线性代数1-2章精选练习题课案

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《线性代数》课程复习大纲与练习题

《线性代数》课程复习大纲与练习题第一章线性方程组1.线性方程组的概念（1）线性方程组的一般形式：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=+⋅⋅⋅++=+⋅⋅⋅++sn sn s s n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212*********（2）用消元法判断线性方程组是否有解，并求出解 2.初等变换对线性方程组进行求解（1）初等变换的定义（2）用初等变换将线性方程组化为同解的阶梯形方程组，从而判断是否有解3.用矩阵的秩判断线性方程组是否有解记⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=sn s s n n a a a a a a a a a A 212222111211称为线性方程组的系数矩阵;⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=ssns s nn b a a a b aa ab a a a A 21222221111211称为线性方程组的增广矩阵（1）线性方程组有解⇔秩（A ）＝秩（A ）当线性方程组有解时：秩（A ）＝未知量个数n 时, 线性方程组有唯一解;秩（A ）<未知量个数n 时，线性方程组有无穷多解。

（2）线性方程组无解⇔秩（A ）<秩（A ）4.齐次线性方程组：常数项全为0的线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=+⋅⋅⋅++=+⋅⋅⋅++0)1(00221122221211212111n sn s s nn n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a （1）解的情况：r(A)=n ，（或系数行列式0≠D ）只有零解；r(A)<n ，（或系数行列式D ＝0）有无穷多组非零解。

（2）解的结构：r n r n c c c X --+++=ααα 2211。

（3）求解的方法和步骤：①将增广矩阵通过行初等变换化为最简阶梯阵； ②写出对应同解方程组；③移项，利用自由未知数表示所有未知数； ④表示出基础解系； ⑤写出通解。

《线性代数》第二章矩阵及其运算精选习题及解答

An
=
⎜⎜⎝⎛
0 C
⎜⎛ 1
B 0
⎟⎟⎠⎞
,
其中
C = (n) ，
B
=
⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
0 M 0
0 L 0 ⎟⎞
2 M 0
L L
n
0
M −
⎟ ⎟ 1⎟⎟⎠
，
故 C −1 = ( 1 ) , n
⎜⎛1 0 L
0 ⎟⎞
B −1
=
⎜0
⎜ ⎜⎜⎝
M 0
12 M 0
L L
1
0⎟ (nM− 1) ⎟⎟⎟⎠
，
根据分块矩阵的逆矩阵公式
⎜⎛ 2 ⎜0
0 4
2⎟⎞ 0⎟
⎜⎝ 4 3 2⎟⎠
例 2.12 设 X(E − B −1 A)T BT = E , 求 X . 其中
⎜⎛1 −1 0 0 ⎟⎞
⎜⎛ 2 1 3 4⎟⎞
A
=
⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
0 0 0
1 0 0
−1 1 0
0⎟ −11⎟⎟⎟⎠ ,
B
=
⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
0 0 0
2 0 0
1 2 0
0⎟
0 8
⎟ ⎟⎟⎠
,
求B,
使 ABA −1
=
BA −1
+ 3E
．
解根据 ABA −1 = BA−1 + 3E , 得到 (A − E )BA−1 = 3E
故 A − E, A 皆是可逆的, 并且
( ) [ ] B = 3(A − E )−1 A = 3(A − E )−1 A−1 −1 = 3 (A−1 )(A − E) −1 = 3(E − A−1 )−1
第二章矩阵及其运算

线性代数(江西高校出版社)第一章习题课

i行展开，得
D1 ai1 Ai1
ai1 Ai1
ai , j 1 Ai , j 1 aij 1 Aij ai , j 1 Ai , j 1
ai , j 1 Ai , j 1 aij Aij ai , j 1 Ai , j 1
ain Ain
7
24 A 24 24 4 12 7 180 .
2
【方法归纳】本题属于抽象型行列式的计算问题，
求
解的关键是灵活运用行列式的基本性质.
13
1
x
x2
x n1
1
例7 设 P x 1
a1
a2
a12
a22
a1n1
a2n1 ，其中 a1 , a2 ,
30
2
1
2
2
2
3
n 1
1
n 1
2
n 1
3
1 an1 an21
, an1 是
ann11
互不相同的数.
(1)由行列式定义，说明 P x 是一个 n 1次多项式；
(2)由行列式性质,求 P x 0 的根.
14
解 (1)因为所给行列式的展开式中只有第一行含有x，
所以若
按行列式的第一行展开，
含有 x n1 的对应项的系数恰为
a1 j 1
a2 j 1
a1n
a2 n
an1
anj 1
ann
，
将D1按第j列拆分成两个行列式，再把第二个行列式按第j列
展开，得
19
D1
a11
a21
a1 j
a2 j
a1n
a2 n

(2021年整理)线性代数1-2章精选练习题

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第一章行列式一、单项选择题1．下列排列是5阶偶排列的是（）。

(A) 24315 (B ） 14325 (C ） 41523 （D ）24351 2．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k ，则排列12j j j n 的逆序数是（ )。

(A ）k (B ）k n - (C)k n -2! （D)k n n --2)1(3。

n 阶行列式的展开式中含1122a a 的项共有( )项。

（A ） 0 （B)2-n (C) )!2(-n （D) )!1(-n4．=0001001001001000( )。

（A) 0 (B)1- (C ） 1 (D ） 25. =0001100000100100（）。

(A) 0 （B ）1- （C ） 1 （D) 26．在函数10323211112)(x x x xx f ----=中3x 项的系数是( ）。

（A) 0 (B)1- （C) 1 (D ） 27。

若21333231232221131211==a a a a a a a a a D ，则=---=323133312221232112111311122222 2a a a a a a a a a a a a D （）.（A) 4 （B ） 4- （C ） 2 (D ） 2- 8．若a a a a a =22211211,则=21112212ka a ka a ( )。

线性代数(文)习题答案1-2章

第一章线性方程组的消元法和矩阵的初等变换一、判断题（对的打√，错的打×）1.消元法求解线性方程组时只有系数参与运算，未知元并未进行运算。

（ × ）2.消元法求解线性方程组时也可以用初等列变换，因为初等列变换也不会改变方程组的解。

（ × ）3.一个矩阵的行阶梯形不唯一，但行最简形唯一。

（√ ）4.行最简形是矩阵经过初等变换能变到的最简单的形式。

（× ）5.矩阵与其行最简形和标准形等价。

（√ ）6.如果两个矩阵等价，它们一定是同型矩阵。

（ √ ）7.求解线性方程组时所用的变换只有三种。

（√ ）8.同一个矩阵的行阶梯形和行最简形的非零行的行数相同。

（ √ ）二、计算题1.将矩阵23137120243283023743--⎛⎫⎪-- ⎪⎪-⎪-⎝⎭化为行最简形矩阵和标准形。

1221314143213141232232231371202412024120242313701111328303283008891223743237430778111202401111000140014r r r r r r r r r r r r r r r r ↔-------------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪----- ⎪ ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪---⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭--⎛⎫ ⎪- ⎪→→ ⎪ ⎪⎝⎭132321202412004011110110300014000140000000000r r r r +---⎛⎫⎛⎫⎪⎪--- ⎪ ⎪→ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭1222(1)10202011030001400000r r r +⨯--⎛⎫⎪- ⎪→ ⎪⎪⎝⎭-------行最简形3132515122310202100001000001103011030100000014000140001400000000000000c c c c c c c c -++--⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭543441000010000010000100000010001000000000000c c c c -↔⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭------标准形 2.用矩阵的初等变换解下列线性方程组。

线性代数第2章习题课

存在一组实数 k 1 , k 2 , L , k m , 使 b = k 1 a1 + k 2 a 2 + L + k m a m , 则向量 b 是向量组 A 的线性组合 , 这时称向量 b能由向量组 A 线性表示 .
定理向量 b能由向量组 A线性表示的充分必要条
件是矩阵 A = ( a 1 , a 2 , L , a m )的秩等于矩阵 B = ( a 1 , a 2 , L , a m , b )的秩 .
6 向量组的秩
定义设有向量组 A, 如果在 A中能选出 r个向量 a 1 ,
a 2 ,L , a r , 满足
(1)向量组 A 0 : a 1 , a 2 , L , a r 线性无关 ; ( 2)向量组 A中任意 r + 1个向量(如果 A中有 r + 1
个向量的话 )都线性相关 , 那么称向量组 A0 是向量组 A的一个最大线性
n 维向量写成列的形式 , 称为列向量 , 即 a1 a2 a= M an
n 维向量写成行的形式 , 称为行向量 , 即
T a = (a 1 , a 2 , L , a n )
向量的相等设 a T = ( a 1 , a 2 , L , a n ), b T = ( b 1 , b 2 , L , b n ) 则 a T = b T a i = b i ( i = 1, 2 , L , n ) 零向量分量全为0的向量称为零向量．分量全为0的向量称为零向量． T a = O a i = 0( i = 1,2,L , n) T a ≠ O a i 中至少有一个不为 0 , ( i = 1, 2 , L , n ) 负向量向量 a T = (a 1 , a 2 ,L , a n )的负向量记作 a T , 且 a T = ( a 1 , a 2 ,L , a n ). 数乘向量数 k 与向量 a T 的乘积 , 称为向量的数量乘法

线性代数辅导讲义练习题精选

线性代数辅导讲义练习题精选最近我在学习线性代数，为了加深对这门课程的理解和掌握，我在网上搜索了一些线性代数辅导讲义和练习题。

在这些讲义和练习中，我选择了一些精选练习题来练习，并分享给大家。

第一道练习题是关于矩阵的基础概念。

假设A、B、C是三个矩阵，且每个矩阵的大小为3×3。

如果A和B的乘积是3A-2B，B 和C的乘积是4B+5C，同时满足A^2-2B+C=A，则求C的元素。

这道题需要我们对矩阵的基本运算和关系有一定的掌握，尤其是对矩阵乘法有深刻的理解。

我们可以通过对矩阵乘法的展开来求解，将乘积式子中相同的部分提取出来，然后根据矩阵乘法结合律和分配律进行化简，最终得到C的元素。

第二道练习题是关于向量子空间的定义和性质的证明。

假设V 是一个数域K上的向量空间，W是V的一个子集，如果W是V 的子空间，那么证明W必须包含零向量。

这道题需要我们对向量空间和子空间的定义有深入的理解，关键在于利用子空间的性质进行证明。

我们可以先证明W中必须包含加法逆元素，因为子空间对加法逆元素乘积封闭，且根据加法逆元素的定义，当a+b=0时有b=-a，所以此时零向量0可以表示为-a+a的形式，从而得出W中必须包含0。

第三道练习题是关于线性变换的矩阵表示的计算。

如果L是一个从R^3到R^2的线性变换，且L(e1)=2e1-e2+3e3, L(e2)=e1-5e2,L(e3)=4e1+2e2-2e3，则求L对应的3×2矩阵A。

这道题需要我们对线性变换的矩阵表示和线性变换在向量空间中的作用有一定程度的理解和掌握。

我们可以将L对向量的作用表示为一个3维列向量，然后将其对应的2维列向量和其它向量表示为矩阵的形式，从而求出L对应的矩阵。

第四道练习题是关于矩阵的特征值和特征向量的求解。

如果A是一个3×3的矩阵，且其特征值为2、3、6，对应的特征向量为v1、v2、v3，则证明向量v=v1+v2-v3是A的一组特征向量。

线性代数课后习题答案全习题详解

线性代数课后习题答案全习题详解线性代数是一门重要的数学学科，对于许多理工科专业的学生来说，掌握好线性代数的知识是非常关键的。

课后习题是巩固所学知识、加深理解的重要途径，而一份完整的习题答案详解则能够帮助学生更好地掌握知识点，提高解题能力。

在学习线性代数的过程中，我们会遇到各种各样的习题，涵盖了向量、矩阵、线性方程组、行列式、特征值与特征向量等多个重要的概念和知识点。

这些习题的难度各不相同，有的需要我们熟练运用基本的定义和定理，有的则需要我们具备较强的逻辑推理和计算能力。

对于向量这一章节的习题，常常会涉及到向量的线性组合、线性相关性、向量空间等概念。

例如，判断一组向量是否线性相关，就需要我们通过构建方程组，求解方程组的解来判断。

如果方程组只有零解，那么向量组线性无关；如果方程组有非零解，那么向量组线性相关。

在解答这类习题时，我们要清晰地理解线性相关和线性无关的定义，熟练掌握求解方程组的方法。

矩阵是线性代数中的核心概念之一，关于矩阵的习题也是多种多样。

比如矩阵的乘法运算、矩阵的逆、矩阵的秩等。

在进行矩阵乘法运算时，要注意矩阵的行列数是否匹配，计算过程要仔细认真，避免出现错误。

求矩阵的逆时，要先判断矩阵是否可逆，如果可逆，可以通过伴随矩阵或者初等变换的方法来求解。

而矩阵的秩的求解，则需要通过对矩阵进行初等行变换，将其化为阶梯形矩阵，从而确定矩阵的秩。

线性方程组是线性代数中的重点和难点内容。

解线性方程组的方法有很多，如高斯消元法、克拉默法则等。

在实际解题中，我们需要根据方程组的特点选择合适的方法。

对于未知数个数较多、系数矩阵较为复杂的方程组，通常使用高斯消元法；而对于系数矩阵为方阵且行列式容易计算的方程组，可以使用克拉默法则。

此外，还需要判断线性方程组是否有解、有唯一解还是无穷多解，并求出其解的表达式。

行列式是一个重要的数学工具，其计算方法有多种，如按照定义展开、利用行列式的性质进行化简等。

在计算行列式时，要善于观察行列式的特点，选择合适的计算方法，以提高计算效率。

线性代数练习册第一、二章答案

第一章行列式1-1 二阶、三阶行列式一、填空题1．1- 2 . ()ab b a - 3. 6 4. 22x -1－2 逆序数与n 行列式的定义一．填空题1. 102.(1)2-n n 3. 负 1-3 行列式的性质与计算一、利用行列式的性质计算下列各行列式：12322102100204210042141.199200397120031001233013006001300013c c c c --=--=-- 132320545410005310050053130r r r r -+--=-==--111100000000000000000002.(1)0000000000000000000000000000(1)n n n n n nx y x y y x y xy xy x y x x x y x y x y x y yxx xy x y +--+=+-=+-12341123410234123423411034113413.101034121041214124123101231123c c c c c +++÷2132314241123412342011301131010160022200480111004r r r r r r r r r r -----=----+-----二、试将下列式化为三角形行列式求值：43211331413224422512152215223714173402162592729570113461216420121522152215220120012001209011300330033202163603r r r r c c r r r r r r c c r r ----+-----↔------------+---↔==-+-三、用降阶法计算下列行列式：2131224020003554135435524832312334832112512211c c c c ----+--=--------1323710527102105322701051c c c c --------=-=---四、计算下列行列式：解： 12112100...01100 (01)210...00210...00121...00121 (02)20012...00012...0....................................0 (20)0...2n n n n n D D D ----=-=-11221321n n n n D D D D D D ---⇒-=-==-=-= 111n D D n n ⇒=+-=+1-5 Cramer 法则一、解因为14211213513241211111-=----=D , 142112105132412211151-=------=D , 284112035122412111512-=-----=D , 426110135232422115113-=----=D , 14202132132212151114=-----=D , 所以 111==D D x , 222==D D x , 333==D D x , 144-==DDx . 二、解系数行列式为 λλλλλλλ--+--=----=101112431111132421D =(1-λ)3+(λ-3)-4(1-λ)-2(1-λ)(-3-λ) =(1-λ)3+2(1-λ)2+λ-3. 令D =0, 得λ=0,或 λ=2或λ=3.于是, 当λ=0,或 λ=2或λ=3时, 该齐次线性方程组有非零解.第一章复习题一、选择题 1. D 2. B 3. B,D 4. C,D二、填空题1. 122460002. 5 3 0；0 4. 0 三.计算下列行列式3222214250425042542542112111211.1(1)541001412050412322321111232r r r r r r ++--=-----+232154(1)723r r +--=-21212111......111 (1)22 (21)2......22.2333 (31)3......3.............................. (1)......n n n n nn n n n n n n ---=⨯⨯⨯ 1!()!(1)!2!1!i j nn j i n n ≤<≤=-=-∏3.112233111111111111111110111111111101111111111011011111111110nnn a a a a a a a a ++++++=+++各行减去第一行得行列式：111212231311111111111110000100000000011100000000010000000100ni in nnna a a a c c c a a a a a a a =+--=+++--∑111(1)nni i i i a a ===+∑∏四、证明题 1.证：将行列式从最后一列开始逐渐将后一列的x 倍加到前一列上去，得到原行列式等于121112111111111010...00001...00 0...01 (1)0010(1)(...)...01n n n nn n n n n n n n nn x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a --+--------+++++++--=-++++=++++-第一章自测题一、填空题1.(1)na - 2. 3- 3. 0 ； 0 4. 2008!二、选择题1.C2.D3.A4. B5. A三、计算题（每小题10分，共30分） 1..解： 23234352315534554011100101(1)7117101710182281118212c c D c c ++--==----+-123274059409010382242224c c c c ++=-=-=()()()()()()11111......1......2................1 (1)1......1nnn n n n n a a a n a a a n D a a a n ---+----=--解：从最后一行开始，逐渐往前做相邻交换，然后从最后一列开始，做相同的变换，得原行列式等于：()()1111111......11.....................()!(1)!2!1!()1......()1......j i n i j n n n nnna n a n ax x n n a n a n a a n a n a -≤<≤+----+==-=---+--+∏ 第二章矩阵及其运算2-1 矩阵的运算一．解答：337137⎛⎫⎪--⎝⎭ ，1875814---⎛⎫⎪-⎝⎭二．计算下列矩阵的乘积解答：1.25174⎛⎫ ⎪⎝⎭　2.653010422-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭三、选择题答案：1.B 2.D 3. A 4.C 5.A 四．五．答案略。

线性代数1-习题课

a b D d d
b a a b
c d c d c b c a
则有
A11 A21 A31 A41
4 1 10 1
1 2 5 2
2 0 0 0
4 2 1 7
测试题答案
一、. 1 a; 1
n
a2 a3 b2 b3 a1a4 b1b4 ; 5. 0; 4. 7. 2;
a21 a22 a2 n D an1 an 2 ann
1 a
t
1 p1
a2 p2 anpn
n阶行列式D亦可定义为 D
p1 p2 pn
( 1) a p11 a p2 2 a pn n ,
t
其中t为行标排列 p1 p 2 p n 的逆序数.
第一章
测试题
一、填空题(每小题4分，共40分)
1. 若Dn aij a , 则D aij
0 0 0 0 0 1 0 2 0 0
D
0 1997 0 0 0 1998 0 0 0 0 0 0 0 0 1

a1 0 4. 四阶行列式 0 b4
n
８
a x a x a x b . n2 2 nn n n n1 1 的系数行列式 D 0, 那么它有唯一解 Dj x j D , j 1, 2, , n. 其中D j j 1, 2, , n）是把系数行列式 D中第j列（换成常数项b1, b２ b n所得到的行列式. ，
1 3 1. D5 2 1 2
0 a2 b3 0
0 b2 a3 0
b1 0 0 a4
3 2 0 1 1 2 1 0
1 2 1 1 3 2 2 3 1

线性代数练习题(1-2章)答案

线性代数练习题（行列式·矩阵部分）一、填空题1．n 阶行列式1000010000100001=n D （主对角线元素为1，其余元素均为零）的值为 1 。

2．设行列式D =1211225141201---x，元素x 的代数余子式的值是－14 。

3．设矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=1312A ，132)(2+-=x x x f ，则=)(A f 91312-⎛⎫ ⎪-⎝⎭４．设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100110002A ，则逆矩阵=-1A 1002011001⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪⎪ ⎪⎝⎭5．5阶行列式D=a aa aa a a a a ---------1101100011000110001=54321a a a a a -+-+-+6．设A 为n 阶可逆阵，且E A A ||2=，则*A = A 7. N (n12…(n-1))= n-1 。

8. 设D 为一个三阶行列式，第三列元素分别为-2，3，1，其余子式分别为9，6，24，则D= －12 。

9. 关于n 元线性方程组的克莱姆法则成立的条件是 1）线性方程组中未知数的个数和方程的个数相同，2）系数行列式D 不等于零，结论是(1,2,)j j D x j n D== 。

10. n 阶矩阵A 可逆的充要条件是0A ≠，设A *为A 的伴随矩阵，则A -1=*1A A。

11. 若n 阶矩阵满足A 2-2A-4E=0,则A -1=1(2)4A E - 。

12.()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛43214321=()30， ()43214321⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1234246836912481216⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪⎪⎝⎭13. 设A 为三阶矩阵，若A=3，则1-A =13,*A = 9 。

14．=++++xx x x 22222222222222223(8)x x +15．设A 是m 阶方阵，B 是n 阶方阵，且|A |=a ，|B |=b ，令⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0B A 0C ，则|C |=ab mn(-1)二、选择题1. 设n 阶行列式D =n ija ，ji A 是D 中元素ji a 的代数余子式，则下列各式中正确的是（ C ）。

[数学]线性代数1-2-习题课

n
ai
a2
x
an
i1
n
x ai
a2
a3
x
i1
h
31
提取第一列的公因子，得
1 a1 a2 an
1 x a2 an
n
Dn1 (x ai) 1
a2
x an.
i1
1 a2 a3 x
将1第列(的 a1)倍加2 到列第，1将列第的 (a２ )倍加3 到列第， ,将1第列(的 an)倍加到后一列，得
h
20
解设D5中第 1,2,3,4,5行的元素a分 1p1,a别 2p2, 为 a3p3,a4p4,a5p5,那么， D5中由第 1,2,3,4,5行可能的非零元素分别得到
p12,3;
p1,2,3,4,5; 2
p31,2,3,4,5;
p2,3; 4
p52,3.
因为p1, p2, p3, p4, p5在上述可能取的,代
一个5元排列也不能组成，
故D5 0.
h
21
评注本例是从一般项入手，将行标按标准顺序排列，讨论列标的所有可能取到的值，并注意每一项的符号，这是用定义计算行列式的一般方法．
注意
如果一n个阶行列式中等于素零比的元
n2n还多，则此行列于式零必 .(为等什么 ?)
h
22
例３
设
a11 a12 a1n
推论奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，偶排列调成标准排列的对换次数为偶数．
h
6
５、n阶行列式的定义
a11 a12 a1n
Da 21a 2 2 a 2n p1p2pn1ta1p1a2p2anpn
an1 an2 ann

新版线性代数1-2章练习和参考答案

R ( A) _____ R ( B) ；
3.设一个 m × n 齐次线性方程组的系数矩阵为 A ，那么该方程组有无穷多个解的充分必要条件是_______________；仅有零解的充分必要条件是；
x1 + 2 x 2 + x3 = 1 ⎧ ⎪ 4.已知方程 ⎨2 x1 + 3 x 2 + ( a + 2) x3 = 3 无解，则 a = ⎪ x + ax − 2 x = 4 1 2 3 ⎩
a11 a 21
a12 + a13 a 22 + a 23
=
.
二、利用行列式性质计算下列各行列式：
1 2 1. 3 4
2 3 4 1
3 4 1 2
4 1 ； 2 3
x 2. y x+ y
y x+ y x
x+ y x ； y
− ab ac − cd 3. bd bf cf
a b " b ae b a " b de ； 4. . # # % # − ef b b " a 1 9 D4 = 9 8 2 1 9 6 2 3 9 6 1 8 0 0
；
⎧ x1 + x 2 + x3 = 0 ⎪ 2.设方程组 ⎨ ax1 + bx 2 + cx3 = 0 , 则当 a , b , c 满足 ⎪ 2 2 2 ⎩a x1 + b x 2 + c x3 = 0
2
院(系) , 班, 姓名练习 1.3 线性方程组解的存在性和惟一性一、填空：
学号
1.设一个 m × n 型线性方程组的系数矩阵为 A ，增广矩阵为 B ，若 m < n ，则该方程组或解，或有解；若 R ( A) = R ( B ) = n ，则该方程组必有解；

线性代数习题解答第一二三章

β （图1）总习题一一、问答题1. 试解释二、三阶行列式的几何意义.解在平面解析几何中，已知两向量),(),,(2121b b a a ==βα如图，以βα,为邻边的平行四边形的面积为><=βαβα,sin ||||S 平行四边形，而||||,cos βαβαβα⋅>=< ，故|-1|2><=βαβα,sin ||||S 平行四边形 ||||21211221b b a a b a b a =-=这就是说，二阶行列式2121b b a a 表示平面上以),(),,(2121b b a a ==βα为邻边的平行四边形的有向面积，这里符号规定是当这个平行四边形由向量α沿逆时针方向转到向量β而得到时面积取正值；当这个平行四边形由向量α沿顺时针方向转到向量β而得到时面积取负值．空间三向量),,(),,,(),,,(321321321c c c b b b a a a ===γβα的混合积)(γβα⨯⋅的绝对值等于这三个向量张成的平行六面体的体积，即=平行六面体V |||)(321321321c c c b b b a a a |=⨯⋅γβα 三阶行列式321321321c c c b b b a a a 表示以γβα，，为相邻棱的平行六面体的有向体积，当γβα，，构成右手系时，体积取正值；当γβα，，构成左手系时，体积取负值．实际上改变任意两向量次序，取值符号改变．类比二、三阶行列式，n 阶行列式|,,,|D n n ααα 21=是由n 维向量n,,,ααα 21张成的n 维平行多面体的有向体积．尽管我们不能看见n 维平行多面体，但是有2，3维空间做蓝本，我们却能够通过现象抓住行列式概念的本质，进行想象．行列式的性质均可以通过几何直观解释，这就是了解几何背景的优势．- 2 - 习题解答2. 行列式中元素的余子式、代数余子式与行列式有什么关系？解由定义知，在行列式ijn nD a ⨯=中，去掉元素ij a 所在的第i 行和第j 列后，保持相对位置不变得到的1n -阶行列式称为该元素的余子式，记为ij M ．而把(1)i j ij M +-称为元素ij a 的代数余子式，记为ij A ．由定义可知，元素的余子式及代数余子式与该元素的位置有关，而与该元素本身是什么数无关．因此，如果只改变行列式的某行（列）的各元素数值，并不会改变该行（列）原来的各元素对应的余子式和代数余子式．例如：在行列式1D =123451789-中，将第二行元素都换成1，得2D =123111789，那么2D 的第二行各元素的代数余子式与1D 的第二行各元素的代数余子式是分别对应相同的．利用此性质可以方便地计算行列式某些元素的代数余子式的某些线性组合．它们与行列式的关系主要表现在行列式按行（列）展开定理及其推论中，即⎩⎨⎧≠==∑=)(,0)(,1s i s i D A a sk nk ik ， ⎩⎨⎧≠==∑=)(,0)(,1t j t j D A a kt nk kj ． 3. 试从几何的角度解释三元线性方程组有唯一解的意义.解线性方程组的解可以借助于子空间的概念来阐明，这样可以使线性方程组的解有了几何意义．设三元一次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++)()()(333332222211111πππ d z c y b x a d z c y b x a d z c y b x a , 三个方程在空间分别表示三个平面123,,πππ，该方程组有唯一解，就是说它们有唯一一个交点（如右图）．这样以直观方式去理解三元线性方程组的解，就会比较顺利地迁移到对n 元线性方程组的解地理解上去。

经济数学线性代数第二版课后练习题含答案

经济数学线性代数第二版课后练习题含答案1. 课后练习题简介本文为《经济数学线性代数》第二版的课后练习题及其答案的汇总。

该练习题共包含28个章节，每章包含6-10个小节，共计371道习题。

这些习题均与经济学和管理学相关，旨在帮助读者更好地掌握线性代数的相关知识并初步了解其在经济和管理领域的应用。

2. 练习题目录以下是本文所包含的练习题目录：•第一章矩阵和线性方程组–1.1 线性方程组及其解法–1.2 向量–1.3 矩阵–1.4 矩阵运算与初等矩阵–1.5 矩阵的秩–1.6 线性方程组的求解•第二章行列式–2.1 行列式的定义及其性质–2.2 并排法与简化的行列式求值法–2.3 行列式按行（列）展开的定义–2.4 行列式的初等变换及其意义–2.5 行列式的应用•第三章向量空间–3.1 向量空间的定义及其基本性质–3.2 向量空间的子空间–3.3 向量的线性相关性和张成–3.4 线性变换及其矩阵–3.5 线性空间的同构•第四章特征值和特征向量–4.1 特征值和特征向量的定义–4.2 特征值和特征向量的计算–4.3 特征值和特征向量的性质与应用•第五章矩阵的分解–5.1 矩阵的LU分解–5.2 矩阵分解及其应用•第六章二次型–6.1 二次型的基本定义和性质–6.2 定性讨论–6.3 将二次型化为标准型–6.4 规范形和正定性–6.5 二次型的矩阵表示及其变换•第七章一些应用–7.1 直线拟合–7.2 最小二乘法及其应用–7.3 矩阵的特征值和特征向量在统计中的应用–7.4 矩阵分析的应用3. 练习题答案练习题的答案分别附在每道习题的后面，供读者参考和自测。

答案做得详细、完整，方便读者直观地了解每道题的解法和思路。

所有的答案均由资深教师和相关专业人员校对和审核，保证了答案的正确性和可靠性。

4. 总结本文为经济数学和线性代数的学习提供了一份有用的工具，简明清晰地给出了《经济数学线性代数》第二版的课后练习题及其答案。

线性代数1-2章精选练习题培训讲学

线性代数1-2章精选练习题培训讲学线性代数 1 - 2 章精选练习题第⼀章⾏列式⼀、单项选择题1.下列排列是5阶偶排列的是().(A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)24351 2?如果n阶排列j1j2 j n的逆序数是k,则排列j n j2j1的逆序数是()?3. n阶⾏列式的展开式中含3022的项共有()项.(A)k (B)n k n! n(n 1) (C)i k⑼号k(A) 0 (B)n 2 (C) (n 2)! (D) (n 1)!4. 01111).5. 01(A) 01110 (A) 06.在函数f(x) (B) (C) 1 (D) 2).(B)2x13(C) 1113KJ1x3项的系数是().(A) 0(B) 1(C) 1 (D) 2°11a 12a 13-，则 D 122a 11a 13a 11 2a 12若Da 21 a 22 a 23 2a 21 a 23 a 21 2a 22 a 31a 32a 332a 31a 33a 312a 32(A) 4(B) 4 (C) 2 (D) 2an 012a 12 则().7. ka 22ka 21().8.若(A) ka(B) ka(C)k 2a (D) k 2a2,5,1, x ,则 x ().()(A) 1(B) 2(C) 3(D)0、填空题 1. 2n 阶排列24(2n)13(2n 1)的逆序数是2.在六阶⾏列式中项a 32a 54a 4Q65a 13a 26所带的符号是3. ________________________________________ 四阶⾏列式中包含a 22a 43且带正号的项是 ________________________________ . 4. 若⼀个n 阶⾏列式中⾄少有n 2 n 1个元素等于0,则这个⾏列式的值等于1 0 1 1 1 0 0 15.⾏列式0 1 1 10 0 1 08 7 4 36 2 3 1 ，则D 中第⼀⾏元的代数余⼦式的和为(1 1 1 14375(C) 3 (D) 210.若 D9.已知4阶⾏列式中第1⾏元依次是4,0,1,3,第3⾏元的余⼦式依次为(A) 0(B) 3(A) 1(B) 211.若 D3 1 0 50 1 1 34 12 0 1 02，则D 中第四⾏元的余⼦式的和为).(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D)012. k 等于下列选项中哪个值时，齐次线性⽅程组X 2kx 3 0kx 2 X 3 0有⾮零解 kx 1 X 2 X 3式，则 4阳 3A 42 2A 43 A 440 01 00 20 0 6.⾏列式0 0 0 n 1n7.⾏列式a 11 a 12a 21 a 22 a 31 a 32a 11M ，则 D i a 2i a 3i 9.已知某5阶⾏列式的值为5,将其第⼀⾏与第 2乘所有元素，则所得的新⾏列式的值为 _______1 x11x 1 1 10.⾏列式1x 11 1x 1111111 11. n 阶⾏列式1 1111112.已知三阶⾏列式中第⼆列元素依次为 1,2,3,其对应的余⼦式依次为3,2,1,则该⾏列式的值为1 2 3 45 6 7 8 ，A 4j (j4 3 2 18 7 6 51, 2, 3,4）为D 中第四⾏元的代数余⼦a11a i (n 1)a i na2(n 1)8.如果D a i3a 23 a 33a i3a 23a 335⾏交换并转置，再⽤ 13.设⾏列式D1 352n 11 2 0 016. 已知⾏列式D 1 0 3 0 ,D 中第⼀⾏元的代数余⼦式的和为1 0 0nkx 1 2x 2 X 3 017. 齐次线性⽅程组2x-i kx 2 0仅有零解的充要条件是X 1X 2X 3 0X12x2X 3 018. 若齐次线性⽅程组2X 25X 3 0有⾮零解，则k=.3为 2X 2 kx 3A 44 An A 42 abcd2,2X y x y a b cd3,33,3；2.y x y X a bc dx yXybeda c d ab da b c、计算题1.714.已知DD 中第四列元的代数余⼦式的和为15.设⾏列式1 3 1 123 5 1 3 462 6，A 4j 为a 4j (j 1,2,3,4)的代数余⼦式，则1 11 g 1, j 0,1, ,n )；1 1 1 3 1 b 16. 111 1 1X a a 2 a na 1 a 1 a 1a X a 2 a n 7.bb 2 a 2a 2 ； 8.a a 2 Xa nb b2b 3 a naa 2 a 3X1 a a 0 0 01 1 a a 0 0 11. D0 1 1 a a 0 0 01 1 aa1 1 a0 1 1 0 X 1 1X3 ?解⽅程X 1 1 01 X 1 00; X 印 a 2 a n 2 a 1 X a 2 an 2 4.a 1 a 2 X an 2a 2 a 3a n 11 1 1 1 1a o1 1 1 a 15. 11 a 21 1 1 9.1 X ： X X %x 21 X ； X nNX n X ；xx X ;X n 1 X ；2 1 0 1 21 0 1210.0 00 0 0 0 2 1 1 24.5. 四、证明题设 abed1,证明:a 1 biX a 1xa 2b 2x a 2x a 3 b 3X a 3X 1 1 1 a b e 2 .2 2a b e 4.4 4a b e 2.13. b i b 2 b 3 d d 2d 4b 2丄e 1a 1 2 a 1a 2 a n 2 ann 2 a1n a 1n 2 a2n a 2 n 2 ann a n a 1 b 10.a 1b 1 C 1 (1 X 2) a 2b 2 C2a 3b 3 C 3C1C 2C 3a)(c a)(da)(e b)(d b)(d e)(a b e d).na i1设a,b,e 两两不等，证明 b b 3 .单项选择题C D(a j a i ).n0的充要条件是a b e 参考答案0.填空题n(n 1)1. n ;2. “ ”；3.a 14a 22a 31a 43;4.0;5.0;6.( 1)n 1 n!;7.( 1) 2 ama ?? 1) a^ ;四.证明题（略）矩阵⼀、单项选择题1. A 、B 为n 阶⽅阵，则下列各式中成⽴的是（）8. 3M ; 9. 160; 10.x 4; 11.( n) n 112. 2； 13.0; 14.0; 15.12, 9; n16. n !(1k 12,3; 18.k7三?计算题 3.5.7.( 9. 1(a b 2,0,1;(a k1)n11. (1 1)(1(b kk 1X k ;1a)(1 a a 4).a)(c a)(d a)(cn 4.k 1(x 16. 8. (x 10. n 1;aQ(2 b)(d b)(1 na k ) b)(d c) ; 2.2(x 3 y 3);b) ((n 2) b);(x a k );(a) A A 2(b) A 2 B 2 (A B)(A B) (c) (A B)A A AB (d) (AB)T A T B T2. 设⽅阵A 、B C 满⾜AB=AC 当 A 满⾜（）时，B=C (a) AB =BA (b) A 0 (c)⽅程组 AX=0有⾮零解 (d) B 、C 可逆3. 若A 为n 阶⽅阵，k 为⾮零常数，则kA4. 设A 为n 阶⽅阵，且A 0,则（）。