10 矩阵的三角分解
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第十讲 矩阵的三角分解
一、 Gauss 消元法的矩阵形式 n 元线性方程组
1111221121122222
1122n n n n n n nn n n
a a a
b a a a b a a a b +++=⎧⎪
+++=⎪⎨
⎪⎪+++=⎩ ξξξξξξξξξ → Ax b = T
12T 12()[,,][,]ij n n A a x b b b b =⎛⎫
⎪= ⎪ ⎪=⎝⎭ ξξξ
设()
(0)ij
n n
A A a ⨯==,设A 的k 阶顺序主子式为k ∆，若(0)
1110a ∆=≠，
可以令(0)1
1(0)11
i i a c a =
并构造Frobenius 矩阵
21111
0101n n n
c L c ⨯⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦ → 2111
110101n c L c -⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦ 计算可得
(0)
(0)(0)
11121(1)(1)(1)1(0)
2221(1)(1)20n
n n nn a a a a a A L A
a a -⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣
⎦
→ (0)(1)1A L A = 初等变换不改变行列式，故(0)(1)
21122a a ∆=，若20∆≠，则(1)22a 0
≠，又可定义
(1)2
2(1)22(3,4,)i i a c i n a == ，并构造Frobenius 矩阵
3222
111n c L c ⎡⎤⎢⎥⎢
⎥⎢⎥=⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
→ 1
3222
111n c L c -⎡⎤⎢⎥⎢
⎥⎢⎥-=⎢
⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦
(0)
(0)
(0)(0)
1112131(1)(1)(1)22
232(2)1(1)
(2)(2)2333(2)(2)3n
n n
n nn a a a a a a a A L A
a a a a -⎡⎤⎢⎥⎢⎥
⎢⎥==⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎣
⎦
→ (1)(22A L A = 依此类推，进行到第(r -1)步，则可得到
(0)(0)(0)
(0)
111111(2)(2)(2)(1)1111(1)
(1)(1)
(1)
r r n r r r r r r r r
r n
r r rr
rn r r nr nn a a a a a a a A a a a a -------------⎡⎤⎢
⎥⎢
⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣
⎦
(2,3,,)r n = 则A 的r 阶顺序主子式(0)(1)(2)1112211r r r r r rr a a a a ----∆= ，若0r ∆≠，则1
0r rr a -≠可定义1
1r ir
ir r rr
a c a --=，并构造Frobenius 矩阵
11111r r r
nr L c c +⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎢
⎥⎣⎦ → 1
11
111r r r
nr L c c -+⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢
⎥-⎢
⎥⎢⎥
⎢⎥-⎣⎦
(0)(0)(0)
(0)
11111
1(1)(1)(1)()111
()()
11
1()()
1
r r n r r r r r rr
rr rn r
r r r r r n r r nr nn a a a a a a a A L A a a a a +-----+++++⎡⎤⎢
⎥⎢
⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣
⎦
→(1)()
r r r A L A -= (2,3,,1)r n =- 直到第（n －1）步，得到
(0)
(0)
(0)
11121(1)(1)(1)
22
2(1)n n n n nn a a a a a A a --⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎣
⎦
则完成了消元的过程 而消元法能进行下去的条件是0r ∆≠ (1,2,,1)r n =- 二、 LU 分解与LDU 分解
(0)(1)(2)(1)1121231n n A A L A L L A L L L L A --===== 容易求出
21
1211112
1
2
1
11
11n n n n n nn c L L L L c c c c c ----⎡⎤⎢⎥⎢⎥
⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
为下三角矩阵 令(1)n U A -=为上三角矩阵，则
A LU = （L: lower U: upper L: left R: right ）
以上将A 分解成一个单位下三角矩阵与上三角矩阵的乘积，就称为LU 分解或LR 分解。
LU 分解不唯一，显然，令D 为对角元素不为零的n 阶对角阵，