机械振动与机械波习题课
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P
4. 振幅为A，频率为ν，波长为λ的一简谐 波沿弦线传播，在自由端 A 点反射（如 图），假设反射后的波不衰减。 已知：OA =7λ /8，OB =λ/2，在t = 0时， x = 0处媒质质元的合振动经平衡位置向负 方向运动。求 B点处入射波和反射波的合 成振动方程。
y O B A
Q x ≥ 0,即 4 h 2 − k 2λ2 ≥ 0 ∴ k ≤ 2h / λ
fB A
x
d 2 x 2 µg + x=0 d dt 2 d T = 2π = 0. 9 s 2 µg
2. 如图所示，两相干波源S1和S2的距离为d =30m，S1 和 S2 都在 x 坐标轴上， S1 位于坐 标原点O, 设由S1和S2分别发出的两列波沿 x 轴传播时，强度保持不变。 x1=9m 和 x2= 12m处的两点是相邻的两个因干涉而静止 的点，求两波的波长和两波源间最小位相 差。
A = A + A + 2 A1 A2 cos(ϕ 2 − ϕ1 )
2 1 2 2
tg ϕ =
A1 sin ϕ 1 + A2 sin ϕ 2 A1 cos ϕ 1 + A2 cos ϕ 2
（2）波的能量：能流、平均能流、平 均能流密度（波的强度）
（3）波的干涉：频率相同、振动方向 相同、位相差恒定。 k = 0,1,2,LL 2π (r2 − r1 ) ± 2kπ ∆ϕ = ϕ2 − ϕ1 − = λ ± (2k +1)π k = 0,1,2,LL
O h A B x
λ
(d − 2 x) k = 1,2LL
= ± (2k + 1) π
代入x = 9m, λ = 6m, 选取适当的k时位相差∆ϕ = π
解：沿ox轴传播的波与从AB面上P点反射 来的波在坐标x处相遇，两波的波程差为： x δ = 2 ( ) 2 + h 2 − x = kλ k = 1,2 LL 2 4h 2 − k 2λ2 O x x= 2 kλ h θ θ 2h k = 1, 2 , L , [ ] A B
y O B A x
π ∂y 〈0 得ϕ = 4 ∂t B点(x=λ/2)的振动方程为:
驻波的表达式为
y = 2 A cos(2π = 2 A sin ωt
y = y1 + y 2
3 λ/2 3 π − π ) cos(ωt − π + ) 4 4 4 λ
1. 某木板在两个转动圆柱上运动，
± kλ ∆r = r1 − r2 = λ ( 2 1 ) k ± + 2
k = 0,1,2 LL k = 0,1,2 LL
已知：d=10cm， µ =0.25， （1）求证：此振动为简谐振动； （2）求出该振动的振动周期。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
（4）驻波：振幅相等、传播方向相反的 相干波相互迭加而产生的波。 （5）多普勒效应：由于波源或观测者相 对于媒质的运动，而使观测者接收到的 频率有所变化的现象。
λ
x
解：设入射波的表达式为
y 1 = A cos( ω t −
2π
y = 2 A cos(2π
λ
x+ϕ)
3 3 − π ) cos(ωt − π + ϕ ) λ 4 4
2 A cos( ω t + ϕ +
x
在 t = 0时， x = 0处， y = 由条件 y = 0和
π
4
)
则反射波的表达式为
2π 7 λ 2π 7 λ ( y 2 = A cos 2πν t − ⋅ +ϕ − − x) λ 8 λ 8
解：设木板质量为M, 长为d。力矩平衡
d N B d = Mg ( + x) 2 d 以B点为支点 N A d = Mg ( − x) 2 2µMgx d2 x = Ma = M 2 F = f A − fB = µ(N A − NB ) = − dt d y
以A点为支点
NB
NA
fA B O Mg
S1 O d S2 x
解：由波节定义知波长为
∆Φ = ∆ϕ − 2π
λ = 6m
k = 1,2 LL
λ
(r2 − r1 ) = ±(2k + 1)π
r2 = d − x
∆Φ = ∆ϕ −
波节处
r1 = x
2π
3. 如图所示，原点O是波源，振动方向垂 直于纸面，波长是λ，AB为波的反射平面， 反射时无半波损失。 O 点位于 A 点的正上 方，AO = h，OX轴平行于AB，求OX轴上 干涉加强点的坐标（限于x ≥0)
k m d2θ 2 +Ω θ = 0 dt2
A2 = x 2 +
d2θ dt 2
Ω2 = B I
ω2
d2x dt 2
重点：旋转矢量法
（3）简谐振动的能量
ω2 =
E = Ek + EP =
1 2 kA 2
（4）同方向、同频率简谐振动的合成
：
2. 机械波 （1）一维简谐波的波动方程：
x t x y = A cos[ω (t − ) + ϕ 0 ] = A cos[2π ( − ) + ϕ 0 ] u T λ
机械振动与机械波习题课
一、内容小结 1．机械振动： (1)简谐振动的判断式： 平动 转动
x = A cos(ωt + ϕ 0 )
θ = θ 0 cos(ωt + φ0 )
（2）如何求： A,
ω,
v
2
ϕ0
F kx 合 =−
F合 = ma= m
d2x 2 +ω x = 0 dt2
M合 =−Bθ
M合 = Iβ = I
4. 振幅为A，频率为ν，波长为λ的一简谐 波沿弦线传播，在自由端 A 点反射（如 图），假设反射后的波不衰减。 已知：OA =7λ /8，OB =λ/2，在t = 0时， x = 0处媒质质元的合振动经平衡位置向负 方向运动。求 B点处入射波和反射波的合 成振动方程。
y O B A
Q x ≥ 0,即 4 h 2 − k 2λ2 ≥ 0 ∴ k ≤ 2h / λ
fB A
x
d 2 x 2 µg + x=0 d dt 2 d T = 2π = 0. 9 s 2 µg
2. 如图所示，两相干波源S1和S2的距离为d =30m，S1 和 S2 都在 x 坐标轴上， S1 位于坐 标原点O, 设由S1和S2分别发出的两列波沿 x 轴传播时，强度保持不变。 x1=9m 和 x2= 12m处的两点是相邻的两个因干涉而静止 的点，求两波的波长和两波源间最小位相 差。
A = A + A + 2 A1 A2 cos(ϕ 2 − ϕ1 )
2 1 2 2
tg ϕ =
A1 sin ϕ 1 + A2 sin ϕ 2 A1 cos ϕ 1 + A2 cos ϕ 2
（2）波的能量：能流、平均能流、平 均能流密度（波的强度）
（3）波的干涉：频率相同、振动方向 相同、位相差恒定。 k = 0,1,2,LL 2π (r2 − r1 ) ± 2kπ ∆ϕ = ϕ2 − ϕ1 − = λ ± (2k +1)π k = 0,1,2,LL
O h A B x
λ
(d − 2 x) k = 1,2LL
= ± (2k + 1) π
代入x = 9m, λ = 6m, 选取适当的k时位相差∆ϕ = π
解：沿ox轴传播的波与从AB面上P点反射 来的波在坐标x处相遇，两波的波程差为： x δ = 2 ( ) 2 + h 2 − x = kλ k = 1,2 LL 2 4h 2 − k 2λ2 O x x= 2 kλ h θ θ 2h k = 1, 2 , L , [ ] A B
y O B A x
π ∂y 〈0 得ϕ = 4 ∂t B点(x=λ/2)的振动方程为:
驻波的表达式为
y = 2 A cos(2π = 2 A sin ωt
y = y1 + y 2
3 λ/2 3 π − π ) cos(ωt − π + ) 4 4 4 λ
1. 某木板在两个转动圆柱上运动，
± kλ ∆r = r1 − r2 = λ ( 2 1 ) k ± + 2
k = 0,1,2 LL k = 0,1,2 LL
已知：d=10cm， µ =0.25， （1）求证：此振动为简谐振动； （2）求出该振动的振动周期。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
（4）驻波：振幅相等、传播方向相反的 相干波相互迭加而产生的波。 （5）多普勒效应：由于波源或观测者相 对于媒质的运动，而使观测者接收到的 频率有所变化的现象。
λ
x
解：设入射波的表达式为
y 1 = A cos( ω t −
2π
y = 2 A cos(2π
λ
x+ϕ)
3 3 − π ) cos(ωt − π + ϕ ) λ 4 4
2 A cos( ω t + ϕ +
x
在 t = 0时， x = 0处， y = 由条件 y = 0和
π
4
)
则反射波的表达式为
2π 7 λ 2π 7 λ ( y 2 = A cos 2πν t − ⋅ +ϕ − − x) λ 8 λ 8
解：设木板质量为M, 长为d。力矩平衡
d N B d = Mg ( + x) 2 d 以B点为支点 N A d = Mg ( − x) 2 2µMgx d2 x = Ma = M 2 F = f A − fB = µ(N A − NB ) = − dt d y
以A点为支点
NB
NA
fA B O Mg
S1 O d S2 x
解：由波节定义知波长为
∆Φ = ∆ϕ − 2π
λ = 6m
k = 1,2 LL
λ
(r2 − r1 ) = ±(2k + 1)π
r2 = d − x
∆Φ = ∆ϕ −
波节处
r1 = x
2π
3. 如图所示，原点O是波源，振动方向垂 直于纸面，波长是λ，AB为波的反射平面， 反射时无半波损失。 O 点位于 A 点的正上 方，AO = h，OX轴平行于AB，求OX轴上 干涉加强点的坐标（限于x ≥0)
k m d2θ 2 +Ω θ = 0 dt2
A2 = x 2 +
d2θ dt 2
Ω2 = B I
ω2
d2x dt 2
重点：旋转矢量法
（3）简谐振动的能量
ω2 =
E = Ek + EP =
1 2 kA 2
（4）同方向、同频率简谐振动的合成
：
2. 机械波 （1）一维简谐波的波动方程：
x t x y = A cos[ω (t − ) + ϕ 0 ] = A cos[2π ( − ) + ϕ 0 ] u T λ
机械振动与机械波习题课
一、内容小结 1．机械振动： (1)简谐振动的判断式： 平动 转动
x = A cos(ωt + ϕ 0 )
θ = θ 0 cos(ωt + φ0 )
（2）如何求： A,
ω,
v
2
ϕ0
F kx 合 =−
F合 = ma= m
d2x 2 +ω x = 0 dt2
M合 =−Bθ
M合 = Iβ = I