高等代数课件-§2 仿射坐标系和直角坐标系
高中数学必修课件第二章空间直角坐标系
台体是由两个平行且小于大底面的截面所截得的几何体，在空间直角坐标系中可以通过上 下底面的方程和高度来描述。
几何体顶点、棱长等参数求解
要点一
顶点坐标
对于给定的几何体方程，可以通过解 方程求得顶点的坐标。例如，对于圆 锥方程$z = sqrt{x^2 + y^2} tan(theta)$，当$x=y=0$时， $z=0$，即顶点在原点。
质。
06
空间直角坐标系在实际问 题中应用
地球经纬度系统简介及转换方法
要点一
地球经纬度系统概述
要点二
经纬度与空间直角坐标系的转换
地球经纬度系统是一种以经度和纬度来表示地球上任意位 置的方法，广泛应用于地理、导航、气象等领域。
在实际应用中，经常需要将经纬度坐标转换为空间直角坐 标系中的坐标，或者将空间直角坐标系中的坐标转换为经 纬度坐标。这种转换可以通过一定的数学公式和算法来实 现。
点与坐标对应关系
空间中的每一个点都唯一对应一个三元组坐标，反之每一个三元组坐标也唯一对 应空间中的一个点。
空间向量及其运算规则
01
空间向量定义
既有大小又有方向的量称为空间向量，其大小称为向量的模，方向由起
点指向终点。
02
向量表示
在空间直角坐标系中，向量可以用一个有序三元组来表示，即向量的坐
标表示。
03
向量运算
空间向量的运算包括加法、减法、数乘和点积等，其中加法和减法遵循
平行四边形法则和三角形法则，数乘是将向量与标量相乘得到新的向量
，点积则是两个向量的数量积运算。
02
空间直角坐标系中点与线 关系
点到直线距离公式推导及应用
公式推导
通过向量投影的概念，推 导出点到直线的距离公式 。
#空间直角坐标转换之仿射变换
空间直角坐标转换之仿射变换一、仿射变换仿射变换是空间直角坐标变换的一种，它是一种二维坐标到二维坐标之间的线性变换，保持二维图形的“平直线”和“平行性”，其可以通过一系列的原子变换的复合来实现，包括平移(Translation)、缩放（Scale）、翻转（Flip）、旋转（Rotation）和剪切(Shear)。
此类变换可以用一个3×3的矩阵来表示，其最后一行为(0, 0, 1)。
该变换矩阵将原坐标(x, y)变换为新坐标(x', y')，这里原坐标和新坐标皆视为最末一行为(1)的三维列向量，原列向量左乘变换矩阵得到新的列向量：[x'] [m00 m01 m02] [x] [m00*x+m01*y+m02][y'] = [m10 m11 m12] [y] = [m10*x+m11*y+m12][1 ] [ 0 0 1 ] [1] [ 1 ]如果将它写成按旋转、缩放、平移三个分量的复合形式，则其代数式如下：x’= m00*x+m01*y+m02；y’= m10*x+m11*y+m12；其示意图如下：几种典型的仿射变换：1.public static AffineTransform getTranslateInstance(double tx, double ty)平移变换，将每一点移动到(x+tx, y+ty)，变换矩阵为：[ 1 0 tx ][ 0 1 ty ][ 0 0 1 ]（译注：平移变换是一种“刚体变换”，rigid-body transformation，中学学过的物理，都知道啥叫“刚体”吧，就是不会产生形变的理想物体，平移当然不会改变二维图形的形状。
同理，下面的“旋转变换”也是刚体变换，而“缩放”、“错切”都是会改变图形形状的。
）2.public static AffineTransform getScaleInstance(double sx, double sy)缩放变换，将每一点的横坐标放大（缩小）至sx倍，纵坐标放大（缩小）至sy倍，变换矩阵为：[ sx 0 0 ][ 0 sy 0 ][ 0 0 1 ]3.public static AffineTransform getShearInstance(double shx, double shy)剪切变换，变换矩阵为：[ 1 shx 0 ][ shy 1 0 ][ 0 0 1 ]相当于一个横向剪切与一个纵向剪切的复合[ 1 0 0 ][ 1 shx 0 ][ shy 1 0 ][ 0 1 0 ][ 0 0 1 ][ 0 0 1 ]（译注：“剪切变换”又称“错切变换”，指的是类似于四边形不稳定性那种性质，街边小商店那种铁拉门都见过吧？想象一下上面铁条构成的菱形拉动的过程，那就是“错切”的过程。
仿射坐标系
x1 x 2 y1 y 2 z1 z 2 （2.4） x ,y ,z . 2 2 2
例 用坐标法证明四面体对棱中点的连线交于一点。 证明 设四面体ABCD（图1.12）的AB,AC,AD,BC, CD,DB的中点分别为 B' , C ' , D' , E, F , G 。 取仿射标架 A; AB, AC, AD , 则各点的坐标分别为：
1 2
1 l 0 z 2 1 l
解得k=l=1从而交点P存在，且P的坐标为 1 1 1 C ' G 设 B' F 与 交于 P ' ,同理可得 P' , , , 所以P与P ' 4 4 4 重合，即 B' F , D' E, C ' G 交于一点。 另法：先后求出 B' F , D' E, C ' G 的中点坐标，知道它 们的坐标都相同，因而三线交于一点。
A(0,0,0), B(1,0,0), C (0,1,0), D(0,0,1),
1 1 1 B' ,0,0 , C ' 0, ,0 , D' 0,0, , 2 2 2
1 1 1 1 1 1 E , ,0 , F 0, , , G ,0, . 2 2 2 2 2 2
设{O; e , e , e }为空间的一个标架，过原点O，且分 1 2 3 别以 e1 , e2 , e3为方向的有向直线分别称为x轴、y轴、z轴， 统称为坐标轴。由每两条坐标轴决定的平面称为坐标平 面，它们分别是xOy,yOz,zOx平面。坐标平面把空间分 成八个部分，称为八个卦限（图1.10），z III 在每个卦限内，点的坐标的符号 II IV I 不变。 O VII
高中数学必修二空间直角坐标系PPT讲课演示
Ⅲ
Z
zOx面
yOz面
Ⅱ
广东河北湖南联合设计
广东分署财保处
广东河北湖南联合设计
广东分署财保处
Ⅳ
Ⅰ
广东河北湖南联合设计
xOy面
X
Y
O
广东河北湖南联合设计
Ⅶ
Ⅵ
Ⅷ
Ⅴ
五
空间直角坐标系中的坐标
z
R
广东河北湖南联合设计
广东分署财保处
广东河北湖南联合设计
广东分署财保处
M
如图所示，设点 M 为空间一定点，过点M分别作
垂直于 X,Y,Z 轴的平面，交点依次为 P，Q、R
设点P，Q，R 在 X，Y，Z 轴上的坐标分别为 X，Y，Z
那么点 M 就对应唯一确定的有序实数组 （X，Y，Z）
广东河北湖南联合设计
P
x
O
y
Q
广东河北湖南联合设计
M'
z
反过来
R
给定有序实数组（x，y，z）
我们可以在 x，y，z轴上分别取坐标为实数
的点p，q，r分别过这三点各作一个平面，分别垂直于x，y，z轴，
P
这三个平面的唯一交点就是有序实数组（x，y，z）
x
确定的点M.
M
y
广东河北湖南联合设计
广东分署财保处
O
Q
广东河北湖南联合设计
广东分署财保处
广东河北湖南联合设计
这样，空间一点M的坐标可以用有序实数组（x，y，z）表示，有序实数组（x，y，z）
• yOz平面上的点横坐标为0；
z
• xOz平面上的点纵坐标为0.
C
F
•
1
O
高等代数(绪论)讲解课件
善于总结
在做题过程中，要注意总结解题方法和技巧 ，形成自己的解题思路和经验。
学习过程中注重归纳总结
要点一
归纳知识体系
在学习过程中，要注重归纳总结，将所学知识形成完整的 知识体系，以便更好地理解和记忆。
要点二
总结解题方法
对于同一类问题，要总结出通用的解题方法，形成自己的 解题技巧和策略。
培养数学思维与逻辑推理能力
矩阵的加法、减法、乘法
矩阵的逆
掌握矩阵的基本运算规则，能够进行 矩阵的加法、减法和乘法运算。
掌握矩阵逆的定义和性质，能够求出 矩阵的逆。
矩阵的转置
了解矩阵转置的定义和性质，能够进 行矩阵的转置运算。
多项式的因式分解与根的性质
因式分解
掌握多项式的因式分解方法，如提取公因式、分组分 解、十字相乘法等。
线性变换与几何变换
总结词
线性变换是高等代数中描述几何变换的 基本工具，它可以用于图像处理、计算 机图形学和机器人学等领域。
VS
详细描述
线性变换是矩阵在向量空间上的作用，它 可以描述旋转、平移、缩放等基本的几何 变换。通过线性变换，可以研究几何对象 的性质和关系，并将其应用于图像处理、 计算机图形学等领域，实现图像的旋转、 缩放和剪切等操作。
培养数学思维
学习高等代数需要具备数学思维，即能够运用数学语言 和符号进行推理和表达的能力。
提高逻辑推理能力
通过学习和练习高等代数的证明和推导，可以提高逻辑 推理能力，增强思维的严密性和条理性。
T量是一个有方向的量，它由一组有 序数组成。在高等代数中，向量通常 表示为有序数对的序列，这些数对可 以表示空间中的点、方向和大小。
矩阵
矩阵是一个矩形阵列，由若干行和若 干列组成。在高等代数中，矩阵是重 要的数学工具，它可以表示向量之间 的关系、线性变换等。
空间直角坐标系及点的坐标表示PPT课件
定义
在空间直角坐标系中，一个点P 可以用三个实数x、y、z来表示，
这三个实数称为点P的坐标。
坐标轴
空间直角坐标系由三条互相垂直 的坐标轴X、Y、Z组成，其中X 轴与Y轴构成平面直角坐标系。
点的坐标表示
点P在直角坐标系中的表示方法 为(x, y, z)。
点在极坐标系中的表示
01
02
03
04
定义
在空间中，一个点P可以用极 径ρ和极角θ来表示，这种表示
通过球面坐标与直角坐标之间的转换公式将点在球面坐标系中的坐标转换为直 角坐标系中的坐标。
坐标系的扩展与推广
参数方程表示
通过引入参数方程来表示点的位置， 使得点的表示更加灵活和多样。
多维空间坐标系
将二维或三维直角坐标系扩展到更高 维度的空间，用于描述更复杂的多维 几何对象。
05
空间直角坐标系的实践 案例
计算几何量
通过空间直角坐标系，可以方便地计算几何量，如两点之间的距离、 点到直线的距离等。
在物理学中的应用
01
பைடு நூலகம்
02
03
描述物体运动轨迹
在物理中，物体的运动轨 迹通常可以用空间直角坐 标系来表示。
描述力场和电场
通过空间直角坐标系，可 以描述各种物理场，如重 力场、电场等。
计算物理量
利用空间直角坐标系，可 以方便地计算物理量，如 速度、加速度等。
镜像坐标系
将坐标系沿某一轴进行对 称，得到镜像坐标系，如 极坐标系。
拉伸坐标系
通过拉伸坐标轴上的单位 长度来改变坐标系的尺度， 但不改变其方向。
坐标系的转换
笛卡尔坐标系到极坐标系的转换
通过极坐标与笛卡尔坐标之间的转换公式将点在笛卡尔坐标系中的坐标转换为 极坐标系中的坐标。
高等几何仿射坐标与仿射变换
a 11
原象点： A,B,C,D…… 直线a上的点
映象点：A, B,C, D…… 直线上 a 的点 平行射影的方向：直线 l
记透视仿射对应T： T A A,T B B ………
透视仿射对应与方向有关，方向变了，则得到另外的透视仿射
对应
D
a
C
l
A
B
O A B C D
a
点 O 为自对应点( 同一平面上两相交直线的公共点 ) 12
CB
10
二.两直线间透视仿射对应、仿射对应与仿射变换
1..两直线间的透视仿射对应
≠ ≠
点若A直,B线,C,aD,…a… a，,l过点A,B,且C,Dl…作a直线, ll的平行a线交, a于
A, B,C, D……，则可得直线 a 到直线 a的一个映射。
称为透视仿射对应，记为 T D
a
l AB C
A B C D
1.透视仿射对应： 如图
点A,B,C共线a，则 A, B,C 共线 a
T A A T B B T C C g
C a l
B A
T a a
A B
两相交平面的交线为自对应点的集合即对应轴 C
a
15
第一章、仿射坐标与仿射变换 如图
16
2仿射对应：平面到平面的仿射对应是有限次透视仿射对应的 积组成的，是透视仿射对应链。
2.两直线间的仿射对应
T Tn T 1 n2
T2T1
仿射对应是透视仿射对应链或平行射影链
T1,T2, Tn2 ,Tn1 表示透视仿射链，T表示仿射对应 （如图）
A1
B1
C1
A2
B2
C2
l2
A3 B3
C3
高等代数课件-§2 仿射坐标系和直角坐标系
2. 定理1.2 向量的坐标等于其终点坐标减去 其起点坐标.
2.3 三点（或两向量）共线的条件
1.定理1.3 在三个点A，B，C所在的平面上取 一个仿射标架 [O; e1 , e2 ] ，设A，B，C的坐标分 别是 ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ), ( x3 , y3 ), 则三点A，B，C共 线的充分必要条件是 x1 x 2 x 3 y1 y 2 y 3 0. (1.5) 1 1 1
设 B' F与E交于点 M ( x , y , z ) ，设 B ' M kMF D' D ' M lME
1 1 1 1 k 0 0 l 0 k 0 l 2,y 2 2, x 2 1 k 1 l 1 k 1 l
a 由上述得： b的坐标是(a1 b1 , a2 b2 , a3 b3 ).
证明 对于向量 AB ，设A，B的坐标分别 是 ( x1 , y1 , z1 ) ， x2 , y2 , z 2 ) ，它们也分别是 OA ， ( OB 的坐标.因为 AB OB OA ,所以AB 的坐标
2.命题1.6
设A，B的坐标分别是 ( x1 , y1 , z1 ),
( x2 , y2 , z2 ),则分线段AB成定比 ( 1) 的分点
C的坐标是
x1 x2 y1 y2 z1 z 2 ( , , )。 1 1 1
证明 坐标写出就是
设C点的坐标是 ( x , y, z ). AC CB ，用
则得 ( x x1 )e1 ( y y1 )e2 ( z z1 )e3 0. 因为 e1 , e2 , e3 不共面，所以
高等代数与解析几何课件
•
b定义为一个
a • b | a || b | cos a,b .
量 讨论内积、向量的长度、两个向量的夹角的关系.
代
a
b
数
b0
第
命题6.3 向量a与b垂直的充分必要条件是 ：ab 0.
一 章 a,
b,
定理6.4 向量的内积有下列性质：对任意的向量
c以及实数k , 有 (IP1)对称性质a
要条件是：
a
b
c
0.
章
C
向
A
B
量
例1.2用向量方法证明：对角 线互相平分的四边形
代 是平行四边形 . D
O
C
数
A
B
第
向量的标量乘法
一
定义1.3 实数k与向量a的标量乘积ka是一个向量， 它的长度是a的长度的| k | 倍，当k 0时它的方向与a
章 向
相同，当k 0时方向与a相反.
（对M任1）意k的(m向a量 ) a(,kbm以)a及; 实数 k有：
（3）推广到有限个点 线性流形.
量
（4）线性流形的基本特征.
（5）单纯形的概念.
代
例2.2 证明线性流形LM（A1，A2，，An )中任意
数 两点M1，M 2一定包含在这个线性流形内.
第
思考题：线性流形的基本特征.
（1）“直”、“平”，（2）是否包含零向量.
一
例2.3 设a和b是两个非零向量.试证由它们的线性
数
第
问题：（1）讨论两个非零向量共线的性质；
一
（2）讨论三个点共线的条件； （3）讨论三个向量共面的性质；
章 （4）讨论四个点共面的条件.
（5）将以上问题推广或一般化.
高等几何讲义第一章欧氏平面及仿射平面上的变换仿射坐标及仿射坐标变换
§1 变换与变换群
• 4．变换群
• 若集合 S 上的某些变换构成的集合 G 满足条件 ： 1. G 中任二变换的乘积仍属于 G ； 2. G 中每一变换 T 的逆 T 1也属于 G ， 则称 G 为集合 S 上的一个变换群．
• 由定义知：任何变换群一定包含恒等变换．
• 可以证明：平面上绕定点 O 的旋转变换的集合 G 是一个变换群，称为旋转群．记为 G1 ．
|OM/| |OM|，MOM/
的点变换称为以 O 为中心的旋转变换，简称
旋转，记为R ．其表达式为：y M/
R
：
x/ y/
xcos ysin xsin ycos
(1.3)
j
oi
M x
§1 变换与变换群
• 例4．镜射变换 对平面上的定直线，使原象点 M与象点M/之间的线段被 垂直平分的点变换称 为以 为轴的镜射变换，简称镜射．建立如图坐
主要内容
欧氏几何 仿射几何 射影几何
第一章：欧氏平面及仿射平面上的变换，仿
射坐标及仿射坐标变换
本
重点讨论共点性与共线性
教 材 基
射 影 几
第二章：射影平面的定义，射影坐标， 交比，调和共轭，对偶原理 第三章：射影变换，包括透视、一维射
本 框 架
何
影变换、直射、对射、配极 第四章：配极与二次曲线、一维射影变 换与二次曲线、二次曲线的射影分类
标系，则其表达式为： y
Mox： xy//
x
y
(1.4)
M
j
Oi
x
M/
§1 变换与变换群
• 例5．平行射影 二平面
、 / 交于直线 ，向量
M
与二平面都不平行．对
仿射变换原理解析ppt课件
若位似中心的坐标为C(c1, c2), 则(1.8)可化为 y x '' k k y x a a 1 2 3 3 或 x y '' k 0k 0 x y a a 1 2 3 3
( 1 .9 )
一个一般的位似变换是一个以原点为中心的位似与一个平移 的积, 若k1则为平移, 故平移是特殊的位似.
仿射变换仿射变换仿射坐标系定义设在平面上取定一点o和以o为起点的两个线性无关向量则由此构成平面上一个仿射坐标系或仿射坐标架记作o平面上任一点p的仿射坐标xy由下式唯一确定opxeye反之对任意给定的有序实数偶x112式可唯一确定仿射平面上的一个点具有坐标x建立了仿射坐标系的平面称为仿射平面为单位正交向量则oepeooeoppeooe仿射变换仿射变换点变换为上的一个仿射变换有表达式111213131112212223232122的坐标矩阵11122122满足a0称为仿射变换的矩阵
.
几种特殊的仿射变换
2. 相似变换
定义 设为上的一个点变换, P, Q为上任意相异二点, (P)P', (Q)Q'. 满足
P 'Q ' k (0 k R 为 常 数 ) (1 .1 0 ) P Q 则称为上的一个以k为相似比的相似变换.
注. 相似变换的基本性质 (1) 保持共线三点的简单比不变. (2) 使得任意图形变成其相似图形; 使平 行直线变为平行直线. (3) 保持任意两条线段的比值不变. 从而 保持两直线夹角不变. (4) 正交变换、位似变换都是其特例.
其中(x, y)与(x', y')为任一对对应点P, P' 的坐标, 矩阵
A
a11 a21
a12
a22
满足|A|0, 称为仿射变换的矩阵.
高B数学必修二课件空间直角坐标系
平面方程及性质
一般式方程
点法式方程
Ax + By + Cz + D = 0（A、B、C不同时 为0）
n·(r - r0) = 0（n为平面法向量，r0为平面 上一点，r为任意点）
三点式方程
性质
(x - x1) / (x2 - x3) = (y - y1) / (y2 - y3) = (z - z1) / (z2 - z3)（(x1, y1, z1)、(x2, y2, z2)、(x3, y3, z3)为平面上三点）
06
空间解析几何初步应用
点到直线距离公式推导与应用
点到直线距离公式
通过向量运算和空间几何知识，推导 点到直线距离的公式，并理解其几何 意义。
应用举例
利用点到直线距离公式，解决空间中 点到直线的最短距离问题，如计算点 到平面的距离等。
两点间距离公式推导与应用
两点间距离公式
通过向量运算和空间几何知识，推导 两点间距离的公式，并理解其几何意 义。
零向量与单位向量
零向量用$(0,0,0)$表示，模长为0；单位向量的模长为1，如$vec{i}=(1,0,0)$， $vec{ j}=(0,1,0)$，$vec{k}=(0,0,1)$。
向量间夹角与距离计算
要点一
向量间夹角
设两个非零向量$vec{a}=(x_1,y_1,z_1)$和 $vec{b}=(x_2,y_2,z_2)$，则 $coslanglevec{a},vec{b}rangle=frac{vec{a}cdotvec{b}}{| vec{a}||vec{b}|}=frac{x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2}{sqrt{x_1^ 2+y_1^2+z_1^2}sqrt{x_2^2+y_2^2+z_2^2}}$。
第一章仿射几何学
第二部分高等几何学习指导第一章仿射几何学本章内容的安排在于揭示一种思想方法，从观察到概念形成到不变量系统再到代数系统，这种安排思想也充分反映了历史上射影几何建立过程中综合方法与解析方法各有所长交替作用互相影响的发展历程。
本节研究的内容来自于生活、自然与生产建设实践，如正交变换是从研究我们生活空间中物体位置改变的最简单的情形移动、转动和镜面反射开始的，仿射变换则是从太阳光的照射开始的。
因此在本章的学习中应注重于培养观察能力。
《数学发现的艺术》中是这样描述“观察”与“归纳”的：“观察是有意知觉的高级形式，它与有意注意结合在一起，与思维相联系。
怎样进行观察？需要注意三点：一是有意识、有目标，处处留心，总想‘找岔儿’，从中发现点什么，否则就会熟视无睹，看等于不看；二是要有基础，有必要的相关知识，否则难以看出‘门道儿’，而只能是‘外行看热闹’；三是要有方法，否则就看不到‘点子’上，抓不住要领。
在观察中，要特别注意从个别想到一般，从平常中发现异常”；而“归纳是由个别事例向关于这一类事物的一般性的过渡，是一种对经验、以实验观察结果进行去粗取精、去伪存真的综合处理方法。
人们用归纳法清理事实，概括经验，处理资料，从而形成概念，发现规律”。
通过本章学习，首先对观察、归纳应该有一个较为深刻的认识，为在以后的学习中能熟练应用观察而打下良好的基础，其次对数学研究的目标之一——对象的结构——有一个初步的了解。
§1正交变换本单元分两个部分介绍正交变换，其一是解析几何中坐标变换的复习，主要通过讨论刚体运动中的特例——平移、旋转和反射，揭示其中最基本的不变量——距离，进而提炼出正交变换的概念。
其二是利用不变量系统建立相应的坐标系，从而引入解析法，用代数方法解决正交变换的结构问题。
一、基本概念实例 (a) 平移是沿一定的方向推移物体的过程，建立适当的坐标系，就有平移：，即；(b) 旋转是物体绕着固定点转动的过程，建立适当的坐标系，就有旋转：，即；(c) 反射是关于一条固定直线的对称，建立适当的坐标系，就有反射：，即。
高等代数第五版349页坐标变换
高等代数第五版349页坐标变换高等代数是数学中的一门重要课程，其中坐标变换是其中一个重要的概念。
在高等代数第五版的349页中，详细介绍了坐标变换的相关知识和应用。
本文将根据这一内容，以人类的视角进行叙述，向读者生动地介绍坐标变换的概念和意义。
一、引言坐标变换是数学中的一个基本概念，它在几何学和代数学等领域中都有广泛的应用。
通过坐标变换，我们可以将一个坐标系中的点转换到另一个坐标系中，从而方便地进行计算和分析。
在高等代数中，我们学习了各种不同类型的坐标变换，包括线性变换、仿射变换、正交变换等。
二、线性变换在高等代数中，线性变换是最基本的一种坐标变换。
线性变换是指将一个向量通过一个线性变换矩阵进行变换的过程。
线性变换具有保持向量相加和数乘运算的性质，因此它在代数和几何的研究中有着广泛的应用。
通过线性变换，我们可以将一个向量从一个坐标系转换到另一个坐标系中，从而方便地进行计算和分析。
三、仿射变换仿射变换是高等代数中的另一个重要的坐标变换。
仿射变换是指将一个向量通过一个仿射变换矩阵进行变换的过程。
仿射变换包括线性变换和平移变换两个部分，它可以将一个向量从一个坐标系转换到另一个坐标系中，并保持向量之间的比例关系。
仿射变换在计算机图形学和计算机视觉等领域中有着广泛的应用。
四、正交变换正交变换是高等代数中的另一个重要的坐标变换。
正交变换是指将一个向量通过一个正交变换矩阵进行变换的过程。
正交变换具有保持向量的长度和夹角的性质，因此它在几何学和物理学的研究中有着广泛的应用。
通过正交变换，我们可以将一个向量从一个坐标系转换到另一个坐标系中，并保持向量的长度和夹角不变。
五、应用举例坐标变换在实际应用中有着广泛的应用。
例如，在计算机图形学中，我们经常需要将一个三维模型从一个坐标系转换到另一个坐标系中，以便进行渲染和显示。
通过坐标变换，我们可以将模型的顶点坐标转换到屏幕坐标系中，从而实现模型的显示。
在机器人学中，坐标变换也有着重要的应用。
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y1 y3
于是有
x1 x3
y2 y3
0.
（1.10）
x2 x3
x3 y3 0, 1
y1 y3 0
y2 y2 0
即得
x1 y1 1
x2 y2 1
x3 y 3 0. 1
充分性. 如果（1.5）式成立，则（1.10）式成立.
从而齐次线性方程组(1.9)有非零解: x , y
于是得(1.8)式.
令 ( ) ， 则得(1.7)式，所以（1.6）
成立. 据例1.2知，A，B，C共线.
[ 2.定理1.4 设两向量a,b在空间仿射标架O; e1 , e2 , e3 ] ( 中的坐标分别是 (a1 , a2 , a3 ) ，b1 , b2 , b3 ) . 则a与b共线 的充分必要条件是 a1 b1 a1 b1 a2 b2 0 (1.11) a2 b2 a3 b3 a3 b3 证明 必要性. 设a与b共线. 假如 a 0 , 则(1.11) 显然成立. 下设 a 0 , 于是有实数k使得，a=kb, 所以 bi kai , i 1,2,3. a1 b1 a1 ka1 0. 从而 a 2 b2 a2 ka2
2.4 线段的定比分点
1. 对于线段 AB( A B ) ，如果点C 满足AC CB 则称点C分线段AB成定比 .
当 0 时，点C是线段AB内部的点，称C为内分点 ； 当 0 时，点C是线段AB外部的点，称C为外分点； 当 0 时，点C与A点重合；
唯一性. 若 m xe1 ye2 ze3 x1e1 y1e2 z1e3.
则得 ( x x1 )e1 ( y y1 )e2 ( z z1 )e3 0. 因为 e1 , e2 , e3 不共面，所以
x x1 y y1 z z1 0.
x1 x2 y1 y2 z1 z2 ( , , ). 2 2 2
4. 例1.3 用坐标法证明：四面体对棱中点的连线 交于一点. 证明 设四面体ABCD 的棱AB，AC，AD，BC， CD，DB的中点分别是 B′，C′，D′，E，F， G.
取仿射标架 [ A; AB, AC, AD], 则各点坐标分别为：
是 ( x2 x1 , y2 y1 , z 2 z1 ) .
2. 定理1.2 向量的坐标等于其终点坐标减去 其起点坐标.
2.3 三点（或两向量）共线的条件
1.定理1.3 在三个点A，B，C所在的平面上取 一个仿射标架 [O; e1 , e2 ] ，设A，B，C的坐标分 别是 ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ), ( x3 , y3 ), 则三点A，B，C共 线的充分必要条件是 x1 x 2 x 3 y1 y 2 y 3 0. (1.5) 1 1 1
6. 定义1.7 如果 e1 , e2 , e3 两两垂直，并且它们都 是单位向量，则 [O; e1 , e2 , e3 ] 称为一个直角标架 或直角坐标系. 7. 点（或向量）在直角坐标系中的坐标称为它 的直角坐标，在仿射坐标系中的坐标称为它的 仿射坐标.
2.2 用坐标作向量的线性运算
1.取定仿射标架 [O; e1 , e2 , e3 ] ，设a的坐标 是 a1 , a2 , a3 )，b的坐标是 (b1 , b2 , b3 ) ，则 (
x x1 ( x1 x ), y y1 ( y 2 y ), z z ( z z ). 1 2
解得
x1 x2 y1 y2 z1 z2 x ,y ,z 1 1 1
3. 推论1.3 设A，B的坐标分别为 ( x1 , y1 , z1 ), ( x2 , y2 , z2 ),则线段AB的中点的坐标为
OP / /e1, PN / /e2 , NM / /e3,
所以分别存在实数x,y,z使得 OP xe1, PN ye2 , NM ze3.
从而 m OM OP PN NM xe1 ye2 ze3.
b1 ka1 b1 a1 ka1 a1 b2 ka2 , 得 b2 a2 b2 b2 ka2
同理，由
0
a1 a3
b1 b3
a1 (b3 ka3 ),
得 b3 ka3 . 于是有
(b1 , b2 , b3 ) ( ka1 , ka2 , ka3 ),
从而得 b ka , 因此a与b共线.
2.命题1.6
设A，B的坐标分别是 ( x1 , y1 , z1 ),
( x2 , y2 , z2 ),则分线段AB成定比 ( 1) 的分点
C的坐标是
x1 x2 y1 y2 z1 z 2 ( , , )。 1 1 1
证明 坐标写出就是
设C点的坐标是 ( x , y, z ). AC CB ，用
( x1 x3 ) ( x2 x3 ) 0, ( y1 y3 ) ( y2 y3 ) 0.
(1.8)
(1.7)
因为 , , 不会为零，于是据(1.6)知， , 不全为 零. 从而未知量为x,y的齐次线性方程组 ( x1 x3 ) x ( x2 x3 ) y 0, (1.9) ( y1 y3 ) x ( y2 y3 ) y 0. 有非零解: x , y 因此它的系数行列式 x1 x3 x2 x3
a 由上述得： b的坐标是(a1 b1 , a2 b2 , a3 b3 ).
证明 对于向量 AB ，设A，B的坐标分别 是 ( x1 , y1 , z1 ) ， x2 , y2 , z 2 ) ，它们也分别是 OA ， ( OB 的坐标.因为 AB OB OA ,所以AB 的坐标
A(0,0,0), B(1,0,0), C (0,1,0), D(0,0,1),
1 B ' ,0,0 , 2 1 C ' 0, ,0 2 1 D' 0,0, 2
1 1 E , ,0 2 2
1 1 1 1 F 0, , G ,0, 2 2 2 2
设 B' F与E交于点 M ( x , y , z ) ，设 B ' M kMF D' D ' M lME
1 1 1 1 k 0 0 l 0 k 0 l 2,y 2 2, x 2 1 k 1 l 1 k 1 l
同理，(1.11)中的其余两个行列式也为零. 充分性. 设(1.11)式成立. 如果a,b均为 0 ， 则结论显然成立. 下设 a , b 至少一个不为零向量，无妨设 a 0 从而其至少有一个分量不为零，无妨设a1 0 （其 余情况可类似讨论），则存在实数 k 使得
再由 0
a1 a2
§2 仿射坐标系和直角坐标系
2.1 向量和点的仿射坐标、直角坐标
1. 定理1.1 对于空间中任意给定的三个不共 面的向量e1, e2, e3, 则任意一个向量m可唯一地 表示为e1, e2, e3 的线性组合.
OA OA OM 证明 可表性：取一点O，作OA1 ， 2 ， 3 ， 分别表示e1,e2,e3,m.过M作一直线与 OA平行，且 3 OA 与OA1 和OA2 决定的平面交于N. 过N作一直线与 2 平行，并且与 OA1 交于P. 因为
由于空间中取定一个点O以后，任意一个 点M与向量 OM互相唯一决定，因此我们把向 量OM称为点M的定位向量（或矢径）. 3.定义1.6 空间中一个点O和一组基e1 , e2 , e3 合在 一起称为空间的一个仿射标架或仿射坐标系，记 作 [O; e1 , e2 , e3 ] ，其中O称为原点. 对于空间中任 意 一点M， 把它的定位向量 e1 , e2 , e3 在基 OM 中的坐标称为点M在仿射标架 1 , e2 , e3 ] 中的坐 [O; e 标.
证明 必要性. 设三点A，B，C共线，则由例 1.2知，存在不全为零的实数 , , 使得 OA OB OC 0. 且 0. (1.6) (1.6)中向量的等式用坐标写出就是 x1 x 2 x3 0, y1 y2 y3 0. 用 ( ) 代入(1.7)式得
1 1 1 解得 l 1, k 1. 从而M的坐标为 4 , 4 , 4 .
1 1 0 k l 0 2 2 z , 1 k 1 l
设B' F 与 C'G交于 M' ，同理可求得 M'坐标
1 1 1 为 , , . 4 4 4
所以M与 M' 重合，即B' F ， E ， G 交于一 D' C' 点M.
x x1 , y y1 , z 中任意三个有次序的不共面的 向量 e1 , e2 , e3 称为空间中的一组基. 对于空间中 任一个向量m,若 m xe1 ye1 ze1 , 则把有序三 元实数组(x,y,z)称为m在基 e1 , e2 , e3 下的坐标.
a b (a1e1 a2e2 a3e3 ) (b1e1 b2e2 b3b3 )
(a1 b1 )e1 (a2 b2 )e2 (a3 b3 )e3
所以 a b 的坐标是 (a1 b1 , a2 b2 , a3 b3 ) . 同样，对实数 ， a 的坐标是 (a1 , a2 , a3 )
4. 设 [O; e1 , e2 , e3 ] 为空间的一个仿射坐标系，过原点O， e1 , e2 , e3 分别以 为方向的有向直线分别称为x轴，y轴， z轴，统称为坐标轴. 由每两根坐标轴决定的平面称 为坐标平面，它们分别为xOy, yOz, zOx平面. 坐标平 面把空间分成八个部分，称为八个卦限（如图1.12， 见下页或课本第15页），在每个卦限内，点的坐标 的符号是不变的. 5. 将右手四指（拇指除外）从x轴方向弯向y轴方向 （转角小于π），如果拇指所指的方向与z轴方向在 xOy平面同侧，则称此坐标系为右手系，否则称为左 手系（如图1.13，见下页或课本第15页）.