3.3二次根式的混合运算(3)

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二次根式的混合运算

二次根式的混合运算
本文介绍了二次根式的混合运算，其中重点剖析了有理化因式和分母有理化的方法，以及二次根式混合运算的注意事项。

在计算中，需要注意运算顺序和最简二次根式的表示。

文章提供了典型例题，通过运用相关知识点进行计算。

二次根式的混合运算包括加、减、乘、除和整式的加、减、乘。

在实数范围内，过去学过的运算律仍然适用。

分母有理化的一般方法是用分母的有理化因式同时乘以分子和分母。

二次根式混合运算顺序与实数运算类似，先乘方、再乘除，最后加减，整式与分式的运算法则在根式中仍然适用。

每一个根式可看作是一个“单项式”，多个不是同类二次根式之和可以看成一个多项式，因此多项式乘法法则及乘法公式在根式运算中，仍然适用，以简便计算。

在二次根式的综合运算中，除按运算顺序进行以外，还要注意分式性质的灵活运用。

有理化因式不是唯一的，它可以相差一个常数。

例如，3
的有理化因式可以是3,23,33……但在一般情况下，我们所找
的有理化因式应是最简单的。

一般常见的互为有理化的两个代
数式有如下几种情形：a和a，a+b和a-b，a-b和a+b，ma+nb
和ma-nb。

二次根式的除法一般是先写成分式的形式，然后通
过分母有理化来进行。

典型例题中，例1的计算包括四个部分，分别是(1)、(2)、(3)和(4)。

在计算中，需要注意运用a-b=(a+b)(a-b)、分母有理化、最简二次根式的表示和整式除法法则等知识点。

通过对例题的计算，可以更好地理解二次根式的混合运算。

3.3二次根式的混合运算(3)

§3.3.2二次根式的混合运算教案备课时间: 主备人:一.学习目标：1．掌握二次根式的运算方法，明确数的运算顺序、运算律及乘法公式在根式的运算中仍然适用；2．正确运用二次根式的性质及运算法则进行二次根式的混合运算．二．学习重点：正确运用二次根式的性质及运算法则进行二次根式的混合运算．学习难点：二次根式计算的结果要是最简二次根式．三．教学过程知识准备1．满足下列条件的二次根式是最简二次根式．①.②.③.2．回忆有理数，整式混合运算的顺序.3．回忆并整理整式的乘法公式.★方法探究1⑴(512＋23)×15 ⑵(3＋10)(2－5)归纳：.尝试练习：⑴(3＋22)× 6 ⑵(827－53)· 6 ⑶(6－3＋1)×2 3⑷(3－22)(33－2) ⑸(22－3)(3＋2) ⑹(5－6)(3＋2)平方差公式：.完全平方公式：.★方法探究2⑴(3＋2)(3－2) ⑵(3＋25)2归纳：.尝试练习：⑴(5＋1)(5－1) ⑵(7＋5)(5－7) ⑶(25－32)(25＋32) ⑷(a＋b)(a－b) ⑸(3－2)2 ⑹(32－45)2 ⑺(3－22)(22－3) ⑻(a－b)2⑼(1－23)(1＋23)－(1＋3)2⑽(3＋2－5)(3―2―5)例题解析1. 计算：(22－3)2011( 22＋3)2012.2. 若x＝10－3，求代数式x2＋6x＋11的值.3. 若x＝11＋72，y＝11—72，求代数式x2－xy＋y2的值.课内反馈1. 计算12(2－3)＝ .2. 计算⑴(2＋3)(2－3)＝； ⑵(5－2)2010( 5＋2)2011＝ .3. 计算： ⑴12(75＋313－48) ⑵(1327－24－323)·12 ⑶(23－5)(2＋3)⑷(5－3＋2)(5＋3－2) ⑸(312－213＋48)÷2 34. 已知a ＝3＋2 ，b ＝3－2，求下列各式的值.⑴a 2－b 2 ⑵1a －1b⑶a 2－ab ＋b 25. 若x ＝3＋1，求代数式x 2－2x －3的值.。

人教版初中数学八年级下册16.3.2《二次根式的混合运算》教案

在教学方法上，我也要不断尝试创新。例如，利用多媒体教学手段，以动画或图像的形式展示二次根式的混合运算过程，让学生更加直观地理解。同时，引入一些趣味性的数学游戏，让学习变得更加轻松愉快。
最后，关注学生的个体差异，对于学习有困难的学生，给予更多的关心和指导。在课后，我会主动询问他们是否理解课堂内容，针对他们的疑问进行解答，帮助他们克服学习难点。
4.培养学生的抽象思维能力：通过二次根式的混合运算，让学生从具体实例中抽象出数学规律，提升学生的数学抽象思维水平。
三、教学难点与重点
1.教学重点
a.掌握二次根式的乘除法则：\(\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab}\)（a≥0，b≥0）和\(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}\)（a≥0，b＞0）；
c.了解二次根式的乘方运算：\((\sqrt{a})^n = \sqrt{a^n}\)（n为正整数）；
举例：通过\((\sqrt{2})^2\)和\((\sqrt{3})^3\)等例题，强调乘方运算的规则。
2.教学难点
a.理解并运用二次根式乘除法则进行简化时的步骤和方法；
难点解析：学生在进行\(\sqrt{18} \times \sqrt{2}\)等计算时，可能会忽略先简化根号内的乘积，直接相乘，导致计算复杂。教师需强调先简化根号内的乘积，再进行乘法运算。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了二次根式混合运算的基本概念、运算法则和实际应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对这一知识点的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。

二次根式的混合运算法则

二次根式的混合运算法则二次根式是数学中的一个重要概念，也是数学中常见的运算形式。

在二次根式的混合运算中，我们需要遵循一定的法则和步骤，以确保运算结果的准确性。

本文将介绍二次根式的混合运算法则，并通过实例进行说明。

一、二次根式的定义二次根式是指形如√a的数，其中a为非负实数。

在二次根式中，根号内的数称为被开方数，根号外的数称为系数。

二次根式可以进行加、减、乘、除等运算，但需要遵循一定的法则和步骤。

二、二次根式的混合运算法则1. 加法运算当二次根式相加时，要求被开方数相同，系数相加即可。

例如，√2 + √2 = 2√2。

2. 减法运算当二次根式相减时，同样要求被开方数相同，系数相减即可。

例如，√3 - √2 = √3 - √2。

3. 乘法运算当二次根式相乘时，可以将系数相乘，被开方数相乘并合并为一个二次根式。

例如，2√3 * 3√2 = 6√6。

4. 除法运算当二次根式相除时，可以将系数相除，被开方数相除并合并为一个二次根式。

例如，6√6 / 3√2 = 2√3。

5. 混合运算在二次根式的混合运算中，可以按照运算法则依次进行加、减、乘、除等运算。

需要注意的是，乘法和除法运算的优先级高于加法和减法运算。

三、实例分析为了更好地理解二次根式的混合运算法则，我们来看几个实例。

1. 实例一：计算√5 + √3 - √2的值。

根据加法运算法则，√5 + √3 = √5 + √3，再根据减法运算法则，√5 + √3 - √2 = √5 + √3 - √2。

2. 实例二：计算(2√6 - √2) * √3的值。

根据减法运算法则，2√6 - √2 = 2√6 - √2，再根据乘法运算法则，(2√6 - √2) * √3 = 2√18 - √6。

3. 实例三：计算(3√10 + 2√5) / √2的值。

根据加法运算法则，3√10 + 2√5 = 3√10 + 2√5，再根据除法运算法则，(3√10 + 2√5) / √2 = (3√10 + 2√5) / √2。

二次根式的混合运算

二次根式的混合运算二次根式的混合运算教学建议知识结构重难点分析这节课的重点是二次根的加减乘除乘方混合运算和分母的合理化。

它基于二次根式的概念和性质，同时与代数表达式和分式的运算密切相关。

也可以说是初中作业问题的总结性综合学习；二次根式运算和理性的方法与技巧可以进一步发展学生的思维，提高学生的解题能力。

这一课的难点是把分母有两个二次根的公式的分母合理化。

分母是物理和化学。

其实二次根的除法是结合混合运算的。

一般来说，我们可以根据分数的基本性质，先确定分母的物理化学因子，然后将分子和分母乘以这个物理化学因子，从而得到分母的物理化学。

所以对于初学者来说，这个过程容易出现找错理化因子，计算出错的问题。

教学建议1.在知识的介绍上，可以采用复习介绍的方法，比如复习有理数的混合运算或者代数表达式的运算。

2.在二次根的加、减、乘混合运算中，要注意由浅入深的层次排列，从单项式与多项式的乘法、多项式与多项式的乘法到乘法公式的应用，逐渐从数字到带字母的公式。

3.在理化因素教学中，应要求学生从不同角度识别几组问题，并及时总结。

学生特点：实验班(数学分层教学)A级学生主动学习热情高，基础扎实，思维活跃，具有独立分析问题、探究问题、总结问题的能力，具有良好的思考和提问习惯。

教材特点：本课是在学习二次根(最简单的二次根、相似的二次根、有理分母)三个重要概念以及二次根的相关运算(二次根的乘法、二次根的除法、二次根的加减)的基础上，集加减乘除、乘除、平方根运算于一体的混合运算的学习。

针对学生和教材的特点，本课主要采用“互动式”课堂教学模式和“会话式”教学方法，实现学生、教师和学生之间、学生和教材之间的互动。

具体说明如下：(1)在师生互动方面，教师注重问题设计、引导、启发和总结。

让学生思考，从思考中收获。

在本课开始时，展示书中的示例1:让学生先思考，先回答。

然后学生告诉如何进行。

重点：运算顺序和运算规律和有理数一样。

(二)在学生与学生的互动中，教师注重活动设计，让学生在学习中获得乐趣，并通过音乐实现自己的方式。

专题03二次根式的运算(知识点总结+例题讲解)-2021届中考数学一轮复习

2021年中考数学专题03 二次根式的运算（知识点总结+例题讲解）一、数的乘方与开方：1.数的乘方：（1）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；（2）正数的任何次幂都是正数；（3）0的任何正整数次幂都是0；2.数的开方：（1）平方根：如果一个数x 的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根（或二次方根）；即：若x 2=a ，则x 叫做a 的平方根；①正数有两个平方根（互为相反数）；②负数没有平方根；③0的平方根是0；（2）算术平方根：正数的正的平方根叫做算术平方根；记作“a ”。

（3）若a b =3，则b 叫做a 的立方根；①一个正数有一个正的立方根；②一个负数有一个负的立方根；③0的立方根是0；【例题1】(2020•青海)(-3+8)的相反数是；的平方根是．【答案】-5；±2【解析】解：-3+8=5，5的相反数是-54，4的平方根是±2．【变式练习1】4的算术平方根是，9的平方根是，－27的立方根是。

【答案】2；±3，﹣3【解析】解：4的算术平方根是2，9的平方根是±3，﹣27的立方根是﹣3．【例题2】（2020•黄冈）计算38-= 。

【答案】-2 【解析】解：38-=-2.【变式练习2】若a=，则a 的值为( )A. 1B. 0C. 0或1D. 0或1或–1【答案】C=，∴a 为0或1；故选C 。

二、二次根式：1.二次根式的定义：形如a （a ≥0）的式子，叫做二次根式；（或是说，表示非负数的算术平方根的式子，叫做二次根式）2.二次根式有意义的条件：被开方数≥0；（被开方数大于或等于 0 ）3.二次根式的性质：（1）a （a ≥0）是非负数；（2）（a ）2=a （a ≥0）；（3）⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==），（），（），（00002a a a a a a a （4）非负数的积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积；即：b a ab •=（a ≥0，b ≥0）；反之：ab b a =⨯；（5）非负数的商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根；即：b a b a =（a ≥0，b>0）；反之：b a ba =；【例题3】(2020•广东)x 的取值范围是( )A ．x ≠2B ．x ≥2C ．x ≤2D ．x ≠-2【答案】B∴2x-4≥0，解得：x ≥2，∴x 的取值范围是：x ≥2；故选：B 。

16.2二次根式的运算(第3课时)教案沪科版初中数学八年级(下)

学具准备
多媒体
课型
新授课
教法学法
讲授法
课时
第一课时
步骤
师生互动设计
二次备课
教学资源
1. 软硬件资源：多媒体投影仪、白板、教学黑板、计算器、教科书、练习册。
2. 课程平台：学校提供的教学管理系统，如Moodle或B息化资源：教学软件和应用程序，如GeoGebra、Desmos，用于动态展示二次根式运算过程。
- 设计预习问题：围绕“16.2二次根式的运算（第3课时）”课题，设计一系列具有启发性和探究性的问题，引导学生自主思考。
- 监控预习进度：利用平台功能或学生反馈，监控学生的预习进度，确保预习效果。
学生活动：
- 自主阅读预习资料：按照预习要求，自主阅读预习资料，理解二次根式运算的相关知识点。
- 思考预习问题：针对预习问题，进行独立思考，记录自己的理解和疑问。
学生学习效果
1. 知识与技能：
- 学生能够理解二次根式的加减法运算和乘除法运算的基本规则。
- 学生能够在实际问题中正确运用二次根式的运算规则，建立数学模型并进行运算。
- 学生能够熟练运用二次根式的运算规则进行混合运算，包括加减乘除以及括号的情况。
2. 过程与方法：
- 学生能够在小组讨论中积极发表自己的观点，并与同伴进行合作和沟通。
核心素养目标
本节课的核心素养目标包括：
1. 逻辑推理：学生能够通过已有的二次根式知识，推理出二次根式加减法和乘除法的运算规则，提高学生的逻辑推理能力。
2. 数学建模：学生在解决实际问题时，能够运用二次根式的运算规则，建立数学模型，提高学生的数学建模能力。
3. 直观想象：通过示例和练习，学生能够直观地理解二次根式运算的过程，提高学生的直观想象能力。

3.3 二次根式的加减(3)

3.3二次根式的加减(3)班级姓名学号教学目标：1、能较熟练地运用乘法公式进行有关二次根式加、减、乘混合运算；2、在运算中进一步体会运用乘法公式计算的简捷性和有效性. 例题分析：例1 计算：(1)()()18342334-+ (2)⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛++x x x x 52352322 (3)236223⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛- 分析：第(1)题把2318写成后，可直接用平方差公式，第(2)题可把232+x 看成整体，用平方差公式，第(3)题可直接用完全平方公式.解 (1)原式＝301848)23()34()2334)(2334(22=-=-=-+.(2)原式＝(232+x )2－(5x )2＝3x 2＋2－25x 2＝－22x 2＋2.(3)原式＝2236362232223⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⋅-⎪⎭⎫ ⎝⎛＝32631323229-=+-. 说明：判断一个二次根式的计算能否用乘法公式是解题的关键.有时，初看起来不能用，但略加变形后则可用公式.例如，计算())12(623-+时，原式＝6)12(6)12)(12(6=-=-+.例2 计算：(1))6322)(6322(-++- (2)910)103()103(+-(3)22)632()623(+---+分析：第(1)题的两个因式中都有三项，且它们或相等或互为相反数，故可用平方差公式.第(2)题无法求得910)103()103(+-和的值，此时可先逆用积的乘方公式后再计算.第(3)题如分别求出两个三项式的平方比较复杂，但如把它看成两数平方差，则逆用平方差公式较简单.解 (1)原式＝)]632(2)][632(2[-+--＝()22)632(2--＝2－(12－122＋6)＝－16＋122.(2)原式＝9229]103[)103()]103)(103[(-=-+-)103(-⋅ ＝310)103(1-=-⋅-.(3)原式＝)]632()623)][(632()623[(+---++-+-+ ＝(3864)63(24623222-=-=-⋅.说明：熟练运用乘法公式进行二次根式的计算是检测运算能力的重要标准之一，解题时的“整体意识”显得尤为重要.如第(1)题中632-应看成“整体”；第(3)题中的两个多项式都应看成整体.类似地，通过思考下面的计算也比较容易：()1235+-+()1235++-；)6315)(6210(-+-+；()()()()22y x y x y x yx ++-+等.同学们不妨一试.例3 计算：(1)23233223223++⨯-- (2)yx xy y x yx y x 24439--+-+-分析：对于分母中含多项的二次根式的化简，目的还难以完成.但若注意到分子和分母的关系，可通过先约分，再计算. 解 (1)原式＝623)23(6)32(623-=++⨯--初三数学教学案(2)原式＝()()yx y xy x yx y x 2)2(4)(332222-+--+-＝yx y x yx y x y x 2)2(3)3)(3(2---+-+＝y x y x 23+-- ＝y -.说明：运用约分方法常能使类似例3的计算变得非常容易，这一点实际上都与乘法公式密切相关，同学们如对这一些公式的变式，如x －y ＝()()22y x -，a ＋b 2)(2b a a ±=±，x 2＋()))((q x p x pq x q p +++=+等很熟悉的话，运用也就得心应手了.备注：1、公式用错，如计算⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-2213222132时，应该用完全平方公式，不能用平方差公式.2、没有用公式的意识，而直接计算，造成过程繁锁导致错误.如计算(633-+)(1＋32-)时，看不出可用平方差公式. 课后作业： 1、填空题：(1))154)(154(-+＝ .(2))2)(2(y x y x +-＝ .(3)22⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+y x xy ＝ . (4))3)(2(++x x ＝ . 2、计算题：(1)22)32()32(++- (2)22)37()37(+--(3))83)(322(-- (4)2)23()122)(4818(---+(5))4)(4(22q q p q p p ----+-3、计算题：(1)2)352(-+ (2))875)(5227(-+-+(3))32524)(52432(+--- (4))1632)(1632(+---+-4、计算题(1)1312)52()52(-+(2)22)321()321(+---+(3))21)(21)(21)(21(-+--+++-x x x x(4)22)12()22(+-x x完成《100分闯关》P49-50。

二次根式的混合运算数学教案

二次根式的混合运算数学教案一、教学目标：1. 让学生掌握二次根式的混合运算方法。

2. 培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。

3. 提高学生对二次根式的理解和运用。

二、教学内容：1. 二次根式的加减法运算。

2. 二次根式的乘除法运算。

3. 二次根式的混合运算。

三、教学重点与难点：1. 教学重点：二次根式的混合运算方法。

2. 教学难点：解决复杂的二次根式混合运算问题。

四、教学方法：1. 采用讲解法、引导法、实践法等多种教学方法，让学生在实践中掌握二次根式的混合运算。

2. 通过例题和练习题，让学生巩固所学知识。

五、教学过程：1. 导入新课：回顾一次根式的运算，引导学生思考二次根式的运算。

2. 讲解与示范：讲解二次根式的加减法、乘除法运算规则，并通过示范例题让学生理解。

3. 实践练习：让学生独立完成一些二次根式的混合运算题目，教师巡回指导。

4. 总结与反思：让学生总结二次根式混合运算的规律，反思自己在解题过程中的不足。

5. 课后作业：布置一些二次根式混合运算的练习题，巩固所学知识。

教案编辑专员：我为您提供了五个章节的二次根式的混合运算数学教案。

教案中包含了教学目标、内容、重点与难点、教学方法以及教学过程。

您可以根据这个教案进行教学，并根据实际情况进行调整。

如有需要，我可以为您提供更多的帮助。

六、教学评估：1. 通过课堂练习和课后作业，评估学生对二次根式混合运算的理解和掌握程度。

2. 观察学生在解决问题时的思维过程，了解他们的学习困难和学习需求。

3. 及时给予反馈，指导学生改进学习方法，提高解题能力。

七、教学策略：1. 针对不同学生的学习水平，设计不同难度的题目，使所有学生都能在课堂上得到锻炼和提高。

2. 采用分组讨论、合作学习等方式，激发学生的学习兴趣，培养他们的团队协作能力。

3. 注重启发式教学，引导学生主动探索，发现规律，提高解决问题的能力。

八、教学评价：1. 评价学生对二次根式混合运算的掌握程度，包括知识的理解、方法的运用和解题技能。

二次根式的混合运算

1 −1
2
应用练习
3.3 计算： − 2 × 6 +
3−2 −
1 −1
2
课堂小结
−
− >0
− =0
绝对值的化简： − = ቐ 0
− − − <0
例题讲解四
4.计算： 12 −
1 −1
2
+
1
3−1
− − 3.14
0
+ 2 3−4
应用练习
4.1 计算：
2012 − 1
− − 2
0
+ −
1 −1
3
+ 3 − 12
课堂小结
1. 完全平方公式： +
2
= 2 + 2 + 2 , (a − b)2 = 2 − 2 + 2
2. 平方差公式： + − = 2 − 2
课堂大总结
1.二次根式的混合运算依据：有理数的运算律（交换律、结合律、分配律）、
3.二次根式的除法法则： ÷ =
4.二次根式除法法则的逆用：
5.完全平方公式： +
2

≥ 0, > 0
= ÷ ≥ 0, > 0
= 2 + 2 + 2 , (a − b)2 = 2 − 2 + 2
6.平方差公式： + − = 2 − 2
应用练习
5.2
2
计算：
3
9 − 6

4
+
1

例题讲解六
6. 计算：

二次根式第3课时课件

二次根混合运算的顺序
我们知道实数的混合运算顺序为：先算乘方和开方，再
算乘法和除法，最后算加减；同级运算按从左到右的顺
序依次运算；有括号的先算括号内的，再算括号外的.
二次根式的混合运算顺序为和实数的运算顺序一样.
教学过程——新知探究
第二章实数
知识点2 二次根式混合运算的运算法则
加法法则、乘法法则及乘法公式

(−
)

.
= −
(5)原式 = ( ) − × + ( )
= − .
教学过程——典例精析
第二章实数
听一听
典例2 计算：

−
−
− 273

解：原式 =
− − ( − )
= − − + ).
教学过程——学以致用
第二章实数
做一做
1. 使式子 − 有意义的的取值范围是（ D ）
A．＞2
B．≥﹣2
C．＜2
D． ≥ 2.
2. 若 + 是整数，则能取的最小整数为（ A ）
A．0
B．1
C．2
D．3
3.若 = − + − − ，则|﹣|的值是（ C ）
A．-1-
B． −1
C． +
D．1-
教学过程——学以致用
做一做
4.视察下列等式：
第1个等式： =

= − ，
+

第2个等式： =
= −
+

第3个等式： =
= − ，
+2

二次根式的乘除混合运算

(3)边长为a的正三角形的面积等于 __________ _
(4)观察下列各式： 1 1 2 1，2 1 3 1，3 1 4 1，
3
3
4
4
5
5
........请你将发现的规律用含自然数n（n 1)的等式表示出来 __________
反思：通过这节练习课的练习，学生能够很好的掌握二次根式的乘除混合运算，并且能够对分母是多项式的进行分母有理化.
复习：整式的乘除混合运算的顺序是怎样进行的？整式的乘除混合运算的顺序从左至右进行，有括号的先算括号里面的.
例如：计算- 2a3b2 2 ab2Байду номын сангаас 4ab 5
问题：你知道二次根式的乘除混合运算的顺序是怎样进行的吗？知识点1：二次根式的乘除混合运算的顺序从左至右进行，有括号的先算括号里面的.
计算
n n 1
(2)利用上面提供的解法化简：
1 1 1 .......... 1
1
1 2 2 3 3 4
98 99 99 100
选择题：精心选一选，你会很开心！
（1）设 2 a, 3 b,用含a,b的式子表示 0.54，下列表示正确的是（
）
A.0.3ab
B.3ab
C.0.1ab2
(1) 45 3 1 3 5 52
(2) 4 18 2 8 1 54
3
3
(3) 2 b
ab5
6a b2
b ( 3 a2
a3b )
(4)2 ab ( 3 a2b 3 a ) 2
计算：
(1)3 3 1 3
(2) 3 6 2
(5)3 2 2 ( 1 15） 1 2
38
25
分母有理化的重要应用

【免费下载】数学九年级上册

（2）
≥0， ≥0）。
（3）等式
（ ≥0， ≥0）可以推广为
（ ≥0， ≥0）；
（ ≥0， ≥0）也可以倒过来使用，即
≥0， ≥0）。也称“积的算术平方根”。它与二次根式的乘法结合，可以对一些二次根式进行化简。
2. 二次根式的除法
两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变，即
说明：（1）法则中、可以是单项式，也可以是多项式，要注意它们的取值范围， ≥0，在分母中，因此＞0；
第二十二章一元二次方程
22.1 一元二次方程
在一个等式中，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是 2 次的整式方程叫做一元二次方程。
一元二次方程有四个特点：(1)只含有一个未知数； (2)且未知数次数最高次数是
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电，力根通保据过护生管高产线中工敷资艺设料高技试中术卷资，配料不置试仅技卷可术要以是求解指，决机对吊组电顶在气层进设配行备置继进不电行规保空范护载高与中带资负料荷试下卷高问总中题体资，配料而置试且时卷可，调保需控障要试各在验类最；管大对路限设习度备题内进到来行位确调。保整在机使管组其路高在敷中正设资常过料工程试况中卷下，安与要全过加，度强并工看且作护尽下关可都于能可管地以路缩正高小常中故工资障作料高；试中对卷资于连料继接试电管卷保口破护处坏进理范行高围整中，核资或对料者定试对值卷某，弯些审扁异核度常与固高校定中对盒资图位料纸置试，.卷保编工护写况层复进防杂行腐设自跨备动接与处地装理线置，弯高尤曲中其半资要径料避标试免高卷错等调误，试高要方中求案资技，料术编试交写5、卷底重电保。要气护管设设装线备备置敷4高、调动设中电试作技资气高，术料课中并3中试、件资且包卷管中料拒含试路调试绝线验敷试卷动槽方设技作、案技术，管以术来架及避等系免多统不项启必方动要式方高，案中为；资解对料决整试高套卷中启突语动然文过停电程机气中。课高因件中此中资，管料电壁试力薄卷高、电中接气资口设料不备试严进卷等行保问调护题试装，工置合作调理并试利且技用进术管行，线过要敷关求设运电技行力术高保。中护线资装缆料置敷试做设卷到原技准则术确：指灵在导活分。。线对对盒于于处调差，试动当过保不程护同中装电高置压中高回资中路料资交试料叉卷试时技卷，术调应问试采题技用，术金作是属为指隔调发板试电进人机行员一隔，变开需压处要器理在组；事在同前发一掌生线握内槽图部内纸故，资障强料时电、，回设需路备要须制进同造行时厂外切家部断出电习具源题高高电中中源资资，料料线试试缆卷卷敷试切设验除完报从毕告而，与采要相用进关高行技中检术资查资料和料试检，卷测并主处且要理了保。解护现装场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。

考点02 二次根式(解析版)

考点二二次根式知识点整合1．二次根式的有关概念（1）二次根式的概念形如)0(≥a a 的式子叫做二次根式．其中符号“”叫做二次根号，二次根号下的数叫做被开方数．【注意】被开方数a 只能是非负数．即要使二次根式a 有意义，则a ≥0．（2）最简二次根式被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．（3）同类二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的几个二次根式，叫做同类二次根式．2．二次根式的性质（1）a ≥0（a ≥0）；（2）)0()(2≥=a a a ；（32(0)0(0)(0)a a a a a a a >⎧⎪===⎨⎪-<⎩；（40,0)ab a b a b =≥≥；（50,0)a a a b b b=≥>．3．二次根式的运算（1）二次根式的加减合并同类二次根式：在二次根式的加减运算中，把几个二次根式化为最简二次根式后，若有同类二次根式，可把同类二次根式合并成一个二次根式．（2）二次根式的乘除0,0)a b ab a b =≥≥；除法法则：(0,0)a aa b bb=≥>．（3）二次根式的混合运算二次根式的混合运算顺序与实数的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后加减，有括号的先算括号内的．在运算过程中，乘法公式和有理数的运算律在二次根式的运算中仍然适用．考向一二次根式的概念及性质1．二次根式的有关概念（1）二次根式的概念形如)0(≥a a 的式子叫做二次根式．其中符号“”叫做二次根号，二次根号下的数叫做被开方数．2．二次根式的性质（1）a ≥0（a ≥0）；（2）)0()(2≥=a a a ；（32(0)0(0)(0)a a a a a a a >⎧⎪===⎨⎪-<⎩；（40,0)ab a b a b =≥≥；（50,0)a a a b b b=≥>．1．在函数12x y x -=-中，自变量x 的取值范围是（）A ．0x ≥且2x ≠B ．2x >C ．1x ≥且2x ≠D ．1x >且2x ≠【答案】C【分析】本题考查了函数的自变量有意义的条件，分式有意义的条件、二次根式有意义的条件．根据分式的分母不能为0，被开方数不0即可得．【详解】解：在函数12x y x -=-中，．B．．D．【答案】B【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式组求解即可．考向二二次根式的运算（1）二次根式的加减合并同类二次根式：在二次根式的加减运算中，把几个二次根式化为最简二次根式后，若有同类二次根式，可把同类二次根式合并成一个二次根式．（2）二次根式的乘除0,0)a b =≥≥；0,0)a b≥>．（3）二次根式的混合运算二次根式的混合运算顺序与实数的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后加减，有括号的先算括号内的．在运算过程中，乘法公式和有理数的运算律在二次根式的运算中仍然适用．-【答案】2a-【答案】（1）5；（2）2a(1)______的解法是错误的；(2)当2a =时，求26911a a a -++-的值．【答案】(1)小亮OA=__________(1)填空：210(2)请用含有n（n为正整数）的式子填空：(133+(1)求出这个魔方的棱长．(2)图甲中阴影部分是一个正方形ABCD，求出阴影部分正方形(3)把正方形ABCD放置在数轴上，如图乙所示，使得点的数为______．【答案】(1)4cm(1)则原来大正方形的边长为号）(2)求这个长方体盒子的底面边长和体积分别是多少2 1.414,3 1.732,≈≈【答案】(1)42；2A．20cm B．5【答案】A【分析】本题考查二次根式的应用，出关系式，去括号合并即可得到结果．。

二次根式的混合运算

二次根式的混合运算一、混合运算的定义混合运算是指将不同类型的运算在同一个表达式中进行计算的过程。

在数学中，混合运算常常涉及到加法、减法、乘法、除法等基本运算规则。

二、二次根式的定义二次根式是指具有平方根的数学表达式。

一般情况下，二次根式的形式为√(a × b)或√(a / b)，其中a和b为实数。

需要注意的是，a和b不能是负数。

三、二次根式的混合运算规则在进行二次根式的混合运算时，需要按照以下规则进行计算：1.二次根式的加法运算：当两个二次根式具有相同的根数和次方数时，可以进行加法运算。

例如：√2 + √3 = √(2 + 3) = √52.二次根式的减法运算：当两个二次根式具有相同的根数和次方数时，可以进行减法运算。

例如：√5 - √3 = √(5 - 3) = √23.二次根式的乘法运算：可以将二次根式的根数和次方数相乘。

例如：√2 × √3 = √(2 × 3) = √64.二次根式的除法运算：可以将二次根式的根数和次方数相除。

例如：√6 ÷ √2 = √(6 ÷ 2) = √35.二次根式的乘方运算：可以将二次根式的根数和次方数进行乘方计算。

例如：(√2)² = √(2²) = √4 = 2四、二次根式混合运算的示例示例一：计算√3 + √5 - √2根据混合运算的规则，我们可以首先进行加法运算，然后再进行减法运算。

即：√3 + √5 - √2 = √(3 + 5) - √2 = √8 - √2由于√8不能继续简化，最后的结果为√8 - √2。

示例二：计算√2 × √3 ÷ √5根据混合运算的规则，我们可以先进行乘法运算，然后再进行除法运算。

即：√2 × √3 ÷ √5 = √(2 × 3) ÷ √5 = √6 ÷ √5由于√6不能被√5整除，所以最后的结果为√6÷ √5。

二次根式的混合运算

4
（4）

32

2
2
5 2

2
解：原式=
3

2 3 2 2
2
解：原式= 2 5

2
2 2 5 2
2
2
3 4 3 4
74 3
20 4 10 2
22 4 10
课堂小结
在进行二次根式的运算时，类比整式的运算，灵活合理运用恰当的方法，要注意过程和结果的正确
二次根式的混合运算
西山学校初三数学组
知识与技能：能熟练地进行二次根式的混合运算
过程与方法：通过练习提高学生应用知识的能力情感态度与价值观：让学生体会二次根式的运算与整式的运算的联系教学重点：二次根式的混合运算和注意事项
教学难点：灵活运用乘法公式进行计算
课堂要求：人人参与大胆发言
知识回顾
抢答：看谁反应又快又准确
(1) ａ(ａ＋ｂ) （4）. 2 x 1
解：（1）原式= （2）原式= (3) 原式= （4）原式=
2
(3)

3 1

3 1

（5） x 3 y
2
a 2 ab
x 2 y xy xy 2 xy x y
3
2
12 3 1 =2
4 x2 4 x 1
(1)

2 3
解：原式=
2 5 2 5 2 3
2
(2)

5 3

2
5 3
2

2 15
解：原式=
5 3
2 2 2 15
53
13 2 2

人教版八年级下期(教案).3二次根式的混合运算

实践活动中的小组讨论非常热烈，学生们积极参与，提出了不少有创意的想法。但在讨论过程中，我也观察到有些小组在讨论时偏离了主题，这让我意识到在今后的教学中，我需要在引导讨论时更加明确主题，确保讨论的方向和深度。
学生小组讨论后的成果分享环节，我发现有些学生表达不够清晰，可能是因为他们对知识的掌握还不够扎实，或者是紧张导致的。对此，我打算在接下来的课程中多给予学生表达的机会，培养他们的自信心和表达能力。
-难点四：将二次根式混合运算应用于解决实际问题，学生可能不熟悉将实际问题转化为数学表达式。
-举例：在计算一个长为2√3，宽为√5的长方形面积时，学生需要先将长宽表达为二次根式，然后应用混合运算进行计算，即(2√3) * (√5) = 2√(3*5) = 2√15。
在教学中，教师应针对这些难点进行详细的解释和示范，通过丰富的例题和练习，帮助学生逐步突破难点，确保学生对二次根式混合运算的理解和应用能力得到提高。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解二次根式混合运算的基本概念。二次根式混合运算是指将含有二次根号的数进行乘、除、加、减的运分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了如何运用二次根式混合运算计算一个长为2√3，宽为√5的长方形面积，即(2√3) * (√5) = 2√(3*5) = 2√15。
2.教学难点
-难点一：二次根式的乘法与除法运算中，学生容易混淆运算规则，特别是当根号下的数不是完全平方数时，如√2 * √3 = √(2*3) = √6。
-举例：解释为什么√2 * √3 = √6，而不是√(2*3) = √6，强调根号下的数必须是最简形式。
-难点二：在二次根式的加法与减法运算中，学生难以识别同类项，特别是当根号下的数不同，但可以通过化简变为同类项的情况。

二次根式的四则运算

二次根式的四则运算知识梳理一、二次根式的乘除（1）积的算术平方根性质： b a b a •=•（a ≥0，b ≥0）（2）二次根式的乘法法则： b a b a •=•（a ≥0，b ≥0）（3）商的算术平方根的性质：bab a =（a ≥0，b ＞0）（4）二次根式的除法法则：b aba = （a ≥0，b ＞0）二、分母有理化分母有理化是指把分母中的根号化去．分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式．三、同类二次根式的定义：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．四、二次根式的（1）法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．（2）步骤： ①如果有括号，根据去括号法则去掉括号．②把不是最简二次根式的二次根式进行化简． ③合并被开方数相同的二次根式．（3）合并被开方数相同的二次根式的方法：二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同则可以进行合并．合并时，只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变．五、二次根式的混合运算（1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点：①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的． ②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“．（2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式．（3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．例题讲解例1.计算：（1）52⨯ （2）3221⨯ （3）8326⨯- （4）1052⨯⨯ 例2.化简（1）54⨯ （2）24 （3）()()4936-⨯- （4）()0,0424>>y x y x例3.计算下列各题（1）312 （2）8123÷ （3）()72214-÷（4）531513÷（5）xyy 24针对练习1.已知()22-=-•a a a a 成立，则a 的取值范围是 .2.能使88-=-x xx x成立，则x 的取值范围是 . 3.化简下列二次根式：=90 =5.2=29 =3127a b ()=-≤++41682a a a 4.计算并化简（1）2863⨯ （2）6331227⨯⨯（3）322214÷- （4）()0113>÷a a bb a b a5.计算（1）6122÷⨯ （2）27121331⨯÷（3）32223513459⨯÷ （4）⎪⎪⎭⎫⎝⎛÷b a b b a 16.若a =5，b =17，则85.0的值用a ，b 可以表示为 . 7．先阅读下列的解答过程，然后作答：形如的化简，只要我们找到两个数a 、b 使a +b ＝m ，ab ＝n ，这样（）2+（）2＝m ，•＝，那么便有＝()2ba ±＝±（a ＞b ）例如：化简解：首先把化为，这里m ＝7，n ＝12；由于4+3＝7，4×3＝12，即（）2+（）2＝7，•＝，∴＝＝()234+＝2+由上述例题的方法化简：（1）；（2）；（3）．例题讲解例4.计算（1）2324+ （2）12273+-（3）x x x x 1246932-+ （4）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-6813225.024例5.计算（1）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--12814482 （2）()6342221⨯-例6.计算（1）()62322+- （2）()()22322232---针对练习1．若最简二次根式与可以合并，则a＝．2．计算：2+++3﹣+（+5）﹣﹣+（+）（﹣）（）（2﹣3）÷（﹣）（+）+2 （）2﹣（2）（2）（1+）（）﹣（2）2 （）×﹣（）（）3.计算（1）()()322122-+ （2）()()201920182525+•-4.先化简，再求值：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+xy y x x xy y x y x 364363，其中23=x ，27=y .5.已知()3521+=a ，()3521-=b ，求22b ab a ++ .。

二次根式的混合运算

二次根式的混合运算教学建议学问结构重难点分析本节课的重点是二次根式的加、减、乘、除、乘方、开方的混合运算及分母有理化。

它是以二次根式的概念和性质为基础，同时又紧密地联系着整式、分式的运算，也可以说它是运算问题在学校阶段一次总结性，提高性综合学习；二次根式的运算和有理化的方法与技巧，能够进一步开拓同学的解题思路，提高同学的解题力量。

本节课的难点是把分母中含有两个二次根式的式子进行分母有理化。

分母有理化，实际上二次根式的除法与混合运算的综合运用。

分母有理化的过程，一般地，先确定分母的有理化因式，然后再依据分式的基本性质把分子、分母都乘以这个有理化因式，就可使分母有理化。

所以对初学者来说，这一过程简单消失找错有理化因式和计算出错的问题。

教法建议1.在学问的引入上，可实行复习引入方式，比如复习有理数的混合运算或整式的运算。

2.在二次根式的加减、乘法混合运算中，要留意由浅入深的层次支配，从单项式与多项式相乘、多项式与多项式到乘法公式的应用，渐渐从数过渡到带有字母的式。

3.在有理化因式教学中，要多出几组题目从不同角度要求同学辨别，并准时总结。

同学特点：试验班的A层同学(数学实施分层教学),主动学习乐观性高，基础扎实，思维活跃, ,并具有肯定的独立分析问题,探究问题,归纳概括问题的力量,有较好的思索、质疑的习惯。

教材特点：本节课是在学习了二次根式的三个重要概念（最简二次根式、同类二次根式、分母有理化）和二次根式的有关运算（二次根式的乘法、二次根式的除法、二次根式的加减法）基础上，将加、减、乘、除、乘方、开方运算综合在一起的混合运算的学习。

鉴于同学的特点及教材的特点，本节课主要采纳“互动式”的课堂教学模式及“谈话式”的教学方法，以此实现生生互动、师生互动、同学与教材之间的互动。

详细说明如下：（一）在师生互动方面，老师注意问题设计，注意引导、点拨及提高性总结。

使同学学中有思、思中有获。

如本节课开头，出示书中例题1：让同学先进行思索，解答。