2011届高考数学权威预测：12平面向量及应用
2011年平面向量高考题及答案
1、 （全国Ⅰ新卷文2）a ，b 为平面向量，已知a=（4，3），2a+b=（3，18），则a ，b 夹角的余弦值等于（ ）A ．865B ．865-C ．1665D ．1665- 2、 （重庆卷理2）已知向量a ，b 满足0,1,2,a b a b ∙===，则2a b -=（ ）A ． 0B ．C ． 4D ． 83、 （重庆卷文3）若向量a=（3,m ）,b=（2,-1）,a·b=0,则实数m 的值为（ ）A ．32-B ．32C ．2D ．6 4、 （安徽卷理3文3）设向量()1,0=a ，11,22⎛⎫= ⎪⎝⎭b ，则下列结论中正确的是（ ）A ．=a bB ．2∙=a b C ．-a b 与b 垂直 D ．a ∥b 5、 （湖北卷理3）在ABC ∆中，a=15,b=10,A=60°，则cos B =（ ）A B C D 6、 （北京卷文4）若a,b 是非零向量，且a b ⊥，a b ≠，则函数()()()f x xa b xb a =+⋅-是（ ）A ．一次函数且是奇函数B ．一次函数但不是奇函数C ．二次函数且是偶函数D ．二次函数但不是偶函数7、 （湖南卷理4）在Rt ABC ∆中，C ∠=90°AC=4，则AB AC ⋅uu u r uu u r 等于（ ）A ．-16B ．-8C ．8D ．168、 （广东卷文5）若向量a =（1,1），b =（2,5），c =（3,x ）满足条件 （8a －b ）·c=30，则x =（ ）A ．6B ．5C ．4D ．39、 （四川卷理5文6）设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，216,B C A B A C A B A C =∣+∣=∣-∣,则AM ∣∣=（ ）A ．8B ．4C ． 2D ．110、（湖北卷理5文8）已知ABC ∆和点M 满足0MA MB MC --→--→--→+=+.若存在实数m 使得AB AC AM m --→--→--→+=成立，则m=（ ）A ．2B ．3C ．4D ．511、（湖南卷文6）若非零向量a ，b 满足||||,(2)0a b a b b =+⋅=，则a 与b 的夹角为（ ）A ． 300B ． 600C ． 1200D ． 150012、（江西卷理7）,E F 是等腰直角ABC ∆斜边AB 上的三等分点，则tan ECF ∠=（ ）A ．1627B ．23C ．3D ．3413、（天津卷理7）在△ABC 中，内角A,B,C 的对边分别是a,b,c ，若22a b -=，sin C B =，则A=（ ）A ．030B ．060C ．0120D ．015014、（全国Ⅱ卷理8文10））ABC V 中，点D 在AB 上，CD 平分ACB ∠．若C B a =u r ，CA b =uu r ，1a =，2b =，则CD =u u u r （ ）A ．1233a b +B ．2133a b +C ．3455a b +D ．4355a b +15、（北京卷理10文10）在△ABC 中，若b = 1，23C π∠=，则a = 。
2011年高考数学试题分类解析(四)--平面向量
具 ．具有 良好 的运算性 质 ，向量知识 和其 他知识 ，如 曲线 、数 同时涉及 到一道大题 的有 四川文 （ ）科试卷 ；试卷 中有一道 理 列 、函数 、三角等 知识进 行综 合 ，使其 成为 多项 内容 的媒介 ， 小题 同时涉及 到大题 两道 的有新课程全 国理科试卷．值得关注 的 成 为 中学数学 知识 的一个 交会 点 ，也是 高考 的必考 内容 之一 ， 是 新课程全 国的文 （ 理）科试 卷 中平 面向量与选 修系列 ４的坐 单独命 题是一个选择题 （ 或填空题） ，在 解答 题 中常作为载体 出 标 系与参数方程试题进行综合 ． 现 ，考查三 角函数或解析几何 等问题 ． 试卷总体上 围绕着平面 向
的形式 出现 ，也有 少部分题 目注重 向量知识 的灵活运 用 ，有 一 （） １ 考查 平面 向量的概念 、性质 和运算法则 ，运用 向量 直观 定 难度．二是用 向量做 “ 包装 ” ，作为载体 ，对其 他知识综合考 的几何 意义进行 运算 ． 四川试卷 文 ７ （ ４ 、天津试 卷文 １ 如 理 ） ４
科 的要 求相 同，但理科 的考查 力度 总体上要 比文科大．与往年相 为载体处理有关问题．每份文 、理试卷 中至少有一道选择题 或填 比，高考对平 面向量 的考查 方向基本稳定 ，选择题 和填 空题 考 空题 ，只有一道小 题的试卷 有安徽 文科试卷 、北京文 （ 理）科 查 向量 的核心概 念及核 心运算公 式 ，解 答题 大多是 与解析 几何 试卷 、福建 文科试 卷 、湖北 文 （ ）科 试卷 、江 西理科 试卷 、 理 扣结合 ，关 注对数 学思想方 法的考查．
2011年平面向量高考题及答案
第五章 平面向量【考试要求】（1）理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念． （2）掌握向量的加法和减法．（3）掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件．（4）了解平面向量的基本定理.理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算．（5）掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件．（6）掌握平面两点间的距离公式，以及线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用掌握平移公式．（7）掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形．【考题】1、 （全国Ⅰ新卷文2）a ，b 为平面向量，已知a=（4，3），2a+b=（3，18），则a ，b 夹角的余弦值等于（ ）A ．865 B ．865- C ．1665 D ．1665- 2、 （重庆卷理2）已知向量a ，b 满足0,1,2,a b a b •===，则2a b -=（ ）A ． 0B ．C ． 4D ． 83、 （重庆卷文3）若向量a=（3,m ）,b=（2,-1）,a·b=0,则实数m 的值为（ ）A ．32-B ．32C ．2D ．6 4、 （安徽卷理3文3）设向量()1,0=a ，11,22⎛⎫=⎪⎝⎭b ，则下列结论中正确的是（ ）A ．=a bB ．2•=a b C ．-a b 与b 垂直 D ．a ∥b5、 （湖北卷理3）在ABC ∆中，a=15,b=10,A=60°，则cos B =（ ）A ．－3 B ．3C ．－3D ．36、 （北京卷文4）若a,b 是非零向量，且a b ⊥，a b ≠，则函数()()()f x xa b xb a =+⋅-是（ ）A ．一次函数且是奇函数B ．一次函数但不是奇函数C ．二次函数且是偶函数D ．二次函数但不是偶函数7、 （湖南卷理4）在Rt ABC ∆中，C ∠=90°AC=4，则AB AC ⋅等于（ ）A ．-16B ．-8C ．8D ．168、 （广东卷文5）若向量a=（1,1），b=（2,5），c =（3,x ）满足条件 （8a－b）·c=30，则x =（ ）A ．6B ．5C ．4D ．39、 （四川卷理5文6）设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，216,BC AB AC AB AC =∣+∣=∣-∣,则AM ∣∣=（ ）A ．8B ．4C ． 2D ．110、（湖北卷理5文8）已知ABC ∆和点M 满足0MA MB MC --→--→--→+=+.若存在实数m 使得AB AC AM m --→--→--→+=成立，则m=（ ）A ．2B ．3C ．4D ．511、（湖南卷文6）若非零向量a ，b 满足||||,(2)0a b a b b =+⋅=，则a 与b 的夹角为（ ）A ． 300B ． 600C ． 1200D ． 1500 12、（北京卷理6）a ，b 为非零向量。
2011年数学高考平面向量详解
九、平面向量一、选择题1.（四川理4）如图，正六边形ABCDEF 中，BA CD EF ++=A ．0B ．BEC ．ADD ．CF【答案】D解析：BA CD EF BA AF EF BF EF CE EF CF ++=++=+=+=2.（山东理12）设1A ，2A ，3A ，4A 是平面直角坐标系中两两不同的四点，若1312AA A A λ= （λ∈R ），1412AA A A μ=（μ∈R ），且112λμ+=,则称3A ，4A 调和分割1A ，2A ,已知平面上的点C ，D 调和分割点A ，B 则下面说法正确的是 A ．C 可能是线段AB 的中点 B ．D 可能是线段AB 的中点 C ．C ，D 可能同时在线段AB 上 D ．C ，D 不可能同时在线段AB 的延长线上 【答案】D解析：根据题意可知112c d +=，若C 或D 是线段AB 的中点，则12c =，或12d =，矛盾； 若C,D 可能同时在线段AB 上，则01,01,c d <<<<则112c d+>矛盾，若C,D 同时在线段AB 的延长线上，则1,1c d >>，1102c d<+<，故C,D 不可能同时在线段AB 的延长线上，答案选D 。
3.（全国新课标理10）已知a ，b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题12:||1[0,)3p a b πθ+>⇔∈ 22:||1(,]3p a b πθπ+>⇔∈13:||1[0,)3p a b πθ->⇔∈ 4:||1(,]3p a b πθπ->⇔∈其中真命题是（A ） 14,p p （B ） 13,p p （C ） 23,p p （D ） 24,p p 【答案】A解析：1a b +==得， 1cos 2θ>-，20,3πθ⎡⎫⇒∈⎪⎢⎣⎭。
由1a b -==>得1cos 2θ< ,3πθπ⎛⎤⇒∈ ⎥⎝⎦。
2011年高考试题分类汇编数学(理科)之专题_平面向量(word解析版)
2011年高考试题数学（理科）平面向量一、选择题1. (2011年高考山东卷理科12)设1A ，2A ，3A ，4A 是平面直角坐标系中两两不同的四点，若1312A A A A λ= (λ∈R)，1412A A A A μ=(μ∈R)，且112λμ+=,则称3A ，4A 调和分割1A ，2A ,已知点C(c ，o),D(d ，O) (c ，d ∈R)调和分割点A(0，0)，B(1，0)，则下面说法正确的是(A)C 可能是线段AB 的中点 (B)D 可能是线段AB 的中点 (C)C ，D 可能同时在线段AB 上(D) C ，D 不可能同时在线段AB 的延长线上 【答案】D【解析】由1312A A A A λ= (λ∈R)，1412A A A A μ=(μ∈R)知:四点1A ，2A ，3A ，4A 在同一条直线上,因为C,D 调和分割点A,B,所以A,B,C,D 四点在同一直线上,且112c d+=, 故选D. 2. (2011年高考全国新课标卷理科10)若a ，b ，c 均为单位向量，且0=⋅b a ，0)()(≤-⋅-c b c a ，则||c b a -+的最大值为（A ）12-（B ）1（C ）2（D ）23. (2011年高考全国新课标卷理科10)已知a 与b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题12:10,3P a b πθ⎡⎫+>⇔∈⎪⎢⎣⎭ 22:1,3P a b πθπ⎛⎤+>⇔∈⎥⎝⎦3:10,3P a b πθ⎡⎫->⇔∈⎪⎢⎣⎭ 4:1,3P a b πθπ⎛⎤->⇔∈ ⎥⎝⎦4. (2011年高考四川卷理科3)若向量=+⋅⊥)2(,,//,,则且满足 A ．4 B ．3 C ．2 D ．0 答案：D.,00022)2(:D 故选解析=+=⋅+⋅=⋅+⋅=+⋅5. (2011年高考四川卷理科4)如图，正六边形ABCDEF 中，BA CD EF ++=( )(A)0 (B)BE (C)AD (D)CF 答案：D解析：BA CD EF DE CD EF CD DE EF CF ++=++=++=.6. (2011年高考全国卷理科12)设向量a b c 、、满足|a |=|b |=1, a b ⋅1=2-,，,a c b c <-->=060，则c 的最大值等于(A)2(D)1 【答案】A【解析】如图，构造AB =a , AD =b , AC = c ,120,60BAD BCD ∠=∠=，所以,,,A B C D 四点共圆，可知当线段AC 为直径时，c 最大，最大值为2.7．(2011年高考上海卷理科17)设12345,,,,A A A A A 是空间中给定的5个不同的点，则使123450MA MA MA MA MA ++++=成立的点M 的个数为（ ）A ．0B ．1C ．5D ．10【答案】B 二、填空题:1. (2011年高考浙江卷理科14)若平面向量α，β满足1α=，1β≤，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为12，则α与β的夹角θ的取值范围是 。
平面向量的应用
，
当点 A 在 y 轴上移动时，求动点 M 的轨迹方程。
证明：在直角从标系中，作以原点为圆心的单位圆，分别 交 的终边于 A、B 两点
则
即：
4 在解析几何中的应用
例 1：已知直线
，点
在直线外
求证：点 P 到直线的距离为
证明：直线 的方向向量为
取与 垂直的法向量
在 上取点
，则
解：设点
，点
，点
则：
……①
即 将其代入①式有：
又 故，点 M 的轨迹方程为
. ；
（上接第 138 页）目标市场范围小，品种单一。如果目标市场 的消费者需求和爱好发生变化，企业就可能因应变不及时而 陷入困境。同时，当强有力的竞争者打入目标市场时，企业就 要受到严重影响。因此，许多中小企业为了分散风险，仍应选 择一定数量的细分市场为自己的目标市场。
3 服装品牌的形象定位 服装品牌形象定位是品牌经营的重要方针，形象在更深 层次上是对人们情感诉求的表达，它映射出某种生活方式和 人们对待事物的态度。品牌成为捍卫自我生活和身份的东西。
山东省高考数学 权威预测 平面向量的概念及运算 新人教版
2011届山东新课标高考数学权威预测：平面向量的概念及运算一．【课标要求】（1）平面向量的实际背景及基本概念通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示；（2）向量的线性运算①通过实例，掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义；②通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义； ③了解向量的线性运算性质及其几何意义（3）平面向量的基本定理及坐标表示①了解平面向量的基本定理及其意义；②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；③会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算；④ 理解用坐标表示的平面向量共线的条件二．【命题走向】本讲内容属于平面向量的基础性内容，与平面向量的数量积比较出题量较小。
以选择题、填空题考察本章的基本概念和性质，重点考察向量的概念、向量的几何表示、向量的加减法、实数与向量的积、两个向量共线的充要条件、向量的坐标运算等。
此类题难度不大，分值5~9分。
预测2011年高考：（1）题型可能为1道选择题或1道填空题；（2）出题的知识点可能为以平面图形为载体表达平面向量、借助基向量表达交点位置或借助向量的坐标形式表达共线等问题。
三．【要点精讲】1．向量的概念①向量既有大小又有方向的量。
向量一般用c b a ,,……来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：AB 几何表示法AB ，a ；坐标表示法),(y x y x a =+= 。
向量的大小即向量的模（长度），记作|AB |即向量的大小，记作｜a |。
向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小②零向量长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行零向量a ＝0 ⇔｜a ｜＝0。
由于0 的方向是任意的，且规定0 平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件。
（注意与0的区别）③单位向量模为1个单位长度的向量，向量0a 为单位向量⇔｜0a｜＝1。
2011年高考数学二轮专题复习课件：平面向量及其应用
为圆心， 为半径的圆， → 1 △ABC 内接于以 O 为圆心， 为半径的圆， 3OA 且 → → ＋4OB＋5OC＝0. (1)求数量积 → ·OB，OB·OC，OC·OA； 求数量积OA → → → → → 求数量积 (2)求△ABC 的面积． 的面积． 求
→ → 解答】 【解答】 (1)由 3OA＋4OB＋5OC＝0 可得 由 → → → ＝－5OC 3OA＋4OB＝－ → ， → → → → → → 平方得： → 平方得：9OA2＋16OB2＋24OA·OB＝25OC2，得OA·OB＝0. → ·OC＝－4，OC·OA＝－3. 同理可得OB·OC＝－ → → 同理可得OB → OC·OA＝－ 同理可得 5 5 → ·OC＝－4，OC·OA＝－3， 所以 cos∠BOC＝－4， cos → → (2)因为 因为OB → 因为 ∠ ＝－ 5 5 5 3 3 4 ∠AOC＝－ ，故 sin∠BOC＝ ，sin∠AOC＝ . ＝－ ∠ ＝ ∠ ＝ 5 5 5 1 1 4 1 3 6 S△ABC＝S△AOB＋S△BOC＋S△AOC＝ ×1＋ × ＋ × ＝ . 2 2 5 2 5 5
2．共线向量 ． 概念：共线向量也就是平行向量， ①概念：共线向量也就是平行向量，其要求是几个非零 向量的方向相同或相反，其所在直线可以平行也可以重合． 向量的方向相同或相反，其所在直线可以平行也可以重合． 含义： 共线”的含义不是平面几何中“共线” ②含义：“共线”的含义不是平面几何中“共线”的含 实际上，共线向量有以下四种情况：方向相同且模相等； 义．实际上，共线向量有以下四种情况：方向相同且模相等； 方向相同且模不等；方向相反且模相等； 方向相同且模不等 ； 方向相反且模相等 ； 方向相反且模不 因此，任意一组共线向量都可以移到同一条直线上． 等．因此，任意一组共线向量都可以移到同一条直线上． 关于两向量共线的判定： ③关于两向量共线的判定：对于两非零向量 a，b，如果 反之， 存在 λ，使 a＝λb(λ∈R)，那么 a∥b；反之，如果两向量平 ， ∈R)， 这里的“反之” 行，且 b≠0，那么 a＝λb.这里的“反之”中，没有指出 a 是非零向量． 的方向规定为平行． 是非零向量．这就是说 a＝0 时，与 λb 的方向规定为平行．
超实用高考数学重难点专题复习：平面向量的综合应用
答案：4－2 5
考点二 平面向量与三角函数
[典例] (2017·江苏高考)已知向量 a ＝(cos x，sin x)，b ＝ (3，－ 3)，x∈[0，π]．
(1)若 a ∥b ，求 x 的值；
(2)记 f(x)＝a ·b ，求 f(x)的最大值和最小值以及对应的 x 的值． [解] (1)因为 a ＝(cos x，sin x)，b ＝(3，－ 3)，a ∥b ， 所以－ 3cos x＝3sin x．则 ta n x＝－ 33.又 x∈[0，π]，所以 x＝56π.
(2)f(x)＝a ·b ＝(cos x，sin x)·(3，－ 3)＝3cos x－ 3sin x＝2 3 cosx＋π6.
因为 x∈[0，π]，所以 x＋π6∈π6，76π，从而－1≤cosx＋π6≤ 23. 于是，当 x＋π6＝π6，即 x＝0 时，f(x)取到最大值 3； 当 x＋π6＝π，即 x＝56π时，f(x)取到最小值－2 3.
的一个四等分点，且 BM＝34BC，点 N 是 DC 的一个三等分点，且
DN＝23DC，所以―AM→＝―A→B ＋―BM→＝―A→B ＋34―A→D ，―A→N ＝―A→D ＋―D→N
＝
―→ AD
＋
2 3
―→ AB
，
所
以
―→ NM
＝
―→ AM
－
―→ AN
＝
―→ AB
＋
3 4
―→ AD
－
―A→D ＋23―A→B
[答案] C
[解题技法] 向量与平面几何综合问题的 2 种解法
基向 适当选取一组基底，利用向量间的关系构造关于未 量法 知量的方程进行求解
坐标 法
把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量 就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算 和向量运算，从而使问题得到解决
山东省2011届高考数学权威预测导数及其应用新人教版
5．求极值常按如下步骤：① 确定函数的定义域；② 求导数；③ 求方程 y / =0 的根及导数
不存在的点， 这些根或点也称为可能极值点；④通过列表法
, 检查在可能极值点的左右两
侧的符号，确定极值点。
6．设函数 f(x) 在[a,b] 上连续 , 在（a,b ）内可导， 求 f(x) 在 [a,b] 上的最大 （小） 值的步骤如下：
于是由上表知，对一切 x (0， ∞ ) ，恒有 F (x) xf ( x) 0 ．
从而当 x 0 时，恒有 f (x ) 0，故 f ( x) 在 (0， ∞) 内单调增加．所以当 x 1 时，
f ( x) f (1) 0，即 x 1 ln 2 x 2a ln x 0 ．
故当 x 1时，恒有 x ln 2 x 2a ln x 1 ．
(1) 求 f(x) 在 (a,b) 内的极值， (2) 将 f(x) 的各极值与 f(a),f(b) 比较，其中最大的
一个是最大值，最小的一个是最小值。
7．最值（或 极值）点必在下列各种点之中：导数等于零的点、导数不存在的点、端点。
★★★ 突 破 重 难 点
【范例 1】 已知函数 f ( x) ax 3 bx2 3x 在 x 1处取得极值 . （ 1）讨论 f (1) 和 f ( 1) 是函数 f ( x) 的极大值还是极小值； （ 2）过点 A(0, 16) 作曲线 y= f ( x) 的切线，求此切线方程 .
) ，则 f ( x) 0 ，故
f ( x) 在 ( , 1) 上是增函数，
f ( x) 在 (1, ) 上是增函数 .
若 x ( 1, 1) ，则 f ( x) 0 ，故 f ( x) 在 ( 1, 1) 上是减函数 .
所以， f ( 1) 2 是极大值； f (1) 2 是极小值 .
山东省高考数学 权威预测 空间向量及其应用新人教版
2011届山东新课标高考数学权威预测---空间向量及其应用一．【课标要求】（1）空间向量及其运算① 经历向量及其运算由平面向空间推广的过程；② 了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；③ 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示；④ 掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。
（2）空间向量的应用① 理解直线的方向向量与平面的法向量；② 能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系；③ 能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）；④ 能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用二．【命题走向】本讲内容主要涉及空间向量的坐标及运算、空间向量的应用。
本讲是立体几何的核心内容，高考对本讲的考察形式为：以客观题形式考察空间向量的概念和运算，结合主观题借助空间向量求夹角和距离预测2011年高考对本讲内容的考查将侧重于向量的应用，尤其是求夹角、求距离，教材上淡化了利用空间关系找角、找距离这方面的讲解，加大了向量的应用，因此作为立体几何解答题，用向量法处理角和距离将是主要方法，在复习时应加大这方面的训练力度三．【要点精讲】1．空间向量的概念向量：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。
如位移、速度、力等相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。
表示方法：用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量。
说明：①由相等向量的概念可知，一个向量在空间平移到任何位置，仍与原来的向量相等，用同向且等长的有向线段表示；②平面向量仅限于研究同一平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移。
说明：①引导学生利用右图验证加法交换率，然后推广到首尾相接的若干向量之和；②向量加法的平行四边形法则在空间仍成立3．平行向量(共线向量)：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量。
2012年高考三角与平面向量命题预测
2012年高考三角与平面向量命题预测纵观2011年全国各地的高考数学试题，出现了一些富有时代气息的三角函数与平面向量考题，它们形式独特、背景鲜明、结构新颖，主要考查考生分析问题、解决问题的能力和处理交汇性问题的能力.过去的考题可以说是精彩纷呈，奇花斗艳.面对即将来临的2012年高考，我们该如何从哪些方面入手呢？一、抓客观性试题，既抓“考点”又抓“创新”，以“以小促大”三角函数与平面向量在每年的高考中都会命出一至两道客观性试题，对此我们既要注重可能命题的考点，又要注意出现的试题创新，在狠抓基础、狠抓小题的基础上来促进基础知识的完善、基本技能的灵活，进一步提高对大题的求解能力.常规情况下，客观性试题大致有以下两类：（1）以考查基础知识与基本运算为主，难度较小，以“送分题”的形式与考生见面，对此我们一定要“笑纳”，绝不拒绝.例1. 已知向量、不共线，=k+（k∈R），=-,如果∥，那么（）A．k=1且与同向B．k=1且与反向C．k=-1且与同向D．k=-1且与反向解析: 取=（1，0），=（0，1），若k=1，则=+=（1,1），=-=（1，-1），显然，与不平行，排除A、B. 若k=-1，则=-+=（-1，1），=-+=-（-1，1），即∥且与反向，排除C，故选D.点评: 本题主要考查向量的共线（平行）、向量的加减法. 属于对基础知识、基本运算的考查.求解方法是特取法.取一个满足条件的特殊值,进行验即可产生结论.当然,不排除面对此题仍存在“束手无策”的考生,特别是那些想通过对一般性问题进行求解的考生,这样真是“小题大做”了,就算做对了,也隐形失分了.例2. 已知函数f（x）=sin?棕x+cos?棕x（?棕>0），y=f（x）的图像与直线y=2的两个相邻交点的距离等于?仔，则f（x）的单调递增区间是（）A. k?仔-,k?仔+，k∈ZB. k?仔+,k?仔+，k∈ZC. k?仔-,k?仔+，k∈ZD. k?仔+,k?仔+，k∈Z解析：由f（x）=sin?棕x+cos?棕x?圯f（x）=2sin （?棕x+），由题设f（x）的周期为T=?仔，∴?棕=2，即f（x）=2sin（2x+）.由2k?仔-≤2x+≤2kx+，得k?仔-≤x≤k?仔+，k∈Z ，故选C.点评：本题考查函数的周期性、单调性、解析式的转化等.难点在于从“图像与直线y=2的两个相邻交点的距离等于?仔”想到函数的周期,抓住这一点后,分数也就“捡”到手了.（2）以基本技能为出发点,考查考生分析问题与解决问题的能力.由于客观性试题具有试题“实验田”的特点，因此，小、巧、活形式的试题常在试卷中出现，而三角函数函数与平面向量又是频率较高的内容.例3. 设Ａ１，Ａ２，Ａ３，Ａ４是平面直角坐标系中两两不同的四点，若＝?姿（?姿∈Ｒ），＝?滋（?滋∈Ｒ），且＋＝２，则称Ａ３，Ａ４调和分割Ａ１，Ａ２，已知平面上的点Ｃ，Ｄ调和分割点Ａ，Ｂ，则下面说法正确的是（）A. C可能是线段AB的中点B. D可能是线段AB的中点C. C，D可能同时在线段AB上D. C，D不可能同时在线段AB的延长线上解析：根据题意可知＋＝２，若C或D是线段AB 的中点，则?姿＝或?滋＝，此时不可能有＋＝２；若C，D可能同时在线段AB上，则0２矛盾，若C，D同时在线段AB的延长线上，则?姿>1，?滋>1，0 （Ⅱ）由f（?琢）=3，得2sin（2?琢+）+2=3?圯sin（2?琢+）=，∴2?琢+=+2k1?仔，或2?琢+=+2k2?仔（k1，k2∈Z），即?琢=k1?仔或?琢=+k2?仔（k1，k2∈Z）．∵?琢∈（0，?仔），∴?琢=．点评：本题的求解关键在于利用基本公式sin2x=，cos2x=及二倍角公式、两角和的正弦公式等,对所给出的三角式的化简,若能将sin2x+cos2x转化为2sin（2x+）就宣告求解成功.（3）考查三角函数图像及性质.例8. 如图是函数f（x）=Asin（?棕x+??J）（A>0，?棕>0，0===-.∵∈[0，?仔]，∴=，即向量与的夹角为.（2）f（x）=2•+1=2（-cos2x+sinxcosx）+1=2sinxcosx-（2cos2x-1）=sin2x-cos2x=sin（2x-）.由x∈[，]?圯2x-∈[，2?仔]?圯sin（2x-）∈[-1，]，∴当2x-=，即x=时，fmax（x）=1.点评：本题的第一问是向量运算,第二问是三角函数的最值问题,两问结合实现了向量与三角的完美“牵手”，试题难度不大，主要是向量与三角的基本运算，只需细心即可准确求解.（5）考查三角变换与解三角形.例10. 在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足tanC=，sin（B-A）=cosC.（1）求A，B；（2）若S△ABC=3+,求a，c.解析：（1）因为tanC=?圯=，所以，sinCcosA+sinCcosB=cosCsinA+cosCsinB，即sinCcosA-cosCsinA=cosCsinB-sinCcosB，得sin （C-A）=sin（B-C），所以C-A=B-C或C-A=?仔-（B-C）(不成立).即2C=A+B, 得C=，所以B+A=.又因为sin（B-A）=cosC=，则B-A=或B-A=（舍去），得A=，B=.（2）S△ABC=acsinB=ac=3+，又=, 即= ，得a=2，c=2.点评：三角形中三角变换，除了要掌握常规的变换之外，还要注意三角形中三角的特点，如：sinC=sinB cosA+cosB sinA.（6）考查利用正余弦定理求解实际应用问题.例11. 已知,甲船由A岛出发向北偏东45°的方向作匀速直线航行，速度为15海里/小时，在甲船从A岛出发的同时，乙船从A岛正南40海里处的B岛出发，朝北偏东（tan=）的方向作匀速直线航行，速度为m海里/小时．（1）若两船能相遇，求m．（2）当m=10时，求两船出发后多长时间距离最近，最近距离为多少海里？（1）设两船在M处相遇，sin∠AMB=sin（45°解析：-）=，由正弦定理得=，所以AM=40，同理得BM=40，∵t=，∴m==15.（2）以A为原点，BA所在直线为y轴建立平面直角坐标系,设在t时刻甲、乙两船分别在P，Q处，则AP=15t，BQ=10t．由tan=，可得cos=，sin=．根据任意角三角函数的定义，可得点P的坐标是x1=15tcos45°=15t，y1=15tsin45°=15t，即向量=（15t，15t）.过点A作向量相等向量，同理可得的坐标为（10t，20t），即向量=（10t，20t），从而向量=+=（10t，20t-40）．所以=-=（-5t，5t-40），所以===≥20.当且仅当t=4时，取得最小值20，即两船出发4小时时，距离最近，最近距离为20海里．点评：本题考查正弦定理、平面向量等基础知识，考查灵活运用知识分析问题解决问题的能力.第一问两船能够相遇即在某个时刻时，两船的航行路线恰好相交，根据正弦定理即可确定两船的航行距离和所用时间，进而求出乙船的速度；第二问在运动变化中求两船之间距离的最小值，即求平面上两个动点之间距离的最小值，以时间为变量建立两点间距离的函数，通过函数的方法求解.三角函数与平面向量在高考中的命题,无论是客观题还是主观题都不是难题.与其它知识比较,还属于基础题与中低档题.因此,准确、快速的解好此类题对较好的完成全卷在心理上会起到重要作用,希望你能把握好这个机会,取得理想的高考分数.（作者单位：中山市第一中学）责任编校徐国坚。
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第十二讲 平面向量及应用★★★高考在考什么 【考题回放】1．（宁夏，海南）已知平面向量(11)(11)==-，，，a b ，则向量1322-=a b （ Ｄ ）Ａ．(21)--， Ｂ．(21)-，Ｃ．(10)-，Ｄ．(12)，2．（福建）对于向量，，a b c 和实数λ，下列命题中真命题是（ B ） A ．若=0 a b ，则0a =或0b = B ．若λ0a =，则0λ=或=0a C ．若22=a b ，则=a b 或-a =bD ．若∙∙a b =a c ，则b =c3．（北京）已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2O A O B O C ++=0，那么（ Ａ ）Ａ．AO O D =Ｂ．2AO O D =Ｃ．3AO O D = Ｄ．2AO O D =4．（湖北）将π2cos 36x y ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象按向量π24⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，a 平移，则平移后所得图象的解析式为（ Ａ ） Ａ．π2cos 234x y ⎛⎫=+-⎪⎝⎭Ｂ．π2cos 234x y ⎛⎫=-+⎪⎝⎭Ｃ．π2cos 2312x y ⎛⎫=--⎪⎝⎭Ｄ．π2cos 2312x y ⎛⎫=++⎪⎝⎭5．（江西文）在平面直角坐标系中，正方形OABC 的对角线OB 的两端点分别为(00)O ，，(11)B ，，则AB AC ∙=1．6．（陕西）如图，平面内有三个向量OA 、OB 、OC ,其中与OA 与OB的夹角为120°，OA 与OC 的夹角为30°,且|OA |＝|OB |＝1，|OC |＝32，若OC ＝λOA +μOB （λ，μ∈R ）,则λ+μ的值为 6 .7．（全国Ⅱ）在ABC △中，已知内角A π=3，边BC =．设内角B x =，周长为y ．（1）求函数()y f x =的解析式和定义域； （2）求y 的最大值．解：（1）ABC △的内角和A B C ++=π，由00A B C π=>>3，，得20B π<<3．应用正弦定理，知sin 4sin sin sinBC AC B x x A===3，2sin 4sin sin B CA B C x A π⎛⎫==- ⎪3⎝⎭． 因为y AB BC AC =++，所以224sin 4sin 03y x x x ππ⎛⎫⎫=+-+<<⎪⎪3⎝⎭⎭，（2）因为14sin cos sin 2y x x x ⎛⎫=+++ ⎪ ⎪2⎝⎭5x x ππππ⎛⎫⎫=++<+< ⎪⎪6666⎝⎭⎭， 所以，当x ππ+=62，即x π=3时，y取得最大值．★★★高考要考什么【考点透视】本专题主要涉及向量的概念、几何表示、加法和减法，实数与向量的积、两个向量共线的充要条件、向量的坐标运算，以及平面向量的数量积及其几何意义、平面两点间的距离公式、线段的定比分点坐标公式和向量的平移公式.【热点透析】在高考试题中，主要考查有关的基础知识，突出向量的工具作用。
在复习中要重视教材的基础作用，加强基本知识的复习，做到概念清楚、运算准确，不必追求解难题。
热点主要体现在平面向量的数量积及坐标运算以及平面向量在三角，解析几何等方面的应用.★★★高考将考什么【范例1=b a =；②若A 、B 、C 、D 是不共线的四点，则DC AB =是四边形为平行四边形的充要条件； ③若c b b a ==,，则c a =； ④b a ==a ∥b ；⑤若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c 。
其中，正确命题的序号是_________________.解析：①不正确性。
两个向量长度相同，但它的方向不一定相同。
②正确。
∵DC AB =且DC AB //，又A 、B 、C 、D 为不共线的四点， ∴ 四边形ABCD 为平行四边形；反之，若四边形为平行四边形， 则DC AB DC AB =且//，因此DC AB =。
③正确。
∵b a =，∴a 、b 的长度相等且方向相同，又b =c ，∴b 、c 的长度相等且方向相同，∴a 、c 的长度相等且方向相同，故c a =。
④不正确。
当a ∥b=，也不能得到b a =。
⑤不正确。
考虑0=b 这种极端情况。
答案：②③。
【点晴】本题重在考查平面的基本概念。
【范例2】平面内给定三个向量：)1,4(),2,1(),2,3(=-==c b a 。
回答下列问题： （1）求c b a 23-+； （2）求满足c n b m a +=的实数m 和n ； （3）若)(c k a +∥)2(a b -，求实数k ；（4）设),(y x d =满足)(b a +∥)(c d -且1||=-c d ，求d解：（1）依题意，得c b a 23-+=3（3，2）+（-1，2）-2（4，1）=（0，6） （2）∵R n m c n b m a ∈+=,,，∴（3，2）=m （-1,2）+n （4,1）=（-m+4n,2m+n ）∴⎩⎨⎧=+=+-,2234n m n m 解之得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==;98,95n m（3）∵)(c k a +∥)2(a b -，且c k a +=（3+4k ，2+k ），a b -2=（-5，2）∴（3+4k ）×2-（-5）×（2+k ）=0，∴1316-=k ；（4）∵c d -=（x-4，y-1），b a +=（2，4）， 又∵)(b a +∥)(c d -且1||=-c d ，∴⎩⎨⎧=-+-=---,1)1()4(0)1(2)4(422y x y x 解之得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=55255520y x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=55255520y x ∴d =（5520+，5525+）或d =（5520-，5525-）【点晴】根据向量的坐标运算法则及两个向量平等行的充要条件、模的计算公式，建立方程组求解。
变式：设向量a ＝(sinx ，cosx )，b ＝(cosx ，cosx )，x ∈R ，函数f(x)＝a ·(a ＋b). （Ⅰ）求函数f(x)的最大值与最小正周期；（Ⅱ）求使不等式f(x)≥23成立的x 的取值集。
解：(Ⅰ)∵()()222sin cos sin cos cos f x a a b a a a b x x x x x =+=+=+++1131sin 2cos 21)22224x x x π=+++++（）＝ ∴()f x的最大值为322+，最小正周期是22ππ=。
（Ⅱ）由(Ⅰ)知 ()333)sin(2)0222424f x x x ππ≥⇔++≥⇔+≥3222,488k x k k x k k Z ππππππππ⇔≤+≤+⇔-≤≤+∈即()32f x ≥成立的x 的取值集合是33|,88x k x k k Z ππππ⎧⎫-≤≤+∈⎨⎬⎩⎭. 【点睛】本小题主要考查平面向量数量积的计算方法、三角公式、三角函数的性质及图像的基本知识，考查推理和运算能力.【范例3】已知射线OA 、OB 的方程分别为)0(33≥=x x y ，)0(33≤-=x x y ，动点M 、N 分别在OA 、OB 上滑动，且34=MN 。
（1）若PN MP =，求P 点的轨迹C 的方程；（2）已知)0,24(1-F ，)0,24(2F ，请问在曲线C 上是否存在动点P 满足条件021=⋅PF PF ，若存在，求出P 点的坐标，若不存在，请说明理由。
解：（1）设)0)(33,(),0)(33,(222111≤-≥x x x N x x x M ，),(y x P ， 则)33,(11x y x x MP --=，)33,(22y x x x PN ---=，所以⎪⎩⎪⎨⎧--=--=-y x x y x x x x 21213333，即⎩⎨⎧=-=+y x x x x x 3222121。
又因为34=MN ，所以 48)](33[)(221221=++-x x x x ，代入得：)0,33(143622><<-=+y x yx。
（2）),(00y x P ，所以),24(001y x PF ---=，),24(002y x PF -= 因为021=⋅PF PF ，所以0)24)(24(0200=+-+-y x x ，得32220=+o y x ，又143622=+y x ，联立得2630±=x ，因为3263>，所以不存在这样的P 点。
【点晴】本题是一道综合题，重在考查向量的概念及轨迹方程的求法。
变式：在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知点(1,3)M -，(5,1)N ，若点C 满足(1)()O C t O M t O N t R =+-∈，点C 的轨迹与抛物线24y x =交于A 、B 两点；（1）求点C 的轨迹方程；（2）求证：O A O B ⊥；（3）在x 轴正半轴上是否存在一定点(,0)P m ，使得过点P 的任意一条抛物线的弦的长度是原点到该弦中点距离的2倍，若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.解：（1）设(,)C x y ，由(1)O C tO M t O N =+-知，点C 的轨迹为4y x =-. （2）由244y x y x=-⎧⎨=⎩消y 得：212160x x -+=设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则1216x x =，1212x x +=,所以1212(4)(4)16y y x x =--=-，所以12120x x y y +=，于是O A O B ⊥（3）假设存在过点P 的弦EF 符合题意，则此弦的斜率不为零，设此弦所在直线的方程为x ky m =+,由24x ky my x=+⎧⎨=⎩消x 得：2440y ky m --=，设33(,)E x y ，44(,)F x y ，则344y y k +=，344y y m =-.因为过点P 作抛物线的弦的长度是原点到弦的中点距离的2倍，所以O E O F ⊥即34340x x y y +=,所以223434016y y y y +=得4m =，所以存在4m =.。