构造一元二次方程解题的常用方法
选择合适的方法解一元二次方程
如何选择合适的方法解一元二次方程一元二次方程主要解题思路是：降次。具体方法有直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法，其中配方法与公式法适用于所有一元二次方程，而因式分解法只适用于某些一元二次方程。
在解一元二次方程时，我们应当仔细观察方程的形式和系数特点，选取合适的方法解一元二次方程，有利于减少计算量，从而提高计算的正确性。
一、没有一次项的，形如（x+m）2=n（n≥0）,可以使用直接开平方法。例：（x+2）2=25
解： x+2=±5
x1=3,x2=-7
二、方程中没有常数项的，形如20
ax bx
+=，可以利用因式分解法，提取公因式即可。
例：260
x x
-=
解：因式分解得：(6)0
x x-=
于是得：0
x=60
x-=
10
x=
26
x=
三、三项都有，且二次项系数为1，一次项系数为偶数时，我们一般考虑
配方法。
例1 x2-2x-3=0
解：移项，得x2-2x=3
配方得：x2-2x+1=3+1
即（x+1）2=4
开平方，得 x+1=±2
解得 x 1=1,x 2=-3
四、方程三项都有，且二次项系数不为1的，一般可以用公式法； 例
2230x -+=
解：
2,3a b c ==-=
224(42330b ac ∆=-=--⨯⨯=>
方程有两个不相等的实数根
x ==
即：
1x =2x =
公式法虽然是万能的，对于任何一个一元二次方程都适用，但不一定是最简单的，因此在解方程时，我们首先考虑能否应用“直接开平方法”“因式分解法”“配方法”等简单的方法，若不行，再考虑公式法。
方程中有括号时，应先用整体思想考虑有没有简单方法，若看不出合适的方法时，则把它去括号并整理成一般形式再选取合理的方法。 例1 2(21)9x -=
一元二次方程解题步骤及解法
一元二次方程解题步骤及解法只含有一个未知数〔一元〕，并且未知数项的最高次数是2〔二次〕的整式方程叫做一元二次方程。一元二次方程经过整理都可化成一般形式ax2+bx+c=0〔a≠0〕。只含有一个未知数〔一元〕，并且未知数项的最高次数是2〔二次〕的整式方程叫做一元二次方程。一元二次方程经过整理都可化成一般形式ax2+bx+c=0〔a≠0〕。
一元二次方程1.将二次项系数化为1，即化为X2+bX+c=0的形式
2.将常数项移到方程右边
3.方程两边都加上一次项系数一半的平方
4.等式左边写成完全平方形式，右边合并同类项
5.等式两边同时开方
解一元二次方程的根本思想方法是通过“降次〞将它化为两个一元一次方程。
一元二次方程有四种解法1、直接开平方法；
2、配方法；
3、公式法；
4、因式分解法。
一元二次方程解题方法和技巧
一元二次方程解题方法和技巧
一元二次方程解题方法和技巧
一元二次方程是指有以下形式：ax^2 + bx + c = 0 (a≠0)，其中a、b、c为常数。一元二次方程的解可以利用四则运算、平方根等解决，但也可以使用一些相关的方法和技巧，从而更容易地找到解。
首先，要正确理解一元二次方程的求解思想，即“将一元二次方程化为两个一元一次方程，再求解”。然后，按照一元二次方程的常用解法，可以将一元二次方程利用因式分解，求出两个一元一次方程，然后再求解。
此外，一元二次方程解题时，还可以使用公式法或者采用解析法。公式法是指利用一元二次方程的公式，将一元二次方程化为其特征根的格式，求解其特征根的值。解析法是指利用一元二次方程的解析解，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，求解这两个一元一次方程的值，从而求出一元二次方程的解。
此外，对于一元二次方程解题，还可以采用图解法，即将一元二次方程的解放到坐标系上，从而找出解。另外，还可以通过不等式的思想，将一元二次方程转化为不等式，从而求出方程的解。
最后，一元二次方程解题还可以采用代入法。即利用一元二次方程的解的性质，对方程的解进行多重替换，求出一元二次方程的解。
总之，要正确解决一元二次方程，除了要正确理解求解思想外，还要熟练掌握以上几种方法和技巧，从而更容易地求出一元二次方程的解。
一元二次方程的解法【十大题型】(解析版)--九年级数学
一元二次方程的解法【十大题型】
【题型1直接开平方法解一元二次方程】
【题型2配方法解一元二次方程】
【题型3公式法解一元二次方程】
【题型4因式分解法解一元二次方程】
【题型5十字相乘法解一元二次方程】
【题型6用适当方法解一元二次方程】
【题型7用指定方法解一元二次方程】
【题型8用换元法解一元二次方程】
【题型9解含绝对值的一元二次方程】
【题型10配方法的应用】
知识点1：直接开平方法解一元二次方程
根据平方根的意义直接开平方来解一元二次方程的方法，叫做直接开平方法.
直接降次解一元二次方程的步骤:①将方程化为x2=p(p≥0)或(mx+n)2=p(p≥0,m≠0)的形式；
②直接开平方化为两个一元一次方程；③解两个一元一次方程得到原方程的解.
【题型1直接开平方法解一元二次方程】
1(23-24九年级上·广东深圳·期中)将方程(2x-1)2=9的两边同时开平方，
得2x-1=，
即2x-1=或2x-1=，
所以x1=，x2=．
【答案】±33-32-1
【分析】依照直接开平方法解一元二次方程的方法及步骤,一步步解出方程即可
【详解】∵(2x-1)2=9
∴2x-1=±3
∴2x-1=3，2x-1=-3
∴x1=2，x2=-1
【点睛】此题考查解一元二次方程直接开平方法，掌握运算法则是解题关键
2(23-24九年级上·贵州遵义·阶段练习)用直接开平方解下列一元二次方程，其中无解的方程为()
A.x2+9=0
B.-2x2=0
C.x2-3=0
D.(x-2)2=0
【答案】A
【分析】根据负数没有平方根即可求出答案．【详解】解：(A )移项可得x 2=-9，故选项A 无解；(B )-2x 2=0，即x 2=0，故选项B 有解；(C )移项可得x 2=3，故选项C 有解；(D )x -2 2=0，故选项D 有解；故选A ．
解一元二次方程的几种方法
解一元二次方程的几种方法
一元二次方程是数学中常见的方程类型，解这类方程可以使用多种
方法，下面将介绍一些常用的方法来解一元二次方程。
1.公式法
一元二次方程的一般形式为ax² + bx + c = 0，其中a、b、c为已知
实数，且a≠0。使用公式法可以通过求解二次方程的根来得出方程的解。根据求根公式：
x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)
其中±表示两个解，分别为x1和x2。通过带入方程的系数a、b、c
即可得到方程的解。
2.配方法
配方法也称为配方或变量代换法。当一元二次方程不易使用公式法
解时，可以通过配方法将方程变形为一个完全平方的形式来求解。具
体步骤如下：
首先，将方程转化为完全平方的形式，即将方程化简为(x + p)² = q
的形式，其中p和q为待定数；
然后，展开得到方程的标准形式，计算出p和q的具体值；
最后，将求得的p和q代回原方程中，解出方程的根。
3.因式分解法
当一元二次方程的形式为(ax + b)(cx + d) = 0时，可以使用因式分解
法来求解。具体步骤如下：
将方程用因式分解的形式表示出来；
令每个因式为0，解出各个因式对应的x值；
得到方程的解。
4.图像法
图像法是通过绘制一元二次方程的图像来求解方程。一元二次方程
的图像为抛物线，可以通过观察抛物线与x轴的交点来得到方程的解。具体步骤如下：
根据方程的系数a、b、c绘制出抛物线的图像；
观察抛物线与x轴的交点，即可得到方程的解。
5.完全平方法
当一元二次方程的形式为x² + bx + c = 0时，可以使用完全平方法
一元二次方程的解题步骤
一元二次方程的解题步骤
引言
在数学中，一元二次方程是一种常见的二次多项式方程，其形式为
$a x^2+bx+c=0$，其中$a$、$b$、$c$为已知常数，$a$不等于0。解一
元二次方程可以帮助我们求得方程的根，从而解决与实际情况相关的问题。本文将介绍如何应用解题步骤来求解一元二次方程。
一元二次方程的解题步骤
步骤一：观察并化简方程
首先，观察方程的形式，并尝试将其化简为最简形式。具体而言，可
以通过以下步骤进行化简：
1.将一元二次方程按照一般形式$a x^2+b x+c=0$进行排列，确保方程
的次序和符号正确。
*注意：如果方程的$a$、$b$、$c$有分数形式，可以使用乘法原则，
将其转化为整数形式，方便计算。*
2.利用运算法则、整式的加减乘除性质，将方程中所有分数系数都化
简为整数。
*提示：如果方程中包含开方运算，可以通过平方等式把根式消去。*
步骤二：判断方程的根的个数
通过观察一元二次方程的系数，可以初步判断方程的根的个数。一元
二次方程的根可能有以下情况：
1.当$b^2-4a c>0$时，方程有两个不相等的实根。
2.当$b^2-4a c=0$时，方程有两个相等的实根。
3.当$b^2-4a c<0$时，方程没有实根，但可以有复数根。
步骤三：计算方程的根
根据步骤二确定方程根的个数后，可以通过以下方法计算方程的根：
1.当方程有两个不相等的实根时，可以使用求根公式：
$x_1=\fr ac{-b+\sq r t{b^2-4a c}}{2a}$
$x_2=\fr ac{-b-\sq r t{b^2-4a c}}{2a}$
构造一元二次方程解题的常用方法
构造一元二次方程解题的常用方法
某些非一元二次方程的问题,如果能抓住特征,那么可以通过构造一元二次方程来解决,例说如下．
一、利用已知等式构造一元二次方程
例1 若a,b,c 为实数,且a 2＋b 2＋c 2－ab －bc －ca ＝0,求证：a ＝b ＝c ．
证明 由已知等式,可构造关于c 的一元二次方程c 2－a ＋bc ＋a 2＋b 2－ab ＝0． ∵c 为实数,
∴△＝－a ＋b 2－4a 2＋b 2－ab
＝－a －b 2≥0．
∵a,b 为实数,
∴a －b 2≥0,－3a －b 2≤0,
∴－3a －b 2＝0,
∴a ＝b ．
同理可证b ＝c,
∴a ＝b ＝c ．
二、利用方程根的定义构造一元二次方程
例2 设a 2－2a －1＝0,b 4 －2b 2－1＝0,且1－ab ≠0,求2014221ab b a ⎛⎫++ ⎪⎝⎭
的值． 解 由a 2－2a －1＝0,知a ≠0,
2
1210a a ⎛⎫--= ⎪⎝⎭, 又 ∵b 4－2b 2－1＝0,
∴b 22－2b 2－1＝0,
由1－ab ≠0知
1a ≠b 2, 故1a
,b 2可视为方程x 1－2x －1＝0的两个不相等的实数根． 根据根与系数的关系,得
三、利用求根公式构造一元二次方程
例3 若x 则分式432326218237515
x x x x x x x --++-++的值是______．
解 ∵x
＝4
∴ x ＝428130x x -+=的一个根,
当28130x x -+=时,
原式()()()()2228132110
81312x x x x x x x -++++=-+++
一元二次方程的解法 有哪些简便解题步骤
一元二次方程怎么解呢，有哪些解题的步骤呢，下面小编为大家提供一元二次方程有
哪些解题方法，仅供大家参考。
一元二次方程的解题方法有哪些
1、直接开平方法：
直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。用直接开平方法解形如(x-m)2=n (n≥0)的方程，其解为x=±根号下n+m .
例1．解方程（1）(3x+1)2=7 （2）9x2-24x+16=11
分析：（1）此方程显然用直接开平方法好做，（2）方程左边是完全平方式(3x-4)2，右边=11>0，所以此方程也可用直接开平方法解。
（1）解：(3x+1)2=7×
∴(3x+1)2=5
∴3x+1=±(注意不要丢解)
∴x=
∴原方程的解为x1=,x2=
（2）解： 9x2-24x+16=11
∴(3x-4)2=11
∴3x-4=±
∴x=
∴原方程的解为x1=,x2=
2．配方法：
用配方法解方程ax2+bx+c=0 (a≠0)
先将常数c移到方程右边：ax2+bx=-c
将二次项系数化为1：x2+x=-
方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：x2+x+( )2=- +( )2
方程左边成为一个完全平方式：(x+ )2=
当b^2-4ac≥0时，x+ =±
∴x=(这就是求根公式)
例2．用配方法解方程 3x^2-4x-2=0 (注：X^2是X的平方）
解：将常数项移到方程右边 3x^2-4x=2
将二次项系数化为1：x2-x=
方程两边都加上一次项系数一半的平方：x2-x+( )2= +( )2
配方：(x-)2=
直接开平方得：x-=±
∴x=
∴原方程的解为x1=,x2= .
一元二次方程的解题步骤
一元二次方程的解题步骤
摘要：
一、一元二次方程的定义及解的意义
二、一元二次方程的一般形式
三、解一元二次方程的常用方法
1.因式分解法
2.完全平方公式法
3.韦达定理法
四、解题步骤及注意事项
五、实例演示
正文：
一、一元二次方程的定义及解的意义
在数学中，一元二次方程是指只含有一个未知数，且该未知数的最高次数为二次的方程。它的一般形式为：ax + bx + c = 0，其中a、b、c为已知常数，且a ≠ 0。解一元二次方程，就是求出使方程等式两边成立的数，这些数称为方程的根。
二、一元二次方程的一般形式
如前所述，一元二次方程的一般形式为：ax + bx + c = 0，其中a、b、c 为已知常数，且a ≠ 0。在此形式中，a、b、c分别称为方程的系数，x为未知数。
三、解一元二次方程的常用方法
1.因式分解法：将一元二次方程转化为两个一次方程相乘的形式，从而求得方程的解。
2.完全平方公式法：将一元二次方程转化为完全平方的形式，从而求得方程的解。
3.韦达定理法：利用一元二次方程的根与系数的关系，求得方程的解。
四、解题步骤及注意事项
1.确定方程的类型：判断方程是否为一元二次方程，确认方程的系数。
2.选取合适的方法：根据方程的特点，选择适当的解题方法。
3.执行解题步骤：按照所选方法，逐步求解方程。
4.验算：将求得的解代入原方程，验证是否符合题意。
注意事项：
- 确保方程的系数为实数，且a ≠ 0；
- 解题过程中，遵循数学运算的规则；
- 选取解题方法时，注意判断方程的特点，以提高解题效率。
五、实例演示
以下以一个具体的一元二次方程为例，演示解题过程：
一元二次方程的解法有哪些 具体解题技巧介绍
一元二次方程的解法有哪些具体解题技巧介绍
很多人对于一元二次方程的学习上上非常吃力，想知道一元二次方程有
哪些解法，有哪些详细的解题技巧呢？下面下面小编为大家介绍一下！
一元二次方程的详细解法解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将
它化为两个一元一次方程.一元二次方程有四种解法：
1、直接开平方法;2、配方法;3、公式法;4、因式分解法.
1、直接开平方法：
直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法.用直接开平方法
解形如(x-m)2=n (n≥0)的方程,其解为x=±根号下n+m .
例1.解方程(1)(3x+1)2=7 (2)9x2-24x+16=11
分析：(1)此方程显然用直接开平方法好做,(2)方程左边是完全平方式(3x-4)2,右边=11>;0,所以此方程也可用直接开平方法解.
(3x+1)2=7×
∴(3x+1)2=5
∴3x+1=±(注意不要丢解)
∴x=
∴原方程的解为x1=,x2=
9x2-24x+16=11
∴(3x-4)2=11
∴3x-4=±
∴x=
∴原方程的解为x1=,x2=
一元二次方程的解法及步骤
一元二次方程的解法及步骤
有很多同学是非常想知道，一元二次方程的解法是什幺，有哪些步骤，小编整理了相关信息，希望会对大家有所帮助！
1 一元二次方程怎幺解1、直接开平方法：
例．解方程(3x+1) ;=7 (3x+1) =7 ∴(3x+1) =7
∴3x+1=±√7(注意不要丢解符号) ∴x= ﹙﹙1±√7﹙/3
2、配方法：
例．用配方法解方程3x²-4x-2=0
将常数项移到方程右边3x²-4x=2
方程两边都加上一次项系数一半的平方：x²-﹙4/3﹙x+(4/6)²=2 +(4/6 )²配方：(x-4/6)²= 2 +(4/6 )²
直接开平方得：x-4/6=±√[2+(4/6 )² ]
∴x= 4/6±√[2+(4/6 )² ]
3．公式法：
例.用公式法解方程2x²-8x=-5
将方程化为一般形式：2x²-8x+5=0
∴a=2,b=-8,c=5 b²-4ac=(-8)²-4×2×5=64-40=24>0
∴x=[(-b±√(b²-4ac)]/(2a)
4．因式分解法：
例．用因式分解法解下列方程：
(1) (x+3)(x-6)=-8
化简整理得
x2-3x-10=0 (方程左边为二次三项式,右边为零)
(x-5)(x+2)=0 (方程左边分解因式)
∴x-5=0 或x+2=0 (转化成两个一元一次方程)
∴x1=5,x2=-2 是原方程的解.
1 一元二次方程的难点有什幺其实一元二次方程没有什幺难点的，对于应
用题也一样，关键是你能列出方程式，会用方法解出方程就可以。对于解一
元二次方程，主要的方法有①直接开方法，（例如x²=25，可以直接解出
如何构造一元二次方程解题
如何构造一元二次方程解题
一元二次方程是数学中最基础的方程之一，它可以用来解决很多实际问题，所以掌握一元二次方程的解题方法是很重要的。
一元二次方程的形式是ax²+bx+c=0，其中a、b、c是常数，x是未知数。解题思路可以分为以下几个步骤：
1、观察一元二次方程的系数，确定求解方法。如果系数
a不等于0，则可以用常见的解法求解；如果系数a等于0，
则可以用特殊的解法求解。
2、把一元二次方程化为一元一次方程，解出x的值。如
果系数a不等于0，则可以使用二次公式求解：x=（-b±√（b²-
4ac））/2a；如果系数a等于0，则可以使用求根公式求解：
x=-c/b。
3、根据求出的x值，检验是否满足一元二次方程，从而
得出最终解。
以上就是构造一元二次方程解题的步骤，简单明了，易于理解。掌握了上述方法，就可以更有效地解决一元二次方程的问题了。
一元二次方程的求解是数学中常见的问题，在实际生活中也有很多应用。例如，在经济学中，可以用一元二次方程来解
决消费者理性投资的问题。此外，在物理学中，可以用一元二次方程来求解物体运动轨迹和动量定理等问题。
综上所述，一元二次方程是数学中非常重要的方程之一，掌握它的求解方法对于解决实际问题非常有帮助。因此，我们应该积极研究数学，努力掌握一元二次方程的解题方法，以便在实际生活中应用。
构造一元二次方程解题的六种方法
构造一元二次方程解题的六种方法
类型一、利用根的定义构造：
若已知等式具有相同的结构，则可把某两个变元看做是关于某一个字母的一元二次方程的两根.
1．已知 p ²－2p－5=0 ，1/q ²－2/q－5=0，其中p，q为实数，且pq≠1，求p2＋1/q ²的值。
解：易知q≠0 ，故由 pq≠1 可得p≠1/q ，
又1/q ²－2/q－5=0 即（1/q）2 －2（1/q）－5=0 与 p ²－2p－5=0 形式相同，
从而可知 p，1/q为方程 x2－2x－5=0的两根，
∴ p ＋1/q =2, p ·1/q =－5,
∴ p2＋1/q ²=（p＋1/q）2－2p·1/q = 4－2×（－5）= 4＋10 = 14 。
方法点拨：上题中因为有 p≠1/q这个条件，因而可以逆用一元二次方程根的定义构造一元二次方程 x²－2x－5=0，从而利用韦达定理得解。
(1) 当b=c时，易得a=b=c，显然2c=a+b
(2) 当b≠c时，则可把b-c、a-b、c-a当做是有两个相等实数根的一元二次方程
(b-c)x²+(a-b)x+c-a=0的系数.
又∵(b-c)+(a-b)+(c-a)=0, ∴x1=x2=1,
由根与系数的关系得x1·x 2=(c-a)/(b-c)=1，即2c=a+b.
7. 已知n²(p－m) ²＝4mp(m－n)(n－p)，求证：1/m+1/m=2/p．
证明，由已知n²(p－m) ²＝4mp(m－n)(n－p)，
得n²(p－m) ²－4mp(m－n)(n－p)＝0．
∴方程p(m－n)x²＋n(p－m)x＋m(n－p)＝0(m≠n)有两个相等的实数根．
构造法，秒杀“一元二次方程”难题
构造法，秒杀“一元二次方程”难题
在初中数学培优训练中，我们经常会碰到这样的题目：表面上看就是一个二元或一元高次方程，或类似于一元二次方程，但用我们所学的知识进行解答时，却发现无从下手。
其实，面对这些题目，只要我们认真分析已知条件，深入挖掘，运用所学知识，利用题目的已知构造成新的“一元二次方程”，这样就把复杂的题目变得简单化。
构造一元二次方程究竟有哪些方法呢？笔者查阅资料，总结出以下几种常用方法，供大家参考：
一、利用根的定义构造一元二次方程
二、利用求根公式构造一元二次方程
三、利用韦达定理构造一元二次方程
四、确定主元构造一元二次方程
构造法是中学数学中常用的一种解题方法，可以发散学生的思维，提高学生的解题能力。但是构造法具有一定的技巧性和偶然性，它需要学生在使用时不断总结什么样的条件用什么样的构造法，进而运用自如。
教师在这个过程中要逐步引导学生根据已知条件的结构特征，通过联想构造辅助工具，构造数学模型，铺设中间桥梁，不断把“未知”转化为“已知”，不断进行构造，进而解决问题。
解一元二次方程的方法
解一元二次方程：
一、配方法解题步骤：
（1）二次项系数：化为1；
（2）移项：把方程x2+bx+c=0的常数项c移到方程另一侧，得方程x2+bx= -c；（3）配方：方程两边同时加上一次项系数一半的平方，方程左边成为完全平方式；
（4）开方：方程两边同时开平方，目的是为了降次，得到一元一次方程。（5）得解：解一元一次方程，得出原方程的解。
二、求根公式: X=
用公式法解一元二次方程的一般步骤：
1、把方程化成一般形式x2+bx+c=0，并写出a，b，c的值。
2、求出Δ=b2-4ac的值 1.Δ= b2-4ac<0时 x无实数根
2.Δ= b2-4ac=0时x有两个相同的实数根x₁=x₂
3.Δ= b2-4ac>0时 x有两个不相同的实数根
3、属于第2或3情况的代入求根公式 :
X=(a≠0, b2-4ac≥0)
4、写出方程的解：x1=?, x2=?
三、分解因式法解一元二次方程的步骤是:
1. 将方程左边因式分解，右边等于0;
2. 根据“至少有一个因式为零”,转化为两个一元一次方程.
3. 分别解两个一元一次方程，它们的根就是原方程的根.
分解因式法有：1、“提公因式法”am+bm+cm=m(a+b+c)
2、“公式法”又分“平方差公式”和“完全平方公式”两种
（1）“平方差公式”a2-b2=(a+b)(a-b)
（2）“完全平方公式”
3、“十字交叉相乘法”
构造一元二次方程巧解题
构造一元二次方程巧解题
一元二次方程（Quadratic Equation）是一类有关于实数的
二次多项式方程，它是关于一个未知数的二次多项式等于零的方程，可以用原始一元二次方程的形式表示为：ax² + bx + c = 0，其中a、b和c是实数，a不能为0。
一元二次方程的解法有多种，其中最常用的解法就是因式分解法（Factorization Method）。其基本步骤是：
一、将一元二次方程化为一个乘积等于零的形式：ax² +
bx + c = 0，其中a、b和c是实数，a不能为0。
二、将乘积等于零的形式分解成两个乘积相等的因式，即：ax² + bx + c = 0 → ax² + px + qx + c = 0 → ax(x + p) + q(x + c) = 0，其中p和q是实数。
三、确定因式中的x，即：ax = 0、x + p = 0 和 q = 0，其
中p和q是实数。
四、求出x的值，即：x = 0、x = -p 和 x = q/a，其中p和
q是实数。
通过以上步骤，就可以求出一元二次方程的解，即x的值。
当然，除了这种因式分解法，还有其他解一元二次方程的方法，例如：求根公式（Quadratic Formula）、图解法
（Graphical Method）和判别式（Discriminant）。求根公式是一种最常用的解法，可用来解决任何一元二次方程，图解法是根据方程的图像来求解方程的解，而判别式则是用来判断方程是否有解。
总之，一元二次方程是一类常见的数学方程，有多种解法可以用来解决它，其中最常用的解法是因式分解法、求根公式和图解法。通过以上解法，可以轻松求出一元二次方程的解，为我们解决数学问题提供了很大的方便。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
某些非一元二次方程的问题，如果能抓住特征，那么可以通过构造一元二次方程来解 决，例说如下． 一、利用已知等式构造一元二次方程 例 1 若 a，b，c 为实数，且 a2＋b2＋c2－ab－bc－ca＝0，求证：a＝b＝c． 证明 由已知等式，可构造关于 c 的一元二次方程 c2－（a＋b）c＋（a2＋b2－ab）＝ 0． ∵c 为实数， ∴△＝[－（a＋b）]2－4（a2＋b2－ab） ＝－（a－b）2≥0． ∵a，b 为实数， ∴（a－b)2≥0，－3(a－b)2≤0， ∴－3（a－b）2＝0， ∴a＝b． 同理可证 b＝c， ∴a＝b＝c． 二、利用方程根的定义构造一元二次方程 例 2 设 a2－2a－1＝0，b4 －2b2－1＝0，且 1－ab≠0，求 解 由 a2－2a－1＝0，知 a≠0，
2
1 1
mn p p m n
化简得 mn＋np＝2mp， ∴
1 1 2 （m≠n） m n p
当 m＝n 时，由已知可得 p＝m， 此时亦有
1 1 2 成立， m n p
综上，
1 1 2 成立． m n p
3
ab2 b2 1 a
2014
的值．
1 2 1 0 ， a a
又 ∵b4－2b2－1＝0， ∴(b2)2－2b2－1＝0， 由 1－ab≠0 知 故
2
1 ≠b2， a
1Baidu Nhomakorabea，b2 可视为方程 x1－2x－1＝0 的两个不相等的实数根． a
根据根与系数的关系，得
x 原式
2
x
8 x 13 x 2 2 x 1 10
2
8 x 13 x 1 2
10 5． 2
四、利用根与系数的关系构造一元二次方程 例 4 已知实数 a，b，c 满足 a＝b－6，c2＝ab－9，求证：a＝b． 证明 ∵a＝b－6，c2＝ab－9， ∴a＋b＝6，c2＝ab－9， ∴a、b 是方程 x2－6x＋c2＋9＝0 的两根， ∴△＝36 －4(c2＋9)＝－4c2≥0． 而 c 为实数，－4c2≤0． ∴－4c2＝0，即△＝0． 此时，方程有两个相等的实数根，所以 a＝b． 五、利用根的判别式构造一元二次方程 例 5 已知 n2(p－m)2＝4mp(m－n)(n－p)，求证：
1
三、利用求根公式构造一元二次方程 例 3 若 x＝ 19 8 3 ，则分式 解 ∵x＝ 19 8 3 ＝4－ 3
x 4 6 x 3 2 x 2 18 x 23 的值是______． x 3 7 x 2 5 x 15
＝
8 82 4 1 13 2
∴ x＝4－ 3 是方程 x 2 8 x 13 0 的一个根， 当 x 2 8 x 13 0 时，
1 1 2 ． m n p
证明，由已知 n2(p－m)2＝4mp(m－n)(n－p)， 得 n2(p－m)2－4mp(m－n)(n－p)＝0． ∴方程 p(m－n)x2＋n(p－m)x＋m(n－p)＝0(m≠n)有两个相等的实数根． ∵p(m－n)＋n(p－m)＋m(n－p)＝0， ∴方程的两个实数根为 x1＝x2＝1． 根据根与系数的关系，得