第六讲(连续型随机变量的分布)

若不计高阶无穷小， 若不计高阶无穷小，有：
P{x < X ≤ x +∆x} ≈ f (x)∆x
它表示随机变量 X 取值于 ( x, x + ∆x] 的 概率近似等于 f ( x)∆x. 在连续型r.v理论中所起的作用与 f ( x)∆x 在连续型 理论中所起的作用与 在离散型r.v理论中所起的 P( X = xk ) = pk 在离散型 理论中所起的 作用相类似. 作用相类似
需要指出的是: 需要指出的是 连续型r.v取任一指定值的概率为 连续型 取任一指定值的概率为0. 取任一指定值的概率为 即：
P( X = a) = 0,
a为任一指定值 为任一指定值
这是因为
{ X = a} ⊂ {a − ∆x < X ≤ a}
∆x > 0
a = ∫a−∆x f ( x)dx 0 ≤ P{X = a} ≤ P{a − ∆x < X ≤ a}
即 T ~ E(λ) (2) 由指数分布的“无记忆性” 由指数分布的“无记忆性”
P{T > 18 T > 8 } = P{T > 8 + 10 T > 8}
= P{T > 10} = e−10λ
3、 正态分布 、 若X 的概率密度为
1 f (x) = e 2πσ
( x−µ)2 − 2σ 2
− ∞ < x < +∞
σ µ,σ 为常数， > 0 为常数，
服从参数为 则称 X 服从参数为 µ , σ 2 的正态分布 记作 X ~ N ( µ , σ 2 )
0 F( x) 1
x
0
x
对于任意的 0 < a < b,
b P{a < X < b} = ∫a λe−λxd x
= F(b) − F(a) = e−λa − e−λb
应用场合 用指数分布描述的实例有： 用指数分布描述的实例有： 随机服务系统中的服务时间 电话问题中的通话时间 无线电元件的寿命 指数分布常作为各种 动物的寿命 寿命” “寿命”分布的近似
f ( x)
0.08 0.06 0.04 0.02
-10
-5
5
a
x
例1 有一批晶体管，已知每只的使用寿命 X 为 有一批晶体管， 连续型随机变量， 连续型随机变量，其概率密度函数为
c , x >1000 2 f (x) = x 0, 其 他 (1) 求常数 c
(2) 求X的分布函数 的分布函数F(x) 的分布函数
2、 指数分布 、 若 X 的概率密度为
λe−λx , x > 0 f ( x) = 0, 其他
λ > 0 为常数
参数为λ 则称 X 服从 参数为λ的指数分布 记作 X ~ E(λ)
x<0 0, X 的分布函数为 F( x) = 1 − e−λx , x ≥ 0
f ( x)
(3) 设事件 A 表示一只晶体管的寿命小于 表示一只晶体管的寿命小于1500小时 小时
P( A) = P{0 ≤ X
1500 < 1500} = ∫1000
设在使用的最初1500小时三只晶体管中损坏 小时三只晶体管中损坏 设在使用的最初
1 的只数为 Y ~ B 3, 3 2 4 1 1 2 P{Y = 1} = C3 = 9 3 3
第六讲
连续型随机变量的分布
1
连续型随机变量X所有可能取值充满 连续型随机变量 所有可能取值充满 一个区间, 对这种类型的随机变量, 一个区间 对这种类型的随机变量 不能 象离散型随机变量那样, 以指定它取每个 象离散型随机变量那样 值概率的方式, 去给出其概率分布, 值概率的方式 去给出其概率分布 而是 通过给出所谓“概率密度函数”的方式. 通过给出所谓“概率密度函数”的方式 下面我们就来介绍对连续型随机变量 的描述方法. 的描述方法
常利用这两个性质检验一个函数能否作 为连续型随机变量的概率密度 ，或求 其中的未知参数
3. 对 f(x)的进一步理解 的进一步理解: 的进一步理解 的连续点， 若x是 f(x)的连续点，则： 是 的连续点 F(x + ∆x) − F(x) P(x < X ≤ x + ∆x) = lim F′(x) = lim ∆x→0 ∆x→0 ∆x ∆x x+∆x
x
{
0x
0 1
x <0
0 ≤ x <1
(2 − t)dt
x<0 0≤ x<1 1≤ x < 2 x≥2
x
∫ tdt ∫ tdt + ∫
0
1≤ x ≤ 2
x >2
1
1
0, x2 , 2 x2 2x − 1 − , 2 1 ,
(2) P(0.5 < x < 1.5) = F(1.5) − F(0.5)
1.52 0.52 = 2× 1.5 − 1 − − = 0.75 2 2
可见， 由P(A)=0, 不能推出 A = φ 可见， 由P(B)=1, 不能推出 B=S 称A为几乎不可能事件，B为几乎必然事件 为几乎不可能事件， 为几乎必然事件.
f ( x) 2)对于连续型随机变量 对于连续型随机变量X 对于连续型随机变量
P{a < X ≤ b} = P{a ≤ X ≤ b}
解 (1) (2)
x
+∞ ∫−∞
+∞ f ( x)d x = ∫1000
令 c d x =1 2 x
c = 1000
x 1000 ∫1000 2 d t,( x > 1000) 1 − 1000 ,( x > 1000 ) F( x) = ∫ f (t ) d t = x = x −∞ 0, ( x ≤ 1000) 0 , ( x ≤ 1000 )
一、连续型随机变量的概念
1、定义 设 X 是一随机变量，若存在一个非负 、 是一随机变量， 可积函数 f ( x ), 使得
F(x) = ∫−∞ f (t)dt
x
− ∞ < x < +∞
其中F ( x )是它的分布函数 其中 是它的分布函数 连续型随机变量， 是它的概率密 则称 X 是连续型随机变量，f ( x )是它的概率密 是它的 度函数( 概率密度或 度函数 p.d.f. )，简称为概率密度或密度函数 ，简称为概率密度
a 0 ≤ P{X = a} ≤ lim ∫a−∆x f ( x)dx = 0
∆x→+0
P{ X = a} = 0
1) 由P(X=a)=0 可推知
P( X ∈R −{a}) = ∫ f ( x)dx − P( X = a) = 1
−∞
∞
而 {X=a} 并非不可能事件
{X ∈ R −{a}} 并非必然事件
1000 1 dx = 2 3 x
在高为h 例2 在高为 的
ABC 中任取一点 ,点M到 中任取一点M 点 到
AB 的距离为 , 求X 的概率密度函数 f (x). 的距离为X 解 作 EF
AB, 使EF 与AB间的距离为 间的距离为x 间的距离为
当 0≤ x ≤h 时
F( x) = P{X ≤ x} = S S
二、常见的连续型随机变量的分布
1、 均匀分布 、 服从区间 若 X 的概率密度为 f (x) ，则称 X 服从区间 ( a , b)上的均匀分布 记作 X ~ U(a,b) 上的均匀分布
1 , a < x <b 其中 f (x) = b − a 0, 其 他 0, x − a X 的分布函数为 F(x) = , b − a 1
∫ = lim
∆x→0
x
f (t)dt
∆x
= f (x)
=
故 X的密度 f(x) 在 x 这一点的值，恰好是 这一点的值， 的密度 X落在区间 ( x, x + ∆x] 落在区间 上的概率与区间长度 ∆x 之比的极限. 这里，如果把概率理解为质量， 之比的极限 这里，如果把概率理解为质量， f (x)相当于线密度 相当于线密度. 相当于线密度 f 3)在 f ( x ) 的连续点处，( x) = F′( x) ,f ( x ) 描述了 的连续点处， 在 X在 x 附近单位长度的区间内取值的概率 在 附近单位长度的区间内取值的概率.
( c 为常数 为常数)
(3) 已知一只收音机上装有 只这样的晶体管， 已知一只收音机上装有3只这样的晶体管 只这样的晶体管， 每只晶体管能否正常工作相互独立， 每只晶体管能否正常工作相互独立，求在 使用的最初1500小时只有一个损坏的概率 小时只有一个损坏的概率. 使用的最初 小时只有一个损坏的概率
指数分布的“无记忆性” 指数分布的“无记忆性” 若 X ~Ｅ(λ),则 λ 则
P{X > s + t X > s} = P{X > t}
事实上
P{X > s + t, X > s} P{X > s + t} P{X > s + t X > s} = = P{X > s} P{X > s}
1 − P{X ≤ s + t} 1 − F(s + t ) e−λ( s+t ) = = = −λs = e−λt = P{X > t} 1 − P{X ≤ s} 1 − F(s) e
f (x)
o
x
要注意的是， 在某点处a 要注意的是，密度函数 f (x)在某点处 在某点处 的高度，并不反映X取值的概率 但是， 取值的概率. 的高度，并不反映 取值的概率 但是，这 个高度越大，则X取a附近的值的概率就越 个高度越大， 取 附近的值的概率就越 也可以说， 大. 也可以说，在某点密度曲线的高度反 映了概率集中在该点附近的程度. 映了概率集中在该点附近的程度