2019届河南省十所名校高三毕业班阶段性测试(七)数学(理)试题(解析版)

2019届河南省十所名校高三毕业班阶段性测试（七）数学（理）
试题
一、单选题
1．已知集合{|2}A y y x ==+，{
}2
|B x y x ==，则A B ⋂=（ ）
A ．{1,2}-
B ．{1,4}
C ．[0,)+∞
D ．R
【答案】D
【解析】由题意得，求交集取两个集合的公共元素。

【详解】
由题可得因为{}|A y y R =∈、{}|B x x R =∈。

所以A B R ⋂= 【点睛】
交集 、 集合的代表元素
2．某校进行青少年法律知识测试，测试成绩经过统计得到如图所示的频率分布直方图，若用扇形统计图表示，则在扇形图中[70,80)分所对应的圆心角大小为（ ）
A ．
5
π
B ．
25
π C ．
35
π D ．
45
π 【答案】B
【解析】1、计算出[70,80)的频率。

2、用2π乘[70,80)的频率。

【详解】
由图可得[70,80)的频率0.02100.2P =⨯=.所以圆心角220.25
ππ=⨯= 【点睛】 频率分布直方图
3．设复数z a i =+，z 是其共轭复数，若
34
55
z i z =+，则实数a =（ ）
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
【答案】C
【解析】根据复数z ，写出其共轭复数z 。

代入34
55
z i z =+即可解出a 。

【详解】 解:
z a i =+
z a i ∴=- 343443++2555555z a a i a i i a z ⎛⎫∴
=+⇒+=-⇒= ⎪⎝⎭
【点睛】
复数与共轭复数之间的关系
4．抛物线顶点为坐标原点O ，对称轴为y 轴，直线3260x y --=过抛物线的焦点，则该抛物线的方程为（ ） A ．212x y =- B ．212y x = C ．28x y = D ．28y x =
【答案】A
【解析】根据题意可确定抛物线的焦点在y 轴，把焦点代入直线即可。

【详解】
由题意得抛物线的焦点在y 轴，设抛物线的方程为2
2x py =。

把焦点0,
2p ⎛
⎫
⎪⎝⎭
代入直线326026062
p
x y p --=⇒-⨯
-=⇒=-。

所以212x y =- 【点睛】
抛物线方程焦点。

点与直线的关系
5．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若257,2,S S S -成等差数列，且2743a a a =，则1a =（ ） A ．
316
B ．
332
C ．316
±
D ．332
±
【答案】A
【解析】由257,2,S S S -成等差数列可把公比q 算出，再把2743a a a =换成1a 和q 的关系即可。

【详解】
25,7,2S S S -是等差数列
()()()
5721112572111-2244111a q a q a q S S S q q q q ⎛⎫-- ⎪∴⨯=-⇒=-⇒= ⎪---⎝⎭
2743a a a =
6311112
33a qa q a q a q ∴=⇒= 13
16
a ∴=
【点睛】
等差中项，等比数列前n 项和，等比数列通项。

6．在Rt ABC ∆中，2BA BC ==，点D 在斜边AC 上，且2AD CD =，E 为BD 的中点，则CE BD ⋅=（ ） A ．
118
B ．
29
C ．118
-
D ．29
-
【答案】D
【解析】根据题意可得Rt ABC ∆为等腰直角三角形，且直角边为2，斜边为
1
2
x x ，所以CE BD ⋅转化为AB 、BC 、AC 之间的关系即可。

【详解】
在Rt ABC ∆中，因为2BA BC ==
，所以AC 。

因为2AD CD =。

所以
3DC =
、AD =、 ()()()
112
(229)
CE BD CB CD BA AD CB BA CB AD CD BA CD AD ∴=
++=+++=- 【点睛】
向量平行四边形法则。

直角三角形。

7．已知双曲线22221x y a b -=（0a >，0b >
）的顶点到渐近线的距离为3
，焦点到
）
A ．22
195
x y -=
B ．22
145x y -=
C ．22
159
x y -=
D ．22
154
x y -
= 【答案】B
【解析】根据点到直线的距离可得出两个方程，再根据双曲线中222+c a b =即可解出
a b 、。

【详解】
由双曲线的对称性可得两个焦点，顶点到到两条渐近线的距离相等，所以任意取一个焦点和顶点即可。

双曲线的渐近线方程为b y x a
=
()1ab =
⇒=
b =⇒=
222(3)c a b =+
所以由（1）（2）（3）得22
4,5a b ==
【点睛】
双曲线的顶点，焦点，渐近线，点到直线的距离公式。

8．已知某四棱锥的三视图如图所示，其中俯视图为正方形，则该四棱锥的体积是（ ）
A ．
4
3
B ．
83
C ．
163
D ．
323
【答案】B
【解析】根据三视图还原成是四棱锥（用正方体切割）即可。

【详解】
由三视图可得，原四棱锥如图，
因此
()
212
1118 2222122212
22333 V
+⨯
=⨯⨯-⨯⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯⨯=
【点睛】
三视图还原成几何体。

9．小张从家出发去看望生病的同学，他需要先去水果店买水果，然后去花店买花，最后到达医院.相关的地点都标在如图所示的网格纸上，网格线是道路，则小张所走路程最短的走法的种数为（）
A．72 B．56 C．48 D．40
【答案】A
【解析】分别找出从家到水果店，水果店到花店，花店到医院的最短路线，分步完成用累乘即可。

【详解】
由题意可得从家到水果店有6种走法，水果店到花店有3种走法，花店到医院有4种走法，因此一共有63472
⨯⨯=（种）
【点睛】
分步完成用累乘
10．如图所示，两半径相等的圆A，圆B相交，CD为它们的公切线段，且两块阴影部分的面积相等，在线段AB上任取一点M，则M在线段EF上的概率为（）
A ．22
π-
B ．14
π-
C ．
4
1π
- D ．2
1π
-
【答案】C
【解析】根据题意先求出矩形ABCD 的面积，从而求出AB,EF 即可 【详解】
设圆的半径为r 。

由题意可得2211242
ABCD
S r r ππ=⨯⨯=
所以21122AB r r r ππ=
÷=，1222EF r r r r ππ⎛
⎫=-⨯=- ⎪⎝
⎭
所以
24
1
12
EF r r P AB r
πππ-=
==- 【点睛】
圆的面积公式、矩形的面积公式、几何概型。

11．已知函数,0,()ln ,0,
x e x f x x x ⎧=⎨>⎩…若1
()()3F x f x x a =+-的两个零点分别在区间
(1,0)-和(1,)e 内，则实数a 的取值范围为（ ）
A ．11
,13
3e e ⎛⎫-+
⎪⎝⎭
B ．1,13e ⎛
⎫+
⎪⎝⎭
C ．111,33e ⎛⎫-
⎪⎝
⎭ D ．1,13⎛⎫
⎪⎝⎭
【答案】D
【解析】由题意可得()()-1.00F F <,()()1.0F F e <得出a 的范围。

【详解】
因为()F x 在(1,0)-和(1,)e 有零点，所以()()11-1.00133
e F F a e <⇒
-<<+ ()()11.0133e F F e a <⇒<<+，所以a 的取值范围为11,13
3e e ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭
【点睛】 零点存在定理。

12．已知实数a ，b ，c ，d 满足ln 12
113
a c
b d +-==+-，则22()()a
c b
d -+-的最小值为（ ） A ．8 B ．4
C ．2
D
【答案】D
【解析】由题目可得，转化成两个点之间的距离最小即可。

【详解】
ln12
1
13
a c
b d
+-
==
+-
ln1
1ln
1
a
b a
b
+
∴=⇒=
+
，
2
11
3
c
d c
d
-
=⇒=+
-
∴可以看成()ln
f x x
=和()1
g x x
=+之间的最小值
'
1
()
f x
x
=
∴当
1
11
x
x
=⇒=时，即点()
1,0到直线()1
g x x
=+的距离最小
∴d==
【点睛】
函数之间距离最小、导数、两点的距离公式。

二、填空题
13．若x，y满足约束条件
230,
260,
0,
x y
x y
x y
+-≥
⎧
⎪
+-
⎨
⎪-
⎩
…
…
，则
2
y
z
x
+
=的取值范围为______.【答案】
2
,3
3
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
【解析】【详解】
约束条件所表示的平面区域如下图
由目标函数可得，Z表示点()
0-2
，的斜率，因此
min max
02212
,3
331
Z Z
++
====【点睛】
斜率型的目标函数。

14．已知等差数列{}n a的前n项和为n S，若615
S=，
15
6
S=，则
11
a=______.【答案】-1
【解析】根据等差数列的前n 和n S 得出1a 和d ，即可求出通项式，从而求出11a 。

【详解】
由题意可得61115125117,6315715S a d a d S a d =+=⎫
⎪
⇒==-⎬=+=⎪
⎭
111101a a d ∴=+=-
【点睛】
等差数列前n 项和，等差数列的通项式。

15．已知函数1()cos 2f x ax x =+在区间,2ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上有最大值12π+，则实数a =______.
【答案】1
2
-
【解析】根据()f x 求出'
()f x ，判断()f x 在,2ππ⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
的单调性即可。

【详解】
()'1
()cos ()cos sin 2
f x ax x f x a x x x =+
⇒=- ,cos sin 02x x x x ππ⎡⎤
∈⇒-<⎢⎥⎣⎦
∴当0a <时，()'()0f x f x >⇒为增函数()max 1
1
()22
f x f a ππ+⇒==
⇒=- 当0a >时，()'
()0f x f x <⇒为减函数max 11
()222f x f ππ+⎛⎫⇒==≠
⎪⎝⎭
（舍去） 所以1
2
a =- 【点睛】
函参数函数单调性的讨论。

16．已知棱长为2的正方体内接于球O ，点P 是正方体的一个顶点，点Q 是正方体一条棱的中点，则直线PQ 被球O 截得线段长的最大值为__. 【答案】
103
【解析】由题可得球的半径为正方体的体对角线的一半，当直线PQ 被球O 截得线段最长时，两点刚好在正方体体对角线的两条棱上。

【详解】
由题意可得2
r =
=
这时PQ 被球O 截得线段最长
由图可得AP OP =⇒=由余弦定理得222510
cos 2.33
AP PQ AQ PN QPA PN PM AP PQ PO +-<=
=⇒=⇒= 【点睛】 球的内切几何体。

三、解答题
17．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知3a b c +=，3
B π
=，ABC
∆
的面积为
（Ⅰ）求边c ；
（Ⅱ）D 为BC 边上一点，若13
cos 14
CAD ∠=，求CD . 【答案】（Ⅰ）5c =；（Ⅱ）3 【解析】【详解】
（Ⅰ）由余弦定理得222cos 2a c b B ac +-=222(3)2a c c a ac
+--=
341
2a c a -==. 则85c a =
，所以75
c
b =
.
所以1sin 2ABC S ac B ∆
=22182525
c c =⨯⨯
== 得5c =.
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知885
c
a =
=，387b c =-=. 所以22264492511cos 228714a b c C ab +-+-===⨯⨯，因为(0,)C π∈
，所以sin 14
C =
. 同理，又由13cos 14CAD ∠=
得sin 14
CAD ∠=
. 所以
sin sin()ADC C CAD ∠=∠+∠sin cos sin cos C CAD CAD C =∠+
∠1311
1414=
+
=
在ACD ∆中，由正弦定理得
sin sin CD AC
CAD ADC
=∠∠
，所以73CD ⨯
=
=. 18．如图所示，在五棱锥E ABCDF -中，侧面AEF ⊥底面ABC ，AEF ∆是边长为2的正三角形，四边形ABDF 为正方形，BC CD ⊥，且BC CD =，G 是AEF ∆的重心，O 是正方形ABDF 的中心.
（Ⅰ）求证：OG ∥平面BCE ； （Ⅱ）求二面角B AE D --的余弦值. 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ
【解析】【详解】
（Ⅰ）取AF 中点M ，BD 中点N ，连接MN ，CN ，易知C ，N ，O ，M 四点共线.
由BC CD ⊥，且B C C D
=，可知BCD ∆为等腰直角三角形，所以11
22
CN BD AB =
=. 因为O 是正方形ABDF 的中心，所以OM ON =. 所以CN NO MO ==，所以13MO MC =.又G 是AEF ∆的重心，所以1
3
MG ME =. 所以
MO MG
MC ME
=，故OG CE .又因为EC ⊂平面BCE ，OG ⊄平面BCE .
所以OG ∥平面BCE .
（Ⅱ）解法一：取AE ，BE 中点分别为P ，Q ，连接PD ，PQ ，则PQ AB ∥. 又侧面AEF ⊥底面ABC ，AB AF ⊥，侧面AEF ⋂底面ABC AF =，所以AB ⊥平面AEF .
又AE ⊂平面AEF ，所以AB AE ⊥，所以PQ AE ⊥.
又2EF FD ==，DF EF ^，所以ED AD ==DP AE ⊥. 所以DPQ ∠为二面角B AE D --的平面角.
易知PQ
DF ，所以DPQ FDP ∠=∠.因为DP ==2FD =，
所以cos
7FD FDP DP ∠=
==
，所以cos 7DPQ ∠=.
即二面角B AE D --.
解法二：因为M 为中点，AEF ∆是正三角形，所以ME AF ⊥.
因为侧面AEF ⊥底面ABC ，且交线为AF ，所以ME ⊥底面ABC .所以直线ME ，
MA ，MC 两两垂直.
如图，以M 为原点，以MA 方向为x 轴正方向，以MC 方向为y 轴正方向，以ME 方向为z 轴正方向，建立空间直角坐标系.
则(1,0,0)A ，(1,2,0)B ，(1,2,0)D -
，E .所以(0,2,0)AB =
，
(AE =-，(2,2,0)AD =-.
设平面ABE 的法向量为()1111,,n x y z =，
则1111120,0.
AB n y AE n x ⎧⋅==⎪⎨⋅=-=⎪⎩令11z =，则1(3,0,1)n =. 设平面AED 的法向量为()2222,,n x y z =，
则2222222200
AD n x y AE n x ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，令21z =
，则2(3,n =
.
所以121212
cos ,72
n n n n n n ⋅=
=
=⨯.
结合图可知，二面角B AE D --
的余弦值为7
. 【点睛】
直线与平面平行、二面角。

19．著名魔术师刘谦表演过一个“日历预言”的魔术，本质是根据日历上日期排列的特点玩的一个数字游戏.如图是2019年6月的日历的一部分
（Ⅰ）在阴影部分任选三个数，求这三个数之和为42的概率；
（Ⅱ）在阴影部分每一行中各选一个数，记三个数之和为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望.
【答案】（Ⅰ）
2
21
P=；（Ⅱ）见解析
【解析】【详解】
（Ⅰ）任选三个数，共有3
984
C=种情况.
若在第一行选三个数，则和为67821
++=，不符合条件；
若在第一行选两个数，则和最大为782237
++=，不符合条件；若第一行选一个数字，由下图可知，满足条件的有7种选取方法；
若第一行不选，则只有选13，14，15共1种方法.
所以三数之和为42的共有718
+=种选取方法，
故所求概率为
82
8421 P==.
（Ⅱ）在每一行中各取一个数字，则共有3327
=种情况. 而X的取值有39，40，41，42，43，44，45共7种可能.
39
X=，有(6,13,20)一种，所以
1
(39)
27
P X==；45
X=，有(8,15,22)一种，所
以
1 (45)
27
P X==；40
X=，有(6,13,21)、(6,14,20)、(7,13,20)三种，所以
31 (40)
279
P X===；
44
X=，有(8,15,21)、(8,14,22)、(7,15,22)三种，所以
31 (44)
279
P X===；
41
X=，有(6,13,22)、(6,14,21)、(6,15,20)、(7,13,21)、(7,14,20)、(8,13,20)六种，
所以
62 (41)
279
P X===；43
X=，有(8,15,20)、(8,14,21)、(8,13,22)、(7,15,21)、(7,14,22)、(6,15,22)六种，
所以
62 (41)
279
P X===；42
X=，由（Ⅰ）可知共7种，所以
7 (42)
27 P X==.
故X的分布列为
故112721139404142434445422799279927
EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】
排列组合、随机变量的分布列与期望
20．已知椭圆22
221x y a b
+= (0)a b >>的左、右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，且a ，
b ，
c 成等比数列.()00,P x y 是椭圆上一点，设该椭圆的离心率为e .
（Ⅰ）求e ；
（Ⅱ）求证：10PF a ex =+；
（Ⅲ）若点P 不与椭圆顶点重合，作PM x ⊥轴于M ，12F PF ∠的平分线交x 轴于
(,0)N n ，试求
||
||
ON OM 的值.
【答案】（Ⅰ）12e =；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）
32
- 【解析】【详解】
（Ⅰ）因为a ，b ，c 成等比数列，所以222b ac a c =⇒-21ac e e =⇒-=.
解得12e -±=
.又因为(0,1)e ∈，所以12
e =. （Ⅱ）因为()00,P x y 在椭圆上，所以2222
22
00002221x y b x y b a b a
+=⇒=-.
所以1PF ==
==
0a ex ==+.
因为0[,]x a a ∈-，所以00a ex a c +->…
，所以10PF a ex =+. （Ⅲ）由题意可得点()0,0M x ，所以0||OM x =. 因为PN 为12F PF ∠的平分线，
所以有2211PF NF PF NF =211PF PF PF +⇒21
1
NF NF NF +=，即
1122a c PF NF =. 所以()21100c
NF PF e a ex c e x a
==+=+，所以2110||||||||ON NF OF e x =-=.
故
2
2||
13||22ON e OM ⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭
. 【点睛】
椭圆的离心率、椭圆第二定义、直线与椭圆。

21．已知函数()ln(1)1(1)f x ax x a =+-+…
. （Ⅰ）当1a =时，求()f x 的最大值； （Ⅱ）若1()e f x e +…
对1,x a ⎛⎫
∈-+∞ ⎪⎝⎭
恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（Ⅰ）1；（Ⅱ）[1,e] 【解析】【详解】
（Ⅰ）当1a =时，()ln(1)1f x x x =+-+，定义域为(1,)-+∞. 1()111
x f x x x -'=
-=++. 令()0f x '=，得0x =.
当(1,0)x ∈-时，()0f x '>，()f x 单调递增， 当(0,)x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减. 所以max ()(0)1f x f ==. （Ⅱ）()11a f x ax '=-+11ax a ax -+-=+，1
x a >-.令()0f x '=，得1a x a
-=
. 当11,a x a a -⎛⎫∈-
⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增；当1,a x a -⎛⎫
∈+∞
⎪⎝⎭
时，()0f x '<，()f x 单调递减，所以max 11()ln a f x f a a a -⎛⎫
==+
⎪⎝⎭
.
依题意有11ln e a a e ++
…，设1()ln (1)g a a a a =+…， 则22111
()0a g a a a a
-'=-=…
，所以()g a 在[1,)a ∈+∞上单调递增. 又1e 1(e)ln e e e g +=+=，故1e 1
ln e
a a ++…
()(e)g a g ⇔…1e a ⇒剟， 即实数a 的取值范围为[1,e]. 【点睛】
函数的单调性、函数恒成立的问题。

22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l
的参数方程为,2
,2x a y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
（t 为参数）.以坐
标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C 的极坐标方程为
28
53cos 2ρθ
=
-，直线l 与曲线C 交于A ，B 两点.
（Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程； （Ⅱ）若线段AB
的长度为
5
，求实数a 的值. 【答案】（Ⅰ）2
214
x y +=；
（Ⅱ）2a =± 【解析】【详解】 （Ⅰ）由2
853cos 2ρθ
=
-，得()22
56cos 38ρθ-+=，化简得22243cos 4r r q -=.
因为cos x ρθ=，sin y ρθ=，所以方程可化为()222
434x y x +-=，
整理得2
2
44x y +=，即2
214
x y +=.
（Ⅱ）由直线l
的参数方程,2
2x a y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
可得其普通方程为0x y a --=.
联立2244,
x y x y a ⎧+=⎨--=⎩可得2258440x ax a -+-=.
因为直线l 与曲线C 有两个交点，
所以(
)
2
2
644544a a ∆=-⨯⨯-280160a =->
，得a <<
设()12,A x x ，()22,B x y ，则1285a x x +=，21244
5
a x x -=
. 12||AB x =-
=
=
5
=
，解得2a =±. 【点睛】
极坐标方程转化为直角坐标方程、直线与椭圆、弦长公式。

23．已知()|1|||(0)f x ax x a a =+++>. （Ⅰ）当2a =时，求不等式()6f x <的解集；
（Ⅱ）若()(1)||3f x a x a +-+…
恒成立，求a 的取值范围. 【答案】（Ⅰ）(3,1)-；（Ⅱ）2a …
【解析】【详解】
（Ⅰ）当2a =时，()|21||2|f x x x =+++33,2,11,2,2133,.2x x x x x x ⎧
⎪---⎪
⎪
=-+-<-⎨⎪
⎪
+>-⎪⎩
……
当2x -…时，3363x x --<⇒>-，故32x -<-…；
当122x -<-
…时，165x x -+<⇒>-，故1
22
x -<-…； 当1
2x >-时，3361x x +<⇒<，故112
x -<<.
综上所述，不等式()6f x <的解集为(3,1)-. （Ⅱ）
()(1)||f x a x a +-+|1|||ax a x a =+++2
|1|ax ax a =+++()22(1)1ax ax a a +-+=-…，
当1ax +和2ax a +的符号相反时，等号成立.
故2
13a -….所以213a -…或213a --….
由213a -…得2a …
或2a -…，又0a >，故2a …；而213a --…无解，
a….
综上所述，2
【点睛】
绝对值不等式、含参绝对值不等式恒成立问题、。