高考数学文优化方案一轮复习第第十导数在研究函数中的应用苏教江苏专用-PPT精选.ppt

4．生活中的优化问题 利用导数解决实际问题中的最值问题应注意：
(1)在求实际问题中的最大(小)值时，一定要注 意考虑实际问题的意义，不符合实际问题的值 应舍去．
(2)在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只 有一个点使f′(x)＝0的情形，那么不与端点值比 较，也可知道这就是最大(小)值． (3)在解决实际优化问题时，不仅要注意将问题 中涉及的自变量的函数关系式给予表示，还应 确定函数关系式中自变量的定义区间．
③检查方程根左右的值的符号，如果左正右负， 那么f(x)在这个根处取_极__大__值__，如果左负右正， 那么f(x)在这个根处取_极__小__值__．_
思考感悟 2．方程f′(x)＝0的根就是函数y＝f(x)的极值 点是否正确？ 提示：不正确，方程f′(x)＝0的根未必都是极 值点．
3．函数的最大值与最小值 在闭区间[a，b]上连续，在(a，b)内可导，f(x) 在[a，b]上求最大值与最小值的步骤： (1)_求__f_(_x_)在__(_a_，__b_)_内__的__极__值______ ； (2)将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大 的一个是_最__大__值__，最小的一个是_最__小__值__．_
所以曲线 y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为 y
－(ln2＋2)＝x－2，即 x－y＋ln2＝0.
(2)因为 f(x)＝lnx－ax＋1－x a－1， 所以 f′(x)＝1x－a＋a－x21＝－ax2－xx＋2 1－a，x ∈(0，＋∞)． 令 g(x)＝ax2－x＋1－a，x∈(0，＋∞)， (ⅰ)当 a＝0 时，g(x)＝－x＋1，x∈(0，＋∞)， 所以当 x∈(0,1)时，g(x)>0，此时 f′(x)<0，函 数 f(x)单调递减；
第十节 导数在研究函数中的应用
第
十
节
双基研习•面对高考导来自数在研
考点探究•挑战高考
究
函
数 中
考向瞭望•把脉高考
的
应
用
双基研习·面对高考
基础梳理 1．函数的单调性与导数
思考感悟 1．若函数f(x)在区间[a，b]内单调递增，则 f′(x)>0，这种说法是否正确？ 提示：不正确，函数f(x)在区间[a，b]内单调递 增，则f′(x)≥0，此处f′(x)＝0，并不是指x在[a， b]内处处有f′(x)＝0，可能只在某些具体的点处 f′(x)＝0，即f′(x)不恒等于0.
2．函数的极值 (1)函数的极值的概念： 函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝ a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在 点x＝a附近的左侧_f_′_(x_)_＜__0，右侧_f_′(_x_)_＞__0，则 点a叫做函数y＝f(x)的_极__小__值__点___，f(a)叫做函 数y＝f(x)的_极__小__值_ ．
当 x∈(1，＋∞)时，g(x)<0，此时 f′(x)>0，函
数 f(x)单调递增．
(ⅱ)当 a≠0 时，由 f′(x)＝0，
即 ax2－x＋1－a＝0，解得 x1＝1，x2＝1a－1.
当
a
＝
1 2
时
，
x1
＝
x2
，
g(x)≥0
恒成立，此时
f′(x)≤0，函数 f(x)在(0，＋∞)上单调递减．
②当 0<a<12时，1a－1>1， x∈(0,1)时，g(x)>0，此时 f′(x)<0，函数 f(x) 单调递减； x∈(1，1a－1)时，g(x)<0，此时 f′(x)>0，函 数 f(x)单调递增；
当 0<a<12时，函数 f(x)在(0,1)、(1a－1，＋∞)上
考点探究·挑战高考
考点突跛
考点一 导数与函数的单调性
利用导数判断函数单调性的步骤 (1)求导数f′(x)； (2)在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)>0或 f′(x)<0； (3)根据(2)的结果确定函数f(x)的单调区间．
例1 (2010 年高考山东卷)已知函数 f(x)＝lnx －ax＋1－x a－1(a∈R)． (1)当 a＝－1 时，求曲线 y＝f(x)在点(2，f(2)) 处的切线方程；
(2)当 a≤12时，讨论 f(x)的单调性．
【思路分析】 (1)求f′(x)及f′(2)，(2)求f′(x)，
转化为研究二次函数的问题，对a分类讨论．
【解】 (1)当 a＝－1 时，f(x)＝lnx＋x＋2x－1， x∈(0，＋∞)． 所以 f′(x)＝x2＋xx2－2，x∈(0，＋∞)， 因此 f′(2)＝1，即曲线 y＝f(x)在点(2，f(2))处 的切线斜率为 1. 又 f(2)＝ln2＋2，
x∈(1a－1，＋∞)时，g(x)>0，此时 f′(x)<0，
函数 f(x)单调递减．
③当 a<0 时，由于1a－1<0， x∈(0,1)时，g(x)>0，此时 f′(x)<0，函数 f(x) 单调递减； x∈(1，＋∞)时，g(x)<0，此时 f′(x)>0，函 数 f(x)单调递增．
综上所述， 当 a≤0 时，函数 f(x)在(0,1)上单调递减；在(1， ＋∞)上单调递增； 当 a＝12时，函数 f(x)在(0，＋∞)上单调递减；
函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b 附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x ＝b附近的左侧_f′_(_x_)＞__0_，右侧__f′_(x_)_＜__0__，则点 b叫做函数y＝f(x)的__极__大__值__点__，f(b)叫做函数y ＝f(x)的_极__大__值__．___极小值点、极大值点统称为 __极__值__点___，极大值和极小值统称为_极__值__．__ (2)求函数极值的步骤： ①求导数f′(x)； ②求方程f′(x)＝0的根；
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1．函数f(x)＝x－lnx的单调区间是________ 答案：(0,1) 2．函数y＝2x3－3x2－12x＋5在[0,3]上的最大值， 最小值分别是________． 答案：5，－15
3．f(x)＝x3－3x2＋3x的极值点的个数是 ________． 答案：0 4．函数y＝ax3－x在(－∞，＋∞)上是减函数，则 a的取值范围是________． 答案：(－∞，0]