【同步练习】2017高中数学人教A版必修5 课时作业15课时数列(含答案详解)

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人教版高中数学必修5《数列》练习题(有答案)

②指出 S1， S2，， S12 中哪一个值最大，并说明理由．解：① S12 6(a1 a12 ) 6(a3 a10 ) 6(2 a3 7 d ) 0
24 7d 0 24 8d 0
d
24
又 S13 13( a1 a13 )
13
Hale Waihona Puke 13(a3 a11)(2 a3 8d ) 0
7
2
2
2
d3
从而 24 d 3 7
三、等比数列
知识要点
1. 定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做
等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，记为
q，q 0 ．
2. 递推关系与通项公式
递推关系： an 1 qan 通项公式： an a1 q n 1 推广： an am q n m
3. 等比中项：若三个数 a, b,c 成等比数列，则称 b 为 a 与 c 的等比中项，且 b
故第二次相遇是在开始运动后 15 分钟
28(舍去）
1 10．已知数列 an 中， a1 3，前 n 和 Sn (n 1)( an 1) 1．
2
①求证：数列 an 是等差数列；
②求数列 an 的通项公式；
③设数列
1 的前 n 项和为 Tn ，是否存在实数 M ，使得 Tn
an an 1
M 对一切正整数 n 都成立 ?
② Q S12 6( a6 a7) 0 S13 13a7 0 a7 0， a6 0
S6 最大。
1．已知等差数列 an 中， a7 a9 16， a 4 1，则 a12 等于 ( )
A ． 15
B． 30
C． 31
D ． 64

2017-2018学年高中数学人教A版必修5课时作业5数列的概念与简单表示法

所以解得
因此{an}的通项公式是an＝ n－1.
(2)令an＝－，
即 n－1＝－，
所以 n＝，n＝8.
故－是{an}中的第8项．
(3)由于an＝ n－1，且 n随n的增大而减小，
因此an的值随n的增大而减小，故{an}是递减数列．
∴数列的前5项是1,3,1,3,1.
图像如图①.
(2)数列{an}的前5项依次是1，，，， .图像如图②.
14．已知数列{an}的通项公式为an＝pn＋q(p，q∈R)，且a1＝－，a2＝－ .
(1)求{an}的通项公式；
(2)－是{an}中的第n项？
(3)该数列是递增数列还是递减数列？
解析：(1)因为an＝pn＋q，又a1＝－，a2＝－，
∴an＝ .
(3)该数列的前4项的绝对值与序号相同，且奇数项为负，偶数项为正，
故an＝(－1)n·n.
(4)由9,99,999,9 999，…的通项公式可知，所求通项公式为an＝ (10n－1)．
|
11．数列－，，－，，…的通项公式为()
A．an＝(－1)n＋1
B．an＝(－1)n＋1
C．an＝(－1)n
答案：C
2．数列{an}满足an＋1＝an＋1，则数列{an}是()
A．递增数列B．递减数列
C．常数列D．摆动数列
解析：∵an＋1－an＝1>0，∴{an}为递增数列．
答案：A
3．数列0,1,0，－1,0,1,0，－1，…的一个通项公式是()
A．an＝
B．an＝cos
C．an＝cos
D．an＝cos
D．an＝(－1)n
解析：观察式子的分子为1,2,3,4，…，n，…，分母为3×5,5×7,7×9，…，(2n＋1)(2n＋3)，…，而且正、负间隔．故通项公式为

人教A版数学必修五同步导练作业：第2章数列课时作业(十七)

课时作业(十七) 数列通项的求法基础要求1．已知数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋2n (n ∈N *)，则a 100的值是( )A ．9 900B ．9 902C ．9 904D ．11 000解析：a 100＝(a 100－a 99)＋(a 99－a 98)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝2(99＋98＋…＋2＋1)＋2＝2·99·（99＋1）2＋2＝9 902. 答案：B2．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n1＋2a n，则这个数列的第n 项a n 为( )A ．2n －1B ．2n ＋1 C.12n －1D.12n ＋1解析：∵a n ＋1＝a n 1＋2a n ，∴1a n ＋1＝1a n＋2.∴⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1为等差数列，公差为2，首项为1a 1＝1.∴1a n ＝1＋(n －1)·2＝2n －1，∴a n ＝12n －1.答案：C3．数列{a n }满足a 1，a 2－a 1，a 3－a 2，…，a n －a n －1是首项为1，公比为2的等比数列，那么a n 等于( )A ．2n －1B ．2n －1－1C ．2n ＋1D ．4n －1解析：a n ＝a n －a n －1＋a n －1－a n －2＋…＋a 2－a 1＋a 1＝1－2n 1－2＝2n－1.答案：A4．一个正整数数表如下(表中下一行中的数的个数是上一行中数的个数的2倍)：则第8行中的第5个数是( )A ．68B ．132C ．133D ．260 解析：由题意知各行中数的个数为等比数列， a 1＝1，q ＝2.∴S 7＝1－271－2＝27－1＝127，∴第8行中第1个数为128，第5个数为132. 答案：B5．(2019年太原调考)如图17－1所示的数阵，第n 行的数从左到右依次是__________.解析：设第n 行左边第一个数为a n ，则a 1＝1，a 2＝a 1＋2×1，a 3＝a 2＋2×2，…，a n ＝a n －1＋2(n －1)，把这些式子左右两边分别相加，得a n ＝n 2－n ＋1(n ≥2)，当n ＝1时上式显然也成立，故第n 行的数从左到右依次是n 2－n ＋1，n 2－n ＋3，n 2－n ＋5，…，n 2－n ＋(2n －1)．答案：n 2－n ＋1，n 2－n ＋3，n 2－n ＋5，…，n 2－n ＋(2n －1) 6．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a na n ＋2(n ∈N *)，求数列{a n }的通项公式．解：由a n ＋1＝a n a n ＋2，得1a n ＋1＝2a n ＋1.所以1a n ＋1＋1＝2(1a n ＋1)．又a 1＝1，所以1a 1＋1＝2，所以数列{1a n ＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列，所以1a n＋1＝2×2n －1＝2n ，所以a n ＝12n －1.能力要求1．已知数列{a n }的各项均为正数，且a n 2－a n －n 2－n ＝0，则a n＝__________．解析：由a n 2－a n －n (n ＋1)＝0，得[a n －(n ＋1)](a n ＋n )＝0.又a n >0，所以a n ＝n ＋1.答案：n ＋12．已知数列{a n }中，a 1＝1，对于任意的n ≥2，n ∈N *都有a 1a 2a 3…a n ＝n 2，则a 10＝__________．解析：由a 1a 2a 3…a n ＝n 2，得a 1a 2a 3…a n －1＝(n －1)2(n ≥2)，所以a n ＝n 2（n －1）2(n ≥2)，所以a 10＝10081.答案：100813．已知各项均为正数的数列{b n }的首项为1，且前n 项和S n 满足S n －S n －1＝S n ＋S n －1(n ≥2)．试求数列{b n }的通项公式．解：∵S n －S n －1＝S n ＋S n －1(n ≥2)，∴(S n ＋S n －1)(S n －S n －1)＝S n ＋S n －1(n ≥2)．又S n >0，∴S n －S n －1＝1. 又S 1＝1，∴数列{S n }是首项为1，公差为1的等差数列， ∴S n ＝1＋(n －1)×1＝n ，故S n ＝n 2.当n ≥2，b n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1. 当n ＝1时，b 1＝1符合上式． ∴b n ＝2n －1.4．已知数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＝13a n －1＋(13)n(n ≥2)，求数列{a n }的通项公式．解：∵a n ＝13a n －1＋(13)n(n ≥2)， ∴3n a n ＝3n －1a n －1＋1(n ≥2)，即3n a n －3n －1a n －1＝1(n ≥2)．又a 1＝1, 31·a 1＝3，∴数列{3n a n }是以3为首项，1为公差的等差数列， ∴3na n ＝3＋(n －1)×1＝n ＋2，∴a n ＝n ＋23n .5．(2018年高考·浙江卷)已知等比数列{a n }的公比q >1，且a 3＋a 4＋a 5＝28，a 4＋2是a 3，a 5的等差中项．数列{b n }满足b 1＝1，数列{(b n＋1－b n )a n }的前n 项和为2n 2＋n . (1)求q 的值；(2)求数列{b n }的通项公式．解：(1)由a 4＋2是a 3，a 5的等差中项，得a 3＋a 5＝2a 4＋4，所以a 3＋a 4＋a 5＝3a 4＋4＝28，解得a 4＝8. 由a 3＋a 5＝20，得8(q ＋1q )＝20，解得q ＝2或q ＝12，因为q >1，所以q ＝2. (2)设c n ＝(b n ＋1－b n )a n ，数列{c n }前n 项和为S n .由c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2，解得c n ＝4n －1.由(1)可知a n ＝2n －1，所以b n ＋1－b n ＝(4n －1)·(12)n －1，故b n －b n －1＝(4n －5)·(12)n －2，n ≥2，b n －b 1＝(b n －b n －1)＋(b n －1－b n －2)＋…＋(b 3－b 2)＋(b 2－b 1) ＝(4n －5)·(12)n －2＋(4n －9)·(12)n －3＋…＋7·12＋3. 设T n ＝3＋7·12＋11·(12)2＋…＋(4n －5)·(12)n －2，n ≥2， 12T n ＝3·12＋7·(12)2＋…＋(4n －9)·(12)n －2＋(4n －5)·(12)n －1，所以12T n ＝3＋4·12＋4·(12)2＋…＋4·(12)n －2－(4n －5)·(12)n －1，因此T n ＝14－(4n ＋3)·(12)n －2，n ≥2，又b 1＝1，所以b n ＝15－(4n ＋3)·(12)n －2.拓展要求等比数列{a n}中，a1，a2，a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a1，a2，a3中的任何两个数不在下表的同一列．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若数列{b n}满足：b n＝a n＋(－1)n ln a n，求数列{b n}的前n项和S n.解：(1)当a1＝3时，不合题意；当a1＝2时，当且仅当a2＝6，a3＝18时，符合题意；当a1＝10时，不合题意．因此a1＝2，a2＝6，a3＝18.所以公比q＝3，故a n＝2·3n－1.(2)因为b n＝a n＋(－1)n ln a n＝2·3n－1＋(－1)n ln(2·3n－1)＝2·3n－1＋(－1)n[ln2＋(n－1)ln3]＝2·3n －1＋(－1)n (ln2－ln3)＋(－1)n n ln3，所以S n ＝2(1＋3＋…＋3n －1)＋[－1＋1－1＋…＋ (－1)n ](ln2－ln3)＋[－1＋2－3＋…＋(－1)n n ]ln3，所以当n 为偶数时，S n ＝2×1－3n 1－3＋n 2ln3＝3n ＋n 2ln3－1；当n 为奇数时，S n ＝2×1－3n 1－3－(ln2－ln3)＋(n －12－n )ln3＝3n－n －12ln3－ln2－1.综上所述：S n ＝⎩⎨⎧3n ＋n2ln3－1， n 为偶数，3n －n －12ln3－ln2－1， n 为奇数.由Ruize收集整理。

高中数学人教版必修5课后习题答案[电子档]

高中数学必修5课后习题答案1第二章数列2.1 数列的概念与简单表示法练习（P31） 1、2、前5项分别是：1,0,1,0,1--.3、例1（1）1(2,)1(21,)n n m m N na n m m N n⎧-=∈⎪⎪=⎨⎪=-∈⎪⎩**；（2）2(2,)0(21,)n n m m N a n m m N ⎧=∈⎪=⎨=-∈⎪⎩**说明：此题是通项公式不唯一的题目，鼓励学生说出各种可能的表达形式，并举出其他可能的通项公式表达形式不唯一的例子.4、（1）1()21n a n Z n +=∈-；（2）(1)()2n n a n Z n +-=∈；（3）121()2n n a n Z +-=∈ 习题2.1 A 组（P33）1、（1）2,3,5,7,11,13,17,19；（2）2,6,22,3,10,23,14,15,4,32；（3）1,1.7,1.73,1.732,…1.732050； 2,1.8,1.74,1.733,…,1.732051.2、（1）11111,,,,491625；（2）2,5,10,17,26--.3、（1）（1），4-，9，（16-），25，（36-），49； 12(1)n n a n +=-；（2）1，2，（3），2，5，（6），7； n a n =.4、（1）1,3,13,53,2132；（2）141,5,,,5454--.5、对应的答案分别是：（1）16,21；54n a n =-；（2）10,13；32n a n =-；（3）24,35；22n a n n =+.6、15,21,28； 1n n a a n -=+.习题2.1 B 组（P34）1、前5项是1,9,73,585,4681.n 1 2 … 5 … 12 … n n a 21 33 … 69 … 153 … 3(34)n +该数列的递推公式是：1118,1n n a a a +=+=.通项公式是：817n n a -=.2、110(10.72)10.072a =⨯+=﹪； 2210(10.72)10.144518a =⨯+=﹪；3310(10.72)10.217559a =⨯+=﹪； 10(10.72n n a =⨯+﹪.3、（1）1,2,3,5,8；（2）358132,,,,2358.2.2 等差数列练习（P39）1、表格第一行依次应填：0.5，15.5，3.75；表格第二行依次应填：15，11-，24-.2、152(1)213n a n n =+-=+，1033a =.3、4n c n =4、（1）是，首项是11m a a md +=+，公差不变，仍为d ；（2）是，首项是1a ，公差2d ；（3）仍然是等差数列；首项是716a a d =+；公差为7d . 5、（1）因为5375a a a a -=-，所以5372a a a =+. 同理有5192a a a =+也成立；（2）112(1)n n n a a a n -+=+>成立；2(0)n n k n k a a a n k -+=+>>也成立.习题2.2 A 组（P40）1、（1）29n a =；（2）10n =；（3）3d =；（4）110a =.2、略.3、60︒.4、2℃；11-℃；37-℃.5、（1）9.8s t =；（2）588 cm ，5 s.习题2.2 B 组（P40）1、（1）从表中的数据看，基本上是一个等差数列，公差约为2000，52010200280.2610a a d =+=⨯ 再加上原有的沙化面积5910⨯，答案为59.2610⨯；（2）2021年底，沙化面积开始小于52810 hm ⨯.2、略.2.3 等差数列的前n 项和练习（P45） 1、（1）88-；（2）604.5.2、59,11265,112n n a n n ⎧=⎪⎪=⎨+⎪>⎪⎩3、元素个数是30，元素和为900.习题2.3 A 组（P46）1、（1）(1)n n +；（2）2n ；（3）180个，和为98550；（4）900个，和为494550.2、（1）将120,54,999n n a a S ===代入1()2n n n a a S +=，并解得27n =；将120,54,27n a a n ===代入1(1)n a a n d =+-，并解得1713d =.（2）将1,37,6293n d n S ===代入1(1)n a a n d =+-，1()2n n n a a S +=，得111237()6292n n a a a a =+⎧⎪⎨+=⎪⎩；解这个方程组，得111,23n a a ==.（3）将151,,566n a d S ==-=-代入1(1)2n n n S na d -=+，并解得15n =；将151,,1566a d n ==-=代入1(1)n a a n d =+-，得32n a =-.（4）将2,15,10n d n a ===-代入1(1)n a a n d =+-，并解得138a =-；将138,10,15n a a n =-=-=代入1()2n n n a a S +=，得360n S =-. 3、44.5510⨯m. 4、4.5、这些数的通项公式：7(1)2n -+，项数是14，和为665.6、1472.习题2.3 B 组（P46）1、每个月的维修费实际上是呈等差数列的. 代入等差数列前n 项和公式，求出5年内的总共的维修费，即再加上购买费，除以天数即可. 答案：292元.2、本题的解法有很多，可以直接代入公式化简，但是这种比较繁琐. 现提供2个证明方法供参考. （1）由 61615S a d =+，1211266S a d =+，18118153S a d =+ 可得61812126()2()S S S S S +-=-. （2）1261212126()()S S a a a a a a -=+++-+++7812a a a =+++ 126(6)(6)(6)a d a d a d =++++++ 126()36a a a d =++++636S d =+同样可得：1812672S S S d -=+，因此61812126()2()S S S S S +-=-.3、（1）首先求出最后一辆车出发的时间4时20分；所以到下午6时，最后一辆车行驶了1小时40分.（2）先求出15辆车总共的行驶时间，第一辆车共行驶4小时，以后车辆行驶时间依次递减，最后一辆行驶1小时40分. 各辆车的行驶时间呈等差数列分布，代入前n 项和公式，这个车队所有车的行驶时间为2418531522S +=⨯= h. 乘以车速60 km/h ，得行驶总路程为2550 km. 4、数列1(1)n n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的通项公式为111(1)1n a n n n n ==-++ 所以111111111()()()()1122334111n nS n n n n =-+-+-++-=-=+++ 类似地，我们可以求出通项公式为1111()()n a n n k k n n k==-++的数列的前n 项和. 2.4 等比数列练习（P52） 1、2、由题意可知，每一轮被感染的计算机台数构成一个首项为180a =，公比为20q =的等比数列，则第5轮被感染的计算机台数5a 为 447518020 1.2810a a q ==⨯=⨯.3、（1）将数列{}n a 中的前k 项去掉，剩余的数列为12,,k k a a ++. 令,1,2,k i b a i +==，则数列12,,k k a a ++可视为12,,b b .因为11(1)i k i i k ib a q i b a ++++==≥，所以，{}n b 是等比数列，即12,,k k a a ++是等比数列.（2）{}n a 中的所有奇数列是135,,,a a a ，则235211321(1)k k a a a q k a a a +-=====≥.所以，数列135,,,a a a 是以1a 为首项，2q 为公比的等比数列.（3）{}n a 中每隔10项取出一项组成的数列是11223,,,a a a ，1a 3a 5a 7aq2 4 8 16 2或2-50 20.080.00320.2则1112231111121110(1)k k a a a q k a a a +-=====≥所以，数列11223,,,a a a 是以1a 为首项，11q 为公比的等比数列.猜想：在数列{}n a 中每隔m （m 是一个正整数）取出一项，组成一个新的数列，这个数列是以1a 为首项，1m q +为公比的等比数列.4、（1）设{}n a 的公比为q ，则24228511()a a q a q ==，而262837111a a a q a q a q ⋅=⋅= 所以2537a a a =⋅，同理2519a a a =⋅ （2）用上面的方法不难证明211(1)nn n a a a n -+=⋅>. 由此得出，n a 是1n a -和1n a +的等比中项. 同理：可证明，2(0)nn k n k a a a n k -+=⋅>>. 由此得出，n a 是n k a -和n k a +的等比中项(0)n k >>. 5、（1）设n 年后这辆车的价值为n a ，则13.5(110)n n a =-﹪. （2）4413.5(110)88573a =-≈﹪（元）. 用满4年后卖掉这辆车，能得到约88573元. 习题2.4 A 组（P53）1、（1）可由341a a q =，得11a =-，6671(1)(3)729a a q ==-⨯-=-. 也可由671a a q =，341a a q =，得337427(3)729a a q ==⨯-=-（2）由131188a q a q =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得12723a q =⎧⎪⎨=⎪⎩，或12723a q =-⎧⎪⎨=-⎪⎩（3）由416146a q a q ⎧=⎪⎨=⎪⎩，解得232q =，862291173692a a q a q q a q ==⋅==⨯= 还可由579,,a a a 也成等比数列，即2759a a a =，得22795694a a a ===.（4）由411311156a q a a q a q ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩①②①的两边分别除以②的两边，得2152q q +=，由此解得12q =或2q =.当12q =时，116a =-. 此时2314a a q ==-. 当2q =时，11a =. 此时2314a a q ==. 2、设n 年后，需退耕n a ，则{}n a 是一个等比数列，其中18(110),0.1a q =+=﹪.那么2005年需退耕5551(1)8(110)13a a q =+=+≈﹪（万公顷） 3、若{}n a 是各项均为正数的等比数列，则首项1a 和公比q 都是正数. 由11n n a a q-=，得111(1)22111()n n n n a a qa qa q ---===.那么数列{}n a 是以1a 为首项，12q 为公比的等比数列.4、这张报纸的厚度为0.05 mm ，对折一次后厚度为0.05×2 mm ，再对折后厚度为0.05×22 mm ，再对折后厚度为0.05×32 mm. 设00.05a =，对折n 次后报纸的厚度为n a ，则{}n a 是一个等比数列，公比2q =. 对折50次后，报纸的厚度为50505013100.0525.6310 m m 5.6310 m a a q ==⨯≈⨯=⨯ 这时报纸的厚度已经超出了地球和月球的平均距离（约83.8410 m ⨯），所以能够在地球和月球之间建一座桥.5、设年平均增长率为1,105q a =，n 年后空气质量为良的天数为n a ，则{}n a 是一个等比数列. 由3240a =，得2231(1)105(1)240a a q q =+=+=，解得24010.51105q =-≈ 6、由已知条件知，,2a bA G ab +==，且22()0222a b a b ab a b A G ab ++---=-==≥ 所以有A G ≥，等号成立的条件是a b =. 而,a b 是互异正数，所以一定有A G >.7、（1）2±；（2）22()ab a b ±+. 8、（1）27，81；（2）80，40，20，10.习题2.4 B 组（P54）1、证明：由等比数列通项公式，得11m m a a q -=，11n n a a q -=，其中1,0a q ≠所以 1111m m n m n n a a q q a a q---== 2、（1）设生物体死亡时，体内每克组织中的碳14的原子核数为1个单位，年衰变率为q ，n 年后的残留量为n a ，则{}n a 是一个等比数列. 由碳14的半衰期为5730则 57305730112n a a qq===，解得157301()0.9998792q =≈ （2）设动物约在距今n 年前死亡，由0.6n a =，得10.9998790.6n n a a q ===.解得 4221n ≈，所以动物约在距今4221年前死亡.3、在等差数列1，2，3，…中，有7108917a a a a +==+，1040203050a a a a +==+ 由此可以猜想，在等差数列{}n a 中若*(,,,)k s p q k s p q N +=+∈，则k s p q a a a a +=+. 从等差数列与函数之间的联系的角度来分析这个问题：由等差数列{}n a 的图象，可以看出k p a k a p =，s q a sa q=根据等式的性质，有k s p q a a k sa a p q++=++，所以k s p q a a a a +=+. 猜想对于等比数列{}n a ，类似的性质为：若*(,,,)k s p q k s p q N +=+∈，则k s p q a a a a ⋅=⋅.2.5 等比数列的前n 项和练习（P58） 1、（1）6616(1)3(12)189112a q S q --===--. （2）1112.7()9190311451()3n n a a q S q----===----. 2、设这个等比数列的公比为q 所以 101256710()()S a a a a a a =+++++++555S q S =+55(1)q S =+50=同理 1015105S S q S =+.因为 510S =，所以由①得 5101051416S q q S =-=⇒= 代入②，得1015105501610210S S q S =+=+⨯=.3、该市近10年每年的国内生产总值构成一个等比数列，首项12000a =，公比 1.1q =设近10年的国内生产总值是10S ，则10102000(1 1.1)31874.81 1.1S -=≈-（亿元）习题2.5 A 组（P61）1、（1）由34164641a q a ===--，解得4q =-，所以144164(4)5111(4)a a q S q ---⨯-===---. a sa q a pa ksq p kOna n （第3题）（2）因为2131233(1)S a a a a q q --=++=++，所以2113q q --++=，即2210q q --=解这个方程，得1q =或12q =-. 当1q =时，132a =；当12q =-时，16a =.2、这5年的产值是一个以1138 1.1151.8a =⨯=为首项， 1.1q =为公比的等比数列所以5515(1)151.8(1 1.1)926.75411 1.1a q S q -⨯-==≈--（万元） 3、（1）第1个正方形的面积为42cm ，第2个正方形的面积为22cm ，…，这是一个以14a =为首项，12q =为公比的等比数列所以第10个正方形的面积为99710114()22a a q -==⨯=（2cm ）（2）这10个正方形的面积和为77110101422821112a a qS q---⨯-===---（2cm ）4、（1）当1a =时，2(1)(1)(2)()12(1)2n n na a a n n --+-++-=-----=-当1a ≠时，22(1)(2)()()(12)n n a a a n a a a n -+-++-=+++-+++(1)(1)12n a a n n a -+=-- （2）1212(235)(435)(35)2(12)3(555)n n n n -------⨯+-⨯+-⨯=+++-+++11(1)5(15)323(1)(15)2154n nn n n n ----+-⨯-⨯=+--- （3）设21123n n S x x nx -=++++……①则 212(1)n n n xS x x n x nx -=+++-+……②①－②得，21(1)1n n n x S x x x nx --=++++-……③当1x =时，(1)1232n n n S n +=++++=；当1x ≠时，由③得，21(1)1n n n x nx S x x -=--- 5、（1）第10次着地时，经过的路程为91002(50251002)-++++⨯1291911002100(222)2(12)100200299.61 (m)12------=+⨯+++-=+⨯≈- （2）设第n 次着地时，经过的路程为293.75 m ，则1(1)12(1)12(12)1002100(222)100200293.7512n n ---------+⨯+++=+⨯=-所以130********.75n --⨯=，解得120.03125n -=，所以15n -=-，则6n = 6、证明：因为396,,S S S 成等差数列，所以公比1q ≠，且9362S S S =+即，936111(1)(1)(1)2111a q a q a q q q q---⨯=+--- 于是，9362q q q =+，即6321q q =+ 上式两边同乘以1a q ，得741112a q a q a q =+ 即，8252a a a =+，故285,,a a a 成等差数列习题2.5 B 组（P62）1、证明：11111()(1())1n n n n n n n n n b bb a b a a a b b a a b aa ab a+++---+++=+++==--2、证明：因为7714789141277()S S a a a q a a a q S -=+++=+++=141421141516211277()S S a a a q a a a q S -=+++=+++=所以71472114,,S S S --成等比数列3、（1）环保部门每年对废旧物资的回收量构成一个等比数列，首项为1100a =，公比为 1.2q =. 所以，2010年能回收的废旧物资为89100 1.2430a =⨯≈（t ）（2）从2002年到2010年底，能回收的废旧物资为9919(1)100(1 1.2)208011 1.2a q S q --==≈--（t ）可节约的土地为165048320⨯=（2m ）4、（1）依教育储蓄的方式，应按照整存争取定期储蓄存款利率计息，免征利息税，且若每月固定存入a 元，连续存n 个月，计算利息的公式为()2a na n+⨯月利率.因为整存整取定期储蓄存款年利率为2.52﹪，月利率为0.21﹪故到期3年时一次可支取本息共(505036)360.2118001869.932+⨯⨯⨯+=﹪（元）若连续存6年，应按五年期整存整取定期储蓄存款利率计息，具体计算略. （2）略.（3）每月存50元，连续存3年按照“零存整取”的方式，年利率为1.89﹪，且需支付20﹪的利息税所以到期3年时一次可支取本息共1841.96元，比教育储蓄的方式少收益27.97元.（4）设每月应存入x 元，由教育储蓄的计算公式得36(36)0.2136100002x x x +⨯+=﹪解得267.39x ≈（元），即每月应存入267.39（元）（5）（6）（7）（8）略5、设每年应存入x 万元，则2004年初存入的钱到2010年底利和为7(12)x +﹪，2005年初存入的钱到2010年底利和为6(12)x +﹪，……，2010年初存入的钱到2010年底利和为(12)x +﹪. 根据题意，76(12)(12)(12)40x x x ++++++=﹪﹪﹪根据等比数列前n 项和公式，得7(12)(1 1.02)401 1.02x +-=-﹪，解得52498x ≈（元）故，每年大约应存入52498元第二章复习参考题A 组（P67）1、（1）B ；（2）B ；（3）B ；（4）A .2、（1）212n n n a -=；（2）12(1)(21)1(2)n n n a n +--=+；（3）7(101)9n n a =-；（4）1(1)n n a =+-或1cos n a n π=+.3、4、如果,,a b c 成等差数列，则5b =；如果,,a b c 成等比数列，则1b =，或1-.5、n a 按顺序输出的值为：12，36，108，324，972. 86093436sum =.6、81381.9(10.13)1396.3⨯+≈﹪（万） 7、从12月20日到次年的1月1日，共13天. 每天领取的奖品价值呈等差数列分布.110,100d a ==. 由1(1)2n n n S a n d -=+得：1313121001310208020002S ⨯=⨯+⨯=>.所以第二种领奖方式获奖者受益更多. 8、因为28374652a a a a a a a +=+=+=所以34567285450()2a a a a a a a +++++==+，则28180a a +=.9、容易得到101010,1012002n n na n S +==⨯=，得15n =.10、212212()()()n n n n S a a a a nd a nd a nd ++=+++=++++++2121()n a a a n nd S n d =++++⨯=+32122312(2)(2)(2)n n n nS a a a a n d a n d a n d ++=+++=++++++ 2121()22n a a a n n d S n d =++++⨯=+ 容易验证2132S S S =+. 所以，123,,S S S 也是等差数列，公差为2n d . 11、221(1)(1)4(1)221a f x x x x x =+=+-++=-- 223(1)(1)4(1)267a f x x x x x =-=---+=-+ 因为{}n a 是等差数列，所以123,,a a a 也是等差数列. 所以，2132a a a =+. 即，20286x x =-+. 解得1x =或3x =. 当1x =时，1232,0,2a a a =-==. 由此可求出24n a n =-. 当3x =时，1232,0,2a a a ===-. 由此可求出42n a n =-.第二章复习参考题B 组（P68）1、（1）B ；（2）D .2、（1）不成等差数列. 可以从图象上解释. ,,a b c 成等差，则通项公式为y pn q =+的形式，且,,a b c 位于同一直线上，而111,,a b c 的通项公式却是1y pn q =+的形式，111,,a b c不可能在同一直线上，因此肯定不是等差数列.（2）成等比数列. 因为,,a b c 成等比，有2b ac =. 又由于,,a b c 非零，两边同时取倒数，则有21111b ac a c==⨯. 所以，111,,a b c也成等比数列.3、体积分数：60.033(125)0.126⨯+≈﹪，质量分数：60.05(125)0.191⨯+≈﹪. 4、设工作时间为n ，三种付费方式的前n 项和分别为,,n n n A B C . 第一种付费方式为常数列；第二种付费方式为首项是4，公差也为4的等差数列；第三种付费方式为首项是0.4，公比为2的等比数列. 则38n A n =，2(1)44222n n n B n n n -=+⨯=+， 0.4(12)0.4(21)12n n n C -==--. 下面考察,,n n n A B C 看出10n <时，380.4(21)n n >-. 因此，当工作时间小于10天时，选用第一种付费方式. 10n ≥时，,n n n n A C B C ≤≤因此，当工作时间大于10天时，选用第三种付费方式.5、第一星期选择A 种菜的人数为n ，即1a n =，选择B 种菜的人数为500a -. 所以有以下关系式：2118030a a b =⨯+⨯﹪﹪3228030a a b =⨯+⨯﹪﹪……118030n n b a a b --=⨯+⨯﹪﹪500n n a b +=所以111502n n a a -=+，115003502n n n b a a -=-=-如果1300a =，则2300a =，3300a =，…，10300a = 6、解：由1223n n n a a a --=+得 1123()n n n n a a a a ---+=+以及1123(3)n n n n a a a a ----=--所以221213()37n n n n a a a a ---+=+=⨯，221213(1)(3)(1)13n n n n a a a a ----=--=-⨯. 由以上两式得，11437(1)13n n n a --=⨯+-⨯所以，数列的通项公式是11137(1)134n n n a --⎡⎤=⨯+-⨯⎣⎦ 7、设这家牛奶厂每年应扣除x 万元消费基金2002年底剩余资金是1000(150)x +-﹪2003年底剩余资金是2[1000(150)](150)1000(150)(150)x x x x +-+-=+-+-﹪﹪﹪﹪ ……5年后达到资金 54321000(150)(150)(150)(150)(150)2000x x x x +-+-+-+-+=﹪﹪﹪﹪﹪ 解得 459x ≈（万元）第三章不等式3.1 不等关系与不等式练习（P74）1、（1）0a b +≥；（2）4h ≤；（3）(10)(10)3504L W L W ++=⎧⎨>⎩.2、这给两位数是57.3、（1）>；（2）<；（3）>；（4）<；习题3.1 A 组（P75）1、略.2、（1）3274+<；（2）710314+>+.3、证明：因为20,04x x >>，所以21104x x x ++>+>因为22(1)(1)02x x +>+>，所以112xx +>+4、设A 型号帐篷有x 个，则B 型号帐篷有(5)x +个，050448054853(5)484(4)48x x x x x x >⎧⎪+>⎪⎪<⎪⎨<-<⎪⎪+<⎪+⎪⎩≥5、设方案的期限为n 年时，方案B 的投入不少于方案A 的投入.所以，(1)5105002n n n -+⨯≥ 即，2100n ≥.习题3.1 B 组（P75）1、（1）因为222259(56)30x x x x x ++-++=+>，所以2225956x x x x ++>++ （2）因为222(3)(2)(4)(69)(68)10x x x x x x x ----=-+--+=>所以2(3)(2)(4)x x x ->--（3）因为322(1)(1)(1)0x x x x x --+=-+>，所以321x x x >-+（4）因为22222212(1)1222(1)(1)10x y x y x y x y x y ++-+-=++-+-=-+-+> 所以2212(1)x y x y ++>+-2、证明：因为0,0a b c d >>>>，所以0ac bd >>又因为0cd >，所以10cd>于是0a bd c>>，所以a b d c > 3、设安排甲种货箱x 节，乙种货箱y 节，总运费为z .所以 352515301535115050x y x y x y +⎧⎪+⎨⎪+=⎩≥≥ 所以28x ≥，且30x ≤所以 2822x y =⎧⎨=⎩，或2921x y =⎧⎨=⎩，或3020x y =⎧⎨=⎩ 所以共有三种方案，方案一安排甲种货箱28节，乙种货箱22节；方案二安排甲种货箱29节，乙种货箱21节；方案三安排甲种货箱30节，乙种货箱20节. 当3020x y =⎧⎨=⎩时，总运费0.5300.82031z =⨯+⨯=（万元），此时运费较少.3.2 一元二次不等式及其解法练习（P80） 1、（1）1013x x ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭≤≤；（2）R ；（3）{}2x x ≠；（4）12x x ⎧⎫≠⎨⎬⎩⎭；（5）31,2x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或；（6）54,43x x x ⎧⎫<>⎨⎬⎩⎭或；（7）503x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭.2、（1）使2362y x x =-+的值等于0的x 的集合是331,133⎧⎫⎪⎪-+⎨⎬⎪⎪⎩⎭；使2362y x x =-+的值大于0的x 的集合为331,133x x x ⎧⎫⎪⎪<->+⎨⎬⎪⎪⎩⎭或；使2362y x x =-+的值小于0的x 的集合是331133x x ⎧⎫⎪⎪-<<+⎨⎬⎪⎪⎩⎭. （2）使225y x =-的值等于0的x 的集合{}5,5-；使225y x =-的值大于0的x 的集合为{}55x x -<<；使225y x =-的值小于0的x 的集合是{}5,5x x x <->或. （3）因为抛物线2+610y x x =+的开口方向向上，且与x 轴无交点所以使2+610y x x =+的等于0的集合为∅；使2+610y x x =+的小于0的集合为∅；使2+610y x x =+的大于0的集合为R. （4）使231212y x x =-+-的值等于0的x 的集合为{}2；使231212y x x =-+-的值大于0的x 的集合为∅；使231212y x x =-+-的值小于0的x 的集合为{}2x x ≠.习题3.2 A 组（P80）1、（1）35,22x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或；（2）131322x x ⎧⎫⎪⎪-<<⎨⎬⎪⎪⎩⎭；（3）{}2,5x x x <->或；（4）{}09x x <<.2、（1）解2490x x -+≥，因为200∆=-<，方程2490x x -+=无实数根所以不等式的解集是R ，所以249y x x =-+的定义域是R. （2）解2212180x x -+-≥，即2(3)0x -≤，所以3x = 所以221218y x x =-+-的定义域是{}3x x = 3、{}322,322m m m <-->-+或； 4、R.5、设能够在抛出点2 m 以上的位置最多停留t 秒.依题意，20122v t gt ->，即212 4.92t t ->. 这里0t >. 所以t 最大为2（精确到秒）答：能够在抛出点2 m 以上的位置最多停留2秒. 6、设每盏台灯售价x 元，则15[302(15)]400x x x ⎧⎨-->⎩≥. 即1520x <≤.所以售价{}1520x x x ∈<≤习题3.2 B 组（P81）1、（1）55255222x x ⎧⎫-+⎪⎪<<⎨⎬⎪⎪⎩⎭；（2）{}37x x <<；（3）∅；（4）113x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭. 2、由22(1)40m m ∆=--<，整理，得23210m m +->，因为方程23210m m +-=有两个实数根1-和13，所以11m <-，或213m >，m 的取值范围是11,3m m m ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或.3、使函数213()324f x x x =--的值大于0的解集为42423,322x x x ⎧⎫⎪⎪<-<+⎨⎬⎪⎪⎩⎭或. 4、设风暴中心坐标为(,)a b ，则3002a =，所以22(3002)450b +<，即150150b -<< 而300215015(221)13.7202-=-≈（h ），3001520=. 所以，经过约13.7小时码头将受到风暴的影响，影响时间为15小时.3.3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题练习（P86）1、B .2、D .3、B .4、分析：把已知条件用下表表示：工序所需时间/分钟收益/元打磨着色上漆桌子A10 6 6 40桌子B5 12 9 30 工作最长时间 450 480 450解：设家具厂每天生产A 类桌子x 张，B 类桌子y 张.对于A 类桌子，x 张桌子需要打磨10x min ，着色6x min ，上漆6x min 对于B 类桌子，y 张桌子需要打磨5y min ，着色12y min ，上漆9y min 而打磨工人每天最长工作时间是450min ，所以有105450x y +≤. 类似地，612480x y +≤，69450x y +≤ 在实际问题中，0,0x y ≥≥；所以，题目中包含的限制条件为 1054506124806945000x y x y x y x y +⎧⎪+⎪⎪+⎨⎪⎪⎪⎩≤≤≤≥≥练习（P91）1、（1）目标函数为2z x y =+，可行域如图所示，作出直线2y x z =-+，可知z 要取最大值，即直线经过点C 时，解方程组11x y y +=⎧⎨=-⎩ 得(2,1)C -，所以，max 222(1)3z x y =+=⨯+-=.（2）目标函数为35z x y =+，可行域如图所示，作出直线35z x y =+ 可知，直线经过点B 时，Z 取得最大值. 直线经过点A 时，Z 取得最小值. 解方程组 153y x x y =+⎧⎨-=⎩，和15315y x x y =+⎧⎨+=⎩可得点(2,1)A --和点(1.5,2.5)B .所以max 3 1.55 2.517z =⨯+⨯=，min 3(2)5(1)11z =⨯-+⨯-=-2、设每月生产甲产品x 件，生产乙产品y 件，每月收入为z 元，目标函数为30002000z x y =+，需要满足的条件是 2400250000x y x y x y +⎧⎪+⎪⎨⎪⎪⎩≤≤≥≥，作直线30002000z x y =+，当直线经过点A 时，z 取得最大值. 解方程组 24002500x y x y +=⎧⎨+=⎩可得点(200,100)A ，z 的最大值为800000元.习题3.3 A 组（P93）1、画图求解二元一次不等式：（1）2x y +≤；（2）22x y ->；（3）2y -≤；（4）3x ≥y=x x+y=1CBA -1O1yx5x +3y=15x -5y=3y=x+1yx15B3AO（1）（2）（第1题）（第2题）xyA500200400250Oy=2x -2y xO1-11yx22Oxy321Oxy -2O2、3、分析：将所给信息下表表示：每次播放时间/分广告时间/分收视观众/万连续剧甲80 1 60 连续剧乙40 1 20 播放最长时间320 最少广告时间6解：设每周播放连续剧甲x 次，播放连续剧乙y 次，收视率为z . 目标函数为6020z x y =+，所以，题目中包含的限制条件为8040320600x y x y x y +⎧⎪+⎪⎨⎪⎪⎩≤≥≥≥可行域如图. 解方程组80403206x y x y +⎧⎨+⎩==得点M 的坐标为(2,4)，所以max 6020200z x y =+=（万）答：电视台每周应播放连续剧甲2次，播放连续剧乙4次，才能获得最高的收视率. 4、设每周生产空调器x 台，彩电y 台，则生产冰箱120x y --台，产值为z . 则，目标函数为432(120)2240z x y x y x y =++--=++ 所以，题目中包含的限制条件为111(120)402341202000x y x y x y x y ⎧++--⎪⎪⎪--⎨⎪⎪⎪⎩≤≥≥≥即，312010000x y x y x y +⎧⎪+⎪⎨⎪⎪⎩≤≤≥≥ 可行域如图，解方程组3120100x y x y +⎧⎨+⎩==y=x 3+1y=x+2y=4-x -1-15424O 1（第2题）yx586O1（第3题）y=120-3xy=100-xxy12010010040MO得点M 的坐标为(10,90)，所以max 2240350z x y =++=（千元）答：每周应生产空调器10台，彩电90台，冰箱20台，才能使产值最高，最高产值是350千元.习题3.3 B 组（P93）1、画出二元一次不等式组 231223600x y x y x y +⎧⎪+>-⎪⎨⎪⎪⎩≤≥≥，所表示的区域如右图2、画出(21)(3)0x y x y +--+>表示的区域.3、设甲粮库要向A 镇运送大米x 吨、向B 镇运送大米y 吨，总运费为z . 则乙粮库要向A 镇运送大米(70)x -吨、向B 镇运送大米(110)y -吨，目标函数（总运费）为 122025101512(70)208(110)60z x yx y x y =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯-+⨯⨯-=++. 所以，题目中包含的限制条件为 100(70)(110)800700x y x y x y +⎧⎪-+-⎪⎨⎪⎪⎩≤≤≤≤≥.所以当70,30x y ==时，总运费最省 min 37100z =（元）y=-2-23xy=4-23xyx-3-22564O1（第1题）y=12-x 2y=x+3yx-2-33O1（第2题）所以当0,100x y ==时，总运费最不合理 max 39200z =（元）使国家造成不该有的损失2100元.答：甲粮库要向A 镇运送大米70吨，向B 镇运送大米30吨，乙粮库要向A 镇运送大米0吨，向B 镇运送大米80吨，此时总运费最省，为37100元. 最不合理的调运方案是要向A 镇运送大米0吨，向B 镇运送大米100吨，乙粮库要向A 镇运送大米70吨，向B 镇运送大米10吨，此时总运费为39200元，使国家造成损失2100元.3.4 基本不等式2a bab +≤练习（P100）1、因为0x >，所以1122x x x x+⨯=≥当且仅当1x x =时，即1x =时取等号，所以当1x =时，即1x x+的值最小，最小值是2. 2、设两条直角边的长分别为,a b ，0,a >且0b >，因为直角三角形的面积等于50.即 1502ab =，所以 2210020a b ab +==≥，当且仅当10a b ==时取等号.答：当两条直角边的长均为10时，两条直角边的和最小，最小值是20. 3、设矩形的长与宽分别为a cm ，b cm. 0a >，0b > 因为周长等于20，所以10a b +=所以 2210()()2522a b S ab +===≤，当且仅当5a b ==时取等号.答：当矩形的长与宽均为5时，面积最大.4、设底面的长与宽分别为a m ，b m. 0a >，0b >因为体积等于323m ，高2m ，所以底面积为162m ，即16ab =所以用纸面积是 222324()3242323264S ab bc ac a b ab =++=+++=+=≥ 当且仅当4a b ==时取等号答：当底面的长与宽均为4米时，用纸最少.习题3.4 A 组（P100）1、（1）设两个正数为,a b ，则0,0a b >>，且36ab =所以 223612a b ab +==≥，当且仅当6a b ==时取等号. 答：当这两个正数均为6时，它们的和最小.（2）设两个正数为,a b ，依题意0,0a b >>，且18a b +=所以2218()()8122a b ab +==≤，当且仅当9a b ==时取等号.答：当这两个正数均为9时，它们的积最大. 2、设矩形的长为x m ，宽为y m ，菜园的面积为S 2m . 则230x y +=，S x y =⨯由基本不等式与不等式的性质，可得211219002252()222242x y S x y +=⨯⨯=⨯=≤. 当2x y =，即1515,2x y ==时，菜园的面积最大，最大面积是22522m .3、设矩形的长和宽分别为x 和y ，圆柱的侧面积为z ，因为2()36x y +=，即18x y +=. 所以222()1622x y z x y πππ+=⨯⨯⨯=≤，当x y =时，即长和宽均为9时，圆柱的侧面积最大.4、设房屋底面长为x m ，宽为y m ，总造价为z 元，则12xy =，12y x= 1236003120068005800480058002360012480058000z y x x x⨯=⨯+⨯+=++⨯⨯+=≥ 当且仅当1236004800x x⨯=时，即3x =时，z 有最小值，最低总造价为34600元. 习题3.4 B 组（P101）1、设矩形的长AB 为x ，由矩形()ABCD AB AD >的周长为24，可知，宽12AB x =-. 设PC a =，则DP x a =-所以 222(12)()x x a a -+-=，可得21272x x a x -+=，1272x DP x a x-=-=.所以ADP ∆的面积 211272187272(12)66[()18]2x x x S x x x x x--+-=-=⨯=⨯-++由基本不等式与不等式的性质 6[27218]6(18122)108722S ⨯-+=⨯-=-≤当72x x=，即62x =m 时，ADP ∆的面积最大，最大面积是(108722)-2m . 2、过点C 作CD AB ⊥，交AB 延长线于点D .设BCD α∠=，ACB β∠=，CD x =.在BCD ∆中，tan b c x α-=. 在ACD ∆中，tan()a cxαβ-+= 则tan()tan tan tan[()]1tan()tan αβαβαβααβα+-=+-=++⋅()()1a c b ca b x x a c b c a c b c x x x x----==----+⋅+()()2()()2a b a ba cbc a c b c x x--=----⋅≤当且仅当()()a cbc x x--=，即()()x a c b c =--时，tan β取得最大，从而视角也最大.第三章复习参考题A 组（P103）1、511212537+<+. 2、化简得{}23A x x =-<<，{}4,2B x x x =<->或，所以{}23A B x x =<<3、当0k <时，一元二次不等式23208kx kx +-<对一切实数x 都成立，即二次函数2328y kx kx =+-在x 轴下方，234(2)()08k k ∆=--<，解之得：30k -<<.当0k >时，二次函数2328y kx kx =+-开口朝上一元二次不等式23208kx kx +-<不可能对一切实数x 都成立，所以，30k -<<. 4、不等式组438000x y x y ++>⎧⎪<⎨⎪<⎩表示的平面区域的整点坐标是(1,1)--.5、设每天派出A 型车x 辆，B 型车y 辆，成本为z .所以 070494860360x y x y x y ⎧⎪⎪⎨+⎪⎪+⎩≤≤≤≤≤≥，目标函数为160252z x y =+把160252z x y =+变形为40163252y x z =-+，得到斜率为4063-，在y 轴上的截距为1252z ，随z 变化的一族平行直线. 在可行域的整点中，点(5,2)M 使得z 取得最小值. 所以每天派出A 型车5辆，B 型车2辆，成本最小，最低成本为1304元.6、设扇形的半径是x ，扇形的弧长为y ，因为 12S xy =扇形的周长为 2224Z x y xy S =+=≥当2x y =，即x S =，2y S =时，Z 可以取得最小值，最小值为4S . 7、设扇形的半径是x ，扇形的弧长为y ，因为2P x y =+扇形的面积为221112(2)()244216x y P Z xy x y +===≤ 当2x y =，即4P x =，2P y =时，Z 可以取得最大值，半径为4P 时扇形面积最大值为216P .8、设汽车的运输成本为y ， 2()s say bv a sbv v v=+⨯=+当sasbv v=时，即a v b =且a cb ≤时，y 有最小值. 22sa say sbv sbv s ab v v=+⨯=≥，最小值为2s ab . 当a cb >时，由函数sa y sbv v =+的单调性可知，vc =时y 有最小值，最小值为sa sbc c+. 第三章复习参考题B 组（P103）1、D2、（1）32264x x x x ⎧⎫<--<<>⎨⎬⎩⎭或或（2）231334x x x x ⎧⎫-<>⎨⎬⎩⎭或或≤≤3、1m =4、设生产裤子x 条，裙子y 条，收益为z .则目标函数为2040z x y =+，所以约束条件为 10210600x y x y x y x y +⎧⎪+⎪⎪+⎨⎪⎪⎪⎩≤≤≤≥≥5、因为22x y +是区域内的点到原点的距离的平方所以，当240330x y x y -+=⎧⎨--=⎩即2,3A A x y ==时，22x y +的最大值为13.当4525x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，22x y +最小，最小值是45.6、按第一种策略购物，设第一次购物时的价格为1p ，购n kg ，第二次购物时的价格为2p ，仍购n kg ，按这种策略购物时两次购物的平均价格为121222p n p n p p n ++=. 若按第二种策略购物，第一次花m 元钱，能购1m p kg 物品，第二次仍花m 元钱，能购2m p kg 物品，两次购物的平均价格为12122211m m m p p p p =++ x+y=62x+y=10x+y=10yx1010656O（第4题）xy12L 1L 3L 2AB C （第5题）比较两次购物的平均价格：221212121212121212121222()4()011222()2()p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p +++---=-==++++≥ 所以，第一种策略的平均价格高于第二种策略的平均价格，因而，用第二种策略比较经济. 一般地，如果是n 次购买同一种物品，用第二种策略购买比较经济.。

高中数学人教A版必修5 40分钟课时作业第二章数列：2-4-15 等比数列的性质

答案：C
2．(2012· 济南高二检测)已知在等比数列{an}中，a3＝－2，a6 ＝54，则 a9＝( A．1 458 C．27 ) B．－1 458 D．－54
2 54 解析：a3，a6，a9 成等比数列，所以 a3a9＝a2 ＝－1 6，a9＝－2
458.
答案：B
3．已知{an}是等比数列，a4· a7＝－512，a3＋a8＝124，且公比为整数，则公比 q 为( A．2 1 C.2 )
答案：5
三、解答题：每小题 15 分，共 45 分． 8 27 10．在和之间插入三个正数，使这五个数成等比数列，求 3 2 插入的三个数的乘积．
8 17 解：在3和 2 之间插入三个正数，使这五个数成等比数列，设 8 27 插入的三个正数为 a，b，c，则 b ＝ac＝3× 2 ＝36，因此插入的
解析：由题意得，amam＋1＝q，此数列各项积为(amam＋1)m＝qm.
பைடு நூலகம்答案：C
5．已知各项均为正数的等比数列 {an}中，a1a2a3＝5，a7a8a9 ＝10，则 a4a5a6＝( A．5 2 C ．6 ) B．7 D．4 2
3 解析：由等比数列的性质知 a1a2a3＝(a1a3)a2＝a2 ＝5，a7a8a9 3 ＝(a7a9)· a8＝a8 ＝10，所以
3 解析：∵a1a2a3＝a3 ， a a a ＝ a 2 4 5 6 5， 3 a7a8a9＝a3 ， … ， a a a ＝ a 8 28 29 30 29，
∴a1a2a3a4a5a6a7a8a9…a28a29a30＝(a2a5a8…a29)3＝230. ∴a2a5a8…a29＝210. 则 a3a6a9…a30＝(a2q)(a5q)(a8q)…(a29q) ＝(a2a5a8…a29)q10＝210×210＝220.

【同步练习】2017-2018学年高中数学必修5 等比数列的前n项和课时作业本一(含答案)

2017-2018学年高中数学必修5 等比数列的前n 项和课时作业本一、填空题：1.设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5=0，则25S S =________. 2.设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1=1，S 6=4S 3，则a 4=________. 3.记等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3=2，S 6=18，则510S S =________. 4.设等比数列{a n }的公比q=2，前n 项和为S n ，则24a S =________. 5.设{a n }是公比为q 的等比数列，S n 是它的前n 项和，若{S n }是等差数列，则q=________.6.若等比数列{a n }中，a 1=1，a n =－512，前n 项和为S n =－341，则n 的值是________.7.在等比数列{a n }中，公比q 是整数，a 1＋a 4=18，a 2＋a 3=12，则此数列的前8项和为________.8.设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和，已知a 2a 4=1，S 3=7，则S 5=____________.9.如果数列{a n }的前n 项和S n =2a n －1，则此数列的通项公式a n =________.10.在数列{a n }中，a n ＋1=ca n (c 为非零常数)，且前n 项和为S n =3n －1＋k ，则实数k 的值为________.二、解答题:11.在等比数列{a n }中，a 1＋a n =66，a 3a n －2=128，S n =126，求n 和q.12.求和：S n=x＋2x2＋3x3＋…＋nx n (x≠0).13.已知等比数列前n项，前2n项，前3n项的和分别为S n，S2n，S3n，求证：S2n＋S22n=S n(S2n＋S3n).14.已知数列{a n}的前n项和S n=2n＋2－4.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n=a n·log2a n，求数列{b n}的前n项和T n.答案1.－11；解析：由8a 2＋a 5=0得8a 1q ＋a 1q 4=0，∴q=－2.2.3；解析：S 6=4S 3⇒q q a --1)1(16=qq a --1)1(431⇒q 3=3(q 3=1不合题意，舍去). ∴a 4=a 1·q 3=1×3=3.3.33；解析：由题意知公比q ≠1，36S S ==1＋q 3=9，∴q=2，510S S ==1＋q 5=1＋25=33. 4.215；解析：由等比数列的定义，S 4=a 1＋a 2＋a 3＋a 4=q a 2＋a 2＋a 2q ＋a 2q 2，得=24a S q1＋1＋q ＋q 2=215. 5.1；解析：∵a n 是等比数列，∴a n =a 1q n －1，∵{S n }是等差数列.∴2S 2=S 1＋S 3.即2a 1q ＋2a 1=a 1＋a 1＋a 1q ＋a 1q 2，化简得q 2－q=0，q ≠0，∴q=1.6.10；解析：S n =111--q a a n ，∴－341=qq -+15121， ∴q=－2，又∵a n =a 1q n －1，∴－512=(－2)n －1，∴n=10.7.510；解析：由a 1＋a 4=18和a 2＋a 3=12，得方程组a 1+a 1q 3=18,a 1q+a 1q 2=12，解得a 1=2,q=2或a 1=16,q=0.5.∵q 为整数，∴q=2，a 1=2，S 8=29－2=510. 8.431；解析：∵{a n }是由正数组成的等比数列，且a 2a 4=1，∴设{a n }的公比为q ，则q>0，且a 23=1，即a 3=1.∵S 3=7，∴a 1＋a 2＋a 3=21q ＋q1＋1=7，即6q 2－q －1=0. 故q=21或q=－31(舍去)，∴a 1=21q =4.∴S 5==8(1－521)=431. 9.2n －1；解析：当n=1时，S 1=2a 1－1，∴a 1=2a 1－1，∴a 1=1.当n ≥2时，a n =S n －S n －1=(2a n －1)－(2a n －1－1)∴a n =2a n －1，∴{a n }是等比数列，∴a n =2n －1，n ∈N *.10.－31；解析：当n=1时，a 1=S 1=1＋k ，当n ≥2时，a n =S n －S n －1=(3n －1＋k)－(3n －2＋k)=3n －1－3n －2=2·3n －2.由题意知{a n }为等比数列，所以a 1=1＋k=32，∴k=－31. 11.解：∵a 3a n －2=a 1a n ，∴a 1a n =128，解方程组a1an=128,a1+an=66,得a1=64,an=2①或a1=2,an=64②将①代入S n =qq a a n --11，可得q=21，由a n =a 1q n －1可解得n=6. 将②代入S n =qq a a n --11，可得q=2，由a n =a 1q n －1可解得n=6. 故n=6，q=21或2. 12.解:分x=1和x ≠1两种情况.(1)当x=1时，S n =1＋2＋3＋…＋n=2)1(+n n . (2)当x ≠1时，S n =x ＋2x 2＋3x 3＋…＋nx n ，xS n =x 2＋2x 3＋3x 4＋…＋(n －1)x n ＋nx n ＋1，∴(1－x)S n =x ＋x 2＋x 3＋…＋x n －nx n ＋1=x x x n --1)1(－nx n ＋1.∴S n =2)1()1(x x x n --－x nx n -+11. 综上可得S n =2)1(+n n (x=1)；S n =2)1()1(x x x n --－xnx n -+11.（x ≠1且x ≠0）. 13.证明:设此等比数列的公比为q ，首项为a 1，当q=1时，则S n =na 1，S 2n =2na 1，S 3n =3na 1，S 2n ＋S 22n =n 2a 21＋4n 2a 21=5n 2a 21，S n (S 2n ＋S 3n )=na 1(2na 1＋3na 1)=5n 2a 21， ∴S 2n ＋S 22n =S n (S 2n ＋S 3n ).当q ≠1时，则S n =)1(11n q q a --，S 2n =)1(121n q q a --，S 3n =)1(131n q qa --， ∴S 2n ＋S 22n =21)1(q a -·[(1－q n )2＋(1－q 2n )2]=21)1(qa -·(1－q n )2·(2＋2q n ＋q 2n ). 又S n (S 2n ＋S 3n )=21)1(q a -·(1－q n )2·(2＋2q n ＋q 2n )，∴S 2n ＋S 22n =S n (S 2n ＋S 3n ). 14.解:(1)由题意，S n =2n ＋2－4，n ≥2时，a n =S n －S n －1=2n ＋2－2n ＋1=2n ＋1，当n=1时，a 1=S 1=23－4=4，也适合上式，∴数列{a n }的通项公式为a n =2n ＋1，n ∈N *.(2)∵b n =a n log 2a n =(n ＋1)·2n ＋1，∴T n =2·22＋3·23＋4·24＋…＋n ·2n ＋(n ＋1)·2n ＋1，①2T n =2·23＋3·24＋4·25＋…＋n ·2n ＋1＋(n ＋1)·2n ＋2.②②－①得，T n =－23－23－24－25－…－2n ＋1＋(n ＋1)·2n ＋2 =－23－21)21(213---n ＋(n ＋1)·2n ＋2 =－23－23(2n －1－1)＋(n ＋1)·2n ＋2=(n ＋1)·2n ＋2－23·2n －1=(n ＋1)·2n ＋2－2n ＋2=n ·2n ＋2.。

人教A版数学必修五同步导练作业：第2章数列课时作业(八)

课时作业(八) 数列的概念与简单表示法(二)基础要求1．若a n ＝a n －1＋3(n ∈N *)，则数列{a n }是( ) A ．递增数列 B ．递减数列 C ．摆动数列D ．常数列解析：∵a n ＝a n －1＋3>a n －1，∴数列{a n }是递增数列．答案：A2．(2019年河南开封一模)数列{a n }满足a n ＋1＋a n ＝2n －3，若a 1＝2，则a 8－a 4＝( )A ．7B ．6C ．5D ．4解析：由a n ＋1＋a n ＝2n －3，得a 2＝－1－a 1＝－3.∵a n ＋1－a n －1＝(a n ＋1＋a n )－(a n ＋a n －1)＝2，∴a n ＋1＝a n －1＋2，∴a 4＝a 2＋2＝－1，a 6＝a 4＋2＝1，a 8＝a 6＋2＝3，∴a 8－a 4＝3－(－1)＝4.答案：D3．数列{a n }满足a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2（n ＝1），a 1＋a 2＋…＋a n －1（n ≥2），则该数列的通项公式为a n ＝( )A ．a n ＝2nB ．a n ＝2n ＋1C ．a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2（n ＝1）2n ＋1（n ≥2）D ．a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2（n ＝1）2n －1（n ≥2）解析：依题意，有a 2＝a 1＝2，将n ＝1，2代入检验，选D.答案：D4．(2019年哈尔滨调考)若数列{a n}的通项公式a n＝(－1)n(3n－2)，则a1＋a2＋…＋a10＝__________．解析：a1＝(－1)1(3×1－2)＝－1，a2＝(－1)2(3×2－2)＝4，a3＝(－1)3(3×3－2)＝－7，a4＝(－1)4(3×4－2)＝10，a5＝(－1)5(3×5－2)＝－13，a6＝(－1)6(3×6－2)＝16，a7＝(－1)7(3×7－2)＝－19，a8＝(－1)8(3×8－2)＝22，a9＝(－1)9(3×9－2)＝－25，a10＝(－1)10(3×10－2)＝28，则a1＋a2＋…＋a10＝－1＋4－7＋10－13＋16－19＋22－25＋28＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋(－13＋16)＋(－19＋22)＋(－25＋28)＝3×5＝15.答案：155．(2019年广东江门一模)已知数列{a n}的首项a1＝1，若对于任＝－2，则a n＝________．意正整数n，a n·a n＋1解析：由a n·a n＝－2，得＋1当n是奇数时，a n＝1；当n是偶数时，a n＝－2.∴a n ＝（－1）n ·（－3）－12＝（－1）n ＋1·3－12 答案：（－1）n ＋1·3－126．数列{a n }满足a n ＝12n 2－72n ＋7－321-⎪⎭⎫⎝⎛n ，是否存在n ∈N *，使得a n ∈⎪⎭⎫⎝⎛210,？若存在，求出n 的值；若不存在，说明理由．解：易知a 1＝a 2＝a 3＝0，当n ≥4时，a n ＝12n 2－72n ＋7－321-⎪⎭⎫ ⎝⎛n＝12227⎪⎭⎫ ⎝⎛-n ＋78－321-⎪⎭⎫ ⎝⎛n 递增，于是a n ≥a 4＝12.故不存在n ∈N *使得a n ∈⎪⎭⎫⎝⎛210,.能力要求1．已知数列{a n }，其中a n ＝2n ＋1，另作一个新数列{b n }，使得b 1＝a 1，当n ≥2时，b n ＝ab n －1，则数列{b n }的第五项是( )A ．15B ．31C ．63D ．127解析：由题设知a 1＝3，∴b 1＝a 1＝3， b 2＝ab 1＝a 3＝7， b 3＝ab 2＝a 7＝15，b4＝ab3＝a15＝31，b5＝ab4＝a31＝63，选C.答案：C2．已知数列{a n}满足a1＝0，a n＋1＝a n－33a n＋1(n∈N*)，则a20＝()A．0 B．－ 3C. 3D.3 2解析：由a1＝0，a n＋1＝a n－33a n＋1(n∈N*)，得a2＝－3，a3＝3，a4＝0，…，由此可知数列{a n}是周期变化的，周期为3，∴a20＝a2＝－ 3.答案：B3．(2019年广东惠州二模)已知S n＝1－2＋3－4＋5－6＋…＋(－1)n＋1·n，则S6＋S10＋S15等于()A．－5 B．－1C．0 D．6解析：S6＝1－2＋3－4＋5－6＝－3，S10＝1－2＋3－4＋5－6＋…＋9－10＝－5，S15＝1＋(－2＋3)＋(－4＋5)＋…＋(－14＋15)＝8，∴S6＋S10＋S15＝0.答案：C4．已知数列{a n}对任意m，n∈N*，满足a m＋n＝a m·a n，且a3＝8，则a1＝()A ．2B ．1C ．±2 D.12解析：由a m ＋n ＝a m ·a n ，得a 2＝a 12，a 3＝a 2·a 1＝a 13， ∴a 13＝8.∴a 1＝2. 答案：A5．(2019年福州调考)数列{a n }满足a n ＝n － 2 014n － 2 015，若a p 最大，a q 最小，则p ＋q ＝__________．解析：a n ＝n － 2 014n － 2 015＝1＋ 2 015－ 2 014n － 2 015.由于44< 2 015<45，则当n ≤44时， a n ＝1－ 2 015－ 2 0142 015－n<1且递减；当≥45时，a n ＝1＋ 2 015－ 2 014n － 2 015>1且递减．所以a 44最小，a 45最大，即p ＝45，q ＝44，故p ＋q ＝45＋44＝89. 答案：896．某种商品进价每个80元，零售价每个100元．为了促进销售，拟采用每买一个这样的商品，赠送一个小礼品的办法．实验表明，礼品价值为1元时，销售量增加10%，且在一定的范围内，礼品价值为n ＋1元时，比礼品价值为n 元时(n ∈N )的销售量增加10%，请你设计礼品的价值以获得最大利润．解：设未赠礼品时，销售量为a ，赠礼品价值为n 元时，销售量为a n ，此时每个获利(100－80－n )元，依题意有a n ＝a (1＋10%)n ，所以总利润为P n ＝a n (100－80－n )＝a (20－n )·1.1n ，要获利，必须0≤n <20，n ∈Z ， ∵P n ＋1P n ＝1.1×19－n 20－n ＝209－11n 200－10n ，∴当0≤n <9时，P n ＋1P n >1；当n ＝9时，P n ＋1P n ＝1；当9<n <20时，P n ＋1P n<1.∴0<P 1<P 2<…<P 8<P 9＝P 10>P 11>…>P 20＝0 即n ＝9或10时，P n 最大．故赠送礼品为9元或10元时，获利最大．7．某生产流水线，由于改进了设备，预计第一年产量的增长率为160%，以后每年的增长率是前一年的一半，设原来的产量为a .(1)写出改进设备后的第一年，第二年，第三年的产量，并猜想出第n 年与第n －1年(n ≥2，n ∈N )的产量之间的关系式；(2)由于设备不断老化，估计每年将损失年产量的5%，如此下去，以后每年的产量是否始终是逐年提高？若是，请给予证明；若不是，请说明从第几年起，产量将比上一年减少．解：(1)设改进设备后，每年的产量依次构成数列{a n }，则a 1＝a (1＋160%)，a 2＝a 1(1＋160%×12)，a 3＝a 2[1＋160%×(12)2]，…… 由上可猜想，当n ≥2时，a n ＝a n －1[1＋160%×(12)n －1]＝a n －1(1＋24－n 5)． (2)依题意，a n ＝a n －1(1＋24－n5)(1－5%) 令a na n －1>1，即(1＋24－n 5)(1－5%)>1，即24－n >519>520＝14＝2－2，即n <6.∴当1≤n ≤5时，a n >a n －1；当n ≥6时，a n <a n －1. 故从第6年起每年产量均比上一年减少．拓展要求雪花曲线是一种模样古怪的曲线，但它是真实存在的．这条曲线可以从一个等边三角形开始来画．你可以想像，有一位可爱的小天使正在画雪花曲线．她把一个蓝色的等边三角形的每边分成相同的三份，再在中间的那个三分之一上向外画出一个粉红色的等边三角形，这样一来就做成了一个六角星，六角星的每一条边再向外画一个绿色等边三角形，…，以此类推．设第n 个雪花曲线的边数为a n ，则a 3＝________，a n ＋1与a n 的关系是________．图8—1解析：a1＝3，a2＝3×4，a3＝3×42，…，a n＋1＝4a n.答案：48a n＋1＝4a n由Ruize收集整理。

高中数学必修5人教A教学同步练习及答案2.1.1数列的概念与简单表示法作业

2. 1数列的概念与简单表示法1、下列说法正确的是 ( )A. 数列1,3,5,7可表示为{}7,5,3,1B. 数列1,0,2,1--与数列1,0,1,2--是相同的数列C. 数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+n n 1的第k 项是k 11+ D.数列可以看做是一个定义域为正整数集*N 的函数2、数列 ,28,21,,10,6,3,1x 中,由给出的数之间的关系可知x 的值是( ) A.12 B.15 C.17 D.183、已知数列的通项公式为1582+-=n n a n ,则3 ( )A. 不是数列{}n a 中的项B. 只是数列{}n a 中的第2项C.只是数列{}n a 中的第6项D.是数列{}n a 中的第2项或第6项4、数列{}n a 的通项公式为n n a n 2832-=,则数列{}n a 各项中最小项是 ( )A. 第4项B.第5项C.第6项D.第7项5、已知数列 ,12,,7,5,3,1-n ,则53是它的 ( ) A. 第22项 B. 第23项 C.第24项 D.第28项6、已知031=--+n n a a ,则数列{}n a 是 ( )A. 递增数列B. 递减数列C.常数列D.摆动数列7、已知数列() ,11,,91,41,12nn ---,它的第5项的值为 ( ) A. 51 B. 51- C.251 D.251- 8、数列 ,1,0,1,0,1的一个通项公式是 ( ) A. ()2111+--=n n a B. ()2111+-+=n n a C. ()211--=n n a D. ()211n n a ---=9、用适当的数填空:①2,1, ,41,81, ,321 ②,25,16,9,4,1--- ,49-③1,9,25, ,81④1,0,21,0,31,0, ,0,51,0 10、写出以下各数列的通项公式: ① ,81,41,21,1--② ,1,0,1,0,1,0 ③ ,544,433,322,211④ ,6,7,8,9,10 ⑤ ,31,17,7,5,1 ⑥,6463,3635,1615,43 ⑦ ,301,201,121,61,21 ⑧ ,9999,999,99,9 11、数列{}n a 中,已知()*2,31N n n n a n ∈-+=。

高中数学必修5课后习题答案(共10篇)

高中数学必修5课后习题答案(共10篇)高中数学必修5课后习题答案（一）: 人教版高一数学必修5课后习题答案课本必修5,P91练习2,P93习题A组3和B组3,全部都是线性规划问题, 生产甲乙两种适销产品，每件销售收入分别为3000元，2023元。

甲乙产品都需要A、B两种设备上加工，每台A、B设备上加工1件甲设备工时分别为1h，2h，加工乙设备工时2h,1h，A、B两种设备每月有效使用台时数分别为400h和500h，如何安排生产可使收入最大？2.电视台应某企业之约播放两套电视剧，其中，连续剧甲每次播放时间为80分钟，其中广告时间为1分钟，收视观众为60万；连续剧乙每次播放时间为40分钟，广告时间1分钟，收视观众20万。

已知和电视台协议，要求电视台每周至少播放6分钟广告，二电视台每周只能为该企业提供不多于320分钟的节目时间。

如果你是电视台制片人，电视台每周应播映两套连续剧各多少次，才能获得更高的收视率？P91练习 2 答案：解设每月生产甲商品x件,生产乙商品y件,每月收入z元,目标函数z=3X+2y,需要满足的条件是：x+2y≤400 2X+y≤500 x≥0 y≥0作图略作直线z=3x+2y,当直线经过A点时,z 取最大值解方程组{x+2y=400 2x+y=500 可取点A 《200,100》所以z的最大值为800高中数学必修5课后习题答案（二）: 高一人教版数学必修5课后习题答案知道下列各项·写出同项公式1,√2/2,1/2,√2/4 1/4关于数列问题1,√2/2=1*√2/2,1/2=1*（√2/2）^2,√2/4=1*(√2/2)^31/4=1*(√2/2)^4……所以是以首项为1,公比为√2/2的等比数列An=(√2/2)^（n-1）高中数学必修5课后习题答案（三）: 高中数学必修5课后习题1.1A组第一第二题答案要有步骤解三角形A=70° B=30° c=20cm b=26cm c=15cm C=23° a=15cm，b=10cm，A=60° b=40cm，c=20cm，C=25°1.180°--70° --30° =80°所以角C=80°然后用正弦定理2.还是正弦定理3.还是正弦定理4.还是正弦定理很简单的正弦定理a比上sinA=b比上sinB=c比上sinCa是边长,A是角高中数学必修5课后习题答案（四）: 数学必修五课后习题答案数学必修五第五页（也可能是第四页）课后习题答案,要有解题过程,大神们呐,帮帮我吧参考书里没有解题过程!2在三角形ABC中，已知下列条件，解三角形(1)a=20cm,b=11cm,B=30°(2)c=54cm,b=39cm,C=115°画图题2个题做法基本一样比如第1小题,先根据已知角度画出已知角B,然后以角点B为圆心,以20为半径画圆弧,和B的某一线相交一点C,再以该点为圆心,以11cm为半径画圆弧,和B角的另一角边相交,这样得到A点,到此,三角形就画好了.高中数学必修5课后习题答案（五）: 数学必修5练习x^2-(2m+1)x+m^2+m分析x -(2m+1)x+m +m高中数学必修5课后习题答案（六）: 高一数学必修5解三角形正弦定理课后练习B组第一题(1) a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC; (2) sinA :sinB :sinC = a :b :c;高中数学必修5课后习题答案（七）: 高二数学必修5答案,人民教育出版社的,习题2—3A的练习题,P51页,急用,我的同学瞧不起我,我非要做个全对不可,可我数学一点都不好,我不想就这样被同学踩在脚底下,希望谁有答案,帮忙写一下,拜托了,我先拿30分,不够的话,再说.看看这个,参考参考.高中数学必修5课后习题答案（八）: 高中数学必修5第三章不等式复习参考题答案【高中数学必修5课后习题答案】有本书叫《中学教材全解》,是陕西出版社的金星教育那上面有详细的解答准确度很高同时发几个网址,看有没有你需要的高中数学必修5复习题及答案（A组）人教版高中数学必修模块（1-5）全部精品课件集高中数学必修5课后习题答案（九）: 高一数学作业本必修5的题目..11.(1)已知x＞0,y>0．且(1/x)+(9/y)=1.求x+y的最大值．（2）已知x【高中数学必修5课后习题答案】11.(1) (1/x+1/y)*(x+y)=1+9+9x/y+y/x=10+9x/y+y/x9x/y+y/x>=2√9x/y*y/x1/x+9/y>=16(2)y=4x-5+1/(4x-5)+3>=2√(4x-5)*1/(4x-5）+3>=5(3)跟第一题是一样的,就是除以xy,答案是18高中数学必修5课后习题答案（十）: 人教版数学必修5习题2.2B组1答案求高中数学必修5的40页B组第一题的答案.（1）从表看出,基本是一个等差数列,d=2023,a2023=a2023+8d=0.26x10^5,在加上原有的9x10^5,答案为：9.26x10^5.(2)2023年底,小于8x10^5hm略。

人教A数学必修5_高中同步测试卷(五)单元检测数列的概念及表示方法和等差数列

高中同步测试卷(五)单元检测数列的概念及表示方法和等差数列(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知数列{a n }的首项为a 1＝1，且满足a n ＋1＝12a n ＋12n ，则此数列的第4项是( )A ．1 B.12 C.34 D.582．在数列－1，0，19，18，…，n －2n2，…中，0.08是它的( )A ．第100项B ．第12项C ．第10项D ．第8项3．已知等差数列{a n }中各项都不相等，a 1＝2，且a 4＋a 8＝a 23，则d ＝( ) A ．0 B.12 C ．2 D ．0或124．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若2a 6＝a 8＋6，则S 7＝( )A ．49B ．42C ．35D ．285．在等差数列{a n }中，若a 1，a 2017为方程x 2－10x ＋16＝0的两根，则a 2＋a 1 009＋a 2 016＝( )A ．10B ．15C ．20D ．406．把70个面包分五份给5个人，使每人所得的面包个数成等差数列，且使较大的三份之和的16是较小的两份之和，则最小的一份面包的个数为( )A ．2B ．8C ．14D ．207．由1，3，5，…，2n －1，…构成数列{a n }，数列{b n }满足b 1＝2，当n ≥2时，b n ＝ab n －1，则b 6的值是( )A ．9B ．17C ．33D ．658．已知数列{a n }是等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，{a n }的前n 项和为S n ，则使得S n 达到最大的n 是( )A ．18B ．19C ．20D ．219．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（3－a ）x －3（x ≤7），a x －6（x ＞7），数列{a n }满足a n ＝f (n )，n ∈N *，且数列{a n }是递增数列，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫94，3B.⎣⎡⎭⎫94，3 C ．(1，3) D ．(2，3) 10．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2＋kn ＋2，若对于n ∈N *，都有a n ＋1＞a n 成立，则实数k 的取值范围是( )A ．(0，＋∞)B ．(－1，＋∞)C ．(－2，＋∞)D ．(－3，＋∞)11．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5＝5，S 5＝15，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前100项和为( )A.100101B.99101C.99100D.10110012．已知数列{a n }满足a 1＝1，且对任意的m ，n ∈N *都有a m ＋n ＝－a n ＋a m ＋m ，则1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a 2 017＝( ) A ．2 017 B.12 017 C ．－2 017 D ．－12 017二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．在数列1，1，2，3，5，8，x ，21，34，55中，x ＝________．14．已知数列{a n }满足a 1＝0，a n ＋1＝a n －33a n ＋1(n ∈N *)，则a 20＝________． 15．已知等差数列的前三项依次是m ，6m ，m ＋10，则这个等差数列的第10项是________． 16．等差数列{a n }中，a 5＋a 6＝4，则log 2(2a 1·2a 2·…·2a 10)＝________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＋2a n a n ＋1－a n ＝0. (1)写出数列的前5项；(2)由(1)写出数列{a n }的一个通项公式；(3)实数199是否为这个数列中的一项？若是，应为第几项？18．(本小题满分12分)已知数列{a n }是等差数列，c n ＝a 2n －a 2n ＋1(n ∈N *)．(1)判断数列{c n }是否为等差数列，并说明理由；(2)如果a 1＋a 3＋…＋a 25＝130，a 2＋a 4＋…＋a 26＝117，试求数列{a n }的公差d 及通项公式．19.(本小题满分12分)已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝2a na n ＋2. (1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是否为等差数列？说明理由；(2)求数列{a n }的通项公式；(3)若数列{b n }的前n 项和S n ＝8a 2n－n ＋1，求数列{b n }的通项公式．20．(本小题满分12分)设等差数列的前n 项和为S n .已知a 3＝12，S 12＞0，S 13＜0. (1)求公差d 的取值范围；(2)指出S 1，S 2，…，S 12中哪一个值最大，并说明理由．21.(本小题满分12分)已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，以后各项由a n ＝a n －1＋a n －2(n ≥3)给出．(1)写出此数列的前5项；(2)通过公式b n ＝a na n ＋1构造一个新的数列{b n }，写出数列{b n }的前4项．22．(本小题满分12分)已知数列{a n }满足a 1＝a ，a n ＋1＝1＋1a n，我们知道当a 取不同的值时，得到不同的数列，如当a ＝1时，得到无穷数列：1，2，32，53，…；当a ＝－12时，得到有穷数列：－12，－1，0.(1)当a 为何值时，a 4＝0?(2)设数列{b n }满足b 1＝－1，b n ＋1＝1b n －1，求证：a 取数列{b n }中的任一个数，都可以得到一个有穷数列{a n }．参考答案与解析1．【解析】选B.因为a 1＝1，a n ＋1＝12a n ＋12n ，所以a 2＝12a 1＋12＝1，a 3＝12a 2＋14＝34，a 4＝12a 3＋18＝12. 2．【解析】选C.因为a n ＝n －2n 2，令n －2n 2＝0.08，解得n ＝10或n ＝52(舍去)．3．【解析】选B.由已知得a 1＋3d ＋a 1＋7d ＝(a 1＋2d )2，即2a 1＋10d ＝a 21＋4a 1d ＋4d 2.又a 1＝2，所以4d 2－2d ＝0，所以2d (2d －1)＝0，所以d ＝0或d ＝12.又因为{a n }中各项都不相等，所以d ＝12.4．【解析】选B.因为数列{a n }是等差数列，所以2a 6＝a 4＋a 8＝a 8＋6，所以a 4＝6，所以S 7＝7（a 1＋a 7）2＝7×2a 42＝7×a 4＝7×6＝42.5．【解析】选B.由题意知a 1＋a 2 017＝a 2＋a 2 016＝2a 1 009＝10，解得a 1 009＝5，所以a 2＋a 1 009＋a 2 016＝3a 1 009＝15，故选B.6．【解析】选A.设等差数列为{a n }，首项为a 1，公差为d ＞0，则有⎩⎨⎧16（a 3＋a 4＋a 5）＝a 1＋a 2，5a 1＋5×42×d ＝70，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，d ＝6.7．【解析】选C.因为a n ＝2n －1，b 1＝2，b n ＝ab n －1＝2b n －1－1，所以b 2＝2b 1－1＝3，b 3＝2b 2－1＝5，b 4＝2b 3－1＝9，b 5＝2b 4－1＝17，b 6＝2b 5－1＝33.8．【解析】选C.由a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，两式相减得3d ＝－6，即d ＝－2.又a 1＋a 3＋a 5＝105，所以a 1＝39，所以S n ＝39n －n (n －1)＝－(n －20)2＋400，所以当n ＝20时，S n 有最大值400，故选C.9．【解析】选D.因为数列{a n }是递增数列，又a n ＝f (n )(n ∈N *)，所以⎩⎪⎨⎪⎧3－a ＞0，a ＞1，f （8）＞f （7）⇒2＜a ＜3.10．【解析】选D.由a n ＋1＞a n ，得(n ＋1)2＋k (n ＋1)＋2＞n 2＋kn ＋2，所以k ＞－(2n ＋1)．因为当n ＝1时，－(2n ＋1)取得最大值－3，只要k ＞－3，则都有a n ＋1＞a n .11．【解析】选A.由a 5＝5，S 5＝15，得a 1＝1，d ＝1，所以a n ＝1＋(n －1)＝n ，所以1a n a n ＋1＝1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1， 1a 1a 2＋…＋1a 100a 101＝1－12＋12－13＋…＋1100－1101＝1－1101＝100101. 12．【解析】选A.令m ＝1，得a n ＋1＝－a n ＋a 1＋1，即a n ＋1＝－a n ＋1＋1，于是a n ＋1＝2－a n ，因此a 2＝2－a 1＝1，a 3＝2－a 2＝1，a 4＝2－a 3＝1，…，即a n ＝1，所以1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a 2 017＝2 017，故选A. 13．【解析】因为数列从第三项开始每一项都等于它前面两项的和．所以x ＝5＋8＝13. 【答案】1314．【解析】由a 1＝0，a n ＋1＝a n －33a n ＋1(n ∈N *)知：a 2＝a 1－33a 1＋1＝－3，a 3＝a 2－33a 2＋1＝3，a 4＝a 3－33a 3＋1＝0，…，每3项一循环，故a 20＝a 6×3＋2＝a 2＝－ 3. 【答案】－ 315．【解析】由已知得12m ＝2m ＋10，所以m ＝1，故a 1＝1，a 2＝6，a 3＝11，所以d ＝5，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝1＋5(n －1)＝5n －4，所以a 10＝5×10－4＝46. 【答案】4616．【解析】log 2(2 a 1·2 a 2·…·2 a 10)＝log 22a 1＋a 2＋…＋a 10＝a 1＋a 2＋…＋a 10＝10（a 1＋a 10）2＝10×（a 5＋a 6）2＝10×42＝20.【答案】2017．【解】(1)由已知可得a 1＝1，a 2＝13，a 3＝15，a 4＝17，a 5＝19.(2)由(1)可得数列的每一项的分子均为1，分母分别为1，3，5，7，9，…，所以它的一个通项公式为a n ＝12n －1.(3)令199＝12n －1，解得n ＝50，故199是这个数列的第50项．18．【解】(1)设数列{a n }的公差为d ，则c n ＋1－c n ＝(a 2n ＋1－a 2n ＋2)－(a 2n －a 2n ＋1) ＝2a 2n ＋1－(a n ＋1－d )2－(a n ＋1＋d )2＝－2d 2，所以数列{c n }是以－2d 2为公差的等差数列．(2)因为a 1＋a 3＋…＋a 25＝130，a 2＋a 4＋…＋a 26＝117，两式相减得13d ＝－13，所以d ＝－1，因为a 1＋a 3＋…＋a 25＝130，所以13a 13＝130，所以a 13＝10＝a 1＋12d ＝a 1－12，所以a 1＝22，所以a n ＝22＋(n －1)×(－1)＝23－n .19．【解】(1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列，理由如下：因为a 1＝2，a n ＋1＝2a n a n ＋2，所以1a n ＋1＝a n ＋22a n ＝12＋1a n ，所以1a n ＋1－1a n ＝12，即⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为1a 1＝12，公差为d ＝12的等差数列．(2)由(1)知1a n ＝1a 1＋(n －1)d ＝12＋n －12＝n2，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n .(3)因为a n ＝2n，所以S n ＝8a 2n －n ＋1＝8⎝⎛⎭⎫n 22－n ＋1＝2n 2－n ＋1.当n ＝1时，b 1＝S 1＝2×12－1＋1＝2；当n ≥2时，b n ＝S n －S n －1＝2n 2－n ＋1－[2(n －1)2－(n －1)＋1]＝4n －3，所以数列{b n }的通项公式为b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝14n －3，n ≥2.20．【解】(1)依题意⎩⎨⎧S12＝12a 1＋12×112d ＞0，S13＝13a 1＋13×122d ＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋11d ＞0，①a 1＋6d ＜0.② 由a 3＝12，得a 1＋2d ＝12.③把③分别代入①②，得⎩⎪⎨⎪⎧24＋7d ＞0，3＋d ＜0，解得－247＜d ＜－3，即公差d 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－247，－3. (2)法一：由d ＜0可知{a n }是递减数列，因此若在1≤n ≤12中，使a n ＞0且a n ＋1＜0，则S n 最大．由于S 12＝6(a 6＋a 7)＞0，S 13＝13a 7＜0，可得a 6＞－a 7＞0，a 7＜0，故在S 1，S 2，…，S 12中S 6的值最大．法二：S n ＝na 1＋n （n －1）2d＝n (12－2d )＋n （n －1）2d＝d 2⎣⎡⎦⎤n －12⎝⎛⎭⎫5－24d 2－ d 2⎣⎡⎦⎤12⎝⎛⎭⎫5－24d 2，因为d ＜0，所以⎣⎡⎦⎤n －12⎝⎛⎭⎫5－24d 2最小时，S n 最大．因为－247＜d ＜－3，6＜12⎝⎛⎭⎫5－24d ＜132，所以当n ＝6时，⎣⎡⎦⎤n －12⎝⎛⎭⎫5－24d 2最小，S 6最大． 21．【解】(1)因为a n ＝a n －1＋a n －2(n ≥3)，且a 1＝1，a 2＝2，所以a 3＝a 2＋a 1＝3， a 4＝a 3＋a 2＝3＋2＝5， a 5＝a 4＋a 3＝5＋3＝8. 故数列{a n }的前5项依次为a 1＝1，a 2＝2，a 3＝3，a 4＝5，a 5＝8.(2)因为b n ＝a na n ＋1，且a 1＝1，a 2＝2，a 3＝3，a 4＝5，a 5＝8，所以b 1＝a 1a 2＝12，b 2＝a 2a 3＝23，b 3＝a 3a 4＝35，b 4＝a 4a 5＝58.故b 1＝12，b 2＝23，b 3＝35，b 4＝58.22．【解】(1)法一：因为a 1＝a ，a n ＋1＝1＋1a n，所以a 2＝1＋1a 1＝1＋1a ＝a ＋1a ，a 3＝1＋1a 2＝2a ＋1a ＋1，a 4＝1＋1a 3＝3a ＋22a ＋1.故当a ＝－23时，a 4＝0.法二：因为a 4＝0，所以1＋1a 3＝0，得a 3＝－1.因为a 3＝1＋1a 2，所以a 2＝－12.因为a 2＝1＋1a ，所以a ＝－23.故当a ＝－23时，a 4＝0.(2)证明：因为b 1＝－1，b n ＋1＝1b n －1，所以b n ＝1b n ＋1＋1.a 取数列{b n }中的任一个数，不妨设a ＝b n . 因为a 1＝a ＝b n ，所以a 2＝1＋1a 1＝1＋1b n ＝b n －1，所以a 3＝1＋1a 2＝1＋1b n －1＝b n －2，…，所以a n ＝1＋1a n －1＝1＋1b 2＝b 1＝－1.所以a n ＋1＝0.故a 取数列{b n }中的任一个数，都可以得到一个有穷数列{a n }．。

新人教版高中数学必修5全册同步课时作业含解析答案

新人教版高中数学必修5全册同步课时作业（含解析答案）目录课时作业1 正弦定理第1课时课时作业2 正弦定理第2课时课时作业3 余弦定理课时作业4 正、余弦定理习题课课时作业5 应用举例第1课时课时作业6 应用举例第2课时）正、余弦定理的综合应用课时作业7 数列的概念与简单表示法课时作业8 数列的性质和递推公式课时作业9 等差数列第1课时课时作业10 等差数列第2课时课时作业11 等差数列第3课时课时作业12 等差数列的前n项和第1课时课时作业13 等差数列的前n项和第2课时课时作业14 等差数列的前n项和第3课时课时作业15 等比数列第1课时课时作业16 等比数列第2课时课时作业17 等比数列的前n项和第1课时课时作业18 等比数列的前n项和第2课时课时作业19 专题研究一数列通项的求法课时作业20 专题研究二特殊数列求和方法课时作业21 专题研究三数列的实际应用课时作业22 不等关系与不等式课时作业23 一元二次不等式及其解法第1课时课时作业24 一元二次不等式及其解法第2课时课时作业25 二元一次不等式组）表示的平面区域课时作业26 简单的线性规划问题第1课时课时作业27 简单的线性规划问题第2课时课时作业28 简单的线性规划问题课时作业29 基本不等式 ab≤a＋b2 第1课时课时作业30 基本不等式 ab≤a＋b2 第2课时课时作业31 基本不等式1课时作业32 基本不等式2课时作业1 正弦定理（第1课时）1．在△ABC 中，下列等式中总能成立的是( ) A ．a sin A ＝b sin B B ．b sin C ＝c sin A C ．ab sin C ＝bc sin B D ．ab sin C ＝bc sin A答案 D2．在△ABC 中，a ＝4，A ＝45°，B ＝60°，则边b 的值为( ) A.3＋1 B ．23＋1 C ．2 6 D ．2＋2 3答案 C3．在△ABC 中，sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，则△ABC 为( ) A ．直角三角形 B ．等腰直角三角形 C ．等边三角形D ．等腰三角形答案 A4．在△ABC 中，若sin A a ＝cos Bb，则∠B 的值为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°答案 B解析 ∵sin A a ＝sin B b ，∴cos B b ＝sin B b，∴cos B ＝sin B ，从而tan B ＝1，又0°<B <180°，∴B ＝45°.5．(2013·湖南)在△ABC 中，若3a ＝2b sin A ，则B 为( ) A.π3B.π6C.π3或23π D.π6或56π 答案 C解析由3a ＝2b sin A ，得3sin A ＝2sin B ·sin A . ∴sin B ＝32.∴B ＝π3或2π3. 6．在△ABC 中，A ∶B ∶C ＝4∶1∶1，则a ∶b ∶c 为( ) A ．3∶1∶1 B ．2∶1∶1 C.2∶1∶1 D.3∶1∶1答案 D解析由已知得A ＝120°，B ＝C ＝30°，根据正弦定理的变形形式，得a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶1∶1. 7．以下关于正弦定理的叙述或变形中错误．．的是( ) A ．在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C B ．在△ABC 中，a ＝b ⇔sin2A ＝sin2BC ．在△ABC 中，a sin A ＝b ＋c sin B ＋sin CD ．在△ABC 中，正弦值较大的角所对的边也较大答案 B解析对于B 项，当a ＝b 时，sin A ＝sin B 且cos A ＝cos B ，∴sin2A ＝sin2B ，但是反过来若sin2A ＝sin2B .2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，即A ＝B 或A ＋B ＝π2.不一定a ＝b ，∴B 选项错误．8．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，如果c ＝3a ，B ＝30°，那么角C 等于( )A ．120°B ．105°C ．90°D ．75°答案 A9．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝2，b ＝2，sin B ＋cos B ＝2，则角A 的大小为________．答案π6解析由sin B ＋cos B ＝2sin(B ＋π4)＝2，得sin(B ＋π4)＝1，所以B ＝π4.由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin A ＝a sin B b ＝2·si nπ42＝12，所以A ＝π6或5π6(舍去)． 10．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若a ＝1，b ＝3，A ＋C ＝2B ，则sin A ＝________.答案 12解析由A ＋C ＝2B ，且A ＋B ＋C ＝180°，得B ＝60°，由正弦定理，得3sin60°＝1sin A ，∴sin A ＝12.11．(2012·福建)在△ABC 中，已知∠BAC ＝60°，∠ABC ＝45°，BC ＝3，则AC ＝________.答案 2解析如图所示，由正弦定理，得AC sin B ＝BC sin A ，即AC sin45°＝3sin60°，即AC22＝332，故AC ＝ 2. 12．(2012·北京)在△ABC 中，若a ＝3，b ＝3，∠A ＝π3，则∠C 的大小为________．答案π2解析由正弦定理，得a sin ∠A ＝bsin ∠B .从而332＝3sin ∠B，即sin ∠B ＝12.∴∠B ＝30°或∠B ＝150°.由a >b 可知∠B ＝150°不合题意，∴∠B ＝30°. ∴∠C ＝180°－60°－30°＝90°.13．已知三角形的两角分别是45°、60°，它们夹边的长是1，则最小边长为________．答案3－114．在△ABC 中，若tan A ＝13，C ＝150°，BC ＝1，则AB ＝________.答案10215．△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，则a (sin C －sin B )＋b (sin A －sin C )＋c (sin B －sin A )＝________.答案 0解析 ∵a sin A ＝bsin B ，∴a sin B ＝b sin A .同理可得a sin C ＝c sin A 且b sin C ＝c sin B .∴原式＝0.16．已知在△ABC 中，c ＝10，A ＝45°，C ＝30°，求a 、b 和B . 答案 a ＝10 2 b ＝5(6＋2) B ＝105°17．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，求a 的值．答案2解析由正弦定理，得6sin120°＝2sin C ，∴sin C ＝12.又∵C 为锐角，则C ＝30°，∴A ＝30°. ∴△ABC 为等腰三角形，a ＝c ＝ 2.18．已知在△ABC 中，∠A ＝45°，a ＝2，c ＝6，解此三角形．解析由正弦定理a sin A ＝csin C ，得 sin C ＝62sin45°＝62×22＝32. 因为∠A ＝45°，c >a ，所以∠C ＝60°或120°. 所以∠B ＝180°－60°－45°＝75° 或∠B ＝180°－120°－45°＝15°. 又因为b ＝a sin Bsin A，所以b ＝3＋1或3－1. 综上，∠C ＝60°，∠B ＝75°，b ＝3＋1 或∠C ＝120°，∠B ＝15°，b ＝3－1. ►重点班·选作题19．下列判断中正确的是( )A ．当a ＝4，b ＝5，A ＝30°时，三角形有一解B ．当a ＝5，b ＝4，A ＝60°时，三角形有两解C ．当a ＝3，b ＝2，B ＝120°时，三角形有一解D ．当a ＝322，b ＝6，A ＝60°时，三角形有一解答案 D20．△ABC 的外接圆半径为R ，C ＝60°，则a ＋bR的取值范围是( ) A ．[3，23] B ．[3，23) C ．(3，23] D ．(3，23)答案 C课时作业2 正弦定理（第2课时）1．在△ABC 中，a ＝2b cos C ，则这个三角形一定是( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等腰或直角三角形答案 A2．已知△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，且B ＝30°，则△ABC 的面积等于( ) A.32B.34C.32或 3 D.34或32 答案 D3．在△ABC 中，a ＝15，b ＝10，A ＝60°，则cos B ＝( ) A ．－223B.223 C ．－63D.63答案 D解析依题意得0°<B <60°，a sin A ＝b sin B ，sin B ＝b sin A a ＝33，cos B ＝1－sin 2B ＝63，选D.4．(2013·山东)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若B ＝2A ，a ＝1，b ＝3，则c ＝( ) A ．2 3 B ．2 C. 2 D ．1答案 B解析由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得1sin A ＝3sin B.又∵B ＝2A ，∴1sin A ＝3sin2A ＝32sin A cos A .∴cos A ＝32，∴∠A ＝30°，∴∠B ＝60°，∠C ＝90°. ∴c ＝12＋32＝2.5．(2013·陕西)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定答案 B解析 ∵b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，由正弦定理，得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ，∴sin(B ＋C )＝sin 2A ，即sin A ＝sin 2A .又∵sin A >0，∴sin A ＝1，∴A ＝π2，故△ABC 为直角三角形．6．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知A ＝60°，a ＝3，b ＝1，则c 等于( )A ．1B ．2 C.3－1 D. 3答案 B7．已知△ABC 的面积为32，且b ＝2，c ＝3，则( )A ．A ＝30°B ．A ＝60°C ．A ＝30°或150°D ．A ＝60°或120° 答案 D8．已知三角形面积为14，外接圆面积为π，则这个三角形的三边之积为( )A ．1B ．2 C.12 D ．4 答案 A9．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝3，b ＝2，则B 等于( ) A ．45°或135° B ．60° C ．45° D ．135° 答案 C10．若△ABC 的面积为3，BC ＝2，C ＝60°，则边AB 的长度为________．答案 211．△ABC 中，若a cos A 2＝b cos B 2＝ccos C 2，则△ABC 的形状是________．答案等边三角形12．在△ABC 中，lg(sin A ＋sin C )＝2lgsin B －lg(sin C －sin A )，则该三角形的形状是________．答案直角三角形解析由已知条件lg(sin A ＋sin C )＋lg(sin C －sin A )＝lgsin 2B ， ∴sin 2C －sin 2A ＝sin 2B ，由正弦定理，可得c 2＝a 2＋b 2. 故三角形为直角三角形．13．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，B ＝π3，cos A ＝45，b ＝ 3.(1)求sin C 的值； (2)求△ABC 的面积．答案 (1)3＋4310 (2)36＋935014．在△ABC 中，若b 2sin 2C ＋c 2sin 2B ＝2bc cos B cosC ，试判断三角形的形状．解析由正弦定理asin A＝bsin B＝csin C＝2R (R 为△ABC 外接圆半径)．将原等式化为8R 2sin 2B sin 2C ＝8R 2sin B sin C cos B cos C .∵sin B ·sin C ≠0，∴sin B sin C ＝cos B cos C . 即cos(B ＋C )＝0.∴B ＋C ＝90°，即A ＝90°. 故△ABC 为直角三角形．15．在△ABC 中，求证：cos2A a 2－cos2B b 2＝1a 2－1b2.证明 ∵左边＝1－2sin 2A a 2－1－2sin 2Bb2＝1a 2－1b 2－2(sin 2A a 2－sin 2B b2)，由正弦定理，得a sin A ＝bsin B ，∴sin 2A a 2－sin 2Bb2＝0.∴原式成立． ►重点班·选作题16．在△ABC 中，sin A ＝34，a ＝10，边长c 的取值范围是( )A ．(152，＋∞)B ．(10，＋∞)C ．(0,10)D ．(0，403]答案 D17．(2012·浙江)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A ＝23，sin B＝5cos C .(1)求tan C 的值；(2)若a ＝2，求△ABC 的面积．解析 (1)因为0<A <π，cos A ＝23，得sin A ＝1－cos 2A ＝53. 又5cos C ＝sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝53cos C ＋23sin C ，所以tan C ＝ 5. (2)由tan C ＝5，得sin C ＝56，cos C ＝16.于是sin B ＝5cos C ＝56.由a ＝2及正弦定理a sin A ＝csin C ，得c ＝ 3.设△ABC 的面积为S ，则S ＝12ac sin B ＝52.1．在△ABC 中，若b ＝1，c ＝3，∠C ＝2π3，则a ＝________.答案 1解析在△ABC 中，由正弦定理，得1sin B＝3sin2π3，解得sin B ＝12，因为b <c ，故角B 为锐角，所以B ＝π6，则A ＝π6.再由正弦定理或等腰三角形性质可得a ＝1.课时作业3 余弦定理1．在△ABC 中，sin 2A ＝sin 2B ＋sin B sinC ＋sin 2C ，则A 等于( ) A ．30° B ．60° C ．120°D ．150°答案 C解析由正弦定理，得a 2＝b 2＋bc ＋c 2，由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－bc 2bc ＝－12.∴A ＝120°.2．若a ，b ，c 是△ABC 的三边，且c a 2＋b2>1，则△ABC 一定是( ) A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．锐角三角形 D ．钝角三角形答案 D 解析 ∵c a 2＋b2>1，即a 2＋b 2<c 2，a 2＋b 2－c 2<0，于是cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab<0.∴∠C 为钝角，即得△ABC 为钝角三角形．3．边长5、7、8的三角形的最大角与最小角的和是( ) A ．90° B ．120° C ．135° D ．150°答案 B解析设中间的角大小为B ，由余弦定理，求得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝52＋82－722×5×8＝12.而0<B <π，∴B ＝π3.∴最大角与最小角的和是π－π3＝2π3＝120°.4．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a 等于( )A. 6 B ．2 C. 3 D. 2答案 D5．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A ＝( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°答案 A解析由sin C ＝23sin B ，可得c ＝23b ，由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝－3bc ＋c 22bc ＝32，于是A ＝30°，故选A.6．在△ABC 中，已知a ∶b ∶c ＝3∶5∶7，则这个三角形最大角的外角是( ) A ．30° B ．60° C ．90° D ．120°答案 B解析 ∵a ∶b ∶c ＝3∶5∶7，∴可令a ＝3x ，b ＝5x ，c ＝7x (x >0)，显然c 边最大．∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝9x 2＋25x 2－49x 22·3x ·5x ＝－12.∴C ＝120°，∴其外角为60°.7．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则角B 的值为( )A.π6B.π3 C.π6或5π6D.π3或2π3答案 D解析本题考查边角关系中余弦定理的应用．解斜三角形问题的关键是充分挖掘题中边角特征，选择合理的定理求解．因此(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，所以由余弦定理cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，得sin B ＝32，选D. 8．在△ABC 中，已知a cos A ＋b cos B ＝c cos C ，则△ABC 是( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等边三角形答案 B解析由a cos A ＋b cos B ＝c cos C ，得a ·b 2＋c 2－a 22bc ＋b ·a 2＋c 2－b 22ac ＝c ·b 2＋a 2－c 22ab，化简得a 4＋2a 2b 2＋b 4＝c 4，即(a 2＋b 2)2＝c 4.∴a 2＋b 2＝c 2或a 2＋b 2＝－c 2(舍去)．故△ABC 是直角三角形．9．若将直角三角形的三边增加同样的长度，则新三角形的形状是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．由增加的长度确定答案 A10．在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝4，C ＝60°，则A ＝________. 答案 30°11．(2012·湖北)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，则角C ＝________.答案2π3解析 ∵由(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，整理可得，a 2＋b 2－c 2＝－ab ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝－ab 2ab ＝－12，∴C ＝2π3. 12．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C ，B ＝π3且AB ＝1，BC ＝4，则边BC 上的中线AD 的长为________．答案3解析在△ABD 中，B ＝π3，BD ＝2，AB ＝1，则AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD cos π3＝3.所以AD ＝ 3.13．在△ABC 中，三个角A ，B ，C 的对边边长分别为a ＝3，b ＝4，c ＝6，则bc cos A ＋ca cos B ＋ab cos C 的值为________．答案612解析由余弦定理可得bc cos A ＋ca cos B ＋ab cos C ＝b 2＋c 2－a 22＋c 2＋a 2－b 22＋a 2＋b 2－c 22＝a 2＋b 2＋c 22＝32＋42＋622＝612.14．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，已知b 2＝ac ，且a 2－c 2＝ac －bc ，求∠A 的大小及b sin Bc的值．解析 ∵b 2＝ac ，又a 2－c 2＝ac －bc ，∴b 2＋c 2－a 2＝bc .在△ABC 中，由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12，∴∠A ＝60°.在△ABC 中，由正弦定理，得sin B ＝b sin Aa. ∵b 2＝ac ，∠A ＝60°，∴b sin B c ＝b 2sin60°ca ＝sin60°＝32.故∠A ＝60°，b sin Bc 的值为32. 15．已知锐角三角形ABC 中，边a 、b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，角A 、B 满足2sin(A ＋B )－3＝0，求角C 的度数，边c 的长度及△ABC 的面积．解析由2sin(A ＋B )－3＝0，得sin(A ＋B )＝32. ∵△ABC 为锐角三角形，∴A ＋B ＝120°，∴C ＝60°. ∵a 、b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两个根， ∴a ＋b ＝23，ab ＝2.∴c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－3ab ＝12－6＝6. ∴c ＝6，S △ABC ＝12ab sin C ＝12·2·32＝32.►重点班·选作题16．设△ABC 三边长分别为15,19,23，现将三边长各减去x 后，得一钝角三角形，则x 的范围为________．答案 (3,11)解析由两边之和大于第三边，得 15－x ＋19－x >23－x ，∴x <11. ① 又因得到的三角形为钝角三角形， ∴(15－x )2＋(19－x )2<(23－x )2.即x 2－22x ＋57<0，(x －3)(x －19)<0,3<x <19.② 由①、②可得3<x <11.17．在△ABC 中，已知c 4－2(a 2＋b 2)c 2＋a 4＋a 2b 2＋b 4＝0，求角C . 解析 ∵c 4－2(a 2＋b 2)c 2＋a 4＋a 2b 2＋b 4＝0， ∴[c 2－(a 2＋b 2)]2－a 2b 2＝0，∴c 2－(a 2＋b 2)＝±ab .∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝±12，∴C ＝120°或C ＝60°.1．已知△ABC 的三个内角为A 、B 、C ，所对的三边分别为a 、b 、c ，若三角形ABC 的面积为S ＝a 2－(b －c )2，则tan A2等于________．答案 14解析本题考查余弦定理和解三角形等．由S ＝12bc sin A ，又S ＝a 2－b 2－c 2＋2bc ，由余弦定理知a 2－b 2－c 2＝－2bc ·cos A ⇒12bc sin A ＝－2bc cos A ＋2bc ⇒sin A ＝4(1－cos A )⇒2sin A 2cos A 2＝4×2sin 2A 2⇒tan A 2＝14. 2．在△ABC 中，A 、B 、C 满足A ＋C ＝2B ，且最大角与最小角的对边之比为(3＋1)∶2，求A 、B 、C 的度数．解析 ∵⎩⎪⎨⎪⎧A ＋C ＝2B ，A ＋B ＋C ＝180°，∴B ＝60°.不妨设最大角为A ，则最小角为C . 由b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得 (b c)2＝(a c)2＋1－2·a c·cos B . 将a c ＝3＋12及cos B ＝12代入，得b c ＝62. ∴sin B sin C ＝62，∴sin C ＝22.∵c <b ，∴C ＝45°，∴A ＝75°. 3．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，设f (x )＝a 2x 2－(a 2－b 2)x －4c 2. (1)若f (1)＝0且B －C ＝π3，求角C 的大小；(2)若f (2)＝0，求角C 的取值范围．解析 (1)∵f (1)＝0，∴a 2－(a 2－b 2)－4c 2＝0. ∴b 2＝4c 2，∴b ＝2c .∴sin B ＝2sin C . 又B －C ＝π3，∴sin(C ＋π3)＝2sin C .∴sin C ·cos π3＋cos C ·sin π3＝2sin C .∴32sin C －32cos C ＝0，∴sin(C －π6)＝0. 又－π6<C －π6<5π6，∴C ＝π6.(2)若f (2)＝0，则4a 2－2(a 2－b 2)－4c 2＝0.∴a 2＋b 2＝2c 2，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝c 22ab.又a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0，∴a 2＋b 2≥2ab . 即2c 2＝a 2＋b 2≥2ab ，∴ab ≤c 2. ∴cos C ≥12，∴0<C ≤π3.课时作业4 正、余弦定理习题课1．在△ABC 中，若a ＝18，b ＝24，A ＝44°，则此三角形的情况为( ) A ．无解 B ．两解C ．一解D ．解的个数不确定答案 B2．若△ABC 的内角A 、B 、C 满足6sin A ＝4sin B ＝3sin C ，则cos B 等于( ) A.154 B.34 C.31516D.1116 答案 D3．在△ABC 中，若2cos B sin A ＝sin C ，则△ABC 的形状一定是( ) A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等边三角形答案 C解析方法一在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝180°. ∴C ＝180°－(A ＋B )，∴sin C ＝sin(A ＋B )． ∴已知条件可化为2sin A cos B ＝sin C ＝sin(A ＋B )． ∴sin(A －B )＝0.又－π<A －B <π，∴A －B ＝0，∴A ＝B .∴△ABC 为等腰三角形．方法二运用正、余弦定理将角的三角函数式化为边的等式．2·a 2＋c 2－b 22ac ·a 2R ＝c 2R.整理，得a 2－b 2＝0，∴a ＝b .∴△ABC 为等腰三角形．4．在三角形ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且a >b >c ，若a 2<b 2＋c 2，则∠A 的取值范围是( )A ．(π2，π)B ．(π4，π2)C ．(π3，π2)D ．(0，π2)答案 C解析 ∵a 2<b 2＋c 2，∴b 2＋c 2－a 2>0.∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc>0.∴A <90°.又∵a 边最大，∴A 角最大．∵A ＋B ＋C ＝180°，∴3A >180°. ∴A >60°，∴60°<A <90°.5．在△ABC 中，已知(b ＋c )∶(c ＋a )∶(a ＋b )＝4∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( )A ．6∶5∶4B ．7∶5∶3C ．3∶5∶7D ．4∶5∶6答案 B解析设b ＋c ＝4k ，c ＋a ＝5k ，a ＋b ＝6k (k >0)，从而解出a ＝72k ，b ＝52k ，c ＝32k ，∴a ∶b ∶c ＝7∶5∶3.由正弦定理，得sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝7∶5∶3.6．在△ABC 中，A ∶B ＝1∶2，C 的平分线CD 把三角形面积分为3∶2两部分，则cos A ＝( )A.13 B.12 C.34 D ．0答案 C 解析∵CD 是∠C 的平分线，∴S △ACD S △BCD ＝12AC ·CD sinC 212BC ·CD sin C 2＝AC BC ＝sin B sin A ＝32. ∵B ＝2A ，∴sin B sin A ＝sin2A sin A ＝2cos A ＝32.∴cos A ＝34.7．在钝角△ABC 中，a ＝1，b ＝2，则最大边c 的取值范围是( ) A ．1<c <3B ．2<c<3C.5<c <3 D ．22<c <3答案 C8．三角形三边长为a ，b ，a 2＋ab ＋b 2(a >0，b >0)，则最大角为________．答案 120°9．在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝6，BC ＝1＋3，AD 为边BC 上的高，则AD 的长是________．答案310．已知△ABC 的面积为23，BC ＝5，A ＝60°，则△ABC 的周长是________．答案 1211．已知等腰三角形的底边长为6，一腰长为12，则它的外接圆半径为________．答案8155解析 cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝122＋122－622×12×12＝78，∴sin A ＝1－cos 2A ＝158. ∴2R ＝asin A ，R ＝a 2sin A ＝8155. 12．已知△ABC 中，∠A ＝60°，最大边和最小边的长是方程3x 2－27x ＋32＝0的两实根，那么BC 边长等于________．答案 7解析 ∵A ＝60°，所求为BC 边的长，而BC 即为角A 的对边，∴BC 边既非最大边也非最小边．不妨设最大边长为x 1，最小边长为x 2，由题意得：x 1＋x 2＝9，x 1x 2＝323. 由余弦定理，得BC 2＝x 21＋x 22－2x 1x 2cos A ＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2－2x 1x 2cos A ＝92－2×323－2×323×cos60°＝49.∴BC ＝7.13．在△ABC 中，已知BC ＝8，AC ＝5，三角形面积为12，则cos2C ＝________. 答案725解析由题意得S △ABC ＝12·AC ·BC ·sin C ＝12，即12×8×5×sin C ＝12，则sin C ＝35. cos2C ＝1－2sin 2C ＝1－2×(35)2＝725.14．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，若b ＝a cos C 且△ABC 的最大边长为12，最小角的正弦值为13.(1)判断△ABC 的形状； (2)求△ABC 的面积．解析 (1)∵b ＝a cos C ，由正弦定理，得sin B ＝sin A cos C . 由A ＋B ＋C ＝π，得sin B ＝sin[π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C )． ∴sin(A ＋C )＝sin A cos C .∴sin A cos C ＋cos A sin C ＝sin A cos C . ∴cos A sin C ＝0.∵0<A <π，0<C <π，∴sin C >0. ∴cos A ＝0，∴A ＝π2.∴△ABC 为直角三角形． (2)∵△ABC 的最大边长为12，由第(1)问知，斜边a ＝12. 又∵△ABC 的最小角的正弦值为13，∴Rt △ABC 中最短直角边长为12×13＝4.另一直角边长为122－42＝8 2. ∴S △ABC ＝12×4×82＝16 2.15．(2013·天津)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知b sin A ＝3c sin B ，a ＝3，cos B ＝23.(1)求b 的值；(2)求sin(2B －π3)的值．解析 (1)在△ABC 中，由a sin A ＝bsin B，可得b sin A ＝a sin B .又由b sin A ＝3c sin B ，可得a ＝3c ，又a ＝3，故c ＝1. 由b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，cos B ＝23，可得b ＝ 6.(2)由cos B ＝23，得sin B ＝53，进而得cos2B ＝2cos 2B －1＝－19，sin2B ＝2sin B cos B ＝459.所以sin(2B －π3)＝sin2B cos π3－cos2B sin π3＝45＋318.课时作业5 应用举例（第1课时）1．若P在Q的北偏东44°50′，则Q在P的( )A．东偏北45°10′B．东偏北45°50′C．南偏西44°50′ D．西偏南45°50′答案 C2．在某次测量中，在A处测得同一方向的B点的仰角为60°，C点的俯角为70°，则∠BAC等于( )A．10° B．50°C．120° D．130°答案 D3．一只船速为2 3 米/秒的小船在水流速度为2米/秒的河水中行驶，假设两岸平行，要想使过河时间最短，则实际行驶方向与水流方向的夹角为( )A．120° B．90°C．60° D．30°答案 B4．江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距( )A．10 3 m B．100 3 mC．2030 m D．30 m答案 D解析设炮台顶部为A，两条船分别为B、C，炮台底部为D，可知∠BAD＝45°，∠CAD ＝60°，∠BDC＝30°，AD＝30.分别在Rt△ADB，Rt△ADC中，求得DB＝30，DC＝30 3.在△DBC中，由余弦定理，得BC2＝DB2＋DC2－2DB·DC cos30°，解得BC＝30.5．某人向正东方向走x km后，他向右转150°，然后朝新方向走3 km，结果他离出发点恰好 3 km，那么x的值为( )A. 3 B．2 3C．23或 3 D．3答案 C6．两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为( )A．a km B.3a kmC.2a km D．2a km答案 B7．海上有A、B、C三个小岛，已知A、B相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B、C的距离是( )A．10 3 海里 B.1063海里C．5 2 海里D．5 6 海里答案 D8.如图所示，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A所在的河岸边选定一点C，测出AC 的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算A、B两点的距离为( ) A．50 2 m B．50 3 mC．25 2 m D.2522m答案 A9．一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向上，另一灯塔在船的南偏西75°方向上，则这艘船的速度是每小时( )A．5 海里B．5 3 海里C．10 海里D．10 3 海里答案 D10．已知船A在灯塔C北偏东85°且到C的距离为2 km，船B在灯塔C西偏北25°且到C的距离为 3 km，则A，B两船的距离为( )A．2 3 km B．3 2 kmC.15 kmD.13 km答案 D11．一船以24 km/h的速度向正北方向航行，在点A处望见灯塔S在船的北偏东30°方向上，15 min 后到点B 处望见灯塔在船的北偏东65°方向上，则船在点B 时与灯塔S 的距离是________km.(精确到0.1 km)答案 5.212．如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A ，B ，望对岸的标记物C ，测得∠CAB ＝30°，∠CBA ＝75°，AB ＝120 m ，则河的宽度是________m.答案 6013．已知船在A 处测得它的南偏东30°的海面上有一灯塔C ，船以每小时30海里的速度向东南方向航行半小时后到达B 点，在B 处看到灯塔在船的正西方向，问这时船和灯塔相距________海里．答案563－1214．A 、B 是海平面上的两个点，相距800 m ，在A 点测得山顶C 的仰角为45°，∠BAD ＝120°，又在B 点测得∠ABD ＝45°，其中D 是点C 到水平面的垂足，求山高CD .解析如图，由于CD ⊥平面ABD ，∠CAD ＝45°，所以CD ＝AD . 因此，只需在△ABD 中求出AD 即可．在△ABD 中，∠BDA ＝180°－45°－120°＝15°. 由AB sin15°＝ADsin45°，得AD ＝AB ·sin45°sin15°＝800×226－24＝800(3＋1)(m)．∵CD ⊥平面ABD ，∠CAD ＝45°， ∴CD ＝AD ＝800(3＋1)≈2 186(m)．答：山高CD 为2 186 m.15．如图所示，海中小岛A 周围38海里内有暗礁，一船正向南航行，在B 处测得小岛A 在船的南偏东30°，航行30海里后，在C 处测得小岛在船的南偏东45°，如果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁的危险？思路分析船继续向南航行，有无触礁的危险，取决于A 到直线BC 的距离与38海里的大小，于是我们只要先求出AC 或AB 的大小，再计算出A 到BC 的距离，将它与38海里比较大小即可．解析在△ABC 中，BC ＝30，B ＝30°，∠ACB ＝135°， ∴∠BAC ＝15°.由正弦定理BC sin A ＝AC sin B ，即30sin15°＝AC sin30°.∴AC ＝60cos15°＝60cos(45°－30°)＝60(cos45°cos30°＋sin45°sin30°)＝15(6＋2)． ∴A 到BC 的距离d ＝AC sin45°＝15(3＋1)≈40.98海里>38海里，所以继续向南航行，没有触礁危险．1．一船以4 km/h 的速度沿着与水流方向成120°的方向航行，已知河水流速为2 km/h ，则经过 3 h 后，该船实际航行为( )A ．215 kmB ．6 km C.84 km D ．8 km答案 B 2.如图，为了测量正在海面匀速行驶的某航船的速度，在海岸上选取距离1千米的两个观察点C 、D ，在某天10∶00观察到该航船在A 处，此时测得∠ADC ＝30°，2分钟后该船行驶至B 处，此时测得∠ACB ＝60°，∠BCD ＝45°，∠ADB ＝60°，则船速为________(千米/分钟)．答案64解析在△BCD 中，∠BDC ＝30°＋60°＝90°，CD ＝1，∠BCD ＝45°， ∴BC ＝ 2.在△ACD 中，∠CAD ＝180°－(60°＋45°＋30°)＝45°， ∴CDsin45°＝AC sin30°，AC ＝22.在△ABC 中，AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ×BC ×cos60°＝32，∴AB ＝62，∴船速为622＝64 千米/分钟．3.如图，A ，B 是海面上位于东西方向相距5(3＋3)海里的两个观测点．现位于A 点北偏东45°，B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60°且与B 点相距20 3 海里的C 点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D 点需要多长时间？答案救船到达D 点需要1小时．解析由题意知AB ＝5(3＋3)(海里)，∠DBA ＝90°－60°＝30°，∠DAB ＝90°－45°＝45°，∴∠ADB ＝180°－(45°＋30°)＝105°. 在△DAB 中，由正弦定理，得DB sin ∠DAB ＝ABsin ∠ADB.∴DB ＝AB ·sin∠DAB sin ∠ADB ＝53＋3·sin45°sin105°＝53＋3·sin45°sin45°cos60°＋cos45°sin60°＝533＋13＋12＝103(海里)．又∠DBC ＝∠DBA ＋∠ABC ＝30°＋(90°－60°)＝60°，BC ＝203(海里)，在△DBC 中，由余弦定理，得CD 2＝BD 2＋BC 2－2BD ·BC ·cos∠DBC＝300＋1 200－2×103×203×12＝900.∴CD ＝30(海里)，则需要的时间t ＝3030＝1(小时)．答：救援船到达D 点需要1小时． 4.如图所示，a是海面上一条南北向的海防警戒线，在a上点A处有一个水声监测点，另两个监测点B、C分别在A的正东方20 km处和54 km处．某时刻，监测点B收到发自静止目标P的一个声波，8 s后监测点A、20 s后监测点C相继收到这一信号．在当时的气象条件下，声波在水中的传播速度是1.5 km/s.(1)设A到P的距离为x km，用x表示B，C到P的距离，并求x的值；(2)求静止目标P到海防警戒线a的距离．(结果精确到0.01 km)答案(1)PB＝x－12 km，PC＝18＋x km 132 7(2)17.71 km课时作业6 应用举例（第2课时）正、余弦定理的综合应用1．已知方程x 2sin A ＋2x sin B ＋sin C ＝0有重根，则△ABC 的三边a 、b 、c 满足关系式( ) A ．b ＝ac B ．b 2＝ac C ．a ＝b ＝c D ．c ＝ab答案 B解析由Δ＝0，得4sin 2B －4sin A sinC ＝0，结合正弦定理得b 2＝ac . 2．在△ABC 中，已知A ＝30°，且3a ＝3b ＝12，则c 的值为( ) A ．4 B ．8 C ．4或8 D ．无解答案 C解析由3a ＝3b ＝12，得a ＝4，b ＝43，利用正弦定理可得B 为60°或120°，从而解出c 的值．3．在△ABC 中，A ＝60°，AB ＝2，且△ABC 的面积S △ABC ＝32，则边BC 的长为( ) A. 3 B ．3 C.7 D ．7答案 A 解析由S △ABC ＝32，得12AB ·AC sin A ＝32. 即12×2AC ×32＝32，∴AC ＝1，由余弦定理，得 BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A ＝22＋12－2×2×1×12＝3.∴BC ＝ 3.4．在△ABC 中，2a cos B ＝c ，则△ABC 是( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等边三角形答案 A解析方法一由余弦定理，得2a a 2＋c 2－b 22ac＝c .所以a 2＋c 2－b 2＝c 2.则a ＝b .则△ABC是等腰三角形．方法二由正弦定理，得2×2R sin A cos B ＝2R sin C ，即2sin A cos B ＝sin C .又sin(A ＋B )＋sin(A －B )＝2sin A cos B ，所以sin(A ＋B )＋sin(A －B )＝sin C .又A ＋B ＋C ＝π，所以sin(A ＋B )＝sin C .所以sin(A －B )＝0.又0<A <π，0<B <π，则－π<A －B <π.所以有A ＝B ，则△ABC 是等腰三角形．讲评方法一是转化为三角形的边的关系，利用代数运算获得三角形的关系式；方法二是转化为三角形的角的关系，利用三角函数知识获得了三角形的角的关系．方法二中，如果没有想到等式sin(A ＋B )＋sin(A －B )＝2sin A cos B ，那么就会陷入困境．由于受三角函数知识的限制，提倡将已知条件等式转化为边的关系来判断三角形的形状．5．(2013·安徽)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .若b ＋c ＝2a,3sin A ＝5sin B ，则角C ＝( )A.π3 B.2π3 C.3π4D.5π6答案 B解析 ∵3sin A ＝5sin B ，∴3a ＝5b .① 又b ＋c ＝2a ，②∴由①②可得，a ＝53b ，c ＝73b .∴cos C ＝b 2＋a 2－c 22ab＝b 2＋53b 2－73b 22×53b 2＝－12.∴C ＝23π.6．已知锐角三角形的边长分别是3,5，x ，则x 的取值范围是( ) A ．1<x < 5 B ．4<x <30 C ．1<x <4 D ．4<x <34答案 D解析若5最大，则32＋x 2－52>0，得x >4. 若x 最大，则32＋52－x 2>0，得0<x <34. 又2<x <8，则4<x <34.7．在△ABC 中，已知sin A ∶sin B ＝2∶1，c 2＝b 2＋2bc ，则三内角A 、B 、C 的度数依次是________．答案 45°、30°、105°解析 ∵a ＝2b ，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A . ∴2b 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，又∵c 2＝b 2＋2bc ， ∴cos A ＝22，A ＝45°，sin B ＝12，B ＝30°，∴C ＝105°.8．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .若(3b －c )cos A ＝a cos C ，则cos A ＝______.答案33解析由正弦定理，得(3sin B －sin C )cos A ＝sin A cos C . 化简得3sin B cos A ＝sin(A ＋C )． ∵0<sin B ≤1，∴cos A ＝33. 9．设锐角三角形ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，a ＝2b sin A . (1)求B 的大小；(2)若a ＝33，c ＝5，求b .解析 (1)由a ＝2b sin A ，得sin A ＝2sin B sin A ，所以sin B ＝12.由△ABC 为锐角三角形，得B ＝π6.(2)根据余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2a cos B ＝27＋25－45＝7，所以b ＝7.10．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C .(1)求A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状．解析 (1)由已知，根据正弦定理，得2a 2＝(2b ＋c )b ＋(2c ＋b )c ，即a 2＝b 2＋c 2＋bc . 由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A . 故cos A ＝－12，又A ∈(0，π)，故A ＝120°.(2)由(1)得sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ＋sin B sin C . 又sin B ＋sin C ＝1，得sin B ＝sin C ＝12.因为0°<B <90°，0°<C <90°，故B ＝C . 所以△ABC 是等腰的钝角三角形．11．在△ABC 中，已知B ＝45°，D 是BC 边上的一点，AD ＝10，AC ＝14，DC ＝6，求AB 的长．解析在△ADC 中，AD ＝10，AC ＝14，DC ＝6，由余弦定理，得cos ∠ADC ＝AD 2＋DC 2－AC 22AD ·DC ＝100＋36－1962×10×6＝－12.∴∠ADC ＝120°，∠ADB ＝60°.在△ABD 中，AD ＝10，∠B ＝45°，∠ADB ＝60°，由正弦定理，得AB sin ∠ADB ＝ADsin B. ∴AB ＝AD ·sin∠ADB sin B ＝10sin60°sin45°＝10×3222＝5 6.12．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，设S 为△ABC 的面积，满足S ＝34(a 2＋b 2－c 2)． (1)求角C 的大小；(2)求sin A ＋sin B 的最大值．解析 (1)由题意可知12ab sin C ＝34·2ab cos C ，所以tan C ＝ 3.因为0<C <π，所以C ＝π3.(2)由已知sin A ＋sin B ＝sin A ＋sin(π－C －A ) ＝sin A ＋sin(2π3－A )＝sin A ＋32cos A ＋12sin A＝3sin(A ＋π6)≤ 3.当△ABC 为正三角形时取等号，所以sin A ＋sin B 的最大值是 3.13．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C .(1)求A 的大小；(2)求sin B ＋sin C 的最大值．解析 (1)由已知，根据正弦定理，得2a 2＝(2b ＋c )b ＋(2c ＋b )c ，即a 2＝b 2＋c 2＋bc .由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A .故cos A ＝－12，A ＝120°.(2)由(1)，得sin B ＋sin C ＝sin B ＋sin(60°－B ) ＝32cos B ＋12sin B ＝sin(60°＋B )．故当B ＝30°时，sin B ＋sin C 取得最大值1. ►重点班·选作题14．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos2C ＝－14.(1)求sin C 的值；(2)当a ＝2,2sin A ＝sin C 时，求b 及c 的长．解析 (1)因为cos2C ＝1－2sin 2C ＝－14，及0<C <π，所以sin C ＝104.(2)当a ＝2,2sin A ＝sin C 时，由正弦定理a sin A ＝csin C，得c ＝4.由cos2C ＝2cos 2C －1＝－14，及0<C <π得cos C ＝±64.由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得b 2±6b －12＝0，解得b ＝6或2 6.所以⎩⎨⎧b ＝6，c ＝4.或⎩⎨⎧b ＝26，c ＝4.1．(2013·辽宁)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b ，且a >b ，则∠B ＝( ) A.π6 B.π3 C.2π3D.5π6答案 A解析根据正弦定理，得a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b 等价于sin A cos C ＋sin C cos A ＝12，即sin(A ＋C )＝12.又a >b ，∴∠A ＋∠C ＝5π6，∴∠B ＝π6.故选A 项．2．(2012·北京)在△ABC 中，若a ＝2，b ＋c ＝7，cos B ＝－14，则b ＝________.答案 4解析由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝4＋7－b 2－b 22×2×7－b ＝－14，解得b ＝4.3．(2011·湖北)设△ABC 的内角，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，则角C ＝________.答案2π3解析 ∵由(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，整理，可得a 2＋b 2－c 2＝－ab .∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－ab 2ab ＝－12，∴C ＝2π3.4．(2013·北京)在△ABC 中，a ＝3，b ＝26，∠B ＝2∠A . (1)求cos A 的值； (2)若c 的值．解析 (1)因为a ＝3，b ＝26，∠B ＝2∠A ，所以在△ABC 中，由正弦定理，得3sin A ＝26sin2A. 所以2sin A cos A sin A ＝263.故cos A ＝63.(2)由(1)知，cos A ＝63，所以sin A ＝1－cos 2A ＝33. 又因为∠B ＝2∠A ，所以cos B ＝2cos 2A －1＝13.所以sin B ＝1－cos 2B ＝223. 在△ABC 中，sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝539.所以c ＝a sin Csin A＝5.5．(2013·江西)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos C ＋(cos A －3sin A )cos B ＝0.(1)求角B 的大小；(2)若a ＋c ＝1，求b 的取值范围．解析 (1)由已知得－cos(A ＋B )＋cos A cos B －3sin A cos B ＝0，即有sin A sin B －3sin A cos B ＝0.因为sin A ≠0，所以sin B －3cos B ＝0.又cos B ≠0，所以tan B ＝3，又0<B <π，所以B ＝π3.(2)由余弦定理，有b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B . 因为a ＋c ＝1，cos B ＝12，所以b 2＝3(a －12)2＋14.又0<a <1，于是有14≤b 2<1，即12≤b <1.6．(2013·四川)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos 2A －B2cos B －sin(A －B )sin B ＋cos(A ＋C )＝－35，(1)求cos A 的值；(2)若a ＝42，b ＝5，求向量BA →在BC →方向上的投影．解析 (1)由2cos2A －B2cos B －sin(A －B )sin B ＋cos(A ＋C )＝－35，得[cos(A －B )＋1]cos B －sin(A －B )sin B －cos B ＝－35，即cos(A －B )cos B －sin(A －B )sin B ＝－35.则cos(A －B ＋B )＝－35，即cos A ＝－35.(2)由cos A ＝－35，0<A <π，得sin A ＝45.由正弦定理，有a sin A ＝b sin B ，所以，sin B ＝b sin A a ＝22.由题知a >b ，则A >B ，故B ＝π4. 根据余弦定理，有(42)2＝52＋c 2－2×5c ×(－35)，解得c ＝1或c ＝－7(舍去)．。

【人教A版】2017版高中数学必修五：课时作业含答案12

课时作业(十二)1．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3＝6，a 3＝4，则公差d 等于( )A ．1 B.53 C ．2 D ．3答案 C解析由⎩⎪⎨⎪⎧3(a 1＋4)2＝6，a 1＋2d ＝4，解得d ＝2.2．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 101＝0，则有( ) A ．a 1＋a 101>0 B ．a 1＋a 101<0C ．a 1＋a 101＝0D ．a 1＋a 101的符号不确定答案 C解析 ∵S 101＝(a 1＋a 101)×1012，∴a 1＋a 101＝0. 3．等差数列{an }中，a 1＋a 4＝10，a 2－a 3＝2.则其前n 项和Sn 为( )A ．8＋n －n 2B ．9n －n 2C ．5n －n 2 D.9n －n 22 答案 B解析 ∵a 2－a 3＝2，∴公差d ＝a 3－a 2＝－2. 又a 1＋a 4＝a 1＋(a 1＋3d )＝2a 1－6＝10， ∴a 1＝8，∴Sn ＝－n 2＋9n .4．等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3＋a 5＝14，其前n 项和S n ＝100，则n ＝( )A ．9B ．10C ．11D ．12答案 B5．{an }是等差数列，首项a 1＞0，a 2 003＋a 2 004＞0.a 2 003·a 2 004<0，则使前n 项和Sn ＞0成立的最大自然数n 是( )A ．4 005B ．4 006C ．4 007D ．4 008 答案 B解析 ∵Sn ＝n (a 1＋an )2， ∴S 4 006＝4 006(a 1＋a 4 006)2＝2 003(a 2 003＋a 2 004)＞0. 又S 4 007＝4 007(a 1＋a 4 007)2＝4 007·a 2 004<0.∴选B. 6．已知等差数列的公差为－57，其中某连续7项的和为0，则这7项中的第1项是( )A ．137B ．217C ．267D ．347 答案 B解析记某连续7项为a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，a 6，a 7；则 a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝7a 4＝0，∴a 4＝0.∴a 1＝a 4－3d ＝0－3·(－57)＝157.7．等差数列{a n }中，S 10＝4S 5，则a 1d 等于( ) A.12 B ．2 C.14 D ．4答案 A8．等差数列{an }中，a 9＝3，那么它的前17项的和S 17＝( ) A ．51 B ．34 C ．102 D ．不能确定答案 A解析 S 17＝17a 9＝17×3＝51.9．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4＝18－a 5，则S 8等于( )A ．72B ．54C ．36D ．18答案 A10．等差数列{a n }的前n 项和为S n .已知a m －1＋a m ＋1－a 2m ＝0，S 2m －1＝38，则m ＝( )A ．38B ．20C ．10D ．9答案 C解析由条件得2am ＝a m －1＋a m ＋1＝a 2m ，从而有a m ＝0或2.又由S 2m －1＝a 1＋a 2m －12×(2m －1)＝38且2a m ＝a 1＋a 2m －1得(2m －1)a m ＝38.故a m ≠0，则有2m －1＝19，m ＝10.11．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＝1，a 3＝3，则S 8＝________.答案 48 解析设公差为d ，由题意得⎩⎨⎧a 1＋d ＝1，a 1＋2d ＝3，解得a 1＝－1，d ＝2.所以S 8＝8a 1＋8×72d ＝8×(－1)＋8×72×2＝48.12．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且6S 5－5S 3＝5，则a 4＝________.答案 13解析设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，则由6S 5－5S 3＝5，得6(a 1＋3d )＝2，所以a 4＝13.13．等差数列{an }和{bn }的前n 项和分别为An 和Bn .若AnBn ＝3n －12n ＋3，则a 13b 13的值为__________．答案 745314．已知等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3＝－3. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{a n }的前k 项和S k ＝－35，求k 的值．答案 (1)a n ＝3－2n (2)715．已知等差数列{a n }中，a 3a 7＝－16，a 4＋a 6＝0，求{a n }的前n 项和S n .答案 S n ＝n (n －9)，或S n ＝－n (n －9)16．已知lg x ＋lg x 3＋lg x 5＋…＋lg x 21＝11，求x . 答案 10111解析由已知可得(1＋3＋5＋…＋21)·lg x ＝11，即lg x ＝111，∴x ＝10111.1．设等差数列{a n }的首项a 1及公差d 都为整数，前n 项和为S n . (1)若a 11＝0，S 14＝98，求数列{a n }的通项公式；(2)若a 1≥6，a 11>0，S 14≤77，求所有可能的数列{a n }的通项公式．解析 (1)由S 14＝98，得2a 1＋13d ＝14. 又a 11＝a 1＋10d ＝0，故解得d ＝－2，a 1＝20. 因此，{a n }的通项公式是a n ＝22－2n (n ∈N ＋)． (2)由⎩⎪⎨⎪⎧S 14≤77，a 11>0，a 1≥6，得⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋13d ≤11，a 1＋10d >0，a 1≥6，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋13d ≤11， ①－2a 1－20d <0， ②－2a 1≤－12. ③由①＋②，得－7d <11，即d >－117.由①＋③，得13d≤－1，即d≤－113.于是－117<d≤－113.又d∈Z，故d＝－1.④将④代入①②得10<a1≤12.又a1∈Z，故a1＝11或a1＝12.所以，所有可能的数列{a n}的通项公式是a n＝12－n和a n＝13－n(n∈N＋)．。

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第2章 2.1 第2课时(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分)1．已知{a n }中，a 1＝1，a n ＋1a n ＝12，则数列{a n }的通项公式是( )A ．a n ＝2nB ．a n ＝12nC ．a n ＝12n －1D ．a n ＝1n2解析： a 1＝1，a 2＝12，a 3＝14，a 4＝18，观察得a n ＝12n －1.答案： C2．已知数列{a n }满足a 1>0，且a n ＋1＝nn ＋1a n ，则数列{a n }是( )A ．递增数列B ．递减数列C ．常数列D ．摆动数列解析：由a 1>0，且a n ＋1＝nn ＋1a n，则a n >0，又a n ＋1a n ＝nn ＋1<1，∴a n ＋1<a n .因此数列{a n }为递减数列．答案： B3．由a 1＝1，a n ＋1＝a n3a n ＋1，可知数列{a n }的第34项是( )A.34103 B ．100 C.1100D.1104解析：由a 1＝1，及a 2＝a 13a 1＋1＝14，可得a 3＝17，a 4＝110，…，a n ＝13n －2，因此a 34＝13×34－2＝1100.答案： C4．数列{a n }中，a 1＝1，对所有的n >2都有a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，则a 3＋a 5等于( ) A.6116 B.259 C.2519D.3115解析： ∵a 1·a 2·…·a n ＝n 2， ∴a 1·a 2·…·a n －1＝(n －1)2， ∴a n ＝⎝⎛⎭⎫n n －12(n ≥2)，∴a 3＝94，a 5＝2516.∴a 3＋a 5＝6116.答案： A二、填空题(每小题5分，共10分)5．已知数列{a n }满足：a 4n －3＝1，a 4n －1＝0，a 2n ＝a n ，n ∈N *，则a 2 009＝________；a 2 014＝________.解析：依题意得a 2 009＝a 4×503－3＝1，a 2 014＝a 2×1 007＝a 1 007＝a 4×252－1＝0.故分别填1,0. 答案： 1 06．已知数列{a n }满足：a 1＝m (m 为正整数)，a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧a n 2，当a n 为偶数时3a n ＋1，当a n 为奇数时.若a 6＝1，则m 所有可能的取值为________．解析：若a 5为奇数，则3a 5＋1＝1，a 5＝0(舍去)．若a 5为偶数，则a 52＝1，a 5＝2.若a 4为奇数，则3a 4＋1＝2，a 4＝13(舍去)．若a 4为偶数，则a 42＝2，a 4＝4.若a 3为奇数，则3a 3＋1＝4，a 3＝1，则a 2＝2，a 1＝4. 若a 3为偶数，则a 32＝4，a 3＝8.若a 2为奇数，则3a 2＋1＝8，a 2＝73(舍去)．若a 2为偶数，则a 22＝8，a 2＝16.若a 1为奇数，则3a 1＋1＝16，a 1＝5. 若a 1为偶数，则a 12＝16，a 1＝32.故填4,5,32. 【答案】 4,5,32三、解答题(每小题10分，共20分)7．数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＋2a n a n ＋1－a n ＝0. (1)写出数列的前5项；(2)由(1)写出数列{a n }的一个通项公式；(3)实数199是否为这个数列中的一项？若是，应为第几项？解析： (1)由已知可得a 1＝1，a 2＝13，a 3＝15，a 4＝17，a 5＝19.(2)由(1)可得数列的每一项的分子均为1，分母分别为1,3,5,7,9，…，所以它的一个通项公式为a n ＝12n －1.(3)令199＝12n －1，可解得n ＝50.故199是这个数列的第50项． 8．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)·a n －1(n ≥2)，记n ！＝1×2×3×…×n ，求数列{a n }的通项公式．解析：由已知得：a n ＝a 1＋2a 2＋…＋(n －2)a n －2＋(n －1)·a n －1(n ≥2)， a n －1＝a 1＋2a 2＋…＋(n －2)a n －2(n ≥3)．以上两式相减得：a n －a n －1＝(n －1)a n －1(n ≥3)， ∴a n ＝n ·a n －1，即a na n －1＝n (n ≥3)，∴a 3a 2·a 4a 3·a 5a 4·…·a n －1a n －2·a n a n －1 ＝3×4×5×…×(n －1)·n ， ∴a n a 2＝n ！2(n ≥3)．又∵a 1＝1，a 2＝a 1＝1，∴a n ＝n ！2(n ≥2)．∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1 (n ＝1)n ！2 (n ≥2).尖子生题库☆☆☆9．(10分)已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，a n ＝a n －1＋a n －2(n >2)．通过公式b n ＝a n ＋1a n构造一个新数列{b n }，试写出数列{b n }的前5项，你能说出这个数列的特点吗？解析：数列{b n }是由数列{a n }构造生成的，由a 1，a 2的值和递推公式先算出数列{a n }的前6项，再根据公式b n ＝a n ＋1a n算出数列{b n }的前5项．∵a 1＝1，a 2＝2，a n ＝a n －1＋a n －2(n >2)，∴a 3＝a 2＋a 1＝3，a 4＝a 3＋a 2＝5，a 5＝a 4＋a 3＝8， a 6＝a 5＋a 4＝13，即数列{a n }的前6项是1,2,3,5,8,13，又b n ＝a n ＋1a n，∴数列{b n }的前5项是2，32，53，85，138.数列{b n }的特点是：数列{b n }的前n 项的乘积是a n ＋1. 这是因为b 1·b 2·b 3·…·b n ＝a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·…·a n a n －1·a n ＋1a n＝a n ＋1.也可以是：前项的分子是后项的分母，前项分子与分母之和是后项的分子.。

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第2章 2.4 第2课时(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分)1．设数列{a n }为等比数列，则下面四个数列：①{a n 3}；②{pa n }(p 为非零常数)；③{a n ·a n ＋1}；④{a n ＋a n ＋1}，其中是等比数列的有________个( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：对于①，因为a n ＋13a n 3＝⎝⎛⎭⎫a n ＋1a n 3＝q 3(常数)，所以{a n 3}是等比数列；对于②，因为pa n ＋1pa n ＝a n ＋1a n＝q (常数)，所以{pa n }是等比数列；对于③，因为a n ＋1·a n ＋2a n ·a n ＋1＝a n ＋2a n ＝q 2(常数)，所以{a n ·a n ＋1}是等比数列；对于④，q ≠－1时，因为a n ＋1＋a n ＋2a n ＋a n ＋1＝a n q ＋a n ＋1q a n ＋a n ＋1＝q (a n ＋a n ＋1)a n ＋a n ＋1＝q (常数)∴{a n ＋a n ＋1}是等比数列，若q ＝－1，a n ＋a n ＋1＝0，不是等比数列，故选C. 答案： C2．等比数列{a n }中，|a 1|＝1，a 5＝－8a 2，a 5>a 2，则a n ＝( ) A ．(－2)n －1B ．－(－2)n －1C ．(－2)nD ．－(－2)n解析： a 5＝－8a 2＝a 2·q 3 ∴q ＝－2 ∵a 5>a 2 ∴a 5>0>a 2 ∴a 1>0∴a n ＝(－2)n －1，故选A.答案： A3．等比数列{a n }中，a 3＝12，a 2＋a 4＝30，则a 10的值为( ) A ．3×10－5B ．3×29C ．128D ．3×2－5或3×29解析： ∵a 2＝a 3q，a 4＝a 3q ，∴a 2＝12q ，a 4＝12q .∴12q＋12q ＝30.即2q 2－5q ＋2＝0， ∴q ＝12或q ＝2.a 10＝a 3·q 7＝12×⎝⎛⎭⎫127＝3×2－5或a 10＝12×27＝3×29.故选D. 答案： D4．已知等比数列{a n }满足a n >0，n ＝1,2，…，且a 5·a 2n －5＝22n (n ≥3)，则当n ≥1时，log 2a 1＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n －1＝( )A ．n (2n －1)B ．(n ＋1)2C ．n 2D ．(n －1)2解析：由a 5·a 2n －5＝22n (n ≥3)得a n 2＝22n ，又a n >0，则a n ＝2n ，log 2a 1＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n－1＝1＋3＋…＋(2n －1)＝n 2，故选C. 答案： C二、填空题(每小题5分，共10分)5．在等比数列{a n }中，a 3a 5a 7a 9a 11＝243，则a 92a 11的值为________．解析：由等比数列的性质知a 3a 11＝a 5a 9＝a 72得a 75＝243， ∴a 7＝3，而a 7a 11＝a 92，∴a 92a 11＝a 7＝3.答案： 36．已知1，a 1，a 2,4成等差数列，1，b 1，b 2，b 3,4成等比数列，则a 1＋a 2b 2的值为________．解析：方法一：∵a 1＋a 2＝1＋4＝5， b 22＝1×4＝4，且b 2与1,4同号， ∴b 2＝2，∴a 1＋a 2b 2＝52＝2.5.方法二：设等差数列的公差为d ，等比数列的公比为q ， ∵1＋3d ＝4，∴d ＝1，∴a 1＝2，a 2＝3. ∵q 4＝4.∴q 2＝2.∴b 2＝q 2＝2. ∴a 1＋a 2b 2＝2＋32＝2.5. 答案： 2.5三、解答题(每小题10分，共20分)7．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2a n ＋1，求证：{a n }是等比数列，并求出通项公式．证明： ∵S n ＝2a n ＋1，∴S n ＋1＝2a n ＋1＋1， ∴S n ＋1－S n ＝a n ＋1＝(2a n ＋1＋1)－(2a n ＋1)＝2a n ＋1－2a n . ∴a n ＋1＝2a n . ① 又∵S 1＝a 1＝2a 1＋1，∴a 1＝－1≠0. 由①式可知，a n ≠0，∴由a n ＋1a n ＝2知{a n }是等比数列，a n ＝－2n －1.8．(1)有四个实数，前三个数依次成等比，它们的积是－8，后三个数依次成等差，它们的积为－80，求出这四个数．(2)有四个数成等比数列，将这四个数分别减去1,1,4,13，则成等差数列，求这四个数．解析： (1)由题意设此四数为bq ，b ，bq ，a ，则有⎩⎪⎨⎪⎧b 3＝－82bq ＝a ＋b ，ab 2q ＝－80解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝10b ＝－2q ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－8b ＝－2q ＝52，所以这四个数为1，－2,4,10或－45，－2，－5，－8.(2)设这四个数分别为a 、aq 、aq 2、aq 3，则a －1，aq －1，aq 2－4，aq 3－13成等差数列，据题意⎩⎪⎨⎪⎧2(aq －1)＝(a －1)＋(aq 2－4)2(aq 2－4)＝(aq －1)＋(aq 3－13). 整理得⎩⎪⎨⎪⎧a (q －1)2＝3aq (q －1)2＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2a ＝3. 因此所求四个数为3,6,12,24. 尖子生题库☆☆☆9．(10分)若{a n }是公差d ≠0的等差数列，{b n }是公比q ≠1的等比数列，已知a 1＝b 1＝1，且a 2＝b 2，a 6＝b 3.(1)求d 和q ；(2)是否存在常数a ，b ，使对一切n ∈N *都有a n ＝log a b n ＋b 成立？若存在求出a 、b 的值，若不存在，请说明理由．解析： (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1＋d ＝q 1＋5d ＝q2，解得d ＝3，q ＝4.(2)假设存在常数a ，b ，由a n ＝3n －2，b n ＝4n －1，代入a n ＝log a b n ＋b 得3n －2＝log a 4n －1＋b ，即(3－log a 4)n ＋(log a 4－b －2)＝0对n ∈N *都成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－log a 4＝0log a 4－b －2＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝34b ＝1，所以存在常数a ＝34，b ＝1使等式成立．。

高中数学人教A版必修五同步课时作业：第二章 2.5 第3课时数列的通项公式 Word版含解析

第二章 2.5 第3课时数列的通项公式[课时作业][A 组基础巩固]1．设数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋3，则数列{a n }的通项公式为( )A ．a n ＝3nB ．a n ＝3n ＋1C ．a n ＝3n －1D ．a n ＝3n －12．数列{a n }中，若a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋3(n ≥1)，则该数列的通项a n ＝________.( )A ．2n ＋1－3B ．2n －3C ．2n ＋3D ．2n －1－33．设数列{a n }满足a 1＋2a 2＋22a 3＋…＋2n －1a n ＝n 2(n ∈N *)，则通项公式是( ) A ．a n ＝12n B ．a n ＝12n －1 C ．a n ＝12n D ．a n ＝12n ＋14．已知数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＝13a n －1＋⎝⎛⎭⎫13n (n ≥2，且n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为( ) A ．a n ＝3nn ＋2B ．a n ＝n ＋23nC ．a n ＝n ＋2D ．a n ＝(n ＋2)3n5．若数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＝2S n －3，则{a n }的通项公式是________．6．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2n －1(n ∈N *)，则a n ＝________.7．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＝3a n －1＋2(n ≥2，n ∈N *)，则通项a n ＝________.8．已知数列{a n }满足a 1＝2，(n ＋1)a n ＝(n －1)a n －1(n ≥2，n ∈N *)，则a 3a 1＝________，数列{a n }的通项公式为________．9．已知数列{a n }满足：S n ＝1－a n (n ∈N *)，其中S n 为数列{a n }的前n 项和，求{a n }的通项公式．10．已知数列{a n }满足a 1＝23，a n ＋1＝n n ＋1·a n，求a n .[B 组能力提升]1．已知数列{a n }满足a 1＝12，a 1＋a 2＋…＋a n ＝n 2a n ，则a n 为( ) A ．a n ＝1n (n ＋1)B ．a n ＝1n (n －1)C ．a n ＝n n ＋1D ．a n ＝n －1n ＋12．已知{a n }是首项为1的正项数列，且(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n a n ＋1＝0，则{a n }的通项公式为a n ＝( ) A.1nB ．(n n ＋1)n －1 C.1n ＋1D ．(n n ＋1)n3．对于数列{a n }，满足a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋1n ＋1＋n，则a n ＝________. 4．设数列{a n }满足a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝n (n ＋1)(n ＋2)(n ∈N *)，则通项a n ＝________.5．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1.(1)证明数列{a n ＋1}是等比数列；(2)求数列{a n }的通项公式．6．数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2(n ∈N *)．(1)设b n ＝a n ＋1－2a n ，求证：{b n }是等比数列； (2)设c n ＝a n 3n －1，求证：{c n }是等比数列．第二章 2.5 第3课时数列的通项公式[课时作业]解析[A 组基础巩固]1．设数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋3，则数列{a n }的通项公式为( )A ．a n ＝3nB ．a n ＝3n ＋1C ．a n ＝3n －1D ．a n ＝3n －1 答案：C2．数列{a n }中，若a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋3(n ≥1)，则该数列的通项a n ＝________.( )A ．2n ＋1－3B ．2n －3C ．2n ＋3D ．2n －1－3 解析：a n ＋1＋3＝2(a n ＋3)，∴此数列是以a 1＋3为首项，2为公比的等比数列，a n ＋3＝(1＋3)×2n －1，即a n＝2n ＋1－3. 答案：A3．设数列{a n }满足a 1＋2a 2＋22a 3＋…＋2n －1a n ＝n 2(n ∈N *)，则通项公式是( ) A ．a n ＝12nB ．a n ＝12n －1C ．a n ＝12nD ．a n ＝12n ＋1 解析：设|2n －1·a n |的前n 项和为T n ，∵数列{a n }满足a 1＋2a 2＋22a 3＋…＋2n －1a n ＝n 2(n ∈N *)，∴T n ＝n 2，∴2n －1a n ＝T n －T n －1＝n 2－n －12＝12， ∴a n ＝122n －1＝12n ，经验证，n ＝1时也成立，故a n ＝12n .故选C. 答案：C4．已知数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＝13a n －1＋⎝⎛⎭⎫13n (n ≥2，且n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为( ) A ．a n ＝3nn ＋2B ．a n ＝n ＋23nC ．a n ＝n ＋2D ．a n ＝(n ＋2)3n解析：a n ＝13a n －1＋⎝⎛⎭⎫13n (n ≥2，且n ∈N *)⇔a n ⎝⎛⎭⎫13n ＝a n －1⎝⎛⎭⎫13n －1＋1，即b n ＝a n ⎝⎛⎭⎫13n ，则数列{b n }为首项b 1＝a 113＝3a 1＝3，公差为1的等差数列，所以b n ＝3＋(n －1)×1＝n ＋2，所以a n ＝n ＋23n .答案：B5．若数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＝2S n －3，则{a n }的通项公式是________．解析：由a n ＝2S n －3得a n －1＝2S n －1－3(n ≥2)，两式相减得a n －a n －1＝2a n (n ≥2)，∴a n ＝－a n －1(n ≥2)，a n a n －1＝－1(n ≥2)．故{a n }是公比为－1的等比数列，令n ＝1得a 1＝2a 1－3，∴a 1＝3，故a n ＝3·(－1)n －1. 答案：a n ＝3·(－1)n －1 6．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2n －1(n ∈N *)，则a n ＝________.解析：∵a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2n －1(n ∈N *)，∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝(2n －3)＋(2n－5)＋…＋1＋1＝(n －1)(2n －3＋1)2＋1＝n 2－2n ＋2. 答案：n 2－2n ＋27．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＝3a n －1＋2(n ≥2，n ∈N *)，则通项a n ＝________.解析：由a n ＝3a n －1＋2，得a n ＋1＝3(a n －1＋1)(n ≥2)．∵a 1＝2，∴a 1＋1＝3≠0，∴数列{a n ＋1}是以3为首项，3为公比的等比数列，∴a n ＋1＝3·3n －1＝3n ，即a n ＝3n －1. 答案： 3n －18．已知数列{a n }满足a 1＝2，(n ＋1)a n ＝(n －1)a n －1(n ≥2，n ∈N *)，则a 3a 1＝________，数列{a n }的通项公式为________．解析：当n ≥2时，由(n ＋1)a n ＝(n －1)a n －1得a n a n －1＝n －1n ＋1，故a 3a 1＝a 2a 1·a 3a 2＝13×24＝16. a n ＝a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·…·a n －1a n －2·a n a n －1·a 1＝13×24×35×…×n －2n ×n －1n ＋1×2＝1×2n (n ＋1)×2＝4n (n ＋1).又a 1＝2满足上式，故a n ＝4n (n ＋1)(n ∈N *) 答案：16 a n ＝4n (n ＋1)(n ∈N *) 9．已知数列{a n }满足：S n ＝1－a n (n ∈N *)，其中S n 为数列{a n }的前n 项和，求{a n }的通项公式．解析：∵S n ＝1－a n ，①∴S n ＋1＝1－a n ＋1，②②－①得a n ＋1＝－a n ＋1＋a n ，∴a n ＋1＝12a n ，(n ∈N *) 又n ＝1时，a 1＝1－a 1，∴a 1＝12.∴a n ＝12·(12)n －1＝(12)n (n ∈N *)．10．已知数列{a n }满足a 1＝23，a n ＋1＝nn ＋1·a n ，求a n .解析：由题意知a n ≠0，因为a n ＋1＝nn ＋1·a n ，所以a n ＋1a n ＝nn ＋1，故a n ＝a na n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1＝n －1n ·n－2n －1·…·12·23＝23n .[B 组能力提升]1．已知数列{a n }满足a 1＝12，a 1＋a 2＋…＋a n ＝n 2a n ，则a n 为( )A ．a n ＝1n (n ＋1) B ．a n ＝1n (n －1)C ．a n ＝nn ＋1 D ．a n ＝n －1n ＋1解析：∵a 1＋a 2＋…＋a n ＝n 2a n ，①∴a 1＋a 2＋…＋a n －1＝ (n －1)2a n －1(n ≥2，n ∈N *)，②①－②得a n ＝n 2a n －(n －1)2a n －1.即a n a n －1＝n －1n ＋1(n ≥2，n ∈N *)．∴a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·…·a n a n －1＝13×24×35×46×…×n －2n ×n －1n ＋1.即a na 1＝2n (n ＋1)，又a 1＝12，∴a n ＝1n (n ＋1)，当n ＝1时，a 1＝11×(1＋1)＝12成立，∴a n ＝1n (n ＋1)(n ∈N *)．答案：A2．已知{a n }是首项为1的正项数列，且(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n a n ＋1＝0，则{a n }的通项公式为a n ＝() A.1n B ．(n n ＋1)n －1C.1n ＋1 D ．(n n ＋1)n解析：∵(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n a n ＋1＝0.∴(a n ＋1＋a n )·[(n ＋1)a n ＋1－na n ]＝0.∵a n >0，∴a n ＋1＋a n >0.∴a n ＋1a n ＝n n ＋1，即a n ＋1＝nn ＋1a n .∴a n ＝n －1n a n －1＝n －1n ·n －2n －1a n －2＝…＝n －1n ·n －2n －1·n －3n －2·…·23·12·a 1＝1n(n ≥2)．当n ＝1时，a 1＝1n 也成立，∴a n ＝1n. 答案：A3．对于数列{a n }，满足a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋1n ＋1＋n，则a n ＝________. 解析：∵a n ＋1－a n ＝n ＋1－n ，∴(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝(2－1)＋(3－2)＋…＋(n －n －1)，即a n ＝n (n ≥2)，将n ＝1代入也成立，∴a n ＝n .答案：n4．设数列{a n }满足a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝n (n ＋1)(n ＋2)(n ∈N *)，则通项a n ＝________. 解析：数列{na n }的前n 项和为a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝n (n ＋1)(n ＋2)．① 其前n －1项和为a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1＝(n －1)n (n ＋1)．②①－②，得na n ＝n (n ＋1)[(n ＋2)－(n －1)]＝3n (n ＋1)，即a n ＝3n ＋3.当n ＝1时也满足上式．故a n ＝3n ＋3.答案：3n ＋35．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1.(1)证明数列{a n ＋1}是等比数列；(2)求数列{a n }的通项公式．解析：(1)证明：法一：因为a n ＋1＝2a n ＋1，所以a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)．由a 1＝1，知a 1＋1≠0，从而a n ＋1≠0. 所以a n ＋1＋1a n ＋1＝2(n ∈N *)．所以数列{a n ＋1}是等比数列．法二：由a 1＝1，知a 1＋1≠0，从而a n ＋1≠0. ∵a n ＋1＋1a n ＋1＝2a n ＋1＋1a n ＋1＝2(a n ＋1)a n ＋1＝2(n ∈N *)， ∴{a n ＋1}是等比数列．(2)由(1)可知a n ＋1＝2×2n －1＝2n ，∴a n ＝2n －1. 6．数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2(n ∈N *)．(1)设b n ＝a n ＋1－2a n ，求证：{b n }是等比数列； (2)设c n ＝a n 3n －1，求证：{c n }是等比数列．证明：(1)由S n ＋1＝4a n ＋2得S n ＝4a n －1＋2，a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝(4a n ＋2)－(4a n －1＋2)＝4a n －4a n －1(n ≥2)，即a n ＋1－2a n ＝2(a n －2a n －1)，∴b n＝2b n－1(n≥2，n∈N*)，又b1＝a2－2a1＝3，∴{b n}是以3为首项，2为公比的等比数列．(2)由(1)知a n＋1－2a n＝b n＝3·2n－1，于是有a n－21a n－1＝3·2n－2，21a n－1－22a n－2＝3·2n－2，22a n－2－23a n－3＝3·2n－2，…2n－2a2－2n－1a1＝3·2n－2.将以上n－1个等式叠加得a n－2n－1a1＝(n－1)·3·2n－2，∴a n＝3(n－1)2n－2＋2n－1a1＝(3n－1)·2n－2(n≥2，n∈N*)，又n＝1时也满足此式，∴c n＝a n3n－1＝2n－2，∴{c n}是等比数列，公比是2.。

人教A版高中数学必修5课时作业案第2章数列 2.4 第1课时

第二章 2.4 第1课时A 级基础巩固一、选择题1．已知{a n }是等比数列，a 3＝2，a 6＝14，则公比q ＝( D )A ．－12B ．－2C ．2D ．12[解析] 由条件得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝2a 1q 5＝14，∵a 1≠0，q ≠0，∴q 3＝18，∴q ＝12.故选D ．2．数列m ，m ，m ，…一定( C ) A ．是等差数列，但不是等比数列 B ．是等比数列，但不是等差数列 C ．是等差数列，但不一定是等比数列 D ．既是等差数列，又是等比数列[解析] 当m ＝0时，数列是等差数列，但不是等比数列．当m ≠0时，数列既是等差数列，又是等比数列．故选C ．3．(2019·湖南武冈二中高二月考)在等比数列{a n }中，a 1＝18，q ＝2，则a 4与a 8的等比中项是( B )A ．±4B ．4C ．±14D ．14[解析] 由题意，得a 4＝a 1q 3＝18×23＝1，a 8＝a 1q 7＝18×27＝16，∴a 4与a 8的等比中项为a 6＝4.4．一批设备价值a 万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低b %，则n 年后这批设备的价值为( C )A ．na (1－b %)B ．a (1－nb %)C ．a (1－b %)nD ．a [1－(b %)n ][解析] 依题意可知第一年后的价值为a (1－b %)，第二年后的价值为a (1－b %)2，依此类推形成首项为a (1－b %)，公比为1－b %的等比数列，则可知n 年后这批设备的价值为a (1－b %)n .故选C ．5．(2019·山东菏泽一中高二月考)已知等比数列{a n }的公比为q ，若a 2，a 5的等差中项为4，a 5，a 8的等差中项为82，则log 12q 的值为( A )A ．－12B ．12C ．－2D ．2[解析] 由已知得⎩⎨⎧a 2＋a 5＝8a 5＋a 8＝162，∴⎩⎨⎧a 1q ＋a 1q 4＝8a 1q 4＋a 1q 7＝162，解得q ＝2，∴log 12q ＝log 122＝log 2－1212＝－12.6．一个各项均为正数的等比数列，其任何项都是后面两项的和，则其公比是( D ) A ．52B ．1－52C ．255D ．5－12[解析] 由已知得a n ＝a n ＋1＋a n ＋2，即a 1q n －1＝a 1q n ＋a 1q n ＋1， ∴q 2＋q ＝1，解得q ＝－1±52.又q >0，∴q ＝5－12. 二、填空题7．一个直角三角形的三边成等比数列，则较小锐角的正弦值是2[解析] 设该直角三角形的三边分别为a ，aq ，aq 2(q >1)，则(aq 2)2＝(aq )2＋a 2， ∴q 2＝5＋12. 较小锐角记为θ，则sin θ＝1q 2＝5－12.8．已知等比数列前3项为12，－14，18，则其第8项是__－1256__.[解析] ∵a 1＝12，a 2＝a 1q ＝12q ＝－14，∴q ＝－12，∴a 8＝a 1q 7＝12×(－12)7＝－1256.三、解答题9．(2019·山东菏泽一中高二月考)已知数列{a n }为等比数列，a n ＞0，a 1＝2,2a 2＋a 3＝30. (1)求a n ；(2)若数列{b n }满足b n ＋1＝b n ＋a n ，b 1＝a 2，求b 5. [解析] (1)设公比为q ，由题意得2a 1q ＋a 1q 2＝30， ∴4q ＋2q 2＝30， ∴q 2＋2q －15＝0， ∴q ＝3或－5. ∵a n ＞0，∴q ＝3. ∴a n ＝a 1q n －1＝2·3n －1. (2)∵b 1＝a 2，∴b 1＝6.又b n ＋1＝b n ＋a n ，∴b n ＋1＝b n ＋2·3n －1. ∴b 2＝b 1＋2×30＝6＋2＝8， b 3＝b 2＋2×31＝8＋6＝14， b 4＝b 3＋2×32＝14＋18＝32， b 5＝b 4＋2×33＝32＋54＝86.10．(2018·全国卷Ⅰ文，17)已知数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝2()n ＋1a n ，设b n ＝a n n .(1)求b 1，b 2，b 3；(2)判断数列{b n }是否为等比数列，并说明理由； (3)求{a n }的通项公式．[解析] (1)由条件可得a n ＋1＝2(n ＋1)na n .将n ＝1代入得，a 2＝4a 1，而a 1＝1，所以，a 2＝4. 将n ＝2代入得，a 3＝3a 2，所以，a 3＝12. 从而b 1＝1，b 2＝2，b 3＝4.(2)数列{b n }是首项为1，公比为2的等比数列．理由如下：由条件可得a n ＋1n ＋1＝2a nn ，即b n ＋1＝2b n ，又b 1＝1，所以数列{b n }是首项为1，公比为2的等比数列． (3)由(2)可得a n n＝2n －1，所以a n ＝n ·2n －1.B 级素养提升一、选择题1．已知{a n }是公比为q (q ≠1)的等比数列，a n >0，m ＝a 5＋a 6，k ＝a 4＋a 7，则m 与k 的大小关系是( C )A ．m >kB ．m ＝kC ．m <kD ．m 与k 的大小随q 的值而变化 [解析] m －k ＝(a 5＋a 6)－(a 4＋a 7) ＝(a 5－a 4)－(a 7－a 6) ＝a 4(q －1)－a 6(q －1) ＝(q －1)(a 4－a 6) ＝(q －1)·a 4·(1－q 2)＝－a 4(1＋q )(1－q )2<0(∵a n >0，q ≠1)．2．数列{a n }是公差不为0的等差数列，且a 1、a 3、a 7为等比数列{b n }的连续三项，则数列{b n }的公比为( C )A ．2B ．4C ．2D ．12[解析] ∵a 1、a 3、a 7为等比数列{b n }中的连续三项， ∴a 23＝a 1·a 7，设{a n }的公差为d ，则d ≠0， ∴(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋6d )，∴a 1＝2d ， ∴公比q ＝a 3a 1＝4d2d＝2，故选C ．3．已知a 1，a 2，a 3，…，a 8为各项都大于零的等比数列，公比q ≠1，则( A ) A ．a 1＋a 8>a 4＋a 5 B ．a 1＋a 8<a 4＋a 5 C ．a 1＋a 8＝a 4＋a 5D ．a 1＋a 8与a 4＋a 5大小不定[解析] 由条件知，(a 1＋a 8)－(a 4＋a 5)＝a 1(1＋q 7－q 3－q 4)＝a 1[(1－q 3)＋q 4(q 3－1)] ＝a 1(1－q 3)(1－q 4)＝a 1(1－q )(1＋q ＋q 2)·(1－q 2)(1＋q 2) ＝a 1(1－q )2(1＋q )(1＋q 2)(1＋q ＋q 2)． ∵q >0且q ≠1，a 1>0， ∴(a 1＋a 8)－(a 4＋a 5)>0， ∴a 1＋a 8>a 4＋a 5.4．在如下表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，则a ＋b ＋c 的值为( D )A ．1C ．3D ．98[解析] 按题意要求，每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列填表如图，故a ＝12，b ＝38，c ＝14，则a ＋b ＋c ＝98.故选D ．二、填空题5．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有人持金出五关，前关二税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤．问本持金几何”其意思为“今有人持金出五关，第1关收税金12，第2关收税金13，第3关收税金14，第4关收税金15，第5关收税金16，5关所收税金之和，恰好1斤重，设这个人原本持金为x ，按此规律通关第8关”，则第8关需收税金为__172__x .[解析] 第1关收税金：12x ；第2关收税金：13(1－12)x ＝12×3x ；第3关收税金：14(1－12－16)x ＝13×4x ；…，可得第8关收税金：18×9x ，即172x .6．各项均为正数的等比数列{a n }中，a 2－a 1＝1.当a 3取最小值时，数列{a n }的通项公式a n ＝__2n －1__.[解析] 设等比数列的公比为q (q >0)，由a 2－a 1＝1，得a 1(q －1)＝1，所以a 1＝1q －1.a 3＝a 1q 2＝q 2q －1＝1－1q 2＋1q(q >0)，而－1q 2＋1q ＝－(1q －12)2＋14，①当q ＝2时①式有最大值14，所以当q ＝2时a 3有最小值4. 此时a 1＝1q －1＝12－1＝1.所以数列{a n }的通项公式a n ＝2n －1.故答案为2n －1. 三、解答题7．等比数列{a n }中，已知a 1＝2，a 4＝16. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若a 3、a 5分别为等差数列{b n }的第3项和第5项，试求数列{b n }的通项公式及前n 项和S n .[解析] (1)设{a n }的公比为q ，由已知得16＝2q 3，解得q ＝2， ∴a n ＝a 1q n －1＝2n .(2)由(1)得a 3＝8，a 5＝32，则b 3＝8，b 5＝32，设{b n }的公差为d ，则有⎩⎪⎨⎪⎧ b 1＋2d ＝8b 1＋4d ＝32，解得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝－16d ＝12. 从而b n ＝－16＋12(n －1)＝12n －28， ∴数列{b n }的前n 项和S n ＝n (－16＋12n －28)2＝6n 2－22n .8．设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2. (1)设b n ＝a n ＋1－2a n ，证明：数列{b n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式．[解析] (1)证明：由已知，有a 1＋a 2＝4a 1＋2，∴a 2＝3a 1＋2＝5，故b 1＝a 2－2a 1＝3. 又a n ＋2＝S n ＋2－S n ＋1＝4a n ＋1＋2－(4a n ＋2) ＝4a n ＋1－4a n ，于是a n ＋2－2a n ＋1＝2(a n ＋1－2a n )，即b n ＋1＝2b n .因此数列{b n }是首项为3，公比为2的等比数列． (2)由(1)知等比数列{b n }中，b 1＝3，公比q ＝2，所以a n ＋1－2a n ＝3×2n －1. 于是a n ＋12n ＋1－a n 2n ＝34，因此数列{a n 2n }是首项为12，公差为34的等差数列，a n 2n ＝12＋(n －1)×34＝34n －14.所以a n ＝(3n －1)·2n －2.由Ruize收集整理。

人教版高中数学必修五课时作业15：第2课时数列的递推公式与通项公式

第2课时数列的递推公式与通项公式一、选择题1.已知a n ＋1－a n －3＝0，则数列{a n }是( )A.递增数列B.递减数列C.常数列D.不能确定考点数列的性质题点判断或证明数列的单调性答案 A解析 a n ＋1－a n ＝3＞0，故数列{a n }为递增数列.2.已知数列{a n }的首项a 1＝1，且满足a n ＋1＝12a n ＋12n ，则此数列的第4项是() A.1 B.12 C.34 D.58考点数列的递推公式题点由递推公式求项答案 B解析 a 2＝12a 1＋12＝1；a 3＝12a 2＋14＝34；a 4＝12a 3＋18＝12.3.已知数列{a n }中，a n －1＝ma n ＋1(n >1)，且a 2＝3，a 3＝5，则实数m 等于()A.25B.23C.2D.3 考点数列的递推公式题点由递推公式求项答案 A解析由题意得a 2＝ma 3＋1，即3＝5m ＋1，∴m ＝25. 4.已知a 1＝1，a n ＝a n －1＋3(n ≥2，n ∈N *)，则数列的通项公式为( )A.a n ＝3n ＋1B.a n ＝3nC.a n ＝3n －2D.a n ＝3(n －1)考点数列的递推公式题点由递推公式求通项公式答案 C解析 ∵a n ＝a n －1＋3，∴a n －a n －1＝3.∴a 2－a 1＝3，a 3－a 2＝3，a 4－a 3＝3，…，a n －a n －1＝3，以上各式两边分别相加，得a n －a 1＝3(n －1)，∴a n ＝a 1＋3(n －1)＝1＋3(n －1)＝3n －2，故选C.5.若a 1＝1，a n ＋1＝a n3a n ＋1，则给出的数列{a n }的第4项是( )A.116B.117C.110D.125考点数列的递推公式题点由递推公式求项答案 C解析 a 2＝a 13a 1＋1＝13＋1＝14，a 3＝a 23a 2＋1＝1434＋1＝17，a 4＝a 33a 3＋1＝1737＋1＝110.6.已知数列{a n }中，a n ＝－2n 2＋29n ＋3，则数列中最大项的值是() A.107 B.108 C.10818 D.109考点数列的性质题点求数列的最大项、最小项答案 B解析由已知得a n ＝－2n 2＋29n ＋3＝－2⎝⎛⎭⎫n －2942＋10818，由于n ∈N *，故当n 取距离294最近的正整数7时，a n 取得最大值108. ∴数列{a n }中的最大值为a 7＝108.二、填空题7.已知数列{a n }中，a 1＝2，a n ＝－1a n －1(n ≥2)，则a 2 018＝________. 考点数列的递推公式题点周期数列问题答案－12解析 ∵a 2＝－1a 1＝－12，a 3＝－1a 2＝2，a 4＝－12＝a 2， ∴{a n }的周期为2，∴a 2 018＝a 2＝－12. 8.若数列{a n }满足(n －1)a n ＝(n ＋1)a n －1，且a 1＝1，则a 100＝________.考点数列的递推公式题点由递推公式求项答案 5 050解析由(n －1)a n ＝(n ＋1)a n －1，即a na n －1＝n ＋1n －1，则a 100＝a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a 100a 99＝1×31×42×…×10199＝5 050. 9.已知数列{a n }满足：a n ≤a n ＋1，a n ＝n 2＋λn ，n ∈N *，则实数λ的最小值是________. 考点数列的性质题点已知数列的单调性求参数的值或取值范围答案－3解析 a n ≤a n ＋1⇔n 2＋λn ≤(n ＋1)2＋λ(n ＋1)⇔λ≥－(2n ＋1)，n ∈N *⇔λ≥－3.10.根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，可以得出第n 个图中有________个点.考点数列的通项公式题点根据图形写出通项公式答案 n 2－n ＋1解析图(1)只有1个点，无分支；图(2)除中间1个点外，有2个分支，每个分支有1个点；图(3)除中间1个点外，有3个分支，每个分支有2个点；图(4)除中间1个点外，有4个分支，每个分支有3个点；…猜想第n 个图中除中间一个点外，有n 个分支，每个分支有(n －1)个点，故第n 个图中点的个数为1＋n (n －1)＝n 2－n ＋1.三、解答题11.根据下列条件，写出数列的前4项，并归纳猜想它的通项公式.(1)a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋2n －1(n ∈N *)；(2)a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋a n n ＋1(n ∈N *). 考点数列的递推公式题点由递推公式求通项公式解 (1)a 1＝0，a 2＝1，a 3＝4，a 4＝9.猜想a n ＝(n －1)2(n ∈N *).(2)a 1＝1，a 2＝32，a 3＝42＝2，a 4＝52.猜想a n ＝n ＋12(n ∈N *). 12.已知数列{a n }满足a 1＝12，a n a n －1＝a n －1－a n ，求数列{a n }的通项公式. 考点数列的递推公式题点由递推公式求通项公式解 ∵a n a n －1＝a n －1－a n ，∴1a n －1a n －1＝1.∴当n ≥2时，1a n ＝1a 1＋⎝⎛⎭⎫1a 2－1a 1＋⎝⎛⎭⎫1a 3－1a 2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1a n －1＝2＋1＋1＋…＋1＝n ＋1.(n －1)个1∴1a n ＝n ＋1，∴当n ≥2时，a n ＝1n ＋1.a 1＝12也符合上式，∴ a n ＝1n ＋1(n ∈N *).13.已知数列{a n }满足：a 1＝m (m 为正整数)，a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧an2，a n 为偶数，3a n ＋1，a n 为奇数.若a 6＝1，求m 所有可能的取值.考点数列的递推公式题点递推公式其他应用解若a 5为奇数，则3a 5＋1＝1，a 5＝0(舍去).若a 5为偶数，则a 52＝1，a 5＝2.若a 4为奇数，则3a 4＋1＝2，a 4＝13(舍去).若a 4为偶数，则a 42＝2，a 4＝4.若a 3为奇数，则3a 3＋1＝4，a 3＝1，则a 2＝2，a 1＝4.若a 3为偶数，则a 32＝4，a 3＝8，若a 2为奇数，则3a 2＋1＝8，a 2＝73(舍去).若a 2为偶数，则a 22＝8，a 2＝16. 若a 1为奇数，则3a 1＋1＝16，a 1＝5.若a 1为偶数，则a 12＝16，a 1＝32. 故m 所有可能的取值为4,5,32.四、探究与拓展14.数列{a n }中，a 1＝1，对所有的n ≥2，n ∈N *，都有a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，则a 3＋a 5等于( ) A.259 B.2516 C.6116 D.3115考点数列的递推公式题点由递推公式求项答案 C解析 a 1a 2a 3＝32，a 1a 2＝22，a 1a 2a 3a 4a 5＝52，a 1a 2a 3a 4＝42，则a 3＝3222＝94，a 5＝5242＝2516.故a 3＋a 5＝6116. 15.由1,3,5，…，2n －1，…构成数列{a n }，数列{b n }满足b 1＝2，当n ≥2时，b n ＝ab n －1，则b 6的值是( )A.9B.17C.33D.65考点数列的新定义问题题点数列的新定义问题答案 C解析 ∵b n ＝ab n －1，∴b 2＝ab 1＝a 2＝3，b 3＝ab 2＝a 3＝5，b 4＝ab 3＝a 5＝9，b 5＝ab 4＝a 9＝17，b 6＝ab 5＝a 17＝33.。

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2017高中数学人教A版必修5 课时作业15课时数列目录【课时作业】2017高中数学人教A版必修5课时作业01 数列的概念与简单表示法【课时作业】2017高中数学人教A版必修5课时作业02 数列的性质和递推公式【课时作业】2017高中数学人教A版必修5课时作业03 等差数列（第1课时）【课时作业】2017高中数学人教A版必修5课时作业04 等差数列（第2课时）【课时作业】2017高中数学人教A版必修5课时作业05 等差数列（第3课时）【课时作业】2017高中数学人教A版必修5课时作业06 等差数列的前n项和（第1课时）【课时作业】2017高中数学人教A版必修5课时作业07 等差数列的前n项和（第2课时）【课时作业】2017高中数学人教A版必修5课时作业08 等差数列的前n项和第3课时【课时作业】2017高中数学人教A版必修5课时作业09 等比数列（第1课时）【课时作业】2017高中数学人教A版必修5课时作业10 等比数列（第2课时）【课时作业】2017高中数学人教A版必修5课时作业11 等比数列的前n项和（第1课时）【课时作业】2017高中数学人教A版必修5课时作业12 等比数列的前n项和（第2课时）【课时作业】2017高中数学人教A版必修5课时作业13 专题研究一数列通项的求法【课时作业】2017高中数学人教A版必修5课时作业14 专题研究二特殊数列求和方法【课时作业】2017高中数学人教A版必修5课时作业15 专题研究三数列的实际应用2015年高中数学课时作业01 数列的概念与简单表示法新人教版必修51.下列说法中，正确的是( ) A.数列1,3,5,7可表示为{1,3,5,7}B.数列1,0，－1，－2与数列－2，－1,0,1是相同的数列C.数列{n ＋1n }的第k 项为1＋1kD.数列0,2,4,6,8，…可记为{2n} 答案为：C解析：A 中，{1,3,5,7}表示集合，所以A 不正确；数列中的各项是有顺序的，所以B 不正确；D 中，数列应记为{2n －2}，所以D 不正确；很明显C 正确.2.数列23，45，67，89，…的第10项是( )A.1617B.1819C.2021D.2223 答案为：C3.已知数列12，23，34，45，…，那么0.94,0.96,0.98,0.99中属于该数列中某一项值的应当是( )A.1个 B.2个 C.3个 D.4个答案为：C 4.2n 是数列1,2,4， (2)，…的第几项( ) A.n B.n ＋1 C.n －1 D.都不是答案为：B5.已知数列{an}前三项分别为－1,0,1下列各式：①an=n －2；②an= －1 n －12；③an=(n －2)5；④an=(n －2)＋(n －1)(n －2)(n －3).其中能作为数列{an}的通项公式的有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个答案为：C解析：验证选项.6.数列12，16，112，120，…的一个通项公式是( )A.an=1n n －1B.an=12 2n －1C.an=1n －1n ＋1D.an=1－1n答案为：C解析：联系基本数列：2,6,12,20，…的通项为an=n(n ＋1)，而1n n ＋1 =1n －1n ＋1.7.数列0.3,0.33,0.333,0.333 3，…的一个通项公式a n 等于( ) A.19(10n －1) B.13(10n －1) C.13(1－110n ) D.310(10n －1) 答案为：C8.设a n =1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n (n ∈N *)，则a n ＋1－a n 等于( )A.12n ＋1B.12n ＋2C.12n ＋1＋12n ＋2D.12n ＋1－12n ＋2 答案为：D9.数列{an}的通项公式an=3n2－28n ，则数列各项中最小项是( ) A.第4项 B.第5项 C.第6项 D.第7项答案为：B解析：an=3n2－28n=3(n －143)2－1963，5离143最近.10.下图是一系列有机物的结构简图，图中的“小黑点”表示原子，两黑点间的“短线”表示化学键，按图中结构第n 个图有化学键( )A.6n 个B.4n ＋2个C.5n －1个D.5n ＋1个答案为：D解析：每个结构简图去掉最左边的一个化学键后，每个环上有5个化学键，故第n 个结构简图有5n ＋1个化学键.11.已知下列数列：(1)2 000,2 004,2 008,2 012；(2)0，12，23，…，n －1n ，…；(3)1，12，14，…，12n －1，…；(4)1，－23，35，…，－1 n －1·n2n －1，…；(5)1,0，－1，…，sin n π2，…；(6)6,6,6,6,6,6. 其中，有穷数列是________，无穷数列是________，递增数列是________，递减数列是________，常数列是________，摆动数列是________，周期数列是________.(将合理的序号填在横线上)答案为：(1)(6) (2)(3)(4)(5) (1)(2) (3) (6) (4)(5) (5)12.已知数列{a n }，a n =cosn θ，0<θ<π6，a 5=12，则a 10=________.答案为：－1213.数列{an}的通项公式为an=logn ＋1(n ＋2)，则它前14项的积为________. 答案为：4解析：log23·log34·log45·…·log1516=log216=4.14.已知数列{a n }中，a 1=2，a 17=66，通项公式是项数n 的一次函数. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)88是否是数列{a n }中的项？解析：(1)设a n =an ＋b ，∴a 1=2=a ＋b.a 17=17a ＋b=66. ∴a=4，b=－2.∴a n =4n －2(n ∈N ＋).(2)令4n －2=88，∴n=452∉N ＋，不是{a n }中的项.15.数列{a n }的通项公式为a n =30＋n －n 2. (1)－60是否是{a n }中的一项？(2)当n 分别取何值时，a n =0，a n >0，a n <0? 解析：(1)假设－60是{a n }中的一项，则－60=30＋n －n 2.解得n=10或n=－9(舍去). ∴－60是{a n }的第10项.(2)n=6时，a n =0；0<n<6时，a n >0；n>6时，a n <0.1.写出下列数列的一个通项公式. (1)a ，b ，a ，b ，…；(2)－1，85，－157，249，….答案为：(1)a n =a ＋b 2＋(－1)n －1·a －b 2(2)a n =(－1)n·n 2＋2n 2n ＋12.写出下列数列的一个通项公式.(可以不写过程) (1)3,5,9,17,33，…； (2)23，415，635，863，…； (3)1,0，－13，0，15，0，－17，0，….答案为：(1)a n =2n＋1(2)a n =2n2n －1 2n ＋1(3)a n =sinn π2n2015年高中数学课时作业02 数列的性质和递推公式新人教版必修51.数列1,3,6,10,15，…的递推公式是( )A.a n ＋1=a n ＋n ，n ∈N *B.a n =a n －1＋n ，n ∈N *，n ≥2C.a n ＋1=a n ＋(n ＋1)，n ∈N *，n ≥2D.a n =a n －1＋(n －1)，n ∈N *，n ≥2 答案为：B解析：逐项验证可知B 选项合适.2.已知数列{a n }满足a 1>0，且a n ＋1=12a n ，则数列{a n }是( )A.递增数列B.递减数列C.常数列D.摆动数列答案为：B解析：由a 1>0，且a n ＋1=12a n ，则a n >0，又a n ＋1a n =12<1，∴a n ＋1<a n .因此数列{a n }为递减数列.3.已知数列{a n }的项满足a n ＋1=nn ＋2a n ，而a 1=1，通过计算a 2，a 3，猜想a n 等于( )A.2 n ＋1 2B.2n n ＋1C.12n －1D.12n －1 答案为：B解析：a 1=1=21×2，∵a n ＋1=n n ＋2a n ，∴a 2=13=22×3.同理a 3=16=23×4.猜想a n =2n n ＋1.4.已知数列{a n }对任意的p ，q ∈N *满足a p ＋q =a p ＋a q ，且a 2=－6，那么a 10等于( ) A.－165 B.－33 C.－30 D.－21 答案为：C解析：由题可得，a 2=a 1＋a 1，所以a 1=－3，a 10=a 1＋a 9=…=a 1＋a 1＋…＋a 1=－30.5.数列{a n }中，a 1=1，对所有的n ≥2，都有a 1·a 2·a 3…a n =n 2，则a 3＋a 5等于( ) A.259 B.2516 C.6116 D.3115 答案为：C6.在数列{a n }中，已知a n =n ＋cn ＋1(c ∈R )，则对于任意正整数n 有( )A.a n <a n ＋1B.a n 与a n ＋1的大小关系和c 有关C.a n >a n ＋1D.a n 与a n ＋1的大小关系和n 有关答案为：B解析：∵a n =n ＋c n ＋1=n ＋1＋c －1n ＋1=1＋c －1n ＋1，∴a n －a n ＋1=c －1n ＋1－c －1n ＋2=c －1n ＋1 n ＋2.当c －1>0时，a n >a n ＋1；当c －1<0时，a n <a n ＋1；当c －1=0时，a n =a n ＋1.7.下列叙述中正确的个数为( ) ①数列a n =2是常数列；②数列{(－1)n·1n }是摆动数列；③数列{n2n ＋1}是递增数列；④若数列{a n }是递增数列，则数列{a n ·a n ＋1}也是递增数列. A.1 B.2 C.3 D.4 答案为：C解析：①②③正确.对于④，如a n 为－2，－1,0,1,2,3，…，即不合要求.8.已知数列{a n }的通项公式为a n =－2n 2＋21n ，则该数列中最大的项为第________项. 答案为：5解析：∵f(n)=－2n 2＋21n=－2(n －214)2＋4418(n ∈N *)，∴n=5或6时a n 最大.∵a 5=55，a 6=54，∴最大项为第5项.9.函数f(x)定义如下表，数列{x n }满足x 0=5，且对任意的自然数均有x n ＋1=f(x n )，则x 2012=________.答案为：1解析：由题意可得x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，…的值分别为2,1,5,2,1，…，故数列{x n }为周期为3的周期数列.∴x 2 012=x 3×670＋2=x 2=1.10.已知数列{an}的通项公式是an=⎩⎪⎨⎪⎧2－n ， n 是奇数，11＋n －2， n 是偶数.则它的前4项为________.答案为：12，45，18，161711.数列{a n }中a 1=1，a 2=3，a 2n －a n －1·a n ＋1=(－1)n －1(n ≥2)，那么a 4=________. 答案为：33解析：令n=2，得a 22－a 1·a 3=－1，∴a 3=10.令n=3代入，得a 23－a 2a 4=(－1)2，∴a 4=33.12.在数列{a n }中，已知a 1=2，a 2=3，a n ＋2=3a n ＋1－2a n (n ≥1)，写出此数列的前6项，并猜想数列的通项公式.解析：a 1=2，a 2=3，a 3=3a 2－2a 1=3×3－2×2=5， a 4=3a 3－2a 2=3×5－2×3=9， a 5=3a 4－2a 3=3×9－2×5=17， a 6=3a 5－2a 4=3×17－2×9=33.可猜想a n =2n －1＋1.13.已知a n =a(12)n(a 为常数且a ≠0)，试判断{a n }的单调性.下面是一学生的解法，这种解法对吗？如果不对给出你的结论.∵a n －a n －1=a(12)n －a(12)n －1=－a(12)n<0，∴{a n }是递减数列.解析：这种解法误认为a>0，所以不对，对于非零实数a 应讨论a>0和a<0两种情况.∵a n －a n －1=－a(12)n(n ≥2)，∴当a>0时，a n －a n －1<0.∴a n <a n －1.∴{a n }是递减数列；当a<0时，a n －a n －1>0，∴a n >a n －1.∴{a n }是递增数列.14.已知数列{a n }：13，－12，35，－23， …(1)写出数列的通项公式； (2)计算a 10，a 15，a 2n ＋1；(3)证明：数列{|a n |} 是递增数列.解析：(1)原数列变形为：13，－24，35，－46，…，分别考查数列的分子，分母与项数n 的关系以及符号相间出现，第一项为正，所以数列的通项公式为a n =(－1)n ＋1nn ＋2.(2)当n=10，则a 10=－1012=－56；当n=15时，则a 15=1517；将a n 中n 换成2n ＋1时，得a 2n ＋1=2n ＋12n ＋3.(3)令b n =|a n |(n ∈N *)，则b n =|(－1)n ＋1nn ＋2|=n n ＋2.∵b n ＋1－b n =n ＋1 n ＋1 ＋2－n n ＋2=2n ＋3 n ＋2>0.∴b n ＋1>b n .即对一切正整数n ，恒有|a n ＋1|>|a n |成立.因此数列{|a n |}为递增数列.讲评本题求解时，若与函数的定义，函数相关的性质联系容易理解，a n =f(n)即为函数的解析式；a 10=f(10)，即是函数在n=10的函数值；a 2n ＋1=f(2n ＋1)即为函数代换，将函数中的变量n 换成了2n ＋1；当|a n ＋1|>|a n |时，则数列在n ∈N *时为递增数列，这与函数单调递增定义一样，即对一切正整数n 当n ＋1>n ，都有|a n ＋1|>|a n |，说明数列中每一项大于前一项，即为递增数列.15.数列{an}满足a1=1，且an ＋1＋2anan ＋1－an=0. (1)写出数列{an}的前5项；(2)由(1)写出数列{an}的一个通项公式；(3)实数199是否为这个数列中的项？若是，应为第几项？解析：(1)∵a1=1，an ＋1＋2anan ＋1－an=0，∴a2＋2a1a2－a1=0，解得a2=13.同理，可以解得a3=15，a4=17，a5=19.∴数列的前5项为1，13，15，17，19.(2)由以上可得an=12n －1.(3)令12n －1=199，得n=50.即199是这个数列的第50项.►重点班·选作题16.已知a n =n －98n －99，则这个数列的前30项中最大项和最小项分别是( )A.a 1，a 30B.a 1，a 9C.a 10，a 9D.a 10，a 30 答案为：C17.根据下列5个图形及相应的个数的变化规律，试猜测第n 个图中有多少个点.解析：图(1)只有1个点，无分支；图(2)除中间1个点外，有两个分支，每个分支有1个点；图(3)除中间1个点外，有三个分支，每个分支有2个点；图(4)除中间1个点外，有四个分支，每个分支有3个点；…；猜测第n 个图中除中间一个点外，有n 个分支，每个分支有(n －1)个点，故第n 个图中个数为1＋n(n －1)=n 2－n ＋1.设{a n }是首项为1的正项数列且(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n＋a n ＋1·a n =0(n ∈N *)，求a n .解析：方法一 (累乘法)由(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n＋a n ＋1a n =0，得(a n ＋1＋a n )(na n ＋1－na n ＋a n ＋1)=0. 由于a n ＋1＋a n >0，∴(n ＋1)a n ＋1－na n =0. ∴a n ＋1a n =n n ＋1. ∴a n =a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a na n －1=1×12×23×34×…×n －1n =1n .2015年高中数学课时作业03 等差数列（第1课时）新人教版必修51.已知等差数列{a n }的通项公式a n =3－2n ，则它的公差为( ) A.2 B.3 C.－2 D.－3 答案为：C解析：可得a n ＋1－a n =－2或a 2－a 1=(3－4)－(3－2)=－2.2.已知数列{a n }满足a 1=2，a n ＋1－a n ＋1=0，则数列的通项a n 等于( ) A.n 2＋1 B.n ＋1 C.1－n D.3－n 答案为：D3.等差数列－3，－1,1，…，的第1 000项为( ) A.1 990 B.1 995 C.2 010 D.2 015 答案为：B4.等差数列1，－1，－3，－5，…，－89，它的项数为( ) A.92 B.47 C.46 D.45 答案为：C5.等差数列20,17,14,11，…中第一个负数项是( ) A.第7项 B.第8项 C.第9项 D.第10项答案为：B6.{a n }是首项a 1=1，公差d=3的等差数列，若a n =2 011，则n 等于( ) A.671 B.670 C.669 D.668 答案为：A7.lg(3－2)与lg(3＋2)的等差中项为( )A.0B.lg 3－23＋2C.lg(5－26)D.1答案为：A解析：等差中项为lg 3－2 ＋lg 3＋22=lg[ 3－2 3＋2 ]2=lg12=0.8.一个首项为23，公差为整数的等差数列，第7项开始的负数，则它的公差是( ) A.－2 B.－3 C.－4 D.－6 答案为：C9.若a ≠b ，两个等差数列a ，x1，x2，b 与a ，y1，y2，y3，b 的公差分别为d1，d2，则d1d2=( )A.32B.23C.43D.34 答案为：C解析：∵d1=b －a 4－1，d2=b －a 5－1，∴d1d2=43.10.首项为－24的等差数列，从第10项起为正数，则公差d 的取值范围是( )A.d>83B.d<3C.83≤d<3D.83<d ≤3 答案为：D解析：从第10项起为正数，则a10>0且，a9≤0，由⎩⎪⎨⎪⎧－24＋9d>0，－24＋8d ≤0，可得83<d ≤3.11.等差数列2,5,8，…，107共有________项.答案为：3612.{a n }为等差数列，且a 7－2a 4=－1，a 3=0，则公差d=________.答案为：－12解析：法一由于a 7－2a 4=a 1＋6d －2(a 1＋3d)=－a 1=－1，则a 1=1，又由于a 3=a 1＋2d=1＋2d=0，解得d=－12.法二 a 7=a 3＋4d=4d ，a 4=a 3＋d=d ，代入条件即可得d.13.首项为18，公差为3的等差数列从第________项开始大于100. 答案为：2914.已知一个等差数列的第8，第9，第10项分别为b －1，b ＋1,2b ＋3，则通项公式an=________. 答案为：2n －17解析：由(b －1)＋(2b ＋3)=2(b ＋1)，可得b=0. ∴a8=－1，a9=1，a10=3.∴d=2，a1=－15，∴an=2n －17.15.已知f(n ＋1)=f(n)－14(n ∈N*)，且f(2)=2，则f(101)=____________.答案为：－914解析：∵{f(n)}为等差数列，公差为－14，∴f(1)=f(2)－(－14)=2＋14=94.∴f(101)=f(1)＋100·d=94＋100×(－14)=－914.16.已知等差数列5,2，－1，…. (1)求数列的第20项；(2)问－112是它的第几项？ (3)数列从第几项开始小于－20? (4)在－20到－40之间有多少项？答案为：(1)－52 (2)第40项 (3)从第10项开始 (4)6项17.有一个阶梯教室，共有座位25排，第一排离教室地面高度为17 cm ，前16排前后两排高度差8 cm ，从17排起，前后两排高度差是10 cm(含16,17排之间高度差).求最后一排离教室地面的高度.解析：设从第一排起，各排的高度组成数列{a n }，则a 1=17，∴a 16=a 1＋15d 1=17＋15×8=137. ∴a 25=a 16＋10·d 2=137＋10×10=237(cm). ►重点班·选作题18.一个等差数列{a n }中，a 1=1，末项a n =100(n ≥3)，若公差为正整数，则项n 的取值有________种可能.答案为：519.等差数列{a n }中，已知a 1=13，a 2＋a 5=4，a n =33，求n 的值.答案为：501.(2011·重庆)在等差数列{a n }中，a 2=2，a 3=4，则a 10等于( ) A.12 B.14 C.16 D.18 答案为：D解析：设{a n }的公差为d ，∵a 2=2，a 3=4，∴d=a 3－a 2=2. ∴a 10=a 2＋(10－2)d=2＋8×2=18.2.已知数列{an}为等差数列，且a5=11，a8=5，求an. 解析：设公差为d ，则由a5=11，a8=5，得 ⎩⎪⎨⎪⎧ a1＋4d ＝11，a1＋7d ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a1＝19，d ＝－2.∴an=19＋(n －1)(－2)，即an=－2n ＋21.3.(1)(2)利用建立的模型计算，甲虫1 min 能爬多远？它爬行49 cm 需要多长时间？解析：(1)由题目表中数据可知，该数列从第2项起，每一项与前一项的差都是常数9.8，所以是一个等差数列模型.因为a 1=9.8，d=9.8，所以甲虫的爬行距离s 与时间t 的关系是s=9.8t.(2)当t=1(min)=60(s)时， s=9.8t=9.8×60=558(cm).s=49(cm)时，t=s 9.8=494.8=5 (s).2015年高中数学课时作业04 等差数列（第2课时）新人教版必修51.已知等差数列{a n }中，a 7＋a 9=16，a 4=1，则a 12等于( ) A.15 B.30 C.31 D.64 答案为：A2.已知{a n }是等差数列，a 1≠d ，则a 2＋a 8≠( ) A.a 1＋a 9 B.a 4＋a 6 C.2a 5 D.a 1＋a 3＋a 6 答案为：D3.如果等差数列{}a n 中，a 3＋a 4＋a 5=12，那么a 1＋a 2＋…＋a 7=( ) A.14 B.21 C.28 D.35 答案为：C解析：由等差数列的性质知，a 3＋a 4＋a 5=3a 4=12⇒a 4=4，故a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 7=(a 1＋a 7)＋(a 2＋a 6)＋(a 3＋a 5)＋a 4=7a 4=28.4.设{an}，{bn}都是等差数列，且a1=25，b1=75，a2＋b2=100，则a37＋b37等于( ) A.0 B.37 C.100 D.－37 答案为：C解析：∵{an}、{bn}都是等差数列， ∴{an ＋bn}也是等差数列.∵a1＋b1=25＋75=100, a2＋b2=100， ∴{an ＋bn}的公差为0，∴a37＋b37=100.5.设数列{an}是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项为( ) A.1 B.2 C.4 D.6 答案为：B解析：设前三项为a －d ，a ，a ＋d ，则由a －d ＋a ＋a ＋d=12知a=4.又由(4－d)·4·(4＋d)=48知d2=4， ∵{an}为递增数列，∴d=2.6.在等差数列{an}中，若a4＋a6＋a8＋a10＋a12=120，则2a10－a12的值为( ) A.20 B.22 C.24 D.28 答案为：C解析：∵a4＋a6＋a8＋a10＋a12=5a8=120，∴a8=24. 又a8，a10，a12成等差数列，∴2a10－a12=a8=24.7.在等差数列{an}中，a3＋a12=60，a6＋a7＋a8=75，则( ) A.an=10n ＋45 B.an=6n －24 C.an=10n －45 D.an=6n ＋24 答案为：C解析：∵a6＋a7＋a8=3a7=75，∴a7=25. ∴a3＋a12=a7＋a8=60，∴a8=60－25=35. ∴公差d=a8－a7=10.∴an=a7＋(n －7)d=25＋(n －7)·10=10n －45.8.无穷等差数列{an}的公差为d ，首项为a1，则它有且仅有有限个负项的条件是( ) A.a1＞0 d ＞0 B.a1＞0 d ＜0 C.a1＜0 d ＞0 D.a1<0 d<0 答案为：C解析：检验选项.9.已知等差数列{a n }满足a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 101=0，则有( ) A.a 1＋a 101>0 B.a 2＋a 100<0 C.a 3＋a 100≤0 D.a 51=0 答案为：D10.若关于x 的方程x2－x ＋a=0与x2－x ＋b=0(a ≠b)的四个根可组成首项为14的等差数列，则a＋b 的值是( )A.38B.1124C.1324D.3172 答案为：D11.等差数列{a n }中，若a 2＋a 4 024=4，则a 2 013=________. 答案为：212.已知等差数列{a n }中，a 2＋a 6＋a 10=1，则a 3＋a 9=________.答案为：2313.在等差数列{a n }中，a 3=7，a 5=a 2＋6，则a 6=________. 答案为：13解析：由等差数列的性质有a 2＋a 6=a 3＋a 5，则a 6=a 3＋a 5－a 2=7＋6=13. 14.已知{an}为等差数列，a15=8，a60=20，则a75=__________. 答案为：24解析：a15，a30，a45，a60，a75成等差数列，公差d=20－84－1=4，∴a75=8＋(5－1)·4=24.15.已知等差数列{an}中，a1＋a4＋a7=39，a2＋a5＋a8=33，则a3＋a6＋a9=________. 答案为：27解析：a3＋a6＋a9=2(a2＋a5＋a8)－(a 1＋a4＋a7) =2×33－39=27.16.一位同学喜欢观察小动物的活动规律，他观察到随着气温的升高，一种昆虫在相等的时间内发出的啁啾声次数也在逐渐增加.下表是他记录的数据，34上方及40下方的数据变得模糊不清了.但是该同学记得气温每升高1℃他观察一次，而且观察到的数据成等差数列.请你为他补好这两个数据.解析：n a 1=4，a 5=20，温度为34℃时，a 7=a 1＋6d.又∵d=a 5－a 14=164=4，∴a 7=4＋6×4=28.若a n =40，则4＋(n －1)4=40.∴n=10，∴温度为37℃.17.三个数成等差数列，它们的和等于18，它们的平方和等于116，求这三个数. 思路分析利用对称性设数.解析：设所求三个数为a －d ，a ，a ＋d ，根据题意得到方程组⎩⎪⎨⎪⎧a －d ＋a ＋ a ＋d ＝18， ① a －d 2＋a2＋ a ＋d 2＝116. ② 由①得a=6.将a=6代入②，得d=±2. 当a=6，d=2时，所求三个数为4,6,8；当a=6，d=－2时，所求三个数为8,6,4.►重点班·选作题18.将等差数列3,8,13,18，…按顺序抄在练习本上，已知每行抄13个数，每页抄21行.求数33 333所在的页和行.解析：a1=3，d=5，a n=33 333，∴33 333=3＋(n－1)×5，∴n=6 667，可得a n在第25页，第9行.2015年高中数学课时作业05 等差数列（第3课时）新人教版必修51.在等差数列{a n }中，已知a 1=2，a 2＋a 3=13，则a 4＋a 5＋a 6等于( ) A.40 B.42 C.43 D.45 答案为：B解析：∵a 2＋a 3=13，∴2a 1＋3d=13.∵a 1=2，∴d=3. 而a 4＋a 5＋a 6=3a 5=3(a 1＋4d)=42.2.在等差数列－5，－312，－2，－12，…中，每相邻两项之间插入一个数，使之组成一个新的等差数列，则新数列的通项公式为( )A.an=34n －234B.an=－5－32(n －1)C.an=－5－34(n －1)D.an=54n2－3n答案为：A解析：首项为－5，公差为－312＋52=34，∴an=－5＋(n －1)·34=34n －234.3.若a ，b ，c 成等差数列，则二次函数y=ax2＋2bx ＋c 的图像与x 轴交点的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.1或2 答案为：D解析：∵a 、b 、c 成等差，∴2b=a ＋c.∴Δ=(2b)2－4ac=(a ＋c)2－4ac=(a －c)2≥0.4.数列{an}中，a1=15,3an ＋1=3an －2，那么该数列中相邻两项的乘积为负数的是( ) A.a21和a22 B.a22和a23 C.a23和a24 D.a24和a25 答案为：C解析：由3an ＋1=3an －2可知{an}为等差数列，又a1=15，∴an=15＋(n －1)·(－23)=－23n ＋473=47－2n3.令an ·an ＋1<0，即47－2n 3·47－2 n ＋13<0.可得452<n<472.又n ∈N *，∴n=23.(或由a n ＞0，得n ≤23，∴a 23＞0，a 24＜0)5.(2013·辽宁)下面是关于公差d>0的等差数列{a n }的四个命题： p 1：数列{a n }是递增数列； p 2：数列{na n }是递增数列；p 3：数列{a nn}是递增数列；p 4：数列{a n ＋3nd}是递增数列. 其中的真命题为( ) A.p 1，p 2 B.p 3，p 4 C.p 2，p 3 D.p 1，p 4 答案为：D解析：如数列为{－2，－1,0,1，…}，则1×a 1=2×a 2，故p 2是假命题；如数列为{1,2,3，…}，则a nn=1，故p3是假命题，故选D项.6.(2013·广东)在等差数列{a n}中，已知a3＋a8=10，则3a5＋a7=________.答案为：20解析：因为数列{a n}为等差数列，所以由等差数列的性质，得a3＋a8=a5＋a6=a4＋a7=10.所以3a5＋a7=a5＋2a5＋a7=a5＋a4＋a6＋a7=2×10=20.7.(2012·广东)已知递增的等差数列{a n}满足a1=1，a3=a22－4，则a n=________.答案为：2n－1解析：设等差数列{a n}的公差为d(d>0).由a3=a22－4，得a1＋2d=(a1＋d)2－4，即1＋2d=(1＋d)2－4，d2=4.又{a n}是递增数列，∴d=2. ∴a n=a1＋(n－1)d=1＋(n－1)·2=2n－1.8.在200到600之间，被5除余2的整数有______个.答案为：80解析：由200≤5n＋2≤600，得39.6≤n≤119.6.∴(119－40)＋1=80.9.已知数列{an}中，a3=2，a7=1，又数列{1an＋1}为等差数列，则an=________.答案为：19－nn＋5解析：∵1a7＋1=1a3＋1＋4d，∴d=124.∴1a n＋1=1a3＋1＋(n－3)d=n＋524，∴a n=19－nn＋5.10.将等差数列2,7,12,17,22，…中的数按顺序抄写在本子上，见下表，若每行可写12个数，每页共15解析：an=5n－3，由5n－3=1 997，得n=400.每页共12×15=180个数，360＜400＜540.又400－360=40=3×12＋4，∴1 997应抄在第3页，第4行第4个位置上.11.数列{an}满足a2n＋1=a2n＋4，且a1=1，an>0，则an=____________.答案为：4n－312.在等差数列{a n}中，a3＋a4＋a5=84，a9=73.求数列{a n}的通项公式.解析：因为{a n}是一个等差数列，所以a3＋a4＋a5=3a4=84，a4=28.设数列{a n}的公差为d，则5d=a9－a4=73－28=45，故d=9.由a4=a1＋3d，得28=a1＋3×9，即a1=1.所以a n=a1＋(n－1)d=1＋9(n－1)=9n－8(n∈N*).13.设数列{an }是公差不为零的等差数列，且a20=22，|a11|=|a51|，求an.解析：设公差为d，∵a20=22，|a11|=|a51|，∴|22－9d|=|22＋31d|.∵d≠0，∴22－9d=－22－31d.∴d=－2，∴a1=22－19×(－2)=60.∴an=－2n＋62.14.已知函数f(x)=3x x ＋3，数列{x n }的通项由x n =f(x n －1)(n ≥2，且n ∈N *)确定.(1)求证：{1x n }是等差数列；(2)当x 1=12时，求x 100.解析：(1)x n =f(x n －1)=3x n －1x n －1＋3(n ≥2，n ∈N *)，所以1x n =x n －1＋33x n －1=13＋1x n －1，1x n －1x n －1=13(n ≥2，n ∈N *). 所以{1x n}是等差数列.(2)由(1)知{1x n }的公差为13.又因为x 1=12，所以1x n =1x 1＋(n －1)×13，1x 100=2＋(100－1)×13=35.所以x 100=135.15.已知数列{a n }满足a 1=4，a n =4－4a n －1(n>1)，记b n =1a n －2.(1)求证：数列{b n }是等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式.解析：(1)证明 ∵b n ＋1－b n =1a n ＋1－2－1a n －2=1 4－4a n －2－1a n －2=a n 2 a n －2 －1a n －2=a n －22 a n －2 =12，又∵b 1=1a 1－2=12，∴数列{b n }是首项为12，公差为12的等差数列.(2)由(1)知b n =12＋(n －1)×12=12n ，∵b n =1a n －2，∴a n =1b n ＋2=2n ＋2.2015年高中数学课时作业06 等差数列的前n 项和（第1课时）新人教版必修51.等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3=6，a 3=4，则公差d 等于( )A.1B.53C.2D.3 答案为：C解析：由⎩⎪⎨⎪⎧3 a 1＋4 2＝6，a 1＋2d ＝4，解得d=2.2.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 101=0，则有( )A.a 1＋a 101>0B.a 1＋a 101<0C.a 1＋a 101=0D.a 1＋a 101的符号不确定答案为：C解析：∵S 101= a 1＋a 101 ×1012，∴a 1＋a 101=0.3.等差数列{an}中，a1＋a4=10，a2－a3=2.则其前n 项和Sn 为( ) A.8＋n －n2 B.9n －n2C.5n －n2D.9n －n22答案为：B解析：∵a2－a3=2，∴公差d=a3－a2=－2. 又a1＋a4=a1＋(a1＋3d)=2a1－6=10， ∴a1=8，∴Sn=－n2＋9n.4.等差数列{a n }中，a 1=1，a 3＋a 5=14，其前n 项和S n =100，则n=( ) A.9 B.10 C.11 D.12 答案为：B5.{an}是等差数列，首项a1＞0，a2 003＋a2 004＞0.a2 003·a2 004<0，则使前n 项和Sn ＞0成立的最大自然数n 是( )A.4 005B.4 006C.4 007D.4 008 答案为：B解析：∵Sn=n a1＋an2，∴S4 006=4 006 a1＋a4 0062=2 003(a2 003＋a2 004)＞0.又S4 007=4 007 a 1＋a 4 0072=4 007·a 2 004<0.∴选B.6.已知等差数列的公差为－57，其中某连续7项的和为0，则这7项中的第1项是( )A.137B.217C.267D.347 答案为：B解析：记某连续7项为a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7；则a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7=7a4=0，∴a4=0.∴a1=a4－3d=0－3·(－57)=157.7.等差数列{a n }中，S 10=4S 5，则a 1d等于( )A.12B.2C.14D.4 答案为：A8.等差数列{an}中，a9=3，那么它的前17项的和S17=( ) A.51 B.34 C.102 D.不能确定答案为：A解析：S17=17a9=17×3=51.9.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4=18－a 5，则S 8等于( ) A.72 B.54 C.36 D.18 答案为：A10.等差数列{a n }的前n 项和为S n .已知a m －1＋a m ＋1－a 2m =0，S 2m －1=38，则m=( ) A.38 B.20 C.10 D.9 答案为：C解析：由条件得2am=a m －1＋a m ＋1=a 2m ，从而有a m =0或2.又由S 2m －1=a 1＋a 2m －12×(2m －1)=38且2a m =a 1＋a 2m －1得(2m －1)a m =38.故a m ≠0，则有2m －1=19，m=10.11.等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2=1，a 3=3，则S 8=________. 答案为：48解析：设公差为d ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝1，a 1＋2d ＝3，解得a 1=－1，d=2.所以S 8=8a 1＋8×72d=8×(－1)＋8×72×2=48. 12.等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且6S 5－5S 3=5，则a 4=________.答案为：13解析：设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，则由6S 5－5S 3=5，得6(a 1＋3d)=2，所以a 4=13.13.等差数列{an}和{bn}的前n 项和分别为An 和Bn.若An Bn =3n －12n ＋3，则a13b13的值为__________.答案为：745314.已知等差数列{a n }中，a 1=1，a 3=－3. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{a n }的前k 项和S k =－35，求k 的值. 答案为：(1)a n =3－2n (2)715.已知等差数列{a n }中，a 3a 7=－16，a 4＋a 6=0，求{a n }的前n 项和S n . 答案为：S n =n(n －9)，或S n =－n(n －9)16.已知lgx ＋lgx3＋lgx5＋…＋lgx21=11，求x.答案为：10111解析：由已知可得(1＋3＋5＋…＋21)·lgx=11，即lgx=111，∴x=10111.1.设等差数列{a n }的首项a 1及公差d 都为整数，前n 项和为S n .(1)若a 11=0，S 14=98，求数列{a n }的通项公式；(2)若a 1≥6，a 11>0，S 14≤77，求所有可能的数列{a n }的通项公式. 解析：(1)由S 14=98，得2a 1＋13d=14. 又a 11=a 1＋10d=0，故解得d=－2，a 1=20. 因此，{a n }的通项公式是a n =22－2n(n ∈N ＋). (2)由⎩⎪⎨⎪⎧S 14≤77，a 11>0，a 1≥6，得⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋13d ≤11，a 1＋10d>0，a 1≥6，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋13d ≤11， ①－2a 1－20d<0， ②－2a 1≤－12. ③由①＋②，得－7d<11，即d>－117.由①＋③，得13d ≤－1，即d ≤－113.于是－117<d ≤－113.又d ∈Z ，故d=－1. ④ 将④代入①②得10<a 1≤12. 又a 1∈Z ，故a 1=11或a 1=12.所以，所有可能的数列{a n }的通项公式是a n =12－n 和a n =13－n(n ∈N ＋).2015年高中数学课时作业07 等差数列的前n项和（第2课时）新人教版必修51.设数列{a n}的前n项和S n=n2，则a8的值为( )A.15B.16C.49D.64答案为：A解析：a8=S8－S7=82－72=15.2.等差数列{a n}中，S15=90，则a8等于( )A.3B.4C.6D.12答案为：C解析：S15=15a8=90, ∴a8=6.3.已知等差数列{a n}中，|a3|=|a9|，公差d＜0，则使前n项和S n取得最大值的整数n是( )A.4或5B.5或6C.6或7D.不存在答案为：B解析：答案为：D解析：答案为：C解析：6.已知等差数列{a n}中，Sn是它的前n项和，若S16＞0，且S17＜0，则当S n最大时n的值为( )A.16B.8C.9D.10答案为：B解析：答案为：C 解析：答案为：B 解析：9.在等差数列{a n }中，已知a 3=2，则该数列前5项之和为__________. 答案为：10解析：S 5=5a 3=10.10.在等差数列{a n }中，a 1>0，d=12，a n =3，S n =125，则a 1=________，n=________.答案为：2 311.在等差数列{a n }中，a 5＋a 10=58，a 4＋a 9=50，则它的前10项和为________. 答案为：21012.在等差数列{a n }中，a 1＋a 2＋a 3=15，a n ＋a n －1＋a n －2=78，S n =155，则n=__________. 答案为：10 解析：答案为：9 解析：答案为：180 解析：15.在等差数列{a n }中，S 10=100，S 100=10.求S 110.解析：(基本量法)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，则 ⎩⎪⎨⎪⎧10a 1＋10 10－1 2d ＝100，100a 1＋100 100－1 2d ＝10.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1 099100，d ＝－1150.∴S 110=110a 1＋110 110－1 2d=110×1 099100＋110×1092×(－1150)=－110.16.已知在公差d 小于0的等差数列{a n }中，S 9=S 17，问数列前多少项和最大？解析：1.等差数列{a n }中，设S n 为其前n 项和，且a 1>0，S 3=S 11，则当n 为多少时，S n 最大.解析：要求数列前多少项的和最大，从函数的观点看，即求二次函数S n =an 2＋bn 的最大值，故可用求二次函数最值的方法来求当n 为多少时，S n 最大.由S 3=S 11，可得3a 1＋3×22d=11a 1＋11×102d ，即d=－213a 1.从而S n =d 2n 2＋(a 1－d 2)n=－a 113(n －7)2＋4913a 1，又a 1>0，所以－a 113<0.故当n=7时，S n 最大.2.一个水池有若干进水量相同的水龙头，如果所有水龙头同时放水，那么24 min 可注满水池.如果开始时全部放开，以后每隔相等的时间关闭一个水龙头，到最后一个水龙头关闭时，恰好注满水池，而且最后一个水龙头放水的时间恰好是第一个水龙头放水时间的5倍，问最后关闭的这个水龙头放水多长时间？解析：设共有n 个水龙头，每个水龙头放水时间从小到大依次为x 1，x 2，…，x n .由已知可知x 2－x 1=x 3－x 2=…=x n －x n －1，∴数列{x n }成等差数列，每个水龙头1 min 放水124n(这里不妨设水池的容积为1)，∴124·(x 1＋x 2＋…＋x n )=1，即S n =24n.∴n x 1＋x n 2=24n ，∴x 1＋x n =48.又∵x n =5x 1，∴6x 1=48，∴x 1=8 (min)，x n =40 (min). 故最后关闭的水龙头放水40 min.2015年高中数学课时作业08 等差数列的前n 项和第3课时新人教版必修51.(2013·安徽)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 8=4a 3，a 7=－2，则a 9=( ) A.－6 B.－4 C.－2 D.2 答案为：A解析：由S 8=4a 3知a 1＋a 8=a 3，a 8=a 3－a 1=2d=a 7＋d ，所以a 7=d=－2.所以a 9=a 7＋2d=－2－4=－6.2.数列{a n }为等差数列，它的前n 项和为S n ，若S n =(n ＋1)2＋λ，则λ的值是( ) A.－2 B.－1 C.0 D.1 答案为：B3.一个等差数列的项数为2n ，若a 1＋a 3＋…＋a 2n －1=90，a 2＋a 4＋…＋a 2n =72，且a 1－a 2n =33，则该数列的公差是( )A.3B.－3C.－2D.－1 答案为：B4.设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 5a 3=59，则S 9S 5等于( )A.1B.－1C.2D.12答案为：A5.设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 3S 6=13，则S 6S 12等于( )A.310B.13C.18D.19 答案为：A6.已知数列{a n }的前n 项和S n =n 2－9n ，第k 项满足5<a k <8，则k 为( ) A.9 B.8 C.7 D.6 答案为：B7.等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＋a 7＋a 11=6，则S 13等于( ) A.24 B.25 C.26 D.27 答案为：C8.在小于100的自然数中，所有被7除余2的数之和为( ) A.765 B.665 C.763 D.663 答案为：B9.若{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，若a 1>0，d<0，S 4=S 8，则S n >0成立的最大自然数n 为( ) A.11 B.12 C.13 D.14 答案为：A10.已知等差数列{a n }中，a 23＋a 28＋2a 3a 8=9，且a n <0，则S 10等于( ) A.－1 B.－11 C.－13 D.－15答案为：D11.已知等差数列{a n }中，a 2=6，a 5=15.若b n =a 2n ，则数列{b n }的前5项和等于( ) A.30 B.45 C.90 D.186 答案为：C解析：∵⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝a 1＋d ＝6，a 5＝a 1＋4d ＝15，∴a 1=3，d=3，又b n =a 2n =a 1＋(2n －1)d=6n ，即S 5=5 b 1＋b 52=5 6＋6×5 2=90，选C.12.等差数列{a n }的首项a 1=－5，它的前11项的平均值为5，若从中抽去一项，余下的10项的平均值4.6，则抽出的是( )A.a 6B.a 8C.a 9D.a 10 答案为：B解析：据题意S n =55=11a 6，∴a 6=5.又a 1=－5，∴公差d=5－－56－1=2.设抽出的一项为a n ，则a n =55－46=9. 由9=－5＋(n －1)·2，得n=8.13.数列{a n }中，a1=－60且a n ＋1=a n ＋3，则这个数列前30项绝对值之和是( ) A.－495 B.765 C.3 105 D.以上都不对答案为：B 解析：14.现有200根相同的钢管，把它们堆放成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为( )A.9B.10C.19D.29 答案为：B15.(2012·北京)已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和.若a 1=12，S 2=a 3，则a 2=________，S n =________.答案为：1 14(n 2＋n)解析：由a 1=12，S 2=a 3，得a 1＋a 2=a 3，即a 3－a 2=12.∴{a n }是一个以a 1=12为首项，以12为公差的等差数列.∴a n =12＋(n －1)×12=12n.∴a 2=1，S n =n 2(a 1＋a n )=14n 2＋14n=14(n 2＋n).16.设a 1，d 为实数，首项为a 1公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S 5S 6＋15=0，则d 的取值范围是________.答案为：(－∞，－22]∪(22，＋∞)解析：∵S 5S 6＋15=0，∴(5a 1＋10d)·(6a 1＋15d)＋15=0，即2a 21＋9da 1＋10d 2＋1=0.故(4a 1＋9d)2=d 2－8，∴d 2≥8.则d 的取值范围是(－∞，－22]∪(22，＋∞). 17.设等差数列{a n }满足a 3=5，a 10=－9. (1)求{a n }的通项公式；(2)求{a n }的前n 项和S n 及使得S n 值最大的序号n 的值. 解析：(1)由a n =a 1＋(n －1)d 及a 3=5，a 10=－9，得 ⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝5，a 1＋9d ＝－9，可解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝9，d ＝－2. 所以数列{a n }的通项公式为a n =11－2n.(2)由(1)知，S n =na 1＋n n －1 2d=10n －n 2.因为S n =－(n －5)2＋25，所以当n=5时，S n 取得最大值.18.甲、乙两物体分别从相距70 m 的两处同时相向运动，甲第1分钟走2 m ，以后每分钟比前1分钟多走1 m ，乙每分钟走5 m.(1)甲、乙开始运动后几分钟相遇？(2)如果甲、乙到达对方起点后立即返回，甲继续每分钟比前1分钟多走1 m ，乙继续每分钟走5 m ，那么开始运动几分钟后第二次相遇？解析：(1)设n 分钟后第1相遇，依题意，有2n ＋n n －12＋5n=70，整理得n 2＋13n －140=0.解之得n=7，n=－20(舍去). 第1次相遇是在开始运动后7分钟.(2)设n 分钟后第2次相遇，依题意，有2n ＋n n －12＋5n=3×70，整理得n 2＋13n －420=0.解之得n=15，n=－28(舍去). 第2次相遇是在开始运动后15分钟.2015年高中数学课时作业09 等比数列（第1课时）新人教版必修51.(2013·江西)等比数列x,3x ＋3,6x ＋6，…的第四项等于( ) A.－24 B.0 C.12 D.24 答案为：A解析：由题意得：(3x ＋3)2=x(6x ＋6)，解得x=－3或－1.当x=－1时，3x ＋3=0，不满足题意.当x=－3时，原数列是等比数列，前三项为－3，－6，－12，故第四项为－24.2.在等比数列{a n }中，a 2 010=8a 2 007，则公比q 的值为( ) A.2 B.3 C.4 D.8 答案为：A解析：依题意得a 2 010a 2 007=q 3=8，q=2，选A.3.在等比数列{a n }中，a 5－a 1=15，a 4－a 2=6，则a 3等于( ) A.4 B.8 C.－4或4 D.－8或8 答案为：C4.已知公差不为0的等差数列的第2,3,6项依次构成一个等比数列，则该等比数列的公比q 为( )A.13B.3C.±13D.±3答案为：B5.如果a ，x 1，x 2，b 成等差数列，a ，y 1，y 2，b 成等比数列，那么x 1＋x 2y 1y 2等于( )A.a ＋b a －bB.b －a abC.ab a ＋bD.a ＋b ab 答案为：D解析：x 1＋x 2=a ＋b ，y 1y 2=ab.6.两个正数插入3和9之间，使前三个数成等比数列而后三个数成等差数列，那么这两个正数之和是( )A.1312B.1114C.1012D.0答案为：B解析：设 4个正数为3，a ，b,9，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝3b ，2b ＝9＋a ，∴2a 2=3(9＋a)，∴2a 2－3a －27=0，(2a －9)(a ＋3)=0.∵a>0，∴2a －9=0，a=92，∴b=274，∴a ＋b=454.7.等比数列{an}的公比为2，则2a 1＋a 22a 3＋a 4的值为( )A.1B.12C.14D.18答案为：C 解析：8.已知数列{a n }的前n 项和Sn=a n－1(a 为不为零的常数)，那么{a n }( ) A.一定是等差数列 B.一定是等比数列C.或是等差，或是等比数列D.既不是等差，也不是等比数列答案为：C解析：若a=1，则{a n }为等差数列；若a ≠1，则{a n }为等比数列.9.在两个非零实数a 和b 之间插入2个数，使它们成等比数列，则这个等比数列的公比为________(用a ，b 表示).答案为：3ba10.在等比数列{an}中，若a 4=2，a 7=16，则an=________.答案为：2n －3解析：答案为：5 832 解析：答案为：等比；等差解析：13.若实数a、b、c成等比数列，则函数y=ax2＋bx＋c的图像与x轴交点的个数是________. 答案为：0解析：∵a、b、c成等比数列，∴b2=ac(b≠0).又Δ=b2－4ac=－3b2<0，∴抛物线与x轴无交点.解析：15.一个等比数列的前三项依次是a,2a ＋2,3a ＋3.试问－1312是否为这个数列中的一项？如果是，是它的第几项？如果不是，请说明理由.思路分析一个等比数列的前三项仍然构成等比数列，则可以求出a 的值，要判断－1312是否为数列中的一项，就要求出通项公式再作出判断.【解析】 ∵a,2a ＋2,3a ＋3是等比数列前三项，仍然构成等比数列.∴a(3a ＋3)=(2a ＋2)2，解得a=－1，或a=－4. 当a=－1时，数列的前三项依次为－1,0,0. 与等比数列的定义矛盾，故将a=－1舍去.当a=－4时，数列的前三项依次为－4，－6，－9.则公比为q=32.∴an=－4·(32)n －1.令－4·(32)n －1=－1312，即(32)n －1=278=(32)3，∴n －1=3，即n=4.∴－1312是这个数列第4项.16.三个数成等差数列，它们的和等于15，如果它们分别加上1,3,9，就成为等比数列，求此三个数.思路分析本题主要考查等比数列、等差数列、等比中项和等差中项，以及它们的应用.因为所求三个数成等差数列，其和已知，故可设这三个数为a －d ，a ，a ＋d ，再根据已知条件寻找关于a ，d 的方程，通过解方程组即可获解.解析：设所求三个数为a －d ，a ，a ＋d ，则 ⎩⎪⎨⎪⎧a －d ＋a ＋a ＋d ＝15， a ＋3 2＝ a －d ＋1 a ＋d ＋9 ，解得a=5，d=2或a=5，d=－10.故所求三个数为3,5,7或15,5，－5. 17.等比数列{a n }中，已知a 1=2，a 4=16. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若a 3，a 5分别为等差数列{b n }的第3项和第5项，试求数列{b n }的通项公式.答案为：(1)a n =2n(2)b n =12n －28解析：答案为：①、②、③、⑦、⑧、⑩为等比数列1.已知S n 是数列{a n }的前n 项和，S n =p n (p ∈R ，n ∈N *)，那么数列{a n }( ) A.是等比数列B.当p ≠0时是等比数列C.当p ≠0，p ≠1时是等比数列D.不是等比数列答案为：D解析：利用等比数列的概念判断.由S n =p n (n ∈N *)，有a 1=S 1=p ，并且当n ≥2时，a n =S n －S n －1=p n －p n －1=(p －1)p n －1.故a 2=(p －1)p.因此数列{a n}成等比数列⇔⎩⎪⎨⎪⎧p ≠0，p －1≠0，a n a n －1＝p n ≥2 .而a 2a 1= p －1 pp=p －1. 故满足此条件的实数p 是不存在的，故本题应选D.讲评 (1)此题易得出错误的判断，排除错误的办法是熟悉数列{a n }成等比数列的条件：a n ≠0(n∈N *)，还要注意对任意n ∈N *，n ≥2，a n a n －1都为同一常数.(2)判断{a n }是否为等比数列，由S n =p n 知当n ≥2时，a n =S n －S n －1=p n －p n －1=(p －1)·p n －1，乍看只要p ≠0，p －1≠0就是等比数列，其实不然，因为a 1=S 1=p ，并不满足a n ；故无论p 取何实数{a n }都不可能是等比数列.2.(2010·江西)等比数列{a n }中，|a 1|=1，a 5=－8a 2，a 5>a 2，则a n =( )A.(－2)n －1B.－(－2)n －1C.(－2)nD.－(－2)n答案为：A解析：记数列{a n }的公比为q ，由a 5=－8a 2，得a 1q 4=－8a 1q ，即q=－2.∵a 5>a 2，∴a 5>0，a 2<0，∴a 1>0，又由|a 1|=1，得a 1=1，故a n =a 1q n －1=(－2)n －1.3.(2013·广东)设数列{a n }是首项为1，公比为－2的等比数，则a 1＋|a 2|＋|a 3|＋|a 4|=________. 答案为：15解析：由数列{a n }首项为1，公比q=－2，则a n =(－2)n －1，a 1=1，a 2=－2，a 3=4，a 4=－8，则a 1＋|a 2|＋|a 3|＋|a 4|=1＋2＋4＋8=15.4.已知数列{a n }满足：lga n =3n ＋5，试用定义证明{a n }是等比数列.解析：∵lga n =3n ＋5，∴a n =103n ＋5，a n ＋1=103(n ＋1)＋5. ∴a n ＋1a n=103，∴{a n }是以108为首项以103为等比的等比数列.。

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2017-2018学年高中数学人教A版必修5课时作业5数列的概念与简单表示法

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