第二章3 平面的投影

合集下载

3-平面的投影

Z PV PW PV X X Z Z PW
X
O
YW
O PH
YW
O PH
YW
YH 水平面
YH 侧平面
YH 正平面
投影面平行面—总结投影面平行面总结
积聚性
a′ ′ b′ ′ c′ a″ c″ ′ ″ ″ b″ ″积聚性Βιβλιοθήκη a实形性b
c
水平面
投影特性：投影特性：在它所平行的投影面上的投影反映实形。在它所平行的投影面上的投影反映实形。另两个投影面上的投影分别积聚成与相应的投影轴平行的直线。的投影轴平行的直线。
侧垂面的迹线表示法侧垂面的迹线表示法
Z
Z PV X PH
V
S
Sw
β PW α
O YH Z
YW
W
X O
β
Y X YH O
Sw α
YW
投影面垂直面—总结投影面垂直面总结
为什么？为什么类似形？是什么位置的平面？ ′ 的平面？ a′ b′ ′ c′ c″ ′ ″
β
b″ ″ a″ ″
类似形
Z b' B c' a' X a b C c c" A O b" a" b' a' c' a b Y c a"
b"
c"
投影特性：投影特性：积聚为一条线，具有积聚性 1) abc 、 a′b′c′ 积聚为一条线，具有积聚性侧面投影∆ 反映∆ 2) 侧面投影∆ a″b″c″ 反映∆ ABC实形
用迹线表示的迹线表示的投影面平行面的投影
（c）作正垂面
f
e
（d）作一般位置平面（有无穷多个）有无穷多个）

画法几何及机械制图第二章点直线和平面的投影1

距离
例已知长方形ABCD中边BC的两投影和边AB的正面投影（a'b'//OX)，求作长方形的两投影。
d c 分析： D
a
C
X
a
b
O A B
因为ABBC,且 ABH 根据直角投影定理有ab bc
b d c
空间两直线互相垂直，若其中有一条直线平行于某投影面，则两直线在该投影面上的投影仍互相垂直。
c
a
c
L
ZAB
b0
c0
AB
两直线的相对位置
两直线的相对位置有三种情况：平行、相交、交叉。
1.平行两直线
当两直线平行则两直线同面投影均相互平行；
反之，若两直线同面投影平行，则该两直线平行。
直线 AB∥CD
注意：若要判断两直线是否平行，对于一般位置直线，只需看其两组投影即可，而对于特殊位置直线，则要看其三组投影
YH Z
b
a X O
YW
1)在与其垂直的投影面上的投影积聚为一点； 2)另两个投影显实长，且分别垂直于相应的投影轴。
YH
投影面上的直线的投影
直线的投影——投影特性
一般位置直线：与任何基本投影面都不平行也不垂直 z b' a'

b' B b" a'
a"
b"
x
A a b b a" aO NhomakorabeayW
yH
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
试判断图中CD与 AB是否平行？
AB 与 CD 不平行
虽然ab∥cd，并且a’b’∥c’d’，但侧面投影a”b” 与c”d ”相交。作出第三面投影来判断。

机械制图之平面投影

普通高等教育“十一五”国家级规划教材
平面的表示法
Copyright © 2007 HIGHER EDUCATION PRESS All rights reserved. 高等教育出版社版
普通高等教育“十一五”国家级规划教材
平面对投影面的相对位置有三种：投影面平行面——平行于一个投影面，垂直于另外两个投影面的平面；投影面垂直面——垂直于一个投影面，与另外两个投影面倾斜的平面；一般位置平面——与三个投影面都倾斜的平面。投影面平行面与投影面垂直面统称为特殊位置平面。平面对H、V、W面的倾角（指该平面与投影面的两面角）分别用α、β、 γ来表示。
Copyright © 2007 HIGHER EDUCATION PRESS All rights reserved. 高等教育出版社版
普通高等教育“十一五”国家级规划教材
2．投影面垂直面
投影面垂直面——垂直于一个投影面，倾斜于另外两个投影面。正垂面垂直于V面并倾斜于H、 W面的平面；铅垂面垂直于H面并倾斜于V、 W面的平面；侧垂面垂直于W面并倾斜于H、 V面的平面。
普通高等教育“十一五”国家级规划教材
（2）点在一般位置平面上Байду номын сангаас
Copyright © 2007 HIGHER EDUCATION PRESS All rights reserved. 高等教育出版社版
普通高等教育“十一五”国家级规划教材
Copyright © 2007 HIGHER EDUCATION PRESS All rights reserved. 高等教育出版社版
Copyright © 2007 HIGHER EDUCATION PRESS All rights reserved. 高等教育出版社版

第二章投影的基本知识3

空间点到W面的距离为x坐标；空间点到W面的距离为x坐标；即：Aa〞=a′az=aaYH=x坐标空间点到V面的距离为y坐标；空间点到V面的距离为y坐标；即：Aa′=aax=a〞az=y坐标空间点到H面的距离为Z坐标；空间点到H面的距离为Z坐标；即：Aa=a′ax=a〞aYW=Z坐标
• 空间点及投影位置即可用坐标方法表示，如点A的空空间点及投影位置即可用坐标方法表示，间位置是：）；点间位置是：A（x，y，z）；点A的H面投影是a（x，y，），点，），点 0），点A的V面投影a′（x，0，z，），点A的W面投，）。应用坐标能较容易地求作点影a〞（0，y，z，）。应用坐标能较容易地求作点的投影和指出点的空间位置。的投影和指出点的空间位置。
（ b）过b作OX轴的）作轴的垂线 bbx并延长之并延长之
（c）过b〞作OZ轴的垂）〞轴的垂并延长之，线b〞bz并延长之，与bbx 〞并延长之延长线相交于b′点即为所求延长线相交于点即为所求
例【1-2-2】：已知空间点C的H面投影c和V面投影c′，已知空间点C 面投影c 面投影c′， c′ 求作点C 面投影c 求作点C的W面投影c〞。 • 【解】：如图1-2-22所示，如图1 22所示所示，
(a)画出投影轴；画出投影轴；画出投影轴
轴上量取Obx=x=20 （b）在OX轴上量取）轴上量取轴上量取ObYH=y=0 在OYH轴上量取轴上量取轴上量取Obz=z=10 在OZ轴上量取轴上量取
（d）因） obYH=obY W=0，所b〞〞重合。与bz重合。重合
轴的垂线，（c）过bx作ox轴的垂线，）作轴的垂线轴的垂线，过bz作oz轴的垂线，作轴的垂线得交点b和得交点和b′ 从上例B点的投影图中反映了一个规律见图1-2-26 点的投影图中反映了一个规律：从上例点的投影图中反映了一个规律：见图如空间点位于投影面上（如空间点位于投影面上（即点的三个坐标中有一个坐标等于零），），它的三个投影中必有两个投影位于坐标等于零），它的三个投影中必有两个投影位于投影轴上，反之，空间一个点的三个投影中，投影轴上，反之，空间一个点的三个投影中，如果有两个投影位于投影轴上，有两个投影位于投影轴上，该空间点必定位于某一投影面上。投影面上。图1-2-26

第二章投影的基本知识和点、线、面的投影

第二章投影的基本知识和点、线、面的投影基本要求：建立投影的概念，掌握正投影的基本性质；掌握点线面的投影特性；根据投影能判断出点、线、面的关系。

主要内容：1、投影的基本知识；2、点的投影；3、直线的投影；4、平面的投影。

2.1 投影的基本知识一、内容：1、投影的基本概念；2、投影的类型；3、工程中常用的投影图。

二、要求及重点：要求掌握投影的基本概念；了解投影的类型、用途。

三、教学方式：通过实物及日常生活中的现象，使学生掌握投影的基本概念；了解投影的类型、用途。

2.1 投影的基本知识一、投影的概念1、在日常生活中，经常看到空间一个物体在光线照射下在某一平面产生影子的现象，抽象后的“影子”称为投影。

2、产生投影的光源称为投影中心S，接受投影的面称为投影面，连接投影中心和形体上的点的直线称为投影线。

形成投影线的方法称为投影法（图2-1）。

(a) (b)图2-1 中心投影法图2-2 平行投影法二、投影的类型投影法分为中心投影法和平行投影法两大类。

1、中心投影法光线由光源点发出，投射线成束线状。

投影的影子（图形）随光源的方向和距形体的距离而变化。

光源距形体越近，形体投影越大，它不反映形体的真实大小。

2、平行投影法光源在无限远处，投射线相互平行，投影大小与形体到光源的距离无关，如图2-2所示。

平行投影法又可根据投射线（方向）与投影面的方向（角度）分为斜投影（a）和正投影（b）两种。

(1)斜投影法：投射线相互平行，但与投影面倾斜，如图2-2(a)所示。

(2)正投影法：投射线相互平行且与投影面垂直，如图2-2(b)所示。

用正投影法得到的投影叫正投影。

三、工程上常用的投影图1、透视图用中心投影法将空间形体投射到单一投影面上得到的图形称为透视图，如图2-3。

透视图与人的视觉习惯相符，能体现近大远小的效果，所以形象逼真，具有丰富的立体感，但作图比较麻烦，且度量性差，常用于绘制建筑效果图。

图2-3 透视图图2-4 轴测图2、轴测图将空间形体正放用斜投影法画出的图或将空间形体斜放用正投影法画出的图称为轴测图。

第二章点、直线、平面的投影

YW
Y
YH
回节目录
18
2.特殊情况二两点到两个投影面的距离（坐标值）相等。
YW
Y
YH
回节目录
19
§2-3 直线的投影
一、各种位置直线及投影特性
1.一般位置直线
由一般位置的两点连线构成。该直线与三个投影面都倾斜。
β
γ
YW
α
Y YH
投影特性: 三个投影都倾斜于投影轴，每个投影既不直接
反映线段的实长，也不直接反映倾角的大小。
回节目录
32
例2-5 已知水平线AB及正平线CD，试过定点S作一条与它们都垂直的线SL。
例2-6 已知矩形ABCD的不完全投影，试补全该矩形的两面投影。
回节目录
33
§2-4 平面的投影
一、平面投影的表示法
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
这几种确定平面的方法是可以相互转化的
回节目录
34
二、一般位置平面及投影特性
名称
正平面
直观图
水平面
侧平面
投影图
投 1.正面投影反映实形；
1.水平投影反映实形；
1.侧面投影反映实形；
影特
2.水平投影积聚成直线,且∥OX2.;正面投影积聚成直线，且∥OX；
2.正面投影积聚成直线,且∥OZ;
性 3.侧面投影积聚成直线,且∥OZ。 3.侧面投影积聚成直线,，且∥OYw。 3.水平投影积聚成直线, 且∥OYH。
一般位置平面:平面与三个投影面都倾斜
投影特性:投影均为类似形。
YW
回节目录
35
三、特殊位置平面及投影特性
1.投影面垂直面垂直于一个投影面，与另外两个投影

2-3-2 各种位置平面的投影特性

e h
e
f
h f
f
X
g O f
QHe(f) (g)h
e(f)
g
QH
h(g)
efgh--直线; g YW 反映、角
的真实角度;
efgh和efgh --类似形。
YH
i
l
i
i
j i
(l)
RW
j
(k) j
X i
l Zi(l)
RW
（3）侧垂面
ijkl --直线;
K
j (k) 反映、角
O
YW 的真实角度;
l
ijkl和ijkl
jk
j
k
--类似形。
YH
投影面垂直面的投影特性
a(b)
d (c)
b
c cb d
a
d
§2－3 平面的投影
1)在与其垂直的投影面上的投影积聚为直线，其与相邻投影轴的夹角反映平面对另两投影面的真实倾角；
2)另两投影为面积缩小的类似形。
§2－3 平面的投影
2. 投影面平行面
ijkl --实形; k YW ijkl和ijkl
--直线，分别平行于OZ、OY轴
投影面平行面的投影特性
a
d
a(d)
b
b (c) a(b) d(c)
1)在与其平行的投影面上的投影反映平面的实形；
2)另两个投影积聚成直线，且分别平行于相应的投影轴。
§2－3 平面的投影
3. 投影面倾斜面
a a
一般位置平面
§2－3 平面的投影
1. 投影面垂直面（1）正垂面
Z
d(c) c
d
d(c)

《机械制图》第二章(3) 平面的投影

c
c 任意平面图形
用迹线表示平面平面与投影面的交线称为平面的迹线
PV
P
PV
PH QV
Q QH
PH QV
QH
二、各种位置平面的投影特性
平行实形性
垂直积聚性
倾斜类似性
投影特性
★ 平面平行投影面-----投影就把实形现
★ 平面垂直投影面-----投影积聚成直线
★ 平面倾斜投影面-----投影类似原平面
及顶点B的正面投影，求△ABC的正面投影及侧面投影。
a
b ● 50°
X
a
Z
c a
O
c
b
YW
c b
YH
3.4.3 平面内的点和直线
一、属于一般位置平面的点和直线二、属于特殊位置平面的点和直线三、属于平面的投影面平行线
利用在平面上取点、直线的作图，可以解决三类问题： ●判别已知点、线是否属于已知平面； ●完成已知平面上的点和直线的投影； ●完成多边形的投影。
（二）过一般位置直线总可作投影面的垂直面
b
b
a
A
BP
a
SV
A
B S
a b PH
a
b
过一般位置直线AB 作铅垂面PH
过一般位置直线AB作正垂面SV
2.过一般位置直线作投影面的垂直面 (几何元素表示法)
(n')
m'
n
(m) 铅垂面
正垂面
（二）过特殊位置直线作平面 1.过正垂线作平面 (迹线表示法)
(2) 侧面投影反映 ABC实形。
投影面平行面的投影特性
两线一形，反映实形，线平行于轴。
在它所平行的投影面上的投影反映实形。另两个投影面上的投影分别积聚成与相应的投影轴平行的直线。

机械制图—第二章点、直线和平面

§2-3 直线投影例：过C点作直线与AB垂直相交。分析：
AB为正平线, 正面投影反映直角。
c c
●
.
d
b
●
a
d
b
上一页
下一页
§2-3 直线投影六、直角三角形法求一般位置直线的实长及倾角分析：过A点作AC∥ab，
V
b
B a
则得到直角三角形ABC。
ΔZ
X

A a
O
C
b H
在该三角形中AC＝ab， BC＝Bb－Aa＝ Δ Z Δ Z(A、B两点的Z坐标差)，而∠BAC 即α 角，斜边即AB实长。
投射中心投射线
空间物体
投影投影面
上一页
下一页
§2-1 投影法的基本知识二、投影法的分类
投影法有两类:中心投影法和平行投影法
中心投影法
平行投影法
上一页
下一页
§2-1 投影法的基本知识三、投影法的基本特性
1.中心投影法投影特性：
投射中心、物体、投影面三者之间的相对距离对投影的大小有影响，度量性较差。
上一页下一页
§2-3 直线投影 ⒉ 两直线相交
V c
b
k
a A a c C
b d K D d k a B a H
c
k
d
d c k b
b
特点：交点是两直线的共有点判别方法：若空间两直线相交，则其同面投影必相交，且交点的投影必符合空间点的投影规律。
上一页下一页
§2-3 直线投影例：过C点作水平线CD,且与AB相交。分析: CD为水平线, 所以其正面投影平行于OX轴,因此,先作出CD的正面投影, 从而找到CD与AB交点的正面投影。

机械制图第二章投影法的基本知识及三视图

机械制图—第二章投影法的基本知识及三视图
常德职业技术学院机械制图课程组
机械制图—第二章投影法的基本知识及三视图
一、三视图的形成
1、三投影面体系三个互相垂直的平面V、H、W把空间分为八个部分，称为八个分角。各分角的表示方法如图所示。
点击
目前国际上使用着两种投影面体系，即第一分角和第三分角。我国采用的是第一分角画法。常德职业技术学院机械制图课程组
机械制图—第二章投影法的基本知识及三视图
§2-1 投影法的基本知识 §2-2 三视图的形成及投影规律 §2-3 点的投影 §2-4 直线的投影 §2-5 平面的投影法的基本知识
常德职业技术学院机械制图课程组
机械制图—第二章投影法的基本知识及三视图
§2-1 投影法的基本知识
投影法是绘制工程图的基本方法，理解投影的概念，掌握正投影的思维方法是学好《机械制图》的前提。
§2-2 三视图的形成及投影规律
教学内容一、三视图的形成二、三视图的投影规律
目录
常德职业技术学院机械制图课程组
机械制图—第二章投影法的基本知识及三视图
§2-2 三视图的形成及投影规律
知识目标 1.了解三视图的形成, 2.掌握三视图的投影规律。能力目标空间能力的建立素质目标培养学生观察生活体验生活，从生活中、自然中发现规律，总结经验
目录
常德职业技术学院机械制图课程组
机械制图—第二章投影法的基本知识及三视图
§2-1 投影法的基本知识
教学目标 1.了解投影法的基本概念和分类, 2.掌握正投影的基本性质。
常德职业技术学院机械制图课程组
机械制图—第二章投影法的基本知识及三视图
§2-1 投影法的基本知识
一、投影法的概念日常生活中，当光线照射物体就会在地面上产生影子，这就是投影现象。实现投影的三个要素： 1.光线 —— 制图上称为投射线 2.承影面 —— 制图上称为投影面 3.物体投影法：投射线经过物体向投影面投射，在该面上得到图形的方法。

3平面的投影

●
YH
习题答案
c′ b′ f′
—— P4（3）
p′ m′ s′ Z m″ p″ s″
n′ q′ a′ X b
●
t′
d′
e′ O f e
X mq pn
O
q″
n″ t″ YW
t
s YH
cd a
AB、CD是相交线；
PQ、MN是相交线；
AB、EF是平行线；
CD、EF是交叉线；
PQ、ST是平行线；
三、用有积聚性的迹线表示特殊位置平面
Z V
（书P25）
PV
Z
PV
X
P
PH
H
PW
W
PW
YW
X PH
Y
O YH
迹线是平面与投影面的交线
铅垂面
Z Z
V
PV
PV PW
P
X PW
X PH
Y
o o
YW
PH
YH
正垂面
Z V RW RV X RH Y YH oo YW Z RW RV X RH
R
水平面
Z Z QV QW
a″
X
O
YW
a
YH
Z
V
b´
B
n´ a´ A
b
b"
W N
a" C n"
c"
a H
n c
若直线在平面上，则该直线必通过平面上的两个已知点或通过平面上的一个点且平行于平面上某一直线。
Y
例 1: 判定点K是否在平面ΔABC上？
b'
K点不在Δ ABC上
e' a'

《画法几何》第2章点、直线、平面的投影

相交（或交叉）成直角的两直线，只要其中有一条直线平行于某投影面，则它们在该投影面上的投影仍反映直角
水平线
Ｂ
b a
ＡＣ
c
反之，两直线之一是某投影面平行线，且两直线在该投影面上的同名投影互相垂直，则在空间两直线互相垂直
[例2-7]已知过点A作线AB平行于EF，问AB与CD是否相交(习题P25-4)
Ⅰ∈AB Ⅱ∈CD
Ⅲ∈AB Ⅳ∈CD
3 4）（
1
b
判断重影点重合投影的可见性时，要在其他投影中比较它们坐标的大小。
直角投影定理
当两直线都平行于某投影面对，其夹角在该投影面上的投影反映实形。
当两直线都不平行于某投影面时，其夹角在该投影面上的投影一般不反映实形。
a b
a c b
c
b0
c
b
d
[例2-11]作一直线与AB和CD相交，并与它们垂直（即求两直线的公垂线），并标明其真实距离
c´ b´
f´
a´
e´
d´ c (d) e
a
真ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ距离
f
b
点的投影
直线的投影
两直线的相对位置
平面的投影（自学）
平面的投影
平面的投影
平面的投影性质
P
A D C B
q p H d
根据一般位置直线的投影求其实长和倾角（直角三角形法）
b´
m
V
a´
α
b´
B
C
X
a´
1、过A点作 AC//ab 2、过b点作 O bb ⊥ab,且 0 bb0=BC
A b
a
α

第二章点、直线、平面的投影直线的投影

a'
W
X
b
O
a"
YW
a'
γ
X
A a
b
a"
a
YH
H
Y
α与水平面的夹角 β与正平面的夹角 γ与侧平面的夹角
直线的三面投影长度均小于实长，三面投影均倾斜于投影轴，但不反映空间直线对投影面倾角的大小。
想一想AB的投影在…… ?
一般位置直线投影实例
一般位置直线
一般位置直线和三个投影面均处于倾斜位置，其三个投影和投影轴倾斜，且投影线段的长小于空间线段的实长。从投影图上也不能直接反映出空间直线和投影平面的夹角。
Z W
b'
X
a'
A H a a'
B
X a' b A a H b' a' X b O O
b"
B
a
H a'
Z
a"
b
a"
Y b"
Z
Y b"
a"
X
b' α
b
γ
b'
O a YH
b" YW
X
a
O
β γ
YW
YW
YH
1、a′b′=AB=实长 2、ab∥OX轴 , a" b" ∥ OZ轴 3、β=0°α、γ反映实际大小
2、投影面平行线 1）、水平线：平行于H面，对V、W面倾斜
Z
V Z b'
βγ
a"
a'
W
b"
b'
a" b" O

第二章投影基础

宽相等
12
四、三视图方位对应关系
上左下后左前右右后下上前
• 主视图反映：上、下主视图反映：俯视图反映： • 俯视图反映：前、后左视图反映： • 左视图反映：上、下
、左、右、左、右、前、后
13
五、立体三视图举例
根据立体画出第三视图。 1 根据立体画出第三视图。
规定：规定：
a′ ′ ●
●
●
a″ ″
●
b′ ′
b″ ″
一、直线的投影特性直线对投影面的投影特性
A● A● B
●
a● b
●
B ● A●
●
●
B
α
●
a（b））
●
b
b
a●
a●
直线垂直于投影面投影重合为一点积聚性
直线平行于投影面投影反映线段实长 ab=AB
直线倾斜于投影面投影比空间线段短 ab=ABcosα
22
例：已知点的两个投影，求第三投影。已知点的两个投影，求第三投影。
解法1: 解法
a′● ′
x
az
●
a″ ″
作45°辅助线使 ° a″az=aax ″
ax 45° °
a● 解法2: 解法用圆规直接量取a″az=aax ″
a′● ′ ax az
●
a″ ″
a●
23
三、两点的相对位置
两点的相对位置指两点在空间的上下前后、上下、点在空间的上下、前后、左右位置关系位置关系。左右位置关系。
1、可见轮廓用粗实线可见轮廓用粗实线线宽b=0.5 b=0.5～（线宽b=0.5～2mm) 2、不可见轮廓用虚线不可见轮廓用虚线线宽约b/2 b/2）（线宽约b/2）

第二章点、直线、平面的投影

归纳正投影的三个特性如下：归纳正投影的三个特性如下：
1.当几何要素与投影面平行时当几何要素与投影面平行时——其投影表现出真实性其投影表现出真实性当几何要素与投影面平行时其投影表现出 2.当几何要素与投影面垂直时当几何要素与投影面垂直时——其投影表现出积聚性其投影表现出积聚性当几何要素与投影面垂直时其投影表现出 3.当几何要素与投影面倾斜时当几何要素与投影面倾斜时——其投影表现出类似性其投影表现出类似性当几何要素与投影面倾斜时其投影表现出
（点击图形演示动画）点击图形演示动画）
理解和运用三等关系可以准确迅速地绘制物体的三视图，制物体的三视图，同时凭借着三等关系也可检查所画的视图是否有差错。检查所画的视图是否有差错。回节目录
17
4.三视图与物体方位的对应关系三视图与物体方位的对应关系
物体有上、物体有上、下、左、右、前、后六个方位，后六个方位，各视图反映的方位如图所示：各视图反映的方位如图所示：主视图能反映物体的上下和左右方位俯视图能反映物体的左右和前后方位左视图能反映物体的上下和前后方位
回节目录
33
2.特殊情况一 2.特殊情况一
两点到一个投影面的距离（坐标值）相等。两点到一个投影面的距离（坐标值）相等。
YW
Y
YH
回节目录
34
2.特殊情况二 2.特殊情况二
两点到两个投影面的距离（坐标值）相等。两点到两个投影面的距离（坐标值）相等。
YW
Y
YH
重影点
35
回节目录
作业
习题集P6－习题集P6－P7 P6 2-1～2- 6
12
1.三投影面体系三投影面体系 ⑴ 三个投影面
●正立投影面