2011成都大学数学竞赛样题参考答案

2011成都大学第二届数学竞赛模拟试题

参考答案

一． 填空题（每小题2分，共20分）

22

()1.()(1),(0) 1.lim

,_______.x x y x x

y y x y x y x y e y a a x

→−′′′′=+−+====设函数满足且若则 2001.

()()11

(0)(0)1,(0) 2.lim lim (0) 1.22x x y x x y x y y y a y x

x →→′−−′′′′′′′−======解应填由题设于是所以

2.(),1,________.()()

x e b f x x e x b x a x b −=

===−−已知在处为无穷间断点在处为可去间断点则 11

.

1,, 1.1,,lim (),lim (),;

1,1,lim ()lim (),.

x x e

x x e

e e

a b e a e b a b e f x f x e a e b f x f x →→→→========∞−====∞解应填由题意知必有或当时符合题意当时与题意不符

223.(,),(,0),(0,),(,)______________.z

z f x y x y f x x f y y f x y x y

∂==+===∂∂设满足且则

2222221102212220

11().()()2222(,0)()(0),(0,)(),(0)0.

x x

z

y 21(),x y x y x y xy C x z x y xy C x dx C y x

f x x C x dx C x f y y C y y C ∂+++=++⇒=+++∂=⇒+==⇒==∫∫解应填由题设有 2224.(,,),d (2)d (2)d (2)d ,(,,)___________________.

u u x y z u x y z x y x z y z x y z u x y z ==−+−+−=已知函数可微且则 ).(2)(.2)(3

1222333

xydz xzdy yzdx dz z dy y dx x du C xyz z y x ++−++=+−++由题设知应填

解

.___________)(,d )(13)(.51

022=−−=∫x f x x f x x x f 则已知函数

.

2

3

3.3223),1(169)(,13)(,d )(.12

3

313322222221

0222==⇒+−=−+−−=−−==−−

−−∫A A A A A x A x Ax x x f x A x x f x x f A x x x x 或方程两端积分得

于是则令或应填解

._______d d )cos(1lim ,:.62

220

222=+≤+∫∫−→+

r

D y x r r y x y x e r r y x D 则设 .。π应填解使存在由积分中值定理,),(,r D ∈ηξ

π.π)cos(lim ,π)cos(d d )cos(2

2

22

2

2

2=⋅+=⋅+=+−→−−+

∫∫ηξηξηξ

ηξ

e r e y x y x e r D y x r

原式

_________.)(lim ,4]cos 1)(1[ln 121

lim 7.30

==−+−→→x x f x

x f x x x 则已知 .2ln 2)(lim 4)(lim 2ln 2

2

2ln )(lim )cos 1)(12()(lim ]cos 1)(1[ln 121

lim 2ln2.

303

020

0=⇒==⋅

=−−=−+−→→→→→x x f x x f x x x f x x f x x f x x x x x x x 应填解

.___________)2(,)1(,)

()(.8===

′f a f x

x f x f 则且若 .

2)2(,)1(,

)(ln ln )(ln 1)()()()(.

2a f a C a f x C x f C x x f x

x f x f x x f x f a ====⇒+=⇒=′⇒=′所以得由应填解

._____________d )2(,14

:.9222

=+=+∫L s y x l y x L 则的周长为设曲线

.

444)4(.

422l ds ds y x ds y x l L L L ==++=∫∫∫原式应填解

.___________]

)1(21)[1()

21]()1(1[,10.101

n

l 的和为则级数或设x n nx nx x n x x n −+++−+−<>∑∞

=

.2ln 211211)1(21)1(1])1(21)[1()21]()1(1[.

2ln ln lim }ln {ln n 11

l =++++−−+−+=−+++−+∞→∞=∞=−=∑∑nx nx

nx nx x n x n x n nx nx x n n n n 应填解 ).(,cos 6sin 4cos d )(,)()10.(23x f C x x x x x x x f x x f 求且可导设分二+−−=′∫ C

x x x

x dx x x

dx x x x x dx x x dx x x dx x x x f x x

x x x x x f x x x x x x f x ++−=−−−=−−=−−=′−−=′∫∫∫∫∫cos sin sin cos sin sin cos 2sin 2)(,

sin cos 2sin 2)(,

sin cos 2sin 2)(222

232323解

：

作函数图形并填写下表设函数分三,|

2|11||11)()10.(−+++==x x x f y 解

.

]π,0[)(,sin d )()(,),()()10.(40上的平均值在区间求且上的连续非负函数是设分四x f x t t x f x f x f x

=−⋅∞+−∞∫