2019学年年高考数学一轮复习课时分层训练55坐标系文北师大版5
2019年高考数学一轮复习学案+训练+课件(北师大版文科)： 坐标系与参数方程 第1节 坐标系学案 文 北师大版
第一节 坐标系[考纲传真] 1.理解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.2.了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化.3.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程．(对应学生用书第158页)[基础知识填充]1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：Error!的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换．2．极坐标系(1)极坐标与极坐标系的概念在平面内取一个定点O，叫作极点，从O点引一条射线Ox，叫作极轴，选定一个单位长度和角的正方向(通常取逆时针方向)．这样就确定了一个平面极坐标系，简称为极坐标系．对于平面内任意一点M，用ρ表示线段OM的长，θ表示以Ox为始边、OM为终边的角度，ρ叫作点M的极径，θ叫作点M的极角，有序实数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记作M(ρ，θ)．当点M在极点时，它的极径ρ＝0，极角θ可以取任意值．图(2)极坐标与直角坐标的互化设M为平面内的一点，它的直角坐标为(x，y)，极坐标为(ρ，θ)．由图可知下面关系式成立：Error!或Error!图3．常用简单曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点，半径为r 的圆ρ＝r (0≤θ≤2π)圆心为(r,0)，半径为r 的圆ρ＝2r cos θ(－π2＜θ≤π2)圆心为，半径为r 的圆(r ，π2)ρ＝2r sin θ(0≤θ＜π)过极点，倾斜角为α的直线θ＝α(ρ∈R )或θ＝π＋α(ρ∈R )过点(a,0)，与极轴垂直的直线ρcos θ＝a(－π2＜θ＜π2)过点，与极轴平行的直(a ，π2)线ρsin θ＝a (0＜θ＜π)[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系，在极坐标系中点与坐标也是一一对应关系．( )(2)若点P 的直角坐标为(1，－)，则点P 的一个极坐标是.( )3(2，－π3)(3)在极坐标系中，曲线的极坐标方程不是唯一的．( )(4)极坐标方程θ＝π(ρ≥0)表示的曲线是一条直线．( )[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)×2．(教材改编)若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y ＝1－x (0≤x ≤1)的极坐标方程为( )A ．ρ＝，0≤θ≤1cos θ＋sin θπ2B ．ρ＝，0≤θ≤1cos θ＋sin θπ4C ．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π2D ．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π4A [∵y ＝1－x (0≤x ≤1)，∴ρsin θ＝1－ρcos θ(0≤ρcos θ≤1)，∴ρ＝.]1sin θ＋cos θ(0≤θ≤π2)3．(教材改编)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若曲线C 的极坐标方程为ρ＝2sin θ，则曲线C 的直角坐标方程为________．x 2＋y 2－2y ＝0 [由ρ＝2sin θ，得ρ2＝2ρsin θ.所以曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0.]4．已知直线l 的极坐标方程为2ρsin＝，点A 的极坐标为A ，则点(θ－π4)2(22，7π4)A 到直线l 的距离为________． [由2ρsin＝，得522(θ－π4)22ρ＝，(22sin θ－22cos θ)2∴y －x ＝1.由A，得点A 的直角坐标为(2，－2)．(22，7π4)∴点A 到直线l 的距离d ＝＝.]|2＋2＋1|25225．已知圆C 的极坐标方程为ρ2＋2ρ·sin－4＝0，求圆C 的半径.2(θ－π4)【导学号：00090368】[解] 以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O ，以极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系xOy .圆C 的极坐标方程可化为ρ2＋2ρ－4＝0，2(22sin θ－22cos θ)化简，得ρ2＋2ρsin θ－2ρcos θ－4＝0.则圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＋2y －4＝0，即(x －1)2＋(y ＋1)2＝6，所以圆C 的半径为.6(对应学生用书第159页)平面直角坐标系中的伸缩变换 将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C ．(1)求曲线C 的方程；(2)设直线l ：2x ＋y －2＝0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．[解] (1)设(x 1，y 1)为圆上的点，在已知变换下变为曲线C 上的点(x ，y )，依题意，得Error!2分由x ＋y ＝1得x 2＋2＝1，2121(y2)故曲线C 的方程为x 2＋＝1.5分y 24(2)由Error!解得Error!或Error!6分不妨设P 1(1,0)，P 2(0,2)，则线段P 1P 2的中点坐标为，所求直线斜率为k ＝，(12，1)12于是所求直线方程为y －1＝，12(x －12)化为极坐标方程，并整理得2ρcos θ－4ρsin θ＝－3，故所求直线的极坐标方程为ρ＝.10分34sin θ－2cos θ[规律方法] 1.解答该类问题应明确两点：一是根据平面直角坐标系中的伸缩变换公式的意义与作用；二是明确变换前的点P (x ，y )与变换后的点P ′(x ′，y ′)的坐标关系，利用方程思想求解．2．求交点坐标，得直线方程，最后化为极坐标方程，其实质是将x ＝ρcosθ，y ＝ρsin θ代入转化．[变式训练1] 在平面直角坐标系中，已知伸缩变换φ：Error!(1)求点A 经过φ变换所得点A ′的坐标；(13，－2)(2)求直线l ：y ＝6x 经过φ变换后所得直线l ′的方程．[解] (1)设点A ′(x ′，y ′)，由伸缩变换φ：Error!得Error!∴x ′＝×3＝1，y ′＝＝－1.13－22∴点A ′的坐标为(1，－1)．(2)设P ′(x ′，y ′)是直线l ′上任意一点．由伸缩变换φ：Error!得Error!代入y ＝6x ，得2y ′＝6·＝2x ′，x ′3∴y ′＝x ′为所求直线l ′的方程．极坐标与直角坐标的互化 (2017·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρcos θ＝4.(1)M 为曲线C 1上的动点，点P 在线段OM 上，且满足|OM |·|OP |＝16，求点P 的轨迹C 2的直角坐标方程；(2)设点A 的极坐标为，点B 在曲线C 2上，求△OAB 面积的最大值．(2，π3)[解] (1)设点P 的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，点M 的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0)．由题设知|OP |＝ρ，|OM |＝ρ1＝.4cos θ由|OM |·|OP |＝16得C 2的极坐标方程ρ＝4cos θ(ρ＞0).2分因此C 2的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4(x ≠0).4分(2)设点B 的极坐标为(ρB ，α)(ρB >0)．由题设知|OA |＝2，ρB ＝4cos α，于是△OAB 的面积S ＝|OA |·ρB ·sin∠AOB 6分12＝4cos α·|s in (α－π3)|＝2≤2＋.8分|s in (2α－π3)－32|3当α＝－时，S 取得最大值2＋.π123所以△OAB 面积的最大值为2＋.10分3[规律方法] 1.进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是灵活应用互化公式：x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝(x ≠0)．yx 2．进行极坐标方程与直角坐标方程互化时，要注意ρ，θ的取值范围及其影响；要善于对方程进行合理变形，并重视公式的逆向与变形使用；要灵活运用代入法和平方法等方法．[变式训练2] (2016·北京高考改编)在极坐标系中，已知极坐标方程C 1：ρcosθ－ρsin θ－1＝0，C 2：ρ＝2cos θ.3(1)求曲线C 1，C 2的直角坐标方程，并判断两曲线的形状；(2)若曲线C 1，C 2交于A ，B 两点，求两交点间的距离．[解] (1)由C 1：ρcos θ－ρsin θ－1＝0，3∴x －y －1＝0，表示一条直线．3由C 2：ρ＝2cos θ，得ρ2＝2ρcos θ，∴x2＋y2＝2x，则(x－1)2＋y2＝1.∴C2是圆心为(1,0)，半径r＝1的圆．3(2)由(1)知点(1,0)在直线x－y－1＝0上，因此直线C1过圆C2的圆心．∴两交点A，B的连线段是圆C2的直径．因此两交点A，B间的距离|AB|＝2r＝2.直线与圆的极坐标方程的应用 (2016·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为Error!(t为参数，a>0)．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝4cos θ.(1)说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；(2)直线C3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求A．[解] (1)消去参数t得到C1的普通方程为x2＋(y－1)2＝a2，则C1是以(0,1)为圆心，a 为半径的圆.2分将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入C1的普通方程中，得到C1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a2＝0.4分(2)曲线C1，C2的公共点的极坐标满足方程组Error!若ρ≠0，由方程组得16cos2θ－8sin θcos θ＋1－a2＝0，由已知tan θ＝2，得16cos2θ－8sin θcos θ＝0，8分从而1－a2＝0，解得a＝－1(舍去)或a＝1.当a＝1时，极点也为C1，C2的公共点，且在C3上．所以a＝1.10分[规律方法] 1.第(1)问将曲线C1的参数方程先化为普通方程，再化为极坐标方程，考查学生的化归与转化能力．第(2)问中关键是理解极坐标方程，有意识地将问题简单化，进而求解．2．由极坐标方程求曲线交点、距离等几何问题时，如果不能直接用极坐标方程解决，可先转化为直角坐标方程，然后求解．33[变式训练3] (2018·石家庄模拟)已知曲线C1：x＋y＝和C2：Error!(φ为参数)．以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，且两种坐标系中取相同的长度单位．(1)把曲线C1和C2的方程化为极坐标方程；(2)设C1与x，y轴交于M，N两点，且线段MN的中点为P.若射线OP与C1，C2交于P，Q两点，求P，Q两点间的距离．[解] (1)曲线C 1化为ρcos θ＋ρsin θ＝.33∴ρsin＝.2分(θ＋π6)32曲线C 2化为＋＝1.(*)x 26y 22将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入(*)式得cos 2θ＋sin 2θ＝1，即ρ2(cos 2θ＋3sin 2θ)＝6.ρ26ρ22∴曲线C 2的极坐标方程为ρ2＝.4分61＋2sin2θ(2)∵M (，0)，N (0,1)，∴P ，3(32，12)∴OP 的极坐标方程为θ＝，6分π6把θ＝代入ρsin＝得ρ1＝1，P .π6(θ＋π6)32(1，π6)把θ＝代入ρ2＝得ρ2＝2，Q .8分π661＋2sin2θ(2，π6)∴|PQ |＝|ρ2－ρ1|＝1，即P ，Q 两点间的距离为1.10分。
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课时分层训练(五十五) 坐标系1．在极坐标系中，求点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6到直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝1距离．[解] 点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6化为直角坐标为(3，1)， 3分直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝1化为ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin θ－12cos θ＝1，得32y －12x ＝1， 即直线方程为x －3y ＋2＝0，6分故点(3，1)到直线x －3y ＋2＝0距离d ＝|3－3×1＋2|12＋－32＝1.10分2．在极坐标系下，圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l ：ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝22. (1)求圆O 和直线l 直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l 与圆O 公共点一个极坐标．[解] (1)圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，2分圆O 直角坐标方程为x 2＋y 2＝x ＋y ， 即x 2＋y 2－x －y ＝0，4分直线l ：ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝22，即ρsin θ－ρcos θ＝1，那么直线l 直角坐标方程为y －x ＝1，即x －y ＋1＝0.6分 (2)由⎩⎨⎧x 2＋y 2－x －y ＝0，x －y ＋1＝0，得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝1，8分故直线l 与圆O 公共点一个极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1，π2.10分3．(2021·邯郸调研)在极坐标系中，直线l 极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝1，圆C 圆心极坐标是C⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π4，圆半径为1. (1)求圆C 极坐标方程；(2)求直线l 被圆C 所截得弦长．[解] (1)设O 为极点，OD 为圆C 直径，A (ρ，θ)为圆C 上一个动点，那么∠AOD ＝π4－θ或∠AOD ＝θ－π4，2分OA ＝OD cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ或OA ＝OD cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4，∴圆C 极坐标方程为ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4.4分 (2)由ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝1，得22ρ(sin θ＋cos θ)＝1，6分∴直线l 直角坐标方程为x ＋y －2＝0，又圆心C 直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，满足直线l 方程，∴直线l 过圆C 圆心， 8分 故直线被圆所截得弦长为直径2.10分4．(2021 ·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩⎨⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t为参数，t ≠0)，其中0≤αO 为极点，x 轴正半轴为极轴极坐标系中，曲线C 2：ρ＝2sin θ，C 3：ρ＝23cos θ. (1)求C 2与C 3交点直角坐标；(2)假设C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求|AB |最大值.【导学号：00090370】[解] (1)曲线C 2直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0，曲线C 3直角坐标方程为x 2＋y 2－23x ＝0，2分联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2y ＝0，x 2＋y 2－23x ＝0，解得⎩⎨⎧ x ＝0，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝32，y ＝32.所以C 2与C 3交点直角坐标为(0,0)和⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32.4分(2)曲线C 1极坐标方程为θ＝α(ρ∈R ，ρ≠0)，其中0≤α<π. 因此A 极坐标为(2sin α，α)，B 极坐标为(23cos α，α)．8分所以|AB |＝|2sin α－23cos α|＝4⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π3.当α＝5π6时，|AB |取得最大值，最大值为4.10分5．(2021·太原模拟)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，曲线C 2普通方程为x 216＋y 24＝1，以原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系． (1)求曲线C 1普通方程和C 2极坐标方程； (2)假设A ，B 是曲线C 2上两点，且OA ⊥OB ，求1|OA |2＋1|OB |2值． [解] (1)依题意，曲线C 1普通方程为(x －1)2＋y 2＝1，即x 2－2x ＋y 2＝0，2分曲线C 2极坐标方程为ρ2cos 2θ＋4ρ2sin 2θ＝16(只要写出ρ，θ关系式均可).4分(2)曲线C 2极坐标方程为ρ2cos 2θ16＋ρ2sin 2θ4＝1，设A (ρ1，θ)，B ⎝⎛⎭⎪⎫ρ2，θ＋π2，代入C 2极坐标方程得ρ21cos 2θ16＋ρ21sin 2θ4＝1，ρ22sin 2θ16＋ρ22cos 2θ4＝1， 6分故1ρ21＋1ρ22＝cos 2θ16＋sin 2θ4＋sin 2θ16＋cos 2θ4＝516， 9分 ∴1|OA |2＋1|OB |2＝516.10分6．(2021·大同模拟)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋cos αy ＝2＋sin α(α为参数)，直线C 2方程为y ＝3x ，以O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求曲线C 1和直线C 2极坐标方程；(2)假设直线C 2与曲线C 1交于A ，B 两点，求1|OA |＋1|OB |. 【导学号：00090371】[解] (1)曲线C 1参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋cos αy ＝2＋sin α(α为参数)，直角坐标方程为(x －2)2＋(y －2)2＝1，即x 2＋y 2－4x －4y ＋7＝0，极坐标方程为ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋7＝0.2分直线C 2方程为y ＝3x ，极坐标方程为tan θ＝3； 4分 (2)直线C 2与曲线C 1联立，可得ρ2－(2＋23)ρ＋7＝0，6分设A ，B 两点对应极径分别为ρ1，ρ2，那么ρ1＋ρ2＝2＋23，ρ1ρ2＝7，8分∴1|OA|＋1|OB|＝|ρ1＋ρ2||ρ1ρ2|＝2＋237.10分。
[推荐学习]2019年高考数学一轮复习学案+训练+课件(北师大版理科)： 坐标系与参数方程 第2节
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第二节 参数方程[考纲传真] (教师用书独具)1.了解参数方程，了解参数的意义.2.能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆曲线的参数方程．(对应学生用书第201页)[基础知识填充]1．曲线的参数方程(1)一般地，在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标(x ，y )都是某个变数t 的函数⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )，并且对于t 取的每一个允许值，由方程组所确定的点P (x ，y )都在这条曲线上，那么方程组就叫作这条曲线的参数方程，联系x ，y 之间关系的变数t 叫作参变数，简称参数．相对于参数方程，我们直接用坐标(x ，y )表示的曲线方程f (x ，y )＝0叫作曲线的普通方程．(2)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般地，可以通过消去参数，从参数方程得到普通方程．2．常见曲线的参数方程和普通方程[意义为：|t |是直线上任一点M (x ，y )到M 0(x 0，y 0)的距离．[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )中的x ，y 都是参数t 的函数．( )(2)过M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．参数t 的几何意义表示：直线l 上以定点M 0为起点，任一点M (x ，y )为终点的有向线段M 0M →的数量．( ) (3)方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝1＋2sin θ表示以点(0,1)为圆心，以2为半径的圆．( )(4)已知椭圆的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos t ，y ＝4sin t(t 为参数)，点M 在椭圆上，对应参数t＝π3，点O 为原点，则直线OM 的斜率为 3.( ) [答案] (1)√ (2)√ (3)√ (4)×2．(教材改编)曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos θ，y ＝2＋sin θ(θ为参数)的对称中心( ) A ．在直线y ＝2x 上 B ．在直线y ＝－2x 上 C ．在直线y ＝x －1上D ．在直线y ＝x ＋1上B [由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos θ，y ＝2＋sin θ，得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝x ＋1，sin θ＝y －2，所以(x ＋1)2＋(y －2)2＝1.曲线是以(－1,2)为圆心，1为半径的圆， 所以对称中心为(－1,2)，在直线y ＝－2x 上．] 3．(教材改编)在平面直角坐标系中，曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋22t ，y ＝1＋22t (t 为参数)的普通方程为________．x －y －1＝0 [由x ＝2＋22t ，且y ＝1＋22t ， 消去t ，得x －y ＝1，即x －y －1＝0.] 4．椭圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)，过左焦点F 1的直线l 与C 相交于A ，B ，则|AB |min ＝________.185 [由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)，消去参数φ得x 225＋y 29＝1，当AB ⊥x 轴时，|AB |有最小值． 所以|AB |min ＝2×95＝185.]5．(2017·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－8＋t ，y ＝t2(t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2s 2，y ＝22s(s 为参数)．设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值．[解] 直线l 的普通方程为x －2y ＋8＝0. 因为点P 在曲线C 上，设P (2s 2,22s )， 从而点P 到直线l 的距离d ＝|2s 2－42s ＋8|12＋(－2)2＝2(s －2)2＋45. 当s ＝2时，d min ＝455.因此当点P 的坐标为(4,4)时，曲线C 上的点P 到直线l 的距离取到最小值455.(对应学生用书第202页)(1)求直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝－1－t(t 为参数)与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，y ＝3sin α(α为参数)的交点个数．(2)在平面直角坐标系xOy中，若直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －a (t 为参数)过椭圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)的右顶点，求常数a 的值.【导学号：79140389】[解] (1)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝－1－t消去参数t 得直线x ＋y －1＝0；将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，y ＝3sin α消去参数α得圆x 2＋y 2＝9.又圆心(0,0)到直线x ＋y －1＝0的距离d ＝22<3.因此直线与圆相交，故直线与曲线有2个交点． (2)直线l 的普通方程为x －y －a ＝0， 椭圆C 的普通方程为x 29＋y 24＝1，所以椭圆C 的右顶点坐标为(3,0)，若直线l 过(3,0)， 则3－a ＝0，∴a ＝3.法、加减消去法、恒等式三角的或代数的消去法普通方程化为参数方程时，先分清普通方程所表示的曲线类型，图2[解] 圆的半径为12，记圆心为C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，连接CP ， 则∠PCx ＝2θ，故x P ＝12＋12cos 2θ＝cos 2θ，y P ＝12sin 2θ＝sin θcos θ(θ为参数)．所以圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin θcos θ(θ为参数)．(2017·石家庄质检)在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)，直线l 经过点P (1,2)，倾斜角α＝π6.(1)写出圆C 的普通方程和直线l 的参数方程；(2)设直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，求|PA |·|PB |的值．[解] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ，消去θ，得圆C 的普通方程为x 2＋y 2＝16. 又直线l 过点P (1,2)且倾斜角α＝π6，所以l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos π6，y ＝2＋t sin π6，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋32t ，y ＝2＋12t (t 为参数)．(2)把直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋32t ，y ＝2＋12t代入x 2＋y 2＝16，得⎝⎛⎭⎪⎫1＋32t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋12t 2＝16，t 2＋(3＋2)t －11＝0，所以t 1t 2＝－11，由参数方程的几何意义，|PA |·|PB |＝|t 1t 2|＝11. 解决与圆、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时，要注意普通方程与参数方程的互化公式，主要是通过互化解决与圆、圆锥曲线上与动点有关的问题，如最值、2根据直线的参数方程的标准式中过定点M ①弦长l⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋4t ，y ＝1－t(t 为参数)．(1)若a ＝－1，求C 与l 的交点坐标； (2)若C 上的点到l 距离的最大值为17，求a . [解] (1)曲线C 的普通方程为x 29＋y 2＝1.当a ＝－1时，直线l 的普通方程为x ＋4y －3＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y －3＝0，x 29＋y 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2125，y ＝2425.从而C 与l 的交点坐标为(3,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－2125，2425.(2)直线l 的普通方程为x ＋4y －a －4＝0，故C 上的点(3cos θ，sin θ)到l 的距离为d ＝|3cos θ＋4sin θ－a －4|17.当a ≥－4时，d 的最大值为a ＋917.由题设得a ＋917＝17，所以a ＝8;当a ＜－4时，d 的最大值为－a ＋117. 由题设得－a ＋117＝17，所以a ＝－16.综上，a ＝8或a ＝－16.(2018·石家庄质检(二))在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋a cos β，y ＝a sin β(a >0，β为参数)．以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3＝32.(1)若曲线C 与l 只有一个公共点，求a 的值；(2)A ，B 为曲线C 上的两点，且∠AOB ＝π3，求△OAB 的面积最大值．[解] (1)曲线C 是以(a,0)为圆心，以a 为半径的圆， 直线l 的直角坐标方程为x ＋3y －3＝0.由直线l 与圆C 只有一个公共点，则可得|a －3|2＝a ，解得a ＝－3(舍)，a ＝1. 所以a ＝1.(2)法一：曲线C 的极坐标方程为ρ＝2a cos θ(a >0)， 设A 的极角为θ，B 的极角为θ＋π3，则S △OAB ＝12|OA |·|OB |sin π3＝34|2a cos θ|·⎪⎪⎪⎪⎪⎪2a cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝3a 2⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3，∵cos θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝12cos 2θ－32sin θcos θ ＝12·cos 2θ＋12－34sin 2θ ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 2θ－32sin 2θ＋14 ＝12cos ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π3＋14，所以当θ＝－π6时，12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π3＋14取得最大值34.△OAB 的面积最大值为33a24.法二：因为曲线C 是以(a,0)为圆心，以a 为半径的圆，且∠AOB ＝π3，由正弦定理得|AB |sinπ3＝2a ，所以|AB |＝3a .由余弦定理得|AB |2＝3a 2＝|OA |2＋|OB |2－|OA |·|OB | ≥|OA |·|OB |，所以S △OAB ＝12|OA |·|OB |sin π3≤12×3a 2×32＝33a 24， 所以△OAB 的面积最大值为33a 24.1涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解2数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的[跟踪训练1⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φ，y ＝sin φ(其中φ为参数)．以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ(tan α·cos θ－sin θ)＝1(α是常数，0<α<π，且α≠π2)，点A ，B (A 在x 轴的下方)是曲线C 1与C 2的两个不同交点．(1)求曲线C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程； (2)求|AB |的最大值及此时点B 的坐标.【导学号：79140390】[解] (1)∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φ，y ＝sin φ，∴x 24＋y 2＝1，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得曲线C 2的直角坐标方程为y ＝tan α·x －1.(2)由(1)得曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝－1＋t sin α(t 是参数)，设A (t 1cos α，－1＋t 1sin α)，B (t 2cos α，－1＋t 2sin α)，将C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝－1＋t sin α，代入x 24＋y 2＝1，整理得t 2(1＋3sin 2α)－8t sin α＝0， ∴t 1＝0，t 2＝8sin α1＋3sin α， ∴|AB |＝|t 1－t 2|＝8|sin α|1＋3sin 2α ＝83|sin α|＋1|sin α|≤823＝433(当且仅当sin α＝33取等号)， 当sin α＝33时，∴0<α<π，且α≠π2， ∴cos α＝±63， ∴B ⎝ ⎛⎭⎪⎫±423，13， ∴|AB |的最大值为433，此时点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫±423，13.。
2019年高考数学一轮复习课时分层训练椭圆文北师大版
课时分层训练(四十五) 椭 圆A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．设F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上一点，M 是F 1P 的中点，|OM |＝3，则P 点到椭圆左焦点的距离为( ) A ．4 B ．3 C ．2D ．5A [由题意知，在△PF 1F 2中，|OM |＝12|PF 2|＝3，∴|PF 2|＝6，∴|PF 1|＝2a －|PF 2|＝10－6＝4.]2．已知椭圆的方程为2x 2＋3y 2＝m (m >0)，则此椭圆的离心率为( )A ．13B ．33C ．22D ．12B [原方程化为x 2m 2＋y 2m3＝1(m >0)，∴a 2＝m2，b 2＝m 3，则c 2＝a 2－b 2＝m6，则e 2＝13，∴e ＝33.]3．(2018·衡水模拟)已知A (－1,0)，B 是圆F ：x 2－2x ＋y 2－11＝0(F 为圆心)上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于P ，则动点P 的轨迹方程为( )【导学号：00090293】A ．x 212＋y 211＝1 B ．x 236－y 235＝1 C ．x 23－y 22＝1D ．x 23＋y 22＝1D [由题意得|PA |＝|PB |，∴|PA |＋|PF |＝|PB |＋|PF |＝r ＝23＞|AF |＝2，∴点P 的轨迹是以A 、F 为焦点的椭圆，且a ＝3，c ＝1，∴b ＝2，∴动点P 的轨迹方程为x 23＋y 22＝1，故选D ．]4．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，若P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP→的最大值为( ) A ．2 B ．3 C ．6D ．8C [由题意知，O (0,0)，F (－1,0)，设P (x ，y )，则OP →＝(x ，y )，FP →＝(x ＋1，y )，∴OP →·FP →＝x (x ＋1)＋y 2＝x 2＋y 2＋x .又∵x 24＋y 23＝1，∴y 2＝3－34x 2，∴OP →·FP →＝14x 2＋x ＋3＝14(x ＋2)2＋2.∵－2≤x ≤2，∴当x ＝2时，OP →·FP →有最大值6.]5．已知椭圆C ：x 2a ＋y 2b ＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1，F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C于A ，B 两点．若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( ) A ．x 23＋y 22＝1B ．x 23＋y 2＝1C ．x 212＋y 28＝1D ．x 212＋y 24＝1 A [∵x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为33，∴c a ＝33.又∵过F 2的直线l 交椭圆于A ，B 两点，△AF 1B 的周长为43， ∴4a ＝43，∴a ＝3，∴b ＝2， ∴椭圆方程为x 23＋y 22＝1.]二、填空题6．已知椭圆的方程是x 2a 2＋y 225＝1(a >5)，它的两个焦点分别为F 1，F 2，且|F 1F 2|＝8，弦AB (椭圆上任意两点的线段)过点F 1，则△ABF 2的周长为__________． 441 [∵a >5，∴椭圆的焦点在x 轴上． ∵|F 1F 2|＝8，∴c ＝4， ∴a 2＝25＋c 2＝41，则a ＝41.由椭圆定义，|AF 1|＋|AF 2|＝|BF 2|＋|BF 1|＝2a ， ∴△ABF 2的周长为4a ＝441.]7．(2017·湖南长沙一中月考)如图854，∠OFB ＝π6，△ABF 的面积为2－3，则以OA 为长半轴，OB 为短半轴，F 为一个焦点的椭圆方程为__________．【导学号：00090294】图854x 28＋y 22＝1 [设所求椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，由题意可知，|OF |＝c ，|OB |＝b ， ∴|BF |＝A ．∵∠OFB ＝π6，∴b c ＝33，a ＝2B ．∴S △ABF ＝12·|AF |·|BO |＝12(a －c )·b ＝12(2b －3b )b ＝2－3，解得b 2＝2，则a ＝2b ＝2 2. ∴所求椭圆的方程为x 28＋y 22＝1.]8．(2018·赣州模拟)已知圆E ：x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝94经过椭圆C ：x 2a ＋y 2b ＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点F 1，F 2，与椭圆在第一象限的交点为A ，且F 1，E ，A 三点共线，则该椭圆的方程为________．x 24＋y 22＝1 [对于x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝94，当y ＝0时，x ＝±2， ∴F 1(－2，0)，F 2(2，0)，∵E 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，∴直线EF 1的方程为y －012－0＝x ＋20＋2，即y ＝24x ＋12，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝24x ＋12，x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝94得点A 的坐标为(2，1)，则2a ＝|AF 1|＋|AF 2|＝4，∴a ＝2，∴b 2＝2， ∴该椭圆的方程为x 24＋y 22＝1.]三、解答题9．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，其中左焦点为F (－2,0)．(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线y ＝x ＋m 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的中点M 在圆x 2＋y 2＝1上，求m 的值．[解] (1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝22，c ＝2，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎨⎧a ＝22，b ＝2.3分∴椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1.5分(2)设点A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，线段AB 的中点为M (x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 28＋y 24＝1，y ＝x ＋m ，消去y 得，3x 2＋4mx ＋2m 2－8＝0，Δ＝96－8m 2>0，∴－23<m <2 3.8分∵x 0＝x 1＋x 22＝－2m 3，∴y 0＝x 0＋m ＝m3.10分∵点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝1上， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－2m 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m 32＝1，∴m ＝±355.12分10．设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，点O 为坐标原点，点A 的坐标为(a,0)，点B 的坐标为(0，b )，点M 在线段AB 上，满足|BM |＝2|MA |，直线OM 的斜率为510. (1)求E 的离心率e ；(2)设点C 的坐标为(0，－b )，N 为线段AC 的中点，证明：MN ⊥AB ．【导学号：00090295】[解] (1)由题设条件知，点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ，13b ， 2分又k OM ＝510，从而b 2a ＝510.进而a ＝5b ，c ＝a 2－b 2＝2b ，故e ＝c a ＝255.5分(2)证明：由N 是AC 的中点知，点N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a2，－b 2，可得NM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 6，5b 6.8分又AB →＝(－a ，b )，从而有AB →·NM →＝－16a 2＋56b 2＝16(5b 2－a 2). 10分由(1)的计算结果可知a 2＝5b 2， 所以AB →·NM →＝0，故MN ⊥AB ．12分B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．已知圆M ：x 2＋y 2＋2mx －3＝0(m <0)的半径为2，椭圆C ：x 2a 2＋y 23＝1的左焦点为F (－c,0)，若垂直于x 轴且经过F 点的直线l 与圆M 相切，则a 的值为( )A ．34 B ．1 C ．2D ．4C [圆M 的方程可化为(x ＋m )2＋y 2＝3＋m 2， 则由题意得m 2＋3＝4，即m 2＝1(m <0)， ∴m ＝－1，则圆心M 的坐标为(1,0)． 又直线l 过椭圆C 的左焦点，且垂直于x 轴， ∴直线l 的方程为x ＝－C ． 又∵直线l 与圆M 相切， ∴c ＝1，∴a 2－3＝1，∴a ＝2.]2．过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左顶点A 且斜率为k 的直线交椭圆C 于另一个点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点F 2，若13<k <12，则椭圆的离心率的取值范围是__________．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23 [如图所示，|AF 2|＝a ＋c ，|BF 2|＝a 2－c 2a，∴k ＝tan ∠BAF 2＝|BF 2||AF 2|＝a 2－c 2a a ＋c＝a －ca＝1－e . 又∵13<k <12，∴13<1－e <12，解得12<e <23.] 3．(2017·西安调研)如图855，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)经过点A (0，－1)，且离心率为22.图855(1)求椭圆E 的方程；(2)经过点(1,1)，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点P ，Q (均异于点A )，证明：直线AP 与AQ 的斜率之和为2.【导学号：00090296】[解] (1)由题设知ca ＝22，b ＝1， 结合a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝ 2. 3分 所以椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.5分(2)证明：由题设知，直线PQ 的方程为y ＝k (x －1)＋1(k ≠2)，代入x 22＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2－4k (k －1)x ＋2k (k －2)＝0. 7分由已知Δ>0，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，x 1x 2≠0， 则x 1＋x 2＝4kk －1＋2k2，x 1x 2＝2kk －1＋2k2.9分从而直线AP ，AQ 的斜率之和k AP ＋k AQ ＝y 1＋1x 1＋y 2＋1x 2＝kx 1＋2－k x 1＋kx 2＋2－kx 2＝2k ＋(2－k )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1＋1x 2＝2k ＋(2－k )x 1＋x 2x 1x 2＝2k ＋(2－k )4k k －2k k －＝2k －2(k －1)＝2.所以直线AP 与AQ 的斜率之和为定值2. 12分。
2019年高考数学一轮复习课时分层训练52椭圆理北师大版
课时分层训练(五十二) 椭 圆A 组 根底达标一、选择题1．(2021·全国卷Ⅰ)直线l 经过椭圆一个顶点与一个焦点，假设椭圆中心到l 距离为其短轴长14，那么该椭圆离心率为( )A.13 B.12 C.23D.34B [如图，|OB |为椭圆中心到l 距离，那么|OA |·|OF |＝|AF |·|OB |，即bc ＝a ·b2，所以e ＝c a ＝12.]2．椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)左、右焦点分别为F 1、F 2，离心率为33，过F 2直线l 交C 于A 、B 两点．假设△AF 1B 周长为43，那么C 方程为( )【导学号：79140286】A.x 23＋y 22＝1B.x 23＋y 2＝1C.x 212＋y 28＝1 D.x 212＋y 24＝1 A [由题意及椭圆定义知4a ＝43，那么a ＝3，又c a ＝c3＝33，∴c ＝1，∴b 2＝2，∴C 方程为x 23＋y22＝1，选A.] 3．设P 是椭圆x 225＋y 29＝1上一点，M ，N 分别是两圆：(x ＋4)2＋y 2＝1与(x －4)2＋y 2＝1上点，那么|PM |＋|PN |最小值、最大值分别为( ) A ．9,12 B ．8,11 C ．8,12D ．10,12C [如下图，因为两个圆心恰好是椭圆焦点，由椭圆定义可知|PF 1|＋|PF 2|＝10，易知|PM |＋|PN |＝(|PM |＋|MF 1|)＋(|PN |＋|NF 2|)－2，那么其最小值为|PF 1|＋|PF 2|－2＝8，最大值为|PF 1|＋|PF 2|＋2＝12.]4．假设点O 与点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1中心与左焦点，假设P 为椭圆上任意一点，那么OP →·FP →最大值为( )A ．2B ．3C ．6D ．8C [由题意知，O (0,0)，F (－1,0)，设P (x ，y )，那么OP →＝(x ，y )，FP →＝(x ＋1，y )，∴OP→·FP →＝x (x ＋1)＋y 2＝x 2＋y 2＋x .又∵x 24＋y 23＝1，∴y 2＝3－34x 2，∴OP →·FP →＝14x 2＋x ＋3＝14(x ＋2)2＋2.∵－2≤x ≤2，∴当x ＝2时，OP→·FP →有最大值6.]5．(2021·河北衡水六调)A (－1,0)，B 是圆F ：x 2－2x ＋y 2－11＝0(F 为圆心)上一动点，线段AB 垂直平分线交BF 于点P ，那么动点P 轨迹方程为( ) A.x 212＋y 211＝1 B.x 236－y 235＝1 C.x 23－y 22＝1 D.x 23＋y 22＝1D [由题意得|PA |＝|PB |，∴|PA |＋|PF |＝|PB |＋|PF |＝r ＝23＞|AF |＝2，∴点P 轨迹是以A 、F 为焦点椭圆，且a ＝3，c ＝1，∴b ＝2，∴动点P 轨迹方程为x 23＋y 22＝1，应选D.]二、填空题6．椭圆中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为55，且过点P (－5,4)，那么椭圆标准方程为________．x 245＋y 236＝1 [由题意设椭圆标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)．由离心率e ＝55可得a 2＝5c 2，所以b 2＝4c 2，故椭圆方程为x25c 2＋y 24c 2＝1，将P (－5,4)代入可得c 2＝9，故椭圆方程为x 245＋y 236＝1.] 7．(2021·太行中学)如图852，∠OFB ＝π6，△ABF 面积为2－3，那么以OA 为长半轴，OB 为短半轴，F 为一个焦点椭圆方程为__________．图852x 28＋y 22＝1 [设所求椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，由题意可知，|OF |＝c ，|OB |＝b ，∴|BF |＝a .∵∠OFB ＝π6，∴b c ＝33，a ＝2b .∴S △ABF ＝12·|AF |·|BO |＝12(a －c )·b ＝12(2b －3b )b ＝2－3，解得b 2＝2，那么a ＝2b ＝2 2. ∴所求椭圆方程为x 28＋y 22＝1.]8．F 1、F 2是椭圆两个焦点，满足MF →1·MF →2＝0点M 总在椭圆内部，那么椭圆离心率取值范围是________.【导学号：79140287】⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，22 [满足MF →1·MF →2＝0点M 轨迹是以F 1F 2为直径圆，假设其总在椭圆内部，那么有c ＜b ，即c 2＜b 2，又b 2＝a 2－c 2，所以c 2＜a 2－c 2，即2c 2＜a 2，所以e 2＜12，又因为0＜e ＜1，所以0＜e ＜22.]三、解答题9．椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)离心率为22，其中左焦点为F (－2,0)．(1)求椭圆C 方程；(2)假设直线y ＝x ＋m 与椭圆C 交于不同两点A ，B ，且线段AB 中点M 在圆x 2＋y 2＝1上，求m 值．[解](1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝22，c ＝2，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝22，b ＝2.∴椭圆C 方程为x 28＋y 24＝1.(2)设点A ，B 坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，线段AB 中点为M (x 0，y 0)， 由⎩⎪⎨⎪⎧x 28＋y 24＝1，y ＝x ＋m ，消去y 得，3x 2＋4mx ＋2m 2－8＝0，Δ＝96－8m 2>0，∴－23<m <2 3.∵x 0＝x 1＋x 22＝－2m 3，∴y 0＝x 0＋m ＝m3.∵点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝1上，∴⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－2m 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫m 32＝1，∴m ＝±355.10．设椭圆E 方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，点O 为坐标原点，点A坐标为(a,0)，点B 坐标为(0，b )，点M 在线段AB 上，满足|BM |＝2|MA |，直线OM 斜率为510.(1)求E 离心率e ；(2)设点C 坐标为(0，－b )，N 为线段AC 中点，点N 关于直线AB 对称点纵坐标为72，求E 方程．[解] (1)由题设条件知，点M 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23a ，13b ，又k OM ＝510，从而b 2a ＝510，进而得a ＝5b ，c ＝a 2－b 2＝2b ，故e ＝c a＝255. (2)由题设条件与(1)计算结果可得，直线AB 方程为x5b ＋yb＝1，点N 坐标为⎝⎛⎭⎪⎪⎫52b ，－12b . 设点N 关于直线AB 对称点S坐标为⎝⎛⎭⎪⎪⎫x 1，72，那么线段NS 中点T 坐标为⎝⎛⎭⎪⎪⎫54b ＋x 12，－14b ＋74. 又点T 在直线AB 上，且k NS ·k AB ＝－1，从而有⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧54b ＋x 125b＋－14b ＋74b ＝1，72＋12b x 1－52b ＝5，解得b ＝3.所以a ＝35，故椭圆E 方程为x 245＋y 29＝1.B 组 能力提升11．(2021·全国卷Ⅰ)设A ，B 是椭圆C ：x 23＋y 2m＝1长轴两个端点．假设C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，那么m 取值范围是( ) A ．(0,1]∪[9，＋∞) B ．(0，3]∪[9，＋∞) C ．(0,1]∪[4，＋∞)D ．(0，3]∪[4，＋∞)A [法一：设焦点在x 轴上，点M (x ，y )． 过点M 作x 轴垂线，交x 轴于点N ， 那么N (x,0)．故tan∠AMB ＝tan(∠AMN ＋∠BMN )＝3＋x |y |＋3－x|y |1－3＋x |y |·3－x|y |＝23|y |x 2＋y 2－3.又tan∠AMB ＝tan 120°＝－3，且由x 23＋y 2m ＝1可得x 2＝3－3y 2m，那么23|y |3－3y 2m＋y 2－3＝23|y |⎝⎛⎭⎪⎪⎫1－3m y2＝－ 3. 解得|y |＝2m 3－m.又0<|y |≤m ，即0＜2m3－m≤m ，结合0＜m ＜3解得0＜m ≤1.对于焦点在y 轴上情况，同理亦可得m ≥9. 那么m 取值范围是(0,1]∪[9，＋∞)． 应选A.法二：当0<m <3时，焦点在x 轴上， 要使C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，那么a b ≥tan 60°＝3，即3m≥3，解得0<m ≤1.当m >3时，焦点在y 轴上，要使C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，那么a b ≥tan 60°＝3，即m 3≥3，解得m ≥9.故m 取值范围为(0,1]∪[9，＋∞)．应选A.]12．过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)左顶点A 且斜率为k 直线交椭圆C 于另一个点B ，且点B 在x 轴上射影恰好为右焦点F 2，假设13<k <12，那么椭圆离心率取值范围是__________.【导学号：79140288】⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，23 [如下图，|AF 2|＝a ＋c ， |BF 2|＝a 2－c 2a，∴k ＝tan∠BAF 2＝|BF 2||AF 2|＝a 2－c 2a a ＋c＝a －c a＝1－e .又∵13<k <12，∴13<1－e <12，解得12<e <23.] 13．(2021·云南统测)焦点在y 轴上椭圆E 中心是原点O ，离心率等于32，以椭圆E 长轴与短轴为对角线四边形周长为4 5.直线l ：y ＝kx ＋m 与y 轴交于点P ，与椭圆E 相交于A ，B 两个点．(1)求椭圆E 方程；(2)假设AP→＝3PB →，求m 2取值范围．[解] (1)根据设椭圆E 方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)，焦距为2c ，由得c a ＝32，∴c ＝32a ，b 2＝a 2－c 2＝a 24.∵以椭圆E 长轴与短轴为对角线四边形周长为45， ∴4a 2＋b 2＝25a ＝45，∴a ＝2，b ＝1. ∴椭圆E 方程为x 2＋y 24＝1.(2)根据得P (0，m )，设A (x 1，kx 1＋m )，B (x 2，kx 2＋m )，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，4x 2＋y 2－4＝0得，(k 2＋4)x 2＋2mkx ＋m 2－4＝0.由得Δ＝4m 2k 2－4(k 2＋4)(m 2－4)＞0，即k 2－m 2＋4＞0， 且x 1＋x 2＝－2km k 2＋4，x 1x 2＝m 2－4k 2＋4.由AP →＝3PB →得x 1＝－3x 2.∴3(x 1＋x 2)2＋4x 1x 2＝12x 22－12x 22＝0.∴12k 2m 2(k 2＋4)2＋4(m 2－4)k 2＋4＝0，即m 2k 2＋m 2－k 2－4＝0. 当m 2＝1时，m 2k 2＋m 2－k 2－4＝0不成立，∴k 2＝4－m 2m 2－1.∵k2－m2＋4＞0，∴4－m2m2－1－m2＋4＞0，即(4－m2)m2m2－1＞0.∴1＜m2＜4.∴m2取值范围是(1,4)．第11 页。
(北师大)2019届高考数学文科一轮复习重点强化训练附答案(5份)
重点强化训练(一) 函数的图像与性质A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．设函数f (x )为偶函数，当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝log 2x ，则f (－2)＝( ) A ．－12B.12 C ．2D ．－2B [因为函数f (x )是偶函数，所以f (－2)＝f (2)＝log 22＝12.]2．已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1，则f (1)＋g (1)＝( ) A ．－3 B ．－1 C ．1D ．3C [用“－x ”代替“x ”，得f (－x )－g (－x )＝(－x )3＋(－x )2＋1，化简得f (x )＋g (x )＝－x 3＋x 2＋1，令x ＝1，得f (1)＋g (1)＝1，故选C.]3．函数f (x )＝3x＋12x －2的零点所在的一个区间是( ) 【导学号：00090050】A ．(－2，－1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1,2)C [因为函数f (x )在定义域上单调递增， 又f (－2)＝3－2－1－2＝－269＜0，f (－1)＝3－1－12－2＝－136＜0， f (0)＝30＋0－2＝－1＜0，f (1)＝3＋12－2＝32＞0，所以f (0)f (1)＜0，所以函数f (x )的零点所在区间是(0,1)．]4．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a 满足f (log 2a )＋f (log12a )≤2f (1)，则a 的取值范围是( )A ．[1,2]B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2 D ．(0,2]C [∵f (log 12a )＝f (－log 2a )＝f (log 2a )，∴原不等式可化为f (log 2a )≤f (1)．又∵f (x )在区间[0，＋∞)上是增加的，∴0≤log 2a ≤1，即1≤a ≤2.∵f (x )是偶函数，∴f (log 2a )≤f (－1)．又f (x )在区间(－∞，0]上是减少的，∴－1≤log 2a ≤0，∴12≤a ≤1.综上可知12≤a ≤2.]5．(2017·陕西质检(二))若f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，任意x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有f x 2－f x 1x 2－x 1＜0，则( )A ．f (3)＜f (1)＜f (－2)B ．f (1)＜f (－2)＜f (3)C ．f (－2)＜f (1)＜f (3)D ．f (3)＜f (－2)＜f (1)D [由对任意的x 1，x 2∈[0，＋∞)，f x 2－f x 1x 2－x 1＜0得函数f (x )为[0，＋∞)上的减函数，又因为函数f (x )为偶函数，所以f (3)＜f (2)＝f (－2)＜f (1)，故选D.] 二、填空题6．函数y ＝f (x )在x ∈[－2,2]上的图像如图2所示，则当x ∈[－2,2]时，f (x )＋f (－x )＝________.图20 [由题图可知，函数f (x )为奇函数， 所以f (x )＋f (－x )＝0.]7．若函数y ＝log 2(ax 2＋2x ＋1)的值域为R ，则a 的取值范围为______________.【导学号：00090051】[0,1] [设f (x )＝ax 2＋2x ＋1，由题意知，f (x )取遍所有的正实数．当a ＝0时，f (x )＝2x ＋1符合条件；当a ≠0时，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝4－4a ≥0，解得0＜a ≤1，所以0≤a ≤1.]8．(2017·银川质检)已知y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，在(0，＋∞)上是增函数，且f (2)＝0，则满足f (x －1)＜0的x 的取值范围是________．(－∞，－1)∪(1,3) [依题意当x ∈(1，＋∞)时，f (x －1)＜0＝f (2)的解集为x ＜3，即1＜x ＜3；当x ∈(－∞，1)时，f (x －1)＜0＝f (－2)的解集为x ＜－1，即x ＜－1.综上所述，满足f (x －1)＜0的x的取值范围是(－∞，－1)∪(1,3)．] 三、解答题9．已知函数f (x )＝2x，当m 取何值时方程|f (x )－2|＝m 有一个解，两个解？ [解] 令F (x )＝|f (x )－2|＝|2x－2|，G (x )＝m ，画出F (x )的图像如图所示．由图像看出，当m ＝0或m ≥2时，函数F (x )与G (x )的图像只有一个交点，原方程有一个解； 当0＜m ＜2时，函数F (x )与G (x )的图像有两个交点，原方程有两个解． 10．函数f (x )＝m ＋log a x (a ＞0且a ≠1)的图像过点(8,2)和(1，－1)． (1)求函数f (x )的解析式；(2)令g (x )＝2f (x )－f (x －1)，求g (x )的最小值及取得最小值时x 的值.【导学号：00090052】[解] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧f ＝2，f＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋log a 8＝2，m ＋log a 1＝－1，3分解得m ＝－1，a ＝2，故函数解析式为f (x )＝－1＋log 2x .5分(2)g (x )＝2f (x )－f (x －1)＝2(－1＋log 2x )－[－1＋log 2(x －1)] ＝log 2x 2x －1－1(x ＞1).7分∵x 2x －1＝x －2＋x －＋1x －1＝(x －1)＋1x －1＋2≥2x －1x －1＋2＝4.9分当且仅当x －1＝1x －1，即x ＝2时，等号成立． 而函数y ＝log 2x 在(0，＋∞)上单调递增， 则log 2x 2x －1－1≥log 24－1＝1，故当x ＝2时，函数g (x )取得最小值1.12分B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．(2017·东北三省四市二联)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且在[0，＋∞)上是增函数，则不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪f x －f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1x 2＜f (1)的解集为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e B ．(0，e) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，e D ．(e ，＋∞)C [f (x )为R 上的奇函数，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1x ＝f (－ln x )＝－f (ln x )，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪fx －f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1x 2＝|fx ＋fx2＝|f (ln x )|，即原不等式可化为|f (ln x )|＜f (1)，所以－f (1)＜f (ln x )＜f (1)，即f (－1)＜f (ln x )＜f (1)．又由已知可得f (x )在R 上单调递增，所以－1＜ln x ＜1，解得1e＜x＜e ，故选C.]2．已知函数f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数与奇函数，且g (x )＝f (x －1)，则f (2 019)的值为________．0 [g (－x )＝f (－x －1)，由f (x )，g (x )分别是偶函数与奇函数，得g (x )＝－f (x ＋1)，∴f (x －1)＝－f (x ＋1)，即f (x ＋2)＝－f (x )，∴f (x ＋4)＝f (x )，故函数f (x )是以4为周期的周期函数，则 f (2 019)＝f (505×4－1)＝f (－1)＝g (0)＝0.]3．函数f (x )的定义域为D ＝{x |x ≠0}，且满足对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)． (1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f (4)＝1，f (x －1)<2，且f (x )在(0，＋∞)上是增函数，求x 的取值范围. 【导学号：00090053】 [解] (1)∵对于任意x 1，x 2∈D ， 有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)， ∴令x 1＝x 2＝1，得f (1)＝2f (1)， ∴f (1)＝0. 3分 (2)f (x )为偶函数.4分证明如下：令x 1＝x 2＝－1， 有f (1)＝f (－1)＋f (－1)， ∴f (－1)＝12f (1)＝0.令x 1＝－1，x 2＝x 有f (－x )＝f (－1)＋f (x )， ∴f (－x )＝f (x )， ∴f (x )为偶函数.7分(3)依题设有f (4×4)＝f (4)＋f (4)＝2， 由(2)知，f (x )是偶函数， ∴f (x －1)<2⇔f (|x －1|)<f (16). 9分又f (x )在(0，＋∞)上是增加的， ∴0<|x －1|<16， 解得－15<x <17且x ≠1，11分∴x 的取值范围是{x |－15<x <17且x ≠1}. 12分重点强化训练(二) 平面向量A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．(2017·石家庄模拟)已知a ，b 是两个非零向量，且|a ＋b |＝|a |＋|b |，则下列说法正确的是 ( ) A ．a ＋b ＝0 B ．a ＝bC ．a 与b 共线反向D ．存在正实数λ，使a ＝λbD [因为a ，b 是两个非零向量，且|a ＋b |＝|a |＋|b |.则a 与b 共线同向，故D 正确．]2．若a ，b ，c 均为单位向量，且a·b ＝0，(a －c )·(b －c )≤0，则|a ＋b －c |的最大值为( ) A ．2－1 B ．1 C ． 2D ．2B [因为|a |＝|b |＝|c |＝1，a·b ＝0，所以|a ＋b |2＝a 2＋b 2＋2a·b ＝2，故|a ＋b |＝ 2. 展开(a －c )·(b －c )≤0，得a·b －(a ＋b )·c ＋c 2≤0， 即0－(a ＋b )·c ＋1≤0，整理，得(a ＋b )·c ≥1.而|a ＋b －c |2＝(a ＋b )2－2(a ＋b )·c ＋c 2＝3－2(a ＋b )·c ， 所以3－2(a ＋b )·c ≤3－2×1＝1. 所以|a ＋b －c |2≤1，即|a ＋b －c |≤1.]3．(2016·北京高考)设a ，b 是向量，则“|a |＝|b |”是“|a ＋b |＝|a －b |”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件D [若|a |＝|b |成立，则以a ，b 为邻边的平行四边形为菱形．a ＋b ，a －b 表示的是该菱形的对角线，而菱形的两条对角线长度不一定相等，所以|a ＋b |＝|a －b |不一定成立，从而不是充分条件；反之，若|a ＋b |＝|a －b |成立，则以a ，b 为邻边的平行四边形为矩形，而矩形的邻边长度不一定相等，所以|a |＝|b |不一定成立，从而不是必要条件．故“|a |＝|b |”是“|a ＋b |＝|a －b |”的既不充分也不必要条件．]4．在平面直角坐标系中，已知O 是坐标原点，A (3,0)，B (0,3)，C (cos α，sin α)，若|OA →＋OC →|＝13，α∈(0，π)，则OB →与OC →的夹角为( )A ．π6B ．π3C ．23π D ．56π A [由题意，得OA →＋OC →＝(3＋cos α，sin α)， 所以|OA →＋OC →|＝＋cos α2＋sin 2α＝10＋6cos α＝13， 即cos α＝12，因为α∈(0，π)，所以α＝π3，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32.设OB →与OC →的夹角为θ，则cos θ＝OB →·OC →|OB →|·|OC →|＝3233×1＝32.因为θ∈[0，π]，所以θ＝π6.]5．已知直线ax ＋by ＋c ＝0与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，且AB ＝3，则OA →·OB →的值是 ( ) A ．－12B ．12C ．－34D ．0A [取AB的中点C ，连接OC ，AB ＝3，则AC ＝32，又因为OA ＝1， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12∠AOB ＝sin ∠AOC ＝AC OA ＝32， 所以∠AOB ＝120°，则OA →·OB →＝1×1×cos 120°＝－12.]二、填空题6．设O 是坐标原点，已知OA →＝(k,12)，OB →＝(10，k )，OC →＝(4,5)，若A ，B ，C 三点共线，则实数k 的值为________．11或－2 [由题意得CA →＝OA →－OC →＝(k －4,7)，CB →＝OB →－OC →＝(6，k －5)，所以(k －4)(k －5)＝6×7，k －4＝7或k －4＝－6，即k ＝11或k ＝－2.]7．(2018·黄冈模拟)已知两个平面向量a ，b 满足|a |＝1，|a －2b |＝21，且a 与b 的夹角为120°，则|b |＝________. 【导学号：00090150】 2 [由|a －2b |＝21得a 2－4a·b ＋4b 2＝21.即1＋2|b |＋4|b |2＝21，解得|b |＝2或|b |＝－52(舍)．]8．已知点A ，B ，C 满足|AB →|＝3，|BC →|＝4，|CA →|＝5，则AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →＝________. －25 [由|AB →|2＋|BC →|2＝|CA →|2得∠B ＝90°，cos C ＝45，cos A ＝35，AB →·BC →＝0，BC →·CA →＝4×5×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝－16，CA →·AB →＝5×3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－9，所以AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →＝－25.]三、解答题9．在直角坐标系xOy 中，已知点A (1,1)，B (2,3)，C (3,2)，点P (x ，y )在△ABC 三边围成的区域(含边界)上，且OP →＝mAB →＋nAC →(m ，n ∈R )． (1)若m ＝n ＝23，求|OP →|；(2)用x ，y 表示m －n ，并求m －n 的最大值． [解] (1)∵m ＝n ＝23，AB →＝(1,2)，AC →＝(2,1)，∴OP →＝23(1,2)＋23(2,1)＝(2,2)，3分 ∴|OP →|＝22＋22＝2 2.5分(2)∵OP →＝m (1,2)＋n (2,1)＝(m ＋2n,2m ＋n )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋2n ，y ＝2m ＋n ， 8分两式相减，得m －n ＝y －x .令y －x ＝t ，由图知，当直线y ＝x ＋t 过点B (2,3)时，t 取得最大值1，故m －n 的最大值为1.10．设向量a ＝(3sin x ，sin x )，b ＝(cos x ，sin x )，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.(1)若|a |＝|b |，求x 的值；(2)设函数f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值．【导学号：00090151】[解] (1)由|a |2＝(3sin x )2＋(sin x )2＝4sin 2x ， |b |2＝(cos x )2＋(sin x )2＝1， 及|a |＝|b |，得4sin 2x ＝1.3分 又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，从而sin x ＝12，所以x ＝π6.5分(2)f (x )＝a ·b ＝3sin x ·cos x ＋sin 2x ＝32sin 2x －12cos 2x ＋12＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12，8分当x ＝π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6取最大值1.所以f (x )的最大值为32.12分B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．(2018·兰州模拟)已知向量a ，b 的夹角为60°，且|a |＝2，|b |＝3，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝m a －2b ，若△ABC 是以BC 为斜边的直角三角形，则m ＝( )【导学号：00090152】A ．－4B ．3C ．－11D ．10C [a ·b ＝2×3×cos 60°＝3，AB →＝OB →－OA →＝b －a ，AC →＝OC →－OA ＝(m －1)a －2B ．∵AB ⊥AC ，∴AB →·AC →＝0， 即(b －a )·[(m －1)a －2b ]＝0，∴(1－m )a 2－2b 2＋(m －1)a ·b ＋2a ·b ＝0， 即4(1－m )－18＋3(m －1)＋6＝0，解得m ＝－11.故选C ．]2．如图2，菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝60°，M 为DC 的中点，若N 为菱形内任意一点(含边界)，则AM →·AN →的最大值为________．图29 [由平面向量的数量积的几何意义知，AM →·AN →等于AM →与AN →在AM →方向上的投影 之积，所以(AM →·AN →)max ＝AM →·AC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB →＋AD →·(AB →＋AD →)＝12AB →2＋AD →2＋32AB →·AD →＝9.]3．已知函数f (x )＝a ·b ，其中a ＝(2cos x ，－3sin 2x )，b ＝(cos x,1)，x ∈R . (1)求函数y ＝f (x )的单调递减区间；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，f (A )＝－1，a ＝7，且向量m ＝(3，sin B )与n ＝(2，sin C )共线，求边长b 和c 的值．[解] (1)f (x )＝a ·b ＝2cos 2x －3sin 2x ＝1＋cos 2x －3sin 2x ＝1＋2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，令2k π≤2x ＋π3≤2k π＋π(k ∈Z )，解得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )，∴f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z ).5分(2)∵f (A )＝1＋2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π3＝－1， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π3＝－1.7分 又π3<2A ＋π3<7π3，∴2A ＋π3＝π，即A ＝π3. 9分 ∵a ＝7，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－3bc ＝7.① ∵向量m ＝(3，sin B )与n ＝(2，sin C )共线， ∴2sin B ＝3sin C ．由正弦定理得2b ＝3c ，② 由①②可得b ＝3，c ＝2.12分重点强化训练(三) 不等式及其应用A 组 基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．下列不等式一定成立的是( )A ．lg ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋14>lg x (x >0)B ．sin x ＋1sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z )C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R ) D ．1x 2＋1>1(x ∈R ) C [取x ＝12，则lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋14＝lg x ，故排除A ；取x ＝32π，则sin x ＝－1，故排除B ；取x ＝0，则1x 2＋1＝1，排除D ．]2．(2016·天津高考)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，2x ＋3y －6≥0，3x ＋2y －9≤0，则目标函数z ＝2x ＋5y 的最小值为( ) 【导学号：00090208】 A ．－4 B ．6 C ．10D ．17B [由约束条件作出可行域如图所示，目标函数可化为y ＝－25x ＋15z ，在图中画出直线y ＝－25x ，平移该直线，易知经过点A 时z 最小． 又知点A 的坐标为(3,0)， ∴z min ＝2×3＋5×0＝6.故选B ．]3．(2016·浙江高考)在平面上，过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l 上的投影．由区域⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0，x ＋y ≥0，x －3y ＋4≥0中的点在直线x ＋y －2＝0上的投影构成的线段记为AB ，则|AB |＝( )A ．2 2B ．4C ．3 2D ．6C [由不等式组画出可行域，如图中的阴影部分所示．因为直线x ＋y －2＝0与直线x ＋y ＝0平行，所以可行域内的点在直线x ＋y －2＝0上的投影构成的线段的长|AB |即为|CD |.易得C (2，－2)，D (－1,1)，所以|AB |＝|CD |＝＋2＋－2－2＝3 2.故选C ．] 4．不等式4x －2≤x －2的解集是( ) A ．(－∞，0)∪(2,4] B ．[0,2)∪[4，＋∞) C ．[2,4)D ．(－∞，2]∪(4，＋∞)B [①当x －2>0，即x >2时，不等式可化为(x －2)2≥4，解得x ≥4； ②当x －2<0，即x <2时，不等式可化为(x －2)2≤4， 解得0≤x <2.综上，解集为[0,2)∪[4，＋∞)．]5．(2015·山东高考)若函数f (x )＝2x＋12x －a 是奇函数，则使f (x )>3成立的x 的取值范围为( )A ．(－∞，－1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1，＋∞)C [因为函数y ＝f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，即2－x＋12－x －a ＝－2x ＋12x －a .化简可得a ＝1，则2x＋12x －1＞3，即2x＋12x －1－3＞0，即2x＋1－x－2x－1>0，故不等式可化为2x－22x －1＜0，即1＜2x＜2，解得0＜x ＜1，故选C ．] 二、填空题6．(2016·全国卷Ⅲ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1≥0，x －2y －1≤0，x ≤1，则z ＝2x ＋3y －5的最小值为________．－10 [画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．由题意可知，当直线y ＝－23x ＋53＋z3过点A (－1，－1)时，z 取得最小值，即z min ＝2×(－1)＋3×(－1)－5＝－10.]7．(2016·安徽安庆二模)已知a >0，b >0，a ＋b ＝1a ＋1b ，则1a ＋2b的最小值为________. 【导学号：00090209】22 [由a >0，b >0，a ＋b ＝1a ＋1b ＝a ＋b ab，得ab ＝1， 则1a ＋2b≥21a ·2b ＝2 2.当且仅当1a ＝2b ，即a ＝22，b ＝2时等号成立．] 8．(2018·苏州模拟)已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )＜0成立，则实数m 的取值范围是________．⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0 [由题可得f (x )＜0对于x ∈[m ，m ＋1]恒成立，即⎩⎪⎨⎪⎧f m ＝2m 2－1＜0，f m ＋＝2m 2＋3m ＜0，解得－22＜m ＜0.] 三、解答题 9．已知不等式ax －1x ＋1>0(a ∈R )． (1)解这个关于x 的不等式；(2)若x ＝－a 时不等式成立，求a 的取值范围． [解] (1)原不等式等价于(ax －1)(x ＋1)>0. 1分①当a ＝0时，由－(x ＋1)>0，得x <－1；②当a >0时，不等式化为⎝⎛⎭⎪⎫x －1a (x ＋1)>0.解得x <－1或x >1a；3分③当a <0时，不等式化为⎝⎛⎭⎪⎫x －1a (x ＋1)<0；若1a <－1，即－1<a <0，则1a<x <－1；若1a ＝－1，即a ＝－1，则不等式解集为空集； 若1a>－1，即a <－1，则 －1<x <1a.5分综上所述，当a <－1时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | －1<x <1a ；当a ＝－1时，原不等式无解；当－1<a <0时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | 1a<x <－1；当a ＝0时，解集为{x |x <－1}；当a >0时，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－1或x >1a . 6分(2)∵x ＝－a 时不等式成立， ∴－a 2－1－a ＋1>0，即－a ＋1<0， 10分∴a >1，即a 的取值范围为(1，＋∞).12分10．某客运公司用A 、B 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每辆车每天往返一次．A 、B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1 600元/辆和2 400元/辆，公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B 型车不多于A 型车7辆．若每天运送人数不少于900，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A 型车、B 型车各多少辆？ [解] 设A 型、B 型车辆分别为x 、y 辆，相应营运成本为z 元，则z ＝1 600x ＋2 400y . 由题意，得x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤21，y ≤x ＋7，36x ＋60y ≥900，x ，y ≥0，x ，y ∈N .作出可行域如图阴影部分所示，可行域的三个顶点坐标分别为P (5,12)，Q (7,14)，R (15,6)．由图可知，当直线z ＝1 600x ＋2 400y 经过可行域的点P 时，直线z ＝1 600x ＋2 400y 在y 轴上的截距z2 400最小，即z 取得最小值． 故应配备A 型车5辆、B 型车12辆，可以满足公司从甲地去乙地的营运成本最小．B 组 能力提升(建议用时：15分钟)1．已知a ，b 为正实数，且ab ＝1，若不等式(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫a x ＋b y >m 对任意正实数x ，y 恒成立，则实数m的取值范围是( ) A ．[4，＋∞) B ．(－∞，1] C ．(－∞，4]D ．(－∞，4)D [因为a ，b ，x ，y 为正实数，所以(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫a x ＋b y ＝a ＋b ＋ay x ＋bx y≥a ＋b ＋2≥2ab ＋2＝4，当且仅当a ＝b ，ay x ＝bxy，即a ＝b ，x ＝y 时等号成立，故只要m <4即可．]2． 若不等式x 2＋ax ＋1≥0对一切x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12恒成立，则a 的最小值是__________．－52[法一：由于x >0， 则由已知可得a ≥－x －1x 在x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上恒成立， 而当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12时，⎝ ⎛⎭⎪⎫－x －1x max ＝－52， ∴a ≥－52，故a 的最小值为－52.法二：设f (x )＝x 2＋ax ＋1，则其对称轴为x ＝－a2.①若－a 2≥12，即a ≤－1时，f (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上单调递减，此时应有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12≥0，从而－52≤a ≤－1. ②若－a 2<0，即a >0时，f (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上单调递增，此时应有f (0)＝1>0恒成立，故a >0.③若0≤－a 2<12，即－1<a ≤0时，则应有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝a 24－a22＋1＝1－a 24≥0恒成立，故－1<a ≤0.综上可知a ≥－52，故a 的最小值为－52.]3．已知f (x )是定义在[－1,1]上的奇函数，且f (1)＝1，若m ，n ∈[－1,1]，m ＋n ≠0时，f m ＋f nm ＋n>0.(1)用定义证明f (x )在[－1,1]上是增函数；(2)解不等式f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1；(3)若f (x )≤t 2－2at ＋1对所有x ∈[－1,1]，a ∈[－1,1]恒成立，求实数t 的取值范围. [解] (1)证明：任取x 1<x 2，且x 1，x 2∈[－1,1]，则f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1)＋f (－x 2)＝f x 1＋f －x 2x 1－x 2·(x 1－x 2).2分∵－1≤x 1<x 2≤1，∴x 1－x 2<0. 又已知f x 1＋f －x 2x 1－x 2>0，∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x )在[－1,1]上为增函数，4分(2)∵f (x )在[－1,1]上为增函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ＋12≤1，－1≤1x －1≤1，x ＋12<1x －1，解得⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | －32≤x <－1.8分(3)由(1)可知f (x )在[－1,1]上为增函数，且f (1)＝1，故对x ∈[－1,1]，恒有f (x )≤1， ∴要f (x )≤t 2－2at ＋1对所有x ∈[－1,1]，a ∈[－1,1]恒成立，即要t 2－2at ＋1≥1成立， 故t 2－2at ≥0，记g (a )＝－2ta ＋t 2.10分对a ∈[－1,1]，g (a )≥0恒成立，只需g (a )在[－1,1]上的最小值大于等于0， ∴g (－1)≥0，g (1)≥0，解得t ≤－2或t ＝0或t ≥2. ∴t 的取值范围是{t |t ≤－2或t ＝0或t ≥2}.12分重点强化训练(四) 直线与圆A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．(2018·西安五校联考)命题p ：“a ＝－2”是命题q ：“直线ax ＋3y －1＝0与直线6x ＋4y －3＝0垂直”成立的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件A [两直线垂直的充要条件是6a ＋3×4＝0，解得a ＝－2，命题p 是命题q 成立的充要条件．] 2．(2018·深圳模拟)已知直线l ：x ＋my ＋4＝0，若曲线x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0上存在两点P ，Q 关于直线l 对称，则m 的值为( ) 【导学号：00090287】 A ．2B ．－2C ．1D ．－1D [因为曲线x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0是圆(x ＋1)2＋(y －3)2＝9，若圆(x ＋1)2＋(y －3)2＝9上存在两点P ，Q 关于直线l 对称，则直线l ：x ＋my ＋4＝0过圆心(－1,3)，所以－1＋3m ＋4＝0，解得m ＝－1.]3．圆x 2＋2x ＋y 2＋4y －3＝0上到直线x ＋y ＋1＝0的距离为2的点共有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个C [圆的方程化为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝8，圆心(－1，－2)到直线距离d ＝|－1－2＋1|2＝2，半径是22，结合图形可知有3个符合条件的点．]4．过点P (－3，－1)的直线l 与圆x 2＋y 2＝1有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π6B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π3C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3 D [因为l 与圆x 2＋y 2＝1有公共点，则l 的斜率存在，设斜率为k ，所以直线l 的方程为y ＋1＝k (x ＋3)，即kx －y ＋3k －1＝0， 则圆心到l 的距离d ＝|3k －1|1＋k2. 依题意，得|3k －1|1＋k2≤1，解得0≤k ≤ 3. 故直线l 的倾斜角的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3.]5．(2017·重庆一中模拟)已知圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝2，y 轴被圆C 截得的弦长与直线y ＝2x ＋b 被圆C 截得的弦长相等，则b ＝( ) A ．－ 6 B ．± 6 C ．－ 5D ．± 5D [在(x －1)2＋(y －2)2＝2中，令x ＝0，得(y －2)2＝1，解得y 1＝3，y 2＝1，则y 轴被圆C 截得的弦长为2，所以直线y ＝2x ＋b 被圆C 截得的弦长为2，所以圆心C (1,2)到直线y ＝2x ＋b 的距离为1， 即|2×1－2＋b |5＝1，解得b ＝± 5.] 二、填空题6．经过两条直线3x ＋4y －5＝0和3x －4y －13＝0的交点，且斜率为2的直线方程是__________．2x －y －7＝0 [由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y －5＝0，3x －4y －13＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1，即两直线的交点坐标为(3，－1)，又所求直线的斜率k ＝2.则所求直线的方程为y ＋1＝2(x －3)，即2x －y －7＝0.]7．已知过点P (2,2)的直线与圆(x －1)2＋y 2＝5相切，且与直线ax －y ＋1＝0垂直，则a ＝__________. 2 [因为点P (2,2)为圆(x －1)2＋y 2＝5上的点，由圆的切线性质可知，圆心(1,0)与点P (2,2)的连线与过点P (2,2)的切线垂直． 因为圆心(1,0)与点P (2,2)的连线的斜率k ＝2，故过点P (2,2)的切线斜率为－12，所以直线ax －y ＋1＝0的斜率为2，因此a ＝2.]8．已知直线x －y ＋a ＝0与圆心为C 的圆x 2＋y 2＋2x －4y －4＝0相交于A ，B 两点，且AC ⊥BC ，则实数a 的值为__________．0或6 [由x 2＋y 2＋2x －4y －4＝0得(x ＋1)2＋(y －2)2＝9，所以圆C 的圆心坐标为C (－1,2)，半径为3，由AC ⊥BC 可知△ABC 是直角边长为3的等腰直角三角形．故可得圆心C 到直线x －y ＋a ＝0的距离为322.由点到直线的距离得|－1－2＋a |2＝322，解得a ＝0或a ＝6.] 三、解答题9．已知圆C ：x 2＋y 2－8y ＋12＝0，直线l ：ax ＋y ＋2a ＝0. (1)当a 为何值时，直线l 与圆C 相切；(2)当直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，且|AB |＝22时，求直线l 的方程.【导学号：00090289】[解] 将圆C 的方程x 2＋y 2－8y ＋12＝0配方得标准方程为x 2＋(y －4)2＝4，则此圆的圆心为(0,4)，半径为2.2分 (1)若直线l 与圆C 相切，则有|4＋2a |a 2＋1＝2，解得a ＝－34.5分(2)过圆心C 作CD ⊥AB ，则根据题意和圆的性质，得⎩⎪⎨⎪⎧|CD |＝|4＋2a |a 2＋1，|CD |2＋|DA |2＝|AC |2＝22，|DA |＝12|AB |＝2，8分解得a ＝－7或a ＝－1.故所求直线方程为7x －y ＋14＝0或x －y ＋2＝0.12分10．在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2－6x ＋1与坐标轴的交点都在圆C 上，求圆C 的方程． [解] 曲线y ＝x 2－6x ＋1与y 轴的交点为(0,1)，与x 轴的交点为(3＋22，0)，(3，－22，0)，设圆的方程是x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)，则有⎩⎨⎧1＋E ＋F ＝0，＋222＋D＋22＋F ＝0，－222＋D－22＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－6，E ＝－2，F ＝1，故圆的方程是x 2＋y 2－6x －2y ＋1＝0.6分所以x 2＝x 0－32，y 2＝y 0＋42，整理得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ＋3，y 0＝y －4.又点N (x ＋3，y －4)在圆x 2＋y 2＝4上， 10分所以(x ＋3)2＋(y －4)2＝4.所以点P 的轨迹是以(－3,4)为圆心，2为半径的圆(因为O ，M ，P 三点不共线，所以应除去两点⎝ ⎛⎭⎪⎫－95，125和⎝ ⎛⎭⎪⎫－215，285. 12分B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．直线l ：y ＝kx ＋1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则“k ＝1”是“△OAB 的面积为12”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件A [将直线l 的方程化为一般式得kx －y ＋1＝0， 所以圆O ：x 2＋y 2＝1的圆心到该直线的距离d ＝1k 2＋1.又弦长为21－1k 2＋1＝2|k |k 2＋1， 所以S △OAB ＝12·1k 2＋1·2|k |k 2＋1＝|k |k 2＋1＝12，解得k ＝±1.因此可知“k ＝1”是“△OAB 的面积为12”的充分不必要条件．]2．过点P (1,1)的直线将圆形区域{(x ，y )|x 2＋y 2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为__________．x ＋y －2＝0 [设过P 点的直线为l ，当OP ⊥l 时，过P 点的弦最短，所对的劣弧最短，此时，得到的两部分的面积之差最大． 由点P (1,1)知k OP ＝1， 所以所求直线的斜率k ＝－1.由点斜式得，所求直线方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0.]3．已知圆C ：x 2＋y 2－6x －4y ＋4＝0，直线l 1被圆所截得的弦的中点为P (5,3)． (1)求直线l 1的方程；(2)若直线l 2：x ＋y ＋b ＝0与圆C 相交，求b 的取值范围；(3)是否存在常数b ，使得直线l 2被圆C 所截得的弦的中点落在直线l 1上？若存在，求出b 的值；若不存在，说明理由．[解] (1)圆C 的方程化为标准方程为(x －3)2＋(y －2)2＝9，于是圆心C (3,2)，半径r ＝3. 若设直线l 1的斜率为k ，则k ＝－1k PC ＝－112＝－2. 所以直线l 1的方程为y －3＝－2(x －5)，即2x ＋y －13＝0.3分(2)因为圆的半径r ＝3，所以要使直线l 2与圆C 相交，则有|3＋2＋b |2<3，5分所以|b ＋5|<32，于是b 的取值范围是－32－5<b <32－5. 8分(3)设直线l 2被圆C 截得的弦的中点为M (x 0，y 0)，则直线l 2与CM 垂直， 于是有y 0－2x 0－3＝1， 整理可得x 0－y 0－1＝0.又因为点M (x 0，y 0)在直线l 2上，所以x 0＋y 0＋b ＝0.所以由⎩⎪⎨⎪⎧x 0－y 0－1＝0，x 0＋y 0＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1－b 2，y 0＝－1＋b2. 10分代入直线l 1的方程得1－b －1＋b2－13＝0， 于是b ＝－253∈(－32－5,32－5)，故存在满足条件的常数B ． 12分重点强化训练(五) 统计与统计案例A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．(2017·石家庄模拟)交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查．假设四个社区驾驶员的总人数为N ，其中甲社区有驾驶员96人．若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,43，则这四个社区驾驶员的总人数N 为( ) 【导学号：00090343】A ．101B ．808C ．1 212D ．2 012B [由题意知抽样比为1296，而四个社区一共抽取的驾驶员人数为12＋21＋25＋43＝101，故有1296＝101N ，解得N ＝808.]2．设某大学的女生体重y (单位：kg)写身高x (单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )，用最小二乘法建立的回归方程为y ＝0.85x －85.71，则下列结论中不正确的是( ) A ．y 与x 具有正的线性相关关系 B ．回归直线过样本点的中心(x ，y )C ．若该大学某女生身高增加1 cm ，则其体重约增加0.85 kgD ．若该大学某女生身高为170 cm ，则可断定其体重必为58.79 kg D [∵0.85>0，∴y 与x 正相关，∴A 正确； ∵回归直线经过样本点的中心(x ，y )，∴B 正确； ∵Δy ＝0.85(x ＋1)－85.71－(0.85x －85.71)＝0.85， ∴C 正确．]3．亚冠联赛前某参赛队准备在甲、乙两名球员中选一人参加比赛．如图9所示的茎叶图记录了一段时间内甲、乙两人训练过程中的成绩，若甲、乙两名球员的平均成绩分别是x 1，x 2，则下列结论正确的是( )图9A．x1>x2，选甲参加更合适B．x1>x2，选乙参加更合适C．x1＝x2，选甲参加更合适D．x1＝x2，选乙参加更合适A[根据茎叶图可得甲、乙两人的平均成绩分别为x1≈31.67，x2≈24.17，从茎叶图来看，甲的成绩比较集中，而乙的成绩比较分散，因此甲发挥得更稳定，选甲参加比赛更合适．]4．(2018·黄山模拟)某同学在研究性学习中，收集到某制药厂今年前5个月甲胶囊生产产量(单位：万盒)的数据如下表所示：若x，y( )【导学号：00090344】A．8.1万盒B．8.2万盒C．8.9万盒D．8.6万盒A[由题意知x＝3，y＝6，则a＝y－0.7x＝3.9，∴x＝6时，y＝8.1.]5．(2018·郑州模拟)利用如图10所示算法在平面直角坐标系上打印一系列点，则打印的点在圆x2＋y2＝10内的个数为( )图10A．2 B．3C．4 D．5B[执行题中的程序框图，打印的点的坐标依次为(－3,6)，(－2,5)，(－1,4)，(0,3)，(1,2)，(2,1)，其中点(0,3)，(1,2)，(2,1)位于圆x2＋y2＝10内，因此打印的点位于圆x2＋y2＝10内的共有3个．] 二、填空题6．在某市“创建文明城市”活动中，对800名志愿者的年龄抽样调查统计后得到频率分布直方图(如图11)，但是年龄组为[25,30)的数据不慎丢失，据此估计这800名志愿者年龄在[25,30)内的人数为________．图11160 [设年龄在[25,30)内的志愿者的频率是P，则有5×0.01＋P＋5×0.07＋5×0.06＋5×0.02＝1，解得P＝0.2.故估计这800名志愿者年龄在[25,30)内的人数是800×0.2＝160.]7．某新闻媒体为了了解观众对央视《开门大吉》节目的喜爱与性别是否有关系，随机调查了观看该节目的观众110名，得到如下的列联表：参考附表：99% [假设喜爱该节目和性别无关，分析列联表中数据，可得χ2＝－2 60×50×60×50≈7.822>6.635，所以有99%的把握认为“喜爱《开门大吉》节目与否和性别有关”．]8．(2017·太原模拟)数列{a n}满足a n＝n，阅读如图12所示的算法框图，运行相应的程序，若输入n＝5，a n ＝n ，x ＝2的值，则输出的结果v ＝________.图12129 [该算法框图循环4次，各次v 的值分别是14,31,64,129，故输出结果v ＝129.] 三、解答题9．(2018·合肥模拟)全世界越来越关注环境保护问题，某监测站点于2016年8月某日起连续n 天监测空气质量指数(AQI)，数据统计如下表：(1)图13(2)由频率分布直方图，求该组数据的平均数与中位数；(3)在空气质量指数分别为(50,100]和(150,200]的监测数据中，用分层抽样的方法抽取5天，从中任意选取2天，求事件A “两天空气质量等级都为良”发生的概率． [解] (1)∵0.004×50＝20n，∴n ＝100，∵20＋40＋m ＋10＋5＝100，∴m ＝25.40100×50＝0.008；25100×50＝0.005；10100×50＝0.002；5100×50＝0.001.2分由此完成频率分布直方图，如图：4分(2)由频率分布直方图得该组数据的平均数为25×0.004×50＋75×0.008×50＋125×0.005×50＋175×0.002×50＋225×0.001×50＝95， 6分∵[0,50)的频率为0.004×50＝0.2，[50,100)的频率为0.008×50＝0.4， ∴中位数为50＋0.5－0.20.4×50＝87.5.8分(3)由题意知在空气质量指数为(50,100]和(150,200]的监测天数中分别抽取4天和1天， 在所抽取的5天中，将空气质量指数为(50,100]的4天分别记为a ，b ，c ，d ；将空气质量指数为(150,200]的1天记为e ，从中任取2天的基本事件为(a ，b )，(a ，c )，(a ，d )，(a ，e )，(b ，c )，(b ，d )，(b ，e )，(c ，d )，(c ，e )，(d ，e )，共10个，10分其中事件A “两天空气质量等级都为良”包含的基本事件为 (a ，b )，(a ，c )，(a ，d )，(b ，c )，(b ，d )，(c ，d )，共6个. 11分 所以P (A )＝610＝35.12分10．随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长．设某地区城乡居民人民币储蓄存款(年底余额)如下表：(1)求y 关于t (2)用所求回归方程预测该地区2015年(t ＝6)的人民币储蓄存款．附：回归方程y ＝bt ＋a 中，b ＝∑i ＝1nt i y i －n t y∑i ＝1nt 2i －n t 2，a ＝y －b t .[解] (1)列表计算如下：这里n ＝5，t ＝1n ∑i ＝1n t i ＝155＝3，y ＝1n ∑i ＝1n y i ＝365＝7.2.2分又l tt ＝∑i ＝1nt 2i －n t 2＝55－5×32＝10，l ty ＝∑i ＝1nt i y i －n t －y －＝120－5×3×7.2＝12，从而b ＝l ty l tt ＝1210＝1.2， a ＝y －b t ＝7.2－1.2×3＝3.6，故所求回归方程为y ＝1.2t ＋3.6.7分(2)将t ＝6代入回归方程可预测该地区2015年的人民币储蓄存款为y ＝1.2×6＋3.6＝10.8(千亿元).B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1． 如图14所示的算法框图，若输出k 的值为6，则判断框内可填入的条件是( ) 【导学号：00090345】图14A ．s >12B ．s >35C ．s >710D ．s >45C [第一次执行循环：s ＝1×910＝910，k ＝8，s ＝910应满足条件；第二次执行循环：s ＝910×89＝810，k ＝7，s ＝810应满足条件，排除选项D ；第三次执行循环：s ＝810×78＝710，k ＝6，不再满足条件，结束循环．因此判断框中的条件为s >710.]2．(2017·西安调研)已知某产品连续4个月的广告费用x 1(千元)与销售额y 1(万元)，经过对这些数据的处理，得到如下数据信息：①∑i ＝14x i ＝18，∑i ＝14y i ＝14；②广告费用x 和销售额y 之间具有较强的线性相关关系；③回归直线方程y ＝bx ＋a 中的b ＝0.8(用最小二乘法求得)．那么，广告费用为6千元时，可预测销售额约为________万元．4．7 [因为∑i ＝14x i ＝18，∑i ＝14y i ＝14，所以x ＝4.5，y ＝3.5，因为回归直线方程y ＝bx ＋a 中的b ＝0.8， 所以3.5＝0.8×4.5＋a ，所以a ＝－0.1，所以y ＝0.8x －0.1.x ＝6时，可预测销售额约为4.7万元．]3．某工厂36名工人的年龄数据如下表．(1)44，列出样本的年龄数据；(2)计算(1)中样本的均值x 和方差s 2；(3)36名工人中年龄在x －s 与x ＋s 之间有多少人？所占的百分比是多少(精确到0.01%)? [解] (1)36人分成9组，每组4人，其中第一组的工人年龄为44，所以它在组中的编号为2， 所以所有样本数据的编号为4n －2(n ＝1,2，…，9)， 其年龄数据为：44,40,36,43,36,37,44,43,37. 5分(2)由均值公式知：x ＝44＋40＋…＋379＝40，由方差公式知：s 2＝19[(44－40)2＋(40－40)2＋…＋(37－40)2]＝1009.8分 (3)因为s 2＝1009，s ＝103，所以36名工人中年龄在x －s 和x ＋s 之间的人数等于年龄在区间[37,43]上的人数， 即40,40,41，…，39，共23人．所以36名工人中年龄在x －s 和x ＋s 之间的人数所占的百分比为2336×100%≈63.89%.。
2019年高考数学一轮复习学案+训练+课件(北师大版文科)： 课时分层训练1 集合 文 北师大版
课时分层训练(一) 集 合A组 基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．(2017·天津高考)设集合A＝{1,2,6}，B＝{2,4}，C＝{1,2,3,4}，则(A∪B)∩C＝( ) A．{2} B．{1,2,4}C．{1,2,4,6}D．{1,2,3,4,6}B [∵A∪B＝{1,2,6}∪{2,4}＝{1,2,4,6}，∴(A∪B)∩C＝{1,2,4,6}∩{1,2,3,4}＝{1,2,4}．故选B.]2．(2017·山东高考)设集合M＝{x||x－1|<1}，N＝{x|x<2}，则M∩N＝( ) A．(－1,1)B．(－1,2)C．(0,2)D．(1,2)C [∵M＝{x|0<x<2}，N＝{x|x<2}，∴M∩N＝{x|0<x<2}∩{x|x<2}＝{x|0<x<2}．故选C.]3．(2017·潍坊模拟)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0＜x＜5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为( )A．1 B．2 C．3 D．4D [由x2－3x＋2＝0，得x＝1或x＝2，∴A＝{1,2}．由题意知B＝{1,2,3,4}，∴满足条件的C可为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}，共4个．]4．(2016·山东高考)设集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{x|x2－1<0}，则A∪B＝( ) A．(－1,1)B．(0,1)C．(－1，＋∞)D．(0，＋∞)C [由已知得A＝{y|y>0}，B＝{x|－1<x<1}，则A∪B＝{x|x>－1}．]5．(2017·衡水模拟)已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A＝{2,3,5,6}，集合B＝{1,3,4,6,7}，则集合A∩∁U B＝( ) 【导学号：00090002】A．{2,5}B．{3,6}C．{2,5,6}D．{2,3,5,6,8}A [由题意得∁U B＝{2,5,8}，∴A∩∁U B＝{2,3,5,6}∩{2,5,8}＝{2,5}．]6．(2018·西安模拟)已知集合M＝{－1,0,1}，N＝{x|x＝ab，a，b∈M，且a≠b}，则集合M 与集合N 的关系是( )A ．M ＝NB ．M ∩N ＝NC ．M ∪N ＝ND ．M ∩N ＝∅B [由题意知N ＝{－1,0}，则M ∩N ＝N ，故选B.]7．若x ∈A ，则∈A ，就称A 是伙伴关系集合，集合M ＝的所有非空子1x {－1，0，12，2，3}集中具有伙伴关系的集合的个数是( )A ．1B ．3C ．7D ．31B [具有伙伴关系的元素组是－1，，2，所以具有伙伴关系的集合有3个：{－1}，12，.]{12，2}{－1，12，2}二、填空题8．已知集合A ＝{x |x 2－2 017x ＋2 016＜0}，B ＝{x |x ＜a }，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是________．[2 016，＋∞) [由x 2－2 017x ＋2 016＜0，解得1＜x ＜2 016，故A ＝{x |1＜x ＜2 016}，又B ＝{x |x ＜a }，A ⊆B ，如图所示，可得a ≥2 016.]9．(2016·天津高考)已知集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{y |y ＝3x －2，x ∈A }，则A ∩B ＝________.{1,4} [因为集合B 中，x ∈A ，所以当x ＝1时，y ＝3－2＝1；当x ＝2时，y ＝3×2－2＝4；当x ＝3时，y ＝3×3－2＝7；当x ＝4时，y ＝3×4－2＝10.即B ＝{1,4,7,10}．又因为A ＝{1,2,3,4}，所以A ∩B ＝{1,4}．]10．集合A ＝{x |x ＜0}，B ＝{x |y ＝lg[x (x ＋1)]}，若A －B ＝{x |x ∈A ，且x ∉B }，则A －B ＝________.[－1,0) [由x (x ＋1)＞0，得x ＜－1或x ＞0，∴B ＝(－∞，－1)∪(0，＋∞)，∴A －B ＝[－1,0)．]B 组 能力提升(建议用时：15分钟)1．(2018·石家庄模拟)已知集合A ＝{x |x ∈Z ，且∈Z }，则集合A 中的元素个数为( )32－x A ．2 B ．3C ．4D ．5C [∵∈Z ，∴2－x 的取值有－3，－1,1,3，32－x 又∵x ∈Z ，∴x 值分别为5,3,1，－1，故集合A 中的元素个数为4.]2．(2017·郑州调研)设全集U ＝R ，A ＝{x |x 2－2x ≤0}，B ＝{y |y ＝cosx ，x ∈R }，则图112中阴影部分表示的区间是( )图112A ．[0,1]B ．(－∞，－1]∪[2，＋∞)C ．[－1,2]D ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)D [A ＝{x |x 2－2x ≤0}＝[0,2]，B ＝{y |y ＝cos x ，x ∈R }＝[－1,1]．图中阴影部分表示∁U (A ∪B )＝(－∞，－1)∪(2，＋∞)．]3．(2018·信阳模拟)已知集合A ＝{(x ，y )|y －＝0}，B ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，x C ＝A ∩B ，则C 的子集的个数是________. 【导学号：00090003】2 [曲线y ＝与圆x 2＋y 2＝1只有一个交点，从而集合C 中只有一个元素，则C 的子x 集的个数有2个．]4．设集合A ＝{x |x 2－x －6＜0}，B ＝{x |x －a ≥0}．若存在实数a ，使得A ∩B ＝{x |0≤x ＜3}，则A ∪B ＝________.{x |x ＞－2} [A ＝{x |－2＜x ＜3}，B ＝{x |x ≥a }．如图，由A ∩B ＝{x |0≤x ＜3}，得a ＝0，A ∪B ＝{x |x ＞－2}．]。
2019年高考数学一轮复习学案+训练+课件(北师大版文科)：重点强化训练1函数的图像与性质文北师大版_35
重点强化训练(一) 函数的图像与性质A 组 基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．设函数f (x )为偶函数，当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝log 2x ，则f (－)＝( )2A ．－ B.1212C ．2D ．－2B [因为函数f (x )是偶函数，所以f (－)＝f ()＝log 2＝.]222122．已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1，则f (1)＋g (1)＝( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3C [用“－x ”代替“x ”，得f (－x )－g (－x )＝(－x )3＋(－x )2＋1，化简得f (x )＋g (x )＝－x 3＋x 2＋1，令x ＝1，得f (1)＋g (1)＝1，故选C.]3．函数f (x )＝3x ＋x －2的零点所在的一个区间是( ) 【导学号：00090050】12A ．(－2，－1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1,2)C [因为函数f (x )在定义域上单调递增，又f (－2)＝3－2－1－2＝－＜0，269f (－1)＝3－1－－2＝－＜0，12136f (0)＝30＋0－2＝－1＜0，f (1)＝3＋－2＝＞0，所以f (0)f (1)＜0，1232所以函数f (x )的零点所在区间是(0,1)．]4．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a 满足f (log 2a )＋f (log a )≤2f (1)，则a 的取值范围是( )12A ．[1,2] B.(0，12]C.D ．(0,2][12，2]C [∵f (log a )＝f (－log 2a )＝f (log 2a )，∴原不等式可化为f (log 2a )≤f (1)．又12∵f (x )在区间[0，＋∞)上是增加的，∴0≤log 2a ≤1，即1≤a ≤2.∵f (x )是偶函数，∴f (log 2a )≤f (－1)．又f (x )在区间(－∞，0]上是减少的，∴－1≤log 2a ≤0，∴≤a ≤1.综上可知≤a ≤2.]12125．(2017·陕西质检(二))若f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，任意x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有＜0，则( )f x 2 －f x 1x 2－x 1A ．f (3)＜f (1)＜f (－2)B ．f (1)＜f (－2)＜f (3)C ．f (－2)＜f (1)＜f (3)D ．f (3)＜f (－2)＜f (1)D [由对任意的x 1，x 2∈[0，＋∞)，＜0得函数f (x )为[0，＋∞)f x 2 －f x 1x 2－x 1上的减函数，又因为函数f (x )为偶函数，所以f (3)＜f (2)＝f (－2)＜f (1)，故选D.]二、填空题6．函数y ＝f (x )在x ∈[－2,2]上的图像如图2所示，则当x ∈[－2,2]时，f (x )＋f (－x )＝________.图20 [由题图可知，函数f (x )为奇函数，所以f (x )＋f (－x )＝0.]7．若函数y ＝log 2(ax 2＋2x ＋1)的值域为R ，则a 的取值范围为______________.【导学号：00090051】[0,1] [设f (x )＝ax 2＋2x ＋1，由题意知，f (x )取遍所有的正实数．当a ＝0时，f (x )＝2x ＋1符合条件；当a ≠0时，则Error!解得0＜a ≤1，所以0≤a ≤1.]8．(2017·银川质检)已知y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，在(0，＋∞)上是增函数，且f (2)＝0，则满足f (x －1)＜0的x 的取值范围是________．(－∞，－1)∪(1,3) [依题意当x ∈(1，＋∞)时，f (x －1)＜0＝f (2)的解集为x ＜3，即1＜x ＜3；当x ∈(－∞，1)时，f (x －1)＜0＝f (－2)的解集为x ＜－1，即x ＜－1.综上所述，满足f (x －1)＜0的x 的取值范围是(－∞，－1)∪(1,3)．]三、解答题9．已知函数f (x )＝2x ，当m 取何值时方程|f (x )－2|＝m 有一个解，两个解？[解] 令F (x )＝|f (x )－2|＝|2x －2|，G (x )＝m ，画出F (x )的图像如图所示．由图像看出，当m ＝0或m ≥2时，函数F (x )与G (x )的图像只有一个交点，原方程有一个解；当0＜m ＜2时，函数F (x )与G (x )的图像有两个交点，原方程有两个解．10．函数f (x )＝m ＋log a x (a ＞0且a ≠1)的图像过点(8,2)和(1，－1)．(1)求函数f (x )的解析式；(2)令g (x )＝2f (x )－f (x －1)，求g (x )的最小值及取得最小值时x 的值.【导学号：00090052】[解] (1)由Error!得Error!3分解得m ＝－1，a ＝2，故函数解析式为f (x )＝－1＋log 2x .5分(2)g (x )＝2f (x )－f (x －1)＝2(－1＋log 2x )－[－1＋log 2(x －1)]＝log 2－1(x ＞1).7分x 2x －1∵＝＝(x －1)＋＋2≥2＋2＝4.x 2x －1 x －1 2＋2 x －1 ＋1x －11x －1 x －1 ·1x －19分当且仅当x －1＝，即x ＝2时，等号成立．1x －1而函数y ＝log 2x 在(0，＋∞)上单调递增，则log 2－1≥log 24－1＝1，x 2x －1故当x ＝2时，函数g (x )取得最小值1.12分B 组 能力提升(建议用时：15分钟)1．(2017·东北三省四市二联)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且在[0，＋∞)上是增函数，则不等式＜f (1)的解集为( )|f ln x －f (ln1x )|2A.B ．(0，e)(0，1e)C.D ．(e ，＋∞)(1e，e )C [f (x )为R 上的奇函数，则f＝f (－lnx )＝－f (ln x )，所以(ln 1x )＝＝|f (ln x )|，即原不等式可化为|f (ln|f ln x －f (ln1x )|2|f ln x ＋f ln x |2x )|＜f (1)，所以－f (1)＜f (ln x )＜f (1)，即f (－1)＜f (ln x )＜f (1)．又由已知可得f (x )在R 上单调递增，所以－1＜ln x ＜1，解得＜x ＜e ，故选C.] 1e 2．已知函数f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数与奇函数，且g (x )＝f (x －1)，则f (2 019)的值为________．0 [g (－x )＝f (－x －1)，由f (x )，g (x )分别是偶函数与奇函数，得g (x )＝－f (x ＋1)，∴f (x －1)＝－f (x ＋1)，即f (x ＋2)＝－f (x )，∴f (x ＋4)＝f (x )，故函数f (x )是以4为周期的周期函数，则f (2 019)＝f (505×4－1)＝f (－1)＝g (0)＝0.]3．函数f (x )的定义域为D ＝{x |x ≠0}，且满足对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)．(1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f (4)＝1，f (x －1)<2，且f (x )在(0，＋∞)上是增函数，求x 的取值范围.【导学号：00090053】[解] (1)∵对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)，∴令x 1＝x 2＝1，得f (1)＝2f (1)，∴f (1)＝0.3分(2)f (x )为偶函数.4分证明如下：令x 1＝x 2＝－1，有f (1)＝f (－1)＋f (－1)，∴f (－1)＝f (1)＝0.12令x 1＝－1，x 2＝x 有f (－x )＝f (－1)＋f (x )，∴f (－x )＝f (x )，∴f (x )为偶函数.7分(3)依题设有f (4×4)＝f (4)＋f (4)＝2，由(2)知，f(x)是偶函数，∴f(x－1)<2⇔f(|x－1|)<f(16).9分又f(x)在(0，＋∞)上是增加的，∴0<|x－1|<16，解得－15<x<17且x≠1，11分∴x的取值范围是{x|－15<x<17且x≠1}.12分。
2019年高考数学一轮复习课时分层训练集合理北师大版
课时分层训练(一) 集合A组基础达标一、选择题1．(2017·全国卷Ⅲ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|y＝x}，则A∩B中元素的个数为( )A．3 B．2C．1 D．0B[集合A表示以原点O为圆心，半径为1的圆上的所有点的集合，集合B表示直线y＝x上的所有点的集合．结合图形可知，直线与圆有两个交点，所以A∩B中元素的个数为2.故选B.]2．设集合M＝{x|x2－2x－3＜0，x∈Z}，则集合M的真子集个数为( )【导学号：79140003】A．8 B．7C．4 D．3B[依题意，M＝{x|(x＋1)·(x－3)＜0，x∈Z}＝{x|－1＜x＜3，x∈Z}＝{0,1,2}，因此集合M的真子集个数为23－1＝7，故选B.]3．(2018·重庆调研(二))已知集合A＝{a，a2}，B＝{1}，若B⊆A，则实数a＝( ) A．－1 B．0C．1 D．2A[因为B⊆A，所以a＝1或a2＝1，且a≠a2，解得a＝－1，故选A.] 4．(2018·长春模拟(二))若集合M＝{1,3}，N＝{1,3,5}，则满足M∪X＝N的集合X的个数为( )A．1 B．2C．3 D．4D[由M∪X＝N得集合X中必有元素5，则X＝{5}或{1,5}或{3,5}或{1,3,5}，共4个，故选D.]5．已知全集U＝Z，P＝{－2，－1,1,2}，Q＝{x|x2－3x＋2＝0}，则图112中阴影部分表示的集合为( )图112A ．{－1，－2}B ．{1,2}C ．{－2,1}D ．{－1,2}A [因为Q ＝{1,2}，所以P ∩(∁U Q )＝{－1，－2}，故选A.]6．(2018·南昌一模)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |y ＝lg x }，集合B ＝{y |y ＝x ＋1}，那么A ∩(∁U B )＝( ) A ．∅ B ．(0,1] C ．(0,1)D ．(1，＋∞)C [因为A ＝(0，＋∞)，B ＝[1，＋∞)，所以A ∩(∁U B )＝(0,1)，故选C.]7．若x ∈A ，则1x ∈A ，就称A 是伙伴关系集合，集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，0，12，2，3的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是( ) A ．1 B ．3 C ．7D ．31B [具有伙伴关系的元素组是－1，12，2，所以具有伙伴关系的集合有3个：{－1}，⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，2，⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12，2.]二、填空题8．(2017·江苏高考)已知集合A ＝{1,2}，B ＝{a ，a 2＋3}．若A ∩B ＝{1}，则实数a 的值为________．1 [∵A ∩B ＝{1}，A ＝{1,2}，∴1∈B 且2∉B . 若a ＝1，则a 2＋3＝4，符合题意． 又a 2＋3≥3≠1，故a ＝1.]9．已知集合A ＝{x |x 2－2x ＋a ＞0}，且1∉A ，则实数a 的取值范围是________.【导学号：79140004】(－∞，1] [∵1∉{x |x 2－2x ＋a ＞0}，∴1∈{x |x 2－2x ＋a ≤0}，即1－2＋a ≤0，∴a ≤1.]10．已知A ＝{x |x 2－3x ＋2＜0}，B ＝{x |1＜x ＜a }，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是________．[2，＋∞) [因为A ＝{x |x 2－3x ＋2＜0}＝{x |1＜x ＜2}⊆B ，所以a ≥2.]B 组 能力提升11．(2018·辽宁五校模拟)已知集合P ＝{x |x 2－2x －8＞0}，Q ＝{x |x ≥a }，P ∪Q ＝R ，则a 的取值范围是( ) A. (－2，＋∞) B ．( 4，＋∞) C ．(－∞，－2]D ．(－∞，4]C[集合P＝{x|x2－2x－8＞0}＝{x|x＜－2或x＞4}，Q＝{x|x≥a}，若P∪Q＝R，则a≤－2，即a的取值范围是(－∞，－2]，故选C.]12．设全集U＝R，A＝{x|x2－2x≤0}，B＝{y|y＝cos x，x∈R}，则图113中阴影部分表示的区间是( )图113A．[0,1]B．(－∞，－1]∪[2，＋∞)C．[－1,2]D．(－∞，－1)∪(2，＋∞)D[A＝{x|x2－2x≤0}＝[0,2]，B＝{y|y＝cos x，x∈R}＝[－1,1]．图中阴影部分表示∁U(A∪B)＝(－∞，－1)∪(2，＋∞)．]13．已知集合A＝{x|x2－3x＜0}，B＝{1，a}，且A∩B有4个子集，则实数a的取值范围是( )【导学号：79140005】A．(0,3) B．(0,1)∪(1,3)C．(0,1) D．(－∞，1)∪(3，＋∞)B[∵A∩B有4个子集，∴A∩B中有2个不同的元素，∴a∈A，∴a2－3a＜0，解得0＜a＜3且a≠1，即实数a的取值范围是(0,1)∪(1,3)，故选B.]14．已知集合A＝{x|x2－2 019x＋2 018＜0}，B＝{x|log2x＜m}，若A⊆B，则整数m的最小值是( )A．0 B．1C．11 D．12C[由x2－2 019x＋2 018＜0，解得1＜x＜2 018，故A＝{x|1＜x＜2 018}．由log2x＜m，解得0＜x＜2m，故B＝{x|0＜x＜2m}．由A⊆B，可得2m≥2 018，因为210＝1 024,211＝2 048，所以整数m的最小值为11.]15．设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k－1∉A且k＋1∉A，那么k是A的一个“单一元”，给定S＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“单一元”的集合共有________个．6 [符合题意的集合为{1,2,3}，{2,3,4}，{3,4,5}，{4,5,6}，{5,6,7}，{6,7,8}，共6个．]16．已知集合A＝{x|4≤2x≤16}，B＝[a，b]，若A⊆B，则实数a－b的取值范围是________.【导学号：79140006】(－∞，－2] [集合A＝{x|4≤2x≤16}＝{x|22≤2x≤24}＝{x|2≤x≤4}＝[2,4]，因为A⊆B，所以a≤2，b≥4，所以a－b≤2－4＝－2，即实数a－b的取值范围是(－∞，－2]．]。
2019年高考数学一轮复习学案+训练+课件(北师大版文科)：重点强化训练1函数的图像与性质文北师大版_35
重点强化训练(一) 函数的图像与性质A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．设函数f (x )为偶函数，当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝log 2x ，则f (－2)＝( )A ．－12B.12 C ．2D ．－2B [因为函数f (x )是偶函数，所以f (－2)＝f (2)＝log 22＝12.]2．已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1，则f (1)＋g (1)＝( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3C [用“－x ”代替“x ”，得f (－x )－g (－x )＝(－x )3＋(－x )2＋1，化简得f (x )＋g (x )＝－x 3＋x 2＋1，令x ＝1，得f (1)＋g (1)＝1，故选C.]3．函数f (x )＝3x＋12x －2的零点所在的一个区间是( ) 【导学号：00090050】A ．(－2，－1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1,2)C [因为函数f (x )在定义域上单调递增， 又f (－2)＝3－2－1－2＝－269＜0，f (－1)＝3－1－12－2＝－136＜0， f (0)＝30＋0－2＝－1＜0，f (1)＝3＋12－2＝32＞0，所以f (0)f (1)＜0，所以函数f (x )的零点所在区间是(0,1)．]4．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a 满足f (log 2a )＋f (log 12a )≤2f (1)，则a 的取值范围是( )A ．[1,2]B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2 D ．(0,2]C [∵f (log 12a )＝f (－log 2a )＝f (log 2a )，∴原不等式可化为f (log 2a )≤f (1)．又∵f (x )在区间[0，＋∞)上是增加的，∴0≤log 2a ≤1，即1≤a ≤2.∵f (x )是偶函数，∴f (log 2a )≤f (－1)．又f (x )在区间(－∞，0]上是减少的，∴－1≤log 2a ≤0，∴12≤a ≤1.综上可知12≤a ≤2.]5．(2017·陕西质检(二))若f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，任意x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有f x 2－f x 1x 2－x 1＜0，则( )A ．f (3)＜f (1)＜f (－2)B ．f (1)＜f (－2)＜f (3)C ．f (－2)＜f (1)＜f (3)D ．f (3)＜f (－2)＜f (1)D [由对任意的x 1，x 2∈[0，＋∞)，f x 2－f x 1x 2－x 1＜0得函数f (x )为[0，＋∞)上的减函数，又因为函数f (x )为偶函数，所以f (3)＜f (2)＝f (－2)＜f (1)，故选D.] 二、填空题6．函数y ＝f (x )在x ∈[－2,2]上的图像如图2所示，则当x ∈[－2,2]时，f (x )＋f (－x )＝________.图20 [由题图可知，函数f (x )为奇函数， 所以f (x )＋f (－x )＝0.]7．若函数y ＝log 2(ax 2＋2x ＋1)的值域为R ，则a 的取值范围为______________.【导学号：00090051】[0,1] [设f (x )＝ax 2＋2x ＋1，由题意知，f (x )取遍所有的正实数．当a ＝0时，f (x )＝2x ＋1符合条件；当a ≠0时，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝4－4a ≥0，解得0＜a ≤1，所以0≤a ≤1.]8．(2017·银川质检)已知y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，在(0，＋∞)上是增函数，且f (2)＝0，则满足f (x －1)＜0的x 的取值范围是________．(－∞，－1)∪(1,3) [依题意当x ∈(1，＋∞)时，f (x －1)＜0＝f (2)的解集为x ＜3，即1＜x ＜3；当x ∈(－∞，1)时，f (x －1)＜0＝f (－2)的解集为x ＜－1，即x ＜－1.综上所述，满足f (x －1)＜0的x 的取值范围是(－∞，－1)∪(1,3)．]三、解答题9．已知函数f (x )＝2x，当m 取何值时方程|f (x )－2|＝m 有一个解，两个解？[解] 令F (x )＝|f (x )－2|＝|2x－2|，G (x )＝m ，画出F (x )的图像如图所示．由图像看出，当m ＝0或m ≥2时，函数F (x )与G (x )的图像只有一个交点，原方程有一个解；当0＜m ＜2时，函数F (x )与G (x )的图像有两个交点，原方程有两个解． 10．函数f (x )＝m ＋log a x (a ＞0且a ≠1)的图像过点(8,2)和(1，－1)．(1)求函数f (x )的解析式；(2)令g (x )＝2f (x )－f (x －1)，求g (x )的最小值及取得最小值时x 的值.【导学号：00090052】[解] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧f＝2，f ＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋log a 8＝2，m ＋log a 1＝－1， 3分解得m ＝－1，a ＝2，故函数解析式为f (x )＝－1＋log 2x .5分(2)g (x )＝2f (x )－f (x －1)＝2(－1＋log 2x )－[－1＋log 2(x －1)] ＝log 2x 2x －1－1(x ＞1).7分∵x 2x －1＝x －2＋x －＋1x －1＝(x －1)＋1x －1＋2≥2x －1x －1＋2＝4.9分当且仅当x －1＝1x －1，即x ＝2时，等号成立． 而函数y ＝log 2x 在(0，＋∞)上单调递增， 则log 2x 2x －1－1≥log 24－1＝1，故当x ＝2时，函数g (x )取得最小值1. 12分B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．(2017·东北三省四市二联)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且在[0，＋∞)上是增函数，则不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪f x －f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1x 2＜f (1)的解集为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e B ．(0，e) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，e D ．(e ，＋∞)C [f (x )为R 上的奇函数，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1x ＝f (－ln x )＝－f (ln x )，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪fx －f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1x 2＝|fx ＋fx2＝|f (ln x )|，即原不等式可化为|f (ln x )|＜f (1)，所以－f (1)＜f (ln x )＜f (1)，即f (－1)＜f (ln x )＜f (1)．又由已知可得f (x )在R 上单调递增，所以－1＜ln x ＜1，解得1e＜x ＜e ，故选C.]2．已知函数f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数与奇函数，且g (x )＝f (x －1)，则f (2 019)的值为________．0 [g (－x )＝f (－x －1)，由f (x )，g (x )分别是偶函数与奇函数，得g (x )＝－f (x ＋1)，∴f (x －1)＝－f (x ＋1)，即f (x ＋2)＝－f (x )，∴f (x ＋4)＝f (x )，故函数f (x )是以4为周期的周期函数，则f (2 019)＝f (505×4－1)＝f (－1)＝g (0)＝0.]3．函数f (x )的定义域为D ＝{x |x ≠0}，且满足对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)．(1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f (4)＝1，f (x －1)<2，且f (x )在(0，＋∞)上是增函数，求x 的取值范围. 【导学号：00090053】[解] (1)∵对于任意x 1，x 2∈D ， 有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)， ∴令x 1＝x 2＝1，得f (1)＝2f (1)， ∴f (1)＝0. 3分 (2)f (x )为偶函数.4分证明如下：令x 1＝x 2＝－1， 有f (1)＝f (－1)＋f (－1)， ∴f (－1)＝12f (1)＝0.令x1＝－1，x2＝x有f(－x)＝f(－1)＋f(x)，∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数. 7分(3)依题设有f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2，由(2)知，f(x)是偶函数，∴f(x－1)<2⇔f(|x－1|)<f(16). 9分又f(x)在(0，＋∞)上是增加的，∴0<|x－1|<16，解得－15<x<17且x≠1，11分∴x的取值范围是{x|－15<x<17且x≠1}.12分。
2019年高考数学一轮复习(北师大版文科)： 课时分层训练24 平面向量基本定理及坐标表示 文 北师大版
课时分层训练(二十四) 平面向量基本定理及坐标表示A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．如图422，设O 是平行四边形ABCD 两对角线的交点，给出下列向量组：图422①AD →与AB →；②DA →与BC →；③CA →与DC →；④OD →与OB →.其中可作为该平面内其他向量的基底的是( ) A ．①② B ．①③ C ．①④D ．③④B [①中AD →，AB →不共线；③中CA →，DC →不共线．]2．已知a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(－1,2)，则c 等于( ) 【导学号：00090132】 A ．－12a ＋32bB ．12a －32bC ．－32a －12bD ．－32a ＋12bB [设c ＝λa ＋μb ，∴(－1,2)＝λ(1,1)＋μ(1，－1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＝λ＋μ，2＝λ－μ，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝12，μ＝－32，∴c ＝12a －32B ．]3．已知向量a ，b 不共线，c ＝k a ＋b (k ∈R )，d ＝a －b ，如果c ∥d ，那么( ) A ．k ＝1且c 与d 同向 B ．k ＝1且c 与d 反向 C ．k ＝－1且c 与d 同向 D ．k ＝－1且c 与d 反向 D [由题意可得c 与d共线，则存在实数λ，使得c ＝λd ，即⎩⎪⎨⎪⎧k ＝λ，1＝－λ，解得k ＝－1.c ＝－a ＋b ＝－(a －b )＝－d ，故c 与d 反向．]4．如图423，在△OAB 中，P 为线段AB 上的一点，OP →＝xOA →＋yOB →，且BP →＝2PA →，则 ( )图423A ．x ＝23，y ＝13B ．x ＝13，y ＝23C ．x ＝14，y ＝34D ．x ＝34，y ＝14A [由题意知OP →＝OB →＋BP →，又BP →＝2PA →，所以OP →＝OB →＋23BA →＝OB →＋23(OA →－OB →)＝23OA →＋13OB →，所以x ＝23，y ＝13.]5．在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP →＝2PC →，点Q 是AC 的中点，若PA →＝(4,3)，PQ →＝(1,5)，则BC →等于( ) A ．(－2,7) B ．(－6,21) C ．(2，－7)D ．(6，－21)B [AQ →＝PQ →－PA →＝(－3,2)，∵点Q 是AC 的中点，∴AC →＝2AQ →＝(－6,4)，PC →＝PA →＋AC →＝(－2,7)，∵BP →＝2PC →，∴BC →＝3PC →＝(－6,21)．] 二、填空题6．(2017·陕西质检(二))若向量a ＝(3,1)，b ＝(7，－2)，则与向量a －b 同方向单位向量的坐标是________．⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35 [由题意得a －b ＝(－4,3)，则|a －b |＝－2＋32＝5，则a －b 的单位向量的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35.] 7．已知O 为坐标原点，点C 是线段AB 上一点，且A (1,1)，C (2,3)，|BC →|＝2|AC →|，则向量OB →的坐标是________．(4,7) [由点C 是线段AB 上一点，|BC →|＝2|AC →|，得BC →＝－2AC →.设点B 为(x ，y )，则(2－x,3－y )＝－2(1,2)，即⎩⎪⎨⎪⎧2－x ＝－2，3－y ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝7.所以向量OB →的坐标是(4,7)．]8．已知向量OA →＝(3，－4)，OB →＝(0，－3)，OC →＝(5－m ，－3－m )，若点A ，B ，C 能构成三角形，则实数m 满足的条件是________．m ≠54[由题意得AB →＝(－3,1)，AC →＝(2－m,1－m )，若A ，B ，C 能构成三角形，则AB →，AC→不共线，则－3×(1－m )≠1×(2－m )，解得m ≠54.]三、解答题9．已知A (1,1)，B (3，－1)，C (a ，b ). (1)若A ，B ，C 三点共线，求a ，b 的关系式； (2)若AC →＝2AB →，求点C 的坐标. 【导学号：00090133】 [解] (1)由已知得AB →＝(2，－2)，AC →＝(a －1，b －1). 2分∵A ，B ，C 三点共线，∴AB →∥AC →.∵2(b －1)＋2(a －1)＝0，即a ＋b ＝2. 5分 (2)∵AC →＝2AB →，∴(a －1，b －1)＝2(2，－2). 7分∴⎩⎪⎨⎪⎧a －1＝4，b －1＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－3，∴点C 的坐标为(5，－3).12分10．平面内给定三个向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)． (1)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ； (2)若(a ＋k c )∥(2b －a )，求实数k .[解] (1)由题意得(3,2)＝m (－1,2)＋n (4,1)，2分所以⎩⎪⎨⎪⎧－m ＋4n ＝3，2m ＋n ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝59，n ＝89.5分(2)a ＋k c ＝(3＋4k,2＋k )，2b －a ＝(－5,2)，7分 由题意得2×(3＋4k )－(－5)×(2＋k )＝0，解得k ＝－1613.12分B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．(2018·宁波模拟)已知O ，A ，B 是平面上不共线的三个点，直线AB 上有一点C 满足2AC →＋CB →＝0，则OC →＝( ) A ．2OA →－OB → B ．－OA →＋2OB →C ．23OA →－13OB → D ．－13OA →＋23OB →A [由2AC →＋CB →＝0得AC →＋AB →＝0，即AC →＝－AB →，则OC →＝OA →＋AC →＝OA →－AB →＝OA →－(OB →－OA →)＝2OA →－OB →.]2．向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图424所示，若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，则λμ＝________.图4244 [以向量a 和b 的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形边长为1)，则A (1，－1)，B (6,2)，C (5，－1)，∴a ＝AO →＝(－1,1)，b ＝OB →＝(6,2)，c ＝BC →＝(－1，－3)． ∵c ＝λa ＋μb ，∴(－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)， 即－λ＋6μ＝－1，λ＋2μ＝－3， 解得λ＝－2，μ＝－12，∴λμ＝4.]3．已知点O 为坐标原点，A (0,2)，B (4,6)，OM →＝t 1OA →＋t 2AB →.(1)求点M 在第二或第三象限的充要条件；(2)求证：当t 1＝1时，不论t 2为何实数，A ，B ，M 三点共线. 【导学号：00090134】 [解] (1)OM →＝t 1OA →＋t 2AB →＝t 1(0,2)＋t 2(4,4) ＝(4t 2,2t 1＋4t 2).2分当点M 在第二或第三象限时，有⎩⎪⎨⎪⎧4t 2<0，2t 1＋4t 2≠0，故所求的充要条件为t 2<0且t 1＋2t 2≠0.5分 (2)证明：当t 1＝1时，由(1)知OM →＝(4t 2,4t 2＋2). 7分∵AB →＝OB →－OA →＝(4,4)，AM →＝OM →－OA →＝(4t 2,4t 2)＝t 2(4,4)＝t 2AB →， 10分∴AM →与AB →共线，又有公共点A ，∴A ，B ，M 三点共线. 12分。
2019年高考数学一轮复习学案+训练+课件(北师大版理科)： 课时分层训练55 曲线与方程 理 北师大版
课时分层训练(五十五) 曲线与方程A 组 基础达标一、选择题1．方程x ＝1－4y 2所表示的曲线是( )A ．双曲线的一部分B ．椭圆的一部分C ．圆的一部分D ．直线的一部分B [x ＝1－4y 2两边平方，可变为x 2＋4y 2＝1(x ≥0)，表示的曲线为椭圆的一部分．] 2．(2017·银川模拟)已知点P 是直线2x －y ＋3＝0上的一个动点，定点M (－1,2)，Q 是线段PM 延长线上的一点，且|PM |＝|MQ |，则Q 点的轨迹方程是( ) A ．2x ＋y ＋1＝0 B ．2x －y －5＝0 C ．2x －y －1＝0D ．2x －y ＋5＝0D [由题意知，M 为PQ 中点，设Q (x ，y )，则P 为(－2－x,4－y )，代入2x －y ＋3＝0，得2x －y ＋5＝0。
]3．已知动圆Q 过定点A (2,0)且与y 轴截得的弦MN 的长为4，则动圆圆心Q 的轨迹C 的方程为( ) A ．y 2＝2x B ．y 2＝4x C ．x 2＝2yD ．x 2＝4yB [设Q (x ，y )，因为动圆Q 过定点A (2,0)且与y 轴截得的弦MN 的长为4， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫MN 22＋|x |2＝|AQ |2，所以|x |2＋22＝(x －2)2＋y 2，整理得y 2＝4x ， 所以动圆圆心Q 的轨迹C 的方程是y 2＝4x ，故选B 。
]4．设圆(x ＋1)2＋y 2＝25的圆心为C ，A (1,0)是圆内一定点，Q 为圆周上任一点．线段AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点M ，则M 的轨迹方程为( )【导学号：79140301】A 。
4x 221－4y225＝1B 。
4x 221＋4y225＝1C 。
4x 225－4y221＝1D 。
4x 225＋4y221＝1D [因为M 为AQ 垂直平分线上一点， 则|AM |＝|MQ |，所以|MC |＋|MA |＝|MC |＋|MQ |＝|CQ |＝5，故M 的轨迹为以点C ，A 为焦点的椭圆，所以a ＝52，c ＝1，则b 2＝a 2－c 2＝214，所以椭圆的方程为4x 225＋4y221＝1。
【2020】高考数学一轮复习课时分层训练55坐标系文北师大版
产后抑郁症的生物心理社会模型产后抑郁症是一种在产后女性中较为常见的心理健康问题，它给新妈妈们带来了极大的痛苦和困扰，也对家庭和社会产生了不可忽视的影响。
为了更全面、深入地理解产后抑郁症，我们可以借助生物心理社会模型来进行分析。
从生物学的角度来看，产后女性体内的激素水平会发生显著变化。
在怀孕期间，女性体内的雌激素和孕激素水平升高，以支持胎儿的生长和发育。
而分娩后，这些激素水平迅速下降，这种急剧的变化可能会影响神经递质的平衡，如血清素、多巴胺等。
神经递质在调节情绪和心理状态方面起着关键作用，其失衡可能增加产后抑郁症的发生风险。
此外，遗传因素也在产后抑郁症的发病中发挥一定作用。
如果家族中有抑郁症的病史，那么产后女性患上抑郁症的可能性相对较高。
产后身体的疲劳、睡眠不足以及分娩过程中的创伤和疼痛等生理因素，同样会对女性的身心健康产生负面影响。
在心理层面，产后女性面临着巨大的心理调适需求。
新生命的诞生带来了角色的转变，从妻子转变为母亲，这意味着责任的增加和生活方式的重大改变。
许多新妈妈可能会感到焦虑和不安，担心自己无法胜任母亲的角色，对育儿的不确定性感到恐惧。
同时，产后女性的自我评价和自尊也可能受到影响。
如果在产后得不到足够的支持和肯定，她们可能会对自己的能力产生怀疑，进而陷入消极的情绪状态。
一些女性在产后可能会经历产后身材走样、容颜变化等，这也可能引发心理上的困扰和自卑感。
社会因素在产后抑郁症的形成中同样不容忽视。
首先，社会对母亲角色的过高期望和刻板印象给新妈妈们带来了无形的压力。
人们往往认为母亲应该天生就懂得如何照顾孩子，并且能够完美地处理一切育儿问题。
这种不切实际的期望使得新妈妈们在面对困难时更容易感到挫败和自责。
家庭环境和支持系统对产后女性的心理健康至关重要。
如果家庭成员之间关系紧张、缺乏沟通和理解，或者丈夫在育儿过程中参与度不足，新妈妈们可能会感到孤独和无助。
婆媳关系不和、家庭成员对育儿观念的分歧等，都可能成为引发产后抑郁症的导火索。
2019年高考数学一轮复习(北师大版文科)： 课时分层训练10 函数的图像 文 北师大版
课时分层训练(十) 函数的图像A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．为了得到函数y ＝2x －2的图像，可以把函数y ＝2x 的图像上所有的点( )A ．向右平行移动2个单位长度B ．向右平行移动1个单位长度C ．向左平行移动2个单位长度D ．向左平行移动1个单位长度B [因为y ＝2x －2＝2(x －1)，所以只需将函数y ＝2x 的图像上所有的点向右平移1个单位长度，即可得到y ＝2(x －1)＝2x －2的图像，故B 正确．] 2．(2017·西安一模)函数y ＝(x 3－x )2|x |的图像大致是( )A B C DB [由于函数y ＝(x 3－x )2|x |为奇函数，故它的图像关于原点对称，当0＜x ＜1时，y ＜0；当x >1时，y >0，故选B.]3．(2018·黄山模拟)若函数y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)的图像如图276所示，则下列函数图像正确的是( )图276B [由题意y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)的图像过(3,1)点，可解得a ＝3.选项A 中，y ＝3－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，显然图像错误；选项B 中，y ＝x 3，由幂函数图像性质可知正确；选项C 中，y ＝(－x )3＝－x 3，显然与所画图像不符；选项D 中，y ＝log 3(－x )的图像与y ＝log 3x 的图像关于y 轴对称，显然不符，故选B.]4．为了得到函数y ＝log 2x －1的图像，可将函数y ＝log 2x 的图像上所有的点( ) 【导学号：00090041】A ．纵坐标缩短到原来的12，横坐标不变，再向右平移1个单位B ．横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再向左平移1个单位C ．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移1个单位D ．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变，再向左平移1个单位A [y ＝log 2x －1＝log 2(x －1)12＝12log 2(x －1)，将y ＝log 2x 的图像纵坐标缩短到原来的12，横坐标不变，可得y ＝12log 2x 的图像，再向右平移1个单位，可得y ＝12log 2(x －1)的图像，也即y ＝log 2x －1的图像．故选A.]5．(2017·洛阳模拟)若f (x )是偶函数，且当x ∈[0，＋∞)时，f (x )＝x －1，则f (x －1)<0的解集是( ) A ．(－1,0) B ．(－∞，0)∪(1,2) C ．(1,2)D ．(0,2)D [由⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，f x，得0≤x <1.由f (x )为偶函数．结合图像(略)知f (x )<0的解集为－1<x <1.所以f (x －1)<0⇔－1<x －1<1，即0<x <2.] 二、填空题6．如图277，定义在[－1，＋∞)上的函数f (x )的图像由一条线段及抛物线的一部分组成，则f (x )的解析式为________．图277f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x ≤0，14x －2－1，x ＞0 [当－1≤x ≤0时，设解析式为y ＝kx ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧－k ＋b ＝0，b ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，b ＝1，∴y ＝x ＋1.当x ＞0时，设解析式为y ＝a (x －2)2－1. ∵图像过点(4,0)，∴0＝a (4－2)2－1， 得a ＝14，即y ＝14(x －2)2－1.综上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x ≤0，14x －2－1，x ＞0.]7．直线y ＝k (x ＋3)＋5(k ≠0)与曲线y ＝5x ＋17x ＋3的两个交点坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＋y 1＋y 2＝________.4 [∵y ＝5x ＋17x ＋3＝2x ＋3＋5，其图像关于点(－3,5)对称．又直线y ＝k (x ＋3)＋5过点(－3,5)，如图所示：∴A 、B 关于点(－3,5)对称， ∴x 1＋x 2＝2×(－3)＝－6，y 1＋y 2＝2×5＝10.∴x 1＋x 2＋y 1＋y 2＝4.]8．设函数f (x )＝|x ＋a |，g (x )＝x －1，对于任意的x ∈R ，不等式f (x )≥g (x )恒成立，则实数a 的取值范围是________．[－1，＋∞) [如图，作出函数f (x )＝|x ＋a |与g (x )＝x －1的图像，观察图像可知：当且仅当－a ≤1，即a ≥－1时，不等式f (x )≥g (x )恒成立，因此a 的取值范围是[－1，＋∞)．]三、解答题9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x 2，x ∈[－1，2]，x －3，x ∈，5].(1)在如图278所示给定的直角坐标系内画出f (x )的图像；图278(2)写出f (x )的单调递增区间；(3)由图像指出当x 取什么值时f (x )有最值．【导学号：00090042】[解] (1)函数f (x )的图像如图所示．(2)由图像可知，函数f (x )的单调递增区间为[－1,0]，[2,5]． (3)由图像知当x ＝2时，f (x )min ＝f (2)＝－1， 当x ＝0时，f (x )max ＝f (0)＝3. 10．已知f (x )＝|x 2－4x ＋3|.(1)作出函数f (x )的图像；(2)求函数f (x )的单调区间，并指出其单调性；(3)求集合M ＝{m |使方程f (x )＝m 有四个不相等的实根}． [解] (1)当x 2－4x ＋3≥0时，x ≤1或x ≥3，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3，x ≤1或x ≥3，－x 2＋4x －3，1＜x ＜3，∴f (x )的图像为：4分(2)由函数的图像可知f (x )的单调区间是(－∞，1]，(2,3]，(1,2]，(3，＋∞)，其中(－∞，1]，(2,3]是减区间；[1,2]，[3，＋∞)是增区间.8分(3)由f (x )的图像知，当0＜m ＜1时，f (x )＝m 有四个不相等的实根，所以M ＝{m |0＜m ＜1}.12分B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．(2016·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )(x ∈R )满足f (x )＝f (2－x )，若函数y ＝|x 2－2x －3|与y ＝f (x )图像的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则∑i ＝1mx i ＝( )A ．0B ．mC ．2mD ．4mB [∵f (x )＝f (2－x )，∴函数f (x )的图像关于直线x ＝1对称．又y ＝|x 2－2x －3|＝|(x －1)2－4|的图像关于直线x ＝1对称，∴两函数图像的交点关于直线x ＝1对称．当m 为偶数时，∑i ＝1mx i ＝2×m2＝m ；当m 为奇数时，∑i ＝1mx i ＝2×m －12＋1＝m .故选B.]2．(2018·合肥模拟)在平面直角坐标系xOy 中，若直线y ＝2a 与函数y ＝|x －a |－1的图像只有一个交点，则a 的值为________．－12 [函数y ＝|x －a |－1的图像如图所示，因为直线y ＝2a 与函数y ＝|x －a |－1的图像只有一个交点，故2a ＝－1，解得a ＝－12]．3．已知函数f (x )的图像与函数h (x )＝x ＋1x＋2的图像关于点A (0,1)对称．(1)求函数f (x )的解析式；(2)若g (x )＝f (x )＋a x，g (x )在区间(0,2]上的值不小于6，求实数a 的取值范围.【导学号：00090043】[解] (1)设f (x )图像上任一点坐标为(x ，y )，∵点(x ，y )关于点A (0,1)的对称点(－x,2－y )在h (x )的图像上， ∴2－y ＝－x ＋1－x ＋2，3分 ∴y ＝x ＋1x ，即f (x )＝x ＋1x.5分(2)由题意g (x )＝x ＋a ＋1x， 且g (x )＝x ＋a ＋1x≥6，x ∈(0,2].7分∵x ∈(0,2]，∴a ＋1≥x (6－x )， 即a ≥－x 2＋6x －1.9分令q (x )＝－x 2＋6x －1，x ∈(0,2]，q (x )＝－x 2＋6x －1＝－(x －3)2＋8，∴x ∈(0,2]时，q (x )max ＝q (2)＝7， 故a 的取值范围为[7，＋∞).12分。
最新高考数学一轮复习分层训练坐标系北师大版
课时分层训练(五十五) 坐标系1．在极坐标系中，求点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6到直线ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π6＝1的距离．[解] 点⎝⎛⎭⎪⎫2，π6化为直角坐标为(3，1)，3分直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝1化为ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin θ－12cos θ＝1， 得32y －12x ＝1， 即直线的方程为x －3y ＋2＝0，6分 故点(3，1)到直线x －3y ＋2＝0的距离d ＝|3－3×1＋2|12＋－32＝1. 10分2．在极坐标系下，已知圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l ：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝22. (1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l 与圆O 公共点的一个极坐标． [解] (1)圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ， 2分圆O 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝x ＋y ， 即x 2＋y 2－x －y ＝0，4分直线l ：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝22，即ρsin θ－ρcos θ＝1，则直线l 的直角坐标方程为y －x ＝1，即x －y ＋1＝0.6分 (2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－x －y ＝0，x －y ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，8分故直线l 与圆O 公共点的一个极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1，π2.10分3．(2017·邯郸调研)在极坐标系中，已知直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝1，圆C的圆心的极坐标是C ⎝⎛⎭⎪⎫1，π4，圆的半径为1.(1)求圆C 的极坐标方程； (2)求直线l 被圆C 所截得的弦长．[解] (1)设O 为极点，OD 为圆C 的直径，A (ρ，θ)为圆C 上的一个动点，则∠AOD ＝π4－θ或∠AOD ＝θ－π4，2分OA ＝OD cos ⎝⎛⎭⎪⎫π4－θ或OA ＝OD cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4， ∴圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4.4分 (2)由ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝1，得22ρ(sin θ＋cos θ)＝1，6分∴直线l 的直角坐标方程为x ＋y －2＝0， 又圆心C 的直角坐标为⎝⎛⎭⎪⎫22，22，满足直线l 的方程， ∴直线l 过圆C 的圆心，8分 故直线被圆所截得的弦长为直径2.10分 4．(2015·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数，t ≠0)，其中0≤α<π.在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝2sin θ，C 3：ρ＝23cos θ.(1)求C 2与C 3交点的直角坐标；(2)若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求|AB |的最大值.【导学号：00090370】[解] (1)曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0，曲线C 3的直角坐标方程为x 2＋y 2－23x ＝0，2分联立⎩⎨⎧x 2＋y 2－2y ＝0，x 2＋y 2－23x ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝32.所以C 2与C 3交点的直角坐标为(0,0)和⎝⎛⎭⎪⎫32，32. 4分(2)曲线C 1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R ，ρ≠0)，其中0≤α<π. 因此A 的极坐标为(2sin α，α)，B 的极坐标为(23cos α，α)． 8分所以|AB |＝|2sin α－23cos α|＝4⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3. 当α＝5π6时，|AB |取得最大值，最大值为4.10分最新高考数学一轮复习 分层训练5．(2018·太原模拟)在平面直角坐标系xOy中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，曲线C 2的普通方程为x 216＋y 24＝1，以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C 1的普通方程和C 2的极坐标方程；(2)若A ，B 是曲线C 2上的两点，且OA ⊥OB ，求1|OA |2＋1|OB |2的值．[解] (1)依题意，曲线C 1的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1，即x 2－2x ＋y 2＝0，2分曲线C 2的极坐标方程为ρ2cos 2θ＋4ρ2sin 2θ＝16(只要写出ρ，θ的关系式均可).4分(2)曲线C 2的极坐标方程为ρ2cos 2θ16＋ρ2sin 2θ4＝1，设A (ρ1，θ)，B ⎝⎛⎭⎪⎫ρ2，θ＋π2，代入C 2的极坐标方程得ρ21cos 2θ16＋ρ21sin 2θ4＝1，ρ22sin 2θ16＋ρ22cos 2θ4＝1， 6分故1ρ21＋1ρ22＝cos 2θ16＋sin 2θ4＋sin 2θ16＋cos 2θ4＝516， 9分 ∴1|OA |2＋1|OB |2＝516.10分6．(2018·大同模拟)在直角坐标系xOy中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos αy ＝2＋sin α(α为参数)，直线C 2的方程为y ＝3x ，以O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求曲线C 1和直线C 2的极坐标方程；(2)若直线C 2与曲线C 1交于A ，B 两点，求1|OA |＋1|OB |. 【导学号：00090371】[解] (1)曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos αy ＝2＋sin α(α为参数)，直角坐标方程为(x －2)2＋(y －2)2＝1，即x 2＋y 2－4x －4y ＋7＝0，极坐标方程为ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋7＝0.2分 直线C 2的方程为y ＝3x ，极坐标方程为tan θ＝3； 4分 (2)直线C 2与曲线C 1联立，可得ρ2－(2＋23)ρ＋7＝0，6分设A ，B 两点对应的极径分别为ρ1，ρ2，则ρ1＋ρ2＝2＋23，ρ1ρ2＝7，8分 ∴1|OA |＋1|OB |＝|ρ1＋ρ2||ρ1ρ2|＝2＋237. 10分。
2019年高考数学(文)一轮复习精品资料：专题55坐标系(教学案)含解析
2019年高考数学（文）一轮复习精品资料1．了解在平面直角坐标系下的伸缩变换．2．理解极坐标的概念，能进行极坐标和直角坐标的互化．3．能在极坐标系中给出简单图形(直线、过极点或圆心在极点的圆)的方程.一、平面直角坐标系下的伸缩变换设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：y ′＝μ·y ，(μ＞0x ′＝λ·x ，(λ＞0，的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)， 称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换来表示．在伸缩变换y ′＝μ·y ，(μ>0x ′＝λ·x ，(λ>0下，直线仍然变成直线，抛物线仍然变成抛物线，双曲线仍然变成双曲线，圆可以变成椭圆，椭圆也可以变成圆．二、极坐标与直角坐标的互化设M 为平面上的一点，它的直角坐标为(x ，y )，极坐标为(ρ，θ)．由图可知下面的关系式成立：y ＝ρsin θx ＝ρcos θ，或(x≠0y(θ与(x ，y )所在象限一致)．【特别提醒】(1)在将直角坐标化为极坐标求极角θ时，易忽视判断点所在的象限(即角θ的终边的位置)． (2)在极坐标系下，点的极坐标不惟一性易忽视．注意极坐标(ρ，θ)(ρ，θ＋2k π)，(－ρ，π＋θ＋2k π)(k ∈Z )表示同一点的坐标． 三、曲线的极坐标方程 1．圆的极坐标方程(1)圆心在极点，半径为R 的圆的极坐标方程为ρ＝R .(2)圆心在极轴上的点(a,0)处，且过极点O 的圆的极坐标方程为ρ＝2a cos θ. (3)圆心在点2π处，且过极点O 的圆的极坐标方程为ρ＝2a sin θ. 2．直线的极坐标方程(1)过点(a,0)与极轴垂直的直线的极坐标方程为ρcos θ＝a . (2)过点2π与极轴平行的直线的极坐标方程为ρsin θ＝a . 【特别提醒】(1)确定极坐标方程时要注意极坐标系的四要素：极点、极轴、长度单位、角度单位及其正方向，四者缺一不可． (2)研究曲线的极坐标方程往往要与直角坐标方程进行相互转化．当条件涉及“角度”和“到定点距离”时，引入极坐标系将会给问题的解决带来很大的方便．高频考点一 平面直角坐标系中的伸缩变换【例1】 将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C .(1)求曲线C 的标准方程；(2)设直线l ：2x ＋y －2＝0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程.不妨设P 1(1，0)，P 2(0，2)，则线段P 1P 2的中点坐标为，11，所求直线斜率为k ＝21， 于是所求直线方程为y －1＝2121，化为极坐标方程，并整理得2ρcos θ－4ρsin θ＝－3， 故所求直线的极坐标方程为ρ＝4sin θ－2cos θ3.【方法规律】(1)解答该类问题应明确两点：一是根据平面直角坐标系中的伸缩变换公式的意义与作用；二是明确变换前的点P (x ，y )与变换后的点P ′(x ′，y ′)的坐标关系，用方程思想求解.(2)求交点坐标，得直线方程，最后化为极坐标方程，其实质是将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入转化. 【变式探究】 在平面直角坐标系中，已知伸缩变换φ：2y ′＝y.x ′＝3x ， (1)求点A ，－21经过φ变换所得点A ′的坐标； (2)求直线l ：y ＝6x 经过φ变换后所得直线l ′的方程.高频考点二极坐标与直角坐标的互化【例2】在极坐标系中，已知极坐标方程C1：ρcos θ－ρsin θ－1＝0，C2：ρ＝2cos θ.(1)求曲线C1，C2的直角坐标方程，并判断两曲线的形状；(2)若曲线C1，C2交于A，B两点，求两交点间的距离.解(1)由C1：ρcos θ－ρsin θ－1＝0，∴x－y－1＝0，表示一条直线.由C2：ρ＝2cos θ，得ρ2＝2ρcos θ.∴x2＋y2＝2x，即(x－1)2＋y2＝1.所以C2是圆心为(1，0)，半径r＝1的圆.(2)由(1)知，点(1，0)在直线x－y－1＝0上，所以直线C 1过圆C 2的圆心.因此两交点A ，B 的连线段是圆C 2的直径.所以两交点A ，B 间的距离|AB |＝2r ＝2.【方法规律】 (1)进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是抓住互化公式；x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝x y(x ≠0).(2)进行极坐标方程与直角坐标方程互化时，要注意ρ，θ的取值范围及其影响；要善于对方程进行合理变形，并重视公式的逆向与变形使用；要灵活运用代入法和平方法等技巧.【变式探究】在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝－2，圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求C 1，C 2的极坐标方程；(2)若直线C 3的极坐标方程为θ＝4π(ρ∈R)，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积.高频考点三 直线与圆的极坐标方程的应用【例3】在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为y ＝1＋asin t x ＝acos t ，(t 为参数，a >0).在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cos θ.(1)说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；(2)直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a .解 (1)消去t ，得C 1的普通方程x 2＋(y －1)2＝a 2，∴曲线C 1表示以点(0，1)为圆心，a 为半径的圆.将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入C 1的普通方程中，得到C 1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝【方法规律】(1)第(1)题将曲线C 1的参数方程先化成普通方程，再化为极坐标方程，考查学生的转化与化归能力.第(2)题中关键是理解极坐标方程的含义，消去ρ，建立与直线C 3：θ＝α0的联系，进而求a .(2)由极坐标方程求曲线交点、距离等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，可先转化为直角坐标方程，然后求解.【变式探究】 在极坐标系中，已知直线l 的极坐标方程为ρsin 4π＝1，圆C 的圆心的极坐标是C 4π，圆的半径为1.(1)求圆C 的极坐标方程；(2)求直线l 被圆C 所截得的弦长.解 (1)设O 为极点，OD 为圆C 的直径，A (ρ，θ)为圆C 上的一个动点，则∠AOD ＝4π－θ或∠AOD ＝θ－4π，|OA |＝|OD |cos －θπ或|OA |＝|OD |cos 4π. 所以圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos 4π. (2)由ρsin 4π＝1，得22ρ(sin θ＋cos θ)＝1， ∴直线l 的直角坐标方程为x ＋y －＝0，又圆心C 的直角坐标为2满足直线l 的方程，∴直线l 过圆C 的圆心，故直线被圆所截得的弦长为直径2.1. （2018年全国I 卷）[选修4—4：坐标系与参数方程]在直角坐标系中，曲线的方程为．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）求的直角坐标方程；（2）若与有且仅有三个公共点，求的方程．【答案】（1）．（2）．【解析】（1）由，得的直角坐标方程为．（2）由（1）知是圆心为，半径为2的圆．由题设知，是过点且关于轴对称的两条射线．记轴右边的射线为，轴左边的射线为．由2. （2018年全国卷Ⅱ）[选修4－4：坐标系与参数方程]在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）．（1）求和的直角坐标方程；（2）若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求的斜率．【答案】见解析3. （2018年全国III卷）[选修4—4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系中，的参数方程为（为参数），过点且倾斜角为的直线与交于两点．（1）求的取值范围；（2）求中点的轨迹的参数方程．【答案】（1）（2）为参数，【解析】（1）的直角坐标方程为．当时，与交于两点．当时，记，则的方程为．与交于两点当且仅当，解得或，即或．综上，的取值范围是．（2）的参数方程为为参数，．设，，对应的参数分别为，，，则，且，满足．于是，．又点的坐标满足所以点的轨迹的参数方程是为参数，．4. （2018年江苏卷）[选修4—4：坐标系与参数方程]在极坐标系中，直线l的方程为，曲线C的方程为，求直线l被曲线C截得的弦长．【答案】直线l被曲线C截得的弦长为1.【2017课标1，文22】在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的参数方程为．（1）若，求C与l的交点坐标；（2）若C上的点到l的距离的最大值为，求．【答案】（1），；（2）或．2.【2017课标II，文22】在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为。
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课时分层训练 ( 五十五 ) 坐标系π Nhomakorabeaπ
1．在极坐标系中，求点 2， 6 到直线 ρ sin θ－ 6 ＝ 1 的距离．
π
[ 解 ] 点 2， 6 化为直角坐标为 ( 3， 1) ，
3分
π 直线 ρ sin θ － 6 ＝ 1 化为 ρ
3 2 sin
1 θ －2cos θ ＝ 1，
( t 为参数， t ≠0) ，
其中 0≤α <π . 在以 O为极点， x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2：ρ ＝ 2sin θ ，
C3： ρ＝ 2 3cos θ .
(1) 求 C2 与 C3 交点的直角坐标；
(2) 若 C1 与 C2 相交于点 A， C1 与 C3 相交于点 B，求 | AB| 的最大值 .
4分
π
2
直线 l ： ρsin θ － 4 ＝ 2 ，即 ρ sin θ －ρ cos θ＝ 1，
则直线 l 的直角坐标方程为 y－ x＝ 1，即 x－ y＋1＝ 0.
6分
x2＋ y2－ x－ y＝0，
x＝ 0，
(2) 由
得
8分
x－ y＋ 1＝ 0，
y＝ 1，
故直线 l 与圆 O公共点的一个极坐标为
10 分
第 3页 共 4页
C的直径， A( ρ ，θ ) 为圆
C 上的一个动点，
则∠
AOD＝
π 4
－ θ 或∠ AOD＝ θ －π4 ，
2分
第 1页 共 4页
会当凌绝顶，一览众山小
OA＝ ODcos
π 4
－
θ
或 OA＝ ODcos
θ －π4
，
π
∴圆 C的极坐标方程为 ρ ＝2cos θ － 4 .
4分
π
2
(2) 由 ρ sin θ ＋ 4 ＝ 1，得 2 ρ (sin θ ＋cos θ ) ＝1，
x＝ 2＋cos α [ 解 ] (1) 曲线 C1 的参数方程为
y＝ 2＋sin α
( α 为参数 ) ，直角坐标方程为 ( x－ 2) 2
＋ ( y－ 2) 2＝ 1，即 x2＋y2－ 4x－ 4y＋ 7＝ 0，极坐标方程为 ρ 2－ 4ρ cos θ － 4ρsin θ ＋
7＝ 0.
2分
直线 C2 的方程为 y＝ 3x，极坐标方程为 tan θ＝ 3；
4分
(2) 直线 C2 与曲线 C1 联立，可得 ρ2－ (2 ＋ 2 3) ρ ＋ 7＝ 0，
6分
设 A， B 两点对应的极径分别为 ρ 1， ρ2，则 ρ 1＋ ρ2＝ 2＋ 2 3， ρ 1ρ 2＝7， 8 分
1
1 | ρ1＋ρ 2| 2＋2 3
∴ | OA| ＋ | OB| ＝ | ρ 1ρ2| ＝ 7 .
16 4
立极坐标系．
(1) 求曲线 C1 的普通方程和 C2 的极坐标方程；
1
1
(2) 若 A，B 是曲线 C2 上的两点，且 OA⊥ OB，求 | OA| 2＋ | OB| 2的值．
[ 解 ] (1) 依题意，曲线 C1 的普通方程为 ( x－ 1) 2＋ y2＝1，即 x2－ 2x＋ y2＝ 0，
2
θ
ρ
22cos
2
θ
代入 C2 的极坐标方程得
16 ＋ 4 ＝1， 16 ＋ 4 ＝ 1， 6 分
1
1
cos 2θ
sin
2
θ
sin
2
θ
cos
2
θ
5
故
ρ
2＋
1
ρ
2＝
2
16 ＋
4
＋ 16 ＋
4
＝ 16，
9分
1
15
∴|
OA|
2＋ |
OB|
2＝
. 16
10 分
x＝ 2＋cos α 6．(2018 ·大同模拟 ) 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为
[ 解]
(1) 曲线 C2 的直角坐标方程为
【导学号： 00090370】 x2＋ y2－ 2y＝0，曲线 C3 的直角坐标方程为 x2＋ y2－
2 3x＝ 0，
2分
x2＋ y2－ 2y＝ 0， 联立 x2＋ y2－ 2 3x＝ 0，
x＝ 0， 解得
y＝0
3 x＝ 2 ，
或 3
y＝ 2.
所以 C2 与 C3 交点的直角坐标为 (0,0) 和 3， 3 . 22
(2) 曲线 C1 的极坐标方程为 θ＝ α ( ρ ∈R， ρ ≠0) ，其中 0≤ α <π . 因此 A 的极坐标为 (2sin α ，α ) ， B 的极坐标为 (2 3cos α ， α) ．
π 所以 | AB| ＝|2sin α － 2 3cos α | ＝ 4 sin α － 3 .
5π 当 α ＝ 6 时， | AB| 取得最大值，最大值为 4.
4分 8分 10 分
第 2页 共 4页
会当凌绝顶，一览众山小
x＝ 1＋ cos θ ， 5．(2018 ·太原模拟 ) 在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为
y＝ sin θ
x2 y2 ( θ 为参数 ) ，曲线 C2 的普通方程为 ＋ ＝1，以原点为极点， x 轴的非负半轴为极轴建
y＝ 2＋sin α
(α 为
参数 ) ，直线 C2 的方程为 y＝ 3x，以 O为极点，以 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．
(1) 求曲线 C1 和直线 C2 的极坐标方程；
1
1
(2) 若直线 C2 与曲线 C1 交于 A， B 两点，求 | OA| ＋ | OB| . 【导学号： 00090371】
(1) 求圆 O和直线 l 的直角坐标方程；
(2) 当 θ ∈(0 ， π ) 时，求直线 l 与圆 O公共点的一个极坐标．
[ 解]
(1) 圆 O： ρ＝ cos θ＋ sin
2
θ，即 ρ ＝ρ cos θ＋ ρ sin
θ，
2分
圆 O的直角坐标方程为 x2＋ y2＝x＋ y，
即 x2＋ y2－ x－y＝ 0，
6分
∴直线 l 的直角坐标方程为 x＋ y－ 2＝ 0，
又圆心 C的直角坐标为
22，
2 2
，满足直线
l 的方程，
∴直线 l 过圆 C的圆心， 故直线被圆所截得的弦长为直径 2.
8分 10 分
x＝t cos α， 4．(2015 ·全国卷Ⅱ ) 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1：
y＝t sin α
1，
π 2
.
10 分
π 3．(2017 ·邯郸调研 ) 在极坐标系中，已知直线 l 的极坐标方程为 ρ sin θ ＋ 4 ＝ 1，圆 C
π 的圆心的极坐标是 C 1， 4 ，圆的半径为 1.
(1) 求圆 C的极坐标方程；
(2) 求直线 l 被圆 C所截得的弦长．
[ 解]
(1) 设
O为极点， OD为圆
2分
曲线 C2 的极坐标方程为
ρ 2cos 2θ ＋4ρ 2sin
2
θ ＝16(
只要写出
ρ ，θ 的关系式均可
).
4分
ρ
2
cos
2
θ
ρ 2sin
2
θ
π
(2) 曲线 C2 的极坐标方程为
16 ＋ 4 ＝ 1，设 A( ρ 1， θ) ， B ρ 2， θ ＋ 2 ，
ρ
21cos
2
θ
ρ 21sin
2
θ
ρ 22sin
31 得 y－ x＝ 1，
22
即直线的方程为 x－ 3y＋ 2＝ 0，
6分
| 3－ 3×1＋ 2|
故点 ( 3， 1) 到直线 x－ 3y＋ 2＝0 的距离 d＝
＝ 1.
12 ＋ － 3 2
10 分
π
2
2．在极坐标系下，已知圆
O：ρ ＝ cos θ ＋ sin
θ 和直线 l ： ρ sin
θ－ 4
＝. 2