专题五 恒成立问题 学案

专题五恒成立问题

【知识梳理】

1．在代数综合问题中常遇到恒成立问题．恒成立问题涉及常见函数的性质、图象，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，恒成立问题的解题的基本思路是：根据已知条件将恒成立问题向基本类型转化，正确选用函数法、最小值法、数形结合法等解题方法求解．

2．恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型：

(1)∀x∈D，f(x)>C；

(2)∀x∈D，f(x)>g(x)；

(3)∀x1，x2∈D，|f(x1)－f(x2)|≤C；

(4)∀x1，x2∈D，|f(x1)－f(x2)|≤a|x1－x2|.

3．不等式恒成立问题的处理方法

(1)转换求函数的最值

①若不等式A

②若不等式B>f(x)在区间D上恒成立，则等价于在区间D上B>f(x)max⇔f(x)的上界小于B.

(2)分离参数法

①将参数与变量分离，即化为g(λ)≥f(x)(或g(λ)≤f(x))恒成立的形式。

②求f(x)在x∈D上的最大(或最小)值；

③解不等式g(λ)≥f(x)max(或g(λ)≤f(x)min)，得λ的取值范围．

(3)转换成函数图象问题

①不等式f(x)>g(x)在区间D上恒成立，等价于在区间D上函数y＝f(x)和图象在函数y＝g(x)图象上方；

②不等式f(x)

【探究点一】∀x∈D，f(x)>C，f(x)>g(x)的研究

（1）对于形如∀x∈D，f(x)>g(x)的问题，需要先设函数y＝f(x)－g(x)，再转化为∀x∈D，ymin>0.

（2）在处理f(x)>c的恒成立问题时，如果函数f(x)含有参数，一般有两种处理方法：一是参数分离，将含参数函数转化为不含参数的函数，再求出最值即可；二是如果不能参数分离，可以用分类讨论处理函数f(x)的最值．

【例1】已知f(x)＝x3－6ax2＋9a2x，当a>0时，若对∀x∈[0,3]有f(x)≤4恒成立，求实数a的取值范围．

【例2】已知函数f(x)＝x|x－a|＋2x.

(1)若函数f(x)在R上是增函数，求实数a的取值范围；

(2)求所有的实数a，使得对任意x∈[1,2]时，函数f(x)的图象恒在函数g(x)＝2x＋1图象的下方．

【探究点二】 ∀x 1，x 2∈D ，|f (x 1)－f (x 2)|≤C 的研究

（1）对于形如∀x 1，x 2∈D ，|f (x 1)－f (x 2)|≤C 的问题，因为|f (x 1)－f (x 2)|≤f (x )max －f (x )min ，所以原命题等价为f (x )max －f (x )min ≤C .

（2）在处理这类问题时，若x 1，x 2是两个不相关的变量，可以等价为函数f (x )在区间D 上的函数差的最大值小于c ，如果x 1，x 2是两个相关变量，则需要代入x 1，x 2之间的关系式转化为一元问题．

【例3】 已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2－3x (a ，b ∈R)，在点(1，f (1))处的切线方程为y ＋2＝0.

(1)求函数f (x )的解析式；

(2)若对于区间[－2,2]上任意两个自变量的值x 1，x 2，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤c ，求实数c 的最小值．

【探究点三】∀x 1，x 2∈D ，|f (x 1)－f (x 2)|≤a |x 1－x 2|的研究

形如∀x 1，x 2∈D ，|f (x 1)－f (x 2)|≤a |x 1－x 2|这样的问题，首先需要根据函数f (x )的单调性去掉|f (x 1)－f (x 2)|≤a |x 1－x 2|中的绝对值符号，再构造函数g (x )＝f (x )－ax ，从而将问题转化为新函数g (x )的单调性．

【例4】 已知函数f (x )＝x －1－a ln x (a ∈R)．

(1)求证：f (x )≥0恒成立的充要条件是a ＝1；

(2)若a <0，且对任意x 1，x 2∈(0,1]，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤4⎪⎪⎪⎪1x 1－1x 2，求实数a 的取值范围．

【规律技巧提炼】

在处理恒成立问题时，首先应该分辨所属问题的类型，如果是关于单一变量的恒成立问题，首先考虑参数分离，如果不能参数分离或者参数分离后所形成函数不能够处理，那么可以选择分类讨论来处理；如果是关于两个独立变量的恒成立问题处理，只需要按照上探究点中所讲类型的处理方法来处理即可．