第5课时—函数的奇偶性

课题：函数的奇偶性
目标：掌握函数的奇偶性的定义及图象特征，并能判断和证明函数的奇偶性，能利用 函数的
奇偶性解决问题. 重点：函数的奇偶性的定义及应用. 教学过程：
(一) 主要知识：
1.
函数的奇偶性的定义； 2. 奇偶函数的性质：
(1) 定义域关于原点对称；
(2) 偶函数的图象关于y 轴对称，奇函数的图象关于原点对称；
3. f(x)为偶函数 u f(x) = f(|x|).
4.
若奇函数f(x)的定义域包含0,则f(0) =0 .
(二) 主要方法：
1.
判断函数的奇偶性，首先要研究函数的定义域，其次要考虑
f x 与f -x 的关系。

2. 牢记奇偶函数的图象特征，有助于判断函数的奇偶性；
3.
判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式：
f(x)二f(-x)=0，
f (x)
1 . f (―x)
4. 设
f(x)，g(x)的定义域分别是da ，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇 奇=偶，
偶+偶=偶，偶 偶=偶，奇 偶=奇.
(三) 例题分析：
例1:(1)奇函数y=f(x)(x € R)的图象必经过点(
)
1
A. ( a,f(-a) )
B. (-a,f(a) )
C. ( -a,-f(a) )
D.( a,f(-))
a
⑵定义在R 上的函数f(x),g(x),若f(x)奇函数,g(x)为偶函数，则g[f(x)]为 _______ 函数 (3)函数 y=f(x)为奇函数 若 f(3)-f(2)=1,则 f(-2)-f(-3)= __________
例2.判断下列各函数的奇偶性：
(1) ① f (x) =(x —1)J ―x :② f (x) =x + lg :③ f (x) = log a
(x +J x 2 + 1)；
—x a —x
x,(1-x),(x 0) f(x)二 0,( x = 0) x(1 x),(x ：：： 0)
— 1 + X 十 J x 2
+1 —
④ f (x) ------- 1 2
:⑤ f (x) 1 _x _ J x 2
+1
「lx 2|-2
⑦ f (x) =log 3(3X 1) log i (3X
1)
3
例3:已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，判断F(x)=f(x) • g(x)的奇偶性。

例4:已知函数f(x)满足：f(x+y)=f(x)+f(y),①判断f(x)的奇偶性;
②若f(-3)=a,用a 表示f(12).
练习：①f(X)二 2 ig(i -x)
|X 2
—2|—2
■ ■ 2 X X
(x ：：：
0)； (x 0)?
…、1 —cos x + sin
x
f(xH
1 cos x sin x
n ： —
(lx 〉：/:④
f (x) = .. x 2 - V J-x 2
；
⑤ f (x) = . X -1 .. 1 - X ；
⑥ f(x) = F _
1，X
30
J-e ,x c 0
练习：已知函数f(x)满足：f(x+y)+f(x-y)=2f(x ) • f(y)(x,y € R)且f(0)工0,判断f(x)的奇偶性。

例5. (1)已知f(x)是R上的奇函数，且当x. (0,；)时，f(x^x(V 3x), 则f(x)的解析式为_____________________________________ .
(2)函数f(x)= ____________________________ 2x_2」」ga为奇函数，则a= ;
(3)已知f(x)是偶函数，R，当x 0时，f(x)为增函数，若XL：：0,X2・0,且 |为卜：
| X2 |，则( )
A. f(—xj f(—x2) B . f ( — X!) ：： f (—X2)
C. —f(xj f(—x2) D . —f (xj ：：：f(_X2)
(4)已知f(x)= ___________________________________ ax5+bx3+cx+5,且f(3)=7,则f (-3)=
例6: (1)函数y=f(x)(x工0)是奇函数，且当x€ (0,+ )时是增函数,若f(1)=0,求不等式1
f[x • (x- - )]<0 的解集.
2
⑵ 奇函数y=f(x)(x工0)在(0, +x)上的表达式为f(x)=x-1,求使f(x-1)<0的x取值范围
练习:(1)f(x) 是R上的奇函数，当x>0时,f(x)= x3 +x +1,则f(x)= _______________
⑵函数f(x)= (x+1)(x+a)为奇函数，则a= _________________________
x
2
⑶f(x)= |g(丄+ a)是奇函数,则使f(x)<0的x的取值范围是________________
1 —X
⑷ 已知y=f(x),x € (-1,1),既是奇函数又是减函数,解不等式f(1-x)+f(1- x2)<0.
⑸f(x)在(-s) U (0, )上为奇函数，且在(0 , )上单调递增，f(-2)=0,则不等式
x • f(x)<0 的解集为___________________
(四)巩固练习：
1、已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)= —f(x)，则f(6)的值为( )
(A) — 1 (B)0 (C)1 (D)2
2、函数y =ax2 +bx +c是偶函数的充要条件是______________
3、已知 f (x) = ax7 bx5 cx3 dx 5 ,其中 a,b,c, d 为常数，若 f (-7) - -7 ,则
f(7) = _______
4、若函数f(x)是定义在R上的奇函数，则函数F(x)= f(x)+f(x)的图象关于( )
(A) x轴对称(B) y轴对称(C)原点对称(D)以上均不对
2
5、函数F(x)=(1 •飞-)f(x)(x = O)是偶函数，且f(x)不恒等于零，则f (x)()
2 -1
(A)是奇函数(B )是偶函数
(C)可能是奇函数也可能是偶函数(D)不是奇函数也不是偶函数
(五)课后作业：
1■已知函数f(x) = a-歹=,，若f(x )为奇函数，贝U a= _____________ 。

2.已知f (x)是周期为2的奇函数，当0 x 1时，f(x)=lgx.设
6 3 5 …
a 二 f(—),
b = f(—),
c = f (―),则( )
5 2 2
(A) a ： b ： c (B) b a c (C) c ：： b ：： a (D) c a b
3■已知a R，函数f (x) =sin x-| a I，x w R 为奇函数，贝U a= ( )
(A) 0 (B) 1 (C)— 1 (D)± 1 4■设f(x)是R上的任意函数，下列叙述正确的是( )
5.已知函数y二f(x)在R是奇函数，且当x_0时，f(x) = x—2x，则x ：：： 0时，f (x)的
解析式为________________
6.定义在(-1,1)上的奇函数f(x)= _—，则常数m=
,n= ________________
x + n x +1
7.已知定义域为R的函数f (x) 纟仝是奇函数。

2心+a
(I)求a,b的值；
(U)若对任意的L R，不等式f (t2-2t) • f (2t2-k) ：：： 0恒成立，求k的取值范围；。