第七节_____旋转体的体积计算

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《旋转体的体积》课件

旋转体的性质
深入探讨了旋转体的几何性质，如旋转体的表面积、质心和转动惯量等。
计算实例
通过具体的计算实例，演示了如何运用旋转体的体积公式解决实际问题。
未来研究方向和展望
深入研究旋转体的性质
随着几何学的发展，旋转体的性质将得到更深入的研究，如探讨旋转体的对称性、稳定性等。
扩展旋转体的应用领域
条件和范围。
计算中需要注意的事项
单位统一
在计算过程中，确保所有的长度单位都是统一的，避免因单位不统一导致的误差。
VS
精确度要求
根据问题的实际需求，合理选择计算方法和工具，确保计算结果的精确度。
提高计算准确性的技巧和方法
01
02
03
多做练习
通过大量的练习，提高学生的计算能力和对公式的熟悉程度。
数学建模
在物理、化学和生物等学科中，旋转体常被用来建立数学模型，以描述和分析各种现象。
02
旋转体的体积计算公式
圆柱体的体积计算公式
总结词
圆柱体的体积计算公式是底面积乘以高。
详细描述
圆柱体的体积计算公式是底面积（πr^2）乘以高（h），即V=πr^2h，其中r是底面圆的半径，h是高。
圆锥体的体积计算公式
随着科技的进步，旋转体在工程、物理、生物等领域的应用将更加广泛，如探讨旋转体在流体动力学、机械工程和生物学等领域的应用。
探索新的计算方法
随着数学和计算机技术的发展，将会有新的计算方法出现，以更高效、精确地计算旋转体的体积和其他几何量。
加强与其他学科的交叉研究
旋转体作为几何学的重要分支，将与其他学科如物理学、化学、生物学等产生更多的交叉研究，以推动科学的发展。

绕某一直线旋转的旋转体体积的求法

一、概述在数学和物理学中，我们经常会遇到关于旋转体积的问题。

绕某一直线旋转的旋转体是一种常见的几何体，在工程设计、建筑学和动力学等领域都有重要的应用。

了解如何求解绕某一直线旋转的旋转体体积是非常重要的。

二、旋转体积的基本概念旋转体积指的是一个平面图形绕某一条直线旋转而成的立体。

常见的旋转体包括圆锥体、圆柱体和旋转抛物面等。

在求解旋转体积时，我们通常需要根据给定的图形和旋转轴来确定积分的区间，并使用定积分的方法来求解。

三、圆柱体体积的求法圆柱体是一种常见的旋转体，其体积的求法非常简单。

设半径为r的圆绕与半径平行且与圆心距为h的直线旋转，即可得到一个圆柱体。

根据圆柱体的定义，其体积可以表示为V=πr²h。

我们可以直接使用该公式来求解圆柱体的体积。

四、圆锥体体积的求法与圆柱体类似，圆锥体的体积求解也可以通过积分的方法来进行。

设半径为r的圆绕与顶点到底面的距离为h的直线旋转，即可得到一个圆锥体。

根据圆锥体的定义，其体积可以表示为V=1/3πr²h。

我们可以通过积分来求解圆锥体的体积，即∫πr²dy，其中y的区间为0到h。

五、旋转曲面体积的求法对于其他类型的旋转体，如旋转抛物面或旋转曲线体，其体积的求法也是类似的。

我们需要先确定旋转轴以及图形的方程，然后使用定积分的方法来求解体积。

由于旋转曲面的形状多样化，其体积的求解可能会更加复杂，需要根据具体情况来确定积分的区间和方程。

六、典型问题求解1. 求半径为r的圆的绕x轴旋转所得旋转体的体积。

解：根据圆绕x轴旋转所得的旋转体为圆柱体，其体积为V=πr²h，其中h为圆心到x轴的距离。

可以通过积分∫πr²dy来求解。

2. 求y=x²在x轴和直线x=2所围成的区域绕x轴旋转所得旋转体的体积。

解：首先需要确定积分的区间为x=0到x=2，然后根据给定的函数y=x²来求解面积。

然后再通过积分的方法来求解旋转体的体积。

旋转体体积公式绕x轴和绕y轴的公式

标题：旋转体体积公式绕x轴和绕y轴的公式概述旋转体体积公式是数学中的重要概念，它用于计算由曲线或曲面旋转产生的立体图形的体积。

在这篇文章中，我们将重点讨论旋转体体积公式绕x轴和绕y轴的具体公式及推导过程。

一、绕x轴旋转体积公式当曲线y=f(x)在x轴的区间[a,b]上绕x轴旋转一周时，所形成的旋转体的体积Vx可由以下公式计算：Vx = π∫[a,b] f(x)² dx其中，π为圆周率。

推导过程：为了推导该公式，我们可以将曲线y=f(x)绕x轴旋转一周后，得到不同x处的截面面积πf(x)²。

然后利用定积分的性质，将这些截面面积相加，即得到旋转体的体积公式。

举例说明：假设我们有曲线y=x²，要计算其在区间[0,1]上绕x轴旋转一周所形成的旋转体的体积。

根据公式，我们可以得到Vx = π∫[0,1] x^4 dx = π/5二、绕y轴旋转体积公式当曲线x=g(y)在y轴的区间[c,d]上绕y轴旋转一周时，所形成的旋转体的体积Vy可由以下公式计算：Vy = π∫[c,d] g(y)² d y推导过程：同样地，为了推导该公式，我们可以将曲线x=g(y)绕y轴旋转一周后，得到不同y处的截面面积πg(y)²。

然后利用定积分的性质，将这些截面面积相加，即得到旋转体的体积公式。

举例说明：假设我们有曲线x=y²，要计算其在区间[0,1]上绕y轴旋转一周所形成的旋转体的体积。

根据公式，我们可以得到Vy = π∫[0,1] y^4 dy = π/5总结通过本文的讨论，我们可以得出绕x轴和绕y轴旋转体积的计算公式，并了解到其推导过程。

这些公式在数学和工程领域有着广泛的应用，能够帮助我们计算由曲线旋转产生的立体图形的体积，具有重要的理论和实际意义。

为了更深入地理解旋转体体积公式绕x轴和绕y轴的推导过程，我们可以进一步探讨不同类型曲线的旋转体积公式，并应用这些公式解决实际问题。

旋转体体积计算说课

说教学设计
导入新授例题分析课堂练习课后作业课时小结
说教学反思
1.对多媒体的使用不够熟练。 2.教学设计存在问题，比如沙漏体积计算我 ห้องสมุดไป่ตู้择的数据不够好，造成计算上存在很大的难度。 3.师生互动较少。
谢谢大家，欢迎批评指正！
旋转体体积计算说课
基础教育部艾雪微
说课内容
说课程说教学目标说教学设计说教学反思
说课程
课程分析：我们所选用的教材是出版社出版的高等数学。本节课是第五章定积分及定积分应用的第七节。定积分应用在实际生活中有非常广泛的用途。
学情分析：底子薄、基础差，学习兴趣不高
说教学目标
1.知识与技能：熟记绕x轴、y轴旋转的旋转体体积计算公式； 2.能力目标：能够熟练求出绕x轴、y轴旋转的旋转体体积并能够应用所学知识解决简单的实际问题； 3.情感态度价值观：培养学生数学建模的思想。

旋转体的体积计算(课堂PPT)

曲边梯形绕 y 轴旋转一周而成的立体，体积为
y
V d [ ( y)]2 dy c d x 2dy c
d
x ( y) c
o
x
3
例1. 求由曲线 y x ,直线x = 1及x轴所围成的平面图形
绕x轴旋转一周所生成的旋转体的体积.
解如图, 选x为积分变量
y
y x
由旋转体的体积公式,得
1
Vx
(
0
x )2 dx
1
xdx
0
o
x
x2
1
22
0
4
例2. 求由曲线 x 2 4 y,直线y = 1及y轴所围成的图形
分别绕 x 轴, y 轴旋转一周所生成的旋转体的体积.
y
解如图, 绕 x 轴旋转体的体积,
选x为积分变量
(2, 1)
1
Vx
12 2 2 ( x 2 )2 dx 04
b
左半圆弧方程为 x x2( y) b a2 y2 O A
Bx
体积微元
-a
D
dV
[ x1(
y)]2 dy
[ x2 (
y)]2 dy
[ x12 (
y)
x
2 2
(
y)]dy
环体体积为 V
a
(
a
x12
x22
)dy
a
[(b
a2 y2 )2 (b
a2 y2 )2 ]dy
a
a
y2
2 a 3
2
x3
3
x [a, a]
-a
o
a
x
由旋转体的体积公式，知：
V
a [ f ( x)]2dx

参数方程旋转体体积公式

参数方程旋转体体积公式在我们学习数学的漫漫征途中，参数方程和旋转体体积公式就像是两座神秘的山峰，等待着我们去攀登和探索。

还记得我读高中那会，有一次数学老师在课堂上讲参数方程和旋转体体积公式，那场面可真是热闹非凡。

老师在黑板上奋笔疾书，嘴里不停地念叨着各种符号和公式，而台下的同学们则是一脸迷茫，有的抓耳挠腮，有的眉头紧锁。

我当时也被这复杂的知识搞得晕头转向。

咱们先来说说参数方程。

参数方程是啥呢？简单来说，就是用一个参数来表示一个曲线或者一个图形上点的坐标。

比如说，一个圆的参数方程可以写成 x = r cosθ，y = r sinθ ，这里的 r 是圆的半径，θ 就是那个参数。

通过改变θ 的值，我们就能得到圆上不同的点的坐标。

这就像是给曲线编了一个密码，只有知道了这个密码（参数），才能解开曲线的秘密。

再来说说旋转体体积公式。

这可是个厉害的家伙！想象一下，一个平面图形绕着一条轴旋转一周，形成的那个立体图形的体积该怎么算呢？这就轮到旋转体体积公式登场啦。

比如说，一个直角三角形绕着一条直角边旋转一周，形成一个圆锥。

如果我们知道三角形的两条直角边的长度，就能用相应的公式算出这个圆锥的体积。

那参数方程和旋转体体积公式有啥关系呢？这就好比是一对好兄弟，相互配合，能解决好多难题。

比如说，我们要计算一个由参数方程表示的曲线绕着某条轴旋转形成的旋转体的体积，这时候就得把参数方程和旋转体体积公式结合起来，一通操作，就能算出体积啦。

我记得有一次做数学作业，就碰到了这么一道题：一个由参数方程x = t，y = t^2 表示的抛物线绕着 x 轴旋转一周，求旋转体的体积。

我一开始看到这道题，脑袋嗡嗡的，完全不知道从哪儿下手。

但是静下心来，仔细回想老师讲的知识点，先把参数方程转化为普通方程，再用旋转体体积公式去计算，费了好大的劲，终于算出了答案。

那一刻，心里那叫一个美啊！在学习参数方程和旋转体体积公式的过程中，可别害怕犯错。

错了就改，改了再错，错了继续改，直到弄明白为止。

旋转体体积公式绕x轴的体积

旋转体体积公式绕x轴的体积在我们学习数学的旅程中，旋转体体积公式绕 x 轴的相关知识可是个重要的“小伙伴”呢！先来说说什么是旋转体体积。

想象一下，有一条曲线在平面上，然后让它绕着 x 轴旋转一圈，所形成的那个像“甜甜圈”一样的空间物体就是旋转体啦。

而计算这个旋转体体积的公式，就像是一把神奇的钥匙，能帮我们打开了解它大小的大门。

比如说，我们有一个简单的函数 y = x，从 x = 0 到 x = 1 这一段。

当它绕着 x 轴旋转一周后，形成的就是一个圆锥。

这时候，我们就可以用旋转体体积公式来算算它的体积。

公式是这样的：V = π∫[f(x)]²dx ，积分的区间就是函数的定义域。

我记得有一次给学生们讲这个知识点的时候，发生了一件特别有趣的事儿。

有个小家伙，瞪着大眼睛，一脸迷茫地问我：“老师，这绕来绕去的，到底是怎么回事呀？”我笑着拿起一支笔，在空中比划着说：“你看啊，就像我们在做陶艺，把这一块泥巴（指着函数曲线），绕着这个轴（比划出 x 轴）这么一转，是不是就出来一个形状啦？那我们要知道这个形状占了多大的空间，就得靠这个公式来帮忙。

”那孩子似懂非懂地点点头，然后自己拿起笔在纸上画了起来。

再举个例子，比如函数y = √x ，从 x = 0 到 x = 4 绕 x 轴旋转一周。

这时候，我们代入公式V = π∫[f(x)]²dx ，经过一番计算就能得出体积啦。

在实际应用中，这个公式可太有用了。

比如说，工程师在设计零件的时候，可能就需要计算某个旋转体的体积，来确定材料的用量和成本。

对于咱们学生来说，掌握这个公式，不仅能在考试中多拿几分，更重要的是，它能培养我们的空间想象力和逻辑思维能力。

学习旋转体体积公式绕 x 轴的体积，就像是一场有趣的探险。

虽然有时候可能会觉得有点难，但只要我们多思考、多练习，就一定能攻克这个难关，发现其中的乐趣和奇妙之处。

总之，旋转体体积公式绕x 轴的体积是数学世界中的一个重要工具，让我们能够更深入地理解和探索空间几何的奥秘。

定积分计算旋转体体积公式

定积分计算旋转体体积公式嘿，大家好！今天咱们聊聊一个看似高大上的话题——定积分计算旋转体体积公式。

听上去有点复杂，但实际上，它就像做一道美味的菜，只要掌握了技巧，没啥难的。

来吧，咱们一步一步来，轻松愉快地搞定这个概念。

1. 什么是旋转体？1.1 旋转体的定义先说说旋转体。

你有没有想过，当你把一个平面图形绕着一条轴旋转一圈，会变成什么？对，就是旋转体！简单来说，旋转体就是由一个平面图形旋转而成的三维物体。

比如说，圆柱、球、锥这些家伙，都是旋转体。

想象一下，把一个圆形的披萨放在桌子上，绕着中心转动，这个披萨的整个形状就是个完美的圆柱，想想是不是挺有趣的？1.2 旋转体的例子再比如，你把一个直角三角形绕着其中一条直角边旋转，哇！你就得到了一个锥体。

说实话，光是想想就让人觉得奇妙无比。

这些几何图形，虽然看起来简单，但它们的体积计算可是有门道的，接下来我们就要揭开这层神秘的面纱啦。

2. 定积分与体积2.1 定积分的基础知识那么，定积分到底是什么呢？简单说，定积分就是把某个区间上的函数“加起来”，其实就像把一块块的蛋糕切成小块，然后一块一块地吃掉，最后得出整块蛋糕的重量。

在数学里，这个过程就可以用定积分来表示。

比如说，你想知道一个曲线下面的面积，那就得用到定积分。

2.2 如何计算旋转体的体积现在咱们来聊聊，如何利用定积分来计算旋转体的体积。

公式是这样的：如果你把一个函数 ( f(x) ) 从 ( a ) 到 ( b ) 这个区间绕 ( x ) 轴旋转，就可以用下面的公式计算体积：V = pi int_a^b f(x)^2 dx。

这里的 ( V ) 就是体积，没错，就是你期待的那一部分！这个公式的意思就是，先把函数值平方，再把这些值累加起来，最后乘个 (pi) 就可以得到旋转体的体积了。

听起来是不是很简单？实际上，计算时要注意范围和函数的形状，否则可就“踩雷”了。

3. 生活中的应用3.1 实际应用示例生活中其实到处都能看到旋转体的影子。

旋转体求体积

旋转体求体积
杨小洁
旋转体求体积
概念
方法
应用
一、概念

旋转体是指一个平面图形绕该平面内的一条直线旋
转一周而成的立体，这条直线称为旋转体的旋转轴．如
圆柱体、圆锥体和球等都是旋转体.
这条直线称为旋转体的旋转轴.
二、方法

y f 直(x线)
x 及a, 轴x 围b成的x曲边梯形绕轴
旋转一周而成(图1)，试计算它的体积．
v
sin2 xdx
1cos2x dx
0
02
2

2
1
取横坐标为积x 分变量 , 积分区间为
，在
上任取小区间
，相应薄片的体积近似于以为
底半径a ,，b 为高的扁圆a,柱b体的体积，即体积微元x,为x dx
f x
dx
于是旋转体的体积为
dV [ f (x)]2 dxVFra bibliotekb

[ a
f
(x)]2 dx

同理,由连续曲线
与直线 x y，及轴围
成的y曲边c梯, y形绕d轴旋转y而成的旋转体的体积为(图2)
V

d c
[
(
y
)]
2
dy
2
三、应用
求 y si，n x x以及0 轴所围x成的图形绕轴旋转
所成立x体的体积.
解：由微元法可知：
则
dv sin2 xdx

第七讲旋转体的计算

第七讲旋转体的计算分别以矩形、直角三角形、直角梯形的一边、一直角边、垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而成的曲面所围成的几何体分别叫做圆柱、圆锥、圆台（下图）．旋转轴叫做它们的轴，在轴上这条边的长度叫做它们的高，垂直于轴的边旋转而形成的圆面叫做它们的底面，不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做它们的侧面，这条边无论旋转到什么位置，都叫做旋转体的母线．圆柱的侧面展开后是个矩形，它的宽是圆柱的母线，长是圆柱底面的周长．由此可得S圆柱侧＝2πrl，其中l是圆柱侧面的母线长，r是底面半径（下左图）．圆锥的侧面展开图是一个扇形，如上页下角图这个扇形的半径是圆锥的母线，弧长是圆锥底面的周长，于是可得其中l是圆锥侧面的母线，C是圆锥底面的周长，r是圆锥底面的半径．圆台是用一个平行于圆锥底面的平面截圆锥而得到的，所以圆台的侧面展开图是两个扇形的差，常叫扇环形．这个扇环形的宽是圆台侧面的母线，外弧长和内弧长分别是圆台的下底面和上底面的周长，于是可得其中l是圆台侧面母线长，C上、C下分别是圆台上底和下底周长，r上、r下分别是圆台上底和下底的半径（如下图）．圆柱的体积等于它的底面积S与高h的乘积，即V圆柱＝Sh＝πr2h，其中r为圆柱底面的半径．圆锥的体积等于它的底面积S与高h的积的三分之一，圆台的体积是其中，r上、r下分别是上底和下底的半径．例1 甲、乙两个圆柱形水桶，容积一样大，甲桶底圆半径是乙桶的1.5倍，乙桶比甲桶高25厘米，求甲、乙两桶的高度．分析与解答如下图．由题意，设乙桶半径为r，则甲桶半径为1.5r；甲桶高度为h，则乙桶高度为h＋25，则π（1.5r）2h＝πr2（h＋25），2.25r2h＝r2（h＋25），2.25h＝h＋25，∴h＝20（厘米），h＋25＝45（厘米）．答：甲桶高度为20厘米，乙桶高度为45厘米．例2 一块正方形薄铁板的边长是22厘米，以它的一个顶点为圆心，边长为半径画弧，沿弧剪下一个扇形，用这块扇形铁板围成一个圆锥筒，求它的容积（结果取整数部分）．筒底的周长＝2πr＝11π，解得r＝5.5厘米．因为母线长是22厘米，所以圆锥的高答：所求圆锥筒的容积约为674立方厘米．为2米，圆锥的高为1米，这堆谷重约多少公斤（谷的比重是每立方米重720公斤，结果取整数部分）？答：这堆谷子重约306公斤．例4 有一个倒圆锥形的容器，它的底面半径是5厘米，高是10厘米，再把石子全部拿出来，求此时容器内水面的高度．解：如上页图，设石子取出后，容器内水面高度为x厘米，则倒圆锥容器的容积等于水的体积加上石子的体积．根据体积公式有x3＝(52×10－196）×4＝54×4＝27×8＝33×23，∴x＝6．答：石子取出后，容器内水面的高为6厘米．例5 有一草垛，如下图，上部是圆锥形，下部是圆台形，圆锥的高为0．7米，底面圆周长为6.28米，圆台的高为1.5米，下底面周长为4.71米．如果每立方米草约重150公斤，求这垛草的重量（结果取整数部分）．分析与解答圆锥的体积：圆台上底半径：r上＝r＝1米，∴草垛体积为：V圆锥＋V圆台＝0.73＋3.63＝4.36（立方米），故草垛的重量为：150×4.36＝654（公斤）．答：草垛约重654公斤．例6 如下右图，在长为35厘米的圆筒形管子的横截面上，最长直线段为20厘米，求这个管子的体积．分析如上左图，AB是截面圆环的最长直线段，O是截面圆环的圆心．过O作AB的垂线，垂足是C，以O为圆心，以OC为半径作圆，即管截面的内圆周．连结AO，根据勾股定理有：AO2＝AC2＋CO2，∴AO2－OC2＝AC2，同理AO2－OC2＝BC2，∴S圆环＝π·AO2－π·OC2＝π·（AO2－OC2）解：先求出管子横截面的圆环面积为则管子的体积为：π·r2外径·h－πr2内径h＝圆环面积×h＝100π×35＝3500π（立方厘米）答：这个管子的体积为3500π立方厘米．例7 一个长方形的长为16厘米，宽为12厘米．以它的一条对角线为轴旋转此长方体，得到一个旋转体．求这个旋转体的体积．（结果中保留π，即不用近似值代替π．）分析与解答如下图，记这个长方形为ABCD，对角线AC的中点为O．过O作EF垂直于AC，分别交BC、AD于E、F．由对称性知道：EO＝OF．设P为AO上的任一点，过P作AO的垂线，分别交折线ABE和线段AF于M和N，那么MP＞PN．因此，四边形ABEF绕AC旋转得到的立体即为四边形ABEO绕AC 旋转得到的立体．同样，四边形CDFE绕AC旋转得到的立体即为四边形CDFO绕AC旋转得到的立体．并且，由于对称性，四边形ABEO与CDFO 是完全一样的，因此由它们绕AC旋转得到的立体也是完全一样的．这样，这两个立体的体积相等．所以，长方形ABCD绕AC旋转得到的立体的体积等于四边形ABEO绕AC旋转得到的立体的体积的两倍．记由长方体ABCD绕AC旋转得到的立体为W，由四边形ABEO绕AC旋转得到的立体为U，由△ABB'（B'在AO上，BB'垂直于AO）、四边形BEOB'绕AC旋转得到的立体分别记为U1、U2．显然，U1与U2有一条公共的边界（由BB'旋转而成的圆），且U1与U2合成U．因此V w＝2V U＝2（V U1＋V U2）．由AB＝12厘米，BC＝16厘米及勾股弦定理得：BB'＝9.6厘米．在直角三角形ABB'中再用勾股弦定理，得AB'＝7.2厘米，所以B'O＝AO－AB'＝2.8厘米．U1是一个圆锥，底面半径BB'＝9.6厘米，高AB'＝7.2厘米，所以U2是一个圆台，它是大、小两个圆锥的差，大圆锥以BB'为底面半径，CB'为高，小圆锥以EO为底面半径，CO为高，容易知道CB'＝CO＋OB'＝12.8厘米，由EO：OC＝AB：BC可以求出EO＝7.5厘米．因此所以＝853.8π（立方厘米）答：所求的旋转体体积为853.8π立方厘米．习题七一、填空题：1．一个圆柱体的侧面积是m平方厘米，底面半径是2厘米，它的体积是___立方厘米．2．一个圆锥的母线长为8厘米，底面直径为12厘米，那么这个圆锥的侧面积等于____平方厘米．3．圆台的上、下底面半径分别为2厘米和5厘米，母线长为4厘米，那么这个圆台的表面积等于____．4．用半径为2厘米的半圆形铁皮卷成的圆锥形容器，则它的底面半径为____厘米，容积是____立方厘米．5．一个圆锥的高是10厘米，侧面展开图是半圆，那么圆锥的侧面积等于____．二、选择题：1．一个圆柱体高80厘米，侧面积为1.5平方米，它的全面积是____（精确到0.01平方米）．（A）1.78平方米（B）2.06平方米（C）3.74平方米（D）5.25平方米2．圆锥的侧面积为427．2平方厘米，母线长为17厘米，那么圆锥的高是___（精确到0．01厘米）．（A） 5.75厘米（B）15厘米（C）16.52厘米（D）5.25厘米3．圆柱的一个底面积是S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是___．（A）4πS（B）2πS4．母线和底面直径相等的圆锥叫做等边圆锥，一个等边圆锥的底面半径是5厘米，那么它的侧面积是_______．（A）25平方厘米（B）50π平方厘米（C）100π平方厘米（D）250π平方厘米5．把一个底面半径是1厘米的圆柱体侧面展开，得到一个正方形，这个圆柱体的体积是立方厘米（取r＝3.14）．（A） 1 （B） 3.14（C）3.14×3.14 （D） 3.14×6.286．长、宽分别为6寸、4寸的长方形铁片，把它围成一个圆桶，另加一个底，形成圆柱形的杯子，这个杯子的最大容积是____．三、解答题：1．一个底面直径是20厘米的圆柱形容器中装着水，水中放置一个底面半径是9厘米，高20厘米的铁质圆锥体，当圆锥从桶中取出后，桶内的水将下降多少厘米？2．在一只底面半径为20厘米的圆柱形小桶里，有一半径为10厘米的圆柱形钢材浸在水中．当钢材从桶里取出后，桶里的水下降了3厘米．求这段钢材的长．3．有A、B两个容器，如下页图，先将A容器注满水，然后倒入B 容器，求B容器的水深．（单位：厘米）4．从一个底面半径为3厘米，高为4厘米的圆柱中，挖去一个以圆柱上底面为底，下底面中心为顶点的圆锥，得到一个如下图的几何体．求这个几何体的表面积和体积．5．圆锥形烟囱帽的底的半径是40厘米，高是30厘米，计算它的侧面面积．若烟囱表面要涂油漆，已知每平方米需要油漆150克，问需油漆多少克？6．一个圆台的母线长为25厘米，而两个底面半径之比为1：3，已知圆台的侧面积等于1000π平方厘米，求这个圆台的全面积．7．把一条导线以螺旋状绕在圆柱管上，绕成十圈，圆柱管的外圆周长4厘米，导线的两端点位于圆柱的同一条母线上，每线长（两端点之间的距离）为9厘米．试求导线的长度．8．在长为1米的圆筒形管子的横截面上，最长直线段为12厘米，求此管子的体积．9．如下页图，长方形纸片ABCD中，AB＝3厘米，BC＝4厘米，①如果以BC为底边，折成一个底面为正方形的长方体，加盖后其体积为V1；如果以AB为底边，同样折成一个长方体，其体积为V2，求V1∶V2．②如果以BC为底边，把纸卷成一个圆柱，其体积为V3；如果以AB 为底边，把纸片卷成一个圆柱，其体积为V4，求V3∶V4（取π＝3.14）．③这四个不同形状的形体，加盖后其表面积之比又分别是多少（即求S1∶S2和S3∶S4）？10．一个几何体如下图，求它的表面积．习题七解答一、1．m立方厘米；2．48π（平方厘米）；3．57π（平方厘米）．5．设圆锥母线为l厘米，底面半径为r厘米，根据题意有πl＝2πr．故二、三、∴x＝5.4（厘米）．2．设这段钢材长为x厘米，则π×202×3＝π×102×x，∴x＝12厘米．∴h＝4.8厘米．4．因为底面半径为3厘米，高为4厘米，所以挖掉圆锥的母线长等于＝3.14×2000＝6280（平方厘米）＝0.628（平方米），0.628×150＝94.2（克）．6．设圆台上底半径为x厘米，则π×（x＋3x）×25＝1000π．解得x＝10（厘米），故3x＝30（厘米）．圆台的全面积等于：1000π＋π×102＋π×302≈0.628（平方米）．7．把圆柱表面和导线一起展开在一个平面上，母线（9厘米），10个重复的圆周（10×4厘米）和导线（l厘米）构成一个直角三角形，因此，管子的体积为36π×100＝3600π（立方厘米）．∴V1∶V2＝4∶3．∴S1∶S2＝112∶105．∴V3∶V4＝4∶3，＝145∶134．10．几何体的表面积：＝108π＋360π＋240＋400＋160＝468π＋800．。

微积分求旋转体体积

微积分求旋转体体积
微积分是一种以微分和积分为基础的数学方法，是研究函数性质、分析函数行为及求解曲线问题的数学工具。

它可以用来求解多种几何体的表面积和体积。

本文主要讨论如何用微积分方法求解旋转体的体积。

二、旋转体的定义
旋转体是以某些曲线为轮廓，将这些曲线绕轴旋转一定的角度，所形成的立体图形。

它由轴、轮廓曲线和旋转角度组成。

三、求解旋转体体积的方法
1.柱状体
旋转体可以用柱体来近似表示，这称为柱状体，柱状体的体积公式为V=πrh，其中r为柱轴上任意点到轴心的距离，h为离心点处的曲线到轴的高度。

2.旋转体体积公式
通过柱体近似，可以用积分公式确定旋转体的体积。

积分公式：V=∫rb(θ)dθ。

其中，b(θ)为某点到轴心的距离，θ为旋转角度，r为轴的半径。

四、例题讲解
例题1：以椭圆y=2x-x为轮廓，绕x轴旋转360°求旋转体的体积
解：椭圆的方程为y=2x-x，令y=0时，可得x=0或1，即椭圆的两端点为(0,0)和(1,0)，则椭圆的半径为1。

将椭圆从(0,0)绕x轴旋转360°，由柱状体体积公式可得，体积V=πrh=π×1×2=2π
再用积分法求解，V=∫rb(θ)dθ=∫01(2θ-θ)dθ，即V=2π以上两种方法求得的体积均为2π，故正确。

五、结论
本文介绍了用微积分求解旋转体体积的方法，可以用柱体近似和积分公式求解旋转体体积。

在求解过程中，需要熟练掌握柱体体积公式和积分公式，准确计算出旋转体的体积。

旋转体体积面积乘周长

旋转体体积面积乘周长旋转体是数学中的一个重要概念，它具有独特的几何特征和性质。

而计算旋转体的体积和表面积是数学中的常见问题之一。

本文将围绕旋转体的体积和表面积展开讨论，并探讨如何通过乘以周长来计算。

一、旋转体的体积旋转体的体积是指由某一曲线绕某一轴旋转一周所形成的空间区域的体积。

具体来说，就是将该曲线上的每一点都绕轴旋转，形成一个立体图形，然后计算这个立体图形的体积。

计算旋转体的体积有多种方法，其中一种常见的方法是使用定积分。

假设我们有一个曲线y=f(x)，将其绕x轴旋转一周，形成一个旋转体。

在x=a和x=b之间的一个微小区间Δx上，该旋转体的体积可以近似地表示为一个柱体的体积，即ΔV=π(f(x))^2Δx。

将所有微小区间上的柱体体积相加，并取极限，得到旋转体的体积公式：V=∫[a,b]π(f(x))^2dx这里的∫[a,b]表示对x从a到b的积分运算。

通过计算该定积分，我们可以得到旋转体的精确体积。

二、旋转体的表面积旋转体的表面积是指由某一曲线绕某一轴旋转一周所形成的表面的总面积。

与计算体积类似，计算旋转体的表面积也可以使用定积分的方法。

假设我们有一个曲线y=f(x)，将其绕x轴旋转一周，形成一个旋转体。

在x=a和x=b之间的一个微小区间Δx上，该旋转体的表面积可以近似地表示为一个圆环的面积，即ΔS=2πf(x)Δs。

将所有微小区间上的圆环面积相加，并取极限，得到旋转体的表面积公式：S=∫[a,b]2πf(x)ds这里的ds表示曲线在该点的弧长元素。

通过计算该定积分，我们可以得到旋转体的精确表面积。

三、体积面积乘周长的意义旋转体的体积和表面积是旋转体的两个重要属性，它们分别描述了旋转体的大小和形状。

而将体积和表面积相乘，再乘以周长，可以得到一个更加综合的指标，可以用来比较不同旋转体之间的差异。

具体来说，体积面积乘周长可以表示旋转体的容量和覆盖程度。

体积面积较大的旋转体，意味着它的容量较大；而周长较长的旋转体，意味着它的表面覆盖范围较广。

绕x轴旋转体积公式

绕x轴旋转体积公式在几何学中，我们经常遇到需要计算旋转体积的问题。

当一个二维图形绕某个轴旋转时，它所形成的三维图形就被称为旋转体。

而绕x轴旋转体积公式就是用来计算绕x轴旋转体的体积的公式。

绕x轴旋转体积公式可以表示为V = ∫[a,b] πf(x)^2 dx，其中V表示旋转体的体积，a和b表示x轴上的范围，f(x)表示二维图形在x 轴上的函数。

为了更好地理解绕x轴旋转体积公式，我们可以通过一个例子来说明。

假设我们有一个函数f(x) = x^2，我们希望计算将该函数绕x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积。

我们需要确定x轴上的范围。

假设我们希望计算的范围为x = 0到x = 1。

接下来，我们需要计算函数f(x)在该范围内的面积。

由于函数f(x) = x^2是一个二次函数，它的图像是一个开口向上的抛物线。

在范围x = 0到x = 1内，该抛物线位于x轴的上方，因此我们需要计算该范围内抛物线与x轴之间的面积。

根据基本几何知识，我们知道一个矩形的面积可以通过宽度乘以高度来计算。

在这里，我们可以将抛物线与x轴之间的面积近似看作是无数个无穷小矩形的面积之和。

为了计算每个无穷小矩形的面积，我们需要知道矩形的宽度和高度。

在这里，矩形的宽度是dx，它表示无穷小区间[x, x+dx]的长度。

而矩形的高度是f(x)，它表示抛物线在x点的高度。

我们可以将绕x轴旋转体积公式改写为V = ∫[0,1] π(x^2)^2 dx。

通过计算这个积分，我们可以得到绕x轴旋转体的体积。

在这个例子中，我们可以通过计算得到V = ∫[0,1] πx^4 dx。

为了求解这个积分，我们可以使用积分的基本性质和技巧，例如换元法或分部积分法。

通过计算，我们可以得到V = π/5。

因此，将函数f(x) = x^2绕x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积为π/5。

通过这个例子，我们可以看到绕x轴旋转体积公式的应用。

无论是计算简单的函数还是复杂的曲线，我们都可以通过这个公式来计算绕x轴旋转体的体积。