新人教版高中数学《同步4等比数列的性质》导学案

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等比数列(优秀导学案)

§6.3 等比数列考试要求 1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式.3.了解等比数列与指数函数的关系．知识梳理1．等比数列的有关概念(1)定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数(不为零)，那么这个数列叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，定义的表达式为a n ＋1a n＝q (n ∈N *，q 为非零常数)． (2)等比中项：如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项，此时，G 2＝ab .2．等比数列的有关公式(1)通项公式：a n ＝a 1q n －1.(2)前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ na 1，q ＝1，a 1(1－q n )1－q＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1. 3．等比数列的性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ·q n －m (m ，n ∈N *)．(2)对任意的正整数m ，n ，p ，q ，若m ＋n ＝p ＋q ＝2k ，则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2k .(3)若等比数列前n 项和为S n ，则S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 仍成等比数列(m 为偶数且q ＝－1除外)．(4)在等比数列{a n }中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即a n ，a n ＋k ，a n ＋2k ，a n ＋3k ，…为等比数列，公比为q k .(5)若⎩⎪⎨⎪⎧ a 1>0，q >1或⎩⎪⎨⎪⎧ a 1<0，0<q <1，则等比数列{a n }递增．若⎩⎪⎨⎪⎧ a 1>0，0<q <1或⎩⎪⎨⎪⎧a 1<0，q >1，则等比数列{a n }递减．常用结论1．若数列{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则数列{c ·a n }(c ≠0)，{|a n |}，{a 2n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n b n 也是等比数列． 2．等比数列{a n }的通项公式可以写成a n ＝cq n ，这里c ≠0，q ≠0.3．等比数列{a n }的前n 项和S n 可以写成S n ＝Aq n －A (A ≠0，q ≠1,0)．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)等比数列的公比q 是一个常数，它可以是任意实数．( × )(2)三个数a ，b ，c 成等比数列的充要条件是b 2＝ac .( × )(3)数列{a n }的通项公式是a n ＝a n，则其前n 项和为S n ＝a (1－a n )1－a .( × ) (4)数列{a n }为等比数列，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等比数列．( × )教材改编题1．已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 4＝12，则公比q 等于( ) A ．－12 B ．－2 C ．2 D ．±12答案 D解析设等比数列的公比为q ，∵{a n }是等比数列，a 2＝2，a 4＝12， ∴a 4＝a 2q 2，∴q 2＝a 4a 2＝14， ∴q ＝±12. 2．在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1a 11＋2a 6a 8＋a 3a 13＝25，则a 6＋a 8＝______. 答案 5解析 ∵{a n }是等比数列，且a 1a 11＋2a 6a 8＋a 3a 13＝25，∴a 26＋2a 6a 8＋a 28＝(a 6＋a 8)2＝25.又∵a n >0，∴a 6＋a 8＝5.3．已知三个数成等比数列，若它们的和等于13，积等于27，则这三个数为________．答案 1,3,9或9,3,1解析设这三个数为a q ，a ，aq ，则⎩⎨⎧ a ＋a q ＋aq ＝13，a ·a q ·aq ＝27，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3，q ＝13或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，q ＝3， ∴这三个数为1,3,9或9,3,1.题型一等比数列基本量的运算例1 (1)(2020·全国Ⅱ)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 5－a 3＝12，a 6－a 4＝24，则S n a n等于( )A ．2n －1B ．2－21－n C ．2－2n －1D ．21－n －1 答案 B解析方法一设等比数列{a n }的公比为q ，则q ＝a 6－a 4a 5－a 3＝2412＝2. 由a 5－a 3＝a 1q 4－a 1q 2＝12a 1＝12，得a 1＝1.所以a n ＝a 1q n －1＝2n －1，S n ＝a 1(1－q n )1－q＝2n －1，所以S n a n ＝2n －12n －1＝2－21－n . 方法二设等比数列{a n }的公比为q ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 3q 2－a 3＝12，①a 4q 2－a 4＝24， ② ②①得a 4a 3＝q ＝2.将q ＝2代入①，解得a 3＝4.所以a 1＝a 3q 2＝1，下同方法一． (2)(2019·全国Ⅰ)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 1＝13，a 24＝a 6，则S 5＝________.答案 1213解析设等比数列{a n }的公比为q ，因为a 24＝a 6，所以(a 1q 3)2＝a 1q 5，所以a 1q ＝1，又a 1＝13，所以q ＝3，所以S 5＝a 1(1－q 5)1－q ＝13×(1－35)1－3＝1213.教师备选1．已知数列{a n }为等比数列，a 2＝6,6a 1＋a 3＝30，则a 4＝________.答案 54或24解析由⎩⎪⎨⎪⎧ a 1·q ＝6，6a 1＋a 1·q 2＝30，解得⎩⎪⎨⎪⎧ q ＝3，a 1＝2或⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，a 1＝3，a 4＝a 1·q 3＝2×33＝54或a 4＝3×23＝3×8＝24.2．已知数列{a n }为等比数列，其前n 项和为S n ，若a 2a 6＝－2a 7，S 3＝－6，则a 6等于() A ．－2或32 B ．－2或64C ．2或－32D ．2或－64答案 B解析 ∵数列{a n }为等比数列，a 2a 6＝－2a 7＝a 1a 7，解得a 1＝－2，设数列的公比为q ，S 3＝－6＝－2－2q －2q 2，解得q ＝－2或q ＝1，当q ＝－2时，则a 6＝(－2)6＝64，当q ＝1时，则a 6＝－2.思维升华 (1)等比数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解．(2)等比数列的前n 项和公式涉及对公比q 的分类讨论，当q ＝1时，{a n }的前n 项和S n ＝na 1；当q ≠1时，{a n }的前n 项和S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q. 跟踪训练1 (1)(2020·全国Ⅱ)数列{a n }中，a 1＝2，a m ＋n ＝a m a n ，若a k ＋1＋a k ＋2＋…＋a k ＋10＝215－25，则k 等于( )A ．2B ．3C ．4D ．5答案 C解析 a 1＝2，a m ＋n ＝a m a n ，令m ＝1，则a n ＋1＝a 1a n ＝2a n ，∴{a n }是以a 1＝2为首项，q ＝2为公比的等比数列，∴a n ＝2×2n －1＝2n .又∵a k ＋1＋a k ＋2＋…＋a k ＋10＝215－25，∴2k ＋1(1－210)1－2＝215－25，即2k ＋1(210－1)＝25(210－1)，∴2k ＋1＝25，∴k ＋1＝5，∴k ＝4.(2)(2020·新高考全国Ⅱ)已知公比大于1的等比数列{a n }满足a 2＋a 4＝20，a 3＝8.①求{a n }的通项公式；②求a 1a 2－a 2a 3＋…＋(－1)n －1a n a n ＋1.解 ①设{a n }的公比为q (q >1)．由题设得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＋a 1q 3＝20，a 1q 2＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧ q ＝2，a 1＝2或⎩⎪⎨⎪⎧q ＝12，a 1＝32(舍去)．所以{a n }的通项公式为a n ＝2n ，n ∈N *.②由于(－1)n －1a n a n ＋1＝(－1)n －1×2n ×2n ＋1 ＝(－1)n －122n ＋1，故a 1a 2－a 2a 3＋…＋(－1)n －1a n a n ＋1＝23－25＋27－29＋…＋(－1)n －1·22n ＋1＝23[1－(－22)n ]1－(－22)＝85－(－1)n 22n ＋35. 题型二等比数列的判定与证明例2 已知数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝2(n ＋1)a n ，设b n ＝a n n. (1)求b 1，b 2，b 3；(2)判断数列{b n }是否为等比数列，并说明理由；(3)求{a n }的通项公式．解 (1)由条件可得a n ＋1＝2(n ＋1)na n . 将n ＝1代入得，a 2＝4a 1，而a 1＝1，所以a 2＝4.将n ＝2代入得，a 3＝3a 2，所以a 3＝12.从而b 1＝1，b 2＝2，b 3＝4.(2){b n }是首项为1，公比为2的等比数列，由条件可得a n ＋1n ＋1＝2a n n，即b n ＋1＝2b n ，又b 1＝1，所以{b n }是首项为1，公比为2的等比数列．(3)由(2)可得a n n＝2n －1，所以a n ＝n ·2n －1. 教师备选已知各项都为正数的数列{a n }满足a n ＋2＝2a n ＋1＋3a n .(1)证明：数列{a n ＋a n ＋1}为等比数列；(2)若a 1＝12，a 2＝32，求{a n }的通项公式．(1)证明 a n ＋2＝2a n ＋1＋3a n ，所以a n ＋2＋a n ＋1＝3(a n ＋1＋a n )，因为{a n }中各项均为正数，所以a n ＋1＋a n >0，所以a n ＋2＋a n ＋1a n ＋1＋a n＝3，所以数列{a n ＋a n ＋1}是公比为3的等比数列．(2)解由题意知a n ＋a n ＋1＝(a 1＋a 2)3n －1＝2×3n －1，因为a n ＋2＝2a n ＋1＋3a n ，所以a n ＋2－3a n ＋1＝－(a n ＋1－3a n )，a 2＝3a 1，所以a 2－3a 1＝0，所以a n ＋1－3a n ＝0，故a n ＋1＝3a n ，所以4a n ＝2×3n －1，a n ＝12×3n －1. 思维升华等比数列的三种常用判定方法(1)定义法：若a n ＋1a n ＝q (q 为非零常数，n ∈N *)或a n a n －1＝q (q 为非零常数且n ≥2，n ∈N *)，则{a n }是等比数列．(2)等比中项法：若数列{a n }中，a n ≠0且a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(n ∈N *)，则{a n }是等比数列． (3)前n 项和公式法：若数列{a n }的前n 项和S n ＝k ·q n －k (k 为常数且k ≠0，q ≠0,1)，则{a n }是等比数列．跟踪训练2 S n 为等比数列{a n }的前n 项和，已知a 4＝9a 2，S 3＝13，且公比q >0.(1)求a n 及S n ；(2)是否存在常数λ，使得数列{S n ＋λ}是等比数列？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．解 (1)易知q ≠1，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1q 3＝9a 1q ，a 1(1－q 3)1－q ＝13，q >0，解得a 1＝1，q ＝3，∴a n ＝3n －1，S n ＝1－3n 1－3＝3n －12. (2)假设存在常数λ，使得数列{S n ＋λ}是等比数列，∵S 1＋λ＝λ＋1，S 2＋λ＝λ＋4，S 3＋λ＝λ＋13，∴(λ＋4)2＝(λ＋1)(λ＋13)，解得λ＝12，此时S n ＋12＝12×3n ，则S n ＋1＋12S n ＋12＝12×3n ＋112×3n ＝3，故存在常数λ＝12，使得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋12是以32为首项，3为公比的等比数列．题型三等比数列的性质例3 (1)若等比数列{a n }中的a 5，a 2 019是方程x 2－4x ＋3＝0的两个根，则log 3a 1＋log 3a 2＋log 3a 3＋…＋log 3a 2 023等于( )A.2 0243B ．1 011 C.2 0232D ．1 012答案 C解析由题意得a 5a 2 019＝3，根据等比数列性质知，a 1a 2 023＝a 2a 2 022＝…＝a 1 011a 1 013＝a 1 012a 1 012＝3，于是a 1 012＝123，则log 3a 1＋log 3a 2＋log 3a 3＋…＋log 3a 2 023＝log 3(a 1a 2a 3…a 2 023) 11011232023=l 3·og 3.2⎛⎫= ⎪⎝⎭(2)已知数列{a n }是等比数列，S n 为其前n 项和，若a 1＋a 2＋a 3＝4，a 4＋a 5＋a 6＝8，则S 12等于( )A ．40B ．60C ．32D ．50答案 B解析数列S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9是等比数列，即4,8，S 9－S 6，S 12－S 9是等比数列，∴S 12＝4＋8＋16＋32＝60.教师备选1．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝3，则S 9S 6＝__________. 答案 73解析设等比数列{a n }的公比为q ，易知q ≠－1，由等比数列前n 项和的性质可知S 3，S 6－S 3，S 9－S 6仍成等比数列，∴S 6－S 3S 3＝S 9－S 6S 6－S 3，又由已知得S 6＝3S 3，∴S 9－S 6＝4S 3，∴S 9＝7S 3，∴S 9S 6＝73. 2．已知等比数列{a n }共有2n 项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q ＝________.答案 2解析由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ S 奇＋S 偶＝－240，S 奇－S 偶＝80，解得⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＝－80，S 偶＝－160，所以q ＝S 偶S 奇＝－160－80＝2. 思维升华 (1)等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项的变形，三是前n 项和公式的变形，根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．(2)巧用性质，减少运算量，在解题中非常重要．跟踪训练3 (1)(2022·安康模拟)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10＝1，S 30＝7，则S 40等于( )A ．5B ．10C ．15D ．－20答案 C解析易知等比数列{a n }的前n 项和S n 满足S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30，…成等比数列．设{a n }的公比为q ，则S 20－S 10S 10＝q 10>0，故S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30，…均大于0. 故(S 20－S 10)2＝S 10·(S 30－S 20)，即(S 20－1)2＝1·(7－S 20)⇒S 220－S 20－6＝0.因为S 20>0，所以S 20＝3.又(S 30－S 20)2＝(S 20－S 10)(S 40－S 30)，所以(7－3)2＝(3－1)(S 40－7)，故S 40＝15.(2)在等比数列{a n }中，a n >0，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 8＝4，a 1a 2·…·a 8＝16，则1a 1＋1a 2＋…＋1a 8的值为( )A ．2B ．4C ．8D ．16 答案 A解析 ∵a 1a 2…a 8＝16，∴a 1a 8＝a 2a 7＝a 3a 6＝a 4a 5＝2，∴1a 1＋1a 2＋…＋1a 8＝⎝⎛⎭⎫1a 1＋1a 8＋⎝⎛⎭⎫1a 2＋1a 7＋⎝⎛⎭⎫1a 3＋1a 6＋⎝⎛⎭⎫1a 4＋1a 5 ＝12(a 1＋a 8)＋12(a 2＋a 7)＋12(a 3＋a 6)＋12(a 4＋a 5)＝12(a 1＋a 2＋…＋a 8)＝2. 课时精练1．(2022·合肥市第六中学模拟)若等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝1，a 4＋a 5＝8，则a 7等于( )A.643 B ．－643C.323 D ．－323答案 A解析设等比数列{a n }的公比为q ，则a 4＋a 5a 1＋a 2＝q 3＝8，所以q ＝2，又a 1＋a 2＝a 1(1＋q )＝1，所以a 1＝13，所以a 7＝a 1×q 6＝13×26＝643.2．已知等比数列{a n }满足a 1＝1，a 3·a 5＝4(a 4－1)，则a 7的值为( )A ．2B ．4 C.92 D ．6答案 B解析根据等比数列的性质得a 3a 5＝a 24，∴a 24＝4(a 4－1)，即(a 4－2)2＝0，解得a 4＝2.又∵a 1＝1，a 1a 7＝a 24＝4，∴a 7＝4.3．(2022·开封模拟)等比数列{a n }的前n 项和为S n ＝32n －1＋r ，则r 的值为() A.13 B ．－13 C.19 D ．－19答案 B解析由等比数列前n 项和的性质知，S n ＝32n －1＋r ＝13×9n ＋r ，∴r ＝－13. 4．(2022·天津北辰区模拟)我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人第四天走的路程为( )A ．6里B ．12里C ．24里D ．48里答案 C解析由题意可知，该人所走路程形成等比数列{a n }，其中q ＝12，因为S 6＝a 1⎝⎛⎭⎫1－1261－12＝378，解得a 1＝192，所以a 4＝a 1·q 3＝192×18＝24. 5．(多选)设等比数列{a n }的公比为q ，则下列结论正确的是( )A ．数列{a n a n ＋1}是公比为q 2的等比数列B ．数列{a n ＋a n ＋1}是公比为q 的等比数列C ．数列{a n －a n ＋1}是公比为q 的等比数列D ．数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是公比为1q 的等比数列答案 AD解析对于A ，由a n a n ＋1a n －1a n＝q 2(n ≥2)知数列{a n a n ＋1}是公比为q 2的等比数列；对于B ，当q ＝－1时，数列{a n ＋a n ＋1}的项中有0，不是等比数列；对于C ，当q ＝1时，数列{a n －a n ＋1}的项中有0，不是等比数列；对于D ，1a n ＋11a n＝a n a n ＋1＝1q，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是公比为1q 的等比数列．6．(多选)数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，a n ＋1＝2S n (n ∈N *)，则有( )A ．S n ＝3n －1B ．{S n }为等比数列C ．a n ＝2·3n －1D ．a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2·3n －2，n ≥2 答案 ABD解析由题意，数列{a n }的前n 项和满足a n ＋1＝2S n (n ∈N *)，当n ≥2时，a n ＝2S n －1，两式相减，可得a n ＋1－a n ＝2(S n －S n －1)＝2a n ，可得a n ＋1＝3a n ，即a n ＋1a n＝3(n ≥2)，又a 1＝1，则a 2＝2S 1＝2a 1＝2，所以a 2a 1＝2，所以数列{a n }的通项公式为 a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2·3n －2，n ≥2. 当n ≥2时，S n ＝a n ＋12＝2·3n －12＝3n －1，又S 1＝a 1＝1，适合上式，所以数列{a n }的前n 项和为S n ＝3n －1，又S n ＋1S n ＝3n 3n －1＝3，所以数列{S n }为首项为1，公比为3的等比数列，综上可得选项ABD 是正确的．7．(2022·嘉兴联考)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝7，S 6＝63，则a 1＝________. 答案 1解析由于S 3＝7，S 6＝63知公比q ≠1，又S 6＝S 3＋q 3S 3，得63＝7＋7q 3.∴q 3＝8，q ＝2.由S 3＝a 1(1－q 3)1－q ＝a 1(1－8)1－2＝7，得a 1＝1.8．已知{a n }是等比数列，且a 3a 5a 7a 9a 11＝243，则a 7＝________；若公比q ＝13，则a 4＝________. 答案 3 81解析由{a n }是等比数列，得a 3a 5a 7a 9a 11＝a 57＝243，故a 7＝3，a 4＝a 7q 3＝81. 9．(2022·徐州模拟)已知等差数列{a n }的公差为2，其前n 项和S n ＝pn 2＋2n ，n ∈N *.(1)求实数p 的值及数列{a n }的通项公式；(2)在等比数列{b n }中，b 3＝a 1，b 4＝a 2＋4，若{b n }的前n 项和为T n ，求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫T n ＋16为等比数列．(1)解 S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝na 1＋n (n －1) ＝n 2＋(a 1－1)n ，又S n ＝pn 2＋2n ，n ∈N *，所以p ＝1，a 1－1＝2，即a 1＝3，所以a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1.(2)证明因为b 3＝a 1＝3，b 4＝a 2＋4＝9，所以q ＝3，所以b n ＝b 3·q n －3＝3n －2，所以b 1＝13，所以T n ＝13(1－3n )1－3＝3n －16，所以T n ＋16＝3n 6，又T 1＋16＝12，所以T n ＋16T n －1＋16＝3n 63n －16＝3(n ≥2)，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫T n ＋16是以12为首项，3为公比的等比数列． 10．(2022·威海模拟)记数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋1.设b n ＝a n ＋1－2a n .(1)求证：数列{b n }为等比数列；(2)设c n ＝|b n －100|，T n 为数列{c n }的前n 项和．求T 10.(1)证明由S n ＋1＝4a n ＋1，得S n ＝4a n －1＋1(n ≥2，n ∈N *)，两式相减得a n ＋1＝4a n －4a n －1(n ≥2)，所以a n ＋1－2a n ＝2(a n －2a n －1)，所以b n b n －1＝a n ＋1－2a n a n －2a n －1＝2(a n －2a n －1)a n －2a n －1 ＝2(n ≥2)，又a 1＝1，S 2＝4a 1＋1，故a 2＝4，a 2－2a 1＝2＝b 1≠0，所以数列{b n }为首项与公比均为2的等比数列．(2)解由(1)可得b n ＝2·2n －1＝2n ，所以c n ＝|2n －100|＝⎩⎪⎨⎪⎧100－2n ，n ≤6，2n －100，n >6，所以T 10＝600－(21＋22＋…＋26)＋27＋28＋29＋210－400＝200－2(1－26)1－2＋27＋28＋29＋210 ＝200＋2＋28＋29＋210＝1 994.11．(多选)(2022·滨州模拟)已知S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋2a n －2(n ≥3)，则下列结论正确的是( )A ．数列{a n ＋1＋a n }为等比数列B ．数列{a n ＋1－2a n }为等比数列C ．a n ＝2n ＋1＋(－1)n 3D ．S 20＝23(410－1) 答案 ABD解析因为a n ＝a n －1＋2a n －2(n ≥3)，所以a n ＋a n －1＝2a n －1＋2a n －2＝2(a n －1＋a n －2)，又a 1＋a 2＝2≠0，所以{a n ＋a n ＋1}是等比数列，A 正确；同理a n －2a n －1＝a n －1＋2a n －2－2a n －1＝－a n －1＋2a n －2＝－(a n －1－2a n －2)，而a 2－2a 1＝－1，所以{a n ＋1－2a n }是等比数列，B 正确；若a n ＝2n ＋1＋(－1)n 3，则a 2＝23＋(－1)23＝3，但a 2＝1≠3，C 错误；由A 知{a n ＋a n －1}是等比数列，且公比为2，因此数列a 1＋a 2，a 3＋a 4，a 5＋a 6，…仍然是等比数列，公比为4，所以S 20＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a 19＋a 20)＝2(1－410)1－4＝23(410－1)，D 正确． 12．(多选)(2022·黄冈模拟)设等比数列{a n }的公比为q ，其前n 项和为S n ，前n 项积为T n ，并且满足条件a 1>1，a 7·a 8>1，a 7－1a 8－1<0.则下列结论正确的是( ) A ．0<q <1B ．a 7·a 9>1C ．S n 的最大值为S 9D ．T n 的最大值为T 7 答案 AD解析 ∵a 1>1，a 7·a 8>1，a 7－1a 8－1<0， ∴a 7>1,0<a 8<1，∴0<q <1，故A 正确；a 7a 9＝a 28<1，故B 错误；∵a 1>1,0<q <1，∴数列为各项为正的递减数列，∴S n 无最大值，故C 错误；又a 7>1,0<a 8<1，∴T 7是数列{T n }中的最大项，故D 正确．13．(2022·衡阳八中模拟)设T n 为正项等比数列{a n }(公比q ≠1)前n 项的积，若T 2 015＝T 2 021，则log 3a 2 019log 3a 2 021＝________. 答案 15解析由题意得，T 2 015＝T 2 021＝T 2 015·a 2 016a 2 017a 2 018a 2 019a 2 020a 2 021，所以a 2 016a 2 017a 2 018a 2 019a 2 020a 2 021＝1，根据等比数列的性质，可得a 2 016a 2 021＝a 2 017a 2 020＝a 2 018a 2 019＝1，设等比数列的公比为q ，所以a 2 016a 2 021＝(a 2 021)2q 5＝1⇒a 2 021＝52,q a 2 018a 2 019＝(a 2 019)2q ＝1⇒a 2 019＝12,q 所以log 3a 2 019log 3a 2 021＝123523log 1.5log q q= 14.如图所示，正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再连接正方形，……，如此继续下去得到一个树状图形，称为“勾股树”．若某勾股树含有1 023个正方形，且其最大的正方形的边长为22，则其最小正方形的边长为________．答案 132解析由题意，得正方形的边长构成以22为首项,22为公比的等比数列，现已知共含有1 023个正方形，则有1＋2＋…＋2n －1＝1 023，所以n ＝10，所以最小正方形的边长为⎝⎛⎭⎫2210＝132.15．(多选)在数列{a n }中，n ∈N *，若a n ＋2－a n ＋1a n ＋1－a n＝k (k 为常数)，则称{a n }为“等差比数列”，下列关于“等差比数列”的判断正确的是( )A ．k 不可能为0B ．等差数列一定是“等差比数列”C ．等比数列一定是“等差比数列”D ．“等差比数列”中可以有无数项为0答案 AD解析对于A ，k 不可能为0，正确；对于B ，当a n ＝1时，{a n }为等差数列，但不是“等差比数列”，错误；对于C ，当等比数列的公比q ＝1时，a n ＋1－a n ＝0，分式无意义，所以{a n }不是“等差比数列”，错误；对于D ，数列0,1,0,1,0,1，…，0,1是“等差比数列”，且有无数项为0，正确．16．已知等比数列{a n }的公比q >1，a 1＝2，且a 1，a 2，a 3－8成等差数列，数列{a n b n }的前n项和为(2n －1)·3n ＋12. (1)分别求出数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为S n ，∀n ∈N *，S n ≤m 恒成立，求实数m 的最小值．解 (1)因为a 1＝2，且a 1，a 2，a 3－8成等差数列，所以2a 2＝a 1＋a 3－8，即2a 1q ＝a 1＋a 1q 2－8，所以q 2－2q －3＝0，所以q ＝3或q ＝－1，又q >1，所以q ＝3，所以a n ＝2·3n －1(n ∈N *)．因为a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ＝(2n －1)·3n ＋12，所以a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n －1b n －1＝(2n －3)·3n －1＋12(n ≥2)，两式相减，得a n b n ＝2n ·3n －1(n ≥2)，因为a n ＝2·3n －1，所以b n ＝n (n ≥2)，当n ＝1时，由a 1b 1＝2及a 1＝2，得b 1＝1(符合上式)，所以b n ＝n (n ∈N *)．(2)因为数列{a n }是首项为2，公比为3的等比数列，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为12，公比为13的等比数列，所以S n ＝12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫13n 1－13＝34⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫13n <34. 因为∀n ∈N *，S n ≤m 恒成立，所以m ≥34，即实数m 的最小值为34.。

等比数列第一课时导学案

2.3 等比数列导学案（1）学习目标：1 .理解等比数列的定义，能够利用定义判断一个数列是否为等比数列2 ••掌握等比数列的通项公式并能简单应用；重点：等比数列和等差中项的概念及等比数列通项公式的推导和应用难点：等比数列通项公式的推导及应用。

一、温故知新什么叫等差数列？通项公式是什么？什么叫等差中项？二、探求新知1、研究下面三个数列并回答问题1 11 ① 1、2、4、8…；② 1、-1、1、-1 …③ 1、、一、 ——2 48问题1: 上面数列都是等差数列吗？问题2:以上数列后项与前项的比有何特点？2、等比数列的定义一般地，如果一个数列从第 _____ 项起，每一项与它的前一项的 _______ 都等于 ______ 常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的 _________ ，通常用字母 ________ 表示。

3、等比数列的通项公式的推导过程设等比数列 a n ，的公比为q方法1：（归纳法）4、等比数列的通项公式a n玄1 a 「a 2 a 1_， a 3 a ?q a 1 ，a4a3q a1a nan 1q a1a o 根据等比数列的定义，可以得到— a3-- ?a 4-- ?a n-- ? ?一以上共有a 1 a 2a 3an 1式，把以上 ____ 个等式左右两边分别相乘得__________ ，即a1a2 a3a 1，即得到等比数列的通项公式。

方法2:（累乘法）a 2 a 3 a 4an 1三、通过预习掌握的知识点1、等比数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列 •这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母 q 表1 “从第二项起”与“前一项”之比为常数(q)2 隐含：任一项a n 0且q 03 q= 1时，｛a n ｝为常数。

2、等比数列的通项公式 1: ___________________________ .3、等比数列的通项公式 2: ___________________________ .4、等比中项：若 a.b.c 成等比数列。

等比数列性质教学教案

等比数列性质教学教案一、教学目标：1. 理解等比数列的概念。

2. 掌握等比数列的性质。

3. 学会运用等比数列的性质解决问题。

二、教学内容：1. 等比数列的概念。

2. 等比数列的性质。

3. 等比数列的通项公式。

4. 等比数列的前n项和公式。

5. 等比数列的应用。

三、教学重点：1. 等比数列的概念及性质。

2. 等比数列的通项公式和前n项和公式。

四、教学难点：1. 等比数列的性质的理解和应用。

2. 等比数列的通项公式和前n项和公式的推导。

五、教学方法：1. 讲授法：讲解等比数列的概念、性质、通项公式和前n项和公式。

2. 案例分析法：分析等比数列的应用实例。

3. 练习法：让学生通过练习题巩固所学知识。

六、教学过程：1. 引入：通过生活中的实例，引导学生思考等比数列的概念。

2. 讲解：讲解等比数列的概念、性质、通项公式和前n项和公式。

3. 案例分析：分析等比数列的应用实例，让学生理解等比数列的实际意义。

4. 练习：让学生通过练习题，巩固所学知识。

5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调等比数列的性质和应用。

七、课后作业：1. 等比数列的概念和性质的复习。

2. 等比数列的通项公式和前n项和公式的应用。

八、教学评价：1. 课堂讲解的清晰度和准确性。

2. 学生对等比数列的概念和性质的理解程度。

3. 学生对等比数列的通项公式和前n项和公式的掌握程度。

九、教学反思：在课后，教师应反思本节课的教学效果，是否达到了教学目标，学生是否掌握了等比数列的概念和性质，以及教学过程中是否存在需要改进的地方。

十、教学拓展：1. 等比数列在实际生活中的应用。

2. 等比数列与其他数列的关系。

3. 等比数列的进一步研究。

六、教学策略：1. 采用互动式教学，鼓励学生积极参与讨论，提高学生的思维能力。

2. 通过数学软件或教具展示等比数列的性质，增强学生的直观理解。

3. 设计具有梯度的练习题，让学生在练习中不断深化对等比数列性质的理解。

七、教学准备：1. 准备等比数列的相关教学素材，如PPT、教学案例、练习题等。

新人教版高中数学《等比数列》导学案

《等比数列》导学案【学习目标】1. 明确等比数列的定义并学会用定义判断一个数列是否为等比数列2. 掌握等比数列的通项公式及推导方法并能在解题中应用3. 学会与等差数列类比并掌握等比数列的相关性质【重难点】重点：理解等比数列的概念及通项公式的含义难点：等比数列的有关性质及应用【学习过程】一．预习新知 1.等比数列的定义如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的都等于常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的，通常用表示2.等比中项如果在a 与b 中间插入一个数G ，使，那么G 叫做a 与b 的等比中项3.等比数列的通项公式设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，则它的通项公式n a = 4.等比数列的性质（1）m n m n q a a -=（n m <）（2）若m+n=p+q(m 、n 、p 、q *N ∈)时，（3）若{}n a 是等比数列，当{}n k )(*N k n ∈是等差数列时，{}n k a 是________数列。

（4）若{}n a 是等比数列且1-≠q 时，则,321k a a a a ++++ ,221k k k a a a +++++,32212k k k a a a +++++是等比数列（5）若{}n a 、{}n b 是等比数列，则{}{}{}2,),0(nn n a a m ma ≠，{}n n b a ,⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n b a 也是等比数列（6）若{}n a 是等比数列，公比q ，当q=1时，{}n a 是常数列；当0<q 时，{}n a 是摆动数列；当时，且或且01q 0,0111<<<>>a a q {}n a 是递数列；当时，且或且01q 0,0111><<<>a a q {}n a 是递数列。

二．探究新知（一）等比数列的判定证明例1.已知数列{}n a 的前n 项和12+=n n a S ，求证{}n a 是等比数列，并求出通项公式变式训练：已知数列{}n a 满足53lg +=n a n ，求证{}n a 是等比数列（二）等比数列的通项公式例2．在等比数列{}n a 中，（1）n a a a 求,8,274==；（2）n a a a a a 求,9,186352=+=+变式训练：在等比数列{}n a 中，（1）n a q a 求,31,949-==（2）n a a a a 求,320,2423=+=（三）等比中项例3.已知等比数列的前三项和为168，7552,,42a a a a 求=-的等比中项（四）等比数列的性质例4. 在等比数列{}n a 中，已知n ,21,18,367463求==+=+n a a a a a例5. 在等比数列{}n a 中，各项均为正值，且848453106,5,41a a a a a a a a +==+求变式训练：在等比数列{}n a 中，107483q ,512,124a a a a a 为整数，求且公比-==+（五）等差，等比数列综合问题例6.设各项均为正数的数列{}n a ，{}n b 满足15,5,5+n n n a b a 成等比数列，11lg ,lg ,lg ++n n n b a b 成等差数列，且n n b a a b a ,,3,2,1211求===变式训练：有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数。

等比数列导学案

类型三：等比中项的用
1.已知等比数列{an}中，a2a3a4=64,a3+a6=36,求a1与a5的等比中项。
课堂基础达标：
1.在等比数列{an}中，a4=6则a2.a6等于（）
A.6 B.12 C.24 D.36
2.等比数列{an}中，a2013=8a2010，则公比q的值为（）
A.2 B. C.8 D.
3.等比数列{an}中，a2=2，a3=4，则a11等于（）
A.512 B.1024 C.2048 D.64
4.已知2，a，b，c，4成等比数列，则b=_________________
5在等比数列{an}中，a2=2,a1+a2+a3=7,求an.
思考：1.等比数列定义怎样用数学符号及式子表示？
2.等比数列的项能否等于0？公比能否等于0？
3.常数列一定是等差数列吗？一定是等比数列吗？
二、等比中项
想一想：1.上面三个数列中，每个数列中任意连续三项间有何关系？
填空：1.等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a,G,b成____________,那么G叫做a与b的等比中项，这三个数满足关系式G2=ab.
等比数列导学案
教学目标要求：
1、通过实例，理解等比数列和等比中项的概念。
2、探索并掌握等比数列的通项公式能运用通项公式解决简单问题。
3、会判断和证明一个数列是等比数列。
4、能在具体的问题情境中，发现等比数列关系，并能运用相关知识解决问题。
问题情境导学
1、关于在国际象棋棋盘各个格子里放麦粒的问题，由于每个格子里的麦粒数都是前一个格子里的麦粒数的两倍，且共有64个格子，各个格子里的麦粒数依次是1，2，22，23，…，263。
课堂互动探究Leabharlann 类型一：通项公式及应用：1.在等比数列{an}中，

等比数列的定义及性质导学案

比一比看谁表现最好！拼一拼力争人人过关！
启明中学高效课堂高二数学学科导学案
班级：姓名：日期: 课题：等比数列的定义及性质编号：小组：评价：
编制人：李鹏审核人：代成学
学习目标：
1、掌握等比数列的定义；理解等比数列的通项公式及推导；
2、通过实例，理解等比数列的概念；探索并掌握等比数列的通项公式、性质，能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，提高数学建模能力；体会等比数列与指数函数的关系。

使用说明：
1、认真研读教材2521P P -内容，完成下面学内容；
2、参照手头资料探讨等比数列的性质，能够灵活运用等比数列的性质。

定向导学*互动展示
12。

高中数学《等比数列的性质》导学案

解法二：a1·a2n－1＝a3·a2n－3＝…＝an2＝22n，所以 log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝log2(a1a3·…·a2n－1) ＝log2[(a1a2n－1)(a3a2n－3)…]＝log22n 2＝n2.故选 C.
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课前自主预习
课堂互动探究
随堂达标自测
课后课时精练
课后课时精练
数学 ·必修5
【跟踪训练 1】在等比数列{an}中，已知 a7·a12＝5，则 a8·a9·a10·a11 等于( )
A．10 B．25 C．50 D．75 解析运用等比数列的性质，若 m＋n＝p＋q，则 am·an ＝ap·aq 可得 a8·a11＝a9·a10＝a7·a12＝5，所以 a8·a9·a10·a11＝25. 故选 B.
数学 ·必修5
拓展提升运用等比数列的性质应注意的问题
运用等比数列的性质 am·an＝ak·al＝a2t (m，n，k，l，t∈ N*)的关键是发现各项的序号之间满足关系 m＋n＝k＋l＝ 2t，它们往往涉及其中的四项或三项，注意不要和等差数列相应的性质混淆．
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课前自主预习
课堂互动探究
随堂达标自测
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课前自主预习
课堂互动探究
随堂达标自测
课后课时精练
数学 ·必修5
2．做一做
(1)(教材改编 P53 练习 T4)已知等比数列{an}中，a4＝7，
a6＝21，则 a8 的值( )
A．35 B．63 C．21 3 D．±21 3
(2)等比数列{an}中，a5a7a9＝27，则 a7＝___3_____.
□ ①{can}(c 为任一不为零的常数)是公比为____0____0_7_|_q_| ___的等比数列． □ ③{amn }(m 为常数，m∈N*)是公比为____0_8__q_m___的等比

等比数列的性质导学案.doc

《等比数列的性质》导学案学习目标：1 •理解并掌握等比数列的性质及其初步应用。

2•引导学生学习观察、类比、猜测等推理方法，提高学生分析、综合、抽象、概括等逻辑思维能力。

学习重点：等比数列性质的应用学习难点：等比数列性质的应用学习过程：一课前自主学习 1.旧知复习等差数列等比数列定义符合语言通项公式2」日知练习(1.)在等差数列｛an ｝中，a2=2,a5=54,求 a8= ________ .(2.)在等差数列｛an ｝中，若 a3+a4+a5+a6+a7=450,贝0 a2+a8 的值为 ___________ . (3.)在等差数列｛an ｝中，al5 =10, a45=90,则a60 = __________ .(4.)在等差数列｛an ｝中，al+a2=30, a3+a4=120,则 a5+a6= _________ 二类比探究学习｛an ｝是公差为d 的等差数列｛bn ｝是公比为q 的等比数列性质］:an=am+(n-m)d猜想1:性质2 ：若an-k,an,an+k 是｛an ｝中的三项, 贝0 2an=an-k+an+k猜想2：若an-k,an,an+k 是｛an ｝的三项，贝!JO性质 3 : 若 n+m=p+q 贝［J am+an=ap+aq 猜想3：若n+m=p+q 则。

性质4：从原数列中取出偶数项组成的新数列公差为2d.(可推广)猜想4：从原数列中取出偶数项，组成的新数列公比为。

性质5:若｛cn｝是公差为d'的等差数列，则数列｛an+cn｝是公差为d+d'的等差数列。

猜想5:若｛dn｝是公比为q'的等比数列，则数列｛bn・dn［是公比为的等比数列.@｛lgan2-汝尼％匕匕教列,◎・｛杠"6“ ｝足岑匕匕数列M|｝足咎比数:列.性质4：在等比数列｛an ｝中,% Q" 仍成等比数三尝试练习1. ________________________________________________________ 在等比数列｛an ｝中，已知a2 = 5, a4 = 10,则公比q 的值为 ________________________________ 。

新人教版高中数学《等比数列的概念及其性质》导学案

等比数列的概念及其性质1.理解等比数列和等比中项的定义.2.掌握等比数列的通项公式,并会推导.3.对定义和通项公式能简单应用.我国古代一些学者提出:“一尺之棰,日取其半,万世不竭.”如果把“一尺之棰”看成单位“1”,那么得到一个数列:1,,,,,….问题1:(1)如果一个数列从第2项起,每一项与它前一项的比等于,这个数列叫作等比数列,这个常数称为等比数列的.公比通常用字母表示.(2)如果a,G,b成,那么G叫作a与b的等比中项.G= .(3)等比数列从第2项起,每一项都是它前后两项的等比中项(有穷数列的末项除外),即.问题2:等比数列的通项公式的推导(1)迭代法:根据等比数列的定义,有a n=a n-1q=a n-2q2=…=aq n-2= .2(2)归纳法:a2=a1q,a3=a2q= ,a4=a3q= ,…,a n=a n-1q= .(3)累乘法:根据等比数列的定义可得,=q,=q,=q,…,=q,把以上n-1个等式左右两边分别相乘,得···…·=q·q·q·…·q(n-1个),即= ,∴a n= .问题3:如何用函数的观点理解等比数列的通项公式?等比数列{a n}的通项公式a n=a1q n-1,还可以改写为a n=·q n,当q>0且q≠1时,y=q x是一个函数,而y=·q n是一个不为0的与函数的积.因此等比数列{a n}的图象是函数y=·q x的图象上一些孤立的点.问题4:1.是等比数列4,4,2,…的().A.第10项B.第11项C.第12项D.第13项2.在2和16中间插入两个数,使这四个数成等比数列,则插入的两个数为().A.-4和-8B.-4和8C.4和8D.4和-83.在等比数列{a n}中:(1)a4=27,q=-3,a7= ;(2)a2=18,a4=8,q= ;(3)a5=4,a7=6,a9= .4.求出下列等比数列中的未知项:(1)2,a,8;(2)-4,b,c,.等比数列的概念的理解观察下面几个数列:①1,-,,-,;②数列{a}中,已知=2,=2;n③常数列a,a,a,…;④数列{a}中,a n+1=2a n.n其中是等比数列的为.(只填序号)求等比数列的通项公式已知{a n}为等比数列,a3=2,a2+a4=,求{a n}的通项公式.等比数列通项的应用已知三个数成等比数列,它们的积为27,它们的平方和为91,求这三个数.已知数列{C n},其通项C n=2n+3n,若数列{C n+1-pC n}为等比数列,求常数p.已知等比数列{a n}的公比为正数,且a3·a9=2,a2=1,则a5等于().A.2B.2C.4D.4在243和3中间插入3个数,使这5个数成等比数列,则插入的三个数分别为.1.设数列{a n}是各项互不相等的等比数列,a1=9,a2+a3=18,则公比q等于().A.-2B.-1C.-D.12.若等比数列的首项为,末项为,公比为,则这个数列的项数为().A.3B.4C.5D.63.在等比数列{a n}中,a3,a9是方程3x2-11x+9=0的两个根,则a6= .4.已知数列{a n}满足:lg a n=3n+5,求证:数列{a n}是等比数列.若数列{a n}的前n项和S n=a n+,则{a n}的通项公式是a n= .考题变式(我来改编):答案第6课时等比数列的概念及其性质知识体系梳理问题1:(1)同一个常数公比q (2)等比数列±(3)=a n·a n+2(n ∈N*)问题2:(1)a1q n-1(2)a1q2a1q3a1q n-1(3)q n-1a1q n-1问题3:指数常数指数问题4:递增数列递减数列递减数列递增数列常数列摆动数列基础学习交流1.B q==,由通项公式,得=4×()n-1,∴()n-1==()10,故n-1=10,即n=11.2.C q3==8,所以q=2,所以插入的两数分别为4和8.3.(1)-729(2)±(3)9(1)由a4=a1q3得a1=-1,∴a7=a1q6=-729;(2)q2==,∴q=±;(3)q2==,∴a9=a7q2=6×=9.4.解:(1)由题意得=,∴a=4或a=-4.(2)由题意得∴b=2,c=-1.重点难点探究探究一:【解析】①=-,是等比数列;②不一定是等比数列,当{a n}的项数大于3时,不一定符合等比数列的定义;③当a=0时,不是等比数列,当a≠0时,是公比q=1的等比数列;④当a n=0时,不是等比数列,当a n≠0时,则{a n}是等比数列.故填①.【答案】①【小结】判断数列{a n}是否为等比数列,只要看{a n}是否满足等比数列的定义,同时还要注意一个结论:非零常数列既是等差数列,又是等比数列.探究二:【解析】设等比数列{a n}的公比为q,则a n=a1q n-1,由题意,得解得或所以a n=×3n-1=2×3n-3或a n=18×()n-1=2×33-n.【小结】解决等比数列的关键是明确首项和公比.通常利用解方程组的方法求出首项和公比,解方程组常用的技巧是消元,本题也可采用探究三的设法.探究三:【解析】设这三个数分别为,a,aq,则由①得a=3,代入②得q=3或q=.∴当q=3时,这三个数分别为1,3,9;当q=时,这三个数分别为9,3,1.[问题]上述解法正确吗?[结论]不正确.错解忽视了公比为负值的情况,开方时应注意取正负值.于是,正确解答如下:设这三个数分别为,a,aq,则由①得a=3,代入②得q2=9或,∴q=±3或q=±.∴当q=3时,这三个数分别为1,3,9;当q=-3时,这三个数分别为-1,3,-9;当q=时,这三个数分别为9,3,1;当q=-时,这三个数分别为-9,3,-1.【小结】等比数列的公比可能为正,也可能为负,但不为0.解方程组时遇到开方问题要注意取正负两种情况,等比中项也有两个值.思维拓展应用应用一:∵{C n+1-pC n }为等比数列, ∴(C n+1-pC n )2=(C n -pC n-1)(C n+2-pC n+1),∴[2n+1+3n+1-p (2n +3n )]2=[2n +3n -p (2n-1+3n-1)]·[2n+2+3n+2-p (2n+1+3n+1)], 整理得(2-p )(3-p )·2n ·3n =0, 解得p=2或p=3.应用二:B 设公比为q ,由已知得a 1q 2·a 1q 8=2(a 1q 4)2,即q 2=2,又因为等比数列{a n }的公比为正数,所以q=,故a 5=a 2q 3=1×2=2,应用三:81,27,9或-81,27,-9 设插入的三个数为a 2,a 3,a 4,由题意得243,a 2,a 3,a 4,3组成等比数列.设公比为q ,则3=243q 5-1,得q=±.所求的三数为81,27,9或-81,27,-9. 基础智能检测1.A a 2+a 3=9q+9q 2=18,解得q=-2或q=1.又数列{a n }是各项互不相等的等比数列,则q=-2.2.B 由等比数列的通项公式得a n =a 1q n-1=×()n-1=,所以n=4.3.± 由题意得,a 3·a 9==3,又数列{a n }为等比数列,所以=a 3·a 9=3⇒a 6=±.4.解:由lg a n =3n+5,得a n =103n+5, ∴==1000,∴数列{a n }是等比数列. 全新视角拓展(-2)n-1 根据题目条件知S n =a n +.当n=1时,S 1=a 1=a 1+,解得a 1=1;当n ≥2时,a n =S n -S n-1=a n +-(a n-1+),即=-2(常数),所以数列{a n }是一个首项为1,公比为-2的等比数列,所以它的通项公式为a n =(-2)n-1. 思维导图构建=q(常数) a n =a 1q n-1 G=±。

等比数列的基本性质及其应用教学设计人教课标版(优秀教案)

教学设计等比数列的基本性质及其应用从容说课这节课师生将进一步探究等比数列的知识，以教材练习中提供的问题作为基本材料，认识等比数列的一些基本性质及内在的联系，理解并掌握一些常见结论，进一步能用来解决一些实际问题.通过一些问题的探究与解决，渗透重要的数学思想方法.如类比思想、归纳思想、数形结合思想、算法思想、方程思想以及一般到特殊的思想方法等教学中以师生合作探究为主要形式，充分调动学生的学习积极性教学重点.探究等比数列更多的性质.解决生活实际中的等比数列的问题教学难点渗透重要的数学思想教具准备多媒体课件、投影胶片、投影仪等三维目标一、知识与技能.了解等比数列更多的性质.能将学过的知识和思想方法运用于对等比数列性质的进一步思考和有关等比数列的实际问题的解决中.能在生活实际的问题情境中，抽象出等比数列关系，并能用有关的知识解决相应的实际问题二、过程与方法.继续采用观察、思考、类比、归纳、探究、得出结论的方法进行教学.对生活实际中的问题采用合作交流的方法，发挥学生的主体作用，引导学生探究问题的解决方法，经历解决问题的全过程.当好学生学习的合作者的角色三、情感态度与价值观.通过对等比数列更多性质的探究，培养学生的良好的思维品质和思维习惯，激发学生对知识的探究精神和严肃认真的科学态度，培养学生的类比、归纳的能力.通过生活实际中有关问题的分析和解决，培养学生认识社会、了解社会的意识，更多地知道数学的社会价值和应用价值教学过程导入新课师教材中第页练习第题、第题，请学生课外进行活动探究，现在请同学们把你们的探究结果展示一下生由学习小组汇报探究结果师对各组的汇报给予评价师出示多媒体幻灯片一：第题、第题详细解答：第题解答：()将数列{}的前项去掉，剩余的数列为，,…．令则数列,…，可视为，因为q a a b b ik i k i i 11(≥),所以，{}是等比数列，即，,…是等比数列(){}中每隔项取出一项组成的数列是，…，则109101101121111......q a a a a a a k k 所以数列,…是以为首项，为公比的等比数列猜想：在数列{}中每隔(是一个正整数)取出一项，组成一个新数列，这个数列是以为首项、为公比的等比数列◇本题可以让学生认识到，等比数列中下标为等差数列的子数列也构成等比数列，可以让学生再探究几种由原等比数列构成的新等比数列的方法第题解答：()设{}的公比是，则而所以同理()用上面的方法不难证明·(＞).由此得出，是和的等比中项，同理可证·(＞＞)是和的等比中项(＞＞师和等差数列一样，等比数列中蕴涵着许多的性质，如果我们想知道的更多，就要对它作进一步的探究推进新课［合作探究］师出示投影胶片例题(教材组第题)就任一等差数列{}，计算，和，，你发现了什么一般规律，能把你发现的规律用一般化的推广吗？从等差数列和函数之间的联系的角度来分析这个问题.在等比数列中会有怎样的类似结论？师注意题目中“就任一等差数列{}”，你打算用一个什么样的等差数列来计算？生用等差数列，，，师很好，这个数列最便于计算，那么发现了什么样的一般规律呢？生在等差数列{}中，若(∈*)，则师题目要我们“从等差数列与函数之间的联系的角度来分析这个问题”，如何做？生思考、讨论、交流师出示多媒体课件一：等差数列与函数之间的联系［教师精讲］师从等差数列与函数之间的联系的角度来分析这个问题：由等差数列{}的图象，可以看出qsa a p ka a q s p k ,根据等式的性质，有1q p sk a a a a q p s k 所以师在等比数列中会有怎样的类似结论？生猜想对于等比数列{}，类似的性质为：(∈*)，则师让学生给出上述猜想的证明证明：设等比数列{}公比为，则有··1q t因为所以有师指出：经过上述猜想和证明的过程，已经得到了等比数列的一个新的性质即等比数列{}中，若(∈*)，则有师下面有两个结论：()与首末两项等距离的两项之积等于首末两项的积；()与某一项距离相等的两项之积等于这一项的平方你能将这两个结论与上述性质联系起来吗？生思考、列式、合作交流，得到：结论()就是上述性质中()()时的情形；结论()就是上述性质中()()时的情形师引导学生思考，得出上述联系，并给予肯定的评价师上述性质有着广泛的应用师出示投影胶片：例题例题（）在等比数列{}中，已知9a,求（）在等比数列{}中，,求该数列前七项之积；（）在等比数列{}中，,求.例题三个小题由师生合作交流完成，充分让学生思考，展示将问题与所学的性质联系到一起的思维过程解答：()在等比数列{}中，已知，9a ，求解：∵1a 9a ，∴51001109a a a ()在等比数列{}中，，求该数列前七项之积解：∵，∴前七项之积()在等比数列{}中，，，求解：.∵是与的等比中项，∴∴另解：·2545425a a ［合作探究］师判断一个数列是否成等比数列的方法：、定义法；、中项法；、通项公式法例题：已知{}{}是两个项数相同的等比数列，仿照下表中的例子填写表格.从中你能得出什么结论？证明你的结论·判断{·}是否是等比数列例n )32(3×1)34(10n 是自选自选师请同学们自己完成上面的表师根据这个表格，我们可以得到什么样的结论？如何证明？生得到：如果{}、{}是两个项数相同的等比数列，那么{·}也是等比数列证明如下：设数列{}的公比是，{}公比是，那么数列{·}的第项与第＋项分别为与，因为pqqb p a qb p a b a b a n n nn n n n n 11111111它是一个与无关的常数，所以{·}是一个以为公比的等比数列［教师精讲］除了上面的证法外，我们还可以考虑如下证明思路：证法二：设数列{}的公比是，{}公比是，那么数列{·}的第项、第项与第＋项(＞∈*)分别为、与，因为()()()() ()(·)(·)()()()()()即有()(·)(·)(＞∈*所以{·}是一个等比数列师根据对等比数列的认识，我们还可以直接对数列的通项公式考察：证法三：设数列{}的公比是，{}公比是，那么数列{·}的通项公式为设,则所以{·}是一个等比数列课堂小结本节学习了如下内容：.等比数列的性质的探究.证明等比数列的常用方法布置作业课本第页习题组第题、组第题板书设计等比数列的基本性质及其应用例例例习题详解（课本第页习题）组()设等比数列{}的公比是②①.6)1(,15)1(61521412415qq a q a a a a a ②÷①，整理得解方程得或21q由，得(),③所以，当时，由③得，当21q 时，由③得.设年后，需退耕，则{}是一个等比数列，其中.那么年需退耕()()(万公顷.若{}是各项均为正数的等比数列，则首项和公比都是正数，由，得121121111)(n n n n q a q a q a a ，所以数列{}是以为首项，21q 为公比的等比数列.这张报纸的厚度为，对折一次后厚度为×，再对折后厚度为×22mm ，再对折后厚度为×23，设，对折次后报纸的厚度为，则{}是一个等比数列，公比，对折次后，报纸的厚度为这时报纸的厚度已经超过地球和月球之间的平均距离(约×108)，所以能够在地球和月球之间建一座桥.设年平均增长率为，＝，年后空气质量为良的天数为，则{}是一个等比数列，由，得()(),解得105240.由已知条件，知2ba A ab ，且2)(222b a ab b a ab b a G A ≥，所以有≥，等号成立的条件是.而是互异正数，所以一定有＞.()±.略组.证明略.()设生物死亡时，体内每克组织中的碳的含量为，每年的衰变率为，年后的残留量为，则{}是一个等比数列，由碳的半衰期为，则21，解得57301)21(q ()设动物约在距今年前死亡，由，得解得≈　，所以动物约在距今年前死亡.略备课资料备用例题.已知无穷数列5010,5110,5210,…, 5110n 求证：()这个数列成等比数列；()这个数列中的任一项是它后面第五项的101；()这个数列的任意两项的积仍在这个数列中证明：()101101010154511n n n n a a (常数)，∴该数列成等比数列()101101010154515n n n na a ,即：5101n n a a ()525151101010q p q p ，∵∈，∴∴≥且()∈.∴5210q p ∈5110n (第项.设均为非零实数，求证：成等比数列且公比为证法一：关于的二次方程()()有实根，∴Δ()()()≥．∴()≥．∴则必有：，即，∴成等比数列设公比为，则代入∵()≠，∴，即证法二：∵∴∴()().∴，且∵非零，∴d b c a b .∴成等比数列且公比为学习是一件增长知识的工作，在茫茫的学海中，或许我们困苦过，在艰难的竞争中，或许我们疲劳过，在失败的阴影中，或许我们失望过。

人教版高中数学必修五 2.4等比数列(导学案)

必修五第二章等比数列【课前预习】阅读教材P —完成下面填空1.等比数列的定义:一般地，如果一个数列起，每一项与它的前一项的比都等于，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q 表示（q ≠0）.若数列｛a n ｝为等比数列，则有q a a n n =-1(n ≥2, n ∈N *,q ≠0）。

2.等比中项：如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比。

3.等比数列的通项公式：若等比数列的首项为a 1，公比为q ，则其通项公式为a n =4。

等比数列的性质：若等比数列的首项为a 1，公比为q ，则有:（1)a n =a m ;（2）m+n=s+t(其中m,n ，s ，t ∈N ＊)，则a m a n = ；若m+n=2k ，则a k 2= 。

(3）若{}{}n n a b 、成等比数列，则{}n n a b 、{}nna b 成等比数列； (4）若0,1aq >>，则{}a 为数列；若10,1aq <>，则{}n a 为数列; 若10,01aq ><< ，则{}na 为数列；若10,01a q <<<, 则{}n a 为数列；若0q <，则{}na 为数列；若1q =，则{}na 为数列.【课初5分钟】课前完成下列练习，课前5分钟回答下列问题1．等比数列{}n a 中, ,243,952==a a 则q 为（ )A ． 3B ．4C ．5D ．62．12+与12-,两数的等比中项是（） A ．1 B ．－1 C ．1± D ．21 3．等比数列{}n a 中427,3a q ==-求7a4．在等比数列{}n a 中, 若,75,393==a a 则10a =___________.5．若23()3n n a =⨯,152n n b -=-⨯,求数列{}n n a b 的通项及公比。

人教版数学高二数学等比数列精品导学案

2.4等比数列教学目标[知识与技能目标]:1.等比数列的定义；2.等比数列的通项公式．[过程与能力目标]1.明确等比数列的定义；2.掌握等比数列的通项公式，会解决知道n a ，1a ，q ，n 中的三个，求另一个的问题．教学重点1.等比数列概念的理解与掌握；2.等比数列的通项公式的推导及应用．教学难点等差数列＂等比＂的理解、把握和应用．教学过程一、复习引入：下面我们来看这样几个数列，看其又有何共同特点?（教材上的P48页）1，2，4，8，16，…，263; ① 1，21，41，81，…； ② 1，3220,20,20，… ③ ......1098.1,1098.1,0198.132 ④共同特点：。

二、新课1．等比数列的定义：一般地，若一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数,这个数列就叫做等比数列.这个常数叫等比数列的公比，用字母q 表示（q ≠0），即： .思考：（1）等比数列中有为0的项吗？（2）公比为1的数列是什么数列？（3）既是等差数列又是等比数列的数列存在吗？（4）常数列都是等比数列吗？2.等比数列的通项公式1: )0,(111均不为q a q a a n n -⋅=观察法：迭乘法：等比数列的通项公式2: )0(≠⋅=-q a qa a m m n m n ，3.等比中项的定义思考：类比等差中项的概念，你能说出什么是等比中项吗？如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a , G ，b 成等比数列，那么称这个数G 为a 与b 的等比中项. 即G =±ab （a ,b 同号），则ab G ab G G b a G ±=⇒=⇒=2，反之，若G 2=ab ,则Gb a G =，即a ,G ,b 成等比数列∴a ,G ,b 成等比数列⇔G 2=ab （a ·b ≠0） 4.等比数列的性质：思考：在等比数列中，若m +n =p +q ，则k p n m a a a a ,,,有什么关系呢？5．等比数列的增减性：当q >1, 1a >0或0<q <1, 1a <0时, {n a }是递增数列;当q >1, 1a <0,或0<q <1, 1a >0时, {n a }是递减数列;当q =1时, {a n }是常数列;当q <0时, {n a }是摆动数列．三、例题讲解例1．一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求它的第1项与第2项.例2．求下列各等比数列的通项公式：;8,2 )1(31-=-=a a n n a a a 32,5 )2(11-==+且例3．教材P50页的例1。

数学人教A版高中必修1第2章 2.4 第2课时等比数列的性质优秀导学案

第2课时等比数列的性质1．推广的等比数列的通项公式{a n }是等比数列，首项为a 1，公比为q ，则a n ＝a 1q n －1，a n ＝a m ·q n －m (m ，n ∈N *)．2．“子数列”性质对于无穷等比数列{a n }，若将其前k 项去掉，剩余各项仍为等比数列，首项为a k ＋1，公比为q ；若取出所有的k 的倍数项，组成的数列仍为等比数列，首项为a k ，公比为q k ．思考：如何推导a n ＝a m q n －m ? 3．等比数列项的运算性质在等比数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则a m ·a n ＝a p ·a q ． ①特别地，当m ＋n ＝2k (m ，n ，k ∈N *)时，a m ·a n ＝a 2k ．②对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a 1·a n ＝a 2·a n －1＝…＝a k ·a n －k ＋1＝….4．两等比数列合成数列的性质若数列{a n }，{b n }均为等比数列，c 为不等于0的常数，则数列{ca n }，{a 2n }，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a nb n 也为等比数列．1．对任意等比数列{a n }，下列说法一定正确的是( ) A ．a 1，a 3，a 9成等比数列 B ．a 2，a 3，a 6成等比数列 C ．a 2，a 4，a 8成等比数列D ．a 3，a 6，a 9成等比数列2．等比数列{a n }中，a 1＝3，q ＝2，则a 4＝______，a n ＝______． 3．在等比数列{a n }中，a 5＝4，a 7＝6，则a 9＝________．4．在等比数列{a n }中，已知a 7a 12＝5，则a 8a 9a 10a 11的值为________．巧设等差数列、等比数列的方法(1)若三数成等差数列，常设成a －d ，a ，a ＋d .若三数成等比数列，常设成aq ，a ，aq 或a ，aq ，aq 2.(2)若四个数成等比数列，可设为aq ，a ，aq ，aq 2.若四个正数成等比数列，可设为a q 3，aq ，aq ，aq 3.1．有四个实数，前三个数依次成等比数列，它们的积是－8，后三个数依次成等差数列，它们的积为－80，求出这四个数．等比数列的性质及应用n (1)等比数列{a n }满足a 2a 4＝12，求a 1a 23a 5； (2)若a n >0，a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝25，求a 3＋a 5；(3)若a n >0，a 5a 6＝9，求log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10的值．有关等比数列的计算问题，基本方法是运用方程思想列出基本量a 1和q 的方程组，先解出a 1和q ，然后利用通项公式求解．但有时运算稍繁，而利用等比数列的性质解题，却简便快捷，为了发现性质，要充分发挥项的“下标”的指导作用．2．(1)已知数列{a n}为等比数列，a3＝3，a11＝27，求a7；(2)已知{a n}为等比数列，a2·a8＝36，a3＋a7＝15，求公比q.由递推公式转化为等比数列求通项1．如果数列{a n}满足a1＝1，a n＋1＝2a n＋1(n∈N*)，你能判断出{a n}是等差数列，还是等比数列吗？2．在探究1中，若将a n＋1＝2a n＋1两边都加1，再观察等式的特点，你能构造出一个等比数列吗？3．在探究1中，若将a n＋1＝2a n＋1改为a n＋1＝3a n＋5，又应如何构造出一个等比数列？你能求出a n吗？【例3】已知S n是数列{a n}的前n项和，且S n＝2a n＋n－4.(1)求a1的值；(2)若b n＝a n－1，试证明数列{b n}为等比数列．思路探究：(1)由n＝1代入S n＝2a n＋n－4求得；(2)先由S n＝2a n＋n－4，利用S n和a n的关系得{a n}的递推关系，然后构造出数列{a n－1}利用定义证明．[1．将本例条件“S n＝2a n＋n－4”改为“a1＝1，S n＋1＝4a n＋2”，“b n＝a n－1”改为“b n＝a n＋1－2a n”，试证明数列{b n}是等比数列，并求{b n}的通项公式．1．已知数列的前n项和或前n项和与通项的关系求通项，常用a n与S n的关系求解．2．由递推关系a n＋1＝Aa n＋B(A，B为常数，且A≠0，A≠1)求a n时，由待定系数法设a n＋1＋λ＝A(a n＋λ)可得λ＝B，这样就构造了等比数列{a n＋λ}．A－11．解题时，应该首先考虑通式通法，而不是花费大量时间找简便方法．2．所谓通式通法，指应用通项公式，前n项和公式，等差中项，等比中项等列出方程(组)，求出基本量．3．巧用等比数列的性质，减少计算量，这一点在解题中也非常重要．[。

人教版2.4等比数列3编号17导学案

编号17 §2.4.1 等比数列的性质第三课时学习目标：1.理解并掌握等比数列的性质及其初步应用；(重点、难点）2.引导学生学习观察、类比、猜测等推理方法，提高学生分析、综合、抽象、概括等逻辑思维能力．预习导航：认真阅读教材，完成导学案上的预习导航，并将不懂知识进行标注。

复习回顾: 1.已知等比数列{a n }中，a 1·a 9＝64，a 3＋a 7＝20，则a 11＝． 2.探究：已知数列}{n a 是等比数列，（1）2537a a a =是否成立？2519a a a =成立吗？为什么？（2）211(1)n n n a a a n -+=>是否成立？你据此能得到什么结论？2(0)n n k n k a a a n k -+=>>是否成立？你又能得到什么结论？3、类比等差数列的性质探究等比数列的性质：已知{a n }是无穷等比数列，公比为q .(1)将数列{a n }中的前k 项去掉，剩余各项组成一个新数列，这个数列是等比数列吗？如果是，它的首项和公比各是多少？(2)取出数列{a n }中的所有奇数项，组成一个新的数列，这个数列是等比数列吗？如果是，它的首项和公比各是多少？若取出数列{a n }中的所有偶数项哪？(3)在数列{a n }中，每隔10项取出一项，组成一个新的数列，这个数列是等比数列吗？如果是，它的公比是多少？问题探究：探究（一）等比数列的下标和性质：{}n a 为等比数列，若m n p q +=+(,,,)m n q p N +∈，则q p n m a a a a ⋅=⋅．推论：若2m n p += 则2m n p a a a = （逆之不成立）学以致用练习:已知{n a }是等比数列，1.若252,0645342=++>a a a a a a a n , 求53a a +．2.a 6=6，a 9=9，求a 3的值。

3.a n ＞0，a 1a 100=100，求Lga 1+ Lga2+ Lga3+……+ Lga 100的值。

等比数列性质导学案.doc

§2.4等比数列的性质学习目标1.灵活应用等比数列的定义及通项公式；深刻理解等比中项概念；2.熟悉等比数列的有关性质，并系统了解判断数列是否成等比数列的方法. 教学重点：等比数列的性质教学难点：等比数列的通项公式的灵活应用一.知识链接1：等比数列的通项公式勺=（1）等比数列的首项不为;（2）等比数列的每一项都不为；（3）等比数列的公比不为（4）数列既是等比数列也是等差数列；2：等差数列有何性质？新课导学环节一：自学问题1：如果在a与b中间插入一个数G,使a, G, b成等比数列，贝U—=—=> G2= ab n G = a G新知1:等比中项定义如果在a与b中间插入一个数G,使a, G, b成等比数列，那么称这个数G称为a 与b的等比中项.即G=.思考：（1）是否任意两数都有等比中项？（2）若两个数有等比中项，其等比中项有几个？试试：（1）数4和6的等比中项是.（2）在等比数列｛ % ｝中，a52 = a3a7是否成立呢？（3）a；=皿"7>1）是否成立？你据此能得到什么结论?（4）a；fM>k>0）是否成立？你又能得到什么结论?新知2：等比数列的性质1 .在等比数列中，若m+n=p+q,则a m a n = a p a k.试试：(1).在等比数列｛a,J ,已知a, =5, %% =100 ,那么皿=.(2).在等比数列｛a,｝中，已知。

7・。

12=5，则-«9-<710 'a\\ =•(3).在等比数列｛□“｝中，已知。

4，。

7=-512,且6；3+%=124,公比为整数,求«10.淤典型例题例1已知｛%｝,也｝是项数相同的等比数列，仿照下表中的例子填写表格，从中你能得出什么结论?证明你的结论.a n a“力“判断｛a” ％”｝例23x¥是自选1-5X2“T自选2-iox(|r证明你的结论:变式：项数相同等比数列｛%｝与｛如｝,数列｛&｝也一定是等比数列吗？证明你b n的结论.小结：两个等比数列的积和商仍然是等比数列.环节四：思学1.等比中项定义；2.等比数列的性质.知识拓展公比为q的等比数列｛a…｝具有如下基本性质：1 .数列｛\a…\｝,｛<｝,国｝(30), ｛%｝伽eM), ｛"｝等,也为等比数列,公比分别为\q\,q\q,矿甘.若数列也｝为等比数列，则(«… b n｝ ,｛^｝也等比.b…2.若m^N* ,则a,=a m q n~m.当m=l时，便得到等比数列的通项公式.3.若m + n — k + l, m,n,k,l c N*,则％,. = a k a,.环节5：测学1.在｛勺｝为等比数列中，a… > 0 , a2a4 + 2a3a s + a52 = 16 ,那么a3+a5=( ).A. ±4B. 4C. 2D. 82.若一9, ai, a2, -1四个实数成等差数列，一9, bi, b2, b3, 一1五个实数成等比数列,则b2(a2—ai)=( ).QA. 8B. -8C. ±8D.-83.若正数a, b, c依次成公比大于1的等比数列，则当x>l时，log fl x , log;, A-, log.. A-( )A.依次成等差数列B.各项的倒数依次成等差数列C.依次成等比数列D.各项的倒数依次成等比数列4.在两数1, 16之间插入三个数，使它们成为等比数列，则中间数等于.5.在各项都为正数的等比数列栅,｝中，5=9,贝!j log 3a1 + log3a2 + . +log3a10 =.6.在7和56之间插入a、b,使7、a、b. 56成等比数列，若插入c、儿使7、c、d、56成等差数列，求a +/? + c + <7的值.7.在｛““｝为等比数列中，弓％=64, %+〃7= 2。

高中数学2.4等比数列(二)等比数列的性质导学案(无答案)新人教版必修5

高中数学 2.4 等比数列（二）等比数列的性质导教案（无答案）新人教版必修 5§2．4 等比数列（二）——等比数列的性质【学习目标】灵巧应用等比数列的定义及通项公式；系统了解判断数列能否成等比数列的方法学习要点、难点：灵巧应用等比数列定义、通项公式、性质解决一些有关问题【课前导学】 1 、依据等比数列{ a n}的“等比中项”的定义及性质达成下表：等比中项结论等比中项结论a1与 a3a2a2 a a3a n 1与 a n 121a2与 a8an 2与an 2a3与 a7an k与an k据上表，可获得结论__________________________________ __________________________ 。

问题 2、等差数列{ a n}中，若m、n、p、q N*，且m + n = p + q，则 ____________________ 。

近似地，等比数列 { a n } 中，若 m 、n 、p、q N*，且m +n = p + q，则 _____________________ 。

试依据等比数列 { a n } 的通项公式加以证明：【预习自测】1、若{ a n}为等比数列，则以下式子建立的是_____ ________________ ：①a2 + a5 = a1 + a6；②a1a9= a10；③ a1a9= a3 a7；④ a1 a2 a7= a4 a6；⑤ a3 a5 a7= a2 a4 a9。

2、实数 2+ 3与 2— 3 的等比中项是_____________。

3、等比数列{a n } 中，若a2与a10是x2—5x+4=0的两实根，则。

a5a7=_______【课内研究】例 1、等比数列{ a n}中，a1 + a2 + a3 =7，a1a2a3 =8，求a n。

变式 1：达成课本 P53 练习 3 ，并概括一般性结论 .例2、已知数列 { a n } 知足 a n 3 2 n , 证明 { a n } 为等比数列。

等比数列学案导学案课件

等比数列的性质学习目标1.掌握等比数列的性质及其应用.(逻辑推理、数学运算) 2.掌握等比中项的实际应用.(数学运算、数学建模)3.熟练掌握等比数列与等差数列的综合应用.(逻辑推理、数学运算)必备知识·自主学习导思1.结合等差数列的性质,思考等比数列应该具备哪些性质?2.类比等差数列的单调性,分析等比数列的单调性?1.等比数列项的运算性质(1)等比数列的项之间的关系.等比数列{a n},m,n,p,q∈N*两项关系a n=a m q n-m三项关系若m+n=2p,则an·a m=四项关系若m+n=p+q,则a m·a n=a p·a q(2)“子数列”性质.对于无穷等比数列{a n},若将其前k项去掉,剩余各项仍为等比数列,首项为a k+1,公比为q;若取出所有的k的倍数项,组成的数列仍为等比数列,首项为a k,公比为q k.(3)两等比数列合成数列的性质.若数列{a n},{b n}均为等比数列,c为不等于0的常数,则数列{ca n},{},{a n·b n},也为等比数列.等比数列两项之间的关系a n=a m q n-m中,当n≤m时成立吗?提示:成立,如a2=a5q2-5=a5q-3=.2.等比数列的单调性递增数列a1>0 q>1a1<0 0<q<1a1>0 0<q<1递减数列a1<0 q>1当q=1,q<0时,分别是什么数列?提示:当q=1时是常数列;当q<0时是摆动数列.1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”).(1)等比数列{a n}中a2·a6=. ((2)当等比数列的公比q>1时,一定是递增数列. ((3)等比数列{a n}中,a1,a4,a7,a10,…仍然是等比数列. ( 提示:(1)×.a2·a6=.(2)×.当数列的公比q>1时,若a1<0,则是递减数列.(3)√.a1,a4,a7,a10,…是以a1为首项,q3为公比的等比数列.2.等比数列{a n}的公比q=-,a1=,则数列{a n}是(A.递增数列B.递减数列C.常数列D.摆动数列【解析】选D.由于公比q=-<0,所以数列{a n}是摆动数列.3.(教材二次开发:练习改编)在等比数列{a n}中,已知a7·a12=10,则a8·a9·a10·a11= .【解析】因为a7·a12=a8·a11=a9·a10=10,所以a8·a9·a10·a11=102=100.答案:100关键能力·合作学习类型一等比数列的性质及应用(数学抽象、逻辑推理、数学运算)1.已知数列{a n}是正项等比数列,若是a2和a8的等比中项,则a1a3a5a7a9的值是(A.5B.25C.5D.55【解析】选B.因为是a2和a8的等比中项,所以a2·a8=5,又a1a9=a3a7==a2·a8=5,a5>0,所以a5=,则a1a3a5a7a9=25.2.在等比数列{a n}中,a1+a2=10,a3+a4=60,则a7+a8= (A.110B.160C.360D.2 160【解析】选D.设等比数列{a n}的公比为q,因为a1+a2=10,a3+a4=60,所以q2(a1+a2)=10q2=60,解得q2=6.则a7+a8=q6(a1+a2)=10×63=2 160.3.等比数列{a n}中,a4,a8是关于x的方程x2+10x+4=0的两个实根,则a2a6a10= (A.8B.-8C.4D.8或-8【解析】选B.根据题意,等比数列{a n}中,有a4a8=a2a10=,a4,a8是关于x的方程x2+10x+4=0的两个实根,则a4a8=4,a4+a8=-10,则a4<0,a8<0,则有a6=a4q2<0,即a6=-2,所以a2a6a10=(a6)3=-8.利用性质简化运算有关等比数列的计算,基本方法是运用方程思想列出基本量a1和q的方程组,先解出a1和q,然后利用通项公式求解.但有时运算稍繁,而利用等比数列的性质充分发挥项的“下标”的指导作用可优化解题过程.【补偿训练】1.已知等比数列{a n}的各项均为正数,若log3a1+log3a2+…+log3a12=12,则a6a7= (A.1B.3C.6D.9【解析】选D.因为等比数列{a n}的各项均为正数,且log3a1+log3a2+…+log3a12=12,即log3(a1·a2·…·a12)=12,所以a1·a2·…·a12=312,所以(a6a7)6=312,所以a6a7=32=9.2.在等比数列{a n}中,a2a3a4=8,a7=32,则a2= (A.-1B.1C.±1D.2【解析】选C.等比数列{a n}中,a2a3a4=8,则=8,则a3=2,因为a7=32,所以q4==16,解得q=±2,所以a2=±1.类型二等比中项的实际应用(数学运算、数学建模)【典例】某工厂2019年1月的生产总值为a万元,计划从2019年2月起,每月生产总值比上一个月增长m%,那么到2020年8月底该厂的生产总值为多少万元?【思路导引】(1)该问题可以转化为等比数列模型吗?(2)a1,q分别是多少?要求哪一个量?【解析】设从2019年1月开始,第n个月该厂的生产总值是a n万元,则a n+1=a n+a n m%,所以=1+m%.则数列{a n}是首项a1=a,公比q=1+m%的等比数列.所以a n=a(1+m%)n-1.故2020年8月底该厂的生产总值为a20=a(1+m%)20-1=a(1+m%)19万元.关于等比数列在应用问题中的应用首先根据题意判断是否是等比数列模型,其次分析等比数列的首项、公比、项数,最后利用等比数列的通项公式计算解题.某厂生产电脑,原计划第一季度每月增加台数相同,在生产过程中,实际上二月份比原计划多生产10台,三月份比原计划多生产25台,这样三个月产量成等比数列,而第三个月的产量是原计划第一季度总产量的一半少10台,问该厂第一季度实际生产电脑多少台?【解析】根据已知,可设该厂第一季度原计划3个月生产电脑台数分别为x-d,x,x+d,d>0,则实际上3个月生产电脑台数分别为x-d,x+10,x+d+25,由题意得解得x=90,d=10,故共有(x-d)+(x+10)+(x+d+25)=3x+35=3×90+35=305(台),即该厂第一季度实际生产电脑305台.【拓展延伸】在应用性问题中,判断是否为等比数列模型的关键是看增长(缩减)是否按照同一比例.【拓展训练】某工厂三年的生产计划是从第二年起每一年比上一年增长的产值都相同,三年的总产值为300万元.如果第一年、第二年、第三年分别比原计划产值多10万元、10万元、11万元,那么每一年比上一年的产值增长的百分数都相同,求原计划每年的产值.【解析】由题意得,原计划三年中每年的产值组成等差数列,设为a-d,a,a+d(d>0),则有(a-d)+a+(a+d)=300,解得a=100.又由题意知(a-d)+10,a+10,(a+d)+11组成等比数列,所以(a+10)2=[(a-d)+10][(a+d)+11].将a=100代入上式,得1102=(110-d)(111+d),即d2+d-110=0.解得d=10或d=-11(舍去).所以原计划三年的产值分别为90万元,100万元,110万元.【补偿训练】(1)某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入,若该公司2018年全年投入研发资金130万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( (参考数据:lg 1.12≈0.05,lg 1.3≈0.11,lg 2≈0.30)A.2020年B.2021年C.2022年D.2023年【解析】选C.设2018年全年投入研发资金为a1=130,2018年后n年投入的研发资金为a n,则数列{a n}成以a1为首项,以1.12为公比的等比数列,所以a n=130×1.12n-1,令130×1.12n-1>200,得n>+1≈+1=4.8,即当n≥5时该公司全年投入的研发资金开始超过200万元.所以2022年会超过200万元.(2)已知光线每通过一块特制玻璃板,强度要减弱20%,要使通过玻璃板的光线强度减弱到原来的以下,则至少需要重叠玻璃板块数为(参考数据:lg 2≈0.301 0)( A.4 B.5 C.6 D.7【解析】选D.设经过n块玻璃板后,光线强度为a n,则数列{a n}是以为公比的等比数列,由题意可得,<,两边同时取对数可得,nlg <-lg 4,所以n>=≈6,则n=7.类型三等比数列和等差数列的综合应用(逻辑推理、数学运算)角度1 灵活设项解题【典例】三个数成等比数列,其积为64,如果第一个数与第三个数各减去1,则这三个数成等差数列,求这三个数.【思路导引】利用等比数列设出前三项,表示出等差数列后求未知数.【解析】因为三个数成等比数列,设三个数为,a,aq,则×a×aq=a3=64,所以a=4,所以三个数为,4,4q,第一个数与第三个数各减去1为-1,4,4q-1,则-1+4q-1=8,即2q2-5q+2=0,解得q=2或,所以这三个数为2,4,8或8,4,2.本例中的条件若改为“其积为512,如果第一个数与第三个数各减去2”,试求这三个数.【解析】设三个数依次为,a,aq,因为·a·aq=512,所以a=8.因为+(aq-2)=2a,所以2q2-5q+2=0,所以q=2或q=,所以这三个数为4,8,16或16,8,4.角度2 等差、等比数列的性质【典例】已知{a n}是等差数列,{b n}是正项等比数列,且b1=1,b3=b2+2,b4=a3+a5,b5=a4+2a6,则a2 018+b9= ( A.2 274 B.2 074 C.2 226 D.2 026【思路导引】分别用等差数列的首项a1、公差d、等比数列的公比q表示出已知条件,求出a1,d,q后求a2 018+b9.【解析】选A.设等差数列{a n}的公差为d,正项等比数列{b n}的公比为q>0,因为b1=1,b3=b2+2,b4=a3+a5,b5=a4+2a6,所以q2=q+2,q3=2a1+6d,q4=3a1+13d,解得q=2,a1=d=1,则a2 018+b9=1+2 017+28=2 274.巧设等差数列、等比数列(1)若三数成等差数列,常设成a-d,a,a+d.若三数成等比数列,常设成,a,aq或a,aq,aq2.(2)若四个数成等比数列,可设为,a,aq,aq2.若四个正数成等比数列,可设为,,aq,aq3.1.设公差不为零的等差数列{a n}满足a3=7,且a1-1,a2-1,a4-1成等比数列,则a10等于.【解析】设等差数列{a n}的公差为d,则d≠0,则a1=a3-2d=7-2d,a2=a3-d=7-d,a4=a3+d=7+d,由于a1-1,a2-1,a4-1成等比数列,则(a2-1)2=(a1-1)(a4-1),即(6-d)2=(6-2d)(6+d),化简得d2-2d=0,由于d≠0,解得d=2,因此,a10=a3+7d=7+7×2=21.答案:212.已知数列{a n}是由实数构成的等比数列,a1=2,且a2-4,a3,a4成等差数列,则{a n}的公比为.【解析】因为数列{a n}是由实数构成的等比数列,设公比为q,a1=2,且a2-4,a3,a4成等差数列,所以2a3=(a2-4)+a4,即2×2q2=2q-4+2q3,整理,得(q-2)(q2+1)=0,所以{a n}的公比q=2.答案:23.四个数,前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,第一个数与第四个数之和为16,第二个数与第三个数之和为12,求这四个数.【解析】设后三个数依次为,a,aq,则第一个数为-a.由题意得解得或所以所求的四个数依次为0,4,8,16或15,9,3,1.【拓展延伸】等比数列与等差数列的区别与联系:等差数列等比数列不同点(1)强调每一项与前一项的差;(2)a1和d可以为零;(3)等差中项唯一.(1)强调每一项与前一项的比;(2)a1与q均不为零;(3)等比中项不唯一.相同点(1)都强调每一项与前一项的关系;(2)公差与公比都必须是常数;(3)数列都可以由a1,d或a1,q确定.联系(1)若{a n}为正项等比数列,则数列{log a a n}为等差数列;(2){a n}为等差数列,则数列{}为等比数列.【拓展训练】数列{a n}的前n项和记为S n,a1=1,a n+1=2S n+1(n≥1).(1)求{a n}的通项公式;(2)等差数列{b n}的各项为正,其前n项和为T n,且T3=15,又a1+b1,a2+b2,a3+b3成等比数列,求T n. 【思路导引】(1)可借助S n-S n-1=a n(n≥2)来求出a n;(2)考虑方程的思想求出d,再求T n.【解析】(1)由a n+1=2S n+1,可得a n=2S n-1+1(n≥2),两式相减,得a n+1-a n=2a n,a n+1=3a n(n≥2).又因为a2=2S1+1=3,所以a2=3a1.故{a n}是首项为1,公比为3的等比数列,所以a n=3n-1.(2)设{b n}的公差为d,由T3=15,得b1+b2+b3=15,可得b2=5,故可设b1=5-d,b3=5+d.又a1=1,a2=3,a3=9,由题意可得(5-d+1)(5+d+9)=(5+3)2.解得d1=2,d2=-10.因为等差数列{b n}的各项为正,所以d>0,所以d=2. T n=3n+×2=n2+2n.【补偿训练】在等比数列{a n}中,a2=3,a5=81.(1)求a n;(2)设b n=log3a n,求数列{b n}的前n项和S n.【解析】(1)设{a n}的首项为a1,公比为q,依题意得解得因此,a n=3n-1.(2)因为b n=log3a n=n-1,所以数列{b n}的前n项和S n==.。