双曲线及其标准方程及其性质

2、 双曲线 ( x 3)2 y 2 ( x 3)2 y 2 4 _______________________ 化为标准方程为
2
2
x2 y2 研究双曲线 2 2 1(a 0, b 0) 的简单几何性质 a b y 1、范围 (x,y) (-x,y)
双曲线的性质
跟踪检测
x2 y 2 求与椭圆 1 有相同焦点，渐近线方程为 16 8
x 3 y 0 的双曲线方程。
双曲线的焦点在 x 轴上，且 c 2 2 且其焦点在x轴上，则可设其方程为： 3 2 2 双曲线的渐近线方程为 x 30) x 3 y y(

0 )，3 F （ 2， 0） 椭圆的焦点在 x轴上，且坐标为 F1 (2 2 解： 2 x， y2 0 由题意得双曲线的渐近线方程为 ，
2
x 2 2 2 1,即x a a x a, x a
-a
o
a
x (x,-y)
2、对称性
(-x,-y)
关于x轴、y轴和原点都是对称。 x轴、y轴是双曲线的对称轴，
原点是对称中心，又叫做双曲线的中心。
双曲线的性质
3、顶点
（1）双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点。
顶点是A1 (a,0)、A2 (a,0)
2 2 2 2
的右顶点为 A，以 A 为圆心，b 为半径作圆 A，圆 A 与双 曲线 C 的一条渐近线交于 M、N 两点.若∠MAN=60° ，则 C 的离心率为________.
双曲线离心率的求法
求离心率的一般思路：
（1）根据条件得到关于a,b,c的方程表达式。
（2）将b转化为a,c。（常两边平方） （4）得到离心率。
c
)
双曲线的标准方程 y
M F1
2
| |MF1| - |MF2| | = 2a
y M
F2 x
O
F2
2
x
O
F1
y x x y 2 1 2 1 2 2 a b a b (a 0，b 0)
口答：分别指出下列双曲线的 1. a值和焦点坐标 思考：如何判断双曲线的焦点在哪个轴上？ 2 2 2 2 x y x y 答：谁的系数为正，焦点就在哪个轴上。 (1). 1； (2). -1； 9 16 9 16
其中：
x y 2 ( 0，为参数) 2 a b
2
2
为什么可以这样做？
λ>0表示焦点在x轴上的双曲线；
λ<0表示焦点在y轴上的双曲线。
跟踪检测
x2 y 2 求与 1 有相同渐近线，且过点 (3,2 9 16
3)
的双曲线方程。
x2 y 2 双曲线与 1 有相同的渐近线，则可设 解： 9 16 x2 y 2 其方程为： ( 0) 9 16 9 12 1 所以 解得 9 16 4 2 2 4x y 于是所求双曲线的方程为： 1 9 4
3c 解: l : bx ay ab 0, = 2 2 4 a +b
2 3 则3e - 16e +16 = 0,解得e = 2,或e = . 3 2 b 0 < a < b e = 1+ 2 > 2 ,则e = 2. a
4 2
ab
7.【2017 课标 1，理】已知双曲线 C： ax by 1 （a>0，b>0）
3 6 解得： 2
渐近线的意义
2 2 x y 5 已知离心率 e = 的双曲线 C : 2 - 2 = 1(a > 0, b > 0) a b 2
的右焦点为������， ������为坐标原点，以������������为直径的圆与双曲线
C 的一条渐近线相交于 ������、 ������两点,若������������������������ 的面积为 1，
b 32 22 2 2 y a 2 b 2 ， a x ，而c b 8 a 3 1 所以： 16 8 8 即：
2 解得： a 6，b 2 2
3
2
2 2 x y y x 1 于是，所求双曲线的标准方程为： 双曲线方程为 1 6 2 6 2
B2A1o NhomakorabeaA2
a x
by x 它与y x的位置的变化趋势 : a 利用渐近线可以较准确的 （3 ） 慢慢靠近，但永远不能达到。 画出双曲线的草图
B1
b y x a
b y x a
双曲线的渐近线
x y 焦点在x轴上的双曲线的标准方程为： 2 2 1 a b 我们把方程右端的1变为0，则有：
x y 2 0 2 a b
2 2
2
2
x y 2 2 a b
2
2
b 2 b y 2 x y x a a
2
2
焦点在y轴上的双曲线的渐近线
y 2 x2 焦点在y轴上的双曲线的标准方程为： 2 2 1 a b
我们把方程右端的1变为0，则有：
y 2 x2 2 0 2 a b
变式演练
取值范围。
2 y 2 1的右支 已知直线y=kx+2与双曲线 x 3 交于不同的两点，求k的取值范围。
变式演练
焦点弦与通径
x y 已知双曲线 2 2 1 ,直线 l 过双曲线的左焦点, a b
2 2
垂直于 x 轴交双曲线于 A、B 两点，则弦长 | AB | 的
2b 值为 _______ a
双曲线的标准方程 及其性质
温故知新
1.椭圆的定义
平面内与两定点F1、F2的距离的 和 等于常数
2a ( 2a>|F1F2|>0) 的点的轨迹。
|MF1|+|MF2|=2a( 2a>|F1F2|>0)
y
M x, y
F1 c, 0
O
F2 c, 0 x
双曲线的定义
平面内与两个定点F1、F2的距离差的绝对值等于 常数（小于︱F1F2︱)的点的轨迹叫做双曲线。 | |MF1| - |MF2| | = 2a
① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点; ② |F1F2|=2c ——双曲线的焦距.
F1 M
o
F2
思考：定义中的2a有何限制？为什么？
(1)两条射线 （1）若2a=2c,则轨迹是什么？
(2)不表示任何轨迹 （2）若2a>2c,则轨迹是什么？
(3)线段F1F2的垂直平分线 （3）若2a=0,则轨迹是什么？
y 2 x2 2 2 a b
2 a a 2 2 y 2 x y x b b
跟踪检测
4 1、若双曲线的渐近线方程为 y x, 则双曲线 3
的离心率为
5 5 或 3 4
。
2、若双曲线的离心率为2，则两条渐近线的夹角
60 。 为_________
0
共渐近线的双曲线方程
x2 y 2 与 2 2 1有相同渐近线的双曲线方程我 a b 们可以假设为：
2
中点弦与弦长公式
B
c （3）求出a,c之间的关系。（构造 ） a
直线与双曲线的位置关系
思考：直线与双曲线可能有几个公共点？ 两个： 相交
一个：
与一支相切 相交且与渐近线平行 零个：不相交不相切
直线与双曲线的位置关系
x y 1与直线y=kx-1只有一个公 双曲线 9 4 共点，求k的值。
2 2
2 y 2 1 的右焦点F2作直线与 若过双曲线 x 3 双曲线的两支都相交，求直线l的倾斜角的
概念加强
1.动点P到点M(-2,0)的距离减去到点N(2,0)的距离 之差为3，则点P轨迹是( A.双曲线 C.两条射线
B
)
B.双曲线的一支 D.一条射线
2.动点P到点M(-2,0)的距离减去到点N(2,0)的距离
之差的绝对值为4，则点P轨迹是( A.双曲线 C.两条射线 B.双曲线的一支 D.一条射线
则实数 ������的值为（ A. ������
C
B.
） ������ C. ������ D. ������
双曲线离心率的求法 2 2
x y 双曲线 2 2 1(0 a b)的半焦距为c，直线l过 a b 3 点 (a,0)、 (0, b) ，原点到直线l的距离为 c ，求双 4 曲线的离心率。
（ 2） 如图，线段 A1 A2 叫做双曲线 的实轴，它的长为2a，a叫 做实半轴长；线段 B1 B2 叫做 双曲线的虚轴，它的长为2b， b叫做双曲线的虚半轴长。 （3 ） 实轴与虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线。
A1 -a
-b b
y
B2
o a
A2
x
B1
x y m ( m 0)
2 2
双曲线的渐近线
双曲线在第一象限部分的方程为： x2 y2
y Q b N(x,y’) M(x,y)
（1） 双曲线 2 2 1(a 0, b 0) b b a y x 2 a 2 ( x 0) a b 的渐近线为 y x b a : 它与y x的位置关系 a 2 2 （2 ） 等轴双曲线 b x y m 在y x的下方 (m 0)的渐近线为 a