学而思-角平分线专题

图2

C

A P

B O

M N

图1

N M O

P

A C

B

C D

P A

图3

图4

A

B

C

D P

板块一：角分线的轴对称性

1. 角分线，分两边，对称全等要记全。（牢记，角平分线就是一个对称轴，所以

可以将其中的一个△翻转180度，构造全等。）

基本图形

【例1】 阅读下列学习材料：

如图1 所示，OP 平分MON ∠，A 为OM 上一点，C 为OP 上一点.连接AC ,在射线ON 上截取

OB OA =，连接BC （如图2）,易证AOC BOC △≌△．

请根据上面的学习材料，解答下列各题：

⑴ 如图3所示，在ABC ∆中，AD 是BAC ∠的外角平分线，P 是AD 上异于点A 的任意一点，试比较PB PC +与AB AC +的大小，并说明理由.

⑵ 如图4所示，上题中AD 是内角平分线，其它条件不变，求证：PC PB AC AB -<-

例题精讲

几何证明技巧 角平分线专题

【例2】 （2006北京）如图1，OP 是MON ∠的平分线，请你利用该图形画一对以OP 所在直线为对称轴的

全等三角形．

请你参考上图构造全等三角形的方法，解答下列问题：

⑴ 如图2，在ABC △中，ACB ∠是直角，60B ∠=︒，AD CE 、分别是BAC BCA ∠∠、的平分线，

AD CE 、相交于点F ．请你判断写出FE 与FD 之间的数量关系；

⑵ 如图3，在ABC △中，如果ACB ∠不是直角，而⑴中的其他条件不变，请问，你在⑴中所得结论是否依然成立?若成立请证明；若不成立，请说明理由．

课堂练习

【例3】 如图，在ABC ∆中，60BAC ∠=︒，AD 是BAC ∠的平分线，且AC AB BD =+，求ABC ∠的度数.

D C

B A

【例4】 如图，已知ABC ∆，12∠=∠，2AB AC =，AD BD =．求证：DC AC ⊥．

2

1B

A D

C

图3图2图1

P

N

M

O

A

B

C

D

E

F

F

E

D

C B

A

D

C B A

【例6】 在ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，AB BD AC +=．求:B C ∠∠的值．

C

D B A

【例7】 如图，在ABC ∆中，AB BD AC +=，BAC ∠的平分线AD 交BC 与D ．求证：2B C ∠=∠．

D

C B A

【例8】 如图，ABC ∆中，AB AC =，108A ∠=︒，BD 平分ABC ∠交AC 于D 点．求证：BC AC CD =+．

A

B C

D

A

B C I

【例9】 已知等腰ABC ∆，100A ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于D ，则BD AD BC +=．

D

C

B A

【例10】 如图所示，在ABC ∆中，100A ∠=︒，40ABC ∠=︒，BD 是ABC ∠的平分线，延长BD 至E ，使

DE AD =．求证：BC AB CE =+

E

D

C

A

【例11】 如图，I 是ABC △的内心，且CA AI BC +=．若80BAC ∠=︒，求ABC ∠和AIB ∠的大小．

【例12】 如图，ABC ∆内， 60BAC ∠=︒，40ACB ∠=︒，P Q ，分别在BC CA ，上，并且AP BQ ，分别是BAC ∠，

ABC ∠的平分线．求证：BQ AQ AB BP +=+．

P

Q

C

B

A

O E

D C

B A

2. 点分线，垂两边，对称全等要记全！

【例13】 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，BD 是∠ABC 的平分线交AC 于D ，若

CD=m ，AB=n ，则△ABD 的面积是（ ）

【例14】 如图，在Rt ABC ∆中，AD 是斜边BC 上的高，BE 是ABC ∠的平分线，AD 交BE 于O ，EF AD ⊥于

F ，求证：AF OD =．

B A Q F E

D

C

O 21

【例15】 已知ABC ∆中，60A ∠=︒，BD 、CE 分别平分ABC ∠和ACB ∠，BD 、CE 交于点O ，试判断BE 、

CD 、BC 的数量关系，并加以证明．

【例16】 如图，在四边形ABCD 中，AD BC A ∠∥，的平分线AE 交DC 于E ．求证：当BE 是B ∠的平分线时，

有AD BC AB +=．

E

D

C

B

A

【例17】 如图，在四边形ABCD 中，AC 平分BAD ∠，过C 作CE AB E ⊥于，并且()2

AE AB AD =+，则

ABC ADC ∠+∠等于多少？

E D

C

B

A

【例18】 如图所示，在Rt ABC ∆中，90C CH AB ∠=︒⊥，于H ，AG 平分BAC ∠，交CH 于D ，交BC 于G ，

在BC 上取BE CG =，连接ED ，证明：CDE ∆是直角三角形．

3. 角平分线+垂线，等腰三角形必呈现！

【例19】 如图，在ABC △中，BE 是角平分线，AD BE ⊥，垂足为D ．求证：21C ∠=∠+∠．

A E

B

C D

12

【例20】 如图，已知在ABC ∆中，3ABC C ∠=∠，12∠=∠，BE AE ⊥．求证：2AC AB BE -=．

21E

C

B

A

H G

E

C

B A