2021-2022年高三数学一轮总复习专题十二圆锥曲线与方程(含解析)

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高中数学圆锥曲线知识点梳理+例题解析

x0 x a2

y0 y b2
1.
7.
x2
椭圆
a2

y2 b2
1
(a＞b＞0)的左右焦点分别为 F1，F 2，点 P 为椭圆上任意一点 F1PF2

，则椭圆的焦点角形的面积
S 为 F1PF2
b2
tan 2
.
-4-
8.
椭圆 x2 y2 a2 b2
1（a＞b＞0）的焦半径公式 | MF1 | a ex0 , | MF2 | a ex0 ( F1(c, 0)
x0
中心顶点对称轴
原点 O（0，0）
(a,0), (─a,0), (0,b) , (0,─b)
x 轴，y 轴；长轴长 2a,短轴长 2b
原点 O（0，0）
(a,0), (─a,0) x 轴，y 轴;
实轴长 2a, 虚轴长 2b.
(0,0) x轴
焦点
F1(c,0), F2(─c,0)
F1(c,0), F2(─c,0)
e=1
a
a
-2-
【备注 1】双曲线：
⑶等轴双曲线：双曲线 x 2 y 2 a 2 称为等轴双曲线，其渐近线方程为 y x ，离心率 e 2 .
⑷共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线. x 2 y 2 与 a2 b2
x 2 y 2 互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线： x 2 y 2 0 .
e 的点的轨迹.（e>1）
与定点和直线的距离相等的点的轨迹.
-1-
轨迹条件
点集： ({M｜｜MF1+｜MF2｜=2a,｜F

高考数学复习考点突破专题讲解12 圆锥曲线的方程与性质

高考数学复习考点突破专题讲解第12讲圆锥曲线的方程与性质一、单项选择题1.(2022·广东惠州一模)若抛物线y2=2px(p>0)上一点P(2,y0)到其焦点的距离为4,则抛物线的标准方程为()A.y2=2xB.y2=4xC.y2=6xD.y2=8x2.(2022·山东临沂二模)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的焦距为4,实轴长为4,则C的渐近线方程为()A.y=±2xB.y=±xC.y=±xD.y=±x3.(2022·广东肇庆二模)已知F1,F2分别是椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点,A是椭圆上一点,O 为坐标原点,若|OA|=|OF1|,直线F2A的斜率为-3,则椭圆C的离心率为()A. B. C. D.4.(2022·河北保定高三期末)为了更好地研究双曲线,某校高二年级的一位数学老师制作了一个如图所示的双曲线模型.已知该模型左、右两侧的两段曲线(曲线AB与曲线CD)为某双曲线(离心率为2)的一部分,曲线AB与曲线CD中间最窄处间的距离为30 cm,点A与点C,点B与点D均关于该双曲线的对称中心对称,且|AB|=36 cm,则|AD|=()A.12 cmB.6 cmC.38 cmD.6 cm5.(2022·全国甲·文11)已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,A1,A2分别为C的左、右顶点,B为C的上顶点.若=-1,则C的方程为()A.=1B.=1C.=1D.+y2=16.(2022·广东执信中学模拟)已知双曲线C的离心率为,F1,F2是C的两个焦点,P为C上一点,|PF1|=3|PF2|,若△PF1F2的面积为,则双曲线C的实轴长为()A.1B.2C.3D.47.(2022·江西宜春期末)已知抛物线E:y2=8x的焦点为F,P是抛物线E上的动点,点Q与点F关于坐标原点对称,当取得最小值时,△PQF的外接圆半径为()A.1B.2C.2D.48.(2022·山东滨州二模)已知椭圆C1和双曲线C2有相同的左、右焦点F1,F2,若C1,C2在第一象限内的交点为P,且满足∠POF2=2∠PF1F2,设e1,e2分别是C1,C2的离心率,则e1,e2的关系是()A.e1e2=2B.=2C.+e1e2+=2D.=2二、多项选择题9.(2022·湖北武昌高三期末)已知双曲线C:=1,下列对双曲线C判断正确的是()A.实轴长是虚轴长的2倍B.焦距为8C.离心率为D.渐近线方程为x±y=010.(2022·新高考Ⅱ·10)已知O为坐标原点,过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F的直线与C交于A,B两点,点A在第一象限,点M(p,0),若|AF|=|AM|,则()A.直线AB的斜率为2B.|OB|=|OF|C.|AB|>4|OF|D.∠OAM+∠OBM<180°11.(2022·山东临沂三模)2022年4月16日9时56分,神舟十三号返回舱成功着陆,返回舱是宇航员返回地球的座舱,返回舱的轴截面可近似看作是由半圆和半椭圆组成的“曲圆”,如图,在平面直角坐标系中,半圆的圆心在坐标原点,半圆所在的圆过椭圆的焦点F(0,2),椭圆的短轴与半圆的直径重合,下半圆与y轴交于点G.若过原点O的直线与上半椭圆交于点A,与下半圆交于点B,则()A.椭圆的长轴长为4B.线段AB长度的取值范围是[4,2+2]C.△ABF的面积最小值是4D.△AFG的周长为4+412.(2022·江苏南通高三检测)已知椭圆C1:=1(m>n>0)的上焦点为F1,双曲线C2:=1的左、右焦点分别为F2,F3,直线F1F2与C2的右支相交于点A,若AF3⊥F2F3,则()A.C1的离心率为B.C2的离心率为C.C2的渐近线方程为y=±xD.△AF1F3为等边三角形三、填空题13.(2021·全国乙·理13)已知双曲线C:-y2=1(m>0)的一条渐近线为x+my=0,则C的焦距为.14.(2022·河北保定模拟)已知椭圆C的中心为坐标原点,焦点在y轴上,F1,F2为C的两个焦点,C的短轴长为4,且C上存在一点P,使得|PF1|=6|PF2|,写出椭圆C的一个标准方程:.15.(2022·山东威海高三期末)已知抛物线C1:y2=8x,圆C2:x2+y2-4x+3=0,点M(1,1),若A,B分别是C1,C2上的动点,则|AM|+|AB|的最小值为.16.(2022·河北石家庄二模)已知椭圆C1和双曲线C2有公共的焦点F1,F2,曲线C1和C2在第一象限内相交于点P,且∠F1PF2=60°.若椭圆C1的离心率的取值范围是,则双曲线C2的离心率的取值范围是.高考数学复习考点突破专题讲解12圆锥曲线的方程与性质1.D解析∵抛物线y2=2px上一点P(2,y0)到其焦点的距离等于到其准线的距离,∴+2=4,解得p=4,∴抛物线的标准方程为y2=8x.2.C解析由已知得,双曲线的焦点在y轴上,双曲线的焦距2c=4,解得c=2,双曲线的实轴长为2a=4,解得a=2,则b=--=4,故双曲线C的渐近线方程为y=±x=±x.3. D解析如图,由|OA|=|OF1|,得|OA|=|OF1|=|OF2|=c,故∠F1AF2=90°.因为直线F2A的斜率为-3,所以tan∠F1F2A=3,所以|AF1|=3|AF2|.又|AF1|+|AF2|=2a,所以|AF1|=,|AF2|=.又|AF1|2+|AF2|2=|F1F2|2,即a2+a2=4c2,得,所以.4. D解析以双曲线的对称中心为坐标原点,建立平面直角坐标系xOy,因为双曲线的离心率为2,所以可设双曲线的标准方程为=1(a>0),依题意可得2a=30,则a=15,即双曲线的标准方程为=1.因为|AB|=36cm,所以点A的纵坐标为18.由=1,得|x|=3,故|AD|=6cm.5.B解析由题意知,A1(-a,0),A2(a,0),B(0,b),则=(-a,-b)·(a,-b)=-a2+b2=-1,①由e=,得e2=-=1-,即b2=a2.②联立①②,解得a2=9,b2=8.故选B.6.B解析根据双曲线的定义,可得|PF1|-|PF2|=2a,又|PF1|=3|PF2|,解得|PF1|=3a,|PF2|=a.因为双曲线C的离心率为,所以c= a.在△PF1F2中,由余弦定理,可得cos∠F1PF2=-=-,则sin∠F1PF2=.由△PF1F2的面积为,可得|PF1||PF2|sin∠F1PF2=a2=,解得a=1.故双曲线C的实轴长为2.7. C解析过点P作准线的垂线,垂足为M,由抛物线的定义知|PF|=|PM|,所以=cos∠QPM=cos∠PQF,要使取得最小值,则cos∠PQF取得最小值,即tan∠PQF取得最大值0<∠PQF<,此时直线PQ与抛物线相切.设直线PQ的方程为y=k(x+2),由得k2x2+(4k2-8)x+4k2=0,所以Δ=(4k2-8)2-4k2·4k2=64(1-k2)=0,即k2=1,解得k=±1,不妨取k=1,此时直线PQ的倾斜角∠PQF=,且有x2-4x+4=0,所以x=2,所以P(2,4),所以|PF|=4.设△PQF的外接圆半径为R,在△PQF中,由正弦定理知,2R==4.所以此时△PQF的外接圆半径R=2.8. D解析因为∠POF2=∠PF1F2+∠F1PO,∠POF2=2∠PF1F2,所以∠PF1F2=∠F1PO,所以|OF1|=|OP|=|OF2|=c,所以PF1⊥PF2.记椭圆长半轴长为a1,双曲线实半轴长为a2,椭圆和双曲线的半焦距为c,|PF1|=m,|PF2|=n,则由椭圆和双曲线定义可得,m+n=2a1,①m-n=2a2,②①2+②2可得2(m2+n2)=4().由勾股定理知,m2+n2=4c2,代入上式可得2c2=,整理得=2,即=2,所以=2.9.BD解析由双曲线C:=1,可得a2=12,b2=4,则c2=a2+b2=16,所以a=2,b=2,c=4,故A不正确,B正确;e=,故C不正确;易知渐近线方程为y=±x,即x±y=0,故D正确.10.ACD解析选项A,由题意知,点A为FM的中点,设A(x A,y A),则x A=p,所以=2px A=2p·p=p2(y A>0).=2,故选项A正确;所以y A=p,故k AB=-选项B,由斜率为2可得直线AB的方程为x=y+,联立抛物线方程得y2-py-p2=0,设B(x B,y B),则p+y B=p,则y B=-,代入抛物线方程得-=2p·x B,解得x B=.∴|OB|=,故选项B错误;选项C,|AB|=p++p=p>2p=4|OF|,故选项C正确;选项D,由选项A,B知,A p,p,B,-p,所以=p,p·,-p=-p2=-p2<0,所以∠AOB为钝角.又=-p·-,-p=-p2=-p2<0,所以∠AMB为钝角.所以∠OAM+∠OBM<180°.故选项D正确.故选ACD.11. ABD解析由题知,椭圆中b=c=2,则a=2,则2a=4,故A正确;|AB|=|OB|+|OA|=2+|OA|,由椭圆性质可知2≤|OA|≤2,所以4≤|AB|≤2+2,故B正确;若A,B,F能构成三角形,则AB不与y轴重合,此时2≤|OA|<2,记∠AOF=θ,则S△ABF=S△AOF+S△OBF=|OA||OF|sinθ+OB·OF sin(π-θ)=|OA|·sinθ+2sinθ=(|OA|+2)sinθ,取θ=,则S△ABF=1+|OA|<1+×2<4,故C错误;由椭圆定义知,|AF|+|AG|=2a=4,所以△AFG的周长L=|FG|+4=4+4,故D正确.12. ACD解析易知F1(0,-),F2(-,0),F3(,0),将x=代入双曲线C2的方程得=1,可得y2=,则点A.因为O为F2F3的中点,且OF1∥AF3,所以OF1为△F2AF3的中位线,所以-,整理可得m4=4m2n2-4n4,即m2=2n2.椭圆C1的离心率为e1=-,故A正确;双曲线C2的离心率为e2=,故B错误;双曲线C2的渐近线方程为y=±x=±x,故C正确;易知点A(n,2n),F2(-n,0),则,则∠AF2F3=30°,故∠F2AF3=60°.因为|AF3|=2n,|AF1|=|AF2|=(|AF3|+2n)=2n,所以△AF1F3为等边三角形,故D正确.13.4解析由双曲线方程可知其渐近线方程为±y=0,即y=±x,得-=-,解得m=3.可得C 的焦距为2=4.14.=1(答案不唯一)解析因为|PF1|=6|PF2|,所以|PF1|+|PF2|=7|PF2|=2a,则|PF2|=.又因为a-c≤|PF2|≤a+c,所以≥a-c,即.根据题意可设C的标准方程为=1(a>b>0),因为椭圆C的短轴长为4,所以2b=4,b=2.又由,可得--,解得a2≥,所以椭圆C的一个标准方程为=1.15. 2解析由抛物线C1:y2=8x得焦点F(2,0),准线方程为x=-2.由圆C2:x2+y2-4x+3=0,得(x-2)2+y2=1,所以圆C2是以F(2,0)为圆心,以r=1为半径的圆.所以|AM|+|AB|≥|AM|+|AF|-1,所以当|AM|+|AF|取得最小值时,|AM|+|AB|取得最小值.又根据抛物线的定义得|AF|等于点A到准线的距离,所以过点M作准线的垂线,垂足为N,且与抛物线C1:y2=8x相交,当点A为此交点时,|AM|+|AF|取得最小值,最小值为|1-(-2)|=3.所以此时|AM|+|AB|≥|AM|+|AF|-1≥3-1=2,所以|AM|+|AB|的最小值为2.16.解析设椭圆C1:=1(a>b>0),双曲线C2:=1,椭圆与双曲线的半焦距为c,椭圆的离心率e=,双曲线的离心率e1=,|PF1|=s,|PF2|=t,如图,由椭圆的定义可得s+t=2a,由双曲线定义可得s-t=2a1,联立可得s=a1+a,t=a-a1.由余弦定理可得4c2=s2+t2-2st cos∠F1PF2=(a+a1)2+(a-a1)2-2(a+a1)(a-a1)cos60°=a2+3,即4=,解得.-因为e∈,所以≤e2≤,2≤≤3,可得≤3,故≤e1≤.。

(精品讲义)第2部分复习课(二)圆锥曲线与方程word版含答案2

复习课(二) 圆锥曲线与方程圆锥曲线的定义及标准方程会涉及，是高考解析几何的必考内容．椭圆、双曲线、抛物线的定义及标准方程椭圆双曲线抛物线定义平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F 1F 2|且大于零)的点的轨迹平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )距离相等的点的轨迹标准方程x 2a 2＋y 2b 2＝1或 y 2a 2＋x 2b 2＝1 (a >b >0)x 2a 2－y 2b 2＝1或 y 2a 2－x 2b 2＝1 (a >0，b >0) y 2＝2px 或 y 2＝－2px 或 x 2＝2py 或 x 2＝－2py (p >0)关系式a 2－b 2＝c 2a 2＋b 2＝c 2[典例] (1)已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1，0)，离心率等于12，则C 的方程是( )A ．x 23＋y 24＝1B ．x 24＋y 23＝1C ．x 24＋y 22＝1D ．x 24＋y 23＝1(2)已知抛物线y 2＝8x的准线过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为________________．[解析] (1)右焦点为F (1,0)说明两层含义：椭圆的焦点在x 轴上；c ＝1．又离心率为c a ＝12，故a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝4－1＝3，故椭圆的方程为x 24＋y 23＝1，故选D ． (2)由题意可知抛物线的准线方程为x ＝－2，∴双曲线的半焦距c ＝2．又双曲线的离心率为2，∴a ＝1，b ＝3，∴双曲线的方程为x 2－y 23＝1． [答案] (1)D (2)x 2－y 23＝1 [类题通法]求圆锥曲线方程的一般步骤一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤． (1)定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置．(2)定式——根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0)．(3)定量——由题设中的条件找到“式”中待定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小． 1．(天津高考)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线过点(2，3)，且双曲线的一个焦点在抛物线y 2＝47x 的准线上，则双曲线的方程为( )A ．x 221－y 228＝1B ．x 228－y 221＝1C ．x 23－y 24＝1D ．x 24－y 23＝1解析：选D 由双曲线的渐近线y ＝ba x 过点(2，3)，可得3＝ba×2．①由双曲线的焦点(－a 2＋b 2，0)在抛物线y 2＝47x 的准线x ＝－7上，可得 a 2＋b 2＝7．②由①②解得a ＝2，b ＝3，所以双曲线的方程为x 24－y 23＝1．2．(全国卷Ⅰ)一个圆经过椭圆x 216＋y 24＝1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________．解析：由题意知a ＝4，b ＝2，上、下顶点的坐标分别为(0,2)，(0，－2)，右顶点的坐标为(4,0)．由圆心在x 轴的正半轴上知圆过点(0,2)，(0，－2)，(4,0)三点．设圆的标准方程为(x －m )2＋y 2＝r 2(0<m <4，r >0)，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋4＝r 2，?4－m ?2＝r 2，解得⎩⎨⎧m ＝32，r 2＝254.所以圆的标准方程为⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝254．答案：⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝2543．方程x 24－t ＋y 2t －1＝1表示曲线C ，给出以下命题：①曲线C 不可能为圆； ②若1<t <4，则曲线C 为椭圆； ③若曲线C 为双曲线，则t <1或t >4；④若曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆，则1<t <52．其中真命题的序号是________(写出所有正确命题的序号)．解析：显然当t ＝52时，曲线为x 2＋y 2＝32，方程表示一个圆；而当1<t <4，且t ≠52时，方程表示椭圆；当t <1或t >4时，方程表示双曲线；而当1<t <52时，4－t >t －1>0，方程表示焦点在x 轴上的椭圆，故③④为真命题．答案：③④圆锥曲线的几何性质试卷中一般以选择题或者填空题的形式考查圆锥曲线的几何性质(主要是椭圆和双曲线的离心率)，在解答题中与圆锥曲线方程的其他知识一起进行综合考查．椭圆、双曲线、抛物线的几何性质椭圆双曲线抛物线标准方程 x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0) x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0) y 2＝2px (p >0)关系式 a 2－b 2＝c 2 a 2＋b 2＝c 2图形封闭图形无限延展，有渐近线无限延展，没有渐近线对称性对称中心为原点无对称中心两条对称轴一条对称轴顶点四个两个一个离心率 0<e <1 e >1 e ＝1 准线方程x ＝－p 2决定形状的因素e 决定扁平程度e 决定开口大小2p 决定开口大小[典例] (1)(山东高考)已知双曲线E ：x a 2－y b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |＝3|BC |，则E 的离心率是________．(2)已知a >b >0，椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，C 1与C 2的离心率之积为32，则C 2的渐近线方程为________． [解析] (1)如图，由题意知|AB |＝2b 2a ，|BC |＝2c ．又2|AB |＝3|BC |，∴2×2b 2a ＝3×2c ，即2b 2＝3ac ，∴2(c 2－a 2)＝3ac ，两边同除以a 2并整理得2e 2－3e －2＝0，解得e ＝2(负值舍去)．(2)设椭圆C 1和双曲线C 2的离心率分别为e 1和e 2，则e 1＝a 2－b 2a ，e 2＝a 2＋b 2a ．因为e 1·e 2＝32，所以a 4－b 4a 2＝32，即⎝⎛⎭⎫b a 4＝14，∴b a ＝22．故双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±22x ，即x ±2y ＝0．[答案] (1)2 (2)x ±2y ＝0 [类题通法]求解离心率三种方法(1)定义法：由椭圆(双曲线)的标准方程可知，不论椭圆(双曲线)的焦点在x 轴上还是y 轴上都有关系式a 2－b 2＝c 2(a 2＋b 2＝c 2)以及e ＝ca ，已知其中的任意两个参数，可以求其他的参数，这是基本且常用的方法．(2)方程法：建立参数a 与c 之间的齐次关系式，从而求出其离心率，这是求离心率的十分重要的思路及方法．(3)几何法：求与过焦点的三角形有关的离心率问题，根据平面几何性质以及椭圆(双曲线)的定义、几何性质，建立参数之间的关系，通过画出图形，观察线段之间的关系，使问题更形象、直观．1．如图，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点．其四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( )A ． 2B ． 3C ．32D ．62解析：选D 焦点F 1(－3，0)，F 2(3，0)，在Rt △AF 1F 2中，|AF 1|＋|AF 2|＝4， |AF 1|2＋|AF 2|2＝12，所以可解得|AF 2|－|AF 1|＝22，故a ＝2，所以双曲线的离心率e ＝32＝62，选D ． 2．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点为F 1，F 2，过F 2作x 轴的垂线与C 相交于A ，B 两点，F 1B 与y 轴相交于点D ，若AD ⊥F 1B ，则椭圆C 的离心率等于________．解析：不妨设A 在x 轴上方，由于AB 过F 2且垂直于x 轴，因此可得A ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a ，B ⎝⎛⎭⎫c ，－b2a ，由OD ∥F 2B ，O 为F 1F 2的中点可得D ⎝⎛⎭⎫0，－b 22a ，所以AD ＝⎝⎛⎭⎫－c ，－3b 22a ，F B 1＝⎝⎛⎭⎫2c ，－b2a ，又AD ⊥F 1B ，所以AD ·F B 1＝－2c 2＋3b 42a 2＝0，即3b 4＝4a 2c 2，又b 2＝a 2－c 2，所以可得3(a 2－c 2)＝2ac ，两边同时除以a 2，得3e 2＋2e －3＝0，解得e ＝33或－3，又e ∈(0,1)，故椭圆C 的离心率为33．答案：333．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦距为2c ，右顶点为A ，抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ．若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c ，且|FA |＝c ，则双曲线的渐近线方程为________．解析：c 2＝a 2＋b 2，①由双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c 知，双曲线过点⎝⎛⎭⎫c ，－p 2，即c 2a 2－p24b2＝1．② 由|FA |＝c ，得c 2＝a 2＋p 24，③ 由①③得p 2＝4b 2．④ 将④代入②，得c 2a 2＝2．∴a 2＋b 2a2＝2，即ba ＝1，故双曲线的渐近线方程为y ＝±x ，即x ±y ＝0．答案：x ±y ＝0直线与圆锥曲线的位置关系这使得解析几何试题具有广泛的命题背景，当直线与圆锥曲线问题综合时就产生了如：直线与圆锥曲线的位置关系(相交、相切、相离)，直线与曲线交汇产生的一些几何量的范围和最值，动直线(或曲线)过定点等一系列热点问题，这些热点问题都是高考所重视的．直线与圆锥曲线有关的问题(1)直线与圆锥曲线的位置关系，可以通过讨论直线方程与曲线方程组成的方程组的实数解的个数来确定，通常消去方程组中变量y (或x )得到关于变量x (或y )的一元二次方程，考虑该一元二次方程的判别式Δ，则有：Δ>0?直线与圆锥曲线相交于两点；Δ＝0?直线与圆锥曲线相切于一点；Δ<0?直线与圆锥曲线无交点．(2)直线l 截圆锥曲线所得的弦长|AB |＝?1＋k 2??x 1－x 2?2或⎝⎛⎭⎫1＋1k 2?y 1－y 2?2，其中k 是直线l 的斜率，(x 1，y 1)，(x 2，y 2)是直线与圆锥曲线的两个交点A ，B 的坐标，且(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2，x 1＋x 2，x 1x 2可由一元二次方程的根与系数的关系整体给出．[典例] 已知椭圆的一个顶点为A (0，－1)，焦点在x 轴上，若右焦点到直线x －y ＋22＝0的距离为3．(1)求椭圆的方程；(2)设椭圆与直线y ＝kx ＋m (k ≠0)相交于不同的两点M ，N ，当|AM |＝|AN |时，求m 的取值范围． [解] (1)依题意可设椭圆方程为x 2a 2＋y 2＝1(a >1)，则右焦点F (a 2－1，0)，由题设，知|a 2－1＋22|2＝3，解得a 2＝3，故所求椭圆的方程为x 23＋y 2＝1．(2)设点P 为弦MN 的中点，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 23＋y 2＝1，得(3k 2＋1)x 2＋6mkx ＋3(m 2－1)＝0，由于直线与椭圆有两个交点，所以Δ>0，即m 2<3k 2＋1， ① 所以x P ＝x M ＋x N 2＝－3mk3k 2＋1，从而y P ＝kx P ＋m ＝m3k 2＋1，所以k AP ＝y P ＋1x P ＝－m ＋3k 2＋13mk ，又|AM |＝|AN |，所以AP ⊥MN ，则－m ＋3k 2＋13mk ＝－1k ，即2m ＝3k 2＋1， ②把②代入①得2m >m 2，解得0<m <2，由②得k 2＝2m －13>0，解得m >12，故所求m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫12，2． [类题通法]有关直线与圆锥曲线综合问题的求解方法(1)将直线方程与圆锥曲线方程联立，化简后得到关于x (或y )的一元二次方程，则直线与圆锥曲线的位置关系有三种情况：①相交：Δ>0?直线与椭圆相交；Δ>0?直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有Δ>0，如当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故Δ>0是直线与双曲线相交的充分不必要条件；Δ>0?直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有Δ>0，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故Δ>0也仅是直线与抛物线相交的充分条件，而不是必要条件．②相切：Δ＝0?直线与椭圆相切；Δ＝0?直线与双曲线相切；Δ＝0?直线与抛物线相切． ③相离：Δ<0?直线与椭圆相离；Δ<0?直线与双曲线相离；Δ<0?直线与抛物线相离．(2)直线与圆锥曲线的位置关系，涉及函数、方程、不等式、平面几何等诸多方面的知识，形成了求轨迹、最值、对称、取值范围、线段的长度等多种问题．解决此类问题应注意数形结合，以形辅数的方法；还要多结合圆锥曲线的定义，根与系数的关系以及“点差法”等．1．平面上一机器人在行进中始终保持与点F (1,0)的距离和到直线x ＝－1的距离相等．若机器人接触不到过点P (－1,0)且斜率为k 的直线，则k 的取值范围是________．解析：设机器人所在位置为A (x ，y )，依题意得点A 在以F (1,0)为焦点，x ＝－1为准线的抛物线上，该抛物线的标准方程为y 2＝4x ．过点P (－1,0)，斜率为k 的直线为y ＝k (x ＋1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝kx ＋k 得ky 2－4y ＋4k ＝0．当k ＝0时，显然不符合题意；当k ≠0时，依题意得Δ＝(－4)2－4k ·4k <0，化简得k 2－1>0，解得k >1或k <－1，因此k 的取值范围为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．答案：(－∞，－1)∪(1，＋∞)2．平面直角坐标系xOy 中，过椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)右焦点的直线x ＋y －3＝0交M 于A ，B两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12．(1)求M 的方程；(2)C ，D 为M 上两点，若四边形ACBD 的对角线CD ⊥AB ，求四边形ACBD 面积的最大值．解：(1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x 0，y 0)，则x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，y 2－y 1x 2－x 1＝－1，由此可得b 2?x 2＋x 1?a 2?y 2＋y 1?＝－y 2－y 1x 2－x 1＝1．因为x 1＋x 2＝2x 0，y 1＋y 2＝2y 0，y 0x 0＝12，所以a 2＝2b 2．又由题意知，M 的右焦点为(3，0)，故a 2－b 2＝3．因此a 2＝6，b 2＝3．所以M 的方程为x 26＋y 23＝1．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3＝0，x 26＋y 23＝1解得⎩⎨⎧x ＝433，y ＝－33或⎩⎨⎧x ＝0，y ＝ 3.因此|AB |＝463．由题意可设直线CD 的方程为y ＝x ＋n ⎝⎛⎭⎫－533<n <3，设C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋n ，x 26＋y 23＝1得3x 2＋4nx ＋2n 2－6＝0．于是x 3,4＝－2n ±2?9－n 2?3．因为直线CD 的斜率为1，所以|CD |＝2|x 4－x 3|＝439－n 2．由已知，四边形ACBD 的面积S ＝12|CD |·|AB |＝8699－n 2．当n ＝0时，S 取得最大值，最大值为863．所以四边形ACBD 面积的最大值为863．1．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线互相垂直，则该双曲线的离心率是( )A ．2B ． 3C ． 2D ．32解析：选C 由题可知y ＝b a x 与y ＝－b a x 互相垂直，可得－b a ·ba ＝－1，则a ＝b ．由离心率的计算公式，可得e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a2＝2，e ＝2． 2．设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝±4xB ．y 2＝±8xC ．y 2＝4xD ．y 2＝8x解析：选B 由题可知抛物线的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫a 4，0，于是过焦点且斜率为2的直线的方程为y ＝2⎝⎛⎭⎫x －a 4，令x ＝0，可得点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫0，－a 2，所以S △OAF ＝12×|a |4×|a |2＝4，得a ＝±8，故抛物线的方程为y 2＝±8x ．3．已知一动圆P 与圆O ：x 2＋y 2＝1外切，而与圆C ：x 2＋y 2－6x ＋8＝0内切，则动圆的圆心P 的轨迹是( )A ．双曲线的一支B ．椭圆C ．抛物线D ．圆解析：选A 由题意，知圆C 的标准方程为(x －3)2＋y 2＝1，则圆C 与圆O 相离，设动圆P 的半径为R ．∵圆P 与圆O 外切而与圆C 内切，∴R >1，且|PO |＝R ＋1，|PC |＝R －1．又|OC |＝3，∴|PO |－|PC |＝2<|OC |，即点P 在以O ，C 为焦点的双曲线的右支上．4．我们把由半椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(x ≥0)与半椭圆y 2b 2＋x 2c 2＝1(x <0)合成的曲线称作“果圆”(其中a 2＝b 2＋c 2，a >b >c >0)，如图所示，其中点F 0，F 1，F 2是相应椭圆的焦点．若△F 0F 1F 2是边长为1的等边三角形，则a ，b 的值分别为( )A ．72，1 B ．3，1 C ．5,3D ．5,4解析：选A ∵|OF 2|＝b 2－c 2＝12，|OF 0|＝c ＝3|OF 2|＝32，∴b ＝1，∴a 2＝b 2＋c 2＝1＋34＝74，得a＝72． 5．已知抛物线的方程为y 2＝4x ，直线l 的方程为x －y ＋4＝0，在抛物线上有一动点P 到y 轴的距离为d 1，到直线l 的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值为( )A ．522＋2 B ．522＋1C ．522－2 D ．522－1 解析：选D 因为抛物线的方程为y 2＝4x ，所以焦点坐标为F (1,0)，准线方程为x ＝－1．因为点P 到y 轴的距离为d 1，所以到准线的距离为d 1＋1．又d 1＋1＝|PF |，所以d 1＋d 2＝d 1＋1＋d 2－1＝|PF |＋d 2－1．焦点F 到直线l 的距离记为d ，则d ＝|1－0＋4|2＝52＝522，而|PF |＋d 2≥d ＝522，所以d 1＋d 2＝|PF |＋d 2－1≥522－1，即d 1＋d 2的最小值为522－1．6．双曲线与椭圆4x 2＋y 2＝64有公共焦点，它们的离心率互为倒数，则双曲线方程为( ) A ．y 2－3x 2＝36 B ．x 2－3y 2＝36 C ．3y 2－x 2＝36 D ．3x 2－y 2＝36解析：选A 由4x 2＋y 2＝64得x 216＋y 264＝1， c 2＝64－16＝48， ∴c ＝43，e ＝438＝32． ∴双曲线中，c ′＝43，e ′＝23＝c ′a ′． ∴a ′＝32c ′＝6，b ′2＝48－36＝12． ∴双曲线方程为y 236－x 212＝1，即y 2－3x 2＝36．7．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，其上一点P (3，y )到两焦点的距离分别是6．5和3．5，则该椭圆的标准方程为________．解析：由椭圆的定义，知2a ＝6．5＋3．5＝10，a ＝5．又⎩⎪⎨⎪⎧?3＋c ?2＋y 2＝6.52，?3－c ?2＋y 2＝3.52，解得c ＝52，从而b 2＝a 2－c 2＝754，所以椭圆的标准方程为x 225＋4y 275＝1．答案：x 225＋4y 275＝18．已知直线l 与抛物线y 2＝4x 交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若OA ·OB ＝－4，则直线l 恒过的定点M 的坐标是________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＋y 1y 2＝－4．当直线l 的斜率不存在时，设其方程为x ＝x 0(x 0>0)，则x 20－4x 0＝－4，解得x 0＝2；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋b ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，y 2＝4x ，得ky 2－4y ＋4b ＝0，得y 1y 2＝4b k ，则x 1x 2＝y 21y 2216＝b 2k 2，得b 2k2＋4b k ＝－4，∴b k ＝－2，有b ＝－2k ，直线y ＝kx －2k ＝k (x －2)恒过定点(2,0)．又直线x ＝2也恒过定点(2,0)，得点M 的坐标为(2,0)．答案：(2,0)9．已知A (0，－4)，B (3,2)，抛物线y 2＝x 上的点到直线AB 的最短距离为________．解析：直线AB 为2x －y －4＝0，设抛物线y 2＝x上的点P (t ，t 2)，d ＝|2t －t 2－4|5＝t 2－2t ＋45＝?t －1?2＋35≥35＝355．答案：35510．如图，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的长、短轴端点分别为A ，B ，F 1，F 2分别是点F 1，且AB其左、右焦点．从椭圆上一点M 向x 轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦与OM 是共线向量．(1)求椭圆的离心率e ；(2)设Q 是椭圆上异于左、右顶点的任意一点，求∠F 1QF 2的取值范围．解：(1)∵F 1(－c,0)，则x M ＝－c ，y M ＝b 2a ， ∴k OM ＝－b 2ac ．由题意，知k AB ＝－b a， ∵OM 与AB 是共线向量，∴－b 2ac ＝－b a ，∴b ＝c ，得e ＝22． (2)设|F 1Q |＝r 1，|F 2Q |＝r 2，∠F 1QF 2＝θ，∴r 1＋r 2＝2a ．又|F 1F 2|＝2c ，由余弦定理，得cos θ＝r 21＋r 22－4c 22r 1r 2＝?r 1＋r 2?2－2r 1r 2－4c 22r 1r 2＝a 2r 1r 2－1≥a 2⎝⎛⎭⎫r 1＋r 222－1＝0，当且仅当r 1＝r 2时等号成立，∴cos θ≥0，∴θ∈⎝⎛⎦⎤0，π2． 11．如图，焦距为2的椭圆E 的两个顶点分别为A ，B ，且AB 与n＝(2，－1)共线．(1)求椭圆E 的标准方程；(2)若直线y ＝kx ＋m 与椭圆E 有两个不同的交点P 和Q ，且原点O 总在以PQ 为直径的圆的内部，求实数m 的取值范围．解：(1)因为2c ＝2，所以c ＝1，又AB ＝(－a ，b )，且AB ∥n ，所以2b ＝a ，所以2b 2＝b 2＋1，所以b 2＝1，a 2＝2，所以椭圆E 的标准方程为x 22＋y 2＝1． (2)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，把直线方程y ＝kx ＋m 代入椭圆方程x 22＋y 2＝1，消去y ，得(2k 2＋1)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0，所以x 1＋x 2＝－4km 2k 2＋1，x 1x 2＝2m 2－22k 2＋1， Δ＝16k 2－8m 2＋8>0，即m 2<2k 2＋1，(*)因为原点O 总在以PQ 为直径的圆的内部，所以OP ·OQ <0，即x 1x 2＋y 1y 2<0，又y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋mk (x 1＋x 2)＋m 2＝m 2－2k 22k 2＋1，由2m 2－22k 2＋1＋m 2－2k 22k 2＋1<0得m 2<23k 2＋23，依题意且满足(*)得m 2<23，故实数m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－63，63． 12．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝32，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4． (1)求椭圆的方程；(2)设直线l 与椭圆相交于不同的两点A ，B ．已知点A 的坐标为(－a,0)，点Q (0，y 0)在线段AB 的垂4，求y 0的值．解：(1)由e ＝c a ＝32，得3a 2＝4c 2．再由c 2＝a 2－b 2，得a ＝2b ．由题意可知12×2a ×2b ＝4，即ab ＝2．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ，ab ＝2，得a ＝2，b ＝1．所以椭圆的方程为x 24＋y 2＝1． (2)由(1)可知A (－2,0)．设B 点的坐标为(x 1，y 1)，直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)．联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k ?x ＋2?，x 24＋y 2＝1消去y 并整理，得 (1＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋(16k 2－4)＝0．由－2x 1＝16k 2－41＋4k 2，得x 1＝2－8k 21＋4k 2．从而y 1＝4k 1＋4k 2．设线段AB 的中点为M ，则M 的坐标为⎝⎛⎭⎫－8k 21＋4k 2，2k 1＋4k 2．以下分两种情况：①当k ＝0时，点B 的坐标为(2,0)，线段AB 的垂直平分线为y 轴，(－2，－y 0)(2，－y 0)．4，得y 0＝±22．②当k ≠0时，线段AB 的垂直平分线方程为y －2k 1＋4k 2＝－1k ⎝⎛⎭⎫x ＋8k 21＋4k 2．令x ＝0，解得y 0＝－6k 1＋4k 2．由＝(－2，－y 0)，＝(x 1，y 1－y 0)． ·＝－2x 1－y 0(y 1－y 0)＝－2×?2－8k 2?1＋4k 2＋6k 1＋4k 2⎝⎛⎭⎫4k 1＋4k 2＋6k 1＋4k 2 ＝4×?16k 4＋15k 2－1??1＋4k 2?2＝4，整理得7k 2＝2，故k ＝±147．所以y 0＝±2145．综上，y 0＝±22或y 0＝±2145．。

高考数学一轮复习《圆锥曲线》练习题(含答案)

高考数学一轮复习《圆锥曲线》练习题（含答案）一、单选题1．双曲线2228x y -=的渐近线方程是（） A ．12y x =±B ．2y x =±C ．2y x =±D ．22y x =±2．已知双曲线()2222100x y a b a b-=>>，的左右焦点分别为()()1200F c F c -，，，，若直线2y x =与双曲线的一个交点P 的横坐标恰好为c ，则双曲线的离心率为（） A ．5B ．2C ．21+D ．21-3．如图，在体积为3的三棱锥P-ABC 中，P A ，PB ，PC 两两垂直，1AP =，若点M 是侧面CBP 内一动点，且满足AM BC ⊥，则点M 的轨迹长度的最大值为（）A ．3B ．6C ．23D ．324．抛物线22y x =的焦点坐标为（）．A ．1,02⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．10,8⎛⎫- ⎪⎝⎭5．设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线相交于A ，B ，点A 在第一象限，且|AF |﹣|BF |32=，则AF BF =（） A ．32B ．2C ．3D ．46．已知抛物线M ：24y x =的焦点为F ，O 是坐标原点，斜率为()0k k >的直线l 交抛物线M 于A ，B 两点，且点A ，B 分别位于第一、四象限，交抛物线的准线l '于点C ．若2ACFABFSS=，2BF =，则AOBS=（）A ．33-B ．33+C ．2D ．231+7．若双曲线的中心为坐标原点，焦点在y 轴上，其离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为（） A ．3y x =±B ．33y x =±C ．4y x =±D ．14y x =±8．已知双曲线E 的左、右焦点分别为12,F F ，O 为坐标原点.若点P 在E 上，2OP OQ =-，22PF OF =，1132QF OF =，则E 的离心率为A ．2B ．2C ．5D ．31+9．设1F ，2F 是离心率为5的双曲线222124x y a -=的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且1234PF PF =，则12PF F △的面积等于A ．42B ．83C ．24D ．4810．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，直线20l :x y '-+=，动点M 在C 上运动，记点M 到直线l 与l ′的距离分别为d 1，d 2，O 为坐标原点，则当d 1+d 2最小时，cos ∠MFO ＝（） A ．22B ．23C ．24D ．2611．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1,,M N 分别是棱1,AA BC 上的动点，若2MN =，则线段MN 的中点P 的轨迹是（）A ．一条线段B ．一段圆弧C ．一部分球面D ．两条平行线段12．已知拋物线21:2(0)C y px p =>的焦点F 为椭圆22222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点，且1C与2C 的公共弦经过F ，则椭圆的离心率为（）A 1B C D二、填空题13．已知点(3，2)在椭圆221(0,0)x y m n m n+=>>上，则点(-3，3)与椭圆的位置关系是__________.14．过点且渐近线与双曲线22:12x C y -=的渐近线相同的双曲线方程为______.15．焦点在y 轴上的双曲线221y mx -=，则m 的值为___________.16．已知过抛物线C ：y 2＝8x 焦点的直线交抛物线于A ，B 两点，过点A 作抛物线准线的垂线，垂足为M ，AB BM =，则A 点的横坐标为___．三、解答题17．求经过点(3,1)A -，并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的标准方程．18．已知椭圆C ：22143x y +=，过椭圆右焦点的直线l 与椭圆交于M ，N 两点，求MN 的取值范围．19．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率12e =，且椭圆C 经过点31,2P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.(1)求椭圆C 的方程.(2)不过点P 的直线:2l y kx =+与椭圆C 交于A ，B 两点，记直线P A ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，试判断12k k +是否为定值.若是，求出该定值；若不是，请说明理由.20．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆221:195x y C +=与()222206:136x y b C b =<<+的离心率相等．椭圆1C 的右焦点为F ，过点F 的直线与椭圆1C 交于A ，B 两点，射线OB 与椭圆2C 交于点C ，椭圆2C 的右顶点为D ．（1）求椭圆2C 的标准方程；（2）若ABO 10，求直线AB 的方程；（3）若2AF BF =，求证：四边形AOCD 是平行四边形．21．已知(0,2),(3,1)A B 是椭圆2222:1(0)x y G a b a b+=>>上的两点.（1）求椭圆G 的离心率；（2）已知直线l 过点B ，且与椭圆G 交于另一点C （不同于点A ），若以BC 为直径的圆经过点A ，求直线l 的方程.22．已知椭圆C 的离心率2e =()10,1B -，()20,1B . (1)求椭圆C 的方程；(2)设动直线:l y kx m =+与椭圆C 有且只有一个公共点P ，且与直线2x =相交于点Q .问在x 轴上是否存在定点N ，使得以PQ 为直径的圆恒过定点N ，若存在，求出N 点坐标；若不存在，说明理由.23．已知点P 在圆22:4O x y +=上运动，PQ x ⊥轴，垂足为Q ，点A 满足12AQ PQ =. （1）求点A 的轨迹E 的方程；（2）过点30,2⎛⎫⎪⎝⎭的直线l 与曲线E 交于,M N 两点，记OMN ∆的面积为S ，求S 的最大值.24．已知抛物线1C ：()220x py p =>的焦点为F ，圆2C ：()()22284x y +++=，过y 轴上点G 且与y 轴不垂直的直线l 与抛物线1C 交于A 、B 两点，B 关于y 轴的对称点为D ，O 为坐标原点，连接2GC 交x 轴于点E ，且点E 、F 分别是2GC 、OG 的中点. （1）求抛物线1C 的方程；（2）证明：直线AD 与圆2C 相交参考答案1．C2．C3．A4．C5．B6．B7．B8．D9．C10．A11．B12．A 13．点在椭圆外 14．22163x y -=15．4 16．417．设所求的等轴双曲线的方程为：()220x y λλ-=≠，将(3,1)A -代入得：()2231λ--=，即=8λ，所以等轴双曲线的标准方程：22188x y -=18．解：由椭圆C ：22143x y +=知，2a =，b =1c =，所以椭圆C 的右焦点为()1,0F ．当直线l 的斜率不存在时，223b MN a==．当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为(1)y k x =-，将其代入椭圆C 的方程得()22223484120kxk x k +-+-=．设()11,M x y ，()22,N x y ，则2122834k x x k +=+，212241234k x x k -=+，所以=MN ()222121333434+==+++k k k因为20k ≥，所以(]3,4MN ∈．综上，MN 的取值范围是[]3,4． 19．(1)因为12c e a ==，所以2a c =，所以222234b a c a =-=.因为椭圆C 过31,2P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以221914a b +=，所以24a =，23b =，故椭圆C 的标准方程为22143x y +=. (2)因为直线l 不过31,2P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，且直线P A ，PB 的斜率存在，所以72k ≠且12k ≠.设()11,A x y ，()22,B x y ，联立方程组222143y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩,得()22341640k x kx +++=，则1221634k x x k +=-+，122434x x k =+. 由()()221616340k k ∆=-+>，得214k >且72k ≠.因为()()12121212121212121273377272222211111kx x k x x y y kx kx k k x x x x x x x x ⎛⎫++++++++ ⎪⎝⎭+=+=+=+++++++，所以2221222271682712482134343416416713434k k k k k k k k k k k k k k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭-+-++++===-+-+++，即12k k +为定值，且123k k +=.20．（1）由题意知，椭圆1C 的长轴长126a =，短轴长12b =124c ==，椭圆2C 的长轴长2212a =，短轴长2b ，焦距22c =．因为椭圆1C 与2C 的离心相等，所以1212c c a a =，即23= 因为06b <<，所以220b =，所以椭圆2C 的标准方程为2213620x y +=．（2）因为椭圆1C 右焦点为()2,0F ，且A ，O ，B 三点不共线，设直线AB 的方程为2x my =+，联立22195x y +=，消x 得()225920250m y my ++-=．设()11,A x y ，()22,B x y ，()22(20)100590m m ∆=++>，所以1,2y ==，即1212222025,5959m y y y y m m -+=-=++．因为121212111||||||222ABOAOFBOFSS SOF y OFy O y y y F y =+=+=-=-==，化简得4259m=，所以m =，所以直线AB 的方程为2x y =+，即5100x ±-=．（3）因为2AF BF =，所以2AF FB =．因为()()1122,,,,(2,0)A x y B x y F ，所以()()11222,22,x y x y --=-，所以121262,2.x x y y =-⎧⎨=-⎩ 因为()()1122,,,A x y B x y 在椭圆22195x y +=上，所以221122221,951,95x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，所以()222222226241,951,95x y x y ⎧-+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消2y ，得2218x =．代入2222195x y +=，由对称性不妨设120,0y y ><，所以2y =从而得，113,4x y ==即321,,48A B ⎛⎛ ⎝⎭⎝⎭．所以OC k =，直线OC的方程为y x =，联立2213620x y +=，得244116x =．由题知0x >，所以21,4x y ==21,4C ⎛ ⎝⎭．又(6,0)D，所以OA CD k k ==又因为,OA CD 不共线，所以//OA CD ，又AD OC k k ==，且,OC AD 不共线，所以//OC AD ．所以四边形AOCD 是平行四边形． 21．解：（1）由已知2b =，由点(3,1)B 在椭圆G 上可得29114a +=，解得212,a a ==所以2228,c a b c =-== 所以椭圆G的离心率是c e a ==；（2）当直线l 过点B 且斜率不存在时，可得点(3,1)C -，不满足条件；设直线BC 的方程为1(3)y k x -=-），点(),C C C x y ，由22131124y kx kx y =+-⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()222316(13)3(13)120k x k k x k ++-+--=，显然0∆>，此方程两个根是点B 和点C 的横坐标，所以223(13)12331C k x k --=+，即22(13)431C k x k --=+，所以2236131C k k y k --+=+，因为以BC 为直径的圆经过点A ，所以AB AC ⊥，即0AB AC ⋅=，2222963961(3,1),3131k k k k AB AC k k ⎛⎫-----⋅=-⋅ ⎪++⎝⎭2236128031k k k --==+，即(32)(31)0k k -+=， 123k ，213k =-，当213k =-时，即直线AB ，与已知点C 不同于点A 矛盾，所以123BC k k ==，所以直线BC 的方程为213y x =-. 22．（1）由题意可设椭圆为22221x y a b+=由题意可得c e a ==1b =，可得a =所以椭圆的方程为：2212x y +=.（2）联立2222y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，整理可得：()222124220k x kmx m +++-=，由题意可得()()222216412220k m k m ∆=-+-=，可得2212m k =+；可得()242212P km k x m k -==-+，1P P y kx m m =+=，即21,k P m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 联立2y kx mx =+⎧⎨=⎩，可得2Q x =，2Q y k m =+，即()2,2Q k m +，设在x 轴上存在()0,0N x .由0PN QN ⋅=，可得()0021,2,20k x x k m m m ⎛⎫+-⋅---= ⎪⎝⎭，可得200242210k k k x x m m m ⎛⎫+--++= ⎪⎝⎭，即()200022110kx x x m-++-=，可得20002101x x x ⎧-+=⎨=⎩，可得01x =，即定点()1,0N .23．（1）设(,)A x y ，11(,)P x y ， ∵12AQ PQ =，∴A 为PQ 的中点， ∴11,2,x x y y =⎧⎨=⎩∴22(2)4x y +=，即2214x y +=.∴点A 的轨迹E 的方程2214x y +=.（2）显然直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为32y kx =+，将直线方程代入椭圆方程中得22(14)1250k x kx +++=， ∴222251444(14)56420016k k k k ∆=-⨯+=->⇒>. 设1122(,),(,)M x y N x y ，∴12133||224OMN POM PON S S S x x ∆∆∆=-=⨯⨯-=令2914()4t k t =+>，则214k t -=，∴3344OMN S S ∆====∵914049t t >⇒<<，∴129t =时，34143OMN S ∆≤⨯=，∴S 的最大值1.24．（1）设点()0,0E x ，()00,G y ，因为圆2C ：()()22284x y +++=，所以圆心()22,8C --，因为点E 是2GC 的中点，所以00202820x y -+=⎧⎨-+=⨯⎩，解得0018x y =-⎧⎨=⎩，则点()0,8G ，因为点F 是OG 的中点，所以()0,4F ，则42p=，解得8p =，故抛物线的方程为216x y =.（2）因为B 关于y 轴的对称点为D ，所以设()11,B x y ，()22,A x y ，()11,D x y -，设直线AB 的方程为8y kx -=，即80kx y -+=，联立28016kx y x y-+=⎧⎨=⎩，消去x 得()22161640y k y -++=，则1264y y =，设直线AD 的方程为y mx n =+，联立216y mx n x y=+⎧⎨=⎩，消去x 得()2221620y m n y n -++=，则212y y n =，故264n =，易知0n <，则8n =-，直线AD 的方程为8y mx =-，必过定点()0,8-，而圆2C ：()()22284x y +++=正好与y 轴交于定点()0,8-，且过点()0,8-的所有直线中，只有与y 轴重合的直线才能与圆2C ：()()22284x y +++=相切，直线AD 显然不可能是y 轴，因此，直线AD 与圆2C 相交.。

圆锥曲线的方程知识点总结

同学们，咱们在高中数学里，圆锥曲线的方程可是个重要的家伙！今天就来给大家好好唠唠。

先说椭圆，它的方程就像一个温柔的“大胖子”。

比如说，椭圆方程$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$（$a>b>0$），这里的$a$和$b$可重要啦，决定了椭圆的形状和大小。

就像一个大西瓜，$a$是长半轴，$b$是短半轴。

再看双曲线，那可是个“调皮鬼”。

双曲线方程$\frac{x^2}{a^2} \frac{y^2}{b^2} = 1$，它有两支，一支向左跑，一支向右跑。

比如说，火箭发射的轨道，有时候就像双曲线。

还有抛物线，它是个“急性子”，总是一条线冲出去。

比如投篮的时候，篮球在空中划过的轨迹，就可能是抛物线，它的方程$y^2 =2px$（$p>0$），$p$决定了抛物线的开口大小和方向。

怎么样，同学们，圆锥曲线的方程是不是没那么可怕啦？多做几道题，咱们就能把它们拿下！圆锥曲线方程，你真的懂了吗？亲爱的小伙伴们，今天咱们来聊聊圆锥曲线的方程。

想象一下，椭圆就像一个压扁的圆，比如我们常见的操场跑道，有一部分就是椭圆形状的。

它的方程$\frac{x^2}{a^2} +\frac{y^2}{b^2} = 1$，告诉你怎么画出这个“压扁的圆”。

双曲线呢，像是两个背靠背的滑梯。

比如一些建筑的设计，就会用到双曲线的形状。

它的方程$\frac{x^2}{a^2} \frac{y^2}{b^2} = 1$，让我们能算出滑梯的样子。

抛物线就简单啦，像喷泉水柱往上喷，然后落下来的轨迹。

家里的手电筒照出的光，也近似抛物线。

它的方程$y^2 = 2px$，帮我们描述这个美丽的曲线。

好好琢磨琢磨这些例子，圆锥曲线方程就不再神秘啦！圆锥曲线方程：数学世界的奇妙之旅小伙伴们，让我们一起踏上圆锥曲线方程的奇妙之旅吧！先说椭圆，它的方程就像一个神奇的密码。

比如我们看太阳系里行星的轨道，很多就是近似椭圆的。

高考一轮复习必备—圆锥曲线讲义全

高考一轮复习必备—圆锥曲线讲义全-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIANⅠ复习提问一、直线l 与圆锥曲线C 的位置关系的判断判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时，通常将直线l 的方程0Ax By C ++=（A ，B 不同时为0）代入圆锥曲线C 的方程F （x ，y ）=0，消去y （也可以消去x ）得到关于一个变量的一元二次方程，即联立(,)0Ax By C F x y ++=⎧⎨=⎩消去y 后得20ax bx c ++= （1）当0a =时，即得到一个一元一次方程，则l 与C 相交，有且只有一个交点，此时，若C 为双曲线，则直线l 与双曲线的渐近线平行；若C 为抛物线，则直线l 抛物线的对称轴平行。

（2）当0a ≠时，0∆>，直线l 与曲线C 有两个不同的交点；0∆=，直线l 与曲线C 相切，即有唯一公共点（切点）；0∆<，直线l 与曲线C 相离。

二、圆锥曲线的弦长公式相交弦AB的弦长1212AB AB AB x y y ⎧⎪=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=-==-⎪⎪⎩三、中点弦所在直线的斜率（1）若椭圆方程为22221(0)x y a b a b +=>>时，以P 00（x ,y ）为中点的弦所在直线斜率202(0)b k y a =-≠00x y ，即22op b k k a =-；若椭圆方程为22221(0)y x a b a b +=>>时，相应结论为202(0)a k y b =-≠0x y ，即22op a k k b =-；（2）P 00（x ,y ）是双曲线22221x y a b -=内部一点，以P 为中点的弦所在直线斜率202(0)b k y a =≠0x y ，即22op b k k a =；若双曲线方程为22221y x a b -=时，相应结论为202(0)a k y b =≠0x y ，即22op a k k b =；（3））P 00（x ,y ）是抛物线22y px =内部一点，以P 为中点的弦所在直线斜率0(0)pk y =≠0y ；若方程为22x py =时，相应结论为k p=0x 。

2021-2022年高考数学复习圆锥曲线方程专题教案

2021年高考数学复习圆锥曲线方程专题教案【考点审视】1．考点分析：圆锥曲线是平面几何的核心内容，也是高考重点考查的内容，在每年的高考试卷中占总分的15%左右。

综观近年来的高考试题，一是圆锥曲线在高考试题中所占的比重大，题型、题量、难度保持相对稳定，且选择题、填空题、解答题均涉及；二是难度所占比重大，解答题多次在“压轴题”中出现，集中体现对同学们综合知识和灵活应变能力的考查。

估计xx年高考中，对圆锥曲线的考查仍将保持稳定。

圆锥曲线的概念和性质，求曲线方程或点的轨迹，直线与圆锥曲线的关系，两圆锥曲线的关系，定值、最值问题仍将是主要考查内容。

特别注意解析几何与向量、三角、代数结合的学科内综合性的问题。

2．考试要求：⑴掌握椭圆的定义，标准方程和椭圆的简单几何性质，理解椭圆的参数方程；⑵掌握双曲线的定义，标准方程和双曲线的简单几何性质；⑶掌握抛物线的定义，标准方程和抛物线的简单几何性质；⑷了解圆锥曲线的一些实际应用，了解用坐标研究几何问题的思想，初步掌握利用方程研究曲线性质的方法。

【疑难点拔】1．要点归纳：⑴圆锥曲线的定义，标准方程和几何性质。

⑵直线和圆锥曲线的位置关系，常用联立方程组、判别式来判断，特别当直线与圆锥曲线有两个相异的公共点时，则此直线被圆锥曲线截得的线段称为圆锥曲线的弦。

注意弦长公式。

⑶关于圆锥曲线的中点弦问题，常用点差法，或联立方程组解决。

⑷轨迹问题①常用方法有：直接法；待定系数法；定义法；转移法；参数法。

②区别是“求轨迹”还是“求轨迹方程”，若是“求轨迹”，求出方程后，还应指出方程所表示的曲线类型。

③要注意轨迹的范围问题。

⑸圆锥曲线的最值问题：解法一般分为两种，一是几何法，特别是圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来处理；二是代数法，将圆锥曲线中的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用重要不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等来求解。

2．错题分析例1．设F 1、F 2是双曲线的焦点，点P 在双曲线上，若点P 到焦点F 1的距离等于9，求点P 到焦点F 2的距离。

高三数学第一轮复习--圆锥曲线综合题

2021-2022年高三数学一轮总复习板块命题点专练十二圆锥曲线理

2021年高三数学一轮总复习板块命题点专练十二圆锥曲线理解析：由左焦点为F 1(－4,0)知c ＝4.又a ＝5， ∴25－m 2＝16，解得m ＝3或－3.又m ＞0，故m ＝3. 答案：32．(xx·福建高考改编)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x －4y ＝0交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝4，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是________．解析：根据椭圆的对称性及椭圆的定义可得A ，B 两点到椭圆左、右焦点的距离为4a ＝2(|AF |＋|BF |)＝8，所以a ＝2.又d ＝|3×0－4×b |32＋－42≥45，所以1≤b ＜2，所以e ＝c a ＝1－b 2a2＝1－b 24.因为1≤b ＜2，所以0＜e ≤32. 答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32 3．(xx·浙江高考)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0 )的右焦点F (c,0)关于直线y ＝bcx 的对称点Q 在椭圆上，则椭圆的离心率是________．解析：设椭圆的另一个焦点为F 1(－c,0)，如图，连接QF 1，QF ，设QF 与直线y ＝bcx 交于点M .由题意知M 为线段QF 的中点，且OM ⊥FQ .又O 为线段F 1F 的中点， ∴F 1Q ∥OM ，∴F 1Q ⊥QF ， |F 1Q |＝2|OM |.在Rt△MOF 中，tan ∠MOF ＝|MF ||OM |＝bc，|OF |＝c ，可解得|OM |＝c 2a ，|MF |＝bca，故|QF |＝2|MF |＝2bc a ，|QF 1|＝2|OM |＝2c 2a.由椭圆的定义得|QF |＋|QF 1|＝2bc a ＋2c 2a＝2a ，整理得b ＝c ，∴a ＝b 2＋c 2＝2c ，故e ＝c a ＝22. 答案：224．(xx·陕西高考)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的半焦距为c ，原点O 到经过两点(c,0)，(0，b )的直线的距离为12c .(1)求椭圆E 的离心率；(2)如图，AB 是圆M ：(x ＋2)2＋(y －1)2＝52的一条直径，若椭圆E 经过A ，B 两点，求椭圆E 的方程．解：(1)过点(c,0)，(0，b )的直线方程为bx ＋cy －bc ＝0，则原点O 到该直线的距离d ＝bc b 2＋c 2＝bca，由d ＝12c ，得a ＝2b ＝2a 2－c 2，解得离心率c a ＝32. (2)法一：由(1)知，椭圆E 的方程为x 2＋4y 2＝4b 2.① 依题意，圆心M (－2,1)是线段AB 的中点，且|AB |＝10.易知，AB 与x 轴不垂直，设其方程为y ＝k (x ＋2)＋1，代入①得(1＋4k 2)x 2＋8k (2k ＋1)x ＋4(2k ＋1)2－4b 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8k2k ＋11＋4k 2，x 1x 2＝42k ＋12－4b 21＋4k 2.由x 1＋x 2＝－4，得－8k2k ＋11＋4k 2＝－4，解得k ＝12.从而x 1x 2＝8－2b 2.于是|AB |＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122|x 1－x 2|＝52x 1＋x 22－4x 1x 2＝10b 2－2.由|AB |＝10，得10b 2－2＝10，解得b 2＝3.故椭圆E 的方程为x 212＋y 23＝1.法二：由(1)知，椭圆E 的方程为x 2＋4y 2＝4b 2.② 依题意，点A ，B 关于圆心M (－2,1)对称，且|AB |＝10.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 21＋4y 21＝4b 2，x 22＋4y 22＝4b 2，两式相减并结合x 1＋x 2＝－4，y 1＋y 2＝2，得－4(x 1－x 2)＋8(y 1－y 2)＝0. 易知AB 与x 轴不垂直，则x 1≠x 2，所以AB 的斜率k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝12. 因此直线AB 的方程为y ＝12(x ＋2)＋1，代入②得x 2＋4x ＋8－2b 2＝0.所以x 1＋x 2＝－4，x 1x 2＝8－2b 2.于是|AB |＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122|x 1－x 2|＝52·x 1＋x 22－4x 1x 2＝10b 2－2.由|AB |＝10，得10b 2－2＝10，解得b 2＝3.故椭圆E 的方程为x 212＋y 23＝1.5．(xx·安徽高考)设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，点O 为坐标原点，点A的坐标为(a,0)，点B 的坐标为(0，b )，点M 在线段AB 上，满足|BM |＝2|MA |，直线OM的斜率为510.(1)求E 的离心率e ；(2)设点C 的坐标为(0，－b )，N 为线段AC 的中点，点N 关于直线AB 的对称点的纵坐标为72，求E 的方程．解：(1)由题设条件知，点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ，13b ，又k OM ＝510，从而b 2a ＝510，进而得a ＝5b ，c ＝a 2－b 2＝2b ，故e ＝c a ＝255.(2)由题设条件和(1)的计算结果可得，直线AB 的方程为x 5b ＋yb＝1，点N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫52b ，－12b .设点N 关于直线AB 的对称点S 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫x 1，72，则线段NS 的中点T 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫54b ＋x 12，－14b ＋74.又点T 在直线AB 上，且k NS ·k AB ＝－1，从而有⎩⎪⎨⎪⎧54b ＋x 125b＋－14b ＋74b ＝1，72＋12b x 1－52b＝5，解得b ＝3.所以a ＝35，故椭圆E 的方程为x 245＋y 29＝1.6.(xx·江苏高考)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，且右焦点F 到左准线l 的距离为3.(1)求椭圆的标准方程；(2)过F 的直线与椭圆交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点P ，C ，若PC ＝2AB ，求直线AB 的方程．解：(1)由题意，得c a ＝22且c ＋a 2c＝3，解得a ＝2，c ＝1，则b ＝1，所以椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)当AB ⊥x 轴时，AB ＝2，又CP ＝3，不合题意．当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将AB 的方程代入椭圆方程，得 (1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2(k 2－1)＝0，则x 1,2＝2k 2±21＋k21＋2k 2，C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 21＋2k 2，－k 1＋2k 2，且AB ＝x 2－x 12＋y 2－y 12＝1＋k2x 2－x 12＝221＋k 21＋2k 2.若k ＝0，则线段AB 的垂直平分线为y 轴，与左准线平行，不合题意．从而k ≠0，故直线PC 的方程为 y ＋k1＋2k 2＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2k 21＋2k 2，则P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，5k 2＋2k 1＋2k 2，从而PC ＝23k 2＋11＋k 2|k |1＋2k 2.因为PC ＝2AB ，所以23k 2＋1 1＋k 2|k |1＋2k 2＝421＋k 21＋2k 2，解得k ＝±1.此时直线AB 的方程为y ＝x －1或y ＝－x ＋1.7．(xx·北京高考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，点P (0,1)和点A (m ，n )(m ≠0)都在椭圆C 上，直线PA 交x 轴于点M .(1)求椭圆C 的方程，并求点M 的坐标(用m ，n 表示)．(2)设O 为原点，点B 与点A 关于x 轴对称，直线PB 交x 轴于点N .问：y 轴上是否存在点Q ，使得∠OQM ＝∠ONQ ？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，说明理由．解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2，解得a 2＝2.故椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1. 设M (x M,0)．因为m ≠0，所以－1<n <1，直线PA 的方程为y －1＝n －1mx . 所以x M ＝m1－n ，即M ⎝⎛⎭⎪⎫m1－n ，0. (2)因为点B 与点A 关于x 轴对称，所以B (m ，－n )．设N (x N,0)，则x N ＝m1＋n.“存在点Q (0，y Q )使得∠OQM ＝∠ONQ ”等价于“存在点Q (0，y Q )使得|OM ||OQ |＝|OQ ||ON |”，即y Q 满足y 2Q ＝|x M ||x N |.因为x M ＝m 1－n ，x N ＝m 1＋n ，m 22＋n 2＝1，所以y 2Q ＝|x M ||x N |＝m 21－n 2＝2.所以y Q ＝2或y Q ＝－ 2.故在y 轴上存在点Q ，使得∠OQM ＝∠ONQ ，且点Q 的坐标为(0，2)或(0，－2).1．(xx·全国卷Ⅱ改编)已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为________．解析：不妨取点M 在第一象限，如图所示，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，则|BM |＝|AB |＝2a ，∠MBx ＝180°－120°＝60°，∴M 点的坐标为()2a ，3a .∵M 点在双曲线上，∴4a 2a 2－3a 2b2＝1，a ＝b ，∴c ＝2a ，e ＝c a＝ 2.答案：22．(xx·四川高考改编)过双曲线x 2－y 23＝1的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则|AB |＝________.解析：由题意知，双曲线x 2－y 23＝1的渐近线方程为y ＝±3x ，将x ＝c ＝2代入得y ＝±23，即A ，B 两点的坐标分别为(2,23)，(2，－23)，所以|AB |＝4 3.答案：433．(xx·全国卷Ⅱ)已知双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为y ＝±12x ，则该双曲线的标准方程为________．解析：法一：∵双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，∴可设双曲线的方程为x 2－4y 2＝λ(λ≠0)． ∵双曲线过点(4，3)， ∴λ＝16－4×(3)2＝4，∴双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.法二：∵渐近线y ＝12x 过点(4,2)，而3<2，∴点(4，3)在渐近线y ＝12x 的下方，在y ＝－12x 的上方(如图)．∴双曲线的焦点在x 轴上，故可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．由已知条件可得⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝12，16a 2－3b 2＝1，解得⎩⎨⎧a 2＝4，b 2＝1，∴双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.答案：x 24－y 2＝14．(xx·北京高考)已知双曲线x 2a2－y 2＝1(a >0)的一条渐近线为3x ＋y ＝0，则a ＝________.解析：双曲线x 2a 2－y 2＝1的渐近线为y ＝±xa，已知一条渐近线为3x ＋y ＝0，即y ＝－3x ，因为a >0，所以1a ＝3，所以a ＝33.答案：335．(xx·湖南高考)设F 是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1的一个焦点．若C 上存在点P ，使线段PF 的中点恰为其虚轴的一个端点，则C 的离心率为________．解析：不妨设F (－c,0)，PF 的中点为(0，b )．由中点坐标公式可知P (c,2b )．又点P 在双曲线上，则c 2a 2－4b 2b 2＝1，故c 2a2＝5，即e ＝ca＝ 5.答案：56．(xx·广东高考改编)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率e ＝54，且其右焦点为F 2(5,0)，则双曲线C 的方程为________．解析：∵e ＝c a ＝54，F 2(5,0)，∴c ＝5，a ＝4，b 2＝c 2－a 2＝9，∴双曲线C 的标准方程为x 216－y 29＝1.答案：x 216－y 29＝17．(xx·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线x 2－y 2＝1右支上的一个动点，若点P 到直线x －y ＋1＝0的距离大于c 恒成立，则实数c 的最大值为________．解析：所求的c 的最大值就是双曲线的一条渐近线x －y ＝0与直线x －y ＋1＝0的距离，此距离d ＝12＝22. 答案：228．(xx·全国卷Ⅰ改编)已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C的两个焦点．若·M <0，则y 0的取值范围是________．解析：由题意知a ＝2，b ＝1，c ＝3， ∴F 1(－3，0)，F 2(3，0)，∴＝(－3－x 0，－y 0)，M ＝(3－x 0，－y 0)． ∵·<0，∴(－3－x 0)(3－x 0)＋y 20<0，即x 20－3＋y 20<0.∵点M (x 0，y 0)在双曲线上，∴x 202－y 20＝1，即x 20＝2＋2y 20， ∴2＋2y 20－3＋y 20<0，∴－33<y 0<33. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33 9．(xx·重庆高考改编)设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，右顶点为A ，过F 作AF 的垂线与双曲线交于B ，C 两点，过B ，C 分别作AC ，AB 的垂线，两垂线交于点D .若D 到直线BC 的距离小于a ＋a 2＋b 2，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是________．解析：由题意得A (a,0)，不妨取B ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，－b 2a ，由双曲线的对称性知D 在x 轴上，设D (x 0,0)，由BD ⊥AC 得b 2a －0c －x 0·b 2a a －c ＝－1，解得c －x 0＝b 4a 2c －a，由题可知c －x 0＝b 4a 2c －a <a ＋a 2＋b 2＝a ＋c ，所以b 4a 2<c 2－a 2＝b 2⇒b 2a 2<1⇒b 2a 2<1⇒0<b a<1.因为双曲线渐近线的斜率为±ba，所以渐近线斜率的取值范围是(－1,0)∪(0,1)．答案：(－1,0)∪(0,1)命题点三抛物线难度：中命题指数：☆☆☆☆☆1．(xx·全国卷Ⅰ改编)已知椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线C ：y 2＝8x 的焦点重合，A ，B 是C 的准线与E 的两个交点，则|AB |＝________.解析：抛物线y 2＝8x 的焦点为(2,0)， ∴椭圆中c ＝2，又c a ＝12，∴a ＝4，b 2＝a 2－c 2＝12，从而椭圆的方程为x 216＋y 212＝1.∵抛物线y 2＝8x 的准线为x ＝－2，∴x A ＝x B ＝－2，将x A ＝－2代入椭圆方程可得|y A |＝3，由图象可知|AB |＝2|y A |＝6. 答案：62．(xx·山东高考)平面直角坐标系xOy 中，双曲线C 1：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线与抛物线C 2：x 2＝2py (p ＞0)交于点O ，A ，B .若△OAB 的垂心为C 2的焦点，则C 1的离心率为________．解析：双曲线的两条渐近线方程为y ＝±b a x ，与抛物线方程联立得交点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2pb a ，2pb 2a 2，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2pb a ，2pb 2a 2，抛物线焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，由三角形垂心的性质，得BF ⊥OA ，即k BF ·k OA＝－1，又k BF ＝p 2－2pb 2a 22pb a ＝a 4b －b a ，k OA ＝b a ，所以有⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4b －b a ba ＝－1，即b 2a 2＝54，故C 1的离心率e ＝c a＝1＋b 2a 2＝ 1＋54＝32.答案：323．(xx·陕西高考)若抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线经过双曲线x 2－y 2＝1的一个焦点，则p ＝________.解析：抛物线的准线方程为x ＝－p2，p ＞0，双曲线的焦点为F 1(－2，0)，F 2(2，0)，所以－p2＝－2，p ＝2 2.答案：224．(xx·湖南高考)已知抛物线C 1：x 2＝4y 的焦点F 也是椭圆C 2：y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)的一个焦点，C 1与C 2的公共弦的长为2 6.过点F 的直线l 与C 1相交于A ，B 两点，与C 2相交于C ，D 两点，且与同向．(1)求C 2的方程；(2)若|AC |＝|BD |，求直线l 的斜率．解：(1)由C 1：x 2＝4y 知其焦点F 的坐标为(0,1)．因为F 也是椭圆C 2的一个焦点，所以a 2－b 2＝1.①又C 1与C 2的公共弦的长为26，C 1与C 2都关于y 轴对称，且C 1的方程为x 2＝4y ，由此易知C 1与C 2的公共点的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫±6，32，所以94a 2＋6b2＝1.②联立①②，得a 2＝9，b 2＝8.故C 2的方程为y 29＋x 28＝1.(2)如图，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)．因与同向，且|AC |＝|BD |，所以＝，从而x 3－x 1＝x 4－x 2，即x 1－x 2＝x 3－x 4，于是(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(x 3＋x 4)2－4x 3x 4.③ 设直线l 的斜率为k ，则l 的方程为y ＝kx ＋1.由⎩⎨⎧y ＝kx ＋1，x 2＝4y ，得x 2－4kx －4＝0.而x 1，x 2是这个方程的两根，所以x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4.④由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，y 29＋x28＝1，得(9＋8k 2)x 2＋16kx －64＝0.而x 3，x 4是这个方程的两根，所以x 3＋x 4＝－16k 9＋8k 2，x 3x 4＝－649＋8k 2.⑤ 将④⑤代入③，得16(k 2＋1)＝162k29＋8k 22＋4×649＋8k 2，即16(k 2＋1)＝162×9k 2＋19＋8k22，所以(9＋8k 2)2＝16×9，解得k ＝±64，即直线l 的斜率为±64. 命题点四圆锥曲线中的综合问题难度：高命题指数：☆☆☆☆☆1．(xx·天津高考改编)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线过点(2，3)，且双曲线的一个焦点在抛物线y 2＝47x 的准线上，则双曲线的方程为________．解析：由双曲线的渐近线y ＝b ax 过点(2，3)，可得3＝b a×2.①由双曲线的焦点(－a 2＋b 2，0)在抛物线y 2＝47x 的准线x ＝－7上，可得a 2＋b 2＝7.②由①②解得a ＝2，b ＝3，所以双曲线的方程为x 24－y 23＝1.答案：x 24－y 23＝12．(xx·天津高考)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F (－c,0)，离心率为33，点M 在椭圆上且位于第一象限，直线FM 被圆x 2＋y 2＝b 24截得的线段的长为c ，|FM |＝433.(1)求直线FM 的斜率； (2)求椭圆的方程；(3)设动点P 在椭圆上，若直线FP 的斜率大于2，求直线OP (O 为原点)的斜率的取值范围．解：(1)由已知，有c 2a 2＝13，又由a 2＝b 2＋c 2，可得a 2＝3c 2，b 2＝2c 2.设直线FM 的斜率为k (k ＞0)，则直线FM 的方程为y ＝k (x ＋c )．由已知，有⎝⎛⎭⎪⎫|kc |k 2＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b 22，解得k ＝33. (2)由(1)得椭圆方程为x 23c 2＋y 22c2＝1，直线FM 的方程为y ＝33(x ＋c )，两个方程联立，消去y ，整理得3x 2＋2cx －5c 2＝0，解得x ＝－53c 或x ＝c .因为点M 在第一象限，所以点M 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫c ，233c .由|FM |＝()c ＋c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫233c －02＝433，解得c ＝1，所以椭圆的方程为x 23＋y 22＝1.(3)设点P 的坐标为(x ，y )，直线FP 的斜率为t ，即t ＝yx ＋1，则直线FP 的方程为y ＝t (x ＋1)(x ≠－1)，与椭圆方程联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝t x ＋1，x 23＋y22＝1，消去y ，整理得2x 2＋3t 2(x ＋1)2＝6.又由已知，得t ＝6－2x 23x ＋12>2，解得－32<x <－1，或－1<x <0.设直线OP 的斜率为m ，得m ＝y x，即y ＝mx (x ≠0)，与椭圆方程联立，整理可得m 2＝2x 2－23.①当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－1时，有y ＝t (x ＋1)<0，因此m >0，于是m ＝2x 2－23，得m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫23，233. ②当x ∈(－1,0)时，有y ＝t (x ＋1)>0，因此m <0，于是m ＝－2x 2－23，得m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－233. 综上，直线OP 的斜率的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－233∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，233.3．(xx·湖北高考)一种作图工具如图①所示．O 是滑槽AB 的中点，短杆ON 可绕O 转动，长杆MN 通过N 处铰链与ON 连接，MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动，且DN ＝ON ＝1，MN ＝3.当栓子D 在滑槽AB 内作往复运动时，带动．．N 绕O 转动一周(D 不动时，N 也不动)，M 处的笔尖画出的曲线记为C .以O 为原点，AB 所在的直线为x 轴建立如图②所示的平面直角坐标系．(1)求曲线C 的方程．(2)设动直线l 与两定直线l 1：x －2y ＝0和l 2：x ＋2y ＝0分别交于P ，Q 两点．若直线l 总与曲线C 有且只有一个公共点，试探究：△OPQ 的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．解：(1)设点D (t,0)(|t |≤2)，N (x 0，y 0)，M (x ，y )，依题意，＝2，且||＝||＝1，所以(t －x ，－y )＝2(x 0－t ，y 0)，且⎩⎨⎧x 0－t 2＋y 20＝1，x 20＋y 20＝1.即⎩⎨⎧t －x ＝2x 0－2t ，y ＝－2y 0，且t (t －2x 0)＝0.由于当点D 不动时，点N 也不动，所以t 不恒等于0，于是t ＝2x 0，故x 0＝x4，y 0＝－y2.代入x 20＋y 20＝1，可得x 216＋y 24＝1，即所求的曲线C 的方程为x 216＋y 24＝1.(2)①当直线l 的斜率不存在时，直线l 为x ＝4或x ＝－4，都有S △OPQ ＝12×4×4＝8.②当直线l 的斜率存在时，设直线l ：y ＝kx ＋m ⎝⎛⎭⎪⎫k ≠±12，由⎩⎨⎧ y ＝kx ＋m ，x 2＋4y 2＝16，消去y ，可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－16＝0.因为直线l 总与椭圆C 有且只有一个公共点，所以Δ＝64k 2m 2－4(1＋4k 2)(4m 2－16)＝0，即m 2＝16k 2＋4.(*1) 又由⎩⎨⎧ y ＝kx ＋m ，x －2y ＝0，可得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2m 1－2k ，m 1－2k ；同理可得Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2m 1＋2k ，m 1＋2k . 由原点O 到直线PQ 的距离为d ＝|m |1＋k 2和|PQ |＝1＋k 2|x P －x Q |，可得S △OPQ ＝12|PQ |·d ＝12|m ||x P －x Q |＝12·|m |·⎪⎪⎪⎪⎪⎪2m 1－2k ＋2m 1＋2k ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2m 21－4k 2.(*2) 将(*1)代入(*2)，得S △OPQ ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2m 21－4k 2＝8|4k 2＋1||4k 2－1|. 当k 2＞14时，S △OPQ ＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2＋14k 2－1＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋24k 2－1＞8；当0≤k 2＜14时，S △OPQ ＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2＋11－4k 2＝8⎝⎛⎭⎪⎫－1＋21－4k 2.因为0≤k 2＜14，则0＜1－4k 2≤1，21－4k 2≥2，所以S △OPQ ＝8⎝⎛⎭⎪⎫－1＋21－4k 2≥8，当且仅当k ＝0时取等号．所以当k ＝0时，S △OPQ 的最小值为8.综合①②可知，当直线l 与椭圆C 在四个顶点处相切时，△OPQ 的面积取得最小值8.。

2021高考数学学业水平合格考试总复习学业达标集训圆锥曲线与方程含解析

高考数学学业水平合格考试总复习学业达标集训：圆锥曲线与方程一、选择题1．设F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左，右焦点，P 为椭圆上一点，M 是F 1P 的中点，|OM |＝3，则P 点到椭圆左焦点的距离为( )A ．4B ．3C ．2D ．5A [由题意知，在△PF 1F 2中，|OM |＝12|PF 2|＝3，∴|PF 2|＝6，∴|PF 1|＝2a －|PF 2|＝10－6＝4.] 2．椭圆9x 2＋y 2＝36的短轴长为( ) A ．2 B ．4 C ．6D ．12B [原方程可化为x 24＋y 236＝1，所以b 2＝4，b ＝2，从而短轴长为2b ＝4.]3．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率e ＝54，且其右焦点为F 2(5,0)，则双曲线C 的方程为( )A ．x 24－y 23＝1B ．x 29－y 216＝1C ．x 216－y 29＝1D ．x 23－y 24＝1C [∵所求双曲线的右焦点为F 2(5,0)且离心率为 e ＝c a ＝54，∴c ＝5，a ＝4，b 2＝c 2－a 2＝9， ∴所求双曲线方程为x 216－y 29＝1.]4．设F 1，F 2是椭圆x 225＋y 29＝1的焦点，P 为椭圆上一点，则△PF 1F 2的周长为( )A ．16B ．18B [△PF 1F 2的周长为|PF 1|＋|PF 2|＋|F 1F 2|＝2a ＋2c .因为2a ＝10，c ＝25－9＝4，所以周长为10＋8＝18.]5．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左，右顶点分别是A ，B ，左，右焦点分别是F 1，F 2，若|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等比数列，则此椭圆的离心率为( )A ．14B ．55C ．12D ．5－2B [由题意知|AF 1|＝a －c ，|F 1F 2|＝2c ，|F 1B |＝a ＋c ，且三者成等比数列，则|F 1F 2|2＝|AF 1|·|F 1B |，即4c 2＝a 2－c 2，a 2＝5c 2，∴e 2＝15，∴e ＝55.]6．已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4,0)，(4,0)，则双曲线的方程为( ) A ．x 24－y 212＝1B ．x 212－y 24＝1C ．x 210－y 26＝1D ．x 26－y 210＝1A [依题意知，焦点在x 轴上，c ＝4，ca ＝2，∴a ＝2.∴b 2＝c 2－a 2＝12.故双曲线的方程为x 24－y 212＝1.] 7．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x ＝2D ．x ＝－2B [∵y 2＝2px 的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫p 2，0，∴过焦点且斜率为1的直线方程为y ＝x －p2，即x ＝y ＋p2，将其代入y 2＝2px ，得y 2＝2py ＋p 2，即y 2－2py －p 2＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2p ，∴y 1＋y 22＝p ＝2，∴抛物线的方程为y 2＝4x ，其准线方程为x ＝－1.]8．已知椭圆x 24＋y 24＝1上有一点P ，F 1，F 2是椭圆的左，右焦点，若△F 1PF 2为直角三角形，则这样的点P 有( )A ．3个B ．4个C [当∠PF 1F 2为直角时，根据椭圆的对称性知，这样的点P 有2个；同理当∠PF 2F 1为直角时，这样的点P 有2个；当P 点为椭圆的短轴端点时，∠F 1PF 2最大，且为直角，此时这样的点P 有2个．故符合要求的点P 有6个．]9．过双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的右顶点作x 轴的垂线，与C 的一条渐近线相交于点A ．若以C 的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A ，O 两点(O 为坐标原点)，则双曲线C 的方程为( )A ．x 24－y 212＝1B ．x 27－y 29＝1C ．x 28－y 28＝1D ．x 212－y 24＝1A [由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ，y ＝－ba x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ，y ＝－b ，∴A (a ，－b )．由题意知右焦点到原点的距离为c ＝4， ∴(a －4)2＋(－b )2＝4，即(a －4)2＋b 2＝16.而a 2＋b 2＝16，∴a ＝2，b ＝2 3.∴双曲线C 的方程为x 24－y 212＝1.]10．“1<m <3”是“方程x 2m －1＋y 23－m ＝1表示椭圆”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件B [当方程x 2m －1＋y23－m＝1表示椭圆时，必有⎩⎪⎨⎪⎧m －1>0，3－m >0，m －1≠3－m ，所以1<m <3且m ≠2；但当1<m <3时，该方程不一定表示椭圆，例如当m ＝2时，方程变为x 2＋y 2＝1，它表示一个圆．]11．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，那么|AB |等于( )A ．6B ．8C ．9D ．10B [因为直线AB 过焦点F (1,0)，所以|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝6＋2＝8.]12．设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，则|AB |等于( )A ．303B ．6C ．12D ．7 3C [焦点F 的坐标为⎝⎛⎭⎫34，0，法一直线AB 的斜率为33，∴直线AB 的方程为y ＝33⎝⎛⎭⎫x －34，即y ＝33x －34，代入y 2＝3x ，得13x 2－72x ＋316＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝212，∴|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝212＋32＝12.法二由抛物线焦点弦的性质可得|AB |＝2p sin 2θ＝3sin 230°＝12.] 13．若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为( ) A ．12B ．32C ．34D ．64A [不妨设椭圆的左、右焦点分别为F 1，F 2，B 为椭圆的上顶点．依题意可知，△BF 1F 2是正三角形．∵在Rt △OBF 2中，|OF 2|＝c ，|BF 2|＝a ，∠OF 2B ＝60°， ∴cos 60°＝c a ＝12，即椭圆的离心率e ＝12.]14．一动圆过点(0,1)且与定直线l 相切，圆心在抛物线x 2＝4y 上，则l 的方程为( ) A ．x ＝1 B ．x ＝116C ．y ＝－1D ．y ＝－116C [因为动圆过点(0,1)且与定直线l 相切，所以动圆圆心到点(0,1)的距离与它到定直线l 的距离相等，又因为动圆圆心在抛物线x 2＝4y 上，且(0,1)为抛物线的焦点，所以l 为抛物线的准线，所以l ：y ＝－1.]15．设AB 为过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的弦，则|AB |的最小值为( ) A ．p 2B ．pC ．2pD ．无法确定C [当AB 垂直于对称轴时，|AB |取最小值，此时AB 为抛物线的通径，长度等于2p .] 二、填空题16．在椭圆x 23＋y 2＝1中，有一沿直线运动的粒子从一个焦点F 2出发经椭圆反射后经过另一个焦点F 1，再次被椭圆反射后又回到F 2，则该粒子在整个运动过程中经过的路程为．43 [把粒子运动轨迹表示出来，可知整个路程为4a ，即4 3.]17．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为233，则其渐近线方程为 .y ＝±33x [由题意知，e ＝c a ＝233，得c 2a 2＝43.又c 2＝b 2＋a 2，所以b 2＋a 2a 2＝43.故b 2a 2＝13.所以b a ＝33，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±33x .] 18．经过点P (－3,27)和Q (－62，－7)，且焦点在y 轴上的双曲线的标准方程是．y 225－x 275＝1 [设双曲线的方程为mx 2＋ny 2＝1(mn ＜0)，则⎩⎪⎨⎪⎧9m ＋28n ＝1，72m ＋49n ＝1，解得⎩⎨⎧m ＝－175，n ＝125，故双曲线的标准方程为y 225－x 275＝1.]19．已知F 1(－c,0)，F 2(c,0)为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，P 为椭圆上一点，且PF→1·PF →2＝c 2，则此椭圆离心率的取值范围是.⎣⎡⎦⎤33，22 [设P (x ，y )，则PF→1·PF →2 ＝(－c －x ，－y )·(c －x ，－y )＝x 2－c 2＋y 2＝c 2，①将y 2＝b 2－b2a 2x 2代入①式解得x 2＝(2c 2－b 2)a 2c 2＝(3c 2－a 2)a 2c 2，又x 2∈[0，a 2]，∴2c 2≤a 2≤3c 2，∴e ＝c a ∈⎣⎡⎦⎤33，22.]三、解答题20．已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，P (－2,1)是C 1上一点．(1)求椭圆C 1的方程；(2)设A ，B ，Q 是点P 分别关于x 轴、y 轴及坐标原点的对称点，平行于AB 的直线l 与C 1相交于不同于P ，Q 的两点C ，D ，点C 关于原点的对称点为E ，证明：直线PD ，PE 与y 轴围成的三角形为等腰三角形．[解](1)由题意，得⎩⎨⎧1－b 2a 2＝34，4a 2＋1b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝8，b 2＝2，∴椭圆的方程为x 28＋y 22＝1.(2)证明：由题意，得A (－2，－1)，B (2,1)， ∴直线l 的斜率为12，设直线l 的方程为y ＝12x ＋t ，由⎩⎨⎧y ＝12x ＋t ，x 28＋y22＝1，消去y ，得x 2＋2tx ＋2t 2－4＝0，Δ＝－4t 2＋16＞0，解得－2＜t ＜2.设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2t ，x 1·x 2＝2t 2－4， ∴k PD ＋k PE ＝y 2－1x 2＋2＋－y 1－1－x 1＋2＝(y 2－1)(－x 1＋2)＋(－y 1－1)(x 2＋2)(x 2＋2)(－x 1＋2)，而(y 2－1)(－x 1＋2)＋(－y 1－1)(x 2＋2)＝－x 1x 2－t (x 1＋x 2)－4＝0， ∴k PD ＋k PE ＝0，∴直线PD ，PE 与y 轴围成的三角形为等腰三角形． 21.已知点F 为抛物线E ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点，点A (2，m )在抛物线E 上，且|AF |＝3. (1)求抛物线E 的方程；(2)已知点G (－1,0)，延长AF 交抛物线E 于点B (如图)，证明：以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆，必与直线GB 相切．[解] (1)由抛物线的定义得|AF |＝2＋p2.∵|AF |＝3，即2＋p2＝3，解得p ＝2，∴抛物线E 的方程为y 2＝4x .(2)法一证明：∵点A (2，m )在抛物线E ：y 2＝4x 上，∴m ＝±22，由抛物线的对称性，不妨设A (2，22)．由A (2,22)，F (1,0)可得直线AF 的方程为y ＝22(x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝22(x －1)，y 2＝4x得2x 2－5x ＋2＝0，解得x ＝2或x ＝12，从而B ⎝⎛⎭⎫12，－2. 又G (－1,0)，∴k GA ＝22－02－(－1)＝223，k GB ＝－2－012－(－1)＝－223.∴k GA ＋k GB ＝0，从而∠AGF ＝∠BGF ，这表明点F 到直线GA ，GB 的距离相等，故以F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切．法二证明：设以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆的半径为r .∵点A (2，m )在抛物线E ：y 2＝4x 上．∴m ＝±22，由抛物线的对称性，不妨设A (2,22)．由A (2,22)，F (1,0)可得直线AF 的方程为y ＝22(x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝22(x －1)，y 2＝4x得2x 2－5x ＋2＝0.解得x ＝2或x ＝12，从而B ⎝⎛⎭⎫12，－2.又G (－1,0)，故直线GA 的方程为22x －3y ＋22＝0.从而r ＝|22＋22|8＋9＝4217.又直线GB 的方程为22x ＋3y ＋22＝0. ∴点F 到直线GB 的距离d ＝|22＋22|8＋9＝4217＝r .这表明以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切.。

2022年高考数学一轮复习专题专题42 圆锥曲线复习课件

3, 2
已知点P(0, 3 )到这个椭圆上点的最远距离为
2
7，求这个椭圆方
程，并求椭圆上到点P的距离为 7 的点的坐标.
【解析】设椭圆方程为
x2 a2
y2 b2
（1 a＞b＞0）,
e c 3 ,c2 3 a 2,
a2
4
由a2=b2+c2得a=2b,故椭圆方程可化为
x2 4b2
y2 b2
（1 b＞0设）, M（x,y）
即m2=8n2，即双曲线方程为 x2
16n 2
y2 3n 2
1，
故双曲线的渐近线方程是
x2 y2 16n2 3n2
0，
即 y 3 x.
4
8.已知椭圆
x2 3m2
y2 5n 2
1和双曲线
是椭圆上任意一点，则x2=4b2-4y2.
｜PM｜2 x2 （y 3 ）2 4b2 4y2 y2 3y 9 3y2 3y 9 4b2
2
4
4
（3 y 1 ）2 3 4b2. 2
∵ -b≤y≤b（讨论与［-b,b］间的关系），
若
b 1, 2
则当 y 1
2
时，｜PM｜max
得
P F1
＝
8 3
c ，P F2
＝
4 3
c ，且|PF1|>|PF2|，
若圆锥曲线C为椭圆，则2a＝|PF1|＋|PF2|＝4c，
离心率
e＝ c ＝ 1； a2
若圆锥曲线C为双曲线，
则 2a＝
P F1
P F2
＝
4 3
c离，心率
e＝ c ＝ 3 . a2
直线与圆锥曲线
【技法点拨】

高考第一轮复习数学：圆锥曲线的方程(附答案)

素质水平检测〔八〕一、选择题〔每题5分,共60分〕1.过原点的直线l 与双曲线42x －32y =－1交于两点,那么直线l 的斜率的取值范围是A.〔－23,23〕B.〔－∞,－23〕∪〔23,+∞〕C.［－33,23］D.〔－∞,－23〕∪［23,+∞〕解析：双曲线焦点在y 轴上,渐近线斜率为±23,利用数形结合易得k ＞23或k ＜－23. 答案：B2.〔2022年启东市第二次调研题〕过点M 〔－2,0〕的直线l 与椭圆x 2+2y 2=2交于P 1、P 2两点,线段P 1P 2的中点为P ,设直线l 的斜率为k 1〔k 1≠0〕,直线OP 的斜率为k 2,那么k 1·k 2的值为A.2B.－2C.21D.－21解析：设P 1〔x 1,y 1〕、P 2〔x 2,y 2〕,中点P 〔x 0,y 0〕,那么k 1=2121x x y y --,k 2=00x y =2121x x y y ++.将P 1、P 2两点坐标代入椭圆方程x 2+2y 2=2,相减得22212221x x y y --=－21. ∴k 1·k 2=2121x x y y --·2121x x y y ++=22212221x x y y --=－21. 答案：D3.〔2022年黄冈市调研题〕如果方程p x -2+qy 2=1表示双曲线,那么以下椭圆中,与该双曲线共焦点的是A.p q x +22+q y 2=1B.p q x +22+q y 2=－1 C.q p x +22+q y 2=1 D.q p x +22+qy 2=－1解析：由题意有pq >0,假设p >0,q >0,那么双曲线焦点位于y 轴上且c 2=p +q 无答案,那么只有p <0,q <0,焦点位于x 轴上,且c 2=－p －q ,B 答案符合.答案：Bx =2cos θ, y =sin θ〔其中参数θ∈R 〕上的点的最短距离为A.36B.1C. 2D.32 解析：d =θθ22sin )1cos 2(+- =2cos 4cos 32+-θθ=32)32(cos 32+-θ,d min =36. 答案：A5.〔2022年北京海淀区第一学期期末练习〕mn ≠0,那么方程mx 2+ny 2=1与mx +ny 2=0在同一坐标系下的图形可能是x x xxyO AC 解析：由mn ≠0,分m 、n 同号或异号讨论即得A 答案：A 6.双曲线的虚轴长为4,离心率e =26,F 1、F 2分别是它的左、右焦点,假设过F 1的直线与双曲线的左支交于A 、B 两点,且|AB |是|AF 2|与|BF 2|的等差中项,那么|AB |等于A.82B.42C.22D.8 解析：由题意知b =2,ac =26,∴a =22. 由双曲线的定义知|AF 2|－|AF 1|=42,|BF 2|－|BF 1|=42.∴|AF 2|+|BF 2|－〔|AF 1|+|BF 1|〕=82,即|AB |=82.4.点P 〔1,0〕到曲线7.假设点A 的坐标为〔3,2〕,F 为抛物线y 2＝2x 的焦点,点P 在此抛物线上移动,当｜PA ｜＋｜PF ｜取最小值时,点P 的坐标为A.〔0,0〕B.〔－2,－2〕C.〔2,2〕D.〔2,0〕解析：由抛物线的定义知：过A 作准线的垂线与抛物线的交点即为所求. 答案：C8.双曲线m x 2－n y 2=1〔mn ≠0〕的离心率为2,那么nm的值为A.3B. 31C.3或－31D.3或31解析：当m ＞0,n ＞0时,c =n m +,a =m ,由题意mn m +=2,解得n m =31；当m ＜0,n ＜0时,c =n m --＝,a =n -,nn m --- =2,解得nm =3. 答案：D 9.P 1〔x 1,y 1〕、P 2〔x 2,y 2〕是抛物线y 2＝2px 〔p ＞0〕上两个不同点,那么y 1·y 2＝－p 2是直线P 1P 2过焦点的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：显然当P 1P 2是通径时y 1·y 2＝－p 2,设P 1P 2的方程为x ＝ky ＋b ,代入y 2＝2Px ,知y 2＝2p 〔ky ＋b 〕,即y 2－2pky －2pb ＝0,由y 1y 2＝－p 2,b ＝21p , ∴P 1P 2：x －21p ＝ky ,此直线过点〔2p ,0〕. 反之,假设直线P 1P 2过焦点F 〔2p,0〕易得y 1y 2=－p 2.答案：C10.圆心在抛物线y 2=2x 上,且与x 轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是A.x 2+y 2－x －2y +41=0B.x 2+y 2+x －2y +1=0C.x 2+y 2－x －2y +1=0D.x 2+y 2－x －2y －41=0解析：利用平面几何的知识及抛物线的定义易知圆的半径为1,圆心坐标为〔21,1〕,〔21,－1〕.11.P 是双曲线22a x －22by =1〔a ＞0,b ＞0〕右支上一点,F 1、F 2分别是左、右焦点,且焦距为2c ,那么△PF 1F 2的内切圆圆心的横坐标为A.aB.bC.cD.a +b －c解析：利用平面几何的知识及双曲线的定义易知：△PF 1F 2的内切圆与x 轴的切点为双曲线的右顶点.答案：A12.关于方程x 2+2y 2－ax +ay －a －1=0〔a ∈R 〕表示的椭圆,给出以下四个命题： ①椭圆的中央在一条直线上运动； ②椭圆的大小不变；③不管a 取什么值,椭圆总过两个定点； ④椭圆的离心率不变. 其中错误命题的个数是A.3B.2C.1D.0解析：椭圆方程为8883)2(22++-a a a x +16883)4(22+++a a a y =1,故中央〔2a ,－4a 〕在直线y =－21x 上运动.∴①成立.离心率e =8883168838883222++++-++a a a a a a =8116181-=21〔定值〕,故④成立. 随a 的变化,88832++a a 与168832++a a 均变化,故②不成立.椭圆方程又可写为〔x 2+2y 2－1〕+a 〔－x +y －1〕=0. x 2+2y 2－1=0, －x +y －1=0,由Δ=42－4×3＞0知方程组有两组解,故③成立. 综上知只有②错误,应选C. 答案：C二、填空题〔每题4分,共16分〕13.〔2022年北京〕以双曲线162x －92y =1的右顶点为顶点,左焦点为焦点的抛物线的方程是____________.解析：在双曲线162x －92y =1中,右顶点为〔4,0〕,左焦点为〔－5,0〕.由题设抛物线方程为y 2=－2p 〔x －4〕〔p ＞0〕,令消y 得3x 2+4x +1=0.且满足2p=4－〔－5〕,∴p =18. ∴y 2=－2×18〔x －4〕, 即y 2=－36〔x －4〕. 答案：y 2=－36〔x －4〕14.椭圆x 2+2y 2=4,那么以〔1,1〕为中点的弦的长度为____________. 解析：依题意设弦端点为A 〔x 1,y 1〕、B 〔x 2,y 2〕.分别代入椭圆方程相减得此弦的斜率k =2121x x y y --=－)(22121y y x x ++=－21.∴此弦的方程为y =－21x +23.代入x 2+2y 2=4, 整理得3x 2－6x +1=0. ∴x 1+x 2=2,x 1x 2=31. ∴|AB |=212214)(x x x x --·21k +=3144⨯-·411+=330. 答案：33015.〔2022年黄冈市调研,15〕在△ABC 中,B 〔－2,0〕、C 〔2,0〕、A 〔x ,y 〕,给出△ABC 满足的条件,就能得到动点A 的轨迹方程,下面给出了一些条件及方程,请你用线把左边△ABC 满足的条件及相应的右边A 点的轨迹方程连起来.〔错一条连线得0分〕解析：①由|AB |+|AC |=6,得92x +52y =1〔y ≠0〕.②由21|BC ||y |=10,得y 2=25.③由|AB |2+|AC |2=|BC |2,得x 2+y 2=4〔y ≠0〕. 答案：①→c ②→a ③→b16.〔2022年春季上海〕假设平移椭圆4〔x +3〕2+9y 2=36,使平移后的椭圆中央在第一象限,且它与x 轴、y 轴分别只有一个交点,那么平移后的椭圆方程是_____________.解析：由题意知椭圆的长半轴长a =3,短半轴长b =2,因椭圆与x 轴、y 轴只有一个交点,故椭圆与x 轴、y 轴相切,椭圆的中央为〔3,2〕,所以椭圆方程为9)3(2-x +4)2(2-y =1.答案：9)3(2-x +4)2(2-y =1三、解做题〔本大题共6小题,共74分〕17.〔12分〕〔2022年北京海淀区第一学期期末练习〕设椭圆22a x +22by =1〔a >b >0〕的左焦点为F 1〔－2,0〕,左准线l 1与x 轴交于点N 〔－3,0〕,过点N 且倾斜角为30°的直线l 交椭圆于A 、B 两点.〔1〕求直线l 和椭圆的方程；〔2〕求证：点F 1〔－2,0〕在以线段AB 为直径的圆上；〔3〕在直线l 上有两个不重合的动点C 、D ,以CD 为直径且过点F 1的所有圆中,求面积最小的圆的半径长.〔1〕解：直线l ：y =33〔x +3〕, 由c =2及ca 2=3,解得a 2=6,∴b 2=6－22=2.∴椭圆方程为62x +22y =1.x 2+3y 2－6=0, ① y =33〔x +3〕,②将②代入①,整理得2x 2+6x +3=0.③设A 〔x 1,y 1〕、B 〔x 2,y 2〕,那么x 1+x 2=－3,x 1x 2=23. 方法一：k A F 1·k B F 1=211+x y ·222+x y =)2)(2()3)(3(312121++++x x x x =]4)(2[39)(321212121++++++x x x x x x x x=－1,∴F 1A ⊥F 1B ,即∠AF 1B =90°.∴点F 1〔－2,0〕在以线段AB 为直径的圆上. 方法二：A F 1·B F 1=〔x 1+2,y 1〕·〔x 2+2,y 2〕 =〔x 1+2〕〔x 2+2〕+y 1y 2 =x 1x 2+2〔x 1+x 2〕+4+31［x 1x 2+3〔x 1+x 2〕+9］ =34x 1x 2+3〔x 1+x 2〕+7=0, ∴F 1A ⊥F 1B .那么∠AF 1B =90°.∴点F 1〔－2,0〕在以线段AB 为直径的圆上.〔3〕解：面积最小的圆的半径长应是点F 1到直线l 的距离,设为r .〔2〕证实：解方程组∴r =1)33(|30)2(33|2++--⨯=21为所求. 18.〔12分〕椭圆的焦点是F 1〔－3,0〕和F 2〔3,0〕,离心率为e =23. 〔1〕求椭圆上的点到直线2x +3y +8=0距离的最大值；〔2〕假设P 在椭圆上,1PF ·2PF =32,求△PF 1F 2的面积. 解：〔1〕设椭圆22a x +22by =1,半焦距为c ,那么c =3 a =2 a 2=4,a c =23 a 2－b 2=3 b 2=1. ∴椭圆方程为42x +y 2=1.设椭圆上的点为P 〔2cos θ,sin θ〕, P 到直线2x +3y +8=0的距离d =|138sin 3cos 4++θθ|=|138)sin(5++ϕθ|≤|1313|=13.当且仅当sin 〔θ+ϕ〕=1时取“=〞〔其中tan ϕ=34〕. 椭圆上的点到直线2x +3y +8=0的最大值为13.〔2〕∵1PF ·2PF =|1PF ||2PF |cos 〈1PF ,2PF 〉=32, 又∵|21F F |2=|1PF |2+|2PF |2－2|1PF |·|2PF |cos 〈1PF ,2PF 〉, ∴|PF 1|+|PF 2|=4,即12=〔|1PF |+|2PF |〕2－2|1PF |·|2PF |－32·2=16－2|1PF |·|2PF |－32·2⇒|1PF |·|2PF |=34⇒cos 〈1PF ,2PF 〉=21⇒sin 〈1PF ,2PF 〉=23.∴S △PF 1F 2=21|1PF ||2PF |sin 〈1PF ,2PF 〉=21·34·23=33.19.〔12分〕〔2022年春季上海〕设点P 〔x ,y 〕〔x ≥0〕为平面直角坐标系xOy 中的一个动点〔其中O 为坐标原点〕,点P 到定点M 〔21,0〕的距离比点P 到y 轴的距离大21.⇒⇒〔1〕求点P 的轨迹方程,并说明它表示什么曲线；〔2〕假设直线l 与点P 的轨迹相交于A 、B 两点,且OA ⊥OB ,点O 到直线l 的距离为2,求直线l 的方程.解：〔1〕∵x ≥0,∴22)21(y x +-=x +21.整理得y 2=2x .这就是动点P 的轨迹方程,它表示顶点在原点,对称轴为x 轴,开口向右的一条抛物线. 〔2〕①当直线l 的斜率不存在时,由题设可知,直线l 的方程是x =2.联立x =2与y 2=2x ,可求得点A 、B 的坐标分别为〔2,22〕与〔2,－22〕,此时不满足OA ⊥OB ,故不合题意.②当直线l 的斜率存在时,可设直线l 的方程为y =kx +b 〔其中k ≠0,b ≠0〕.将x =kby -代入y 2=2x 中, 并整理得ky 2－2y +2b =0. ① 设直线l 与抛物线的交点坐标为A 〔x 1,y 1〕、B 〔x 2,y 2〕,那么y 1、y 2为方程①的两个根,于是y 1y 2=kb2.又由OA ⊥OB 可得x 1x 2+y 1y 2=0. ②将x 1=221y ,x 2=222y代入②并整理得y 1y 2+4=0,∴b +2k =0.③又由点O 到直线l 的距离为2,得1||2+k b =2. ④联立③④得k =1,b =－2或k =－1,b =2.故直线l 的方程为y =x －2或y =－x +2.20.〔12分〕〔2022年北京朝阳区模拟题〕椭圆C ：22a x +22by =1〔a ＞b ＞0〕.〔1〕假设点P 〔x 0,y 0〕是椭圆C 内部的一点,求证：220ax +220by ＜1；〔2〕假设椭圆C ：22a x +22by =1〔a ＞b ＞0〕上存在不同的两点关于直线l ：y =x +1对称,试求a 、b 满足的关系式.〔1〕证实：设F 1、F 2为椭圆C 的左、右两个焦点.∵P 是椭圆C 内部的一点, ∴|F 1P |+|F 2P |＜2a .∴2020)(y c x +++2020)(y c x +-＜2a .∴〔a 2－c 2〕x 02+a 2y 02＜a 2〔a 2－c 2〕. ∴220ax +220by ＜1〔b 2=a 2－c 2〕.〔2〕解：设椭圆C 上关于直线l 对称的点A 、B 的坐标为A 〔x 1,y 1〕、B 〔x 2,y 2〕,线段AB 的中点坐标为M 〔x M ,y M 〕,那么有b 2x 12+a 2y 12=a 2b 2, ① b 2x 22+a 2y 22=a 2b 2, ②1212x x y y --=－1,③ y M =x M +1.④②－①得b 2〔x 22－x 12〕+a 2〔y 22－y 12〕=0, b 2〔x 2－x 1〕〔x 2+x 1〕+a 2〔y 2－y 1〕〔y 2+y 1〕=0, b 2x M +a 2y M1212x x y y --=0,把③代入上式得b 2x M －a 2y M =0,⑤由④和⑤得x M =222a b a -,y M =222a b b -, 即M 〔222a b a -,222a b b -〕.∵点M 在椭圆C 的内部,∴22222)(a a b a -+22222)(ba b b -＜1. ∴a 2+b 2＜〔b 2－a 2〕2=〔a +b 〕2〔a －b 〕2.a 、b 应满足的不等式为a 2+b 2＜〔a +b 〕2〔a －b 〕2. 21.有点难度哟！〔12分〕〔2022年全国Ⅱ,21〕给定抛物线C ：y 2=4x ,F 是C 的焦点,过点F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点.〔1〕设l 的斜率为1,求OA 与OB 夹角的大小；〔2〕设FB =λAF ,假设λ∈［4,9］,求l 在y 轴上截距的变化范围.分析：此题主要考查抛物线的性质、直线与抛物线的关系以及解析几何的根本方法、思想和综合解题水平.解：〔1〕C 的焦点为F 〔1,0〕,直线l 的斜率为1,所以l 的方程为y =x －1. 将y =x －1代入方程y 2=4x ,并整理得x 2－6x +1=0.设A 〔x 1,y 1〕,B 〔x 2,y 2〕,那么有x 1+x 2=6,x 1x 2=1.OA ·OB =〔x 1,y 1〕·〔x 2,y 2〕=x 1x 2+y 1y 2=2x 1x 2－〔x 1+x 2〕+1 =－3.|OA ||OB |=2121y x +·2222y x + =]16)(4[212121+++x x x x x x =41. cos 〈OA ,OB 〉||||OB OA OB OA =－41413. 所以OA 与OB 夹角的大小为 π－arccos41413. 〔2〕由题设FB =λAF ,得〔x 2－1,y 2〕=λ〔1－x 1,－y 1〕,x 2－1=λ〔1－x 1〕, ① y 2=－λy 1. ② 由②得y 22=λ2y 12.∵y 12=4x 1,y 22=4x 2,∴x 2=λ2x 1.③联立①③解得x 2=λ.依题意有λ>0,∴B 〔λ,2λ〕或B 〔λ,－2λ〕.又F 〔1,0〕,得直线l 方程为〔λ－1〕y =2λ〔x －1〕或〔λ－1〕y =－2λ〔x －1〕.当λ∈［4,9］时,l 在y 轴上的截距为12-λλ或－12-λλ.由12-λλ=12+λ+12-λ, 可知12-λλ在［4,9］上是递减的, ∴43≤12-λλ≤34,－34≤－12-λλ≤－43.直线l 在y 轴上截距的变化范围为［－34,－43］∪［43,34］.22.有点难度哟！〔14分〕〔北京市东城区2022~2022学年第一学期期末教学目标检测〕常数a >0,向量m =〔0,a 〕,n =〔1,0〕,经过定点A 〔0,－a 〕,以m +λn 为方向向量的直线与经过定点B 〔0,a 〕,以n +2λm 为方向向量的直线相交于点P ,其中λ∈R .〔1〕求点P 的轨迹C 的方程；〔2〕假设a =22,过E 〔0,1〕的直线l 交曲线C 于M 、N 两点,求EM ·EN 的取值范围.解：〔1〕设P 点的坐标为〔x ,y 〕,那么AP =〔x ,y +a 〕,BP =〔x ,y －a 〕,即又n =〔1,0〕,m =〔0,a 〕,故m +λn =〔λ,a 〕,n +2λm =〔1,2λa 〕. 由题知向量AP 与向量m +λn 平行,故λ〔y +a 〕=ax . 又向量BP 与向量n +2λm 平行,故y －a =2λax .两方程联立消去参数λ,得点P 〔x ,y 〕的轨迹方程是〔y +a 〕〔y －a 〕=2a 2x 2, 即y 2－a 2=2a 2x 2.〔2〕∵a =22,故点P 的轨迹方程为2y 2－2x 2=1, 此时点E 〔0,1〕为双曲线的焦点. ①假设直线l 的斜率不存在,其方程为x =0,l 与双曲线交于M 〔0,22〕、N 〔0,－22〕, 此时EM ·EN =〔22－1〕〔－22－1〕=1－21=21. ②假设直线l 的斜率存在,设其方程为y =kx +1,代入2y 2－2x 2=1化简得2〔k 2－1〕x 2+4kx +1=0.∵直线l 与双曲线交于两点,∴Δ=〔4k 〕2－8〔k 2－1〕>0且k 2－1≠0.解得k ≠±1.设两交点为M 〔x 1,y 1〕、N 〔x 2,y 2〕,那么x 1+x 2=122--k k ,x 1x 2=)1(212-k . 此时EM ·EN ＝〔x 1,y 1－1〕·〔x 2,y 2－1〕=〔x 1,kx 1〕·〔x 2,kx 2〕=x 1x 2+k 2x 1x 2=〔k 2+1〕x 1x 2 =)1(2122-+k k =21〔1+122-k 〕. 当－1<k <1时,k 2－1<0,故EM ·EN ＝21〔1+122-k 〕≤－21；当k >1或k <－1时,k 2－1>0, 故EM ·EN =21〔1+122-k 〕>21. 综上所述,EM ·EN 的取值范围是〔－∞,－21〕∪［21,+∞〕.。

2021-2022年高考数学数学圆锥曲线方程讲解例题新人教版

2021-2022年高考数学数学圆锥曲线方程讲解例题新人教版说明:本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，请将第Ⅰ卷选择题的答案填入题后括号内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答.共100分，考试时间90分钟.一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)1.如果椭圆的两个焦点将长轴三等分，那么这个椭圆的两条准线间的距离是焦距的A.4倍B.9倍C.12倍D.18倍解析:设两条准线间的距离是焦距的k倍，则=2ck,k=()2.由已知得a=3c,∴k=()2=32=9.答案:B2.椭圆+=1上一点P到左焦点F1的距离为2，M是线段PF1的中点，则M到原点O的距离等于A.2B.4C.6D.8解析:如图，易知|OM|=|PF2|,而|PF2|=2a－|PF1|=2×5－2=8,∴|OM|=4.答案:B3.AB为过椭圆+=1中心的弦，F(c,0)为椭圆的右焦点，则△AFB面积的最大值是A.b2B.abC.acD.bc解析:设A(x0,y0),B(－x0,－y0),S△ABF=S△OFB+S△OFA=c·|y0|+c·|－y0|=c·|y0|.∵点A、B在椭圆+=1上,∴|y0|的最大值为b.∴S △ABF 的最大值为bc . 答案:D4.函数y =的图象是平面上到两定点距离之差的绝对值等于定长的点的轨迹,则这两个定点间的距离为A.8B.4C.4D.2 分析:本题主要考查双曲线的定义.y解:函数y =y =0.解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-=,0,2y x xy 得或即顶点为A 1(,),A 2(－,－).∵e ===,∴c =2.根据双曲线的定义,两定点间的距离为2c =4. 答案:C5.点P 在椭圆7x 2+4y 2=28上，则点P 到直线3x －2y －16=0的距离的最大值为 A. B. C. D. 解析:化椭圆方程为参数方程(α为参数). ∴点P 到直线3x －2y －16=0的距离为 d ==.∴d max ==. 答案:C6.一动圆与圆x 2+y 2=1外切，而与圆x 2+y 2－6x +8=0内切，那么动圆的圆心的轨迹是 A.双曲线的一支 B.椭圆 C.抛物线 D.圆解析:已知x 2+y 2=1的圆心为O (0,0),半径为r 1=1,圆x 2+y 2－6x +8=0的圆心为A (3，0),半径为r 2=1.设动圆的圆心为P ，半径为r , 则|PO |=1+r ,|PA |=r －1. 则有|PO |－|PA |=2<|OA |=3, ∴轨迹为双曲线的一支. 答案:A7.过原点的直线l 与双曲线－=－1有两个交点，则直线l 的斜率的取值范围是 A.(－，)B.(－∞,－)∪(,+∞)C.［－,］D.(－∞,－］∪［,+∞)解析:双曲线方程－=1,其渐近线的斜率k =±,当直线l 的斜率为±时，直线与渐近线重合，直线l 与双曲线无交点，排除C 、D.又双曲线的焦点在y 轴上，当－<k <时，直线与双曲线无交点.答案:B8.设P 是双曲线－=1上一点,双曲线的一条渐近线方程为3x －2y =0,F 1、F 2分别是双曲线的左、右焦点,若|PF 1|=3,则|PF 2|等于A.1或5B.6C.7D.9 分析:本题考查双曲线的定义.y x解:∴可求得a 2=4.∴双曲线的方程为－=1,2a =4. 如图,可知P 点在左支上.由双曲线定义,|PF 2|－|PF 1|=4, ∴|PF 2|=4+3=7. 答案:C9.椭圆具有这样的光学性质:从椭圆的一个焦点出发的光线,经椭圆反射后,反射光线经过椭圆的另一个焦点.今有一个水平放置的椭圆形台球盘,点A 、B 是它的焦点,长轴长为2a ,焦距为2c ,静放在点A 的小球(小球的半径忽略不计)从点A 沿直线出发,经椭圆壁反射后第一次回到点A 时,小球经过的路程是A.4aB.2(a －c )C.2(a +c )D.4a 或2(a －c )或2(a +c ) 分析:本题属信息迁移题,考查学生灵活应用知识的能力.解:设靠近A 的长轴端点为M ，另一长轴的端点为N .若小球沿AM 方向运动,则路程应为2(a －c )；若小球沿ANM 方向运动,则路程为2(a +c )；若小球不沿AM 与AN 方向运动,则路程应为4a .答案:D10.椭圆a 2x 2+y 2=a 2(0<a <1)上离顶点A (0，a )距离最远的点恰好是另一个顶点A ′(0，－a ),则a 的取值范围是A.(，1)B.［，1)C.(0，)D.(0，］解析:由对称性，可设P 点坐标为(,y ), ∴|AP |2=1－+(y －a )2 =y 2－2ay +a 2+1.∵0<a <1,∴<0,开口向下.∴对称轴y=≥－a.解得≤a<1.答案:B第Ⅱ卷(非选择题共70分)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)11.已知点M(－3，0)、N(3，0)、B(1，0)，⊙O与MN相切于点B，过M、N与⊙O相切的两直线相交于点P，则P点的轨迹方程为__________.2=2.解析:如图，|PM|－|PN|=|PA|+|AM|－|PC|－|CN|=|MA|－|NC|=|MB|－|NB|=4－∴方程为－=1(x>1).答案:x2－=1(x>1)12.点M到一个定点F(0，2)的距离和它到一条定直线y=8的距离之比是1∶2，则M点的轨迹方程是__________.解析:根据椭圆第二定义可知，椭圆焦点为(0，2)，y==8,e=.由c=2,=8,得a=4,满足e===.∴椭圆方程为+=1.答案: +=113.椭圆+ =1的焦点为F1、F2，点P为其上的动点，当∠F1PF2为钝角时，点P横坐标的取值范围是__________.解析:设P点横坐标为x0,则|PF1|=a+ex0=3+x0,|PF2|=a－ex0=3－x0.∠F1PF2为钝角，当且仅当|F1F2|2－|PF1|2－|PF2|2>0,解之即得－<x0<.答案:－<x0<14.设点A(－2，)，椭圆+ =1的右焦点为F，点P在椭圆上移动.当|PA|+2|PF|取最小值时,P点的坐标是__________.解析:设椭圆的右准线为l,过A作AN⊥l于N，AN交椭圆于P，则P点就是所求的点，坐标为(2，).事实上，易知椭圆离心率为.|PA|+2|PF|=|PA|+2×|PN|=|PA|+|PN|，(|PN|是P到相应准线的距离.显然|P′A|+|P′N′|>|AP|+|PN|).答案:(2,)三、解答题(本大题共5小题，共54分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分8分)设椭圆+=1(a＞b＞0)的左焦点为F1(－2,0),左准线l1与x轴交于点N(－3,0),过点N且倾斜角为30°的直线l交椭圆于A、B两点.(1)求直线l和椭圆的方程；(2)求证:点F1(－2,0)在以线段AB为直径的圆上.(1)解:可知直线l:y=(x+3).由c=2及=3,解得a2=6,∴b2=6－22=2.∴椭圆方程为+=1.(2)证明:联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧+==-+),3(33,06322x y y x 将②代入①,整理得2x 2+6x +3=0.设A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2),则x 1+x 2=－3,x 1x 2=. 方法一:k ·k =·===⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-⨯++-⨯+4)3(22339)3(323=－1, ∴F 1A ⊥F 1B ,即∠AF 1B =90°.∴点F 1(－2,0)在以线段AB 为直径的圆上.方法二:·=(x 1+2,y 1)·(x 2+2,y 2)=(x 1+2)(x 2+2)+y 1y 2 =x 1x 2+2(x 1+x 2)+4+［x 1x 2+3(x 1+x 2)+9］ =x 1x 2+3(x 1+x 2)+7=0,∴F 1A ⊥F 1B ,则∠AF 1B =90°.∴点F 1(－2,0)在以线段AB 为直径的圆上.16.(本小题满分10分)设F 1、F 2是双曲线x 2－y 2=4的左、右两个焦点，P 是双曲线上任意一点，过F 1作∠F 1PF 2的平分线的垂线，垂足为M ，求点M 的轨迹方程.解:如图,F 1(－2，0)、F 2(2，0)、M (x ,y )，延长F 1M 与PF 2相交于点N ，设N (x 0,y 0). 由已知可得M 为F 1N 的中点,∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⇒=+=⇒-=.22,2222220000y y y y x x x x又|NF 2|=|PN |－|PF 2|=|PF 1|－|PF 2|=2a =4,∴(x 0－2)2+y 02=16.∴(2x +2－2)2+(2y )2=16.∴x 2+y 2=4.评注:适当运用平面几何知识把条件进行转化，会给我们解题带来方便.17.(本小题满分12分)如图，某农场在P 处有一堆肥，今要把这堆肥料沿道路PA 或PB 送到庄稼地ABCD 中去，已知PA =100 m ，PB =150 m ，∠APB =60°.能否在田地ABCD 中确定一条界线，使位于界线一侧的点，沿道路PA 送肥较近；而另一侧的点，沿道路PB 送肥较近?如果能，请说出这条界线是一条什么曲线，并求出其方程.① ②ABCD P解:设M 是这种界线上的点，则必有|MA |+|PA |=|MB |+|PB |, 即|MA |－|MB |=|PB |－|PA |=50.∴这种界线是以A 、B 为焦点的双曲线靠近B 点的一支.建立以AB 为x 轴，AB 中点 O 为原点的直角坐标系，则曲线为－=1,其中a =25,c =|AB |.∴c =25,b 2=c 2－a 2=3750.∴所求曲线方程为－=1(x ≥25,y ≥0). 18.(本小题满分12分)已知点F (1，0)，直线l :x =2.设动点P 到直线l 的距离为d ,且|PF |=d ,≤d ≤.(1)求动点P 的轨迹方程； (2)若·=，求向量与的夹角.解:(1)根据椭圆的第二定义知，点P 的轨迹为椭圆.由条件知c =1,=2,∴a =.e ===满足|PF |=d .∴P 点的轨迹为+=1. 又d =－x ,且≤d ≤, ∴≤2－x ≤.∴≤x ≤.∴轨迹方程为+y 2=1(≤x ≤).(2)由(1)可知，P 点的轨迹方程为+y 2=1(≤x ≤),∴F (1,0)、P (x 0,y 0). =(1,0),=(x 0,y 0),=(1－x 0,－y 0). ∵·=,∴1－x 0=. ∴x 0=,y 0=±.又·=||·||·cos θ,∴1·x 0+0·y 0=·1·cos θ. ∴cos θ==979432 ==.∴θ=arccos.19.(本小题满分12分)(1)求右焦点坐标是(2,0),且经过点(－2,－)的椭圆C 的标准方程；(2)对(1)中的椭圆C ,设斜率为1的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点,AB 的中点为M ,证明:当直线l 平行移动时,动点M 在一条过原点的定直线上；(3)利用(2)所揭示的椭圆几何性质,用作图方法找出下面给定椭圆的中心,简要写出作图步骤,并在图中标出椭圆的中心.解:(1)由题中条件,设椭圆的标准方程为+=1,a ＞b ＞0, ∵右焦点为(2,0),∴a 2=b 2+4, 即椭圆的方程为+=1.∵点(－2,－)在椭圆上,∴+=1. 解得b 2=4或b 2=－2(舍),由此得a 2=8,即椭圆的标准方程为+=1.(2)设直线l 的方程为y =x +m ,与椭圆C 的交点为A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2),则由⎪⎩⎪⎨⎧=++=,148,22y x m x y 得12x 2+16mx +8m 2－32=0,即3x 2+4mx +2m 2－8=0.∵Δ＞0,∴m 2＜12,即－2＜m ＜2. 则x 1+x 2=－,y 1+y 2=x 1+m +x 2+m =m , ∴AB 中点M 的坐标为(－m ,).∴线段AB 的中点M 在过原点的直线x +2y =0上.(3)如下图,作两条平行直线分别交椭圆于点A 、B 和点C 、D ,并分别取AB 、CD 的中点M 、N ,连结直线MN ；又作两条平行直线(与前两条直线不平行)分别交椭圆于点A 1、B 1和点C 1、D 1,并分别取A 1B 1、C 1D 1的中点M 1、N 1,连结直线M 1N 1,那么直线MN 和M 1N 1的交点O 即为椭圆中心 .瘙35675 8B5B 譛 27107 69E3 槣28447 6F1F 漟40502 9E36 鸶34698 878A 螊c26661 6825 栥24428 5F6C 彬Q i。

2022届高三数学一轮复习-圆锥曲线解答题解题策略讲义

圆锥曲线大题解题策略题型一：轨迹问题曲线轨迹方程的探求有两种题型，第一种题型是曲线类型已知，该题型常用的方法是找条件或用待定系数法，难度不大；第二种题型是曲线类型未知，该题型常用的方法有以下4种：1、定义法：如果所给的几何条件能够符合一些常见定义（如圆、椭圆、双曲线、抛物线等曲线的定义），则可从定义出发直接写出轨迹方程，这种方法叫做定义法．2、直接法：如果动点运动的条件有明显的等量关系，或者是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，易于表达成含未知数x 、y 的等式，从而得到轨迹方程，这种方法叫做直接法．3、参数法：求解轨迹方程有时很难直接找到动点的横坐标、纵坐标之间的关系，则可借助中间变量（参数），使x 、y 之间建立起联系，然后再从所求式子中消去参数，得出动点的轨迹方程，这种方法叫做参数法．一般来说，引进了N 个未知数与参数，要得到未知数x 与y 之间的关系，需要找1N -个方程．常见的消参手法是：加、减、乘、除、平方、平方相加、平方相减以及整体消参等．相关点代入法、交轨法是参数法的一种特殊情况．4、代入法(相关点法)：动点P (x ，y )依赖于另一动点Q (x 0，y 0)的变化而变化，并且Q (x 0，y 0)又在某已知曲线上，则可先用x ，y 的代数式表示x 0，y 0，再将x 0，y 0代入已知曲线得要求的轨迹方程；5、解轨迹问题注意：（1）求点的轨迹与求轨迹方程是不同的要求，求轨迹时，应先求轨迹方程，然后根据方程说明轨迹的形状、位置、大小等.（2）要验证曲线上的点是否都满足方程，以方程解为坐标点是否都在曲线上，补上在曲线上而不满足方程解得点，去掉满足方程的解而不再曲线上的点.1、设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2212x y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =，求点P 的轨迹方程。

2、已知点()2,2P ，圆C ：2280x y y +-=，过点P 的动直线l 与圆C 交于A 、B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点．求M 的轨迹方程；3、设圆222150x y x ++-=的圆心为A ,直线l 过点B （1,0）且与x 轴不重合,l 交圆A 于C ,D 两点,过B 作AC 的平行线交AD 于点E 。

圆锥曲线的方程与轨迹方程(解析版)-学霸养成2022高考数学压轴大题必杀技系列之圆锥曲线

专题1 圆锥曲线的方程与轨迹方程一、考情分析求圆锥曲线的方程与轨迹方程,一般出现在解答题第（1）问,考查频率非常高,求圆锥曲线的方程一般用待定系数法,比较容易,求圆锥曲线的轨迹方程一般用定义法,有时可用到直接法、相关点法、交轨法等,难度一般中等或中等以下. 二、解题秘籍(一)用待定系数法求圆锥曲线的方程1.求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法,具体过程是先定形,再定量,即首先确定焦点所在位置,然后再根据条件建立关于a ,b 的方程组．如果焦点位置不确定,要考虑是否有两解,有时为了解题方便,也可把椭圆方程设为mx 2＋ny 2＝1(m >0,n >0,m ≠n )的形式．思路：直接解不等式,确定函数单调区间求双曲线的标准方程一般用待定系数法,用待定系数法求双曲线方程具体过程中先定形,再定量,即先确定双2.双曲线标准方程的形式,注意焦点F 1,F 2的位置是双曲线定位的条件,它决定了双曲线标准方程的类型.“焦点跟着正项走”,若x 2项的系数为正,则焦点在x 轴上;若y 2项的系数为正,那么焦点在y 轴上.确定方程的形式后,然后再根据a ,b ,c ,e 及渐近线之间的关系,求出a ,b 的值, 当双曲线焦点的位置不确定时,为了避免讨论焦点的位置,常设双曲线方程为Ax 2＋By 2＝1(A ·B ＜0),这样可以简化运算.3. 如果已知双曲线的渐近线方程()0,0b y x a b a=±>>,求双曲线的标准方程,可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0),再由条件求出λ的值即可．与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0,b >0)有共同渐近线的方程可表示x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)．4. 利用待定系数法求抛物线的标准方程的步骤 (1)依据条件设出抛物线的标准方程的类型. (2)求参数p 的值. (3)确定抛物线的标准方程.【例1】已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>,A ,B 分别为椭圆C 的右顶点、上顶点,F 为椭圆C 的右焦点,椭圆C的离心率为12,BFA （1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点F 作直线交椭圆于M ,N 两点,若NF FM λ=,求实数λ的取值范围．【分析】（1）根据椭圆离心率、三角形BFA 的面积整理出关于,a b 的方程,联立解方程组求得,a b ,即可确定椭圆C 的标准方程.（2）根据直线MN 的斜率是否为0进行分类讨论,结合根与系数关系以及NF FM λ=列方程,求得关于λ的不等式,由此求得λ的取值范围. 【解析】（1）由题意得12c a =,则2a c =,b =．BFA 的面积为()12a c b -=则()a c b - 将2a c=,b =代入上式,得1c =,则2a=,b =故椭圆C 的标准方程为22143x y +=．（2）由（1）知()1,0F ,当直线MN 的斜率不为0时,设直线MN 的方程为1x my =+,()11,M x y ,()22,N x y ,将1x my =+代入椭圆方程得()221143my y ++=,化简得()2234690m y my ++-=, 则()214410m ∆=+>,所以122634m y y m +=-+①,122934y y m =-+②．由NF FM λ=得NF FM λ=,即()()22111,1,x y x y λ--=-, 则21y y λ=-．2÷①②得2122214234y y m y y m ++=-+,所以2214234m m λλ--+=-+, 即222144162343912m m m λλ+-==-++,易知24164039123m ≤-<+, 故14023λλ≤+-<,易知120λλ+-≥恒成立,由1423λλ+-<,得231030λλ-+<, 解得133λ<<．当直线MN 的斜率等于0时,()2,0M -,()2,0N 或()2,0M ,()2,0N -,则13NF FM λ==或3NFFMλ==．综上,实数λ的取值范围为1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦．【点评】利用待定系数法求椭圆的方程,一般需要两个独立的条件确定关于,,a b c 的等式.【例2】（2022届广西玉林市高三上学期质量监测）已知双曲线22221x y a b -=（a ,b >0）的渐近线方程为y =左焦点为F （-2,0）.（1）求双曲线C 的标准方程；（2）过点Q （2,0）作直线l 与双曲线C 右支交于A ,B 两点,若2AQ QB =,求直线l 的方程. 【分析】（1）根据渐近线的概念以及双曲线的性质列出关于,,a b c 的方程组解出即可；（2）设直线l 的方程为2x my -=以及点A ,B 的坐标,由题意易知122y y =-,结合韦达定理即可解出m ,进而得结果.【解析】（1）∵双曲线22221x y a b -=（a ,b >0）的渐近线方程为y =,左焦点为F （-2,0）.∵2222c b a c a b =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩,解得c =2,ab =1.∵双曲线的标准方程为：2213x y -=. （2）设直线l 的方程为2x my -=,A （x 1,y 1）,B （x 2,y 2）, ∵2AQ QB =,∵122y y =-①,··联立直线与双曲线方程22213x my x y -=⎧⎪⎨-=⎪⎩,化简整理,可得22(3)410m y my -++=, 由韦达定理,可得12243m y y m -+=-②,12213y y m =-③, 由①②③得m =,此时检验得0>, ∵直线l方程为2)y x =-.【点评】求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法．具体过程是先定形,再定量,即先确定双曲线标准方程的形式,然后再根据a ,b ,c ,e 及渐近线之间的关系,求出a ,b 的值．注意用待定系数法确定双曲线的标准方程要注意方程的个数要与未知数的个数相等.【例3】（2022届广东省深圳市高三上学期月考）已知抛物线2:2(0)E y px p =>的焦点为F ,其中P 为E 的准线上一点,O 是坐标原点,且94OF OP ⋅=-.（1）求抛物线E 的方程；（2）过()1,0Q 的动直线与E 交于,C D 两点,问：在x 轴上是否存在定点()(),00M t t ≠,使得x 轴平分?CMD ∠若存在,求出点M 的坐标；若不存在,请说明理由.【分析】（1）抛物线2:2(0)E y px p =>的焦点为(,0)2p F ,设(2p P -,)P y ,可得,OF OP ,再由94OF OP ⋅=-求解p ,则抛物线E 的方程可求；（2）假设在x 轴上存在定点(M t ,0)(0)t ≠,使得x 轴平分CMD ∠,设动直线的方程为1x my =+,联立直线方程与抛物线方程,利用根与系数的关系及斜率公式求得求得()()1212210my y t y y +-+=,把根与系数的关系代入,即可求得t 值得结论．【解析】（1）抛物线2:2(0)E y px p =>的焦点为,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭,设,2P p P y ⎛⎫- ⎪⎝⎭,则,0,,22P p p OF OP y ⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为94OF OP ⋅=-,所以2944p -=-,得3p =.所以抛物线E 的方程为26y x =; （2）假设在x 轴上存在定点()(),00M t t ≠,使得x 轴平分CMD ∠. 设动直线的方程为1x my =+,点()()1122,,,C x y D x y ,联立216x my y x =+⎧⎨=⎩,可得2660.y my --= 2Δ36240m =+>恒成立,12126,6y y m y y ∴+==-设直线,MC MD 的斜率分别为12,k k ,则 ()()()()122112121212y x t y x t y yk k x t x t x t x t -+-+=+=---- ()()()()()()()()1221121212121121y my t y my t my y t y y x t x t x t x t +-++-+-+==----由定点()(),00M t t ≠,使得x 轴平分CMD ∠,则120k k +=,所以()()1212210my y t y y +-+=.把根与系数的关系代入可得0m mt +=, 得1t =-.故存在1t =-满足题意.综上所述,在x 轴上存在定点()1,0M -,使得x 轴平分CMD ∠.【点评】用待定系数法求抛物线的标准方程,只需要确定p 的值,因此只需要由已知条件整理出一个关于p 的等式.(二)直接法求曲线轨迹方程1.直接法求曲线方程的关键就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程,要注意翻译的等价性．通常将步骤简记为建系、设点、列式、代换、化简、证明这几个步骤,但最后的证明可以省略．2.求出曲线的方程后还需注意检验方程的纯粹性和完备性．3.对方程化简时,要保证前后方程解集相同,必要时可说明x ,y 的取值范围．【例4】设动点M 在直线0y =和2y =-上的射影分别为点N 和R ,已知2MN MR OM ⋅=,其中O 为坐标原点. （1）求动点M 的轨迹E 的方程；（2）过直线20x y --=上的一点P 作轨迹E 的两条切线PA 和PB (A ,B 为切点),求证：直线AB 经过定点. 【分析】（1）利用直接法求轨迹方程,设(,)M x y ,把2MN MR OM ⋅=坐标化,即可得到动点M 的轨迹E 的方程；（2）利用导数的几何意义,求得切线斜率,设1122(,),(,)A x y B x y ,可得切线PA 、PB 的方程,联立可得切点P 的坐标为1212()22x x x x +，,又点P 在直线20x y --=上,代入可得12124x x x x =+-,再代入到直线AB 的方程即可得解.【解析】（1）设(,)M x y ,则(,0),(,2)N x R x -, 所以(,),(0,),(0,2)OM x y MN y MR y ==-=--, 由条件可得22(2)y y x y ---=+, 整理可得点M 的轨方程为22x y =；（2）由（1）知,212y x =,求导可得y x '=, 设1122(,),(,)A x y B x y ,则切线PA 的方程为2111()2x y x x x -=-, 即2112x y x x =-①,同理可得切线PB 的方程为2222x y x x =-①, 联立①①,解得点P 的坐标为1212(,)22x x x x +, 因为点P 在直线20x y --=上, 所以12122022x x x x +--=,即12124x x x x =+-, 又直线AB 的斜率22211221222x x x x k x x -+==-,所以直线AB 的方程为：21121()22x x x y x x +-=-, 即1212()2x x x x x y +-=,又12124x x x x =+-,代入可得12()(1)22x x x y +-=+,所以直线AB 过定点(1,2).【点评】利用直接法求曲线的轨迹方程一般是根据题中的一个等量关系式,将其坐标化,即可得到曲线的轨迹方程.(三)定义法求曲线轨迹方程1.运用圆锥曲线的定义求轨迹方程,可从曲线定义出发直接写出方程,或从曲线定义出发建立关系式,从而求出方程．2.定义法和待定系数法适用于已知曲线的轨迹类型,利用条件把待定系数求出来,使问题得解．3. 平面内与两个定点F 1,F 2的距离之和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．集合P ＝{M ||MF 1|＋|MF 2|＝2a },|F 1F 2|＝2c ,其中a >0,c >0,且a ,c 为常数： (1)若a >c ,则集合P 为椭圆； (2)若a ＝c ,则集合P 为线段； (3)若a <c ,则集合P 为空集．4. 平面内与两个定点F 1,F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．集合P ＝{M |||MF 1|－|MF 2||＝2a },|F 1F 2|＝2c ,其中a ,c 为常数且a >0,c >0. (1)当2a <|F 1F 2|时,P 点的轨迹是双曲线；(2)当2a ＝|F 1F 2|时,P 点的轨迹是以F 1,F 2为端点的两条射线； (3)当2a >|F 1F 2|时,P 点不存在．5. 平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点,直线l 叫做抛物线的准线．注意：(1)定直线l 不经过定点F.(2)定义中包含三个定值,分别为一个定点,一条定直线及一个确定的比值.【例5】（2022届广东省高三上学期12月大联考）已知圆22(1)16x y ++=的圆心为A ,点P 是圆A 上的动点,点B 是抛物线24y x =的焦点,点G 在线段AP 上,且满足GP GB =. （1）求点G 的轨迹E 的方程；（2）不过原点的直线l 与（1）中轨迹E 交于,M N 两点,若线段MN 的中点Q 在抛物线24y x =上,求直线l 的斜率k 的取值范围.【分析】（1）依题意42GA GB AP AB +==>=,根据椭圆的定义可得到轨迹为椭圆,再由几何关系得到相应的参数值即可得到椭圆方程；（2）设出直线方程并且和椭圆联立,根据韦达定理得到中点坐标2243,4343kt t Q k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭,将点Q 坐标代入抛物线方程得到()216439k k t +=-,将此式代入24k -230t +>得到420432k k +-< ⎪⎝⎭,解不等式即可.【解析】（1）易知()1,0A -，点B 是抛物线24y x =的焦点,()1,0B ∴, 依题意42GA GB AP AB +==>=,所以点G 轨迹是一个椭圆,其焦点分别为,A B ,长轴长为4, 设该椭圆的方程为22221(0)x y a b a b+=>>,则24,22,2,1a c a c ==∴==, 2223b a c ∴=-=,故点G 的轨迹E 的方程为22143x y +=.（2）易知直线1的斜率存在,设直线1：()()()()1122000,,,,,,y kx t t M x y N x y Q x y =+≠,由223412y kx t x y =+⎧⎨+=⎩得：()2224384120k x ktx t +++-=, ()()222Δ(8)4344120kt k t =-+->,即24k -230t +>①又122843kt x x k +=-+,212241243t x x k -⋅=+ 故2243,4343kt t Q k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭,将2243,4343kt t Q k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭,代24y x λ=, 得()()21643,09k k t k +=-≠②,将①代入①,得：()2222422164381,416316810k k k k +<⨯+⨯-<,即420432k k +-< ⎪⎝⎭,即2232703232k k ⎛⎫⎛⎫-+< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,即23032k -<,k <<0k ≠,即k 的取值范围为:0k <<或0k <<【点评】利用椭圆定义求轨迹方程,关键是利用题中条件,确定动点到两定点距离之和为定值.【例6】（2022届广东省六校高三上学期联考）在平面直角坐标系xoy 中,已知圆A ：()2228x y ++=,()2,0B ,动圆P 经过点B 且与圆A 相外切,记动圆的圆点P 的轨迹为C . （1）求C 的方程；（2）试问,在x 轴上是否存在点M ,使得过点M 的动直线l 交C 于E ,F 两点时,恒有EAM FAM ∠=∠？若存在,求出点M 的坐标；若不存在,请说明理由.【分析】（1）根据点与圆和圆与圆的位置关系得到PB PA -=再利用双曲线的定义求解；（2）假设存在满足条件的点M ,设点M 的坐标为()0m ,,直线l 的方程为()y k x m =-,与双曲线方程联立,根据EAM FAM ∠=∠,由0AE AF k k +=,结合韦达定理求解.【解析】（1）设动圆P 的半径长为r ,则PB r =,PA r =+PB PA ∴-=因此,圆心P 的轨迹为以()2,0A -、()2,0B 为焦点,实轴长为,设C 的方程为22221x y a b -=（0x >）,则根据双曲线定义a =2c =,2222b c a ∴=-=,因此C 的方程为22122x y -=（0x >）. （说明：没写x 的范围扣1分）（2）不存在满足条件的点M ,理由如下：假设存在满足条件的点M ,设点M 的坐标为()0m ,,直线l 的斜率为k , 则直线l 的方程为()y k x m =-,由()22,1,22y k x m x y ⎧=-⎪⎨-=⎪⎩消去y 并整理,得()222221220k x mk x k m --++=,设()11,E x y 、()22,F x y ,则212221mk x x k +=-,2212221k m x x k +=-,（*）由EAM FAM ∠=∠,得0AE AFk k +=,即1211022y yx x +=++, 将()11y k x m =-,()22y k x m =-代入上式并化简, 得()()12122240x x m x x m +-+-=.将（*）式代入上式,有()2222222224011k m mk m m k k +⋅+-⋅-=--,解得1m =-.而当直线l 交C 于E ,F 两点时,必须有120x x +>且120x x >.当1m =-时,212221k x x k -+=-,212221k x x k +=-, 由22222220,1,11,20,1k k k k k k ⎧->⎪⎧<⎪-⇒⎨⎨>+⎩⎪>⎪-⎩k 无解, 则当1m =-时,不符合条件. 因此,不存在满足条件的点M .【点评】一定要注意：平面内与两个定点F 1,F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线．平面内与两个定点F 1,F 2的距离的差的等于常数(差的绝对值小于|F 1F 2|)的点的轨迹是双曲线双曲线的一支．【例7】已知一定点(0,1)F ,及一定直线l ：1y =-,以动点M 为圆心的圆M 过点F ,且与直线l 相切．（1）求动点M 的轨迹C 的方程；（2）设P 在直线l 上,直线P A ,PB 分别与曲线C 相切于A ,B ,N 为线段AB 的中点．求证：||2||AB NP =,且直线AB 恒过定点．【分析】（1）根据题意可得到动圆圆心到定点F （0,1）与定直线y =-1的距离相等,故可得动圆圆心的轨迹为抛物线,其中F （0,1）为焦点,y =-1为准线,进而得到方程；（2）依题意可设()2212012,1,,,,44x x P x A x B x ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,可求得211:240PA x x y x --=,切线222:240PB x x y x --=,代入点P 可得到方程20240x x x --=,进而得到PA PB ⊥,根据直角三角形的性质得到||2||AB NP =,由2101240x x x +-=得到：1011102x x y +-=,同理可得到2021102x x y +-=,进而得到直线AB 方程为：01102x x y -+=,可得到定点. 【解析】（1）动点M 为圆心的圆M 过点F ,且与直线l 相切, 动圆圆心到定点F （0,1）与定直线y =-1的距离相等,①动圆圆心的轨迹为抛物线,其中F （0,1）为焦点,y =-1为准线,122pp ∴=⇒=,①动圆圆心轨迹方程为x 2=4y ．（2）依题意可设()2212012,1,,,,44x x P x A x B x ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,又22'114,42x y y x y x =∴=∴= 故切线PA 的斜率为1112k x =, 故切线()221111111:24042PA y x x x x x x y x -=-⇒--=同理可得到切线222:240PB x x y x --=又()0,1P x -,①2101240x x x +-=且2202240x x x +-=,故方程20240x x x --=有两根12,x x ①124x x =-, 1212121111224k k x x x x ∴=⨯==- PA PB ∴⊥ 又N 为线段AB 的中点,||2||AB NP ∴= 又由2101240x x x +-=得到：211011024x x x +-=即1011102x x y +-=同理可得到2021102x x y +-=,故直线AB 方程为：01102x x y -+=,故直线过定点()0,1F .【点评】利用抛物线定义求轨迹方程关键是确定动点到一定点与定直线距离相等.(四)相关点法求曲线轨迹方程 “相关点法”求轨迹方程的基本步骤(1)设点：设被动点坐标为(x ,y ),主动点坐标为(x 1,y 1)；(2)求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝f x ，y ，y 1＝g x ，y ；(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程,便可得到所求动点的轨迹方程．【例8】如图,P 是圆x 2＋y 2＝4上的动点,点P 在x 轴上的射影是点D ,点M 满足DM →＝12DP →.(1)求动点M 的轨迹C 的方程,并说明轨迹是什么图形；(2)过点N (3,0)的直线l 与动点M 的轨迹C 交于不同的两点A ,B ,求以OA ,OB 为邻边的平行四边形OAEB 的顶点E 的轨迹方程．【分析】(1) 设M (x ,y ),()11,P x y ,由DM →＝12DP →知,得11,2x x y y ==,代入x 2＋y 2＝4,即得动点M 的轨迹C 的方程；设E (x ,y ),l ：y ＝k (x －3),代入x 24＋y 2＝1,得(1＋4k 2)x 2－24k 2x ＋36k 2－4＝0,(*)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由OE →＝OA →＋OB →＝(x 1＋x 2,y 1＋y 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫24k 21＋4k 2，－6k 1＋4k 2,得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝24k 21＋4k 2，y ＝－6k 1＋4k 2，消去k 得x 2＋4y 2－6x ＝0,由(*)中Δ>0,得k 2<15,0<x <83.古顶点E 的轨迹方程为x 2＋4y 2－6x ＝0⎝⎛⎭⎫0<x <83. 【解析】(1)设M (x ,y ),则D (x,0),()11,P x y , 由DM →＝12DP →知,得11,2x x y y ==①点P 在圆x 2＋y 2＝4上,①x 2＋4y 2＝4,故动点M 的轨迹C 的方程为x 24＋y 2＝1,且轨迹C 为椭圆．(2)设E (x ,y ),由题意知l 的斜率存在, 设l ：y ＝k (x －3),代入x 24＋y 2＝1,得(1＋4k 2)x 2－24k 2x ＋36k 2－4＝0,(*) 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1＋x 2＝24k 21＋4k 2,①y 1＋y 2＝k (x 1－3)＋k (x 2－3) ＝k (x 1＋x 2)－6k ＝24k 31＋4k 2－6k ＝－6k 1＋4k 2. ①四边形OAEB 为平行四边形,①OE →＝OA →＋OB →＝(x 1＋x 2,y 1＋y 2) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫24k 21＋4k 2，－6k 1＋4k 2,又OE →＝(x ,y ),①⎩⎪⎨⎪⎧x ＝24k 21＋4k 2，y ＝－6k1＋4k 2，消去k ,得x 2＋4y 2－6x ＝0,由(*)中Δ＝(－24k 2)2－4(1＋4k 2)(36k 2－4)>0, 得k 2<15,①0<x <83.①顶点E 的轨迹方程为x 2＋4y 2－6x ＝0⎝⎛⎭⎫0<x <83. 【点评】本题第(1)问是通过相关点法求轨迹方程,第(2)问是通过参数法求轨迹方程. (五)交轨法求曲线轨迹方程求两曲线的交点轨迹时,可由方程直接消去参数,或者先引入参数来建立这些动曲线的联系,然后消去参数来得到轨迹方程,称之交轨法.若动点是两曲线的交点,可以通过这两曲线的方程直接求出交点的轨迹方程,也可以解方程组先求出交点坐标的参数方程,再化为普通方程.【例9】（2022届重庆市第八中学高三上学期月考）已知抛物线2:C y x =,过点()1,2M 的直线交抛物线C 于,A B 两点,以,A B 为切点分别作抛物线C 的两条切线交于点P .（1）若线段AB 的中点N 的纵坐标为32,求直线AB 的方程；（2）求动点P 的轨迹.【分析】（1）联立直线与抛物线,根据韦达定理及中点求出k 即可；（2）写出圆的切线方程,根据P 是交点可得12x x ，是方程20020x x x y -+=的两根,由（1）中12122x x k x x k +==-，代入化简即可求出.【解析】（1）依题意有：直线AB 的斜率必存在,故可设直线AB 的方程为2(1).y k x -=-由22(1)y k x y x -=-⎧⎨=⎩，，可得：220x kx k -+-=. 设1122()()A x y B x y ，，，,则有1212 2.x x k x x k +==-，于是：222212121212()2243y y x x x x x x k k +=+=+-=-+=,解得1k =, 故直线AB 的方程为10.x y -+= （2）设00()P x y ，,对于抛物线2y x ,2y x '=，于是：A 点处切线方程为1112()y y x x x -=-,点P 在该切线上,故2011012()y x x x x -=-,即2101020x x x y -+=.同理：P 点坐标也满足2202020x x x y -+=，于是：12x x ，是方程20020x x x y -+=的两根, 所以1201202.x x x x x y +==，又由（1）可知：12122x x k x x k +==-，,于是0022kx y k ==-，,消k 得0022y x =-,于是P 的轨迹方程为220x y --=,点P 的轨迹是一条直线. 【点评】求两条动直线交点轨迹方程一般用交轨法三、跟踪检测1.如图所示,抛物线E ：y 2＝2px (p ＞0)与圆O ：x 2＋y 2＝8相交于A ,B 两点,且点A 的横坐标为2.过劣弧AB 上动点P (x 0,y 0)作圆O 的切线交抛物线E 于C ,D 两点,分别以C ,D 为切点作抛物线E 的切线l 1,l 2,l 1与l 2相交于点M .（1）求p 的值；（2）求动点M 的轨迹方程．【解析】（1）由点A 的横坐标为2,可得点A 的坐标为(2,2),代入y 2＝2px ,解得p ＝1. （2）由（1）知抛物线E ：y 2＝2x ,设C 211(,)2y y ,D 222(,)2y y ,y 1≠0,y 2≠0.切线l 1的斜率为k ,则切线l 1：y －y 1＝k 21()2y x -,代入y 2＝2x ,得ky 2－2y ＋2y 1－21ky ＝0, 由Δ＝0,解得k ＝11y ,①l 1的方程为y ＝11y x ＋12y, 同理l 2的方程为y ＝21y x ＋22y. 联立11221,21,2y y x y y y x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩解得1212,2.2y y x y y y ⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩易知CD 的方程为x 0x ＋y 0y ＝8,其中x 0,y 0满足2200x y +＝8,x 0],由2002,8,y x x x y y ⎧=⎨+=⎩得x 0y 2＋2y 0y －16＝0, 则01201202,16.y y y x y y x ⎧+=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩代入1212,2,2y y x y y y ⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩ 可得M (x ,y )满足0008,,x x y y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩可得008,8,x xy y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 代入220x y +＝8,并化简,得28x －y 2＝1.考虑到x 0],知x ①[－4,－①动点M 的轨迹方程为28x －y 2＝1,x ①[－4,－．2．（2022届云南省红河州高三检测）在平面直角坐标系xOy 中,点M 是以原点O 为圆心,半径为a 的圆上的一个动点.以原点O 为圆心,半径为()0b a b >>的圆与线段OM 交于点N ,作MD x ⊥轴于点D ,作NQ MD ⊥于点Q .（1）令MOD α∠=,若4a =,1b =,3πα=,求点Q 的坐标；（2）若点Q 的轨迹为曲线C ,求曲线C 的方程；（3）设（2）中的曲线C 与x 轴的正半轴交于点A ,与y 轴的正负半轴分别交于点1B ,2B ,若点E ､F 分别满足3AE OE =-,243AF OB =,证明直线1B E 和2B F 的交点K 在曲线C 上.【解析】（1）设(),Q x y ,则由题知4cos 23sin 3M Dx x y y ππ⎧===⎪⎪⎨⎪===⎪⎩因此Q ⎛ ⎝⎭；（2）设MOD α∠=及(),Q x y ,则由题知cos sin x a y b αα=⎧⎨=⎩,则点Q 的轨迹C 为椭圆,方程为：()222210x y a b a b +=>>；（3）设(),K x y ,由知,()10,B b ,,04a E ⎛⎫ ⎪⎝⎭,()20,B b -,3,4F a b ⎛⎫- ⎪⎝⎭,1:14B E x yl a b +=,即4bx ay ab +=,2:34B F y b xl a b b +=-+,即44bx ay ab -=, 联列上述直线方程,解得8171517x a y b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩222222281511717x y a b 2+=+=,因此交点K 在椭圆C 上. 3．（2022届宁夏石嘴山市高三上学期月考）已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左焦点为F ,离心率为12,过点F 且垂直于x 轴的直线交C 于,A B 两点,3AB = （1）求椭圆的标准方程；（2）若直线l 过点()4,0M -且与椭圆相交于A ,B 两点,求ABF 面积最大值及此时直线l 的斜率.【解析】（1）由题知：2222122231c a a bb ac a b c⎧=⎪=⎧⎪⎪⎪=⇒=⎨⎨⎪⎪=⎩=+⎪⎪⎩ 所以椭圆22:143x y C +=.（2）设直线l 的方程为4x my =-,设()11,A x y ､()22,B x y ,与椭圆方程联立得224143x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩,消去x 得()223424360m y my +-+=. 则()()2225764363414440m m m ∆=-⨯+=->,所以24m >.由根与系数的关系知1222434my y m +=+,1223634y y m =+,所以1232ABFSy y =-=令)0t t =>,则①式可化为21818163163ABFt St t t ==++≤=当且仅当163t t =,即t =,等号成立.此时m =所以直线l的斜率为.4．（2022届海南省海口市高三上学期考试）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的虚轴长为4,直线2x －y ＝0为双曲线C 的一条渐近线．（1）求双曲线C 的标准方程；（2）记双曲线C 的左、右顶点分别为A ,B ,过点T (2,0)的直线l 交双曲线C 于点M ,N (点M 在第一象限),记直线MA 斜率为1k ,直线NB 斜率为2k ,求证：12k k 为定值．【解析】（1）虚轴长为4,24b ∴=,即2b =, 直线20x y -=为双曲线C 的一条渐近线,∴2ba=,1a ,故双曲线C 的标准方程为2214y x -=．（2）由题意知,(1,0)A -,(1,0)B ,由题可知,直线l 斜率不能为零,故可设直线l 的方程为2x ny =+, 设1(M x ,12)(y N x ,2)y ,联立22142y x x ny ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩,得22(41)16120n y ny -++=, 1221641ny y n ∴+=--,1221241y y n =-,12123()4ny y y y ∴=-+,直线MA 的斜率1111y k x =+,直线NB 的斜率2221y k x =-, ∴11211112121222112212223()1(1)143(3)33()341y y y y k x y ny ny y y y k y ny ny y y y y y x -+++++=====-++-++-,为定值．5．已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ,过点F 的直线l 交抛物线C 于A ,B 两点,当l x ⊥轴时,2AB =.（1）求抛物线C 的方程；（2）若直线l 交y 轴于点D ,过点D 且垂直于y 轴的直线交抛物线C 于点P ,直线PF 交抛物线C 于另一点Q .①是否存在定点M ,使得四边形AQBM 为平行四边形？若存在,求出定点M 的坐标；若不存在,请说明理由. ①求证：QAF QBF S S ⋅△△为定值.【解析】（1）当l x ⊥轴时,易得2AB p =, 所以22p =,解得1p =,所以抛物线C 的方程为22y x =；（2）①解：易知直线l 的斜率存在且不为0,设直线l 的方程为()102x my m =+≠, 代入抛物线C 的方程22y x =,并整理得2210y my --=,设()11,A x y ,()22,B x y ,由根与系数的关系得12=2y y m +,121y y =-.所以21212121222x x my my m ++++==,所以线段AB 的中点N 的坐标为221,2m m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭,连接QM ,若四边形AQBM 为平行四边形,则N 是QM 的中点, 易知10,2D m ⎛⎫- ⎪⎝⎭,因此211,82P mm ⎛⎫- ⎪⎝⎭, 设直线PQ 的方程为12x ty =+,代入抛物线C 的方程22y x =,整理得2210y ty --=,所以112P Q Q y y y m=-⋅=-, 故2Q y m =,因此()22,2Q m m ,故可得22212212M m x m +=⨯-=,220M y m m =-=,故点M 的坐标为()1,0M ,因此存在定点()1,0M ,使得四边形AQBM 为平行四边形；①证明：点()22,2Q m m 到直线1:2l x my =+的距离d =由()11,A x y ,1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭,可得1AF =,因此11124QAF S AF d y =⋅=△, 同理可得214QBFS y =, 所以12111616QAFQBFSSy y ⋅==,为定值. 6．（2022届四川省成都市高三上学期期中）己知抛物线C ：()220x py p =>的焦点为F ,P 为C 上的动点,Q为P 在动直线()0y tt =<上的投影．当PQF △为等边三角形时,其面积为（1）求C 的方程；（2）设O 为原点,过点P 的直线l 与C 相切,且与椭圆22142x y +=交于A ,B 两点,直线OQ 与线段AB 交于点M ．试问：是否存在t ,使得QMA △和①QMB 的面积相等恒成立？若存在,求t 的值；若不存在,请说明理由．【解析】（1）设()00,P x y ,0,2p F ⎛⎫⎪⎝⎭,①PQF △为等边三角形时,其面积为 ①21si πn 23PQ ⨯=解得4PQ =, ①Q 为P 在动直线()0y t t =<上的投影,①()0,Q x t ；当PQF △为等边三角形时,PQ PF FQ ==, 由抛物线的定义知,2pt =-,①02202004,2162p y x p x py⎧+=⎪⎪+=⎨⎪=⎪⎩,解得2p =, ①C 的方程为24x y =；（2）设()00,P x y ,()11,A x y ,()22,B x y ,则2004x y =,()0,Q x t①214y x =,①12y x '=, ①切线l ：00012y y x x x -=-,即l ：0012y x x y =-, 00222000022112122402142y x x y x x x y x y x y ⎧=-⎪⎪⎛⎫⇒+-+-=⎨ ⎪⎝⎭⎪+=⎪⎩, ①0012202112x y x x x +=+, ①000120100200022001112421222212x y y y y x x y x x y x y x x +=-+-=⨯-=++； ①()0,Q x t ,①0:OQ t l y x x =-,0020002212M t y x y t x y x t y x x y⎧=-⎪-⎪⇒=⎨-⎪=-⎪⎩, ①QMA △和①QMB 的面积相等,且A ,M ,B 在同一条直线上, 则点M 为AB 的中点, ①122M y y y =+,即0022004422y t y x t x -=-+,则1t =-．综上,存在t ,使得QMA △和三角形①QMB 面积相等恒成立,1t =-．7．（2022届辽宁省大连市高三上学期期中）在平面直角坐标系xOy 中,点D ,E 的坐标分别为()2,0-,()2,0,P 是动点,且直线DP 与EP 的斜率之积等于14-.（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）已知直线y kx m =+与椭圆：2214x y +=相交于A ,B 两点,与y 轴交于点M ,若存在m 使得34OA OBOM ,求m 的取值范围.【解析】（1）设(),P x y ,则()1=22+24EP DP y y k k x x x ⋅=⋅-≠±-, 所以可得动点P 的轨迹C 的方程为()22124x y x +=≠±.（2）设()()1122,,,,A x y B x y 又()0,M m ,由34OA OBOM 得12123,30,4x x y y m ,123x x =-联立2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()222418440k x kmx m +++-= 222(8)4(41)(4m 4)0km k ∆=-⨯+⨯->,即226416160k m -+>22410k m ∴-+>,且12221228414441km x x k m x x k -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩, 又123x x =-22441kmx k ,则222122224443()4141km m x x xk k , 222216410k m k m ,2221416m km 代入22410k m -+>得22211014m m m-+->-, 2114m <<,解得11(1,)(,1)22m ∈--. m ∴的取值范围是11(1,)(,1)22--8．（2022届云南省师范大学附属中学高三月考）在平面直角坐标系xOy 中,已知直线:1l x =,点()4,0F ,动点P 到点F 的距离是它到直线l的距离的2倍,记P 的轨迹为曲线C ．（1）求曲线C 的方程；（2）过点F C 于两点,点()2,0Q -,连接QA 、QB 交直线l 于M 、N 两点,证明：点F 在以MN 为直径的圆上．【解析】（1）设(),P x y ,21x =-,化简得221412x y -=, 所以曲线C 的方程为221412x y -=．（2）证明：设()11,A x y 、()22,B x y 、()1,M m、()1,N n , 设直线AB 的方程为()4y k x =-且k >联立()2241412y k x x y ⎧=-⎪⎨-=⎪⎩得()22222381612030k x k x k k -+--=-≠，, ()()()42226443161214410k k k k ∆=+-+=+>, 由韦达定理可得212283k x x k +=-,212216123k x x k +=-, 因为点M 在直线QA 上,则QM QA k k =,即1132y m x =+,可得()111134322k x y m x x -==++, 同理可得()22342k x n x -=+,()3,FM m =-,()3,FN n =-, 所以,()()21212121294169924k x x x x FM FN mn x x x x -++⎡⎤⎣⎦⋅=+=++++ ()22222229161232164890161216412k k k k k k k +-+-=+=+++-, 故点F 在以MN 为直径的圆上．9．（2022届新疆克拉玛依市高三第模拟）已知圆C ：()22116x y ++=,点1,0A ,P 是圆C 上任意一点,线段AP 的垂直平分线交CP 于点Q .（1）求点Q 的轨迹方程；（2）过点()0,1B -作直线MN 交点Q 的轨迹于M ､N 两点,设线段MN 的中点为H ,判断线段AH 与HM 的大小,并证明你的结论.【解析】（1）①点Q 在线段AP 的垂直平分线上,①AQ PQ =. 又4CP CQ QP =+=,①42CQ QA CA +=>=.①点Q 的轨迹是以坐标原点为中心,()1,0C -和1,0A 为焦点,长轴长为4的椭圆. 可设方程为22221(0)x y a b a b +=>>,则2a =,221a b -= ①23b =,①点Q 的轨迹方程为22143x y +=. （2）结论是：AH HM ≤.①当直线MN 的斜率不存在时,1AH =,HM =此时AH HM <；①当直线MN 的斜率k 存在时,设MN ：1y kx =-代入到22143x y +=,化简得()2243880k x kx +--=, 设()11,M x y ,()22,N x y 则122843k x x k +=+,122843x x k -=+, 此时()111,AM x y =-,()221,AN x y =-,①()()()()()()12121212111111AM AN x x y y x x kx kx ⋅=--+=--+--()()()()2212122281811(1)224343k k k k x x k x x k k -⋅+⋅+=+-+++=-+++ 222218882204343k k k k k ⎛⎫-+ ⎪---⎝⎭==≤++. ①90MAN ∠≥︒,点A 在以MN 为直径的圆上或圆的内部,所以AH HM ≤. 综上所述,AH HM ≤.10．（2022届广西高三上学期开学联考）设双曲线2213x y -=其右焦点为F ,过F 的直线与双曲线C 的右支交于A 、B 两点,（1）若直线AB 与x 轴不垂直,求直线的斜率的取值范围；（2）求AB 中点的轨迹坐标方程．【解析】（1）由题知(2,0)F ,设直线方程为2y kx k =-,代入方程2213x y -=得 2222(31)121230k x k x k --++=．设11(,)A x y ,22(,)B x y , 则212212031k x x k +=>-,2122123031k x x k +=>- 4222144431123()()12120k k k k ∆=--+=+>,所以(,)k ∈-∞⋃+∞ （2）设AB 中点为00(,)x y ﹐若直线AB 的斜率存在,212026231x x k x k +==-,1200222231y y k y kx k k +==-=-, 消去k 得,2200(1)31x y --=,此时20226222322131k x k k -+-==+>-, 所以AB 中点的轨迹坐标方程为()22131x y --=(2)x >,若直线AB 的斜率不存在,则02x =,00y =,满足()22131x y --=, 综上,AB 中点的轨迹坐标方程为()22131x y --=(2)x ≥.。