专题31 “形影不离”的三角与向量的综合问题备战2018年高考高三数学一轮热点难点一网打尽(解析版)

考纲要求:

1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题，会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．

基础知识回顾:

1．平面向量数量积有关性质的坐标表示：设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2，由此得到：

(1)若a ＝(x ，y )，则|a |2

＝x 2

＋y 2

，或|a |＝x 2

＋y 2

.

(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 两点间的距离|AB |＝AB ＝x 1－x 2

2

＋y 1－y 2

2

.

(3)设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. 2．两角和与差的正弦、余弦和正切公式

sin (α±β)＝sin αcos β ± cos αsin β；cos (α∓β)＝cos αcos β ± sin αsin β； tan (α±β)＝

tan α±tan β

1∓tan αtan β

.

3.二倍角的正弦、余弦、正切公式：sin 2α＝2sin αcos α；cos 2α＝cos 2

α－sin 2α＝2cos 2α－1

＝1－2sin

2

α；tan 2α＝

α

α2

tan 1tan 2-.1＋sin 2α＝(sin α＋c os α)2,

1－sin 2α＝(sin α－cos α)2.

4．辅助角公式：)sin(cos sin 22ϕ++=+x b a x b x a ，其中sin ϕ＝

b a 2＋b

2

，cos ϕ＝a a 2＋b 2

.

5.正弦定理及变形：a sin A ＝b sin B ＝c

sin C

＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径．

变形：(1) a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ；(2) a ＝2Rsin A ，b ＝2Rsin B ，c ＝2Rsin C . 6．余弦定理及变形：a 2

＝b 2

＋c 2

－2bccos A ，b 2

＝a 2

＋c 2

－2accos B ，c 2

＝a 2

＋b 2

－2abcos C ． 变形：cos A ＝b 2

＋c 2

－a 2

2bc ，cos B ＝a 2

＋c 2

－b 2

2ac ，cos C ＝a 2

＋b 2

－c

2

2ab

.

应用举例:

类型一、向量与三角函数相结合

【例1】【2017年全国普通高等学校招生统一考试数学江苏卷】 已知向量a =（cosx ,sinx ）, (3,3=-b , []

0,πx ∈.

（1）若a ∥b ，求x 的值；

（2）记()f x =⋅a b ,求()f x 的最大值和最小值以及对应的x 的值 【答案】（1）5π6x =

（2）0x =时， ()f x 取到最大值3； 5π

6

x =时， ()f x 取到最小值23-. （2）()()(πcos ,sin 3,33cos 3sin 23cos 6f x a b x x x x x ⎛

⎫=⋅=⋅=-=+

⎪⎝

⎭

. 因为[]

0,πx ∈，所以ππ7π,666x ⎡⎤+

∈⎢⎥⎣⎦

， 从而π3

1cos 6x ⎛⎫-≤+≤ ⎪

⎝

⎭. 于是，当ππ

66x +

=，即0x =时， ()f x 取到最大值3； 当π6x π+=，即5π6

x =时， ()f x 取到最小值3-点睛:（1）向量平行： 1221a b x y x y ⇒=， ,0,a b b R a b λλ≠⇒∃∈=， BA AC OA λ=⇔=

111OB OC λ

λλ

+++；

（2）向量垂直： 121200a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=；（3）向量加减乘： a b ±= ()221212,,||,cos

,x x y y a a a b a b a b ±±=⋅=⋅．学&科网

【例2】【贵州省遵义市第四中学2018届高三上学期第一次月考】 已知向量()

23cos ,2m x =-， ()

2sin ,cos n x x =， ()f x m n =⋅．

（1）当8

x π

=

时，求()f x 的值；

（2）若,3x ππ⎡⎤

∈⎢

⎥⎣⎦

，且()31f x =-，求cos2x 的值． 【答案】(1) 62282f π--⎛⎫

=

⎪⎝⎭

；(2) 3cos22x =-． 类型二、向量与解三角形相结合

【例3】【湖北省部分重点中学2018届高三起点考试】已知

，其中

，

，

．

(1)求的单调递增区间； (2)在

中，角

所对的边分别为

，

，

，且向量

与

共线，

求边长b 和c 的值． 【答案】（1）

（2）

【解析】试题分析; （1）根据向量数量积的公式进行化简得到的解析式，再结合三角函数的辅助角公

式进行转化求解，由正弦函数的单调区间可求的单调递增区间．

（2）根据条件先求出A 的大小，结合余弦定理以及向量共线的坐标公式进行求解即可．学&科网 【例4】【辽宁省大连育明高级中学、本溪市高级中学2018届高三10月月考】的内角

所对的边

分别为，已知向量

，

，

.

（1）若，

，求

的面积；