高考数学二轮复习第2部分必考补充专题数学文化专项练1理
高考数学文化专项训练(原卷版)-高考数学二轮复习
高考数学文化专项训练1、我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同．二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始．已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸(一丈等于十尺，一尺等于十寸)，则下列说法不正确的是( )A ．相邻两个节气晷长减少或增加的量为一尺B ．春分和秋分两个节气的晷长相同C ．立春的晷长与立秋的晷长相同D ．立冬的晷长为一丈五寸2、饕餮纹是青铜器上常见的花纹之一，如图(1)所示，最早见于长江中下游地区的良渚文化陶器和玉器上，盛行于商代至西周早期．将饕餮纹的一部分画到方格纸上，如图(2)所示，每个小方格的边长为一个单位长度，有一点P 从点A 出发，每次向右或向下移动一个单位长度，且向右或向下移动是等可能的，那么点P 经过3次移动后恰好是沿着饕餮纹的路线到达点B 的概率为( )A.116B ．18 C.14 D ．123、中国古代数学名著《算法统宗》中有一道题：“今有七人差等均钱，甲乙均七十七文，戊己庚均七十五文，问丙丁各若干？”，意思是甲、乙、丙、丁、戊、己、庚七个人，所分钱数为等差数列，甲、乙两人共分77文，戊、己、庚三人共分75文，则丙、丁两人各分多少文钱？则下列说法正确的是( )A ．丙分34文，丁分31文B ．丙分37文，丁分40文C ．丙分40文，丁分37文D ．丙分31文，丁分34文4、魏晋南北朝时期，中国数学在测量学取得了长足进展．刘徽提出重差术，应用中国传统的出入相补原理．因其第一题为测量海岛的高度和距离的问题，故题为《海岛算经》．受此题启发，某同学依照此法测量某纪念塔的高度．如图，点D ，G ，F 在水平线DH 上，CD 和EF 是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，测得以下数据(单位：米)：前表却行DG ＝1，表高CD ＝EF ＝2，后表却行FH ＝3，表距DF ＝61.则塔高AB ＝( )A ．60米B ．61米C ．62米D ．63米.5、美学四大构件是：史诗、音乐、造型(绘画、建筑等)和数学．素描是学习绘画的必要一步，它包括了明暗素描和结构素描，而学习几何体结构素描是学习素描最重要的一步．某中学2020级某同学在画“切面圆柱体”(用与圆柱底面不平行的平面去截圆柱，底面与截面之间的部分叫做切面圆柱体)的过程中，发现“切面”是一个椭圆，若“切面”所在平面与底面成45°角，则该椭圆的离心率为( )A.12 B ．22 C.32 D ．136、如图，圭表是中国古代通过测量表影长度来确定节令的仪器，也是指导古代劳动人民农事活动的重要依据，它由“圭”和“表”两个部件组成，圭是正南正北方向水平放置于地面上的测定表影长度的刻板，表是与地面垂直的杆，正午时太阳照在表上，通过测量此时表在圭上的影长度来确定节令．已知冬至和夏至正午时，太阳光线与圭所在平面所成角分别为α，β，测得表影长度之差为l ，那么表高为( )A.l tan αtan βtan α－tan β B ．l (tan β－tan α)tan βtan αC.l tan βtan αtan β－tan α D ．l (tan α－tan β)tan αtan β7、筒车是我国古代发明的一种灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图所示．假设在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，现有一个半径为3米的筒车按逆时针方向每分钟旋转1圈，筒车的轴心距离水面的高度为2米，设筒车上的某个盛水筒P 到水面的距离为d (单位：米，在水面下，d 为负数)，若以盛水筒P 刚浮出水面时为初始时刻，经过t 秒后，下列说法正确的是⎝⎛⎭⎫参考数据：cos 48°≈23( )A ．d ＝2－3sin ⎝⎛⎭⎫π30t ＋θ，其中sin θ＝23，且θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2 B ．d ＝2＋3sin ⎝⎛⎭⎫π30t ＋θ，其中sin θ＝23，且θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2 C ．当t ≈38时，盛水筒P 再次进入水中D ．当t ≈22时，盛水筒P 到达最高点8、中国古代数学的瑰宝《九章算术》中记载了一种名为“曲池”的几何体，该几何体的上、下底面平行且均为扇环(圆环被扇形截得的部分)形．现有一个如图所示的曲池，其高为3，AA 1∥BB 1∥CC 1∥DD 1，AA 1⊥底面ABCD ，底面扇环所对的圆心角为π2，弧AD 长度为弧BC 长度的3倍，且CD ＝2，则该曲池的体积为( )A.9π2B ．6π C.11π2 D ．5π.9、日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O )，地球上一点A 的纬度是指OA 与地球赤道所在平面所成角，点A 处的水平面是指过点A 且与OA 垂直的平面．在点A 处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A 处的纬度为北纬40°，则晷针与点A 处的水平面所成角为( )A ．20°B ．40°C ．50°D ．90°10、沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图，AB ︵ 是以O 为圆心，OA 为半径的圆弧，C 是AB 的中点，D 在AB ︵ 上，CD ⊥AB .“会圆术”给出AB ︵的弧长的近似值s 的计算公式：s ＝AB ＋CD 2OA .当OA ＝2，∠AOB ＝60°时，s ＝( )A.11－332B ．11－432 C.9－332 D ．9－43211、许多建筑融入了数学元素，更具神韵，数学赋予了建筑活力，数学的美也被建筑表现得淋漓尽致．如图1是单叶双曲面(由双曲线绕虚轴旋转形成的立体图形)型建筑，图2是其中截面最细附近处的部分图象，上、下底面与地面平行．现测得下底直径AB ＝2010 米，上底直径CD ＝20 2 米，AB 与CD 间的距离为80米，与上、下底面等距离的G 处的直径等于CD ，则最细部分处的直径为( )A ．10米B ．20米C ．10 3 米D ．10 5 米12、2022年2月20日晚，第二十四届冬季奥林匹克运动会闭幕式在国家体育场(如图1所示)举行，北京成为全球首座“双奥之城”．国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图2所示，内、外两圈的钢骨架是两个“相似椭圆”(离心率相同的两个椭圆，我们称之为“相似椭圆”)．由外层椭圆长轴一端点A 和短轴一端点B 分别向内层椭圆引切线AC ，BD ，其中C ，D 为切点，若两切线斜率之积等于－34，则椭圆的离心率为( )A.34B ．74 C.12 D ．2213、《九章算术·商功》中有如下问题：今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈．其描述的是如图所示的一个五面体，其中底面ABCD 是矩形，且AB ＝4丈(丈为古代长度单位)，BC ＝3丈，DE ＝AE ＝BF ＝CF ，EF ＝2丈，该五面体的高(即点F 到底面ABCD 的距离)为1丈，则该刍甍中点F 到平面EBC 的距离(单位：丈)为( )A.15B ．35 C.105 D ．25514、达·芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名，画中女子神秘的微笑，数百年来让无数观赏者入迷．如图所示，某业余爱好者对《蒙娜丽莎》的缩小影像作品进行了粗略测绘，将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧，在嘴角A ，C 处分别作圆弧的切线，两条切线交于点B ，测得如下数据：AB ＝6 cm ，BC ＝6 cm ，AC ＝10.392 cm.根据测量得到的结果推算，该圆弧对应的圆心角大约等于⎝⎛⎭⎫参考数据：32≈0.866( )A.π3B ．π4 C.π2 D ．2π315、小华在学习绘画时，对古典装饰图案产生了浓厚的兴趣，拟以矢量图(在数学上定义为一系列由点连接的线，是根据几何特性绘制的图形)的模式精细地描绘以下古典装饰图案，如图1所示，经过研究，小华发现该图案可以看成一个边长为4的等边三角形ABC ，如图2所示，图1上边中间莲花形的两端恰好是边AB 的四等分点(E ，F )，则CE →·(BF →－BC →)＝( )A ．9B ．16C ．12D ．1116、(多选)十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家赫锐奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．则下列与不等式有关的命题正确的是( )A ．若ab ≠0且a <b ，则1a >1bB ．若a ，b ，m 均为正实数，且b ＞a ，则a ＋m b ＋m ＞a bC ．若a ＞b ＞c 且ac ＜0，则cb 2＜ab 2D ．若a ＞0，b ＞0，则⎝⎛⎭⎫a ＋1a ⎝⎛⎭⎫b ＋1b ≥4 17、(多选)沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时，细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时．如图，某沙漏由上、下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为8 cm ，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高的23(细管长度忽略不计)．假设该沙漏每秒钟漏下0.02 cm 3的沙，且细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆．以下结论正确的是( )A ．沙漏中的细沙体积为1 024π81cm 3 B ．沙漏的体积是128π cm 3C ．细沙全部漏入沙漏的下部后，此锥形沙堆的高度约为2.4 cmD ．该沙漏的一个沙时大约是1 565 s(π≈3.14)18、(多选)有一句诗歌是这样的：世界上最远的距离，不是树枝无法相依，而是相互瞭望的星星，却没有交会的轨迹；世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，而是纵然轨迹交会，却在转瞬间无处寻觅．已知点M (0,2)，直线l ：y ＝－3，若某直线上存在点P ，使得点P 到点M 的距离比到直线l 的距离小1，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论正确的是( )A ．点P 的轨迹是一条线段B ．点P 的轨迹与直线l 0：y ＝－1没有交会(即两个轨迹没有交点)C ．y ＝2x －3是“最远距离直线”D ．y ＝12x －1不是“最远距离直线” 19、(多选)瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．在平面直角坐标系中，B (－1,3)，C (4，－2)，作△ABC ，使AB ＝AC ＝4，且其“欧拉线”与圆M ：(x －3)2＋y 2＝r 2(r >0)相切，则下列结论正确的是( )A ．圆M 上的点到直线x －y ＋3＝0的最小距离为2 2B ．圆M 上的点到直线x －y ＋3＝0的最大距离为3 2C ．若点(x ，y )在圆M 上，则x ＋3y 的最小值是3－2 2D ．若圆(x －a －1)2＋(y －a )2＝8与圆M 有公共点，则a 的取值范围是[1－22，1＋22]20、扇面是中国书画作品的一种重要表现形式，一幅扇面书法作品如图所示，经测量，上、下两条弧分别是半径为27和12的两个同心圆上的弧，侧边两条线段的延长线交于同心圆的圆心且圆心角为2π3.若某几何体的侧面展开图恰好与图中扇面形状、大小一致，则该几何体的高为_______．21、我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白．如果把这个方法写成公式，就是S ＝14⎣⎡⎦⎤c 2a 2－⎝⎛⎭⎫c 2＋a 2－b 222，其中a ，b ，c 是三角形的三边，S 是三角形的面积．设某三角形的三边a ＝2，b ＝3，c ＝2，则该三角形的面积S ＝________.22、《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵，在堑堵ABC -A 1B 1C 1中，已知棱AB 最长，AC ＝3，BC ＝4，且该堑堵存在内切球，则该堑堵外接球的表面积为________．23、有一种制作正二十面体的方法：如图(1)，先制作三张一样的黄金矩形ABCD ⎝ ⎛⎭⎪⎫短边长边＝5－12，然后从长边CD 的中点E 出发，沿着与短边平行的方向剪开一半，即OE ＝12AD ，再沿着与长边AB 平行的方向剪出相同的长度，即OF ＝OE ，将这三个矩形穿插两两垂直放置，如图(2)，连接所有顶点即可得到一个正二十面体，如图(3)．若黄金矩形的短边长为4，则按如上方法制作的正二十面体的表面积为________，其外接球的表面积为________．24、“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，它的发现比西方的“帕斯卡三角形”早了500年左右，如图是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，记a n 为图中虚线上的数1,3,6,10，…依次构成的数列的第n 项，则1a 1＋1a 2＋…＋1a 9的值为________．25、有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术．得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟．”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：223＝223，338＝338，4415＝4415，5524＝5524，….按照以上规律，若n n 120＝n n 120具有“穿墙术”，则n ＝________.26、庑殿顶(如图1)是中国古代建筑的一种屋顶样式，而且等级是最高的，如故宫的英华殿．它屋面有四面坡，前后坡屋面全等且相交成一条正脊，两侧屋面全等且与前后屋面相交成四条垂脊．由于屋顶有四面斜坡，也称“四阿顶”．图2是庑殿顶的几何模型示意图，底面ABCD 是矩形，若四个侧面与底面所成的角均相等，已知BC ＝2，EF ＝1，则AB ＝_______.。
高考数学二轮复习 第2部分 必考补充专题 数学文化专项练2 理-人教版高三全册数学试题
数学文化专项练(二)(对应学生用书第121页)1．我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米 1 534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数是254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为( )A ．134石B ．169石C ．338石D ．1 365石B [抽样比是28254，那么1 534石米夹谷1 534×28254≈169(石)， 故选B.]2．(2017·某某4月教学质量检测)朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问中有如下问题：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤．只云初日差六十四人，次日转多七人．每人日支米三升，共支米四百三石九斗二升，问筑堤几日．”其大意为：“官府陆续派遣1 864人前往修筑堤坝．第一天派出64人，从第二天开始，每天派出的人数比前一天多7人．修筑堤坝的每人每天分发大米3升，共发出大米40 392升，问修筑堤坝多少天．”在这个问题中，第5天应发大米( )A ．894升B ．1 170升C ．1 275升D ．1 467升B [由题意，知每天派出的人数构成首项为64，公差为7的等差数列，则第5天的总人数为5×64＋5×42×7＝390，所以第5天应发大米390×3＝1 170升， 故选B.]3．《算数书》竹简于20世纪八十年代在某某省江陵县X 家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：“置如其周，令相乘也．又以高乘之，三十六成一”．该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式V ≈136l 2h .它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取3.那么，近似公式V ≈275l 2h 相当于将圆锥体积公式中的π近似取为( )【导学号：07804142】A.227B ．258 C.15750 D ．355113B [设圆锥的底面圆半径为r ，则圆锥的底面圆周长L ＝2πr ，所以圆锥底面圆的半径r ＝L 2π，则圆锥的体积为V ＝13Sh ＝13πr 2h ＝13π·L 24π2h ＝112πL 2h .又V ≈275L 2h ，所以112πL 2h ≈275L 2h ，解得π≈258.] 4．(2017·某某某某5月质检)“牟合方盖”是我国古代数学家X 徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体，它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一圆柱的侧面上，好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖)．如图1，正方形ABCD 是为体现其直观性所作的辅助线，若该几何体的正视图与侧视图都是半径为r 的圆，根据祖暅原理，可求得该几何体的体积为( )图1A.83r 3 B ．83πr 3 C.163r 3 D ．163πr 3 C [由题意，根据祖暅原理，求得该几何体的体积与中截面面积为(2r )2＝πR 2的球的体积相等，所以几何体的体积为43πR 3＝43×4r 2×r ＝163r 3.] 5．(2017·某某某某四诊)《孙子算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，其中一个问题的解答可以用如图2的算法来实现，若输入的S ，T 的值分别为40,126，则输出a ，b 的值分别为( )图2 A ．17,23B ．21,21C ．19,23D ．20,20A [依据流程图运行程序：S ＝40，T ＝126，此时T ≥2S 成立，(T －2S )÷2＝46÷2＝23，余数为0，则b ＝T －2S2＝23，a ＝S －b ＝40－23＝17，输出a ，b 结束程序运行．综上可得输出a ，b 的值分别为17,23.]6．(2017·某某一模)《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥P ABC 为鳖臑，PA ⊥平面ABC ，PA ＝AB ＝2，AC ＝4，三棱锥P ABC 的四个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为( )A ．8πB ．12πC ．20πD ．24πC [法一：(还原几何法)将三棱锥P ABC 放入长方体中，如图，三棱锥P ABC 的外接球就是长方体的外接球．因为PA ＝AB ＝2，AC ＝4，△ABC 为直角三角形，所以BC ＝42－22＝2 3.设外接球的半径为R ，依题意可得(2R )2＝22＋22＋(23)2＝20，故R 2＝5，则球O 的表面积为4πR 2＝20π，选C.法二：(直接法)利用鳖臑的特点求解，如图，因为四个面都是直角三角形，所以PC 的中点到每一个顶点的距离都相等，即PC 的中点为球心O ，易得2R ＝PC ＝20，所以球O 的表面积为4πR 2＝20π，选C.]7．《九章算术》是我国古代著名数学经典，其中对勾股定理的论术比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小；以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长1尺．问这块圆柱形木料的直径是多少？长为1丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中，截面图如图3所示(阴影部分为镶嵌在墙体内的部分)，已知弦AB ＝1尺，弓形高CD ＝1寸，估算该木材镶嵌在墙中的体积约为(注：1丈＝10尺，1尺＝10寸，π≈3.14，sin 22.5°≈513)( )图3A ．600立方寸B ．610立方寸C ．620立方寸D ．633立方寸D [连接OA ，OB ，OD ，设⊙O 的半径为R ，则(R －1)2＋52＝R 2，∴R＝13.sin∠AOD ＝AD AO ＝513. ∴∠AOD ≈22.5°，即∠AOB ≈45°.故∠AOB ≈π4.∴S 弓形ACB ＝S 扇形OACB －S △OAB ＝12×π4×169－12×10×12≈6.33(平方寸)，则V ＝633(立方寸)，故选D.] 8．(2017·某某一模)祖暅是南北朝时代的伟大数学家，5世纪末提出体积计算原理，即祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任何一个平面所截，如果截面面积都相等，那么这两个几何体的体积一定相等．现有以下四个几何体：图4①是从圆柱中挖去一个圆锥所得的几何体，图4②、图4③、图4④分别是圆锥、圆台和半球，则满足祖暅原理的两个几何体为( )图4 A ．①②B ．①③C ．②④D ．①④D [设截面与底面的距离为h ，则①中截面内圆的半径为h ，则截面圆环的面积为π(R 2－h 2)；②中截面圆的半径为R －h ，则截面圆的面积为π(R －h )2；③中截面圆的半径为R －h 2，则截面圆的面积为π⎝ ⎛⎭⎪⎫R －h 22；④中截面圆的半径为R 2－h 2，则截面圆的面积为π(R 2－h 2)．所以①④中截面的面积相等，故其体积相等，选D.]9．(2017·某某七市联考)秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图5所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n ，x 的值分别为3,4，则输出的v 的值为( )【导学号：07804143】图5A ．6B ．25C ．100D ．400C [输入n ＝3，x ＝4，第一步：v ＝1，i ＝3－1＝2；第二步：v ＝1×4＋2＝6，i ＝2－1＝1；第三步：v ＝6×4＋1＝25，i ＝1－1＝0；第四步：v ＝25×4＝100，i ＝0－1＝－1＜0.程序结束，输出的v ＝100，故选C.]10．假设“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P 变轨进入月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行．若用2c 1和2c 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a 1和2a 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，给出下列式子：图6①a 1＋c 1＝a 2＋c 2；②a 1－c 1＝a 2－c 2；③c 1a 1＜c 2a 2；④c 1a 2＞a 1c 2.其中正确的式子的序号是( )A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④ D [①由题图知2a 1＞2a 2,2c 1＞2c 2；即a 1＞a 2，c 1＞c 2，∴a 1＋c 1＞a 2＋c 2，∴①不正确． ②∵a 1－c 1＝|PF |，a 2－c 2＝|PF |，∴a 1－c 1＝a 2－c 2，∴②正确．③∵c 1a 2＞a 1c 2，a 1＞0，a 2＞0，∴c 1a 2a 1a 2＞a 1c 2a 1a 2.即c 1a 1＞c 2a 2，∴③不正确． ④∵a 1＞a 2＞0，c 1＞c 2＞0.∴a 21＞a 22，c 21＞c 22，又∵a 1－c 1＝a 2－c 2.即a 1＋c 2＝a 2＋c 1，即a 21＋c 22＋2a 1c 2＝a 22＋c 21＋2a 2c 1.∴a 21－c 21＋c 22－a 22＋2a 1c 2＝2a 2c 1，即(a 1－c 1)(a 1＋c 1)－(a 2－c 2)(a 2＋c 2)＋2a 1c 2＝2a 2c 1，整理得(a 1－c 1)(a 1－a 2＋c 1－c 2)＋2a 1c 2＝2a 2c 1，∵a 1＞c 1，a 1＞a 2，c 1＞c 2，∴2a 1c 2＜2a 2c 1.即c 1a 2＞a 1c 2，∴④正确．故选D.]11．(2017·某某黄冈3月模拟)关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰试验和查理斯试验．受其启发，我们也可以通过设计下面的试验来估计π的值：先请200名同学，每人随机写下一个都小于1的正实数对(x ，y )，再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对(x ，y )的个数m ；最后再根据统计数m 来估计π的值，假如统计结果是m ＝56，那么可以估计π≈________.(用分数表示) 7825[由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2－1＜0x ＋y ＞10＜x ，y ＜1，所以m 200＝14π·12－12×121×1，56200＝14π－12，π＝7825.] 12．(2017·某某4月新课程教学质量检测)我国古代，9是数字之极，代表尊贵之意，所以中国古代皇家建筑中包含许多与9相关的设计．例如，天坛圆丘的底面由扇环形的石板铺成(如图7)，最高一层是一块天心石，围绕它的第一圈有9块石板，从第二圈开始，每一圈比前一圈多9块，共有9圈，则前9圈的石板总数是________．图7405 [前9圈的石板数依次组成一个首项为9，公差为9的等差数列，S 9＝9×9＋9×82×9＝405.]13．(2017·某某三模)公元前3世纪，古希腊欧几里得在《几何原本》里提出：“球的体积(V )与它的直径(D )的立方成正比”，此即V ＝kD 3，欧几里得未给出k 的值.17世纪日本数学家们对求球的体积的方法还不了解，他们将体积公式V ＝kD 3中的常数k 称为“立圆率”或“玉积率”．类似地，对于等边圆柱(轴截面是正方形的圆柱)、正方体也可利用公式V ＝kD 3求体积(在等边圆柱中，D 表示底面圆的直径；在正方体中，D 表示棱长)．假设运用次体积公式求得球(直径为a )、等边圆柱(底面积的直径为a )、正方体(棱长为a )的“玉积率”分别为k 1，k 2，k 3，那么k 1∶k 2∶k 3＝________.π6∶π4∶1 [由题意得，球的体积为V 1＝43πR 3＝43π⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝π6a 3⇒k 1＝π6； 等边圆柱的体积为V 2＝πR 2a ＝π⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2a ＝π4a 3⇒k 2＝π4； 正方体的体积V 3＝a 3⇒k 3＝1，所以k 1∶k 2∶k 3＝π6∶π4∶1.] 14．在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》(1261年)一书中，用如图8(1)所示的三角形，解释二项和的乘方规律．在欧洲直到1623年以后，法国数学家布莱士·帕斯卡的著作(1655年)介绍了这个三角形．近年来国外也逐渐承认这项成果属于中国，所以有些书上称这是“中国三角形”(Chinese triangle)，如图8(1).17世纪德国数学家莱布尼茨发现了“莱布尼茨三角形”如图8(2)．在杨辉三角中相邻两行满足关系式：C r n ＋C r ＋1n＝C r ＋1n ＋1，其中n 是行数，r ∈N .请类比上式，在莱布尼茨三角形中相邻两行满足的关系式是________.【导学号：07804144】1 11 2 11 3 3 11 4 6 4 11 5 10 10 5 1……C 0n C 1n …C r n …C n －1n C n n图8(1)1212131613141121121415120130120151613016016013016…1C 1n ＋1C 0n 1C 1n ＋1C 1n …1C 1n ＋1C r n …1C 1n ＋1C n －1n 1C 1n ＋1C n n图8(2)1C n n ＋1C r n ＝1C 1n ＋2C r n ＋1＋1C 1n ＋2C r ＋1n ＋1[类比观察得，将莱布尼茨三角形的每一行都能提出倍数1C 1n ＋1，而相邻两项之和是上一行的两者相拱之数，所以类比式子C r n ＋C r ＋1n ＝C r ＋1n ＋1，有1C n n ＋1C r n＝1C 1n ＋2C rn ＋1＋1C 1n ＋2C r ＋1n ＋1.]。
高考数学二轮复习 第二部分 专题二 数学传统文化的创新应用问题习题-人教版高三全册数学试题
专题二 数学传统文化的创新应用问题一、选择题1．宋元时期杰出的数学家朱世杰在其数学巨著《四元玉鉴》中提出了一个“茭草形段”问题：“今有茭草六百八十束，欲令‘落一形’(同垛)之，问底子几何？”他在这一问题中探讨了“垛积术”中的落一形垛(“落一形”即是指顶上一束，下一层3束，再下一层6束……)成三角锥的堆垛，故也称三角垛，如图，表示从上往下第二层开始的每层茭草束数，则本问题中三角垛倒数第二层茭草总束数为( )A ．91B ．105C ．120D ．210解析：由题意得，从上往下第n 层茭草束数为1＋2＋3＋…＋n ＝n n ＋12.∴1＋3＋6＋…＋n n ＋12＝680，即12⎣⎢⎡⎦⎥⎤16n n ＋12n ＋1＋12nn ＋1＝16n (n ＋1)(n ＋2)＝680，∴n (n ＋1)(n ＋2)＝15×16×17，∴n ＝15.故倒数第二层为第14层，该层茭草总束数为14×152＝105.答案：B2．《X 丘建算经》卷上第23题：今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈，问日益几何？意思是：现有一女子善于织布，若第1天织5尺布，从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，现在一月(按30天计)共织930尺布(注：1匹＝10丈，1丈＝10尺)，则每天比前一天多织( ) A.47尺布 B.5229尺布 C.815尺布 D.1631尺布 解析：设公差为d ，则由a 1＝5，S 30＝30×5＋30×292d ＝930，解得d ＝5229.答案：B3．我国古代数学名著《九章算术》中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法的前两步为： 第一步：构造数列1，12，13，14，…，1n.第二步：将数列①的各项乘以n ，得数列(记为)a 1，a 2，a 3，…，a n . 则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n 等于( ) A ．n 2B ．(n －1)2C ．n (n －1)D ．n (n ＋1)解析：a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n ＝n 1·n 2＋n 2·n 3＋…＋n n －1·n n ＝n 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤11·2＋12·3＋…＋1n －1n ＝n 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1－1n ＝n 2·n －1n ＝n (n －1)． 答案：C4．我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九面一，所得开立方除之，即立圆径．“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V ，求其直径d 的一个近似公式d ≈ 3169V .人们还用过一些类似的近似公式，根据π＝3.141 59…判断，下列近似公式中最精确的一个是( ) A ．d ≈ 3169VB ．d ≈ 32V C ．d ≈ 3300157VD ．d ≈ 32111V解析：由球体积公式得d ＝ 36πV ≈31.909 860 93V .因为169≈1.777 777 78，300157≈1.910 82803，2111≈1.909 090 91.而2111最接近于6π，所以选D.答案：D5．(2016·河西五市二联)我国明朝著名数学家程大位在其名著《算法统宗》中记载了如下数学问题：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯，”诗中描述的这个宝塔古称浮屠，本题说它一共有7层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，共有381盏灯，那么塔顶有________盏灯．( ) A ．2 B ．3 C ．5D ．6解析：本题可抽象为一个公比为2的等比数列{a n }．∵S 7＝a 11－271－2＝381，∴可解得a 1＝3，即塔顶有3盏灯，故选B. 答案：B6．(2017·某某调研)中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅监制的一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所示(单位：寸)，若π取3，其体积为12.6(单位：立方寸)，则图中的x 为( )A ．1.2B ．1.6C ．1.8D ．2.4解析：该几何体是一个组合体，左边是一个底面半径为12的圆柱，右边是一个长、宽、高分别为5.4－x 、3、1的长方体，∴组合体的体积V ＝V 圆柱＋V 长方体＝π·(12)2×x ＋(5.4－x )×3×1＝12.6(其中π＝3)，解得x ＝1.6.故选B. 答案：B7．《九章算术》是我国古代著名数学经典，其中对勾股定理的论术比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小；以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长1尺，问这块圆柱形木料的直径是多少？长为1丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中，截面图如图所示(阴影部分为镶嵌在墙体内的部分)．已知弦AB ＝1尺，弓形高CD ＝1寸，估算该木材镶嵌在墙中的体积约为( )(注：1丈＝10尺＝100寸，π≈3.14，sin 22.5°≈513)A ．600立方寸B ．610立方寸C ．620立方寸D ．633立方寸解析：连接OA ，OB ，OD ，设⊙O 的半径为R ，则(R －1)2＋52＝R 2，∴R ＝13.sin ∠AOD ＝AD AO ＝513.∴∠AOD ≈22.5°，即∠AOB ≈45°.故∠AOB ≈π4.∴S 弓形ACB ＝S扇形OACB－S △OAB ＝12×π4×132－12×10×12≈6.33平方寸．∴该木材镶嵌在墙中的体积为V ＝S 弓形ACB ×100≈633立方寸．选D.答案：D8．(2017·某某模拟)李冶( 1192—1279)，真定栾城(今某某省某某市)人，金元时期的数学家、诗人，晚年在封龙山隐居讲学，数学著作多部，其中《益古演段》主要研究平面图形问题：求圆的直径、正方形的边长等．其中一问：现有正方形方田一块，内部有一个圆形水池，其中水池的边缘与方田四边之间的面积为13.75亩，若方田的四边到水池的最近距离均为二十步，则圆池直径和方田的边长分别是(注：240平方步为1亩，圆周率按3近似计算) ( ) A ．10步，50步 B ．20步，60步 C ．30步，70步D ．40步，80步解析：设圆池的半径为r 步，则方田的边长为(2r ＋40)步，由题意，得(2r ＋40)2－3r 2＝13.75×240，解得r ＝10或r ＝－170(舍)，所以圆池的直径为20步，方田的边长为60步．故选B. 答案：B 二、填空题9．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列．上面4节的容积共为3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升．解析：设该数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，依题意⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3，a 7＋a 8＋a 9＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝3，3a 1＋21d ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋7d ＝43，d ＝766，则a 5＝a 1＋4d ＝a 1＋7d －3d ＝43－2166＝6766.答案：676610．“中国剩余定理”又称“孙子定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1到2 016这2 016个数中能被3除余1且被5除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{a n }，则此数列的项数为________．解析：能被3除余1且被5除余1的数就是能被15除余1的数，故a n ＝15n －14.由a n ＝15n －14≤2 016，解得n ≤4063，又n ∈N *，故此数列的项数为135.答案：13511．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数：将三角形数1, 3,6,10，…记为数列{a n }，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{b n }，可以推测：(1)b 2 012是数列{a n }中的第________项； (2)b 2k －1＝________(用k 表示)． 解析：由题意可得a n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n n ＋12，n ∈N *，故b 1＝a 4，b 2＝a 5，b 3＝a 9，b 4＝a 10，b 5＝a 14，b 6＝a 15，由上述规律可知：b 2k ＝a 5k ＝5k5k ＋12(k 为正整数)，b 2k －1＝a 5k －1＝5k －15k －1＋12＝5k5k －12， 故b 2 012＝b 2×1 006＝a 5×1 006＝a 5 030，即b 2 012是数列{a n }中的第5 030项． 答案：(1)5 030 (2)5k5k －1212．我国南北朝时期的伟大科学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上，于5世纪末提出下面的体积计算原理(祖暅原理)：“幂势既同，则积不容异”．“势”是几何体的高，“幂”是截面积．意思是，两等高立方体，若在每一等高处的截面积都相等，则两立方体体积相等．现有下题：在xOy 平面上，将两个半圆弧(x －1)2＋y 2＝1(x ≥1)和(x －3)2＋y 2＝1(x ≥3)、两条直线y ＝1和y ＝－1围成的封闭图形记为D ，如图所示阴影部分．记D 绕y 轴旋转一周而成的几何体为Ω，过(0，y )(|y |≤1)作Ω的水平截面，所得截面面积为4π1－y 2＋8π，试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出Ω的体积值为________．解析：根据提示，一个底面半径为1，高为2π的圆柱平放，一个高为2，底面积为8π的长方体，这两个几何体与Ω放在一起，根据祖暅原理，每个平行水平面的截面面积都相等，故它们的体积相等，即Ω的体积为π·12·2π＋2·8π＝2π2＋16π. 答案：2π2＋16π传统文化训练二一、选择题1．(2017·某某模拟)《九章算术》是我国古代第一部数学专著，全书收集了246个问题及其解法，其中一个问题为“现有一根九节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面四节容积之和为3升，下面三节的容积之和为4升，求中间两节的容积各为多少？”该问题中第2节、第3节、第8节竹子的容积之和为( ) A.176升 B.72升 C.11366升 D.10933升 解析：自上而下依次设各节竹子的容积分别为a 1，a 2，…，a 9，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3a 7＋a 8＋a 9＝4，因为a 2＋a 3＝a 1＋a 4，a 7＋a 9＝2a 8，故a 2＋a 3＋a 8＝32＋43＝176.选A.答案：A2.(2017·某某模拟)中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”人们把此类题目称为“中国剩余定理”．若正整数N 除以正整数m 后的余数为n ，则记为N ≡n (mod m )，例如11≡2(mod 3)．现将该问题以程序框图给出，执行该程序框图，则输出的n 等于( )A ．21B ．22C ．23D ．24解析：当n ＝21时，21被3整除，执行否．当n ＝22时，22除以3余1，执行否； 当n ＝23时，23除以3余2，执行是；又23除以5余3，执行是，输出的n ＝23.故选C. 答案：C3．(2017·某某模拟)我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题：今有甲乙丙三人持钱，甲语乙丙：各将公等所持钱，半以益我，钱成九十(意思是把你们两个手上的钱各分我一半，我手上就有90钱)；乙复语甲丙，各将公等所持钱，半以益我，钱成七十；丙复语甲乙：各将公等所持钱，半以益我，钱成五十六，则乙手上有________钱．( ) A ．28 B ．32 C ．56D ．70解析：设甲、乙、丙三人各持有x ，y ，z 钱，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋z 2＝90y ＋x ＋z 2＝70z ＋x ＋y 2＝56，解方程组得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝72y ＝32z ＝4，所以乙手上有32钱． 答案：B4．(2017·某某模拟)在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑A －BCD 中，AB ⊥平面BCD .且BD ⊥CD ，AB ＝BD ＝CD ，点P 在棱AC 上运动，设CP 的长度为x ，若△PBD 的面积为f (x )，则f (x )的图象大致是( )解析：如图，作PQ ⊥BC 于Q ，作QR ⊥BD 于R ，连接PR ，则由鳖臑的定义知PQ ∥AB ，QR ∥CD .设AB ＝BD ＝CD ＝1，则CP AC ＝x 3＝PQ 1，即PQ ＝x 3，又QR 1＝BQ BC ＝AP AC ＝3－x 3，所以QR ＝3－x3，所以PR ＝PQ 2＋QR 2＝x32＋3－x 32＝332x 2－23x ＋3， 所以f (x )＝362x 2－23x ＋3＝66x －322＋34，故选A.答案：A5．欧拉公式e i x＝cos x ＋isin x 是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数之间的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式，复数e π4i·e 3π4i ＋(1＋i)2的虚部是( )A ．－1B ．1C ．－2D ．2解析：依题意得，e π4i·e 3π4i ＋(1＋i)2＝(cos π4＋isin π4)(cos 3π4＋isin 3π4)＋2i ＝－1＋2i ，其虚部是2，选D. 答案：D6．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．下图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a ，b 分别为5,2，则输出的n ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：程序运行如下：n ＝1，a ＝5＋52＝152，b ＝4，a ＞b ，继续循环；n ＝2，a ＝152＋12×152＝454，b ＝8，a ＞b ，继续循环；n ＝3，a ＝454＋12×454＝1358，b ＝16，a ＞b ，继续循环；n ＝4，a ＝1358＋12×1358＝40516， b ＝32，此时，a ＜b .输出n ＝4，故选C.答案：C7．(2017·某某中学调研)今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，问：几何日相逢？( ) A ．12日 B ．16日 C ．8日D ．9日解析：由题易知良马每日所行里数构成一等差数列其通项公式为a n ＝103＋13(n －1)＝13n ＋90，驽马每日所行里数也构成一等差数列，其通项公式为b n ＝97－12(n －1)＝－12n ＋1952，二马相逢时所走路程之和为2×1 125＝2 250，所以n a 1＋a n2＋n b 1＋b n2＝2 250，即n 103＋13n ＋902＋n 97－12n ＋19522＝2 250，化简得n 2＋31n －360＝0，解得n ＝9或n ＝－40(舍去)，故选D.答案：D8．埃及数学中有一个独特现象：除23用一个单独的符号表示以外，其他分数都要写成若干个单位分数和的形式，例如25＝13＋115，可以这样理解：假定有两个面包，要平均分给5个人，若每人分得一个面包的12，不够，若每人分得一个面包的13，还余13，再将这13分成5份，每人分得115，这样每人分得13＋115.形如2n (n ＝5,7,9,11，…)的分数的分解：25＝13＋115，27＝14＋128，29＝15＋145，按此规律，2n＝( )A.2n ＋1＋2n n ＋1 B.1n ＋1＋1n n ＋1C.1n ＋2＋1nn ＋2 D.12n ＋1＋12n ＋12n ＋3解析：根据分面包原理知，等式右边第一个数的分母应是等式左边数的分母加1的一半， 第二个数的分母是第一个数的分母与等式左边数的分母的乘积，两个数的原始分子都是1， 即2n ＝1n ＋12＋1nn ＋12＝2n ＋1＋2n n ＋1.故选A. 答案：A 二、填空题9．某同学想求斐波那契数列0,1,1,2，…(从第三项起每一项等于前两项的和)的前10项和，他设计了一个程序框图，则满足条件的整数P 的值为________．解析：由题意，第1次循环：a ＝0，b ＝1，i ＝3，S ＝0＋1＝1，求出第3项c ＝1，求出前3项和 S ＝0＋1＋1＝2，a ＝1，b ＝1，满足条件，i ＝4，执行循环体；第2次循环：求出第4项c ＝1＋1＝2，求出前4项和S ＝0＋1＋1＋2＝4，a ＝1，b ＝2，满足条件，i ＝5，执行循环体，…… 第8次循环：求出第10项c ，求出前10项和S ，此时i ＝10，由题意不满足条件，跳出循环，输出S 的值，故判断框内应为“i ≤9？”，所以P 的值为9.答案：910．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1,3,6,10，…，第n 个三角形数为n n ＋12＝12n 2＋12n .记第n 个k 边形数为N (n ，k )(k ≥3)，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：三角形数 N (n,3)＝12n 2＋12n ， 正方形数 N (n,4)＝n 2，五边形数 N (n,5)＝32n 2－12n ， 六边形数 N (n,6)＝2n 2－n ，……可以推测N (n ，k )的表达式，由此计算N (10,24)＝________. 解析：由N (n,4)＝n 2，N (n,6)＝2n 2－n ，…，可以推测：当k 为偶数时，N (n ，k )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2－1n 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫k2－2n ，于是N (n,24)＝11n 2－10n ，故N (10,24)＝11×102－10×10＝1 000.答案：1 00011．(2017·某某模拟)辗转相除法，又名欧几里得算法，乃求两个正整数之最大公因子的算法．它是已知最古老的算法之一，在中国则可以追溯至东汉时期出现的《九章算术》．图中的程序框图所描述的算法就是欧几里得辗转相除法．若输入m ＝5 280，n ＝12 155，则输出的m 的值为________．解析：通解：依题意，当输入m ＝5 280，n ＝12 155时，执行题中的程序框图，进行第一次循环时，m 除以n 的余数r ＝5 280，m ＝12 155，n ＝5 280，r ≠0；进行第二次循环时，m 除以n 的余数r ＝1 595，m ＝5 280，n ＝1 595，r ≠0；进行第三次循环时，m 除以n 的余数r ＝495，m ＝1 595，n ＝495，r ≠0；进行第四次循环时，m 除以n 的余数r ＝110，m ＝495，n ＝110，r ≠0；进行第五次循环时，m 除以n 的余数r ＝55，m ＝110，n ＝55，r ≠0；进行第六次循环时，m 除以n 的余数r ＝0，m ＝55，n ＝0，r ＝0，此时结束循环，输出的m 的值为55.优解：依题意，注意到5 280＝25×3×5×11,12 155＝5×11×221，因此5 280与12 155的最大公因子是55，即输出的m 的值为55.答案：5512．(2017·某某模拟)中国古代数学有着很多令人惊叹的成就．北宋沈括在《梦溪笔谈》卷十八《技艺》篇中首创隙积术．隙积术意即：将木桶一层层堆放成坛状，最上一层长有a 个，宽有b 个，共计ab 个木桶，每一层长宽各比上一层多一个，共堆放n 层，设最底层长有c 个，宽有d 个，则共计有木桶n [2a ＋c b ＋2c ＋a d ＋d －b ]6个，假设最上层有长2宽1共2个木桶，每一层的长宽各比上一层多一个，共堆放15层，则木桶的个数为________个．解析：根据题意可知，a ＝2，b ＝1，n ＝15，则c ＝2＋14＝16，d ＝1＋14＝15，代入题中所给的公式，可计算出木桶的个数为15×20＋34×15＋146＝1 360. 答案：1 360。
2020届高考数学山东省二轮复习训练习题：第二板块第1讲第4讲 数学文化 Word版含解析
第4讲数学文化一、选择题1.(2019湖北重点高中协作体期中)我国古代数学名著《数书九章》中有“米谷粒分”一题,现有类似的题:粮仓开仓收粮,粮农送来米1 534石,验得米夹谷,抽样取米一把,数得254粒夹谷28粒,则这批米内夹谷约为()A.134石B.169石C.338石D.454石答案B由题意可知这批米内夹谷约为1 534×28≈169(石).故选B.2542.(2019广东梅州二模)《中国诗词大会》的播出引发了全民的读书热,某小学语文老师在班里开展了一次诗词默写比赛,班里40名学生得分数据的茎叶图如图所示.若规定得分不小于85分的学生得到“诗词达人”的称号,小于85分且不小于70分的学生得到“诗词能手”的称号,其他学生得到“诗词爱好者”的称号,根据该次比赛的成绩,按照称号的不同进行分层抽样抽选10名学生,则抽选的学生中获得“诗词能手”称号的人数为()A.2B.4C.5D.6答案B由茎叶图可得,获得“诗词能手”称号的有16名学生,根据该次比赛的成绩,按照称号的不同用分层抽样的方法抽选10名学生,则抽选的学生中获得“诗词能手”称号的人数为10×16=4,故选B.403.我国古代的天文学和数学著作《周髀算经》中记载:一年有二十四个节气,每个节气晷(ɡuǐ)长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器,晷长即为所测量影子的长度).二十四个节气及晷长变化如图所示,相邻两个节气晷长的变化量相同,周而复始.若冬至晷长一丈三尺五寸,夏至晷长一尺五寸(一丈等于十尺,一尺等于十寸),则夏至之后的那个节气(小暑)晷长是( )A.五寸B.二尺五寸C.三尺五寸D.四尺五寸答案 B 设从夏至到冬至的晷长依次构成等差数列{a n },公差为d,a 1=15,a 13=135,则15+12d=135,解得d=10.所以a 2=15+10=25,所以小暑的晷长是25寸,即二尺五寸,故选B. 4.刘徽是一个伟大的数学家,他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》是中国宝贵的数学遗产,他所提出的割圆术可以估算圆周率π,理论上能把π的值计算到任意精度.割圆术的第一步是求圆的内接正六边形的面积.若在圆内随机取一点,则此点取自该圆内接正六边形的概率是( ) A.3√34πB.3√32πC.12πD.14π答案 B 如图,在单位圆中作其内接正六边形,则所求概率P=S 正六边形S 圆=√34×12×6π×12=3√32π.5.我国南宋著名数学家秦九韶发现了由三角形三边长求三角形的面积的“三斜求积”公式:设△ABC 的三个内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,则△ABC 的面积S=√14[c 2a 2-(c 2+a 2-b 22)2].若a 2sin C=4sin A,(a+c)2=12+b 2,则用“三斜求积”公式求得△ABC 的面积为( )A.√3B.2C.3D.√6答案 A 根据正弦定理及a 2sin C=4sin A,得ac=4. 再结合(a+c)2=12+b 2,得a 2+c 2-b 2=4, 则S=√14[c 2a 2-(c 2+a 2-b 22)2]=√16-44=√3,故选A.6.如图,《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题:今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺,问折者高几何?意思是:有一根竹子,原高一丈(1丈=10尺),现被风折断,尖端落在地上,竹尖与竹根的距离为三尺,问折断处离地面的高度为( )A.5.45尺B.4.55尺C.4.2尺D.5.8尺答案 B 如图,已知AC+AB=10,BC=3,AB 2-AC 2=BC 2=9,∴(AB+AC)(AB-AC)=9,解得AB-AC=0.9, ∴{AB +AC =10,AB -AC =0.9,解得{AB =5.45,AC =4.55. ∴折断处离地面的高度为4.55尺.故选B.7.(2019贵州铜仁一中期末)在如图所示的图形中,每个三角形上各有一个数字,若六个三角形上的数字之和为20,则称该图形是“和谐图形”.已知其中四个三角形上的数字之和为14.现从1,2,3,4,5中任取两个数字标在另外两个三角形上,则恰好使该图形为“和谐图形”的概率为( )A.310B.15C.110D.320答案 B 由题意可知,若该图形为“和谐图形”,则另外两个三角形上的数字之和恰为20-14=6.从1,2,3,4,5中任取两个数字的所有情况有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),共10种,而其中数字之和为6的情况有(1,5),(2,4),共2种,所以所求概率P=15.故选B.8.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表,它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系.其中《方田》章有弧田面积计算问题,术曰:以弦乘矢,矢又自乘,并之,二而一.其大意是弧田面积计算公式为:弧田面积=12(弦×矢+矢×矢).弧田是由圆弧(弧田弧)和以圆弧的端点为端点的线段(弧田弦)围成的平面图形,公式中的“弦”指的是弧田弦的长,“矢”指的是弧田弧所在圆的半径与圆心到弧田弦的距离之差.现有一弧田,其弧田弦AB 等于6米,其弧田弧所在圆为圆O,若用上述弧田面积计算公式算得该弧田的面积为72平方米,则cos ∠AOB=( ) A.125B.325C.15D.725答案 D如图,AB=6米,设CD=x 米(x>0),则12(6x+x 2)=72,解得x=1.设OA=y 米,则(y-1)2+9=y 2,解得y=5. 由余弦定理得cos ∠AOB=25+25-362×5×5=725,故选D.9.(2019浙江杭州仿真试卷)《九章算术》是中国古典数学重要的著作,其给出了很多几何体的体积计算方法.如图所示的几何体中,上底面A 1B 1C 1D 1与下底面ABCD 相互平行,且四边形ABCD 与A 1B 1C 1D 1均为长方形.《九章算术》中称如图所示的几何体为“刍童”.如果AB=a,BC=b,A 1B 1=c,B 1C 1=d,且两底面之间的距离为h,记“刍童”的体积为V,那么( )A.V=ℎ6[(2c+a)d+(2a+c)b] B.V=ℎ3[(2c+a)d+(2a+c)b] C.V=ℎ6[(c+2a)d+(a+2c)b] D.V=ℎ3[(c+2a)d+(a+2c)b]答案 A 讨论特殊情况下的几何体体积,当a=c,b=d 时,显然几何体为棱柱,故此时V=abh,排除B,D.当c=d=0时,显然几何体为棱锥,故此时V=13abh,排除C,故选A.10.2002年国际数学家大会在北京召开,会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计而成的.弦图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图).若小正方形的边长为2,大正方形的边长为10,直角三角形中较小的锐角为θ,则sin (θ+π2)-cos (θ+π3)=( )A.4+3√310 B.4-3√310C.-4+3√310D .-4-3√310答案 A 设直角三角形中较短的直角边长为a,则a 2+(a+2)2=102,解得a=6,∴sin θ=610=35,cos θ=810=45,sin (θ+π2)-cos (θ+π3)=cos θ-12cos θ+√32sin θ=12cos θ+√32sin θ=12×45+√32×35=4+3√310. 二、填空题11.如图所示,某瓷器菜盘的外轮廓线是椭圆,根据图中数据可知该椭圆的离心率为 .答案 35解析 由题图知2b=16.4,2a=20.5,则b a =45,则离心率e=√1-(45)2=35.12.(2019山东安丘、诸城、五莲、兰山模拟)《周髀算经》中有一个问题:从冬至之日起,小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列,若冬至、立春、春分的日影子长的和是37.5尺,芒种的日影子长为4.5尺,则冬至的日影子长为 尺. 答案 15.5解析 设此等差数列{a n }的公差为d,则a 1+a 4+a 7=3a 1+9d=37.5,a 1+11d=4.5,解得d=-1,a 1=15.5.13.将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑.若三棱锥P-ABC 为鳖臑,PA ⊥平面ABC,PA=AB=2,AC=4,三棱锥P-ABC 的四个顶点都在球O 的球面上,则球O 的体积为 . 答案20√5π3解析 如图,在长方体中可找到符合题意的三棱锥P-ABC,则球O 的直径2R=PC=√PA 2+AC 2=√20=2√5,所以R=√5.故球O 的体积V=43πR 3=20√5π3.14.我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题:“今有蒲生一日,长三尺.莞生一日,长一尺.蒲生日自半,莞生日自倍.问几何日而长等?”意思是:“今有蒲草第1天长高3尺,莞草第1天长高1尺.以后,蒲草每天长高前一天的一半,莞草每天长高前一天的2倍.问第几天蒲草和莞草的高度相同?”根据上述的已知条件,可求得第 天时,蒲草和莞草的高度相同.(结果采取“只入不舍”的原则取整数,相关数据:lg 3≈0.477 1,lg 2≈0.301 0) 答案 3解析 由题意得,蒲草的高度组成首项为a 1=3,公比为12的等比数列{a n },设其前n 项和为A n ;莞草的高度组成首项为b 1=1,公比为2的等比数列{b n },设其前n 项和为B n ,则A n =3(1-12n )1-12,B n =2n -12-1,令3(1-12n )1-12=2n -12-1,化简得2n +62n =7(n ∈N *),解得2n =6,所以n=lg6lg2=1+lg3lg2≈3,即第3天时蒲草和莞草的高度相同.命题拓展预测1.一项针对三线以上城市30~50岁男性消费水平的调查显示,对于最近一年内是否购买过以下七类商品,全体被调查者以及其中包括的1980年及以后出生(80后)的被调查者、1980年以前出生(80前)的被调查者回答“是”的比例如下表所示:全体被调查者80后被调查者80前被调查者电子产品56.9%66.0%48.5%服装23.0%24.9%21.2%手表14.3%19.4%9.7%运动、户外用品10.4%11.1%9.7%珠宝首饰8.6%10.8% 6.5%箱包8.1%11.3% 5.1%个护与化妆品 6.6% 6.0%7.2%以上皆无25.3%17.9%32.1%根据表格中数据判断,以下分析错误的是()A.三线以上城市30~50岁男性购买比例最高的商品是电子产品B.从整体上看,80后购买这些商品的意愿高于80前C.80前超过三成一年内从未购买过表格中七类商品D.被调查的三线以上城市30~50岁男性中80后人数与80前人数的比例大约为2∶1答案D对于选项A,从表中的数据可得三线以上城市30~50岁男性购买电子产品的比例为56.9%,为最高值,所以A正确;对于选项B,从表中后两列的数据可以看出,前6项均是80后的意愿高于80前的意愿,所以B 正确;对于选项C,从表中的最后一列可看出,80前一年内从未购买过表格中七类商品的比例为32.1%,所以C正确;对于选项D,根据表中数据不能得到被调查的三线以上城市30~50岁男性中80后人数与80前人数的比例,所以D不正确.故选D.2.中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”.如图所示的太极图是由黑、白两个鱼形纹组成的圆形图案,充分体现了相互转化、对称统一的形式美、和谐美.定义:图象能够将圆O 的周长和面积同时等分成两部分的函数称为圆O的一个“太极函数”.给出命题:①对于任意一个圆O,其“太极函数”有无数个;②函数f(x)=ln(x2+√x2+1)可以是某个圆的“太极函数”;③正弦函数y=sin x可以同时是无数个圆的“太极函数”;④函数y=f(x)是“太极函数”的充要条件为函数y=f(x)的图象是中心对称图形.其中正确的命题为()A.①③B.①③④C.②③D.①④答案A过圆心的直线都可以将圆的周长和面积等分成两部分,故对于任意一个圆O,其“太极函数”有无数个,故①正确;函数f(x)=ln(x2+√x2+1)的大致图象如图所示,故其不可能为圆的“太极函数”,故②错误;将圆的圆心放在正弦函数y=sin x图象的对称中心上,则图象可以将圆的周长和面积等分成两部分,所以正弦函数y=sin x是该圆的“太极函数”,从而正弦函数y=sin x可以同时是无数个圆的“太极函数”,故③正确;函数y=f(x)的图象是中心对称图形,则y=f(x)是“太极函数”,但函数y=f(x)是“太极函数”时,图象不一定是中心对称图形,如图,故④错误,故选A.。
文科数学专题等差数列、等比数列(专练)高考二轮复习资料含答案
1．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＋a 5＝8，则S 7＝( ) A ． 28 B ．32 C ．56 D ．24 【答案】A【解析】S 7＝7×（a 1＋a 7）2＝7×（a 3＋a 5）2＝28.故选A. 2．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若2S 4＝S 5＋S 6，则数列{a n }的公比q 的值为( ) A ．－2或1 B ．－1或2 C ．－2 D ．1【答案】C3．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1>0且a 6a 5＝911，则当S n 取最大值时，n 的值为( )A ．9B ．10C ．11D ．12【解析】由题意，不妨设a 6＝9t ，a 5＝11t ，则公差d ＝－2t ，其中t >0，因此a 10＝t ，a 11＝－t ，即当n ＝10时，S n 取得最大值．【答案】B4．在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a m ＋1·a m －1＝2a m (m ≥2)，数列{a n }的前n 项积为T n ，若T 2m －1＝512，则m 的值为( )A ．4B ．5C ．6D ．7 【答案】B【解析】由等比数列的性质可知a m ＋1·a m －1＝a 2m ＝2a m (m ≥2)，∴a m ＝2，即数列{a n }为常数列，a n ＝2，∴T 2m －1＝22m －1＝512＝29，即2m －1＝9，所以m ＝5.5．已知等比数列{a n }的各项都是正数，且3a 1，12a 3，2a 2成等差数列，则a 8＋a 9a 6＋a 7＝( )A ．6B ．7C ．8D ．9 【答案】D【解析】∴3a 1，12a 3，2a 2成等差数列， ∴a 3＝3a 1＋2a 2，∴q 2－2q －3＝0，∴q ＝3或q ＝－1(舍去)． ∴a 8＋a 9a 6＋a 7＝a 1q 7＋a 1q 8a 1q 5＋a 1q 6＝q 2＋q 31＋q＝q 2＝32＝9. 6．各项均不为零的等差数列{a n }中，a 1＝2，若a 2n －a n －1－a n ＋1＝0(n ∈N *，n ≥2)，则S 2 016＝________．【答案】4 032【解析】由于a 2n －a n －1－a n ＋1＝0(n ∈N *，n ≥2)，即a 2n －2a n ＝0，∴a n ＝2，n ≥2，又a 1＝2，∴a n ＝2，n ∈N *，故S 2 016＝4 032.7．设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝4，a n ＋1＝2S n ＋1，n ∈N *，则a 1＝________，S 5＝________．【答案】1 1218．已知数列{a n }的各项均为正数，S n 为其前n 项和，且对任意n ∈N *，均有a n ，S n ，a 2n 成等差数列，则a n ＝________．【答案】n【解析】∵a n ，S n ，a 2n 成等差数列，∴2S n ＝a n ＋a 2n .当n ＝1时，2a 1＝2S 1＝a 1＋a 21. 又a 1>0，∴a 1＝1.当n ≥2时，2a n ＝2(S n －S n －1)＝a n ＋a 2n －a n －1－a 2n －1，∴(a 2n －a 2n －1)－(a n ＋a n －1)＝0，∴(a n ＋a n －1)(a n －a n －1)－(a n ＋a n －1)＝0， 又a n ＋a n －1>0，∴a n －a n －1＝1，∴{a n }是以1为首项，1为公差的等差数列， ∴a n ＝n (n ∈N *)．9．已知等差数列{a n }满足a 3＝2，前3项和S 3＝92. (1)求{a n }的通项公式；(2)设等比数列{b n }满足b 1＝a 1，b 4＝a 15，求{b n }的前n 项和T n .10．设数列{a n }的前n 项和为S n ，n ∈N *.已知a 1＝1，a 2＝32，a 3＝54，且当n ≥2时，4S n ＋2＋5S n ＝8S n ＋1＋S n －1.(1)求a 4的值；(2)证明：⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1－12a n 为等比数列；(3)求数列{a n }的通项公式．(1)解：当n ＝2时，4S 4＋5S 2＝8S 3＋S 1，即4(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋5(a 1＋a 2)＝8(a 1＋a 2＋a 3)＋a 1， 整理得a 4＝4a 3－a 24，又a 2＝32，a 3＝54，11．已知数列{a n }的各项均为正数，前n 项和为S n ，且S n ＝a n （a n ＋1）2(n ∈N *)． (1)求证：数列{a n }是等差数列； (2)设b n ＝1S n，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，求T n .(1)证明： S n ＝a n （a n ＋1）2(n ∈N *)，① S n －1＝a n －1（a n －1＋1）2(n ≥2)．② ①－②得：a n ＝a 2n ＋a n －a 2n －1－a n －12(n ≥2)， 整理得：(a n ＋a n －1)(a n －a n －1)＝(a n ＋a n －1)(n ≥2)．∵数列{a n}的各项均为正数，∴a n＋a n－1≠0，。
高考数学(理)二轮复习教师用书：第2部分 必考补充专题 Word版含答案
高考突破点
对应专题限时集训
第17讲 集合与常用逻辑用语
P132，专题限时集训(十七) Nhomakorabea第18讲 平面向量、复数
P134，专题限时集训(十八)
第19讲 不等式与线性规划
P136，专题限时集训(十九)
第20讲 古典概型、几何概型
P140，专题限时集训(二十)
第21讲 算法初步、推理证明
P143，专题限时集训(二十一)
第22讲 排列组合、二项式定理
P146，专题限时集训(二十二)
第23讲 选修4－4选修4－5
P148，专题限时集训(二十三)
高中数学二轮复习专题一常考小题点数学文化背景题专项练理课件
8
关闭
.
关闭
B
解析
-4- 答案
一、选择题
二、填空题
3.(2019山东潍坊高三三模,文11)五行学说是华夏民族创造的哲学
思想,是华夏文明重要组成部分.古人认为,天下万物皆由金、木、
水、火、土五类元素组成,如图,分别是金、木、水、火、土彼此
之间存在的相生相克的关系.若从5类元素中任选2类元素,则2类元
.故选
3
6
B.
=
4
3
=
关闭
B
解析
-12-答案
一、选择题
二、填空题
关闭
由三视图还原该几何体如下.
可得,该几何体可看作由两个相同的四棱柱拼接而成,且四棱柱底面
为直角梯形,由题中数据可得,底面的上底为 3,下底为 6,高为 3,四棱
柱的高为 3.因此,该几何体的体积为
关闭
1
1
2
2
C ×(3+6)×3×3+ ×(3+6)×3×1=54.故选 C.
意思是:“现有一根金锤,长5尺,头部1尺,重4斤,尾部1尺,重2斤”,若该
金锤从头到尾,每一尺的重量构成等差数列,该金锤共重多少
斤?(
)
A.6斤 B.7斤 C.9斤D.15斤
关闭
因为每一尺的重量构成等差数列{an},a1=4,a5=2,∴a1+a5=6,数列
的前 5 项和为 S5=5×
1 + 5
为 n=2 016;…故
018-i”,故选
D.
D
处可填“i≤2 017?”,
中的结果应
处应填“n=2
解析
关闭
-6- 答案
高三文科数学二轮专题复习资料
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【 专题 1--- 三角函数部分 】
新课标高中数学三基训练手册 ——专题训练之专题训练 第一部分 三角函数类
1. 已知函数 y loga(x 1) 3(a 0且a 1)的图像恒过点 P，若角 的终边经过点 P，则 sin2
-3/13.
sin2 的值等于
2. 已知 tan(
sin(
) 3, 求
12. 若函数 f (x)
x2 2ax 与函数 g( x)
a 在区间 [1,2] 上单减 , 则 a 的取值范围是 ( D )
x1
A. ( 1,0) (0,1) B. ( 1,0) (0,1] C. (0,1) D. (0,1]
13. 若 x (e 1，1)， a ln x， b 2ln x， c ln 3 x ，则（ C ）
8. 已知函数 f ( x) 1 (sin x cos x ) 1 sin x cos x , 则 f (x ) 的值域是 ( C )
2
2
(A) 1,1 (B)
2
(C)
,1
2
2 (D)
1, 2
2 1,
2
9. 若函数 f ( x) 3 cos(3x a) sin(3x a) 是奇函数，则 a 等于（ D ）
6
16. 求函数 y sin 4 x 2 3 sin x cos x cos4 x 的最小正周期和最小值 , 并写出该函数在 [0, ] 上的单调
5
[0, ],[
,]
递增区间 .( 3 6
)
f ( x)
17. 函数
6 cos 2 x 2
3 sin
x 3(
0)
在一个周期内的图象如图所示，
高考数学二轮复习 第2部分 必考补充专题 数学文化专项
数学文化专项练(一)(对应学生用书第119页)1．《九章算术》商功章有题：一圆柱形谷仓，高1丈3尺313寸，容纳米2 000斛(1丈＝10尺，1尺＝10寸，斛为容积单位，1斛≈1.62立方尺，π≈3)，则圆柱底面周长约为( )A ．1丈3尺B ．5丈4尺C ．9丈2尺D ．48丈6尺B [由题意得：2 000×1.62＝S ⎝⎛⎭⎪⎫10＋3＋103×110，解得S ＝2 000×1.62403＝243，因为S ＝πr 2，所以r ＝9，所以C ＝2πr ＝2×3×9＝54(尺)，54尺＝5丈4尺，故选B.]2．(2017·合肥一模)祖暅原理：幂势既同，则积不容异，它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等，设A 、B 为两个同高的几何体，p ：A 、B 的体积不相等，q ：A 、B 在等高处的截面积不恒相等，根据祖暅原理可知，p 是q 的( )【导学号：07804139】A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件A [由“幂势既同，则积不容异”的含义可知在等高处的截面积恒相等，则体积相等可知“若体积不相等，在等高处的截面积不恒相等”，故p ⇒q ，反之“在等高处的截面积不恒相等未必几何体的体积不相等”，故q ⇒/p .]3．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人最后一天走的路程为( )A ．24里B ．12里C ．6里D ．3里C [记每天走的路程里数为{a n }，易知{a n }是公比q ＝12的等比数列，S 6＝378，S 6＝a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1261－12＝378，∴a1＝192，a6＝192×125＝6，选C.]4．(2017·黑龙江哈师大附中三模)如图1程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图时，若输入a，b分别为18,27，则输出的a＝( )图1A．0 B．9C．18 D．54B[因为a＝18，b＝27，a＜b，故第一次循环：b＝b－a＝9，a＝18.第二次循环：a＝a－b＝9，b＝9.满足程序，结束条件，输出a＝9，故选B.]5．(2017·河南安阳一模)三国时代吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明．下面是赵爽的弦图及注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实．图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红(朱)色及黄色，其面积称为朱实、黄实，利用2×勾×股＋(股－勾)2＝4×朱实＋黄实＝弦实，化简，得勾2＋股2＝弦2.设勾股形中勾股比为1∶3，若向弦图内随机抛掷1 000颗图钉(大小忽略不计)，则落在黄色图形内的图钉数大约为( )图2A．866 B．500C．300 D．134D[由题意可设勾股形中勾股分别为x，3x，则黄色图形(正方形)的边长为(3－1)x，以勾股形之弦为边的正方形的边长为2x，由几何概型得，若向弦图内随机抛掷1000颗图钉(大小忽略不计)，则落在黄色图形内的图钉数大约为3－24≈134.] 6．(2017·山西五校联考)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问：积几何？其意思是说：“今有底面为矩形的屋脊状楔体，下底面宽3丈，长4丈；上棱长2丈，高一丈．问它的体积是多少？”已知一丈为10尺，现将该楔体的三视图给出如图3所示，其中网格纸上小正方形的边长为1，则该楔体的体积为( )图3A ．5 000立方尺B ．5 500立方尺C ．6 000立方尺D ．6 500立方尺A [该楔体的直观图如图所示，取AB 的中点G ，CD 的中点H ，连接FG ，GH ，FH .则该几何体的体积为四棱锥F GBCH 与三棱柱ADE GHF的体积之和，而三棱柱ADE GHF 可通过割补法得到一个高为EF ，底面积为S ＝12×3×1＝32平方丈的一个直棱柱，故该楔体的体积V ＝32×2＋13×2×3×1＝5立方丈＝5 000立方尺，故选A.]7．(2017·湖南湘潭三模)中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究．设a ，b ，m (m ＞0)为整数，若a 和b 被m 除得的余数相同，则称a 和b 对模m 同余，记为a ＝b (mod m )．若a ＝C 020＋C 120·2＋C 220·22＋…＋C 2020·220，a ＝b (mod 10)，则b 的值可以是( )A ．2 011B ．2 012C ．2 013D ．2 014 A [因为a ＝(1＋2)20＝320＝910＝(10－1)10＝C 0101010－C 110109＋…－C 91010＋1，所以a 被10除得的余数为1，而2 011被10除得的余数是1，故选A.]8．(2017·广西玉林市、贵港市高三毕业班质量检测)计算机在数据处理时使用的是二进制，例如十进制的1、2、3、4在二进制分别表示为1、10、11、100.如图4是某同学设计的将二进制数11111化为十进制数的一个流程图，则判断框内应填入的条件是( )【导学号：07804140】图4A ．i ＞4B ．i ≤4C ．i ＞5D ．i ≤5B [在将二进制数11111化为十进制数的程序中，循环次数由循环变量i 决定，因为11111共有5位，因此要循环4次才能完成整个转换过程，所以进入循环的条件应设为i ≤4，故选B.]9．(2017·江西八所重点中学4月联考)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈(1匹＝40尺，一丈＝10尺)，问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织5尺，一月织了九匹三丈，问每天增加多少尺布？”若一个月按31天算，记该女子一个月中的第n 天所织布的尺数为a n ，则a 1＋a 3＋…＋a 29＋a 31a 2＋a 4＋…＋a 28＋a 30的值为( ) A.165 B ．1615 C.1629 D ．1631 B [由题意女子每天织布数成等差数列，且a 1＝5，S 31＝390，由a 1＋a 31＝a 2＋a 30，且a 1＋a 3＋…＋a 31＝a 1＋a 312，a 2＋a 4＋…＋a 30＝a 2＋a 302. 所以a 1＋a 3＋…＋a 31a 2＋a 4＋…＋a 30＝a 1＋a 31a 2＋a 30＝1615.故选B.] 10．若正整数N 除以正整数m 后的余数为n ，则记为N ＝n (mod m )，例如10＝4(mod 6)．如图5程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》．执行该程序框图，则输出的n 等于( )图5A ．17B ．16C ．15D ．13A [由程序框图可知，该程序求解的是“当n ＞10时，被3除余2，被5除也余2的最小整数”，由于当n ＞10时，被3除余2，被5除也余2的最小正整数n ＝17，故输出n ＝17.故选A.]11．我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度．祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年．“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S 6，S 6＝________.【导学号：07804141】332[作出单位圆的内接正六边形， 如图，则OA ＝OB ＝AB ＝1.S 6＝6S △OAB ＝6×12×1×32＝332.] 12．(2017·郑州第二次质量预测)中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外．”其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放有纵横两种形式，如下表：表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位、百位、万位数用纵式表示，十位、千位、十万位用横式表示，以此类推，例如6 613用算筹表示就是，则5 288用算筹可表示为________．[根据题意知，5 288用算筹表示，从左到右依次是横式的5，纵式的2，横式的8，纵式的8，即.] 13．(2017·吉林二调)艾萨克·牛顿(1643年1月4日－1727年3月31日)英国皇家学会会长，英国著名物理学家，同时在数学上也有许多杰出贡献，牛顿用“作切线”的方法求函数f (x )零点时给出一个数列{x n }：满足x n ＋1＝x n －f x n f x n ，我们把该数列称为牛顿数列．如果函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)有两个零点1,2，数列{x n }为牛顿数列，设a n＝lnx n －2x n －1，已知a 1＝2，x n ＞2，则{a n }的通项公式为a n ＝________. 2n [∵函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)有两个零点1,2.∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＋c ＝04a ＋2b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ c ＝2a b ＝－3a . ∴f (x )＝ax 2－3ax ＋2a .则f ′(x )＝2ax －3a .则x n ＋1＝x n －ax 2n －3ax n ＋2a 2ax n －3a ＝x n －x 2n －3x n ＋22x n －3＝x 2n －22x n －3， ∴x n ＋1－2x n ＋1－1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x n －2x n －12， 则ln x n －2x n －1是以2为公比的等比数列， ∵a n ＝lnx n －2x n －1，且a 1＝2， ∴数列{a n }是以2为首项，以2为公比的等比数列，则a n ＝2·2n －1＝2n.] 14．我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数x 的不足近似值和过剩近似值分别为b a 和d c (a ，b ，c ，d ∈N *)，则b ＋d a ＋c 是x 的更为精确的不足近似值或过剩近似值．我们知道π＝3.141 59…，若令3110＜π＜4915，则第一次用“调日法”后得165是π的更为精确的过剩近似值，即3110＜π＜165，若每次都取最简分数，那么第四次用“调日法”后可得π的近似分数为________．227 [由题意：第一次用“调日法”后得165是π的更为精确的过剩近似值，即3110＜π＜165；第二次用“调日法”后得4715是π的更为精确的过剩近似值，即4715＜π＜165；第三次用“调日法”后得6320是π的更为精确的过剩近似值，即4715＜π＜6320； 第四次用“调日法”后得227是π的更为精确的过剩近似值，即4715＜π＜227.]。
高三文科数学二轮复习专题训练(二)(20200623134112)
）
A ． 一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个平面相交
B．平行于同一平面的两个不同平面平行
C．若直线 l 不平行平面 ，则在平面
内不存在与 l 平行的直线
D． 如果平面 不垂直平面 ，那么平面 内一定不存在直线垂直于平面
5．设 m 、 n 是两条不同的直线，
、 、 是三个不同的平面。给出下列四个命题：
EA∥ FD 四边形 ADFE 是平行四边形，
EF AD 2
BC 2EF 4
2） Vc ABP VP ABC 1 1 AB BC PA 1 AB 2 4 8
32
6
3
AB 2
直角梯形 ABCD 中，得 AC 2 AB 2 BC 2 20 ， DC 2 2
PA 平面 ABCD ， PA AC ,
Rt PAC 中，得 PC 2 PA2 AC 2 24, PC 2 6
又∠ ADB = 45 0，故 BD=AB= 2 2 ， AC= AB2 BC 2 8 4 2 3 ，所以：
1
1
1
1
S表
S S S S ABC
BCD
ABD
ACD
AB BC BC CD AB BD AC CD
2
2
2
2
1
1
1
1
22 2
22
2222
23 2 6 22 23
8分
2
2
2
2
（3）解：因 EF⊥平面 ABC ， BE 在面 BCD 内，所以， EF⊥ BE，
高三文科数学二轮复习专题训练 (二 )
内容 : 立体几何
一 . 选择题
1. 设 , 是两个不同的平面， l 是一条直线，以下命题正确的是（
[高考数学大二轮专题复习：第二编数学文化及核心素养类试题]
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[高考数学大二轮专题复习：第二编数学文化及核心素养类试题]第1讲数学文化及核心素养类试题「考情研析」数学文化与数学知识相结合，有效考查考生的阅读理解能力、抽象概括能力、转化与化归能力，既体现了对数学应用性的考查，也体现了我国数学文化的源远流长．高考中多以选择题的形式出现，难度中等．核心知识回顾1.以古代数学书籍《九章算术》《数书九章》等书为背景的数学文化类题目．2．与高等数学相衔接的题目，如几类特殊的函数：取整函数、狄利克雷函数、符号函数．3．以课本阅读和课后习题为背景的数学文化类题目：割圆术、阿氏圆等．4．以中外一些经典的数学问题为背景的题目，如：回文数、匹克定理、哥尼斯堡七桥问题、四色猜想等经典数学小问题．热点考向探究考向1三角函数中的数学文化例1(2020·河北省衡水中学第九次调研考试)我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，用现代式子表示即为：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则△ABC 的面积S＝.根据此公式，若a cos B＋(b＋3c)cos A＝0，且a2－b2－c2＝2，则△ABC的面积为() A．B．2 C．D．2 答案 A 解析由a cos B＋(b＋3c)cos A＝0，可得sin A cos B＋cos A sin B＋3sin C cos A＝0，即sin (A＋B)＋3sin C cos A＝0，即sin C(1＋3cos A)＝0，因为sin C≠0，所以cos A＝－，由余弦定理可得a2－b2－c2＝－2bc cos A＝bc＝2，所以bc＝3，由△ABC的面积公式可得S＝＝＝.故选A. 我国南宋数学家秦九韶发现的“三斜求积术”虽然与海伦公式(S＝，其中p＝(a＋b＋c))在形式上不一样，但两者完全等价，它填补了我国传统数学的一项空白．(2020·湖南省长郡中学高三第三次适应性考试)上世纪末河南出土的以鹤的尺骨(翅骨)制成的“骨笛”(图1)，充分展示了我国古代高超的音律艺术及先进的数学水平，也印证了我国古代音律与历法的密切联系．图2为骨笛测量“春(秋)分”“夏(冬)至”的示意图．图3是某骨笛的部分测量数据(骨笛的弯曲忽略不计)，夏至(或冬至)日光(当日正午太阳光线)与春秋分日光(当日正午太阳光线)的夹角等于黄赤交角．由历法理论知，黄赤交角近1万年持续减小，其正切值及对应的年代如表：根据以上信息，通过计算黄赤交角，可估计该骨笛的大致年代是() A．早于公元前6000年B．公元前2021年到公元元年C．公元前4000年到公元前2021年D．公元前6000年到公元前4000年答案 A 解析由题意，可设冬至日光与垂直线夹角为α，春秋分日光与垂直线夹角为β，则α－β即为冬至日光与春秋分日光的夹角，即黄赤交角，由图3近似画出如图平面几何图形，则tan α＝＝1.6，tan β＝＝0.66，tan (α－β)＝＝≈0.457. ∵0.4550.4570.461，∴估计该骨笛的大致年代早于公元前6000年．考向2数列中的数学文化例2(多选)(2020·山东省青岛市高三三模)在悠久灿烂的中国古代文化中，数学文化是其中的一朵绚丽的奇葩．《张丘建算经》是我国古代有标志性的内容丰富的众多数学名著之一，大约创作于公元五世纪．书中有如下问题：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈，问日益几何？”其大意为：“有一女子擅长织布，织布的速度一天比一天快，从第二天起，每天比前一天多织相同数量的布，第一天织5尺，一个月共织了九匹三丈，问从第二天起，每天比前一天多织多少尺布？”已知1匹＝4丈，1丈＝10尺，若这一个月有30天，记该女子这一个月中的第n天所织布的尺数为an，bn＝2an，对于数列{an}，{bn}，下列选项中正确的为() A．b10＝8b5 B．{bn}是等比数列C．a1b30＝105 D．＝答案BD 解析由题意可知，数列{an}为等差数列，设数列{an}的公差为d，a1＝5，由题意可得30a1＋＝390，解得d＝，∴an＝a1＋(n－1)d＝，∵bn＝2an，∴＝＝2an ＋1－an＝2d(非零常数)，则数列{bn}是等比数列，B正确；∵5d＝5×＝≠3，＝(2d)5＝25d≠23，∴b10≠8b5，A错误；a30＝a1＋29d＝5＋16＝21，∴a1b30＝5×*****，C错误；a4＝a1＋3d＝5＋3×＝，a5＝a1＋4d＝5＋4×＝，∴＝＝＝，D 正确．故选BD. 本题以传统数学文化为载体考查数列的实际应用问题．解题的关键是将古代实际问题转化为现代数学问题，建立等差、等比数列的模型，探索并掌握它们的一些基本数量关系，利用方程思想求解．(2020·福建省宁德市二模)著名物理学家李政道说：“科学和艺术是不可分割的”．音乐中使用的乐音在高度上不是任意定的，它们是按照严格的数学方法确定的．我国明代的数学家、音乐理论家朱载堉创立了十二平均律，是第一个利用数学使音律公式化的人．十二平均律的生律法是精确规定八度的比例，把八度分成13个半音，使相邻两个半音之间的频率比是常数，如表所示，其中a1，a2，…，a13表示这些半音的频率，它们满足log2＝1(i＝1，2，…，12).若某一半音与D#的频率之比为，则该半音为() 频率a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a12 a13 半音C C# D D# E F F# G G# A A# B C(八度)A.F# B．G C．G# D．A 答案 B 解析由题意知log2＝1(i＝1，2，…，12)，∴＝2，故数列{an}是公比q＝2的等比数列．∵a4＝D#，a8＝a4q4＝D#×(2)4＝D#×＝G，∴＝.故选B. 考向3立体几何中的数学文化例3我国齐梁时代的数学家祖暅提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等．椭球体是椭圆绕其轴旋转所成的旋转体．如图，将底面直径都为2b，高皆为a的椭半球体和已被挖去了圆锥体的圆柱放置于同一平面β上，用平行于平面β且与平面β任意距离d处的平面截这两个几何体，可横截得到S圆及S环两截面．可以证明S圆＝S环总成立．据此，半短轴长为1，半长轴长为3的椭球体的体积是________．答案4π 解析因为S 圆＝S环总成立，则半椭球体的体积为πb2a－πb2a＝πb2a，所以椭球体的体积为V＝πb2a，因为椭球体的半短轴长为1，半长轴长为3，所以椭球体的体积为V＝πb2a＝π×12×3＝4π，故答案是4π. 依托立体几何，传播数学文化．立体几何是中国古代数学的一个重要研究内容，从中国古代数学中挖掘素材，考查立体几何的线面的位置关系、几何体的体积等知识，既符合考生的认知水平，又可以引导学生关注中华优秀传统文化．(2020·山东省潍坊市模拟)唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图1所示，其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画，体现了古人的智慧与工艺．它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体(假设内壁表面光滑，忽略杯壁厚度)，如图2所示．已知球的半径为R，酒杯内壁表面积为πR2.设酒杯上部分(圆柱)的体积为V1，下部分(半球)的体积为V2，则＝() A．2 B．C．1 D．答案 A 解析由球的半径为R，得半球的内部表面积为2πR2，又酒杯内壁表面积为πR2，∴圆柱的侧面积为πR2.设圆柱的高为h，则2πR·h＝πR2，即h ＝R.∴V1＝πR2·R＝πR3，V2＝πR3，∴＝＝2.故选A. 考向4概率中的数学文化例4(2020·河北省张家口高三5月模拟)角谷猜想，也叫3n＋1猜想，是由日本数学家角谷静夫发现的，是指对于每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘3再加1；如果它是偶数，则对它除以2，如此循环最终都能够得到1.如：取n＝6，根据上述过程，得出6，3，10，5，16，8，4，2，1，共9个数．若n＝5，从根据上述过程得出的整数中，随机选取两个不同的数，则这两个数都是偶数的概率为() A．B．C．D．答案 C 解析若n＝5，根据上述过程得出的整数有5，16，8，4，2，1，随机选取两个不同的数，基本事件总数n＝C＝15，这两个数都是偶数包含的基本事件个数m＝C＝6，则这两个数都是偶数的概率为P＝＝＝.故选C. 数学文化渗透到概率数学中去，不但丰富了数学的概率知识，还提高了学生的文化素养．解决此类问题的关键是构建合理的概率模型，利用相应的概率计算公式求解. (2020·河南省六市高三一模)五行学说是华夏民族创造的哲学思想，是华夏文明的重要组成部分．古人认为，天下万物皆由金、木、水、火、土五类元素组成，如图，分别是金、木、水、火、土彼此之间存在的相生相克的关系．若从5类元素中任选2类元素，则2类元素相生的概率为() A. B．C．D．答案 A 解析金、木、水、火、土彼此之间存在相生相克的关系．从5类元素中任选2类元素，基本事件总数n＝C＝10，2类元素相生包含的基本事件有5个，则2类元素相生的概率为P＝＝.故选A. 考向5数学文化与现代科学例52021年1月14日，国防科工局宣布，嫦娥四号任务已经通过了探月工程重大专项领导小组审议，正式开始实施．如图所示，假设“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行．若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，给出下列式子：①a1＋c1＝a2＋c2；②a1－c1＝a2－c2；③；④c1a2a1c2. 其中正确式子的序号是() A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 答案 D 解析观察题图可知a1a2，c1c2，∴a1＋c1a2＋c2，即①式不正确；a1－c1＝a2－c2＝|PF|，即②式正确；由a1－c1＝a2－c20，c1c20，知，即，从而c1a2a1c2，.即④式正确，③式不正确．(1)命题者抓住“嫦娥奔月”这个古老而又现代的浪漫话题，以探测卫星轨道为背景，抽象出共一条对称轴、一个焦点和一个顶点的两个椭圆的几何性质，并以加减乘除的方式构造两个等式和两个不等式，考查椭圆的几何性质，可谓匠心独运．(2)注意到椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ共一个顶点P和一个焦点F，题目所给四个式子涉及长半轴长和半焦距，从焦距入手，这是求解的关键，本题对考生的数学能力进行了比较全面的考查，是一道名副其实的小中见大、常中见新、蕴文化于现代科学技术应用之中的好题．(2020·北京市东城区模拟) 标准对数远视力表(如图)采用的“五分记录法”是我国独创的视力记录方式，标准对数远视力表各行为正方形“E”形视标，且从视力5.2的视标所在行开始往上，每一行“E”的边长都是下方一行“E”边长的倍，若视力4.1的视标边长为a，则视力4.9的视标边长为() A．10aB．10a C．10a D．10a 答案 C 解析设第n行视标边长为an，第n－1行视标边长为an－1，由题意可得an－1＝an⇔＝10，则数列{an}为公比为10的等比数列，所以a10＝a＝10a，则视力4.9的视标边长为10a.故选C. 真题押题『真题检验』1．(2020·新高考卷Ⅰ)日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面．在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°，则晷针与点A处的水平面所成角为() A．20° B．40° C．50° D．90° 答案 B 解析画出截面图如图所示，其中CD是赤道所在平面的截线，l是点A处的水平面的截线，依题意可知OA⊥l，AB是晷针所在直线，m是晷面的截线，依题意，晷面和赤道平面平行，晷针与晷面垂直，根据平面平行的性质定理可得m∥CD，根据线面垂直的定义可得AB⊥m.由于∠AOC＝40°，m∥CD，所以∠OAG＝∠AOC＝40°，由于∠OA G＋∠GAE＝∠BAE＋∠GAE＝90°，所以∠BAE＝∠OAG＝40°，即晷针与点A处的水平面所成角为∠BAE＝40°.故选B. 2．(2020·全国卷Ⅱ)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)() A．3699块B．3474块C．3402块D．3339块答案 C 解析设第n环扇面形石板块数为an，第一层共有n环，则数列{an}是以9为首项，9为公差的等差数列，an＝9＋(n－1)×9＝9n.设Sn为数列{an}的前n项和，则第一层、第二层、第三层的块数分别为Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，因为下层比中层多729块，所以S3n－S2n＝S2n－Sn＋729，即－＝－＋729，即9n2＝729，解得n＝9，所以S3n＝S27＝＝3402.故选C. 3. (2019·全国卷Ⅱ)中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1).半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为 1.则该半正多面体共有________个面，其棱长为________．答案26－1 解析先求面数，有如下两种方法．解法一：由“半正多面体”的结构特征及棱数为48可知，其上部分有9个面，中间部分有8个面，下部分有9个面，共有2×9＋8＝26(个)面．解法二：一般地，对于凸多面体，顶点数(V)＋面数(F)－棱数(E)＝2(欧拉公式).由图形知，棱数为48的半正多面体的顶点数为24，故由V＋F－E＝2，得面数F＝2＋E－V＝2＋48－24＝26.再求棱长．作中间部分的横截面，由题意知该截面为各顶点都在边长为1的正方形上的正八边形*****H，如图，设正八边形的边长为x，则正八边形的边长即为半正多面体的棱长．连接AF，过H，G分别作HM⊥AF，GN⊥AF，垂足分别为M，N，则AM＝MH＝NG ＝NF＝x.又AM＋MN＋NF＝1，即x＋x＋x＝1.解得x＝－1，即半正多面体的棱长为－1. 『金版押题』4．天干地支纪年法(简称干支纪年法)是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法．天干有十，即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；地支有十二，即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．干支纪年法中，天干地支对应的规律如表：天干甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙… 地支子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥子… 干支纪年甲子年乙丑年丙寅年丁卯年戊辰年己巳年庚午年辛未年壬申年癸酉年甲戌年乙亥年丙子年… 2049年是新中国成立100周年．这一百年，中国逐步实现中华民族的伟大复兴．使用干支纪年法，2049年是己巳年，则2059年是________年；使用干支纪年法可以得到________种不同的干支纪年．答案己卯60 解析根据题意，天干有十，即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸，地支有十二，即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥；其相配顺序为：甲子、乙丑、丙寅、…、癸酉，甲戌、乙亥、丙子、…、癸未，甲申、乙酉、丙戌、…、癸巳，…，若2049年是己巳年，则2059年是己卯年；天干是以10为公差的等差数列，地支是以12为公差的等差数列，则天干地支共有60种组合，即使用干支纪年法可以得到60种不同的干支纪年．专题作业一、选择题1．(2020·山东省烟台市模拟)《九章算术》是我国古代的一本数学名著．全书为方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股九章，收有246个与生产、生活实践有联系的应用问题．在第六章“均输”中有这样一道题目：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思为：“现有五个人分5钱，每人所得成等差数列，且较多的两份之和等于较少的三份之和，问五人各得多少？”在此题中，任意两人所得的最大差值为() A．B．C．D．答案 B 解析设每人分到的钱数构成的等差数列为{an}，公差d0，由题意可得，a1＋a2＋a3＝a4＋a5，S5＝5，故3a1＋3d＝2a1＋7d，5a1＋10d＝5，解得a1＝，d＝，故任意两人所得的最大差值4d＝.故选B. 2．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”．其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”．则该人第五天走的路程为() A．48里B．24里C．12里D．6里答案 C 解析设第一天的路程为a1里，则＝378，a1＝192，所以a5＝192×＝12. 3. (2020·河北六校联考)玉琮是中国古代玉器中重要的礼器，神人纹玉琮王是新石器时代良渚文化的典型玉器，1986年出土于浙江省余杭县反山文化遗址．如图，玉琮王通高8.8 cm，孔径4.9 cm，外径17.6 cm，琮体四面各琢刻一完整的兽面神人图象，兽面的两侧各浅浮雕鸟纹，器形呈扁矮的方柱体，内圆外方，上下端为圆面的射，中心有一上下垂直相透的圆孔．估计该神人纹玉琮王的体积为(单位：cm3)() A．6250 B．3050 C．2850 D．2350 答案 D 解析由题意，该神人纹玉琮王可大致看成底面为正方形且边长为17.6 cm，高为8.8 cm的长方体去掉底面直径为4.9 cm，高为8.8 cm的圆柱后剩余的部分，则其体积为17.6×17.6×8.8－π××8.8≈2560(cm3).由该神人纹玉琮王外面方形偏低且去掉雕刻部分，结合选项，可估计该神人纹玉琮王的体积为2350 cm3. 4．中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一，古代数学家称直角三角形较短的直角边为勾，另一直角边为股，斜边为弦，其三边长组成的一组数据称为勾股数．现从1～15这15个数中随机抽取3个数，则这三个数为勾股数的概率为() A．B．C．D．答案 C 解析从这15个数中随机抽取3个数所有基本事件个数为C，其中为勾股数的为(3，4，5)，(6，8，10)，(9，12，15)，(5，12，13)，共4个，故概率P＝＝，故选C. 5．阿基米德(公元前287年～公元前212年)不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴与短半轴的乘积．若椭圆C的对称轴为坐标轴，焦点在y轴上，且椭圆的离心率为，面积为12π，则椭圆C的方程为() A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1 答案 A 解析由题意可得解得a＝4，b＝3，因为椭圆的焦点在y轴上，所以椭圆C的方程为＋＝1.故选A. 6．(2020·山东省泰安市模拟)我国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广．刍，草也．甍，屋盖也．”今有底面为正方形的屋脊形状的多面体(如图所示)，下底面是边长为2的正方形，上棱EF＝，EF∥平面ABCD，EF与平面ABCD的距离为2，该刍甍的体积为() A.6 B．C．D．12 答案 B 解析如图，作FN∥AE，FM∥ED，则多面体被分割为棱柱与棱锥两部分，则该刍甍的体积为VF－MNBC＋VADE－NMF＝S四边形MNBC×2＋S直截面×＝×2××2＋×＝.故选B. 7．(2020·江西省九江市二模)算盘是中国传统的计算工具，其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称“档”，档中横以梁，梁上两珠，每珠作数五，梁下五珠，每珠作数一．算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠．例如：在十位档拨上一颗上珠和一颗下珠，个位档拨上一颗上珠，则表示数字65.若在个、十、百、千位档中随机选择一档拨一颗上珠，再随机选择两个档位各拨一颗下珠，则所拨数字大于200的概率为() A. B．C．D．答案 D 解析在个、十、百、千位档中随机选择一档拨一颗上珠，再随机选择两个档位各拨一颗下珠，依题意得所拨数字共有n＝CC＝24种情况，所拨数字大于200包含两种情况：①上珠拨的是千位档或百位档，有CC＝12种，②上珠拨的是个位档或十位档，下珠有一颗拨的是千位档，则有CC＝6种，所拨数字大于200包含的基本事件有m＝12＋6＝18种，则所拨数字大于200的概率为P＝＝＝.故选D. 8．《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年．例如堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥．如图，在堑堵ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，若A1A＝AB＝2，当阳马B－A1ACC1体积最大时，堑堵ABC－A1B1C1的体积为() A．B．C．2 D．2 答案 C 解析由阳马的定义，知VB－A1ACC1＝A1A·AC·BC＝AC·BC≤(AC2＋BC2)＝AB2＝，当且仅当AC＝BC＝时等号成立，所以当阳马B－A1ACC1体积最大时，堑堵ABC－A1B1C1的体积为×××2＝2，故选C. 9．(2020·四川省达州市模拟)斗拱是中国古典建筑最富装饰性的构件之一，并为中国所特有．图1、图2是斗拱实物图，图3是斗拱构件之一的“斗”的几何体．本图中的斗由棱台与长方体形凹槽(长方体去掉一个小长方体)组成．若棱台两底面面积分别是400 cm2，900 cm2，高为9 cm，长方体形凹槽的体积为4300 cm3，那么这个斗的体积是() 注：台体体积公式是V＝(S′＋＋S)h. A．5700 cm3 B．8100 cm3 C．***** cm3 D．9000 cm3 答案 C 解析∵斗由棱台与长方体形凹槽(长方体去掉一个小长方体)组成，棱台两底面面积分别是400 cm2，900 cm2，高为9 cm，长方体形凹槽的体积为4300 cm3，∴这个斗的体积是V＝×(400＋＋900)×9＋4300＝*****(cm3).故选C. 10. (2020·辽宁省葫芦岛市模拟)地球的公转轨道可以看作是以太阳为一个焦点的椭圆，根据开普勒行星运动第二定律，可知太阳和地球的连线在相等的时间内扫过相等的面积．某同学结合物理和地理知识得到以下结论：①地球到太阳的距离取得最小值和最大值时，地球分别位于图中A点和B点；②已知地球公转轨道的长半轴长约为***-*****0千米，短半轴长约为***-*****0千米，则该椭圆的离心率约为1，因此该椭圆近似于圆形；③已知我国每逢春分(3月21日前后)和秋分(9月23日前后)，地球会分别运行至图中C点和D点，则由此可知我国每年的夏半年(春分至秋分)比冬半年(当年秋分至次年春分)要少几天．以上结论正确的是() A．① B．①② C．②③ D．①③ 答案 A 解析①地球到太阳的距离最小值为a－c，最大值为a＋c，地球分别位于图中A 点和B点，显然正确；②离心率e＝＝＝，根据题意可得a≈***-*****0，b≈***-*****0，所以≈1，所以e≈0，所以离心率应该约为0；③根据开普勒行星运动第二定律，地球从D点到C点运行的速度较快，因此经历的时间较短，因此夏半年比冬半年多几天．故选A.二、填空题11．数学与文化有许多奇妙的联系，如诗中有回文诗：“儿忆父兮妻忆夫”，既可以顺读也可以逆读．数学中有回文数，如343，*****等，两位数的回文数有11，22，33，…，99共9个，则三位数的回文数中，偶数的概率是________．答案解析三位数的回文数为ABA，A共有1到9共9种可能，即1B1，2B2，3B3，… B共有0到9共10种可能，即A0A，A1A，A2A，A3A，…共有9×10＝90个，其中ABA是偶数则A是偶数，共4种可能，即2B2，4B4，6B6，8B8.B共有0到9共10种可能，即A0A，A1A，A2A，A3A，…共有4×10＝40个，∴三位数的回文数中，偶数的概率P＝＝. 12．《孙子算经》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗．问：五人各得几何？”其意思为“有5个人分60个橘子，他们分得的橘子数成公差为3的等差数列，问5人各得多少橘子．”这个问题中，得到橘子最少的人所得的橘子个数是________．答案 6 解析设每人分得的橘子数构成等差数列{an}，首项为a1，公差为3，则S5＝5a1＋×3＝60，解得a1＝6，即得到橘子最少的人所得的橘子个数是6. 13．(2020·山东省泰安市高三一模)《易经》是中国传统文化中的精髓，如图是易经八卦(含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦)，每一卦由三根线组成，“”表示一根阳线，“”表示一根阴线，从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有两根阳线、四根阴线的概率为________．答案解析观察八卦图可知，含3根阴线的共有1卦，含3根阳线的共有1卦，含有2根阴线1根阳线的共有3卦，含有1根阴线2根阳线的共有3卦，∴从八卦中任取两卦，这两卦的六根线恰有两根阳线、四根阴线的概率为P＝＝. 14．我国《物权法》规定：建造建筑物，不得违反国家有关工程建设标准，妨碍相邻建筑物的通风、采光和日照．已知某小区的住宅楼的底部均在同一水平面上，且楼高均为45 m，依据规定，该小区内住宅楼楼间距应不小于52 m．若该小区内某居民在距离楼底27 m高处的某阳台观测点，测得该小区内正对面住宅楼楼顶的仰角与楼底的俯角之和为45°，则该小区的住宅楼楼间距实际为________ m. 答案54 解析设两住宅楼楼间距实际为x m.如图，根据题意可得，tan ∠DCA ＝，tan ∠DCB＝＝，又∠DCA＋∠DCB＝45°，所以tan (∠DCA＋∠DCB)＝＝1，整理得x2－45x－27×18＝0，解得x＝54或x＝－9(舍去).所以该小区住宅楼楼间距实际为54 m．。
高考数学二轮复习第2部分必考补充专题数学思想专项练2数形结合思想理(2021学年)
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数学思想专项练(二) 数形结合思想(对应学生用书第124页)题组1 利用数形结合思想解决方程的根或函数零点问题1．方程|x2-２ｘ|=ａ2+1（a>０）的解的个数是（）A．1 B.2 C.3 Ｄ．4B［∵a＞0,∴a2+1>1.而y=|x2-2x|的图象如图，∴ｙ＝｜x２－2ｘ｜的图象与y=a2+1的图象总有2个交点．]２．已知函数ｆ(ｘ)=|loｇ２｜x|｜-错误!错误!,则下列结论正确的是( ）Ａ.f(x）有三个零点,且所有零点之积大于－1Ｂ.f(ｘ）有三个零点，且所有零点之积小于－1C.f(x)有四个零点，且所有零点之积大于1D.f(x)有四个零点,且所有零点之积小于1A[在同一坐标系中分别作出ｆ1（ｘ）=|log2|x||与f2（ｘ）＝错误!错误!的图象，如图所示，由图象知f１（x）与f2(x)有三个交点,设三个交点的横坐标从左到右分别是ｘ1，x2，x3，因为ｆ错误!＜1 2<ｘ2<1,1＜x3＜0，f 错误!＞０,所以－错误!<ｘ1<－错误!,同理２，即-１＜ｘ１x2ｘ3<-＼f（１，8）,即所有零点之积大于-1。
]3．(201６·内蒙古包头一模)定义在R上的奇函数f(x)满足ｆ(x－4)=－ｆ(ｘ)且在[0，2]上为增函数,若方程ｆ（x)=m(m＞０）在区间[－8，8］上有四个不同的根ｘ１,x2，ｘ3,ｘ４,则x1＋x２＋x３＋x4的值为（)A.8 B．－8C．0ﻩD．－4Ｂ [此函数是周期函数，又是奇函数，且在[0，2]上为增函数,综合条件得函数的示意图如图所示.由图看出,四个交点中，ｙ轴左侧的两个交点的横坐标之和为2×（-6)=－１2,另两个交点的横坐标之和为２×2=4，所以ｘ1＋x2+x3＋x4=-8。
2024年高考数学二轮复习专题二数列培优拓展(二) 数列中的情境创新与数学文化
B.此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里
C.此人第三天走的路程占全程的
D.此人后三天共走了四十二里路
1
8
解析 设此人第 n 天走 an 里路,则{an}是首项为 a1,公比为
1
q= 的等比数列,
2
1)
6
2 =378,解得 a =192.
1
1
12
1 (1-
由等比数列前 n 项和公式得 S6=
(+1)
=n+(n-1)+…+2+1= 2 ,
100×101
显然 a1=1 也适合上式,a100= 2 =5
1
1
1
1
= (+1) =2( − +1),
050,因此选项 D 不正确;
2
1
1
1
1
1
1
累加可得an=a1+1+1+2+3+1+…+n-2+1+n-1
=(1+1+3+1+…+n-2+1)+(2+4+…+n-1)
2+-1 -1
2+-1 -1
= 2 ·2 + 2 ·2
=
2 -1
,
2
当n=1时也符合,当n为偶数且n≥2
时,a2=a1+1+1,a3=a2+2,a4=a3+3+1,…,an-1=an-2+n-2,an=an-1+n-1+1,
效考查我们在新情境中对数学文化的鉴赏、对数学知识的理解和对数学
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数学文化专项练(一)(对应学生用书第119页)1．《九章算术》商功章有题：一圆柱形谷仓，高1丈3尺313寸，容纳米2 000斛(1丈＝10尺，1尺＝10寸，斛为容积单位，1斛≈1.62立方尺，π≈3)，则圆柱底面周长约为( ) A ．1丈3尺 B ．5丈4尺 C ．9丈2尺D ．48丈6尺B [由题意得：2 000×1.62＝S ⎝⎛⎭⎪⎫10＋3＋103×110，解得S ＝2 000×1.62403＝243，因为S ＝πr 2，所以r ＝9，所以C ＝2πr ＝2×3×9＝54(尺)，54尺＝5丈4尺，故选B.]2．(2017·合肥一模)祖暅原理：幂势既同，则积不容异，它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等，设A 、B 为两个同高的几何体，p ：A 、B 的体积不相等，q ：A 、B 在等高处的截面积不恒相等，根据祖暅原理可知，p 是q 的( )【导学号：07804139】A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件A [由“幂势既同，则积不容异”的含义可知在等高处的截面积恒相等，则体积相等可知“若体积不相等，在等高处的截面积不恒相等”，故p ⇒q ，反之“在等高处的截面积不恒相等未必几何体的体积不相等”，故q ⇒/p .]3．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人最后一天走的路程为( ) A ．24里 B ．12里 C ．6里D ．3里C [记每天走的路程里数为{a n }，易知{a n }是公比q ＝12的等比数列，S 6＝378，S 6＝a 1⎝⎛⎭⎪⎫1－1261－12＝378，∴a1＝192，a6＝192×125＝6，选C.]4．(2017·黑龙江哈师大附中三模)如图1程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图时，若输入a，b分别为18,27，则输出的a＝( )图1A．0 B．9C．18 D．54B[因为a＝18，b＝27，a＜b，故第一次循环：b＝b－a＝9，a＝18.第二次循环：a＝a－b＝9，b＝9.满足程序，结束条件，输出a＝9，故选B.]5．(2017·河南安阳一模)三国时代吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明．下面是赵爽的弦图及注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实．图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红(朱)色及黄色，其面积称为朱实、黄实，利用2×勾×股＋(股－勾)2＝4×朱实＋黄实＝弦实，化简，得勾2＋股2＝弦2.设勾股形中勾股比为1∶3，若向弦图内随机抛掷1 000颗图钉(大小忽略不计)，则落在黄色图形内的图钉数大约为( )图2A．866 B．500C．300 D．134D[由题意可设勾股形中勾股分别为x，3x，则黄色图形(正方形)的边长为(3－1)x，以勾股形之弦为边的正方形的边长为2x，由几何概型得，若向弦图内随机抛掷1000颗图钉(大小忽略不计)，则落在黄色图形内的图钉数大约为1 0003－124≈134.]6．(2017·山西五校联考)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问：积几何？其意思是说：“今有底面为矩形的屋脊状楔体，下底面宽3丈，长4丈；上棱长2丈，高一丈．问它的体积是多少？”已知一丈为10尺，现将该楔体的三视图给出如图3所示，其中网格纸上小正方形的边长为1，则该楔体的体积为( )图3A ．5 000立方尺B ．5 500立方尺C ．6 000立方尺D ．6 500立方尺A [该楔体的直观图如图所示，取AB 的中点G ，CD 的中点H ，连接FG ，GH ，FH .则该几何体的体积为四棱锥F GBCH 与三棱柱ADE GHF的体积之和，而三棱柱ADE GHF 可通过割补法得到一个高为EF ，底面积为S ＝12×3×1＝32平方丈的一个直棱柱，故该楔体的体积V ＝32×2＋13×2×3×1＝5立方丈＝5 000立方尺，故选A.]7．(2017·湖南湘潭三模)中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究．设a ，b ，m (m ＞0)为整数，若a 和b 被m 除得的余数相同，则称a 和b 对模m 同余，记为a ＝b (mod m )．若a ＝C 020＋C 120·2＋C 220·22＋…＋C 2020·220，a ＝b (mod 10)，则b 的值可以是( ) A ．2 011 B ．2 012 C ．2 013D ．2 014A [因为a ＝(1＋2)20＝320＝910＝(10－1)10＝C 0101010－C 110109＋…－C 91010＋1，所以a 被10除得的余数为1，而2 011被10除得的余数是1，故选A.]8．(2017·广西玉林市、贵港市高三毕业班质量检测)计算机在数据处理时使用的是二进制，例如十进制的1、2、3、4在二进制分别表示为1、10、11、100.如图4是某同学设计的将二进制数11111化为十进制数的一个流程图，则判断框内应填入的条件是( )【导学号：07804140】图4A ．i ＞4B ．i ≤4C ．i ＞5D ．i ≤5B [在将二进制数11111化为十进制数的程序中，循环次数由循环变量i 决定，因为11111共有5位，因此要循环4次才能完成整个转换过程，所以进入循环的条件应设为i ≤4，故选B.]9．(2017·江西八所重点中学4月联考)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈(1匹＝40尺，一丈＝10尺)，问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织5尺，一月织了九匹三丈，问每天增加多少尺布？”若一个月按31天算，记该女子一个月中的第n 天所织布的尺数为a n ，则a 1＋a 3＋…＋a 29＋a 31a 2＋a 4＋…＋a 28＋a 30的值为( )A.165 B ．1615 C.1629 D ．1631B [由题意女子每天织布数成等差数列，且a 1＝5，S 31＝390，由a 1＋a 31＝a 2＋a 30，且a 1＋a 3＋…＋a 31＝16a 1＋a 312，a 2＋a 4＋…＋a 30＝15a 2＋a 302.所以a 1＋a 3＋…＋a 31a 2＋a 4＋…＋a 30＝16a 1＋a 3115a 2＋a 30＝1615.故选B.]10．若正整数N 除以正整数m 后的余数为n ，则记为N ＝n (mod m )，例如10＝4(mod 6)．如图5程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》．执行该程序框图，则输出的n 等于( )图5A ．17B ．16C ．15D ．13A [由程序框图可知，该程序求解的是“当n ＞10时，被3除余2，被5除也余2的最小整数”，由于当n ＞10时，被3除余2，被5除也余2的最小正整数n ＝17，故输出n ＝17.故选A.]11．我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度．祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年．“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S 6，S 6＝________.【导学号：07804141】332[作出单位圆的内接正六边形， 如图，则OA ＝OB ＝AB ＝1.S 6＝6S △OAB ＝6×12×1×32＝332.] 12．(2017·郑州第二次质量预测)中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外．”其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放有纵横两种形式，如下表：表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位、百位、万位数用纵式表示，十位、千位、十万位用横式表示，以此类推，例如6 613用算筹表示就是，则5 288用算筹可表示为________．[根据题意知，5 288用算筹表示，从左到右依次是横式的5，纵式的2，横式的8，纵式的8，即.]13．(2017·吉林二调)艾萨克·牛顿(1643年1月4日－1727年3月31日)英国皇家学会会长，英国著名物理学家，同时在数学上也有许多杰出贡献，牛顿用“作切线”的方法求函数f (x )零点时给出一个数列{x n }：满足x n ＋1＝x n －f x nf ′x n，我们把该数列称为牛顿数列．如果函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)有两个零点1,2，数列{x n }为牛顿数列，设a n ＝lnx n －2x n －1，已知a 1＝2，x n ＞2，则{a n }的通项公式为a n ＝________. 2n[∵函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)有两个零点1,2.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝04a ＋2b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2ab ＝－3a .∴f (x )＝ax 2－3ax ＋2a . 则f ′(x )＝2ax －3a .则x n ＋1＝x n －ax 2n －3ax n ＋2a 2ax n －3a ＝x n －x 2n －3x n ＋22x n －3＝x 2n －22x n －3， ∴x n ＋1－2x n ＋1－1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x n －2x n －12， 则lnx n －2x n －1是以2为公比的等比数列， ∵a n ＝lnx n －2x n －1，且a 1＝2， ∴数列{a n }是以2为首项，以2为公比的等比数列， 则a n ＝2·2n －1＝2n.]14．我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数x 的不足近似值和过剩近似值分别为b a 和dc(a ，b ，c ，d ∈N *)，则b ＋d a ＋c是x 的更为精确的不足近似值或过剩近似值．我们知道π＝3.141 59…，若令3110＜π＜4915，则第一次用“调日法”后得165是π的更为精确的过剩近似值，即3110＜π＜165，若每次都取最简分数，那么第四次用“调日法”后可得π的近似分数为________． 227 [由题意：第一次用“调日法”后得165是π的更为精确的过剩近似值，即3110＜π＜165；第二次用“调日法”后得4715是π的更为精确的过剩近似值，即4715＜π＜165；第三次用“调日法”后得6320是π的更为精确的过剩近似值，即4715＜π＜6320；第四次用“调日法”后得227是π的更为精确的过剩近似值，即4715＜π＜227.]。