2014届高三数学一轮复习 (基础知识+小题全取+考点通关+课时检测)5.3等比数列课件 新人教A版

2．(2012· 临沂模拟)在等比数列{an}中，a3＝9，a6＝243，求 数列{an}的通项公式 an 及前 n 项和公式 Sn，并求 a9 和 S8 的值．
解：在等比数列{an}中，设首项为 a1，公比为 q， a6 243 由 a3＝9，a6＝243，得 q3＝ ＝ ＝27，∴q＝3. a3 9 由 a1q2＝a3，得 9a1＝9，∴a1＝1. 于是，数列{an}的通项公式为 an＝1×3n－1＝3n－1， 1×1－3n 3n－1 前 n 项和公式为 Sn＝ ＝ . 2 1－3 38－1 由此得 a9＝39－1＝6 561，S8＝ ＝3 280. 2
等比数列求和公式中分两种情况q＝1和q≠1，而本题 未说明q的范围，求解时应分类讨论，而不能直接利用 a11－qn 公式Sn＝ . 1－q
当 a1＝3，q＝2 时，an＝3×2n 1，Sn＝3×(2n－1)； 当 a1＝2，q＝3 时，an＝2×3n－1，Sn＝3n－1.
1．等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基 本问题，数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可
以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解．
2．在使用等比数列的前n项和公式时，应根据公 比q的情况进行分类讨论，切不可忽视q的取值而盲目 用求和公式．
1 4．(2011· 北京高考)在等比数列{an}中，若 a1＝ ，a4＝4， 2 则公比 q＝________；a1＋a2＋„＋an＝________.
1 3 解析：a4＝a1q ，得 4＝ q ，解得 q＝2，a1＋a2＋„＋an 2
3
1 1－2n 2 1 n－1 ＝ ＝2 － . 2 1－2
等比数列的基本运算
[例2]
(2011·全国高考)设等比数列{an}的前n项和
设{an}的公比为 q，
a ＝3， 1 解得 q＝2
－
为Sn，已知a2＝6,6a1＋a3＝30，求an和Sn.
[自主解答]
a q＝6， 1 由题设得 6a1＋a1q2＝30. a ＝2， 1 或 q＝3.
4．三个数成等比数列且积一定，通常设这三个数
a q，a，aq 比较方便． 为
5．Sn 为等比数列{an}的前 n 项和，则 Sn，S2n－Sn， S3n－S2n 满足(S2n－Sn)2＝Sn· 3n－S2n)，但不一定成等比 (S 数列．
[小题能否全取] 1．(教材习题改编)等比数列{an}中，a4＝4，则a2·a6等于
－
)
A．16(1－4 n) 32 C. (1－4－n) 3
－
B．16(1－2 n) 32 D. (1－2－n) 3
解析：(1)法一：
a ＋a ＝a q3＋a q6＝2， 4 7 1 1 由题意得 2 a5a6＝a1q4×a1q5＝a1q9＝－8， q3＝－2， 解得 a1＝1
(3)通项公式法：若数列通项公式可写成 an＝c·n(c，q 均 q 是不为 0 的常数，n∈N*)，则{an}是等比数列．
an＋an＋1 1.已知数列{an}满足 a1＝1，a2＝2，an＋2＝ ，n∈N*. 2
(1)令bn＝an＋1－an，证明：{bn}是等比数列； (2)求{an}的通项公式．
q＝1
设 a、b 为任意两个同号的实数，则 a、b 的 等比中项 G＝± ab
二、等比数列的性质 1．通项公式的推广：an＝am·qn－m. 2．对于任意正整数p、q、r、s，只要满足p＋q＝r＋s， ap·aq＝ar·as 则有 .
1 3．若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}，a ， n an 2 {an}，{an·n}，b (λ≠0)仍是等比数列． b n
等比数列的判定方法 an＋1 an * (1)定义法： a ＝q(q 为非零常数， 若 n∈N )或 ＝q(q an－1 n
为非零常数且 n≥2，n∈N*)，则{an}是等比数列．
2 (2)等比中项法： 若数列{an}中， n≠0 且 an＋1＝an·n＋2(n a a
∈N*)，则数列{an}是等比数列．
[知识能否忆起]
1．等比数列的有关概念
an an＋1 a－ a ＝q(q 是常数且 q≠0，n∈N＋)或 n 1
n
定义
＝q(q 是常数且 q≠0，n∈N＋且 通项公式
n≥2 )
an＝
a1qn－1
前n项
na1 Sn＝a11－qn a1－anq 1－q ＝ 1－q q≠1 和公式 等比 中项
等比数列的判定与证明
[例1] 已知数列{an}的前n项和为Sn，且an＋Sn＝n. (1)设cn＝an－1，求证：{cn}是等比数列； (2)求数列{an}的通项公式．
[自主解答]
(1)证明：∵an＋Sn＝n，①
∴an＋1＋Sn＋1＝n＋1.② ②－①得an＋1－an＋an＋1＝1， ∴2an＋1＝an＋1，∴2(an＋1－1)＝an－1， an＋1－1 1 ∴ ＝ . an－1 2 ∵首项c1＝a1－1，又a1＋a1＝1， 1 1 ∴a1＝ ，c1＝－ . 2 2 1 1 又cn＝an－1，故{cn}是以－ 为首项， 为公比的等比数列． 2 2 1 1n－1 1 － · ＝－ n， (2)由(1)可知cn＝ 2 2 2
等比数列的性质
[例3] (1)(2012· 威海模拟)在由正数组成的等比数列
{an}中，若a3a4a5＝3π，则sin(log3a1＋log3a2＋…＋log3a7)
的值为
1 A. 2 C．1 3 B. 2 3 D．－ 2
(
)
(2)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S6∶S3＝1∶2，
则S9∶S3等于
解：(1)证明：b1＝a2－a1＝1. an－1＋an 1 当 n≥2 时，bn＝an＋1－an＝ －an＝－ (an－an－1)＝ 2 2 1 1 － bn－1，故{bn}是以 1 为首项，－ 为公比的等比数列． 2 2
(2)由(1)知
1n－1 bn＝an＋1－an＝－2 ，
当 n≥2 时， n＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋„＋(an－an－1)＝1＋1 a
1 1 － ＋„＋－ n－2 ＋ 2 2 1n－1 1－－2 2 1n－1 ＝1＋ ＝1＋ 1－－2 1 3 － 1－ 2
5 2 1n－1 ＝ － －2 . 3 3 5 2 11－1 当 n＝1 时， － －2 ＝1＝a1， 3 3 5 2 1n－1 故 an＝ － －2 (n∈N+). 3 3
比数列项的积的运算，若能关注通项公式an＝f(n)的下
标n的大小关系，可简化题目的运算．
3．(1)(2012· 新课标全国卷)已知{an}为等比数列，a4＋
a7＝2，a5a6＝－8，则a1＋a10＝
A．7 C．－5 B．5 D．－7
(
)
(2)(2013· 成都模拟)已知{an}是等比数列，a2＝2，a5 1 ＝ ， a1a2＋a2a3＋„＋anan＋1＝ 则 4 (
A．1∶2 C．3∶4
[自主解答] (1)因为a3a4a5＝3 log3a1＋log3a2＋„＋log3a7 ＝log3(a1a2„a7)＝log3a7 4 7π ＝7log33 ＝ ， 3 3 故sin(log3a1＋log3a2＋„＋log3a7)＝ . 2
3
(
B．2∶3
π
)
π 3 ＝a4，所以a4＝3 . 3
3． (2012· 安徽高考)公比为 2 的等比数列{an}的各项都是正 数，且 a3a11＝16，则 log2a10＝ ( )
A．4 C．6
B．5 D．7
解析：∵等比数列{an}的各项都是正数，则 a3a11＝16
2 ⇔a7＝16⇔a7＝4⇒a10＝a7×q3＝32⇔log2a10＝5.
答案：B
Sn&[解析] 因为{an}为等比数列，Sn>0， 可以得到 a1＝S1>0，q≠0， 当 q＝1 时，Sn＝na1>0； a11－qn 当 q≠1 时，Sn＝ >0， 1－q 1－qn 即 >0(n ＝ 1,2,3， „)，上式等价于不等式 组 1－q
A．4 C．16
解析：a2·6＝a2＝16. a 4
答案：C
B．8 D．32
(
)
2．已知等比数列{an}满足 a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，则 a7＝ ( )
A．64
B．81
C．128
a2＋a3 解析：q＝ ＝2， a1＋a2
D．243
故 a1＋a1q＝3⇒a1＝1，a7＝1×27－1＝64.
答案：A
1n ∴an＝cn＋1＝1－2 .
在本例条件下，若数列{bn}满足b1＝a1，bn＝an－an－1 (n≥2)，证明{bn}是等比数列． 1 n 证明：∵由(2)知 an＝1－ ， 2 ∴当 n≥2 时，bn＝an－an－ 1
1 － 1 ＝1－ n－ 1－ n 1 2 2 1 1 1 ＝ n－ 1－ n＝ n. 2 2 2 1 n 1 又 b1＝a1＝ 也符合上式，∴bn＝ . 2 2 bn＋ 1 1 ∵ ＝ ，∴数列{bn}是等比数列． bn 2
1 3 q ＝－ ， 2 或 a1＝－8，
故 a1＋a10＝a1(1＋q9)＝－7.
a4＋a7＝2， 法二：由 a5a6＝a4a7＝－8， q3＝－2， 则 a1＝1
a4＝－2， 解得 a7＝4
a4＝4， 或 a7＝－2.
1 3 q ＝－ ， 2 或 故 a1＋a10＝a1(1＋q9)＝－7. a1＝－8，
D．1∶3
(2)由等比数列的性质：S3，S6－S3，S9－S6仍成等比 数列，于是(S6－S3)2＝S3· 9－S6)， (S 1 S9 3 将S6＝ S3代入得 ＝ . 2 S3 4