2021届高考数学圆锥曲线压轴题专题03 圆锥曲线与垂心问题(通用版原卷版)

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高考数学复习----圆锥曲线压轴解答题常考套路归类专项练习题(含答案解析)

高考数学复习----圆锥曲线压轴解答题常考套路归类专项练习题

（含答案解析）

1．（2023春·福建泉州·高三阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点，直线：，为平面上的动点，过点作直线的垂线，垂足为点，分别以PQ ，PF 为直径

作圆和圆，且圆和圆交于P ，R 两点，且.

(1)求动点的轨迹E 的方程；

(2)若直线：交轨迹E 于A ，B 两点，直线：与轨迹E 交于M ，D 两点，其中点M 在第一象限，点A ，B 在直线两侧，直线与交于点且，求

面积的最大值.

【解析】（1）设点,因为, 由正弦定理知,

,解得, 所以曲线的方程为.

（2）直线与曲线在第一象限交于点, 因为,所以, 由正弦定理得:

xOy ()1,0F l =1x −P P l Q 1C 2C 1C 2C PQR PFR ∠=∠P 1l x my a =+2l 1x =2l 1l 2l N MA BN AN MB ⋅=⋅MAB △(,)P x y PQR PFR ∠=∠||||PQ PF =|1|x =+2

4y x =E 2

4y x =1x =E (1,2)M ||||||||MA BN AN MB ⋅=⋅||||

||||

MA MB AN BN =sin sin sin sin ANM BNM

AMN BMN

∠∠=∠∠

所以. 设，所以

, 得,所以

，所以直线方程为:,联立，

得由韦达定理得,

又因为点在直线的上方,所以,所以, 所以

又因为点到直线的距离为

所以

方法一：令,则,

所以当时,单调递增,

当时,单调递减,所以，所以当时,面积最大,此时最大值为.

2021年高中数学第三章圆锥曲线与方程检测题(A)北师大版选修2-1

2021年高中数学第三章圆锥曲线与方程检测题（A ）北师大版选修2-1

一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．已知双曲线x 2a 2－y 2

5＝1的右焦点为(3,0)，则该双曲线的离心率等于( )

A ．31414

B ．324

C ．32

D ．43

[答案] C

[解析] 本题考查了双曲线的标准方程、焦点和离心率问题．由双曲线的右焦点(3,0)知c ＝3，即c 2＝9，又c 2＝a 2＋b 2，∴9＝a 2＋5，即a 2＝4，a ＝2.

∴离心率e ＝c a ＝3

关于双曲线标准方程的问题，首要的是判定好a 2

和b 2

，若所给方程为x 2a －y 2

＝1，很多

同学易出现把a 和5分别当成实半轴长和虚半轴长的错误．

2．已知椭圆x 210－m ＋y 2

m －2＝1，长轴在y 轴上．若焦距为4，则m 等于( )

A ．4

B ．5

C ．7

D ．8

[答案] D

[解析] 由题意，得m －2>10－m ，且10－m >0，于是6<m <10.再由(m －2)－(10－m )＝22

，得m ＝8.

3．抛物线y 2

＝8x 的焦点到直线x －3y ＝0的距离是( ) A ．2 3

B ．2

C ． 3

D ．1

[答案] D

[解析] 由y 2

＝8x 可得其焦点坐标(2,0)，根据点到直线的距离公式可得d ＝|2－3×0|12

＋

－3

＝1.

4．(xx·浏阳高二检测)如图，共顶点的椭圆①，②与双曲线③，④的离心率分别为e 1，

2021届高考数学圆锥曲线压轴题专题01 圆锥曲线与重心问题(通用版解析版)

专题1、圆锥曲线与重心问题

从近几年圆锥曲线的命题风格看，既注重知识又注重能力，既突出圆锥曲线的本质特征。而现在圆锥曲线中面积、弦长、最值等几乎成为研究的常规问题。“四心”问题进入圆锥曲线，让我们更是耳目一新。因此在高考数学复习中，通过让学生研究三角形的“四心”与圆锥曲线的结合问题，快速提高学生的数学解题能力，增强学生的信心，备战高考．

三角形的重心：三角形三条中线的交点。知识储备:

（1）G 是ABC ∆的重心0GA GB GC ⇔++=；重心坐标(

,)33

A B C A B C

x x x y y y G ++++；

（2）G 为ABC ∆的重心，P 为平面上任意点，则1

(+)3

PG PA PB PC =+；

（3）重心是中线的三等分点；重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比是2:1；

（4）重心与三角形的3个顶点组成的3个三角形的面积相等，即重心到3条边的距离与3条边的长成反比；经典例题

例1、（2019成都市树德中学高三二诊12题）抛物线2

:4C y x =的焦点为F ，点P 、Q 、R 在C 上，

且PQR ∆的重心为F ，则PF QF +的取值范围为（） A ．993,

,522⎛⎫⎛⎤ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦ B ．994,,522⎡⎫⎛⎤⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦ C ．()93,44,2⎛⎫

⎪⎝⎭

D ．[]

3,5

【答案】A

【解析】由题意知，抛物线C 的焦点为()1,0F ，设点(),P P P x y 、()

,Q Q Q x y 、(),R R R x y ，

由重心的坐标公式得13

03P Q R

2021年高考理数：圆锥曲线

核心考点解读——圆锥曲线

椭圆（II ）双曲线（I ）抛物线（II ）直线与圆锥曲线（II ）

1.从考查题型来看，涉及本知识点的选择题、填空题常结合圆锥曲线的定义及其简单几何性质，利用直线与圆锥曲线的位置关系，通过建立代数方程求解.解答题中则常综合考查椭圆的定义、标准方程、直线与椭圆的位置关系等.

2.从考查内容来看，主要考查圆锥曲线的方程，以及根据方程及其相应图形考查简单几何性质，重点是椭圆及抛物线的简单几何性质的综合应用，注重运算求解能力的考查.

3.从考查热点来看，直线与圆锥曲线的位置关系是高考命题的热点，利用直线与圆锥曲线的位置关系，通过直线方程与圆锥曲线方程的联立，结合椭圆、双曲线、抛物线的定义考查与之有关的问题，重点突出考查运算的能力，体现了数形结合的思想.

1.椭圆

(1)椭圆的定义：平面上到两定点12,F F 的距离的和为常数（大于两定点之间的距离）的点P 的轨迹是椭圆. 这两个定点叫做椭圆的焦点，两个定点之间的距离叫做椭圆的焦距，记做122F F c =.

定义式：12122(2)PF PF a a F F +=>.

要注意，该常数必须大于两定点之间的距离，才能构成椭圆. (2)椭圆的标准方程：

焦点在x 轴上，22

221(0)x y a b a b +=>>；

焦点在y 轴上，22

221(0)y x a b a b

+=>>.

说明：要注意根据焦点的位置选择椭圆方程的标准形式，知道,,a b c 之间的大小关系和等量关系：2

,0,0a c b a b a c -=>>>>. (3)椭圆的图形及其简单几何性质 i)图形

专题04 圆锥曲线与四心问题(重心、垂心、内心、外心)(原卷版)

专题04 圆锥曲线与四心问题（内心、重心、垂心、外心）

第1讲、圆锥曲线与内心问题第2讲、圆锥曲线与重心问题第3讲、圆锥曲线与垂心问题第4讲、圆锥曲线与外心问题

第1讲、圆锥曲线与内心问题

（三角形的内心：三角形三条角平分线的交点）

例1、（2020年湖北省高三联考12题）过双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b

-=>>的右焦点F 作直线l ，且直线l 与

双曲线C 的一条渐近线垂直，垂足为A ，直线l 与另一条渐近线交于点B ，已知O 为坐标原点，若OAB ∆

，则双曲线C 的离心率为（）

A ．

B 1

C ．

D ．

或2

例2、（2019年四川省绵阳市高三模拟12题）点1F 、2F 分别是双曲线2

y x -=的左、右焦点，点P 在

双曲线上，则12PF F ∆的内切圆半径r 的取值范围是（）

A ．(

B ．()0,2

C ．(

D ．()0,1

例3、（2020年山东省济南市高三二模16题）已知1F ，2F 分别是双曲线22

22:1(0,0)x y C a b a b

-=>>的左，

右焦点，过点1F 向一条渐近线作垂线，交双曲线右支于点P ，直线2F P 与y 轴交于点Q （P ，Q 在x 轴同侧），连接1QF ，若1PQF △的内切圆圆心恰好落在以12F F 为直径的圆上，则12F PF ∠的大小为________；双曲线的离心率为________．

2021高考数学热点题型专题03解析几何理

热点一圆锥曲线中的最值问题

圆锥曲线中的最值问题是高考中的热点问题，常涉及不等式、函数的值域问题，综合性比较强，解法灵活多变，但总体上要紧有两种方法：一是利用几何方法，即利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数方法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个（些）参数的函数（解析式），然后利用函数方法、不等式方法等进行求解. 题型一利用几何性质求最值

【例1】设P 是椭圆x 225＋y 2

9＝1上一点，M ，N 分别是两圆：(x ＋4)2＋y 2＝1和(x －4)2＋y 2

＝1上的点，则|PM |

＋|PN |的最小值、最大值分别为( ) A ．9，12 B ．8，11

C ．8，12

D ．10，12

答案 C

【类题通法】

利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解，也叫做几何法．【对点训练】

如图所示，已知直线l ：y ＝kx －2与抛物线C ：x 2

＝－2py (p >0)交于A ，B 两点，O 为坐标原点，OA ＋OB

＝(－4，－12)．

(1)求直线l 和抛物线C 的方程；

(2)抛物线上一动点P 从A 到B 运动时，求△ABP 面积的最大值．

解析 (1)由⎩

⎪⎨⎪⎧

y ＝kx －2，

x 2

＝－2py ，得x 2

＋2pkx －4p ＝0.

设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2pk ，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－4＝－2pk 2

－4. 因为OA ＋OB ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝(－2pk ，－2pk

2021年新高考数学专题复习-圆锥曲线专项练习(含答案解析)

2021年新高考数学专题复习-圆锥曲线专项练习

1．已知椭圆22

221(0)x y a b a b

Γ+=>>：过点(02)，

，其长轴长､焦距和短轴长三者的平方依次成等差数列，直线l 与x 轴的正半轴和y 轴分别交于点Q P 、，与椭圆Γ相交于两点M N 、，各点互不重合，且满足12PM MQ PN NQ λλ==，. （1）求椭圆Γ的标准方程；（2）若直线l 的方程为1y x =-+，求

λλ+的值；

（3）若

3，试证明直线l 恒过定点，并求此定点的坐标.

2．已知动点M 到直线20x +=的距离比到点(1,0)F 的距离大1. （1）求动点M 所在的曲线C 的方程；

（2）已知点(1,2)P ，A B 、是曲线C 上的两个动点，如果直线PA 的斜率与直线PB 的斜率互为相反数，证明直线AB 的斜率为定值，并求出这个定值；

（3）已知点(1,2)P ，A B 、是曲线C 上的两个动点，如果直线PA 的斜率与直线PB 的斜率之和为2，证明：直线AB 过定点.

3．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>

经过点1,2P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭

，且离心率2e =. （1）求椭圆C 的标准方程；

（2）若斜率为k 且不过点P 的直线l 交C 于,A B 两点，记直线PA ，PB 的斜率分别为

1k ，2k ，且120k k +=，求直线l 的斜率k .

4．如图，已知圆A ：2

2(1)

16x y ++=，点()10

B ,是圆A 内一个定点，点P 是圆上任意一点，线段BP 的垂直平分线1l 和半径AP 相交于点Q .当点P 在圆上运动时，点Q 的轨迹为曲线

圆锥曲线专题——2021学年高三一轮复习高分套路系列

考向一直线的斜率和倾斜角 ............................................................................................................................ 6
考向二直线的方程 ............................................................................................................................ 6
.......................................................................................................................................... 7 考向六对称第二讲圆的方程与位置关系............................................................................................................ 12 考向一圆的方程................................................................................................................................ 13 考向二点与圆的位置关系................................................................................................................ 13 考向三圆与圆的位置关系.............................................................................................................. 14 考向四两圆的相交弦...................................................................................................................... 14 考向五与圆有关的最值问题.......................................................................................................... 15 考向六与圆有关的轨迹问题........................................................................................................ 16 考向七求参数.................................................................................................................................... 17 第三Baidu Nhomakorabea 直线与圆的综合运用............................................................................................................ 20 考向一直线与圆的位置关系............................................................................................................ 20 考向二直线与圆的弦长.................................................................................................................... 21 考向三切线问题.............................................................................................................................. 21 考向四圆上的点到直线距离最值.................................................................................................... 22 第四讲椭圆双曲线抛物线的定义及其运用.................................................................................. 27 考向一椭圆的定义及其运用.......................................................................................................... 28 考向二双曲线的定义及其运用........................................................................................................ 29 考向三抛物线的定义及其运用........................................................................................................ 30 第五讲椭圆双曲线抛物线的标准方程............................................................................................ 33 考向一椭圆的标准方程.................................................................................................................... 35

2021年高考数学理试题分类汇编：圆锥曲线(含答案)

2021年高考数学理试题分类汇编：圆锥

曲线(含答案)

2021年高考数学理试题分类汇编——圆锥曲线

一、选择题

1.【2021年四川高考】设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y=2px(p>0)上任意一点，M是线段PF上的点，且PM=2MF，那么直线OM的斜率的最大值为？

答案】C

2.【2021年天津高考】双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1(b>0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A、B、C、D四点，四边形ABCD的面积为2b，那么双曲线的方程为？

答案】D

3.【2021年全国I高考】方程x^2/4-y^2/n^2=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，那么n的取值范围是？

答案】A

4.【2021年全国I高考】以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的准线于D、E两点，|AB|=42，

|DE|=25，那么C的焦点到准线的距离为？

答案】B

5.【2021年全国II高考】圆x+y-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1，那么a=？

答案】A

6.【2021年全国II高考】圆F_1,F_2是双曲线E: x^2/4-y^2/9=1的左、右焦点，点M在E上，MF_1与x轴垂直，

F_1F_2=b/a*sin∠MF_1F_2，那么E的离心率为？

答案】A

7.【2021年全国III高考】O为坐标原点，F是椭圆C:

x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的左焦点，A、B分别为C的左、右顶点。P为C上一点，且PF⊥x轴。过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E。假设直线BM经过OE的中点，那么C的离心率为？

(完整版)高考数学圆锥曲线压轴题专题训练(精华)

学生姓名年级高三授课时间教师姓名刘课时 02—圆锥曲线压轴题—分类

训练

【知识点】

1。直线方程的形式

（1）直线方程的形式有五件:点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式. （2)与直线相关的重要内容 ①倾斜角与斜率tan ,[0,)k ααπ=∈ ②点到直线的距离002

Ax By C d A B

++=+

③夹角公式:2121

tan 1k k k k α-=

（3）弦长公式直线y kx b =+上两点

1122(,),(,)A x y B x y 间的距离：

2121AB k x x =+- 2

1212(1)[()4]k x x x x =++- 或

1221

1AB y y k

- （4)两条直线的位置关系 ①1212l l k k ⊥⇔=—1 ②

212121//b b k k l l ≠=⇔且

2、圆锥曲线方程及性质（1）、椭圆的方程的形式有几种？（三种形式）

标准方程：

1(0,0)x y m n m n m n +=>>≠且距离式方程：

2222()()2x c y x c y a +++-+=

参数方程：cos ,sin x a y b θθ==

（2)、双曲线的方程的形式有两种标准方程：

1(0)x y m n m n

+=⋅< 距离式方程：

2222|()()|2x c y x c y a ++--+=(3）抛物线

22(0)

y px p =>

（4）、三种圆锥曲线的通径你记得吗？

222b b p

a a

椭圆：；双曲线：；抛物线：3.方法

（1)点差法(中点弦问题) 设

(2021年整理)高三数学第二轮专题复习系列(8)--圆锥曲线

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(完整版)高三数学第二轮专题复习系列(8)-—圆锥曲线

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高三数学第二轮专题复习系列(8）——圆锥曲线

一、知识结构

1。方程的曲线

在平面直角坐标系中，如果某曲线C（看作适合某种条件的点的集合或轨迹 )上的点与一个二元方程f（x，y）=0的实数解建立了如下的关系：

2021年高考文数第二轮第3讲圆锥曲线中的热点问题

P1(1，1)，P2(0，1)，P3－1，
23，
P41，
23中恰有三点在椭圆
C
上.
(1)求 C 的方程；
(2)设直线 l 不经过 P2 点且与 C 相交于 A，B 两点.若直线 P2A 与直线 P2B 的斜率的和为－1，证明：l 过定点.
第5页
赢在微点无微不至
考前顶层设计·英语
(1)解由于点 P3，P4 关于 y 轴对称，由题设知 C 必过 P3，P4.又由a12＋b12>a12＋43b2知，
椭圆 C 不经过点 P1，所以点 P2 在椭圆 C 上.
因此ab1122＝＋143， b2＝1，解得ab22＝＝41， . 故 C 的方程为x42＋y2＝1.
(2)证明设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2. 如果直线l的斜率不存在，此时l垂直于x轴.
第6页
赢在微点无微不至
考前顶层设计·英语
第13页
赢在微点无微不至
考前顶层设计·英语
热点一圆锥曲线中的最值、范围问题【例 1】 (2019·长郡中学模拟)已知椭圆 C：ax22＋by22＝1(a>b>0)的离心率为 22，且过
点(2， 2). (1)求椭圆 C 的标准方程； (2)设 A，B 为椭圆 C 的左、右顶点，过 C 的右焦点 F 作直线 l 交椭圆于 M，N 两点，分别记△ABM，△ABN 的面积为 S1，S2，求|S1－S2|的最大值.

2021届高考数学圆锥曲线压轴题专题04圆锥曲线与外心问题(通用版解析版)

专题4、锥曲线与外心问题: 从近几年圆锥曲线的命题风格看，既注重知识又注重能力，既突出圆锥曲线的本质特征。而现在圆锥曲线中面积、弦长、最值等几乎成为研究的常规问题。“四心”问题进入圆锥曲线，让我们更是耳目一新。因此在高考数学复习中，通过让学生研究三角形的“四心”与圆锥曲线的结合问题，快速提高学生的数学解题能力，增强学生的信心，备战高考.

三角形的外心：三角形三条垂直平分线的交点

知识储备：

（1）、。是A43C的外心=1 / 1=1 而1=1芯1（或32=OB~ =OC~）x

（2）、若点。是八48。的外心，则（ZS +无）而=（而+ 反）灰=（3+ 反）衣=0.

（3）、若。是A43C的外心，则sin2A•厉+sin2B•丽+ sin2c•反=6；

（4）、多心组合：”3。的外心。、重心G、垂心”共线，即玄〃而

经典例题

例L已知坐标平而X。），中，点A分别为双曲线C:「—y2 = l （。＞0）的左、右焦点，点M在双a-

曲线C的左支上，加心与双曲线C的一条渐近线交于点O,且。为M玛的中点，点/为△公名的外心，

若。、/、。三点共线，则双曲线C的离心率为（）

A. 72

B. 3

C. y/5

D. 5

【答案】C

/ \

m + c n

【分析】由题意得：直线8 :分MF?,设点M（肛〃），后（「0）,则。下―,不,可得方程组:

I z 乙）

'W-C，求得〃将"2"二"代入双曲线方程得（2'厂—「）_4小

2 = 1 竺把I C cj I C C府c2

2 a 2

化简可得：€ =小

【详解】不妨设点M 在第二象限,设“（九〃），r （c,o ）, 由。为M 巴的中点，0、I 、。三点共线知直线8庇直平分姐.则O0:y = -x

圆锥曲线压轴题含答案

1. 已知点100(,)P x y 为双曲线

1(8x y b b b -=为正常数）上任一点，2F 为双曲线的右焦点，过1P 作右准线的垂线，垂足为A ，连接2F A 并延长交y 轴于点2P ．（1）求线段12PP 的中点P 的轨迹E 的方程；

（2）设轨迹E 与x 轴交于B ，D 两点，在E 上任取一点Q 111()(0)x y y ≠，，直线QB ，QD 分别交于y 轴于M ，N 两点．求证：以MN

2. 如图，已知圆G ：2

(2)x y r -+=是椭圆2

216

x y +=1的内接ABC △的内切圆，其中A 为椭圆的左顶点．

（1）求圆G 的半径r ；

（2）过点M （0，1）作圆G 的两条切线交椭圆于E ，F 两点，证明：直线EF 与圆G 相切．

3. 设点00(,)P x y 在直线(01)x m y m m =≠±<<，

上，过点P 作双曲线221x y -=的两条切线,PA PB ，切点为,A B ，定点10M m ⎛⎫

⎪⎝⎭

，．（1）过点A 作直线0x y -=的垂线，垂足为N ，试求AMN △的垂心G 所在的曲线方程；

（2）求证：A M B 、、三点共线．

4. 作斜率为13的直线l 与椭圆22

:1364

x y C +=交于,A B 两点（如图所示），

且P 在

直线l 的左上方.

（1）证明：PAB ∆

的内切圆的圆心在一条定直线上；（2）若60o

APB ∠=，求PAB ∆的面积.

5. 如图，椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>

专题32：圆锥曲线与方程大题专项练习(原卷版)-备战2021年高考数学(理)三轮复习查缺补漏特色专题

专题32：圆锥曲线与方程大题专项练习（原卷版）

一、解答题

1．设椭圆22

221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为12F F A ，，是椭圆上的一点，

212AF F F ⊥，原点O 到直线1AF 的距离为

OF ．（Ⅰ）证明2a b =

；

（Ⅱ）设12Q Q ，为椭圆上的两个动点，12OQ OQ ⊥，过原点O 作直线12Q Q 的垂线OD ，垂足为D ，求点D 的轨迹方程．

2．设0b >，椭圆方程为22

2212x y b b +=，抛物线方程为28()x y b =-．如图所示，过点

(02)F b +，作x 轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为G ，已知抛物线在点G 的切

线经过椭圆的右焦点1F ．

（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；

（2）设A B ，分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点P ，使得ABP △为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）． 3．若椭圆C 1：

的离心率等于

，抛物线C 2：x 2＝2py （p>0）的

焦点是椭圆C 1的一个顶点．（1）求抛物线C 2的方程；

（2）若过M （－1,0）的直线l 与抛物线C 2交于E 、F 两点，又过E 、F 作抛物线C 2的切线l 1、l 2，当l 1⊥l 2时，求直线l 的方程．

4．（1）求以为渐近线，且过点

的双曲线的方程；

（2）求以双曲线的顶点为焦点，焦点为顶点的椭圆

的方程；（3）椭圆

上有两点，

，

为坐标原点，若直线

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