2015年长春市四模(数学)网上阅卷误差

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2015年九年级数学四月调考试卷

数学试题（全卷共五个大题，满分150分，考试时间120分钟）一、选择题：（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A 、B 、C 、D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号填入答题卷中对应的表格内．1．下面的数中，﹣2的相反数是（） A ．2B ．2-C ．21D ．21-2．下列计算正确的是（）A ．2242a a a += B ．4961x x x -+= C ．2363(2)8x y x y -=- D ．632a a a ÷=3．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A B C D 4．在函数21y x =-中自变量x 的取值范围在数轴上表示正确的为（）A B C D5．甲、乙、丙、丁四位同学五次数学测验成绩统计如表．如果从这四位同学中，选出一位成绩较好且状态稳定的同学参加全国数学联赛，那么应选（）甲乙丙丁平均数80 85 85 80 方差42 42 54 59 A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁 6．如图，已知l 1∥l 2，∠A=40°，∠1=60°，则∠2的度数为（） A ．40︒ B ．60︒ C ．80︒ D ．100︒ 7．在平面直角坐标系中，下列函数的图象经过原点的是（）A ．3y x =-+B ．5y x= C ．2y x = D ．227y x x =-+- 8．已知OA ，OB 是⊙O 的半径，点C 在⊙O 上，，∠OBA=50°，则∠C 的度数为（）A ． 30°B ． 40°C ． 50°D ．80°（6题图）（8题图）9．若1x =-是关于x 的一元二次方程)0(022≠=-+a bx ax 的一个根，则201522a b -+的值等于（） A ．2015 B ．2011 C ．2018 D ．201310．下列图形都是由同样大小的棋子按一定的规律组成，其中第①个图形有1颗棋子，第②个图形一共有6颗棋子，第③个图形一共有16颗棋子，…，则第⑥个图形中棋子的颗数为（）A ．51B ．70C ．76D ．8111．如图所示，货车匀速通过隧道（隧道长大于货车长）时，货车从进入隧道至离开隧道的时间x与货车在隧道内的长度y 之间的关系用图象描述大致是( )12．如图，在矩形OABC 中，AB=2BC ，点A 在y 轴的正半轴上，点C 在x 轴的正半轴上，连接OB ，反比例函数(00)ky k x x=≠>，的图象经过OB 的中点D ，与BC 边交于点E ，点E 的横坐标是4，则k 的值是（） A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）在每小题中，请将答案直接填在答题卷中对应的横线上．13．五湖四海，大中小学，每个学子心中都有一座逸夫楼，自1985年以来，著名的“慈善家”邵逸夫连年向内地教育捐赠巨款建设教育教学设施，迄今赠款金额近4750000000元港币，用科学记数法表示为元港币.14．如图，在平行四边形ABCD 中，点E 为边AD 的中点，连接AC ，BD 交于点O ，若AO=4，则AC= .15．在一次捐款中，某班第一组有10名同学，其捐款数额统计如下表：捐款（元） 10 15 20 50 人数1432则捐款数额组成的一组数据中，中位数是 .16．如图，在扇形AOB 中，半径OA=2，120AOB ∠=︒，C 为弧AB 的中点，连接AC 、BC ，则图中阴影部分的面积是（结果保留π）17．有四张正面分别标有1-，0，1，2的不透明的卡片，它们除数字不同外其余全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中取出一张，将卡片上的数字记为a ，不放回，再取出一张，将卡片上的数字记为b ，设P 点的坐标为（a ，b ），则点P 落在势物线2y x =与直线2y x =+所围成的封闭区域内（含边界）的概率是 . 18．如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，AC=6，BC=8.动点P 从A 开始沿折线AC CB BA →→ 运动，点P 在AC ，CB ，BA 边上运动的速度分别为每秒3，4，5个单位.直线l 从与AC 重合的位置开始,以每秒43个单位的速度沿CB 方向平行移动，即移动过程中保持l ∥AC ，且分别与CB ，AB 边交于E ，F 两点，点P 与直线l 同时出发，设运动的时间为t 秒，当点P 第一次回到点A 时，点P 与直线l 同时停止运动.当点P 在BA 边上运动时，作点P 关于直线EF 的对称点，记为点Q ．若形成的四边形PEQF 为菱形，则t= ．（14题图）（16题图）（18题图）三、解答题：（本大题2个小题，每小题7分，共14分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程做在答题卷上． 19．解方程：3211x x =-+20．如图，BE AE ⊥于E ，CF AE ⊥于F ，D 是EF 的中点，求证：CD=BD .四、解答题：（本大题4个小题，每小题10分，共40分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程做在答题卷上21．如图，山坡上有一棵树AB ，树底部B 点到山脚C 点的距离BC 为6米，山坡的坡角为30°．小宁在山脚的平地F 处测量这棵树的高，点C 到测角仪EF 的水平距离CF=1米，从E 处测得树顶部A 的仰角为45°，树底部B 的仰角为20°，求树AB 的高度．（参考数值：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）22．目前我市“校园手机”现象越来越受到社会关注，钍对这种现象，重庆某校初三（3）班数学兴趣小组的同学随机调查了学校若干名家长对 “中学生带手机”的态度（态度分为：A ．无所谓；B ．基本赞成；C ．赞成；D ．反对），并将调查结果绘制成频数折线统计图1和扇形统计图2（不完整）．请根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）此次抽样调查中，共调查了名中学生家长；（2）求出图2中扇形C 所的圆心角的度数为度，并将图1补充完整；（3）根据抽样调查结果，请你估计该校11000名中学生家长中持反对态度的人数为；（4）在此次调查活动中，初三（3）班和初三（5）班各有2位家长对中学生带手机持反对态度，现从中选2位家长参加学校组织的家校活动，用列表法或画树状图的方法求选出的2人来自不同班级的概率．23．为丰富学校文化生活，切实提高同学们的身心素质，在这春意盎然的三月，重庆巴蜀中学第八届春季运动会即将拉开序幕。

2015年长春市四模(数学文科)参考答案与评分参考

长春市普通高中2015届高三质量监测（四）数学(文科)参考答案及评分参考说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分.一、选择题(本大题包括12小题，每小题5分，共60分)1. A2. B3. A4. C5. C6. A7. C 8. A 9. A 10. B 11. B 12. C简答与提示：1. 【命题意图】本小题主要考查集合的计算，是一道常规问题.【试题解析】A {|1ln 0}{|0}A x x x x e =-=<≥≤，则(,)U A e =+∞ð．故选A.2. 【命题意图】本小题主要考查复数的几何意义.【试题解析】B 根据复数的几何意义，由题意，可将12,z z 看作夹角为90︒的单位向量，从而12||z z -，故选B.3. 【命题意图】本小题主要考查空间线和面的位置关系，对于特殊位置要提示考生多加论证，多举反例.【试题解析】A 易知③正确，故选A.4. 【命题意图】本小题主要通过程序框图的理解考查学生的逻辑推理能力，同时考查学生对算法思想的理解与剖析，本题特殊利用秦九韶算法，使学生更加深刻地认识中国优秀的传统文化.【试题解析】C 由秦九韶算法，0010230(())S a x a x a a x =+++，故选C.5. 【命题意图】本小题主要考查线性回归方程的性质和应用，对学生的数据处理能力提出一定要求.【试题解析】C 由题意知，4,5x y ==，从而代入回归方程有 1.10b =，故选C .6. 【命题意图】本小题主要借助条件逻辑的判定，考查函数的性质以及对复合函数奇偶性的判定等问题.【试题解析】A 当()f x 为偶函数时，可得(())(())g f x g f x -=，故p 是q 的充分条件；而当(())g f x 为偶函数时，不能推出“()f x 为偶函数”成立，如3()||,()g x x f x x ==，3(())||g f x x =是偶函数，而()f x 不是偶函数，故选A.7. 【命题意图】本小题主要考查立体几何中的三视图问题，并且对考生的空间想象能力及利用三视图还原几何体的能力进行考查，同时考查简单几何体的体积公式.【试题解析】C 该几何体可看成以正视图为底面，4为高的棱柱与半圆柱的组合体，从而其体积为4(163)6412+=+ππ，故选C.8. 【命题意图】本小题主要考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，对学生的推理论证能力和数形结合思想提出一定要求.【试题解析】A 由正弦定理得c =，a =，再由余弦定理可得cos A =，故选A. 9. 【命题意图】本小题主要考查函数的性质对函数图像的影响，并通过对函数的性质来判断函数的图像等问题.【试题解析】A 判断函数为奇函数，排除,B C ；又由于当0x >时，x e 的增加速度快，故选A.10. 【命题意图】B 本小题主要考查对等差数列通项以及变化规律的理解，还包括前n 项和的理解，理解等差数列性质以及特点的学生解决此类问题会比较容易.【试题解析】由等差数列的前n 项和有最大值，可知0d <，再由11121a a <-，知11120,0a a ><，从而使n S 取最大值的11n =，故选B.11. 【命题意图】本小题是线性规划的简单应用，对可行域的求取、对目标函数的理解都是考生必须掌握的基本技能，而且本题另外的一个重要考点是基本不等式的应用，此类问题也是非常典型的常规问题.【试题解析】B 由题可求得，33,2M m ==，从而12b a +=，2121559()()22222b b a a a b a b a b +=++=++≥+=，当且仅当23a b ==时取“=”，故选B. 12. 【命题意图】本小题主要考查双曲线的定义，双曲线离心率的运算，对考生的运算求解能力和数形结合能力提出较高要求.【试题解析】C 不妨设点P 在双曲线右支，12,F F 分别为左，右焦点，有12||||2PF PF a -=，由212||||8PF PF a ⋅=，可得12||4,||2PF a PF a ==，由12||22F F c a =>知，12PF F ∆的最小内角为1230PF F ∠=︒，从而12PF F ∆为直角三角形，1290F F P ∠=︒，此时双曲线离心率e ，故选C.二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分)13. 3 14. 6π 15. ②④⑤ 16. 203π 简答与提示：13. 【命题意图】本小题是向量的简单应用，对向量计算的掌握是考生必须掌握的基本技能.【试题解析】由a b ⊥得12xy =，||1(23a b +=+，故||a b +的最小值为3.14. 【命题意图】本小题主要考查三角函数的对称，图像的平移以及三角函数最值的求取，属于基本试题.【试题解析】函数()g x 的解析式为()sin 2g x x =，其图象向左平移ϕ个单位后对应解析式为sin(22)y x ϕ=+，从而223k πϕπ=+，即()6k k N πϕπ=+∈，所以min 6πϕ=.15. 【命题意图】本小题通过统计学基本定义问题考查学生的统计学的思想，是一道中档难度的综合试题.【试题解析】由统计学的相关定义可知，②④⑤的说法正确.16. 【命题意图】本小题主要考查球的内接几何体的相关计算问题，对考生的空间想象能力与运算求解能力以及数形结合思想都提出很高要求，本题是一道综合题，属于较难题.【试题解析】取,AB CD 中点分别为,E F ，连接,,EF AF BF ，由题意知,AF BF AF BF ⊥=，EF =O 在线段EF 上，连接,OA OC ，有222222,R AE OE R CF OF =+=+，求得253R =，所以其表面积为203π. 三、解答题17. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查利用解三角形的思想解决实际问题，对考生的抽象概括能力和运算求解能力，化归与转化能力提出一定要求.【试题解析】解：(1) 在ABC ∆中，,(),CAB ABC ACB αθπβθβα∠=-∠=--∠=-，由正弦定理，sin()sin()BC l αθβα-=-. (6分)(2) 由(1)及条件知，sin()sin()BC l αθβα-==-，9015BCD β∠=︒-=︒， 45CBD βθ∠=-=︒，120BDC ∠=︒，由正弦定理得，sin 4524sin120CD BC ︒=⋅=-︒. (12分)18. 【命题意图】本小题主要考查统计与概率的相关知识，其中包括概率的求法、离散型随机变量的数学期望以及方差. 本题主要考查学生的数据处理能力和运算求解能力.【试题解析】解：(1) 根据统计数据出现好天的概率为0.4，则连续两天出现“好天”的概率为0.40.40.16⨯=. (6分)(2) 利用分层抽样后利润等于40万元的天数为2，并设为,A B ，利润等于15万元的天数为3，并设为,,a b c ，从中取出3天的结果可能有以下10种：ABa 、ABb 、ABc 、Aab 、Aac 、Abc 、Bab 、Bac 、Bbc 、abc .其中Aab 、Aac 、Abc 、Bab 、Bac 、Bbc 、abc 共7种利润之和不足80万元.因此利润值和小于80万元的概率为710. (12分)19. 【命题意图】本小题主要考查立体几何的相关知识，具体涉及到线面的平行关系、空间点面距离的求法. 本小题对考生的空间想象能力与运算求解能力有较高要求.【试题解析】解：(1) 证明：由1112DB AF BB AE ==，可知//EF BD ， 11////EF BD EF BC D BD BC D ⎫⇒⎬⊂⎭平面平面. (6分) (2) 由题可知111132EBD ABB A A DE ABE BDB S S S S S ∆∆∆∆=---=.1111111111111111A A A B C A A C D C D ABB A C D A B C C D A B ⎫⊥⎫⇒⊥⎬⎪⇒⊥⊂⎬⎭⎪ ⊥⎭平面平面平面则1113C EBD EBD V S C D -∆=⋅=1EBC ∆中，EC =，EB =1BC =1EBC S ∆=1113C EBD EBC V S h h -∆=⋅==4h =. (12分)20. 【命题意图】本小题主要考查抛物线的性质，直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到抛物线标准方程的求取，直线与圆锥曲线的相关知识以及圆锥曲线中定值的求取. 本小题对考生的化归与转化思想、运算求解能力都有很高要求.【试题解析】解(1) 设(,)P x y ，则(1,)H y -，有(1,0),(2,),(1,),(2,)HP x HF y FP x y FH y =+=-=-=-，从而由题意得24y x =. (4分)(2) 证明：设点000(,)(0)M x y x ≠为轨迹C 上一点，直线000:()m y k x x y =-+为轨迹C 的切线，有20004()y x y k x x y ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩，消去x 得， 20000440k y y k x y --+=，其判别式0000164(44)0k k x y ∆=--+=，解得002k y =，有002:2y m y x y =+ * 设1122(,),(,)A x y B x y ，:(1)AB y k x =-，联立有24,(1)y x y k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩消去x 得，2440ky y k --=，有124y y k+=，124y y ⋅=- 根据*式有112:2y NA y x y =+，222:2y NB y x y =+，解得2(1,)N k-，从而20111NF AB k k k k -⋅=⋅=-+，为定值. (12分)21. 【命题意图】本小题主要考查函数与导数的综合应用能力，具体涉及到用导数来描述函数的极值等情况. 本小题主要考查考生分类讨论思想的应用，对考生的逻辑推理能力与运算求解有较高要求.【试题解析】解：(1)函数的定义域为(0,)+∞，2211ln ln ()x x f x x x--'==-. 令()0f x '=，得1x =；当(0,1)x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增；当(1,)x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减. 所以，1x =为极大值点，所以112a a <<+，故112a <<，即实数a 的取值范围为1(,1)2. (6分)(2)当1x ≥时，(1)(1ln )x x k x ++≤，令(1)(1ln )()x x g x x++=，则221[1ln 1](1)(1ln )ln ()x x x x x x x g x x x+++-++-'==.再令()ln h x x x =-，则1()10h x x'=-≥，所以()(1)1h x h ≥=，所以()0g x '>，所以()g x 为单调增函数，所以()(1)2g x g ≥=，故2k ≤. (12分)22. 【命题意图】本小题主要考查平面几何的证明，具体涉及到圆的切线的性质，切割线定理等内容. 本小题重点考查考生对平面几何推理能力.【试题解析】解： (1) 取BD 中点为F ，连结OF ，由题意知，//OF AC ，OF AC = AC 为圆O 的切线，BC 为割线2CA CD CB ∴=⋅，由2AC CD ==，6,4,2BC BD BF ∴===在Rt OBF ∆中，由勾股定理得，4r OB ==. (5分)(2) 由(1)知，//,OA BD OA BD =所以四边形O AD B 为平行四边形，又因为E 为AB 的中点，所以OD 与AB 交于点E ，所以,,O E D 三点共线. (10分)23. 【命题意图】本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到参数方程与普通方程的转化、极坐标方程与平面直角坐标方程的互化、平面内直线与曲线的位置关系、利用三角函数相关知识解决点线距离问题等内容. 本小题考查考生的方程思想与数形结合思想，对运算求解能力有一定要求.【试题解析】解：(1) 由题意知，1C 的普通方程为22(1)1x y -+=2C 的直角坐标方程为1y x =+. (5分)(2) 设(1cos 2,sin 2)P αα+，则P 到2C的距离2)|4d πα=+，当cos(2)14πα+=-，即322()4k k Z παπ=+∈时，d1，此时P点坐标为(1. (10分) 24. 【命题意图】本小题主要考查含绝对值不等式求解的相关知识以及不等式证明的相关知识. 本小题重点考查考生的逻辑思维能力与推理论证能力.【试题解析】解：(1) 由()6f x ≤，得626(6)a x a a a -≤-≤-<，即其解集为{|33}x a x -≤≤，由题意知()6f x ≤的解集为{|23}x x -≤≤，所以1a =. (5分)(2) 原不等式等价于，存在实数n ，使得()()|12||12|2m f n f n n n ≥+-=-+++恒成立，即min |12||12|2m n n ≥-+++，而由绝对值三角不等式，|12||12|2n n -++≥，从而实数4m ≥. (10分)。

网上阅卷使用说明书

网上阅卷系统（校园版）--------- 为您提供更加轻松的阅卷环境用户手册目录第一章概述 (1)1.1系统结构 (1)1.2系统功能特点 (2)第二章软件系统安装 (4)2.1网上阅卷服务器安装与启动 (4)2.2网上阅卷客户端安装与启动 (5)第三章网上阅卷客户端操作说明 (6)3.1信息设置 (6)3.2项目管理 (9)3.3科目管理 (12)3.4试卷设计 (13)3.5试卷扫描 (18)3.6教师阅卷 (21)3.7成绩报表 (25)第四章网上阅卷服务端操作说明 (30)4.1基本使用步骤 (30)第五章附录 (32)附录一教师阅卷速成 (32)第一章概述近年来,网上阅卷系统在高考、中考等各类大型考试中逐渐普及，网上阅卷系统安全、快捷、准确的特性逐渐被广大的教育工作者所认可，但是目前网上阅卷由于系统复杂、投资巨大、使用成本高等因素难以在广大的中小学校推广使用。

由于光标阅读机只能认读客观题，主观题必须由教师手工阅卷，且客观题在考试中所占比例不高，因此光标阅读机的阅卷方式实际上只是实现了阅卷一小部分的自动化，而对于阅卷效率的提高非常有限。

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网上阅卷系统介绍

一、系统简介网上阅卷系统，是以计算机网络技术和图像处理技术为依托，以实现考试评卷公平公正性原那么为最终目的，结合多年来传统人工阅卷的丰富经历和现代高新技术，采用试卷和答卷别离的方式，客观题由计算机自动判分，主观题由不同阅卷老师通过网络在计算机上对考生答卷的电子图像分别进展评分，最终由计算机系统自动进展核分和成绩校验的一种新的阅卷方式。

网上阅卷是一种观念革命，是教育考试阅卷的开展方向，能更好表达考试公正性原那么，不仅能解决主观题评卷误差和登分环节误差，而且能有效评估阅卷老师程度。

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·考试及答卷回收全通纸笔王对考试用笔、填图及答题的要求与现行的高〔中〕考形式完全一致。

考试后的答卷回收也可遵循现行高〔中〕考的规那么。

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三、功能特性·百分百的高考形式全通纸笔王的答卷设计、考试规那么、答题要求、阅卷形式及质量控制等均与高考、中考的网上阅卷形式一样，因此可实现两者之间的百分百兼容。

2015年吉林省长春市中考数学一模试卷(解析版)

2015年吉林省长春市中考数学一模试卷一、选择题1．（3分）﹣2的倒数是（）A．2 B．﹣2 C．D．﹣2．（3分）下列计算正确的是（）A．a2+a2=a4 B．a6÷a2=a3C．a•a2=a3D．（a2）3=a53．（3分）下列水平放置的几何体中，俯视图是矩形的是（）A．圆柱B．长方体C．三棱柱D．圆锥4．（3分）“厉行勤俭节约，反对铺张浪费”势在必行，最新统计数据显示，中国每年浪费食物总量折合粮食大约是210000000人一年的口粮．将210000000用科学记数法表示为（）A．2.1×109B．0.21×109C．2.1×108D．21×1075．（3分）在一个不透明的袋子中装有4个除颜色外完全相同的小球，其中黄球1个，红球1个，白球2个，“从中任意摸出2个球，它们的颜色相同”这一事件是（）A．必然事件B．不可能事件C．随机事件D．确定事件6．（3分）如图，把一块含有45°的直角三角形的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠1=20°，那么∠2的度数是（）A．15°B．20°C．25°D．30°7．（3分）不等式组的解在数轴上表示为（）A．B．C．D．8．（3分）下列函数：①y=﹣x；②y=2x；③y=﹣；④y=x2（x＜0），y随x的增大而减小的函数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题9．（3分）分解因式：x2﹣9=．10．（3分）今年五．一假期，张老师一家四口开着一辆轿车去长春市净月潭森林公园度假．若门票每人a元，进入园区的轿车每辆收费20元，则张老师一家开车进入净月潭森林公园园区所需费用是元（用含a的代数式表示）．11．（3分）如图，已知AB为⊙O的直径，∠CAB=30°，则∠D=．12．（3分）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠CAB=50°．按以下步骤作图：①以点A为圆心，小于AC的长为半径画弧，分别交AB、AC于点E、F；②分别以点E、F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧相交于点G；③作射线AG交BC边于点D．则∠ADC的度数为．13．（3分）如图（1），在宽为20m，长为32m的矩形耕地上修建同样宽的三条道路（横向与纵向垂直），把耕地分成若干小矩形块，作为小麦试验田，假设试验田面积为570m2，求道路宽为多少？设宽为x m，从图（2）的思考方式出发列出的方程是．14．（3分）如图，等腰直角三角形ABO的斜边OB在x轴正半轴上，点A在第一象限，反比例函数y=（x＞0）的图象恰好经过AB边的中点，若OB=4，则k 的值为．三、解答题15．（6分）先化简，再求值：，其中a=﹣1．16．（6分）五•一期间，某商场开展购物抽奖活动，在不透明的抽奖箱中有4个分别标有数字1、2、3、4的小球，每个小球除数字外其余都相同．顾客随机抽取一个小球，不放回，再随机摸取一个小球，若两次摸出球的数字之和为“7”，则抽中一等奖，请用画树状图（或列表）的方法，求顾客抽中一等奖的概率．17．（6分）某文具厂计划加工3000套画图工具，为了尽快完成任务，实际每天加工画图工具的数量是原计划的1.2倍，结果提前4天完成任务，求该文具厂原计划每天加工这种画图工具的数量．18．（7分）如图，在平行四边形ABCD中，∠C=66°，点E为AD上一点，AB=BE，求∠EBC的度数．19．（7分）如图所示，课外活动中，小明在离旗杆AB的10米C处，用测角仪（精测得旗杆顶部A的仰角为40°，已知测角仪器的高CD=1.5米，求旗杆AB的高．确到0.1米）（供选用的数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）20．（6分）某大学生学生会社团部为了了解该校学生擅长乐器的情况，随机选取了n名学生进行问卷调查（要求每位学生只能填写一种自己最擅长的乐器），并将调查的结果绘制成如下的两幅不完整的统计图．请根据图中提供的信息，解答下面问题．（1）这次参加调查的学生人数n为；在扇形统计图中，表示“其他乐器”的扇形的圆心角为度．（2）将条形统计图补充完整．（3）若该校有2000名学生，则估计擅长“小提琴”的学生共有多少人．21．（10分）探究：如图①，△ABC是等边三角形，以点B为顶点作∠PBQ=60°，BQ交边AC于点D，过点A作AE∥BC，AE交BP于点E．求证：AD+AE=AB；应用：在图①的基础上，将∠PBQ绕着点B顺时针旋转，如图②，使BQ交AC 的延长线于点D，BP交边AC于点G．若AB=8，AE=2，则GD的长为．22．（10分）图①是小明家、学校和游泳馆之间的位置关系示意图，某天放学后，小亮和小明同时从学校出发，小亮匀速步行前往游泳馆，小明先匀速步行回家取游泳用品，然后骑自行车原路返回，沿与小亮相同的路线前往游泳馆，小明骑自行车的速度始终不变，小亮和小明各自与学校的距离s（米）与所用时间t（分）之间的函数图象的如图②所示．（1）小亮的速度为米/分，a=；（2）求小明骑自行车时s与t之间的函数关系式；（3）直接写出小明和小亮相距900米时t的值．23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，点A时抛物线与x轴正半轴交点，点B在抛物线上，其横坐标为1，直线AB与y轴交于点C．点M、P 在线段AC上，点Q在抛物线上，且MQ平行于x轴，PQ平行于y轴．设点P 横坐标为m．（1）求直线AB所对应的函数表达式；（2）用含m的代数式表示线段PQ的长；（3）以PQ、QM为邻边作矩形PQMN，求矩形PQMN的周长为9时m的值．24．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D为BC中点，AC=2，CD=2，若点P从点B出发，在BA上以每秒个单位的速度向点A运动（点P不与点B重合）．在点P的运动过程中，过点P作PE⊥BC于点E，以PE为边向右作正方形PEFM，设点P的运动时间为t（秒）．正方形PEFM与△ADB重叠部分面积为S（平方单位）．（1）AB的长为；（2）当正方形PEFM有顶点落在AD上时t的值；（3）求S与t之间的函数关系式；（4）直接写出△PBE与△MFD全等时t的值．2015年吉林省长春市中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题1．（3分）﹣2的倒数是（）A．2 B．﹣2 C．D．﹣【分析】根据倒数的定义，若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．【解答】解：∵﹣2×（）=1，∴﹣2的倒数是﹣．故选：D．2．（3分）下列计算正确的是（）A．a2+a2=a4 B．a6÷a2=a3C．a•a2=a3D．（a2）3=a5【分析】根据同底数幂的除法，底数不变指数相减；合并同类项，系数相加字母和字母的指数不变；同底数幂的乘法，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘，对各选项计算后利用排除法求解．【解答】解：A、a2+a2=2a2，故本选项错误；B、a6÷a2=a4，故本选项错误；C、a•a2=a3，故本选项正确；D、（a2）3=a6，故本选项错误．故选：C．3．（3分）下列水平放置的几何体中，俯视图是矩形的是（）A．圆柱B．长方体C．三棱柱D．圆锥【分析】俯视图是分别从物体上面看，所得到的图形．【解答】解：A、圆柱俯视图是圆，故此选项错误；B、长方体俯视图是矩形，故此选项正确；C、三棱柱俯视图是三角形，故此选项错误；D、圆锥俯视图是圆，故此选项错误；故选：B．4．（3分）“厉行勤俭节约，反对铺张浪费”势在必行，最新统计数据显示，中国每年浪费食物总量折合粮食大约是210000000人一年的口粮．将210000000用科学记数法表示为（）A．2.1×109B．0.21×109C．2.1×108D．21×107【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．【解答】解：将210000000用科学记数法表示为：2.1×108．故选：C．5．（3分）在一个不透明的袋子中装有4个除颜色外完全相同的小球，其中黄球1个，红球1个，白球2个，“从中任意摸出2个球，它们的颜色相同”这一事件是（）A．必然事件B．不可能事件C．随机事件D．确定事件【分析】随机事件就是可能发生，也可能不发生的事件，根据定义即可判断．【解答】解：在一个不透明的袋子中装有4个除颜色外完全相同的小球，其中黄球1个，红球1个，白球2个，从中任意摸出2个球，有红黄、红白、黄白、白白4种可能，从中任意摸出2个球，它们的颜色相同可能发生，也可能不发生，所以这一事件是随机事件．故选：C．6．（3分）如图，把一块含有45°的直角三角形的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠1=20°，那么∠2的度数是（）A．15°B．20°C．25°D．30°【分析】根据两直线平行，内错角相等求出∠3，再求解即可．【解答】解：∵直尺的两边平行，∠1=20°，∴∠3=∠1=20°，∴∠2=45°﹣20°=25°．故选：C．7．（3分）不等式组的解在数轴上表示为（）A．B．C．D．【分析】先解每一个不等式，再根据结果判断数轴表示的正确方法．【解答】解：由不等式①，得2x＞2，解得x＞1，由不等式②，得﹣2x≤﹣4，解得x≥2，∴数轴表示的正确是C选项，故选：C．8．（3分）下列函数：①y=﹣x；②y=2x；③y=﹣；④y=x2（x＜0），y随x的增大而减小的函数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】本题综合运用了一次函数，反比例函数，二次函数的增减性，需要根据这些函数的性质及自变量的取值范围，逐一判断．【解答】解：根据函数的性质可知当x＜0时，y随x的增大而减小的函数有：①y=﹣x；④y=x2（x＜0）．故选：B．二、填空题9．（3分）分解因式：x2﹣9=（x+3）（x﹣3）．【分析】本题中两个平方项的符号相反，直接运用平方差公式分解因式．【解答】解：x2﹣9=（x+3）（x﹣3）．故答案为：（x+3）（x﹣3）．10．（3分）今年五．一假期，张老师一家四口开着一辆轿车去长春市净月潭森林公园度假．若门票每人a元，进入园区的轿车每辆收费20元，则张老师一家开车进入净月潭森林公园园区所需费用是（4a+20）元（用含a的代数式表示）．【分析】所需的费用包括两个部分：门票每人a元，4人4a元；每辆车收费20元；由此合并得出答案即可．【解答】解：张老师一家开车进入净月潭森林公园园区所需费用是（4a+20）元．故答案为：4a+20．11．（3分）如图，已知AB为⊙O的直径，∠CAB=30°，则∠D=60°．【分析】首先利用直径所对的圆周角是直角得到直角三角形，然后求得另一锐角的度数，从而求得所求的角．【解答】解：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵∠CAB=30°，∴∠B=60°，∴∠D=60°，故答案为：60°．12．（3分）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠CAB=50°．按以下步骤作图：①以点A为圆心，小于AC的长为半径画弧，分别交AB、AC于点E、F；②分别以点E、F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧相交于点G；③作射线AG交BC边于点D．则∠ADC的度数为65°．【分析】根据已知条件中的作图步骤知，AG是∠CAB的平分线，根据角平分线的性质解答即可．【解答】解：解法一：连接EF．∵点E、F是以点A为圆心，小于AC的长为半径画弧，分别与AB、AC的交点，∴AF=AE；∴△AEF是等腰三角形；又∵分别以点E、F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧相交于点G；∴AG是线段EF的垂直平分线，∴AG平分∠CAB，∵∠CAB=50°，∴∠CAD=25°；在△ADC中，∠C=90°，∠CAD=25°，∴∠ADC=65°（直角三角形中的两个锐角互余）；解法二：根据已知条件中的作图步骤知，AG是∠CAB的平分线，∵∠CAB=50°，∴∠CAD=25°；在△ADC中，∠C=90°，∠CAD=25°，∴∠ADC=65°（直角三角形中的两个锐角互余）；故答案是：65°．13．（3分）如图（1），在宽为20m，长为32m的矩形耕地上修建同样宽的三条道路（横向与纵向垂直），把耕地分成若干小矩形块，作为小麦试验田，假设试验田面积为570m2，求道路宽为多少？设宽为x m，从图（2）的思考方式出发列出的方程是（32﹣2x）（20﹣x）=570．【分析】设宽为xm，从图（2）可看出剩下的耕田面积可平移成长方形，且能表示出长和宽，从而根据面积可列出方程．【解答】解：设宽为xm，（32﹣2x）（20﹣x）=570．故答案为：（32﹣2x）（20﹣x）=570．14．（3分）如图，等腰直角三角形ABO的斜边OB在x轴正半轴上，点A在第一象限，反比例函数y=（x＞0）的图象恰好经过AB边的中点，若OB=4，则k 的值为3．【分析】根据等腰直角三角形的性质求得点A的坐标，再根据三角形的中位线定理求得点C的坐标，从而求得反比例函数的解析式．【解答】解：分别作AE、CF垂直于x轴于点E、F．∵△AOB是等腰直角三角形，OB=4，∴AE=OE=BE=2，又∵点C是AB的中点，∴C（3，1）．设反比例函数的解析式是y=，则k=xy=3，故答案为：3．三、解答题15．（6分）先化简，再求值：，其中a=﹣1．【分析】先根据分式混合运算的法则把原分式化为最简形式，再把a=﹣1代入进行计算即可．【解答】解：原式=•，=a+1，把a=﹣1代入得，原式=﹣1+1=．16．（6分）五•一期间，某商场开展购物抽奖活动，在不透明的抽奖箱中有4个分别标有数字1、2、3、4的小球，每个小球除数字外其余都相同．顾客随机抽取一个小球，不放回，再随机摸取一个小球，若两次摸出球的数字之和为“7”，则抽中一等奖，请用画树状图（或列表）的方法，求顾客抽中一等奖的概率．【分析】首先根据题意列出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果与顾客抽中一等奖的情况，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：列表得：∵共有12种等可能的结果，顾客抽中一等奖的有2种情况，∴P（顾客抽中一等奖）=．17．（6分）某文具厂计划加工3000套画图工具，为了尽快完成任务，实际每天加工画图工具的数量是原计划的1.2倍，结果提前4天完成任务，求该文具厂原计划每天加工这种画图工具的数量．【分析】根据题意设出该文具厂原计划每天加工x套这种画图工具，再根据已知条件列出方程即可求出答案．【解答】解：设文具厂原计划每天加工x套这种画图工具．根据题意，得﹣=4．解得x=125．经检验，x=125是原方程的解，且符合题意．答：文具厂原计划每天加工125套这种画图工具．18．（7分）如图，在平行四边形ABCD中，∠C=66°，点E为AD上一点，AB=BE，求∠EBC的度数．【分析】由于在平行四边形中对角相等，邻角互补，所以∠A=∠C=66°，再根据已知条件BE=AB得出∠AEB=66°，利用AD∥BC可求出∠EBC的度数．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠C=66°，∵AB=AE，∵∠ABE=∠AEB=66°，∵AD∥BC，∴∠EBC=∠AEB=66°．19．（7分）如图所示，课外活动中，小明在离旗杆AB的10米C处，用测角仪（精测得旗杆顶部A的仰角为40°，已知测角仪器的高CD=1.5米，求旗杆AB的高．确到0.1米）（供选用的数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）【分析】由题可知，在直角三角形中，知道已知角和邻边，直接根据正切求出对边即可解决．【解答】解：∵CD⊥BC，AB⊥BC，DE⊥AB，∴四边形DCBE是矩形，∴DE=BC=10米，在Rt△ADE中，∵DE=10米，∠ADE=40°，∴AE=DE•tan40°≈10×0.84=8.4（米），∴AB=AE+BE=8.4+1.5=9.9（米）．答：旗杆AB的高是9.9米．20．（6分）某大学生学生会社团部为了了解该校学生擅长乐器的情况，随机选取了n名学生进行问卷调查（要求每位学生只能填写一种自己最擅长的乐器），并将调查的结果绘制成如下的两幅不完整的统计图．请根据图中提供的信息，解答下面问题．（1）这次参加调查的学生人数n为200；在扇形统计图中，表示“其他乐器”的扇形的圆心角为54度．（2）将条形统计图补充完整．（3）若该校有2000名学生，则估计擅长“小提琴”的学生共有多少人．【分析】（1）根据参加小提琴的人数除以参加小提琴所占的比重等于参加的总人数，可得答案；根据圆周角乘以其他乐器所占的比重，可得答案；（2）根据总人数减去小提琴的人数，钢琴的人数，其他乐器的人数，可得答案；（3）根据总人数乘以小提琴人数所占的比重，可得答案．【解答】解：（1）这次参加调查的学生人数n为70÷35%=200人，表示“其他乐器”的扇形的圆心角为360°×=54°．故答案为：200，54；（2）参加古筝的人数为200﹣70﹣60﹣30=40．；（3）擅长“小提琴”的学生2000×35%=700人．答：若该校有2000名学生，则估计擅长“小提琴”的学生共有700人．21．（10分）探究：如图①，△ABC是等边三角形，以点B为顶点作∠PBQ=60°，BQ交边AC于点D，过点A作AE∥BC，AE交BP于点E．求证：AD+AE=AB；应用：在图①的基础上，将∠PBQ绕着点B顺时针旋转，如图②，使BQ交AC 的延长线于点D，BP交边AC于点G．若AB=8，AE=2，则GD的长为8.4．【分析】探究：证△ABE≌△CBD，然后根据等边三角形三边相等即可求得．应用：由探究可知AE=CD，然后平行线分线段成比例定理即可求得．【解答】解：（1）∵△ABC为等边三角形，∴AB=BC，∠ABC=∠C=60°，∵AE∥BC，∴∠EAB=∠ABC，∴∠EAB=∠C，∵∠EBD=60°，∴∠ABE=∠DBC，在△ABE与△CBD中，，∴△ABE≌△CBD，∴AE=CD，∵AC=AD+CD=AD+AE，∴AB=AD+AE；（2）由（1）证得：CD=AE=2，∵AE∥BC，∴===，∵AC=AB=8，∴AG=，CG=，∴DG=+2=8.4．故答案为：8.4．22．（10分）图①是小明家、学校和游泳馆之间的位置关系示意图，某天放学后，小亮和小明同时从学校出发，小亮匀速步行前往游泳馆，小明先匀速步行回家取游泳用品，然后骑自行车原路返回，沿与小亮相同的路线前往游泳馆，小明骑自行车的速度始终不变，小亮和小明各自与学校的距离s（米）与所用时间t（分）之间的函数图象的如图②所示．（1）小亮的速度为120米/分，a=3000；（2）求小明骑自行车时s与t之间的函数关系式；（3）直接写出小明和小亮相距900米时t的值．【分析】（1）根据时间、路程和速度关系得出小亮的速度，进而得出全路程即可；（2）根据路程和时间的关系得出小明骑自行车时s与t之间的函数关系式即可；（3）根据几种情况得出小明和小亮相距900米时t的值即可．【解答】解：（1）由图象可得：小亮的速度为：600÷5=120米/分钟；可得a的值为：25×120=3000米；故答案为：120；3000；（2）因为小明骑自行车的速度始终不变，所以可得其速度为：（600+3000）÷（17﹣5）=300米/分钟；所以可得小明骑自行车时s与t之间的函数关系式为：s=300t；（3）当小明回家的途中与小亮相距900米，可得：900=（120+120）t，解得：t=分；当小明从家回来时，小亮比小明多900米，可得：120t+600﹣300（t﹣5）=900，解得：t=分；当从家回来时，小明比小亮多900米，可得：120t+900+600=300（t﹣5），解得：t=分；小明到达游泳馆后，小亮与小明相距900米时，时间为17.5分；综上所述小明和小亮相距900米时t的值为，，，17.5分．23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，点A时抛物线与x轴正半轴交点，点B在抛物线上，其横坐标为1，直线AB与y轴交于点C．点M、P 在线段AC上，点Q在抛物线上，且MQ平行于x轴，PQ平行于y轴．设点P 横坐标为m．（1）求直线AB所对应的函数表达式；（2）用含m的代数式表示线段PQ的长；（3）以PQ、QM为邻边作矩形PQMN，求矩形PQMN的周长为9时m的值．【分析】（1）由点A时抛物线与x轴正半轴交点，点B在抛物线上，其横坐标为1，即可求得点A与B的坐标，再利用待定系数法求得函数的解析式；（2）分别从当0≤m≤1时与当1＜m≤4时，去分析求解即可求得答案；（3）首先可求得tan∠QMP==，即可得矩形PQMN的周长=6PQ，又由矩形PQMN的周长为9，即可得到方程，解此方程即可求得答案．【解答】解：（1）∵点A时抛物线与x轴正半轴交点，∴﹣x2+2x=﹣x（x﹣4）=0，解得：x1=0，x2=4，∴A（4，0），∵点B在抛物线上，其横坐标为1，∴y=﹣+2=，∴点B（1，），设直线y=kx+b，则，解得：，∴直线AB的解析式为：y=﹣x+2；（2）根据题意得：P（m，﹣m2+2m），Q（m，﹣m+2），∴当0≤m≤1时，PQ=（﹣m+2）﹣（﹣m2+2m）=m2﹣m+2；当1＜m≤4时，PQ=（﹣m2+2m）﹣（﹣m+2）=﹣m2+m﹣2；（3）∵MQ平行于x轴，PQ平行于y轴，∴∠QMP=∠OAC，∵点C（0，2），A（4，0），∴tan∠OAC==，∴tan∠QMP==，∴MQ=2PQ，∵矩形PQMN的周长为9，∴当0＜m≤1时，2（MQ+PQ）=6PQ=6（m2﹣m+2）=9，解得：m1=（舍去），∴m2=；∴2（MQ+PQ）=6PQ=6（﹣m2+m﹣2）=9，此时无解；综上，矩形PQMN的周长为9时，m=．24．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D为BC中点，AC=2，CD=2，若点P从点B出发，在BA上以每秒个单位的速度向点A运动（点P不与点B重合）．在点P的运动过程中，过点P作PE⊥BC于点E，以PE为边向右作正方形PEFM，设点P的运动时间为t（秒）．正方形PEFM与△ADB重叠部分面积为S（平方单位）．（1）AB的长为2；（2）当正方形PEFM有顶点落在AD上时t的值；（3）求S与t之间的函数关系式；（4）直接写出△PBE与△MFD全等时t的值．【分析】（1）求得BC，利用勾股定理求得AB；（2）分当点F与点D重合，点E与点D重合两种情况探讨得出答案即可；（3）分三种情况：①当0＜t≤时，②当＜t≤1时，③当1＜t≤2，利用正方形和三角形的面积探讨得出答案即可；（4）当EB=DF时，△PBE与△MFD全等，由BE+FD+EF=BD求得t的数值即可．【解答】解：（1）∵D为BC中点，∴BC=2CD=4，∴AB==2；（2）①当点F与点D重合时，如图：∵PE⊥BC，AC⊥BC，∴PE∥AC，∴△PBE∽△ABC，∴==，即==，BE=2t，PE=t，∵四边形PEFM是正方形，∴EF=PE，即2﹣2t=t，解得：t=；②当点E与点D重合时，如图，PE是恰好是△ABC的中位线，则BP=，t=1；③当点P与点A重合时，如图，由（1）可知：AB==2；∴t==2；综上所知：当t=或1或2时，正方形PEFM有顶点落在AD上；（3）当0＜t≤时，S=t2；当＜t≤1时，∵DF=3t﹣2∴S=t2﹣（3t﹣2）2=﹣t2+6t﹣2当1＜t≤2时∵BE=2t，BD=2∴DE=2t﹣2∴GE=2t﹣2∴PM=t﹣（2t﹣2）=2﹣t∴S=（2﹣t）2=t2﹣2t+2（4）当t＜2时，∵EB=FD，∠PEB=∠MFD，PE=MF，∴△PBE≌△MDF，∴当EB=DF时，△PBE与△MFD全等．∴BE+FD+EF=2即t+2t+2t=2，t=．当t=2时，△PBE≌△MDF∴t=或2。

吉林省长春市普通高中2015届高三质量监测(四)数学理试题(word版,含解

长春市普通高中2015届高三质量监测（四）数学(理科)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分.考试时间为120分钟，其中第Ⅱ卷22题－24题为选考题，其它题为必考题.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 注意事项：1．答题前，考生必须将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内.2．选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚. 3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、不准使用涂改液、刮纸刀.第Ⅰ卷一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项．．．．是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）. 1.设全集{|0}U x x =∈>R，函数()f x =的定义域为A ，则U A ð为A. [,)e +∞B. (,)e +∞C. (0,)eD. (0,]e2.复数12,z z 满足12||||1z z ==，12||z z +12||z z -= A. 1B. C. 2D. 3. 如图是秦九韶算法的一个程序框图，则输出的S 为 A. 1030020(())a x a x a a x +++的值B. 3020100(())a x a x a a x +++的值C. 0010230(())a x a x a a x +++的值D.(())a x a x a a x +++的值4. 名老师不在两边且不相邻的概率为A.17 B. 27 C. 47 D. 575. 在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若22a b -=，sin C B =，则A =A. 6πB. 3π C. 23π D. 56π6. 函数||()x f x x e =⋅的大致图象为7.如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积为A. 163π+B. 326π+C. 6412π+D. 646π+正视图侧视图8. 如图,测量河对岸的塔高AB 时,可以选与塔底B 在同一水平面内的两个观测点C 与D ,测得15BCD ∠=,30BDC ∠=,30CD =米,并在C 测得塔顶A 的仰角为 60,则塔的高度AB为A.B.C. 1)米D.9. 若等差数列{}n a 前n 项和n S 有最大值，且11121a a <-，则当数列{}n S 的前n 项和n T 取最大值时，n 的值为C. 22sin x =，余弦曲线cos y =0x =，x π=所围成的阴影部分的面积为C. 211. 已知12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两个焦点，P 是C 上一点，若212||||8PF PF a ⋅=，且12PF F ∆的最小内角为30，则双曲线C 的离心率是A.B. 2C.D. 312. 已知函数ln 1()ln 1x f x x -=+（x e >），若()()1f m f n +=，则()f m n ⋅的最小值为A.25B. 35C. 57D. 27第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题－21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题－24题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上). 13. 已知函数()sin(2)3f x x π=+与()g x 的图象关于直线6x π=对称，将()g x 的图象向右平移ϕ(0)ϕ>个单位后与()f x 的图象重合，则ϕ的最小值为__________.14. 在平面直接坐标系中，若,P x y （）满足4+40210522x y x y x y -⎧⎪+-⎨⎪-+⎩≤≤0≥0，则当xy 取得最大值时，点P 的坐标是__________.15.给出下列5种说法： ①在频率分布直方图中，众数左边和右边的直方图的面积相等；②标准差越小，样本数据的波动也越小； ③回归分析研究的是两个相关事件的独立性；④在回归分析中，预报变量是由解释变量和随机误差共同确定的；⑤相关指数2R 是用来刻画回归效果的，2R 的值越大，说明残差平方和越小，回归模型的拟合效果越好. 其中说法正确的是________（请将正确说法的序号写在横线上）.16.如图，在三棱锥A BCD -中，ACD ∆与BCD ∆是全等的等腰三角形，且平面ACD ⊥平面B C D ，24AB CD ==,则该三棱锥的外接球的表面积为________.三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）. 17.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和n S ，123a =-，12n n nS a S ++=（2n ≥）. (1)计算1S ,2S ,3S , 猜想n S 的表达式并用数学归纳法证明； (2)设2n n S b n n =+，数列的{}n b 的前n 项和为nT ，求证：34n T >- 18.（本小题满分12分）某城市随机监测一年内(1) 若将API 值低于150的天气视为“好天”，并将频率视为概率，根据上述表格，预测今年高考6月7日、8日两天连续出现“好天”的概率；(2) API 值对部分生产企业有着重大的影响，假设某企业的日利润()f x 与API 值x 的函数关系为：40150()15150x f x x ()⎧=⎨(>)⎩≤（单位；万元），利用分层抽样的方式从监测的100天中选出10天，再从这10天中任取3天计算企业利润之和X ，求离散型随机变量X 的分布列以及数学期望和方差.19.（本小题满分12分）在三棱柱111ABC A B C -中，12AB BC CA AA ====，侧棱1AA ⊥平面ABC ，D 为棱11A B 上的动点，E 为1AA 的中点，点F 在棱AB 上，且14AF AB =. (1) 设11A DDB λ=，当λ为何值时，EF 平面1BC D ； (2) 在（1）条件下，求二面角1E BC D --的余弦值.A 1B 1C 1ABCFED20.（本小题满分12分）已知点(1,0)F ，点P 为平面上的动点，过点P 作直线:1l x =-的垂线，垂足为H ，且HP HF FP FH ⋅=⋅. (1) 求动点P 的轨迹C 的方程；(2) 设点P 的轨迹C 与x 轴交于点M ，点,A B 是轨迹C 上异于点M 的不同D 的两点，且满足0MA MB ⋅=，在,A B 处分别作轨迹C 的切线交于点N ，求点N 的轨迹E 的方程； (3)在（2）的条件下，求证：MN AB k k ⋅为定值21.（本小题满分12分）已知函数1ln ()xf x x+=. (1) 若函数()f x 在区间1(,)2a a +上存在极值，求正实数a 的取值范围；(2) 如果当1x ≥时，不等式()1kf x x +≥恒成立，求实数k 的取值范围. (3)求证：22[(1)!](1)()n n n e n N -*+>+∈请考生在22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲.如图AB 是圆O 的一条弦，过点A 作圆的切线AD ，作BC AC ⊥，与该圆交于点D ，若AC =2CD =.(1) 求圆O 的半径；(2) 若点E 为AB 中点，求证,,O E D 三点共线.23.（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程选讲.在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为22cos ()sin 2x y ααα⎧=⎨=⎩是参数，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为1sin cos ρθθ=-.(1) 求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程；(2) 求曲线1C 上的任意一点P 到曲线2C 的最小距离，并求出此时点P 的坐标. 24.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲.设函数()|2|f x x a a =-+.(1) 若不等式()6f x ≤的解集为{|23}x x -≤≤，求实数a 的值；(2) 在(1)条件下，若存在实数n ，使得()()f n m f n --≤恒成立，求实数m 的取值范围.长春市普通高中2015届高三质量监测（四）数学(理科)参考答案及评分参考说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分.一、选择题(本大题包括12小题，每小题5分，共60分)简答与提示：1. A 【命题意图】本小题主要考查集合的计算，是一道常规问题.【试题解析】A {|1ln 0}{|0}A x x x x e =->=<<，则[),U A e =+∞ð．故选A. 2. A 【命题意图】本小题主要考查复数的几何意义.【试题解析】A 根据复数的几何意义，由题意，可将12,z z 看作夹角为60︒的单位向量，从而12||1z z -=，故选A.3. C 【命题意图】本小题主要通过程序框图的理解考查学生的逻辑推理能力，同时考查学生对算法思想的理解与剖析，本题特殊利用秦九韶算法，使学生更加深刻地认识中国优秀的传统文化.【试题解析】C 由秦九韶算法，0010230(())S a x a x a a x =+++，故选C.4. B 【命题意图】本小题主要考查排列组合在古典概型中的应用，既对抽象概念进行提问，又贴近生活实际，是数学与生活相联系.【试题解析】B5225427727A C A P A ==，故选B. 5. A 【命题意图】本小题主要考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，对学生的推理论证能力和数形结合思想提出一定要求.【试题解析】A由正弦定理得c =，a =，再由余弦定理可得cos A ，故选A. 6. A 【命题意图】本小题主要考查函数的性质对函数图像的影响，并通过对函数的性质来判断函数的图像等问题. 【试题解析】A 判断函数为奇函数，排除,B C ；又由于当0x >时，x e 的增加速度快，故选A.7. C 【命题意图】本小题主要考查立体几何中的三视图问题，并且对考生的空间想象能力及利用三视图还原几何体的能力进行考查，同时考查简单几何体的体积公式.【试题解析】C 该几何体可看成以正视图为底面，4为高的棱柱与半圆柱的组合体，从而其体积为4(163)6412+=+ππ，故选C.8. D 【命题意图】本小题主要考查利用三角函数以及解三角形的知识解决实际问题，对学生的数形结合思想提出一定要求.【试题解析】D 在BCD ∆中，由正弦定理得sin30sin135BC CD ︒==︒，在R t A B ∆中，t a n 6156A B B C =︒故选D. 9. C 【命题意图】本小题主要考查对等差数列通项以及变化规律的理解，还包括前n 项和的理解，理解了等差数列性质以及特点的学生解决此类问题会比较容易.【试题解析】C由等差数列的前n 项和有最大值，可知0d <，再由11121a a <-，知11120,0a a ><，从而有11120a a +>，即22230,0S S ><，从而使得数列{}n S 的前n 项和取最大值的22n =，故选C.10. D 【命题意图】本小题主要考查定积分的几何意义以及定积分的基本运算，对学生的运算求解能力和数形结合思想提出一定要求.【试题解析】D所求封闭图形面积等价于5544(sin cos )(cos sin )x x dx x x -=--=⎰ππππ，故选D.11. C 【命题意图】本小题主要考查双曲线的定义，双曲线离心率的运算，对考生的运算求解能力和数形结合能力提出较高要求.【试题解析】C 不妨设点P 在双曲线右支，12,F F 分别为左，右焦点，有12||||2PF PF a -=，由212||||8PF PF a ⋅=，可得12||4,||2PF a PF a ==，由12||22F F c a =>知，12PF F ∆的最小内角为1230PF F ∠=︒，从而12PF F ∆为直角三角形，1290F F P ∠=︒，此时双曲线离心率e =，故选C.12. C 【命题意图】本小题主要考查对数函数的性质和运算，并对基本不等式的考查也提出很高要求，本题作为选择的压轴题，属于较难题，对学生的运算求解能力和推理论证能力提出一定要求.【试题解析】C 由()()1f m f n +=可得221ln 1ln 1m n +=++，2()1ln ln 1f m n m n ⋅=-++，而(l n 1)(l n 1)m n +++= 22ln 1ln 1[(ln 1)(ln 1)]()42()8ln 1ln 1ln 1ln 1n m m n m n m n +++++⋅+=++≥++++，当且仅当3m n e == 时取“=”，从而ln ln 17m n ++≥，25()177f m n ⋅≤-=，故选C. 二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分) 简答与提示：13. 56π【命题意图】本小题主要考查三角函数的对称，图像的平移以及三角函数最值的求取，属于基本试题.【试题解析】函数()g x 的解析式为()sin 2g x x =，其图象向右平移ϕ个单位后对应解析式为sin(22)y x ϕ=-，从而223k πϕπ-=+，即(,1)6k k Z k πϕπ=--∈≤-，所以m in 56πϕ=. 14. 5(,5)2【命题意图】本小题是线性规划的简单应用，对可行域的求取、对目标函数的理解都是考生必须掌握的基本技能.【试题解析】令z xy =，由可行域可知其在第一象限，故z xy =可看成从点(,)P x y 向x 轴，y 轴引垂线段，所围成矩形的面积，故其可能取最大值的位置应在线段210(24)x y x +=≤≤上，2(102)210(24)z x x x x x =-=-+≤≤，当5,52x y ==时z 取最大值，此时5(,5)2P15. ②④⑤【命题意图】本小题通过统计学基本定义问题考查学生的统计学的思想，是一道中档难度的综合试题. 【试题解析】由统计学的相关定义可知，②④⑤的说法正确.16. 654π【命题意图】本小题主要考查球的内接几何体的相关计算问题，对考生的空间想象能力与运算求解能力以及数形结合思想都提出很高要求，本题是一道综合题，属于较难题.【试题解析】取,AB CD 中点分别为,E F ，连接,,EF AF BF ，由题意知,AF BF AF BF ⊥=，2EF =，易知三棱锥的外接球球心O 在线段EF 上，连接,OA OC ，有222222,R AE OE R CF OF =+=+，求得26516R =，所以其表面积为654π. 三、解答题17.(本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查利用数学归纳法解决有关于数列的问题，虽存在着一定的难度，但是是考试大纲规定考查内容，属于一道中档题，对考生的运算求解能力，化归与转化能力提出一定要求.【试题解析】解：(1) 因为)2(1≥-=-n S S a n n n ，所以121--=++n n nn S S S S ，由此整理得121-+-=n n S S ，于是有：54,43,32321-=-=-=S S S ，猜想：21++-=n n S n证明：① 当1=n 时，321-=S ，猜想成立.② 假设k n =时猜想成立，即21++-=k k S k ，那么11121123(1)222k k k k S k S k k k +++=-=-=-=-+++++-+ 所以当1+=k n 时猜想成立，由①②可知，猜想对任何*∈N n 都成立. (6分)(2) 由(1))211(21)2(1+--=+-=n n n n b n ，于是： )211123(21)]21514131()131211[(21+-+--=++⋅⋅⋅+++-+⋅⋅⋅+++-=n n n n T n 又因为211123+-+-n n 23<，所以43->n T . (12分)18.【命题意图】本小题主要考查统计与概率的相关知识，其中包括概率的求法、离散型随机变量的数学期望以及方差. 本题主要考查学生的数据处理能力和运算求解能力.【试题解析】解：(1) 根据统计数据出现好天的概率为0.4，则连续两天出现“好天”的概率为0.40.40.16⨯=. (4分) (2) X 的所有可能取值为45,70,95,120.3(45)(0.6)0.216P X ===123(70)0.4(0.6)0.432P X C ==⨯⨯=223(95)(0.4)0.60.288P X C ==⨯⨯=3(120)(0.4)0.064P X ===()45E X =⨯2222()(4575)0.216(7075)0.432(9575)0.288(12075)0.064450D X =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=(12分)19.【命题意图】本小题主要考查立体几何的相关知识，具体涉及到线面的平行关系、二面角的求法及空间向量在立体几何中的应用. 本小题对考生的空间想象能力与运算求解能力有较高要求.【试题解析】解：(1) 证明：111111////=EF BC DEF ABB A EF BD BC D ABB A BD ⎫⎪⊂⇒⎬⎪⎭平面平面平面平面，则1112DB AF BB AE ==，即111A D DB λ==.(6分)(2) 取AB 中点M ，可知CM AB ⊥，DM ABC ⊥平面.以M 为原点，以CM 方向为x 轴，以AB 方向为y 轴，以MD 方向为z 轴，建立如图所示坐标系.(0,1,1)E -，(0,1,0)B ，(0,0,2)D，1(C平面1EBC 中，(0,2,1)EB =-，1(3,1,1)EC =-，1(3,1,2)n = 平面1DBC 中，(0,1,2)DB =-，1(DC =-，2(0,2,1)n =1212||cos 5||||8n n n n θ⋅===⋅.即二面角1E BC D --. (12分)20.【命题意图】本小题主要考查抛物线的性质，直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到抛物线标准方程的求取，直线与圆锥曲线的相关知识以及圆锥曲线中定值的求取. 本小题对考生的化归与转化思想、运算求解能力都有很高要求.【试题解析】解：(1) 由HP HF FP FH ⋅=⋅可得：||||cos ||||cos HP HF PHF FP FH PFH ⋅=⋅，即||cos ||cos HP PHF FP PFH =，可知点P 为线段HF 中垂线上的点，即||||PH PF =，故动点P 的轨迹C 为以F 为焦点的抛物线，其方程为24y x =.(4分)(2) 设直线MA 的斜率为(0)k k ≠，易得244(,)A k k ，可求得切线NA 的方程为24442x k y k+=⋅，化简整理得22k y x k=+ ①因为MA MB ⊥，所以1OB k k =-，故直线MB 的方程为1y x k=-. 联立直线MB 和抛物线方程解得2(4,4)B k k -，所以切线NB 的方程为24442x k ky +-=⋅，化简整理得122y x k k =-- ② ①-②得11()2()022k x k k k+++=，所以4x =-(定值). 故点N 的轨迹为4x =-是垂直x 轴的一条定直线. (8分)(3) 由(2)有2(4,2)N k k --，所以212NM k k k -=，22222212AB ppk k k k p k pk k--==--. 故12NM AB k k ⋅=-(定值). (12分) 21.【命题意图】本小题主要考查函数与导数的综合应用能力，具体涉及到用导数来描述函数的极值等情况. 本小题主要考查考生分类讨论思想的应用，对考生的逻辑推理能力与运算求解有较高要求.【试题解析】解：(1)函数的定义域为(0,)+∞，2211ln ln ()x xf x x x --'==-. 令()0f x '=，得1x =；当(0,1)x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增；当(1,)x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减. 所以，1x =为极大值点，所以112a a <<+，故112a <<，即实数a 的取值范围为1(,1)2. (4分)(2)当1x ≥时，(1)(1ln )x x k x ++≤，令(1)(1ln )()x x g x x ++=，则221[1ln 1](1)(1ln )ln ()x x x x x x x g x x x +++-++-'==.再令()ln h x x x =-，则1()10h x x'=-≥，所以()(1)1h x h ≥=，所以()0g x '>，所以()g x 为单调增函数，所以()(1)2g x g ≥=，故2k ≤. (8分)(3) 由(2)知，当1x ≥时，1ln 21x x x +≥+，2122ln 111111x x x x x x x-≥-==->-++-. 令(1)x n n =+，则2ln (1)1(1)n n n n +>-+，所以2ln(12)112⨯>-⨯，22ln(23)1,,ln (1)123(1)n n n n ⨯>-+>-⨯+，所以 2222ln[123(1)]221n n n n n ⨯⨯⨯⨯⋅+>-+>-+，所以2222123(1)n n n e -⨯⨯⨯⨯+>所以22*[(1)!](1)()n n n e n -+>+∈N . (12分)22【.命题意图】本小题主要考查平面几何的证明，具体涉及到圆的切线的性质，切割线定理等内容. 本小题重点考查考生对平面几何推理能力.【试题解析】解： (1) 取BD 中点为F ，连结OF ，由题意知，//OF AC ，OF AC = AC 为圆O 的切线，BC 为割线2CA CD CB ∴=⋅，由2AC CD ==，6,4,2BC BD BF ∴=== 在Rt OBF ∆中，由勾股定理得，4r OB ==. (5分) (2) 由(1)知，//,OA BD OA BD =所以四边形O AD B 为平行四边形，又因为E 为AB 的中点，所以OD 与AB 交于点E ，所以,,O E D 三点共线. (5分)23.【命题意图】本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到参数方程与普通方程的转化、极坐标方程与平面直角坐标方程的互化、平面内直线与曲线的位置关系、利用三角函数相关知识解决点线距离问题等内容. 本小题考查考生的方程思想与数形结合思想，对运算求解能力有一定要求.【试题解析】解：(1) 由题意知，1C 的普通方程为22(1)1x y -+= 2C 的直角坐标方程为1y x =+. (5分)(2) 设(1cos 2,sin 2)P αα+，则P 到2C的距离2)|4d πα=+，当cos(2)14πα+=-，即322()4k k Z παπ=+∈时，d1，此时P点坐标为(1.(10分) 24.【命题意图】本小题主要考查含绝对值不等式求解的相关知识以及不等式证明的相关知识. 本小题重点考查考生的逻辑思维能力与推理论证能力.【试题解析】解：(1) 由()6f x ≤，得626(6)a x a aa -≤-≤-<，即其解集为{|33}x a x -≤≤，由题意知()6f x ≤的解集为{|23}x x -≤≤，所以1a =. (5分)(2) 原不等式等价于，存在实数n ，使得()()|12||12|2m f n f n n n ≥+-=-+++恒成立，即min |12||12|2m n n ≥-+++，而由绝对值三角不等式，|12||12|2n n -++≥，从而实数4m ≥. (10分)。

2015年长春市四模(数学文科)参考答案和评分参考

长春市普通高中2015届高三质量监测（四）数学(文科)参考答案及评分参考说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分.一、选择题(本大题包括12小题，每小题5分，共60分)1. A2. B3. A4. C5. C6. A7. C 8. A 9. A 10. B 11. B 12. C简答与提示：1. 【命题意图】本小题主要考查集合的计算，是一道常规问题.【试题解析】A {|1ln 0}{|0}A x x x x e =-=<≥≤，则(,)U A e =+∞ð．故选A.2. 【命题意图】本小题主要考查复数的几何意义.【试题解析】B 根据复数的几何意义，由题意，可将12,z z 看作夹角为90︒的单位向量，从而12||z z -=，故选B.3. 【命题意图】本小题主要考查空间线和面的位置关系，对于特殊位置要提示考生多加论证，多举反例.【试题解析】A 易知③正确，故选A.4. 【命题意图】本小题主要通过程序框图的理解考查学生的逻辑推理能力，同时考查学生对算法思想的理解与剖析，本题特殊利用秦九韶算法，使学生更加深刻地认识中国优秀的传统文化.【试题解析】C 由秦九韶算法，0010230(())S a x a x a a x =+++，故选C.5. 【命题意图】本小题主要考查线性回归方程的性质和应用，对学生的数据处理能力提出一定要求.【试题解析】C 由题意知，4,5x y ==，从而代入回归方程有 1.10b =，故选C .6. 【命题意图】本小题主要借助条件逻辑的判定，考查函数的性质以及对复合函数奇偶性的判定等问题.【试题解析】A 当()f x 为偶函数时，可得(())(())g f x g f x -=，故p 是q 的充分条件；而当(())g f x 为偶函数时，不能推出“()f x 为偶函数”成立，如3()||,()g x x f x x ==，3(())||g f x x =是偶函数，而()f x 不是偶函数，故选A.7. 【命题意图】本小题主要考查立体几何中的三视图问题，并且对考生的空间想象能力及利用三视图还原几何体的能力进行考查，同时考查简单几何体的体积公式.【试题解析】C 该几何体可看成以正视图为底面，4为高的棱柱与半圆柱的组合体，从而其体积为4(163)6412+=+ππ，故选C.8. 【命题意图】本小题主要考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，对学生的推理论证能力和数形结合思想提出一定要求.【试题解析】A 由正弦定理得c =，a =，再由余弦定理可得cos A =，故选A. 9. 【命题意图】本小题主要考查函数的性质对函数图像的影响，并通过对函数的性质来判断函数的图像等问题.【试题解析】A 判断函数为奇函数，排除,B C ；又由于当0x >时，x e 的增加速度快，故选A.10. 【命题意图】B 本小题主要考查对等差数列通项以及变化规律的理解，还包括前n 项和的理解，理解等差数列性质以及特点的学生解决此类问题会比较容易.【试题解析】由等差数列的前n 项和有最大值，可知0d <，再由11121a a <-，知11120,0a a ><，从而使n S 取最大值的11n =，故选B.11. 【命题意图】本小题是线性规划的简单应用，对可行域的求取、对目标函数的理解都是考生必须掌握的基本技能，而且本题另外的一个重要考点是基本不等式的应用，此类问题也是非常典型的常规问题.【试题解析】B 由题可求得，33,2M m ==，从而12b a +=，2121559()()22222b b a a a b a b a b +=++=++≥+=，当且仅当23a b ==时取“=”，故选B. 12. 【命题意图】本小题主要考查双曲线的定义，双曲线离心率的运算，对考生的运算求解能力和数形结合能力提出较高要求.【试题解析】C 不妨设点P 在双曲线右支，12,F F 分别为左，右焦点，有12||||2PF PF a -=，由212||||8PF PF a ⋅=，可得12||4,||2PF a PF a ==，由12||22F F c a =>知，12PF F ∆的最小内角为1230PF F ∠=︒，从而12PF F ∆为直角三角形，1290F F P ∠=︒，此时双曲线离心率e ，故选C.二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分)13. 3 14. 6π 15. ②④⑤ 16. 203π 简答与提示：13. 【命题意图】本小题是向量的简单应用，对向量计算的掌握是考生必须掌握的基本技能.【试题解析】由a b ⊥得12xy =，||1(23a b +=+=，故||a b +的最小值为3.14. 【命题意图】本小题主要考查三角函数的对称，图像的平移以及三角函数最值的求取，属于基本试题.【试题解析】函数()g x 的解析式为()sin 2g x x =，其图象向左平移ϕ个单位后对应解析式为sin(22)y x ϕ=+，从而223k πϕπ=+，即()6k k N πϕπ=+∈，所以min 6πϕ=.15. 【命题意图】本小题通过统计学基本定义问题考查学生的统计学的思想，是一道中档难度的综合试题.【试题解析】由统计学的相关定义可知，②④⑤的说法正确.16. 【命题意图】本小题主要考查球的内接几何体的相关计算问题，对考生的空间想象能力与运算求解能力以及数形结合思想都提出很高要求，本题是一道综合题，属于较难题.【试题解析】取,AB CD 中点分别为,E F ，连接,,EF AF BF ，由题意知,AF BF AF BF ⊥=，EF =O 在线段EF 上，连接,OA OC ，有222222,R AE OE R CF OF =+=+，求得253R =，所以其表面积为203π. 三、解答题17. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查利用解三角形的思想解决实际问题，对考生的抽象概括能力和运算求解能力，化归与转化能力提出一定要求.【试题解析】解：(1) 在ABC ∆中，,(),CAB ABC ACB αθπβθβα∠=-∠=--∠=-，由正弦定理，sin()sin()BC l αθβα-=-. (6分)(2) 由(1)及条件知，sin()sin()BC l αθβα-==-，9015BCD β∠=︒-=︒， 45CBD βθ∠=-=︒，120BDC ∠=︒，由正弦定理得，sin 4524sin120CD BC ︒=⋅=-︒. (12分)18. 【命题意图】本小题主要考查统计与概率的相关知识，其中包括概率的求法、离散型随机变量的数学期望以及方差. 本题主要考查学生的数据处理能力和运算求解能力.【试题解析】解：(1) 根据统计数据出现好天的概率为0.4，则连续两天出现“好天”的概率为0.40.40.16⨯=. (6分)(2) 利用分层抽样后利润等于40万元的天数为2，并设为,A B ，利润等于15万元的天数为3，并设为,,a b c ，从中取出3天的结果可能有以下10种：ABa 、ABb 、ABc 、Aab 、Aac 、Abc 、Bab 、Bac 、Bbc 、abc .其中Aab 、Aac 、Abc 、Bab 、Bac 、Bbc 、abc 共7种利润之和不足80万元.因此利润值和小于80万元的概率为710. (12分)19. 【命题意图】本小题主要考查立体几何的相关知识，具体涉及到线面的平行关系、空间点面距离的求法. 本小题对考生的空间想象能力与运算求解能力有较高要求.【试题解析】解：(1) 证明：由1112DB AF BB AE ==，可知//EF BD ， 11////EF BD EF BC D BD BC D ⎫⇒⎬⊂⎭平面平面. (6分) (2) 由题可知111132EBD ABB A A DE ABE BDB S S S S S ∆∆∆∆=---=. 1111111111111111A A A B C A A C D C D ABB A C D A B C C D A B ⎫⊥⎫⇒⊥⎬⎪⇒⊥⊂⎬⎭⎪ ⊥⎭平面平面平面则11132C EBD EBD V S C D -∆=⋅=1EBC ∆中，EC =EB =，1BC =1EBC S ∆=1113C EBD EBC V S h h -∆=⋅==，则4h =. (12分)20. 【命题意图】本小题主要考查抛物线的性质，直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到抛物线标准方程的求取，直线与圆锥曲线的相关知识以及圆锥曲线中定值的求取. 本小题对考生的化归与转化思想、运算求解能力都有很高要求.【试题解析】解(1) 设(,)P x y ，则(1,)H y -，有(1,0),(2,),(1,),(2,)HP x HF y FP x y FH y =+=-=-=-，从而由题意得24y x =. (4分)(2) 证明：设点000(,)(0)M x y x ≠为轨迹C 上一点，直线000:()m y k x x y =-+为轨迹C 的切线，有20004()y x y k x x y ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩，消去x 得， 20000440k y y k x y --+=，其判别式0000164(44)0k k x y ∆=--+=，解得002k y =，有002:2y m y x y =+ * 设1122(,),(,)A x y B x y ，:(1)AB y k x =-，联立有24,(1)y x y k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩消去x 得，2440ky y k --=，有124y y k+=，124y y ⋅=- 根据*式有112:2y NA y x y =+，222:2y NB y x y =+，解得2(1,)N k-，从而20111NF AB k k k k -⋅=⋅=-+，为定值. (12分)21. 【命题意图】本小题主要考查函数与导数的综合应用能力，具体涉及到用导数来描述函数的极值等情况. 本小题主要考查考生分类讨论思想的应用，对考生的逻辑推理能力与运算求解有较高要求.【试题解析】解：(1)函数的定义域为(0,)+∞，2211ln ln ()x x f x x x--'==-. 令()0f x '=，得1x =；当(0,1)x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增；当(1,)x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减. 所以，1x =为极大值点，所以112a a <<+，故112a <<，即实数a 的取值范围为1(,1)2. (6分) (2)当1x ≥时，(1)(1ln )x x k x ++≤，令(1)(1ln )()x x g x x++=，则221[1ln 1](1)(1ln )ln ()x x x x x x x g x x x +++-++-'==.再令()ln h x x x =-，则1()10h x x'=-≥，所以()(1)1h x h ≥=，所以()0g x '>，所以()g x 为单调增函数，所以()(1)2g x g ≥=，故2k ≤. (12分)22. 【命题意图】本小题主要考查平面几何的证明，具体涉及到圆的切线的性质，切割线定理等内容. 本小题重点考查考生对平面几何推理能力.【试题解析】解： (1) 取BD 中点为F ，连结OF ，由题意知，//OF AC ，OF AC = AC 为圆O 的切线，BC 为割线2CA CD CB ∴=⋅，由2AC CD ==，6,4,2BC BD BF ∴===在Rt OBF ∆中，由勾股定理得，4r OB ==. (5分)(2) 由(1)知，//,OA BD OA BD =所以四边形OADB 为平行四边形，又因为E 为AB 的中点，所以OD 与AB 交于点E ，所以,,O E D 三点共线. (10分)23. 【命题意图】本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到参数方程与普通方程的转化、极坐标方程与平面直角坐标方程的互化、平面内直线与曲线的位置关系、利用三角函数相关知识解决点线距离问题等内容. 本小题考查考生的方程思想与数形结合思想，对运算求解能力有一定要求.【试题解析】解：(1) 由题意知，1C 的普通方程为22(1)1x y -+=2C 的直角坐标方程为1y x =+.(5分)(2) 设(1cos2,sin 2)P αα+，则P 到2C 的距离2)|4d πα=+，当cos(2)14πα+=-，即322()4k k Z παπ=+∈时，d 1，此时P 点坐标为(1. (10分) 24. 【命题意图】本小题主要考查含绝对值不等式求解的相关知识以及不等式证明的相关知识. 本小题重点考查考生的逻辑思维能力与推理论证能力.【试题解析】解：(1) 由()6f x ≤，得626(6)a x a a a -≤-≤-<，即其解集为{|33}x a x -≤≤，由题意知()6f x ≤的解集为{|23}x x -≤≤，所以1a =. (5分)(2) 原不等式等价于，存在实数n ，使得()()|12||12|2m f n f n n n ≥+-=-+++恒成立，即min |12||12|2m n n ≥-+++，而由绝对值三角不等式，|12||12|2n n -++≥，从而实数4m ≥. (10分)。

吉林省长春市东北师范大学附属中学2015届高三下学期第四次模拟考试理数试题解析(解析版)汇编

【答案】B 【解析】3 + 4i 试题分析：(1-2i)z =3 • 4i = z = 1-2i考点：复数运算3.已知命题p:'三x 乏R ,e x—x(A) W x E R ,e x-x -1 A 0(C) —x R,e x-x -1 _ 0—1兰0 ”，则命题一1p:( ) (B) _ x ' R ,e x _ x -1 0 (D) x R ,e x 「x 「1【答案】A 【解析】试题分析：因为命题"p, q ”的否定为：_P, 一q ，因此命题P ： “R ,e x -x-1^0 ”的否定为:—X R,e x -X -10,选 A.考点：命题的否定4.各项均为正数的等差数列 {a n }中，a 4a 9 =36，则前12项和S 12的最小值为( )(A) 78 (B) 48(C) 60(D) 72【答案】D东北师范大学附属中学却舟届高三第四次模拟考试数学(理)试题笫I 卷(共6Q 分)、选择题：本大题共12个小题,每小题5分，共60分■在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 11.设集合 A = {x | x? _ x}, B={x| 1}，则 Ap|B =( ) x (A)(-：：,1] (B) [0,1] (C) (0,1] (D) (-：：,0)U(0,1] 【答案】C 【解析】 S i试题分析：因为 1A ={x | x 2 兰x} = [0,1],B ={x | — 31} = (0,1]，所以 AR B = (0,1]，选 C. x 考点：集合运算，解分式不等式 2.设复数z 满足(1 -2i)z =3 4i ，则z =( (A) 1 - 2i (B) -1 2i (C)2 i (D) -2 i丁 j 2i ，选 B.【解析】试题分析：因为S 12 =12（a； a12）=6（a 4a 9）猛 =72，当且仅当=比=6时取等号，所以氐的最小值为72，选D. 考点：等差数列性质P 到原点距离的平方，所以最大值为 OC 2=8.选D.考点：线性规划8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为5.已知 COS （v -，则 sin(2r M =()7 （A ）-9【答案】B 4迈 (D)9S1【解1 试题分析：因为 COS （V ■：）-■■-:3sin(2 二 3) =cos2v - 2cos -1 1=——=> 3 1 7 HF ■J -1—cos^1COS ，所以 3 B.考点：古典概型概率JI7.已知实数x, y 满足平面区域辛 y 「1 _ 022D : 2x - y -2岂0，贝V x y 的最大值为（）x -2y 2 _0(A) (B) 1r~ (C) 2 2(D) 8【答【解试题分析：平面区域为一个三角形 ABC 及其内部，其中 A （1,0）,B （0,1）,C （2,2），x 2 y 2表示可行域内考点：二倍角公式，诱导公式[:学 #科#网]【答A【解析】1 2" 2V ，选 C.考点：三视图S3考点：循环结构流程图10.我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对相关曲线”.已知F !,F 2是一对相关曲线的焦点，P 是椭圆和双曲线在第一象限的交点，当 • F 1PF^60时，这一对相关曲线中椭圆的离心率为( )(A) 2、、28 (C)3(D) 4试题分析：几何体为一个斜置的四棱锥，高为 ,2, 底面为矩形，长为2、一 2，宽为2，所以体积为9.执行如图所示的程序框图，则输出的3 (A)-25 (B )3S =()8 (C) —5(時11J【答案】C【答案】B【解析】「k 1 k Jr 1 ii~ri【答案】DB,C；又当X 1时，f (x)ln\ex-e^\ In(e-e^)为单调递减函数，所以选°考点：函数图像与性质12.已知函数f(x)=e x - ax 有两个零点治ex?，则下列说法错误.的是()(A) a e (B) x ,x 2 2(C) XM 1 (D)有极小值点 x ，且x 1 x 2 ::: 2x o【答案】C【答案】【解析】试题分析：设F 1F2-2c, PF1' PF 2-2a1」PF 1 —PF 2 \=2a 2,ei -—2 2 2 0 2 24c ^PF 1PF 2 -2PF 1PF 2 cos60 ^(PF 1 PF 2) -3PF 1 PF^( PF^ PF 2) PF 1PF 2(A)(B)f1 (D) —2c 1 c ” ,由余弦定理得:aJ i 考点：椭圆和双曲线定义及离心率1的部分图象大致为. >E kJ LIJK ・F(【解，则 f (-X )二试题分析：令f(x)二 X 亠 In \ e -e \2 2二 4a 1 - 12a 2，即2 2 2所以 16c -(PF 1 PF 2)2 3(PF 1 -PF 2)2 — 3e^ = ef 二-或 e1 =1(舍)-：e3；1乜，选A.3一 x = f(x)，所以图像关于y 轴对称，不选 In \ e - e 4」〜2 2e 111.函数yx x In \e -e \【解析】试题分析：由题意得：方程f（x）=e X-ax =0有两个不等的根，即y = a与y 有两个不同的交点，因x（x?_1），所以y =—在（-：：,0）上单调递减且y ：：：，在（0,1）上为y = e单调递减且x单调递增且y e，因此a e 且0 ::： X! ：：：1 ：：：X2 , A 正确；因为e Xl二ax i,e'二ax2 ,X^x1所以eX2一，设X2 (t1 x In t t+1 t—1 t+1 4 t 一，则t "，/①为=t=禺，因此为X2-2=(t 1X-2 (Int-2 ) (Int-2 ) X t -1 t -1 t 1 t—1 t 1si4 1令g(trlnt-2c，则g(t)=t・(t.1)2—t(t 1)224 (t「1)2()0，所以g(t) ■ g(1) = 0，因此jix X2 -2 Q,X1 X2 2. B 正确；X,x2-仁忧2 -t-1 D 肓(Intt-令h(t)=Int T则h(t)J t —(、叶t 2t、.t 2t「t "，所以h(t) ：： h(1) =0 ,因此x/2 -1 ：：0,x1X2 ：：1 ,C错；由f (x) =e x - a = 0 得x =In a • 1,当x In a 时, f （x） 0，当X ：：Ina时，f（X）：： 0，所以x x^f(x)=e X-ax有极小值点x°=lna，由e =ax「e =ax?得X| = In a In 论，x2 = In a In x2，因此DEx1+x2= 2In a In x1In x2 = x1+x2—2In a 二In x1x2 :: 0=x1+x^：： 2ln a = 2x0. D正确考点：利用导数研究函数零点第H卷（共90分）x2y e，在（1,：：）【解析】二、填空题（每题4分，满分16分，将答案填在答题纸上）313.已知向量a,b满足|b|=3, a在b方向上的投影是°,则a b = _______________29【答案】-2【解析】试题分析：由题意得：3二邛=.a b3=-.2|b| 2 2考点：向量投影14. ____________________________________________________________ 直线y = X • 2被圆M : x2• y2-4x -4y -1 = 0所截得的弦长为 _________________________________________________【答案】2 7【解析】试题分析：22 2 -------------------------------------------------- 2 2 ...M :x y「4x「4y-1 =0= (x-2) ，(y-2) =9，圆心到直线y = x，2 距离为-=-2，所以弦长为2 9 _2 =2、、7.考点：直线与圆位置关系15. _____________________________________________ 如下图数阵中的前n行的数字和为2第一行3 3•第二行4 6 *4第三行5 10 10 5第四行6 15 20 15 6第五行【答案】2n2-2 n-4【解析】试题分析：本题为将杨辉三角两边的1去掉后的数阵，所以前n行的数字和为杨辉三角前n+2行的数字和减去2n 3个1,即20 2 22+23+Hl+2n 1 -2n -3 =2n 2 -2n-4考点：等比数列求和16. 如图，在正四棱柱（底面是正方形的直棱柱）ABCD - ABQQ j中，E是BC的中点，F是C1D的中点，P是棱CC1所在直线上的动点•则下列四个命题:① CD 一PE ② EF // 平面ABC1 ③ V p*。

2015级高三摸底考试数学理科答案及评分意见

成都市２０１５级高中毕业班摸底测试
数学(理科)参考答案及评分意见
第 Ⅰ 卷 (选择题 ,共６０分 )
一、选择题 :(每小题５分 ,共６０分 )
１．B;
２．A;
３．C;
７．B;
８．C;
９．D;
４．C; １０．; １２．B．
第 Ⅱ 卷 (非选择题 ,共９０分 )
�� １１分 �� １２分
２１．解 :(Ⅰ )f′(x)＝１－ax－２１nx(x＞０)．
由f′(x)＝０,得x＝e１－a ．
�� １分
当０＜x＜e１－a 时,f′(x)＞０．此时函数f(x)单调递增;
{ { a＝３
a＝－２
∴
,或
．
b＝－９ b＝１
经检验符合题意．
(Ⅱ )∵a＞０,由 (Ⅰ ),得 f(x)＝x３＋３x２－９x＋９． ∴f′(x)＝３x２＋６x－９． ∴f(－２)＝３１,f′(－２)＝－９． ∴ 所求切线方程为９x＋y－１３＝０．
１８．解 :(Ⅰ )由题意 ,可得 x��＝７,y��＝３．
５
５
��xiyi
i＝１
＝１１０,i��＝５��１xi２＝２５５,b∧ ＝i��＝��１５x��xiyi２i－－５５x��x��２��y��＝
１２
．
i＝１
∵a∧ ＝y��－b∧x,∴a∧ ＝
－
１２
．
∴
所

2015年4月长春市宽城区九年级质量监测数学及答案

初三数学质量测查试卷 2015.4一、选择题（每小题3分，共24分） 1．-5的绝对值是（A ）5. （B ）-5. （C ）51. （D ）51-. 2.据统计，2014年“快的打车”账户流水总金额达到4 730 000 000元，4 730 000 000这个数用科学记数法表示为（A ）4.73×1010. （B ）4.73×109. （C ）47.3×108. （D ）473×107.3. 一个立体图形的表面展开图如图所示，这个立体图形是（A ）三棱锥. （B ）三棱柱. （C ）四棱锥.（D ）四棱柱. （第3题） 4.不等式23-x ≥-2的解集在数轴上表示正确的是（A ）（B ）（C ）（D ） 5.方程01422=+-x x 的根的情况是（A ）有一个实数根. （B ）没有实数根. （C ）有两个相等的实数根. （D ）有两个不相等的实数根. 6.如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A 、B 均在格点上.在格点上确定点C ，使△ABC 为直角三角形，且面积为4，则这样的点C 的共有（A ）1个. （B ）2个. （C ）3个. （D ）4个.（第6题）（第7题）（第8题）7．如图，在平面直角坐标系中，Rt △OAB 的顶点A 、B 的坐标分别为（2,0）、（2,4）.将△OAB 绕点O 按逆时针方向旋转90°得到△OA ′B ′.函数ky x=（x <0）的图象过A ′B ′的中点C ，则k 的值为（A ）4. （B ）-4. （C ）8. （D ）-8.8. 如图，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、BC 上的点，且DE ∥AC .若:BDE CDE S S =△△1:4，则ADC BDE S S ∆∆:为（A ）1:9. （B ）1:16. （C ）1:20. （D ）1:25.二、填空题（每小题3分，共18分） 9. 计算：2-8= .10.约分：xx x 6232--= . 11. 直线31+=x k y 与直线42-=x k y 在平面直角坐标系中的位置如图所示，它们与y 轴的交点分别为点A 、B .以AB 为边向左作正方形ABCD ，则正方形ABCD 的周长为_______.（第11题）（第12题）12. 如图，在△ABC 中，∠C =90°，∠B =30°，AD 平分∠CAB 交BC 于点D .若BD =5，则CD 的长为 . 13. 如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线， OC 交⊙O 于点D ，连结BD .若∠C ＝40°，则∠B 的大小为度.（第13题）（第14题）14. 如图，在平面直角坐标系中，□ABCD 的顶点A 、C 、D 均在抛物线k x a y +-=2)2(（a >0）上，点B 在抛物线的对称轴上，且AB ∥x 轴.若点A 的横坐标为m ，则点D 的横坐标为（用含m 的代数式表示）. 三、解答题（本大题共10小题，共78分）15．（6分）先化简，再求值：2)21())((b a b a b a -+-+，其中32=a ，21-=b .16. （6分）三张扑克牌的牌面如图所示，这三张扑克牌除牌面不同外，其它均相同.将这三张扑克牌背面朝上洗匀，从中随机抽出一张，记下数字后放回；重新洗匀后从中再随机抽出一张，记下数字. 请用画树状图（或列表）的方法，求抽出的两张扑克牌上的数字之和是9的概率.17.（6分）某市为缓解交通拥堵现象，修建了一条从市中心到飞机场的轻轨铁路．实际施工时，每月的工作效率比原计划提高了20%，结果提前5个月完成这一工程．求原计划完成这一工程的时间.18.（7分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于点E、F，连结AF、EC.（1）求证：AF∥EC.（2）求证：四边形AFCE是菱形.（第18题）19.（7分）一堤坝的横截面如图所示，坡角∠ABC＝62°，坡面长度AB＝25米.为了使堤坝更加牢固，一施工队欲改变堤坝的坡面，使得坡面的坡角∠ADB＝45°，且使D、B、C三点在同一直线上，求将坝底向外拓宽的宽度BD的长.（结果精确到0.1米）【参考数据：sin62°≈0.88，cos62°≈0.47，tan62°≈1.88】（第19题）20. （7分）为弘扬中华传统文化，某校组织八年级800名学生参加汉字听写大赛，为了解学生整体听写能力，随机抽取部分学生的成绩（得分取正整数，满分为100分）进行统计分析，请根据尚未完成的下列图表，解答问题：组别分数段频数频率一50.5～60.5 16 0.08二60.5～70.5 40 0.20三70.5～80.5 50 0.25四80.5～90.5 m0.35五90.5～100.5 24 n（1）本次抽样中，样本成绩的中位数落在第组内，表中m=，n=. （2）补全频数分布直方图.（3）若规定成绩超过80分为优秀，请估计该校八年级学生中汉字听写能力为优秀的人数.（第20题）21.（8分）某景区的三个景点A、B、C在同一线路上.甲、乙两名游客从景点A出发，甲步行到景点C；乙乘景区观光车先到景点B，在B处停留一段时间后，再步行到景点C；甲、乙两人同时到达景点C．甲、乙两人距景点A的路程y（米）与甲出发的时间x（分）之间的函数图象如图所示．（1）乙步行的速度为米/分.（2）求乙乘景区观光车时y与x之间的函数关系式.（3）甲出发多长时间与乙第一次相遇？（第21题）22.（9分）【情境】如图，在△ABC中，∠BAC为锐角.点D、E在直线AB的两侧，AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE=90°. CD、BE交于点O.【探究】（1）求证：CD=BE.（2）判断线段CD与BE的位置关系，并说明理由.【应用】若AB=3，BC=2，∠ABC=45°，求线段BE的长.（第22题）23.（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线c bx x y ++=221经过A (-2，0)、B (0，-4)两点，顶点为C ，直线BC 交x 轴于点D .（1）求抛物线所对应的函数表达式及点C 的坐标.（2）点M 是抛物线上对称轴右侧的一点，直线MN ∥y 轴，交x 轴于点E ，交直线BC于点N .当MN =DE 时，求点M 的横坐标.（3）将抛物线沿射线CB 方向平移，当顶点C 落在坐标轴上时，直接写出抛物线AB段所扫过的图形面积．（第23题）24. （12分）如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4.点P从点A出发，沿A—B—C运动，速度为每秒1个单位长度.点Q从点C出发，沿C—A—D运动，沿C—A运动时的速度为每秒1个单位长度，沿A—D运动时的速度为每秒3个单位长度. P、Q两点同时出发，当点Q到达点D时，P、Q两点同时停止运动.连结PQ、CP.设△APQ的面积为S，点P的运动时间为t（秒）.（1）当t=6时，求AQ的长.（2）当点Q沿C—A运动时，用含t的代数式表示点Q到AB、BC的距离.（3）求S与t的函数关系式.（4）在点P运动的过程中，直接写出△APQ与△CPQ同时为钝角三角形时t的取值范围.（第24题）参考答案1112。

高三数学月考试题及答案-长春市普通高中2015届高三质量监测(四)(理)

长春市普通高中2015届高三质量监测（四）(理)参考答案及评分参考说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分.一、选择题(本大题包括12小题，每小题5分，共60分)1. A2. A3. C4. B5. A6. A7. C8. D9. C10. D11. C12. C简答与提示：1. 【命题意图】本小题主要考查集合的计算，是一道常规问题.【试题解析】A，则．故选A.2. 【命题意图】本小题主要考查复数的几何意义.【试题解析】A根据复数的几何意义，由题意，可将看作夹角为的单位向量，从而，故选A.3. 【命题意图】本小题主要通过程序框图的理解考查学生的逻辑推理能力，同时考查学生对算法思想的理解与剖析，本题特殊利用秦九韶算法，使学生更加深刻地认识中国优秀的传统文化. 【试题解析】C由秦九韶算法，，故选C.4. 【命题意图】本小题主要考查排列组合在古典概型中的应用，既对抽象概念进行提问，又贴近生活实际，是数学与生活相联系. 【试题解析】B，故选B. 5. 【命题意图】本小题主要考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，对学生的推理论证能力和数形结合思想提出一定要求. 【试题解析】A由正弦定理得，，再由余弦定理可得，{|1ln 0}{|0}A x x x x e =->=<<[),U A e =+∞ð12,z z 60︒12||1z z -=0010230(())S a x a x a a x =+++5225427727A C A P A ==c=a=cos A故选A.6. 【命题意图】本小题主要考查函数的性质对函数图像的影响，并通过对函数的性质来判断函数的图像等问题. 【试题解析】A 判断函数为奇函数，排除；又由于当时，的增加速度快，故选A.7. 【命题意图】本小题主要考查立体几何中的三视图问题，并且对考生的空间想象能力及利用三视图还原几何体的能力进行考查，同时考查简单几何体的体积公式. 【试题解析】C该几何体可看成以正视图为底面，4为高的棱柱与半圆柱的组合体，从而其体积为，故选C.8. 【命题意图】本小题主要考查利用三角函数以及解三角形的知识解决实际问题，对学生的数形结合思想提出一定要求. 【试题解析】D在中，由正弦定理得中，故选D.9. 【命题意图】本小题主要考查对等差数列通项以及变化规律的理解，还包括前项和的理解，理解了等差数列性质以及特点的学生解决此类问题会比较容易. 【试题解析】C由等差数列的前项和有最大值，可知，再由，知，从而有，即，从而使得数列的前项和取最大值的，故选C.10. 【命题意图】本小题主要考查定积分的几何意义以及定积分的基本运算，对学生的运算求解能力和数形结合思想提出一定要求. 【试题解析】D 所求封闭图形面积等价于，故选D.11. 【命题意图】本小题主要考查双曲线的定义，双曲线离心率的运算，对考生的运算求解能力和数形结合能力提出较高要求. 【试题解析】C不妨设点在双曲线右支，分别为左，右焦点，有，由，可得，由知，,B C0x >xe 4(163)6412+=+ππBCD ∆sin30sin135BC CD ︒==︒Rt ABC ∆tan 60AB BC =︒=n n 0d <11121a a <-11120,0a a ><11120a a +>22230,0S S ><{}n S n 22n =5544(sin cos )(cos sin )x x dx x x -=--=⎰ππππP 12,F F 12||||2PF PF a -=212||||8PF PF a ⋅=12||4,||2PF a PF a ==12||22F F c a =>的最小内角为，从而为直角三角形，，此时双曲线离心率，故选C.12. 【命题意图】本小题主要考查对数函数的性质和运算，并对基本不等式的考查也提出很高要求，本题作为选择的压轴题，属于较难题，对学生的运算求解能力和推理论证能力提出一定要求. 【试题解析】C由可得，，而=，当且仅当时取“=”，从而，，故选C.二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分)13.14.15. ②④⑤16.简答与提示：13. 【命题意图】本小题主要考查三角函数的对称，图像的平移以及三角函数最值的求取，属于基本试题.【试题解析】函数的解析式为，其图象向右平移个单位后对应解析式为，从而，即，所以.14. 【命题意图】本小题是线性规划的简单应用，对可行域的求取、对目标函数的理解都是考生必须掌握的基本技能.【试题解析】令，由可行域可知其在第一象限，故可看成从点向轴，轴引垂线段，所围成矩形的面积，故其可能取最大值的位置应在线段上，，当时取最大值，此时 15. 【命题意图】本小题通过统计学基本定义问题考查学生的统计学的思想，是一道中档难度的综合试题.【试题解析】由统计学的相关定义可知，②④⑤的说法正确.16. 【命题意图】本小题主要考查球的内接几何体的相关计算问题，对考生的空间想象能力与12PF F ∆1230PF F ∠=︒12PF F ∆1290F F P ∠=︒e =()()1f m f n +=221ln 1ln 1m n +=++2()1ln ln 1f m n m n ⋅=-++(ln 1)(ln 1)m n +++22ln 1ln 1[(ln 1)(ln 1)]()42()8ln 1ln 1ln 1ln 1n m m n m n m n +++++⋅+=++≥++++3m n e ==ln ln 17m n ++≥25()177f m n ⋅≤-=56π5(,5)2654π()g x ()sin 2g x x =ϕsin(22)y x ϕ=-223k πϕπ-=+(,1)6k k Z k πϕπ=--∈≤-min 56πϕ=z xy =z xy =(,)P x y x y 210(24)x y x +=≤≤2(102)210(24)z x x x x x =-=-+≤≤5,52x y ==z 5(,5)2P运算求解能力以及数形结合思想都提出很高要求，本题是一道综合题，属于较难题. 【试题解析】取中点分别为，连接，由题意知，，易知三棱锥的外接球球心在线段上，连接，有，求得，所以其表面积为. 三、解答题17. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查利用数学归纳法解决有关于数列的问题，虽存在着一定的难度，但是是考试大纲规定考查内容，属于一道中档题，对考生的运算求解能力，化归与转化能力提出一定要求.【试题解析】解：(1) 因为，所以，由此整理得，于是有：，猜想：证明：① 当时，，猜想成立. ② 假设时猜想成立，即，那么所以当时猜想成立，由①②可知，猜想对任何都成立. (6分) (2) 由(1)，于是：又因为，所以. (12分)18. 【命题意图】本小题主要考查统计与概率的相关知识，其中包括概率的求法、离散型随机变量的数学期望以及方差. 本题主要考查学生的数据处理能力和运算求解能力.,AB CD ,E F ,,EF AF BF ,AF BF AF BF ⊥=2EF =O EF ,OA OC 222222,R AE OE R CF OF =+=+26516R =654π)2(1≥-=-n S S a n n n 121--=++n n nn S S S S 121-+-=n n S S 54,43,32321-=-=-=S S S 21++-=n n S n 1=n 321-=S k n =21++-=k k S k 11121123(1)222k k k k S k S k k k +++=-=-=-=-+++++-+1+=k n *∈N n )211(21)2(1+--=+-=n n n n b n )211123(21)]21514131()131211[(21+-+--=++⋅⋅⋅+++-+⋅⋅⋅+++-=n n n n T n 211123+-+-n n 23<43->n T【试题解析】解：(1) 根据统计数据出现好天的概率为0.4，则连续两天出现“好天”的概率为.(4分)(2) 的所有可能取值为45,70,95,120.(12分)19. 【命题意图】本小题主要考查立体几何的相关知识，具体涉及到线面的平行关系、二面角的求法及空间向量在立体几何中的应用. 本小题对考生的空间想象能力与运算求解能力有较高要求.【试题解析】解：(1) 证明：，则，即.(6分)(2) 取中点，可知，.以为原点，以方向为轴，以方向为轴，以方向为轴，建立如图所示坐标系.0.40.40.16⨯=X 3(45)(0.6)0.216P X ===123(70)0.4(0.6)0.432P X C ==⨯⨯=223(95)(0.4)0.60.288P X C ==⨯⨯=3(120)(0.4)0.064P X ===()450.216700.432950.2881200.06475E X =⨯+⨯+⨯+⨯=2222()(4575)0.216(7075)0.432(9575)0.288(12075)0.064450D X =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=111111////=EF BC DEF ABB A EF BD BC D ABB A BD ⎫⎪⊂⇒⎬⎪⎭平面平面平面平面1112DB AF BB AE ==111A D DB λ==AB M CM AB ⊥DM ABC ⊥平面M CM x AB y MD z，，，平面中，，，平面中，，，.即二面角的余弦值为.(12分)20. 【命题意图】本小题主要考查抛物线的性质，直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到抛物线标准方程的求取，直线与圆锥曲线的相关知识以及圆锥曲线中定值的求取. 本小题对考生的化归与转化思想、运算求解能力都有很高要求. 【试题解析】解：(1) 由可得：，即，可知点为线段中垂线上的点，即，故动点的轨迹为以为焦点的抛物线，其方程为.(4分)(2) 设直线的斜率为，易得，可求得切线的方程为，化简整理得①因为，所以，故直线的方程为. (0,1,1)E -(0,1,0)B (0,0,2)D 1(C 1EBC (0,2,1)EB =-1(,1)EC =1(3,1,2)n =1DBC (0,1,2)DB =-1(DC =2(0,2,1)n=1212||cos ||||8n n n n θ⋅===⋅1E BC D --5HP HF FP FH ⋅=⋅||||cos ||||cos HP HF PHF FP FH PFH ⋅=⋅||cos ||cos HP PHF FP PFH =P HF ||||PH PF =P C F 24y x =MA (0)k k ≠244(,)A k kNA 4442x k y k+=⋅22k y x k =+MA MB ⊥1OB k k =-MB 1y x k=-联立直线和抛物线方程解得，所以切线的方程为，化简整理得 ②①-②得，所以(定值). 故点的轨迹为是垂直轴的一条定直线.(8分)(3) 由(1)有，所以，. 故(定值).(12分)21. 【命题意图】本小题主要考查函数与导数的综合应用能力，具体涉及到用导数来描述函数的极值等情况. 本小题主要考查考生分类讨论思想的应用，对考生的逻辑推理能力与运算求解有较高要求.【试题解析】解：(1)函数的定义域为，. 令，得；当时，，单调递增；当时，，单调递减. 所以，为极大值点，所以，故，即实数的取值范围为. (4分)(2)当时，，令，则.再令，则，所以，所以，所以为单调增函数，所以，故.(8分)(3) 由(2)知，当时，，. MB 2(4,4)B k k -NB 24442x k ky +-=⋅122y x k k =--11()2()022kx k k k+++=4x =-N 4x =-x 2(4,2)N k k --212NM k k k-=22222212AB ppk k k k p k pk k --==--12NM AB k k ⋅=-(0,)+∞2211ln ln ()x xf x x x --'==-()0f x '=1x =(0,1)x ∈()0f x '>()f x (1,)x ∈+∞()0f x '<()f x 1x =112a a <<+112a <<a 1(,1)21x ≥(1)(1ln )x x k x ++≤(1)(1ln )()x x g x x++=221[1ln 1](1)(1ln )ln ()x x x x x x x g x x x+++-++-'==()ln h x x x =-1()10h x x'=-≥()(1)1h x h ≥=()0g x '>()g x ()(1)2g x g ≥=2k ≤1x ≥1ln 21x x x +≥+2122ln 111111x x x x x x x-≥-==->-++-令，则，所以，，所以，所以所以.(12分)22. 【命题意图】本小题主要考查平面几何的证明，具体涉及到圆的切线的性质，切割线定理等内容. 本小题重点考查考生对平面几何推理能力.【试题解析】解： (1) 取中点为，连结，由题意知，，为圆的切线，为割线，由，在中，由勾股定理得，. (5分)(2) 由(1)知，所以四边形为平行四边形，又因为为的中点，所以与交于点，所以三点共线.(5分)23. 【命题意图】本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到参数方程与普通方程的转化、极坐标方程与平面直角坐标方程的互化、平面内直线与曲线的位置关系、利用三角函数相关知识解决点线距离问题等内容. 本小题考查考生的方程思想与数形结合思想，对运算求解能力有一定要求.【试题解析】解：(1) 由题意知，的普通方程为的直角坐标方程为.(5分)(2) 设，则到的距离，当，即时，，此时点坐标为.(10分)24. 【命题意图】本小题主要考查含绝对值不等式求解的相关知识以及不等式证明的相关知(1)x n n =+2ln (1)1(1)n n n n +>-+2ln(12)112⨯>-⨯22ln(23)1,,ln (1)123(1)n n n n ⨯>-+>-⨯+2222ln[123(1)]221n n n n n ⨯⨯⨯⨯⋅+>-+>-+2222123(1)n n n e -⨯⨯⨯⨯+>22*[(1)!](1)()n n n en -+>+∈N BD F OF //OF AC OF AC =AC O BC 2CA CD CB ∴=⋅2AC CD ==6,4,2BC BD BF ∴===Rt OBF ∆4r OB ==//,OA BD OA BD =O AD B E AB OD AB E ,,O E D 1C 22(1)1x y -+=2C 1y x =+(1cos 2,sin 2)P αα+P 2C |2)|4d πα=+cos(2)14πα+=-322()4k k Z παπ=+∈d 1P (1识. 本小题重点考查考生的逻辑思维能力与推理论证能力.【试题解析】解：(1) 由，得，即其解集为，由题意知的解集为，所以.(5分)(2) 原不等式等价于，存在实数，使得恒成立，即，而由绝对值三角不等式，，从而实数.(10分)()6f x ≤626(6)a x a a a -≤-≤-<{|33}x a x -≤≤()6f x ≤{|23}x x -≤≤1a =n ()()|12||12|2m f n f n n n ≥+-=-+++min |12||12|2m n n ≥-+++|12||12|2n n -++≥4m ≥。

吉林省长春市东北师范大学附属中学2015届高三下学期第四次模拟考试数学(理)试题含解析

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1。

设集合21{|},{|1}A x x x B x x=≤=≥，则A B = （ )(A ）(,1]-∞ （B ）[0,1] (C ） (0,1](D ）(,0)(0,1]-∞【答案】C 【解析】试题分析：因为21{|}[0,1],{|1}(0,1]A x x x B x x=≤==≥=，所以A B =(0,1]，选C 。

考点：集合运算，解分式不等式2.设复数z 满足(12)34i z i -=+，则z =( ） (A ）12i - （B) 12i -+ （C) 2i + （D ）2i -+【答案】B 【解析】试题分析:34510(12)3412125i ii z i z i i +-+-=+⇒===-+-，选B. 考点:复数运算3。

已知命题:p “,10xx ex ∃∈--≤R "，则命题:p ⌝()(A),10xx e x ∀∈-->R(B),10xx e x ∀∉-->R （C ）,10xx ex ∀∈--≥R(D),10xx ex ∃∈-->R【答案】A 【解析】试题分析:因为命题“,p q ∃”的否定为:,p q ∀⌝,因此命题:p “,10xx ex ∃∈--≤R ”的否定为：,10x x e x ∀∈-->R ，选A 。

考点：命题的否定4。

各项均为正数的等差数列}{na 中，4936a a=，则前12项和12S 的最小值为（） (A ）78 (B ）48 （C ）60 （D ）72【答案】D 【解析】试题分析：因为112124912()6()722a a Sa a +==+≥=，当且仅当496a a ==时取等号,所以12S 的最小值为72，选D 。

考点：等差数列性质5.已知1cos()3θπ+=-,则sin(2)2πθ+=( )(A ）79（B ）79-（D）【答案】B 【解析】试题分析：因为111cos()cos cos 333θπθθ+=-⇒-=-⇒=，所以217sin(2)cos 22cos 121299πθθθ+==-=⨯-=-,选B 。

长春市初中毕业生学业考试网上阅卷模拟训练数学及答案

2009年长春市初中毕业生学业考试网上阅卷模拟训练数学本试题卷包括七道大题，共26小题，共6页．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回．注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内．2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试题卷上答题无效．一、选择题（每小题3分，共24分）1．计算aa32+的结果是（A）5．（B）5a．（C）25a．（D）26a．2．2008年爆发了世界金融危机，中国工商银行年度税后利润却比上一年增加了人民币28 900 000 000元．用科学记数法表示这个数字为（A）9109.28⨯．（B）91089.2⨯．（C）101089.2⨯．（D）1110289.0⨯．3．下列标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的为（A）（B）（C）（D）4．方程220x x-=的解是（A）2x=．（B）0x=．（C）10x=，22x=-．（D）10x=，22x=．5．下列图中，是正方体展开图的为（A）（B）（C）（D）6．抛一枚硬币，正面朝上的概率为P1；掷一枚普通的正方体骰子，掷得的点数小于7的概率为P2；口袋中有红、黄、白球各一个，从中一次摸出两个红球的概率为P3．则P1、P2、P3的大小关系是（A）P3＜P2＜P1．（B）P1＜P2＜P3．（C）P3＜P1＜P2．（D）P2＜P1＜P3．7．将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A、B的读数分别为86°、30°，则∠ACB的大小为（A）15︒．（B）28︒．（C）29︒．（D）34︒．（第7题）（第8题）8．如图，点A是y关于x的函数图象上一点．当点A沿图象运动，横坐标增加5时，相应的纵坐标（A）减少1．（B）减少3．（C）增加1．（D）增加3．二、填空题（每小题3分，共18分）9．分解因式：29a-=．（第14题）x －3＜27＋x ≤3x ，⎧⎨⎩10．不等式组的解集为． 11．某校九年级安全疏散演习中，各班疏散的时间分别是3分钟，2分40秒，3分20秒，3分30秒，2分45秒．这次演习中，疏散时间的极差为秒．12．将图①中的正方形剪开得到图②，图②中共有4个正方形；将图②中一个正方形剪开得到图③，图③中共有7个正方形；将图③中一个正方形剪开得到图④，图④中共有10个正方形；…；如此下去．则图⑨中共有个正方形．（第12题）（第13题）13．如图，某公园有一块矩形草地ABCD ，矩形草地的边及对角线BD 是小路，BC 长40米，CD 长30米．妈妈站在A 处，亮亮沿着小路B →C →D →B 跑步．在跑步过程中，亮亮与妈妈之间的最短距离为米．14．如图，平行于y 轴的直线l 被抛物线y ＝2112x +、y ＝2112x - 所截．当直线l 向右平移3个单位时，直线l 被两条抛物线所截得的线段扫过的图形面积为平方单位．三、解答题（每小题5分，共20分）15．在数轴上画出表示下列各数的点：0π，22-，4．16．如图，以正六边形ABCDEF 的边AB 为边，在形内作正方形ABMN ，连结MC ．求∠BCM 的大小．17．某班从甲、乙、丙三名候选人中选举一名学生代表，只选其中一人的票为有效票，其他为无效票，得票超过半数者当选．全班同学参加了投票，得票情况统计如下：得票数量统计表得票数量扇形统计图（1）求该班的总人数．（2分）（2）通过计算判断谁能当选．（3分） 18．孙明与李丽共同帮助校图书馆清点图书，李丽平均每分钟比孙明多清点10本．已知孙明清点完200本图书所用的时间与李丽清点完300本所用的时间相同，求孙明平均每分钟清点图书多少本．四、解答题（每小题6分，共12分）19．如图，转盘被分成三等份，每份上标有不同的数字．明明和亮亮用这个转盘做游戏，游戏规定：每人转动转盘两次，将两次指针所指的数字相加，和较大者获胜．已知明明两次转出的数字之和为60．（1）列表（或画树状图）表示亮亮转出的所有可能结果．（3分）（2）求亮亮获胜的概率．（3分）20．如图，在4×3的正方形网格中，△ABC 的顶点都在小正方形顶点上．请你在图①和图②中分别画出一个三角形，同时满足以下两个条件：项目甲乙丙其他票数（票） 203 1（1）以点B 为一个顶点，另外两个顶点也在小正方形顶点上；（2）与△ABC 全等，且不与△ABC 重合．图① 图②五、解答题（每小题6分，共12分）21．如图，在直角坐标系中，点M 在第一象限内，MN ⊥x 轴于点N ，MN ＝1，⊙M 与x 轴交于A （2，0）、B （6，0）两点．（1）求⊙M 的半径．（3分）（2）请判断⊙M 与直线x=7的位置关系，并说明理由．（3分）22．如图，在直角坐标系中，△OBA ∽△DOC ，边OA 、OC 都在x 轴的正半轴上，点B 的坐标为（6，8），∠BAO =∠OCD =90°，OD =5．反比例函数(0)k y x x=>的图象经过点D ，交AB 边于点E ．（1）求k 的值．（4分）（2）求BE 的长．（2分）六、解答题（每小题7分，共14分） 23．如图，半圆O 的直径AB=20．将半圆O 绕着点B 顺时针旋转54°得到半圆O '，弧A B '交AB 于点P ．（1）求AP 的长．（3分）（2）求图中阴影部分的面积（结果精确到0.1）．（4分）【参考数据：sin54°=0.81，cos54°=0.59，tan54°=1.38，14.3=π．】24．如图①，将一个内角为120︒的菱形纸片沿较长对角线剪开，得到图②的两张全等的三角形纸片．将这两张三角形纸片摆放成图③的形式．点B 、F 、C 、D 在同一条直线上，AB 分别交DE 、EF 于点P 、M ，AC 交DE 于点N ．（1）找出图③中的一对全等三角形（△ABC 与△DEF 全等除外），并加以证明．（3分）（2）当P 为AB 的中点时，求△APN 与△DCN 的面积比．（4分）图① 图② 图③七、解答题（每小题10分，共20分）25．如图，在直角坐标系中，矩形ABCD 的边AD 在y 轴正半轴上，点A 、C 的坐标分别为（0，1）、（2，4）．点P 从点A 出发，沿A →B →C 以每秒1个单位的速度运动，到点C 停止；点Q 在x 轴上，横坐标为点P 的横、纵坐标之和．抛物线c bx x y ++-=241经过A 、C 两点．过点P 作x 轴的垂线，垂足为M ，交抛物线于点R ．设点P 的运动时间为t （秒），△PQR 的面积为S （平方单位）．（1）求抛物线对应的函数关系式．（2分）（2）分别求t=1和t=4时，点Q 的坐标．（3分）（3）当0＜t ≤5时，求S 与t 之间的函数关系式，并直接写出S 的最大值．（5分）【参考公式：抛物线2y ax bx c =++的顶点坐标为2ba⎛- ⎝，244ac b a ⎫-⎪⎭．】 26．甲船从A 港出发顺流匀速驶向B 港，行至某处，发现船上一救生圈不知何时落入水中，立刻原路返回，找到救生圈后，继续顺流驶向B 港．乙船从B 港出发逆流匀速驶向A 港．已知救生圈漂流的速度和水流速度相同；甲、乙两船在静水中的速度相同．甲、乙两船到A 港的距离y 1、y 2（km ）与行驶时间x （h ）之间的函数图象如图所示．（1）写出乙船在逆流中行驶的速度．（2分）（2）求甲船在逆流中行驶的路程．（2分）（3）求甲船到A 港的距离y 1与行驶时间x 之间的函数关系式．（4分）（4）求救生圈落入水中时，甲船到A 港的距离．（2分）【参考公式：船顺流航行的速度=船在静水中航行的速度＋水流速度，船逆流航行的速度=船在静水中航行的速度-水流速度．】2009年长春市初中毕业生学业考试网上阅卷模拟训练数学参考答案及评分标准一、选择题（每小题3分，共24分）1．B 2．C 3．D 4．D 5．A 6．C 7．B 8．A 二、填空题（每小题3分，共18分） 9．(3)(3)a a +- 10．72≤5x < 11．50 12．25 13．24 14．6 三、解答题（每小题5分，共20分） 15．如图所示：画对三个点得3分，标对各数得2分．16．∵六边形ABCDEF 为正六边形，∴∠ABC =120︒，AB =BC ．∵四边形ABMN 为正方形，∴∠ABM =90︒，AB =BM ． ······ （2分） ∴∠MBC =1209030︒-︒=︒，BM =BC ．∴∠BCM =∠BMC ．∴∠BCM =1(18030)2⨯︒-︒=75︒． ······ （5分）17．（1）该班的总人数：36%50÷=（人）． ··········· （2分）（2）50－20－3－1=26（票）．因为26＞25，所以甲当选． ·············· （5分）18．设孙明平均每分钟清点图书x 本．根据题意，得20030010x x =+． ················ （3分）解这个方程，得20x =．经检验，20x =是原方程的解．答：孙明平均每分钟清点图书20本． ············ （5分）四、解答题（每小题6，共12分）19．（1）列表： ········ （3分）（2）62()93P ==亮亮获胜． ················ （6分） 20．以下答案供参考：画对一个得3分，画对两个得6分．五、解答题（每小题6分，共12分） 21．（1）连结MA ．· · · 第二次第一次和 20 40 60 20 40 60 40 60 60 80 80 80 100100 120∵MN ⊥AB 于点N ，∴AN =BN ．∵A (2，0)，B (6，0)，∴AB =4．∴AN =2．在Rt △AMN 中，MN =1，AN =2，∴AM=即⊙M················· （3分）（2）直线7x =与⊙M 相离．理由：圆心M 到直线7x =的距离为743-=．∵37x =与⊙M 相离． ·········· （6分）22．（1）∵△OBA ∽△DOC ，∴OC BADCOA=．∵B (6，8)，∠BAO =90︒，∴8463OC DC ==．在Rt △COD 中，OD =5，∴OC =4，DC =3．∴D (4，3)． ∵点D 在函数k y x=的图象上，∴34k =．∴12k =． ····················· （4分）（2）∵E 是12(0)y x x =>图象与AB 的交点，∴AE =126=2． ∴BE =8－2=6． ··················· （6分）六、解答题（每小题7分，共14分） 23．（1）连结A P '．∵A B '为直径，∴∠A PB '=90︒．在Rt △A PB '中，20A B AB '==，54A BP '∠=︒， ∴cos BP A B A BP ''=∠20cos5411.8=︒=． ∴AP =8.2AB BP -=． ················ （3分）（2）作O E '⊥PB 于点E ，连结O P '．在Rt △O EB '中，20102O B '==，54O BE '∠=︒， ∴sin O E O B O BE '''=∠10sin548.1=︒=．∵54O BP O PB ''∠=∠=︒，∴72BO P '∠=︒． ········ （5分）∴221201721011.88.1222360S ππ⨯⎛⎫=+⨯⨯- ⎪⎝⎭阴影142.0≈． ····· （7分） 24．（1）答案不唯一，如：△APN ≌△EPM ．证明：由菱形性质得A B D E ∠=∠=∠=∠，∴PB PD =．∵AB DE =，∴PA PE =．∵EPM APN ∠=∠，∴△APN ≌△EPM ． ········· （3分）（2）连结CP ．∵CA CB =，P 为AB 中点，∴CP ⊥AB ．∵120ACB DFE ∠=∠=︒，AC BC DF FE ===， ∴30D A B ∠=∠=∠=︒． ∴60APN ∠=︒．∴90CNP ∠=︒，30CPN ∠=︒．∴:PN CN =．∵D A ∠=∠，ANP DNC ∠=∠， ∴△ANP ∽△DNC ．∴22::3:1ANP DNC S S PN CN ∆∆==．即△APN 与△DCN 的面积比为3:1． ············ （7分）七、解答题（每小题10分，共20分） 25．（1）由抛物线经过点A (0，1)，C (2，4)，得21,122 4.4c b c =⎧⎪⎨-⨯++=⎪⎩解得2,1.b c =⎧⎨=⎩∴抛物线对应的函数关系式为：21214y x x =-++． ···· （2分）（2）当1t =时，P 点坐标为(1，1)，∴Q 点坐标为(2，0)．当4t =时，P 点坐标为(2，3)，∴Q 点坐标为(5，0)． ··· （5分）（3）当0t <≤2时，211(211)124S t t =-++-⨯．S 218t t =-+．当2t <≤5时，1(5)(2212)2S t t =-+-+-．S 215322t t =-+-． ············ （8分）当3t =时，S 的最大值为2． ············· （10分）26．（1）乙船在逆流中行驶的速度为6km/h ． ·········· （2分）（2）甲船在逆流中行驶的路程为6(2.52)3⨯-=(km)． ····· （4分）（3）方法一：设甲船顺流的速度为a km/h ，由图象得23(3.5 2.5)24a a -+-=．解得a =9． ····················· （5分）当0≤x ≤2时，19y x =．当2≤x ≤2.5时，设116y x b =-+．把2x =，118y =代入，得130b =． ∴1630y x =-+．当2.5≤x ≤3.5时，设129y x b =+．把 3.5x =，124y =代入，得27.5b =-．∴197.5y x =-． ··················· （8分）方法二：设甲船顺流的速度为a km/h ，由图象得23(3.5 2.5)24a a-+-=．解得a=9．·····················（5分）当0≤x≤2时，19y x =．令2x=，则118y=．当2≤x≤2.5时，1186(2)y x=--．即1630y x=-+．令 2.5x=，则115y=．当2.5≤x≤3.5时，1159( 2.5)y x=+-．197.5y x=-．····················（8分）（4）水流速度为(96)2 1.5-÷=(km/h)．设甲船从A港航行x小时救生圈掉落水中．根据题意，得9 1.5(2.5)9 2.57.5x x+-=⨯-．解得 1.5x=．1.5913.5⨯=．即救生圈落水时甲船到A港的距离为13.5 km．····（10分）。

2015届吉林省东北师大附中高三第四次模拟(理数)解析版汇编

2015届吉林省东北师大附中高三第四次模拟理科数学试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息一、选择题1．设集合21{|},{|1}A x x x B x x=≤=≥，则A B = （）（A ）(,1]-∞ （B ）[0,1] （C ）(0,1] （D ）(,0)(0,1]-∞【答案】C 【解析】试题分析：因为21{|}[0,1],{|1}(0,1]A x x x B x x=≤==≥=，所以A B =(0,1]，选C. 考点：集合运算，解分式不等式2．设复数z 满足(12)34i z i -=+，则z =（）（A ）12i - （B ）12i -+ （C ）2i + （D ）2i -+ 【答案】B 【解析】试题分析：34510(12)3412125i ii z i z i i +-+-=+⇒===-+-，选B.考点：复数运算3．已知命题:p “,10xx e x ∃∈--≤R ”，则命题:p ⌝（）（A ）,10xx e x ∀∈-->R （B ）,10x x e x ∀∉-->R （C ）,10x x e x ∀∈--≥R （D ）,10x x e x ∃∈-->R 【答案】A【解析】试题分析：因为命题“,p q ∃”的否定为：,p q ∀⌝，因此命题:p “,10xx e x ∃∈--≤R ”的否定为：,10xx e x ∀∈-->R ，选A.考点：命题的否定4．各项均为正数的等差数列}{n a 中，4936a a =，则前12项和12S 的最小值为（）（A ）78 （B ）48 （C ）60 （D ）72 【答案】D 【解析】试题分析：因为112124912()6()722a a S a a +==+≥=，当且仅当496a a ==时取等号，所以12S 的最小值为72，选D.考点：等差数列性质5．已知1cos()3θπ+=-，则sin(2)2πθ+=（）（A ）79 （B ）79- （C（D）【答案】B 【解析】试题分析：因为111cos()cos cos 333θπθθ+=-⇒-=-⇒=，所以217sin(2)cos 22cos 121299πθθθ+==-=⨯-=-，选B.考点：二倍角公式，诱导公式6．高考将至，凭借在五大学科竞赛的卓越表现，我校共有25人获得北大、清华保送及降分录取优惠政策，具体人数如下表．若随机从这25人中任选2人做经验交流，在已知恰有1人获得北大优惠政策而另1人获得清华优惠政策的条件下，至少有1人是参加数学竞赛的概率为（）（A ）512 （B ）15 （C ）1225 （D ）43100【答案】A 【解析】试题分析：2人恰有1人获得北大优惠政策而另1人获得清华优惠政策，一共有916⨯种选法；而2人恰有1人获得北大优惠政策而另1人获得清华优惠政策且都不参加数学竞赛，一共有712⨯种选法；因此所求概率为7125191612⨯-=⨯，选A.考点：古典概型概率7．已知实数,x y 满足平面区域10:220220x y D x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，则22x y +的最大值为（）（A ）12（B ）1 （C）（D ）8 【答案】D 【解析】试题分析：平面区域为一个三角形ABC 及其内部，其中(1,0),(0,1),(2,2)A B C ，22x y +表示可行域内一点P 到原点距离的平方，所以最大值为28.OC =选D. 考点：线性规划8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）（A）（B ）43 （C ）83（D ）4 【答案】C 【解析】，底面为矩形，长为，宽为2，所以体积为182)33=，选C. 考点：三视图9．执行如图所示的程序框图，则输出的S =（）侧视图正视图俯视图（A ）32 （B ）53 （C ）85 （D ）127【答案】B 【解析】试题分析：第一次循环：1,1,2A S i ===；第二次循环：13,1,33A S i ==+=；第三次循环：116,1,436A S i ==++=；第四次循环：11110,1+,53610A S i ==++=；第五次循环：111115,1++,6361015A S i ==++=；结束循环，输出11112222211111151++++2(1)2(1)36101512233445562235663S =++=++=-+-++-=-=⨯⨯⨯⨯⨯，选B.考点：循环结构流程图10．我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”．已知12,F F 是一对相关曲线的焦点，P 是椭圆和双曲线在第一象限的交点，当1260F PF ∠=︒时，这一对相关曲线中椭圆的离心率为（）（A （B （C （D ）12【答案】A【解析】试题分析：设12121122111212,2,||2,,,c c F F c PF PF a PF PF a e a e a =+=-===由余弦定理得：2220221212121212142c o s 60()3()c P F P FP F P F P F P F P FP FP =+-=+-=-+ 所以2222212121216()3()412c PF PF PF PF a a =++-=+，即222111121114313e e e e e =+⇒==⇒=或（舍），选A.考点：椭圆和双曲线定义及离心率 11．函数1ln ||x x y e e -=-的部分图象大致为（）【答案】D 【解析】试题分析：令1()ln ||x x f x e e -=-，则1()()ln ||x xf x f x e e --==-，所以图像关于y 轴对称，不选B,C ；又当1x >时，11()ln ||ln()x x x x f x e e e e --==--为单调递减函数，所以选D.考点：函数图像与性质12．已知函数()xf x e ax =-有两个零点12x x <，则下列说法错误．．的是（）（A ）a e > （B ）122x x +> （C ）121x x >（D ）有极小值点0x ，且1202x x x +< 【答案】C 【解析】试题分析：由题意得：方程()0xf x e ax =-=有两个不等的根，即y a =与x e y x =有两个不同的交点，因为2(1)x e x y x -'=，所以xe y x =在(,0)-∞上单调递减且0y <，在(0,1)上单调递减且y e >，在(1,)+∞上单调递增且y e >，因此a e >且1201x x <<<， A 正确；因为1212,x x e ax e ax ==，所以2121x x x e x -=，设21x t x =，则1(1)1ln 1,1t x t t e t x t ->=⇒=-，因此12111142(1)2(ln 2)(ln 2)1111t t t x x t x t t t t t t +-++-=+-=-⨯=-+-+-+令4()ln 21g t t t =-++，则22214(1)()0(1)(1)t g t t t t t -'=-=>++，所以()(1)0g t g >=，因此121220, 2.x x x x +->+> B正确；2121111)1)x x tx t -=-=-=-令()ln h t t =-，则1()0h t t '==<，所以()(1)0h t h <=，因此121210,1x x x x -<<，C 错；由()0x f x e a '=-=得ln 1x a =>，当ln x a >时，()0f x '>，当ln x a <时，()0f x '<，所以()xf x e ax =-有极小值点0ln x a =，由1212,x x e ax e ax ==得1122ln ln ,ln ln x a x x a x =+=+，因此12121212120+2ln ln ln +2ln ln 0+2ln 2.x x a x x x x a x x x x a x =++⇒-=<⇒<=D 正确考点：利用导数研究函数零点二、填空题（题型注释）13．已知向量,a b 满足||3b =，a 在b 方向上的投影是32，则a b ⋅= ；【答案】92【解析】试题分析：由题意得：3393.222||a b a b b ⋅=⇒⋅=⨯=考点：向量投影14．直线2y x =+被圆22:4410M x y x y +---=所截得的弦长为；【答案】【解析】试题分析：2222:4410(2)(2)9M x y x y x y +---=⇒-+-=，圆心到直线2y x =+距离为=，所以弦长为=考点：直线与圆位置关系15．如下图数阵中的前n 行的数字和为；【答案】2224n n +--【解析】试题分析：本题为将杨辉三角两边的1去掉后的数阵，所以前n 行的数字和为杨辉三角前n+2行的数字和减去23n +个1，即02312222+2++223224n n n n ++++--=--考点：等比数列求和16．如图，在正四棱柱（底面是正方形的直棱柱）1111ABCD A B C D -中，E 是BC 的中点，F 是1C D 的中点，P 是棱1CC 所在直线上的动点．则下列四个命题：①CD PE ⊥②EF //平面1ABC ③111P A DD D ADE V V --=④过P 可做直线与正四棱柱的各个面都成等角．其中正确命题的序号是（写出所有正确命题的序号）．【答案】①②③④【解析】试题分析：由1111CD PE ⊥⊂面BCC B ，面BCC B 得CD PE ⊥;由EF //1BD ,1BD ⊂平面1ABC 得EF//平面1ABC ;因为1CC //1DD ,所以111111==P A DD C A DD D ADC D ADEV V V V ----=；因为过A 作与正四棱柱的各个面都成等角的直线必在对角面11ACC A 上，因此在面11ACC A 上过P 作此直线平行线即可，所以①②③④皆对.考点：空间线面关系三、解答题（题型注释）17．（本小题满分12分）已知函数()(sin cos cos sin )(0,0)222x x f x M M πϕϕϕ=+><<的最大值是2，且(0)1f =．（Ⅰ）求ϕ的值；（Ⅱ）已知锐角△ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2a =，(2)2f A =，2sin b C =．求△ABC 的面积．【答案】（Ⅰ）6π（Ⅱ）1+【解析】试题分析：（Ⅰ）求三角函数解析式，关键是化为基本三角函数形式：()sin()2xf x M ϕ=+，再根据基本三角函数性质求对应参数，（Ⅱ）先确定角3A π=,再根据正弦定理将边化为角2sin sin B C C =，确定角4B π=，已知两角一对边，再利用正弦定理得另一边b =1sin 2ABC S ab C∆=试题解析：（Ⅰ）()(sin cos cos sin )sin()222x x xf x M M ϕϕϕ=+=+max ()2,(0)2sin 1,0,26f x M f ππϕϕϕ====<<∴=（Ⅱ）由（Ⅰ）可得()2sin()26x f x π=+，(2)2sin()26f A A π=+=，又因为锐角ABC ∆中02A π<<，3A π∴=．22sin 22sin sin 2sin ,0,sin ,24b C c B C C B C B B ππ=∴=<<∴==．2,sin sin sin sin sin 34a b c b b A B C ππ==∴==．sin sin()C A B =+=1212ABC S ∆∴=⨯=+考点：正弦定理18．（本小题满分12分）砷是广泛分布于自然界中的非金属元素，长期饮用高砷水会直接危害群众的身心健康和生命安全，而近水农村地区，水质情况更需要关注．为了解甲、乙两地区农村居民饮用水中砷含量的基本情况，分别在两地随机选取10个村子，其砷含量的调查数据如下（单位:/1000mg L ）:甲地区的10个村子饮用水中砷的含量:52 32 41 72 43 35 45 61 53 44 乙地区的10个村子饮用水中砷的含量:44 56 38 61 72 57 64 71 58 62（Ⅰ）根据两组数据完成下面茎叶图，试比较两个地区中哪个地区的饮用水中砷含量更高，并说明理由；（Ⅱ）国家规定居民饮用水中砷的含量不得超过50/1000mg L ，现医疗卫生组织决定向两个地区中每个砷超标的村子派驻一个医疗救助小组．用样本估计总体，把频率作为概率，若从乙地区随机抽取3个村子，用X 表示派驻的医疗小组数，试写出X 的分布列并求X 的期望．【答案】（Ⅰ）乙地区的饮用水中砷含量更高（Ⅱ）12()5E X =【解析】试题分析：（Ⅰ）茎叶图中间为十位数字，个位数字列两边，利用平均数确定砷含量高低，也可由茎叶图分布确定其含量高低，（Ⅱ）因为乙地区的10个村子超过50/1000mg L 有8个，所以从乙地区随即抽取一个村子，需要派驻医疗小组的概率45P =．随机变量0,1,2,3X =，且4(3,)5XB ，因此12()5E X =.试题解析：（Ⅰ）甲乙 5 25 4 3 1 3 2 1 2 3 4 56 78 4 6 7 8 1 2 4 1 2法1：设甲地区调查数据的平均数为,x1(52324172433545615344)47.810x =+++++++++=；设乙地区调查数据的平均数为,y1(44563861725764715862)58.310y =+++++++++=．由以上计算结果可得x y <，因此可以看出乙地区的饮用水中砷含量更高．法2：从茎叶图可以看出，甲地区的调查结果中有80%的叶集中在茎“3”“4”“5”，而乙地区有80%的叶集中在茎“5”“6”“7”，因此乙地区的引用水中砷含量更高．（Ⅱ）由题可知若从乙地区随即抽取一个村子，需要派驻医疗小组的概率45P =0,1,2,3X =00311233221330334114112(0)()(),(1)()()551255512541484164(2)()(),(3)()()5512555125P X C P X C P X C P X C ==⋅⋅===⋅⋅===⋅⋅===⋅⋅=X 的分布列为412(3,)()55X B E X ∴=考点：茎叶图,数学期望 19．（本小题满分12分）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，112AC BC AA ==，D 是棱1AA 的中点，BD DC ⊥1．（Ⅰ）证明：BC DC ⊥1；（Ⅱ）求二面角11C BD A --的大小．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）30︒【解析】试题分析：（Ⅰ）证明线线垂直，通常利用线线垂直与线面垂直多次转化得到.一般从两方面研究，一是平几中的垂直关系：如本题可根据三角形计算得1,DC DC ⊥二是立体几何中线面垂直判定与性质定理.（Ⅱ）求二面角，通常是利用空间向量数量积进行求解.先根据题意建立恰当的空间直角坐标系，原则为易表示各点坐标，二是求出平面的法向量，这要利用方程组，最后根据两法向量夹角与二面角的关系求.试题解析：解法一：（Ⅰ）在Rt DAC ∆中，AD AC =，DA 1C 1B 1A B C得：45ADC ︒∠=．同理：1114590A DC CDC ︒︒∠=⇒∠=．得：111,DC DC DC BD DC BD D DC ⊥⊥=⇒⊥，面1BCD DC BC ⇒⊥ （Ⅱ）11,DC BC CC BC BC ⊥⊥⇒⊥面11ACC A BC AC ⇒⊥．取11A B 的中点O ，过点O 作OH BD ⊥于点H ，连接11,C O C H ．1111111AC B C C O A B =⇒⊥，面111A B C ⊥面1A BD 1C O ⇒⊥面1A BD ，1OH BD C H BD ⊥⇒⊥ 得：点H 与点D 重合，且1C DO ∠是二面角11C BD A --的平面角．设AC a =，则1C O =111230C D C O C DO ︒==⇒∠= 即二面角11C BD A --的大小为30︒．解法二：（向量法）由11,DC BC CC BC BC ⊥⊥⇒⊥面11ACC ABC AC ⇒⊥．又1C C ⊥平面ABC ，所以1C C AC ⊥，1C C BC ⊥，以C 点为原点，CA 、CB 、CC 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系C xyz -．不妨设AA 1=2，则AC=BC=21AA 1=1，从而A 1（1，0，2），D （1，0，1），B （0，1，0），C 1（0，0，2），所以1(0,0,1)DA =，(1,1,1)DB =--，1(1,0,1)DC =-．设平面1A BD 的法向量为1111(,,)n x y z =，则11n DA ⊥，1n DB ⊥，所以111100z x y z =⎧⎨-+-=⎩，即1110z x y =⎧⎨=⎩，令11y =，则1(1,1,0)n =．设平面1C BD 的法向量为2222(,,)n x y z =≤，则21n DC ⊥，2n DB ⊥，所以2222200x z x y z -+=⎧⎨-+-=⎩，即22222x z y z =⎧⎨=⎩，令21z =，则2(1,2,1)n =．所以121212cos ,||||2n n n n n n ⋅<>===⋅12,30n n <>=︒ 因为二面角11C BD A --为锐角，因此二面角11C BD A --的大小为30︒．考点：线面垂直判定与性质定理, 利用空间向量求二面角 20．（本小题满分12分）已知抛物线C ：22(0)x py p =>的焦点为F ，直线4x =与x 轴的交点为P ，与C 的交点为Q ，且5||||4QF PQ =．（Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）点(,)(0)A a a a ->在抛物线C 上，是否存在直线:4l y kx =+与C 交于点,M N ，使得△MAN 是以MN 为斜边的直角三角形？若存在，求出直线l 的方程；若不存在说明理由．【答案】（Ⅰ）24x y =（Ⅱ）4y x =+ 【解析】试题分析：（Ⅰ）根据抛物线定义得85824p p p +=?，解得2p =，所以C 的方程为24x y =，（Ⅱ）先利用坐标转化条件以MN 为斜边的直角三角形：1122(4,4)(4,4)AM AN x y x y ⋅=+-+-，再根据直线与抛物线联立的方程组，利用韦达定理得2121216(4)0,4,16k x x k x x ∆=+>+==-，代入上式即可证得0AM AN ⋅=，本题实质以算代证.试题解析：（Ⅰ）设()04,Q y ，代入22x py =，得00888,,22p p y PQ QF y p p p =\==+=+．由题设得85824p p p +=?，解得2p =-（舍去）或2p =，∴C 的方程为24x y =．（Ⅱ）由24x y =知，点(4,4)A -，假设存在满足条件的直线l ，设1122(,),(,)M x y N x y ，联立方程组244x y y kx ⎧=⎨=+⎩得24160x kx --=， 2121216(4)0,4,16k x x k x x ∆=+>+==-由题意得211221212(4,4)(4,4)(4)(4)AM AN x y x y x x k x x ⋅=+-+-=+++ 21212(1)4()160k x x x x =++++=，代入得2(1)10k k -+++=，解得0k =（舍）或1k =，4y x =+．考点：抛物线定义，直线与抛物线位置关系21．（本小题满分12分）已知函数()ln()(0)f x x x a a =-+>．（Ⅰ）若函数()f x 在(0,)+∞单调递增，求a 取值范围；（Ⅱ）若函数()f x 的最小值为0，且当0x ≥时，2()f x kx ≤，求k 的最小值．【答案】（Ⅰ）1a ≥（Ⅱ）12【解析】试题分析：（Ⅰ）研究函数单调性，通常利用导数进行研究，先求导函数，再讨论导函数在定义区间恒非负，再转化为函数最值求范围，也可求出单调区间，研究已知区间与单调区间之间包含关系得参数范围（Ⅱ）本题两个条件，一是最小值，二是不等式恒成立.解决问题的出发点都是利用导数研究函数单调性：由min ()(1)10f x f a a =-=-=得1a =；对不等式恒成立，利用分类讨论，确定12k ≥试题解析：（Ⅰ）函数的定义域为(,)a -+∞．1()()x a f x x a x a +-'=>-+，由()01f x x a '=⇒=-，因为函数()f x 在(0,)+∞为增函数．所以10a -≤，从而1a ≥．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，函数()f x 在(,1)a a --为减函数，在(1,)a -+∞为增函数．所以min ()(1)10f x f a a =-=-=得1a =．所以当0x ≥时2()f x kx ≤即是当0x ≥时，2ln(1)x x kx -+≤成立当0k ≤时，因为(1)1ln 20f =->所以0k ≤不合题意．当0k >时，令22()()ln(1)g x f x kx x x kx =-=-+-(0)x ≥ [2(12)]()1x kx k g x x ---'=+令()0g x '=得1210,112x x k ==->-．当12k ≥时， ()g x 在(0,)+∞单调递减，于是()(0)0g x g ≤=成立．所以12k ≥适合题意．当102k <<时， ()g x 在1(0,1)2k -单调递增，所以当1(0,1)2x k ∈-时，()(0)0g x g >=，故102k <<不合题意．综上:12k ≥，k 的最小值为12．考点：利用导数研究函数单调性、最值22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图所示，已知圆O 外有一点P ，作圆O 的切线PM ，M 为切点，过PM 的中点N ，作割线NAB ，交圆于A 、B 两点，连接PA 并延长，交圆O 于点C ，连接PB 交圆O 于点D ，若BC MC =．（Ⅰ）求证:△APM ∽△ABP ;（Ⅱ）求证:四边形PMCD 是平行四边形．【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）详见解析【解析】试题分析：（Ⅰ）从而得两三角形相似（Ⅱ）利用两三角形相似得角相等：BPA PMA ∠=∠，再根据弦切角定理得：MCP DPC ∠=∠，从而可证四边形PMCD 是平行四边形试题解析：（1）∵PM 是圆O 的切线，NAB 是圆O 的割线， N 是PM 的中点，∴NB NA PNMN ⋅==22，又∵BNP PNA ∠=∠， ∴△PNA ∽△BNP ， ∴PBN APN ∠=∠，即PBA APM ∠=∠．∵BC MC =， ∴BAC MAC ∠=∠， ∴PAB MAP ∠=∠，∴△APM ∽△ABP ．（2）∵PBN ACD ∠=∠，∴APN PBN ACD ∠=∠=∠，即CPM PCD ∠=∠， ∴CD PM //， ∵△APM ∽△ABP ，∴BPA PMA ∠=∠，∵PM 是圆O 的切线，∴MCP PMA ∠=∠，∴BPA PMA ∠=∠MCP ∠=，即MCP DPC ∠=∠，∴PD MC //， ∴四边形PMCD 是平行四边形．考点：三角形相似，切割线定理，弦切角定理23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程C在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程1cos (sin x y ϕϕϕ=+⎧⎨=⎩为参数）.以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（Ⅰ）求曲线C 的极坐标方程；（Ⅱ）设直线l极坐标方程是2sin()3πρθ+=射线:3OM πθ=与圆C 的交点为O 、P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长.【答案】（Ⅰ）=2cos ρθ（Ⅱ）2【解析】试题分析：（Ⅰ）先根据同角三角函数关系消参数得22(1)1x y -+=，再根据222cos ,sin x y x y ρθρθρ===+，得圆C 的极坐标方程为=2cos ρθ（Ⅱ）线段PQ 的长为极径之差，因此只需求P 、Q 两点极径，直接代入3πθ=得1=1ρ，2=3ρ，因此PQ 为2.试题解析：（Ⅰ）圆C 的普通方程为22(1)1x y -+= 又cos ,sin x y ρθρθ==所以圆C 的极坐标方程为=2cos ρθ（Ⅱ）设11(,)P ρθ，则由=2cos 3ρθπθ⎧⎪⎨=⎪⎩，解得11=1=3πρθ，设22(,)Q ρθ，则由(sin )3ρθθπθ⎧=⎪⎨=⎪⎩，解得22=3=3πρθ，所以||2PQ =考点：参数方程化直角坐标方程，直角坐标方程化极坐标24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数f （x ）=｜3x+2｜（Ⅱ）已知m+n=1（m ，n>0）a 的取值范围．【答案】【解析】试题分析：（Ⅰ）解含绝对值的不等式，关键在于根据绝对值的定义去绝对值，分类讨论（Ⅱ）不等式恒成立问题，先化为函数最值，即先求11m n +最小值，由得||()4x a f x --≤，再根据绝对值的定义去绝对值，分类讨论.试题解析：时，即,4123<+---x x时，即,4123<+-+x x当1>x 时，即,4123<-++x x 无解，令222,,32()()3242,,322,x a x g x x a f x x a x x a x a x a x a ⎧++<-⎪⎪⎪=--=--+=-++-≤≤⎨⎪--->⎪⎪⎩考点：解含绝对值的不等式，不等式恒成立。