2012江苏省大学生数学竞赛

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2012江苏省大学生数学竞赛

解得 λ = −3μ ，从而平面π 2 的方程为 x − 2 y − 5z + 3 = 0 ，………………………………（2 分）
（3）
∂z ∂x
=
eax+by
⎡ ∂u ⎢⎣ ∂x
+
au ( x
+
y)
⎤ ⎥⎦
,
∂z ∂y
=
eax+by
⎡ ∂u
⎢ ⎣
∂y
+
bu ( x
+
⎤ y)⎥
⎦
,
………………（2 分）
(
x)dx
=
1.
…………………（3
分）
∫ ∫ 而
1
0 fn (
x )dx = 2
1
0 tfn
(t
)dt
=
2
n n
+ +
1 2
=
2 ⎛⎜⎝1
−
n
1 +
2
⎞ ⎟⎠
→
2
(n → ∞). …………………（3 分）
因此最小的实数 C = 2.
…………………………………（2 分）
六、（本 > 0 。区域 Ω 是由抛物面 z = x2 + y 2 和球面
……………………………………（1 分）
而
1 n2
ln(n!)
≤
1 n
⎛ ⎝⎜
ln1 1
+
ln 2 2
+"+
ln n n
⎞ ⎟⎠
，且
lim ln n = 0 n→∞ n
………………………（3 分）
所以

2012江苏省数学竞赛《提优教程》教案：第38讲__不定方程

故原方程的通解为 (t是整数)。
说明对于m个n元一次不定方程组(m<n)成的方程组，可以消去m－1个未知数，从而也消去了m－1个不定方程式，将方程组转化为一个n－m+1元的一次不定方程。
例4．求满足方程2x2+5y2=11(xy－11)的正整数数组(x，y)。
分析二次不定方程，常考虑分解因式或配方。
∵x02+y02≡0(mod3)，∴x02≡0(mod3)，y02≡0(mod3)，
∴x0≡0(mod3)，y0≡0(mod3)，∵∵
设x0=3x1，y0=3y1，则3(x12+y12)=z02+w02≡0(mod3)，
同理z0≡0(mod3)，w0≡0(mod3)，
设z0=3z1，w0=3w1，则可得x12+y12=3(z12+w12)，说明(x1，y1，z1，w1)也是方程x2+y2=3(z2+w2)的非负非零解，其中x1≥0，y1≥0，z1≥0，w1≥0，且x0+y0+z0+w0＞x1+y1+z1+w1＞0；继续以上过程，可得到一系列的非负非零解，使得x0+y0+z0+w0＞x1+y1+z1+w1＞…＞xn+yn+zn+wn＞…＞0。而且上述过程可以进行无限次，于是就有无限项的严格递减的正整数数列
当y=1时，由①，②解得＜u＜6，
故u=5,从而由2u+3y+z=15，z=2，故x=1。即有解x=1，y=1，z=2。
当y=2时，同理得u=4，x=2，z=1。即有解x=2，y=2，z=1。
当y=3或4时，满足①，②的整数u不存在。
于是不定方程的正整数解为：(1,1,2),(2,2,1)。

江苏省历届高等数学竞赛试卷(1991-2010)

江苏省第一届（1991年）高等数学竞赛本科竞赛试题（有改动）一、填空题（每小题5分，共50分）1.函数sin sin y x x=（其中2x π≤）的反函数为________________________。

2.当0→x 时，34sin sin cos x x x x -+x 与nx 为同阶无穷小，则n =____________。

3.在1x =时有极大值6，在3x =时有极小值2的最低幂次多项式的表达式是 _____________________________________。

4.设(1)()n m nn d x p x dx -=，n m ,是正整数，则(1)p =________________。

5.222[cos()]sin x x xdx ππ-+=⎰_______________________________。

6. 若函数)(t x x =由⎰=--xt dt e t 12所确定的隐函数，则==022t dt xd 。

7.已知微分方程()y y y x x ϕ'=+有特解ln x y x =，则()x ϕ=________________________。

8.直线21x zy =⎧⎨=⎩绕z 轴旋转，得到的旋转面的方程为_______________________________。

9.已知a 为单位向量，b a 3+垂直于b a 57-，b a 4-垂直于b a 27-，则向量b a、的夹角为____________。

10.=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→nn n n n n 122222212111lim 。

二、（7分）设数列{}n a 满足1,2,21≥+=->+n a a a n n n ，求nn a ∞→lim 。

三、（7分）求c 的值，使⎰=++bac x c x 0)cos()(，其中a b >。

四、（12分）求由曲面222222,,x y cz x y a xy b +=-=±=±和0z =所围区域的体积（其中,,a b c 为正实数）。

全国大学生数学竞赛初赛2012年第四届《非数学专业》竞赛题目及答案解析高清无水印版

2012年第四届全国大学生数学竞赛初赛（非数学类）试卷及参考答案一、简答下列各题(本题共5个小题，每题6分，共30分) 1．求极限()12lim!.n n n →∞【参考答案】：因为2211ln !!,n n n n e而211ln1ln 2ln ln !,12n n n n n且ln lim 0.n n n 所以1ln1ln 2ln lim 0.12n n n n即 21lim ln !0n n n 21lim ! 1.n n n 2．求通过直线2320,:55430x y z L x y z ⎧⎪+-+=⎪⎪⎨⎪+-+=⎪⎪⎩的两个相互垂直的平面12,ππ，使其中一个平面过点()4,3,1.-【参考答案】：过直线L 的平面束方程为 23255430x y z x y z ，即 (25)534230.x y z 若平面1 过点 4,3,1 ，代入得0 ，即，从而1 的方程为3410.x y z 若平面束中的平面2 与1 垂直，则 3(25)451340. 解得3, 从而平面2 的方程为2530.x y z 3．已知函数(,),ax byz u x y e+=且20ux y∂=∂∂，确定常数,a b ，使函数(,)z z x y =满足方程20.z z zz x y x y∂∂∂--+=∂∂∂∂ 【参考答案】：(,),ax by z u e au x y x x (,),ax by zu e bu x y y y2(,),ax by z u ue b a abu x y x y x y21(1)(1)(,),ax by z z z u uz e b a ab a b u x y x y x y x y若是上式等于0，只有 1(1)(1)(,)0u ub a ab a b u x y x y，由此可得 1.a b 4．设()u u x =连续可微，(2)1u =，且()()32d d Lx y u x x uu y +++⎰在右半平面上与路径无关，求().u x 【参考答案】：由32u x u x y u yx，得34x u u u ，即214dx x u du u，这是一个一阶线性微分方程，于是由公式有通解为ln 2ln 2442uux e u edu C uudu C u uC 由(2)1u 得0C ，所以1/3.2x u5．求极限lim d .x x x t +【参考答案】：因为当1x 时，x x xxdt0x所以lim0.x xx第二题：(10分)计算20|sin |d .xe x x +∞-⎰【参考答案】：由于220(1)1|sin ||sin |nn k xxk k ex dx ex dx12(1)11sin nk k x k k e xdx应用分部积分法，有1222(1)11sin 15k k x k k e xdx e e所以有 222011|sin |15n n x k k e x dx e e212221151n e e e e 当(1)n x n 时，(1)2220|sin ||sin ||sin |n x n x x x e x dx e x dx e x dx当n ，由两边夹法则，得2222011|sin |lim |sin |.51xxxx e ex dx ex dx e【注】如果最后不用夹逼准则，而用2222011|sin |lim |sin |.51n xxn e ex dx ex dx e需要先说明20|sin |x e x dx收敛。

江苏省高校第十一届本一高等数学竞赛试题

江苏省高校第十一届本一高等数学竞赛试题2012年江苏省普通高等学校第十一届高等数学竞赛试题(本科一级)一填空题(每小题4分，共32分) 1.=----→3431)1()1)(1)(1(lim x x x x x 。

2.),1ln(2x y -=则=)(n y 。

3.=?208sin πxdx 。

4.=?∞+dx xx 131arccos 1。

5.函数),(),(),(y x f x x ψ?皆可微，设)),(),((xy y x f z ψ?+=则=??-??y z x z 。

6.设,:222z z y x ≤++Ω则=++Ωdxdydz z y x 2)( 。

7.点)3,1,2(-到直线22311z y x =-+=-的距离为。

8.级数∑∞=-+-1)1()1(n n k n n n 为条件收敛，则常数k 的取值范围是。

二、(每小题6分，共12分)(1)求n nn n 1)1(321lim +∞→-+-+- 。

(2)设)(x f 在0=x 处三阶可导，且,3)0(,0)0(=''='f f 求30)()1(lim xx f e f x x --→。

三、(每小题6分，共12分)在下面两题中，分别指出满足条件的函数是否存在？若存在，举一例，并证明满足条件；若不存在，请给出证明。

(1)函数)(x f 在0=x 处可导，但在0=x 的某去心邻域内处处不可导。

(2)函数)(x f 在),(δδ-上一阶可导)0(>δ，)0(f 为极值，且))0(,0(f 为曲线)(x f y =的拐点。

四、(10分)设函数),(y x f 在平面区域D 上可微，线段PQ 位于D 内，点Q P ,的坐标分别为),(b a P ，),(y x Q ，求证：在线段PQ 上存在点),(ηξM ，使得))(,())(,(),(),(b y f a x f b a f y x f y x-'+-'+=ηξηξ。

2012江苏省数学竞赛《提优教程》教案：第69讲_无限递降与逐次调整

情景再现
1．用无限递降法证明：是无理数．
2．试求方程x3－2y3－4z3=0的所有整数解．
B类例题
例311块铁，重量都是整数克，如果任意取其中10块，都可以把它们分成两组，每组5块铁，且这两组铁的重量相等．证明：这11块铁中的每块重量都相等．
分析有的同学认为先任取10块，可以分成两组，若把把其中未取的一块与某组中的一块交换，两组重量相等，从而换入的一块与换出的一块重量相等，于是所有各块重量相等．这一想法为什么是错的？由于交换一块后，可以把此10块重新分组，因此不能说换出的一块与换入的一块重量相等．
第69讲无限递降与逐次调整
无限递降法是一种常用的证明方法，首先由费马(Fermat)使用，数学竞赛也有较广泛的应用．与之相似的逐次调整法也是证明很多问题的重要方法．
无限递降法的理论根据是最小数原理：
命题一有限个实数中，必有一个最小数(也必有一个最大数)．
根据这一原理，又可得出：
命题二任意有限个两两不同的实数可以从小到大排列顺序．(排序原理)
分析本题似用反证法较合适．
证明不妨设α＞0．设只有有限个整数n使an＞，m是其中最大的一个，
即对于任何t＞m，都有{tα}＜．①
取正整数t，使t＞m，令{tα}＝β，则据①，0＜β＜．
此时，2t＞m，于是由①，有{2tα}＜，
但由于0＜β＜，故0＜2β＜1，所以{2tα}＝{2β}＝2β，于是由①知，0＜2β＜．
＝4sin( + )cos( － )≤4sin ．
从而sinA+sinB+sinC≤3sin ＝．等号当且仅当A＝B＝C＝时成立．
本题还可用琴生不等式证明．
例6设α为任一无理数，an={nα}({x}表示数x的“小数部分”，即记[x]为不超过x的最大整数，则{x}＝x－[x])，证明：存在无数个正整数n使an＞．(南京大学强化班入学试题)

历届全国大学生数学竞赛预赛试卷

历届全国⼤学⽣数学竞赛预赛试卷全国⼤学⽣数学竞赛预赛试卷（⾮数学类）2009年第⼀届全国⼤学⽣数学竞赛预赛试卷（⾮数学类）⼀、填空题（每⼩题5分，共20分）1．计算()ln(1)d yx y x y ++=??____________，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三⾓形区域.2．设)(x f 是连续函数，且满⾜220()3()d 2f x x f x x =--?，则()f x =____________.3．曲⾯2222x z y =+-平⾏平⾯022=-+z y x 的切平⾯⽅程是__________.4．设函数)(x y y =由⽅程29ln )(y y f e xe=确定，其中f 具有⼆阶导数，且1≠'f ，则=22d d xy________________. ⼆、（5分）求极限xenx x x x ne e e )(lim 20+++→Λ，其中n 是给定的正整数. 三、（15分）设函数)(x f 连续，10()()g x f xt dt =?，且A x x f x =→)(lim 0，A 为常数，求()g x '并讨论)(x g '在0=x 处的连续性.四、（15分）已知平⾯区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ，L 为D 的正向边界，试证：（1）-=---Lx y Lx yx ye y xe x ye y xed d d d sin sin sin sin ；（2）2sin sin 25d d π?≥--Ly yx ye y xe.五、（10分）已知xxexe y 21+=，xx exe y -+=2，x xx e exe y --+=23是某⼆阶常系数线性⾮齐次微分⽅程的三个解，试求此微分⽅程.六、（10分）设抛物线c bx ax y ln 22++=过原点.当10≤≤x 时，0≥y ，⼜已知该抛物线与x 轴及直线1=x 所围图形的⾯积为31.试确定c b a ,,，使此图形绕x 轴旋转⼀周⽽成的旋转体的体积V 最⼩.七、（15分）已知)(x u n 满⾜1()()1,2,n xnn u x u x x e n -'=+=L ，且n eu n =)1(，求函数项级数∑∞=1)(n n x u 之和.⼋、（10分）求-→1x 时，与∑∞=02n n x 等价的⽆穷⼤量.2010年第⼆届全国⼤学⽣数学竞赛预赛试卷（⾮数学类）⼀、（25分，每⼩题5分）（1）设22(1)(1)(1)nnx a a a =+++L ，其中||1,a <求lim .n n x →∞（2）求21lim 1x xx ex -→∞+ ?.（3）设0s >，求0(1,2,)sx nn I e x dx n ∞-==?L .（4）设函数()f t有⼆阶连续导数，1(,)r g x y f r ??==，求2222g g x y ??+??. （5）求直线10:0x y l z -=??=?与直线2213:421x y z l ---==--的距离. ⼆、（15分）设函数()f x 在(,)-∞+∞上具有⼆阶导数，并且()0f x ''>，lim ()0x f x α→+∞'=>，lim ()0x f x β→-∞'=<，且存在⼀点0x ，使得0()0f x <.证明：⽅程()0f x =在(,)-∞+∞恰有两个实根.三、（15分）设函数()y f x =由参数⽅程22(1)()x t t t y t ψ?=+>-?=?所确定，且22d 3d 4(1)y x t =+，其中()t ψ具有⼆阶导数，曲线()y t ψ=与22132t u y e du e-=+在1t =出相切，求函数()t ψ. 四、（15分）设10,nn n k=>=∑，证明：（1）当1α>时，级数1nn na S α+∞=∑收敛；（2）当1α≤且()n s n →∞→∞时，级数1nn na S α+∞=∑发散. 五、（15分）设l 是过原点、⽅向为(,,)αβγ，（其中2221)αβγ++=的直线，均匀椭球2222221x y z a b c++≤（其中0c b a <<<，密度为1）绕l 旋转. （1）求其转动惯量；（2）求其转动惯量关于⽅向(,,)αβγ的最⼤值和最⼩值.六、(15分)设函数()x ?具有连续的导数，在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线C 上，曲线积分422d ()d 0L xy x x y x y ?+=+??的值为常数.（1）设L 为正向闭曲线22(2)1x y -+=，证明422d ()d 0L xy x x yx y ?+=+??；（2）求函数()x ?；（3）设C 是围绕原点的光滑简单正向闭曲线，求422d ()d C xy x x y x y ?++??.2011年第三届全国⼤学⽣数学竞赛预赛试卷（⾮数学类）⼀、计算下列各题（本题共3⼩题，每⼩题各5分，共15分）（1）求11cos 0x x x -→??；（2）.求111lim ...12n n n n n →∞??++++++；（3）已知()2ln 1arctan tt x e y t e=+=-，求22d d y x .⼆、（本题10分）求⽅程()()24d 1d 0x y x x y y +-++-=的通解.三、（本题15分）设函数()f x 在0x =的某邻域内具有⼆阶连续导数，且()()()0,0,0f f f '''均不为0，证明：存在唯⼀⼀组实数123,,k k k ，使得()()()()12320230lim0h k f h k f h k f h f h→++-=. 四、（本题17分）设2221222:1x y z a b c∑++=，其中0a b c >>>，2222:z x y ∑=+，Γ为1∑与2∑的交线，求椭球⾯1∑在Γ上各点的切平⾯到原点距离的最⼤值和最⼩值.五、（本题16分）已知S 是空间曲线22310x y z ?+=?=?绕y 轴旋转形成的椭球⾯的上半部分（0z ≥）（取上侧），∏是S 在(,,)P x y z 点处的切平⾯，(,,)x y z ρ是原点到切平⾯∏的距离，,,λµν表⽰S 的正法向的⽅向余弦.计算：（1）()d ,,SzS x y z ρ??；（2）()3d Sz x y z S λµν++??六、（本题12分）设()f x 是在(,)-∞+∞内的可微函数，且()()f x mf x '<，其中01m <<，任取实数0a ，定义1ln (),1,2,...n n a f a n -==，证明：11()n n n a a ∞-=-∑绝对收敛.七、（本题15分）是否存在区间[]0,2上的连续可微函数()f x ，满⾜(0)(2)1f f ==，()1f x '≤，2()d 1f x x ≤?请说明理由.2012年第四届全国⼤学⽣数学竞赛预赛试卷（⾮数学类）⼀、（本⼤题共5⼩题，每⼩题6分，共30分）解答下列各题（要求写出重要步骤）.（1）求极限21lim(!)n n n →∞.（2）求通过直线2320:55430x y z l x y z +-+=??+-+=?的两个互相垂直的平⾯1π和2π，使其中⼀个平⾯过点(4,3,1)-.（3）已知函数(,)ax byz u x y e+=，且20ux y=.确定常数a 和b ，使函数(,)z z x y =满⾜⽅程20z z zz x y x y--+=?. （4）设函数()u u x =连续可微，(2)1u =，且3(2)d ()d Lx y u x x u u y +++?在右半平⾯与路径⽆关，求(,)u x y .（5）求极限1limx xx t +.⼆、（本题10分）计算20sin d x e x x +∞-?.三、（本题10分）求⽅程21sin2501x x x=-的近似解，精确到0.001. 四、（本题12分）设函数()y f x =⼆阶可导，且()0f x ''>，(0)0f =，(0)0f '=，求330() lim ()sin x x f u f x u→，其中u 是曲线()y f x =上点(,())P x f x 处的切线在x 轴上的截距. 五、（本题12分）求最⼩实数C ，使得满⾜10 ()d 1f x x =?的连续函数()f x都有1f dx C ≤?.六、（本题12分）设()f x 为连续函数，0t >.区域Ω是由抛物⾯22z x y =+和球⾯2222x y z t ++=(0)z >所围起来的部分.定义三重积分222()()d F t f x y z v Ω=++，求()F t 的导数()F t ''.七、（本题14分）设1n n a ∞=∑与1n n b ∞=∑为正项级数，证明：（1）若()111lim 0n n n n n a a b b →∞++->，则级数1n n a ∞=∑收敛；（2）若()111lim 0n n n n n a a b b →∞++-<，且级数1n n b ∞=∑发散，则级数1n n a ∞=∑发散. 2013年第五届全国⼤学⽣数学竞赛预赛试卷（⾮数学类）⼀、解答下列各题（每⼩题6分，共24分，要求写出重要步骤） 1.求极限(lim 1sin nn →∞+.2.证明⼴义积分0sin d xx x+∞不是绝对收敛的.3.设函数()y y x =由323322x x y y +-=确定，求()y x 的极值.4.过曲线0)y x =≥上的点A 作切线，使该切线与曲线及x 轴所围成的平⾯图形的⾯积为34，求点A 的坐标.⼆、（满分12分）计算定积分2sin arctan d 1cos xx x e I x xππ-?=+?.三、（满分12分）设()f x 在0x =处存在⼆阶导数(0)f ''，且()0lim 0x f x x →=.证明：级数11n f n ∞=??∑收敛.四、（满分12分）设(),()0()f x f x m a x b π'≤≥>≤≤，证明2sin ()d baf x x m≤. 五、（满分14分）设∑是⼀个光滑封闭曲⾯，⽅向朝外.给定第⼆型的曲⾯积分()()()333d d 2d d 3d d I x x y z y y z x z z x y ∑=-+-+-??.试确定曲⾯∑，使积分I 的值最⼩，并求该最⼩值.六、（满分14分）设22d d ()()a aC y x x y I r x y -=+?，其中a 为常数，曲线C为椭圆222x xy y r ++=，取正向.求极限lim ()a r I r →+∞.七、（满分14分）判断级数()()1111212n n n n ∞=+++++∑L 的敛散性，若收敛，求其和. 2014年第六届全国⼤学⽣数学竞赛预赛试卷（⾮数学类）⼀、填空题（共有5⼩题，每题6分，共30分）1.已知1x y e =和1x y xe =是齐次⼆阶常系数线性微分⽅程的解，则该⽅程是.2.设有曲⾯22:2S z x y =+和平⾯022:=++z y x L .则与L 平⾏的S 的切平⾯⽅程是.3.设函数()y y x =由⽅程21sin d 4y xt x t π-??=所确定.求d d x y x ==.4.设1(1)!nn k kx k ==+∑，则=∞→n n x lim .5.已知130()lim 1x x f x x e x →??++= ??，则=→20)(lim x x f x . ⼆、（本题12分）设n 为正整数，计算21d 1cos ln d d ne I x x x π-??=. 三、（本题14分）设函数()f x 在]1,0[上有⼆阶导数，且有正常数,A B 使得()f x A ≤，|"()|f x B ≤.证明：对任意]1,0[∈x ，有2 2|)('|B A x f +≤.四、（本题14分）（1）设⼀球缺⾼为h ，所在球半径为R .证明该球缺体积为2)3(3h h R -π，球冠⾯积为Rh π2；（2）设球体12)1()1()1(222≤-+-+-z y x 被平⾯6:=++z y x P 所截的⼩球缺为Ω，记球缺上的球冠为∑，⽅向指向球外，求第⼆型曲⾯积分d d d d d d I x y z y z x z x y ∑=++??.五、（本题15分）设f 在],[b a 上⾮负连续，严格单增，且存在],[b a x n ∈，使得-=b ann n dx x f a b x f )]([1)]([.求n n x ∞→lim .六、（本题15分）设2222212n n n nA n n n n =++++++L ，求??-∞→n n A n 4lim π. 2015年第七届全国⼤学⽣数学竞赛预赛试卷（⾮数学类）⼀、填空题（每⼩题6分，共5⼩题，满分30分）（1）极限2222sin sin sin lim 12n n n n n n n n πππ→∞??+++= ?+++ ?L . （2）设函数(),z zx y =由⽅程,0z z F x y y x ?++= ??所决定，其中(),F u v 具有连续偏导数，且0u v xF yF +≠则z zxy x y+=. （3）曲⾯221z x y =++在点()1,1,3M-的切平⾯与曲⾯所围区域的体积是.（4）函数()[)[)3,5,00,0,5x f x x ?∈-?=?∈??在(]5,5-的傅⽴叶级数在0x =收敛的是.（5）设区间()0,+∞上的函数()u x 定义域为()2xt u x e dt +∞-=?，则()u x 的初等函数表达式是.⼆、（12分）设M 是以三个正半轴为母线的半圆锥⾯，求其⽅程. 三、（12分）设()f x 在(),a b 内⼆次可导，且存在常数,αβ，使得对于(),x a b ?∈，有()()()f x f x f x αβ'=+，则()f x 在(),a b 内⽆穷次可导.四、（14分）求幂级数()()30211!nn n x n ∞=+-+∑的收敛域及其和函数.五、（16分）设函数()f x 在[]0,1上连续，且()()110,1f x dx xf x dx ==??.试证：（1）[]00,1x ?∈使()04f x >；（2）[]10,1x ?∈使()14f x =.五、（16分）设(),f x y 在221x y +≤上有连续的⼆阶偏导数，且2222xx xy yy f f f M ++≤.若()()()0,00,0,00,00x y f f f ===，证明：()221,4x y f x y dxdy +≤≤.2016年第⼋届全国⼤学⽣数学竞赛预赛试卷（⾮数学类）⼀、填空题（每⼩题5分，满分30分）1、若()f x 在点x a =可导，且()0f a ≠，则()1lim nn f a n f a →∞?+=__________. 2、若()10f =，()1f '存在，求极限()()220sin cos tan3lim1sin x x f x x xI ex→+=-.3、设()f x 有连续导数，且()12f =，记()2x z f e y =，若zz x=，求()f x 在0x >的表达式. 4、设()sin 2x f x e x =，求02n a π<<，()()40f .5、求曲⾯22 2x z y =+平⾏于平⾯220x y z +-=的切平⾯⽅程.⼆、（14分）设()f x 在[]0,1上可导，()00f =，且当()0,1x ∈，()01f x '<<，试证当()0,1a ∈，()()()230d d aaf x xf x x >?.三、（14分）某物体所在的空间区域为222:22x y z x y z Ω++≤++，密度函数为222x y z ++，求质量()222d d d M x y z x y z Ω=++.四、（14分）设函数()f x 在闭区间[]0,1上具有连续导数，()00f =，()11f =，证明：()10111lim 2nn k k n f x dx fn n →∞=-=- ? ?∑?. 五、（14分）设函数()f x 在闭区间[]0,1上连续，且()1d 0I f x x =≠?，证明：在()0,1内存在不同的两点12,x x ，使得()()12112f x f x I+=. 六、（14分）设()f x 在(),-∞+∞可导，且()()(2f x f x f x =+=.⽤Fourier 级数理论证明()f x 为常数.2017年第九届全国⼤学⽣数学竞赛预赛试卷（⾮数学类）⼀、1.已知可导函数f (x )满⾜?+=+xx tdt t f x xf 01sin )(2)(cos ，则()f x =_________.2．求??+∞→n n n 22sin lim π.3.设(,)w f u v =具有⼆阶连续偏导数，且==+u x cy v x cy -，，其中c 为⾮零常数.则21xx yy w w c -=_________. 4.设()f x 有⼆阶导数连续，且(0)'(0)0,"(0)6f f f ===，则240(sin )lim x f x x →=____.5.不定积分sin 2sin 2(1sin )x e xI dx x -=-?=________. 6.记曲⾯222z x y =+和z =围成空间区域为V ，则三重积分Vzdxdydz =___________.⼆、（本题满分14分)设⼆元函数(,)f x y 在平⾯上有连续的⼆阶偏导数.对任何⾓度α，定义⼀元函数()(cos ,sin )g t f t t =ααα.若对任何α都有(0)0dg dtα=且22(0)0d g dt α>.证明)0,0(f 是(,)f x y 的极⼩值. 三、(本题满分14分)设曲线Γ为在2221x y z ++=，1x z +=，0,0,0x y z ≥≥≥上从(1,0,0)A 到(0,0,1)B 的⼀段.求曲线积分?Γ++=xdz zdy ydx I.四、(本题满分15分)设函数()0f x >且在实轴上连续，若对任意实数t ，有||()1t x ef x dx +∞---∞≤?，则,()a b a b ?<，2()2bab a f x dx -+≤. 五、(本题满分15分)设{}n a 为⼀个数列，p 为固定的正整数。

十二届江苏省高等数学竞赛本科一级解答

y2 = 1 沿逆时针方向. b2 ∫∫ 2. 求曲面积分 xdydz + xzdzdx,
Σ
其中， Σ : x2 + y 2 + z 2 = 1 (z ≥ 0) 取上侧.
x−y x+y dx+ 2 dy . x2 + y 2 x + y2 2′ 2′ 2′
1. 解
L
(b2 x2
a2 b2 (x − y ) a2 b2 (x + y ) dx+ 2 2 dy = 2 2 2 2 + a y )(x + y ) (b x + a2 y 2 )(x2 + y 2 )
L
∂P y 2 − x2 − 2xy ∂Q = = (x, y ) ̸= (0, 0) 时，，由Green 公式知 ∂x ∂y x2 + y 2 ∫ 2π x−y x+y x−y x+y 原式 = dx + 2 dy = dx + 2 dy = dθ = 2π. 2 2 2 2 x + y2 x + y2 L x +y x2 +y 2 =ε2 x + y 0 ∫∫ 2. 解
(x4 + sec2 x − 1)dx
3′ 3′
2. 解设切点为 (a, a2 ), 切线为 y − a2 = 2a(x − a), 将 (2, 3) 代入得 a = 1, 3, 于是切线
为 y = 2x − 1, y = 6x − 9. ∫ 2 ∫ 3 2 2 所求面积为： S = (x − 2x + 1)dx + (x2 − 6x + 9)dx = . 3 1 2 三、（每小题

淮海工学院2012高等数学竞赛B组试卷参考答案及评分标准

第１页共3页2012年淮海工学院高等数学竞赛B 组试卷参考答案及评分标准1、当0x →时，1xxe 是--------------------------------------------------------------------------(D)(A) 无穷小 (B)有界但非无穷小 (C) 无穷大 (D)无界但非无穷大2、设函数22012111()(1)(2)(2012)f x xx x =--- ，则'(1)f =--------------------（C ）（A ）2012!- （B ）2011!- （C ）2011! （D ）2012!3、当0x →时，2ln(1)0()ln(1)x f x x dx +=+⎰是ln(1)20()ln(1)x g x x dx +=+⎰的----(D)(A)低价无穷小 (B)同阶非等价无穷小 (C)等价无穷小 (D)高阶无穷小 4、22(,)(0,0)(,)(0,0)limx y f xy f x y→-+存在是(,)f x y 在()0,0处可微的 ------------------ (B) (A) 必要但非充分条件 (B) 充分但非必要条件 (C) 充要条件(D) 既不充分也不必要条件5（本二学生做）、设函数)(t f 连续，则二次积分122cos ()d f r dr πθθ=⎰⎰------------（C ）（A ）22110dx⎰（B ）1220()dx x y dy +⎰（C ）2210dx dy ⎰（D ）1220()dx x y dy +⎰5（东港学生做）、设4488tan ,tan xx I dx J dx x xππππ==⎰⎰，则有---------------------（C ）（A ）ln 28I J π<<< （B ）ln 28J I π<<< （C ）ln 28I J π<<< (D)ln 28I J π<<<二、填充题（本大题共5小题，每题4分，共20分）1、22(1)1x x y x -=+的斜渐近线方程为1y x =-．2、设)(u f 可导，22(log )y f x =当自变量x 在1-=x 处取得增量0.01x ∆=-时，相应的函数增量y ∆的线性主部为0.02，则(0)f '=ln 2．提示：22222[(log )]''(log )ln 2dy f x x f x x x =∆=∆． 3、y xz x y -=+, 则n n z x ∂=∂12(1)!()n n y n x y +-+．4、21x x dx e e +∞-=+⎰4eπ．5、（本二学生做）设{}(,)|2,0,0D x y x y x y =+≤≥≥,则1d 2Dx x y σ+=++⎰⎰1. 5、（东港学生做）40=⎰2.三、计算题（本题8分）3arcsin32sin 2022lim 33x xx arc x x →--．解：原式arcsin33arcsin33arcsin3sin 22sin 22sin 200022121lim lim lim 33131x x x x x arc x x arc x x arc x x x x ----→→→--==--------------------2(3arcsin3)ln 2(2sin 2)ln3001ln 23arcsin 3lim lim 1ln 32sin 2x x x arc x x x e x x e x arc x--→→--==----------------------2 112222'11002222ln 233(19)3ln 2(19)1lim lim ln 32ln 322(14)(14)1L Hx x x x x x --→→------==--------------------2 20293ln 227ln 22lim 42ln 38ln 32x xx →==.---------------------------------------2第２页共3页四、计算题（本题8分）若2arctan ln(1)sin x t y t y =⎧⎨=--⎩确定了二阶可导函数()y y x =，试判定()y y x =在0x =处的极值性与局部凹凸性.【解】因22212'(),''()1(1)tx t x t t t -==++， 2222222(1)'()'()cos ,''()'()sin ''()cos 1(1)t t y t y t y y t y t y y t y t t --+=-=+---，----------2 则3'()1'()'()''()''()'()'(),''()[]'()'()'()'()y t d y t x t y t x t y t y x y x x t x t dt x t x t -===，------------------2 当0x =时，0t =，0y =，将其代入上述诸式，得'(0)0,''(0)10y y ==-< 则()y y x =在0x =处取得极大值(0)0y =-------------------------------------------------2 由''()y x 的连续性知，在0x =的局部邻域内''()0y x <，故其为凸的. ----------------2 五、问答题（本题10分）设数列{}{}n n x y 、满足10x >，11n x +=，1(cos )n n x x n n y x += (1,2,)n = ，请问数列{}{}n n x y 、收敛吗？若收敛，求lim ,lim n n n n x y →∞→∞；若发散，说明理由. 答：因10x >，若0n x >，则10n x +=>，{}n x 有下界----------------1于是41334(1)114n n nx C x x +>+=+,有1(1)0n n n x x x +-=+>，则{}n x 单调减少-----------------------2根据单调有界定理知{}n x 收敛，-------------------------------------------1 令lim n n x A →∞=，则0A ≥--------------------------------------------------1在11n x +=两边取极限化简得3(64)0A A A ++= 于是有lim 0n n A x →∞==， -------------------------------------------------10limlim lim (cos x n n n n n x y x e→+→∞→== ---------------------------1232003(cos 1)11ln cos cos 1limlim 221n n nn n x x n n nnnx x x x x x x x eee ++→→----== ，---------------------------2故{}n y 收敛.------------------------------------------------------1六、计算题（本题8分）如图，)2,3(是()y f x =的拐点，1l 、2l 分别是该曲线在)0,0(与)2,3(处的切线，其交点为)4,2(，设()y f x =具有三阶连续导数，求320()()x x f x dx '''+⎰．y0 2 3 4 x解：由题设图形知， (0)0,(0)2f f '==；(3)2,(3)2,(3)0.f f f '''==-=---------2则原式3322300()()()()(21)()x x df x x x f x x df x '''''=+=+-+⎰⎰---------------233(21)()2()x f x d f x '=-++⎰-------------------------------------------------2 162[(3)(0)]ff =+-=．-----------------------------------------------------2七、计算题（本题8分）设(,)((,))((,)),((,))((,))0,z xu x y y u x y u x y x y u x y u x y ϕψϕψ=++⎧⎨''++=⎩其中),(y x z z =二阶偏导数连续，求2()xx yy xy z z z ⋅-．解：将原方程组各方程两端对x 求导得(()())1(()())0x x x z u x y u u u uy u u u ϕψϕψ''=+++=⎧⎨''''++=⎩--------2将原方程组各方程两端对y 求导得()(()())()()(()())0y y y z u x y u u u u u y u u u ϕϕψϕϕϕψ''=+++=⎧⎨'''''++=⎩---2则1()()xx x z u y u u φψ==-''''+-----------------------------------------------------------------12()(),()()yy y u z u u y u u φϕφψ''==-''''+------------------------------------------------------------1xy y z u =(),()()u y u u φφψ'=-''''+ ------------------------------------------------------------------1 故2()0xx yy xy z z z ⋅-=．---------------------------------------------------------------------------1第３页共3页八、（该题本二学生做）计算题（本题8分）设(){}1010≤≤≤≤=y ,x x,y D ，计算{}2max d d DI x,y y x x y =-⎰⎰．解：记1:01D x y ≤≤≤，22:1D x y x ≤≤≤，： 23:01D y x ≤≤≤-------------------2则123222()d d ()d d ()d d D D D I y y xx y x y x x y x x y x y =-+-+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰------------------22211112233d ()d d ()d d ()d xx xxx y yx y x xy x y x x xy y =-+-+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰-------------21140=．----------------------------------------------------------2 八、（该题东港学生做）计算题（本题8分）过曲线)0y x =≥上点A 的切线与该曲线及x 轴所围区域D 的面积为43=S ，（1）求点A 的横坐标t ；（2）求D 绕直线x t =旋转一周所得旋转体的体积V ．解：（1）设(A ，则切线方程为()2313y t x t -=-，-----------------------------1 此切线与x 轴交点的横坐标为t x 20-=，-----------------------------------------------------2因401333244t S t x t =⋅==⎰，有1t =，得(11)A ,；---------------------1（2）123201333(1)d 314V ππy y π=--=⎰．-------------------------------4九、证明题（本题10分）设0()()t F t f t dt =⎰，其中()f t 是周期为T 的连续函数，证明：（1）()()()F t T F t F T +=+；（2）0()[()()]()tg t F t T F t dt TF t =+--⎰是周期为T 的周期函数．证明：（1）设()()()()HtFt T Ft FT =+----------------------------------------------------1因()f t 是周期为T 的连续函数，则'()()()0H t f t T f t =+-=-------------------------2 于是()(0)(0)0H t C H F ====，则（1）得证；--------------------------------------------1 （2）由上，知0()()()()()t g t F T dt TF t tF T TF t =-=-⎰---------------------------------1则'()()()g t F T Tf t =----------------------------------------------------------------------------1 令()()()G t g t T g t =+-，则'()'()'()0G t g t T g t =+-=-------------------------------2 于是()(0)()(0)0G t C G g T g ===-=,故（2）得证．------------------------------------1十、应用题（本题10分）设圆222x y y +=含于椭圆22221x y a b+=的内部, 且圆与椭圆相切于两点(即在这两点处圆与椭圆都有公共切线)，（1）求,a b 满足的等式；（2）求,a b 的值, 使椭圆的面积最小．解：（1）由题意，圆与椭圆的公切点00(,)x y 不在y 轴上，则00x ≠，--------------1同时220000()(1)b x a y x y -=--，即2220)y b b a =---------------------------------1 因22220000222,1x y x y y a b +=+=，有222200220b a y y a b--+=----------------------------1 将上述两式消0y ，得22420ab a b --=；-----------------------------------------------------1（2）按题意, 需求椭圆面积S ab π=在条件22420a b a b --=下的最小值，构造拉格朗日函数2242()L ab a b a b πλ=+-- ------------------------------------------1 令2222(2)0,2(1)0a b L b a b a L a b a πλπλ=+-==+-=-----------------------------2 可得242b a =，代入22420a b a b --=，得(,)(a b =，-----------------2 因该实际问题中,椭圆面积的最小值存在, 则上述坐标即为所求．------------------------1。

历届全国大学生数学竞赛预赛试卷

全国大学生数学竞赛预赛试卷非数学类2009年第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷非数学类一、填空题每小题5分,共20分1．计算()ln(1)d yx y x y ++=⎰⎰____________,其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域.2．设)(x f 是连续函数,且满足220()3()d 2f x x f x x =--⎰,则()f x =____________.3．曲面2222x z y =+-平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________.4．设函数)(x y y =由方程29ln )(y y f e xe =确定,其中f 具有二阶导数,且1≠'f ,则=22d d x y________________. 二、5分求极限xenx x x x ne e e )(lim 20+++→ ,其中n 是给定的正整数. 三、15分设函数)(x f 连续,10()()g x f xt dt =⎰,且A xx f x =→)(lim 0,A 为常数,求()g x '并讨论)(x g '在0=x 处的连续性.四、15分已知平面区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ,L 为D 的正向边界,试证：1⎰⎰-=---Lx y Lx yx ye y xe x ye y xed d d d sin sin sin sin ；22sin sin 25d d π⎰≥--Ly yx ye y xe.五、10分已知xxe xe y 21+=,xxe xe y -+=2,xx x e e xe y --+=23是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解,试求此微分方程.六、10分设抛物线c bx ax y ln 22++=过原点.当10≤≤x 时,0≥y ,又已知该抛物线与x 轴及直线1=x 所围图形的面积为31.试确定c b a ,,,使此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积V 最小.七、15分已知)(x u n 满足1()()1,2,n x nn u x u x x e n -'=+=,且neu n =)1(,求函数项级数∑∞=1)(n nx u之和.八、10分求-→1x 时,与∑∞=02n n x 等价的无穷大量.2010年第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷非数学类一、25分,每小题5分 1设22(1)(1)(1)nn x a a a =+++,其中||1,a <求lim .n n x →∞2求21lim 1x x x e x -→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭.3设0s >,求0(1,2,)sx nn I e x dx n ∞-==⎰.4设函数()f t 有二阶连续导数,1(,)r g x y f r ⎛⎫== ⎪⎝⎭,求2222g g x y ∂∂+∂∂.5求直线10:0x y l z -=⎧⎨=⎩与直线2213:421x y z l ---==--的距离. 二、15分设函数()f x 在(,)-∞+∞上具有二阶导数,并且()0f x ''>,lim ()0x f x α→+∞'=>,lim ()0x f x β→-∞'=<,且存在一点0x ,使得0()0f x <. 证明：方程()0f x =在(,)-∞+∞恰有两个实根.三、15分设函数()y f x =由参数方程22(1)()x t t t y t ψ⎧=+>-⎨=⎩所确定,且22d 3d 4(1)y x t =+,其中()t ψ具有二阶导数,曲线()y t ψ=与22132t u y e du e-=+⎰在1t =出相切,求函数()t ψ. 四、15分设10,nn n kk a S a=>=∑,证明：1当1α>时,级数1nn na S α+∞=∑收敛； 2当1α≤且()n s n →∞→∞时,级数1nn na S α+∞=∑发散. 五、15分设l 是过原点、方向为(,,)αβγ,其中2221)αβγ++=的直线,均匀椭球2222221x y z a b c++≤其中0c b a <<<,密度为1绕l 旋转. 1求其转动惯量；2求其转动惯量关于方向(,,)αβγ的最大值和最小值.六、15分设函数()x ϕ具有连续的导数,在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线C 上,曲线积分422d ()d 0L xy x x yx y ϕ+=+⎰的值为常数.1设L 为正向闭曲线22(2)1x y -+=,证明422d ()d 0L xy x x yx y ϕ+=+⎰；2求函数()x ϕ；3设C 是围绕原点的光滑简单正向闭曲线,求422d ()d C xy x x y x y ϕ++⎰.2011年第三届全国大学生数学竞赛预赛试卷非数学类一、计算下列各题本题共3小题,每小题各5分,共15分1求11cos 0sin lim xx x x -→⎛⎫⎪⎝⎭；2.求111lim ...12n n n n n →∞⎛⎫+++ ⎪+++⎝⎭； 3已知()2ln 1arctan tt x e y t e⎧=+⎪⎨=-⎪⎩,求22d d y x .二、本题10分求方程()()24d 1d 0x y x x y y +-++-=的通解.三、本题15分设函数()f x 在0x =的某邻域内具有二阶连续导数,且()()()0,0,0f f f '''均不为0,证明：存在唯一一组实数123,,k k k ,使得()()()()12320230lim0h k f h k f h k f h f h →++-=.四、本题17分设2221222:1x y z a b c ∑++=,其中0a b c >>>,2222:z x y ∑=+,Γ为1∑与2∑的交线,求椭球面1∑在Γ上各点的切平面到原点距离的最大值和最小值.五、本题16分已知S 是空间曲线22310x y z ⎧+=⎨=⎩绕y 轴旋转形成的椭球面的上半部分0z ≥取上侧,∏是S 在(,,)P x y z 点处的切平面,(,,)x y z ρ是原点到切平面∏的距离,,,λμν表示S 的正法向的方向余弦. 计算：1()d ,,SzS x y z ρ⎰⎰；2()3d Sz x y z S λμν++⎰⎰六、本题12分设()f x 是在(,)-∞+∞内的可微函数,且()()f x mf x '<,其中01m <<,任取实数0a ,定义1ln (),1,2,...n n a f a n -==,证明：11()n n n a a ∞-=-∑绝对收敛.七、本题15分是否存在区间[]0,2上的连续可微函数()f x ,满足(0)(2)1f f ==,()1f x '≤,2()d 1f x x ≤⎰请说明理由.2012年第四届全国大学生数学竞赛预赛试卷非数学类一、本大题共5小题,每小题6分,共30分解答下列各题要求写出重要步骤. 1求极限21lim(!)n n n →∞.2求通过直线2320:55430x y z l x y z +-+=⎧⎨+-+=⎩的两个互相垂直的平面1π和2π,使其中一个平面过点(4,3,1)-.3已知函数(,)ax byz u x y e+=,且20ux y∂=∂∂. 确定常数a 和b ,使函数(,)z z x y =满足方程20z z zz x y x y∂∂∂--+=∂∂∂∂. 4设函数()u u x =连续可微,(2)1u =,且3(2)d ()d Lx y u x x u u y +++⎰在右半平面与路径无关,求(,)u x y .5求极限1lim x xx t +.二、本题10分计算20sin d x e x x +∞-⎰.三、本题10分求方程21sin 2501x x x=-的近似解,精确到.四、本题12分设函数()y f x =二阶可导,且()0f x ''>,(0)0f =,(0)0f '=,求330()lim ()sin x x f u f x u →,其中u 是曲线()y f x =上点(,())P x f x 处的切线在x 轴上的截距. 五、本题12分求最小实数C ,使得满足10()d 1f x x =⎰的连续函数()f x都有1f dx C ≤⎰.六、本题12分设()f x 为连续函数,0t >. 区域Ω是由抛物面22z x y =+和球面2222x y z t ++=(0)z >所围起来的部分. 定义三重积分222()()d F t f x y z v Ω=++⎰⎰⎰,求()F t 的导数()F t ''.七、本题14分设1n n a ∞=∑与1n n b ∞=∑为正项级数,证明：1若()111lim 0n n n n n a a b b →∞++->,则级数1n n a ∞=∑收敛； 2若()111lim 0n n n n n a a b b →∞++-<,且级数1n n b ∞=∑发散,则级数1n n a ∞=∑发散.2013年第五届全国大学生数学竞赛预赛试卷非数学类一、解答下列各题每小题6分,共24分,要求写出重要步骤 1.求极限(lim 1sin nn →∞+.2.证明广义积分0sin d xx x+∞⎰不是绝对收敛的. 3.设函数()y y x =由323322x x y y +-=确定,求()y x 的极值.4.过曲线0)y x =≥上的点A 作切线,使该切线与曲线及x 轴所围成的平面图形的面积为34,求点A 的坐标. 二、满分12分计算定积分2sin arctan d 1cos xx x e I x xππ-⋅=+⎰.三、满分12分设()f x 在0x =处存在二阶导数(0)f '',且()0lim0x f x x →=.证明：级数11n f n ∞=⎛⎫⎪⎝⎭∑收敛.四、满分12分设(),()0()f x f x m a x b π'≤≥>≤≤,证明2sin ()d baf x x m≤⎰. 五、满分14分设∑是一个光滑封闭曲面,方向朝外.给定第二型的曲面积分()()()333d d 2d d 3d d I x x y z y y z x z z x y ∑=-+-+-⎰⎰.试确定曲面∑,使积分I 的值最小,并求该最小值.六、满分14分设22d d ()()a a C y x x yI r x y -=+⎰,其中a 为常数,曲线C 为椭圆222x xy y r ++=,取正向.求极限lim ()a r I r →+∞.七、满分14分判断级数()()1111212n n n n ∞=+++++∑的敛散性,若收敛,求其和.2014年第六届全国大学生数学竞赛预赛试卷非数学类一、填空题共有5小题,每题6分,共30分1.已知1x y e =和1x y xe =是齐次二阶常系数线性微分方程的解,则该方程是 .2.设有曲面22:2S z x y =+和平面022:=++z y x L . 则与L 平行的S 的切平面方程是 .3.设函数()y y x =由方程21sin d 4y x t x t π-⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰所确定.求d d x y x == .4.设1(1)!nn k kx k ==+∑,则=∞→n n x lim .5.已知130()lim 1xx f x x e x →⎛⎫++= ⎪⎝⎭,则=→20)(lim x x f x . 二、本题12分设n 为正整数,计算21d 1cos ln d d ne I x x x π-⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰. 三、本题14分设函数()f x 在]1,0[上有二阶导数,且有正常数,A B 使得()f x A ≤,|"()|f x B ≤. 证明：对任意]1,0[∈x ,有22|)('|B A x f +≤. 四、本题14分1设一球缺高为h ,所在球半径为R . 证明该球缺体积为2)3(3h h R -π,球冠面积为Rh π2；2设球体12)1()1()1(222≤-+-+-z y x 被平面6:=++z y x P 所截的小球缺为Ω,记球缺上的球冠为∑,方向指向球外,求第二型曲面积分d d d d d d I x y z y z x z x y ∑=++⎰⎰.五、本题15分设f 在],[b a 上非负连续,严格单增,且存在],[b a x n ∈,使得⎰-=b ann n dx x f a b x f )]([1)]([.求n n x ∞→lim .六、本题15分设2222212n n n nA n n n n =++++++,求⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→n n A n 4lim π. 2015年第七届全国大学生数学竞赛预赛试卷非数学类一、填空题每小题6分,共5小题,满分30分1极限2222sin sin sin lim 12n n n n n n n n πππ→∞⎛⎫⎪+++= ⎪+++ ⎪⎝⎭. 2设函数(),z z x y =由方程,0z z F x y y x ⎛⎫++= ⎪⎝⎭所决定,其中(),F u v 具有连续偏导数,且0u v xF yF +≠则z zxy x y∂∂+=∂∂ . 3曲面221z x y =++在点()1,1,3M -的切平面与曲面所围区域的体积是 .4函数()[)[)3,5,00,0,5x f x x ⎧∈-⎪=⎨∈⎪⎩在(]5,5-的傅立叶级数在0x =收敛的是 . 5设区间()0,+∞上的函数()u x 定义域为()2xt u x e dt +∞-=⎰,则()u x 的初等函数表达式是 .二、12分设M 是以三个正半轴为母线的半圆锥面,求其方程.三、12分设()f x 在(),a b 内二次可导,且存在常数,αβ,使得对于(),x a b ∀∈,有()()()f x f x f x αβ'=+,则()f x 在(),a b 内无穷次可导.四、14分求幂级数()()30211!nn n x n ∞=+-+∑的收敛域及其和函数.五、16分设函数()f x 在[]0,1上连续,且()()110,1f x dx xf x dx ==⎰⎰. 试证：1[]00,1x ∃∈使()04f x >； 2[]10,1x ∃∈使()14f x =.五、16分设(),f x y 在221x y +≤上有连续的二阶偏导数,且2222xx xy yy ff f M ++≤. 若()()()0,00,0,00,00x y f f f ===,证明：()221,4x y f x y dxdy +≤≤⎰⎰.2016年第八届全国大学生数学竞赛预赛试卷非数学类一、填空题每小题5分,满分30分1、若()f x 在点x a =可导,且()0f a ≠,则()1lim nn f a n f a →∞⎛⎫⎛⎫+ ⎪⎪⎝⎭⎪= ⎪⎪⎝⎭__________.2、若()10f =,()1f '存在,求极限()()220sin cos tan3lim1sin x x f x x xI ex→+=-.3、设()f x 有连续导数,且()12f =,记()2x z f e y =,若zz x∂=∂,求()f x 在0x >的表达式. 4、设()sin 2x f x e x =,求02n a π<<,()()40f .5、求曲面22 2x z y =+平行于平面220x y z +-=的切平面方程.二、14分设()f x 在[]0,1上可导,()00f =,且当()0,1x ∈,()01f x '<<,试证当()0,1a ∈,()()()230d d aaf x xf x x >⎰⎰.三、14分某物体所在的空间区域为222:22x y z x y z Ω++≤++,密度函数为222x y z ++,求质量()222d d d M x y z x y z Ω=++⎰⎰⎰.四、14分设函数()f x 在闭区间[]0,1上具有连续导数,()00f =,()11f =, 证明：()10111lim 2nn k k n f x dx fn n →∞=⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑⎰.五、14分设函数()f x 在闭区间[]0,1上连续,且()1d 0I f x x =≠⎰,证明：在()0,1内存在不同的两点12,x x ,使得()()12112f x f x I+=. 六、14分设()f x 在(),-∞+∞可导,且()()(2f x f x f x =+=.用Fourier 级数理论证明()f x 为常数.2017年第九届全国大学生数学竞赛预赛试卷非数学类一、1. 已知可导函数f (x )满足⎰+=+xx tdt t f x xf 01sin )(2)(cos ,则()f x =_________.2．求⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→n n n 22sin lim π.3. 设(,)w f u v =具有二阶连续偏导数,且==+u x cy v x cy -，,其中c 为非零常数. 则21xx yy w w c-=_________. 4. 设()f x 有二阶导数连续,且(0)'(0)0,"(0)6f f f ===,则240(sin )lim x f x x →=____.5. 不定积分sin 2sin 2(1sin )x e xI dx x -=-⎰=________. 6. 记曲面222z x y =+和z =围成空间区域为V ,则三重积分Vzdxdydz ⎰⎰⎰=___________.二、本题满分14分设二元函数(,)f x y 在平面上有连续的二阶偏导数. 对任何角度α,定义一元函数()(cos ,sin )g t f t t =ααα.若对任何α都有(0)0dg dtα=且22(0)0d g dt α>. 证明)0,0(f 是(,)f x y 的极小值. 三、本题满分14分设曲线Γ为在2221x y z ++=,1x z +=,0,0,0x y z ≥≥≥上从(1,0,0)A 到(0,0,1)B 的一段. 求曲线积分⎰Γ++=xdz zdy ydx I .四、本题满分15分设函数()0f x >且在实轴上连续,若对任意实数t ,有||()1t x e f x dx +∞---∞≤⎰,则,()a b a b ∀<,2()2bab a f x dx -+≤⎰. 五、本题满分15分设{}n a 为一个数列,p 为固定的正整数;若()lim n p n n a a +→∞-=λ,其中λ为常数,证明limn n a n pλ→∞=.。

历年全国大学生数学竞赛初赛真题全(数学类)十一届试卷高清无水印(2009-2019)

（数学类）试卷第一题：(15分)求经过三平行直线1:L x y z ==，2:11L x y z -==+，3:11L x y z =+=-的圆柱面的方程.第二题：(20分)设n nC ⨯是n n ⨯复矩阵全体在通常的运算下所构成的复数域C 上的线性空间，12100010*******n n n a a a F a --⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭. (1)假设111212122212n n n n nn aa a a a a A a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，若AF FA =，证明： 121112111n n n n A a F a F a F a E ---=++++ ；(2)求n nC⨯的子空间{}()|n n C F X C FX XF ⨯=∈=的维数.第三题：(15分)假设V 是复数域C 上n 维线性空间（0n >），,f g 是V 上的线性变换. 如果fg gf f -=，证明：f 的特征值都是0，且,f g 有公共特征向量.第四题：(10分)设{}()n f x 是定义在,a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的无穷次可微的函数序列且逐点收敛，并在,a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上满足()nf x M '≤.（1）证明{}()n f x 在,a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上一致收敛；（2）设()lim ()n n f x f x →∞=，问()f x 是否一定在,a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上处处可导, 为什么？第五题：(10分)设320sin d sin n nt a t t t π=⎰，证明11nn a ∞=∑发散.第六题：(15分)(,)f x y 是{}22(,)|1x y x y +≤上二次连续可微函数，满足222222f f x y x y ∂∂+=∂∂，计算积分221d d x y I x y +≤⎛⎫=⎰⎰第七题：(15分)假设函数()f x 在[0,1]上连续，在()0,1内二阶可导，过点(0,(0))A f ，与点(1,(1))B f 的直线与曲线()y f x =相交于点(,())C c f c ，其中01c <<. 证明：在 ()0,1内至少存在一点ξ，使()0f ξ''=.（数学类）试卷一、（本题共10分）设(0,1)ε∈，0x a =，1sin 0,1,2).n n x a x n ε+=+= （证明lim n n x ξ→+∞=存在，且ξ为方程sin x x a ε-=的唯一根.二、（本题共15分）设01030002010000B ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 证明2X B =无解，这里X 为三阶未知复方阵.三、（本题共10分）设2D ⊂ 是凸区域，函数(,)f x y 是凸函数. 证明或否定：(,)f x y 在D 上连续.注：函数(,)f x y 为凸函数的定义是(0,1)α∀∈以及1122(,),(,)x y x y D ∈，成立12121122((1),(1))(,)(1)(,)f x x y y f x y f x y αααααα+-+-≤+-.四、（本题共10分）设()f x 在0,1⎡⎤⎢⎥⎣⎦上黎曼(Riemann)可积，在1x =可导，(1)0,f =(1)f a '=. 证明：120lim ()d .n n n x f x x a →+∞=-⎰五、（本题共15分）已知二次曲面∑（非退化）过以下九点：(1,0,0),(1,1,2),(1,1,2),(3,0,0),(3,1,2),(3,2,4),(0,1,4),(3,1,2),(5,8).A B C D E F G H I ------问∑是哪一类曲面？六、（本题共20分）设A 为n n ⨯实矩阵（未必对称），对任一n 维实向量T 1(,,),0n A ααααα=≥ （这里T α表示α的转置），且存在n 维实向量β使得T 0A ββ=. 同时对任意n 维实向量x 和y ，当T 0xAy ≠时有TT 0xAy yAx +≠. 证明：对任意n 维实向量v ，都有T0.vA β=七、(本题共10分) 设f 在区间0,1⎡⎤⎢⎥⎣⎦上黎曼(Riemann)可积，0 1.f ≤≤ 求证：对任何0ε>，存在只取值为0和1的分段（段数有限）常值函数()g x ，使得,0,1αβ⎡⎤⎡⎤∀⊆⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，()()().f x g x dxβαε-<⎰八、(10分) 已知:(0,)(0,)ϕ+∞→+∞是一个严格单调下降的连续函数，满足0lim (),t t ϕ+→=+∞且10()d ()d ,t t t t a ϕϕ+∞+∞-==<+∞⎰⎰其中1ϕ-表示ϕ的反函数. 求证：32212001()d ()d .2t t t t a ϕϕ+∞+∞-⎡⎤⎡⎤+≥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰（数学类）试卷一、（本题15分）已知四点(1,2,7),(4,3,3),(5,1,0).-试求过这四点的球面方程。

2012江苏省数学竞赛《提优教程》教案：第13讲奇偶分析

A 类例题
例 1 ⑴ 证明：平面上的格点中，任取五点，必有两点，其连线中点是格点． ⑵ 至多可以取出多少个格点，使这些点中任取三点为顶点的三角形面积都不是整数． ⑴ 分析按横坐标与纵坐标的奇偶性把平面格点分类，用抽屉原理证明．证明按横坐标与纵坐标的奇偶性把平面上的所有格点分类，共有 4 类：(奇，奇)，(奇，偶)，(偶，奇)，(偶，偶)．任取 5 个格点，必有 2 点属于同一类，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)这二点是属于同一类的两 1 1 点，则其连线的中点 M(2(x1＋x2)，2(y1＋y2))即为格点．故得证． ⑵ 分析考虑三角形的面积如何计算． 1 解由三角形面积表达式 S= [(x1－x2)(y2－y3)－(x2－x3)(y1－y2)]知，如果三角形有某两个 2 顶点属于同一类(上题中的分类)，则其面积为整数；如果三个顶点都不同类，则其面积不为整数．于是取分属于 4 个不同的类的 4 个格点，以这 4 点中的任三点为顶点的三角形面积都不为整数，但如果取 5 个格点，则必有某两点属于同一类，此时以这二个点及另外任一点为顶点的三角形面积为整数．故至多取 4 个点，且此四点应分属不同的 4 类．说明把整数分成“奇数”与“偶数”这两类，就相当于构造了两个抽屉，从而奇偶分析常常用抽屉原理为工具解决问题．
链接在坐标系内的三角形的面积公式：为了方便，先把三角形放在第一象限内，当三角形不在第一象限内时，可利用平移公式说明结论仍然成立．如图，ΔABC 的三个顶点(按逆时针旋转的顺 y y P3 序排列)坐标分别为 P1(x1， y1)， P2(x2， y2)， P3(x3， P3 y3)． P1 P1 作 P1P1'⊥Ox， P2P2'⊥Ox ，P3P3'⊥Ox．垂 P2 P 2 足分别为 P'1，P'2，P'3．于是，三角形 P1P2P3 的面积可以表示成三个直角梯形的面积的代数和： x x O P' P' O P' P' P' P' 2 3 1 3 2 1 如在左图中， 1 S＝2[(y1+y3)(x3－x1)+(y3+y2)(x2－x3)－(y1+y2)(x2－x1)] 1 ＝2[(x1y2－x2y1)+(x2y3－x3y2)+(x3y1－x1y3)]． 1 这个式子也可写为 S＝2[(x1－x2)(y2－y3)－(x2－x3)(y1－y2)]．右图也可同样计算得证．对于放置于任何位置的三角形，只要取平移公式代入检查即知该结果正确．例 2 设 a1，a2，„，a64 是 1，2，„，63，64 的任意一种排列．令 b1=|a1－a2|，b2=|a3－a4|，„，b32=|a63－a64|； c1=|b1－b2|，c2=|b3－b4|，„，c16=|b31－b32|； d1=|c1－c2|，d2=|c3－c4|，„，d8=|c15－c16|； „„„ 这样一直作下去，最后得到一个整数 x．求证：x 为偶数．分析可以从后向前推：若 x 为奇数，则其前一次运算时的两个数必一奇一偶，„，这样直到开始时的 64 个数的奇偶性．这就是证法一的思路；也可以从前向后推：第一次运算得到的 32 个数的奇偶性与原来各数的奇偶性有什么关联？第二次运算所得 16 个数又与第一次运算的 32 个数有什么关联？又与原来的 64 个数有何关联？„，这样直到最后一个数．这就是证法二的思路．证法一假定 x 为奇数，则上述计算过程中倒数第二步的两个数是一奇一偶，倒数第三步的四个数或者是三奇一偶或者是一奇三偶．仿此推知，计算过程中的每一步只能有奇数个奇数，那么在 a1，a2，„，a64，中也该有奇数个奇数.但它们是 1，2，„，64 的某一排列，其中奇数有 32 个，这就产生了矛盾.所以最后一个数只能是偶数．证法二因为整数 a 与|a|的奇偶性一致，整数 a、b 的和 a+b 与其差 a－b 的奇偶性也一致，所以上述计算过程的第二步中的 32 个数： |a1－a2|， |a3－a4|， „， |a63－a64|，分别与 a1+a2， a3+a4，„，a63+a64 的奇偶性一致，于是，可改为考虑：第一步：a1，a2，„，a64；第二步：a1+a2，a3+a4，„，a63+a64；第三步：a1+a2+a3+a4，„，a61+a62+a63+a64； „„„„ 很明显，这样做最后所得的数是 a1+a2+a3+a4+„+a63+a64．而 x 与它的奇偶性一致．由于 a1，a2，„，a64 是 1，2，„，64 的某一排列，因此，a1+a2+a3+a4+„+a63+a64＝1+2+„„ +64=32×65，这是一个偶数，故知 x 为偶数．Fra bibliotekB 类例题

江苏省高等数学竞赛历年真题（专科）

江苏省高等数学竞赛历年真题（专科）2012年江苏省第十一届高等数学竞赛试题（专科）一．填空（4分*8=32分） 1.=-+-+→561434lim4x x x2. =+++∞→433321limn n n 3. =?→xx tdtt x x 3230sin sin lim4.)1ln(x y -=，则=)(n y5.=?xdx x arctan 26.=211arccosdx xx 7.点)3,1,2(-到直线22311zy x =-+=-的距离为 8.级数∑∞=--21)1(n knn n 为条件收敛，则常数k 的取值范围是二．（6分*2=12分）（1）求))(13(lim 31223∑=∞→+-i n i n n n（2）设)(x f 在0=x 处可导，且,2)0(,1)0(='=f f 求21)1(cos limxx f x --→三．在下面两题中，分别指出满足条件的函数是否存在？若存在，举一例，若不存在，请给出证明。

（4分+6分=10分）（1）函数)(x f 在),(δδ-上有定义（0>δ），当0<<-x δ时，)(x f 严格增加，当δ<<="" 0时，)(x="" f="" p="" 严格减少，)(lim="">x f x →存在，且)0(f 是)(x f 的极小值。

（2）函数)(x f 在),(δδ-上一阶可导（0>δ），)0(f 为极值，且))0(,0(f 为曲线)(x f y =的拐点。

四．（10分）求一个次数最低的多项式)(x p ，使得它在1=x 时取得极大值13，在4=x 时取得极小值－14。

五．（12分）过点)0,0(作曲线x e y -=Γ:的切线L ，设D 是以曲线Γ、切线L 及x 轴为边界的无界区域。

（1）求切线L 的方程。

2012年全国大学生数学竞赛赛题(非数学类)

2012年全国大学生数学竞赛赛题（非数学类）一、解答下列各题)!(lim 21n 1n n ∞→）求极限（）；，，个平面过点（，使其中一和的两个相互垂直的平面：求通过直线13-4034550232)2(21ππ⎩⎨⎧=+-+=+-+z y x z y x L ;0),(z 0),(z 322=+∂∂-∂∂-∂∂∂==∂∂∂=+z yz x z y x z y x z b a yx u e y x u by ax 方程满足，使函数和，确定常数，且）已知函数（；与路径无关，求在右半平面上）（，且连续可微，）设函数（)()(21)2()(43x u udy u x udx y x u x u u L⎰+++==；）求极限（dt t t t x x x x ⎰+∞→+13cos sin 5lim dx x e x sin 02⎰+∞-二、计算 .001.050121sin 2的近似解，精确到三、求方程-=x xx 轴上的截距。

）处的切线在（上点是曲线其中，求二阶可导，且四、设函数x x f x P x f y u u x f u f x f f x f x f y x )(,)(sin )()(,0)0(',0)0(,0)(")(330lim===>=→。

，都有的连续的函数，使得对满足五、求最小实数C dx x f x f dx x f C o ≤=⎰⎰101)()(1)(。

）的导数（求，）（义三重积分围起来的上半部分，定所和球面是由抛物面区域为连续函数，六、设)(')(,0)(222222222t F t F dv z y x f t F t z y x y x z t x f ⎰⎰⎰Ω++==+++=Ω>发散。

发散，则，且）若（收敛；，则）若（为正项级数，那么与七、设∑∑∑∑∑∞=∞=++∞→∞=++∞→∞=∞=<->-1111111110)1(20)1(1lim lim n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a b b b a a a b b a a b a。

第四届全国大学生数学竞赛试题(非数学类)2012

第四届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类，2012)一、（本题共5小题，每小题各6分，共30分）解答下列各题（1）求极限21lim(!);n n n →∞ （2）求通过直线2320:55430x y z L x y z +−+=⎧⎨+−+=⎩的两个相互垂直的平面1π和2π，使其中一个平面过点（4，-3,1）；（3）已知函数(,)ax byz u x y e +=，且20u x y ∂=∂∂，确定常数a 和b ，使函数(,)z z x y =满足方程20z z z z x y x y∂∂∂−−+=∂∂∂∂；（4）设函数()u u x =连续可微，(2)1u =，且3(2)()L x y udx x u udy +++∫在右半平面上与路径无关，求();u x（5）求极限1lim ;x x x + 二、(本题10分) 计算20sin x e x dx +∞−∫三、(本题10分) 求方程21sin 2501x x x=−的近似解，精确到0.001. 四、(本题12)设函数()y f x =二阶可导，且()0,(0)0,(0)0,f x f f ′′′>== 求330()lim ()sin x x f u f x u→，其中u 是曲线()y f x =上点(,())P x f x 处的切线在x 轴上的截距。

五、(本题12)求最小实数C ，使得对满足10()1f x dx =∫的连续的函数()f x ，都有10f dx C ≤∫。

六、(本题12)设()f x 为连续函数，0t >，区域Ω是由抛物面22z x y =+和球面2222x y z t ++=所围起来的上半部分，定义三重积分222()()F t f x y z dv Ω=++∫∫∫。

求()F t 的导数()F t ′。

七、(本题14) 设1n n a∞=∑与1n n b ∞=∑为正项级数，那么（1）若111lim(0,n n n nn a a b b →∞++−>则1n n a ∞=∑收敛；（2）若111lim(0,n n n n n a a b b →∞++−<且1n n b ∞=∑发散，则1n n a ∞=∑发散。

江苏省第十一届高等数学竞赛题(本一)试卷评分标准

2012年江苏省普通高等学校第十一届高等数学竞赛试题（本科一级）评分标准一、填空题（每小题4分，共32分，把答案写在题中横线上）1、x→2、()()2ln 1,ny x y =−=则 3、820sin d x x π=∫ 4、1∫5、函数 ()()(),,,x x f x y ϕψ皆可微，设()()(),,z f x y x y ϕψ=+则z z x y∂∂−∂∂ =6、()2222,d d d x y z z x y z x y z ΩΩ++≤++=∫∫∫设：则 7、到直线 (213−点，，)13122x y z−+==−的距离为 8、级数()()211k nnn n n ∞=−+−∑为条件收敛，则常数 k二、（每小题6分，共12分）（1）求 ()11231lim n n nn→∞+−+−+−⋅""（2）设在处三阶可导，且)(x f 0=x (0)0,(0)3f f ′′′==，求 30(e 1)()lim .x x f f x x→−−三、（每小题6分，共12分）在下面两题中，分别指出满足条件的函数是否存在？若存在，举一例，并证明满足条件；若不存在，请给出证明.（1）函数()f x 在处可导，但在0x =0x =的某去心邻域内处处不可导.（2）函数()f x 在(),δδ−上一阶可导()0δ>，()0f 为极值，且()()0,0f 为曲线的拐点.()y f x =四、（10分）设函数(,)f x y 在平面区域D 上可微，线段位于PQ D 内，点的坐标分别为,P Q (),P a b ，,求证：在线段上存在点(,Q x y )PQ (),M ,ξη使得()()()()()(),,,,x y .f x y f a b f x a f y b ξηξη′′=+−+−五、（12分）计算曲线积分222222222()d ()d ()d x y z x y z x y z x y Γ+−++−++−∫v z , 其中 2226x y z y Γ++=为与 224x y y +=(0)z ≥ 的交线，从轴正向看去为逆时针方向..z六、（12分）点()()1,2,1,5,2,3A B −−在平面:223x y z Π−−=的两侧，过点,A B 作球面使其在平面ΣΠ上截得的圆Γ最小，（1）求球面的球心坐标与该球面的方程； Σ（2）证明: 直线与平面的交点是圆AB ΠΓ的圆心.七、（10分）求级数()()21112nnnn nn∞=++−∑ 的和.。

2012年数学建模江苏省一等奖

承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。

如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。

我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： A我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：20121561所属学校（请填写完整的全名）：江苏大学参赛队员(打印并签名) ：1. xx2. xx3. xx指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：教练组日期： 2012 年 9 月 10 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：葡萄酒的评价摘要近年来，随着人们生活水平的改善，葡萄酒逐渐被大家青睐。

质量好的葡萄酒等级越高，售价也越高。

本文研究的是酿酒葡萄、葡萄酒的理化指标以及芳香物质与葡萄酒质量的联系。

针对问题一：采用t 检验法和F 检验法分别对红葡萄酒和白葡萄酒的两组评价结果的准确性和精确度进行分析比较来确定两组评酒员的评价结果有无显著性差异。

计算得出：t 检验法中有7个红葡萄酒样品和2个白葡萄酒样品的评分结果存在显著性差异；F 检验法中有7个红葡萄酒样品和15个白葡萄酒样品的评分结果存在显著性差异。

2012江苏省大学生数学竞赛