N-S方程相关知识课件
n-s方程
n-s方程方程式是数学中非常重要的一部分。
它也可以被称为方程或者代数方程。
方程式描述了数学中的关系，并帮助我们解决各种问题。
在数学中，方程式通常被表示为一个等式，其中包含一个或多个未知数。
这些未知数通常用字母表示，并且我们的目标是找到使等式成立的未知数的值。
方程式可以分为各种不同的类型，其中最常见的是线性方程和二次方程。
线性方程是一个一次方程，其中未知数的次数为一；而二次方程是一个二次方程，其中未知数的次数为二一般来说，方程式的解是使方程式成立的未知数的值。
如果我们找到了方程式的所有解，我们称之为方程的根或根集合。
在解方程时，我们通常使用代数方法。
这包括应用各种代数定律和运算规则，以便于将方程式简化为更简单的形式，并最终找到未知数的值。
我们可以通过消元法、配方法、因式分解等方法来处理方程。
另一种解方程的方法是使用图形方法。
通过在坐标系中绘制方程的图形，我们可以找到方程的解，即图形与坐标轴的交点。
方程式在各个领域中都有广泛的应用。
在物理学中，方程式用于描述物体的运动和力的作用。
在经济学中，方程式用于解决供求关系和市场需求的问题。
在工程学中，方程式用于计算电路中的电流和电压。
方程式也在生物学、化学和计算机科学等学科中扮演着重要的角色。
方程式还可以用于解决各种实际问题。
例如，如果我们知道商品的价格和销售数量，我们可以使用方程式来计算总销售额。
如果我们知道一个物体的初始速度和加速度，我们可以使用方程式来计算其在给定时间内的位移。
总之，方程式是数学中的重要概念，它们帮助我们描述数学关系并解决各种问题。
无论在理论还是实践中，方程式在各个学科中都有广泛的应用。
5.2 解一元一次方程课时1-合并同类项 课件(共30张PPT)
420
书．
新课讲解
练一练
2. 某工厂的产值连续增长，2022年是2021年的1.5倍，2023年是2022年的2倍，
这三年的总产值为550万元.2021年的产值是多少万元？
解：设2021年的产值是x万元，则2022年的产值是1.5x万元，2023年的
13=-x
D. 由 6x-2-4x＋2＝0，得 2x＝0.
当堂小练
2
2. 将方程− = 1的系数化为1时，下列做法正确的是（ C ）
3
A．方程两边同时加上
1
3
C．方程两边同时除以−
B．方程两边同时减去
2
3
2
3
D．方程两边同时乘以−
2
3
当堂小练
3. 解下列方程：
（1）2x + 3x + 4x = 18
解：合并同类项，得
9x = 18
系数化为1，得
x=2
（2）13x - 15x + x = -3
解：合并同类项，得
-x = -3
系数化为1，得
x=3
当堂小练
3. 解下列方程：
（3）2.5y + 10y - 6y = 15 - 21.5
解：合并同类项，得
6.5y = - 6.5
系数化为1，得
y = -1
解：设前年购买计算机x台，则去年购买计算机2x台，今年购买计算机4x台.
列得方程得 + 2 + 4 = 140.
把含有x的项合并同类项，得 7 = 140.
系数化为1，得x=20.
答：前年这所学校购买了20台计算机.
工程流体力学课件 第06章 流体流动微分方程 - 4
时 可以不考虑温度的影响，因此也不需要考虑能量方程。
③ 能量方程的微分形式，其推导过程与连续性方程和动量方程的推导 微分相方似程，方方法程：的结构也相似，数学上并没有太多的特殊性。 流体力学中，微分方法和积分方法都是为了研究流体的质量守恒、动量 守恒和能量守恒。积分法研究系统整体，揭示总体性能；微分法研究空 间任一点和包含该点的流体微元，揭示三维流场的空间分布细节。两种 分析方法相辅相成，都必须要学、必须学好。 微元体分析方法的核心：将雷诺输运定理应用于流体微元控制体。
t
z方向：vz dxdydz
t
6.2.3 以应力表示的运动方程
分别将微元控制体中x-,y-和z-方向的动量各对应项代入雷诺 输运定理，可得三个方向的运动微分方程。
X－：
vx t
vx
vx x
vy
vx y
vz
vx z
fx
xx
x
yx
y
zx
z
Y－：
vy t
vx
vy x
vy
vy y
、vz z
)和体变形率(
vx x
vy y
vz z
)
正应力包含两部分：
v
①流体静压产生的正应力(压应力-p);
②流体运动变形产生的附加黏性正应力。与三个方向的线变形率
以及体变形率有关。这种关系类似于固体中的虎克定律。
xx
p
2
vx x
2 3
vx x
vy y
vz z
xx p xx
xx 附加黏性正应力(或附加正应力)
连续性方程变为：
t
(vx )
N-S(纳维斯托克斯)方程推导过程
很多人一听到N-S 方程就有点头皮发麻，因为涉及到流体力学的知识比较多，如果没有一个完整有逻辑的思路，理解N-S 方程是有点困难。
其中涉及到欧拉法，场论，随体导数，流体力学连续性方程（即质量守恒方程），流体力学N-S 方程（即动量方程），动量方程在流体力学中有两种，一种是理想流体动量方程，一种是粘性流体动量方程，粘性流体的动量方程也叫纳维-斯托克斯方程，也简称N-S 方程。
我试图想把N-S 方程弄清楚点，所以写了一点东西，分享一下。
首先要讲一下流体力学的欧拉法，在课本中还讲了拉格朗斯法，因为连续性方程和N-S 方程是用欧拉法得出的，和拉格朗日法没什么关系。
我就不讲拉格朗日法，以免产生混乱。
欧拉方法的着眼点不是流体质点而是空间点。
设法在空间中的每一点上描述出流体运动随时间的变化状况。
如果每一点的流体运动都已知道，则整个流体的运动状况也就清楚了。
欧拉方法中流体质点的运动规律数学上可表示为下列矢量形式：假设空间一点的坐标(x,y,z,t)，其中x,y,z 是该空间的坐标，t 是此刻时间。
u,v,w 是这一空间点的三个方向速度。
p,ρ,T 是这一空间点的压力，密度和温度。
这样就有了每一个点的速度，压力，密度，温度，就可以描述运动流体的状态。
这里需要强调一点的是下面这六个式子，可以换一个角度把他们看成方程，对后面理解连续性方程和N-S 方程有帮助，比如u=x+2y+3z),,,();,,,();,,,();,,,();,,,();,,,(t z y x T T t z y x t z y x p p t z y x w w t z y x v v t z y x u u ======ρρ因为后面需要随体导数的概念，还需要把速度函数表示成矢量的形式。
前面u,v,w 是标量，是ν在(x,y,z,t)直角坐标系三个方向的速度。
),(t rνν=M 点（x,y,z,t ），速度为),(t M ν ，过了t ∆之后，在M '点，速度为),(t t M ∆+'ν。
N-S方程
方程含义该方程是可压缩流体的N-S 方程。
其中，Δ是拉普拉斯算子；ρ是流体密度；p 是压力；u ，v ，w 是流体在t 时刻，在点（x ，y ，z ）处的速度分量。
X ，Y ，Z 是外力的分量；常数μ依赖于流体的性质，叫做粘性系数。
对于不可压缩流体，θ=0。
动量的变化量: x 方向xv ρτ∂∂ Y 方向y v ρτ∂∂Z 方向zv ρτ∂∂ 动量通量: 以vx 为准，单元体对流动量收支差量为x y z )x x x v v vv v v x y zρ∂∂∂++∂∂∂（ 以vy 为准，单元体对流动量收支差量为xyz)y y y v v v v v v xyzρ∂∂∂++∂∂∂（以vz 为准，单元体对流动量收支差量为x y z )z z z v v v v v v x y zρ∂∂∂++∂∂∂（ 粘性力：Vx 方向黏性动量收支差量222222()x x xv v v x y zμ∂∂∂++∂∂∂xx x x x x x x g xp z v y v x v z v v y v v x v v v ρμτρ+∂∂-∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂)()(222222z y x y y y y y y y y g pz v y v x v z v v yv v xv v v ρμτρ+∂∂-∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂y)()(222222zyxzz z z z z z z g p zv y v x v z v v y v v x v v v ρμτρ+∂∂-∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂z )()(222222z yxVy 方向黏性动量收支差量222222()y y y v v v x y z μ∂∂∂++∂∂∂Vz 方向黏性动量收支差量222222()z z zv v v x y zμ∂∂∂++∂∂∂作用力：重力：x 方向x g ρ Y 方向y g ρ Z 方向z g ρ 压力x 方向px∂∂ Y 方向y p ∂∂ Z 方向zp ∂∂。
计算流体力学 不可压缩N-S方程的求解.
第十二讲 不可压缩Navier-Stokes方程的求解
李新亮 lixl@ ；力学所主楼219； 82543801
知识点：
拟压缩性方法 求解压力Poisson方程法 涡流函数法 Simple方法
讲义、课件上传至 (流体中文网） -> “流体论坛” ->“ CFD基础理论 ” 讲课录像及讲义上传至网盘 /browse.aspx/.Public
ui 1, j ui 1, j ui, j 1 ui, j 1 4ui , j f i , j 2
Gauss-Seidel迭代
n n
Jacobi迭代
n
n
n+1
n+1
n+1
n
n+1
LU-ADI
n
n+1
n+1
n+1
n+1
LU-SGS
n n n+1
n
Copyright by Li Xinliang 3
u13 u 23 u 33
u1n u2n u3 n u nn
a j x j 1 b j x j c j x j 1 d j
x j Aj x j 1 B j
2
Copyright by Li Xinliang
知识回顾
迭代法
2u 2u f ( x, y ) x 2 y 2 u g ( x, y )
u u p 1 2 u u v u t x x Re y
vi , j 1 / 2
在u的网格点上离散
pi 1, j
ui 1 / 2, j
pi 1, j pi , j p x x i 1/ 2, j
1第一章-场论与张量基本知识
(r), a(r)
1.1 标量、矢量、场
场的几何表示
标量场可用函数等值面（线）来表示。 可直观看出函数值的大小分布，以及变 化快慢
矢量场可用矢量线来表示。 任一点的矢量方向可由矢量线的切线方 向定出；也可以从矢量线的疏密程度估 计矢量在各点的大小。
1.2 标量场的梯度
方向导数（Directional Gradient）
1. 如果一个方程式或表达式的一项中，一种下标只出现一次，则 称之为自由指标，自由指标在表达式或方程的每一项中必须只 出现一次。 2. 如果在一个表达式或方程的一项中，一种指标正好出现两次， 则称之为哑指标，它表示从1到3求和。哑指标在其他任何项中 可以刚好出现两次，也可以不出现。 3. 如果在一个表达式或方程中的一项中，一种指标出现的次数多 于两次，则是错误的。
2 3
2
ij ij ij ij
i 1 j 1
3
3
1111 1212 1313 21 21 22 22 23 23 31 31 32 32 33 33
1.4 张量表示法
自由指标： 定义：凡在同一项内不重复出现的指标。如
i j k x y z
是一个矢性微分算子，即在运算中具有矢量和微分的双重性质， 其运算规则是：
u u u u i j k x y z
Ay Ax A A i j z k x y z
Az Ay Ax Az Ay Ax A y z i z x j x y k
2 ( ) ( ),ij xi x j
uk ,ij
2uk xi x j
1.5 坐标变换与张量定义
第01讲 直线的方程(九大题型)(课件)高考数学一轮复习(新教材新高考)
2
5
∪ 2, +∞ ．
题型突破·考法探究
题型四：直线的方程
【典例4-1】已知为等腰直角三角形，C为直角顶点，AC中点为(0,2)，斜边上中线CE所
在直线方程为3 + − 7 = 0，且点C的纵坐标大于点E的纵坐标，则AB所在直线的方程
为
．
【答案】 − 3 + 1 = 0
当直线不经过原点时，设直线方程为：2 + = 1，
2
3
把点(2,3)代入2 + = 1，解得 = 4．
∴直线方程为 + 2 = 8．
综上可得直线方程为：3 − 2 = 0或 + 2 − 8 = 0，
故答案是：3 − 2 = 0或 + 2 − 8 = 0．
【方法技巧】
题型二：三点共线问题
【典例2-1】若点 3,1 、 −2, 、 8,11 在同一直线上，则实数k的值为
【答案】−9
【解析】因为三点 3,1 、 −2, 、 8,11 在同一直线上，
∴的斜率和的斜率相等，
−1
即−2−3 =
11−1
，
8−3
∴ = −9．
故答案为：−9．
．
是
．
【答案】
1
−3, −
2
3−0
2−0
1
【解析】设(3,0)，则 = 2−3 = −3， = −1−3 = − 2，
∵点(, )是线段上的任意一点，
∴
1
]，
的取值范围是[−3，−
−3
2
1
故答案为：[−3，− 2]
的取值范围
N-S方程相关知识课件
一、流体力学简介
欧拉法，其着眼点不是流体质点，而是空间点，设法在空间中的每一 点上描述出流体运动随时间的变化状况。
一、流体力学简介
拉格朗日法：是以研究单个流体质点运动过程作为基础，综合所有质 点的运动，构成整个流体的运动。—质点系法 它以某一起始时刻每个质点的坐标位置（a、b、c）作为该质点的 标志。任何时刻任意质点在空间的位置(x、y、z)都可以看成是（a、b、 c和t的函数。 拉格朗日法基本特点：追踪流体质点的运动。研究的是具体的流体微团。 当流体在空间流动时，我们为了观察得到整个流场的情况，可以假设先 跟踪某一个流体微团，那么这个微团的运动状态是空间和时间的函数。 推广之，当我们给空间的每一个流体微团都确定一个函数时，这个流场 的运动也就清楚了。因为流场的运动由流体微团的运动组成的。 优点: 可直接运用固体力学中质点动力学进行分析，拉格朗日方法着眼于 流体质点。设法描述出每个流体质点自始至终的运动过程，即它们的位 置随时间变化的规律。如果知道了所有流体质点的运动规律，那么整个 流体的运动状况也就知道了。
一、流体力学简介
流体力学基本假设
基本假设以方程的形式表示。例如，在三维的不可压缩流体中，质量守 恒的假设的方程如下：在任意封闭曲面（例如球体）中，由曲面进入封 闭曲面内的质量速率，需和由曲面离开封闭曲面内的质量速率相等。 （换句话说，曲面内的质量为定值，曲面外的质量也是定值）以上方程 可以用曲面上的积分式表示。 流体力学所有流体满足以下假设： 质量守恒 动量守恒 连续体假设
纳维-斯托克斯方程(N-S方程)详细推导ppt课件
dy
zx
zx z
dz
xx yx
z y xz
Z方向：
( v y
y
) dxdydzdt
2、dt时间内，整个六面体内输入与输出的质量差：
(vx ) dxdydzdt (vy ) dxdydzdt (vz ) dxdydzdt
x
y
z
( vx
x
)
(vy
y
)
( vz
z
)
dxdydzdt
10
本构方程和NS方程
粘性流体动力学基础
3、微元体内的质量变化： dxdydzdt
12
本构方程和NS方程
粘性流体动力学基础
理想流体的运动微分方程
理想流体运动微分方程式是研究流体运动学的重要理论基
础。可以用牛顿第二定律加以推导。
受力分析：
r ur
a F
1、质量力： fxρdxdydz x轴正方向
2、表面力：
切向应力＝0（理想流体） 法向应力＝压强
p p dx p p dx
微团上每一点的速度都包含中心点的速度以及由于坐标位置不同所引起的速度增量两个组成部分。5
本构方程和NS方程
粘性流体动力学基础
• 平移运动速度 微团上各点公有的分速度 ux 和uy ，使它们 在 dt 时间内均沿 x 方向移动一距离 uxdt , 沿 y 方向移动一 距离 uydt 。因而，把中心点 M 的速度 ux和 uy ，定义为流 体微团的平移运动速度。
3
本构方程和NS方程
粘性流体动力学基础
平移运动、旋转运动、线变形运动和角变形运动
右图为任意t时刻在平面流场中所取的一个正方形流体微团。由 于流体微团上各点的运动速度不一致，经过微小的时间间隔后， 该流体微团的形状和大小会发生变化，变成了斜四边形。
纳维-斯托克斯方程(N-S方程)详细推导ppt课件
粘性流体动力学基础
本构方程及N-S方程
李连侠
水力学与山区河流开发保护国家重点实验室 2009年4月
1
本构方程和NS方程
粘性流体动力学基础
内容提要
• 流体运动分析及理想流体基本方程 • 真实流体受力分析 • 利用张量理论推导本构方程和粘性流体力学基本方程
2
本构方程和NS方程
粘性流体动力学基础
1
3
g
x
Dvy Dt
fy
1
p y
2 y
x2
2 y
y 2
2 y
z 2
1
3
r
g
y
r
Dvz Dt
fz
1
p z
2z
x2
2z
y2
2z
z 2
1
3
g
z
矢量形式：
r Dv
ur f
1
p
r
2
1(gr )
Dt
3
28
本构方程和NS方程
粘性流体动适力学用基于础 牛顿流体
不可压缩流体的N－S方程： const
dx
vx
vx
x
dx
dydz
x
y
微元体及其表面的质量通量
＝
微元体内的 质量变化率
9
本构方程和NS方程
粘性流体动力学基础
1、x方向：dt时间内沿从六面体 x 处与 x+dx 处输入与输出的
质量差：
vx
dydzdt
vx
(vx
x
)
dx
dydzdt
(vx
x
)
dxdydzdt
计算流体力学(中科院力学所)_第讲-基本方程ppt课件
YF23
7
● 90年代， CFD 在飞机设计中发挥了主力作用 波音777， CFD占主角
● 2000 之后， CFD 取代了大部分风洞实验 波音787：全机风洞实验仅3次
● 航天领域，CFD发挥着实验无法取代的作用 实验难点：复现高空高速流动条件
波音777
Copyright by Li Xinliang
s
s
控制体内的动量增加=流入的动量+表面力的冲量+体积力的冲量
t V d [ (V V ) F P ]d
V (V V )F P
t
Copyright by Li Xinliang
12
基本概念： 应力 （张量）
pn Pn
pn
根据本构方程（广义牛顿粘性定律）
Pijpijij ：静止部分+运动部分
✓基本概念: 随体导数 dV
dt t
11
2） 动量守恒律
单位时刻内，流出面元ds的动量为：
d V d m V V n dS
总流出动量为:
d （ V V ） n d S ( V V ) d
S
s
外力的合力：
质量力：Fd 表面力：
根据动量守恒：
p nd SP n d S P d
控制体
单位时刻表面微元ds的流出质量为： dm V n dS
V
总质量流出为 d m V n d S (V )d
n
s
s
根据质量守恒： 控制体内质量的增加=流入控制体的质量
dS
控制体的任意性
td d m (V )d
s
(V)0
t
（1） Copyright by Li Xinliang
奈维-斯托克斯知识点
Hefei University《化工传递过程基础》题目：奈维—斯托克斯方程系别：化学材料与工程系班级：12级化工（3）班姓名：唐楠楠学号：1203023002教师：胡坤宏日期：2014-03-26一、基本简介奈维-斯托克斯方程（英文名；Navier-Stokes equations），描述粘性不可压缩流体动量守恒的运动方程，简称N-S方程。
是牛顿第二定律在粘性流体运动时的具体表达式。
等式左边是流体微元的加速度和质量之积，右端是作用于其上的合外力，也可将该方程看作是惯性力.重力.压力和粘性力这四种力的平衡。
1821年由C.-L.-M.-H.奈维和1845年由G.G.斯托克斯分别导出而得名，是一组描述象液体和空气这样的流体物质的方程。
这些方程建立了流体的粒子动量的改变率(加速度)和作用在液体内部的压力的变化和耗散粘滞力(类似于摩擦力)以及重力之间的关系。
这些粘滞力产生于分子的相互作用，能告诉我们液体有多粘。
这样，奈维-斯托克斯方程描述作用于液体任意给定区域的力的动态平衡。
他们是最有用的一组方程之一，因为它们描述了大量对学术和经济有用的现象的物理过程。
它们可以用于模拟天气、洋流、管道中的水流、星系中恒星的运动、翼型周围的气流。
它们也可以用于飞行器和车辆的设计、血液循环的研究、电站的设计、污染效应的分析，等等。
Navier Stokes(奈维叶－斯托克斯)方程是流体力学中描述粘性牛顿流体的方程，是目前为止尚未被完全解决的方程，目前只有大约一百多个特解被解出来，是最复杂的方程之一。
二、N-S方程的意义当流体运动时，相邻两流体隔离体之间的相互作用，一方面体现为压力(一般说来，压力这个量依赖于密度和温度)；另一方面体现为粘性力（而粘性力和变形率有关）。
斯托克斯假设应力张量同变形率张量成正比。
在最一般的情形下，用直角坐标系x、y、z和时间t作自变量，这些方程把速度的三个分量u、υ、w 同密度ρ、压力p用下列三个微分方程联系起来：N-S方程相配的固体壁边界条件是紧靠固体壁的流体附着在固体壁上，并和固体壁同速运动，这叫做流体的附着条件.同欧拉方程相比，N-S方程多了同粘性有关的项（包含η和η的项），它们的项数多、阶次高；固体壁边界条件也多，附着条件比欧拉方程的绕流条件（即允许流体沿固体壁滑过去，也就是比允许沿固体壁切面方向，流体有不同于固体壁的分速度）增多了要求。
不同形状物体的阻力系数 ppt课件
C4.5 无压强梯度平板边界层近似计算
C4.5.1 平板层流边界层
设边界层纵向坐标 y/0 1
速度分布式为 速度分布满足条件
u g
U
g 0 0 ,g 1 1
0 U u 1 U u d y 0 1g 1 g d
01g1gd
壁面切应力
wd d u y|y 0d dU g| 0U
0 U0
2
2 0
(2) 按动量厚度的定义
0 U u ( 1 - U u ) d y 0 s i n 2 y ( 1 s i n 2 y ) d y 2 0 ( s i n 2 y s i n 2 2 y ) d ( 2 y )
2 ( - c o sy ) 2 ( 1y 1 s i ny ) 2 2 ( 2 1 ) 0 .1 3 6 6
C4.5.2 平板湍流边界层
将光滑圆管湍流的结果移植到光滑平板上，速度分布用1/7指 数式，壁面切应力采用布拉修斯公式。取δ=R=d/2,由无压强 梯度平板边界层动量积分方程可得（与层流边界层对照）
湍流边界层
层流边界层
边界层厚度
壁面摩擦系数 摩擦阻力系数
0 .3 8 2
x 5 Rex
x45
0.0593 C f 5 Rex
5. 流线型体
（图(a)）
2） 1Re500
（图(b)(c)）
3） 500Re2105
（图(d)）
4） 2 1 0 5R e5 1 0 5
（图(e)）
5） 5 1 0 5R e3 1 06
6） Re3106
C4.7.2 圆柱绕流与卡门涡街
3. 卡门涡街
1）定义：在圆柱绕流中， 涡旋从圆柱上交替脱 落，在下游形成有一 定规则，交叉排列的 涡列。
库埃特流动和泊肃叶流动ppt课件
对于恒定圆管流动，N-S方程化简为：
泊肃叶流动
解得流速分布公式为：
u
1
4
C(r02
r2)
umax
C r02
4
沿断面积分可得流量Q为：
Q C r04
8
断面平均流速um为：
um
C r02
8
（13） （14） （15） （16）
泊肃叶流动
引入沿程水头损失系数λ，层流管流沿程水头
库埃特流动
(3)当P=-1
令 U u , y y，即U为流速尺度，y为长度尺度，
U
h
将流速u和坐标y均化为无量纲量，字母右上方的“°”
表示为无量纲量。则上式可写为
u y2
（8）
库埃特流动
(3)当P=-1
u y2 为一抛物线。
在y°= 0处，dduy y2 0，
所以流速分布曲线在此
与y轴相切。P
损失hf可确定如下：
hf
L um2
d 2g
（17）
泊肃叶流动
对于水平放置的管道，沿程水头损失主要表
现为压强水头变化，因此上式可写为：
- d( p ) dx um2
d 2g
- dp dx um2
d2
- dp 1 um2
dx
d2
将式（16）带入上式得：
64 ,Re umd
Re
（18）
令
，即U为流速尺度，y为长度尺度，将流速u和坐标y均化为无量纲量，字母右上方的“°”表示为无量纲量。
dx 这种流动称为简单库埃特流动，槽道中不存在压强梯度 ，流动只是由上平板带动而引起的。
u 设槽道中同时存在x方向压力梯度 。
基本术语和N-S方程共25页
1、合法而稳定的权力在使用得当时很 少遇到 抵抗。 ——塞 ·约翰 逊 2、权力会使人渐渐失去温厚善良的美 德。— —伯克
3、最大限度地行使权力总是令人反感约翰逊 4、权力会奴化一切。——塔西佗
5、虽然权力是一头固执的熊，可是金 子可以 拉着它 的鼻子 走。— —莎士 比
Thank you
6、最大的骄傲于最大的自卑都表示心灵的最软弱无力。——斯宾诺莎 7、自知之明是最难得的知识。——西班牙 8、勇气通往天堂，怯懦通往地狱。——塞内加 9、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。——赫尔普斯 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。——笛卡儿
基本术语和N-S方程25页PPT
基本术语和N-Βιβλιοθήκη 方程51、山气日夕佳，飞鸟相与还。 52、木欣欣以向荣，泉涓涓而始流。
53、富贵非吾愿，帝乡不可期。 54、雄发指危冠，猛气冲长缨。 55、土地平旷，屋舍俨然，有良田美 池桑竹 之属， 阡陌交 通，鸡 犬相闻 。
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二维定常不可压缩N-S方程无量纲分析
二维定常不可压缩N-S方程无量纲分析一、引言计算流体力学的控制方程通常认为是N-S(Navier-Strokes)方程组，包含了能量方程、动量方程、连续性方程等方程组的总称。
当考虑流体的黏性时，作用在流体质点上的力除了质量力、法向应力（垂直于作用面的压力）外，还有与作用面相切的切向力，N-S方程建立了流体微团的动量变化率与作用在微团上的惯性力，压力以及粘性剪切力之间的关系，反映了黏性流体运动的基本规律，对计算流体力学有着十分重要的意义。
本文旨在对二维定常不可压缩N-S方程进行无量纲化，方便简化计算和分析相似实验。
量纲分析就是对有量纲的物理方程进行参数的组合，实现参数和方程的无量纲化，将方程无量纲化有以下几点好处：（1）方程形式可以得到简化并且可能减少方程个数，进而提高实际计算速度；（2）通过无量纲化尽可能的减少方程中的常数运算，将这些常数转化为某个特征参数，这样可以降低计算难度；（3）防止方程中的物理参数在数量级上造成差异，从而降低精度损失；（4）将方程中的物理量无量纲化后容易实现计算中的相似模拟。
流体力学中的相似通常可以分为几何相似、运动相似和动力相似。
流动相似的概念来源于几何相似的概念，两个流动如果相似，例如模型流动与实际流动相似，则其流场中相应点上各同类物理量将具有各自固定的比例关系，也即可将模型实验的成果应用于实际流动中。
相似原理指出，两个流动若相似必满足一定条件，即满足几何相似、运动相似、动力相似，这些条件还应包括边界条件和初始条件相似。
根据相似原理，两个流动现象只要同时满足上面的相似条件，它们之间就存在相似关系，其对应物理量都成一定的比例关系。
在应用中，首先需要分析所要研究的流体，找出影响流动问题的作用力，我们只需要满足一个主要作用力相似，而不必计较其它作用力是否达到相似。
例如对于一些流动现象，只要流动的雷诺数不是很大，一般其相似条件都依赖于雷诺数。
雷诺数是用来判断流体流动特性的无量纲量，对于封闭环境内的流动，当雷诺数小于2300时的流动为层流，能用N-S 方程表示；当雷诺数大于4000时的流动为湍流，不能用N-S方程表示。
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一、流体力学简介
流体力学研究内容
流体是气体和液体的总称。在人们的生活和生产活动中随时随地都 可遇到流体，所以流体力学是与人类日常生活和生产事业密切相关的。 大气和水是最常见的两种流体，大气包围着整个地球，地球表面的70%是 水面。大气运动、海水运动(包括波浪、潮汐、中尺度涡旋、环流等)乃 至地球深处熔浆的流动都是流体力学的研究内容。
N-S方程相关知识
李晓艳
一、流体力学简介 二、N-S方程的命名及应用 三、 N-S方程的基本内容 四、 N-S方程的求解
一、流体力学简介
流体
流体是液体和气体的总称。 流体是由大量的、不断地作热运动而且无固定平衡位置的分子构成的， 它的基本特征是没有一定的形状和具有流动性。流体都有一定的可压 缩性，液体可压缩性很小，而气体的可压缩性较大，在流体的形状改 变时，流体各层之间也存在一定的运动阻力（即粘滞性）。当流体的 粘滞性和可压缩性很小时，可近似看作是理想流体，它是人们为研究 流体的运动和状态而引入的一个理想模型。
②非线性位流方程：假设气体无粘性，对含有弱激波的跨音速绕流问 题，即使在小扰动假定下，也不能将方程线性化，但仍可假设存在速 度位，这时采用的方程为非线性位流方程。
③非线性欧拉方程：由L.欧拉建立的只假设气体无粘性的方程。它比上 面两种方程更为精确。对于具有较强激波或有分离涡面的流动和其他 一些复杂的问题，在求气动力时常采用这种方程。
三、N-S方程基本内容
N-S方程表示
在直角坐标系中，其表示形式为：
方程(1)为不可压缩流体的动量方程保证动量守恒，方程(2)为连续方 程确保质量守恒。u为速度，p为压力，ρ为流体的密度，v是流体运动 粘度系数，f为外力，“.”为矢量点积，微分算子（哈密顿算子） ∇= / x, / y, / z ∇2为拉普拉斯算子。
一、流体力学简介
理论分析步骤
理论分析是根据流体运动的普遍规律如质量守恒、动量守恒、能量守 恒等，利用数学分析的手段，研究流体的运动，解释已知的现象，预测 可能发生的结果。理论分析的步骤大致如下：
首先是建立“力学模型”，即针对实际流体的力学问题，分析其中的 各 种矛盾并抓住主要方面，对问题进行简化而建立反映问题本质的“力学 模 型”。流体力学中最常用的基本模型有：连续介质、牛顿流体、不可压 缩 流体、理想流体、平面流动等。
优点: 可直接运用固体力学中质点动力学进行分析，拉格朗日方法着眼于 流体质点。设法描述出每个流体质点自始至终的运动过程，即它们的位 置随时间变化的规律。如果知道了所有流体质点的运动规律，那么整个 流体的运动状况也就知道了。
一、流体力学简介
基于网格的欧拉法和基于粒子的拉格朗日法比较
欧拉法将流体所占据的空间进行网格划分，其研究的最小单元为每个网 格上的固定点。流体的速度、压强、密度等参数定义于固定点上并随时 间而变化，这些变化表现了流体的整体运动。拉格朗日法将流体视为由 一系列微团组成，其研究的最小单元为各个微团。微团也具有时变的速 度、压强和密度等参数，当某一微团转到其他微团时会发生参数变化， 流体运动是通过这些参数变化来体现。欧拉法和拉格朗日法的参数变化 都被描述流体物理运动规律的N-S(Navier-Stokes)方程支配，两者各有优 劣，人们通常将它们结合使用以获得更真实的模拟效果。
二、N-S方程的命名及应用
命名
纳维-斯托克斯方程（Navier-Stokes equations），牛顿第二定律 在 不可压缩粘性流动中的表达式。简称N-S方程。此方程是法国力学家、 工程师克劳德-路易·纳维(Claude-Louis Navier) 于1821年创立，经英国 物理学家乔治·加布里埃尔·斯托克斯（George Gabriel Stokes ）于 1845年改进而确定的。以两个人的名字命名。是一组描述象液体和空 气这样的流体物质的方程。这些方程建立了流体的粒子动量的改变率(加 速度)和作用在液体内部的压力的变化和耗散粘滞力(类似于摩擦力)以及 引力之间的关系。
一、流体力学简介
描述流体的两种方法—欧拉法和拉格朗日法
欧拉法（euler method）是以流体质点流经流场中各空间点的运动即 以流场作为描述对象研究流动的方法。——流场法
它不直接追究质点的运动过程，而是以充满运动液体质点的空间——流 场为对象。研究各时刻质点在流场中的变化规律。将个别流体质点运动 过程置之不理，而固守于流场各空间点。通过观察在流动空间中的每一 个空间点上运动要素随时间的变化，把足够多的空间点综合起来而得出 的整个流体的运动情况。欧拉法研究的是当流体流过某个空间（虚构的 空间）时，这个空间所包含的流体的状态的变化。流体微团可以流进、 流出这个假象的空间。
一、流体力学简介
欧拉法，其着眼点不是流体质点，而是空间点，设法在空间中的每一 点上描述出流体运动随时间的变化状况。
一、流体力学简介
拉格朗日法：是以研究单个流体质点运动过程作为基础，综合所有质 点的运动，构成整个流体的运动。—质点系法
它以某一起始时刻每个质点的坐标位置（a、b、c）作为该质点的 标志。任何时刻任意质点在空间的位置(x、y、z)都可以看成是（a、b、 c和t的函数。
程的一个重要手段。
三、N-S方程基本内容
基本假设
在解释纳维-斯托克斯方程的细节之前，首先，必须对流体作几个假 设。第一个是流体是连续的。这强调它不包含形成内部的空隙，例如， 溶解的气体的气泡，而且它不包含雾状粒子的聚合。另一个必要的假设 是所有涉及到的场，全部是可微的，例如压强，速度，密度，温度，等 等。
三、N-S方程基本内容
N-S方程相当复杂，在进行有实际意义的工程问题计算时，要求有较 大的机器存贮量和较长的计算机时，因此，这要求发展每秒数十亿次 运算速度的高速大容量的电子计算机。为了解决机器不能满足要求的 矛盾，很多人提出对N-S方程进行简化。研究表明，当雷诺数大于10 时，对于大多数粘性绕流相对于物面其流向的粘性项不很重要，因而 可把它从N-S方程中略去，使方程简化，这种简化的N-S方程已被成 功地应用到各种附体流及分离不很严重的流动，成为数值求解N-S方
一、流体力学简介
计算流体力学（ Computational Fluid Dynamics，CFD ）
CFD自20世纪60年代形成以来，一直在迅速发展。在数值方法、计算 技术科学和工程需求发展的推动下，现在发展得更快；应用范围不断扩 大，深入到所有与流动有关的领域；从业人员不断增加。
数学方程：质量、动量、能量和其他标量的微分(或微分-积分)组成的 方程组。流体运动遵循质量守恒、动量方程和能量守恒。
二、N-S方程的命名及应用
应用
在计算流体动力学领域中，N-S方程是最常用的物理模型，并且是流 体力学中表达不可压缩流体最全面的微分方程。它们可以用于建模天 气，洋流，管道中的水流，星系中恒星的运动，翼型周围的气流。还可 以用于飞行器和车辆的设计，血液循环的研究，电站的设计，污染 效应的分析，等等。
拉格朗日法基本特点：追踪流体质点的运动。研究的是具体的流体微团。 当流体在空间流动时，我们为了观察得到整个流场的情况，可以假设先 跟踪某一个流体微团，那么这个微团的运动状态是空间和时间的函数。 推广之，当我们给空间的每一个流体微团都确定一个函数时，这个流场 的运动也就清楚了。因为流场的运动由流体微团的运动组成的。
由于流体的粘性效果在气体动画中可以忽略，并且当流体速度远远低 于声速时，它的压缩效果也可以忽略，所以采用简化的N-S方程即不 可压非粘性形式的欧拉方程来表示烟雾的物理模型，表示如下：
三、N-S方程基本内容
N-S方程反映了粘性流体（又称真实流体）流动的基本力学规律，在 流体力学中有十分重要的意义。纳维-斯托克斯方程依赖微分方程来描述 流体的运动。这些方程，和代数方程不同，不寻求建立所研究的变量
（譬如速度和压力）的关系，而是建立这些量的变化率或通量之间的关
系。用数学术语来讲，这些变化率对应于变量的导数。这样，最简单情 况的0粘滞度的理想流体的纳维-斯托克斯方程表明加速度（速度的导 数，或者说变化率）是和内部压力的导数成正比的。因为它是一个非线 性偏微分方程，求解非常困难和复杂，目前只有在某些十分简单的流动 问题上能求得精确解；但在有些情况下，可以简化方程而得到近似解。 例如当雷诺数（表示作用于流体微团的惯性力与粘性力之比，与粘性影 响成反比）Re=1时，绕流物体边界层外 ，粘性力远小于惯性力 ，方 程中粘性项可以忽略，N-S方程简化为理想流动中的欧拉方程；而在边 界层内，N-S方程又可简化为边界层方程，等等。在计算机问世和迅速 发展以后，N-S方程的数值求解有学基本假设
基本假设以方程的形式表示。例如，在三维的不可压缩流体中，质量守 恒的假设的方程如下：在任意封闭曲面（例如球体）中，由曲面进入封 闭曲面内的质量速率，需和由曲面离开封闭曲面内的质量速率相等。 （换句话说，曲面内的质量为定值，曲面外的质量也是定值）以上方程 可以用曲面上的积分式表示。
计算流体动力学的简称。是利用数值方法通过计算机求解描述流体流 动的数学方程，获得空间和时间离散位置处的数值解，揭示流动的物理 规律和研究流动的物理特性的学科。是计算力学的一个分支。计算流体 力学是为弥补理论分析方法的不足而于20世纪60年代发展起来的，并相 应地形成了各种数值解法。主要是有限差分法和有限元法。流体力学运 动偏微分方程有椭圆型、抛物型、双曲型和混合型之分，计算流体力学 很大程度上就是针对不同性质的偏微分方程采用和发展了相应的数值解 法。
三、N-S方程基本内容
为了解决实际工程问题，必须根据实际问题的物理特征对 N-S方程进 行不同程度的简化，建立各种近似的数学模型和数学方程。广泛采用的 简化近似方程有：线性位流方程、非线性位流方程、非线性欧拉方程、 粘性边界层方程、粘性薄层近似方程、抛物化N-S方程和完全N-S方程等。
① 线性位流方程：假设气体无粘性，存在速度位对绕细长机身薄翼及其 组合体的纯亚音速和纯超音速小迎角绕流，可以进一步假设这类物体 对流场产生小扰动，因而可以将速度位方程线性化，从而给出线性位 流方程。