第18章勾股定理复习3-

合集下载

《勾股定理》复习课件ppt

答案5
根据勾股定理和相似三角形的性质，BD² = AB² - AD² = AC² + BC² - (AC + CD)² = 4² + 6² - (4 + 2)² = 20。所以 BD = √20 = 2√5。
THANKS
感谢您的观看
勾股定理公式
a² + b² = c²，其中a和b是直角三角形的两条直角边，c是斜边。
勾股定理的证明方法
欧几里得证明法
利用相似三角形的性质和比例关系，通过一系列的逻辑推理证明勾股定理。
毕达哥拉斯证明法
利用正方形的性质和勾股定理的关系，通过构造两个正方形证明勾股定理。
勾股定理的应用场景
实际问题求解
要点一
勾股定理在三维空间的应用
要点二
勾股定理在三维空间的应用示例
勾股定理不仅适用于平面图形，还可以应用于三维空间中的几何体。
在解决三维几何问题时，可以使用勾股定理来计算空间几何体的边长或体积。
04
勾股定理的解题技
巧和策略
利用勾股定理求边长
总结词
勾股定理是解决直角三角形问题的重要工具，通过已知两边长，可以求出第三边长。
详细描述
勾股定理公式为$c^2 = a^2 + b^2$，其中 $c$为斜边长，$a$和$b$为直角边长。已知 $a$、$b$和$angle C = 90^circ$，可以通
过勾股定理求出第三边长$c$。
利用勾股定理证明三角形为直角三角形
总结词
勾股定理也可以用来证明一个三角形是否为直角三角形。
详细描述
勾股定理复习课件理的回顾 • 勾股定理的常见题型解析 • 勾股定理的变式和推广 • 勾股定理的解题技巧和策略 • 勾股定理的练习题和答案解析

第十八章勾股定理期末复习卷

西山学校初中部2013-2014学年度第二学期八年级数学期末复习第十八章《勾股定理》测试卷班级:____________ 姓名：____________ 成绩:___________一、选择题（每小题3分，共30分）1．下列各组数中，以它们为边的三角形不是直角三角形的是（）A ．1.5，2，3 B. 7，24，25 C ．6，8，10 D. 3，4，52．一个直角三角形，有两边长分别为6和8，下列说法正确的是（）A. 第三边一定为10B. 三角形的周长为25C. 三角形的面积为48D. 第三边可能为103．直角三角形的斜边为20cm ，两条直角边之比为3∶4，那么这个直角三角形的周长为（）A . 27cm B. 30cm C. 40cm D. 48cm 4.三角形的三边长分别为6,8,10，它的最短边上的高为( )A.6B.4.5C.2.4D.8 5．若△ABC 的三边a 、b 、c 满足(a-b)(a 2+b 2-c 2)=0，则△ABC 是 ( ) A. 等腰三角形 B. 等边三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形或直角三角形 6.等腰直角三角形的斜边为2，则这个三角形的面积为（） A 、2 B 、1 C 、2D 、7.如图，点A 所表示的数是（） A 、1.5 B 、C 、2D 、8．已知，如图长方形ABCD 中，AB=3cm ，AD=9cm ，将此长方形折叠，使点B 与点D 重合，折痕为EF ，则△ABE 的面积为（）cm2A 6B 8C 10D 12 9．已知，如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A 出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A 出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（）ABEFDC第8题北南A东第9题第7题A ．25海里 B. 30海里 C. 35海里 D. 40海里10、有下列判断①△ABC 中，，则△ABC 不是直角三角形；②△ABC 是直角三角形，，则；③△ABC 中，，则△ABC 是直角三角形；④若△ABC 是直角三角形，则（，正确的有（） A 、4个 B 、3个 C 、2个 D 、1个二、填空题（每题3分，共24分）11. 在Rt △ABC 中，∠C=90°，若a=5，b=12，则c= ；12．已知甲、乙两人从同一处出发，甲往东走了4km ，乙往南走了3km ，这时甲、乙两人相距千米； 13. △ABC 中，若C B A ∠=∠=∠3121，AC=33，则∠A= °，AB= ，S △ABC = ； 14. 等边三角形的边长为6，则它的高是________；15．已知两条线段的长为6cm 和8cm,当第三条线段的长为 cm 时,这三条线段能组成一个直角三角形；16.如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若最大正方形M 的边长是3，则正方形A 、B 、C 、D 、E 、F 的面积之和是；17.如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠B=30°，AD 是∠BAC 的平分线，已知AB=43 ，那么AD= 。

八(下)第18章勾股定理复习课

5 C
B
20
15
A
10
E 20 E
20
15
A
C5
B
5 C
B
A 10 20
5
B C
10 F
A 10 F
15 A 20 E 10 B 5 C
如图, 一圆柱高8cm,底面半径 2cm,一只蚂蚁从点 A 爬如图 , 一圆柱高 8cm, 底面半径2cm, 一只蚂蚁从点A 底面半径一只蚂蚁从点到点B处吃食,要爬行的最短路程( 到点B处吃食,要爬行的最短路程( π 取3）是( B ) 20cm 10cm 14cm A.20cm B.10cm C.14cm D.无法确定
E
x
4
B
C x Ｄ 8-x
4）如图是一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别如图是一个三级台阶， 20dm、3dm、是这个台阶两个相对的端点，为20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，，和是这个台阶两个相对的端点 A点有一只蚂蚁，想到点去吃可口的食物，则蚂蚁沿点有一只蚂蚁，点去吃可口的食物，点有一只蚂蚁想到B点去吃可口的食物着台阶面爬到B点最短路程是多少点最短路程是多少？着台阶面爬到点最短路程是多少？
Ａ
A
２０
Ｃ 3 ２ 3 2
20
2 3
B
3 2 Ｂ
如图，长方体的长为 15 cm，宽为 10 cm，高，，离点C 为 20 cm，点 B离点 5 ，离点 cm,一只蚂蚁如果要沿着 cm,一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点 A爬爬到点B，到点，需要爬行的最短距离是多少？距离是多少？
1、如图，四边形ABCD中，AB＝3，、如图，四边形中＝， BC=4,CD=12,AD=13, ∠B=90°，求四 ° 边形ABCD的面积边形的面积

第18章勾股定理的逆定理及全章复习

18.2 勾股定理的逆定理（一）教学目标1．体会勾股定理的逆定理得出过程，掌握勾股定理的逆定理。

2．探究勾股定理的逆定理的证明方法。

3．理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系。

重点：掌握勾股定理的逆定理及简单应用。

难点：勾股定理的逆定理的证明。

教学过程：一.预习新知（阅读教材P73 — 75 , 完成课前预习）1.三边长度分别为3 cm 、4 cm 、5 cm 的三角形与以3 cm 、4 cm 为直角边的直角三角形之间有什么关系？你是怎样得到的？2.你能证明以6cm 、8cm 、10cm 为三边长的三角形是直角三角形吗？3.如图18.2-2，若△ABC 的三边长a 、b 、c 满足222c b a =+，试证明△ABC 是直角三角形，请简要地写出证明过程．4.此定理与勾股定理之间有怎样的关系？（1）什么叫互为逆命题（2）什么叫互为逆定理（3）任何一个命题都有 _____，但任何一个定理未必都有 __ 5.说出下列命题的逆命题。

这些命题的逆命题成立吗？（1）两直线平行，内错角相等；（2）如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等；（3）全等三角形的对应角相等；（4）角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。

二．课堂展示例1：判断由线段a 、b 、c 组成的三角形是不是直角三角形：（1）17,8,15===c b a ；（2）15,14,13===c b a ．（3）25,24,7===c b a ；（4）5.2,2,5.1===c b a ；三.随堂练习1.完成书上P75练习1、2图18.2-22.如果三条线段长a,b,c 满足222b c a -=，这三条线段组成的三角形是不是直角三角形？为什么？3.A,B,C 三地的两两距离如图所示，A 地在B 地的正东方向，C 地在B 地的什么方向？4.思考：我们知道3、4、5是一组勾股数，那么3k 、4k 、5k （k 是正整数）也是一组勾股数吗？一般地，如果a 、b 、c 是一组勾股数，那么ak 、bk 、ck （k 是正整数）也是一组勾股数吗？四.课堂检测1.若△ABC 的三边a ，b ，c 满足条件a 2+b 2+c 2+338=10a+24b+26c ，试判定△ABC 的形状．2.一根24米绳子，折成三边为三个连续偶数的三角形，则三边长分别为多少米？此三角形的形状为？3.已知：如图，在△ABC 中，CD 是AB 边上的高，且CD 2=AD ·BD 。

第十八章勾股定理小结与复习

第十八章勾股定理小结与复习考点呈现一、运用勾股定理求边长例1 如图1，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，BC＝6，按图中所示方法将△BCD 沿BD 折叠，使点C 落在边AB 上的点C ′处，则折痕BD 的长为__________．解析：由勾股定理可求AB =10.通过折叠,有BC ˊ＝BC＝6,故AC ˊ＝AB －BC ˊ＝4．设DC ＝DC ＝x ,在Rt △ADC ˊ中,由勾股定理得x 2+42=(8-x )2,解得x ＝3.在Rt △BCD 中，由勾股定理可得 53632222=+=+=CB CD BD .点评：本题融勾股定理于折叠的动态过程中，把轴对称与勾股定理有机结合起来.解决问题的关键是抓住折叠过程中对应量，运用勾股定理建立方程.二、运用勾股定理作无理数长度的线段例2 图2是由4个边长为1的正方形构成的“田字格”．只用没有刻度的直尺在这个“田字格”中最多可以作出长度为5的线段__________条. 解析：由于长度为5的线段是以直角边长为1，2的直角三角形的斜边，在“田字格”中最多可以构造8个这样的三角形．故有8条长度为5的线段.点评：本题考查了运用勾股定理做无理数长度的线段，关键是找到满足斜边长度为5的直角三角形.三、应用勾股定理解决实际问题例3 如图3，铁路上A ，B 两站（可以看作直线上的两点）相距25 km ，C ，D 为两个村庄（可以看作两个点），AB DA ⊥于A ，AB CB ⊥于B.已知DA=15 km ，CB=10 km ，现在要在铁路AB 上建设一个收购站E ，使C ，D 为两个村庄到E 站的距离相等，则E 站距离A 村多远？解析：设AE=x km ，则)25(x BE -= km ．在ADE Rt ∆中，222AE AD DE +=，即22215+=x DE ．在ADE Rt ∆中，222BC BE CE +=，即22210)25(+-=x CE ．因为DE CE =，所以 222210)25(15+-=+x x ，图2E D C B A Ａ C ’ ＤＣＢ解得x=10．即E 站距离A 村10 km ．点评：本题的考查了学生关建立数学模型以及运用勾股定理解决实际问题的能力.四、勾股定理的逆定理例4 下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（）A ．1，2，3 B, 2，3，4 C ．3，4，5 D ．4，5，6解析：根据勾股定理的逆定理可知，当已知线段长度时，如果最短的两条线段的平方和等于最长线段的平方，则以这三条线段为边可构成直角三角形．因为12＋22≠32，,2 2＋32≠42，32＋42＝52，42＋52≠62，所以以3,4，5为边能构成一个以5为斜边的直角三角形. 故本题应选C.点评：本题考查了学生运用勾股定理的逆定理判定直角三角形，关键是验证两条较短线段的平方和是否等于最长线段的平方.误区点拨一、忽视定理存在的条件例1 在边长都为整数的ABC ∆中，AB AC >，如果cm AC 4=，cm BC 3=，求AB 的长．错解：由AB AC >，由勾股定理，得222AB AC BC =+，即)(5342222cm BC AC AB =+=+=．剖析：此题没有指明ABC ∆是直角三角形，因此不能使用勾股定理求解，只能利用三角形三边关系的定理求解．正解：根据三角形三条边的关系定理：三角形两边的和大于第三边，得A C AB AC <<+．即47AB <<．从而得AB 等于5cm 或6cm ．二、忽视斜边直角边分类例2 在直角ABC ∆中，5=a ，12=b ，则第三边c 的长度为 .错解：13剖析：在不确定斜边的情况下，应该注意分类讨论，即第三边c 有可能是斜边，也有可能是直角边.正解：当c 是斜边时，有)(131252222cm b a c =+=+=；当c 是直角边时，有)(1195122222cm a b c =-=-=.故第三边c 的长度为13 cm 或cm 119.三、审题不仔细，受思维定势影响例3 在ABC ∆中，A ∠，B ∠，C ∠的对边分别为a ，b ，c ，且满足2))((c b a b a =-+，则（）A. A ∠是直角B. B ∠是直角C. C ∠是直角D. ABC ∆不是直角三角形错解：选C.剖析：因为常见的直角三角形在表示时，一般讲直角标注为C ∠，因而有许多同学就习惯性的认为C ∠就一定是直角，导致错误.正解：因为2))((c b a b a =-+，所以222c b a =-，即222a c b =+，所以ABC ∆是直角三角形，且A ∠是直角.故选A.四、对互逆定理、互逆命题的理解错误例4 “定理“对顶角相等”有逆定理吗?若有，请你写出其逆定理，若没有，请说明理由。

第十八章勾股定理总复习

第十八章勾股定理总复习：１．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c += ２.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．cbaHG F EDCB A方法二：bacbac cabcab四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证a bcc baE D CBA３.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形４.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ∆中，90C ∠=︒，则22c a b =+，22b c a =-，22a c b =- ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题５.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边６.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数： 221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）； 2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数） 2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）７．勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解．8.勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决．常见图形：ABC30°D CB A ADB CCB DACA B D人教版八年级下册勾股定理全章类题总结类型一：等面积法求高【例题】如图，△ABC 中，∠ACB=900，AC=7，BC=24，C D ⊥AB 于D 。

初中八年级数学课件勾股定理第3课时

人教版初中数学八年级下册
第十八章勾股定理 18.1 勾股定理第3课时
情境引入
复习回顾:
1.已知直角三角形ABC的三边为a、b、c ， ∠C＝ 90°，则 a、b、c 三
者之间的关系是
；
2.若一个直角三角形两条直角边长是3和2，那么第三条边长是
；
3.
叫做无理数.
情境引入
探究一：数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你能在数轴上画出表示 13 的点吗？
尝试应用
4. 已知等腰三角形腰长是10，底边长是16，求这个等腰三角形的面积.
解：∵AB=AC=10，BC=16，AD⊥BC ∴BD=CD= 1 BC=8
2
∴AD= AB2 BD2 = 102 82 =6 ∴这个等腰三角形的面积为 1 ×16×6=48．
2
学习体会
1.本节课你又那些收获？ 2.预习时的疑难问题解决了吗？你还有那些疑惑？ 3.你认为本节还有哪些需要注意的地方？
分析引导：（1）你能画出长为 2 的线段吗？怎么画？说说你的画法.
（2）长是 13
的线段怎么画？是由直角边长为_____和______整数组成
的直角三角形的斜边？
（3）怎样在数轴上画出表示 13 的点？
①在数轴上找到点A，使OA=3， ②过A点作直线L垂直于OA，在L上截取AB=2， ③以O为圆心，以OB为半径画弧，交数轴于点C，点C即为表示 13 的点.
当堂达标
1．已知等腰三角形的一条腰长是5，底边长是6，则它底边上的高
为
．
2 ．长为
的线段是直角边长为正整数
，
角三角形的26斜边.
的直
3 ．如图所示，在正方形网格中,每个小正方形的边长为1,则在网格上的

八年级(下)第18章勾股定理复习教案

（例四）（例五）
分析：搅拌棒在易拉罐中的位置可以有多种情形，如图中的
B
A
1、
B
A
2，但它们都不
是最长的，根据实际经验，当搅拌棒的一个端点在B点，另一个端点在A点时最长，此时可以把线段AB放在Rt△ABC
：已知单位长度为“1”，画一条线段，使它的长为
分析：29是无理数，用以前的方法不易准确画出表示长为
可知，两直角边分别为________
可作高利用其“三线合一”的性质来帮助建立方程．
的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所__________________________________．（分析：可以）
展开到同一平面内，由：“两点之间，
”再根据“勾股定理”求出最短路线。

＝S为（
与点D重合，C落在C'处，Rt
C。

第十八章勾股定理复习课课件

1、已知：在△ABC中， AC＝10cm ，
BC＝24cm，AB＝26cm
求证：△ABC是直角三角形。
26 A 24 C B
10
3、若三角形的三边分别是： a2+b2,
提示：
2ab,
a2-b2 ( a > b > 0 ),
判断这个三角形的形状。把 a2+b2, 2ab, a2-b2 看成一个整体，
是否满足勾股定理的逆定理，
从而判断三角形的形状。
1.已知Rt△ABC中,∠C=90°,若a+b=14cm, c=10cm，则Rt△ABC的面积是（ A ） A.24cm2 B.36cm2 C.48cm2 D.60cm2
c=10 a2+b2=102=100
a+b=14
(a+b)2=142=196 2ab=(a+b)2-(a2+b2) =196-100 =96
西北东北东西
E
A
60° 30°
西南
南
东南
B
12
D
C
AB=15，AD=12，AC=13，求：△ABC的周长和面积。
A 15 B 9 12 13 C
D 5
5、已知，如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，
∠1=∠2，CD=1.5, BD=2.5, 求AC的长. 3
提示：作辅助线DE⊥AB，利用平分线的性质和勾股定理。
C D 1 2 B
A
8.如图所示：某机械零件的平面图, 求：两孔中心A, B之间的距离.
在边CD上取一点E，将△ADE折叠使
点D恰好落在BC边上的点F，
求：CE 的长.
解：由折叠得AFE ADE

初中数学《勾股定理》复习教案

勾股定理复习（一）教学目标1.理解勾股定理的内容，已知直角三角形的两边，会运用勾股定理求第三边.2.勾股定理的应用.3.会运用勾股定理的逆定理，判断直角三角形.重点：掌握勾股定理及其逆定理.难点：理解勾股定理及其逆定理的应用.教学过程一、复习回顾在本章中，我们探索了直角三角形的三边关系，并在此基础上得到了勾股定理，并学习了如何利用拼图验证勾股定理，介绍了勾股定理的用途；本章后半部分学习了勾股定理的逆定理以及它的应用．其知识结构如下：1.勾股定理：(1)直角三角形两直角边的______和等于_______的平方．就是说，对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a 、b ，斜边为c ，那么一定有：————————————.这就是勾股定理．(2)勾股定理揭示了直角三角形___之间的数量关系，是解决有关线段计算问题的重要依据．22222222,,b a c a c b b c a +=-=-=,2222,a c b b c a -=-=．2.勾股定理逆定理“若三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形为________.”这一命题是勾股定理的逆定理.它可以帮助我们判断三角形的形状.为根据边的关系解决角的有关问题提供了新的方法.定理的证明采用了构造法.利用已知三角形的边a,b,c(a 2+b 2=c 2)，先构造一个直角边为a,b 的直角三角形，由勾股定理证明第三边为c,进而通过“SSS ”证明两个三角形全等，证明定理成立.3.勾股定理的作用：(1）已知直角三角形的两边，求第三边；(2）在数轴上作出表示（n 为正整数）的点．勾股定理的逆定理是用来判定一个三角形是否是直角三角形的.勾股定理的逆定理也可用来证明两直线是否垂直,勾股定理是直角三角形的性质定理，而勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，它不仅可以判定三角形是否为直角三角形，还可以判定哪一个角是直角，从而产生了证明两直线互相垂直的新方法：利用勾股定理的逆定理，通过计算来证明，体现了数形结合的思想．(3)三角形的三边分别为a 、b 、c ，其中c 为最大边，若222c b a =+，则三角形是直角三角形；若222c b a >+，则三角形是锐角三角形；若2<+c b a 22，则三角形是钝角三角形．所以使用勾股定理的逆定理时首先要确定三角形的最大边．二、课堂展示例1：如果一个直角三角形的两条边长分别是6cm 和8cm ，那么这个三角形的周长和面积分别是多少?例2：如图，在四边形ABCD 中，∠C=90°，AB=13，BC=4，CD=3，AD=12，求证：AD ⊥BD ．三、随堂练习1.如果下列各组数是三角形的三边，那么不能组成直角三角形的一组数是( )A ．7，24，25B ．321，421，521C ．3，4，5D ．4，721，821 2.如果把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，那么斜边扩大到原来的( )A ．1倍B ．2倍C ．3倍D ．4倍3.三个正方形的面积如图1，正方形A 的面积为（）A ． 6B ． 36C ． 64D ． 8 图1 A100644.直角三角形的两直角边分别为5cm ，12cm ，其中斜边上的高为（）A ．6cmB ．8．5cmC ．1330cm D ．1360cm 5.在△ABC 中，三条边的长分别为a ，b ，c ，a ＝n 2－1，b ＝2n ，c ＝n 2+1(n ＞1，且n 为整数)，这个三角形是直角三角形吗？若是，哪个角是直角四、课后练习1．两只小鼹鼠在地下打洞，一只朝前方挖，每分钟挖8cm ，另一只朝左挖，每分钟挖6cm ，10分钟之后两只小鼹鼠相距（）A ．50cmB ．100cmC ．140cmD ．80cm2．小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1m ，当它把绳子的下端拉开5m 后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为（）A ．8cmB ．10cmC ．12cmD ．14cm3．在△ABC 中，∠C ＝90°，若 a ＝5，b ＝12，则 c ＝＿＿＿4．等腰△ABC 的面积为12cm 2，底上的高AD ＝3cm ，则它的周长为＿＿＿．5．等边△ABC 的高为3cm ，以AB 为边的正方形面积为＿＿＿．6．一个三角形的三边的比为5∶12∶13，它的周长为60cm ，则它的面积是＿＿。

八年级数学第18章勾股定理复习题易错题

八年级下册第十八章《勾股定理》水平测试（1）一、试试你的身手（每小题3分，共24分）1．三角形的三边满足a2＝b2＋c2，这个三角形是三角形，它的最大边是．2．在直角三角形ABC中，∠C＝90°，BC＝24，CA＝7，AB＝．3．在△ABC中，若其三条边的长度分别为9、12、15，则以两个这样的三角形所拼成的四边形的面积是．4．如图1所示，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，正方形A，B，C的面积分别是8cm2，10cm2，14cm2，则正方形D的面积是cm2．5．如图2，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝60c m，CA＝80c m，一只蜗牛从C点出发，以每分钟20c m的速度沿CA→AB→BC的路径再回到C点，需要分钟的时间．6．已知x、y为正数，且｜x2-4｜+(y2-16)2＝0，如果以x、y的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为．7．在布置新年联欢会的会场时，小虎准备把同学们做的拉花用上，他搬来了一架高为2.5米的梯子，要想把拉花挂在高2.4米的墙上（设梯子上端要到达或超过挂拉花的高度才能挂上），小虎应把梯子的底端放在距离墙米处．8．如图3是2002年北京第24届国际数学家大会会徽，由4个全等的直角三角形拼合而成，若图中大小正方形的面积分别为52和4，则直角三角形的两直角边分别为和．（注：两直角边长均为整数）二、相信你的选择（每小题3分，共24分）1．下列各组数为勾股数的是（）A．6，12，13 B．3，4，7 C．4，7.5，8.5 D．8，15，162．要登上某建筑物，靠墙有一架梯子，底端离建筑物5m，顶端离地面12m，则梯子的长度为（）A．12m B．13m C．14m D．15m3．直角三角形两直角边边长分别为6cm和8cm，则连接这两条直角边中点的线段长为（）A．10cm B．3cm C．4cm D．5cm4．若将直角三角形的两直角边同时扩大2倍，则斜边扩大为原来的（）A．2倍B．3倍C．4倍D．5倍5．下列说法中，不正确的是（）A．三个角的度数之比为1∶3∶4的三角形是直角三角形B．三个角的度数之比为3∶4∶5的三角形是直角三角形C．三边长度之比为3∶4∶5的三角形是直角三角形D．三边长度之比为9∶40∶41的三角形是直角三角形6．三角形的三边长满足关系：(a+b)2=c2+2ab，则这个三角形是（）A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等边三角形7．某直角三角形的周长为30，且一条直角边为5，则另一直角边为（）A．3 B．4 C．12 D．138．如果正方形ABCD的面积为29，则对角线AC的长度为（）A．23B．49C．23D．29三、挑战你的技能（共60分）1．（10分）如图4，你能计算出各直角三角形中未知边的长吗？2．（10分）如图5所示，有一条小路穿过长方形的草地ABCD，若AB＝60m，BC＝84m，AE＝100m，则这条小路的面积是多少?3．（10分）如图6，在△ABC中，∠BAC＝120°，∠B＝30°，AD⊥AB，垂足为A，CD＝1c m，求AB的长．4．（10分）小芳家门前有一个花圃，呈三角形状，小芳想知道该三角形是不是一个直角三角形，请问她可以用什么办法来作出判断？你能帮她设计一种方案吗？5．（10分）如图7，在△ABC中，AB＝AC＝25，点D在BC上，AD＝24，BD＝7，试问AD平分∠BAC吗？为什么？6．（10分）如图8所示，四边形ABCD 中，AB =1，BC =2，CD =2，AD =3，且AB ⊥BC ．求证：AC ⊥CD ．四、拓广探索（本题12分）观察下列各式，你有什么发现？32＝4＋5，52＝12＋13，72＝24＋25，92＝40＋41，…… 这到底是巧合，还是有什么规律蕴涵其中呢？（1）填空：132＝ + ；（2）请写出你发现的规律；（3）结合勾股定理有关知识，说明你的结论的正确性．参考答案：一、1．直角，a 2．25 3．108 4．17 5．12 6．207．0.7 8．4，6二、1~4．CBDA 5~8．BBCA 三、1．（1）5x =；（2）24x = 2．2240m 33cm4．略5．所以AD 平分BAC ∠，理由略 6．证明略四、（1）84，85．（2）任意一个大于1的奇数的平方可以拆成两个连续整数的和，并且这两个连续整数与原来的奇数构成一组勾股数．（3）略．八年级下册第十八《勾股定理》水平测试一、试试你的身手（每小题3分，共24分）1．一个三角形的三个内角之比为1∶2∶3，则三角形是三角形；若这三个内角所对的三边分别为a、b、c（设最长边为c），则此三角形的三边的关系是．2．已知等腰直角三角形的斜边长为2，则直角边长为，若直角边长为2，则斜边长为．3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，①若AB＝41，AC＝9，则BC＝；②若AC＝1.5，BC＝2，则AB＝．4．已知两条线段的长分别为11cm和60cm，当第三条线段的长为cm时，这3条线段能组成一个直角三角形．5．如图1，将一根长24厘米的筷子，置于底面直径为6厘米，高为8厘米的圆柱形水杯中，则筷子露在杯子外面的长度至少为厘米．6．如图2，AC⊥CE，AD＝BE＝13，BC＝5，DE＝7，那么AC＝．7．等腰直角三角形有一边长为8c m，则底边上的高是，面积是．8．如图3，一个机器人从A点出发，拐了几个直角的弯后到达B点位置，根据图中的数据，点A和点B的直线距离是．二、相信你的选择（每小题3分，共24分）1．如图4，两个较大正方形的面积分别为225，289，则字母A所代表的正方形的面积为（）A．4 B．8 C．16 D．642．小丽和小芳二人同时从公园去图书馆，都是每分钟走50米，小丽走直线用了10分钟，小芳先去家拿钱再去图书馆，小芳到家用了6分钟，从家到图书馆用了8分钟，小芳从公园到图书馆拐了个（设公园到小芳家及小芳家到图书馆都是直线）（）A．锐角B．直角C．钝角D．不能确定3．一直角三角形的一条直角边长是7cm，另一条直角边与斜边长的和是49cm，则斜边的长（）A．18cm B．20cm C．24cm D．25cm4．如图5，四边形ABCD是正方形，AE垂直于BE，且AE=3，BE=4，则阴影部分的面积是（）A．16 B．18 C．19 D．215．在直角三角形中，斜边与较小直角边的和、差分别为18、8，则较长直角边的长为（）A．20 B．16 C．12 D．86．在△ABC中，若AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则△ABC的周长是（）A．42 B．32 C．42或32 D．37或337．如图6，在单位正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（）A．CD、EF、GH B．AB、EF、GHC．AB、CD、GH D．AB、CD、EF8．如图7，在△ABC中，∠C＝90°，D为BC边的中点，DE⊥AB于E，则AE2-BE2等于（）A．AC2 B．BD2C．BC2 D．DE2三、挑战你的技能（共58分）1．（11分）一个三角形三条边的比为5∶12∶13，且周长为60c m，求它的面积．2．（11分）在数轴上作出表示29的点．3．（12分）如图8，是一个四边形的边角料，东东通过测量，获得了如下数据：AB＝3cm，BC＝12cm，CD＝13cm，AD＝4cm，东东由此认为这个四边形中∠A恰好是直角，你认为东东的判断正确吗？如果你认为他正确，请说明其中的理由；如果你认为他不正确，那你认为需要什么条件，才可以判断∠A是直角？4．（12分）如图9，一游泳池长48米，小方和小朱进行游泳比赛，小方平均速度为3米/秒，小朱为3.1米/秒．但小朱一心想快，不看方向沿斜线游，而小方直游，俩人到达终点的位置相距14米．按各人的平均速度计算，谁先到达终点?5．（12分）如图10（1）所示为一上面无盖的正方体纸盒，现将其剪开展成平面图，如图10（2）所示．已知展开图中每个正方形的边长为1．求在该展开图中可画出最长线段的长度？这样的线段可画几条？四、拓广探索（本题14分）已知：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，设△ABC 的面积为S ，周长为l ．（1）填表：三边a 、b 、c a ＋b －c S l3、4、5 2 5、12、13 4 8、15、176（2）如果a ＋b －c ＝m ，观察上表猜想：l= (用含有m 的代数式表示)．（3）证明（2）中的结论．参考答案：一、1．直角，222a b c += 2．1，2 3．40，2.54．613479 5．146．127．4或42，16或328．10二、1~4．DBDC 5~8．CCBA 三、1．2120cm2．图略3．不正确，可添加DB BC ⊥或5cm DB = 4．小方先到达终点54条四、解：（1）从上往下依次填12，1，32；（2）4S ml =；（3）证明略．点击《勾股定理》之特色题本文将在各地课改实验区的中考试题中，涉及《勾股定理》知识内容的特色创新题采撷几例，供读者学习鉴赏．一. 清新扮靓的规律探究题例1（成都市）如图，如果以正方形ABCD 的对角线AC 为边作第二个正方形ACEF ，再以对角线AE 为边作第三个正方形AEGH ，如此下去，…，已知正方形ABCD 的面积1S 为1，按上述方法所作的正方形的面积依次为23S S ，，…，S n （n 为正整数），那么第8个正方形的面积8S ＝_______．【解析】：求解这类题目的常见策略是：“从特殊到一般”．即是先通过观察几个特殊的数式中的变数与不变数，得出一般规律，然后再利用其一般规律求解所要解决的问题．对于此题，由勾股定理、正方形的面积计算公式易求得：2111S ==，222S == 2324S ==248S ==ABC DEF GHIJ照此规律可知：25416S ==，观察数1、2、4、8、16易知：0123412,22,42,82,162=====，于是可知12n n S -= 因此，817822128S -===二. 考查阅读理解能力的材料分析题例2（临安）阅读下列题目的解题过程：已知a 、b 、c 为的三边，且满足，试判断的形状．解：2222222222()()()()()ABC c a b a b a b B c a bC ∆∴-=+-∴=+∴是直角三角形问：（1）上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号：；（2）错误的原因为：（3）本题正确的结论为： .【解析】：材料阅读题是近年中考的热点命题，其类型多种多样，本题属于“判断纠错型”题目．集中考查了因式分解、勾股定理等知识．在由得到等式2222222()()()c a b a b a b -=+-没有错，错在将这个等式两边同除了一个可能为零的式子22a b -．若220a b -=，则有()()0a b a b +-=，从而得a b =，这时，ABC V 为等腰三角形．因此：（1）选C ．（2）没有考虑220a b -=(3) ABC ∆是直角三角形或等腰三角形三. 渗透新课程理念的图形拼接题例3（长春）如图，在Rt △ABC 中，∠C = 90°，AC = 4，BC = 3．在Rt △ABC 的外部拼接一个合适的直角三角形，使得拼成的图形是一个等腰三角形，如图所示．要求：在答题卡的两个备用图中分别画出两种与示例不同的拼接方法，并在图中标明拼接的直角三角形的三边长．（请同学们先用铅笔画现草图，确定后再用0.5毫米的黑色签字笔画出正确的图形）示例图备用图【解析】：要在Rt △ABC 的外部拼接一个合适的直角三角形，使得拼成的图形是一个等腰三角形，关键是腰与底边的确定；要求在图中标明拼接的直角三角形的三边长，这需要用到勾股定理知识．下面四种拼接方法可供参考．四. 极具“热点”的动态探究题例4（泉州）:如图１，一架长4米的梯子AB 斜靠在与地面OM 垂直的墙壁ON 上，梯子与地面的倾斜角α为ο60． ⑴求AO 与BO 的长；⑵若梯子顶端A 沿NO 下滑，同时底端B 沿OM 向右滑行. 如图2，设A 点下滑到C 点，B 点向右滑行到D 点，并且AC:BD=2:3，试计算梯子顶端A 沿NO 下滑多少米?【解析】：对于没有学习解直角三角形知识的同学而言，求解此题有一定的难度．但若是利用等边三角形就可以推出的一个性质：“在直角三角形中，如果一个锐角等于30o，那么它所对的直角边等于斜边的一半”，结合勾股定理求解，还是容易解答的．⑴AOB Rt ∆中,∠O=90o,∠α=ο60 ∴,∠OAB=ο30，又ＡＢ＝4米， ∴122OB AB ==米. 由勾股定理得：22OA AB OB =-22421223=-=（米）. ⑵设2,3,AC x BD x ==在COD Rt ∆中,32,23,4OC x OD x CD =-=+=根据勾股定理:222OC OD CD += ∴()()222232234xx ++= -∴(21312830x x +-= ∵0x ≠ ∴0381213=-+x∴831213x =所以， AC=2x=32413即梯子顶端A 沿NO 下滑了32413米.勾股定理中的常见题型例析勾股定理是几何计算中运用最多的一个知识点．考查的主要方式是将其综合到几何应用的解答题中，常见的题型有以下几种：一、探究开放题例1如图1，设四边形ABCD 是边长为1的正方形，以正方形ABCD 的对角线AC 为边作第二个正方形ACEF ，再以第二个正方形的对角线AE 为边作第三个正方形AEGH ，如此下去……．（1）记正方形ABCD 的边长为1a ＝1，依上述方法所作的正方形的边长依次为2a ，3a ，4a ，…，n a ，求出2a ，3a ，4a 的值．（2）根据以上规律写出第n 个正方形的边长n a 的表达式．分析：依次运用勾股定理求出a 2，a 3，a 4，再观察、归纳出一般规律．解：(1)∵四边形ABCD 为正方形，∴AB=BC=CD=AD=1．由勾股定理，得AC 222AB BC +同理，AE =2，EH = 22．即 a 2=2a 3=2，a 4= 22(2) ∵011(2)a ==， 122(2)a ==， 232(2)a ==， 3422(2)a ==， ∴1(2)n n a -= ()1,n n ≥是自然数．点拨：探究开放题形式新颖、思考方向不确定，因此综合性和逻辑性较强，它着力于考查观察、分析、比较、归纳、推理等方面的能力，对提高同学们的思维品质和解决问题的能力具有十分重要的作用．二、动手操作题例2如图2，图（１）是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形，两条直角边长分别为a 和b ，斜边长为c ．图（２）是以c 为直角边的等腰直角三角形．请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形．（１）画出拼成的这个图形的示意图，写出它是什么图形；（２）用这个图形证明勾股定理；（３）假设图（１）中的直角三角形有苦干个，你能运用图（１）所给的直角三角形拼出另一种能证明勾股定理的图形吗？请画出拼后的示意图（无需证明）．解：（1）所拼图形图3所示，它是一个直角梯形．（2）由于这个梯形的两底分别为a 、b ，腰为（a +b ），所以梯形的面积为211()()()22a b a b a b ++=+．又因为这个梯形的面积等于三个直角三角形的面积和，所以梯形的面积又可表示为：2111222ab ab c ++． ∴221111()2222a b ab ab c +=++． ∴222a b c +=．（3）所拼图形如图4．点拨：动手操作题内容丰富，解法灵活，有利于考查解题者的动手能力和创新设计的才能。

勾股定理复习与提升

01
利用相似三角形的性质、四边形面积公式、向量等不同方法证
明勾股定理。
勾股定理的变形
02
在解决实际问题时，可以根据需要将勾股定理进行变形，如$(c-
a)^2 + b^2 = c^2$等。
勾股定理的应用范围
03
勾股定理不仅适用于直角三角形，还可以推广到任意三角形和
多边形中。
勾股定理的易错点与注意事项
勾股定理在物理学中的应用
力学分析
光学分析
在力学分析中，勾股定理可以用来确定物体的运动轨迹、速度和加速度等参数，以确保物体的运动状态和ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ为的正确性。
在光学分析中，勾股定理可以用来确定光的传播路径、折射率和反射率等参数，以确保光的传播特性和行为的正确性。
电磁学
在电磁学中，勾股定理可以用来确定电磁波的传播方向、幅度和相位等参数，以确保电磁波的传播特性和行为的正确性。
02 勾股定理的拓展
勾股定理的逆定理
勾股定理的逆定理是指，如果一个三角形的三边满足勾股定理的关系，那么这个三角形是直角三角形。具体来说，如果$a^2 + b^2 = c^2$，其中$a$和$b$是直角三角形的两条直角边，$c$是斜边，那么这个三角形是直角三角形。
证明方法：假设三角形ABC是直角三角形，且角C是直角。那么根据勾股定理，我们有$a^2 + b^2 = c^2$。如果$a^2 + b^2 neq c^2$，则说明角C不是直角，与假设矛盾。
勾股定理在几何图形中的应用
在几何图形中，勾股定理的应用非常广泛。例如，在直角三角形中，可以利用勾股定理来求解直角三角形的角度或边长；在等腰三角形中，可以利用勾股定理来证明底边的垂直平分线就是高线；在矩形中，可以利用勾股定理来证明矩形的对角线相等。

章复习第18章勾股定理

章复习第18章勾股定理一、勾股定理1、勾股定理如果直角三角形的两直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，那么____________．勾股定理是针对于直角三角形来说的，其他三角形的三边不具有这种关系． 2、勾股定理的证明证明勾股定理的方法很多，下面介绍两种常用的方法．①如图，将四个全等的直角三角形(边长为a 、b 、c )和一个小正方形[边长为（a -b ）]拼成一个大正方形（边长为c ），则S 正方形ABCD =c 2.而正方形ABCD 的面积等于正方形EFGH 的面积与四个直角三角形的面积之和．即ab b a c 214)(22⨯+-=，∴222c b a =+．②如图，将三个直角三角形拼成直角梯形，则三个三角形面积之和=梯形的面积，即：221212c ab ⋅+⋅=))((21b a b a ++，∴222c b a =+．3、勾股定理的作用①已知直角三角形的两边，求第三边．②已知直角三角形的一边，求另两边的关系． ③用于证明平方关系的问题．④利用勾股定理，作出长为n 的线段。

二、勾股定理的逆定理1、定义：如果三角形的三边长a ，b ，c 满足____________，那么这个三角形是直角三角形．注：勾股定理的逆定理是把数转化为形，通过计算判定一个三角形是否为直角三角形．2、直角三角形的判定设三角形的三边长分别为a ，b ，c ，①首先确定最大边（如c ）；②验证c 2与22b a +是否具有相等关系．若222b a c +=，则△ABC______直角三角形，若222b a c +=/，则△ABC______直角三角形。

（填写“是”或“不是”）*附：当△ABC 不是直角三角形时，有两种情况：当222b a c +>时，三角形为钝角三角形；当222b a c +<时，三角形为锐角三角形． 3、勾股数能够成为直角三角形三条边长的三个______数，称为勾股数．⑴常见的勾股数有：①3、4、5；②5、12、13；③8、15、17；④以上勾股数的倍数 ⑵常见的表示勾股数的代数式：①m 2，21m -，12+m （其中m 表示大于1的整数）； ②22n m -，mn 2，22m n +（m 、n 为正整数且m ≠n ）． 4、命题、定理⑴判断一件事情的语句叫做命题，命题可以变成“如果……那么……”的形式，“如果”后接的部分是______，“那么”后接的部分是______．⑵题设和结论正好相反的两个命题叫做互逆命题，如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的______．⑶经过证明被确认正确的命题叫做______，若一个定理的逆命题也是正确的，则它也是一个定理，称这两个定理互为______．检测试题一、选择（30分）1．分别以下列五组数为一个三角形的边长：①6，8，10；②13，5，12；③1，2，3；④9，40，41；⑤321，421，521．其中能构成直角三角形的有（）组A.2B.3C.4D.52．已知△ABC 中，∠A ＝21∠B ＝31∠C ，则它的三条边之比为（）A.1∶1∶2B.1∶3∶2C.1∶2∶3D.1∶4∶13．已知直角三角形一个锐角60°，斜边长为1，那么此直角三角形的周长是（）A.25B.3C. 3+2 D.2334．如果梯子的底端离建筑物5米，13米长的梯子可以达到建筑物的高度是（）A.12米B.13米C.14米D.15米5．放学以后，萍萍和晓晓从学校分手，分别沿东南方向和西南方向回家，若萍萍和晓晓行走的速度都是40米/分，萍萍用15分钟到家，晓晓用20分钟到家，萍萍家和晓晓家的距离为（）A.600米B.800米C.1000米D.不能确定6．如图1所示，要在离地面5•米处引拉线固定电线杆，使拉线和地面成60°角，若要考虑既要符合设计要求，又要节省材料，则在库存的L 1＝5.2米，L 2＝6.2米，L 3＝7.8米，L 4＝10米四种备用拉线材料中，拉线AC 最好选用（）A.L 1B.L 2C.L 3D.L 47．如图2，分别以直角△ABC 的三边AB ，BC ，CA 为直径向外作半圆.设直线AB 左边阴影部分的面积为S 1，右边阴影部分的面积和为S 2，则（）A.S 1＝S 2B.S 1＜S 2C.S 1＞S 2D.无法确定8．在△ABC 中，∠C ＝90°，周长为60，斜边与一直角边比是13∶5，则这个三角形三边长分别是（）A.5，4，3B.13，12，5C.10，8，6D.26，24，10AB C图2 B CED 图3 图1 ABD9．如图3所示，AB ＝BC ＝CD ＝DE ＝1，AB ⊥BC ，AC ⊥CD ，AD ⊥DE ，则AE ＝（）A.1B.2 C.3D.2*10．直角三角形有一条直角边长为13，另外两条边长都是自然数，则周长为（）A.182B.183C.184D.185二、填空（24分）11．根据下图中的数据，正方形A 的边长=_____，正方形B 的面积=_____，x =_____．12．直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为_______．13．直角三角形的三边长为连续偶数，则这三个数分别为__________．14．如图5，一根树在离地面9米处断裂，树的顶部落在离底部12米处．树折断之前有______米． 15．如果一个三角形的三个内角之比是1∶2∶3，且最小边的长度是8，最长边的长度是________． 16．在△ABC 中，AB ＝8cm ，BC ＝15cm ，要使∠B ＝90°，则AC 的长必为______cm ． 17．如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC=6，BC=5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是．18．甲、乙两只轮船同时从港口出发，甲以16海里/时的速度向北偏东75°的方向航行，乙以12海里/时的速度向南偏东15°的方向航行，若他们出发1.5小时后，两船相距海里．三、解答题（66分）19．古埃及人用下面方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后用桩钉成如图所示的一个三角形，其中一个角便是直角，请说明这种做法的根据．20．从旗杆的顶端系一条绳子，垂到地面还多2米；小敏拉起绳子下端绷紧，刚好接触地面图 5图4图6 A B C时，发现绳子下端距离旗杆底部8米，小敏马上计算出旗杆的高度，你知道她是如何解的吗？21．如图7，一个牧童在小河的正南4 km 的A 处牧马，而他正位于他的小屋B 的西8 km 北7 km 处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？*22．（1）四年一度的国际数学家大会于2002年8月20日在北京召开，大会会标如图8，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积为13，每个直角三角形两直角边的和是5，求中间小正方形的面积．（2）现有一张长为6.5 cm ，宽为2 cm 的纸片，如图9，请你将它分割成6块，再拼合成一个正方形．（要求：先在图9中画出分割线，再画出拼成的正方形并标明相应数据）23．清朝康熙皇帝是我国历史上对数学很有兴趣的帝王近日，西安发现了他的数学专著，其中有一文《积求勾股法》，它对“三边长为3、4、5的整数倍的直角三角形，已知面积求边长”这一问题提出了解法：“若所设者为积数（面积），以积率六除之，平方开之得数，再以勾股弦各率乘之，即得勾股弦之数”.用现在的数学语言表述是：“若直角三角形的三边长分别为3、4、5的整数倍，设其面积为S ，则第一步：6S＝m ；第二步：m ＝k ；第三步：分别用3、4、5乘以k ，得三边长” ．⑴当面积S 等于150时，请用康熙的“积求勾股法”求出这个直角三角形的三边长； *⑵你能证明“积求勾股法”的正确性吗？请写出证明过程．24．学校科技小组研制了一套信号发射、接收系统.在对系统进行测试中，如图10，小明从路口A 处出发，沿东南方向笔直公路行进，并发射信号，小华同时从A 处出发，沿西南方向笔直公路行进，并接收信号.若小明步行速度为小河图7图8 图9 北39米／分，小华步行速度为52米／分，恰好在出发后30分时信号开始不清晰．⑴你能求出他们研制的信号收发系统的信号传送半径吗？（以信号清晰为界限）⑵通过计算，你能找到题中数据与勾股数3、4、5的联系吗？试从中寻找求解决问题的简便算法．参考答案：一、1，B；2，B；3，D；4，A；5，C.点拨：画出图形，东南方向与西南方向成直角；6，B.点拨：在Rt△ACD中，AC＝2AD，设AD＝x，由AD2+CD2＝AC2，即x2+52＝(2x)2，x＝，所以2x＝5.7736；7，A；8，D.点拨：设斜边为13x，则一直角边长为5x，另一直角边为12x，所以13x+5x+12x＝60，x＝2，即三角形分别为10、24、26；9，D.点拨：AE＝＝＝2；10，A.二、11，15、144、40；12，1360；13，6、8、10；14，24；15，16；16，17；17，：76 ；18，30.三、19，设相邻两个结点的距离为m，则此三角形三边的长分别为3m、4m、5m，有(3m)2+(4m)2＝(5m)2，所以以3m、4m、5m为边长的三角形是直角三角形.20，15m.21，如图，作出A点关于MN的对称点A′，连接A′B交MN于点P，则A′B就是最短路线.在Rt△A′DB中，由勾股定理求得A′B＝17km.22，（1）设直角三角形的两条边分别为a、b（a＞b），则依题意有22513a ba b+=⎧⎨+=⎩由此得ab＝6，(a－b)2＝(a+b)2－4ab＝1，所以a－b＝1，故小正方形的面积为1.（2）如图：23，（1）当S＝150时，k150==5，所以三边长分别为：3×5＝15，4×5＝20，5×5＝25；（2）证明：三边为3、4、5的整数倍，设为k倍，则三边为3k，4k，5k，而三角形为直角三角形且3k、4k为直角边.其面积S＝12(3k)·(4k)＝6k2，所以k2＝6S，k，即将面积除以6，然后开方，即可得到倍数.24，（1）利用勾股定理求出半径为1950米；（2）小明所走的路程为39×30＝3×13×30，A′小华所走的路程为52×30＝4×13×30，根据前面的探索，可知勾股数3、4、5的倍数仍能构成一组勾股数，故所求半径为5×13×30=1950（米）.。

第18章勾股定理章节复习

人教版八年级（下）第十八章
1.勾股定理
a b c
2 2
2
直角三角形两直角边a, b的平方和，等于斜边c的平方。
2.勾股定理的逆定理
如果三角形三边长a、b、c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形。。
3.勾股数
满足a2+b2=c2的三个正整数,称为勾股数. 常见的勾股数(如 3,4,5;6,8,10 ;5,12,13;8,15,17)
B 5 C
如图,一圆柱高8cm,底面半径2cm,一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食,要爬行的最短路程( 取3）是( B ) A.20cm B.10cm C.14cm D.无法确定
蛋糕 B
2
O
C
周长的一半６
B
8
８
A
A
展开思想
1. 几何体的表面路径最短的问题，一般展开表面成平面。 2.利用两点之间线段最短，及勾股定理求解。
7.无理数在数轴上的表示
在数轴上表示 13, 17, 5，20
8.观察下列图形，正方形1的边长为7，则正方形2、3、4、5的面积之和为多少？规律：
2 3 4 5
S2+S3+S4+S5= S1
1
9.已知等边三角形的边长为6,
A
⑴求它的高.
⑵求它的面积.
B
6 30°
3 D 3
6
C
6
• 勾股定理与逆定理的综合运用
A
10 8 17
A
17 8 10
B
D
C
B
C
分类思想
1.直角三角形中，已知两边长是直角边、斜边不知道时，应分类讨论。 2.当已知条件中没有给出图形时，应认真读句画图，避免遗漏另一种情况。

七年级数学勾股定理全章复习

勾股定理全章复习、复习要求：1 •体验勾股定理的探索过程；已知直角三角形的两边长，会求第三边长。

2•会用勾股定理知识解决简单问题；会用勾股定理逆定理判定直角三角形。

3•会用勾股定理解决有关的实际问题。

、知识网络:fl三三、知识梳理：1、勾股定理(1) 重视勾股定理的三种叙述形式：①在直角三角形斜边上的正方形等于直角边上的两个正方形(《几何原本》)•②直角三角形直角边上的两个正方形的面积之和等于斜边上的正方形的面积.③直角三角形斜边长度的平方，等于两个直角边长度平方之和.从这三种提法的意义来看，勾股定理有“形的勾股定理”和“数的勾股定理”之分。

(2) 定理的作用：①已知直角三角形的两边，求第三边。

②证明三角形中的某些线段的平方关系。

③作长为^的线段。

勾股定理揭示的是平面几何图形本身所蕴含的代数关系。

利用勾股定理探究长度为的无理数线段的几何作图方法，并在数轴上将这些点表示出来，进一步反映了数与形的互相表示、相互交融，加深对无理数概念的直观认识。

(3) 勾股定理的证明：经典证法有：①欧几里得证法②赵爽《勾股圆方图注》证法③刘徽《青朱出入图》证法④美国总统加菲的证明⑤印度婆什迦罗的证明⑥面积法证明；除此之外，还有文字证明、拼图证明和动态证明。

(4) 勾股定理的应用：勾股定理只适用于直角三角形，首先分清直角及其所对的斜边。

当已知中没有直角时，可作辅助线，构造直角三角形后，再运用勾股定理解决问题。

求线段的长度，常常综合运用勾股定理和直角三角形的其它性质，等腰三角形的性质，轴对称的性质来解决。

2、勾股定理的逆定理(1) 勾股定理的逆定理的证明方法，也是学生不熟悉的，引导学生用所学过的全等三角形的知识，通过构造一个三角形与直角三角形全等，达到证明的目的。

(2) 逆定理的作用：判定一个三角形是否为直角三角形。

(3) 勾股定理的逆定理是把数转化为形，是利用代数计算来证明几何问题。

要注意叙述及书写格式。

运用勾股定理的逆定理的步骤：①首先确定最大的边(如c)②验证：〕+1与［「是否具有相等关系：若「」/ ，则△ ABC是以/ C为90°的直角三角形。

18章__勾股定理总复习

逆命题是无限不循环小数是无理数。
2、等腰三角形两底角相等
有两个相等角的三角形是等腰三角形的逆命题：。
勾股数
满足a2 +b2=c2的三个正整数，称为勾股数
1、在直角三角形ABC中,∠C=90°，
（１）已知ａ：ｂ＝３；４，ｃ＝２５，求ａ和ｂ
（２）已知∠Ａ＝３０°ａ＝３，求
ｂ和ｃ
（３）已知∠Ａ＝４５°，ｃ＝８，求ａ和ｂ
２、直角△的两边长为８和１０，求第三边的长度．６或 164
３、已知等边三角形的边长为２厘米，则它的高为，面积为．
４、判断以线段ａ、ｂ、ｃ为边的△ＡＢＣ是不是直角△
（１）a= 7 ,b= 3 ,c=2
(2)a=9
b=8 C=6
５．请完成以下未完成的勾股数： 24 17 （1）8、15、_______；（2）10、26、_____．６．△ABC中，a2+b2=25，a2-b2=7，又c=5，则最大边上的高是 2.4 _______．７长度分别为 3 , 4 , 5 , 12 ,13 的五根木棒能搭成(首尾连接)直角三角形的个数为( B ) A 1个 B 2个 C 3个 D 4个
A
2.2米
x
1.5米 1.5米 1.5米 1.5米
2.2米
C
x
B
X2=1.52+1.52=4.5
AB2=2.22+X2=9.34
AB≈3米
D
A
C
B
小明想要检测雕塑底座正面的 AD 边和BC边是否分别垂直于底边AB,但他随身只带了卷尺.
(1) 你能帮助小明解决这个问题吗?
D
A
C
B
小明想要检测雕塑底座正面的 AD 边和BC边是否分别垂直于底边AB,但他随身只带了卷尺. (2) 小明量得AD长是30 厘米,AB长是40厘米, BD 长是50厘米，AD边垂直于AB边吗?为什么？