【精准解析】黑龙江省绥化市2019-2020学年高二下学期期末考试数学(文)试卷(A卷)

文科数学试题一、单选题（每题5分，合计60分） 1.设集合{}{}0,2,4,6,8,10,4,8A B ==，则AB =A. {4,8}B. {02,6}，C. {026,10}，， D.{02468,10}，，，，【答案】C 【解析】试题分析：由补集的概念，得{}0,2,6,10AB =，故选C ．【考点】集合的补集运算【名师点睛】研究集合的关系，处理集合的交、并、补的运算问题，常用韦恩图、数轴等几何工具辅助解题．一般地，对离散的数集、抽象的集合间的关系及运算，可借助韦恩图，而对连续的集合间的运算及关系，可借助数轴的直观性，进行合理转化．2.若1x >，则0x >的否命题是（ ） A. 若1x >，则0x ≥ B. 若1x ≤，则0x > C. 若1x ≤，则0x ≤ D. 若1x <，则0x <【答案】C 【解析】 分析】根据否命题的形式，即可得出结论.【详解】“若1x >，则0x >”的否命题是“若1x ≤，则0x ≤”. 故选：C.【点睛】本题考查四种命题的形式，熟记原命题、逆命题、否命题、逆否命题结构特征的关系即可，属于基础题. 3.在等差数列{}n a 中，已知35715a a a ++=，则该数列前9项和9S =（ ）A. 18B. 27C. 36D. 45【答案】D 【解析】【分析】根据等差数列的性质求得5a ，再根据等差数列前n 项和公式求得9S . 【详解】在等差数列{}n a 中，35755315,5a a a a a ++===，所以195952999954522a a aS a +=⨯=⨯==⨯=. 故选：D【点睛】本小题主要考查等差数列的性质，考查等差数列前n 项和公式，属于基础题. 4.设a ，b 为实数，命题甲：0a b <<，命题乙：2ab b >，则命题甲是命题乙的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】试题分析：假设当命题甲成立，即0a b <<，可得2()0ab b a b b -=->，即命题乙成立，而当命题乙成立时即2ab b >，可取2,1a b ==，显然0a b <<不成立，故选A . 考点：充分必要条件.5.在ABC ∆中，已知2222a b c ba +=，则C = A. 30B. 150︒C. 45︒D. 135︒【答案】C 【解析】22222πcos 24a b c ab C C ab +-==== ,选C.6.等比数列{}n a 中，259,243,a a ==则{}n a 的前4项和为（ ） A .81B. 120C. 168D. 192【答案】B 【解析】 【分析】根据352a q a =求出公比，利用等比数列的前n 项和公式即可求出.【详解】 35227a q a ==,∴ 3q =，又29,a =所以21139,3a a a ⨯===， ∴ 4414(1)3(13)120113a q S q --===--.故选：B.【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式，等比数列的前n 项和，属于基础题. 7.函数()331f x x x =-+在闭区间[]3,0-上的最大值、最小值分别是（ ）A. 1,17-B. 3,17-C. 1,1-D. 9,19-【答案】B 【解析】 【分析】先研究函数()f x 在区间[]3,0-上的单调性，再根据单调性求最值即可. 【详解】解：()2'330f x x =-=，解得1x =±，再根据二次函数性质得在[]31--，上()'0f x >， 在[]1,0-上()'0f x <，所以函数()f x 在[]31--，单调递增， 在[]1,0-单调递减，所以()()max 13f x f =-=，()3279117f -=-++=-，()01f =，所以()()min 317f x f =-=-.所以函数()331f x x x =-+在闭区间[]3,0-上的最大值、最小值分别是3,17-.故选：B.【点睛】本题考查利用导数求函数在闭区间上的最值问题，是基础题.8.已知函数()y f x =的导函数的图象如图所示，则()y f x =的图象可能是（ ）A. B. C. D.【答案】D 【解析】观察可知导函数图像由正变负，则原函数应先递增，后递减，故选择D.方法点睛：辨识函数图像与导数图像主要是依据利用导数研究函数的单调性，当函数()f x 在区间(),a b 上满足0f x，则()f x 在区间(),a b 上单调递增，当函数()f x 在区间(),a b 上满足0fx，则()f x 在区间(),a b 上单调递减.9.已知sin cos 2αα-=，α∈(0，π)，则sin 2α=A. -1B. 22-C.22D. 1【答案】A 【解析】 将sin cos 2αα-=2(sin cos )2αα-=，整理得12sin cos 2αα-=，于是sin 21α=-，故选A考点定位：本题考查三角函数问题，意在考查学生对于三角函数中齐次式的运用能力和三角方程的解题能力10.要得到函数cos(21)y x =+的图象，只要将函数cos 2y x =的图象（ ） A. 向左平移1个单位 B. 向右平移1个单位 C. 向左平移 12个单位 D. 向右平移12个单位 【答案】C 【解析】y ＝cos2x 向左平移12个单位得y ＝cos2(x ＋12)＝cos(2x ＋1)，选C 项．11.函数()sin()4f x x π=-的图像的一条对称轴是（ ）A. 4x π=B. 2x π=C. 4πx =-D. 2x π=-【答案】C 【解析】对称轴穿过曲线的最高点或最低点，把4πx =-代入后得到()1f x =-,因而对称轴为4πx =-，选C .12.等差数列{}n a 中，n S 为它的前n 项和，若10a >，200S >，210S <，则当n =（ ）时，n S 最大. A. 8 B. 9C. 10D. 11【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的前n 项和公式与项的性质，得出100a >且110a <，由此求出数列{}n a 的前n 项和n S 最大时n 的值．【详解】等差数列{}n a 中，前n 项和为n S ，且200S >，210S <， 即()()120201*********a a S a a +==+>，10110a a ∴+>，()1212111212102a a S a +==<，所以，110a <，则100a >，因此，当10n =时，n S 最大. 故选：C.【点睛】本题考查了等差数列的性质和前n 项和最值问题，考查等差数列基本性质的应用，是中等题．二、填空题（每题5分，合计20分） 13.在ABC ∆中，若3,3a b A π==∠=，则C ∠的大小为【答案】2π 【解析】∵222+-cos =2b c a A bc∴c =sin sin c a C A ∴sin =1C ∴=2C π 【考点定位】本小题主要考查的是解三角形，所用方法并不唯一，对于正弦定理和余弦定理此二者会其一都可以得到最后的答案14.已知数列{}n a 的首项为1，且12n n a a n +=+，则数列的通项公式n a =___________． 【答案】2n n 1-+ 【解析】 【分析】由已知可得，当2n ≥时，12(1)n n a a n --=-，利用累加法，即可求出结论. 【详解】数列{}n a 的首项为1，且12n n a a n +=+， 当2n ≥时，12(1)n n a a n --=-，112211()()()n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+2(1)2(2)211n n =-+-++⨯+2(1)2112n nn n -=⨯+=-+， 11,1n a ==满足上式，所以21n a n n =-+. 故答案为：2n n 1-+.【点睛】本题考查数列通项公式的求法，应用递推公式的特征用累加法求通项公式，转化为求等差数列的前n 项和，属于基础题. 15.若2sin 3x =-，则cos2x =__________．【答案】19【解析】 【分析】直接利用余弦的二倍角公式进行运算求解即可. 【详解】22281cos 212sin 12()1399x x =-=-⨯-=-=. 故答案为：19. 【点睛】本题考查了余弦的二倍角公式的应用，属于基础题.16.当函数sin 3cos (02)y x x x π=-≤<取得最大值时，x =___________. 【答案】【解析】试题分析：sin 32sin 3y x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以当232x k πππ-=+时函数取得最大值，此时56x π=考点：三角函数最值三、解答题（17题10分，其余每题12分，合计70分） 17.函数()sin()16f x A x πω=-+（0,0A ω>>）的最大值为3， 其图象相邻两条对称轴之间的距离为2π， （1）求函数()f x 的解析式； （2）设(0,)2πα∈，则()22f α=，求α的值【答案】（1）()2sin(2) 1.6f x x π=-+；（2）3π.【解析】【详解】（1）由三角函数性质得,最大值为A+1=3,∴A=2， 周期2222πππωω⨯==⇒=，∴f（x ）=2sin （2x-6π）+1 （2）(0,)2πα∈，f （2α）=2 ∴2sin（22α⨯-6π）+1=2,得sin （α-6π）=12，α=3π18.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.已知375,49a S ==. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】(1) 21n a n =- (2) 21n nT n =+ 【解析】 【分析】（1）先设等差数列{}n a 的公差为d ，根据题意列出方程组，求出首项与公差，即可求出通项公式；（2）由（1）的结果，得到11122121n b n n ⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭，进而可求出前n 项和.【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意可得1125767492a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩， 所以{}n a 的通项公式为21n a n =-；()2由()1得()()1111212122121n b n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭，从而1111111...23352121⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦n T n n 11122121nn n ⎛⎫=-=⎪++⎝⎭【点睛】本题主要考查求数列的通项公式，以及数列的求和，熟记等差数列的通项公式，以及裂项相消法求数列的和即可，属于常考题型．19.ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()2cos cos b a C c A -=⋅．()1求角C ； ()2若7c =，ABC 的面积为ABC 的周长．【答案】（1）π3（2）20 【解析】 【分析】()1由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得2sinBcosC sinB =，由sinB 0>，可求1cosC 2=，结合范围()C 0,π∈，可求C 的值； ()2由()1及三角形面积公式可求ab 40=，由余弦定理可求a b +的值，即可解得ABC 的周长． 【详解】()()12b a cosC c cosA -=⋅，∴由正弦定理可得：()2sinB sinA cosC sinCcosA -=，可得：()2sinBcosC sinAcosC sinCcosA sin A C sinB =+=+=，sinB 0>，∴解得：1cosC 2=， ()C 0,π∈，πC 3∴=，()2由()1及已知可得：ABC 的面积为1ab 2=，解得ab 40=， 由余弦定理可得：222c a b ab =+-，可得：2249(a b)3ab (a b)340=+-=+-⨯，解得：a b 13+=，ABC ∴的周长a b c 13720++=+=【点睛】本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题． 20.公差不为0的等差数列{}n a ，2a 为1a ﹐4a 的等比中项，且36S =. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2nn n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）n a n =；（2）2nn b n =+，()()12212n n n n T +=+-. 【解析】 【分析】(1)根据等比中项的性质与等差数列的基本量法求解即可. (2)利用分组求和与等差等比数列的求和公式求解即可.【详解】(1)设等差数列{}n a 的公差为d 则因为2a 为1a ,4a 的等比中项,故()()222141113a a a a d a a d =⋅⇒+=⋅+,化简得1a d =.又36S =故113362a d a d +=⇒+=.故11a d ==,()11n a a n d n =+-=. 即n a n =.(2) 22n n n n b a n =+=+,故()()12121222...212...22...2n n n T n n =++++++=++++++()()()()122121212122n n n n n n -+=+=-++-.【点睛】本题主要考查了等差数列的基本量求解与分组求和、等差等比数列的公式求和等.属于基础题.21.已知函数()xf x ae bx =-（a ，b 为常数），点A 的横坐标为0，曲线()y f x =在点A 处的切线方程为 1.y x =-+（1）求a ，b 的值及函数()f x 的极值； （2）证明：当0x >时，2x e x >．【答案】（1）1a =，2b =，极小值为22ln 2-；无极大值（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求得a ，b ，再利用导数法求得函数的极值；（2）构造函数()2x h x e x =-，利用导数求得函数的最小值，即可得出结论．【详解】（1）由已知()0,A a 代入切线方程得1a =，()x f x ae b '=-，∴()01f a b '=-=-，∴2b =∴()2xf x e x =-， ()2x f x e '=-，令()0f x '=得ln 2x =，当ln 2x <时()0f x '<，()f x 单调递减；当ln 2x >时()0f x '>，()f x 单调递增；所以当ln 2x =时，()22ln 2f x =-即为极小值；无极大值（2）令()2x h x e x =-， 则()2xh x e x '=-， 由（1）知()min 22ln 20h x '=->∴()h x 在()0,∞+上为增函数∴()()010h x h >=>，即2x e x >.【点睛】本题主要考查利用导数求函数的极值，利用导数证明不等式．属于中档题.22.已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝2cos θ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是212x m y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)．(1)求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；(2)当m＝2时，直线l与曲线C交于A、B两点，求|AB|的值．【答案】（1）曲线C的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1，直线l的普通方程为x－m＝0；（2.【解析】【分析】（1）先把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，把直线的参数方程化为普通方程.(2)利用解直角三角形求直线和圆的弦长.【详解】(1)由ρ＝2cos θ，得：ρ2＝2ρcos θ，所以x2＋y2＝2x，即(x－1)2＋y2＝1，所以曲线C的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1.由212x t my t⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得xy＋m，即xy－m＝0，所以直线l的普通方程为x－m＝0.(2)设圆心到直线l的距离为d，由(1)可知直线l：xy－2＝0，曲线C：(x－1)2＋y2＝1，圆C的圆心坐标为(1，0)，半径1，则圆心到直线l的距离为d12 =.所以|AB|＝.因此|AB|【点睛】(1)本题主要考查极坐标方程、参数方程和直角坐标方程互化，考查弦长的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)求圆的弦长经常用到公式AB=||。