线－＝相切，将－＝化为极坐标方程为ρθ＝.答案：．已知点的极坐标是(，π)，则过点且垂直于极轴的直线的方程是( )．ρ＝θ．ρ＝．ρ＝θ)．ρ＝－θ)解析：设为所求直线上任意一点(除外)，其极坐标为(ρ，θ)，在直角三角形中(为极点)，ρπ－θ＝，即ρ＝－θ).经检验，(，π)也适合上述方程．答案：．在极坐标系中，圆ρ＝θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为( )．θ＝(ρ∈)和ρθ＝．θ＝(ρ∈)和ρθ＝．θ＝(ρ∈)和ρθ＝．θ＝(ρ∈)和ρθ＝解析：由ρ＝θ，得ρ＝ρθ，化为直角坐标方程为＋－＝，即(－)＋＝，其垂直于极轴的两条切线方程为＝和＝，相应的极坐标方程为θ＝(ρ∈)和ρθ＝.答案：二、填空题．直线－＝的极坐标方程为．解析：直线方程－＝变为极坐标方程为ρθ－ρθ＝，即θ－θ＝，故θ＝，故θ＝或θ＝π，所以直线－＝的极坐标方程为θ＝或θ＝.答案：θ＝或．圆心为，半径为的圆的极坐标方程为．解析：将圆心的极坐标化为直角坐标为.因为圆的半径为，故圆的直角坐标方程为＋＝，化为极坐标方程为ρ＝.答案：ρ＝。

2020秋高中数学人教A版选修4-4：第一讲三简单曲线的极坐标方程

直线位置
极坐标方程
(1) θ＝α(ρ∈R) 过极点，
或 θ＝π＋α(ρ∈R)；倾斜角为
(2) θ＝α(ρ≥0)和 θ＝π
α ＋α(ρ≥0)
图形
过点 A(a，0)(a>0)， ρcos θ＝a
且与极轴垂直
－π2<
π θ<2
M(ρ，θ)在 l 上且不
与 A 重合
过点 Ma，π2(a>0)，且与极轴平行
[变式训练] 求圆心在 C2，3π 2 处并且过极点的圆的极坐标方程，并判断点－2，sin 5π 6 是否在这个圆上．
解：如图，由题意知，圆经过极点 O，
OA 为其一条直径，设 M(ρ，θ)为圆上除点
O，A 以外的任意一点，则|OA|＝2r，连接 AM，则 OM⊥MA.在 Rt△OAM 中，|OM|＝|OA|cos ∠ AOM，即 ρ＝2rcos3π2 －θ，
1．极坐标方程与平面曲线在极坐标系中，如果平面曲线 C 上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程 f(ρ，θ)＝0，并且坐标适合方程 f(ρ，θ)＝0 的点都在曲线 C 上，那么方程 f(ρ，θ)＝0 叫作曲线 C 的极坐标方程．
2．圆的极坐标方程(半径为 r)
圆心位置圆心在极点(0，0)
所以 ρ＝－4sin θ，经验证，点 O(0，0)，A4，3π 2
的坐标满足上式．
所以满足条件的圆的极坐标方程为 ρ＝－4sin θ. 因为 sin 5π 6 ＝12，所以 ρ＝－4sin θ＝－4sin 5π6 ＝
－2，所以点－2，sin 5π6 在此圆上．
2．如图，极坐标方程 ρ＝2sinθ＋π4的图形是(
)
解析：圆 ρ＝2sinθ＋π4是由圆 ρ＝2sin θ 绕极点按顺时针方程旋转π4而得，圆心的极坐标为1，π4.

选修4-4 极坐标与参数方程(极坐标)01

)

1.
（1）求点
(4,
4
)
的直角坐标系下的坐标与直线的普通方程；
（2）求点
(4,
4
)
到直线

sin(

4
)

1的距离.
【练 1】坐标系与参数方程
在直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆 C1 ,直线 C2 的极坐标方程分别为

4sin ,

cos
N
，求 C2MN
的面积.
【练
4】已知曲线
C1
的参数方程为

x y

4 5

5 5
cos t sin t
,
（
t
为参数），以坐标原点为极点，
x
轴的正半轴为极轴建立
极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为＝2 sin ．
（1）把 C1 的参数方程化为极坐标方程；
（2）求 C1 与 C2 交点的极坐标（ 0, 0 ＜2 ）．

4

2
2.
（1）求 C1 与 C2 交点的极坐标;
x t3 a
（2）设
P
为
C1
的圆心，
Q
为
C1
与
C2
交点连线的中点，已知直线
PQ
的参数方程为

y

b 2
t3
(t 1

R
为，参
数) 求 a, b 的值.
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【练 2】坐标系与参数方程
y2

4

2019版三维方案数学同步人教A版选修4-4 第一讲三简单曲线的极坐标方程 2.直线的极坐标方程

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直线的极坐标方程的应用 [例 2] 在极坐标系中，直线 l 的方程是 ρsinθ－π6＝1，求点 P2，－π6到直线 l 的距离． [思路点拨] 将极坐标问题转化为直角坐标问题．
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[解] 点 P2，－π6的直角坐标为( 3，－1)．直线 l：ρsinθ－π6＝1 可化为 ρsin θcosπ6－ρcos θsinπ6＝1，
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求直线的极坐标方程
[例 1] 求过点 A(1,0)且倾斜角为π4的直线的极坐标方程． [思路点拨] 思路一：通过运用正弦定理解三角形建
立动点 M 所满足的等式，从而集中条件建立以 ρ，θ 为未知数的极坐标方程；
思路二：先求出直线的直角坐标方程，然后运用直角坐标向极坐标的转化公式间接得解．
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3．在极坐标系中，曲线 C1 和 C2 的方程分别为 ρsin2θ＝cos θ 和 ρsin θ＝1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为 x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线 C1 和 C2 的交点的直角坐标为________．解析：由 ρsin2θ＝cos θ⇒ρ2sin2θ＝ρcos θ⇒y2＝x，又由 ρsin θ＝1⇒y＝1，联立yy2＝＝1x， ⇒xy＝＝11.，故曲线 C1 和 C2 交点的直角坐标为(1,1)．答案：(1,1)
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三
简单曲线的极坐标方程
2．直线的极坐标方程
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1．直线的极坐标方程 (1)若直线经过点 M(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为 α，则直线 l 的极坐标方程为 ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α) ． (2)当直线 l 过极点，即 ρ0＝0 时，l 的方程为 θ＝α . (3)当直线 l 过点 M(a,0)且垂直于极轴时，l 的方程为 _ρ_c_o_s__θ_＝__a_.

数学人教A版选修4-4课后训练：简单曲线的极坐标方程含解析

三简单曲线的极坐标方程练习1圆心在（1，0）且过极点的圆的极坐标方程为（）．A ．ρ＝1B ．ρ＝cos θC ．ρ＝2cos θD ．ρ＝2sin θ2极坐标方程ρ2cos θ－ρ＝0的直角坐标方程为（ )．A ．x 2＋y 2＝0或y ＝1B ．x ＝1C ．x 2＋y 2＝0或x ＝1D ．y ＝13在极坐标系中,与圆ρ＝4cos θ相切的一条直线方程为（）．A ．ρsin θ＝4B ．ρcos θ＝2C ．ρcos θ＝4D ．ρcos θ＝－44极坐标方程分别是ρ＝cos θ和ρ＝sin θ的两个圆的圆心距是（ )．A ．2BC ．1 D.25以极坐标系中的点（1,1)为圆心，1为半径的圆的方程是（ )．A ．ρ＝2cos(θ－4π）B ．ρ＝2sin(θ－4π） C ．ρ＝2cos （θ－1) D ．ρ＝2sin(θ－1）6直线3x －y ＝0的极坐标方程(限定ρ≥0)为________． 7在极坐标系中,定点A (1，2π)，点B 在直线l ：ρcos θ＋ρsin θ＝0上运动，当线段AB 最短时，点B 的极坐标是__________．8化下列曲线的极坐标方程为直角坐标方程，并判断曲线的形状．(1）ρcos θ＝2；（2）ρ＝2cos θ；9圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ＝4cos θ,ρ＝－4sin θ。

（1)把圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）求经过圆O 1,圆O 2的交点的直线的直角坐标方程．10在极坐标系中,已知圆C 的圆心C (3，6π），半径r ＝1，点Q 在圆C 上运动．（1)求圆C 的极坐标方程；（2）若P 在直线OQ 上，且23OQ QP =，求动点P 轨迹的极坐标方程．参考答案1. 答案：C 圆的直角坐标方程是（x －1)2＋y 2＝1，将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入上式，整理得，ρ＝2cos θ,即为此圆的极坐标方程．2。

数学人教A版选修4-4学案：第一讲三简单曲线的极坐标方程含解析

三简单曲线的极坐标方程1．能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线,过极点或圆心在极点的圆）的方程．2．通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，体会在用方程刻画平面图形时选择适当坐标系的意义．1．圆的极坐标方程(1）曲线C的极坐标方程：一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C上任意一点的极坐标中____________________，并且坐标________________________都在曲线C上，那么方程f（ρ,θ)＝0叫做曲线C的极坐标方程．(1）由于平面上点的极坐标的表示形式不惟一，因此曲线的极坐标方程与直角坐标方程也有不同之处．一条曲线上点的极坐标有多组表示形式，这里要求至少有一组能满足极坐标方程．有些表示形式可能不满足方程．例如，对极坐标方程ρ＝θ，点M（错误!，错误!）可以表示为（错误!，错误!＋2π）或(错误!，错误!－2π)等多种形式，其中只有(错误!，错误!）的形式满足方程，而其他表示形式都不满足方程．(2）今后我们遇到的极坐标方程多是ρ＝ρ（θ）的形式,即ρ为θ的一个函数．（3)由极坐标系中点的对称性可得到极坐标方程ρ＝ρ（θ)的图形的对称性：若ρ(θ）＝ρ（－θ），则相应图形关于极轴对称；若ρ（θ）＝ρ（π－θ)，则图形关于射线θ＝错误!所在的直线对称;若ρ(θ）＝ρ（π＋θ),则图形关于极点O对称．(2）圆经过极点O，圆与极轴的另一个交点是A(2a,0)，圆的半径是a，圆心坐标是C（a，0）(a＞0），则圆的极坐标方程是________________．【做一做1－1】极坐标方程ρ＝1表示( ）．A．直线B．射线C．圆D．椭圆【做一做1－2】在极坐标系中，求圆心为A（8,错误!）,半径为5的圆的方程．2．直线的极坐标方程直线l经过极点，极轴与直线l的夹角是α，则直线l的极坐标方程为________（ρ∈R)．求平面曲线的极坐标方程,就是要找极径ρ和极角θ之间的关系,常用解三角形（正弦定理、余弦定理）的知识、利用三角形的面积相等等来建立ρ,θ之间的关系．【做一做2－1】极坐标方程sin θ＝错误!(ρ∈R)表示的曲线是（)．A．两条相交直线B．两条射线C．一条直线D．一条射线【做一做2－2】曲线θ＝0，θ＝错误!（ρ≥0）和ρ＝4所围成图形的面积是__________．【做一做2－3】极坐标方程ρcos θ＝sin 2θ所表示的曲线是__________．答案:1．（1)至少有一个满足方程f(ρ，θ)＝0 适合方程f（ρ，θ)＝0的点(2）ρ＝2a cos θ【做一做1－1】C【做一做1－2】解:在圆上任取一点P（ρ，θ)，那么，在△AOP中,｜OA｜＝8，｜AP｜＝5,∠AOP＝错误!－θ或θ－错误!.由余弦定理得cos ∠AOP＝错误!，即ρ2－16ρcos (θ－错误!）＋39＝0为所求圆的极坐标方程．2．θ＝α【做一做2－1】A【做一做2－2】8π3【做一做2－3】一条直线和一个圆∵ρcos θ＝sin 2θ＝2sin θcos θ,∴cos θ＝0或ρ＝2sin θ.cos θ＝0表示一条直线（y轴)；ρ＝2sin θ＝2cos (θ－错误!)表示圆心为(1，错误!),半径为1的圆．1．直角坐标系与极坐标系的区别剖析：（1)在平面直角坐标系内，点与有序实数对即坐标（x，y)是一一对应的，可是在极坐标系内，虽然一个有序实数对(ρ，θ)只能与一个点P对应，但一个点P却可以与无数多个有序实数对（ρ，θ)。

秋高中数学人教A版选修4-4课堂演练：第一讲三简单曲线的极坐标方程

第一讲坐标系三、简单曲线的极坐标方程[A 级基础巩固]一、选择题 1．4ρsin2θ2＝5表示的曲线是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线的一支D ．抛物线解析：4ρsin 2θ2＝5⇒4ρ1－cos θ2＝5⇒2ρ＝2ρcos θ＋5.因为ρ＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x ，代入上式得2x 2＋y 2＝2x ＋5，两边平方整理得y 2＝5x ＋254，所以它表示的曲线为抛物线．答案：D2．圆ρ＝2(cos θ＋sin θ)的圆心的极坐标是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫1，π4 B.⎝⎛⎭⎪⎫12，π4 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4 解析：将圆的极坐标方程化为直角坐标方程是x 2＋y 2－2x －2y＝0，圆心的直角坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，化为极坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π4. 答案：A3．极坐标方程ρ＝a sin θ(a ＞0)所表示的曲线的图形是( )解析：如图所示．设M (ρ，θ)是圆上任意一点，则∠ONM ＝∠MOx ＝θ，在Rt △NMO 中，|OM |＝|ON |sin ∠ONM ，即ρ＝2r sin θ＝a sin θ. 答案：C4．在极坐标系中，点⎝⎛⎭⎪⎫2，π3到圆ρ＝2cos θ的圆心的距离为( ) A ．2 B. 4＋π29C.1＋π29D. 3解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ＝2cos π3＝1y ＝ρsin θ＝2sin π3＝3可知，点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3的直角坐标为(1，3)，圆ρ＝2cos θ的方程为x 2＋y 2＝2x ，即(x －1)2＋y 2＝1，则圆心到点(1，3)的距离为 3.答案：D5．在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为( )A ．θ＝0(ρ∈R)和ρcos θ＝2B ．θ＝π2(ρ∈R)和ρcos θ＝2C ．θ＝π2(ρ∈R)和ρcos θ＝1 D ．θ＝0(ρ∈R)和ρcos θ＝1解析：由ρ＝2cos θ，得ρ2＝2ρcos θ，化为直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0，即(x －1)2＋y 2＝1，其垂直于极轴的两条切线方程为x ＝0和x ＝2，相应的极坐标方程为θ＝π2(ρ∈R)和ρcos θ＝2.答案：B 二、填空题6．在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若曲线C 的极坐标方程为ρ＝2sin θ，则曲线C 的直角坐标方程为________________．解析：因为ρ＝2sin θ，所以ρ2＝2ρsin θ，所以x 2＋y 2＝2y ，即曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0.答案：x 2＋y 2－2y ＝07．在极坐标系中，定点A ⎝⎛⎭⎪⎫1，π2，点B 在直线l ：ρcos θ＋ρsinθ＝0上运动，当线段AB 最短时，点B 的极坐标是________．解析：将极坐标化为直角坐标得为：A (0，1)，l ：x ＋y ＝0，设点B 的坐标为(x ，－x )，则|AB |＝x 2＋（x ＋1）2＝2x 2＋2x ＋1.当x ＝－12时，|AB |取最小值，所以此时点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12，化为极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，3π4.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫22，3π48．已知圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ，圆心为C ，点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，π3，则|CP |＝________．解析：圆ρ＝4cos θ的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4x ，圆心C (2，0)．点P 的直角坐标为(2，23)，所以|CP |＝2 3.答案：23 三、解答题9．已知双曲线的极坐标方程为ρ＝31－2cos θ，过极点作直线与它交于A 、B 两点，且|AB |＝6.求直线AB 的极坐标方程．解：设直线AB 的极坐标方程为θ＝θ1，A (ρ1，θ1)， B (ρ2，θ1＋π)，ρ1＝31－2cos θ1，ρ2＝31－2cos （θ1＋π）＝31＋2cos θ1.|AB |＝|ρ1＋ρ2|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪31－2cos θ1＋31＋2cos θ1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪61－4cos 2θ1，所以11－4cos 2θ1＝±1，所以cos θ1＝0或cos θ1＝±22，故直线AB 的极坐标方程分别为θ＝π2，θ＝π4或θ＝3π4.10．在极坐标系中，已知圆C 的圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π3，半径为3，Q 点在圆周上运动．(1)求圆C 的极坐标方程；(2)若P 是OQ 中点，求P 的轨迹．解：(1)如图，设Q (ρ，θ)为圆上任意一点，连接DQ ，OQ ，则|OD |＝6， ∠DOQ ＝π3－θ，或∠DOQ ＝θ－π3，∠DQO ＝π2.在Rt △ODQ 中，|OQ |＝|OD |cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3，即ρ＝6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3. (2)若P 的极坐标为(ρ，θ)，则Q 点的极坐标为(2ρ，θ)．所以2ρ＝6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3，所以ρ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3. 所以P 的轨迹是圆．B 级能力提升1．直线2ρcos θ＝1与圆ρ＝2cos θ相交的弦长为________．解析：直线的方程为2x ＝1，圆的方程为x 2＋y 2－2x ＝0，圆心为(1，0)，半径r ＝1，圆心到直线的距离为d ＝|2－1|22＋0＝12，设所求的弦长为l ，则12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫l 22，解得l ＝ 3.答案：32．若曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cos θ，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为__________________．解析：因为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，ρ2＝x 2＋y 2，所以ρ2＝2ρsin θ＋4ρcos θ⇒x 2＋y 2＝2y ＋4x ⇒x 2＋y 2－4x －2y ＝0.答案：x 2＋y 2－4x －2y ＝03．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系，直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22，圆C ：⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋222＋⎝⎛⎭⎪⎫y ＋222＝r 2.(1)求圆心C 的极坐标；(2)当r 为何值时，圆C 上的点到直线l 的最大距离为3.解：(1)圆C ：⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋222＝r 2的圆心C 的直角坐标为⎝⎛⎭⎪⎫－22，－22.因为ρ＝⎝⎛⎭⎪⎫－222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－222＝1，又tan θ＝1且C 在第三象限，所以θ＝5π4.所以圆心C 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1，5π4. (2)由ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22，得ρcos θ＋ρsin θ＝1.所以直线l ：x ＋y －1＝0.圆C ：⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋222＝r 2的圆心⎝⎛⎭⎪⎫－22，－22到直线l 的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－22－22－12＝1＋22，因为圆C 上的点到直线l 的最大距离为3，所以1＋22＋r ＝3，即r ＝2－22，所以当r ＝2－22时，圆C 上的点到直线l 的最大距离为3.。

人教新课标版数学高二A版选修4-4达标训练第一讲三简单曲线的极坐标方程

更上一层楼基础·巩固1如图1-3-5，极坐标方程ρ=asinθ(a>0)所表示的曲线的图形是( )图1-3-5思路解析：如果没有记住它的图形，不妨化其为直角坐标方程:ρ=asin θ，ρ2=ρasinθ,x 2+y 2=ay,x 2+(y-2a )2=42a ,图形显然是以(0,2a )为圆心，2a为半径的圆.选C.答案:C2极坐标方程分别是ρ=cosθ和ρ=sinθ的两个圆的圆心距是( ) A.2 B.2 C.1 D.22 思路解析：本题有两种解法.第一种解法是直接在极坐标系中,根据给定的方程判断出两圆心的极坐标分别是(21,0)和(21,2π),这两点间的距离是22.第二种解法是将方程化为直角坐标方程,因为ρ不恒为0,可以用ρ分别乘方程两边,得ρ2=ρcos θ和ρ2=ρsin θ,极坐标方程化为直角坐标方程为x 2+y 2=x 和x 2+y 2=y,它们的圆心分别是(21,0),(0,21),圆心距是22. 答案:D3在极坐标系中，点P(2,611π)到直线ρsin(θ-6π)=1的距离等于( ) A.1 B.2 C.3 D.1+3 思路解析：可化为直角坐标，利用点到直线的距离公式求解. ∵x P =2cos611π=3，y P =2sin 611π=-1,∴P 点的直角坐标为(3,-1). 又直线ρsin(θ-6π)=1化为直角坐标方程为23y-21x-1=0,∴点P 到直线的距离d=|-21·3+23·(-1)-1|=1+3.答案：D4下列方程各表示什么曲线?(1)y=a,答_____________;(2)ρ=a,答_____________;(3)θ=a,答_____________.思路解析：方程表示什么样的曲线,主要看清楚方程的形式,找到方程中的变量之间的关系.首先得熟悉直角坐标系下的特殊曲线的方程.答案：(1)在直角坐标系下,y=a 表示与x 轴平行的直线 (2)在极坐标系下,ρ=a 表示圆心在极点,半径为a 的圆 (3)在极坐标系下,θ=a 表示过极点,倾斜角为a 的射线 5画出极坐标方程(θ-4π)ρ+(4π-θ)sinθ=0的图形. 思路解析：若所给曲线的极坐标方程比较复杂时,可将其方程分解因式,分解成几个常见曲线方程连乘积的形式,然后分别作出图形,放在一起即为所求方程的曲线.答案：如图,将原方程分解因式得(θ-4π)(ρ-sin θ)=0, ∴θ-4π=0,即θ=4π为一条射线,或ρ-sin θ=0为一个圆. 6证明过A(ρ1,θ1)和B(ρ2,θ2)两点的直线l的极坐标方程是122112)sin()sin()sin(ρθθρθθρθθ-+-=-.思路分析：虽然所证明的方程看起来比较复杂,但是,只要理清求曲线方程的步骤,问题是不难解决的.证明：设M(ρ,θ)为直线AB 上一点, ∵S △AOB =21ρ1ρ2sin(θ2-θ1), S △AOM =21ρρ1sin(θ-θ1), S △BOM =21ρρ2sin(θ2-θ),又S △AOB =S △AOM +S △BOM ,∴ρ1ρ2sin(θ2-θ1)=ρρ1sin(θ-θ1)+ρρ2sin(θ2-θ),即122112)sin()sin()sin(ρθθρθθρθθ-+-=-.7在平面直角坐标系中，已知点A(3,0)，P是圆x2+y2=1上一个动点，且∠AOP的平分线交PA于Q点，求Q点的轨迹的极坐标方程.思路分析：先建系,再由面积求.解：以圆心O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设Q(ρ,θ),P(1,2θ).∴S△OAQ+S△OQP=S△OAP.∴21·3ρsinθ+21ρsinθ=21·3·1·sin2θ.整理得ρ=23cosθ.8从原点O引直线交直线2x+4y-1=0于点M，P为OM上一点，已知|OP|·|OM|=1，求P点的极坐标方程.思路分析：先把直线化为极坐标方程,由于P点的运动与M点有关,可以利用转移法来解决问题.解：以O为极点,x轴正方向为极轴建立坐标系后,直线的方程化为2ρcosθ+4ρsinθ-1=0. 设M(ρ0,θ0),P(ρ,θ),则2ρ0cosθ+4ρ0sinθ-1=0.又⎪⎩⎪⎨⎧==⎩⎨⎧==,1,,1,ρρθθρρθθ知.代入ρ12cosθ+ρ14sinθ-1=0,∴ρ=2cosθ+4sinθ,这是一个圆(ρ≠0).综合·应用9点A、B在椭圆2222byax+=1上，O为原点，OA⊥OB.(1)求证：2211OBOA=为定值；(2)求△AOB面积的最大值和最小值.思路解析：此题看起来与极坐标方程没有什么关系,但是当把椭圆方程化为极坐标方程后,就可以发现OA与OB长度的关系了；在△AOB中利用正弦定理的面积公式也容易找到其面积的最大值和最小值.(1)证明：椭圆半长轴长为a,半短轴长为b,以O为极点,长轴一端与点O的射线为极轴,建立坐标系,将x=ρcosθ,y=ρsinθ代入椭圆方程,得b2ρ2cos2θ+a2ρ2sin2θ=a2b2.∴ρ2=)cos 1(cos sin cos sin cos 2222222222222222θθθθθθ-+=+=+ab b a b b a b b aθθθ22222222222cos 1cos 1)1(cos 1•-=•-=--=e b ac b a b b 即ρ2=θ222cos 1•-e b .设OA 的极角为α,则OB 的极角为2π+α.∴222222222212sin 111,cos 111b e OB b e OA αραρ-==-==. ∴2222211b e OB OA -=+为定值. (2)解：设A 的极坐标为(ρ1,θ),则B(ρ2,θ+2π).点A 、B 满足方程ρ12=θ222cos 1•-e b ,ρ22=θ222sin 1e b -.∵OA ⊥OB,∴S △OAB =21ρ1ρ2. 而ρ12ρ22=θθθ2sin 411cos sin 1242422424e e b e e b +-=+-,这里ρ1ρ2与ρ12ρ22同时取得最大值和最小值.故当sin2θ=0时,ρ12ρ22有最大值241e b -,ρ1ρ2有最大值241eb -, (S △OAB )max =21·241e b -=2ab ；当sin2θ=±1时,ρ12ρ22有最小值24)2(4e b -,ρ1ρ2有最小值2222e b -, (S △OAB )min =21·2222e b -=2222ba b a +.。

人教版高中数学选修4-4 学案：第1讲-3 简单曲线的极坐标方程 Word版含解析

三简单曲线的极坐标方程1．了解极坐标方程的意义，了解曲线的极坐标方程的求法．2．会进行曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化；了解简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)表示的极坐标方程．(重点、易错点)3．能够运用直线和圆的极坐标方程解决问题．(难点)[基础·初探]教材整理1 曲线与方程阅读教材P 12“圆的极坐标方程”以上部分，完成下列问题．在平面直角坐标系中，平面曲线C 可以用方程f (x ，y )＝0表示．曲线与方程满足如下关系：(1)曲线C 上点的坐标都是方程f (x ，y )＝0的解； (2)以方程f (x ，y )＝0的解为坐标的点都在曲线C 上．教材整理2 极坐标方程阅读教材P 12～P 13“例1”以上部分，完成下列问题．一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C 上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程f (ρ，θ)＝0，并且坐标适合方程f (ρ，θ)＝0的点都在曲线C 上，那么方程f (ρ，θ)＝0叫做曲线C 的极坐标方程．下列点不在曲线ρ＝cos θ上的是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，π3 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2π3 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－π3 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2π3【解析】点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2π3的极坐标满足ρ＝12，θ＝－2π3，且ρ≠cos θ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3＝－12.【答案】 D教材整理3 常见的极坐标方程阅读教材P 13～P 15，完成下列问题．极坐标方程ρ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ所表示的曲线是( )A ．双曲线B ．椭圆C ．抛物线D ．圆【解析】 ∵ρ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝22cos θ＋22sin θ，ρ2＝22ρcos θ＋22ρsin θ，∴x 2＋y 2＝22x ＋22y ，这个方程表示一个圆．【答案】 D[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：[小组合作型]求过点A (1,0)，且倾斜角为π4的直线的极坐标方程．【思路探究】画出草图―→设点M (ρ，θ)是直线上的任意一点―→建立关于ρ，θ的方程――→化简检验．【自主解答】法一设M (ρ，θ)为直线上除点A 以外的任意一点．则∠xAM ＝π4，∠OAM ＝3π4， ∠OMA ＝π4－θ.在△OAM 中，由正弦定理得 |OM |sin ∠OAM ＝|OA |sin ∠OMA ，即ρsin 3π4＝1sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ，故ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝22，即ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π4cos θ－cos π4sin θ＝22，化简得ρ(cos θ－sin θ)＝1，经检验点A (1,0)的坐标适合上述方程，所以满足条件的直线的极坐标方程为ρ(cos θ－sin θ)＝1，其中，0≤θ<π4，ρ≥0和5π4<θ<2π，ρ≥0.法二以极点O 为直角坐标原点，极轴为x 轴，建立平面直角坐标系xOy . ∵直线的斜率k ＝tan π4＝1， ∴过点A (1,0)的直线方程为y ＝x －1.将y ＝ρsin θ，x ＝ρcos θ代入上式，得ρsin θ＝ρcos θ－1， ∴ρ(cos θ－sin θ)＝1，其中，0≤θ<π4，ρ≥0和5π4<θ<2π，ρ≥0.法一通过运用正弦定理解三角形建立了动点M 所满足的等式，从而集中条件建立了以ρ，θ为未知数的方程；法二先求出直线的直角坐标方程，然后通过直角坐标向极坐标的转化公式间接得解，过渡自然，视角新颖，不仅优化了思维方式，而且简化了解题过程．[再练一题]1．若本例中条件不变，如何求以A 为端点且在极轴上方的射线的极坐标方程？【解】由题意，设M (ρ，θ)为射线上任意一点，根据例题可知，ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝22，化简得ρ(cos θ－sin θ)＝1.经检验点A (1,0)的坐标适合上述方程．因此，以A 为端点且在极轴上方的射线的极坐标方程为ρ(cos θ－sin θ)＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫其中ρ≥0，0≤θ<π4.为x 轴的正半轴建立直角坐标系．(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)若直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝0与曲线C 相交于A 、B ，求|AB |.【导学号：91060006】【思路探究】利用极坐标化为直角坐标的公式将直线和圆的极坐标方程化为直角坐标方程求解．【自主解答】 (1)因为⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以ρ2＝x 2＋y 2，由ρ＝2sin θ＋4cos θ，得ρ2＝2ρsin θ＋4ρcos θ ∴x 2＋y 2－4x －2y ＝0，即(x －2)2＋(y －1)2＝5. (2)由ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝0，得ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin θ－22cos θ＝0，即ρsin θ－ρcos θ＝0，∴x －y ＝0.由于圆(x －2)2＋(y －1)2＝5的半径为r ＝5，圆心(2,1)到直线x －y ＝0的距离为d ＝|2－1|2＝12，∴|AB |＝2r 2－d 2＝3 2.1．直角坐标方程化为极坐标方程，只需把公式x ＝ρcos θ及y ＝ρsin θ直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程要通过变形，构造形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，进行整体代换．其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形方法．但对方程进行变形时，方程必须保持同解，因此应注意对变形过程的检验．2．对方程进行合理变形，并注重公式的正向、逆向与变形使用．[再练一题]2．在极坐标系中，点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6到直线ρsin θ＝2的距离等于________．【解析】极坐标系中点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6对应的直角坐标为(3，1)．极坐标系中直线ρsin θ＝2对应直角坐标系中直线y ＝2，故所求距离为1.【答案】 1M ，在OM 上取一点P ，使|OM |·|OP |＝12.(1)求点P 的轨迹方程；(2)设R 为l 上的任意一点，试求|RP |的最小值．【思路探究】 (1)建立点P 的极坐标方程，完成直角坐标与极坐标方程的互化．(2)根据直线与圆的位置关系，数形结合求|RP |的最小值．【自主解答】 (1)设动点P 的极坐标为(ρ，θ)，M 的极坐标为(ρ0，θ)，则ρρ0＝12.∵ρ0cos θ＝4，∴ρ＝3cos θ即为所求的轨迹方程． (2)将ρ＝3cos θ化为直角坐标方程，得x 2＋y 2＝3x ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322，知P 的轨迹是以⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0为圆心，半径为32的圆．直线l 的直角坐标方程是x ＝4. 结合图形(图略)易得|RP |的最小值为1.1．用极坐标法可使几何中的一些问题得出很直接、简单的解法．当然，因为建系的不同，曲线的极坐标方程也会不同．2．解题时关键是极坐标要选取适当，这样可以简化运算过程，转化为直角坐标时也容易一些．[再练一题]3．(2016·唐山期末)已知圆C ：x 2＋y 2＝4，直线l ：x ＋y ＝2，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系．(1)将圆C 和直线l 方程化为极坐标方程；(2)P 是l 上的点，射线OP 交圆C 于点R ，又点Q 在OP 上且满足|OQ |·|OP |＝|OR |2，当点P 在l 上移动时，求点Q 轨迹的极坐标方程．【解】 (1)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ分别代入圆C 和直线l 的直角坐标方程得其极坐标方程为C ：ρ＝2，l ：ρ(cos θ＋sin θ)＝2.(2)设P ，Q ，R 的极坐标分别为(ρ1，θ)，(ρ，θ)，(ρ2，θ)，则由|OQ |·|OP |＝|OR |2得ρρ1＝ρ22.又ρ2＝2，ρ1＝2cos θ＋sin θ，所以2ρcos θ＋sin θ＝4，故点Q 轨迹的极坐标方程为ρ＝2(cos θ＋sin θ)(ρ≠0)．[探究共研型]探究 11程？【提示】如图所示，设圆C 上的任意一点为M (ρ，θ)，且O 、C 、M 三点不共线，不妨以如图所示情况加以说明，在△OCM 中，由余弦定理得|OM |2＋|OC |2－2|OM |·|OC |·cos ∠COM ＝|CM |2，∴ρ2＋ρ21－2ρρ1cos(θ－θ1)＝r 2，可以检验，当O 、C 、M 三点共线时的点M的坐标也适合上式，当θ<θ1时也满足该式，所以半径为r ，圆心在C (ρ1，θ1)的圆的极坐标方程为ρ2＋ρ21－2ρρ1cos(θ－θ1)－r 2＝0.求圆心在C ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π2处并且过极点的圆的极坐标方程，并判断点⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，sin 5π6是否在这个圆上．【思路探究】解答本题先设圆上任意一点M (ρ，θ)，建立等式转化为ρ，θ的方程，化简可得，并检验特殊点．【自主解答】如图，由题意知，圆经过极点O ，OA 为其一条直径，设M (ρ，θ)为圆上除点O ，A 以外的任意一点，则|OA |＝2r ，连接AM ，则OM ⊥MA .在Rt △OAM 中，|OM |＝|OA |cos ∠AOM ，即ρ＝2r cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ，∴ρ＝－4sin θ，经验证，点O (0,0)，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，3π2的坐标满足上式，∴满足条件的圆的极坐标方程为ρ＝－4sin θ. ∵sin 5π6＝12，∴ρ＝－4sin θ＝－4sin 5π6＝－2， ∴点⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，sin 5π6在此圆上．1．求曲线的极坐标方程通常有以下五个步骤：(1)建立适当的极坐标系(本题无需建)；(2)在曲线上任取一点M (ρ，θ)；(3)根据曲线上的点所满足的条件写出等式；(4)用极坐标(ρ，θ)表示上述等式，并化简得曲线的极坐标方程；(5)证明所得的方程是曲线的极坐标方程(一般只要对特殊点加以检验即可)．2．求曲线的极坐标方程，关键是找出曲线上的点满足的几何条件，并进行坐标表示．[再练一题]4．曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为________．【解析】直角坐标方程x 2＋y 2－2x ＝0可化为x 2＋y 2＝2x ，将ρ2＝x 2＋y 2，x ＝ρcos θ代入整理得ρ＝2cos θ.【答案】 ρ＝2cos θ[构建·体系]极坐标方程—⎪⎪⎪⎪—曲线与方程—极坐标方程—圆的极坐标方程—直线的极坐标方程1．圆心在(1,0)且过极点的圆的极坐标方程为( ) A ．ρ＝1 B ．ρ＝cos θ C ．ρ＝2cos θD ．ρ＝2sin θ【解析】圆的直角坐标方程是(x －1)2＋y 2＝1，将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入上式，整理得，ρ＝2cos θ，即为此圆的极坐标方程．【答案】 C2．极坐标方程(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)表示的图形是( ) A ．两个圆 B ．两条直线C ．一个圆和一条射线D ．一条直线和一条射线【解析】由题设，得ρ＝1，或θ＝π， ρ＝1表示圆，θ＝π(ρ≥0)表示一条射线．【答案】 C3．极坐标方程分别为ρ＝2cos θ和ρ＝sin θ的两个圆的圆心距为________.【导学号：91060007】【解析】两圆方程分别为x 2＋y 2＝2x ，x 2＋y 2＝y ，知两圆圆心C 1(1,0)，C 2⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，∴|C 1C 2|＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝52.【答案】 524．(2016·佛山质检)在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ<2π)中，直线θ＝π4被圆ρ＝2sin θ截得的弦长是________．【解析】直线为y＝x(x≥0)，圆的方程为x2＋(y－1)2＝1，交于原点和点A(1,1)，弦长为 2.【答案】 25．求过(－2,3)点且斜率为2的直线的极坐标方程．【解】由题意知，直线的直角坐标方程为y－3＝2(x＋2)，即：2x－y＋7＝0.设M(ρ，θ)为直线上任意一点，将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入直角坐标方程2x－y＋7＝0得：2ρcos θ－ρsin θ＋7＝0，这就是所求的极坐标方程．我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)学业分层测评(三)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．极坐标方程ρ＝1表示()A．直线B．射线C．圆D．椭圆【解析】由ρ＝1，得ρ2＝1，即x2＋y2＝1，故选C.【答案】 C2．过极点且倾斜角为π3的直线的极坐标方程可以为( ) A ．θ＝π3 B ．θ＝π3，ρ≥0 C ．θ＝4π3，ρ≥0D ．θ＝π3和θ＝4π3，ρ≥0【解析】以极点O 为端点，所求直线上的点的极坐标分成两条射线． ∵两条射线的极坐标方程为θ＝π3和θ＝43π， ∴直线的极坐标方程为θ＝π3和θ＝43π(ρ≥0)．【答案】 D3．在极坐标系中，圆ρ＝－2sin θ的圆心的极坐标是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－π2 C ．(1,0)D ．(1，π)【解析】由ρ＝－2sin θ得ρ2＝－2ρsin θ，化成直角坐标方程为x 2＋y 2＝－2y ，化成标准方程为x 2＋(y ＋1)2＝1，圆心坐标为(0，－1)，其对应的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－π2. 【答案】 B4．在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为( ) A ．θ＝0(ρ∈R )和ρcos θ＝2 B ．θ＝π2(ρ∈R )和ρcos θ＝2 C ．θ＝π2(ρ∈R )和ρcos θ＝1 D ．θ＝0(ρ∈R )和ρcos θ＝1【解析】由ρ＝2cos θ，得ρ2＝2ρcos θ，化为直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0，即(x －1)2＋y 2＝1，其垂直于极轴的两条切线方程为x ＝0和x ＝2，相应的极坐标方程为θ＝π2(ρ∈R )和ρcos θ＝2.【答案】 B5．在极坐标系中与圆ρ＝4sin θ相切的一条直线的方程为( )【导学号：91060008】A ．ρcos θ＝12 B ．ρcos θ＝2 C ．ρ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3D ．ρ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3【解析】极坐标方程ρ＝4sin θ化为ρ2＝4ρsin θ，即x 2＋y 2＝4y ，即x 2＋(y －2)2＝4.由所给的选项中ρcos θ＝2知，x ＝2为其对应的直角坐标方程，该直线与圆相切．【答案】 B 二、填空题6．在极坐标系中，圆ρ＝4被直线θ＝π4分成两部分的面积之比是________．【解析】 ∵直线θ＝π4过圆ρ＝4的圆心， ∴直线把圆分成两部分的面积之比是1∶1. 【答案】 1∶17．(2016·惠州模拟)若直线l 的极坐标方程为ρcos θ－π4＝32，曲线C ：ρ＝1上的点到直线l 的距离为d ，则d 的最大值为________．【解析】直线的直角坐标方程为x ＋y －6＝0，曲线C 的方程为x 2＋y 2＝1，为圆；d 的最大值为圆心到直线的距离加半径，即为d max ＝|0＋0－6|2＋1＝32＋1.【答案】 32＋18．在极坐标系中，圆ρ＝4sin θ的圆心到直线θ＝π6(ρ∈R )的距离是________．【解析】极坐标系中的圆ρ＝4sin θ转化为平面直角坐标系中的一般方程为：x 2＋y 2＝4y ，即x 2＋(y －2)2＝4，其圆心为(0,2)，直线θ＝π6转化为平面直角坐标系中的方程为y ＝33x ，即3x －3y ＝0，∴圆心(0,2)到直线3x －3y ＝0的距离为|0－3×2|3＋9＝ 3.【答案】 3三、解答题9．(2016·银川月考)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1，M ，N 分别为C 与x 轴，y轴的交点．(1)写出C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标； (2)设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程．【解】 (1)由ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1，得ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos θ＋32sin θ＝1.又x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，∴曲线C 的直角坐标方程为x 2＋32y ＝1，即x ＋3y －2＝0.当θ＝0时，ρ＝2，∴点M (2,0)．当θ＝π2时，ρ＝233，∴点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫233，π2.(2)由(1)知，M 点的坐标(2,0)，点N 的坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫0，233. 又P 为MN 的中点，∴点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，33，则点P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫233，π6.所以直线OP 的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R )．10．(2016·南通期中)在极坐标系下，已知圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l ：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝22，(1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l 与圆O 公共点的一个极坐标．【解】 (1)由ρ＝cos θ＋sin θ，可得ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，又⎩⎨⎧ρ2＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，代入得⊙O ：x 2＋y 2－x －y ＝0，由l ：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝22，得：22ρsin θ－22ρcos θ＝22，ρsin θ－ρcos θ＝1，又⎩⎨⎧ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，代入得：x －y ＋1＝0. (2)由⎩⎨⎧ x －y ＋1＝0，x 2＋y 2－x －y ＝0，解得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝1，又⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x ，得⎩⎨⎧ρ＝1，tan θ不存在，又因为θ∈(0，π)，则θ＝π2，故为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2. [能力提升]1．在极坐标系中，曲线ρ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3关于( )A ．直线θ＝π3对称 B ．直线θ＝5π6对称 C ．点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3对称D ．极点对称【解析】由方程ρ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3，得ρ2＝2ρsin θ－23ρcos θ，即x 2＋y 2＝2y －23x ，配方，得(x ＋3)2＋(y －1)2＝4.它表示圆心在(－3，1)、半径为2且过原点的圆，所以在极坐标系中，它关于直线θ＝5π6成轴对称．【答案】 B2．(2016·湛江模拟)在极坐标方程中，曲线C 的方程是ρ＝4sin θ，过点⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π6作曲线C 的切线，则切线长为( )A ．4 B.7 C ．2 2D ．2 3【解析】 ρ＝4sin θ化为直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4，点⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π6化为直角坐标为(23，2)，切线长、圆心到定点的距离及半径构成直角三角形，由勾股定理：切线长为32＋－2－22＝2 2.【答案】 C3．在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ＜2π)中，曲线ρ＝2sin θ与ρcos θ＝－1的交点的极坐标为________．【解析】由ρ＝2sin θ，得ρ2＝2ρsin θ，其直角坐标方程为x 2＋y 2＝2y ， ρcos θ＝－1的直角坐标方程为x ＝－1，联立⎩⎨⎧x 2＋y 2＝2y ，x ＝－1，解得⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝1，点(－1,1)的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π4.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π4 4．在极坐标系中，O 为极点，已知圆C 的圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，半径r ＝1，P 在圆C 上运动．(1)求圆C 的极坐标方程；(2)在直角坐标系(与极坐标系取相同的长度单位，且以极点O 为原点，以极轴为x 轴正半轴)中，若Q 为线段OP 的中点，求点Q 轨迹的直角坐标方程．【解】 (1)设圆C 上任一点坐标为(ρ，θ)，由余弦定理得12＝ρ2＋22－2·2ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3，所以圆的极坐标方程为ρ2－4ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＋3＝0.(2)设Q (x ，y )，则P (2x,2y )，由于圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －3)2＝1，P 在圆C 上，所以(2x －1)2＋(2y －3)2＝1，则Q 的直角坐标方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋⎝⎛⎭⎪⎫y －322＝14.。

高中数学人教A版选修4-4学案第一讲三简单曲线的极坐标方程

庖丁巧解牛知识·巧学一、求极坐标方程的步骤1.在直角坐标系中，曲线可以用含有变量x、y的方程表示；在极坐标系中，曲线可以用含有ρ、θ这两个变量的方程f(ρ,θ)=0来表示，这种方程叫做曲线的极坐标方程.2.求曲线的极坐标方程的方法和步骤(1)建立适当的极坐标系，设P(ρ,θ)是曲线上任意一点；(2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关系式；(3)将列出的关系式进行整理，化简，得出曲线上的极坐标方程；(4)证明所得方程就是曲线的极坐标方程，若方程的推导过程正确，化简过程都是同解变形，这一证明可以省略.二、极坐标系中的平面曲线的极坐标方程为f(ρ,θ)=0设极坐标方程f(ρ,θ)=0及坐标平面上的曲线C，如果以这个方程的每一个解为坐标的点都是曲线C上的点；曲线C上的点的坐标中至少有一个能满足这个方程，那么，方程f(ρ,θ)=0称为曲线C的极坐标方程，曲线C称为方程f(ρ,θ)=0的曲线.深化升华在找平面曲线的极坐标方程时，要找极径ρ和极角θ之间的关系式,这常用到解三角形（正弦定理,余弦定理）的知识，如利用三角形的面积相等来建立ρ、θ之间的关系.问题·探究问题1 极径是距离，当然是正的，可为何又有“负极径”的概念呢？“负极径”中的“负”的含义是什么？探究:根据极径定义，极径是距离，当然是正的.极径是负的，等于极角增加π.负极径的负与数学中历来的习惯相同，用来表示“反向”，比较来看，负极径比正极径多了一个操作，将射线OP“反向延长”.而反向延长也可以说成旋转π，因此，所谓“负极径”实质是管方向的.这与数学中通常的习惯一致，用“负”表示“反向”.如直角坐标系中点的坐标是负的；两个向量对应的数一正一负，方向也表示是相反的.一般情况下，如果不作特殊说明，极径都指的是正的.问题2 为何不能把对直角坐标系内点和曲线的认识套用到极坐标系内，用极坐标与直角坐标来表示点和曲线时，二者究竟有哪些明显的区别呢？探究:（1）在平面直角坐标系内，点与有序实数对，即坐标(x,y)是一一对应的，可是在极坐标系内，虽然一个有序实数对(ρ,θ)只能与一个点P对应，但一个点P却可以与无数多个有序实数对(ρ,θ)对应.例如(ρ,2nπ+θ)与(-ρ,(2n+1)π+θ)（n为整数）表示的是同一个点，所以点与有序实数对极坐标(ρ,θ)不是一一对应的.（2）在直角坐标系内，一条曲线如果有方程，那么曲线和它的方程是一一对应的（解集完全相同且互相可以推导的等价方程，只看作一个方程）.可是在极坐标系内，虽然是一个方程只能与一条曲线对应，但一条曲线却可以与多个方程对应.例如方程ρ1=1,ρ2=1,ρ3=1等表示的是同一个圆，所以曲线和它的方程不是一一对应的.（3）在直角坐标系内，曲线上每一点的坐标一定适合它的方程，可是在极坐标系内，曲线上一点的所有坐标不一定都适合方程.例如给定曲线ρ=θ，设点P的极坐标为(,)，那么点P适合方程ρ=θ，从而是曲线上的一个点，但点P的另一个极坐标(,)就不适合方程ρ=θ了.所以在极坐标系内，确定某一个点P是否在某一曲线C上，当且仅当点P的极坐标中是否有一对坐标ρ=θ适合曲线C的方程.典题·热题例1求：(1)过A(2,)且平行于极轴的直线；(2)过A(3,)且和极轴成的直线.思路分析：(1)在直线上任意取一点M，根据已知条件想办法找到变量ρ、θ之间的关系.可以通过图中的直角三角形来解决，因为已知OA的长度，还知∠AOx=，还可以得到MH的长度，从而在Rt△OMH中找到变量ρ、θ之间的关系.(2)在三角形中利用正弦定理来找到变量ρ、θ之间的关系.解：(1)如图1-3-1所示,在直线l上任意取点M(ρ,θ)，∵A(2,)，图1-3-1∴|MH|=2·sin=.在Rt△OMH中,|MH|=|OM|sinθ,即ρsinθ=,∴过A(2,)平行于极轴的直线方程为ρsinθ=.(2)如图1-3-2所示,A(3,)，|OA|=3,∠AOB=，由已知∠MBx=，图1-3-2∴∠OAB=-=.∴∠OAM=π-.又∠OMA=∠MBx-θ=-θ.在△MOA中，根据正弦定理得，∵sin=sin(+)=，将sin(-θ)展开，化简上面的方程，可得ρ(sinθ+cosθ)=.∴过A(3,)且和极轴成的直线为ρ(sinθ+cosθ)=.深化升华可以看到，在求曲线方程时，要找出曲线上的点满足的几何条件，将它用坐标表示，再通过代数变换进行化简.例2进行直角坐标方程与极坐标方程的互化.(1)y2=4x;(2)y2+x2-2x-1=0;(3)θ=;(4)ρcos2=1;(5)ρ2cos(2θ)=4;(6)ρ=.思路分析：极坐标系和直角坐标系都是用一对有序实数来确定平面上一点的位置的方法.在解这类题时，除正确使用互化公式外，还要注意与恒等变换等知识相结合.解：(1)将x=ρcosθ,y=ρsinθ代入y2=4x，得(ρsinθ)2=4ρcosθ.化简得ρsin2θ=4cosθ.(2)将x=ρcosθ,y=ρsinθ代入y2+x2-2x-1=0,得(ρsinθ)2+(ρcosθ)2-2ρcosθ-1=0.化简得ρ2-2ρcosθ-1=0.(3)∵tanθ=，∴tan==.化简得y=x(x≥0).(4)∵ρcos2=1,∴ρ·=1,即ρ+ρcosθ=2.∴+x=2,化简得y2=-4(x-1).(5)∵ρ2cos(2θ)=4,∴ρ2cos2θ-ρ2sin2θ=4,即x2-y2=4.(6)∵ρ=,∴2ρ-ρcosθ=1.∴=1,化简得3x2+4y2-2x-1=0.方法归纳在进行两种坐标间的互化时，要注意:(1)互化公式是有三个前提条件的，极点与直角坐标系的原点重合；极轴与直角坐标系的横轴的正半轴重合；两种坐标系的单位长度相同.(2)由直角坐标求极坐标时，理论上不是唯一的，但这里约定只在0≤θ<2π范围内求值.(3)由直角坐标方程化为极坐标方程，最后要化简.(4)由极坐标方程化为直角坐标方程时要注意变形的等价性，通常总要用ρ去乘方程的两端，应该检查极点是否在曲线上，若在,是等价变形，否则不是等价变形.例3判断点()是否在曲线ρ=cos上.思路分析：在极坐标系内，判断点是否在直线上与在直角坐标系内是不同的,不能只是简单地将点的坐标代入，当点的坐标代入不能满足方程，还要找到这个点的其他坐标是否符合曲线方程.解：∵点()和点()是同一点，而cos=cos=,∴点()在曲线ρ=cos上，即点()在曲线ρ=cos上.误区警示本题容易犯的错误是:当把点的坐标代入，不满足方程就说点不在曲线上，这是不对的.在这个问题上，两种坐标系是不相同的.在极坐标系中，尽管点()并不满足ρ=cos，但是据此并不能肯定这个点不在曲线上.例4从极点O作圆C：ρ=8cosθ的弦ON，求ON的中点M的轨迹方程.思路分析：在直角坐标系中，求曲线的轨迹方程的方法有直接法、定义法、转移法，在极坐标系中，求曲线的极坐标方程这几种方法仍然是适用的.图1-3-3解：如图1-3-3，圆C的圆心C(4,0)，半径r=|OC|=4，连结CM.∵M为弦ON的中点，∴CM⊥ON，故M在以OC为直径的圆上.∴动点M的轨迹方程是ρ=4cosθ.方法归纳这种解法是定义法，下面我们用转移法来解决这个问题：设M点的坐标是(ρ,θ),N(ρ1,θ1).N点在圆ρ=8cosθ上，∴ρ1=8cosθ1(*).∵M是ON的中点，∴它代入(*)式得2ρ=8cosθ.故M的轨迹方程是ρ=4cosθ.在极坐标系中，曲线可以用含有ρ,θ这两个变数的方程f(ρ,θ)来表示，这种方程叫做曲线的极坐标方程.常见的曲线方程如下：①过极点，极角为α的直线方程：θ=α(ρ∈R).②与极轴平行并且与极轴距离等于a的直线方程：ρsinθ=±a(a>0).③与极轴所在直线垂直且与极点距离为a的直线方程：ρcosθ=±a(a>0).④圆的极坐标方程：圆心为(ρ0,θ0)，半径为r：ρ2-2ρ0-ρcos(θ-θ0)+ρ02-r2=0；圆心为(ρ0,0)，半径为r：ρ2-2ρ0ρcosθ+ρ02-r2=0；圆心为(r,0)，半径为r：ρ=2rcosθ(r>0)；圆心为(-r,0)，半径为r：ρ=-2rcosθ(r>0)；圆心为(r,)，半径为r：ρ=2rsinθ(r>0)；圆心为(r,)，半径为r：ρ=-2rsinθ(r>0)；圆心为(0,θ),半径为r：ρ=r(r>0).例5极坐标ρ=cos(-θ)表示的曲线是( )A.双曲线B.椭圆C.抛物线D.圆思路解析：原极坐标方程化为ρ=(cosθ+sinθ)；ρ2=ρcosθ+ρsinθ，∴普通方程为(x2+y2)=x+y，表示圆.答案：D拓展延伸方法一：将方程化为直角坐标方程，可以判断曲线形状，由于ρ不恒等于0，方程两边同乘ρ，得ρ2=ρcos(-θ)=ρ(cosθ+sinθ)=(ρcosθ+ρsinθ).这样，在以极点为原点，以极轴为x轴正半轴的直角坐标系中，ρcosθ=x,ρsinθ=y,ρ2=x2+y2,因此有x2+y2=(x+y).∴方程ρ=cos(-θ)表示圆.方法二：极坐标方程ρ=2acosθ表示圆，而-θ与极轴的旋转有关，它只影响圆心的位置，而不改变曲线的形状，故方程ρ=cos(-θ)表示圆.例6设M是定圆O内一定点，任作半径OA，连结MA，自M作MP⊥MA交OA于P，求P点的轨迹方程.图1-3-4思路分析：如图1-3-4,求P点的轨迹方程关键是解△APM，利用余弦定理，可以建立P(ρ,θ)点中ρ、θ之间的关系.解：以O为极点，射线OM为极轴，建立极坐标系.如图1-3-4.设定圆O的半径为r，OM=a，P(ρ,θ)是轨迹上任意一点.∵MP⊥MA，∴|MA|2+|MP|2=|PA|2.由余弦定理,可知|MA|2=a2+r2-2arcosθ，|MP|2=a2+ρ2-2aρcosθ.而|PA|=r-ρ，由此可得a2+r2-2arcosθ+a2+ρ2-2aρcosθ=(r-ρ)2.整理化简，得ρ=.深化升华若三角形为直角三角形，可利用勾股定理及其他边角关系建立动点的极坐标方程；若三角形为一般三角形，可利用正、余弦定理建立动点的极坐标方程.。