矩阵值函数(λE—A) -1的应用

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计算方法(3)第三章线性代数方程组的解法

“回代”解得

xn

bn ann

xk

1 akk
[bk

n
akj x j ]
j k 1

其中aii 0 (i 1,2,......, n)
(k n 1, n 2, ,1)
返回变量
函数名
function X=backsub(A,b) 参数表
%Input—A is an n×n upper- triangular nonsingullar matrix % ---b is an n×1 matrix
x1

xi

b1 / a11
i 1
(bi aik
k 1
xk ) / aii
(i

2,3,
, n)
如上解三角形方程组的方法称为回代法.
二. 高斯消元法(Gaussian Elimination)
高斯消元法的求解过程,可大致分为两个阶段:首先, 把原方程组化为上三角形方程组,称之为“消元”过程;然后,用逆次序逐一求出上三角方程组(原方程组的等价方程组)的解,称之为“回代”过程.
符号约定:
1. (λEi )(Ei ): 第i个方程乘以非零常数λ。 2. (Ei +λEj )(Ei ): 第j个方程乘以非零常数λ
加到第i个方程。
3.（Ei )(Ej )：交换第i个方程与第j个方程。
a11 x1 a12 x2 ... a1n xn b1
a21
x1 4 x4 x2 4 1 2 1
故解为（x1，x2 ，x3 ，x4 )T (1，2，0，1)T
A=[1 1 0 1;0 -1 -1 -5;0 0 3 13;0 0 0 -13] b=[4;-7;13;-13] X=backsub(A,b)

矩阵的运算及其运算规则

矩阵基本运算及应用之青柳念文创作201700060牛晨晖在数学中，矩阵是一个依照长方阵列摆列的复数或实数集合.矩阵是高等代数学中的罕见工具，也罕见于统计分析等应用数学学科中.在物理学中，矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用；计算机迷信中，三维动画制作也需要用到矩阵. 矩阵的运算是数值分析范畴的重要问题.将矩阵分解为简单矩阵的组合可以在实际和实际应用上简化矩阵的运算.在电力系统方面，矩阵知识已有广泛深入的应用，本文将在先容矩阵基本运算和运算规则的基础上，简要先容其在电力系统新动力范畴建模方面的应用情况，并展望随机矩阵实际等相关知识与人工智能电力系统的慎密连系.1矩阵的运算及其运算规则1.1.1运算规则设矩阵，，则简言之，两个矩阵相加减，即它们相同位置的元素相加减！注意：只有对于两个行数、列数分别相等的矩阵（即同型矩阵），加减法运算才有意义，即加减运算是可行的．1.1.2运算性质知足交换律和连系律交换律；连系律．乘矩阵A，就是将数乘矩阵A中的每个元素，记为或．特别地，称称为的负矩阵．1.2.2运算性质知足连系律和分配律连系律：(λμ)A=λ(μA)；(λ+μ)A =λA+μA．分配律：λ(A+B)=λA+λB．1.2.3典型举例已知两个矩阵知足矩阵方程，求未知矩阵．解由已知条件知1.3.1运算规则设，，则A与B的乘积是这样一个矩阵：(1) 行数与（左矩阵）A相同，列数与（右矩阵）B相同，即．(2) C的第行第列的元素由A的第行元素与B的第列元素对应相乘，再取乘积之和．1.3.2典型例题设矩阵计算解是的矩阵．设它为可得结论1：只有在下列情况下，两个矩阵的乘法才有意义，或说乘法运算是可行的：左矩阵的列数＝右矩阵的行数；结论2在矩阵的乘法中，必须注意相乘的顺序．即使在与均有意义时，也未必有=成立．可见矩阵乘法不知足交换律；结论3方阵A和它同阶的单位阵作乘积，成果仍为A ，即．1.3.3运算性质（假设运算都是可行的）(1)连系律．(2)分配律（左分配律）；（右分配律）．(3)定义：设A 是方阵，是一个正整数，规定，显然，记号暗示个A的连乘积．定义：将矩阵A的行换成同序号的列所得到的新矩阵称为矩阵A 的转置矩阵，记作或．例如，矩阵的转置矩阵为．1.4.2运算性质（假设运算都是可行的）(1)(2)(3)(4)，是常数．1.4.3典型例题操纵矩阵验证运算性质：解；而所以．定义：如果方阵知足，即，则称A为对称矩阵．对称矩阵的特点是：它的元素以主对角线为对称轴对应相等．定义：由方阵A的元素所构成的行列式（各元素的位置不变），称为方阵A的行列式，记作或．1.5.2运算性质(1) （行列式的性质）(2) ，特别地：(3) （是常数，A的阶数为n）思考：设A为阶方阵，那末的行列式与A 的行列式之间的关系为什么不是，而是？无妨自行设计一个二阶方阵，计算一下和．例如，则．于是，而2光伏逆变器的建模光伏并网逆变器是将光伏组件输出的直流电转化为符合电网要求的交流点再输入电网的关键设备，是光伏系统并网环节中能量转换与节制的核心.光伏逆变器的性能不但影响到光伏系统是否运行稳定、平安靠得住，也是影响整个系统使用寿命的主要因素.本节将分析主流光伏逆变器的拓扑布局和建模方法.光伏并网逆变器依照分歧的分类方式可分为多种类型.如依照交流侧接线数可分为单相逆变器和三相逆变器，如依照并网方式可分为隔离型光伏逆变器和非隔离型光伏逆变器.在欧洲，相关尺度要求光伏逆变器可以采取非隔离型；而在美国，光伏逆变器必须采取隔离型的；我国今朝尚没有在此方面的明白要求.依照能质变换级数来分，光伏并网系统主要包含单级变换、两级变换和多级变换三种拓扑布局.为方面懂得后续操纵矩阵相关知识建模，下面临这三种拓扑布局的特点做简要先容.1)单级变换拓扑布局单级变换拓扑布局与前者相比，只有DC/AC逆变部分，该逆变器一般采取单相半桥、全桥电压型逆变器或者三相全桥电压型逆变器.这种类型的光伏逆变器具有布局简单、成本低廉等优点.由于该系统只有一级功率转换电路，所有节制方针都要通过这一级功率转换单元实现，因而增加了节制系统的复杂性.图1为一典型的单极变换单相光伏逆变器的拓扑布局.这种光伏逆变器一般会装置工频变压器.变压器可以有效降低输出侧电压，也可以起到有效隔离绝缘的效果，具有靠得住性高、维护量少、开关频率低和电磁干扰小等特点.图1 单级单相光伏逆变器拓扑图2)两级变换拓扑布局两级变换拓扑布局一般由DC/DC变换器和DC/AC逆变器两部分组成.前者一般采取比较罕见的BOOST电路、BUCK-BOOST电路或CUK电路等，用来实现光伏阵列输出功率的最大功率跟踪的功能，DC/AC一般采取单相或三相的并网逆变器实现并网、有功调节、无功抵偿或者谐波抵偿等相关功能.图2为一典型的两级变换单相光伏逆变器的拓扑布局.第一级是DC/DC变换环节，其拓扑类型为boost电路，目标是把光伏组件输出的不稳定直流低电压提升到可并网的稳定直流高电压.第二级是DC/AC逆变环节，由单相全桥的可逆PWM整流器构成，这一级的功率开关可以采取MOSFET或IGBT.图2 两级变换单相光伏逆变器拓扑图3)多级变换拓扑布局采取高频变压器绝缘方式的多级变换拓扑布局通过采取带有整流器的高频率变压器来提升输入电压，具有体积小、重量轻、成本低等优点，常常使用于并网型太阳能发电设备之中.图3为一典型的带高频变压器的多级变换单相光伏逆变器的拓扑布局.这种拓扑布局由于需要颠末三级能质变换，通常效率相对较低，而且由于高频电磁干扰严重，必须采取滤波和屏蔽等相关措施.图3 带高频变压器的多级式光伏逆变器拓扑图与两级式光伏逆变器相比，单级式光伏逆变器只有一个能质变换环节，布局紧凑、元器件少，能量转换效率更高.今朝，单级式三相光伏并网逆变器在大中型光伏电站的建设中得到了大规模的应用.本节选取此类光伏逆变器作为典型停止建模分析.如图4所示，三相光伏逆变器一般由防反冲二极管、直流母线稳压电容、DC/AC逆变环节、逆变器输出滤波器组成.图4 三相光伏并网发电系统电路图假定三相电感且其等效电感、电阻值分别为L1=L2=L3=L 和R1=R2=R3=R.三相全桥都是抱负的开关管.光伏发电系统在三相运动坐标系下的数学模子如下：(2.1)式中：ia、ib、ic——三相并网逆变器的输出电流；ea、eb、ec——三相电网电压；Sa、Sb、Sc——开关函数；udc——直流母线电压；思索直流母线中电流的稳压作用，则有(2.2)式中：C——直流母线稳压电容；ipv——光伏阵列输出电流.将公式2.2停止同步矢量旋转变换，则得到dq坐标系下的三相光伏并网发电系统的模子为：(2.3)式中：id、iq——逆变器输出电流d、q轴（有功、无功）分量；ed、eq——电网电压d、q轴分量；Sd、Sq——触发三相逆变桥的开关信号d、q轴分量；ω——电网电压的角频率，即dq坐标系的旋转速度.公式2.3中两个电流方程写成矩阵形式为：(2.4)(2.5)令=，=，相应时域中有=，=(2.6)公式2.6的时域表达式为：(2.7)3 随机矩阵相关实际3.1 随机矩阵相关实际和要点随机矩阵实际(random matrix theory，RMT)的研究起源于原子核物理范畴.Wigner在研究量子系统中得出结论，对于复杂的量子系统，随机矩阵实际的预测代表了所有能够相互作用的一种平均.偏离预测的那部分属性反映了系统中特殊非随机的性质，这为懂得和研究潜在的相互作用和关系提供了实际支撑.RMT 以矩阵为单位，可以处理独立同分布(independent identically distributed，IID)的数据.RMT 其实分歧错误源数据的分布、特征等做出要求(如知足高斯分布，为Hermitian矩阵等)，仅要求数据足够大(并不是无限).故该工具适合处理大多数的工程问题，特别适合用于分析具有一定随机性的海量数据系统.随机矩阵实际认为当系统中唯一白噪声、小扰动和丈量误差时，系统的数据将呈现出一种统计随机特性；而当系统中有信号源(事件)时，在其作用下系统的运行机制和外部机理将会改变，其统计随机特性将会被打破.单环定律(Ring Law)、Marchenko-Pastur定律(M-P Law)均是RMT 体系的重大突破.在这些实际基础上，可进一步研究随机矩阵的线性特征根统计量(linear eigenvaluestatistics, LES)，而平均谱半径(mean spectral radius)则是LES所构造出的一个详细对象.全球正在履历由信息技术时代(IT 时代)向数据技术时代(DT时代)的过渡，数据正逐步成为电力系统等大型平易近生系统的战略资源.数据的价值在于其所蕴含的信息而并不是数据自己，信息提取(information extraction)相关技术是数据增值业务的核心.智能电网的最终方针是建设成为覆盖电力系统整个生产过程，包含发电、输电、变电、配电、用电及调度等多个环节的全景实时系统.而支撑智能电网平安、自愈、绿色、坚强及靠得住运行的基础是电网全景实时数据的收集、传输和存储，以及对积累的海量多源数据的疾速分析.数据化是智能电网建设的重要方针，也是未来电网的基本特征.智能电网是继小型孤立电网、分布式互联大电网之后的第三代电网，其网络布局错综复杂.同时，用户侧的开放致使新动力、柔性负荷、电能产消者(如EV)大规模参与电网，这也极大地加剧了电网运行机理和节制模子的复杂性.传统的通过对个体元器件建模、参数辨识及在此机理模子上停止仿真的手段缺乏以认知日益复杂的电网；而另外一方面，随着智能电网建设过程的不竭深入，尤其是高级丈量体系(advanced meteringinfrastructure，AMI)和信息通信技术(informationcommunication technology，ICT)的发展，数据将越来越容易获取，电网运行和设备监测发生的数据量将呈指数级增长.然而，各电力部分普遍存在如下问题：1）从如此之多的数据中，能得到些什么？2）分歧部分的数据为什么且如何混合在一起？3）坏(异常、缺失、时间分歧步)数据如何处理？上述的典型问题也是现阶段信息化建设所呈现的“重系统轻数据”形式的成果.该形式忽略了最重要的(也是实际要求最深的)数据资源操纵环节，即将收集来的“数据原料”转换成驱动力，以数据驱动(data-driven/model-free)为主要方式及时、准确地认知系统，故难以知足系统决议计划制定(decision-making)的需求.从数据的角度出发，海量(volume)、多样(variety)、实时(velocity)、真实(veracity)的4 Vs 数据是未来电网数据的发展趋势，而4 Vs 数据的复杂性所引起的维数灾难(cur搜索引擎优化fimensionality)等问题将不成防止地发生且日益严峻.而随机矩阵是元素为随机变量(random variable)的一类矩阵，随机矩阵实际(random matrix theory，RMT)主要研究随机矩阵的特征根和特征向量的一些统计分析性质，其核心为线性特征根统计量(linear eigenvalue statistic，LES).随机矩阵知识与电力系统的广泛连系将有的放矢的缓解这一问题.4 结论与展望本文第二部分简要先容了矩阵基本知识在新动力范畴建模的应用情况.由此可见，矩阵基本知识已经广泛应用与电力系统的各个范畴多年.但近些年来，随着新动力装机容量日益增长与新动力远间隔传输消纳问题的日益凸显.包含随机矩阵在内的新兴相关知识与电力系统人工智能网络的连系日渐慎密.随机矩阵实际和基于此的随机矩阵建模给电力系统认知提供了一种全新的视角，该部分知识将有效地操纵系统中的大数据资源，同时避开经典模子方案极难回避的一些问题.虽然当前基于随机矩阵实际的电网相关分析和应用才起步；但长远来看，该部分知识将很有能够成为电网认知的主要驱动力.另外一方面，数据驱动方法可以和惯例基于模子分析方法相连系.最终，将形成一套统计指标结合经典指标的电力系统认知体系，以用于电网运行态势的实时评估.更进一步，该指标体系中多种指标可作为前言，即深度学习的输入，为连系矩阵知识的人工智能在电网中的应用提供一种思路.。

考研数学二(解答题)模拟试卷108(题后含答案及解析)

考研数学二（解答题）模拟试卷108(题后含答案及解析)题型有：1.1．求极限正确答案：这是求型极限，用洛必达法则得涉及知识点：极限、连续与求极限的方法2．求极限正确答案：涉及知识点：高等数学3．设随机变量X的概率密度f(x)=，求Y=X2的概率密度．正确答案：随机变量Y=X2的取值范围是[0，+∞)．当y≤0时，FY(y)=0；当0＜y＜1时，有解析：由于f(x)是分段函数，因此在求积分∫-∞xf(t)dt时，要正确划分积分区间，确定出随机变量Y的取值范围，先求出FY(y)．知识模块：概率论与数理统计4．计算不定积分正确答案：涉及知识点：一元函数积分概念、计算及应用5．设f(u)是连续函数，证明：∫0πxf(sinx)dx=正确答案：I=∫0πxf(sinx)dx∫π0(π一t)f(sint)(一dt) =π∫0πf(sint)dt—∫0πtf(sint)dt=π∫0πf(sinx)dx—∫02xf(sinx)dx=π∫0πf(sinx)dx—I，则∫0πxf(sinx)dx= 涉及知识点：高等数学6．考虑二次型f=x12+4x22+4x32+2λx1x2一2x1x3+4x2x3，问λ取何值时，f为正定二次型?正确答案：因为A正定，所以解得一2＜λ＜1．涉及知识点：线性代数7．设f(χ)＝求f′(χ)并讨论其连续性．正确答案：当χ＞0时，f′(χ)＝，当χ＜0时，f′(χ)＝cosχ，由f′－(0)＝＝1，f′+(0)＝＝1 得f′(0)＝1，则容易验证＝1＝f′(0)，所以f′(χ)连续．涉及知识点：一元函数微分学8．设函数x=x(y)由方程x(y-z)2=y所确定，试求不定积分正确答案：令y—x=t，则(y—t)t2=y，故得t3一3t=A(t3+t2一t一1)+B(t2+2t+1)+C(t3一t2一t+1)+D(t2一2t+1) =(A+C)t3+(A+B—C+D)t2+(一A+2B—C一2D)t—A+B+C+D．比较t的同次幂的系数得涉及知识点：一元函数积分学9．设tannxdx(n＞1)，证明：正确答案：涉及知识点：一元函数积分学10．设χ＝χ(t)由sint－＝0确定，求．正确答案：将t＝0代入sint－＝0得＝0，再由＞0得χ＝1，sint －＝0两边对t求导得cost－＝0，从而＝e＋1，cost－＝0两边再对t求导得将t＝0，χ＝1，＝e＋1代入得＝2e2 涉及知识点：一元函数微分学11．已知函数u=u(x，y)满足方程试选择参数a，b，利用变换u(x，y)=y(x，y)eax+by将原方程变形，使新方程中不出现一阶偏导数．正确答案：等式u(x，y)=v(x，y)eax+by两边同时求偏导数，由题意可知，应令2a+k=0，-2b+k=0，解得．原方程变为涉及知识点：多元函数微分学12．计算正确答案：涉及知识点：一元函数积分学13．设z=z(u，v)具有二阶连续偏导数，且z=z(x一2y，x+3y)满足求z=z(u，v)的一般表达式．正确答案：以z=z(u，v)，u=x一2y，v=x+3y代入式①，得到z(u，v)应满足的微分方程，也许这个方程能用常微分方程的办法解之．代入式①，化为它可以看成一个常微分方程(其中视v为常数)，解得其中ψ(v)为具有连续导数的v的任意函数．再由其中φ(u)为具有连续导数的u的任意函数，φ(v)为具有二阶连续导数的v的任意函数，其中u=x一2y，v=x+3y．涉及知识点：微分方程14．设A＝有三个线性无关的特征向量．(1)求a；(2)求A的特征向量；(3)求可逆矩阵P，使得P-1AP为对角阵．正确答案：(1)由｜λE－A｜＝＝(λ＋2)(λ－1)2＝0得矩阵A的特征值为λ1＝－2，λ2＝λ3＝1，因为A有三个线性无关的特征向量，所以A可以相似对角化，从而r(E－A)＝1，由E－A＝得a＝－1．(2)将λ＝－2代入(λE－A)X＝0，即(2E＋A)X＝0，由2E＋A＝得λ＝－2对应的线性无关的特征向量为α1＝：将λ＝1代入(2E－A)X＝0，即(E－A)X＝0，由E－A＝得λ＝1对应的线性无关的特征向量为(3)令P＝，则P-1AP＝涉及知识点：矩阵的特征值和特征向量设f(x)在[-a，a](a＞0)上有四阶连续的导数，存在．15．写出f(x)的带拉格朗日余项的麦克劳林公式；正确答案：由存在，得f(0)=0，f’(0)=0，f’’(0)=0，则f(x)的带拉格朗日余项的麦克劳林公式为f(x)=，其中ξ介于0与x之间．涉及知识点：一元函数微分学16．证明：存在ξ1，ξ2∈[-a，a]，使得正确答案：上式两边积分得因为f(4)(x)在[-a，a]上为连续函数，所以f(4)(x)在[-a，a]上取到最大值M和最小值m，于是有mx4≤f(4)(ξ)x4≤Mx4，两边在[-a，a]上积分得再由积分中值定理，存在ξ∈[-a，a]，使得涉及知识点：一元函数微分学17．设u=f(x，y，xyz)，函数z=z(x，y)由exyz=∫xyzh(xy+z-t)dt确定，其中f连续可偏导，h连续，求正确答案：涉及知识点：高等数学部分18．设二阶常系数线性微分方程y”+ay’+by=cex有特解y=e2x+(1+x)ex，确定常数a，b，c，并求该方程的通解．正确答案：将y=e2x+(1+x)ex代入原方程得(4+2a+b)e2x+(3+2a+b)ex+(1+a+b)xex=cex，则有解得a=-3，b=2，c=-1，原方程为y”-3y’+2y=-ex．原方程的特征方程为λ2-3λ+2=0，特征值为λ1=1，λ2=2，则y”-3y’+2y=0的通解为y=C1ex+C2e2x，于是原方程的通解为y=C1ex+C2e2x+e2x+(1+x)ex．涉及知识点：高等数学部分19．求微分方程的通解．正确答案：通解为涉及知识点：常微分方程20．设a＞1,f(t)=at一at在(一∞，+∞)内的驻点为t(a)。

《现代控制理论》课后习题答案2

( sI − A) −1 =
1 adj( sI − A) det( sI − A)
(1)
式（1）中的 adj( sI − A) 和 det( sI − A) 可分别写成以下形式：
adj( sI − A) = H n −1s n −1 + H n − 2 s n − 2 + " + H 0 det( sI − A) = s + an −1s
故
Φ (t ) = α 0 (t ) I + α1 (t ) A + α 2 (t ) A2
⎡ −2tet + e 2t ⎢ = ⎢ −2(1 + t )et + 2e 2t ⎢ −2(2 + t )et + 4e 2t ⎣
(3t + 2)et − 2e 2t (3t + 5)et − 4e 2t (3t + 8)et − 8e 2t
n n −1
(2) (3) (4)
+ " + a0
，可得将式（1）两边分别左乘 det( sI − A)( sI − A) ，并利用式（2）和（3）
Is n + an −1 Is n −1 + " + a0 I = H n −1s n + ( H n − 2 − AH n−1 ) s n − 2 + " + ( H 0 − AH1 )s − AH 0
e jt = a0 (t ) + a1 (t ) j ， e − jt = a0 (t ) − a1 (t ) j
而
e jt = cos t + j sin t ， e− jt = cos t − j sin t 因此， a0 (t ) = cos t ， a1 (t ) = sin t 。由此得到状态转移矩阵 ⎡ cos t sin t ⎤ Φ (t ) = e At = a0 (0) I + a1 (t ) A = ⎢ ⎥ ⎣ − sin t cos t ⎦

矩阵指数函数及其应用

在数学上矩阵是指纵横排列的数据表格最早来自方程组的系数及常数所构成的方阵矩阵是数学中的一个重要的基本概念是数学的一个主要研究对象也是数学研究和应用的一个重要工具矩阵这个词是由希尔维斯特sylvester首先使用的他是为了将数字的矩形阵列区别于行列式而发明了这个术语但英国数学家凯莱cayley一般被公认为是矩阵论的创立者因为他首先把矩阵作为一个独立的数学概念提出来并首先发表了关于这个题目的一系列文章实际上矩阵一开始是从行列式的大量工作中表现出来的行列式对应的方阵本身就可以做大量的研究和使用矩阵的许多基本性质也是在行列式的发展中建立的逻辑上矩阵的概念应先于行列式的概念然而在历史上次序正好相反1858年凯莱cayley发表了一篇论文矩阵论的研究报告系统地阐述了关于矩阵的理论文中定义了矩阵的相等矩阵的运算法则矩阵的转置以及矩阵的逆等一系列概念并给出了矩阵加法的可交换性与可结合性另外凯莱还给出了方阵的特征方程和特征根特征值以及矩阵的一些基本结果在矩阵论的发展历史上弗洛伯纽斯frobenius的贡献是不可磨灭的他讨论了最小多项式问题引进了矩阵的秩不变因子和初等因子正交矩阵矩阵中国矿业大学北京07级本科生设计论文2的相似变换合同矩阵等概念以合乎逻辑的形式整理了不变因子和初等因子的理论并讨论了正交矩阵与合同矩阵的一些重要性质1854年约当研究了矩阵化为标准型的问题1892年梅茨勒metzler引进了矩阵函数的概念并将其写成矩阵的幂级数形式傅立叶fourier和庞加莱poincare还讨论了无限阶矩阵问题现在矩阵经过两个多世纪的发展已成为一门数学分支矩阵论
2 矩阵函数的定义及矩阵指数函数的性质………………………………………………2 2.1 矩阵函数定义………………………………………………………………………2 2.2 矩阵指数函数的性质………………………………………………………………4

矩阵特征值、特征向量的研究【文献综述】

毕业论文文献综述数学与应用数学矩阵特征值、特征向量的研究一、前言部分数学作为一种研究问题的工具，大部分同学并未真正感受到它的实用价值，往往低估了数学对于学习知识及其解决问题的重要作用，或不会灵活运用数学这一工具去理解、解决问题．许多理论、规律、计算等若能灵活而有效地借助数学方法去剖析、推演，往往会有意外的收获[]1。

矩阵就是数学中的一小部分，英文名Matrix（SAMND矩阵）本意是子宫、控制中心的母体、孕育生命的地方，同时，在数学名词中，矩阵用来表示统计数据等方面的各种有关联的数据。

这个定义很好地解释了Matrix代码制造世界的数学逻辑基础。

在科学技术和工程应用中，矩阵理论的重要性和应用的广泛性是众所周知的，尤其是有了矩阵特征值、特征向量的各种求解及计算机的广泛使用和MATLAB等数学计算软件的迅猛普及为矩阵提供了更为广阔的发展和应用前景。

矩阵特征值、特征向量运用非常的广泛，在很多方面都有涉及。

本文将先从各种矩阵的特征值、特征向量求解方法和矩阵历史入手，从几个方面综述矩阵特征值、特征向量的应用[]2。

那什么是矩阵特征值、特征向量呢？定义：设A是N阶矩阵，如果数X和N维非零列向量x，使关系式Ax=Xx成立，那么，这样的数X就称为方阵A的特征值，非零向量x称为A的对应于特征值X的特征向量。

求特征值描述正方形矩阵的特征值的重要工具是特征多项式：说λ是A的特征值等价于λ) v = 0 (其中I是恒等矩阵)有非零解 (一个特征向量)，因说线性系统 (A –iλ)=0。

此等价于行列式 det(A –i第一：运用MATLAB求解矩阵特征值、特征向量。

首先，我用下面的例子，来引导我们认识MATLAB在求解矩阵特征值、特征向量上的运用。

例1：对亏损矩阵进行 Jordan 分解[]5。

A=gallery(5) %MATLAB 设置的特殊矩阵，它具有五重特征值。

[VJ,DJ]=jordan(A); % 求出准确的特征值，使 A*VJ=VJ*D 成立。

考研数学三(填空题)高频考点模拟试卷8(题后含答案及解析)

考研数学三（填空题）高频考点模拟试卷8(题后含答案及解析) 题型有：1.1．设曲线y=x2+ax+b和2y=一1+xy3在点(1，一1)处相切，则a=________，b=________．正确答案：一1，一1．解析：由导数的几何意义求出公切线的斜率，又点(1，一1)在两条曲线上，由y=x2+ax+b，得y’=2x+a．．又点(1，一1)在曲线y=x2+ax+b上，即一1=1+a+b，得b=一1．知识模块：微积分2．P1=，则P12009P2一1=________．正确答案：解析：P1==E23，因为Eij一1=Eij，所以Eij2=E，于是P12009P2一1=P1P2一1= 知识模块：线性代数3．袋中有8个球，其中有3个白球，5个黑球，现从中随意取出4个球，如果4个球中有2个白球2个黑球，试验停止，否则将4个球放回袋中重新抽取4个球，直至取到2个白球2个黑球为止，用X表示抽取次数，则P{X=k}=_________(k=1，2，…)．正确答案：解析：若记Ai=“第i次取出4个球为2个白球，2个黑球”，由于是有放回取球，因而Ai相互独立，根据超几何分布知P(Ai)=，再由几何分布即得P{X=k}=．知识模块：概率论与数理统计4．设A为4阶矩阵，且｜A｜=2，则｜A*｜=______正确答案：8解析：因为｜A｜≠0时，有A-1=，因此A*=A-1｜A｜，因为矩阵前面的系数相当于矩阵的每一个元素均乘以这个系数，因此，｜A*｜=｜A-1｜(｜A｜)n=｜A｜n-1=｜A｜3=23=8．知识模块：矩阵5．设，则f(x)的间断点为____________．正确答案：x=0 涉及知识点：函数极限连续6．曲线y=(2x一1)e1/x的斜渐近线方程为______．正确答案：y=2x+1解析：所以斜渐近线为y=2x+1．知识模块：微积分7．假设随机变量X1，X2，X3，X4相互独立且都服从0一1分布：P{Xi=1}=p，P{Xi=0}=1一p(i=1，2，3，4，0＜p＜1)，已知二阶行列式的值大于零的概率等于，则p=________。

(上机实验WINQSB)运筹学上机指导手册

一、软件下载、安装1、下载地址：ftp://2、将文件夹WinQSB拷贝到硬盘→打开硬盘中的文件夹WinQSB→运行Set.up文件安装程序二、线性规划、整数规划、0-1规划上机程序1、运行“Linear and integer programming”，出现图1所示界面2、运行file菜单下的new problem 命令，出现图2所示界面。

图 2问题名称决策变量个数约束条件个数（不含变量约束）目标函数类型数据类型输入数据格式：选择Spreadsheet Matrix From非负连续变量非负整数变量0-1整数变量不定义图 1如：求解下面线性规划问题图2输入为：图3所示3、按图2所示输入完成确定后出现图4所示界面。

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥-=--≥++-≤++-++=取值无约束321321321321321,0,063234239232min x x x x x x x x x x x x x x x z 图 3图 4目标函数系数约束条件系数变量类型：双击改变约束形式：双击改变右端项4、输入完成后，按图5所示运行键。

5、运行结果如图6所示图6中各列的含义为：Decision Variable：决策变量Solution Value：决策方案取值Solution Value：决策变量对目标的单位贡献/目标函数系数Total Contribution：总贡献=（Solution Value）×（Solution Value）Reduced Cost：检验数Allowable Min c(j) / Allowable Man c(j)：目标系数的灵敏度范围Objective Function：目标函数Constraint：约束条件（C1，C2，C3分别表示约束条件1、2、3）Left Hand Side：左端项，将决策变量取值代入约束方程左端计算的结果Right Hand Side：右端项，表示目前资源的拥有量Slack or Surplus：左端项与右端项的差额：资源的不足/slack或剩余/surplus Shadow Price：资源的影子价格Allowable Min. RHS/ Allowable Max. RHS：右端项的灵敏度范围图 5运行键图 6三、目标规划上机程序1、运行“Goal programming”，出现图7所示界面2、运行file菜单下的new problem 命令，出现图8所示界面。

公共课数学二模拟题2020年(301)_真题(含答案与解析)-交互

公共课数学二模拟题2020年(301) (总分100, 做题时间60分钟)解答题1.已知A是三阶矩阵，αi (i=1，2，3)是三维非零列向量，令α=α1+α2+α3。

若Aαi =iαi(i=1，2，3)，证明：α，Aα，A2α线性无关。

SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 5答案:由Aαi =iαi(i=1，2，3)，且αi(i=1，2，3)非零可知，α1，α2，α3是矩阵A的属于不同特征值的特征向量，故α1，α2，α3线性无关。

又Aα=α1+2α2+3α3，A2α=α1+4α2+9α3，所以(α，Aα，A2α)=(α1，α2，α3)=(α1，α2，α3)P，而矩阵P是范德蒙德行列式，故｜P｜=2≠0，所以α，Aα，A2α线性无关。

2.求极限SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 5答案:由积分上限函数求导法则，且，所以x→0+时，有故3.设x1= 10，xn+1=(n=1，2，…)，试证数列{xn}极限存在，并求此极限．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 5答案:34.设总体X服从N(μ，σ2)(σ＞0)，X1，X2，…，X2n(n≥2)为取自总体X的简单随机样本，样本均值为的数学期望E(Y)．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 5将(X1+Xn+1)，(X2+Xn+2)，…，(Xn+X2N)视为取自总体N(2μ，2σ2)的简单随机样本，则其样本均值为5.求心形线，r＝a(1＋cosθ)的全长，其中a＞0是常数．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 5答案:心形线的全长为s＝8a．6.求下列定积分：SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 5答案:(Ⅱ)由于故作平移：χ－＝t并记c＝，则7.设f(x)∈C[a，b]，在(a，b)内二阶可导，且f''(x)≥0，φ(x)是区间[a，b]上的非负连续函数，且∫ab(x)dx=1．证明：∫a b f(x)φ(c)dx≥f[∫ab xφ(x)dx]．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 5答案:因为f''(x)≥0，所以有f(x)≥f(x0)+f'(x)(x-x)．取x0=∫ab xφ(x)dx，因为φ(x)≥0，所以以aφ(x)≤xφ(x)≤bφ(x)，又∫a bφ(x)dx=1，于是有a≤∫ab xq>xφ(x)dx=x≤b．把x=∫ab xφ(x)dx代入f(x)≥f(x0)+f'(x)(x-x)中，再由φ(x)≥0，得f(x)φ(x)≥f(x0)φ(x)+f'(x)[xφ(x)-xφ(x)]，上述不等式两边再在区间[a，b]上积分，得∫a b f(x)φ(x)dx≥f[∫ab xφ(x)dx]．8.设非负函数y=y(x)(x≥0)满足微分方程xy''一y'+2=0，当曲线y=y(x)过原点时，其与直线x=1及y=0所围成的平面区域D的面积为2，求D绕y轴旋转所得旋转体的体积．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 5解微分方程xy''一y'+2=0，得其通解y=C1+2x+C2x2，其中C1，C2为任意常数．又已知y=y(x)通过原点时与直线x=1及y=0围成平面区域的面积为2，可得C1=0．因此C2=3．故所求非负函数为y=2x+3x2(x≥0)．又由y=2x+3x2可得，在第一象限曲线y=y(x)表示为直线x=1与曲线y(x)交点为(1，5)，过该点作x轴与y轴的垂线，构成的矩形绕y轴旋转所得圆柱体的体积为5π，于是D围绕y轴旋转所得旋转体的体积为V=5π—V1，其中9.∫2π｜sinx-cosx｜dxSSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 5答案:10.设齐次线性方程组其中a≠0，b≠0，n≥2．试讨论a，b为何值时，方程组仅有零解，有无穷多组解．在有无穷多组解时，求出全部解，并用基础解系表示全部解．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 5答案:当a≠b且a≠(1－n)b时，方程组只有零解；当a＝b时，通解为k1(－1，1，0，…，0)T＋k2(－1，0，1，…，0)T＋…＋kn－1(－1，0，0，…，1)T；当a＝(1－n)b时，通解为k(1，1，1，…，1)T．设直线y=kx与曲线y=所围平面图形为D1，它们与直线x=1围成平面图形为D2．SSS_TEXT_QUSTI11.求k，使得D1与D2分别绕x轴旋转一周成旋转体体积V1与V2之和最小，并求最小值；该题您未回答:х该问题分值: 5答案:由方程组，得直线与曲线交点为SSS_TEXT_QUSTI12.求此时的D1+D2．该题您未回答:х该问题分值: 5答案:因为S(k)=，所以此时S=13.在球面x2+y2+z2=5R2(x＞0，y＞0，z＞0)上，求函数f(x，y，z)=ln x+lny+3ln z的最大值，并利用所得结果证明不等式abc2≤27()5(a＞0，b＞0，c＞0)．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 5答案:作拉格朗日函数L(x，y，z，λ)=ln x+ln y+3ln z+λ(x2+y2+z2一5R2)，并令由①，②，③式得x2=y2=，因xyzs在有界闭集x2+y2+z2=5R2(x≥0，y≥0，z≥0)上必有最大值，且最大值必在x＞0，y＞0，z＞0取得，故f=ln xyz3在x2+y2+z2=5R2也有最大值，而，故x2y2z6≤27R10．令x2=a，y2=b，z2=c，又知x2+y2+z2=5R2，则abc2≤27()5(a＞0，6＞0，c＞0)．14.求SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 5答案:记此矩阵为A．则A＝＋E＝B＋E．因为B和E乘积可交换，对A10＝(B＋E)10可用二项展开式：(B＋E)10＝C10i B10-i．注意矩阵B满足：B2＝，而当n＞2时B n是零矩阵．于是A10＝CB＋CB＋E＝45B＋10B＋E＝15.设A是3×4阶矩阵且r(A)＝1，设(1，－2，1，2)T，(1，0，5，2)T，(－1，2，0，1)T，(2，－4，3，a＋1)T皆为AX＝0的解．(1)求常数a；(2)求方程组AX＝0的通解．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 5答案:(1)因为r(A)＝1，所以方程组AX＝0的基础解系含有三个线性无关的解向量，故(1，－2，1，2)T，(1，0，5，2)T，(－1，2，0，1)T，(2，－4，3，＋1)T线性相关，即解得a＝6．(2)因为(1，－2，1，2)T，(1，0，5，2)T，(－1，2，0，1)T线性无关，所以方程组AX＝0的通解为X＝k1(1，－2，1，2)T＋k2(1，0，5，2)T＋k3(－1，2，0，1)T(k1，k2，k3为任意常数)．16.设实对称矩阵A=，求可逆矩阵P，使P一1AP为对角矩阵，并计算行列式｜A一E｜的值．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 5答案:矩阵A的特征多项式｜λE一A｜==(λ一a一1)2(λ—a+2)=0，得λ1=λ2=a+1，λ3=a一2．当λ1=λ2=a+1时，对应两个线性无关特征向量ξ1=[1，1，0]T，ξ2=[1，0，1]T；当λ3=a一2时，对应的特征向量ξ3=[一1，1，1]T．17.设f(x)在[a，b]上二阶可导，且f‘(a)=f'(b)=0．证明：存在ξ∈(a，b)，使得SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 5答案:由泰勒公式得(1)当｜f''(ξ1)｜≥｜f''(ξ2)｜时，取ξ=ξ1，则有｜f''(ξ)｜≥｜f(b)-f(a)｜；(2)当｜f''(ξ1)｜＜｜f''(ξ2)｜时，取ξ=ξ2，则有｜f''(ξ)｜≥｜f(b)-f(a)｜．18.设f(x)=SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 5答案:19.不计算积分，比较下列各组积分值的大小：SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 5答案:20.甲、乙两人相约在0到T这段时间内在约定的地点会面，先到的人等候另一人，如等候时间超过时间t(t＜T)便离开，试求甲、乙两人能会上面的概率．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 5答案:1。

λE—A行列式的具体计算

λE—A行列式的具体计算行列式是线性代数中的一个重要概念，它是一个方阵所对应的一个标量值。

行列式的计算方法有很多种，其中一种比较常见的方法是使用λE—A行列式的具体计算方法。

本文将详细介绍λE—A行列式的具体计算方法及其应用。

一、λE—A行列式的定义λE—A行列式是指将一个方阵A中的每个元素都减去λ后再求行列式的值，其中λ是一个常数，E是单位矩阵。

具体来说，设A=(a[i][j])是一个n阶方阵，则λE—A行列式的定义为：|λE-A|=|λe[1][1]-a[1][1] -a[1][2] … -a[1][n] || -a[2][1] λe[2][2]-a[2][2] … -a[2][n] | | …………|| -a[n][1] -a[n][2] …λe[n][n]-a[n][n] | 其中，e[i][j]表示第i行第j列为1，其余为0的n阶单位矩阵。

二、λE—A行列式的性质1. λE—A行列式的值只与A的特征值有关。

设A的特征值为λ1, λ2, …, λn，则λE—A行列式的值为： |λE-A| = (λ1-λ)(λ2-λ)…(λn-λ)这个性质说明了λE—A行列式是求解特征值的一种有效方法。

2. λE—A行列式是一个n次多项式。

由于λE—A行列式的每一项都是一个n阶行列式，而行列式是关于其元素的n次多项式，因此λE—A行列式也是一个n次多项式。

3. λE—A行列式的系数与A的特征向量有关。

设A的特征向量为v1, v2, …, vn，则λE—A行列式的系数为： (-1)^(n-i) * vi其中，i表示第i个特征值对应的特征向量。

三、λE—A行列式的具体计算方法1. 求解特征值首先，需要求解A的特征值λ1, λ2, …, λn。

这可以通过解特征方程来实现：|A-λE| = 0其中，E是n阶单位矩阵。

2. 计算λE—A行列式将A的每个元素都减去λ后，得到一个新的矩阵B。

然后，计算λE—B行列式即可。

考研数学能不能用计算器

根据往年辅导经经验，新东方网络课堂考研辅导团队为大家总结了线性代数的通常主要考点：1、行列式——行列式这部分没有太多内容，行列式的重点是计算，利用性质熟练准确的计算出行列式的值。

2、矩阵——矩阵是一个基础，关联到整个线代。

矩阵的运算非常重要，尤其不要做非法的运算（因为大家习惯了数的运算，在做矩阵运算的时候容易受到数的影响，所以这个地方大家要把它搞清楚）。

矩阵运算里一个很重要的就是初等变换。

我们在解方程组，求特征向量都离不开这部分内容。

这是我们矩阵部分的重点。

3、向量——向量这部分是逻辑性非常强的部分，主要包括证明(或判别)向量组的线性相关(无关)，线性表出等问题，此问题的关键在于深刻理解线性相关(无关)的概念及几个相关定理的掌握，并要注意推证过程中逻辑的正确性及反证法的使用。

向量组的极大无关组，等价向量组，向量组及矩阵的秩的概念，以及它们相互关系也是重点内容之一。

用初等行变换是求向量组的极大无关组及向量组和矩阵秩的有效方法。

4、特征值、特征向量——要会求特征值、特征向量，对具体给定的数值矩阵，一般用特征方程∣λE-A∣=0及(λE-A)ξ=0即可，抽象的由给定矩阵的特征值求其相关矩阵的特征值(的取值范围)，可用定义Aξ=λξ，同时还应注意特征值和特征向量的性质及其应用。

有关相似矩阵和相似对角化的问题，一般矩阵相似对角化的条件。

实对称矩阵的相似对角化及正交变换相似于对角阵。

反过来，可由A的特征值，特征向量来确定A的参数或确定A，如果A是实对称阵，利用不同特征值对应的特征向量相互正交，有时还可以由已知λ1的特征向量确定出λ2(λ2≠λ1)对应的特征向量，从而确定出A.另外，特征向量就是求齐次方程组的基础解系，你前面基础打牢了，这里又不是新的内容。

5、二次型——二次型的内容是针对于只考数学一、数学三的同学。

二次型只要把其矩阵对应写出来，其问题都可以转化为对称矩阵的对角型来讨论。

所以这部分的内容又联系上前面的内容了。

(完整版)5-3.4相似矩阵

性质2 实对称矩阵的相异特征值所属的特征向量必正交。
证设 Ap须1 证 1pp1T1 ,p2Ap02 2 p2 (1 2 ), A AT
1 p1T (1 p1 )T ( Ap1 )T p1T AT p1T A,
1 p1T p2 p1T Ap2 p1T (2 p2 ) 2 p1T p2
4 0 0
例1
解
设A 求004可13逆013阵,P求, 使 0正P交1阵A(P4P,为使P对)(1角2AP阵6为?对 8角) 阵.
E－A 0
0
3 1P
1
( q13
q
2
(q43
)
)2 (2 1
)
2,
2 3 4.
1 2 的特征向量为 q1 (0，1， 1)T ;
将 q1 (0，1， 1)T 单位化，得： p1 （0，1 ， 1 ）T .
(1 2 ) p1T p2 0
p1T p2 0 p1与p2正交。
特征值λ 的重数k ≥ λ对应的线性无关的特征向量的个数
定理8
n – R(λE-A) 个
n 阶实对称矩阵 A 的 k 重特征值 λ 所对应的线性
无关的特征向量恰有 k 个。
R (λE-A ) = n－ k
实对称矩阵A一定与对角矩阵相似
反之不真
若A 有重特征值, 不能马上断言A 是否与对角阵相似, 这时要看重根对应的特征向量. 只要 k 重特征值正好对应 k 个线性无关的特征向量即可
四、对角化的方法
例1 判断下列实矩阵能否化为对角阵？
1 2 2
2 1 2
(1) A 2 2 4 (2)A 5 3 3
2 4 2
1
为对角矩阵，
即
0

矩阵理论（PDF）

§7 矩阵函数的性质及其应用一、矩阵函数的性质：设 n n C B A ×∈.1．A e Ae e dtd At At At⋅== proof : 由 ()∑∑⋅==∞=m m m m AtA t m At m e !1!1对任何收敛。

因而可以逐项求导。

t ()∑∞=−−=∴01!11m mm At A t m e dt d ()()⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−⋅=∑∞=−11!11m m At m A ()⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⋅=∑k At k A !1At e A ⋅= ()()()A e A At m A A t m At m m m m m ⋅=⋅⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⋅−=∑∑∞=∞=−−−01111!11!11 可见，A 与使可以交换的，由此可得到如下几个性质 At e 2．设，则BA AB =①． At At Be B e =⋅②．B A A B B A e e e e e +=⋅=⋅③．()()AA A AA AB A B A B A BA B A B A BA cos sin 22sin sin cos 2cos sin cos cos sin sin sin sin cos cos cos 22=−=⇒+=+−=+= proof ：①，由m m BA B A BA AB =⇒=而∑∑∞=∞==⎟⎠⎞⎜⎝⎛=00!1!1m m m m m m AtB A t m B t A m B e()∑∑∞=∞=⋅==00!1!1m mm m m At m B BA t mAt e B ⋅=② 令 ()()A B t At B C t e e e +−−t =⋅⋅ 由于()0=t C dtd)(t C ∴为常数矩阵因而E e e e C C t C =−⋅===000)0()1()(当时， …………………. （@） 1=t E e e e B A B A =⋅⋅−−+特别地 A B −= 有E e e e A A =⋅⋅−0∴ 有 ()A A e e −−=1∴同理有()B B e e −−=1代入（@）式因而有 B A B A e e e ⋅=+3.利用绝对收敛级数的性质，可得①A i A e iA sin cos +=()()iA iAiA iAe e iA e e A −−−=+=⇒21sin 21cos ②()()A A A A sin sin cos cos −=−=−4.E A A =+22cos sin ()()A E A AE A cos 2cos sin 2sin ππ+=+A E i A e e =+π2二、矩阵函数在微分方程组中的应用—常用于线性监测系统中 1. 一阶线性常系数齐次方程组的通解AX dtdX= 其中()Tn n n x x x X C A ,,,21"=∈×则有 ()K e t X At ⋅=其中()T n k k k K ,,,21"=1eg解方程：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=+−=+−=313212211234xx dtdx x x dtdxx x dt dx解：原方程变为矩阵形式AX dt dX =⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−=201034011A ()T x x x X 321,,=由()(212−−=−λλλA E ) 得⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=→100110002J A 1200000−⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=∴P e e e e P e t tt tAt⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=∴−321120000)(k k k P e e e e P t X t tt t2. 一阶线性常系数微分方程组的定解问题：1Th :一阶线性常数微分方程组的定解问题：()()⎪⎩⎪⎨⎧==Tn x x x X AXdt dX)0(,),0(),0(210" 有唯一解)0(X e X At ⋅=proof :实际上，由AX dtdX=的通解为 K e t X At ⋅=)(将初值代入，得)0(X )0(X k =)0(X e X At =∴由可的定解问题1Th ()⎪⎩⎪⎨⎧==Tn t x t x t x t X AX dt dX)(,),(),()(002010" 的唯一解为()()00)(t X e t X t t A ⋅=−2eg 求定解问题：()()⎪⎩⎪⎨⎧==Tx Axdt dx1,00,的解⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=1221A 解：由 0=−A E λ 得i x 32,1±=对应的特征向量记为：Ti ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=231,1α ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=231,1i β 则，于是矩阵：⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+=23123111i i P 13300−−⋅⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⋅=∴P e e P eit itAt⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎝⎛+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=t t t e t X At 3sin 313cos 3sin 3210)( 练习：求微分方程组1132123313383625dx x x dt dx x x x dt dx x x dt ⎧=+⎪⎪⎪=−+⎨⎪⎪=−−⎪⎩满足初始条件的解。

考研数学二(填空题)模拟试卷104(题后含答案及解析)

考研数学二（填空题）模拟试卷104(题后含答案及解析)题型有：1.1．设a1，a2，a3均为3维列向量，记矩阵A=(a1，a2，a3)，B=(a1+a2+a3，a1+2a2+4a3a1+3a2+9a3)．如果｜A｜=1，那么｜B ｜=___________．正确答案：2 涉及知识点：行列式2．设矩阵A=，E为2阶单位矩阵，矩阵B满足BA=B+2E，则｜B ｜=__________.正确答案：2 涉及知识点：行列式3．设a1，a2，…，am为正数(m≥2)，则=_______________.正确答案：max{a1，a2，…，am}解析：假设a1为最大值，则所以知识模块：函数、极限、连续4．设A，B是3阶矩阵，满足AB=A一B，其中则｜A+E｜=_________。

正确答案：解析：由题设，AB=A—B，则(A+E)(E—B)=E，因此知识模块：矩阵5．设f(x)在x=0处连续，且则曲线f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为______。

正确答案：解析：当x→0时，。

由极限的运算法则可得从而=1。

又因为f(x)在x=0处连续，所以f(0)==1。

根据导数的定义可得所以曲线f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为。

知识模块：一元函数微分学6．曲线的水平渐近线方程为_____________．正确答案：解析：直接利用曲线的水平渐近线的定义求解．由于因此曲线的水平渐近线为知识模块：一元函数微分学7．曲线的渐近线是____________．正确答案：y=1解析：知识模块：一元函数微分学8．求=________.正确答案：解析：因为所以知识模块：高等数学9．=______。

正确答案：ln2解析：知识模块：一元函数积分学10．∫0aarctan(a＞0)=_________．正确答案：解析：利用分部积分法．原式知识模块：一元函数积分概念、计算及应用11．设3阶矩阵A的特征值为2，3，λ．如果｜2A｜=－48，则λ=________．正确答案：－1．解析：｜2A｜=8｜A｜，得｜A｜=－6．又｜A｜=2×3×λ．得λ=－1．知识模块：特征向量与特征值，相似，对角化12．=_______正确答案：解析：知识模块：高等数学部分13．设f(x)的一个原函数为ln x，则f’(x)=___________．正确答案：一解析：由题设知，∫f(x)dx=ln x+C．f(x)=(ln x+C)’=。

考研数学一(解答题)模拟试卷139(题后含答案及解析)

考研数学一（解答题）模拟试卷139(题后含答案及解析)题型有：1.1．设f(x)具有连续导数，且满足f(x)=x+∫0xtf’(x－t)dt．求极限正确答案：由已知条件∫0xtf’(x－t)dt可化为f(x)=x+x∫0xf’(u)du－∫0xuf’(u)du．两边对x求导，得：f’(x)=1+∫0xf’(u)du+x f’(x)－x f’(x)=1+f(x)－f(0)= 1+f(x) (f(0)=0) 于是，f(x)=ex一1．所以解析：f(x)的表达式中含有参变量的积分，应经变量替换将参变量移至积分号外或积分限上，再求极限．∫0xtf’(x－t)dt ∫0x(x－u)f’(u)du=x∫0xf’(u)du－∫0xuf’(u)du将参变量x提到积分号外后，已知条件可化为：f(x)=x+x∫0xf’(u)du －∫0xuf’(u)du ．(1)本题的关键是求出f(x)的表达式．当已知条件是由积分方程给出时，通过求导可得出f(x)所满足的微分方程：f’(x)一f(x)=1，f(0)=0．由通解公式，可得通解为：f(x)=e－∫(－1)dx[∫1．e∫(－1)dxdx+c]=cex－1 由f(0)=0，得f(x)=ex一1．一般地，一阶线性微分方程Y’+p(x)y=q(x)的通解为：y= e－∫p(x)dx[∫1．e∫p(x)dx+c](2)在计算含参变量的积分时，应通过变量替换将参变量提至积分号外或积分限上，再作计算．2．设两个随机变量X，Y相互独立，且都服从均值为0、方差为的正态分布，求随机变量|X—Y|的方差。

正确答案：令Z=X—Y，由于X，Y相互独立，且都服从正态分布，因此Z 也服从正态分布，且E(Z)=E(X)一E(y)=0，D(Z)=D(X)+D(Y)==1。

于是，Z = X —Y～N(0，1) 。

D(|X —Y|)= D(|Z|)= E(|2|2)—(E|Z|)2= D(Z)+[E(Z)]2—(E|Z|)2= 1—(E|Z|)2，而故D(|X —Y|)=1—。

考研数学一(解答题)模拟试卷33(题后含答案及解析)

考研数学一（解答题）模拟试卷33(题后含答案及解析) 题型有：1.1．如果数列{xn}收敛，{yn}发散，那么{xnyn}是否一定发散?如果{xn}和(yn}都发散，那么{xnyn}的敛散性又将如何?正确答案：在题设两种情况下，{xnyn}的收敛性都不能确定．现在先就{xn}收敛，{yn}发散的情况来分析．利用这个恒等式，就可得到下述结论：若{xn}收敛且不收敛于零，{yn}发散，则{xnyn}必发散．这是因为若{xnyn}收敛，且又{xn}收敛而极限不等于零，则从上述恒等式及极限相除法则，可知{yn}收敛，这与假设矛盾．若，且{yn}发散，则{xnyn}可能收敛，也可能发散，如：①xn=，yn=n，则xnyn=1，于是{xnyn}收敛．②xn=，yn=(-1)nn，则xnyn=(-1)n，于是{xnyn}发散．现在再就{xn}和{yn}都发散的情况来分析{xnyn}的收敛性．有下面的结论：若{xn}和{yn}都发散，且两者至少有一个是无穷大，则{xnyn}必发散．这是因为如果{xnyn}收敛，而{xn}为无穷大，从等式便得到{yn}收敛于零，这与假设矛盾．若{xn}和{yn}都不是无穷大且都发散，则{xnyn}可能收敛，也可能发散，如③xn=yn=(-1)n有xnyn=1，于是{xnyn}收敛．④xn=(-1)n，yn=1-(-1)n，有xnyn=(-1)”-1，于是{xnyn}发散．涉及知识点：函数、极限、连续2．正确答案：涉及知识点：高等数学部分3．设A是n阶矩阵，若存在正整数k，使线性方程组Akx=0有解向量α，且Ak—1α≠0．证明：向量组α，Aα，…，A—1α是线性无关的．正确答案：设有常数λ1，λ2，…，λk，使得λ1α+λ2α+…+λkA α=0两端左乘Ak—1，得λ1Ak—1α+λ22Akα+…+λkA2k—2α=0由于Akα=0，有Ak+lα=0(l为任意正整数)，从而有λ1Aα=0因为Ak—1α≠0，所以λ1=0．类似可证得λ2=λ3=…=λk=0，因此向量组α，Aα，…，Aα线性无关．解析：本题考查如何根据已知条件，利用定义证明向量组线性无关．注意，若λ为数，向量α≠0，则λα=0λ=0．因此，要从多个向量的线性组合等于零向量来推证该线性组合的系数都为0，就需要把它变形成λα=0的形式，当α≠0时就有λ=0．知识模块：线性代数4．证明：当x＞0时，不等式成立．正确答案：构造辅助函数则f(0)=0，且由题设条件很难确定f’(x)的符号，但是所以涉及知识点：一元函数微分学5．问λ取何值时，齐次线性方程组，有非零解．正确答案：方程组系数矩阵的行列式D＝＝(1－λ)2(3－λ)－2＋8－4(3－λ)－(1－λ)＋4(1－λ) ＝(1－λ)2(3－λ)－(3－λ) ＝(3－λ)[(1－λ)＝1]＝λ(3－λ)(λ－2)．要使齐次线性方程组有非零解，则D＝0，得λ＝0，λ＝2或λ＝3．将λ的值分别代入原方程组得λ＝0时，方程组的解为λ＝2时，方程组的解为λ＝3时，方程组的解为以上均是非零解，因此当λ＝0，λ＝2或λ＝3时，该齐次线性方程组有非零解．涉及知识点：线性方程组6．设A是n阶可逆阵，其每行元素之和都等于常数a．证明：(1)a≠0；(2)A-1的每行元素之和均为.正确答案：(1)将A中各列加到第一列，得若a=0，则｜A｜=0，这与A是可逆阵矛盾，故a≠0．(2)令A=[α1,α2……αn]，A一1=[β1β2……βn]，E=[e1,e2……en]，由A一1A=E，得A一1[α1,α2……αn]=[e1,e2……en]，A 一1ai=ei，j=1，…，n，A一1α1+A一1α2+…+A一1αn=e1+e2+…+en，得证A一1的每行元素之和为涉及知识点：线性代数7．正确答案：涉及知识点：高等数学部分8．设求P{max(X，Y)≥0)．正确答案：P{max(X，Y)≥0} =P{(X≥0)∪(Y≥0)} =P(X≥0)+P(Y≥0)－P(X≥0，Y≥0) 涉及知识点：概率论与数理统计9．计算siny2dxdy，D是由x=1，y=2，y=x一1所围成的区域。

考研数学二(填空题)模拟试卷70(题后含答案及解析)

考研数学二（填空题）模拟试卷70(题后含答案及解析) 题型有：1.1．=__________。

正确答案：解析：令x一1=sint，则知识模块：一元函数积分学2．=__________。

正确答案：解析：知识模块：一元函数积分学3．设f(lnχ)＝，则∫f(χ)dχ＝_______．正确答案：χ－(1＋e－χ)ln(1＋eχ)＋C 涉及知识点：一元函数积分学4．当x→0时，若有则A=____________，k=___________．正确答案：解析：则k=2，即知识模块：函数、极限、连续5．设f(x)二阶连续可导，且=0，f’’(0)=4，则=____.正确答案：e2解析：由=0得f(0)=0，f’(0)=0，则而f’’(0)=2，所以=e2．知识模块：高等数学6．设f(x)的一个原函数为ln2x，则∫xf’(x)dx=_________．正确答案：2lnx一ln2x+C解析：由题意得则∫xf’(x)dx=∫xdf(x)=xf(x)一∫f(x)dx=2lnx—ln2x+C．知识模块：高等数学7．曲线处的切线方程为___________．正确答案：解析：在点在曲线方程两端分别对x求导，得因此，所求的切线方程为知识模块：一元函数微分学8．向量组α1=(1，一2，0，3)T，α2=(2，一5，一3，6)T，α3=(0，1，3，0)T，α4=(2，一1，4，7)T的一个极大线性无关组是__________.正确答案：α1,α2,α4解析：用已知向量组组成一个矩阵，对矩阵作初等行变换，则有因为矩阵中有3个非零行，所以向量组的秩为3，又因为非零行的第一个不等于零的数分别在1，2，4列，所以α1,α2,α4是向量组α1,α2,α3,α4的一个极大线性无关组．知识模块：向量9．已知矩阵A=有两个线性无关的特征向量，则a=_________。

正确答案：一1解析：A的特征多项式为｜λE—A｜==(λ+1)3，所以矩阵A的特征值是一1，且为三重特征值，但是A只有两个线性无关的特征向量，故r(一E一A)=1，因此a=一1。

考研数学三(解答题)高频考点模拟试卷80(题后含答案及解析)

考研数学三（解答题）高频考点模拟试卷80(题后含答案及解析) 题型有：1.1．设A，B和C都是n阶矩阵，其中A，B可逆，求下列2n阶矩阵的伴随矩阵．正确答案：因为A，B都可逆，所以这几个矩阵都可逆．于是可利用公式A*=|A|A-1来求伴随矩阵．涉及知识点：线性代数2．正确答案：涉及知识点：函数、极限、连续3．设①a，b取什么值时存在矩阵X，满足AX—CX=B?②求满足AX—CX=B 的矩阵X的一般形式．正确答案：X一定是2阶矩阵．AX—XA=B即x1，x2，x3，x4是线性方程组：的解．得a=一3．b=一2．②把a=一3，b=一2代入右边的矩阵，并继续作行变换化得简单阶梯形矩阵解得通解为(一3，一2，0，0)T+c2(1，1，1，0)T+c2(1，0，0，1)T，c1，c2任意．则满足AX—CX=B的矩阵X的一般形式为涉及知识点：线性代数4．设f（x）=∫—1xt|t|dt（x≥一1），求曲线y=f（x）与x轴所围封闭图形的面积。

正确答案：因为t|t|为奇函数，可知其原函数f（x）=∫—1xt|t|dt=∫—10|t|t|dt+∫0xt|t|dt为偶函数，因此由f（—1）=0，得f（1）=0，即y=f（x）与x轴有交点（—1，0），（1，0）。

又由f’（x）=x|x|，可知x＜0时，f’（x）＜0，故f（x）单调减少，从而f（x）＜f（—1）=0（—1＜x≤0）；当x＞0时，f’（x）=x|x|＞0，故x＞0时f（x）单调增加，且y=f（x）与x轴有唯一交点（1，0）。

因此y=f （x）与x轴交点仅有两个。

所以封闭曲线所围面积A=∫—11|f（x）|d=2∫—10|f （x）|dx。

当x＜0时，f（x）= ∫—1xt|t|dt=∫—10一t2dt=（1+ x3），故A=2∫—10（1+x3）dx=。

涉及知识点：微积分5．设A，B是两个n阶实对称矩阵，并且A正定．证明：(1)存在可逆矩阵P，使得PTAP，PTBP都是对角矩阵；(2)当|ε|充分小时，A+εB仍是正定矩阵．正确答案：(1)因为A正定，所以存在实可逆矩阵P1，使得P1TAP1=E．作B1=P1TBP1，则B1仍是实对称矩阵，从而存在正交矩阵Q，使得QTB1Q是对角矩阵．令P=P1Q，则PTAP=QTP1TAP1Q=E，PTBP=QTP1TBP1Q=QTBtQ．因此P即所求．(2)设对(1)中求得的可逆矩阵P，对角矩阵PTBP对角线上的元素依次为λ1，λ3，…，λn，记M=max{|λ1|，|λ2|，…，|λn|}．则当|ε|＜1／M时,E+εPTBP仍是实对角矩阵，且对角线上元素1+ελi＞0，i=1，2，…，n．于是E+εPTBP正定，PT(A+εB)P=E+εPTBP，因此A+εB也正定．涉及知识点：线性代数6．设随机变量X～N(μ，σ2)，Y～U[－π，π]，且X，Y相互独立，令Z＝X＋Y，求fZ(z)．正确答案：因为X～N(μ，σ2)，Y～U[－π，π]，所以X，Y的密度函数为又X，Y相互独立，所以X，Y的联合密度函数为f(x，y)＝fX(x)fY(y)＝FZ(z)＝P(Z≤z)＝P(X＋Y≤z)＝f(x,y)dxdy 涉及知识点：概率论与数理统计7．设f(x)＝x[－∫01f(x)dx，求∫01f(x)dx．正确答案：涉及知识点：微积分8．设A为三阶实对称矩阵，A的每行元素之和为5，AX=0有非零解且λ1=2是A的特征值，对应特征向量为(一1，0，1)T．(1)求A的其他特征值与特征向量；(2)求A．正确答案：(1)因为A的每行元素之和为5，所以有涉及知识点：线性代数9．交换下列累次积分的积分次序：正确答案：(1)由累次积分I1的积分限容易写出其对应的二重积分的积分区域σ=σ1∪σ2，它们可表示为显然，平面区域σ的边界曲线为抛物线与直线y=0，则σ1，σ2也可以写为于是，累次积分I1交换积分次序后为(2)由累次积分I2的积分限容易写出其对应的二重积分的积分区域为σ=σ1∪σ2∪σ3，其中根据区域σ的图形可知，σ的边界曲线由上半圆直线x=0与抛物线y=x一x2组成，故可用不等式表示为σ={(x，y)|x一x2≤y≤．0≤x≤1}．于是，累次积分I2化为另一种先对y后对x的累次积分涉及知识点：微积分10．设函数f(x，y)可微,=ecoty，求f(x，y)．正确答案：由得C=0，即f(0，y)=siny．又由=一f(x，y)，得lnf(x，y)=一x+lnφ(y)．即f(x，y)=φ(y)e一x，由f(0，y)=siny，得φ(y)=siny，所以f(x，y)=e 一xsiny．涉及知识点：微积分设随机变量X和Y分别服从B(1，)和B(1，)，已知P{x=0，Y=0}=求：11．X，Y)的分布；正确答案：由已知条件及离散型随机变量边缘分布的性质，得(X，Y)的分布如下表涉及知识点：随机变量的数字特征12．X和Y的相关系数；正确答案：E(X)=，D(X)=，E(Y)=，D(Y)=，E(XY)=所以Cov(X，Y)=E(XY)一E(X)·E(Y)=故。

一种建材所致室内氡暴露剂量的矩阵评价方法

㊀第43卷㊀第3期2023年㊀5月㊀辐㊀射㊀防㊀护Radiation ProtectionVol.43㊀No.3㊀㊀May 2023㊃辐射防护评价㊃一种建材所致室内氡暴露剂量的矩阵评价方法徐鹏程,曾㊀志,马㊀豪,孙博文,李君利(清华大学工程物理系,北京100083)㊀摘㊀要:为使室内氡暴露剂量评估更加具有系统性和普遍适用性,利用矩阵构建了一种建材所致室内氡暴露剂量的评价方法㊂该方法基于室内氡浓度模型㊁人员暴露剂量估算模型及相应标准,同时考虑建材氡析出率㊁房屋结构尺寸㊁室内换气率以及人员暴露时长等因素,将不同情况下的复杂计算转化为矩阵,最终得到在不同换气率和不同暴露时长情况下的室内人员氡暴露剂量等级㊂以一处已知房屋尺寸和各建材氡析出率的居室为例,使用本方法对其室内氡暴露剂量进行了分析和评估,以查表的方式快速得到了不同换气率和暴露时长下室内氡暴露剂量等级㊂关键词:建材;氡析出率;室内氡暴露;矩阵中图分类号:X820文献标识码:A㊀㊀收稿日期:2022-10-12作者简介:徐鹏程(1987 ),男,2009年毕业于海军航空工程学院飞行器系统工程专业,现为清华大学工程物理系辐射防护专业在读硕士研究生㊂E -mail:xpc20@通信作者:曾志㊂E -mail:zengzhi@㊀㊀氡是公认的致癌物质,国际癌症研究机构把氡归为Ⅰ类致癌因素,世界卫生组织(WHO)将其列为19种致癌物质之一;长时间暴露在氡环境中,会使患肺癌的风险增加[1-2]㊂人平均超过80%的时间在室内环境中度过,室内环境品质对人体健康至关重要[3]㊂近年来,随着掺杂建筑材料的广泛使用和建筑密封性能的提高,室内氡浓度较过去有了一定程度的升高[3-5]㊂随着现代建筑的不断发展,建筑材料中氡的析出成为室内氡浓度的主要来源[6]㊂室内氡所致人员的健康风险评估一直是国内外研究的热点㊂Evans [7]在1981年基于非线性阈值模型,结合流行病学证据,对铀矿工人因吸入氡导致的终身癌症风险进行评价㊂2003年,美国环境保护署(EPA)针对室内氡的健康风险提出了EPA /BEIR -Ⅳ风险模型[8]㊂Krewski [9](2005)对北美所有住宅氡研究的汇总数据进行了系统分析,使用条件似然回归来估计肺癌的额外风险㊂Ba Ngoc Vu [10](2020)通过对粉煤灰样品进行镭活度测量,得到建材氡析出率,并最终估算出该建材所致的室内氡可能对人员造成的有效剂量㊂Sara Antignani [11](2021)通过对家庭室内氡浓度长达10年的随访研究,发现对于室内氡所致健康风险评估的不确定性来源之一是氡浓度测量的不确定性㊂潘自强[12](2007)提出应将室内氡的暴露量转换为有效剂量,再与其他有效剂量相加进行总评价㊂景军波[13](2015)和薛向明[14](2020)分别对西安室内和贵阳地铁一号线的氡水平开展调查,并估算了相关人员所受的有效剂量㊂苗晓翔等[15](2022)利用EPA /BEIR -Ⅳ风险模型,基于我国2015年肺癌死亡率㊁吸烟率以及室内平均氡浓度,预测我国室内氡致肺癌死亡率风险㊂室内氡暴露剂量分析研究的传统方法是基于室内氡浓度的测量值,利用模型估算人员所受的有效剂量㊂这类方法往往是在固定场景和人员暴露时长已知的条件下进行估算,并不能系统全面地反映不同情况下的室内氡暴露剂量㊂此外,基于建材氡析出率测量数据的室内氡暴露剂量分析的研究目前较少㊂为系统地反映不同情况下建材氡析出可能会对室内人员造成的氡暴露剂量,本文借助风险矩阵的形式,构建了一种基于建材氡析出率测量数据的室内氡暴露剂量评估方法㊂风险矩阵评估法(risk matrixmethod,RMM)自1995年4月美国空军㊀辐射防护第43卷㊀第3期电子系统中心提出以来,由于其使用方便㊁评价结果简捷易懂,在工程项目评估领域一直受到广泛关注[16-17]㊂二维风险矩阵是由风险的影响程度和发生概率两个要素决定,其风险等级可以是两个要素的函数,也可以是根据要素判断出的一个值,但必须具有统一的增减趋势[18]㊂本文基于室内氡浓度数学模型,将建材氡析出率㊁房屋尺寸㊁室内换气率以及人员暴露时长作为参数,通过构建矩阵进行半定量半定性分析,最终得到由建材所致室内氡暴露剂量等级㊂1㊀模型与方法1.1㊀建材所致室内氡浓度模型㊀㊀室内氡浓度变化模型可以用如下公式表示[19-21]:C(t)=Jθ+C0Rλe(1-e-λe t)+C0e-λe t(1)式中,C(t)为t时刻氡的浓度,Bq㊃m-3;C0为居室初始时刻氡浓度和室外空气中的本底氡浓度, Bq㊃m-3;J为建材内表面的氡析出率,简称建材氡析出率,Bq㊃m-2㊃h-1;λe为有效衰变常数,λe=λ+R+D,h-1;S为建材氡析出表面积,m2;V为室内的体积,m3;θ定义为建材的负载系数,θ=S/V, m-1;R为室内换气率,h-1;D为房间内氡的反扩散系数,指室内空气氡向建材内部扩散的系数,h-1;λ为氡的衰变常数,λ=0.00756h-1㊂建材所致室内氡浓度的影响因素主要包括氡浓度的增加项和减少项两个方面㊂其中,增加项指建材的氡析出,减少项包括氡自身衰变以及室内氡的排出和反扩散效应㊂当tңɕ,室内氡浓度增加项与减少项相等,此时室内氡浓度达到平衡 ,称为室内平衡氡浓度㊂由式(1)得到室内平衡氡浓度计算公式为:C Max=Jθ+C0Rλe(2)其中C Max为室内平衡氡浓度,Bq㊃m-3㊂本文中提到的室内氡浓度特指室内平衡氡浓度㊂对于一般民用建筑,室内换气率较氡的自身衰变速度大两个数量级以上,故本文将氡的自身衰变对室内氡浓度的影响忽略㊂同样,室内氡的反扩散效应在这里也忽略不计㊂因此有λe=λ+ R+DʈR㊂式(2)可化简为:C Max=Jθ+C0RλeʈJθR+C0=C J+C0(3)式中,定义C J为建材所致室内氡浓度大小,其计算公式为:C J=JθR(4) 1.2㊀人员年均有效剂量模型㊀㊀吸入氡及其子体对人产生的内照射年均有效剂量的估算公式为[22]:E=Cˑηˑt(5)式中,E为年均有效剂量,mSv;C为氡浓度年平均值,Bq㊃m-3;t为年暴露时间,h;转换系数η= DCF Rn+F㊃DCF RnD,DCF Rn为氡的剂量转换因子, DCF RnD为氡子体的剂量转换因子,F为平衡因子,这里使用UNSCEAR2000年报告给出的推荐值0.17ˑ10-6mSv/(Bq㊃m-3㊃h)和9ˑ10-6mSv/ (Bq㊃m-3㊃h),我国室内平衡因子F典型值为0.5[22]㊂1.3㊀建材所致室内氡暴露剂量评估方法1.3.1㊀输入参数㊀㊀(1)建材等效氡析出率本文定义建材的氡析出面积S与目标空间V 大小之比为该建材的氡析出负载系数θ,即θ= S/V,单位为m-1㊂在不同氡析出面积和空间体积下,建材氡析出率对于室内氡浓度的贡献无法直接进行比较㊂因此,需要在建材所致室内氡浓度不变的前提下,将实际测量得到的建材氡析出率转化为指定负载系数条件下的氡析出率,本文称之为等效氡析出率㊂本研究取标准负载系数θC为2m-1,即在建材氡析出面积与目标体积之比为2的标准条件下,研究该建材对室内氡浓度的影响㊂在建材所致室内氡浓度和换气率为定值的情况下,由式(4)可以得到:C J=J㊃θR=J C㊃θCR(6)得到建材等效氡析出率表达式为:J C=J㊃θθC=J㊃θ2(7)㊀㊀等效氡析出率的概念实现了不同负载系数情况下建材实测氡析出率的等效转换,也客观反映了建材对室内氡浓度的贡献,使得不同负载系数徐鹏程等:一种建材所致室内氡暴露剂量的矩阵评价方法㊀下的建材造成的室内氡浓度可以在同一个标准框架下进行比较㊂通过文献调研,目前建筑材料的氡析出率一般在10mBq㊃m-2㊃s-1以内,少数以钢水㊁钢渣为原料的空心建材,其氡析出率会达到几十mBq㊃m-2㊃s-1,少有超过100mBq㊃m-2㊃s-1的情况[23]㊂本文将建材等效氡析出率取整数,按照从小到大的顺序划分为1~10级,用M J表示,具体划分标准列于表1㊂表1㊀建材等效氡析出率和室内平均换气率等级划分Tab.1㊀Grade classification of equivalent radon㊀㊀(2)室内平均换气率换气率是指单位时间内通风量与房间容积的比值,通常用单位时间1h内的换气次数表示,单位为h-1㊂自然通风的换气率并没有太多硬性规定㊂部分建筑行业标准在居室热环境设计指标中要求夏热冬暖及夏热冬冷地区的居室在关闭门窗状态下室内换气率取1.0h-1,而严寒地区取0.5h-1[24-26]㊂也有研究指出,自然通风房间在门窗关闭的情况下室内日均自然空气交换率约为每小时0.3~0.4次;约70%的住宅房间通风换气率在0.2~0.5h-1,多数在0.33h-1,超过1h-1的房间仅占约十分之一[27-28]㊂对于开窗条件下的自然通风,其室内换气率则与通风面积㊁通风时长㊁室内外温差及室外风速风向等诸多因素有关㊂本文取室内换气率的典型值,按照从大到小的顺序划分为1~10级,用M R表示,具体划分标准列于表1㊂(3)人员暴露时长等级人员在辐照环境中暴露的频繁程度与人员所受辐射损伤的大小有直接关系㊂人员暴露在辐射环境中的时间越久,所受到的辐射剂量就越大,健康风险就越高㊂因此,在一定室内氡浓度环境中人员的暴露时长可以作为建材所致室内氡暴露剂量评估中的依据㊂本文结合不同场景下人员可能滞留的时间,将人员暴露时长等级划分为5级,用M S表示,具体划分标准列于表2㊂表2㊀人员暴露时长等级划分Tab.2㊀Classification of personnel exposure duration1.3.2㊀建材所致室内氡浓度等级矩阵㊀㊀将建材氡析出率等级取值范围(表1)和室内换气率等级取值范围(表1)代入(4)式,负载系数采用标准值θC=2m-1,可以估算得到在不同平均换气率等级条件下建材所致室内氡浓度C J的取值范围,计算结果列于表3㊂结合各类标准规定的限值要求和表3中氡浓度估算结果,本文将建材所致室内氡浓度等级划分为6级,用M C表示,具体划分标准列于表4㊂按照表4对建材所致室内氡浓度等级的划分标准,表3可以转化为建材所致室内氡浓度等级矩阵㊂出于保守考虑,按照表3中氡浓度范围的上限数值作为划分等级的依据,结果列于表5㊂1.3.3㊀建材所致室内氡暴露剂量矩阵㊀㊀将人员暴露时长等级和室内平均氡浓度等级作为输入参数,采取5ˑ6的结构形式构建室内氡暴露剂量矩阵㊂将室内氡浓度等级取值范围(表4)与人员暴露时长等级取值范围(表2)代入公式(5)计算,得到在不同人员暴露时长等级(M S)和不同氡浓度等级(M C)下,建材氡析出造成的年有效剂量,列于表6㊂结合各类标准规定的限值要求,本文将建材所致室内氡暴露剂量等级划分为4级,用M表示,具体划分标准列于表7㊂出于保守考虑,依据表7中氡暴露剂量的划分标准,按表7中有效剂量范围上限数值的整数㊀辐射防护第43卷㊀第3期㊀㊀㊀㊀㊀表3㊀建材所致室内氡浓度估算表(Bq /m 3)3表4㊀建材所致室内氡浓度分级表5㊀建材所致室内氡浓度等级矩阵表6㊀建材所致室内氡浓度年有效剂量估算表(mSv )Tab.6㊀Annual effective dose estimation table of indoor radon concentration caused by building materials (mSv )徐鹏程等:一种建材所致室内氡暴露剂量的矩阵评价方法㊀部分作为划分风险等级的依据,得到建材所致室内氡暴露剂量矩阵,结果列于表8㊂表7㊀建材所致室内氡暴露剂量分级表8㊀建材所致室内氡暴露剂量等级矩阵Tab.8㊀Indoor radon exposure dose matrix by building materials2㊀实际应用2.1㊀物理空间模型㊀㊀将所提出的建材所致室内氡浓度健康风险矩阵评估方法应用于一处假想的物理空间,假设某新建房屋使用市面上一常用的加气混凝土空心砌块作为墙体,混凝土楼板作为地面和房顶建材,房屋装修使用普通腻子和乳胶漆粉刷墙面,地面铺设瓷砖,屋顶使用石膏板㊂选定其中一个房间,其内部尺寸为长4m,宽3m,高3m,其中居室有一面墙上有一面积为(1.5ˑ2)m2的玻璃材质双门推拉式窗户,在对面一侧墙上有(1ˑ2)m2的木门㊂房屋采用单侧自然通风,不设置专用排风口㊂在日常使用状态时,室内会有一定体积的家具家电,假设所有的家具家电均没有氡析出,室内自由空间为室内容积的0.9倍㊂2.2㊀评估过程2.2.1㊀数据收集㊀㊀通过测量得到其墙体内表面的氡析出率J1= 12.0ʃ0.6(mBq㊃m-2㊃s-1),地面的氡析出率J2= 2.0ʃ0.4(mBq㊃m-2㊃s-1),屋顶的氡析出率J3= 4.0ʃ0.4(mBq㊃m-2㊃s-1)㊂由房屋和门窗尺寸得到,墙体建材所对应的负载系数θ1=1.14m-1,地板和屋顶对应的负载系数θ2=θ3=0.37m-1,其中墙面氡析出面积已去掉门窗的面积,氡扩散体积为室内自由空间体积㊂2.2.2㊀计算室内等效氡析出率㊀㊀将该房间各表面建材的实测氡析出率转化为标准负载系数下的室内等效氡析出率(J C),由(7)式得到:J C=ð(J i㊃θi)θC=J1㊃θ1+J2㊃θ2+J3㊃θ3θC其中θC=2m-1㊂计算得到J C=7.9ʃ0.5(mBq㊃m-2㊃s-1),由表1可知该房屋建材的等效氡析出率等级(M J)为2级㊂2.2.3㊀确定室内氡浓度等级㊀㊀由表5得到,建材氡析出率等级M J为2级时,不同平均换气率等级M R下的建材所致室内氡浓度等级M C,结果列于表9㊂由表9可知,当该房间门窗长期关闭时,建材所致的室内氡浓度最大可能达到500Bq㊃m-3,当平均换气率在0.2~0.5h-1,室内氡浓度为100~ 300Bq㊃m-3,当平均换气率大于0.5h-1时,该建材所致的室内氡浓度将小于100Bq㊃m-3㊂㊀辐射防护第43卷㊀第3期表9㊀不同平均换气率等级M R下建材所致室内氡浓度等级M CTab.9㊀Indoor radon concentration levels MCcaused by building materials underdifferent mean air change rate classes MR2.2.4㊀建立室内氡暴露剂量等级表㊀㊀将表9中不同平均换气率下的建材所致室内氡浓度等级M C代入表8,得到不同平均换气率等级和人员暴露时长等级情况下建材所致室内氡暴露剂量等级M,结果列于表10㊂表10㊀建材所致室内氡暴露剂量等级MTab.10㊀Indoor radon exposure dose class by building materials M㊀㊀由表10所示,若室内人员暴露时长等级为5级,平均换气率为0.2h-1,则建材所致室内氡暴露剂量等级为Ⅱ级,即可能造成大于5mSv的年均有效剂量;当平均换气率为0.3~0.6h-1,则氡暴露剂量等级为Ⅲ级,即可能造成的年均有效剂量为3~5mSv;当平均换气率大于0.8h-1,则氡暴露剂量等级为Ⅳ级,即可能造成的年均有效剂量小于3mSv㊂若该居室人员暴露时长等级为4级,当平均换气率为0.2h-1时,建材所致室内氡暴露剂量等级为Ⅲ级;当平均换气率大于0.3h-1时,建材所致室内氡暴露剂量等级为Ⅳ级㊂若该居室人员暴露时长等级为4级以下,当平均换气率高于0.2h-1时,建材所致室内氡暴露剂量等级均为Ⅳ级,即可能造成的年均有效剂量小于3mSv㊂2.3㊀评估结论㊀㊀(1)若该房间室内人员暴露时长等级在4级以下,即短暂时间滞留(年暴露时长小于1000h),当室内平均换气率高于0.2h-1,其建材所致室内氡暴露剂量等级均为Ⅳ级,可能造成的年均有效剂量小于3mSv,不需要采取特殊措施㊂(2)若人员暴露时长等级为4级,即经常滞留(年暴露时长为1000~2000h),当室内平均换气率低于0.3h-1,其建材所致室内氡暴露剂量等级将达到Ⅲ级,可能造成的年均有效剂量为3~5mSv,建议将室内换气率维持在0.3h-1以上㊂(3)若人员暴露时长等级为5级,即长时间滞留(年暴露时长为2000~3500h),当室内平均换气率低于0.3h-1,其建材所致室内氡暴露剂量等级为Ⅱ级,即可能造成大于5mSv的年均有效剂量;当室内平均换气率低于0.8h-1,其建材所致室内氡暴露剂量等级为Ⅲ级;建议加大通风或延长通风时间,将室内平均换气率维持在0.8h-1以上㊂3㊀总结㊀㊀建筑材料作为室内氡浓度的主要来源之一,其析出氡导致的内照射剂量的评估一直是相关研究领域的热点㊂本文构建了一种建材所致室内氡暴露剂量评价方法,该方法基于室内氡浓度模型㊁人员暴露剂量估算模型及相应标准,同时考虑建材氡析出率㊁房屋结构尺寸㊁室内换气率以及人员暴露时长等因素,将不同情况下的复杂计算转化为矩阵㊂使用该方法时,只需将房屋内各类建材的氡析出率及其尺寸作为输入参数,通过模型计算将其转化为室内等效氡析出率;运用建材所致室内氡浓度等级矩阵,可以得到该房屋在不同换气率等级下的室内氡浓度等级;结合建材所致室内氡暴露剂量等级矩阵,最终得到在不同换气率和不同暴露时长情况下的室内人员氡暴露剂量徐鹏程等:一种建材所致室内氡暴露剂量的矩阵评价方法㊀等级㊂本方法将不同情况下的复杂计算转化为查表,使分析过程更加直观㊂其评估结果也能为合理设计房间通风方式及时长,科学选择建材,控制人员暴露时间提供一定的科学依据㊂参考文献:[1]㊀Aleksandr Y Aravkin,Peng Zheng,et al.Global burden of87risk factors in204countries and territories,1990-2019:Asystematic analysis for the Global Burden of Disease Study2019[J].Lancet,2020,396(10258):1223-1249. [2]㊀Georgy Malinovsky,Yarmoshenko Ilia,Zhukovsky Michael.Radon,smoking and HPV as lung cancer risk factors inecological studies[J].International Journal of Radiation Biology,2018,94(1):62-69.[3]㊀尚兵,贺青华,王作元,等.中国室内氡行动水平的研究[J].中华放射医学与防护杂志,2003,23(6):462-465.[4]㊀卢志娟,涂彧,俞荣生.三十年来我国室内外氡浓度的变化[J].中国辐射卫生,2010,19(1):118-121.[5]㊀YAO Yupeng,CHEN Bo,ZHUO Weihai.Reanalysis of residential radon surveys in China from1980to2019[J].Scienceof The Total Environment,2021,757(1):143767-1-143767-8.[6]㊀Ilia Yarmoshenko,Malinovsky Georgy,Vasilyev Aleksey,et al.Model of radon entry and accumulation in multi-flatenergy-efficient buildings[J].Journal of Environmental Chemical Engineering,2021,9(4):105444-1-105444-16. [7]㊀Evans,Harley J H,Jacobi W,et al.Estimate of risk from environmental exposure to radon-222and its decay products[J].Nature(London),1981,290(5802):98-100.[8]㊀US Environmental Protection Agency(US EPA).EPA assessment of risks from radon in homes[R/OL].[2022-07-10].Washington DC:US EPA,June2003.https:///radiation/epa-assessment-risks-radon-homes. [9]㊀Daniel Krewski,Lubin Jay-H,Zielinski Jan-M,et al.Residential Radon and Risk of Lung Cancer[J].Epidemiology,2005,16(2):137-145.[10]㊀Ba-Ngoc Vu,Bui Thien-Ngoc,Huynh Phong-Thu-Nguyen,et al.Semi-experimental evaluation for radon exhalation rateand excess lifetime cancer risk from potential radon exposure for using fly ash building materials[J].Journal of Radioanalytical and Nuclear Chemistry,2020,326(2):975-981.[11]㊀Sara Antignani,Venoso Gennaro,Ampollini Marco,et al.A10-year follow-up study of yearly indoor radon measurementsin homes[J].Science of The Total Environment,2021,762(1):144150-1-144150-12.[12]㊀潘自强.氡防护标准和剂量评价中值得注意的几个问题[J].中国辐射卫生,2007,26(1):1-2.[13]㊀景军波,卢新卫,李长卓,等.西安市室内空气氡浓度水平及人体辐射暴露研究[J].中国辐射卫生,2015,24(2):167-169.[14]㊀薛向明,武钊,李雷,等.贵阳市地铁一号线氡浓度水平调查及其评估[J].核电子学与探测技术,2020,40(4):681-684.[15]㊀苗晓翔,苏垠平,卓维海,等.基于EPA/BEIR-Ⅵ模型的我国居室内氡致肺癌风险估计[J].中华放射医学与防护杂志,2022,42(1):45-49.[16]㊀朱启超,匡兴华,沈永平.风险矩阵方法与应用述评[J].中国工程科学,2003,5(1):89-94.[17]㊀阮欣,尹志逸,陈艾荣.风险矩阵评估方法研究与工程应用综述[J].同济大学学报自然科学版,2013,41(3):381-385.[18]㊀孙垦,蔡洪涛,杨崇豪.风险定量分析中风险矩阵的构建方法[J].华北水利水电学院学报,2011,32(5):158-160.[19]㊀Petropoulos N P,Anagnostakis M J,Simopoulos S E.Building materials radon exhalation rate:ERRICCA intercomparisonexercise results[J].Sci Total Environ,2001,272(1-3):109-118.[20]㊀H Arvela,Winqvist K.A model for indoor radon variations[J].Environment International,1989,15(1-6):239-246.[21]㊀Jun Hu,Guosheng Yang,et al.Numerical modeling of the sources and behaviors of222Rn,220Rn and their progenies in theindoor environment A review[J].Journal of Environmental Radioactivity,2018,189(1):40-47.[22]㊀中华人民共和国国家卫生和计划生育委员会.室内氡及其子体控制要求:GB/T16146 2015[S].北京:中国标准出版社,2015-06-02.[23]㊀刘福东,潘自强,刘森林,等.关于在建材放射性含量标准中增加氡析出率控制指标的建议[J].辐射防护,2010,㊀辐射防护第43卷㊀第3期30(02):108-112.[24]㊀中华人民共和国住房和城乡建设部.夏热冬暖地区居住建筑节能设计标准:JGJ 75 2012[S].北京,2012.[25]㊀中华人民共和国住房和城乡建设部.夏热冬冷地区居住建筑节能设计标准:JGJ 134 2010[S].北京,2010.[26]㊀中华人民共和国住房和城乡建设部.严寒和寒冷地区居住建筑节能设计标准:JGJ 26 2010[S].北京,2010.[27]㊀陈宇红,陈永良,王倩雪,等.我国自然通风住宅通风换气情况调查与研究[J].暖通空调,2020,50(12):85-88.[28]㊀洪燕峰,戴自祝,陈逊,等.室内空气自然通风换气次数的估算[J].环境与健康杂志,2005,022(001):47-49.[29]㊀中华人民共和国住房和城乡建设部.民用建筑氡防治技术规程:JGJ /T 349 2015[S].北京,2015.[30]㊀WHO.WHO Handbook on Indoor Radon:A Public Health Perspective[M].Geneva 27,Switzerland,2009.[31]㊀核工业标准化研究所.电离辐射防护与辐射源安全基本标准:GB 18871 2002[S].北京:中国标准出版社,2002.[32]㊀ICRP.The 2007recommendations of the international commission on radiological protection[R].ICRP Publication 103.Ann.ICRP 37(2-4),2007.[33]㊀潘自强.我国空气中氡及其短寿命子体产生的照射[J].辐射防护,2003,23(3):129-137+183.An evaluation method of indoor radon exposure dosematrix caused by building materialsXU Pengcheng,ZENG Zhi,MA Hao,SUN Bowen,LI Junli(Department of Engineering Physics,Tsinghua University,Beijing 100083)Abstract :In order to make the evaluation of indoor radon exposure dose more systematic and universallyapplicable,an evaluation method of indoor radon exposure dose caused by building materials was established byusing matrix.Based on indoor radon concentration model,personnel exposure dose estimation model andstandards,four factors including radon exhalation rate of building materials,building structure size,indoor air exchange rate and personnel exposure time were combined in this method.The complex calculation under different conditions is converted into the ing this method,the radon exposure dose levels of indoorpersonnel under different air exchange rates and different exposure duration can be obtained.Taking a room withknown size and known radon exhalation rate of building materials as an example,this method was used to analyze and evaluate the indoor radon exposure dose.The indoor radon exposure dose levels under different ventilation rates and exposure duration were quickly and simply obtained from reference table.Key words :building materials;radon exhalation;indoor radon exposure;matrix。