专题9.1 复数(精讲精析篇)(解析版)
复数问题典例精讲
复数一、基础知识：复数题目通常在高考中有所涉及，题目不难，通常是复数的四则运算1、复数z 的代数形式为(),z a bi a b R =+∈，其中a 称为z 的实部，b 称为z 的虚部（而不是bi )，2、几类特殊的复数：（1）纯虚数：0,0a b =≠例如：5i ，i 等（2）实数：0b =3、复数的运算：设()12,,,,z a bi zc di a b cd R =+=+∈（1）21i =-（2）()()12z z a c b d i±=+++（3）()()()()212z z a bi c di ac adi bci bdi ac bd ad bc i⋅=+⋅+=+++=-++注：乘法运算可以把i 理解为字母，进行分配率的运算。
只是结果一方面要化成标准形式，另一方面要计算21i =-（4）()()()()()()1222a bi c di ac bd bc ad i z a bi z c di c di c di c d +-++-+===++-+注：除法不要死记公式而要理解方法：由于复数的标准形式是(),z a bi a b R =+∈，所以不允许分母带有i ，那么利用平方差公式及21i =的特点分子分母同时乘以2z 的共轭复数即可。
4、共轭复数：z a bi =-，对于z 而言，实部相同，虚部相反5、复数的模：z =2z z z=⋅(22z z ≠)6、两个复数相等：实部虚部对应相等7、复平面：我们知道实数与数轴上的点一一对应，推广到复数，每一个复数(),a bi a b R +∈都与平面直角坐标系上的点(),a b 一一对应，将这个平面称为复平面。
横坐标代表复数的实部，横轴称为实轴，纵轴称为虚轴。
8、处理复数要注意的几点：（1）在处理复数问题时，一定要先把复数化简为标准形式，即(),z a bi a b R =+∈（2）在实数集的一些多项式公式及展开在复数中也同样适用。
例如：平方差公式，立方和差公式，二项式定理等二、典型例题例1：若复数221zi i=++，其中i 是虚数单位，则复数z 的模为（）A.B.22C.D.2思路：需要求复数的模，那首先要化成标准形式z a bi =+，进行化简，目前需要处理的就是分式，化简再求模即可解：()()()21222211111i z i i i i i i i i -=+=+=+-=+++-z ∴=答案：A例2：已知复数1z i =-，则221z zz -=-（）A.2iB.2i - C.2 D.2-思路：本题可直接带入计算，也可考虑先化简再求值解：2222111112111z z z z z i iz z z i--+-==--=--=-----答案：B例3：设i 是虚数单位，且20141i ki ki -=-，则实数k 等于（）A.2B.C.1D.1-思路：等号左边201421i i ==-，若化简等号右边则比较麻烦。
数学复数高考知识点总结
数学复数高考知识点总结一、复数的概念和表示方法1.1 复数的定义复数是由实数和虚数构成的数，一般形式为a+bi，其中a为实部，bi为虚部，i为虚数单位，满足i²=-1。
1.2 复数的表示方法复数可以用直角坐标系和极坐标系表示。
在直角坐标系中，复数z=a+bi可以表示为有序数(a,b)，其中a为实部，b为虚部；在极坐标系中，复数z=a+bi可以表示为z=r(cosθ+isinθ)，其中r为模，θ为幅角。
1.3 复数的加减法复数的加减法与实数的加减法类似，实部与实部相加减，虚部与虚部相加减。
1.4 复数的乘法复数的乘法可利用分配律和i²=-1进行计算，即(a+bi)×(c+di)=ac+adi+bci+bdi²=(ac-bd)+(ad+bc)i。
1.5 复数的除法复数的除法需要将除数与被除数同时乘以共轭复数，然后利用分配律进行计算。
1.6 复数的共轭复数z=a+bi的共轭是z的实部不变，虚部取负数，即z的共轭为a-bi。
1.7 复数的模和幅角复数z=a+bi的模是z距离原点的长度，又可以表示为|z|=√(a²+b²)；复数z的幅角是z与正实轴之间的夹角，一般取在-π<θ≤π的区间内。
1.8 二次根式对于复数z=a+bi，其二次根式为±√z=±(√r)(cos(θ/2)+isin(θ/2))，其中r为z的模，θ为z 的幅角。
二、复数的应用2.1 复数的几何意义复数可以表示平面上的点，实部代表横坐标，虚部代表纵坐标；复数的模代表点到原点的距离，复数的幅角代表点与正实轴之间的夹角。
2.2 解析式解析式是指利用复数形式的代数式表示函数值，在一些复杂的数学问题中，可以利用复数的解析式简化计算。
2.3 需解方程部分方程的解需要引入复数，如一元二次方程的解可能为复数，解方程时需考虑复数根的情况。
2.4 矩阵计算在一些特定矩阵的计算中，可能出现复数，需要利用复数的运算规则进行计算。
复数的知识点总结
复数的知识点总结一、复数概述复数是数学中的一个重要概念，它由实数和虚数部分组成。
虚数单位i定义为i² = -1，其中i是一个虚数。
复数可表示为a + bi的形式，其中a是实数部分，bi 是虚数部分。
二、复数运算1. 复数加法和减法复数的加法和减法按照实部和虚部分别进行运算，即将实部相加或相减，并将虚部相加或相减。
例如，给定复数z₁ = a₁ + b₁i和z₂ = a₂ + b₂i，它们的和可以表示为z₁ + z₂ = (a₁ + a₂) + (b₁ + b₂)i，差可以表示为z₁ - z₂ = (a₁ - a₂) + (b₁ - b₂)i。
2. 复数乘法复数乘法采用分配律和虚数单位的平方等于-1的性质进行计算。
例如，给定复数z₁ = a₁ + b₁i和z₂ = a₂ + b₂i，它们的乘积可以表示为z₁ * z₂ = (a₁ * a₂ - b₁ * b₂) + (a₁ * b₂ + a₂ * b₁)i。
3. 复数除法复数除法是将分子和分母同乘以分母的共轭，并利用虚数单位的平方等于-1的性质进行计算。
例如，给定复数z₁ = a₁ + b₁i和z₂ = a₂ + b₂i，它们的除法可以表示为z₁ / z₂ = ((a₁ * a₂ + b₁ * b₂) / (a₂² + b₂²)) + ((a₂ * b₁ - a₁ * b₂) / (a₂² + b₂²))i。
三、复数的共轭和模1. 复数的共轭复数的共轭是保持实部相同而虚部变号的操作。
复数a + bi的共轭可以表示为a - bi，其中a是实部，b是虚部。
2. 复数的模复数的模是复数到原点的距离，可以用勾股定理计算。
复数a + bi的模可以表示为√(a² + b²)。
四、复数的指数形式和三角形式1. 复数的指数形式复数可以用指数形式表示为re^(iθ)，其中r是模，θ是辐角。
2. 复数的三角形式复数的三角形式是指使用三角函数表示复数。
复数讲义(含知识点和例题及解析)
数系的扩充与复数的引入1．复数的有关概念 (1)复数的概念：形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做复数，其中a ，b 分别是它的实部和虚部。
若b ＝0，则a ＋b i 为实数；若b ≠0，则a ＋b i 为虚数；若a ＝0且b ≠0，则a ＋b i 为纯虚数。
(2)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )。
(3)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )。
(4)复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面。
x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴。
实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数；各象限内的点都表示非纯虚数。
(5)复数的模：向量OZ →的模r 叫做复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的模，记作|z |或|a ＋b i|，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2。
2．复数的几何意义 (1)复数z ＝a ＋b i――→一一对应复平面内的点Z (a ，b )(a ，b ∈R )。
(2)复数z ＝a ＋b i ――→一一对应平面向量OZ →(a ，b ∈R )。
3．复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )则： ①加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i 。
②减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i 。
③乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i)·(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i 。
④除法：z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝(ac ＋bd )＋(bc －ad )i c 2＋d 2(c ＋d i ≠0)。
(2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z 1，z 2，z 3∈C ，有z 1＋z 2＝z 2＋z 1，(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)。
复数的考点知识点归纳总结
复数的考点知识点归纳总结复数的考点知识点归纳总结复数是基础数学中的重要概念，广泛应用于数学、物理、工程等领域。
掌握复数的概念、性质和运算规则对于建立数学思维、解决实际问题具有重要意义。
本文将从复数的基本概念、运算法则和实际应用等方面进行归纳总结。
一、复数的基本概念1. 复数的定义：复数是由实部和虚部组成的数，形式为a+bi，其中a为实数部分，bi为虚数部分，i为虚数单位，满足i²=-1。
2. 复数的实部和虚部：复数a+bi中，a为实部，bi为虚部。
3. 复数的共轭复数：设复数z=a+bi，其共轭复数记为z*，则z*的实部与z相同，虚部的符号相反。
4. 复数的模：复数z=a+bi的模定义为|z|=√(a²+b²)。
5. 复数的辐角：复数z=a+bi的辐角定义为复数与正实轴正半轴的夹角，记作arg(z)。
6. 三角形式：复数z=a+bi可以写成三角形式r(cosθ+isinθ)，其中r为模，θ为辐角。
二、复数的运算法则1. 复数的加法和减法：复数的加法和减法运算与实数类似，实部与实部相加减，虚部与虚部相加减。
2. 复数的乘法：复数的乘法运算使用分配律和虚数单位的性质，即(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i。
3. 复数的除法：复数的除法运算需要将分子分母同时乘以共轭复数，即(a+bi)/(c+di)=[(a+bi)(c-di)]/[(c+di)(c-di)]。
4. 复数的乘方和开方：复数的乘方和开方运算需要使用三角函数的性质和欧拉公式，即z^n=r^n[cos(nθ)+isin(nθ)]，√z=±√r[cos(θ/2)+isin(θ/2)]。
三、复数的性质和应用1. 复数的性质：复数具有加法和乘法的封闭性、交换律、结合律、分配律等性质。
2. 复数平面：复数可以用平面上的点来表示，实部为横坐标，虚部为纵坐标，构成复数平面。
3. 复数与向量：复数可以看作是向量的延伸，复数的运算有时可以用向量的加法和旋转来理解。
高考复数知识点精华总结
复 数1．复数的概念：（1）虚数单位i ；（2）复数的代数形式z=a+bi ，(a, b ∈R)；（3）复数的实部、虚部、虚数与纯虚数。
2．复数集整 数有 理 数实数(0)分 数复 数(,)无理数(无限不循环小数)纯 虚 数(0)虚 数(0)非 纯 虚 数(0)b a bi a b R a b a ⎧⎧⎧⎪⎪⎨=⎨⎪⎩⎪⎪+∈⎨⎩⎪⎧≠⎪≠⎨⎪=⎩⎩3．复数a+bi(a, b ∈R)由两部分组成，实数a 与b 分别称为复数a+bi 的实部与虚部，1与i 分别是实数单位和虚数单位，当b=0时，a+bi 就是实数，当b ≠0时，a+bi 是虚数，其中a=0且b ≠0时称为纯虚数。
应特别注意，a=0仅是复数a+bi 为纯虚数的必要条件，若a=b=0，则a+bi=0是实数。
4．复数的四则运算若两个复数z1=a1+b1i ，z2=a2+b2i ，（1）加法：z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)i ；（2）减法：z1－z2=(a1－a2)+(b1－b2)i ；（3）乘法：z1〃z2=(a1a2－b1b2)+(a1b2+a2b1)i ；（4）除法：11212211222222()()z a a b b a b a b i z a b ++-=+；（5）四则运算的交换率、结合率；分配率都适合于复数的情况。
（6）特殊复数的运算：① n i (n 为整数)的周期性运算； ②(1±i)2 =±2i ；③ 若ω=-21+23i ，则ω3=1，1+ω+ω2=0.5．共轭复数与复数的模（1）若z=a+bi ，则z a bi =-，z z +为实数，z z -为纯虚数(b ≠0).（2）复数z=a+bi 的模|Z|=22a b +, 且2||z z z ⋅==a 2+b 2.6.根据两个复数相等的定义，设a, b, c, d ∈R ，两个复数a+bi 和c+di 相等规定为a+bi=c+di a c b d =⎧⇔⎨=⎩. 由这个定义得到a+bi=0⇔00a b =⎧⎨=⎩. 两个复数不能比较大小，只能由定义判断它们相等或不相等。
高考数学知识点复数
高考数学知识点复数复数是数学中一种重要的概念，也是高考数学中常见的知识点之一。
在学习复数的过程中，我们不仅需要掌握复数的定义、运算规则等基础知识，更要理解复数在实际问题中的应用。
本文将从复数的基本定义开始，逐步介绍其运算、表示形式和应用，帮助读者深入理解高考数学中的复数知识。
一、复数的基本定义及运算规则复数可以表示为a+bi的形式，其中a和b分别为实数部分和虚数部分。
实数部分a可以看作是复数在实轴上的投影，而虚数部分bi则表示复数在虚轴上的投影。
复数的虚数部分可以用i来表示，i代表了虚数单位。
我们知道，i的平方等于-1，即i^2 = -1。
在进行复数的运算时，我们需要了解复数的加减乘除法规则。
两个复数相加时，实部和虚部分别相加；两个复数相减时，实部和虚部分别相减；两个复数相乘时，根据分配律展开运算，最后再利用i^2 = -1进行简化；两个复数相除时，一般将分子分母同时乘以共轭复数，然后再进行除法运算。
二、复数的表示形式和性质复数可以用不同的表示形式来表示，其中最常见的是代数形式和三角形式。
代数形式可以写成a+bi的形式，而三角形式则可以写成r(cosθ + isinθ)的形式。
其中，a+bi表示复数的实部和虚部，r表示复数的模，θ表示复数的辐角。
复数的辐角可以通过对应的实部和虚部计算得出。
对于两个复数的乘法运算，我们可以利用三角形式更方便地进行计算。
两个复数相乘，其模等于模之积，辐角等于辐角之和。
这个性质在高考数学中经常用到，在解决复数运算问题时非常实用。
三、复数的应用复数在实际问题中有着广泛的应用。
在电路分析中，复数可以用来表示电流和电压的相位关系；在信号处理中，复数可以用来表示信号的振幅和相位；在力学中，复数可以用来描述物体的振动和波动等。
在几何学中，复数可以用来表示平面上的点。
我们可以将平面上的一个点表示为复平面上的一个复数，通过复数的运算，可以进行平面上点的旋转、平移等操作。
这在解决几何问题时非常有用，有时可以简化问题的求解过程。
专题09：复数知识点及典型例题(解析版)-2022年高考数学一轮复习课件+知识清单+练习题
A． 4 2i
12．A 【分析】
B． 4 2i
利用复数的加法法则直接计算即可.
C．1 4i
D．1 5i
【详解】
(3 4i) (1 2i) 3 1 4 2 i 4 2i .
故选：A.
【点睛】
本题考查复数的加法运算，属于基础题.
13．如图，在复平面内，若复数 z1 ， z2 对应的向量分别是 OA ，OB ，则复数
zm zn zmn , (zm )n zmn , (z1z2 )n z1n z2n
15．复数 z 2 i1 2i 在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
15．A
【分析】
利用复数的乘法化简复数 z ，利用复数的乘法可得出结论.
【详解】
z 2 i1 2i 2 3i 2i2 4 3i ，
D．1 3i
7．A
【分析】
由图形得复数对应点的坐标，利用复数的运算法则求解.
【详解】
由题意可得
z
1i
，所以 z
4 =1 i+ 4
z
1i
1 i 21 i 3 i .
故选：A.
【点睛】
本题考查复数的运算、几何意义，属于基础题.
8．在复平面内，若表示复数 z m2 1 1 i 的点在第四象限，则实数 m 的取值范围是（ ） m
z 2i，
则 z 的虚部是 1．
故选： B ．
21．设复数
z
1 i2020 1i
（其中
i
为虚数单位），则
z
在复平面内对应的点所在象限为（
）
A．第四象限 21．A
B．第三象限
C．第二象限
复数的概念(解析版)
复数的概念(解析版)复数的概念（解析版）复数是英语语法中的一个重要概念，指的是表示两个或两个以上数量的名词。
相比于单数形式，复数形式的名词在形态上会发生变化，这种变化包括词尾的加“-s”或“-es”以及其他部分的变化。
理解和正确使用复数形式对于学习和掌握英语语言至关重要。
一、复数形式的构成方式一般来说，英语名词的复数形式有以下几种构成方式：1. 加“-s”：大部分名词的复数形式是在词尾直接加“-s”。
例如：book （书）→books（书籍）。
2. 加“-es”：当名词以“s”、“ss”、“sh”、“ch”、“x”、“o”结尾时，复数形式需要在词尾加“-es”。
例如：box（盒子）→boxes（盒子们）。
3. 变化型复数：少数名词的复数形式无规律可循，需要特殊记忆。
例如：child（孩子）→children（孩子们）。
4. 不规则复数：一些名词的复数形式完全不符合上述规律，需特别记忆。
例如：man（男人）→men（男人们）。
二、复数形式的用法1. 表示两个或两个以上的数量：英语中，当我们需要表示多个事物或概念时，常常使用复数形式。
例如：There are five books on the table.（桌子上有五本书。
）2. 表示某种类别或分类：复数形式还可以用来表示某种类别或分类。
例如：Cars are popular means of transportation.（汽车是流行的交通工具。
）3. 表示家庭成员：在讨论家庭成员时，常常使用复数形式。
例如：My parents are both doctors.（我的父母都是医生。
）4. 表示复数概念的名词作主语时，谓语动词通常使用复数；而当复数概念的名词作定语时，不需要转变为复数形式。
例如：The books are on the shelf.（这些书在书架上。
）5. 复数形式可以与某些数量词连用，表示某一范围内的多个事物或概念。
例如：Hundreds of people attended the concert.（数百人参加了音乐会。
复数(重难点突破)解析版
专题04 复数1.复数的有关概念(1)复数的概念形如a ＋b i (a ，b ∈R )的数叫做复数，其中a ，b 分别是它的______和______.若______，则a ＋b i 为实数，若________，则a ＋b i 为虚数，若____________，则a ＋b i 为纯虚数.(2)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔____________(a ，b ，c ，d ∈R ).(3)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔____________(a ，b ，c ，d ∈R ).(4)．复数：形如 的数叫做复数，其中a , b 分别叫它的 和 ．(5)．分类：设复数：(1) 当 ＝0时，z 为实数；(2) 当 0时，z 为虚数；(3) 当 ＝0, 且 0时，z 为纯虚数.(5)复数的模 向量OZ →的模叫做复数z ＝a ＋b i 的模，记作____或________，即|z |＝|a ＋b i|＝__________.2.复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i (a ，b ，c ，d ∈R )，则①加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝____________；②减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝____________；③乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i)·(c ＋d i)＝__________________；④除法：z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝(a ＋b i)(c －d i)(c ＋d i)(c －d i)＝________________________(c ＋d i ≠0). 3.复数的几何意义(1)复数z ＝a ＋b i复平面内的点Z (a ，b )(a ，b ∈R ). (2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )__________.一、复数的有关概念例1．（2020·四川高三月考）复数2i i-的实部与虚部之和为（ ） A ．35 B ．15- C ．15 D ．35【答案】C【解析】()()()2+1212222+555i i i i ii i i -+===-+--，2i i ∴-的实部与虚部之和为121555-+=. ),(R b a ∈ (,)z a bi a b R =+∈≠≠故选：C【变式训练1-1】、（2020·浙江高三期中）已知,a b ∈R ，若2()2a b a b i -+->（i 为虚数单位），则a 的取值范围是（ ）A ．2a >或1a <-B ．1a >或2a <-C ．12a -<<D ．21a -<< 【答案】A【解析】因为,a b ∈R ，2()2a b a b i -+->，所以a b =，220a a -->，所以2a >或1a <-. 故选：A【变式训练1-2】、（2020·广东湛江·高三其他模拟）已知i 是虚数单位，a 为实数，且3i 1i 2i a -=-+，则a ＝（ ）A ．2B ．1C ．-2D ．-1 【答案】B【解析】由23(2)(1)223ai i i i i i i -=+-=-+-=-，得a ＝1.故选：B ．【变式训练1-3】、（多选题）已知复数z 满足(2i)i z -=(i 为虚数单位)，复数z 的共轭复数为z ，则（ ）A ．3||5z =B ．12i 5z +=- C ．复数z 的实部为1-D ．复数z 对应复平面上的点在第二象限【答案】BD 【解析】因为复数z 满足(2i)i z -=，所以()(2)1222(2)55i i i z i i i i +===-+--+所以z ==，故A 错误； 1255z i =--，故B 正确； 复数z 的实部为15- ，故C 错误；复数z 对应复平面上的点12,55⎛⎫- ⎪⎝⎭在第二象限，故D 正确. 故选：BD二、复数的四则运算 例2．（2020·四川遂宁·高三零模）在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(1,1)，则z i=（ ） A ．1i - B ．1i --C ．1i -+D ．1i +【答案】A 【解析】因为在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(1,1)，所以1z i =+,所以11i i i z i+==-,故选：A 【变式训练2-1】、（多选题）已知复数202011i z i+=-(i 为虚数单位)，则下列说法错误的是（ ）A ．z 的实部为2B ．z 的虚部为1C ．z i =D ．||z =【答案】AC 【解析】因为复数2020450511()22(1)11112i i i z i i i i +++=====+---，所以z 的虚部为1，||z =，故AC 错误，BD 正确.故选：AC【变式训练2-2】、（多选题）若复数351i z i-=-，则（ ）A ．z =．z 的实部与虚部之差为3C ．4z i =+D ．z 在复平面内对应的点位于第四象限【答案】AD【解析】()()()()351358241112i i i i z i i i i -+--====---+，z ∴== z 的实部为4，虚部为1-，则相差5，z 对应的坐标为()41-,，故z 在复平面内对应的点位于第四象限，所以AD 正确，故选：AD.三、复数的几何意义例3．（2020·江苏徐州·高三期中）复数12i z i =+（i 为虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】A 【解析】由()()()122112121255i i i z i i i i -===+++-，知在复平面内对应的点21,55⎛⎫ ⎪⎝⎭位于第一象限， 故选：A.【变式训练3-1】、复数z 满足22z z i +=，则z 在复平面上对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【解析】设复数(),z x yi x R y R =+∈∈， 由22z z i +=得222x yi i +=，所以2022x y ⎧⎪+=⎨=⎪⎩，解得1x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，因为1x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩时，不能满足20x =，舍去；故31x y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，所以3z i =-+，其对应的点⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭位于第二象限，故选：B. 【变式训练3-2】、已知a 为整数，复数()()1z i a i =--，复数z 在复平面内对应的点在第三象限，则z =______.【解析】复数()()()111i a i a a i --=--+，若复数在复平面内对应的点在第三象限，则()1010a a -<⎧⎨-+<⎩，解得11a -<<， 又a 为整数，则0a =，()()11z i i i =--=--，z =【变式训练3-3】、（2020届黑龙江省哈尔滨市第三中学高三第一次调研）已知z 的共轭复数是z ，且12z z i =+-（i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【解析】设(),z x yi x y R =+∈，因为12z z i =+-()()1212x yi i x y i =-+-=+-+，所以120x y =++=⎪⎩，解得：322x y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩， 所以复数z 在复平面内对应的点为3,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，此点位于第四象限.四、复数的综合应用例4、（2020·全国高三月考）已知复数1z i =+，z 为z 的共轭复数，则()1z z ⋅+=（ ） AB ．2C ．10 D【答案】D【解析】因为1z i =+，所以1z i =-，12z i +=+， 所以()()()1123z z i i i ⋅+=-⋅+=-==:D. 【变式训练4-1】、（2020·河南焦作·高三一模）设a +∈R ，复数()()()242121i i z ai ++=-，若1z =，则a =（ ）A ．10B ．9C ．8D ．7 【答案】D 【解析】()()()()24242422221212501111i ii i a ai ai ++++====+--，解得7a =.故选：D ． 【变式训练4-2】、（多选题）已知i 为虚数单位，则下面命题正确的是（ ） A ．若复数3i z =+，则131010i z =-． B ．复数z 满足21z i -=，z 在复平面内对应的点为(),x y ，则()2221x y +-=．C ．若复数1z ，2z 满足21z z =，则120z z ≥．D ．复数13z i =-的虚部是3． 【答案】ABC【解析】由()()11333i 3i 3i 1010i i z -===-++-，故A 正确；由z 在复平面内对应的点为(),x y ，则()221z i x y i -=+-=1=， 则()2221x y +-=，故B 正确；设复数1z a bi =+，则2z a bi =-，所以()()21220a bi a b z bi z a +-=+=≥，故C 正确； 复数13z i =-的虚部是-3，故D 不正确.故选：A 、B 、C。
高中数学中的复数问题解析与解题技巧
高中数学中的复数问题解析与解题技巧复数是数学中非常重要的概念之一，广泛应用于高中数学及其它学科。
本文将对高中数学中的复数问题进行解析与解题技巧的探讨，帮助学生更好地理解和应用复数。
一、复数的概念与表示方法复数是由实数部分和虚数部分组成的数，通常表示为a + bi 的形式，其中 a 是实数部分，b 是虚数部分，i 是虚数单位，满足 i^2 = -1。
在复平面上，实数轴对应实数部分，虚数轴对应虚数部分。
二、复数的运算法则1. 加法和减法：将实部与虚部分别相加或相减。
例如：(2+3i) + (4-2i) = 6 + i(5+2i) - (3+4i) = 2 - 2i2. 乘法：利用分配律，对实部和虚部分别进行计算。
例如：(2+3i) * (4-2i) = 8 + 12i - 4i - 6 = 2 + 8i3. 除法：需要将复数化简为实数的形式，即将分母的虚数单位消去。
例如：(2+3i) / (4-2i) = (2+3i)*(4+2i) / (4^2 - (2i)^2) = (2+3i)*(4+2i) /20 = (4+14i) / 20 = 0.2 + 0.7i三、复数的性质1. 共轭复数：复数 a + bi 的共轭复数为 a - bi，即虚数部分改变符号。
例如：对于复数 3+4i，它的共轭复数为 3-4i。
2. 模的计算：复数的模定义为复数到原点的距离，可使用勾股定理计算。
例如：对于复数 2+3i，它的模为 sqrt(2^2 + 3^2) = sqrt(13)。
3. 幂的计算：a) 复数的幂可通过将复数转换为指数形式来计算。
例如：(2+3i)^2 = (sqrt(13) * e^(i * arctan(3/2)))^2= 13 * e^(2 * i * arctan(3/2))b) 复数的幂的周期性：如果复数 a 是 b 的幂，那么 a 也是 b 加上任意2π的整数倍的幂。
例如：e^(iπ) = cos π + i sin π = -1四、复数在高中数学中的应用1. 复数的根：复数的根可通过求解方程来计算，利用复数的性质，将复数方程化简为实数方程。
复数知识点总结
复数知识点总结在数学的领域中，复数是一个非常重要的概念。
它不仅在理论上丰富了数学的体系，而且在实际应用中，如物理学、工程学等领域，都发挥着不可或缺的作用。
接下来，让我们一起深入了解复数的相关知识。
一、复数的定义复数是指形如\（a ＋ bi\）的数，其中\（a\）和\（b\）均为实数，＼（i\）是虚数单位，满足\（i^2 ＝－1\）。
＼（a\）被称为实部，记作\（Re(z)＼）；＼（b\）被称为虚部，记作\（Im(z)＼）。
例如，＼（3 ＋ 2i\）就是一个复数，其中\（3\）是实部，＼（2\）是虚部。
二、复数的表示形式1、代数形式就是我们刚刚提到的\（a ＋ bi\），这是最常见也是最基本的表示形式。
2、几何形式在平面直角坐标系中，以\（x\）轴为实轴，＼（y\）轴为虚轴，复数\（a ＋ bi\）可以用坐标\（（a, b)＼）来表示。
这样，复数就与平面上的点建立了一一对应的关系。
3、三角形式复数\（z ＝ a ＋ bi\）可以表示为\（z ＝r(cosθ ＋isinθ)＼），其中\（r ＝＼sqrt{a^2 ＋ b^2}＼），＼（tanθ ＝＼frac{b}｛a}＼）。
4、指数形式根据欧拉公式\（e^｛iθ} ＝cosθ ＋isinθ\），复数还可以表示为\（z ＝ re^｛iθ}＼）。
三、复数的运算1、加法和减法两个复数\（z_1 ＝ a_1 ＋ b_1i\），＼（z_2 ＝ a_2 ＋ b_2i\）的和差为：＼（z_1 ± z_2 ＝（a_1 ± a_2) ＋（b_1 ± b_2)i\）2、乘法＼（z_1 ＼times z_2 ＝（a_1 ＋ b_1i) ＼times （a_2 ＋ b_2i)＼）＼＼begin{align}＆＝a_1a_2 ＋ a_1b_2i ＋ a_2b_1i ＋ b_1b_2i^2\＼＆＝（a_1a_2 b_1b_2) ＋（a_1b_2 ＋ a_2b_1)i＼end{align}＼3、除法＼＼frac{z_1}｛z_2}＝＼frac{a_1 ＋ b_1i}｛a_2 ＋ b_2i}＝＼frac{（a_1 ＋ b_1i)（a_2 b_2i)｝｛（a_2 ＋ b_2i)（a_2 b_2i)｝＼＼＼begin{align}＆＝＼frac{a_1a_2 ＋ b_1b_2 ＋（a_2b_1 a_1b_2)i}｛a_2^2 ＋b_2^2}＼＼＆＝＼frac{a_1a_2 ＋ b_1b_2}｛a_2^2 ＋ b_2^2} ＋＼frac{a_2b_1 a_1b_2}｛a_2^2 ＋ b_2^2}i＼end{align}＼四、共轭复数两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数。
掌握高中数学中的复数问题解析与解题技巧
掌握高中数学中的复数问题解析与解题技巧在高中数学中，复数问题是一个重要的内容，它在解析几何、代数和函数等多个数学分支中都有广泛的应用。
正确掌握复数的概念和解题技巧，对于高中数学学习至关重要。
本文将为大家介绍复数的基本概念、运算法则以及常见的解题技巧。
一、复数的基本概念复数由实部和虚部组成，可以用 a+bi 的形式表示，其中 a 和 b 分别为实数，i 为虚数单位，满足 i^2=-1。
实部和虚部都可以为零，当虚部b=0 时，复数就是实数。
复数集合记作 C。
复数有四则运算法则，即加法、减法、乘法和除法。
具体运算法则如下：1. 加法：(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i2. 减法：(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i3. 乘法：(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i4. 除法：(a+bi)/(c+di)=((ac+bd)/(c^2+d^2))+((bc-ad)/(c^2+d^2))i二、复数的解析形式复数的解析形式是指将复数用坐标平面上的点表示。
在坐标平面上，将实轴和虚轴分别作为横轴和纵轴，复数 a+bi 对应的点就是 (a,b)。
这样，复数运算可以转换成坐标平面上点的运算，大大简化了计算过程。
三、复数问题的解题技巧1. 复数的共轭对于复数 a+bi，它的共轭复数记作 a-bi。
共轭复数的实部相等，虚部互为相反数。
利用共轭复数的性质，可以方便地进行复数的乘法和除法操作。
2. 复数的模复数的模表示复数到原点的距离，用|a+bi| 表示。
对于复数a+bi，它的模可以用勾股定理计算，即模的平方等于实部平方加上虚部平方的和。
模也可以有几何解释，即复数对应点到原点的距离。
3. 配方法解方程对于形如 ax^2+bx+c=0 的二次方程，如果它的解为复数，那么它的判别式 D=b^2-4ac 小于零。
在解决这类方程时，可以运用配方法，首先令方程的解为复数，然后通过求根公式进行计算。
复数的几何意义课件
量子力学波函数描述及演化
波函数描述
在量子力学中，波函数是描述粒子状 态的数学函数，可以用复数表示。波 函数的模平方表示粒子在空间中的概 率分布，波函数的相位表示粒子的动 量等信息。
波函数演化
波函数随时间演化遵循薛定谔方程， 该方程是一个复数微分方程。通过求 解薛定谔方程，可以得到波函数随时 间的演化规律，进而预测粒子的行为 。
复数与矩阵的关系
复数在其他领域的应用
阐述复数与矩阵之间的联系，如矩阵的特 征值、特征向量与复数的关系等。
简要介绍复数在信号处理、量子力学、流 体力学等领域中的应用。
06
课后作业布置及下一讲 预告
课后作业布置
练习题
要求学生完成教材上与复 数几何意义相关的练习题 ，以巩固所学知识。
思考题
布置几道与复数几何意义 相关的思考题，要求学生 进行深入思考，加深对知 识点的理解。
04
典型例题解析及互动环 节
例题一：利用几何意义求解方程根
复数平面上的点表示
将复数表示为平面上的点，便于直观理解复数运算的几何意义。
复数方程根的几何意义
通过复数平面上的点的运算，求解复数方程的根，并理解其几何意 义。
根的分布与稳定性
分析复数根在平面上的分布规律，探讨系统稳定性与根位置的关系 。
例题二：电路分析问题中阻抗匹配
。
Hale Waihona Puke 乘法运算设z1=a1+b1i, z2=a2+b2i，则 z1×z2=(a1a2b1b2)+(a1b2+a2b1)i
。
除法运算
设z1=a1+b1i, z2=a2+b2i且z2≠0，则 z1÷z2=((a1a2+b1b2)/(a
高考数学冲刺复数考点全面解析
高考数学冲刺复数考点全面解析在高考数学的征程中，复数是一个不可或缺的重要考点。
对于即将踏入高考考场的同学们来说，透彻理解和熟练掌握复数相关知识，无疑是取得优异成绩的关键一步。
接下来，让我们一起对高考数学中复数这一考点进行全面而深入的解析。
首先，我们要明确什么是复数。
复数是形如 a ＋ bi 的数，其中 a 和b 均为实数，i 是虚数单位，满足 i²＝－1。
在复数中，a 被称为实部，记作 Re(z)；b 被称为虚部，记作 Im(z)。
复数的四则运算规则是我们必须要掌握的重点。
加法：（a ＋ bi) ＋（c ＋ di) ＝（a ＋ c) ＋（b ＋ d)i减法：（a ＋ bi) （c ＋ di) ＝（a c) ＋（b d)i乘法：（a ＋ bi)（c ＋ di) ＝（ac bd) ＋（ad ＋ bc)i除法：（a ＋ bi)÷（c ＋ di) ＝（ac ＋ bd) ／（c²＋ d²) ＋（bc ad) ／（c²＋ d²)i在进行四则运算时，要特别注意 i²＝－1 的运用，以及合并实部和虚部。
复数的几何意义也是一个重要的知识点。
在复平面上，复数可以用点来表示，实部 a 对应横坐标，虚部 b 对应纵坐标。
复数的模长|z| ＝√（a²＋ b²)，表示复数在复平面上对应的点到原点的距离。
共轭复数同样不容忽视。
对于复数 z ＝ a ＋ bi，其共轭复数为z＝a bi。
共轭复数在复数的运算和性质研究中有着重要的作用。
接下来，我们看看高考中关于复数的常见题型。
一是复数的概念与分类。
会给出一个复数，要求判断它是实数、虚数还是纯虚数。
这就需要我们根据实部和虚部的取值来进行判断。
如果虚部为 0，就是实数；如果实部为 0 且虚部不为 0，就是纯虚数；否则就是虚数。
二是复数的四则运算。
通常会给出两个或多个复数，要求进行加、减、乘、除运算，然后求出结果的实部和虚部。
高考数学复数知识点总结
高考数学复数知识点总结数学是一门让许多人头疼的学科，而高考数学更是让许多学生感到困惑。
在高考数学中，复数是一个重要的知识点，也是许多学生比较薄弱的内容之一。
本文将对高考数学中的复数知识点进行总结，希望能够帮助广大学生更好地掌握这一部分内容。
首先，我们来回顾一下复数的定义。
复数是由实部和虚部组成的数，一般写作a+bi的形式，其中a和b分别表示实部和虚部。
实部是一个实数，而虚部则是一个纯虚数，即没有实数部分。
复数间的加法和减法与笛卡尔坐标系中的向量相似，实部与实部相加（减），虚部与虚部相加（减）。
复数的乘法则遵循分配律，即(a+bi)(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i。
而复数的除法则需要用到共轭复数，即(a+bi)/(c+di) = [(ac+bd)/(c^2+d^2)] + [(bc-ad)/(c^2+d^2)]i。
接下来，我们来看一下复数的运算性质。
复数的加法和乘法封闭性是显而易见的，即两个复数之和（积）仍然是一个复数。
复数的减法和除法也满足封闭性。
此外，复数的乘法满足交换律，即(a+bi)(c+di) = (c+di)(a+bi)。
但是复数的加法和减法不满足交换律，即(a+bi) + (c+di) ≠ (c+di) + (a+bi)。
此外，复数的除法也不满足交换律，即(a+bi)/(c+di) ≠ (c+di)/(a+bi)。
在高考数学中，我们常常需要运用复数来解决实际问题。
特别是在解析几何中，复数可以帮助我们简化计算。
比如，在平面直角坐标系中，每个点可以用复数来表示。
复数的模表示了点到原点的距离，即|z| = √(x^2+y^2)。
而复数的幅角则表示了点与实轴正向之间的夹角，即arg(z) = arctan(y/x)。
利用复数的模和幅角，我们可以方便地进行平面向量的计算，包括向量的加减、数量积和向量积。
同时，复数在高考数学中也与多项式方程密切相关。
复数的定义可以用来解决多项式方程中出现的负根问题。
专题06复数的概念(知识精讲)(解析版)
2020-2021学年高一数学同步讲练测（人教A版2019必修第二册）专题06复数的概念核心知识点1：数系的扩充和复数的概念1．数系扩充的脉络、原则脉络：自然数系→整数系→有理数系→实数系→复数系原则：数系扩充时，一般要遵循以下原则：(1)增添新元素，新旧元素在一起构成新数集；(2)在新数集里，定义一些基本关系和运算，使原有的一些主要性质(如运算定律)依然适用；(3)旧元素作为新数集里的元素，原有的运算关系保持不变；(4)新的数集能够解决旧的数集不能解决的矛盾．2．复数的引入对于方程x 2＋2x ＋3＝0，由于Δ＝－8，所以方程在实数范围内无解，若引入一个新的数i ，使得i 2＝－1，则此方程的解可写成x 1＝－1－2i ，x 2＝－1＋2i ．3．复数的定义：形如a ＋b i(a 、b ∈R )的数叫做复数，其中i 叫做虚数单位，满足i 2＝－1．这一表示形式叫做复数的代数形式，a 与b 分别叫做复数z 的实部与虚部．全体复数构成的集合叫做复数集．4．复数相等的充要条件设a 、b 、c 、d 都是实数，那么a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d ．5．复数相等复数z ＝a ＋b i(a 、b ∈R )，z ＝0的充要条件是a ＝0且b ＝0，a ＝0是z 为纯虚数的必要不充分条件．6．复数的分类(1)复数z ＝a ＋b i(a 、b ∈R )，z 为实数⇔b ＝0，z 为虚数⇔b ≠0，z 为纯虚数⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0b ≠0．(2)集合表示：核心知识点2：复数的几何意义1．复平面的定义建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数，除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．2．复数的几何意义(1)每一个复数都由它的实部和虚部唯一确定，当把实部和虚部作为一个有序数对时，就和点的坐标一样，从而可以用点表示复数，因此复数与复平面内的点是一一对应关系．(2)若复数z ＝a ＋b i(a 、b ∈R )，则其对应的点的坐标是(a ，b )，不是(a ，b i)． (3)复数与复平面内以原点为始点的向量也可以建立一一对应关系．如图，在复平面内，复数z ＝a ＋b i(a 、b ∈R )可以用点Z (a ，b )或向量O Z →表示．复数z ＝a ＋b i(a 、b ∈R )与点Z (a ，b )和向量O Z →的一一对应关系如下：3．复数的模复数z ＝a ＋b i(a 、b ∈R )对应的向量为O Z →，则O Z →的模叫做复数z 的模，记作|z |且|z |＝a 2＋b 2． 当b ＝0时，z 的模就是实数a 的绝对值．4．复数模的几何意义复数模的几何意义就是复数z ＝a ＋b i 所对应的点Z (a ，b )到原点(0,0)的距离．1．已知复数z ＝m 2（1+i ）﹣（m +i ）（m ∈R ）．若z 是实数，则m 的值为 ；若z 是虚数，则m 的取值范围是 ；若z 是纯虚数，则m 的值为 ．【解析】解：复数z ＝m 2（1+i ）﹣（m +i ）＝（m 2﹣m ）+（m 2﹣1）i （m ∈R ）是实数，则 m 2﹣1＝0，解得m ＝±1．复数z ＝m 2（1+i ）﹣（m +i ）＝（m 2﹣m ）+（m 2﹣1）i （m ∈R ）是虚数，则 m 2﹣1≠0． 解得m ≠±1．所以m 的取值范围是：（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，1）∪（1，+∞）．复数z ＝m 2（1+i ）﹣（m +i ）＝（m 2﹣m ）+（m 2﹣1）i （m ∈R ）是纯虚数，则 m 2﹣m ＝0且m 2﹣1≠0． 解得m ＝0．故答案是：±1；（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，1）∪（1，+∞）；0．2．复数：z ＝（a 2﹣2a ）+（a 2﹣a ﹣2）i 对应点在虚轴上，则实数a ＝ ． 【解析】解：∵复数z ＝（a 2﹣2a ）+（a 2﹣a ﹣2）i ，对应点在虚轴上，∴{a 2−2a =0a 2−a −2≠0，解得：a ＝0． 故答案为：0．3．复数z ＝5+20i 在复平面内对应的点的坐标是 ．【解析】解：复数z ＝5+20i 在复平面内对应的点的坐标是（5，20）， 故答案为：（5，20）．4．已知复数z ＝a 2i ﹣2a ﹣i 是负实数，则实数a 的值为 ． 【解析】解：∵复数z ＝a 2i ﹣2a ﹣i ＝﹣2a +（a 2﹣1）i 是负实数， ∴a 2﹣1＝0 且﹣2a ＜0， 则实数a ＝1， 故答案为：1．5．已知复数z ＝（m 2﹣m ）+（m ﹣1）i （m ∈R ）． （1）若z 为实数，求m 值； （2）若z 为纯虚数，求m 值；（3）若复数z 对应的点在第一象限，求m 的范围． 【解析】解：z ＝（m 2﹣m ）+（m ﹣1）i ． （1）若z 为实数，则m ﹣1＝0，即m ＝1；（2）若z 为纯虚数，则{m 2−m =0m −1≠0，即m ＝0；（3）若复数z 对应的点在第一象限，则{m 2−m ＞0m −1＞0，即m ＞1．必考必会题型1：复数概念的考查【典型例题】在复平面内，复数z ＝（m +2）+（m 2﹣m ﹣2）i 对应的点在第一象限，则实数m 的取值范围为 ．【解析】解：因为复数z ＝（m +2）+（m 2﹣m ﹣2）i 对应的点在第一象限，可得：{m +2＞0m 2−m −2＞0，解得：m ∈（﹣2，﹣1）∪（2，+∞）． 故答案为：（﹣2，﹣1）∪（2，+∞）．【题型强化】若复数z ＝（m +1）+（2﹣m ）i （m ∈R ）是纯虚数，则m ＝ ． 【解析】解：复数z ＝（m +1）+（2﹣m ）i （m ∈R ）是纯虚数， 则m +1＝0， 解得m ＝﹣1．故答案为：﹣1．【收官验收】已知复数z ＝m （m ﹣2）+（m ﹣2）i ，其中i 为虚数单位．若z 满足下列条件，求实数m 的值： （1）z 为实数； （2）z 为纯虚数；（3）z 在复平面内对应的点在直线y ＝x 上． 【解析】解：z ＝m （m ﹣2）+（m ﹣2）i ， （1）由m ﹣2＝0，得m ＝2； （2）由{m(m −2)=0m −2≠0，解得m ＝0；（3）由m （m ﹣2）＝（m ﹣2），解得m ＝1或m ＝2．【名师点睛】求解复数分类问题的关键：(1)复数z =a +bi (a ，b ∈R )为纯虚数的充要条件是a =0且b ≠0. (2)复数z =a +6i (a ，b ∈R )为实数的充要条件是b =0. 3)复数z =a +b (a ，b ∈R )为虚数的充要条件是b ≠0.依据复数的类型求参数时要先确定使代数式有意义的参数的取值，再结合以上结论求解.复数相等的充要条件是“化虚为实”的主要依据，多用来求解参数.解决复数相等问题的步骤：分别分离出两个复数的实部和虚部，利用实部与实部相等、虚部与虚部相等列方程组求解.必考必会题型2：复数的几何意义【典型例题】在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，若向量OA →，OB →对应的复数分别是1﹣i ，﹣1+2i ，则向量CD →对应的复数是 ． 【解析】解：如图，∵向量OA →，OB →对应的复数分别是1﹣i ，﹣1+2i ， ∴OA →=(1，−1)，OB →=(−1，2)，则BA →=OA →−OB →=(2，−3)，∴CD →=(2，−3)． 则向量CD →对应的复数是2﹣3i ． 故答案为：2﹣3i ．【题型强化】在复平面内，复数z ＝2i 对应的点为Z ，将向量OZ →绕原点O 按逆时针方向旋转π3，所得向量对应的复数是 ．【解析】解：复数z ＝2i 对应的点为Z ，将向量OZ →绕原点O 按逆时针方向旋转π3，所得复数为2i （cos π3+i sin π3）＝2i （12+√32i ）=−√3+i ． 故答案为：−√3+i ．【收官验收】若复数z 满足|z ﹣z 0|+|z ﹣3i |＝4，且复数z 对应的点的轨迹是椭圆，则复数z 0的模的取值范围是 ．【解析】解：如图：满足|z ﹣3i |+|z ﹣z 0|＝4的复数z 对应的点的轨迹是椭圆， 由椭圆的定义可知，z 0到（0，3）的距离小于4，则z 0的轨迹是以（0，3）为圆心，4为半径的圆的内部部分， ∴|z 0|的取值范围是[0，7）． 故答案为：[0，7）．【名师点睛】复数集与复平面内所有的点所组成的集合之间存在着对应的关系.每一个复数都对应唯一的一个有序实数对，只要在复平面内找到这个有序实数对所表示的点，就可根据点的位置判断复数实部、虚部1.根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点为原点时，向量的终点对应的复数即向量对应的复数.反之，复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段即复数对应的向量.2.解决复数与平面向量一一对应的题目时，一般根据复数与复平面内的点一一对应，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化.必考必会题型3：复数的模的计算【典型例题】若复数z 满足z （1﹣i ）＝1+2i （i 为虚数单位），则复数z 在复平面上对应的点位于第 象限；|z |＝ ．【解析】解：复数z 满足z （1﹣i ）＝1+2i ，整理得z =1+2i 1−i =(1+2i)(1+i)(1−i)(1+i)=−1+3i 2=−12+32i ， 故该复数对应的点在第二象限， |z |=√(−12)2+(32)2=√102． 故答案为：二；√102．【题型强化】如果复数z =3−bi2+i （b ∈R ）的实部和虚部相等，则|z |＝ 【解析】解：z =3−bi2+i =(3−bi)(2−i)(2+i)(2−i)=6−b−(3+2b)i 5=6−b 5−3+2b 5i ， ∵复数z =3−bi2+i （b ∈R ）的实部和虚部相等， ∴6−b 5=−3+2b 5，解得b ＝﹣9，∴z ＝3+3i ，∴|z |=√9+9=3√2． 故答案为：3√2．【收官验收】设z 1，z 2∈C ，已知|z 1|＝|z 2|＝1，|z 1+z 2|=√2，则|z 1﹣z 2|＝ ． 【解析】解：∵|z 1|＝|z 2|＝1，|z 1+z 2|=√2，∴|z 1﹣z 2|2＝2（|z 1|2+|z 2|2）﹣|z 1+z 2|2＝2（1+1）−(√2)2=2； ∴√2， 故答案为：√2．必考必会题型4：利用复数的几何意义解题【典型例题】若复数z 满足|z |＝2，则|z +3|+|z ﹣3|的取值范围是 ． 【解析】解：满足|z |＝2的z 在以原点为圆心，以2为半径的圆上，则|z +3|+|z ﹣3|的表示圆上的点到B （﹣3，0）和C （3，0）的距离，由图象可知， 当点在E ，F 处最小，最小为：1+2+2+1＝6， 当点在D ，处最大，最大为22+32=2√13， 则|z +3|+|z ﹣3|的取值范围是[6，2√13]， 故答案为：[6，2√13]．【题型强化】已知复数z 0＝lg （a 2﹣4a +4）+（a 2﹣3a +2）i （i 为虚数单位，a ∈R ）为纯虚数，z 0和b 是关于x 的方程x 2﹣（3+2i ）x +6i ＝0的两个根． （1）求a ，b 的值；（2）若复数z 满足1≤|z |≤|a +bi |，说明在复平面内z 对应的点Z 的集合是什么图形？并求该图形的面积． 【解析】解：（1）∵z 0＝lg （a 2﹣4a +4）+（a 2﹣3a +2）i 为纯虚数，∴{lg(a 2−4a +4)=0a 2−3a +2≠0，即{a 2−4a +4=1a 2−3a +2≠0，解得a ＝3，此时z 0＝2i ，由韦达定理得{z 0+b =3+2iz 0b =6i ，解得b ＝3；（2）复数z 满足1≤|z |≤|a +bi |，即1≤|z|≤3√2，不等式|z |≥1的解集是圆|z |＝1的外部（包括边界）所有点组成的集合， 不等式|z|≤3√2的解集是圆|z|=3√2的内部（包括边界）所有点组成的集合，∴所求点Z 的集合是以原点为圆心，以1和3√2为半径的两个圆所夹的圆环，包括边界． 则S 圆环=π[(3√2)2−12]=17π．【收官验收】已知复数w 满足w ﹣4＝（3﹣2w ）i （i 为虚数单位）． （1）求w ；（2）设z ∈C ，在复平面内求满足不等式1≤|z ﹣w |≤2的点Z 构成的图形面积． 【解析】解：（1）∵w （1+2i ）＝4+3i ，∴w =4+3i 1+2i =(4+3i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)=2﹣i ． （2）在复平面内求满足不等式1≤|z ﹣w |≤2的点Z 构成的图形为一个圆环，其中大圆为：以（2，﹣1）为圆心，2为半径的圆；小圆是：以（2，﹣1）为圆心，1为半径的圆．∴在复平面内求满足不等式1≤|z ﹣w |≤2的点Z 构成的图形面积＝22π﹣12×π＝3π．【名师点睛】我们知道，在实数集中，实数a 的绝对值，即|a |是表示实数a 的点与原点O 间的距离．那么在复数集中，类似地，|z |是表示复数z 的点到坐标原点间的距离，也就是向量OZ →的模，|z |＝|OZ →|．运用此性质，可以解决有关问题．解决复数问题的主要思想方法有：(一)转化思想：复数问题实数化；(二)数形结合思想：利用复数的几何意义数形结合解决；(三)整体化思想：利用复数的特征整体处理．。
复数专题讲义(附历年新课标真题).doc
第一讲复数1、复数z的代数形式为,其中称为Z的实部，称为Z的虚部2、几类特殊的复数：(1) 虚数：例如：纯虚数：例如：(2) 实数：_____________3、复数的运算：设Z[ = a + bi,Za= c + di(a,b,c,d c R)(1) _____________________________________(2)加减____________________________________________(3)乘法____________________________________________(注：乘法运算可以把i理解为字母，进行分配率的运算。
只是结果一方面要化成标准形式，另一方面要计算/2=-1)(4)____________________________________________ 除法(注：除法不要死记公式而要理解方法：由于复数的标准形式是z = a + bi(a,bw R),所以不允许分母带有i,那么利用平方差公式及i2 =1的特点分子分母同时乘以Z?的共瓶复数即可。
)4、共辄复数：,对于z而言，实部,虚部.5、复数的模：. 特别的：|z「=z・z (|z「rz2)6、两个复数相等：实部虚部对应相等7、复平面：我们知道实数与数轴上的点一一对应，推广到复数，每一个复数ci + bi(Q,be R)都与平面直角坐标系上的点(。
/)一一对应，将这个平面称为复平面。
横坐标代表复数的实部，横轴称为实轴，纵轴称为虚轴。
8、处理复数要注意的几点：(1) 在处理复数问题时，一定要先把复数化简为标准形式，即z = a + bi(a,bc R)(2) 在实数集的一些多项式公式及展开在复数中也同样适用。
例如：平方差公式，立方和差公式，二项式定理等二、题型归类解析1、基本运算型I例1 （2013年高考全国卷文科）吉土耳（1 - I）（）•例2 （2011年高考全国卷理科）城血73 - i( ).A. iB.J3 （2013年高考题全国卷）若复数z满足（3 -4i）z =1 4 +3il ,则z 的虚部为（）.4 4A. — 4B. —C. 4 D< -T-J J例4 （2012年高考全国卷）下面是关于复数z=—的四个命题：P] ： I z I = 2,P2：Z2=2i,P3N的共辄复数为1 + j；R：Z的虚部为- L其中真命题为（）.A. P2,P3B. P, ,P2C.P2,P4D. P,,P4例5 （2008年高考全国卷）'已知复数z。
高考数学压轴专题新备战高考《复数》全集汇编及解析
新《复数》专题解析一、选择题1．已知复数z 满足11212i i z+=+（i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ） A ．4 B ．4i C ．4- D ．4i -【答案】C【解析】112i 11420i 34i 12i 5z ++-===-+ ,所以z 的虚部为4-,选C.2．若复数z 满足232,z z i +=-其中i 为虚数单位，则z=A ．1+2iB ．1-2iC ．12i -+D ．12i --【答案】B【解析】试题分析：设i z a b =+，则23i 32i z z a b +=+=-，故，则12i z =-，选B.【考点】注意共轭复数的概念【名师点睛】本题主要考查复数的运算及复数的概念，是一道基础题目.从历年高考题目看，复数题目往往不难，有时对复数的运算与概念、复数的几何意义等进行综合考查，也是考生必定得分的题目之一.3．已知复数z 满足()13i z i +=，i 为虚数单位，则z 等于（ ） A ．1i -B ．1i +C ．1122i -D ．1122i + 【答案】A【解析】因为|3+|2(1)1(1)(1)i i z i i i -===-+-，所以应选答案A ．4．若z C ∈且342z i ++≤，则1z i --的最大和最小值分别为,M m ，则M m -的值等于（ ）A ．3B ．4C ．5D ．9【答案】B【解析】【分析】根据复数差的模的几何意义可得复数z 在复平面上对应的点的轨迹，再次利用复数差的模的几何意义得到,M m ，从而可得M m -的值.【详解】因为342z i ++≤，故复数z 在复平面上对应的点P 到134z i =--对应的点A 的距离小于或等于2， 所以P 在以()3,4C --为圆心，半径为2的圆面内或圆上， 又1z i --表示P 到复数21z i =+对应的点B 的距离，故该距离的最大值为222AB +==，最小值为22AB -=，故4M m -=.故选：B.【点睛】本题考查复数中12z z -的几何意义，该几何意义为复平面上12,z z 对应的两点之间的距离，注意12z z +也有明确的几何意义（可把12z z +化成()12z z --），本题属于中档题.5．在复平面内，已知复数z 对应的点与复数2i --对应的点关于实轴对称，则z i =（ ） A ．12i -B ．12i +C ．12i -+D ．12i -- 【答案】B【解析】【分析】由已知求得z ，代入z i，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【详解】由题意，2z i =-+， 则22(2)()12z i i i i i i i-+-+-===+-． 故选：B ．【点睛】 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．6．若43i z =+，则z z=（ ） A ．1 B ．1- C ．4355i + D ．4355i - 【答案】D 【解析】【详解】由题意可得 ：5z ==，且：43z i =-，据此有：4343555 z ii z-==-.本题选择D选项.7．已知i是虚数单位，则31ii+-=（）A．1-2i B．2-i C．2+i D．1+2i 【答案】D【解析】试题分析：根据题意，由于33124121112i i i iii i i++++=⨯==+--+，故可知选D.考点：复数的运算点评：主要是考查了复数的除法运算，属于基础题．8．复数的共轭复数对应的点位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】C【解析】【分析】利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数，再利用共轭复数的概念求出复数的共轭复数，进一步求出对应点的坐标得结果 .【详解】，的共轭复数为，对应坐标是在第三象限，故选C.【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.9．若复数()21a i a R i -∈+为纯虚数，则3ai -=（ ）A B ．13 C ．10 D【答案】A【解析】【分析】由题意首先求得实数a 的值，然后求解3ai -即可．【详解】由复数的运算法则有：2(2)(1)221(1)(1)22a i a i i a a i i i i ++-+-==+++-, 复数()21a i a R i -∈+为纯虚数，则2020a a +=⎧⎨-≠⎩，即2,|3|a ai =--=本题选择A 选项.【点睛】复数中，求解参数(或范围)，在数量关系上表现为约束参数的方程(或不等式).由于复数无大小之分，所以问题中的参数必为实数，因此，确定参数范围的基本思想是复数问题实数化.10．设i 是虚数单位，则2320192342020i i i i +++⋅⋅⋅+的值为（ ）A ．10101010i --B ．10111010i --C ．10111012i --D ．10111010i -【答案】B【解析】【分析】利用错位相减法、等比数列的求和公式及复数的周期性进行计算可得答案.【详解】解：设2320192342020S i i i i =+++⋅⋅⋅+,可得：24201920320023420192020iS i i i i i =++++⋅⋅⋅++，则24201923020(1)22020i S i i i i i i -=++++⋅⋅⋅+-， 2019242019202023020(1)(1)202020201i i i S i i i i i i i i i i--=+++++⋅⋅⋅+-+-=-， 可得：2(1)(1)(1)20202020202112i i i i i S i i i i ++-=+-=+-=-+-， 可得：2021(2021)(1)1011101012i i i S i i -+-++===---， 故选：B.【点睛】本题主要考查等比数列的求和公式，错位相减法、及复数的乘除法运算，属于中档题.11．复数12i 2i +=-（ ）． A ．iB ．1i +C ．i -D ．1i -【答案】A【解析】 试题分析：12(12)(2)2422(2)(2)5i i i i i i i i i +++++-===--+，故选A. 【考点】复数运算【名师点睛】复数代数形式的四则运算的法则是进行复数运算的理论依据，加减运算类似于多项式的合并同类项，乘法法则类似于多项式的乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形式，再将分母实数化.12．设复数z 满足()13i z i +=+，则z =（ ）AB ．2C ．D 【答案】D【解析】分析：先根据复数除法得z ，再根据复数的模求结果.详解：因为()13i z i +=+，所以31(3)(1)212i z i i i i +==+-=-+,因此z =选D.点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b (,)a b 、共轭为.-a bi13．复数(1)(2)z ai a i =-+在复平面内对应的点在第一象限，其中a R ∈，i 为虚数单位，则实数a 的取值范围是（ ）A ．B ．)+∞C ．(,-∞D ．(【答案】A【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算、化简，再由实部与虚部均大于0，列出不等式组，即可求解.【详解】由题意，复数2(1)(2)3(2)z ai a i a a i =-+=+-在复平面内对应的点在第一象限，所以23020a a >⎧⎨->⎩，解得0a <<，即实数a 的取值范围是. 故选：A .【点睛】本题主要考查了复数的乘法运算，以及复数的代数表示法及其几何意义的应用，着重考查了推理与运算能力.14．若复数1a i z i +=-，且3·0z i >，则实数a 的值等于（ ） A ．1B ．-1C ．12D ．12- 【答案】A【解析】【分析】由3·0z i >可判定3·z i 为实数，利用复数代数形式的乘除运算化简复数z ，再由实部为0，且虚部不为0列式求解即可.【详解】 ()()()()()i 1i 11i i 1i 1i 1i 2a a a a z ++-+++===--+Q ， 所以3·z i =()()()()341i 1i 1i 122a a a a -++--++=，因为3·0z i >，所以3·z i 为实数，102a --= 可得1a =，1a =时3,?10z i =>,符合题意，故选A. 【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.15．已知复数122i z i +=- （i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ） A ．－1B ．0C ．1D ．i【答案】C【解析】【分析】利用复数的运算法则，和复数的定义即可得到答案．【详解】 复数()()()()1221252225i i i i z i i i i +++====--+，所以复数z 的虚部为1，故选C ． 【点睛】本题主要考查了复数的运算法则和复数的概念，其中解答中熟记复数的基本运算法则和复数的概念及分类是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．16．已知2a i b i i +=+ ，,a b ∈R ，其中i 为虚数单位，则+a b =（ ） A ．-1B ．1C ．2D ．3【答案】B【解析】【分析】利用复数除法运算法则化简原式可得2ai b i -=+，再利用复数相等列方程求出,a b 的值，从而可得结果.【详解】 因为22222a i ai i ai b i i i+--==-=+- ，,a b ∈R ， 所以2211b b a a ==⎧⎧⇒⎨⎨-==-⎩⎩，则+1a b =，故选B. 【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.17．已知m 为实数，i 为虚数单位，若()24m m +- 0i >，则222m i i +=-（ ） A ．iB ．1C ．- iD ．1-【答案】A【解析】 因为2(4)0m m i +->，所以2(4)m m i +-是实数，且20{240m m m >⇒=-=，故22(1)222(1)m i i i i i ++==--，应选答案A ．18．复数21i z i +=-，i 是虚数单位，则下列结论正确的是 A ．5z = B ．z 的共轭复数为31+22i C ．z 的实部与虚部之和为1D ．z 在复平面内的对应点位于第一象限 【答案】D 【解析】【分析】利用复数的四则运算，求得1322z i =+，在根据复数的模，复数与共轭复数的概念等即可得到结论．【详解】 由题意()()()()22121313111122i i i i z i i i i i ++++====+--+-， 则221310()()222z =+=，z 的共轭复数为1322z i =-， 复数z 的实部与虚部之和为2，z 在复平面内对应点位于第一象限，故选D ．【点睛】复数代数形式的加减乘除运算的法则是进行复数运算的理论依据,加减运算类似于多项式的合并同类项,乘法法则类似于多项式乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形式,再将分母实数化，其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b 、模为22a b +、对应点为(,)a b 、共轭为a bi -．19．下列命题中，正确命题的个数是( )①若，，则的充要条件是；②若，且，则； ③若，则． A ． B ．C ．D ．【答案】A【解析】对①，由于x ，y ∈C ，所以x ，y 不一定是x ＋yi 的实部和虚部，故①是假命题； 对②，由于两个虚数不能比较大小，故②是假命题；③是假命题，如12＋i 2＝0，但1≠0，i≠0.考点：复数的有关概念.20．复数321i i -（i 为虚数单位）的共轭复数是 （ ）A．2155i-+B．2133i+C．2155i--D．2133i-【答案】C 【解析】试题分析：由题；3(21)22121(21)(21)555i i i iii i i-+-===-+--+-，则共轭复数为：2155i--．考点：复数的运算及共轭复数的概念.。
第2讲 复数（解析版）
第2讲 复数一、思维导图：请同学们根据思维导图回忆本讲的知识点：二、知识梳理： 1.基本概念（1）叫虚数单位，满足 ，当时，. （2）形如的数叫做复数，记作.①复数与复平面上的点一一对应，叫z 的实部，b 叫z 的虚部； Z 点组成实轴；叫虚数；且，z 叫纯虚数，纯虚数对应点组成虚轴（不包括原点）。
是的共轭复数. ②两个复数相等（两复数对应同一点）③复数的模：复数的模，也就是向量的模，即有向线段的长度，其计算公式为，显然，. 2.复数运算（1） （2） （3）. 实数的全部运算律（加法和乘法的交换律.结合律.分配律及整数指数幂运算法则）都适用于复数.注意：z ∙z ̅=|z|2, |z 1||z 2|=|z 1∙z 2|，z 2≠|z|2i 21i =-k Z ∈44142431,,1,k k k k i i i i i i +++===-=-(,)a bi a b R +∈a bi C +∈(,)z a bi a b R =+∈(,)Z a b a 0,b z R =⇔∈0,b z ≠0b ≠0a =z a bi =-z a bi =+(,)a b R ∈,(,,,)a bi c di a b c d R ++∈a c b d =⎧⇔⎨=⎩(,)a bi a b R +∈OZ OZ 22||||z a bi a b =+=+2222||||,z a bi a b z z a b =-=+⋅=+()()()()i a bi c di a c b d +±+=±+±()()()()a bi c di ac bd ad bc i +⋅+=-++2222()()()()(0)()()a bi a bi c di ac bd bc ad i c d c di c di c di c d++⋅-++-==+≠++⋅-+3.复数的几何意义（1）复数对应平面内的点；（2）复数对应平面向量；（3）复平面内实轴上的点表示实数，除原点外虚轴上的点表示虚数，各象限内的点都表示复数.（4）复数的模表示复平面内的点到原点的距离.三、高考试题：1.（2022·新高考Ⅰ）2. 若i(1)1z -=，则z z +=（ ） A. 2- B. 1-C. 1D. 2【答案】D【解析】由题设有21i1i i iz -===-，故1+i z =，故()()1i 1i 2z z +=++-=， 故选：D2.（2022·新高考Ⅱ）(22i)(12i)+-=（ ） A.24i -+B. 24i --C. 62i +D. 62i-【答案】D【解析】()()22i 12i 244i 2i 62i +-=+-+=-，故选：D. 3. （2022·全国甲（理））若13i z =-+，则1zzz =-（ ） A. 13i -+ B. 13i -C. 133-+ D. 133-【答案】C4.（2022·全国甲（文）） 若1i z =+．则|i 3|z z +=（ ） A. 45 B. 42 C. 5 D. 22【答案】D【解析】因为1i z =+，所以()()i 3i 1i 31i 22i z z +=++-=-，所以i 34422z z +=+= D.5.（2022·全国乙（文））设(12i)2i a b ++=，其中,a b 为实数，则（ ）(,)z a bi a b R =+∈(,)z a b (,)z a bi a b R =+∈OZ (,)z a bi a b R =+∈||z (,)z a bA. 1,1a b ==-B. 1,1a b ==C. 1,1a b =-=D. 1,1a b =-=-【答案】A【解析】因为a,b ∈R ，()2i 2i a b a ++=，所以0,22a b a +==，解得：1,1a b ==-． 故选：A.6.（2022·全国乙（理））已知12z i =-，且0z az b ++=，其中a ，b 为实数，则（ ） A. 1,2a b ==- B. 1,2a b =-=C. 1,2a b ==D. 1,2a b =-=-【答案】A 【解析】12i z=+，12i (12i)(1)(22)i z az b a b a b a ++=-+++=+++-由0z az b ++=,得10220a b a ++=⎧⎨-=⎩,即12a b =⎧⎨=-⎩，故选:A 7.（2022·北京） 若复数z 满足i ⋅z =3−4i ，则|z |=（ ） A. 1 B. 5C. 7D. 25【答案】B【解析】由题意有()()()34i i 34i 43i i i i z ---===--⋅-，故()()223|54|z -+-==．故选：B ．8.（2022·浙江）已知,,3i (i)i a b a b ∈+=+R （i 为虚数单位），则（ ） A. 1,3a b ==- B. 1,3a b =-= C. 1,3a b =-=- D. 1,3a b ==【答案】B【解析】3i 1i a b +=-+，而,a b 为实数，故1,3a b =-=，故选：B. 9．（2021.新高考Ⅰ）已知2i z =-，则()i z z +=（ ） A ．62i - B ．42i - C ．62i + D ．42i +【答案】C【解析】因为2z i =-，故2z i =+，()()()2222=4+42262z z i i i i i i i+=-+--=+故选：C.10．（2021.新高考Ⅱ）复数213ii--在复平面内对应点所在的象限为( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A 【解析】2222(2)(13)263551113(13)(13)1(3)1022i i i i i i i i i i i --++--+====+--++-， ∴在复平面内，复数213i i --对应的点的坐标为1(2，1)2，位于第一象限．故选：A ． 11．（2021.全国乙（文））设i 43i z =+，则z =（ ） A ．–34i - B ．34i -+C ．34i -D ．34i +【答案】C【解析】由题意可得：()2434343341i i i i z i i i ++-====--.故选：C. 12．（2021.全国乙（理））设()()2346z z z z i ++-=+，则z =（ ） A ．12i - B ．12i +C ．1i +D ．1i -【答案】C【解析】设z a bi =+，则z a bi =-，则()()234646z z z z a bi i ++-=+=+，所以，4466a b =⎧⎨=⎩，解得1a b ==，因此，1z i =+.故选：C.13．（2021.全国甲（理））已知2(1)32i z i -=+，则z =（ ） A ．312i --B ．312i -+C ．32i -+ D ．32i -- 【答案】B【解析】2(1)232i z iz i -=-=+，32(32)23312222i i i i z i i i i ++⋅-+====-+--⋅. 故选：B.14. （2020.新高考Ⅰ）2i12i-=+（ ） A. 1 B. −1 C. i D. −i【答案】D【解析】2(2)(12)512(12)(12)5i i i ii i i i ----===-++-，故选：D15．（2020.全国（文科）（新课标Ⅰ））若312i i z =++，则||=z （ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．2【答案】C【解析】因为31+21+21z i i i i i =+=-=+，所以 22112z =+=C ．16．（2020.全国（理科）（新课标Ⅰ））若z=1+i ，则|z 2–2z |=（ ） A ．0 B ．1C 2D ．2【答案】D【解析】由题意可得：()2212z i i =+=，则()222212z z i i -=-+=-.故2222z z -=-=.故选：D.17．（2020.全国（文科）（新课标Ⅱ））（1–i ）4=（ ） A ．–4 B ．4 C ．–4i D ．4i 【答案】A【解析】422222(1)[(1)](12)(2)4i i i i i -=-=-+=-=-.故选：A. 18．（2020.全国（文科）（新课标Ⅲ））若()11+=-z i i ，则z =（ ） A ．1–i B ．1+iC ．–iD ．i【答案】D【解析】因为21(1)21(1)(1)2i i iz i i i i ---====-++-，所以z i .故选：D19．（2020.全国（理科）（新课标Ⅲ））复数113i-的虚部是（ ） A ．310-B ．110-C ．110D ．310【答案】D 【解析】因为1131313(13)(13)1010i z i i i i +===+--+，所以复数113z i =-的虚部为310.故选：D.。
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专题9.1 复数（精讲精析篇）提纲挈领点点突破热门考点01 复数的有关概念与性质1．虚数单位为i，规定：i2＝-1，且实数与它进行四则运算时，原有的加法、乘法的运算律仍然成立．2．复数的概念形如：a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部．①当b＝0时，复数a＋bi为实数；②当b≠0时，复数a＋bi为虚数；③当a＝0且b≠0时，复数a＋bi为纯虚数．3.复数相等的充要条件a＋bi＝c＋di(a，b，c，d∈R)⇔ a＝c且b＝d，特别地，a＋bi＝0⇔ a＝b＝0.4.共轭复数：一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，复数z 的共轭复数记作z．5. 复数的模向量OZ→的模r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作|z|或||a＋bi.即||z＝||a＋bi＝r＝a2＋b2(r≥0，r∈R)．6.共轭与模是复数的重要性质，运算性质有：(1)1212z z z z±=±；(2)1212z z z z⨯=⨯；(3)22z z z z⋅==；(4)121212z z z z z z-≤±≤+；(5)1212z z z z=⨯；(6)1121zzz z=.【典例1】（2020·全国高三其他（文））若复数21z i=-，则下列结论正确的是（ ） A ．||2z = B ．z 的虚部为iC ．1z i =-+D ．22z i =【答案】D 【解析】 因为22(1)11(1)(1)i z i i i i +===+--+，所以||z ==A 错； z 的虚部为1，故B 错；1z i =-，故C 错；22(1)2z i i =+=，故D 正确.故选：D【典例2】（2019·全国高考真题（文））设z =i(2+i)，则z =（ ） A ．1+2i B ．–1+2i C ．1–2i D ．–1–2i【答案】D 【解析】2i(2i)2i i 12i z =+=+=-+，所以12z i =--，选D ．【典例3】（2017·全国高考真题（理））(2017高考新课标III ，理3)设复数z 满足(1+i)z =2i ，则∣z ∣=（ ） A ．12BCD ．2【答案】C 【解析】由题意可得2i1i z =+，由复数求模的法则可得1121z z z z =，则2i 1i z ===+故选C.【典例4】（2020·浙江省高考真题）已知a ∈R ，若a –1+(a –2)i (i 为虚数单位)是实数，则a =（ ） A ．1 B ．–1 C ．2 D ．–2【答案】C【解析】因为(1)(2)a a i -+-为实数，所以202a a -=∴=，， 故选：C【典例5】（2019·江苏高考真题）已知复数(2i)(1i)a ++的实部为0，其中i 为虚数单位，则实数a 的值是_____. 【答案】2. 【解析】2(a 2)(1i)222(2)i a ai i i a a i ++=+++=-++，令20a -=得2a =. 【总结提升】求解与复数概念相关问题的技巧复数的分类、复数的相等、复数的模及共轭复数的概念都与复数的实部、虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即a ＋bi(a ，b ∈R)的形式，再根据题意求解．热门考点02 复数的几何意义1.z ＝a ＋bi(a ，b ∈R)与复平面上的点Z(a ，b)、平面向量OZ →都可建立一一对应的关系(其中O 是坐标原点)． 2.复平面内，实轴上的点都表示实数；虚轴上的点除原点外都表示纯虚数．【典例6】（2019·全国高考真题（理））设复数z 满足=1i z -，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则（ ）A ．22+11()x y +=B ．22(1)1x y -+= C ．22(1)1x y +-= D ．22(+1)1y x +=【答案】C 【解析】,(1),z x yi z i x y i =+-=+-1,z i -则22(1)1x y +-=．故选C ．【典例7】（2020·北京高考真题）在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(1,2)，则i z ⋅=（ ）． A ．12i + B ．2i -+ C ．12i - D ．2i --【答案】B 【解析】由题意得12z i =+，2iz i ∴=-. 故选：B.【典例8】（2017·北京高考真题（理））若复数（1–i ）（a +i ）在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（–∞，1） B ．（–∞，–1） C ．（1，+∞） D ．（–1，+∞）【答案】B 【解析】设()()()()1i i 11i z a a a =-+=++-，因为复数对应的点在第二象限，所以1010a a +<⎧⎨->⎩，解得：1a <-，故选B. 【总结提升】1．复数z 、复平面上的点Z 及向量OZ →相互联系，即z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )⇔Z (a ，b )⇔OZ →.2．由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．3. 复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．复数z ＝a ＋b i复平面内的点Z (a ，b )(a ，b ∈R)．复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)平面向量OZ .4.提醒：|z |的几何意义：令z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则|z |＝x 2＋y 2，由此可知表示复数z 的点到原点的距离就是|z |的几何意义；|z 1－z 2|的几何意义是复平面内表示复数z 1，z 2的两点之间的距离．热门考点03 复数的四则运算1.复数的加、减、乘、除的运算法则设z 1＝a ＋bi ，z 2＝c ＋di(a ，b ，c ，d ∈R)，则 (1)z 1±z 2＝(a±c)＋(b±d)i ； (2)z 1·z 2＝(ac －bd)＋(ad ＋bc)i ； (3)z 1z 2＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －adc 2＋d2i (z 2≠0)． 2. 22|z |||zz z ==.【典例9】（2019·全国高考真题（文））若(1i)2i z +=，则z =（ ） A ．1i -- B ．1+i -C ．1i -D ．1+i【答案】D【解析】()(2i 2i 1i 1i 1i 1i 1i )()z -===+++-．故选D ． 【典例10】（2020·海南省高考真题）2i12i-=+（ ） A ．1 B ．−1 C ．i D ．−i【答案】D 【解析】2(2)(12)512(12)(12)5i i i ii i i i ----===-++- 故选：D【典例11】（2018·全国高考真题（文））(1)(2)i i +-=（ ） A ．3i -- B ．3i -+C ．3i -D ．3i +【答案】D 【解析】()()21i 2i 2i 2i 3i i +-=-+-=+故选D.【典例12】（2019·江苏高二期中）232007i i i i ++++=______.【答案】1-. 【解析】232007i i i i ++++()()2007450131111i i i iii⨯+--==--2(1)1(1)(1)i i i i +==--+ 故答案为：1- 【总结提升】复数四则运算的解题策略(1)复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式的运算．(2)复数的除法运算是分子、分母同乘以分母的共轭复数，即分母实数化．(3)在含有z ，z ，|z|中至少两个的复数方程中，可设z ＝a ＋bi ，a ，b ∈R ，变换方程，利用两复数相等的充要条件得出关于a ，b 的方程组，求出a ，b ，从而得出复数z. （4）注意应用：①(1±i)2＝±2i；②＝i,＝－i.热门考点04 复数的三角形式、运算及其几何意义1．复数的三角表示式及复数的辐角和辐角的主值一般地，任何一个复数z ＝a ＋b i 都可以表示成r (cos θ＋isin θ)的形式，其中，r 是复数z 的模；θ是以x 轴的非负半轴为始边，向量OZ →所在射线(射线OZ )为终边的角，叫做复数z ＝a ＋b i 的辐角，我们规定在0≤θ＜2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，通常记作arg z ．r (cos θ＋isin θ)叫做复数z ＝a ＋b i 的三角表示式，简称三角形式．a ＋b i 叫做复数的代数表示式，简称代数形式． 2．复数三角形式的乘、除运算若复数z 1＝r 1(cos θ1＋isin θ1)，z 2＝r 2(cos θ2＋isin θ2)，且z 1≠z 2，则 (1)z 1z 2＝r 1(cos θ1＋isin θ1)·r 2(cos θ2＋isin θ2)= r 1r 2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)] (2)z 1z 2＝r 1cos θ1＋isin θ1r 2cos θ2＋isin θ2＝r 1r 2[cos(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)]． 即：两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和．两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差.【典例13】把下列复数的代数形式化成三角形式： (1)3＋i ； (2)2－2i.【答案】（1）2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π6＋isin π6；（2）2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 7π4＋isin 7π4.【解析】 (1)r ＝3＋1＝2，因为3＋i 对应的点在第一象限， 所以cos θ＝32，即θ＝π6， 所以3＋i ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π6＋isin π6.(2)r ＝2＋2＝2，cos θ＝22，又因为2－2i 对应的点位于第四象限， 所以θ＝7π4.所以2－2i ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 7π4＋isin 7π4.【规律方法】复数的代数形式化为三角形式的步骤 （1）先求复数的模. （2）决定辐角所在的象限. （3）根据象限求出辐角. （4）求出复数的三角形式. 提醒：(1)任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差2π的整数倍． (2)复数0的辐角是任意的．(3)在0≤θ＜2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，通常记作arg z ，且0≤arg z ＜2π. (4)两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等．（5）一般在复数三角形式中的辐角，常取它的主值，这使表达式简便，又便于运算，但三角形式辐角不一定取主值.【典例14】分别指出下列复数的模和辐角的主值，并将复数表示成代数形式． （1）4⎝⎛⎭⎫cos π6＋isin π6；（2）2⎝⎛⎭⎫cos π3－isin π3 【答案】（1）23＋2i ；（2）1－3i.【解析】(1)复数4⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π6＋isin π6的模r ＝4，辐角的主值为θ＝π6.4⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π6＋isin π6＝4cos π6＋4isin π6＝4×32＋4×12i ＝23＋2i. (2)2⎝⎛⎭⎫cos π3－isin π3 ＝2⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫2π－π3＋isin ⎝⎛⎭⎫2π－π3 ＝2⎝⎛⎭⎫cos 53π＋isin 53π.所以复数的模r ＝2，辐角的主值为53π. 2⎝⎛⎭⎫cos 53π＋isin 53π＝2cos 53π＋2isin 53π＝2×12＋2×⎝⎛⎭⎫－32i. ＝1－3i. 【规律方法】复数的三角形式z ＝r （cos θ＋isin θ）必须满足“模非负、余正弦、＋相连、角统一、i 跟sin”，否则就不是三角形式，只有化为三角形式才能确定其模和辐角.如（2）小题. 【典例15】 计算：(1)8⎝⎛⎭⎫cos 43π＋isin 43π×4⎝⎛⎭⎫cos 56π＋isin 56π； (2)3(cos 225°＋isin 225°)÷[2(cos 150°＋isin 150°)]；(3)4÷⎝⎛⎭⎫cos π4＋isin π4. 【答案】（1）163＋16i ；（2）3－34＋3＋34i ；（3）22－22i. 【解析】(1)8⎝⎛⎭⎫cos 43π＋isin 43π×4⎝⎛⎭⎫cos 56π＋isin 56π ＝32⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫43π＋56π＋isin ⎝⎛⎭⎫43π＋56π ＝32⎝⎛⎭⎫cos 136π＋isin 136π＝32⎝⎛⎭⎫cos π6＋isin π6 ＝32⎝⎛⎭⎫32＋12i ＝163＋16i.(2)3(cos 225°＋isin 225°)÷[2(cos 150°＋isin 150°)] ＝32[cos(225°－150°)＋isin(225°－150°)] ＝62(cos 75°＋isin 75°)＝62⎝ ⎛⎭⎪⎫6－24＋6＋24i ＝6－238＋6＋238i ＝3－34＋3＋34i. (3)4÷⎝⎛⎭⎫cos π4＋isin π4 ＝4(cos 0＋isin 0)÷⎝⎛⎭⎫cos π4＋isin π4 ＝4⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫－π4＋isin ⎝⎛⎭⎫－π4 ＝22－22i. 【规律方法】（1）乘法法则：模相乘，辐角相加． （2）除法法则：模相除，辐角相减．（3）复数的n 次幂，等于模的n 次幂，辐角为n 倍． 拓广：(1)有限个复数相乘，结论亦成立．即z 1·z 2…z n ＝r 1(cos θ1＋isin θ1)·r 2(cos θ2＋isin θ2)…r n (cos θn ＋isin θn )＝r 1·r 2…r n [cos(θ1＋θ2＋…＋θn )＋isin(θ1＋θ2＋…＋θn )]．(2)当z 1＝z 2＝…＝z n ＝z 时，即r 1＝r 2＝…＝r n ＝r ，θ1＝θ2＝…＝θn ＝θ，有z n ＝[r (cos θ＋isin θ)]n ＝r n (cos nθ＋isin nθ)，这就是复数三角形式的乘方法则，即：模数乘方，辐角n 倍．【典例16】在复平面内，把复数3－3i 对应的向量分别按逆时针和顺时针方向旋转π3，求所得向量对应的复数． 【答案】-23i.【解析】因为3－3i ＝23⎝⎛⎭⎫32－12i ＝23⎝⎛⎭⎫cos 116π＋isin 116π， 所以23⎝⎛⎭⎫cos 116π＋isin 116π×⎝⎛⎭⎫cos π3＋isin π3 ＝23⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫116π＋π3＋isin ⎝⎛⎭⎫116π＋π3 ＝23⎝⎛⎭⎫cos 136π＋isin 136π ＝23⎝⎛⎭⎫cos π6＋isin π6 ＝3＋3i23⎝⎛⎭⎫cos 116π＋isin 116π×⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫－π3＋isin ⎝⎛⎭⎫－π3 ＝23⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫116π－π3＋isin ⎝⎛⎭⎫116π－π3＝23⎝⎛⎭⎫cos 32π＋isin 32π＝－23i. 故把复数3－3i 对应的向量按逆时针旋转π3得到的复数为3＋3i ，按顺时针旋转π3得到的复数为－23i.【规律方法】两个复数z 1，z 2相乘时，先分别画出与z 1，z 2对应的向量OZ 1→，OZ 2→，然后把向量OZ 1→绕点O 按逆时针方向旋转角θ2如果θ2＜0，就要把OZ 1→绕点O 按顺时针方向旋转角|θ2|，再把它的模变为原来的r 2倍，得到向量OZ →，OZ →表示的复数就是积z 1z 2.巩固提升1．（2019·北京高考真题（文））已知复数z =2+i ，则z z ⋅=（ ）A B C ．3 D ．5【答案】D 【解析】∵z 2i,z z (2i)(2i)5=+⋅=+-= 故选D.2．（2019·全国高考真题（理））设z =-3+2i ，则在复平面内z 对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】C 【解析】由32,z i =-+得32,z i =--则32,z i =--对应点（-3，-2）位于第三象限．故选C ． 3．（2019·全国高考真题（文））设3i12iz -=+，则z =（ ）A ．2 BCD ．1【答案】C 【解析】因为312iz i -=+，所以(3)(12)17(12)(12)55i i z i i i --==-+-，所以z ==C ． 4．（2010·山东高考真题（文））已知2a ib i i+=+ ，,a b ∈R ，其中i 为虚数单位，则+a b =（ ） A ．-1 B ．1C ．2D ．3【答案】B 【解析】因为22222a i ai i ai b i i i+--==-=+- ，,a b ∈R ， 所以2211b b a a ==⎧⎧⇒⎨⎨-==-⎩⎩，则+1a b =，故选B. 5．（全国高考真题（理））复数212ii+-的共轭复数是( ) A ．i - B ．ｉ C ．35i -D ．35i【答案】A()()()()2i 12i 5ii 12i 12i 5++==-+，故其共轭复数为i -.所以选A.6．（2018·全国高考真题（理））设1i2i 1i z -=++，则||z =（ ）A ．0B ．12 C ．1 D【答案】C【解析】()()()()1i 1i1i 2i 2i 1i 1i 1i z ---=+=++-+i 2i i =-+=， 则1z =，故选c.7．（2018·全国高考真题（文））()i 23i +=（ ）A ．32i -B ．32i +C ．32i --D ．32i-+ 【答案】D【解析】2i(23i)2i 3i 32i +=+=-+ ，故选D.8．（2015·全国高考真题（文））已知复数z 满足(1)1z i i -=+，则z =（ ）A ．2i --B ．2i -+C ．2i -D ．2i +【答案】C【解析】∴(1)1z i i -=+，∴z=212(12)()2ii i i i i ++-==--，故选C.9．（2017·全国高考真题（理））复数31ii ++等于 ( )A ．12i +B ．12i -C ．2i +D ．2i -【答案】D【解析】()()()()313+i 421112i i ii i i +--==++-＝2－i.10．（2009·重庆高考真题（理））已知复数z 的实部为1-，虚部为2，则5i z 的共轭复数是（ ）A ．2i -B ．2i +C ．2i --D ．2i -+【答案】B【解析】由题意得：所以，共轭负数为2+i故选B11．（2017·山东高考真题（理））已知R a ∈，i 是虚数单位，若3z a i =+，4z z ⋅=，则a =（）A ．1或1-B 7或7C ．3D 3【答案】A【解析】由3,4z a i z z =⋅=得234a +=，所以1a =±，故选A.12．（2017·山东高考真题（文））已知i 是虚数单位,若复数z 满足i 1i z =+,则2z =（ ）A ．-2iB ．2iC ．-2D ．2【答案】A【解析】 由i 1i z =+得22(i)(1i)z =+,即22i z -=,所以22i z =-,故选A.12．（2019·浙江高三学业考试）已知i 为虚数单位，则3(1)1i i i +⋅=-（ ）A ．–1B ．1C ．–1i +D ．1i +【答案】B【解析】3(1)(11)()1111i i i i i i i i +⋅+⋅-=+--==--，故本题选B.13．（2019·浙江高考真题）复数11z i =+（i 为虚数单位），则||z =________.【解析】1|||1|z i ===+14．（2019·天津高考真题（理））i 是虚数单位，则51ii -+的值为__________.【解析】5(5)(1)231(1)(1)i i ii i i i ---==-=++-.14．（2018·上海高考真题）已知复数z 满足()117i z i +=-（i 是虚数单位），则z = ．【答案】5【解析】由（1+i ）z=1﹣7i ， 得()()()()1711768341112ii i iz i i i i -----====--++-，则5=．故答案为：5．15．（2018·天津高考真题（文））i 是虚数单位，复数67i12i +=+___________.【答案】4–i【解析】 由复数的运算法则得：()()()()67126720541212125i ii ii i i i +-+-===-++-.16．（2018·江苏高考真题）若复数z 满足i 12i z ⋅=+，其中i 是虚数单位，则z 的实部为________．【答案】2【解析】因为i 12i z ⋅=+，则12i 2i iz +==-，则z 的实部为2.。