2017年东北三省三校(哈师大附中)高考数学三模试卷及答案(理科)

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2017年黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学高三第三次模拟考试理科数学(详细答案版)

2017年黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学高三第三次模拟考试理科数学一、选择题：共12题1．设复数z满足z⋅(1+i)=2i(i是虚数单位)，则|z|=A.√2B.2C.1D.√5【答案】A【解析】本题考查复数的概念、复数的四则运算.z=2i1+i =2i(1−i)(1+i)(1−i)=1+i,|z|=√1+1=√2.2．A={x|y=lg(x2+3x−4)}，B={y|y=21−x2}，则A∩B=A.(0,2]B.(1,2]C.[2,4)D.(−4,0)【答案】B【解析】本题考查一元二次不等式、指数函数的图象与性质、集合的基本运算.A= {x|x2+3x−4>0}={x|x<−4或x>1}.因为1−x2≤1，故y=21−x2≤21，则B= {y|0<y≤2}.所以A∩B=(1,2].3．下列函数中，既是偶函数，又在区间(0,+∞)单调递减的函数是A.y=−x3B.y=ln|x|C.y=cosxD.y=2−|x|【答案】D【解析】本题考查指数函数、幂函数、对数函数、三角函数的图象与性质. 选项D，y=2−|x |={2−x ,x >02x ,x <0，显然它是偶函数，并且由指数函数的图象与性质知它在在区间(0,+∞)单调递减. 选项A ，它是奇函数；选项B ，ln |x |=ln⁡|−x|，故它是偶函数，而在区间(0,+∞)上y =ln |x |=lnx 单调递增；选项C ，显然在区间(0,+∞)不是单调递减的. 选项D 正确.4．等比数列{a n }中，若a 12=4，a 18=8，则a 36为A.32B.64C.128D.256【答案】B【解析】本题考查等比数列.a18a 12=q 6=2，a 36=a 18∙q 18=a 18∙(q 6)3=8×23=64.5．已知α∈(0,π2)，且2cos2α=cos(π4−α)，则sin2α的值为A.18 B.−18C.78D.−78【答案】C【解析】本题考查两角差的余弦公式、二倍角公式. 运用公式化简得2(cos 2α−sin 2α)=√22(cosα+sinα)，由于α∈(0,π2)，故cosα+sinα≠0，则有cosα−sinα=√24，两边平方得到，sin 2α+cos 2α−2sinαcosα=18，2cosαsinα=sin2α=78.6．下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图时，若输入a ，b 分别为18,27，则输出的a =A.0B.9C.18D.54【答案】B【解析】本题考查算法与程序框图. 第一次循环得到，a=18,b=9，第二次循环得到，a=9,b=9，此时a=b，输出a=9，结束循环.7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A.83B.43C.8√23D.4√23【答案】A【解析】本题考查几何体的三视图及体积. 该四棱锥的体积为13×22×2=83.8．3位男生和3位女生共6位同学站成一排，则3位男生中有且只有2位男生相邻的概率为 A.15 B.25C.35D.310【答案】C【解析】本题考查排列与组合、古典概型. 所有的情况总数有A 66个，三个男生全部相邻的情况有A 44∙A 33，三个男生都不相邻的情况有A 33(2A 33+2C 32A 22)种，故3位男生中有且只有2位男生相邻的事件总数为A 66−[A 44∙A 33+A 33(2A 33+2C 32A 22)]种，所以概率其为1−A 44∙A 33+A 33(2A 33+2C 32A 22)A 66=35.9．已知AB ⊥AC ，AB =AC ，点M 满足AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =tAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−t)AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，若∠BAM =π3，则t 的值为 A.√3−√2 B.√2−1C.√3−12D.√3+12【答案】C【解析】本题考查平面向量的线性运算、正弦定理.AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =tAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −tAC ⃗⃗⃗⃗⃗ =tCB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，故点M 在BC 上. 在ΔABM 中，∠BAM =π3,∠ABM =π4，由正弦定理，AM =BM∙sinπ3sin π4=√6BM 3，同理，在ΔAMC 中，有MC ＝AM∙sinπ6sin π4=√33BM ，故t =CM CB=CM CM+BM=√3−12.10．中心在原点的椭圆C 1与双曲线C 2具有相同的焦点，F 1(−c,0)，F 2(c,0)，P 为C 1与C 2在第一象限的交点，|PF 1|=|F 1F 2|且|PF 2|=5，若椭圆C 1的离心率e 1∈(35,23)，则双曲线的离心率e 2的范围是 A.(32,53) B.(53,2)C.(2,3)D.(32,3)【答案】C【解析】本题考查椭圆与双曲线的定义及离心率. 设椭圆C1的方程为x 2a12+y2b12=1，双曲线C2的方程为x2a22−y2b22=1，由题设有{2c+5=2a12c−5=2a2，两式相加得a1+a2=2c，两边同时除以c，a1c +a2c=2，即1e1+1e2=2，1e2=2−1e1，其中e1∈(35,23)，则−1e1∈(−53,−32)，那么1 e2∈(13,12)，故e2∈(2,3).11．三棱锥P−ABC中，底面ΔABC满足BA=BC，∠ABC=π2，P在面ABC的射影为AC的中点，且该三棱锥的体积为92，当其外接球的表面积最小时，P到面ABC的距离为A.2B.3C.2√3D.3√3【答案】B【解析】本题考查空间几何体的结构及均值不等式. 设外接球的球心为O，AC中点为D，外接球半径为R，AB长为x，三棱锥的高为h，则13∙12∙x2∙ℎ=92,x2=27ℎ.显然外接球的球心在PD所在的直线上，在RtΔOAD中，OA=R，AD=√22x,OD=(ℎ−R)2，R2=(√2 2x)+(ℎ−R)2，则R=x22+ℎ22ℎ=12×27ℎ+ℎ22ℎ=27ℎ2+ℎ2=274ℎ2+ℎ4+ℎ4≥3(274ℎ2∙ℎ4∙ℎ4)13=94，当且仅当274ℎ2=ℎ4时，ℎ=3. 故当外接球的表面积最小时，P到面ABC的距离为3.12．设函数f(x)=√lnx+x+m，若曲线y=1−e2cosx+1+e2上存在(x0,y0)，使得f(f(y0))=y0成立，则实数m的取值范围为A.[0,e2−e+1]B.[0,e2+e−1]C.[0,e2+e+1]D.[0,e2−e−1]【答案】D【解析】本题考查函数的概念、函数的单调性与值域、导数的计算及其在研究函数中的应用. 因为y=cosx的值域为[−1,1]，故y=1−e2cosx+1+e2的值域为[1,e]，故y0∈[1,e].函数f(x)=√lnx +x +m 在定义域上单调递增，存在y 0满足f(f(y 0))=y 0，设存在y ′使得f (y 0)=y ′,f (y ′)=y 0，假设y ′<y 0，根据f(x)在定义域上单调递增，有f (y ′)<f(y 0)，即y 0<y′，与假设相矛盾；同理，反之假设y ′>y 0，亦可得矛盾，故y ′=y 0,f (y 0)=y 0，即y 0=√lny 0+y 0+m ，两边同时平方得，g (y 0)=m =y 02−ln y 0−y 0,y 0∈[1,e ]. 对g(y 0)求导得g ′(y 0)=2y 0−1y 0−1，令g ′(y 0)=0,y 0=1，当y 0∈(1,e]时，g ′(y 0)>0，故g(y 0)单调递增，由此，m 最小值为g (1)=0，最大值为g (e )=e 2−1−e ，所以m ∈[0,e 2−e −1].二、填空题：共4题13．某校有男教师80人，女教师100人现按男、女比例采用分层抽样的方法从该校教师中抽取x 人参加教师代表大会，若抽到男教师12人，则x =______. 【答案】27【解析】本题考查分层抽样. 抽取女教师为1280×100=15，则总有有x =15+12=27人.14．平面上，点A 、C 为射线PM 上的两点，点B 、D 为射线PN 上的两点，则有S ΔPABSΔPCD=PA·PB PC·PD(其中S ΔPAB 、S ΔPCD 分别为ΔPAB 、ΔPCD 的面积)；空间中，点A 、C 为射线PM 上的两点，点B 、D 为射线PN 上的两点，点E 、F 为射线PL 上的两点，则有V P−ABEV P−CDF=______(其中V P−ABE 、V P−CDF 分别为四面体P—ABE 、P—CDF 的体积).【答案】PA⋅PB⋅PEPC⋅PD⋅PF【解析】本题考查合情推理. 由平面上的情况通过类比法可以得到，两个三棱锥的的体积比为各自三条棱乘积之比，即V P−ABEVP−CDF=PA⋅PB⋅PEPC⋅PD⋅PF .15．已知数列{a n}满足a n=(n2+4n)cosnπ，则{a n}的前50项的和为______.【答案】1375【解析】本题考查等差数列及其前n项和.a2k−1=−4k2−4k+3,a2k=4k2+8k,k∈N∗，故有a2k−1+a2k=4k+3，令b k=4k+3，则它是以7为首项，4为公差的等差数列，于是{a n}的前50项的和就等于{b k}的前25项和，即25∙b1+b25∙b242∙4=7×25+25×242×4=1375.k的情况类比得以数16．已知圆C:x2+y2=25，过点M(−2,3)作直线l交圆C于A，B两点，分别过A，B两点作圆的切线，当两条切线相交于点N时，则点N的轨迹方程为______.【答案】2x−3y+25=0【解析】本题考查圆的切线的性质、直线的一般式方程、圆和直线的位置关系. 设点A(x1.y1),B(x2,y2),N(x0,y0). 由圆的切线的性质，AN⊥OA,BN⊥OB，于是k AN∙K OA=−1,k BN∙K OB=−1，则{(x1−x0)(x1−0)=−(y1−y0)(y1−0)(x2−x0)(x2−0)=−(y2−y0)(y2−0)，点A、B在圆C上，故其满足圆的方程，于是化简得{x1x0+y1y0=25x2x0+y2y0=25，故直线AB满足方程x0x+y0y=25，点M(−2,3)在直线AB上，将其代入可得AB方程为2x−3y+25=0.三、解答题：共7题17．已知x0=π3是函数f(x)=msinωx−cosωx(m＞0)的一条对称轴，且f(x)的最小正周期为π(Ⅰ)求m值和f(x)的单调递增区间；(Ⅱ)设角A，B，C为ΔABC的三个内角，对应边分别为a，b，c，若f(B)=2，b=√3，求a−c2的取值范围.【答案】(1)f(x)=msinωx−cosωx=√m2+1sin(ωx−φ)⇒T=2πω=π⇒ω=2x0=π3为对称轴，所以2×π3−φ=kπ+π2⇒φ=−kπ+π6⇒1m=tanφ=√3⇒m=√3⇒f(x)=√3sin2x−cos2x=2sin(2x−π6)令2kπ−π2≤2x−π6≤2kπ+π2⇒kπ−π6≤x≤kπ+π3所以f(x)的单调递增区间为[kπ−π6,kπ+π3](k∈Z)(2)f(B)=2sin(2B−π6)=2⇒2B−π6=π2⇒B=π3由正弦定理2R=bsinB =2=asinA=csinC得a−c2=2sinA−sin(A+π3)=32sinA−√32cosA=√3sin(A−π6)∵A∈(0,2π3)∴A−π6∈(−π6,π2)∴a−c2∈(−√32,√3)【解析】本题考查两角和与差的正弦公式、三角函数的图象与性质、正弦定理. (Ⅰ)将f(x)化为y=Asin(ωx+φ)的形式，由最小正周期可以确定ω的值，x0=π3是f(x)的对称轴，由此求出φ值，得到f(x)解析式，进而确定其单调增区间.(Ⅱ)易求出B=π3，由正弦定理将边a,c用其对角的正弦值表示出来，得到a−c2=√3sin(A−π6)，根据A的取值范围，求出a−c2的范围.18．我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x(吨)，一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超过x的部分按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照[0,0.5)，[0.5,1)，⋯，[4,4.5)分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.(Ⅰ)求直方图中a的值；(Ⅱ)若将频率视为概率，从该城市居民中随机抽取3人，记这3人中月均用水量不低于3吨的人数为X，求X的分布列与数学期望.(Ⅲ)若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x(吨)，估计x的值(精确到0.01)，并说明理由.【答案】(1)(0.06×2+0.18+2a+0.42+0.52+0.11+0.03)×0.5=1⇒a=0.31(2)依题意从该城市居民中抽取用水量不低于3吨的概率为(0.11+0.06+0.03)×0.5=0.1X B(3,0.1)P(X=k)=Ck∙0.1k∙(1−0.1)3−k(k=0,1,2,3)3EX=3×0.1=0.3(3)月用水量超过3吨的居民占10%，所以(3−x)×0.31=5100⇒x≈2.84(吨)【解析】本题考查频率直方图、二项分布.(1)各个矩形面积之和为1，由此可求出a值.(2)根据频率直方图求出中抽取用水量不低于3吨的居民的概率，X服从二项分布，列出其分布列，求得期望.(3)可确定x在[2.5,3)范围内，用水量大于3吨的居民已有10%，那么剩下的在区间[x,3)的居民应有5%，故(3−x)×0.31=5，求出x.10019．如图，在棱台。

2017年哈三中一模理科数学答案

更正：哈三中一模高三理科数学答案：第18题第（2）问答案：分布列不变，数学期望改为0.4，给您带来不便深表歉意。

一模数学理科B 卷答案一、选择题ADCBC DAABD BA二、填空题13. 64 14. 60 15. )7(155 16. )32,43[2ee 三、解答题17. 解：（Ⅰ） 0cos cos )2(=+-Cb B ac ，∴0cos sin cos )sin 2(sin =+-C B B A C ，A CB B A sin )sin(cos sin 2=+=∴,……………………………………3分21cos =∴B ,3π=B …………………………………………………………6分（II ）由ABC ∆外接圆半径为1，可知3=b ， ……………………………7分又B ac b c a cos 2222=-+,3)2(333)(22++≤+=+∴c a ac c a 323≤+<∴c a …………………………………………………………10分∴周长的范围是]33,32( ………………………………………………12分18. 解：（Ⅰ） 1.0,6.0==优合格p p …………………6分（Ⅱ）X 可取值为4,3,2,1,0……………10分2000809=EX ………………12分19.解：（Ⅰ）证明：连结AF 交BE 于O ，则O 为AF 中点。

设G 为AC 中点，连结,OG DG ，则//OG CF ，且12OG CF =.由已知//DE CF ，且12DE CF =.//DE OG ∴且DE OG =，所以四边形DEOG 为平行四边形.//EO DG ∴，即//BE DG ...........3分 BE ⊄ 平面ACD ，DG ⊂平面ACD ,所以//BE 平面ACD ........................4分（Ⅱ）由已知ABFE 为边长为2的正方形， AD EF ∴⊥.因为平面ABEF ⊥平面EFCD ,又DE EF ⊥，,,EA EF ED ∴两两垂直..........5分以E 为原点，,,EA EF ED 分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系。

黑龙江省哈尔滨市高三数学下学期第三次模拟考试试题

黑龙江省哈尔滨市2017届高三数学下学期第三次模拟考试试题理（扫描版）高三第三次模拟考试数学（理）答案1、B2、B3、D4、C5、B6、C7、D8、B9、D 10、C 11、B 12、A13、3 14、23- 15、21- 16、33±=k 或3±=k 17、（1）()12212--⋅=-=n n a q , （2）1221212--⋅-+=⋅=n n n n n T n b ）(, 18、（1）略；（2）510 19、（1）210420C C（2）()1510664422===A A A P ξ，()15816644121412===A A C C C P ξ，()A A P A ξ===2444666215，()34=ξE 20、（1）13422=+y x （2）联立⎪⎩⎪⎨⎧=++=134222y x kx y 得()04163422=+++kx x k ，由0>∆知412>k 3443416221221+=+-=+k x x k k x x , ()()0421212122121>++++=+=⋅x x k x x k y y x x OB OA ，解得342<k 所以21332-<<-k 或33221<<k （3）1434221=+y x C ：，设),(00y x H ，直线3400=+y y x x MN ：，003434y n x m ==,，所以2211334m n += 21、（1）()[]()22221211++-+='++=x mx x m mx e x f x mx e x f x x )(,)( 当m <0时，)(x f 在⎪⎭⎫ ⎝⎛-m 120,单调递增，在⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞-,m 12单调递减；当12m >时，)(x f 在⎪⎭⎫ ⎝⎛-m 120,单调递减，在⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞-,m 12单调递增；当102≤≤m 时，)(x f 在()∞+，0单调递增（2）()()22221121++-='+=mx mx mx e x f mx e x f x x )(,)( 因为)(x f 有两个极值点，所以10442>∴>-m m m ,.设21x x ,为方程0122=+-mx mx 两根，则()(),,,,x x x x x m +==>∴∈121211200112 又()12111+=mx e x f x ，()12222+=mx e x f x ，注意到()1121mx e x f x =，()2222mx e x f x =， ()()()m e e x e x x e x e m x f x f x x x x 121212*********>+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+ 又()()()x x x x x e x e x e x e f x f x mx x -+-++==1211221111212222设()()(),,(,)x x g x x e xe x -⎡⎤=-+∈⎣⎦21201122，()()()x x g x e e x -'=+-2112，故()g x 在(,)01单调递减，在(,)12单调递增，所以，()()g x g e <=1，因此，()()f x f x e m <+<12. 22、（1）2C 的直角坐标方程为1322=-+)(y x ；（2）PQ 最小值为1；PQ 最大值为5 23、（1）(][)∞+-∞-，，75 ；（2）02a <<。

黑龙江哈尔滨市三中2017高三下学期第三次模拟考试数学(理)试题含答案]

哈尔滨市三中2017高三下学期第三次模拟考试数学（理）试题考试说明：本试卷分第1卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟.（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；（2）选择题必须使用2B铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，字迹清楚；（3）请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；（4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀.第I卷（选择题,共60 分）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 已知集合M =「x | y =ln 2 - x ?, N =「x | x2-3x - 4 乞0?，则M N =A. [-1,2）B. [-1,2]C. [-4,1]D. [-1,4].22. 口—）的虚部为1 +iA. iB. -1C. -iD. 13. 已知向量a,b满足a b = 1, a| = 2, b| = 3,则a — b =A. 13B. 6C. THD. 5x —04. 已知x, y满足：x • y - 2，若目标函数ax y取最大值时的最优解有无数多个,x「y 二0则实数a 的值是A. 0B. -1C. _1D. 12 2 2 25•椭圆C :— -1与双曲线E:笃-爲=1(a,b ■ 0)有相同的焦点，且两曲线的离4 3a 2b 2心率互为倒数，则双曲线渐近线的倾斜角的正弦值为7•《孙子算经》是我国古代的数学著作，其卷下中有类似如下的问题：“今有方物一束，外周一匝有四十枚，问积几何？ ”如右图是解决该问题的程序框图，若设每层外周枚数为 a ，则输出的结果为A . 81B . 74 C. 121D . 169（第 7题图）1 A.-2C」D .,3 26. 一个几何体的三视图如右图所示,则该几何体的体积为A .32 350 B .3C.64 380 D .3（第6题8.已知函数f (x) =2f(2-x)-x 2・5x-5,则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为条光线从点(1,-1)射出，经y 轴反射后与圆(x-2)2 • y 2=1相交，则入射光线所10. 在拍毕业照时，六个同学排成一排照相，要求其中一对好友甲和乙相邻，且同学丙不能和甲相邻的概率为 12 4 1 A.B.C.D. ■151515511. 正四面体ABCD 中，M 是棱AD 的中点，O 是点A 在底面BCD 内的射影，则异面直线BM 与AO 所成角的余弦值为D .12. 定义在R 上的可导函数f (x )，其导函数记为 f "(x )，满足f (x )+f (2-x )=(x —1 ),3且当x 二1时，恒有f x 2 : x •若f m -f 1-m _ - 3m ，则实数m 的取值范围是 A. -：：,1〕B. 一丄,1C. 1, ：：D. 一：：,丄I 3」I 2」第口卷(非选择题,共90分)二、填空题(共 4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上.)13. 知(2x +1)4 =a ° +色(x +1 j+a ? (x +1 $ +a3(x +1 )3 +a 4 (x +1 )4,贝H a 1 a 2 ag •环的值是 ___________________-3,0B . 0,3C . i 3,0D . 10,--4-4.4 .4在直线的斜率的取值范围为A B. y - -2x 3C. y - -3x 49.14. 函数y =-、；；3sin2 x _cos2x 的图象可由函数 y =2sin （2 x •-）的图象至少向右平6移 ____________ 个单位长度得到. 15. 下列共有四个命题：（D 命题"x ^ R, X 02 1 3x 0”的否定是"-X • R,x 2 1 ■： 3x ”；2 2（2）在回归分析中，相关指数 R 为0.96的模型比R 为0.84的模型拟合效果好；（3） a,b ・R, p ：a :::b,q :1 ：：丄：：：0,则p 是q 的充分不必要条件；b a （4）已知幕函数f （x ）二（m 2 - 3m 3）x m 为偶函数，则f （-2） = 4 . 其中正确的序号为（写出所有正确命题的序号）16. 已知 ABC 的三个内角A, B,C 的对应边分别为a,b,c ,且S ABC3a 2.贝V 使得a 122 2sin B sin C =msin BsinC 成立的实数 m 的取值范围是 _______________________ .三、解答题（本大题共 6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分12分）已知数列：aj 的前n 项和为S n ，满足S n=S nj 2a n A1, n_2,n ・N ，且a^ 3.（i ）求数列〈a n 1的通项公式;18. （本小题满分12分）为调查高中生的数学成绩与学生自主学习时间之间的相关关系，某重点高中数学教师对新入学的45名学生进行了跟踪调查，其中每周自主做数学题的时间不少于 15小时的有19人，余下的人中，在高三模拟考试中数学平均成绩不足 120分的占1，统计成绩13后，得到如下的2 2列联表：分数大于等于120分分数不足120分合计周做题时间不少于 15小时419周做题时间不足 15小时a n 1 2（n ）求证:(I)请完成上面的2 2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“高中生的数学成绩与学生自主学习时间有关”；(H) (i)按照分层抽样的方法，在上述样本中，从分数大于等于120分和分数不足120分的两组学生中抽取9名学生，设抽到的不足120分且周做题时间不足15小时的人数是X，求X的分布列(概率用组合数算式表示) ;(ii)若将频率视为概率，从全校大于等于120分的学生中随机抽取20人，求这些人中周做题时间不少于15小时的人数的期望和方差•2附：K2n(a d-bc)(a+b)(c + d )(a+c)(b + d )19. (本小题满分12分)如图所示的几何体是由棱台ABC - A和棱锥D - AAC Q拼接而成的组合体，其底面四边形ABCD是边长为2的菱形，且• BAD =60 , BB1±平面ABCD ,(I)求证：平面AB1C丄平面BBQ ；(n)求二面角A - BD -C1的余弦值.A1C20. （本小题满分12分）已知抛物线G ： y 2 =2px （ p . 0），过焦点F 的动直线丨与抛物线交于 A B 两点，线段AB 的中点为M •（I ）当直线l 的倾斜角为］时，|AB| = 16 .求抛物线G 的方程；4（n ）对于（I ）问中的抛物线G ,是否存在x 轴上一定点N ,使得| AB | -2 | MN |为定值，若存在求出点 N 的坐标及定值，若不存在说明理由.21. （本小题满分12分）是函数f x 的导数，且「X 的最小值小于等于0.(I)求a 的值；2 3(n)设函数 g(x)二 f(x) -一x -41 n x 6x ，且 g(xj g(x 2) =0 , 3求证：％ • x 2 - 2 •6 .请从下面所给的22、23题中任选一题作答，如果多做，则按做的第一题计分 22. （本小题满分10分）x = 1 、5 cos:一已知曲线C 的参数方程为（〉为参数），以直角坐标系原点 O 为极点,』=2 +T 5sin ax 轴正半轴为极轴建立极坐标系已知函数f x = 2X 3—3X 2log a3 2x , （ a 0且a "）为定义域上的增函数,(I)求曲线C的极坐标方程；Jt JT(n)设li：, 12:，若h、匚与曲线C相交于异于原点的两点A B ,6 3求AOB的面积.23. (本小题满分10分)4 设函数f (x) = x+a+1 + x-一，(a A O). a(I)证明：f(x) _5 ;(n)若f (1) ：：： 6成立，求实数a的取值范围参考答案1.A2.B3.；4.D5.D6.D7.C 8.A9.C 10.C 11.B 12.D13.0n 14.-615.(2)(4)16. 12,4 117. (本小题满分 12分)(I)由题意a n=2內二 1 n _2, n N.a n1 =2 a n 」1............................. 詔•分•又印1 = 4.a n • 1 =4 2n 1 ............................................. 5•分• -a n= 2n 1 —1 ............................................... 6•分…(n) a n= 2n 1, — 是首项为丄，公比为-的等比数列,IA 十+1J 4 211因此」丄.a^1 a 2+1丄a n12n：：11 •分…•.12 分(I)2245(15 16 -10 4)2■ K7.287 6.63525汉20勺9汇26-能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“高中生的数学成绩与学生自主学习时间有关”………:.••…：.4分(n) (i )由分层抽样知大于等于120分的有5人，不足120分的有4人 (5)：2分1<— ....218.(本小题满分12分)4 1 3 2 2P x =0 卡,P X J , p x=2 ,C20 C20 C20P X=3 二響,p X=4 二-C20 C20(ii)设从全校大于等于120分的学生中随机抽取20人，这些人中周做题时间不少于15小时的人数为随机变量Y，.......................................... :..•分…由题意可知Y] B 20,0.6 , ............................................. ：：10・分…故E Y =12,D Y = 4.8 ......................................... ：.12 •分…佃.(本小题满分12分)(I)：BB1丄平面ABCD ••• BB1丄AC在菱形ABCD中，BD丄AC又BD " BB^i = B •- AC _ 平面BB1D .......................................... ••• AC 平面AB1C •平面AB1C丄平面BB1D(H)连接BD、AC交于点O ,以O为坐标原点，以OA为x轴，以OD为y轴,BA14 0，则n =(40, 3)BD n = 0设平面DCF的法向量m二(x, y, z)BD m = 0，则m 二(4,0八3) B。

2017年东北三省三校(哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)高考数学三模试卷(理科)及答案

2017年东北三省三校（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）高考数学三模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（5分）设复数z满足z•（1+i）=2i（i是虚数单位），则|z|=（）A．B．2C．1D．2．（5分）A={x|y=lg（x2+3x﹣4）}，，则A∩B=（）A．（0，2]B．（1，2]C．[2，4）D．（﹣4，0）3．（5分）下列函数中，既是偶函数，又在区间（0，+∞）单调递减的函数是（）A．y=﹣x3B．y=ln|x|C．y=cosx D．y=2﹣|x|4．（5分）等比数列{a n}，若a12=4，a18=8，则a36为（）A．32B．64C．128D．2565．（5分）已知，且，则sin2α的值为（）A．B．C．D．6．（5分）下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图时，若输入a，b分别为18，27，则输出的a=（）A．0B．9C．18D．547．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．8．（5分）3位男生和3位女生共6位同学站成一排，则3位男生中有且只有2位男生相邻的概率为（）A．B．C．D．9．（5分）已知AB⊥AC，AB=AC，点M满足，若，则t的值为（）A．B．C．D．10．（5分）中心在原点的椭圆C1与双曲线C2具有相同的焦点，F1（﹣c，0），F2（c，0），P为C1与C2在第一象限的交点，|PF1|=|F1F2|且|PF2|=5，若椭圆C1的离心率，则双曲线的离心率e2的范围是（）A．B．C．（2，3）D．11．（5分）三棱锥P﹣ABC中，底面△ABC满足BA=BC，，P在面ABC 的射影为AC的中点，且该三棱锥的体积为，当其外接球的表面积最小时，P到面ABC的距离为（）A．2B．3C．D．12．（5分）设函数，若曲线上存在（x0，y0），使得f（f（y0））=y0成立，则实数m的取值范围为（）A．[0，e2﹣e+1]B．[0，e2+e﹣1]C．[0，e2+e+1]D．[0，e2﹣e﹣1]二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）.13．（5分）某校有男教师80人，女教师100人现按男、女比例采用分层抽样的方法从该校教师中抽取x 人参加教师代表大会，若抽到男教师12人，则x= ．14．（5分）平面上，点A 、C 为射线PM 上的两点，点B 、D 为射线PN 上的两点，则有（其中S △PAB 、S △PCD 分别为△PAB 、△PCD 的面积）；空间中，点A 、C 为射线PM 上的两点，点B 、D 为射线PN 上的两点，点E 、F 为射线PL 上的两点，则有= （其中V P ﹣ABE 、V P ﹣CDF 分别为四面体P﹣ABE 、P ﹣CDF 的体积）．15．（5分）已知数列{a n }满足，则{a n }的前50项的和为．16．（5分）已知圆C ：x 2+y 2=25，过点M （﹣2，3）作直线l 交圆C 于A ，B 两点，分别过A ，B 两点作圆的切线，当两条切线相交于点N 时，则点N 的轨迹方程为．三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17．（12分）已知是函数f （x ）=msinωx ﹣cosωx （m ＞0）的一条对称轴，且f （x ）的最小正周期为π（Ⅰ）求m 值和f （x ）的单调递增区间；（Ⅱ）设角A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，对应边分别为a ，b ，c ，若f （B ）=2，，求的取值范围．18．（12分）我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x（吨），一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超过x的部分按议价收费．为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0，0.5），[0.5，1），…，[4，4.5）分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）求直方图中a的值；（Ⅱ）若将频率视为概率，从该城市居民中随机抽取3人，记这3人中月均用水量不低于3吨的人数为X，求X的分布列与数学期望．（Ⅲ）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x（吨），估计x 的值（精确到0.01），并说明理由．19．（12分）如图，在棱台ABC﹣FED中，△DEF与△ABC分别是棱长为1与2的正三角形，平面ABC⊥平面BCDE，四边形BCDE为直角梯形，BC⊥CD，CD=1，N为CE中点，．（Ⅰ）λ为何值时，MN∥平面ABC？（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求直线AN与平面BMN所成角的正弦值．20．（12分）已知椭圆的右焦点为F，过椭圆C中心的弦PQ长为2，且∠PFQ=90°，△PQF的面积为1．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设A1、A2分别为椭圆C的左、右顶点，S为直线上一动点，直线A1S交椭圆C于点M，直线A2S交椭圆于点N，设S1、S2分别为△A1SA2、△MSN的面积，求的最大值．21．（12分）已知f（x）=e2x+ln（x+a）．（1）当a=1时，①求f（x）在（0，1）处的切线方程；②当x≥0时，求证：f （x）≥（x+1）2+x．（2）若存在x0∈[0，+∞），使得成立，求实数a的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知极点为直角坐标系的原点，极轴为x轴正半轴且单位长度相同的极坐标系中曲线C1：ρ=1，（t为参数）．（Ⅰ）求曲线C1上的点到曲线C2距离的最小值；（Ⅱ）若把C1上各点的横坐标都扩大为原来的2倍，纵坐标扩大为原来的倍，得到曲线．设P（﹣1，1），曲线C2与交于A，B两点，求|PA|+|PB|．[选修4-5：不等式选讲]23．已知x，y∈R．（Ⅰ）若x，y满足，，求证：；（Ⅱ）求证：x4+16y4≥2x3y+8xy3．2017年东北三省三校（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（5分）设复数z满足z•（1+i）=2i（i是虚数单位），则|z|=（）A．B．2C．1D．【解答】解：由z•（1+i）=2i，得，则|z|=．故选：A．2．（5分）A={x|y=lg（x2+3x﹣4）}，，则A∩B=（）A．（0，2]B．（1，2]C．[2，4）D．（﹣4，0）【解答】解：A={x|y=lg（x2+3x﹣4）}={x|x2+3x﹣4＞0}={x|x＞1或x＜﹣4}，={y|0＜y≤2}，则A∩B=（1，2]，故选：B．3．（5分）下列函数中，既是偶函数，又在区间（0，+∞）单调递减的函数是（）A．y=﹣x3B．y=ln|x|C．y=cosx D．y=2﹣|x|【解答】解：A．y=﹣x3是奇函数，不是偶函数，∴该选项错误；B．x∈（0，+∞）时，y=ln|x|=lnx单调递增，∴该选项错误；C．y=cosx在（0，+∞）上没有单调性，∴该选项错误；D．y=2﹣|x|是偶函数；x∈（0，+∞）时，单调递减，∴该选项正确．故选：D．4．（5分）等比数列{a n}，若a12=4，a18=8，则a36为（）A．32B．64C．128D．256【解答】解：∵数列{a n}为等比数列，∴a182=a12a24，∵a12=4，a18=8，a12，a18，a24同号∴a24=16．∴由a242=a12a36，得：a36=64，故选：B．5．（5分）已知，且，则sin2α的值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵，且，∴2（cos2α﹣sin2α）=（cosα+sinα），∴cosα﹣sinα=，或cosα+sinα=0．当cosα﹣sinα=，则有1﹣sin2α=，sin2α=；∵α∈（0，），∴cosα+sinα=0不成立，故选：C．6．（5分）下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图时，若输入a，b分别为18，27，则输出的a=（）A．0B．9C．18D．54【解答】解：由a=18，b=27，不满足a＞b，则b变为27﹣18=9，由b＜a，则a变为18﹣9=9，由a=b=9，则输出的a=9．故选：B．7．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【解答】解：由三视图可知，该几何体是底面为边长为2的正方形，一条侧棱垂直底面的四棱锥，高为2，故其体积V=，故选：A．8．（5分）3位男生和3位女生共6位同学站成一排，则3位男生中有且只有2位男生相邻的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：从3名男生中任取2人“捆”在一起记作A，（A共有C32A22=6种不同排法），剩下一名男生记作B，将A，B插入到3名女生全排列后所成的4个空中的2个空中，故有C32A22A42A33=432种，3位男生和3位女生共6位同学站成一排，有A66=720种，∴3位男生中有且只有2位男生相邻的概率为，故选：C．9．（5分）已知AB⊥AC，AB=AC，点M满足，若，则t的值为（）A．B．C．D．【解答】解：如图所示，建立直角坐标系．A（0，0）．不妨设C（3，0），B（0，3），∵点M满足，∴点M在BC上．设|AM|=a，则acos+a=3，解得a=3﹣3．∴M．∵点M满足，∴=0+（1﹣t）×3，解得t=．故选：C．10．（5分）中心在原点的椭圆C1与双曲线C2具有相同的焦点，F1（﹣c，0），F2（c，0），P为C1与C2在第一象限的交点，|PF1|=|F1F2|且|PF2|=5，若椭圆C1的离心率，则双曲线的离心率e2的范围是（）A．B．C．（2，3）D．【解答】解：设椭圆的方程为+=1（a＞b＞0），其离心率为e1，双曲线的方程为﹣=1（m＞0，n＞0），其离心率为e2，|F1F2|=2c，∵有公共焦点的椭圆与双曲线在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF2为底边的等腰三角形，∴在椭圆中，|PF1|+|PF2|=2a，而|PF1|=|F1F2|=2c，∴|PF2|=2a﹣2c，①同理，在该双曲线中，|PF2|=2c﹣2m；②由①②可得m=2c﹣a．∵e1=∈（，），∴＜＜，又e2====∈（2，3）．故选：C．11．（5分）三棱锥P﹣ABC中，底面△ABC满足BA=BC，，P在面ABC 的射影为AC的中点，且该三棱锥的体积为，当其外接球的表面积最小时，P到面ABC的距离为（）A．2B．3C．D．【解答】解：设AC的中点为D，连接BD，PD，则PD⊥平面ABC，∵△ABC是等腰直角三角形，∴外接球的球心O在PD上，设AB=BC=a，PD=h，外接球半径OC=OP=R，则OD=h﹣R，CD=AC=a，===，∴a2=，∵V P﹣ABC∵CD2+OD2=OC2，即（h﹣R）2+a2=R2，∴R===≥3=，当且仅当即h=3时取等号，∴当外接球半径取得最小值时，h=3．故选：B．12．（5分）设函数，若曲线上存在（x0，y0），使得f（f（y0））=y0成立，则实数m的取值范围为（）A．[0，e2﹣e+1]B．[0，e2+e﹣1]C．[0，e2+e+1]D．[0，e2﹣e﹣1]【解答】解：∵﹣1≤cosx≤1，∴的最大值为e，最小值为1，∴1≤y 0≤e ，显然f （x ）=是增函数，（1）若f （y 0）＞y 0，则f （f （y 0））＞f （y 0）＞y 0，与f （f （y 0））=y 0矛盾；（2）若f （y 0）＜y 0，则f （f （y 0））＜f （y 0）＜y 0，与f （f （y 0））=y 0矛盾； ∴f （y 0）=y 0，∴y 0为方程f （x ）=x 的解，即方程f （x ）=x 在[1，e ]上有解，由f （x ）=x 得m=x 2﹣x ﹣lnx ，令g （x ）=x 2﹣x ﹣lnx ，x ∈[1，e ]，则g′（x ）=2x ﹣1﹣==，∴当x ∈[1，e ]时，g′（x ）≥0， ∴g （x ）在[1，e ]上单调递增，∴g min （x ）=g （1）=0，g max （x ）=g （e ）=e 2﹣e ﹣1， ∴0≤m ≤e 2﹣e ﹣1．故选：D ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）.13．（5分）某校有男教师80人，女教师100人现按男、女比例采用分层抽样的方法从该校教师中抽取x 人参加教师代表大会，若抽到男教师12人，则x= 27 ．【解答】解：由题意可得=，即x=27，故答案为：2714．（5分）平面上，点A 、C 为射线PM 上的两点，点B 、D 为射线PN 上的两点，则有（其中S △PAB 、S △PCD 分别为△PAB 、△PCD 的面积）；空间中，点A 、C 为射线PM 上的两点，点B 、D 为射线PN 上的两点，点E 、F 为射线PL 上的两点，则有=（其中V P ﹣ABE 、V P ﹣CDF 分别为四面体P ﹣ABE 、P ﹣CDF 的体积）．【解答】解：设PM与平面PDF所成的角为α，则A到平面PDF的距离h1=PAsinα，C到平面PDF的距离h2=PCsinα，=V A﹣PBE==，∴V P﹣ABEV P﹣CDF=V C﹣PDF==，∴=．故答案为：．15．（5分）已知数列{a n}满足，则{a n}的前50项的和为1375．【解答】解：当n是奇数时，cosnπ=﹣1；当n是偶数时，cosnπ=1．则a n=（﹣1）n（n2+4n）=（﹣1）n n2+（﹣1）n×4n，{a n}的前50项的和S50=a1+a2+a3+…+a50，=（﹣12+22﹣32+42﹣…+502）+4（﹣1+2﹣3+4﹣…+50），=（1+2+3+4+…+50）+4×25，=1275+100，=1375，故答案为：137516．（5分）已知圆C：x2+y2=25，过点M（﹣2，3）作直线l交圆C于A，B两点，分别过A，B两点作圆的切线，当两条切线相交于点N时，则点N的轨迹方程为2x﹣3y﹣25=0．【解答】解：设A（m，n），N（x，y），根据圆的对称性可得N点是经过C点垂直于AB的直线与A点切线的交点∵圆x2+y2=25的圆心为C（0，0）∴切线AN的斜率为k1=﹣=﹣，得得AN方程为y﹣n=﹣（x﹣m），化简得y=﹣x+…①又∵直线MA的斜率k MA=，∴直线CN的斜率k2=﹣=，得直线CN方程为y=x…②①②联解，消去m、n得2x﹣3y+25=0，即为点N轨迹所在直线方程．故答案为：2x﹣3y+25=0．三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知是函数f（x）=msinωx﹣cosωx（m＞0）的一条对称轴，且f（x）的最小正周期为π（Ⅰ）求m值和f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）设角A，B，C为△ABC的三个内角，对应边分别为a，b，c，若f（B）=2，，求的取值范围．【解答】解：函数f（x）=msinωx﹣cosωx（m＞0）化简可得：f（x）=sin（ωx+θ），其中tanθ=﹣．∵f（x）的最小正周期为π，即T=π=，∴ω=2．又∵是其中一条对称轴，∴2×+θ=k，k∈Z．可得：θ=，则tan（kπ﹣）=﹣．m＞0，当k=0时，tan=∴m=．可是f（x）的解析式为f（x）=2sin（2x﹣），令2x﹣，k∈Z，得：≤x≤，所以f（x）的单调递增区间为[，]，k∈Z．（2）由f（B）=2sin（2B﹣）=2，可得2B﹣=，k∈Z，∵0＜B＜π，∴B=由正弦定理得：=2sinA﹣sin（A+）=sinA﹣cosA=sin（A﹣）∵0∴A﹣∈（，）∴的取值范围是（，），18．（12分）我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x（吨），一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超过x的部分按议价收费．为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0，0.5），[0.5，1），…，[4，4.5）分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）求直方图中a的值；（Ⅱ）若将频率视为概率，从该城市居民中随机抽取3人，记这3人中月均用水量不低于3吨的人数为X，求X的分布列与数学期望．（Ⅲ）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x（吨），估计x 的值（精确到0.01），并说明理由．【解答】解：（Ⅰ）根据频率和为1，得（0.06+0.18+2a+0.42+0.52+0.11+0.06+0.03）×0.5=1，解得a=0.30；（Ⅱ）月均用水量不低于3吨的频率为（0.11+0.06+0.03）×0.5=0.1，则p=0.1，抽取的人数为X，则X的可能取值为0，1，2，3；∴P（X=0）=•0.93=0.729，P（X=1）=•0.1•0.92=0.243，P（X=2）=•0.12•0.9=0.027，P（X=3）=•0.13=0.001；∴X的分布列为数学期望为EX=0×0.729+1×0.243+2×0.027+3×0.001=0.3；（Ⅲ）由图可知，月均用水量小于2.5吨的居民人数所占的百分比为0.5×（0.06+0.18+0.3+0.42+0.52）=0.73，即73%的居民月均用水量小于2.5吨；同理，88%的居民月均用水量小于3吨；故2.5＜x＜3，假设月均用水量平均分布，则x=2.5+0.5×=2.9（吨），即85%的居民每月用水量不超过标准为2.9吨．19．（12分）如图，在棱台ABC﹣FED中，△DEF与△ABC分别是棱长为1与2的正三角形，平面ABC⊥平面BCDE，四边形BCDE为直角梯形，BC⊥CD，CD=1，N为CE中点，．（Ⅰ）λ为何值时，MN∥平面ABC？（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求直线AN与平面BMN所成角的正弦值．【解答】解：（Ⅰ）当，即M为AF中点时MN∥平面ABC．事实上，取CD中点P，连接PM，PN，∵AM=MF，CP=PD，∴MP∥AC，∵AC⊂平面ABC，MP⊄平面ABC，∴MP∥平面ABC．由CP∥PD，CN∥NE，得NP∥DE，又DE∥BC，∴NP∥BC，∵BC⊂平面ABC，NP⊄平面ABC，∴NP∥平面ABC．∴平面MNP∥平面ABC，则MN∥平面ABC；（Ⅱ）取BC中点O，连OA，OE，∵AB=AC，OB=OC，∴AO⊥BC，∵平面ABC⊥平面BCDE，且AO⊂平面ABC，∴AO⊥平面BCDE，∵OC=，BC∥ED，∴OE∥CD，又CD⊥BC，∴OE⊥BC．分别以OE，OC，OA所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系．则A（0，0，），C（0，1，0），E（1，0，0），，∴F（1，，），M（，，），N（）．设为平面BMN的法向量，则，取z=1，得．cos＜＞=．∴直线AN与平面MNB所成角的正弦值为．20．（12分）已知椭圆的右焦点为F，过椭圆C中心的弦PQ长为2，且∠PFQ=90°，△PQF的面积为1．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设A1、A2分别为椭圆C的左、右顶点，S为直线上一动点，直线A1S交椭圆C于点M，直线A2S交椭圆于点N，设S1、S2分别为△A1SA2、△MSN的面积，求的最大值．【解答】解：（Ⅰ）弦PQ过椭圆中心，且∠PFQ=90°，则c=丨OF丨=丨PQ丨=1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）不妨设P（x0，y0）（x0，y0＞0），∴，△PQF的面积=×丨OF丨×2y0=y0=1，则x0=1，b=1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）a2=b2+c2=2，∴椭圆方程为+y2=1；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（Ⅱ）设S（2，t），直线A1S：x=y﹣，则，整理（+2）y2﹣y=0，解得y1=，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）同理，设直线A2S：x=y+，得（+2）y2+y=0，解得y2=﹣，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）则==丨×丨﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）≤×=，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）当且仅当t2+9=3t2+3，即t=±时取“=”﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）21．（12分）已知f（x）=e2x+ln（x+a）．（1）当a=1时，①求f（x）在（0，1）处的切线方程；②当x≥0时，求证：f （x）≥（x+1）2+x．（2）若存在x0∈[0，+∞），使得成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）a=1时，f（x）=e2x+ln（x+1），f′（x）=2e2x+，①可得f（0）=1，f′（0）=2+1=3，所以f（x）在（0，1）处的切线方程为y=3x+1；②证明：设F（x）=e2x+ln（x+1）﹣（x+1）2﹣x（x≥0），F′（x）=2e2x+﹣2（x+1）﹣1F″（x）=4e2x﹣﹣2=[e2x﹣﹣]+2（e2x﹣1）+e2x＞0，（x≥0），所以，F′（x）在[0，+∞）上递增，所以F′（x）≥F′（0）=0，所以，F（x）在[0，+∞）上递增，所以F（x）≥F（0）=0，即有当x≥0时，f（x）≥（x+1）2+x；（2）存在x0∈[0，+∞），使得成立⇔存在x0∈[0，+∞），使得e﹣ln（x0+a）﹣x02＜0，设u（x）=e2x﹣ln（x+a）﹣x2，u′（x）=2e2x﹣﹣2x，u″（x）=4e2x+﹣2＞0，可得u′（x）在[0，+∞）单调增，即有u′（x）≥u′（0）=2﹣①当a≥时，u′（0）=2﹣≥0，可得u（x）在[0，+∞）单调增，则u（x）min=u（0）=1﹣lna＜0，解得a＞e；②当a＜时，ln（x+a）＜ln（x+），设h（x）=x﹣﹣ln（x+），（x＞0），h′（x）=1﹣=，另h′（x）＞0可得x＞，h′（x）＜0可得0＜x＜，则h（x）在（0，）单调递减，在（，+∞）单调递增．则h（x）≥h（）=0．设g（x）=e2x﹣x2﹣（x﹣），（x＞0），g′（x）=2e2x﹣2x﹣1，g″（x）=4e2x﹣2＞4﹣2＞0，可得g′（x）在（0，+∞）单调递增，即有g′（x）＞g′（0）=1＞0，则g（x）在（0，+∞）单调递增，则g（x）＞g（0）＞0，则e2x﹣x2＞x﹣＞ln（x+）＞ln（x+a），则当a＜时，f（x）＞2ln（x+a）+x2恒成立，不合题意．综上可得，a的取值范围为（e，+∞）．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知极点为直角坐标系的原点，极轴为x轴正半轴且单位长度相同的极坐标系中曲线C1：ρ=1，（t为参数）．（Ⅰ）求曲线C1上的点到曲线C2距离的最小值；（Ⅱ）若把C1上各点的横坐标都扩大为原来的2倍，纵坐标扩大为原来的倍，得到曲线．设P（﹣1，1），曲线C2与交于A，B两点，求|PA|+|PB|．【解答】解：（Ⅰ）∵曲线C1：ρ=1，∴曲线C1的直角坐标方程为：x2+y2=1，∴圆心为（0，0），半径为r=1，（t为参数）消去参数t的C2：y=x+2，（2分）∴圆心到直线距离d=，（3分）∴曲线C1上的点到曲线C2距离的最小值为．（5分）（Ⅱ）∵把C1上各点的横坐标都扩大为原来的2倍，纵坐标扩大为原来的倍，得到曲线．∴伸缩变换为，∴曲线：=1，（7分）（t为参数）代入曲线，整理得．∵t1t2＜0，（8分）∴|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1﹣t2|=．（10分）[选修4-5：不等式选讲]23．已知x，y∈R．（Ⅰ）若x，y满足，，求证：；（Ⅱ）求证：x4+16y4≥2x3y+8xy3．【解答】证明：（Ⅰ）利用绝对值不等式的性质得：|x|=[|2（x﹣3y）+3（x+2y）|]≤[|2（x﹣3y）|+|3（x+2y）|]＜（2×+3×）=；（Ⅱ）因为x4+16y4﹣（2x3y+8xy3）=x4﹣2x3y+16y4﹣8xy3=x3（x﹣2y）+8y3（2y﹣x）=（x﹣2y）（x3﹣8y3）=（x﹣2y）（x﹣2y）（x2+2xy+4y2）=（x﹣2y）2[（x+y）2+3y2]≥0，∴x4+16y4≥2x3y+8xy3。

东北三省三校(哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)2017届高三第三次模拟数学(理)试题(

哈师大附中2017年高三第三次模拟考试理科数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 设复数满足（是虚数单位），则（）A. B. 2 C. 1 D.【答案】A2. ，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为或，所以，故应选答案B。

3. 下列函数中，既是偶函数，又在区间单调递减的函数是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】逐一考查所给的函数：A. ，函数是奇函数；B. 函数是偶函数，在区间是增函数；C. 函数是偶函数，在区间不具有单调性；D. 函数是偶函数，在区间单调递减；本题选择D选项.4. 等比数列，若，，则为（）A. 32B. 64C. 128D. 256【答案】B【解析】由等比数列的性质可知：构成等比数列，且故，本题选择B选项.点睛：熟练掌握等比数列的一些性质可提高解题速度，历年高考对等比数列的性质考查较多，题目“小而巧”且背景不断更新．解题时要善于类比并且要能正确区分等差、等比数列的性质，不要把两者的性质搞混．5. 已知，且，则的值为（）A. B. C. D. ...【答案】C【解析】由题意可得：，即：，由的范围可得，两边平方可得： .本题选择C选项.6. 下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图时，若输入，分别为18,27，则输出的（）A. 0B. 9C. 18D. 54【答案】B【解析】因为，所以，此时，则，此时，运算程序结束，输出，应选答案B 。

7. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. B. C.D.【答案】A【解析】从题设中提供的三视图中的数据信息与图形信息可知该几何体是底面为边长为2的正方形，高是2的四棱锥，如图，其体积，应选答案A 。

8. 3位男生和3位女生共6位同学站成一排，则3位男生中有且只有2位男生相邻的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】三个男生都不相邻的排列有：种，三个男生都相邻的排列有：种，六个人所有肯能的排列有种，据此可知3位男生中有且只有2位男生相邻的概率为 .本题选择C选项.9. 已知，，点满足，若，则的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意可得：，则：，...即 .其中，由正弦定理：，整理可得：的值为 .本题选择C选项.10. 中心在原点的椭圆与双曲线具有相同的焦点，，，为与在第一象限的交点，且，若椭圆的离心率，则双曲线的离心率的范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】设椭圆方程为：，由题意有：，设双曲线方程为，同理可得,由有：.本题选择C选项.点睛：圆锥曲线的离心率是圆锥曲线最重要的几何性质，求圆锥曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e 的取值范围)．11. 三棱锥中，底面满足，，在面的射影为的中点，且该三棱锥的体积为，当其外接球的表面积最小时，到面的距离为（）A. 2B. 3C.D.【答案】B【解析】设AC的中点为D，连结PD，很明显球心在PD上，设球心为O，PD=h，AB=x，则：，在Rt△OAD中：，设,则：，解得：，当且仅当时等号成立，即当其外接球的表面积最小时，到面的距离为3 . 点睛：两个防范一是在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．对于公式，要弄清它们的作用、使用条件及内在联系，两个公式也体现了ab和a＋b的转化关系．二是在利用不等式求最值时，一定要尽量避免多次使用基本不等式．若必须多次使用，则一定要保证它们等号成立的条件一致.12. 设函数，若曲线上存在，使得成立，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，所以，即，所以由题意存在使得成立，即在区间上有解，也即方程有解。

【黑龙江省哈尔滨市师大附属中学】2017年高三第三次模拟考试数学(理科)试卷-答案

黑龙江省哈尔滨市师大附属中学2017年高三第三次模拟考试
数学（理科）试卷
答案
一、选择题
1~．ABDBC
6~10．BACCC
11~12．BD
二、填空题
13．27
14．
15．1375
16．
三、解答题
17．解（1）（1分）
（2分）
为对称轴，所以（3分）
（4分）
令
所以的单调递增区间为（6分）
（2）（8分）
不妨设（，），
所以（4分）
所以椭圆方程为（5分）
（2）设直线，代入中，
得，解得（7分）
同理，设直线，带入中，
得，解得（8分）
（10分）
（11分）
当且仅当，即时取“ ”（12分）
21．（1）时，，（1分）
，，所以在处的切线方程为（3分）
设（）
（4分）
所以，在上递增，所以（6分）
（2）伸缩变换为，所以（7分）
将和联立，得．因为（8分）
（10分）
23（1）
（5分）
（2）证明：
（10分）
黑龙江省哈尔滨市2017年师大附属中学高三第三次模拟考试
数学（理科）试卷
解析
无
所以，在上递增，所以（7分）
（2）原问题使得
设
在单调增
当时，
在单调增，
（10分）
当时，
设，（）
另，
在单调递减，在单调递增
设，（）
在单调递增
在单调递增
当时，恒成立，不合题意（12分）
22．（1），圆心为，半径为；

黑龙江省哈尔滨市第三中学2017届高三第三次模拟考试数学(理)试题 Word版含答案

2017年哈尔滨市第三中学第三次高考模拟考试数学试卷（理工类）考试说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；（2）选择题必须使用2B 铅笔填涂, 非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写, 字体工整, 字迹清楚；（3）请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；（4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．第I 卷（选择题, 共60分）一、选择题(共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1. 已知集合(){}{}2|ln 2,|340M x y x N x x x ==-=--≤，则=N M IA. )2,1[-B. ]2,1[-C. ]1,4[-D. ]4,1[-2.()211i i-+的虚部为A ．iB ．1-C ．i -D ．13. 已知向量,a b 满足1,2,3,⋅===a b a b 则a b -=A .B . 6C .D . 54. 已知,x y 满足：020x x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩，若目标函数z ax y =+取最大值时的最优解有无数多个，则实数a 的值是A. 0B. 1-C. 1±D. 15. 椭圆22:143x y C +=与双曲线2222:1(,0)x y E a b a b-=>有相同的焦点，且两曲线的离心率互为倒数，则双曲线渐近线的倾斜角的正弦值为A ．21B．2 C．3D．26. 一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为A ．323B ．503C ．643D ．8037.《孙子算经》是我国古代的数学著作,其卷下中有类似如下的问题：“今有方物一束，外周一匝有四十枚，问积几何？”如右图是解决该问题的程序框图，若设每层外周枚数为a ，则输出的结果为A ． 81B ．74C ．121 D ．1698. 已知函数2()2(2)55f x f x x x =--+-,则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为A. y x =B. 23y x =-+C. 34y x =-+D. 2y x =-9. 一条光线从点(1,1)-射出，经y 轴反射后与圆22(2)1-+=x y 相交，则入射光线所在直线的斜率的取值范围为A . 3,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B . 30,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦C . 3,04⎛⎫-⎪⎝⎭D . 30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭10. 在拍毕业照时，六个同学排成一排照相，要求其中一对好友甲和乙相邻，且同学丙不能和甲相邻的概率为A .115B .215C .415D .1511. 正四面体ABCD 中，M 是棱AD 的中点，O 是点A 在底面BCD 内的射影，则异面直线BM 与AO 所成角的余弦值为A B. C.D12. 定义在R 上的可导函数()f x ，其导函数记为()f x '，满足()()()221f x f x x +-=-，且当1x ≤时，恒有()2f x x '+<．若()()3132f m f m m --≥-，则实数m 的取值范围是 A .(],1-∞ B .1,13⎛⎤- ⎥⎝⎦C .[)1,+∞D .1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦2017年哈尔滨市第三中学第三次高考模拟考试数学试卷（理工类）第Ⅱ卷（非选择题, 共90分）二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．） 13. 知()()()()234401234(21)1111x a a x a x a x a x +=++++++++，则1234a a a a +++的值是．14.函数2cos 2y x x =-的图象可由函数2sin(2)6y x π=+的图象至少向右平移个单位长度得到． 15. 下列共有四个命题：（1）命题“2000,13x R x x ∃∈+>”的否定是“x x R x 31,2<+∈∀”；（2）在回归分析中，相关指数2R 为0.96的模型比2R 为0.84的模型拟合效果好；（3）,,a b R ∈11:,:0,p a b q b a <<<则p 是q 的充分不必要条件；（4）已知幂函数2()(33)mf x m m x =-+为偶函数，则(2)4f -=. 其中正确的序号为 .（写出所有正确命题的序号） 16. 已知ABC ∆的三个内角,,A B C 的对应边分别为,,c a b ,且2ABC S ∆=. 则使得 22sin sin sin sin B C m B C +=成立的实数m 的取值范围是 .三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17. （本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足()1121,2,n n n S S a n n N *--=++≥∈，且13a =. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求证：121111 (1112)n a a a +++<+++.18.（本小题满分12分）为调查高中生的数学成绩与学生自主学习时间之间的相关关系，某重点高中数学教师对新入学的45名学生进行了跟踪调查，其中每周自主做数学题的时间不少于15小时的有19人，余下的人中，在高三模拟考试中数学平均成绩不足120分的占813，统计成绩后，得到如下的22⨯列联表：（Ⅰ）请完成上面的22⨯列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“高中生的数学成绩与学生自主学习时间有关”；（Ⅱ）（i ）按照分层抽样的方法，在上述样本中，从分数大于等于120分和分数不足 120分的两组学生中抽取9名学生，设抽到的不足120分且周做题时间不足 15小时的人数是X ，求X 的分布列（概率用组合数算式表示）；（ii ）若将频率视为概率，从全校大于等于120分的学生中随机抽取20人，求这些人中周做题时间不少于15小时的人数的期望和方差.附：()()()()22()n ad bc K a b c d a c b d -=++++19.（本小题满分12分）如图所示的几何体是由棱台111ABC A B C -和棱锥11D AA C C -拼接而成的组合体，其底面四边形ABCD 是边长为2的菱形，且60BAD ∠=︒，1BB ⊥平面ABCD ，11122BB A B ==．（Ⅰ）求证：平面1AB C ⊥平面1BB D ；（Ⅱ）求二面角11A BD C --的余弦值．20．（本小题满分12分）已知抛物线)0(2:2>=p px y G ，过焦点F 的动直线l 与抛物线交于,A B 两点，线段AB 的中点为M .（Ⅰ）当直线l 的倾斜角为4π时，||16AB =．求抛物线G 的方程；（Ⅱ）对于（Ⅰ）问中的抛物线G ，是否存在x 轴上一定点N ，使得||2||AB MN - 为定值，若存在求出点N 的坐标及定值，若不存在说明理由.21．（本小题满分12分）（0a >且1a ≠）为定义域上的增函数，()'f x 是函数()f x 的导数，且()'f x 的最小值小于等于0. （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）设函数32()()4ln 63g x f x x x x =--+，且12()()0g x g x +=，求证：122x x +≥请从下面所给的22、23题中任选一题作答，如果多做，则按做的第一题计分. 22.（本小题满分10分）已知曲线C的参数方程为12x y αα⎧=⎪⎨=+⎪⎩(α为参数)，以直角坐标系原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.（Ⅰ）求曲线C 的极坐标方程；（Ⅱ）设 12:,:63l l ππθθ==，若12l l 、与曲线C 相交于异于原点的两点A B 、，求AOB∆的面积..23.（本小题满分10分）设函数4()1,(0) f x x a x aa=+++->.（Ⅰ）证明：()5f x≥；（Ⅱ）若(1)6f<成立，求实数a的取值范围.2017年哈三中第三次高考模拟考试答案1.A2.B3.C4.D5.D6.D7.C8.A9.C 10.C 11.B 12.D 13.0 14.6π15.(2)(4) 16.[]2,4 17. （本小题满分12分）（Ⅰ）由题意121n n a a -=+()2,n n N *≥∈()1121n n a a -∴+=+ …………………………………..3分又114a +=1142n n a -∴+=⨯………………………………………………5分 121n n a +∴=-……………………………………………………6分（Ⅱ）112n n a ++=，∴111n a +⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是首项为14，公比为12的等比数列，因此1211111142 (111112)n n a a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭+++=+++-…………………………………9分11122n ⎛⎫=-⎪⎝⎭……………………………………………………………………………..11分 12<…………………………………………………………………………………………….12分 18. （本小题满分12分）（Ⅰ）Q 2245(1516104)7.287 6.63525201926K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯ ∴能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“高中生的数学成绩与学生自主学习时间有关” ………..……..4分（Ⅱ）（i ）由分层抽样知大于等于120分的有5人，不足120分的有4人……….5分 X 的可能取值为0,1,2,3,4………………………………………………………………………6分()4164200C P X C ==，()134164201C C P X C ⋅==，()224164202C C P X C ⋅==，()314164203C C P X C ⋅==，()444204C P X C ==…………………………8分（ii ）设从全校大于等于120分的学生中随机抽取20人，这些人中周做题时间不少于15小时的人数为随机变量Y ，……………………………………..9分由题意可知()20,0.6Y B :，……………………………………………..10分故()12,E Y =………………………………………………………………………11分() 4.8D Y =………………………………………………………………………..12分19．（本小题满分12分）（Ⅰ）∵1BB ⊥平面ABCD ∴1BB ⊥AC在菱形ABCD 中，BD ⊥AC 又1BD BB B ⋂= ∴AC ⊥平面1BB D………………………………2分∵AC ⊂平面1AB C ∴平面1AB C ⊥平面1BB D ………………4分（Ⅱ）连接BD 、AC 交于点O ，以O 为坐标原点，以OA 为x 轴，以OD 为y 轴，如图建立空间直角坐标系. ...... (5)1(0,1,0),(0,1,0),(0,1,2),B D B A --11111,2)22B A BA A =⇒-u u u u r u u u r ，同理11(,2C -11,2)2BA =u u u r ,(0,2,0)BD =u u u r ,11(,2BC =u u u u r 设平面1A BD 的法向量),,(z y x =∴10BA n BD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r ru u u r r ，则(n =-r …… …… ……8分设平面DCF 的法向量),,(z y x =10BD m BC m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u r u u u ur u r ，则m =u r ………………11分设二面角11A BD C --为θ，13cos 19m n m n θ⋅==u u r r……… ……12分 20．（本小题满分12分）（Ⅰ）由题意知(,0)2pF设直线l 的方程为()2p x ty t R =+∈ ，221212(,),(,)22y y A y B y p p ……………………..1分由 222y px p x ty ⎧=⎪⎨=+⎪⎩ 得：2220y pty p --=222440p t p ∆=+> 212122,y y pt y y p +==- …………………… 2分2||2(1)AB p t ==+ …………….4分当直线l 倾斜角为4π 时，1t =， ||416AB p == ，得4p = ，所以抛物线G 的方程为28y x =. …………………………….6分（2）假设在x 轴上存在点(,0)N a 使得||2||AB MN -为定值.由（1）知2||8(1)AB t =+ …………………………………………7分 212()2422M t x y y t =++=+ ，4M y t = ，即2(42,4)M t t + ………….8分若满足题意22||2(4)MN t k ==+ ………10分,即222403282(2)t k a k a k ⎧+≥⎪-=⎨⎪-=⎩解得3,1a k == ，此时||2||6AB MN -=综上在x 轴上存在点(3,0)N 使得||2||AB MN -为定值6………………….12分注:其它做法酌情给分21．（本小题满分12分）（Ⅰ）21()23ln f x x x x a'=-+，……………………………………………………1分由()f x 为增函数可得，()0f x '≥恒成立，则由2321123023ln ln x x x x x a a -+≥⇒-≥-，设32()23m x x x =-，则2()66m x x x '=-，若由()()610m x x x '=->和()()610m x x x '=-<可知,()m x 在()0,1上减，在()1,+∞上增，在1处取得极小值即最小值，所以min ()=(1)1m x m =-，所以11ln a -≥-，11ln a≤，当1a >时，易知a e ≤，当01a <<时，则10ln a <，这与11ln a≤矛盾，从而不能使得()0f x '≥恒成立，所以a e ≤………………………………………3分由min ()0f x '≤可得，21230ln x x x a -+≤，即32123ln x x a -≤-，由之前讨论可知，11ln a-≤-，当10a >>时，11ln a-≤-恒成立，当1a >时，11ln 1ln ln ln a a e a e a≥⇒≥⇒≥⇒≥，综上a e =...................................................................................................................6分（II ）32322323()ln 4ln 6=3ln 63232g x x x x x x x x x x =-+--+--+，因为12()()0g x g x +=，所以22111222333ln 6+3ln 6=022x x x x x x ⎛⎫--+--+ ⎪⎝⎭，所以()()2212121233ln()602x x x x x x -+-++= ()()21212121212ln()202x x x x x x x x ⎡⎤-+--++=⎢⎥⎣⎦()()2121212121ln()202x x x x x x x x -++-++= 所以()()21212121212ln()2x x x x x x x x -+++=-，…………………………………………………..9分令12=x x t ，()ln g t t t =-，11()1t g t t t-'=-=， ()g t 在()0,1上增，在()1,+∞上减，()(1)1g t g ≤=-，所以()()212121212x x x x -+++≤-，整理得()()21212420x x x x +-+-≥，解得122x x +≥或122x x +≤（舍），所以122x x +≥得证……………………………………………………………………………………….. 12分22.选做题（本小题满分10分）( Ⅰ)曲线C 的普通方程为5)2(122=-+-y x ）（， ……………………………… 2分将⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x 代入得：θθρsin 4cos 2+= ………………………4分4358sin 21+=∠=∆AOB OB OAS AOB …………………………………… 10分 23. 选做题（本小题满分10514241)(,0=+⋅≥++≥∴>a a a a x f a Θ …………………………………. 5分①② ……………………………………………………………………………………………9分综上，实数a 的取值范围是)4,1( ………………………… 10分。

黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2017届高三数学(理)试题 Word版含解析

3 ，则 tan( ) 等于() 5 4
1 7
D. 7
A.
1 7
B.7
C.
【考点】两角和与差的三角函数
【试题解析】因为由已知得
故答案为：A 【答案】A 5.已知 ABC 中， a 4, b 4 3, A 30 ，则 B 等于()

A. 30 B. 30 或 150 C. 60 D. 60 或 120 【考点】正弦定理【试题解析】因为故答案为：D 【答案】D 6.要得到函数 f ( x) sin(2 x

6
)；

6
, 0) 对称；
④ y f ( x) 的图象关于直线 x 【考点】三角函数的图像与性质【试题解析】因为①若

6
对称.其中正确的是。
②
③ 故答案为：②③ 【答案】②③
的图象关于点
对称正确；④显然不正确。
三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
x ， x [0, ] . 2
2

sin x n 对一切 x (0, ) 恒成立，求 m 和 n 的取值范围. 2 x
【考点】利用导数研究函数的单调性【试题解析】（1），
，令
，解得
所以
又因为
所以（2）由（1）得，
得证
，所以
，
设 ① 时，
，则，
，单调递减，且，所以成立

1 1 1 1 a b B. a b 2 2 2 2
C. a

1 1 1 b D. a b 2 2 2
【考点】平面向量的几何运算【试题解析】因为

2020届东北三省三校2017级高三下学期三模考试数学(理)试卷及解析

2020届东北三省三校2017级高三下学期三模考试数学（理）试卷★祝考试顺利★(解析版)一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1. 设全集U =R ,集合{|(1)(3)0}A x x x =--≥,11|24x B x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=>⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭.则集合()U A B 等于（）A. (1,2)B. (2,3]C. (1,3)D. (2,3) 【答案】A【解析】先算出集合U A ,再与集合B 求交集即可. 【详解】因为{|3A x x =≥或1}x ≤.所以{|13}U A x x =<<,又因为{}|24{|2}x B x x x =<=<. 所以(){|12}U A B x x ⋂=<<.故选：A .2. 设复数z 满足i (i i 2i z z -=-为虚数单位),则z =（） A. 13i 22- B. 13i 22+ C. 13i 22-- D. 13i 22-+ 【答案】B【解析】易得2i 1iz +=-,分子分母同乘以分母的共轭复数即可. 【详解】由已知,i i 2z z -=+,所以2i (2i)(1i)13i 13i 1i 2222z ++++====+-. 故选：B. 3. 用电脑每次可以从区间(0,3)内自动生成一个实数,且每次生成每个实数都是等可能性的.若用该电脑连续生成3个实数,则这3个实数都小于1的概率为（）A. 427B. 13C. 127D. 19【答案】C【解析】由几何概型的概率计算,知每次生成一个实数小于1的概率为13,结合独立事件发生的概率计算即可.【详解】∵每次生成一个实数小于1的概率为13.∴这3个实数都小于1的概率为311327⎛⎫= ⎪⎝⎭. 故选：C.4. 如图所示是某年第一季度五省GDP 情况图,则下列说法中不正确的是（）A. 该年第一季度GDP 增速由高到低排位第3的是山东省B. 与去年同期相比,该年第一季度的GDP 总量实现了增长C. 该年第一季度GDP 总量和增速由高到低排位均居同一位的省份有2个D. 去年同期浙江省的GDP 总量超过了4500亿元【答案】D【解析】根据折线图、柱形图的性质,对选项逐一判断即可.【详解】由折线图可知A 、B 项均正确,该年第一季度GDP 总量和增速由高到低排位均居同一位的省份有江苏均第一.河南均第四.共2个.故C 项正确；4632.1(1 3.3%)44844500÷+≈<. 故D 项不正确.故选：D.5. 已知α为锐角,322sin αα=,则cos2α等于（）。

2017年黑龙江省哈尔滨三中高考数学三模试卷(理科)Word版含解析

2017年黑龙江省哈尔滨三中高考数学三模试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.）1. 已知集合M={x y=ln （2 ・x）}, N={x x2・ 3x ・ 4W0},则MAN=（）A. [・1, 2）B. [ - 1, 2]C. [ - 4, 1]D.[・1, 4]2. 汽的虚部为（）1+1A. iB. - 1C. - iD. 13. 已知向量a，b 满足a*b=l, al =2» b =3,则a・bl=（）A. A/13B. 6C. A/11D. 54. 已知x, y满足：計穴2,若U标函数z=ax+y取最大值时的最优解有无数多个，则实数a的值是（）A. 0B. - 1C. ±1D. 12 2 2 25. 椭圆G「+工_二1与双曲线氐务牛1（/ b>0）有相同的焦点，且两曲线43 a2 b2的离心率互为倒数，则双曲线渐近线的倾斜角的正弦值为（V36. 一个儿何体的三视图如图所示，则该儿何体的体积为（7. 《孙子算经》是我国古代的数学著作，其卷下中有类似如下的问题：“今有方物一束，外周一匝有四十枚，问积儿何？〃如右图是解决该问题的程序框图，若设每层外周枚数为a,则输岀的结果为（）A. 81B. 74C. 121 D ・ 169& 已知函数 f (x) =2f (2 - x) - X 2+5X - 5,则曲线 y=f (x)在点(1, f (1)) 处的切线方程为( )A. y=xB. y= - 2x+3 C ・ y 二-3x+4 D. y=x - 2 9・一条光线从点（1, -D 射出，经y 轴反射后与圆（X-2） 2+y2“相交，则入射光线所在直线的斜率的取值范圉为（） A. [-4, 0] B. [0, 41C. （-4, 0）D. （0, 4） 4 4 - 44 10・在拍毕业照时，六个同学排成一排照相，要求其中一对好友屮和乙相邻，且同学丙不能和中相邻的概率为（） 124 1 ‘「・ C A —R D _• • 15 - 15 - 15 • 5口・正四面体ABCD 中，M 是棱AD 的中点，O 是点A 在底面BCD 内的射影，则异面直线BM 与AO 所成角的余弦值为（） A.华B.李C.华D.售 6 3 4 512.定义在R 上的可导函数f （x ）,m 的取值范围是()B. T7TC.D. 其导函数记为f 1（X ）,满足f （x ） +f （2 - x ）（x ・l ） 2,且当xWl 时，恒有 f-3ir,则实数A. ( - oo, I]B.(寺1]C. [1, +oo)D. (a,寺]二、填空题(共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上.)13 . 已知(x+l) + a2(x+l) 2+a3(x+l ) 3+a4(x+l )4 , 则ai+a2+a3+a4 的值是 .14. 函数y=V3sin2x - cos2x的图象可山函数尸2sin(2x4_*)的图象至少向右平移个单位长度得到.15. 下列共有四个命题：⑴命题x0 £ R,舟1>3吋的否定是"VxER, X2+1<3X W；(2)在回归分析中，相关指数R2为0.96的模型比R2为0.84的模型拟合效果好;(3)a, bGR, P； a<b, q；<0,则p是q的充分不必要条件；b a(4)已知幕函数f (x) = (m2 - 3m+3) x m为偶函数，则f (・2) =4.其中正确的序号为—.(写出所有正确命题的序号)16. 已知AABC的三个内角A, B, C的对应边分别为a, b, c,且S△血辛汽则使得sin2B+sin2C=msinBsinC成立的实数m的取值范围是 _____ .三、解答题(本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤・)17. 已知数列｛aj 的前n 项和为Sn,满足S n=S rrl + 2a n_1-H, (n>2, ngN*),且ai=3.(I)求数列｛aj的通项公式；(口)求证：爲卜点+…18. 为调查高中生的数学成绩与学生自主学习时间之间的相关关系，某重点高中数学教师对新入学的45名学生进行了跟踪调查，其中每周自主做数学题的时间不少于15小时的有19人，余下的人中，在高三模拟考试中数学平均成绩不足120分的占备，统计成绩后，得到如下的2X2列联表：分数大于等于120 分数不足120 合计分分周做题时间不少于15小时 4 19周做题时间不足15小时___ _______________ ___________ 合计____ _______________ 45（I）请完成上面的2X2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“高中生的数学成绩与学生自主学习时间有关"；（H）（i）按照分层抽样的方法，在上述样本中，从分数大于等于120分和分数不足120分的两组学生中抽取9名学生，设抽到的不足120分且周做题时间不足15小时的人数是X,求X的分布列（概率用组合数算式表示）；（ii）若将频率视为概率，从全校大于等于120分的学生中随机抽取20人，求这些人中周做题时间不少于15小时的人数的期望和方差.附:0.050 0.010 0.0012 n(ad-bc)1(a+b)(c+d) (a+c)(b+ d)P (K2±ko)ko 3.841 6.635 10.82819.如图所示的几何体是由棱台ABC - AiBiCi和棱锥D -AA I C I C拼接而成的组合体，其底面四边形ABCD是边长为2的菱形，且ZBAD=60°, BBi丄平面ABCD,BBi=2AiBi=2.（I ）求证：平面ABiC丄平面BBiD；（II）求二面角Ai - BD - Ci的余弦值.D20. 已知抛物线G ： y 2=2px (p>0),过焦点F 的动直线I 与抛物线交于A, B 两点，线段AB 的中点为M.TT(I )当直线I 的倾斜角为时，AB =16.求抛物线G 的方程；(H) 对于(I )问中的抛物线G,是否存在x 轴上一定点N,使得AB ・2|MN| 为定值，若存在求出点N 的坐标及定值，若不存在说明理由.21. 已知函数f (X )=£x3 ■訴2+|ogaX, (a>0且a#l)为定义域上的增函数，f' (x)是函数f (x)的导数，且f (x)的最小值小于等于0.(I) 求a 的值；(II)设函数g(x) =f(x)x 3-4lnx+ 6x»且 g(xi)+g(x 2)=0,求证:x 1+x 2>2+V6.请从下面所给的22、23题中任选一题作答，如果多做，则按做的第一题计分. 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.(I)求曲线c 的极坐标方程；•JrJT (H)设11： 0—12；若11、12与曲线c 相交于异于原点的两点A 、B,求AAOB 的面积. 23.设函数f(x) = |x+a-1-l | + |x — I»(£L 〉0).a(I )证明：f (x) $5； (口)若f (1) <6成立，求实数a 的取值范围.2017年黑龙江省哈尔滨三中高考数学三模试卷(理科)翁考答案与试题解析一.选择题(共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的•)1.已知集合 M={x y=ln (2 -x) }, N={x x 2-3x-4^0},则 MAN=( )22.已知曲线C 的参数方程为上二 1+屈cos a(a 为参数)，以直角坐标系原点OA. [ - 1, 2) B・ Ob 2] C・[-4. 1] D・[-1, 4]【考点】IE ：交集及其运算.【分析】分别求出关于M 、N 的不等式，求出M 、N 的交集即可.【解答】解:M={x y=ln (2 -x) } = {x x<2},N={x X 2-3X -4^0} = {X -2W X W4},则 M ON={x - l^x<2},故选：A. 2.(上i )t 的虚部为( )1+iA. iB. - 1 C ・・ i D ・ 1【考点】AS ：复数代数形式的乘除运算.【分析】利用复数的运算法则、共轨复数与虚部的左义即可得岀.故选：B.3.己知向彊；a ，M 苗足a =2, b =3,贝ij 吕~ b =( )A. V13 B ・ 6 C ・ V1T D ・ 5【考点】9R ：平而向量数量积的运算.【分析】根据平而向量数量积的左义与模长公式，求模长a- b 即可•【解答】解：向录少b 满足a*方=2’ fc, =3»•: (a-b)2=a 2 - 2 a * b+b 2=2' - 2X1+32=11,••- a-b ML故选：c.\>04.已知x, y 满足：x+y<2,若目标函数z=ax+y 取最大值时的最优解有无数多个，贝U 实数a 的值是( )A. 0B. - 1C. ±1D. 1【考点】7C ：简单线性规划.【解答】解: (1-1) 2 一-2述1-» . i+i (l-i) =-l-i 的虚部为【分析】作岀不等式对应的平而区域，利用线性规划的知识，要使目标函数的最优解有无数个，则目标函数和其中一条直线平行，然后根据条件即可求出a 的值.【解答】解：作岀不等式组对应的平而区域如图：（阴影部分）.若a=0,则尸z,此时满足条件最大值不存：若 a>0,由 z=ax+y 得 y= - ax+z,若a>0,・•.目标函数的斜率k=-a<0.平移直线y= - ax+z,由图象可知当直线y=- ax+z 和直线x+y=2平行时，此时目标函数取得最大值时最优解有无数多个，此时a=l 满足条件：若aVO,目标函数的斜率k=-a>0.平移直线y= - ax+z,由图象可知直线y= - ax+z,此时目标函数取得最大值只有一个，此时a<0不满足条件.2 2 2 L5•椭圆C ：丄+宁二1与双曲线氐七-牛1（玉b>0）有相同的焦点，且两曲线的离4 3 a b心率互为倒数，则双曲线渐近线的倾斜角的正弦值为（【考点】K4：椭圆的简单性质；KC ：双曲线的简单性质.【分析】求出椭圆的离心率，得到双曲线的离心率，求出椭圆的焦点坐标，得到双曲线的焦点坐标.然后求解即可.A-12 • 2双曲线匪七-厶严1（呂，b>0）的焦点（±1, 0）, c=l,双曲线的离心率为2. a z b 双曲线渐近线尸土岛啲倾斜角的正弦值为：孚.故选：D.A ・S 罟【考点】L!：由三视图求而积、体积.【分析】由三视图还原原几何体，再由柱体的体积减去三棱锥的体积得答案.【解答】解：由三视图还原几何体如图,是底而为等腰直角三角形的直三棱柱截去一个三棱锥.【解答】解：椭圆c ；二1的焦点坐标（±lf 0）, 离心率为:寺, 则该几何体的体积为（直三棱柱的体积为寺X4X 4X 4=32.故选：D.7.《孙子算经》是我国古代的数学箸作，其卷下中有类似如下的问题：“今有方物一朿，外周一匝有四十枚，问积几何？"如右图是解决该问题的程序框图，若设每层外周枚数为a,则输出的结果为（）【考点】EF ：程序框图.【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S 的值, 模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案. 【解答】解：模拟程序的运行，可得a=l t S=O t n=l满足条件aW40,执行循环体，S=81, n=6, a=40截去的三棱锥的体积为斗X^X4X4X•••几何体的体积为3216 _803 ° 3执行循环体, S=l> n=2> a=8满足条件aW40, 执行循环体, S=9> n=3> a=16执行循环体, S=25> n=4> a=24满足条件aW40,执行循环体, S=49> n=5> a=32A. 81B. 74C. 121 D ・ 169满足条件aW40,执行循环体，S=121, n=7, a=48不满足条件a£40,退出循环，输出S的值为121.故选：C.8. 已知函数f(X)=2f (2 - X)- X2+5X - 5,则曲线y二f (x)在点(1> f (1))处的切线方程为( )A. y=xB. y= - 2x+3C. y= - 3x+4D. y二x ・ 2【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程.【分析】根据f (x) =2f (2-x) - X2+5X - 5.运用赋值法，令x=l和两边对x求导，求出尸f (x)在点(1, f (1))处的切线的斜率，切点坐标，根据点斜式可求切线方程.【解答】解：•・•函数f(x) =2f (2-x) - X2+5X - 5,Af (1) =2f (1) - 1+5 - 5,•••f (1) =1>•••函数 f (x) =2f (2-x) - X2+5X - 5f1 (x ) = - 2f (2 - x ) - 2x+5,:.V (1)=・ 2f (1) - 2+5,:.r (1) =1,・・・y=f (x)在(1, f (D)处的切线斜率为/=1.・•.函数y=f (x)在(1, f (D)处的切线方程为y - l=x - 1,即y=x.故选:A.9. 一条光线从点(1, -1)射出，经y轴反射后与圆(x-2) 2+/=1相交，则入射光线所在直线的斜率的取值范围为( )A. 0]B. [05弓]C. (-~5 0)D. (05孑)4 4 4 4【考点】IQ：与直线关于点、直线对称的直线方程.【分析】如图所示，由题意可设入射光线PQ的方程为：y-l=k(x - 1),可得Q(O, -1-k).反I _2—k I射光线QAB的方程为：y= - kx - 1 - k.利用直线与圆相交可得"77^7^一解出即可得出.【解答】解：如图所示, 由题意可设入射光线PQ的方程为：y+l=k (x-1), 令x=0,则y= - 1 - k,可得Q (0, - 1 - k)・反射光线QAB的方程为：y= - kx - 1 - k.则宠尹＜】，解得:.・.入射光线所在直线的斜率的取值范国为(弓，0).故选：C.io•在拍毕业照时，六个同学排成一排照相，要求苴中一对好友甲和乙相邻，且同学丙不能和甲相邻的概率为( )【考点】CB：古典概型及英概率计算公式.【分析】根据题意，首先计算甲乙相邻时，五位同学站成一排的情况数目，用捆绑法，将甲与乙看成一个整体，计算可得英情况数目；再计算在此条件下，甲、丙相邻的情况数目，分析可得若甲、丙相邻，必须是甲、乙、丙三人相邻，且甲在中间，由捆绑法计算可得其情况数目：从而求岀其中一对好友甲和乙相邻，且同学丙不能和甲相邻包含的基本事件个数，由等可能事件的概率公式，计算可得答案【解答】解：根据题意，六位同学站成一排合影留念，基本事件总数n=A 1=720,若甲乙相邻，将甲与乙看成一个整体，再与英他4人全排列，有A22XA S5=240种情况，若甲、丙相邻，必须是甲、乙、丙三人相邻，且甲在中间，可先将甲、乙、丙三人看成一个整体，其中令甲在中间，再与其他3人全排列，有A/XA宀48 种情况，・•・甲和乙相邻，且同学丙不能和甲相邻包含的基本事件个数m=240 - 48=192,故甲和乙相邻，且同学丙不能和甲相邻的概率p二旦=4熱莘.n 720 15故选：C.□・正四而体ABCD中，M是棱AD的中点，O是点A在底面BCD内的射影，则异而直线BM 与AO所成角的余弦值为（）A.亚B.施C.返D.返6 3 4 5【考点】LM：异面直线及貝所成的角.【分析】取BC中点E, DC中点F,连结DE、BF,则由题意得DECBF=O,取OD中点N,连结MN,贝l」MN〃AO,从而ZBMN是异面直线BM与AO所成角（或所成角的补角），由此能求岀异而直线BM与AO所成角的余弦值.【解答】解：取BC中点E, DC中点F,连结DE、BF,则由题意得DECBF=O,取OD中点N,连结MN,贝lj MN/7AO,AZBMN是异而直线BM与AO所成角（或所成角的补角），设正四而体ABCD的棱长为2,由BM=DE=V4Z1=V3, OD-|D0=^3，•I A。

东北三省三校(哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)2017届高三第三次模拟理科综合试题

哈师大附中2017年高三第三次模拟考试理科综合能力测试本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第33～38为选考题，其它题为必考题。

考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

2.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚。

3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。

4.保持卡面清洁，不折叠，不破损。

5.做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

可能用到的相对原子质量：H 1 C 12 N 14 O 16 S 32 Cl 35.5第Ⅰ卷一、选择题：本题共13小题，每小题6分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.以下关于各种人类疾病与其病原体的相关叙述，正确的是A.乙肝是由乙肝病毒引起，乙肝病毒只有核糖体一种细胞器B.结核杆菌可引起肺结核，其细胞内没有核仁，只有线状DNAC.灰指甲是由某些真菌引起，真菌不能发生染色体变异D.蛔虫可在人体肠道内寄生，其细胞具有生物膜系统2.有关细胞的描述正确的是A.多细胞生物体的细胞的凋亡和坏死对个体发育都是有利的B.个体发育过程中细胞分化发生于特定的时间和空间C.抑癌基因突变为原癌基因是细胞癌变的内在原因D.蛙的红细胞在无丝分裂时不进行DNA复制3.下列有关实验的叙述，错误的是A.紫色洋葱鳞片叶外表皮，可用来观察DNA和RNA的分布。

黑龙江省哈尔滨市2017届高三数学第三次模拟考试试题理

黑龙江省哈尔滨市2017届高三数学第三次模拟考试试题理考试说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；（2）选择题必须使用2B 铅笔填涂, 非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写, 字体工整, 字迹清楚；（3）请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；（4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．第I 卷（选择题, 共60分）一、选择题(共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1. 已知集合(){}{}2|ln 2,|340M x y x N x x x ==-=--≤，则=N MA. )2,1[-B. ]2,1[-C. ]1,4[-D. ]4,1[-2.()211i i-+的虚部为A ．iB ．1-C ．i -D ．13. 已知向量,a b 满足1,2,3,⋅===a b a b 则a b -=A .B . 6C .D . 54. 已知,x y 满足：020x x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩，若目标函数z ax y =+取最大值时的最优解有无数多个，则实数a 的值是A. 0B. 1-C. 1±D. 15. 椭圆22:143x y C +=与双曲线2222:1(,0)x y E a b a b-=>有相同的焦点，且两曲线的离心率互为倒数，则双曲线渐近线的倾斜角的正弦值为A ．21B ．2C ．3D ．26. 一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为A ．323B ．503C ．643D ．8037.《孙子算经》是我国古代的数学著作,其卷下中有类似如下的问题：“今有方物一束，外周一匝有四十枚，问积几何？”如右图是解决该问题的程序框图，若设每层外周枚数为a ，则输出的结果为A ． 81B ．74C ． 121D ．1698. 已知函数2()2(2)55f x f x x x =--+-,则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为A. y x =B. 23y x =-+C. 34y x =-+D. 2y x =-9. 一条光线从点(1,1)-射出，经y 轴反射后与圆22(2)1-+=x y 相交，则入射光线所在直线的斜率的取值范围为A . 3,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B . 30,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦C . 3,04⎛⎫-⎪⎝⎭D . 30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭10. 在拍毕业照时，六个同学排成一排照相，要求其中一对好友甲和乙相邻，且同学丙不能和甲相邻的概率为A .115B .215C .415D .1511. 正四面体ABCD 中，M 是棱AD 的中点，O 是点A 在底面BCD 内的射影，则异面直线BM 与AO 所成角的余弦值为A ．6 B. 3C.4 D ．512. 定义在R 上的可导函数()f x ，其导函数记为()f x '，满足()()()221f x f x x +-=-，且当1x ≤时，恒有()2f x x '+<．若()()3132f m f m m --≥-，则实数m 的取值范围是 A.(],1-∞B.1,13⎛⎤- ⎥⎝⎦C.[)1,+∞D.1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦2017年哈尔滨市第三中学第三次高考模拟考试数学试卷（理工类）第Ⅱ卷（非选择题, 共90分）二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．） 13. 知()()()()234401234(21)1111x a a x a x a x a x +=++++++++，则1234a a a a +++的值是．14.函数2cos 2y x x =-的图象可由函数2sin(2)6y x π=+的图象至少向右平移个单位长度得到． 15. 下列共有四个命题：（1）命题“2000,13x R x x ∃∈+>”的否定是“x x R x 31,2<+∈∀”；（2）在回归分析中，相关指数2R 为0.96的模型比2R 为0.84的模型拟合效果好；（3）,,a b R ∈11:,:0,p a b q b a <<<则p 是q 的充分不必要条件；（4）已知幂函数2()(33)mf x m m x =-+为偶函数，则(2)4f -=. 其中正确的序号为 .（写出所有正确命题的序号） 16. 已知ABC ∆的三个内角,,A B C 的对应边分别为,,c a b ,且2ABC S ∆=. 则使得 22sin sin sin sin B C m B C +=成立的实数m 的取值范围是 .三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17. （本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足()1121,2,n n n S S a n n N *--=++≥∈，且13a =. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求证：121111 (1112)n a a a +++<+++.18.（本小题满分12分）为调查高中生的数学成绩与学生自主学习时间之间的相关关系，某重点高中数学教师对新入学的45名学生进行了跟踪调查，其中每周自主做数学题的时间不少于15小时的有19人，余下的人中，在高三模拟考试中数学平均成绩不足120分的占813，统计成绩后，得到如下的22⨯列联表：（Ⅰ）请完成上面的22⨯列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“高中生的数学成绩与学生自主学习时间有关”；（Ⅱ）（i ）按照分层抽样的方法，在上述样本中，从分数大于等于120分和分数不足 120分的两组学生中抽取9名学生，设抽到的不足120分且周做题时间不足 15小时的人数是X ，求X 的分布列（概率用组合数算式表示）；（ii ）若将频率视为概率，从全校大于等于120分的学生中随机抽取20人，求这些人中周做题时间不少于15小时的人数的期望和方差.附：()()()()22()n ad bc K a b c d a c b d -=++++19.（本小题满分12分）如图所示的几何体是由棱台111ABC A B C -和棱锥11D AA C C -拼接而成的组合体，其底面四边形ABCD 是边长为2的菱形，且60BAD ∠=︒，1BB ⊥平面ABCD ，11122BB A B ==．（Ⅰ）求证：平面1AB C ⊥平面1BB D ；（Ⅱ）求二面角11A BD C --的余弦值．20．（本小题满分12分）已知抛物线)0(2:2>=p px y G ，过焦点F 的动直线l 与抛物线交于,A B 两点，线段AB 的中点为M .（Ⅰ）当直线l 的倾斜角为4π时，||16AB =．求抛物线G 的方程；（Ⅱ）对于（Ⅰ）问中的抛物线G ，是否存在x 轴上一定点N ，使得||2||AB MN - 为定值，若存在求出点N 的坐标及定值，若不存在说明理由.21．（本小题满分12分）（0a >且1a ≠）为定义域上的增函数，()'f x 是函数()f x 的导数，且()'f x 的最小值小于等于0. （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）设函数32()()4ln 63g x f x x x x =--+，且12()()0g x g x +=，求证：122x x +≥请从下面所给的22、23题中任选一题作答，如果多做，则按做的第一题计分. 22.（本小题满分10分）已知曲线C的参数方程为12x y αα⎧=+⎪⎨=⎪⎩(α为参数)，以直角坐标系原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.（Ⅰ）求曲线C 的极坐标方程；（Ⅱ）设 12:,:63l l ππθθ==，若12l l 、与曲线C 相交于异于原点的两点A B 、，求AOB ∆的面积. .23.（本小题满分10分）设函数4()1,(0)f x x a x a a=+++->. （Ⅰ）证明：()5f x ≥；（Ⅱ）若(1)6f <成立，求实数a 的取值范围.2017年哈三中第三次高考模拟考试答案1.A2.B3.C4.D5.D6.D7.C8.A9.C 10.C 11.B 12.D 13.0 14.6π15.(2)(4) 16.[]2,4 17. （本小题满分12分）（Ⅰ）由题意121n n a a -=+()2,n n N *≥∈()1121n n a a -∴+=+ …………………………………..3分又114a +=1142n n a -∴+=⨯………………………………………………5分121n n a +∴=-……………………………………………………6分（Ⅱ）112n n a ++=，∴111n a +⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是首项为14，公比为12的等比数列，因此1211111142 (111112)nn a a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭+++=+++-…………………………………9分11122n⎛⎫=- ⎪⎝⎭……………………………………………………………………………..11分12< (12)分18. （本小题满分12分）（Ⅰ）…………………………….2分2245(1516104)7.287 6.63525201926K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯ ∴能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“高中生的数学成绩与学生自主学习时间有关” ………..……..4分（Ⅱ）（i ）由分层抽样知大于等于120分的有5人，不足120分的有4人……….5分 X 的可能取值为0,1,2,3,4………………………………………………………………………6分()4164200C P X C ==，()134164201C C P X C ⋅==，()224164202C C P X C ⋅==， ()314164203C C P X C ⋅==，()444204C P X C ==…………………………8分（ii ）设从全校大于等于120分的学生中随机抽取20人，这些人中周做题时间不少于15小时的人数为随机变量Y ，……………………………………..9分由题意可知()20,0.6YB ，……………………………………………..10分故()12,E Y =………………………………………………………………………11分() 4.8D Y = (12)分19．（本小题满分12分）（Ⅰ）∵1BB ⊥平面ABCD ∴1BB ⊥AC在菱形ABCD 中，BD ⊥AC 又1BD BB B ⋂= ∴AC ⊥平面1BB D………………………………2分∵AC ⊂平面1AB C ∴平面1AB C ⊥平面1BB D ………………4分（Ⅱ）连接BD 、AC 交于点O ，以O 为坐标原点，以OA 为x 轴，以OD 为y 轴，如图建立空间直角坐标系. …… ……5分1(0,1,0),(0,1,0),(0,1,2),B D B A --11111,2)22B A BA A =⇒-，同理11(,2)2C - 131(,2)2BA =,(0,2,0)BD =,11(,2)2BC =- 设平面1A BD 的法向量),,(z y x =∴10BA n BD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，则(n =- …… …… ……8分设平面DCF 的法向量),,(z y x =100BD m BC m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，则m = ………………11分设二面角11A BD C --为θ，13cos 19m n m n θ⋅== ……… ……12分 20．（本小题满分12分）（Ⅰ）由题意知(,0)2p F 设直线l 的方程为()2p x ty t R =+∈ ， 221212(,),(,)22y y A y B y pp ……………………..1分由 222y px p x ty ⎧=⎪⎨=+⎪⎩ 得：2220y pty p --= 222440p t p ∆=+> 212122,y y pt y y p +==-…………………… 2分2||2(1)AB p t ==+ …………….4分当直线l 倾斜角为4π 时，1t =， ||416AB p == ，得4p = ，所以抛物线G 的方程为28y x =. (6)分（2）假设在x 轴上存在点(,0)N a 使得||2||AB MN -为定值.由（1）知2||8(1)A B t =+ (7)分 212()2422M t x y y t =++=+ ，4M y t = ，即2(42,4)M t t +………….8分若满足题意22||2(4)MN t k ==+ ………10分, 即222403282(2)t k a k a k ⎧+≥⎪-=⎨⎪-=⎩解得3,1a k == ，此时||2||6AB MN -=综上在x 轴上存在点(3,0)N 使得||2||AB MN -为定值6………………….12分注:其它做法酌情给分21．（本小题满分12分）（Ⅰ）21()23ln f x x x x a'=-+，……………………………………………………1分由()f x 为增函数可得，()0f x '≥恒成立，则由2321123023ln ln x x x x x a a -+≥⇒-≥-，设32()23m x x x =-，则2()66m x x x '=-，若由()()610m x x x '=->和()()610m x x x '=-<可知,()m x 在()0,1上减，在()1,+∞上增，在1处取得极小值即最小值，所以min ()=(1)1m x m =-，所以11ln a -≥-，11ln a ≤，当1a >时，易知a e ≤，当01a <<时，则10ln a <，这与11ln a≤矛盾，从而不能使得()0f x '≥恒成立，所以a e ≤………………………………………3分由min ()0f x '≤可得，21230ln x x x a -+≤，即32123ln x x a -≤-，由之前讨论可知，11ln a-≤-，当10a >>时，11ln a-≤-恒成立，当1a >时，11ln 1ln ln ln a a e a e a≥⇒≥⇒≥⇒≥，综上a e =...................................................................................................................6分（II ）32322323()ln 4ln 6=3ln 63232g x x x x x x x x x x =-+--+--+，因为12()()0g x g x +=，所以22111222333ln 6+3ln 6=022x x x x x x ⎛⎫--+--+ ⎪⎝⎭，所以()()2212121233ln()602x x x x x x -+-++= ()()21212121212ln()202x x x x x x x x ⎡⎤-+--++=⎢⎥⎣⎦()()2121212121ln()202x x x x x x x x -++-++= 所以()()212122x x -+，…………………………………………………..9分令12=x x t ，()ln g t t t =-，11()1t g t t t-'=-=， ()g t 在()0,1上增，在()1,+∞上减，()(1)1g t g ≤=-，所以()()212121212x x x x -+++≤-，整理得()()21212420x x x x +-+-≥，解得122x x +≥122x x +≤（舍），所以122x x +≥得证……………………………………………………………………………………….. 12分22.选做题（本小题满分10分）( Ⅰ)曲线C 的普通方程为5)2(122=-+-y x ）（， ……………………………… 2分将⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x 代入得：θθρsin 4cos 2+= ………………………4分4358sin 21+=∠=∆AOB OB OA SAOB …………………………………… 10分23. 选做题（本小题满分10分）514241)(,0=+⋅≥++≥∴>aa a a x f a …………………………………. 5分①② ……………………………………………………………………………………………9分综上，实数a 的取值范围是)4,1( ………………………… 10分。

黑龙江哈尔滨市三中2017高三下学期第三次模拟考试数学(理)试题含答案]

哈尔滨市三中2017高三下学期第三次模拟考试数学（理）试题考试说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；（2）选择题必须使用2B 铅笔填涂, 非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写, 字体工整, 字迹清楚；（3）请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；（4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．第I 卷（选择题, 共60分）一、选择题(共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1. 已知集合(){}{}2|ln 2,|340M x y x N x x x ==-=--≤，则=N MA. )2,1[-B. ]2,1[-C. ]1,4[-D. ]4,1[-2.()211i i-+的虚部为A ．iB ．1-C ．i -D ．13. 已知向量,a b 满足1,2,3,⋅===a b a b 则a b -=A .B . 6C .D . 54. 已知,x y 满足：020x x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩，若目标函数z ax y =+取最大值时的最优解有无数多个，则实数a 的值是A. 0B. 1-C. 1±D. 15. 椭圆22:143x y C +=与双曲线2222:1(,0)x y E a b a b-=>有相同的焦点，且两曲线的离心率互为倒数，则双曲线渐近线的倾斜角的正弦值为A ．21 BCD6. 一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为A ．323B ．503C ．643D ．8037.《孙子算经》是我国古代的数学著作,其卷下中有类似如下的问题：“今有方物一束，外周一匝有四十枚，问积几何？”如右图是解决该问题的程序框图，若设每层外周枚数为a ，则输出的结果为A ． 81B ．74C ．121 D ．1698. 已知函数2()2(2)55f x f x x x =--+-,则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为A. y x =B. 23y x =-+C. 34y x =-+D. 2y x =-9. 一条光线从点(1,1)-射出，经y 轴反射后与圆22(2)1-+=x y 相交，则入射光线所在直线的斜率的取值范围为 A . 3,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B . 30,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦C . 3,04⎛⎫-⎪⎝⎭D . 30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭10. 在拍毕业照时，六个同学排成一排照相，要求其中一对好友甲和乙相邻，且同学丙不能和甲相邻的概率为A .115B .215C .415D .1511. 正四面体ABCD 中，M 是棱AD 的中点，O 是点A 在底面BCD 内的射影，则异面直线BM 与AO 所成角的余弦值为A ．6 B. 3C.4D ．512. 定义在R 上的可导函数()f x ，其导函数记为()f x '，满足()()()221f x f x x +-=-，且当1x ≤时，恒有()2f x x '+<．若()()3132f m f m m --≥-，则实数m 的取值范围是 A .(],1-∞B .1,13⎛⎤- ⎥⎝⎦C .[)1,+∞D .1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦第Ⅱ卷（非选择题, 共90分）二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．） 13. 知()()()()234401234(21)1111x a a x a x a x a x +=++++++++，则1234a a a a +++的值是．14.函数cos2y x x -的图象可由函数2sin(2)6y x π=+的图象至少向右平移个单位长度得到． 15. 下列共有四个命题：（1）命题“2000,13x R x x ∃∈+>”的否定是“x x R x 31,2<+∈∀”；（2）在回归分析中，相关指数2R 为0.96的模型比2R 为0.84的模型拟合效果好；（3）,,a b R ∈11:,:0,p a b q b a<<<则p 是q 的充分不必要条件；（4）已知幂函数2()(33)m f x m m x =-+为偶函数，则(2)4f -=. 其中正确的序号为 .（写出所有正确命题的序号）16. 已知ABC ∆的三个内角,,A B C 的对应边分别为,,c a b ,且2ABC S ∆=. 则使得22sin sin sin sin B C m B C +=成立的实数m 的取值范围是 .三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17. （本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足()1121,2,n n n S S a n n N *--=++≥∈，且13a =. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求证：121111...1112n a a a +++<+++.18.（本小题满分12分）为调查高中生的数学成绩与学生自主学习时间之间的相关关系，某重点高中数学教师对新入学的45名学生进行了跟踪调查，其中每周自主做数学题的时间不少于15小时的有19人，余下的人中，在高三模拟考试中数学平均成绩不足120分的占813，统计成绩后，得到如下的22⨯列联表：（Ⅰ）请完成上面的22⨯列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“高中生的数学成绩与学生自主学习时间有关”；（Ⅱ）（i ）按照分层抽样的方法，在上述样本中，从分数大于等于120分和分数不足 120分的两组学生中抽取9名学生，设抽到的不足120分且周做题时间不足 15小时的人数是X ，求X 的分布列（概率用组合数算式表示）；（ii ）若将频率视为概率，从全校大于等于120分的学生中随机抽取20人，求这些人中周做题时间不少于15小时的人数的期望和方差.附：()()()()22()n ad bc K a b c d a c b d -=++++19.（本小题满分12分）如图所示的几何体是由棱台111ABC A B C -和棱锥11D AAC C -拼接而成的组合体，其底面四边形ABCD 是边长为2的菱形，且60BAD ∠=︒，1BB ⊥平面ABCD ，11122BB A B ==．（Ⅰ）求证：平面1AB C ⊥平面1BB D ；（Ⅱ）求二面角11A BD C --的余弦值．20．（本小题满分12分）已知抛物线)0(2:2>=p px y G ，过焦点F 的动直线l 与抛物线交于,A B 两点，线段AB 的中点为M .（Ⅰ）当直线l 的倾斜角为4π时，||16AB =．求抛物线G 的方程；（Ⅱ）对于（Ⅰ）问中的抛物线G ，是否存在x 轴上一定点N ，使得||2||AB MN -为定值，若存在求出点N 的坐标及定值，若不存在说明理由.21．（本小题满分12分）（0a >且1a ≠）为定义域上的增函数，()'f x 是函数()f x 的导数，且()'f x 的最小值小于等于0. （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）设函数32()()4ln 63g x f x x x x =--+，且12()()0g x g x +=，求证：122x x +≥请从下面所给的22、23题中任选一题作答，如果多做，则按做的第一题计分. 22.（本小题满分10分）已知曲线C的参数方程为12x y αα⎧=+⎪⎨=⎪⎩(α为参数)，以直角坐标系原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.（Ⅰ）求曲线C 的极坐标方程；（Ⅱ）设 12:,:63l l ππθθ==，若12l l 、与曲线C 相交于异于原点的两点A B 、，求AOB ∆的面积. .23.（本小题满分10分）设函数4()1,(0)f x x a x a a=+++->. （Ⅰ）证明：()5f x ≥；（Ⅱ）若(1)6f <成立，求实数a 的取值范围.参考答案1.A2.B3.C4.D5.D6.D7.C8.A9.C 10.C 11.B 12.D 13.0 14.6π15.(2)(4) 16.[]2,4 17. （本小题满分12分）（Ⅰ）由题意121n n a a -=+()2,n n N*≥∈()1121n n a a -∴+=+ …………………………………..3分又114a +=1142n n a -∴+=⨯………………………………………………5分121n n a +∴=-……………………………………………………6分（Ⅱ）112n n a ++=，∴111n a +⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是首项为14，公比为12的等比数列，因此1211111142 (111112)n n a a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭+++=+++-……………………9分 11122n ⎛⎫=-⎪⎝⎭………………………………………………..11分 12<………………………………………………………….12分 18. （本小题满分12分）（Ⅰ）…………………………………………………………………………………………………………………………………….2分2245(1516104)7.287 6.63525201926K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯ ∴能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“高中生的数学成绩与学生自主学习时间有关” ………..……..4分（Ⅱ）（i ）由分层抽样知大于等于120分的有5人，不足120分的有4人……….5分 X 的可能取值为0,1,2,3,4……………………………………………6分()4164200C P X C ==，()134164201C C P X C ⋅==，()224164202C C P X C ⋅==， ()314164203C C P X C ⋅==，()444204C P X C ==…………………………8分（ii ）设从全校大于等于120分的学生中随机抽取20人，这些人中周做题时间不少于15小时的人数为随机变量Y ，……………………………………..9分由题意可知()20,0.6YB ，……………………………………………..10分故()12,E Y =…………………………………………………11分() 4.8D Y =……………………………………………..12分19．（本小题满分12分）（Ⅰ）∵1BB ⊥平面ABCD ∴1BB ⊥AC在菱形ABCD 中，BD ⊥AC 又1BD BB B ⋂= ∴AC ⊥平面1BB D………………………………2分∵AC ⊂平面1AB C ∴平面1AB C ⊥平面1BB D ………………4分（Ⅱ）连接BD 、AC 交于点O ，以O 为坐标原点，以OA 为x 轴，以OD 为y 轴，如图建立空间直角坐标系. ...... (5)1(0,1,0),(0,1,0),(0,1,2),B D B A -- 11111,2)22B A BA A =⇒-，同理11(,2C -131(,2)22BA =,(0,2,0)BD =,11(,22BC =-设平面1A BD 的法向量),,(z y x =∴10BA n BD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，则(n =- …… …… ……8分设平面DCF 的法向量),,(z y x =10BD m BC m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，则m = ………………11分设二面角11A BD C --为θ，13cos 19m n m nθ⋅==… ……12分 20．（本小题满分12分）（Ⅰ）由题意知(,0)2p F 设直线l 的方程为()2px ty t R =+∈ ，221212(,),(,)22y y A y B y p p ………………..1分由 222y pxp x ty ⎧=⎪⎨=+⎪⎩ 得：2220y pty p --=222440p t p ∆=+> 212122,y y pt y y p +==-…………… 2分2||2(1)AB p t ==+ ………….4分当直线l 倾斜角为4π时，1t =， ||416AB p == ，得4p = ，所以抛物线G 的方程为28y x =. …………………….6分（2）假设在x 轴上存在点(,0)N a 使得||2||AB MN -为定值. 由（1）知2||8(1)AB t =+ …………………………………7分212()2422M tx y y t =++=+ ，4M y t = ，即2(42,4)M t t +………….8分若满足题意22||2(4)MN t k ==+ ………10分,即222403282(2)t k a k a k ⎧+≥⎪-=⎨⎪-=⎩解得3,1a k == ，此时||2||6AB MN -= 综上在x 轴上存在点(3,0)N 使得||2||AB MN -为定值6………………….12分注:其它做法酌情给分21．（本小题满分12分）（Ⅰ）21()23ln f x x x x a'=-+，………………………………1分由()f x 为增函数可得，()0f x '≥恒成立，则由2321123023ln ln x x x x x a a-+≥⇒-≥-，11设32()23m x x x =-，则2()66m x x x '=-，若由()()610m x x x '=->和()()610m x x x '=-<可知,()m x 在()0,1上减，在()1,+∞上增，在1处取得极小值即最小值，所以min ()=(1)1m x m =-，所以11ln a -≥-，11ln a ≤，当1a >时，易知a e ≤，当01a <<时，则10ln a <，这与11ln a≤矛盾，从而不能使得()0f x '≥恒成立，所以a e ≤………………………3分由min ()0f x '≤可得，21230ln x x x a -+≤，即32123ln x x a-≤-，由之前讨论可知，11ln a-≤-，当10a >>时，11ln a-≤-恒成立，当1a >时，11ln 1ln ln ln a a e a e a ≥⇒≥⇒≥⇒≥，综上a e =..............................................................6分（II ）32322323()ln 4ln 6=3ln 63232g x x x x x x x x x x =-+--+--+，因为12()()0g x g x +=，所以22111222333ln 6+3ln 6=022x x x x x x ⎛⎫--+--+ ⎪⎝⎭，所以()()2212121233ln()602x x x x x x -+-++= ()()21212121212ln()202x x x x x x x x ⎡⎤-+--++=⎢⎥⎣⎦()()2121212121ln()202x x x x x x x x -++-++= 所以()()21212121212ln()2x x x x x x x x -+++=-，……………………………..9分令12=x x t ，()ln g t t t =-，11()1t g t t t-'=-=， ()g t 在()0,1上增，在()1,+∞上减，()(1)1g t g ≤=-，所以()()212121212x x x x -+++≤-，12整理得()()21212420x x x x +-+-≥，解得122x x +≥122x x +≤，所以122x x +≥…………………………….. 12分22.选做题（本小题满分10分）( Ⅰ)曲线C 的普通方程为5)2(122=-+-y x ）（， …………… 2分将⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x 代入得：θθρsin 4cos 2+= …………4分4358sin 21+=∠=∆AOB OB OA SAOB ……………………… 10分 23. 选做题（本小题满分10分）514241)(,0=+⋅≥++≥∴>aa a a x f a ……………………. 5分①② ……………………………………………9分综上，实数a 的取值范围是)4,1( ………………… 10分。

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