浙江省五校(镇海中学 杭二中 嘉兴一中 诸暨中学 效实中学)2018-2019学年高二6月月考数学试题

2020届高二年级五校联考
数学试题卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上填写自己的准考证号、姓名、试室号和座位号。

用2B 型铅笔把答题卡上试室号、座位号对应的信息点涂黑。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 型铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卡整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

选择题部分（共40分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
1. 设集合
，则下列关系式正确的是
A. B. C. D.
2．设复数112i z =-+，22i z =+，其中i 为虚数单位，则=⋅21z z
A ．4-
B ．3i
C ．34i -+
D ．43i -+
3．已知空间两不同直线m 、n ，两不同平面α、β，下列命题正确的是
A ．若//m α且α//n ，则//m n
B ．若m β⊥且n m ⊥，则//n β
C ．若m α⊥且//m β，则αβ⊥
D ．若m 不垂直于α，且n α⊂，则m 不垂直于n
4
0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人
体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是
1
2
．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm ，头顶至脖子下端的长度为26 cm ，则其身高可能是
A ．165 cm
B ．175 cm
C ．185 cm
D ．190 cm
5.设函数⎪⎩
⎪⎨⎧≥<-+=-1,21
),2(log 21
)(12x x x x f x ，则=+-)2019(log )2(2f f
A .1011
B .1010
C .1009
D .1012
6.已知双曲线22
22:1(,0)x y C a b a b
-=>的左、右焦点分别为1F ，
2F ,过2F 作双曲线C 的一条渐近线的垂线,垂足为H ,若2F H 的中点M 在双曲线C 上,则双曲线C 的离心率为
A
B
C ．2
D ．3
7.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()()63f x f x y f x +==+，且为偶函数，若()f x 在()0,3内单调递减，则下面结构正确的是
A ．()1219ln 22f f e f ⎛⎫⎛⎫
<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
B ．()1219ln 22f e f f ⎛⎫⎛⎫
<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
C ．()1219ln 22f f f e ⎛⎫⎛⎫
<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
D ．()1219ln 22f f e f ⎛⎫⎛⎫
<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
8. 甲盒子装有3个红球，1个黄球，乙盒中装有1个红球，3个黄球，同时从甲乙两盒中取
出)3,2,1(=i i 个球交换，分别记甲乙两个盒子中红球个数的数学期望为)(),(21i E i E ，则以下结论错误．．的是 A.)1()1(21E E >
B.)2()2(21E E =
C.4)1()1(21=+E E D ．)1()3(21E E <
9．已知三棱锥P −ABC 的四个顶点在球O 的球面上，P A =PB =PC ，△ABC 是边长为2的正
三角形，E ，F 分别是P A ，AB 的中点，∠CEF =90°，则球O 的体积为
A
． B
． C
．
D
10．已知正四面体A BCD -中，P 为AD 的中点，则过点P 与侧面ABC 和底面BCD 所
10.在平面都成
60的平面共有（注：若二面角l αβ--的大小为
120，则平面α与平面
β所成的角也为 60）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
非选择题部分（共110分）
二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.
11. 双曲线2
214
x y -=的渐近线方程为. 12. 已知实数x ，y 满足不等式组203020x y x y x y -+≥⎧⎪
+-≥⎨⎪-≤⎩
，，，则y 的最小值为 ▲ ；当ax y +的最大
值为
3
2
时，实数a 的值为 ▲ ． 13．甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛
结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是____________．
14.“”是“”的充分不必要条件，则实数p 的取值范围是______．
15. 设,,a b c 为三个非零向量，且0,2,2a b c a b c ++==-=，则b c +的最大值是
▲ ．
16.若存在无穷数列{}n a ，{}n b 满足：对于任意n N +∈，1n a +，1n b +是方程
()
22
01
n n n b x x a +-
的两根，且101a =，10b >，则1b =． 17.已知双曲线C ：22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C
的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若1F A AB =，120F B F B ⋅=，则C 的离心率为____________．
三、解答题:本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18．ABC △的内角A ，
B ，
C 的对边分别为a ，b ，c ，设22
(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-． （1）求A ；
（22b c +=，求sin C ．
19.已知n S 是数列{}n a 的前n 项之和，11a =，12n n S na +=，n N *∈．
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设()2111n
n n n n a b a a ++=-⋅，数列{}n b 的前n 项和n T ，若1
12019
n T +<，求正整数n 的
最小值．
20.如图，直四棱柱ABCD –A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，AA 1=4，AB =2，∠BAD =60°，E ，M ，N 分别是BC ，BB 1，A 1D 的中点．
（1）证明：MN ∥平面C 1DE ； （2）求二面角A −MA 1−N 的正弦值．
21.如图，已知点F 为抛物线2
:4W x y =的焦点，过点F 任作两条互相垂直的直线12,l l ，分别交抛物线W 于,,,A C B D 四点，,E G 分别为,AC BD 的中点． （Ⅰ）求证：直线EG 过定点，并求出该定点的坐标；
（Ⅱ）设直线EG 交抛物线W 于,M N 两点，试求MN 的最小值．
22.设函数()()2
12
x
k f x x e x =--
（其中k R ∈）． （1）求函数()f x 的单调区间；
（2）当0k
>时，讨论函数()f x 的零点个数．
命题：诸暨中学
2020届高二年级五校联考
数学试题卷答案
1-5 ADCBD 6-10 AADDD
11.
略
12. 1, -2 13. 0.18 14.
15. 16.512 17. 2
18.（1）由已知得222sin sin sin sin sin B C A B C +-=，故由正弦定理得222
b c a bc +-=．
由余弦定理得2221
cos 22
b c a A bc +-=
=． 因为0180A ︒︒<<，所以60A ︒
=．
（2）由（1）知120B C ︒
=-，()
sin 1202sin A C C ︒+-=，
1sin 2sin 2C C C +=，可得()cos 602
C ︒+=-．
由于0120C ︒︒
<<，所以(
)
sin 60C ︒
+=
，故 ()sin sin 6060C C ︒︒=+-
()()sin 60cos60cos 60sin 60C C ︒︒︒︒=+-+
=
． 19.（Ⅰ）12n n S na +=……①，
12(1)n n S n a -=-……②，
②—①得：12(1)n n n
a na n a +=--，
2n ≥……2分，
2122a S ==
方法一：
11n n a n a n ++=
，34223134
2(2)23
1
n n n a a a
n
a a n n a a a n -==⨯⨯⨯⨯
=≥-， 方法二：
11n n a a n n +=+，则{}n a n 为常数列，∴212
n a a
n ==，∴n a n =(2)n ≥
当1n =时也满足，所以,n a n n N +=∈……6分（没有考虑2n ≥扣一分）
（Ⅱ）2112111
(1)(1)(1)()(1)1
n
n n n n n n a n b a a n n n n +++=-=-=-+++ 当n 为偶数时，11111
11(1)()()()2233411n n
T n n n =-+++-++
++=-
++ 当n 为奇数时，11111
112
(1)()()()22334
11
n n T n n n +=-+++-++
-+=-
++
综上，1
,1
11,1n n n T n n ⎧⎪⎪++=⎨⎪-⎪+⎩为偶数为奇数……12分
11|1|12019,201812019
n T n n n +=
<⇒+>∴>+2019.n ，的最小值为 ……15 20.解：（1）连结B 1C ，ME ．
因为M ，E 分别为BB 1，BC 的中点，
所以ME ∥B 1C ，且ME =
1
2
B 1
C ． 又因为N 为A 1
D 的中点，所以ND =
1
2
A 1D ． 由题设知A 1
B 1=D
C ，可得B 1C =A 1
D ，故M
E =ND ， 因此四边形MNDE 为平行四边形，MN ∥ED ． 又MN ⊄平面EDC 1，所以MN ∥平面C 1DE ． （2）由已知可得DE ⊥DA ．
以D 为坐标原点，DA 的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D −xyz ，则
(2,0,0)A ，A 1(2，0，4)
，2)M ，
(1,0,2)N ，1(0,0,4)A A =-
，1(12)A M =--，1(1,0,2)A N =--
，(0,MN =．
设(,,)x y z =m 为平面A 1MA 的法向量，则1100A M A A ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m ，
所以2040x z z ⎧-+-=⎪⎨-=⎪⎩，
．
可取=m ．
设(,,)p q r =n 为平面A 1MN 的法向量，则100MN A N ⎧⋅=⎪⎨
⋅=⎪⎩，
．n n
所以020p r ⎧=⎪⎨--=⎪⎩，
．
可取(2,0,1)=-n ．
于是cos ,||5
⋅〈〉=
==
‖m n m n m n ， 所以二面角1A MA N --
的正弦值为
5
．
21解：（1）设11(,)A x y ，22(,)C x y ，直线AC 的方程为
1y kx =+，代入2
4x y =可得2440x kx --=，
则124x x k +=，故2
12121142y y kx kx k +=+++=+，
故AC 的中点坐标为2
(2,21)E k k +．
由AC BD ⊥，可得BD 的中点坐标为222
(,1)G k k
-
+ 令
222121k k +=+得21k =，此时2
2
21213k k
+=+=，故直线EG 过点(3,0)H ， 当21k ≠时，22
202131
EH k k
k k k -=
=+--，2
220
2
113GH k k k k k
--==-+--- 所以EH GH k k =，,,E H G 三点共线，所以直线EG 过定点(3,0)H ．……7分
（2）设2
(,
)4
M M x M x ，2(,)4N N x N x ，直线EG 的方程为 3y kx =+，代入2
4y x =可得24120x kx --=，则4M N x x k +=，12M N x x =-，
故222
22221
(
)()()[()16]416
M M M N M N M N x x MN x x x x x x -=+-=-++ 221
[()4][()16]16
M N M N M N x x x x x x =
+-++ 221
(1648)(1616)16
k k =
++ 2
2
16(3)(1)48k k =++≥
故MN ≥0k =及直线EG 垂直y 轴时，MN 取得最小值
22.解：（1）函数()f x 的定义域为(),-∞+∞，
()()()1x x x x f x e x e kx xe kx x e k '=+--=-=-，
①当0k ≤时，令()0f x '>，解得0x >，所以()f x 的单调递减区间是(),0-∞，单调递增区间是[)0,+∞，
②当01k <<时，令()0f x '>，解得lnk x <或0x >，
所以()f x 在(),ln k -∞和()0,+∞上单调递增，在[]ln ,0k 上单调递减，
③当1k =时，()0f x '≥，()f x 在(),-∞∞上单调递增，
④当1k >时，令()0f x '>，解得0x <或ln x k >，所以()f x 在(),0-∞和()ln ,k +∞上单调递增，在[]0,ln k 上单调递减；
（2）()01f =-，①当01k <≤时，由（1）知，当(),0x ∈-∞时，
()()()()()22max ln ln 1ln ln 11022k k f x f x f k k k k k ⎡⎤≤==--=--+<⎣
⎦，此时()f x 无零点，
当[)0,x ∈+∞时，()22
2220f e k e =-≥->， 又()f x 在[)0,+∞上单调递增，所以()f x 在[)0,+∞上有唯一的零点，
故函数()f x 在定义域(),-∞+∞上有唯一的零点，
②当1k >时，由（1）知，当(),lnk x ∈-∞时，()()()max 010f x f x f ≤==-<，此时()f x 无零点；
当[)ln ,x k ∈+∞时，()()ln 010f k f <=-<，
()()()221111122k k k k k f k ke k e ++⎡⎤+++=-=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦
， 令()21,122
t g t e t t k =-=+>，则()(),1t t g t e t g t e '''=-=-， 因为()()2,0,t g t g t '''>>在()2,+∞上单调递增，()()2220g t g e ''>=->，
所以()g t 在()2,+∞上单调递增，得()()2
220g t g e >=->，即()10f k +>，所以()f x 在[)ln ,k +∞上有唯一的零点，故函数()f x 在定义域(),-∞+∞上有唯一的零点． 综全①②知，当0k >时函数()f x 在定义域(),-∞+∞上有且只有一个零点．。